Conversão Eletromecânica de Energia

entendimento certamente será a base para o estudo das

máquinas elétricas e dos seus acionamentos elétricos.

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Conversão Eletromecânica de Energia

Sumário

1. Introdução a ConversãoEletromecânica de Energia ............................................. 131.1 Magnetismo ................................................................... 141.2 Ciclo de Histerese -Perdas Histeréticas e Perdas Foucault..................... 231.3 Circuitos Magnéticos.................................................. 331.4 Circuito Magnético Funcionandoem Corrente Alternada ................................................... 371.5 Exercícios........................................................................ 45

2. Sistemas Eletromecânicos........................................ 572.1 Balanço de Energia em Sistemas Eletromecânicos de Excitação S im p les................... 572.2 Análise Gráfica do Balançode Energia em Sistemas Eletromecânicos de Excitação S im p les........................................................ 642.3 Exercícios......................................................................... 74

3. Conversores Eletromecânicos -Cálculo de Forças e Conjugados................................ 913.1 Conversor Eletromecânico Excitadocom Corrente Alternada .................................................. 963.2 Balanço de Energia nos Conversores Eletromecânicos com Dupla Excitação ................... 993.3 Exercícios........................................................................ 109

4. Transformadores ............................................................ 1154.1 Transformador Ideal .................................................. 1194.2 Transformador Real .................................................... 1284.3 Perdas, Rendimentos eRegulação de Tensão ........................................................ 1424.4 Ensaios em Vazio e deCurto-Circuito em Transformadores........................ 1554.5 Transformadores Trifásicos ................................... 160

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4.6 Valores em Por Unidade - P.U............................. 1664.7 Harmônicas em Transformadores ..................... 1754.8 Deslocamentos Angulares..................................... 1914.9 Paralelismo de Transformadores....................... 1954.10 Autotransformador.................................................. 2024.11 Exercícios....................................................................... 209

Referências.............................................................................. 231

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1. Introdução a Conversão Eletromecânica de Energia

O estudo de alguns processos básicos de conversão eletromecânica de energia, nos quais se baseiam os equipamentos e sistemas eletromecânicos, é de grande Importância para o entendimento e compreensão dos assuntos a serem abordados no decorrer deste trabalho.

Os conceitos de campos elétricos e magnéticos são muito úteis para a análise dos processos de conversão de energia, mas normalmente depara-se que a solução completa e detalhada dos campos magnéticos da maioria das aplicações de interesse prático necessita das equações de Maxwell e de uma grande quantidade de informações contida na abordagem do campo e das relações constitutivas que descrevem as propriedades dos materiais, ou seja, encontrar uma solução exata na prática é um trabalho laborioso. Normalmente utiliza-se de suposições simplificadoras que permitem obter soluções úteis, através da extração de alguns parâmetros descritivos que apresentam propriedades operacionais Importantes dos equipamentos.

Em muitos casos, a extração de parâmetros resulta em um circuito elétrico análogo, em outros resulta em um (onjunto de equações para o desenvolvimento de soluções nnalíticas. As soluções numéricas, embasadas em ferramentas computacionais tornaram-se comuns e são Indispensáveis na análise e projetos de equipamentos e •.Istemas eletromecânicos, mas o seu uso não contribui de forma definitiva para o entendimento e compreensão dos processos básicos de conversão eletromecânica de energia.

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1.1 Magnetismo

A partir do século XIX, Hans Christian Oersted, André-Marie Ampère, Michael Faraday, Heinrich Lenz e outros, conseguiram realizar as primeiras experiências relacionadas ao eletromagnetismo e obtiveram resultados práticos.

Em 1820, Oersted observou que um condutor elétrico ao conduzir corrente contínua, produzia linhas de campo magnético ao seu redor que orientava uma pequena bússola magnética ao ser aproximada do mesmo.

O sentido das linhas de campo magnético pode ser determinado pela "regra da mão direita", onde o polegar indica o sentido da corrente no condutor e os dedos indicadores o sentido das linhas de campo magnético, conforme ilustra a figura 1-1.

%

Figura 1-1: Condutor elétrico conduzindo correntecontínua.


Outras experiências foram realizadas para se determinar os fatores que influenciam na intensidade de < .impo magnético, onde verificou-se que:

a intensidade do campo magnético varia diretamente ( om a intensidade da corrente elétrica;

quando um único condutor é substituído por uma bobina com N espiras concêntricas, verifica-se que a intensidade do campo magnético varia diretamente com o número de i". piras.

Mlg ura 1-2: Linhas de campo magnético estabelecidas na bobina de três espiras.

A figura 1-2 permite reportar para uma configuração simples de um imã, onde verifica-se o cnminho das linhas de campo magnético estabelecidas do pólo norte para o pólo sul.

4* ’'***t , — ’\ J s , —íS •*»»

s >)/.

^ N ') V

' 4* /

figura 1-3: Espectro magnético de um imã.

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Analisando as figuras 1-2 e 1-3, é possível concluir que na figura 1-2 fora produzido um eletroímã com pólo norte e pólo sul. Também, pode-se utilizar a figura 1-3 para fazer uma breve revisão das grandezas magnéticas.

Fluxo Maanético (ó)Fluxo magnético é a quantidade de linhas de campo

magnético em um imã ou em um eletroímã.108 linhas de campo magnético * 1 Weber [Wb] de

fluxo magnético.

Campo maanético: Indução Magnética ou Densidade de Campo Maanético (B ).

O fluxo magnético <f>queatravessa uma superfície S é a integral de superfície da componente normal de B:

Analisando a equação 1.2 é possível verificar que o fluxo magnético líquido que entra ou sai de uma certa superfície fechada é zero, ou seja, qualquer fluxo magnético que entrar em uma superfície delimitando um volume deverá deixar esse volume passando por outra região dessa superfície, porque as linhas de fluxo magnético formam laços fechados.

Diante dessas justificativas é possível supor que a densidade de campo magnético B é uniforme em uma seção reta. Assim a equação 1.1 pode ser simplificada por uma equação escalar simples:

Na figura 1-4 observa-se um anel de seção reta S colocado próximo ao pólo norte e o mesmo anel de seção reta postado um pouco mais afastado do pólo norte.

[1.2]

[1.1]

s

[1.3]

16

Analisando a equação 1.3 é possível afirmar que a inaior densidade de campo magnético no anel de seção reta S é o da figura 1-4A.


A B

Figura 1-4: Densidade de campo magnético no anel de soção reta S.

Intensidade de Campo Magnético (H)A indução magnética B se relaciona com a

Intensidade do campo magnético H através das < nracterísticas intrínsecas de cada material. A densidade de campo magnético B depende da intensidade do vetor de polarização H dos momentos magnéticos ou domínios magnéticos de cada material.

Cada átomo é considerado como um pequeno drcuito fechado de corrente que produz efeitos magnéticos dentro dos materiais. A orientação desse «iicuito pode ser alterada, variando somente as direções dos eixos de spins dos elétrons, ou pela presença de um • itomo adjacente.

Em função da simetria da disposição eletrônica, o momento magnético da maioria dos átomos é zero. 'iomente em átomos com camadas internas de elétrons Incompletas é que o átomo tem um momento magnético llgnificativo. Esse momento magnético tem principal Origem nos spins de elétrons que não formam pares com elétrons de direção de spins opostos.

Os materiais que apresentam um momento mncjnético significativo e quando submetidos a um vetor polarização de intensidade magnética têm os seus

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domínios magnéticos orientados facilmente, são denominados materiais fermmagnéticos. Entre eles pode-se citar: o ferro, níquel, cobalto.

Utilizando-se a bobina da figura 1-2, coloca-se no interior da mesma uma barra de um material ferromagnético qualquer, onde os domínios magnéticos ficam orientados conforme o vetor polarização H, que depende diretamente da intensidade da corrente elétrica e do número de espiras.

Figura 1-5: Representação de um eletroímã em uma barra ferromagnética.

O alinhamento dos domínios magnéticos, estabelecendo as linhas de campo magnético é função do vetor polarização H e da característica intrínseca do material de se alinhar com maior ou menor facilidade, ou seja, o estabelecimento do fluxo magnético depende da permeabilidade magnética do material (n ). Assim, tem-se:

m [1 .4]B = j u . H171

E:

M=B _

77Wb m ~H~------- ou

j n 1 Ae _ _ m _[1.5]

A relação da intensidade do campo magnético com a corrente elétrica que produz as linhas de campo

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magnético pode ser definida pela Lei Circuitual de Ampère:

| J.da=j H.dl [1.6]5Onde:J = densidade de corrente (A/m2)H = intensidade de campo magnético (A/m)

Na figura 1-5 tem-se:J J.da=<f H.dl => N.i H .i

H = NJí

Aem

[1.7]

Onde:l\l = número de espiras. j = corrente elétrica (A).£ = comprimento da barra ferromagnética.

Curva Normal de Maanetizacão de Materiais Ferromaanéticos

Através da figura 1-6, pode-se verificar o comportamento do campo magnético B em função da intensidade de campo magnético H.

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Figura 1-6: Representação dos domínios magnéticos do eletroímã.

Inicialmente na figura l-6a os domínios magnéticos da barra ferromagnética estavam desorientados. Quando submetida uma corrente elétrica I pelas espiras da bobina, o vetor polarização H orienta uma grande quantidade de domínios magnéticos e à medida que aumenta-se a intensidade da corrente elétrica através da fonte de tensão contínua variável, é possível aumentar a intensidade do campo magnético H, conforme a equação 1.7, e consequentemente o maior alinhamento das linhas do campo magnético. Esse alinhamento é limitado, ou seja, em um determinado ponto, não adiantará aumentar mais a corrente elétrica I para aumentar a intensidade do campo magnético H, pois todos os domínios magnéticos já foram orientados, ou seja, ocorreu a saturação magnética. Esse comportamento pode ser representado pela curva normal de magnetização do material na figura 1-7.

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Figura 1-7: Curva normal de magnetização.

Permeabilidade Magnética íu)A permeabilidade magnética é a propriedade do

jpiterial que estabelece o comportamento da orientação |0 I domínios magnéticos quando submetidos a um vetor polarização H. Cada material apresenta a sua curva intimai de magnetização de acordo com sua |H’i ineabilidade magnética

Figura 1-8: Curva normal de magnetização para três fllfm entes materiais.

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A seguir, alguns valores típicos de saturação magnética:

Bsaturação do Ferro = 2,2 Wb/m saturação do Cobalto = 1/8 Wb/m

Bsaturação do Níquel — 0,64 Wb/m - Bsaturaçã0 d0 Ferhte = 0,4 Wb/m2 (ferrite: ferro pulverizado em um material de ligação isolante).

A permeabilidade magnética dos materiais pode se relacionar com a permeabilidade magnética do vácuo pQ, tal que;

, , _________ __M m aterial K M m r -t o iM r e l a t i v a ----------------- = > M , ~ ------ L 1 ' ^

M o M o

JL10 = 471.10'7 [H /m ]

Alguns materiais quando submetidos a uma intensidade de campo magnético H não estabelecem uma ligação externa com as 'bobinas condutoras de corrente elétrica de forma significativa e os seus domínios magnéticos ficam levemente orientados com o vetor polarização H, resultando no interior desses materiais uma densidade de campo magnético um pouco maior do que existiria no vácuo. Esses materiais são denominados de paramagnéticos. Entre eles pode-se citar: o alumínio, bário, cálcio, cromo, estrôncio, oxigênio, platina, sódio, urânio, magnésio.

Outros materiais têm os seus domínios levemente orientados, mas em oposição ao vetor polarização H, tal que, o resultado no interior desses materiais é uma densidade de campo magnético um pouco menor da que existiria no vácuo. Esses materiais são denominados diamagnéticos. Entre eles estão: o vidro, água,antimônio, bismuto, chumbo, cobre, prata, ouro, mercúrio, zinco.

Na construção dos núcleos do estator e dos rotores das máquinas elétricas e dos núcleos dos transformadores, é comum utilizar materiais ferromagnéticos comerciais que apresentam

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Permeabilidade relativa fir na ordem de 5.000 a 10.000.I.imbém existem algumas famílias de ligas metálicas < nino o Permalloy (70 a 90% de níquel e o restante ferro• "in pequenos teores de outros elementos como o cobre, •»* uno e o molibdênio), o Supermalloy (79% de níquel, S% de molibdênio e o restante ferro) e o Mumetal (76%• l<- níquel, 17% de ferro, 5% de cobre e 2% de cromo e mngnésio) que se pode utilizar na construção dos núcleos n .ipiesentam uma permeabilidade relativa jur de 30.000A 200.000.

I i Ciclo de Histerese - Perdas Histeréticas « Perdas Foucault

Supondo que a barra de um material Imiomagnético da bobina na figura l-9a esteja Inicialmente desmagnetizada. Através do aumento da Çmicnte elétrica da fonte de tensão contínua variável é lO liível aumentar o vetor de intensidade de campo magnético H, conforme a equação 1.7, até ocorrer a ©limitação completa dos domínios magnéticos, atingindo a ilnir. Idade magnética de saturação Bsatf esse iMiiiportamento é representado pelo caminho 1 na figura I 10.

Na figura l-9b , a intensidade da corrente elétrica sendo diminuída gradativamente e

fcfliequentemente o vetor polarização H também está llmlnuindo, mas os domínios magnéticos não mudam de (jlrtVio no mesmo instante, o material se opõe à Í*MiMgnetização, produzindo um atraso no retorno da hnftlclade magnética. Pode-se zerar a corrente elétrica, ■II ©eja, estabelecer uma intensidade de campo magnético H nula, que ainda alguns domínios magnéticos continuam •flriilados, produzindo um campo residual ou remanente »m inpresentado pelo caminho 2 na figura 1-10. Esse

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atraso na orientação dos domínios magnéticos é denominado de Histerese.

Para anular esse magnetismo residual Br+/ deve-se inverter o sentido da fonte de tensão contínua, mostrado na figura l~9c, para que a corrente elétrica estabeleça um vetor de intensidade de campo magnético H contrário e a medida que a corrente vai sendo aumentada, os domínios magnéticos vão se orientando conforme o sentido do vetor polarização H até ocorrer novamente a orientação completa dos domínios magnéticos, atingindo a densidade magnética de saturação Bsat de sentido oposto, conforme o caminho 3 na figura 1-10.

No caminho 3, apresentado na figura 1-10, verifica-se que a intensidade de campo magnético H necessária para reduzir a densidade de campo magnético a zero, anulando o campo residual Br+ é denominada de força coerciva Hc_.

Já na figura l-9d , a intensidade da corrente elétrica é diminuída e observa-se novamente o atraso dos domínios magnéticos até quando zera a corrente elétrica e alguns domínios magnéticos ainda continuam orientados, produzindo um campo residual Br_. Esse processo pode ser verificado através do caminho 4 na figura 1-10.

Para anular esse campo residual Br_, deve-se inverter o sentido da corrente elétrica, mostrado na figura l-9e , aumentando-a gradativamente até que o vetor polarização H consiga reduzir a densidade de campo magnético a zero, nesse ponto tem-se a força coerciva Hc+. Tal procedimento pode ser verificado pelo caminho 5 na figura 1-10.

Caso a corrente elétrica da bobina, na figura l-9e continue sendo aumentada, ter se a o caminho 6 na figura 1 - 1 0 .

Através dos caminhos 1, 2, 3, 4, 5 e 6estabelecidos na figura 1-10 é possível verificar um ciclo de alinhamento do campo magnético denominado de ciclo de histerese.

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plfurn 1-9: Ciclo de magnetização no eletroímã.

IttllWWHÉHHBHBaM

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atraso na orientação dos domínios magnéticos é denominado de Histerese.

Para anular esse magnetismo residual Br+, deve-se inverter o sentido da fonte de tensão contínua, mostrado na figura l-9c, para que a corrente elétrica estabeleça um vetor de intensidade de campo magnético H contrário e a medida que a corrente vai sendo aumentada, os domínios magnéticos vão se orientando conforme o sentido do vetor polarização H até ocorrer novamente a orientação completa dos domínios magnéticos, atingindo a densidade magnética de saturação Bsat de sentido oposto, conforme o caminho 3 na figura 1-10.

No caminho 3, apresentado na figura 1-10, verifica-se que a intensidade de campo magnético H necessária para reduzir a densidade de campo magnético a zero, anulando o campo residual Br+ é denominada de força coerciva Hc_.

Já na figura l-9d , a intensidade da corrente elétrica é diminuída e observa-se novamente o atraso dos domínios magnéticos até quando zera a corrente elétrica e alguns domínios magnéticos ainda continuam orientados, produzindo um campo residual Br_. Esse processo pode ser verificado através do caminho 4 na figura 1-10.

Para anular esse campo residual Br_, deve-se inverter o sentido da corrente elétrica, mostrado na figura l-9e , aumentando-a gradativamente até que o vetor polarização H consiga reduzir a densidade de campo magnético a zero, nesse ponto tem-se a força coerciva Hc+. Tal procedimento pode ser verificado pelo caminho 5 na figura 1-10.

Caso a corrente elétrica da bobina, na figura l-9e continue sendo aumentada, ter se a o caminho 6 na figura 1 - 1 0 .

Através dos caminhos 1, 2, 3, 4, 5 e 6estabelecidos na figura 1-10 é possível verificar um ciclo de alinhamento do campo magnético denominado de ciclo de histerese.

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||Urn 1-9: Ciclo de magnetização no eletroímã.

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Figura 1-10: Ciclo de histerese de um materialferromagnético.

Através de técnicas especiais de laminação é possível produzir lâminas de material ferromagnético, nas quais os momentos magnéticos estão orientados ao longo da direção de magnetização desejada. Nestes materiais com grãos orientados, a rotação dos domínios magnéticos é praticamente eliminada. A curva característica B-H de um material ferromagnético típico dessa natureza (50% níquel e 50% ferro) é apresentada na figura 1-11.

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HU ura 1-11: Curva característica B-H do material fmiomagnético (50% níquel e 50% ferro).

A figura 1-12 apresenta a curva característica B-H 'i' um material magnético permanente, o Alnico V (51% ir ro , 24% cobalto, 14% níquel, 8% alumínio e 3% IMin»).

Nuura 1-12: Curva característica B-H do Alnico V.

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Materiais magnéticos que têm uma força coerciva Hc baixa, são denominados "macios" e os que têm Hc elevada são denominados "duros" ou materiais magnéticos permanentes.

Perdas oor Histerese - perdas histeréticasO processo de orientação dos domínios magnéticos

conforme um ciclo de corrente simétrica, produz um armazenamento e uma liberação de energia que não é totalmente reversível, ou seja, é necessário gastar uma quantidade de energia para magnetizar um material ferromagnético, essa energia é perdida na forma de calor no núcleo do material, daí o nome de perdas histeréticas, cujo fator preponderante é a reorientação lenta dos domínios magnéticos em função do vetor polarização H que varia ciclicamente com a corrente.

A figura 1-13, mostra o ciclo de histerese em um material ferromagnético enfatizando que a quantidade de energia armazenada no campo magnético excede à energia que é liberada. A diferença de potencial magnético representa as perdas no meio do ciclo, em destaque.

Ou seja, a diferença de energia representa a quantidade que não é devolvida à fonte, essa energia é dissipada na forma de calor quando os domínios são reorientados em resposta à intensidade de campo magnético variável H.

B [w b /m 2]I -■


I rm-se:

AUDA: Energia armazenada durante meio ciclo de H. n AhCA: Energia liberada durante meio ciclo de H.

Mgin.i 1-13: Ciclo de Histerese de um material druivnign ético.

A equação 1.9 descreve a energia como a Ifrnllzação da potência em um intervalo de tempo.

/2u>=\p.dt [J ] [1.9]

'.abendo que:/> e.i

M W <■ N —dt

[1.10]

Jocl Koclia Pinto

Através da equação 1.7 é possível obter:N.i = H .i [1.12Substituindo as equações 1.11 e 1.12 na equação

1.9, obtém-se:42

E inserindo a equação 1.14 na equação 1.13, fica:

Analisando a figura 1-13, chega-se a energia magnética armazenada no campo magnético durante o meio ciclo de H (admitindo-se que o material já esteja num estado cíclico) através da equação 1.17.

A equação 1.18 mostra a energia que é liberada pelo campo magnético e devolvida à fonte, nota-se que B2> B3/ assim w2 será negativa, indicando que a energia está sendo liberada em lugar de armazenada pelo campo magnético.

[1.13]

Da equação 1.3 extrai-se:(f) — B.S [1.14]

52

[1.15]51

Onde:v = £.S= volume do material ferromagnético

Logo a densidade de energia é:

[1.16]

[1.17]

30

( uiivi-i■.,!() I lot.romucânlca de Energia

n \ c . ' J 'r-r, II.dH [1.18]

JH)

A diferença entre wx e w2 é a energia perdida no pulo 1 1< Io de H, graficamente é a área BCDB na figura 1- l \

I ‘oiItanto, conclui-se que a perda de energia por exatamente a área do ciclo de histerese,

ilMfninif equação 1.19.

wh arca do ciclo de histeresem .ciclo

[1-19]

A perda de energia por histerese pode ser expressa Im Wdlts, o que é normalmente utilizado na prática,

energia _ potência11 volume, ciclos , ciclos volume.

segundosrhWJYi. ----

v ./

>\ w l r v - f

Onde:l[ = perdas histeréticas, em Watts;v volume do material ferromagnético, em m3; / frequência da variação de H, em Hertz;

[1.20]

i/mHY

i l< l().= perda de densidade de energia, em

C.im facilitar o cálculo das perdas histeréticas, em M K Meinmetz obteve uma fórmula empírica, através t um l.iborioso estudo e de uma grande quantidade de

para vários materiais ferromagnéticos. A JpçWo 1.21 indica as perdas histeréticas em Watts,

ido Meinmetz:

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Ph = K h.v.f.BZix. [1.21]

Onde:Ph = perdas histeréticas, em Watts;

Bmáx = densidade de campo magnético máxima;r/ = constante de Steinmetz, depende do material

ferromagnético.r/ situa-se na faixa de 1,5 <r|< 2,5;v = volume ativo total do material ferromagnético,

em m3.v = a.b .h .Ke; Ke = fator de empacotamento das

lâminas do material ferromagnético;/ = frequência da variação de H, em Hertz;K h = constante de histerese, que depende do

material, por exemplo:Aço forjado = 0,025 Chapa de aço-silício = 0,001 Permalloy = 0,0001

Correntes Parasitas - Perdas FoucaultQuando um fluxo magnético varia com o tempo,

produz um campo elétrico induzido em torno da região de variação do fluxo magnético. Essa é a premissa da Lei de Faraday, expressa na equação 1.22.

e(f)=— N ~ - [1.22]dt.

A tensão induzida também ocorre dentro do material ferromagnético e sendo um material condutor, possibilita a circulação das correntes induzidas ou correntes parasitas, pois existe um percurso fechado dentro d.o núcleo do material ferromagnético. Essas correntes parasitas produzem um aquecimento no núcleo do material ferromagnético, causando uma perda de energia, denominada de Perdas Foucault, atribuída ao seu descobridor Jean Bernard Leon Foucault (1819 - 1868).

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IMra atenuar as perdas Foucault, pode-se inmnnl.li .1 resistência do material ferromagnético com a fftlMn tl<‘ silício na produção do material. O ferro puro um um.) resistividade de 10'7Q.metro. Com a adição de 1'*" <i■ * ••Ilido ao ferro, a resistividade do material aumenta {trim (i~ l() fu.metro.

Normalmente o núcleo dos materiais pruuníignéticos é composto por finas lâminas, isoladas pUfe *.i < om verniz. Assim a corrente induzida fica sitiada iliniti área menor e difunde mais rapidamente nas Blitliiív. Isoladas, que impedem a circulação de correntes

l.imina para outra.A equaçãol.23 apresenta uma forma de se

ttüt üimlnar as perdas Foucault.r, = K F .v .f2.T2.Bláx [1.23]Onde:/’ = perdas Foucault, em Watts;

/•mn = densidade de campo magnético máxima; v volume ativo total do material ferromagnético,

»f\ m1;V a.b .h .Ke; Ke = fator de empacotamento das

■ lllins do material ferromagnético;/ frequência da variação de H, em Hertz;

| ' i * espessura de laminação;l K, = constante de Foucault, depende do material

(plju HI jíldo.

Clrc ultos Magnéticos

A*, máquinas elétricas são constituídas por circuitos j|0 » e magnéticos acoplados entre si. Por um circuito p é tlco entende-se um caminho para o fluxo lyhélif o, assim como um circuito elétrico estabelece um ilnlm para a corrente elétrica. Nas máquinas elétricas, 1...... ores percorridos por correntes interagem com os

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campos magnéticos (originados ou por correntes elétricas em condutores ou de imãs permanentes), resultando na conversão eletromecânica de energia.

A lei básica que determina a relação entre corrente e campo magnético é a lei circuitual de Ampère, conforme a equação 1.6, que aplicada ao circuito magnético simples da figura 1-14, resulta:

| J.da=j H.dl

N i = HA [1.24]

Ni = H J n

V Nespiras ln=ramprimeüto médio cteslin h a s cam po roaign&fàbo

núcleo cie material ferromagnético

Figura 1-14: Circuito magnético simples.

Os dispositivos de conversão eletromecânica de energia que incorporam um elemento móvel, normalmente exigem entreferros nos núcleos. Um circuito magnético com um entreferro (vácuo) é apresentado na figura 1-15.

fâ

núcleo de material ferromagnético

Figura 1-15: Circuito magnético com entreferro.

r

IV N esp iras;

<(>

34


[1.25]

l’ara o circuito da figura 1-15, pode-se afirmar que: K # t|>u <|>, assim:

Os termos entre colchetes da equação 1.26 flinMi.im uma grande identidade com a definição de

u:ia elétrica em um circuito elétrico, que dependeleslstividade intrínseca do material, do seu

Sihpilmento e de sua seção. Esses termos, no caso, Jienri rm da permeabilidade intrínseca do material, do

Kiii Mimprimento e de sua seção, e são denominados de pDtAncia magnética do núcleo 9in e relutância magnética AH üntxeferro 9*g, demonstrando a limitação para a

jgnético t)>. A equação 1.26, então,

3 N.i Onde:

Relutância magnética do núcleo [A/Wb]; ii,, Relutância magnética do entreferro [A/Wb];& força magnomotriz ou magnetomotriz [Ae].

A equação 1.27 permite fazer uma analogia com Itllln elétrico, estabelecendo a lei de ohm para lyndlMno, onde a diferença de potencial magnético

[1.26]

[1.27]A equiv.

35

Joel Rocha Pinto

responsável por impor a circulação de fluxo magnético é denominada de força magnomotriz ou magnetomotriz 3.

Assim, é possível apresentar na figura 1-16 o circuito elétrico análogo ao circuito magnético da figura 1-

Embora a permeabilidade magnética não seja uma constante total no comportamento B-H do material, o que faz com que a relutância magnética do núcleo também não seja linear, pode-se usar em muitos casos práticos o conceito de permeabilidade constante do material que conduzirá à resultados de exatidão aceitáveis na engenharia, sendo uma maneira rápida e objetiva para analisar um circuito magnético. Para esses casos considera-se que o material ferromagnético está trabalhando na região linear da curva normal de magnetização B-H.

Figura 1-16: Circuito elétrico análogo ao circuitomagnético com entreferro.

15.

Rn

Rg

36

1.4 Circuito Magnético Funcionando em | »«i • «mio Alternada

I in estruturas magnéticas com enrolamentos, f$mu o do íigura 1-17, o campo variável produz uma força wlHiumot ii/ (e) nos terminais do enrolamento, conforme a ei »i" i .imday apresentada na equação 1.28.


V) - N & dt

1 N.</> ^ e ( / ) = " dt

[1.28]

B1

< )nde:r è chamado de fluxo concatenado [Wb.e], que

inMMita a quantidade de fluxo magnético que enlaça asii.i . <l.i bobina, com N espiras.

m

V(t) e(t)|I I !

4, — —! ► *

>

>

> . .

> N

>* >

* . . . . . . . . . . . *

f i t-17: Circuito magnético simples alimentado com í | .ilternada.

I'.ira um circuito magnético no qual existe uma linear entre B-H, devido à permeabilidade

i< .i constante do material ou à predominância do jfmio, pode-se relacionar o fluxo concatenado À. com Hente i, através da indutância L, de acordo com a

■90 1.29.

À N.(/> = L.i [1.29]

37

Joel Rocha Pinto

Assim a força eletromotriz (e) pode ser expressa pela equação 1.30.

. . _ d ó 7N.é jL .i dÀe(t)=N — = d — - = d — = — [1.30]

dt dt dt dt

Para circuitos magnéticos onde a indutância L é fixa, pode-se apresentar a força eletromotriz (e) nos terminais do enrolamento de acordo com a equação 1.31.

e(t)=L — [1.31]dt

Mas para máquinas elétricas e outros dispositivos eletromecânicos, a indutância também pode ser variável no tempo e a equação 1.30 é reescrita da seguinte forma:

e(t)=L— + i — [1.32]dt dt

IndutânciaÉ a capacidade que tem um determinado corpo em

produzir em si mesmo ou em um outro corpo ou condutor uma tensão induzida, caracterizando a sua maior ou menor capacidade de produção de fluxo magnético para uma corrente imposta.

Também já é sabido que para se criar uma força eletromotriz induzida num condutor é necessário que o mesmo esteja submetido a um campo magnético variável.

Portanto, a indutância de um corpo é a propriedade que apenas se manifesta quando a corrente que passa por esse corpo é variável, produzindo um campo magnético variável, ao qual está submetido o próprio corpo ou outro condutor.

■ Quando o corpo induz em si mesmo uma força eletromotriz, denomina-se o fenômeno de autoindução e diz que o corpo apresenta auto indutância. A força eletromotriz induzida, neste caso, é conhecida como força eletromotriz de autoindução ou força contra eletromotriz.

O outro caso de indutância é conhecido como indutância mútua e o fenômeno é conhecido como indução

38


ft Hno Sompre que dois condutores são colocados um ■MMmn do outro, conforme a figura 1-18, mas sem

<*ntre eles, há o aparecimento de uma tensão ■MlJii/lilo num deles quando a corrente que passa pelo fuiiM i' variável.

A Imsão induzida (e2) é devido a interação de fluxo Éltinntlco produzido no enrolamento 1 que se concatena ■ih m rnroiamento 2, ou seja, devido ao fluxo mútuo.

11.

A lonsão induzida (e2) fica:

[1.33]dt

( )nde:1/ : é a mútua indutância entre os enrolamentos 1

Analisando a equação 1.37, pode-se definir a 'HIH, ni,no magnética entre os enrolamentos 1 e 2 com as

iivas espiras Ni e N2, da seguinte forma:

[1.34]equiv.\

i»*« i-1 8 : Circuito magnético com dois enrolamentos.

| A Indutância é uma propriedade de todos os fôutnios, podendo ser útil ou prejudicial; no segundo

é nncessário eliminar, ou pelo menos, reduzir os seus HMi

Joel Rocha Pinto

Um corpo pode apresentar pequena ou grande indutância conforme suas características físicas e do material empregado para a confecção do núcleo.

Da equação 1.29, tem-se:X = N.(j) = L.i

_ N 4 [1.35]jL —

Da equação 1.27, tem-se: 3=^.9? .Y equiv.

3= N.i

t = ^ [1.36]* equiv.

NÁ(f) = 91 .equiv.

Substituindo a equação 1.36 na equação 1.35, fica:N N i N 2

L = — .------- = ------- [1.37Ji 91 . 91 .equiv. equiv.

Sabe-se que a relutância magnética é definida por:£

91 = - [1 .38|ju.S

Logo a indutância L depende apenas da geometri<)e do material do indutor, conforme a equação 1.39.

L = [1.39]£

Onde:N = número de espiras enroladas em um núcleo; i = comprimento médio do núcleo, em metros;S = seção transversal do núcleo, em m2; ju = permeabilidade magnética do núcleo.

40


tiwra/a MagnéticaA potência nos terminais de um enrolamento de

tfh ilhulto magnético é uma medida da taxa de fiuxo de Iftffhjin que entra no circuito através deste particular PmlnmcMitO e vale:

dX[1.40]

/>,<// i.dÀA variação da energia magnética armazenada Aw

H in iillo magnético no intervalo de tempo t l a t2 é dado M

i?. Ã2Air J p.dt => Aw=ji.dÀ [1.41]

l> /•(’ =í> p=i.— dt

him núcleo com permeabilidade constante:. AL i i = -

L[1.42]

'.ubstituindo a equaçãol.42 na equação 1.41, tem-

À2A2

■ Í T MLA w=

2.L[1.43]

ã\( onsiderando-se X.i igual a zero, a energia

,i total armazenada, fica:A2

ir2.L

ou, substituindo a equação 1.42, fica:

min :iolorm ,= - L . i 2 ( J )

[1.44]

[1.45]

41

Eneraia magnética armazenada no entreferroQuando os sistemas eletromecânicos apresentam

entreferros ou gaps, pode-se determinar a energia magnética armazenada no entreferro conforme apresentado na equação 1.16, sendo que a energia magnética armazenada no entreferro por unidade de volume pode ser expressa da seguinte forma:

Joel Rocha Pinto

w -gC'P

w =gap

I X ' J '

J o O nr _[1.46

r B\— 'dBg

' J "T.

_ m

w - ——g p

[1.47|r B , ——.c/B .volume [ J ]

Dessa forma, a energia magnética armazenada no entreferro ficará:

1 7w g a p = -B g -volume [ 1.48 I

2.jigOnde:jug = permeabilidade magnética no entreferro;

B = densidade magnética no entreferro;

volume = volume do entreferro;

volumeg = a.b.g (desprezando o espraimento magnético);

volumeg = [a+g].[b+g]-cj (considerando oespraimento magnético).

Em muitos casos práticos é normal desconsiderar o espraimento magnético, no contexto desse trabalho, ser«H desprezado.

42


■l 20: Circuito magnético alimentado com tensão

min,

li» r» 1-19: Circuito magnéticol/nndo o espraimento magnético.

com entreferro,

Tensão Induzida EficazSoja o circuito magnético da figura 1-20, pode-se in.n a tensão induzida e(t) na própria bobina de N < nnforme a equação 1.49.

j di _ dcf) _ d Adt dt dt

[1.49]

43

Joel Rocha Pinto

Supondo um fluxo magnético alternado, tal que: <t>(t) = <f>máx.>coswt [1.501E substituindo a equação 1.50 na equação 1.49,

tem-se:e{t> . N d l = _ N d j L ^ ^ n

dt dte(t) = N.w .(/)máx. sen wt

e ( t ) = E máx. Se l1 Wt

Assim:E . = N.w.é .max. r max.

E cr,ca,- 2 = N27r- fA » .

E <flcaz = 4 , 4 4 . / . N

Onde:N = número de espiras da bobina; /'= frequência, em Hertz;(f)máx = fluxo magnético máximo

[1.51

[1.52

Vale lembrar que na operação em corrento alternada, em regime permanente, o valor eficaz de unn função periódica, de período T, pode ser expressa como:

44


F„:á

l - f F mát2 s71 0

í C«i.v.2 sen2 6 d6rrK

F . . ,2 n

K 0

m K u J ~ 0 sen 2 9n

n _2 4 0

U má x. 71 1 ~ — sen 2n - 4

0

71 _2 2

F 2má x. 71

7T 2 máx.

[1.53]

Sirciclos

* 0 i Ircuito magnético da figura 1-21, calcular:,« HHromotriz induzida (f.em .i.) quando Bn = sen Wli/nr’).p ân r Ins no ferro (Rn) e no entreferro (Rg).

In< In (L).fyin magnética armazenada para Bn = 1 Wb/m2.IN - 500; Sn = Sg = 9 cm2; ln = 30 cm; lg = 0,05 li, - 5000.

45

Joel Rocha Pinto

1 *9

Figura 1-21R esp . :a) e (t)=169,65cos377t (V ); b) 53 .051,65 A/Wb e 442.097,06 A/Wb; c) 0 ,5 H; d) 0 ,2OJ

2) O circuito magnético da figura 1-22 foi projetado paru operar com um fluxo magnético na perna central d<- 2mWb. Sabendo-se que a bobina 1 tem Ni=600 espiras n a curva do material magnético está na figural-23, Determinar:a) A indutância do circuito magnético e a permeabilidade' relativa do material magnético.b) A corrente contínua necessária na bobina 1 (Ni) pain estabelecer o fluxo especificado na perna central.c) A tensão contínua que será aplicada, sabendo-se que ,1 resistência elétrica dos enrolamentos da bobina é de 3 D.d) A energia magnética armazenada nos entreferros e nu ferro.e) O valor da tensão alternada eficaz e da correntn alternada eficaz para obter um fluxo magnético eficaz n| perna central igual quando alimentado com correi il a contínua.f) Quais as tensões induzidas eficazes nas bobinas N2 e Ng) A mútua indutância entre Ni e N2 e a mútua indutância entre Ni e N3.

)

M I A 1-22


N1 = 600 espiras N2 = N3 = 1000 espiras Cotas sem unidades estão em centímetros

H (Ae/m)

♦t I 23

\H § 4.897; b) 4,05A ; c) 12,15V; d )2 ,3873J e 39 ,87m J; àiV; t) 753,5V e 376 ,7V; g) 0,494H e 0,247H

llrculto magnético da figura 1-24 é composto de uma peça de chapas aço silício médio e a

ilr . iço fundido doce, que apresentam curvas <!<• magnetização conforme o gráfico da figura 1-

n I (Nt) é percorrida com uma corrente eficaz |ln (1|) e produz um fluxo magnético eficaz

ftilii <lr 2,5 mWb. Calcular:«Im.incia magnética do circuito.

' T

b) O valor, da corrente eficaz alternada que deve circulm na bobina 1 (Ni) para produzir o fluxo magnético eficaz «l«•2,5 mWb.c) Qual a tensão induzida eficaz na bobina 2 (N2) e qu.il o valor da tensão eficaz que é aplicada na bobina 1 (N(), desprezando a queda de tensão na bobina 1 e a dispers.tu de fluxo magnético.d) Qual o valor da corrente eficaz da bobina 2 (N2), st' .t mesma estivesse com carga.e) Qual o valor da tensão contínua que pode ser aplicarln na bobina 1 (Ni) para produzir um fluxo rnagnétim contínuo de 2,5 mWb, considerando o valor da resistênc ia interna da bobina 1 (Ni) de 0,5 Q.

Joel Rocha Pinto

iMiMiiinft Aço Fundido Doce

Aço Silício Médio

DADOS:Todas as cotas em centímetro» m - 500 espiras N2 = 250 espiras Entreferro: vácuoResistência interna da bobina i ll< j Frequência * 60 Hz

Figura 1-24

48


liitwniildade do campo magnético, ampere-espiras/metro (Ae/m)

• »« I 25

IH, h) 1,37A; d)6,74A

|ln mio magnético da figura 1-26 é construído de liga Ht" níquel e está operando com uma densidade

i n.i perna central de 0,9 T. Sabendo-se que a n U)0 espiras, calcule a corrente elétrica.* otus apresentadas estão em centímetros.

JoeL Rocha Pinto

5) O circuito magnético da figura 1-27 é construído de llg.t de ferro níquel e está operando com uma densidade magnética na perna central de 0,9 T. Sabendo-se que n bobina tem 300 espiras, calcule a corrente elétrica.Todas as cotas apresentadas estão em centímetros e * vale 3mm.

Figura 1-27Resp.: 14,14A

§) Necessita-se desenvolver um projeto para construir um indutor de 500 mH. Para tal, tem-se o núcleo conforme $ figura 1-28, inclusive conhecendo as curvas normais do magnetização dos materiais A e B em questão (figura I 29). De posse dessas curvas chega-se à conclusão da estabelecer uma densidade de campo magnético de 0,n i (região linear de operação) no material B. Portanto ó solicitado o número de espiras e qual a energia magnéth | armazenada no indutor necessária para estabelecei 0 campo magnético pretendido de 0,6 T no material B.

50

Joel Rocha Pinto

1) Necessita-se desenvolver um projeto para construir um indutor toroidal com 400 mH. Tem-se a toróide conformn a figura 1-30, inclusive conhecendo sua curva normal do magnetização do material em questão. De posse dev.n curva chega-se à conclusão de estabelecer uma densidade de campo magnético de 0,8 T (região linear do operação).Portanto é solicitado o número de espiras e qunl a corrente necessária para estabelecer o campo magnéth o pretendido de 0,8 T.

DADOS:A = 1 cm R = 5 cm r = 2 cm

Resp .: 242 espiras e 0,145mA

8) O circuito magnético da figura 1-31 fora construído cuin dois materiais diferentes, sendo a parte (A) de Aço Fundido Doce e a parte (B) de Liga de Ferro Níquel. A bobina tem 350 espiras e o circuito está operando com mi» fluxo magnético de 0,8 mWb. Calcule:a) A corrente elétrica na bobina para estabelecer um fluxfl magnético de 0,8 mWb.b) A energia magnética total armazenada e a energia magnética armazenada no entreferro.OBS: cotas em centímetros.

52


r* i 3 i

1$) í, l IA; b )0 ,467J e 0,4223

$|t< ulto magnético da figura 1-32 é construído de aço tlf ui.ío orientado cuja permeabilidade relativa é de 9 ilt á operando tal que o fluxo magnético em uma

mu pernas laterais é de 4mWb. Sabendo-se que a tem 700 espiras, calcule a corrente elétrica.Todas íí .ipiesentadas estão em centímetros.

Joel Rocha Pinto

Figura 1-32Resp. :1 ,1 a

|0 ) O circuito magnético da figura 1-33 fora construldu com chapas de aço silício médio e projetado p.u* trabalhar com uma intensidade magnética eficaz de lOU Ae/rrçna perna central, determinar:À corrente alternada eficaz aplicada na bobina Ni, |».n* produzir a intensidade magnética projetada na pomn central.

54


I I \

1 HA

N1 = 37 espirasCotas estão em centímetros

”

Joel Rocha Pinto

í *c1<***'

www .bibfiotec524horas.com

56

C«nversã© Eletromecânica de Energia

*M<'inns Eletromecânicos

a . onversão eletromecânica de energia ocorre ii*. campos magnéticos são acoplados e estão

Ijilii'. de tal maneira que a energia magnética flfniMtl.i varia com o movimento mecânico. Um

Hetromecânico de energia transforma energia ||l!iin «*l<‘trica para a mecânica e vice-versa. Estes

pivô*, ou são dispositivos de força, tais como m*. (' motores elétricos, ou são dispositivos de

n, tfils como transdutores eletromecânicos.0*» d e ito s básicos de cam pos m ag nético s,

M «'in criação de fo rças são :IPiito de linhas de fluxo m agnético ;

entre campos magnéticos e condutores lln*. por correntes, conforme o fenômeno bem

.1 lorça de Lorentz. forças são desenvolvidas nas partes

néticas que são acondicionadas por condutores nle elétrica. Essas forças são mecânicas, mas a •iliii.il é elétrica. Daí denomina-se essas forças

i om o símbolo Fe.

• de Energia em Sistem as in lcos de Excitação Simples

um ('xemplo, será considerado o caso especial lolmã composto por duas partes: uma fixa e a

iWd, atraindo uma massa de ferro, como n.i figura 2-1; onde (1) e (2) indicam,

mente, as posições inicial e final da parte móvel, i * * um deslocamento - dx (contrário à direção

57

Joel Rocha Pinto

positiva de x). Se a corrente na bobina permanecer constante para i = I0, durante o movimento de (1) para (2 ), então para qualquer deslocamento da parte móvel (2) em relação à parte fixa (1 ), a lei da conservação de energia exige que:

R, Fonte

<<ç

J~>

--------- peça Fixa

F e <~MOLA

04-~ _yvvvv.

dx

© 0>

Figura 2-1: Exemplo de circuito magnético simples.

Aumento na Energia 'Entrada de Energia da fonte Elétrica

(Saída de Energia] [ Mecânica J

armazenada no campo magnético

\ do acoplamento J

Energia Perdida na forma de

Calor

[2.1]

Energia EnergiaElétrica = Mecânica +

çde Entrada \de Saída

Variação da Energia Magnética no acoplamento

Perdas Mecânicas + Perdas no Núcleo

v+ Perdas nos Enrolamentos

[2 .2]

í Energia Elétrica de Entrada — Perdas nos Enrolamentos .

Energia Mecânica de Saída + Perdas Mecânicas

Variação da Energia Magnética | no acoplamento + Perdas Associadas )

[2.3]

58


j + (Variação da Energia Magnética)

[2.4]

À We — Trabalho Mecânico + A Wmag. [2.5]

Através da equação 2.5 pretende-se desenvolver uma expressão para a força Fe/ considerando que há uma relação linear entre o fluxo magnético e a corrente elétrica, para qualquer posição do sistema eletromecânico.

Inicialmente, tendo um deslocamento incrementai ilx na peça móvel em um intervalo de tempo dt, a equação 2.5 pode ser representada da seguinte forma:

dWe = Fe.dx + dWmag. [2.5]

A força Fe foi a responsável pelo deslocamento dx epelos incrementos de energia elétrica líquida dW e e denrmazenamento de energia magnética dWmag.

Eneraia Elétrica Líquida ( AfVe)Num intervalo de tempo dt, o incremento de

energia elétrica líquida dWe, fica:dWe = v.i.dt - r.i2.dt

dWe = (v - r.i \i.dtv [2.8]

dWe = e.i.dtOnde:e — v — r.i

Onde:Trabalho Mecânico - zmec = Fe.dx [2.7]

XTd<f> jN.Ó . L.i dXe=N— = d — — = d — = —

dt dt dt dt

[2.9]

Assim:

Joel Rocha Pinto

dWe = — .i.dtdt [2.101

dWe = i.dX

Para determinar a energia elétrica líquida AWc, basta integralizar a equação 2.10.

A We= f dWe - j i.dÀ [2.11 |

Sabendo que i = I0 = constante, a equação 2.1 Ifica:

A We = I 0(À2- X l) [2.12|X — N.(j) — L.i [2.13 |Substituindo a equação 2.13 na equação 2.12,

tem-se:A We = I0{L2J , - L lJ . )A We = I 20(L2 - L l)Ou através de:Â = N.ó

[2.14

3 = N.i = 0M

NA

, , r N.i N .iX = N . = -----

Que ao substituir a equação 2.15 na equação 2 .1 2, também tem-se:

60


A IVc = I 0 ( Ã 2 - Ã , )

f AT2

\Wc = /, N .1 N .1

\ll V = /2 ( N 2 N 2 ^

[2.16]

V^2\IVc = l l ( L 2 - L {)

61

Joel Rocha Pinto

Variação da Eneraia Magnética( AWmag.) Utilizando a equação 2.6 pretende-se obter .1

variação da energia magnética AWmag., conforme jáabordado no capítulo 1. Mas para 0 momento da análise, pode-se considerar a força Fe desenvolvida na parte m ó v e l da figura 2-1, responsável pelo deslocamento dx. Atravé*. de uma força externa inserida no sistema (uma mola, poi exemplo), a peça móvel permanece estática, assim ,1 equação 2.6 fica:

dWe — Fe.dx + dWmag. — dWmag. [2.1 / |Sendo que 0 diferencial de energia elétrica líquida ó

igual ao diferencial de energia magnética no sistema, ou seja, a energia elétrica líquida é convertida em energia magnética. Portanto a variação da energia magnétii.i AWmag. será:

AWmag. = ---- [2.18]

AWmag. —

AWmag. = —L .i2 2 i.

Portanto:

AWmag. = d l 2[L2- £ ,]

62


Ii abalho Mecânico Realizado pelo Sistema)

Mib*.tituindo as equações 2.14 e 2.19 na equação i H Imn se:

\ 11 ‘<' Trabalho Mecânico + À Wmag.i ,

I J I : - L l) = Tmec. + - J 20lL2 - L l] [2.20]

r * , M 0[L2- L l] = AWmag.

logo, o trabalho mecânico realizado pelo sistema im< .mico é a variação da energia magnética.

fo rca Eletromagnética Desenvolvida (Fe)i imforme a equação 2.20 tem-se:Bw Fe.dx = A Wm ag.

Wmag. [2.21]I d

dxonde:

1 _ „[2 .22]

Av.lm a força eletromagnética desenvolvida Fe,

II tnag. = —.L.i22

W L - - . U 2dx 2

,2 * L[2.23]

" 2 '' A dxA direção da força Fe sobre o material magnético é

M’ tende a aumentar a indutância do sistema hm .mico.

&Xe.

63

Joel Rocha Pinto

2.2 Análise Gráfica do Balanço de Energia em Sistem as Eletromecânicos de Excitação Simples

Considerando o eletroímã da figura 2-2, sendo excitado com uma fonte de tensão contínua e mantido nessa posição (x i) pela ação de uma força externa F. É possível verificar que a força desenvolvida pelo sistema eletromecânico Fe é contrária à força externa F, isto é, tem sentido sempre tendendo a diminuir a relutância do circuito magnético ou armazenar menos energia no circuito, principalmente no entreferro.

A figura 2-3 apresenta a relação <j> vs. 3 para os entreferros na posição Xi e x2, onde x 2> Xi. As retas 1 e 2 representam essa relação para os respectivos entreferros na posição Xi e x2. A curva representa a relação para o trecho ferromagnético do circuito, mostrando o efeito da saturação magnética.

Analisando a figura 2-3 pode-se obter a figura 2-4 que é o comportamento resultante da força magnetomotriz no entreferro 3 g com a força magnetomotriz no material ferromagnético 3 fe rro-

Portanto o circuito magnético do eletroímã é não linear, embora seja razoável supô-lo linearizado ou admitir que toda a força magnetomotriz se estabeleça no entreferro o que tornaria o sistema linear.

64


Figura 2-3: Relação (j> vs. 3 para os entreferros na posição Xi e x2.

Figura 2-4: Comportamento resultante da forçamagnetomotriz no entreferro 3g com a força magnetomotriz no material ferromagnético 3 fe rro-

Na estrutura magnética da figura 2-2, estabelece um fluxo magnético <|> quando a bobina é excitada. Supondo que não haja nenhum movimento entre as partes fixa e móvel num intervalo de tempo dt, conforme a equação 2.5 o balanço de energia fica:

55

Joel Rocha Pinto

AWe = Trabalho Mecânico + AWmag.

v.i.dt - r .i1 .dt = r „ + dWmag.[2 .2 4 1

c/fFe = Fe.dx + dWmag.

dWe = dWmag.

Analisando a equação 2.24, verifica-se que a energia elétrica líquida suprida no intervalo de tempo dl será armazenada no campo magnético. Assim:

dWe = e.i.dt

dWe = — ./.ífr dt

dWe = i.dÃ [2.25|

dWe = i.dN.(j)

dWe = N.i.dtf)

dWe =

Portanto o acréscimo de energia armazenada no campo magnético AWmag. para uma situação tal que ofluxo magnético varie de <|>i até <j>2, será dado por:

dWe — dWmag. =<p2

AWmag. = Ts.dxj) [2 .261Aa,

AWmag. = | z.d/l4

O que corresponde a área tracejada da figura 2 '» para uma curva de magnetização <|> vs. 3genérica.

66


ri» 2-5: Energia armazenada no campo magnético iihn:. para uma situação tal que o fluxo magnético 0 di* (J>i até (j)2.

No eletroímã da figura 2-2, quando o entreferro n <l.i posição Xi para x2, imaginando situações de r permanente, a corrente deve ser a mesma, pois é

*ln pela fonte de tensão contínua Vcc na resistência mi <1.1 bobina r.| As energias magnéticas armazenadas no circuito íln uma das situações são apresentadas na figura 2 -

|»f> I nergias magnéticas armazenadas no circuito u •>., 8 x2.

67

Joel Rocha Pinto

Conforme a equação 2.26 as energias magnética?, armazenadas no circuito na posição Xi e x2, são respectivamente:

Wmag. V| = área OB(f)x O [ 2 .2 7 |

Wmag. V2 = área O A (j)20 [2.28]

Aplicando a equação da lei de conservação do energia 2 . 1 , durante um intervalo de tempo dt da abertura de xi até x2, tem-se:

Á We + Trabalho Mecânico = A Wmag. [ 2.29 |

Onde adota-se a convenção de que a energi.i entrando no sistema é positiva e saindo é negativa.

O processo de abertura está representado na figura2-7.

Se a abertura é feita num intervalo de tempo muito longo, tendendo para infinito, a curva vs. 3 enquanto a peça móvel está movimentando, aproxima-se do segmento ( l ) - » ( 2 ), pois a tensão induzida na bobina (f.e .m .i) nesse transitório é muito pequena e a corrente praticamente não se altera (regime permanente). Mas se a abertura é feita rapidamente, num intervalo de tempo tendendo a zero, a curva <j> vs. 3 aproxima-se do segmento (1 )—>(3) e após o movimento (transitório), o fluxo magnético e a força magnetomotriz decrescem ao longo da curva de magnetização (3)-»(2).

Na prática, normalmente, a curva <J) vs. 3 durante o transitório de abertura estará entre os dois casos extremos, ou seja, no caminho (l)->(4)->(2), dependendo da carga útil e dos parâmetros do sistema mecânico (inércia e atritos), bem como os parâmetros do sistema elétrico.

68


I H: Representação do transitório de abertura do fl d.v. posições Xi para x2.

i 2-7: Representação do processo de abertura do in.t da posição Xi para x2.

Al invés da equação 2.29 e do gráfico da figura 2-8, determinar o trabalho mecânico introduzido

movimentar a peça móvel da posição Xi para x2.

Ml <- i / ’/ 'abalho M ecânico - Á Wmag.[2.30]

I » Wmec.mA - A

69

Joel Rocha Pinto

De acordo com a equação 2.25, a energia elétrica líquida AWe é:

A We = \ d W e = i Z.d(/>J J [2.31]

A We = área{(f) {(])2 12)A energia magnética antes do movimento é dado

por:Wmag. [2.32]A energia magnética depois do movimento fica:Wmag. V2 = área(02(f>2 O) [2.33]

Portanto o trabalho mecânico introduzido para movimentar a peça móvel da posição Xi para x 2 será:

Tmec.mtroduzido= área<,02\0) [2.34]

Figura 2-9: Representação do trabalho mecânicointroduzido para movimentar a peça móvel da posição x i para x 2.

Analogamente o trabalho mecânico realizado (retirado) pelo sistema para vencer a força F aplicada externamente durante um processo de fechamento da posição x 2 para x x será:

T niec. realizado = “ « ( 0 2 \ 0 ) [2 .35 ]

70


Figura 2-10: Representação do trabalho mecânicotealizado para movimentar a peça móvel da posição x 2 para Xi.

Analisando os gráficos da figura 2-9 e 2-10 conclui-sc que:

* mecânico = A Wmagnética [2.36]

Ou seja:O trabalho mecânico ou energia mecânica no

llstema eletromecânico é igual a variação da energia magnética armazenada no sistema.

Sabendo que:

T m e c à n i c o = W m e C - = F e -d x [ 2 -3 7 ]

Obtendo o trabalho mecânico elementar no Intervalo de tempo dt, pode-se determinar a força eletromagnética desenvolvida Fe pelo sistema Hotromecânico em função da posição do entreferro x.

Conforme a equação 2.20, tem-se:TmeaSmco = WmeC' = Fedx = A [2.38]

Portanto:

Joel Rocha Pinto

Fe = d ^ ^ [2.39]dx .

A força Fe para a posição de abertura do entreferro x é dada pela variação da energia magnética com o espaçamento x.

Como a energia magnética armazenada é função de x e do fluxo magnético <j>, tem-se:

Fe = d m n a ^ ) ^ [24Q]

Ou colocando a energia magnética em função de 3e x, tem-se:Fe = á Wmag(3,x)\ [2 41]

dxCaso o sistema magnético seja linear, ou para o

caso do eletroímã, admitindo-se que toda a energia magnética estará armazenada no entreferro, pode-se escrever:

F ‘ = \ J l j d Í Í 2A 2 ]O comportamento de abertura e fechamento da

peça móvel do sistema eletromecânico da figura 2 - 2 fora representado na curva <j> vs. 3 das figuras 2-9 e 2-10 respectivamente. A seguir será apresentado o comportamento da corrente elétrica que alimenta a bobina do sistema nos transitórios de abertura e fechamento da peça móvel.

Em regime permanente a corrente elétrica é constante, pois depende apenas da tensão contínua aplicada Vcc e da resistência elétrica das espiras da bobina (r ) . Assim, a corrente elétrica em regime permanente é dada por:

I cc = ^ [2.43]r

Porém, nos transitórios de abertura e fechamento, a corrente elétrica pode variar com a posição x da peça móvel, devido à variação da relutância magnética e

72


consequentemente da variação do fluxo magnético que Induz uma força eletromotriz induzida (e) na bobina, que altera o valor da corrente elétrica no circuito. Dessa forma tem-se:

3 = (j).\KdZs dt

e(t) = N

dM m dó — + sJ i — dt dtd(f)

[2.44]

dtPela Lei de Kirchhoff de tensão no circuito, fica:

dcj)dt

dcj)

K - r l - N 0

- N [2.45]

L , = dt

Supondo o caso de abertura rápida do entreferro, a relutância magnética do circuito aumenta e o fluxo magnético <j> diminui rapidamente. Portanto a variação do fluxo magnético no tempo é decrescente ou negativa. Assim no transitório de abertura, a corrente elétrica I cc ficará:

d(/)V„+ N

dt [2.46]

Após o intervalo de tempo dt, a relutância magnética deixa de variar e a força eletromotriz induzida fica nula, a corrente elétrica volta ao valor de regime.

No caso de fechamento rápido do entreferro, a relutância magnética do circuito SR diminui e o fluxo magnético <j> aumenta rapidamente. Portanto a variação do fluxo magnético no tempo é crescente ou positiva. No transitório de fechamento, a corrente elétrica I cc ficará:

d(f)- N

dt [ 2 .4 7 ]

73

Joel Rocha Pinto

A figura 2-11 apresenta o comportamento da corrente elétrica nos transitórios de abertura e fechamento do entreferro.

V cc

R

Transitório de Abertura

Transitório de Fechamento

t

Figura 2-11: Representação da corrente elétrica para os transitórios de abertura e fechamento do entreferro.

2.3 Exercícios

Um eletroímã, como o da figura 2-12, é ligado, mantendo-se o entreferro constante e igual a 3 mm através da força da mola de 51 kgf. A bobina tem 500 espiras e sua resistência é de 3 Q. A permeabilidade magnética relativa do material vale 3.500, o comprimento médio do circuito magnético é igual a 650 mm, a = 25 mm e b = 80 mm.a) Qual a tensão contínua a ser aplicada para se obter uma força de 51 kgf.b) Qual a tensão alternada eficaz de 60 Hz, para se obter essa mesma força (51 kgf médio).c) Comente e justifique a diferença de comportamento de um circuito magnético com entreferro variável operando com excitação C.C. e C.A.

74


Mgura 2-12hsp.:. 1 ) 12V; b) 297 ,3V

jf) A figura 2-13 mostra um soienóide com geometria • «•l.ingular. O embolo de ferro de massa M é suportado por iimn mola e guiado verticalmente por espaçadores não m.Kjnéticos de espessura t e permeabilidade | 0. Suponha- 1 0 o ferro infinitamente permeável e despreza-se o uspiaimento magnético e os campos dispersos.A soienóide está ligada a uma fonte de tensão e o »nliciferro é mantido constante através da ação da mola.I Mormine:o) (,)ual a tensão contínua a ser aplicada para se obter min.i força de 7 kgf.li) ( ual a tensão alternada eficaz de 60 Hz, para se obter l l i a mesma força (7 kgf médio), i lados:

d = 4,0 cm w = 5,0 cmNi = N2 = 500 espiras

i - 2 , 0 mm » 0 , 1 dm

5 ü

75

Joel Rocha Pinto

Figura 2-13R esp .:a) 3 ,5V ; b) 22 IV

3) O circuito magnético da figura 2-14 é composto de duas peças, uma peça fixa de aço silício médio e a outra móvel de aço fundido doce conforme a figura 1-25. Sabe- se que a densidade magnética na peça fixa é de 0 , 8 Wb/m2. Determine:a) A força desenvolvida na mola quando a bobina é alimentada com tensão contínua e o entreferro é mantido constante e igual a 0,5 cm.b) Qual a tensão contínua para desenvolver a força do item a.c) Qual o fator de potência do circuito magnético se a bobina for alimentada com tensão alternada e o entreferro for mantido constante e igual a 0,5 cm.Dados:R = 4 Q N = 1300 espiras OBS: cotas em centímetros.

76


l lgura 2-14Ifvsp.:.») I.277N; b) 20V c) 0,02 indutivo

i j ) O circuito magnético da figura 2-15 representa um uintator eletromagnético onde tem-se uma bobina na pnrna central de 750 espiras e uma resistência ôhmica de 'I U, desprezando a relutância magnética do núcleo e a ilhpersão de fluxo magnético, determinar:«) A força eletromagnética instantânea e média <lf.envolvida na peça móvel quando uma tensão alternada dr 270 V é aplicada na bobina e o espaçamento x é de Miinm.I>) Qual seria o valor da tensão contínua a ser aplicada Iara obter a mesma força eletromagnética desenvolvida nn puça móvel?H S : cotas em centímetros.

Joel Rocha Pinto

Figura 2-15R esp .:a) 192 .sen2(w t - 86 ,56°)N ; 96N b)13 ,2Vcc

•<f') Para o circuito da figura 2-16, a mola está desenvolvendo uma força de 100 N para deixar a peça móvel afastada de 0,5cm da peça da fixa. Sabendo que a bobina apresenta 6 . 0 0 0 espiras com uma resistência ôhmica de 2 Q e o material ferromagnético das peças fixa e móvel têm uma permeabilidade relativa de 15.000. Determinar:A corrente contínua necessária para "atracar" a peça móvel com a fixa. Qual seria o valor da tensão contínua a ser aplicada.

78


Nuura 2-16

$) > 0,21 A ; > 0 ,42V

Jfr') () sistema eletromecânico da figura 2-17 apresenta um.» peça fixa e uma móvel. A peça móvel tem um peso ti* l,0N que juntamente com o suporte plástico fixo, (nmprime a mola em di= 18mm. Nessa condição a mola tlrMMivolve uma força de 3,6N (F i= k*d i) sustentando a

móvel conforme ilustra a figura 2-17.A bobina de 1.300 espiras sendo energizada com uma liiiirn te contínua de 2,5A conseguirá fazer com que a (hm.íi móvel atraque na peça fixa?

justificar a resposta calcule a força eletromecânica (Imumvolvida no sistema eletromecânico, sabendo-se que:

M entreferro x vale 4mm.I o espraimento magnético e a relutância no material ■imm.ignético são desprezíveis.I n i onstante k da mola vale 200N/m.

m p.ii.i que a peça móvel atraque na peça fixa a mola v*’i >i ser comprimida em d2 =2 2 mm.

79

Joel Rocha Pinto

OBS: a unidade das cotas está em centímetros.

U P O R T E P L Á S T IC O

P E Ç A M O V E L

P E Ç A F IX A

Figura 2-17R esp .: 20 ,74N

7) O circuito magnético da figura 2-18 é um esquemático de um relé, constituído de duas partes: fixa e móvel. Todas as cotas apresentadas estão em centímetros. O número de espiras da bobina é de 900 e sua resistência ôhmica é de 4 QConsiderando que o núcleo do relé apresenta permeabilidade infinita, não existe dispersão do fluxo

80


magnético ao longo dos enrolamentos e espraimento magnético nos entreferros. Determinar:a) A força eletromecânica desenvolvida na peça móvel para um espaçamento nos entreferros de 3 mm, quando é aplicada uma corrente contínua de 2 A.b) A tensão contínua necessária para desenvolver a força eletromecânica do item a. E qual seria a tensão alternada eficaz para desenvolver uma força média aproximadamente igual a do item a?

Hyura 2-18/><“>/),;

M) V>5,5/V; b) 8Vcc; 639,6Vca

§N) O detroímã da figura 2-19 está sendo alimentado com pinn corrente elétrica que está percorrendo as duas llh lnas ligadas em série. Com essa corrente o núcleo N lomagnético está trabalhando conforme o ponto de

Hcrflçno da sua curva normal de magnetização. As duas MM*' estão espaçadas por um gap de comprimento x, K trm ln ar a força eletromagnética entre as peças quando * ii,1) cm.BÉNItlnrar as unidades das cotas em centímetros e Nx =

- 1 . 0 0 0 espiras.

81

Joel Rocha Pinto

Figura 2-19R esp .: 1 .272,8N

9) O eletroímã da figura 2-20 apresenta geometria retangular e está sendo alimentado com uma corrente elétrica de 5 A que circula pelas duas bobinas ligadas em série, onde Ni =N2= 1.000 espiras. Calcule a força desenvolvida no êmbolo quando x = 10 mm. Desprezar a relutância magnética do material do núcleo e considerar a permeabilidade relativa das placas isoladoras de alumínio igual a 1,0. Todas as cotas apresentadas na figura 2-20 estão em centímetros.

82

5


Figura 2-20H v.p .: 1 .005 ,3 IN

1 0 ) O eletroímã da figura 2 - 2 1 apresenta geometria i lllndrlca e está sendo alimentado com uma corrente • d* Irica de 5 A que circula pelas duas bobinas ligadas em B rle, onde Ni = N2= 1.000 espiras. Calcule a forçatlmi-nvolvida no embolo quando x = 10 mm. Desprezar a iHui.íncia magnética do material do núcleo e considerar a l"'Mneabilidade relativa da luva isoladora de alumínio igual ri 1,0. Todas as cotas apresentadas na figura 2-21 estão fcm ( ontímetros.

83

Joel Rocha Pinto

Figura 2-21R esp .: 994 ,77N

1 1 ) O sistema eletromecânico da figura 2 - 2 2 representa o princípio de funcionamento básico de um solenóide e fora construído com 2 . 0 0 0 espiras enroladas no material de aço silício médio para operar com uma densidade magnética no núcleo de 0,8 Wb/m2. Determinar:a) A força desenvolvida na peça móvel quando o entreferro está com G = 5 mm e operando com tensão contínua.b) Qual o valor da tensão contínua a ser aplicada na bobina, sabendo que a resistência ôhmica da bobina vale 3 n .c) Se a bobina fosse excitada com tensão alternada, qual deveria ser o valor da tensão eficaz para obter a mesma força média equivalente ao do item a.d) A energia magnética total armazenada e a energia magnética armazenada no entreferro quando o entreferro está com G = 5 mm e operando com tensão contínua. Todas as cotas apresentadas na figura 2-22 estão em centímetros.

84


PEÇA FIXA

f N

\ \

...JULL>O§<oLU

A*

MOLAy w w .10

Figura 2-22Hiwp,:í») I .2 7 3 N ; b) 9,6 6 V c) 1 .5 0 5 V d) 6 ,4 2 8 J e 6 ,3 6 6 3

I») 0 dispositivo eletromecânico da figura 2-23 apresenta iiiim geometria cilíndrica e fora construído por dois mntoriais ferromagnéticos diferentes A e B. O material A bresenta uma permeabilidade relativa de 4.000 e o mniiírial B apresenta uma permeabilidade relativa de Í i)()0. Sabe-se que a força de atração entre os dois innlorlais é de 51,02 Kgf para um entreferro de 0,5 cm ÉUrtiido uma corrente contínua de 3A é aplicada na bobina ■p N espiras. Admitindo-se que o entreferro em questão ft|)n o vácuo, qual o número de espiras da bobina N? Considere g = 9,8 m/s2 e todas cotas em centímetros.

85

Joel Rocha Pinto

Figura 2-23R esp .: 1 .125 espiras

13) O circuito da figura 2-24 representa um soienóide de uma válvula automotiva e fora construído com dois tipos de materiais, a peça fixa ( 1 ) é de aço silício médio e a peça móvel é de liga de ferroníquel.Essa válvula opera com um fluxo magnético de projeto no lado da peça móvel de 2mWb.O diâmetro de ambas as peças é de 56,4mm, mas o comprimento médio é diferente, a peça fixa tem um comprimento médio de 2,5cm e a peça móvel tem um comprimento médio de 3 cm. O número de espiras é de 5.500, o que caracteriza uma resistência ôhmica da bobina de 0,3 n .Determinar:a) A força mecânica desenvolvida na peça móvel quando o entreferro está com g = 3 mm e o soienóide é alimentado com tensão contínua.b) Qual o valor da tensão contínua a ser aplicada na bobina, sabendo-se que a resistência ôhmica da bobina vale 0,3 Q.c) Se a bobina fosse excitada com tensão alternada, qual deveria ser o valor da tensão eficaz para obter a mesma força média equivalente ao do item a.

86


D

figura 2-24

$) 1,290,5N; b) 0 ,21V c) 4 .174 ,8V

H ) O circuito magnético da figura 2-25 é um esquemático iU) um relé, constituído de duas partes: fixa e móvel, iodas as cotas apresentadas estão em centímetros.O número de espiras da bobina é de 1 . 0 0 0 e sua Insistência ôhmica é de 4 Q.t tiir.lderando que o núcleo do relé apresenta §#iinoabilidade infinita, não existe dispersão do fluxo Blgnético ao longo dos enrolamentos e espraimento ■mynético nos entreferros. Determinar:■) A lorça eletromecânica desenvolvida na peça móvel {IHm um espaçamento nos entreferros de 3 mm, quando é

S'*" nda uma corrente contínua de 1,5 A.| A tensão contínua necessária para desenvolver a força iMlomecânica do item a. E qual seria a tensão alternada

para desenvolver uma força média iimuun ladamente igual a do item a?

87

Joel Rocha Pinto

Figura 2-25R esp .:a) 5 6 ,7 9N; b) 6Vcc e 85,85Vca

15) O eletroímã da figura 2-26 está sendo alimentado com uma corrente elétrica de 5A. A mola exerce uma força de 50Kgf para manter a peça móvel em uma posição de lOmm da peça fixa. Determinar o número de espiras da bobina do eletroímã. Desprezar a relutância magnética do material do núcleo e considerar todas as cotas apresentadas na figura 2-26 em centímetros.

88


f igura 2-26 i f ip . : 1.117

lf») A figura 2-27 representa um sistema eletromecânico mimposto de duas peças ferromagnéticas, sendo uma fixa " .i outra móvel. Ambas são construídas de um mesmo Minterial que apresenta uma permeabilidade relativa de i DOO. A bobina tem 1.600 espiras e uma resistência

Ahmlca de 6 Q. Admitindo-se que o entreferro seja Conílderado como vácuo e com uma área média de 6 cm2, | u comprimento médio das peças ferromagnéticas vale St» ( m, determinar:1) A força mecânica desenvolvida na peça móvel quando o uniu ferro está com G = 5 mm e operando com uma mu ente contínua de 2A.10 A força mecânica instantânea e média quando é

.ida uma corrente alternada (corrente de Rlgnetização) I(t) = 2,83 sen(377t - 87,58°) A,

í: | | mr.hlerar o mesmo G = 5mm.B 0 valor da tensão contínua para o item (a) e o valor da Bnhftn alternada eficaz para o item (b). ti) <) trabalho mecânico realizado para mover a peça

wflòvel de GiniCiai = 6 mm para Gfinai = lmm quando uma contínua de IA é aplicada na bobina.

89

Joel Rocha Pinto

Figura 2-27R esp .:a) 147 ,26N; b) 294,52 sen2(377t-87 ,58°) c) 12Vcc 284,5Vca d) 0 ,704J

90

vv


3. Conversores Eletromecânicos - Cálculo de Forças e Conjugados

Muitas aplicações de sistemas eletromecânicos consistem da utilização de forças desenvolvidas no sistema para produção de um movimento de translação ou tio um movimento de rotação. É comum denominar esses sistemas que produzem movimento de rotação de tonversores eletromecânicos. A figura 3-1 permite lucilmente verificar que a força desenvolvida na peça móvel produzirá um deslocamento da mesma em função d i sua posição angular em relação à peça fixa. Portanto um conjugado eletromagnético é desenvolvido no sistema.

Por analogia ao sistema eletromecânico da figura I é possível definir o balanço de energia da seguinte

maneira:

Joel Rocha Pinto

Energia Elétrica Liquida

Energia MecânicaTotal

j + (Variação da Energia Magnética)

[3-1]

AWe = Trabalho Mecânico + À Wmag. [3.2]

E sabendo que:Trabalho Mecânico = Tmec = AWmag. [3.3]Pode-se afirmar que:Trabalho Mecânico = rmec = Celetro.d6 = AWmag.

[3 .5]

Assim, tem-se o conjugado eletromagnético desenvolvido no conversor:

Ou, em analogia com a equação 2.23:

Para o conversor eletromecânico da figura 3-1, pode-se obter o conjugado eletromagnético da seguinte forma:

I a Hipótese:Sar = Sperro/ ou seja, não há espraimento de fluxo

magnético.

2a Hipótese:Circuito magnético não saturado:PFerro'> ^ M-ar

[3.7]

92

..


IFerro ^ lar

Ferro = Saj-

Portanto:Ferro ^ ^ < *âr

• Total~* ar

3a Hipótese:Dispersão do fluxo magnético é desprezível.M-o = Par

Voltando na equação 3.7 e sabendo que:N 2

L =01

Pode-se dizer que: L = N \ P Onde:

1

[3.8]

[3.9]

[3.10]P = —

P = é a permeância magnética do circuito, sendo o Inverso da relutância magnética.

HivSubstituindo a equação 3.9 na equação 3.7, tem-

r - 1 -2 j n 2-peletro ndO

N 2.i2 P

e,etro 2 deA relutância magnética total do circuito vale:

[3.11]

01 =L ,

Mar' a[3.12]

Logo, a permeância magnética total do circuito

93

Joel Rocha Pinto

p = M a r - S a ,. [ 3 . 1 3 ]

Para uma posição qualquer de x na figura 3-1, em seu dx, tem-se:

tdX r . . - 1dP = H ,.- — [3 .14]x.O

Para se obter as permeâncias dos entreferros na figura 3-1 e necessário fazer:

P = jd P [3.15]

No entreferro superior a permeância Pi 2 é:

p = ? / V dx12 J e ' x

X\

P12 = •[ln X2 ln ] [3.16]6

12 e %,Analogamente, no entreferro inferior, a permeância

P34 é:

PM = ik £ . in £ t [3.17](9 x3

No circuito magnético, sabe-se que:

* W = * l2 + *3 4 t3-18]1 1 1+ — [3.19]

? P Pr Total 12 34

P PPr , , = 1-2‘ -34- [3.20]roto/ p p

12 ^ 34

Substituindo as equações 3.16 e 3.17 na equação 3.20, tem-se:

94


P =1 Total

f mJ ' fl o - ,

Í mJ )f

e J V

i , r T' .b v-X , X 3 7

ln — + ln —X, X 3

Total

ln — .ln — ^

[3.21]

\V x, X 3 7

lní \x0 x.V X) *3 7

O termo K, a seguir, é uma constante em função l i * i «iracterísticas físicas do circuito magnético:

( x r N ln — .ln —

VX , X

^ X-, X . ^[3.22]

lnV X , * 3 7

Assim, a permeância total do circuito fica K

P -1 Total 0[3.23]

Substituindo a equação 3.23 na equação 3.11,iii

2 - 2

1'lctroN À

.d—2 de

(

'ortanto:- K .N 2.i2

flctro 2.0

N \ i2 d_(K^ 2 ’ dOyO j

[3.24]

[3.25]

'•c o conversor eletromecânico da figura 3-1 é ■II mio com tensão contínua, o comportamento do

ShjUiH-lo eletromagnético desenvolvido ficará em função Hfidrado da posição angular 9, uma vez que a corrente

95

BPPWWBWIIBIWlinwnBwnwTiiwiiiii .. ..

Joel Rocha Pinto

elétrica em regime permanente depende apenas da resistência ôhmica dos enrolamentos. Este comportamento está sendo representado na figura 3-2.

Figura 3-2: Comportamento do conjugadoeletromagnético desenvolvido em função do ângulo 0 .

3.1 Conversor Eletromecânico Excitado comCorrente Alternada

Caso o conversor eletromecânico da figura 3-1 seja excitado com tensão alternada, de modo que a corrente elétrica na bobina seja:

/ ( ') = r««-.-COSHVO conjugado eletromagnético desenvolvido pode

ser expresso, tal que:

c - « ( f ) = — [ 3 ' 2 7 ]

Para esse conversor então, o conjugado eletromagnético instantâneo, fica:

= ~ K 'N2 gl MÀX -eos2 wt [3.28]

Para um determinado 0 constante é possível escrever:

96


eletro ( 0 MÁX.' [3.29]O valor médio do conjugado eletromagnético é

cinflnldo por:

A figura 3-3 apresenta o comportamento do "•niugado eletromagnético instantâneo do conversor.

Nyura 3-3: Comportamento do conjugadoflHmiriagnético instantâneo.

Em corrente alternada, a corrente elétrica que «iin. rnta a bobina depende da tensão alternada aplicada e l | Impedância do circuito, ou seja:

Onde:f XL = wL = reatância indutiva

Conforme a equação 3.8, tem-se a dependência da lulAncia do circuito pela posição angular do entreferro

[3.30]

Assim:

C ■MAX. [3.31]2.0,2

c .MED IO [3.32]2

t nlotro(t)

t

[3.33]

*nndo:

97

Joel Rocha Pinto

[3.34]

Dessa forma, a corrente elétrica é proporcional à posição angular 9. O gráfico da figura 3-4 apresenta o comportamento da corrente elétrica da bobina do conversor eletromecânico da figura 3-1, para os movimentos de abertura e fechamento do entreferro, sendo a bobina energizada com uma tensão alternada constante.

Conjugado

ÍCA aTransitório de Abertura

Transitório de Fecham ento

0

O0 2 > 0 I t

Figura 3-4: Representação da corrente elétrica para os transitórios de abertura e fechamento do entreferro.


1.2 Balanço de Energia nos i letromecânicos com Dupla Excitação

Conversores

A lei da conservação de energia pode ser aplicada nos conversores eletromecânicos das figuras 3-5, 3-6 ou l /. Percebe nas figuras mencionadas o fluxo de energia mpresentado para o conversor eletromecânico operando tomo motor elétrico, gerador elétrico e na condição de fionagem, que poderá ser regenerativa, se a fonte elétrica moitar o retorno de energia, ou simplesmente pode ser um freio dissipativo, com introdução de energia elétrica e mocânica.

PerdasElétricas

PerdasMecânicas

Aw magnética Aw mecânica a w elétrica armazenada armazenada armazenada

Ngura 3-5: Fluxo de energia para um motor elétrico.

PerdasElétricas

PerdasMecânicas

Aw magnética Aw mecânica Aw elétrica armazenada armazenada armazenada

hdtirn 3-6: Fluxo de energia para um gerador elétrico.

Joel Rocha Pinto

Perdas PerdasElétricas Mecânicas

Aw magnética Aw mecânica Aw elétrica armazenada armazenada armazenada

Figura 3-7: Fluxo de energia para um freio.

Para análise do balanço de energia, será utilizado o conversor eletromecânico na condição de frenagem. Sendo que essa análise serve para as condições de motor e gerador. Será convencionado que a energia elétrica ou mecânica introduzida no conversor como positiva e a energia retirada como sendo negativa.

Para o entendimento da análise, considera-se o conversor eletromecânico na condição de frenagem apresentado na figura 3-7 como um conversor genérico com dois enrolamentos, conforme a figura 3-8.

Parte Fixa

Celetro, Wr

P a r t e M ó v e l

Figura 3-8 : Conversor genérico com dois enrolamentos

100


Dessa forma, tem-se:I inrgia Elétrica Introduzida no i nnversor

Energia Mecânica ' Introduzida no Conversor

Variação da Energia Magnética armazenada no acoplamento )

í Energia Perdida na forma de Calor )

[3.35]

Wintro. + EM intro. = àWmag + Perdas Mecânicas + Perdas Elétricas[3.36]

Em um intervalo de tempo dt, tem-se o seguinte Uilanço de energia:1M W + d E M m ,o . = dWmag + dPerdasMecãnicas + dPerdasElélrlcas

[3.37]

Isolando os diferenciais de energia mecânica, fica:•/; r i„in, ~ dPerdasmricas - dWmag = -dEM lnlr0 + dPerdasMecãnicas

[3.38]

" d P e r d a S Elétricas ~ dWtflüg = d E M mtrada + dPerdaSMecânicas

i„n . - dP erdasmricas - dW m ag = dE M TOTAL

[3.39]

[3.40]

S »»terminando o diferencial da energia elétrica

111C) ÓUZida (dEEintroc)uzida) *d E E huro. = E E létrica lntro. [ 3 - 4 1 ]

[3.42]P,Elétrica In tro. = V , + v, i2 U2

Joel Rocha Pinto

Assim Vi e v2 ficam:_ d l . d L , , dL . dM

V , = K .1, + L b Z . ------------b M — — + l 7 -----------1 1 1 1 dt ' dt dt 2 dt

r dL . dL, . . d l . dMv 9 — r 9 .z? + L-, — — + z9------------------ b M ------- b z,-----------2 2 2 2 dt 2 dt dt 1 dt

[3.45]

[3.46]

Através das equações 3.42, 3.45 e 3.46, têm-se:d E E i n (r 0 — P E lé tr ic a In tro.

d E E i n tro. = v[.i].dt + v2.i2.dt

dEE In tro._ d l . dL, . . din . dM

r, .z, + L — - + z, — 1 -b M —2- + z9 ----dt dt dt “ dtí i 1 -‘-i .dt +

r dL . dL, . , di, . dM 'r 9 .Z9 + L , b z9 b M b z . ----------2 2 - dt 2 dt dt 1 dt

L .dt

[3.47]

Portanto:dEE,ntro = (r , ,/,2 + r2.1 )dt + ( l , i , + Mi2 ).di{ + ( í , 2 ,i2 + M , ) t / / 2 + z 2 .dL + z2 ,e /L 2 + 2 .z , .z2 ,</A/

[3.48]

Na equação 3.48, o primeiro termo da equação representa as perdas elétricas, ou seja:

dPerdas Elétricas = ( r , . z , 2 + r 2 . z * ) d f [3.49]

Determinando o diferencial da energia magnética (dW mag.):

Quando se têm dois circuitos elétricos, cada um com indutância própria U e L2 e com uma mútua entre eles, a energia magnética armazenada é dada por:

^ m a g n é tic a = ^ E \ ,Z'l ^ 2 ‘*2 + '*2 [3.50]

102

Assim, o diferencial da energia magnética fica:

dWmag = — (z,2 ALX + 2.1, Ai, ) + ^ (z2 AL2 +2.L2 ,i2 .di2) + /, ,i2 AM + M.z, Ai2 + M.i2 Ai]

[3.51]

Substituindo as equações 3.48, 3.49 e 3.51 na equação 3.40, tem-se:ílEE Inlro_-dPerdasElétricas - dWmag = dEMT0TAL

( / ' , + y2 .i2 j.dt + (A ,./, + Mi2 )Ai] + (z.2 -i-> “t Mi\ )Ai2 + z2 AL + i2 AL2 + 2./, .i2 AM

- (z,.if + r2.i2 }dt


d l .M T0TAL

T0TAL — z, ALX + z2 AL2 + z, .z2 AM

[3.52]

Agora é possível obter as equações da força eletromagnética desenvolvida Fe e do conjugado eletromagnético desenvolvido C E ie t ro.-

Sabendo-se que o trabalho mecânico ou energia mecânica total no conversor eletromecânico é o produto tln força desenvolvida Fe na direção dx, para um movimento de translação no conversor, que decorre num Intervalo de tempo dt, ou do produto do conjugado rlHiomagnético desenvolvido C E ie tro. pelo deslocamento angular, para um movimento de rotação do conversor.

Assim, para um movimento de translação no■pnvcrsor, tem-se:

dEM T0TAL - F e.dx [3.53]

F — d E M total

dx [3.54]1 .2 , A 1 .2 , L 2 . . , M

r , = — i, .d — + — u .d — + l .i0 .d —e 2 1 dx 2 2 dx 1 2 dx

103

Joel Rocha Pinto

Para um movimento de rotação no conversor, tem-se:

A equação 3.56 é extremamente importante sob o aspecto qualitativo, para o entendimento e compreensão do comportamento dos diferentes conversores eletromecânicos.

Alguns conversores eletromecânicos apresentam o primeiro termo apenas, da equação 3.56; são os conversores ou máquinas elétricas com conjugado de relutância.

Outros conversores apresentam apenas o último termo da equação 3.56, que se denomina conjugado de mútua indutância.

Existem também, conversores que apresentam o primeiro termo e o último termo da equação 3.56, são conversores que desenvolvem conjugados de relutância e mútua indutância concomitantemente.

Na prática é difícil encontrar nos conversoreseletromecânicos a variação das duas indutâncias próprias.

A seguir, alguns exemplos de conversoreseletromecânicos são apresentados de forma esquemática com os seus tipos de conjugados eletromecânicosdesenvolvidos.

A - Coniuaado de RelutânciaO conjugado de relutância ocorre em sistemas de

excitação simples e devido à variação da indutância do circuito.

A figura 3-9 apresenta o esquemático de um motor com o estator de imã permanente e rotor bobinado de pólos salientes. É possível verificar que a posição do rotor

[3.56]

[3.55]

104


pin relação ao estator altera a relutância dos entreferros, mnsequentemente tem-se uma variação da indutância do ilicuito em relação à posição angular 0 do rotor. Dessa forma o conversor apresenta um conjugado de relutância.

_ ,1 E M totalE letro ~ U J r ,

d0 [3.57]C ~ U d ^ -E letro ~ M ' u , n2 du

'yura 3-9: Esquemático de um conversor de relutância.

Também pode-se ter um conversor de relutância, ndo o rotor de imã permanente e o estator bobinado, níorme o esquemático da figura 3-10.

Ejxo Direto

105

Eixo de quadratura

Joel Rocha Pinto

Figura 3-10 : Esquemático de um conversor de relutância com rotor de imã permanente.

Na figura 3-11, tem-se o esquemático de um motor de passo, que apresenta conjugado de relutância.

Figura 3-11 : Esquemático de um motor de passo.


Na figura 3-12, tem-se o esquemático de uma máquina de corrente contínua com estator de imã primanente e rotor bobinado de pólos salientes.

ili* 1'ôlus Salientes

Igura 3-12: Máquina de corrente Imã permanente e rotor bobinado

contínua com estator de pólos salientes.

B - Coniuaado de Mútua IndutânciaOcorre em conversores eletromecânicos que têm

i excitação, de tal forma que ocorra apenas a vminção da mútua indutância, ou seja, a variação de nnplamento magnético entre as duas excitações. Não unuio a variação das indutâncias próprias das bobinas em fuinjio da posição angular do rotor. Assim, o conversor

romecânico tem um conjugado de mútua indutância.I P _ J E M to ta l

EI etro ~ Uw t3-58^

r - j i r!Eletro ~ l \ J 2- a , ndeA figura 3-13 apresenta uma máquina elétrica com

...mi cilíndrico ou pólos lisos. É possível verificar que o Iflliníerro entre o estator e o rotor permanecerá sempre

m.i.mte, independentemente da posição angular 0 do Iftn. Dessa forma apenas a interação magnética entre as i|)ln«is do estator e as bobinas do rotor, no caso de rotor ibln.ido ou rotor curto-circuitado (gaiola de esquilo), é

| hofre variação.

107

Joel Rocha Pinto

Figura 3-13 : Máquina elétrica com rotor cilíndrico.

C - Coniuaado de Relutância e de Mútua Indutância Concomitantemente

Aqueles em que, além do conjugado devido àvariação da mútua indutância entre os dois circuitos de excitação, existe também conjugado de variação da indutância própria (conjugado de relutância) dos doiscircuitos, ou de um deles apenas.

_ ,/ E M t o t a l E letro ~ U

CW [3.59]^ - 1 -2 A k • • A M

c eioto ~ 2 l]Âde vh de

A figura 3-14 apresenta o esquemático de uma máquina síncrona de pólos salientes. É possível verificar que o entreferro entre o estator e o rotor pode variar em relação às posições fixas das espiras do enrolamento do estator.

108


R O T O R e s t a t o r

Ngura 3-14 : Representação esquemática da máquina ilncrona de pólos salientes.

.3 Exercícios

) Dois enrolamentos, um montado sobre o estator (U ) e outro sobre o rotor de pólos lisos (l_2), têm as seguintes

iiulutâncias próprias e mútuas:Li b A L2 = A L12 = B.senôOnde 0 é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As pllstências dos enrolamentos podem ser 11»-. prezadas. Determine:§ 0 O conjugado desenvolvido quando ii = i2 = i0.

: b) O conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando 1 , ( 0 = i2 (t) = Imáx sen wt.

É ) 0 conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando ■Ij(t) Imáx sen wt e i2 =0 .nil) 0 conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando

MD = Imáx sen wt e L2 está curto-circuitada.| ) i omente e explique os diferentes tipos de conjugados

l j | l ir os conversores eletromecânicos podem apresentar.

109

Joel Rocha Pinto

R esp .:a) B I02cos9 b ) B . Imáx2.cos 9. sen2wt c)zero d)B2. Imáx2-sen 6. cos 9. sen2 wt

2) Dois enrolamentos, um montado sobre o estator (U ) e o outro sobre o rotor de pólos lisos (L2), têm as seguintes indutâncias próprias e mútuas:Li = 35 mH L2 = 15 mH L12 = 2.sen0Calcule:a) O conjugado desenvolvido quando l i = I 2 = 5 A.b) O conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando Ii(t)= I2 (t) — 7,07 sen wt.c) O conjugado desenvolvido quando Ii(t)= 5 cos wt e I 2 = 0 .d) O conjugado desenvolvido quando Ii(t ) = 5 cos wt e L2 está curto-circuitada.

R esp .:a) 0r05cosG b )0 ,l.co s6 .sen 2wt c)zero

3) A figura 3-15 mostra o esquema de um motor, onde:Li = B.cosG L2 = C M = A.senOSendo 0 o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas. Determine:a) O conjugado desenvolvido quando ii = i2 = i0.b) O conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando ii(t) = i2 (t) = Imáx sen wt.c) O conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando ii(t) = Imáx sen wt e i2 =0.d) O conjugado desenvolvido instantâneo e médio quando ii(t) = Imáx sen wt e L2 está curto-circuitada.

110


Figura 3-15

f\) Um eletroímã, como o da figura 3-16, é ligado, Minntendo-se o entreferro constante e igual a 2 mm «li.ivés da força externa da mola. Desprezando a h»lut;ância magnética do núcleo e sabendo que Ni~N2=I\I3 =N4=100 espiras, as resistências ôhmicas das iinas também são iguais e valem 0,05Q; a = b = 2cm,|illniiha:

A i('Iutância magnética do circuito.Uuando alimenta-se a bobina Ni com uma tensão

Hilinua de 0,1V, qual é o valor da indutância do circuito qunl o valor da força eletromagnética desenvolvida na

móvel?I Mundo a bobina Ni em série com a bobina N2, o

Multo é então alimentado com uma tensão contínua de I V , qual é o valor da indutância equivalente do circuito e

| húmuro de espiras equivalente dessa ligação; qual o liii da força eletromagnética desenvolvida na peça}vel ?Ugnudo a bobina Ni em paralelo com a bobina N2, o

li> ó então alimentado com uma tensão contínua de 11V, qual é o valor da indutância equivalente do circuito e

Joel Rocha Pinto

o numero de espiras equivalente dessa ligação; qual o valor da força eletromagnética desenvolvida na peça móvel?e) Ligando as bobinas Ni, N2, N3 e N4 em série, o circuito é então alimentado com uma tensão contínua de 0,4V, qual é o valor da indutância equivalente do circuito e o número de espiras equivalente dessa ligação; qual o valor da força eletromagnética desenvolvida na peça móvel?f) Ligando as quatro bobinas em paralelo, o circuito é então alimentado com uma tensão contínua de 0,1V, qual é o valor da indutância equivalente do circuito e o número de espiras equivalente dessa ligação; qual o valor da força eletromagnética desenvolvida na peça móvel?

Figura 3-16R e sp .:a) 3 ,9 8 .1 06A/Wb b) 2 ,5m H ; 2,5N c)10m H; 200 ; 10N d) 2 ,5m ll; 100; 10N e) 40m H .; 400 ; 40N f) 2 ,5m H; 100; 40N


5) Na figura 3-17, as duas bobinas são ligadas eletricamente em sériç, uma está alojada no estator fixo e a outra no rotor móvel. As indutâncias próprias é mutua valem:Li = 0 , 2 m H L 2 = 0 , l m H M = 0 , 0 5 . 0 0 5 0 m HOnde 0 é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos podem ser desprezadas.As duas bobinas são percorridas por uma correntesenoidal i(t) = 5*V 2sen wt.Calcular o conjugado instantâneo desenvolvido e o conjugado médio em função de ©.

B o b in aM ó v e

B o b in a jj F ix a *

luura 3-17

P.,1 2 ,5 .10'3 senô.sen2wt

0 sistema eletromecânico da figura 3-15 representa o nnático de uma máquina elétrica, onde Lx é a

lÉUlrtncia do estator e L2 a indutância do rotor. Essa w |tiln .i pode operar como motor ou gerador. iN n condição de gerador, o rotor é acionado por uma

mecânica com velocidade de 3.000 RPM. Determine frequência da tensão gerada nos terminais do estator,

bm ili) se que o indutor está energizado com uma ■filr contínua e o estator tem 2 pólos magnéticos.N.< i nndição de motor, o estator é alimentado com uma

frwuic 11(t) = 3 .cos wt (A) e o rotor não é alimentado.

>

Sendo:Li = 5O.sen0 (mH) ;L 2 = 50 (mH) e l 12 = 25.sen0 (mH), Determine a expressão do conjugado eletromecânico desenvolvido instantâneo e médio,c) Apresente um exemplo de máquina que tem um comportamento semelhante ao do exercício.

R esp .:a) 50Hz b )0 ,225cos0 .cos2wt

Joel Rocha Pinto

114


4. Transformadores

O transformador estático não é exatamente um dl*.positivo de conversão eletromecânica de energia, mas é um componente extremamente importante para muitos si*.temas de conversão de energia, permitindo efetuar a li.msferência de energia entre dois estágios de potência • mi de sinal.

O estudo de transformadores é muito útil em função de sua gama de aplicações e também por permitir unia analogia para a compreensão da operação e funcionamento das máquinas elétricas.

Evidentemente que o estudo sobre Imnsformadores deveria ser muito mais aprofundado no

jpiiiu tange aos seus aspectos de projeto e construção, mas Mu momento o enfoque do estudo será direcionado aos aspectos básicos de funcionamento e operação dos n-nr,formadores de potência.

Os transformadores têm como funções: i hular eletricamente dois circuitos;

n|ustar a tensão de saída de um estágio do sistema à «MmwmÍo de entrada do estágio seguinte;

| u|ustar a impedância do estágio seguinte à impedância p n estágio anterior (casamento de impedâncias).

E podem ser classificados conforme suas w }!lt ações:

| Jiflm.formadores de Potência:- Força- Distribuição

If ia n s formadores de Instrumentação:Medição (TP 's e TC 's)Proteção (T P 's e T C 's )

||t fllib íormadores de Baixa Potência:EletrônicaComando

115

Joel Rocha Pinto

Transformadores de Força são aqueles que energizados ou em operação trabalham ao longo do tempo, próximo à condição de carga nominal. Isto acontece nas áreas de geração e transmissão.

Transformadores de Distribuição permanecem 24 horas por dia ligado ao sistema independentemente de estarem com carga ou não. Este fato faz com que o rendimento máximo da máquina para os transformadores de força aconteça próximo ao ponto nominal enquanto para os transformadores de distribuição em torno de 0,5 a 0,7 do ponto nominal de operação.

Aspectos de Construção:Um transformador é constituído por dois ou mais

enrolamentos que são conectados por um fluxo magnético mútuo (<})m.) O enrolamento que é ligado à fonte de tensão alternada é denominado de primário e o enrolamento que se conecta a uma determinada carga é denominado de secundário. Em sistemas de potência essa dominação não é muito útil, uma vez que podem ocorrer conexões de transformadores com outros transformadores e geradores e adotar primário ou secundário para os mesmos, dependerá do fluxo de potência, daí é normal adotar simplesmente lado da Alta Tensão (A .T .) e lado da Baixa de Tensão (B .T .).

A figura 4-1 apresenta o esquemático de um transformador monofásico com dois enrolamentos.

Ni N2

Figura 4-1 : Esquemático de um transformadormonofásico com dois enrolamentos.

115


O material normalmente empregado na construção do núcleo dos transformadores de potência são chapas de .iço-silício de grão orientado, que apresentam ciclo de histerese estreito e consequentemente baixa perda por histerese. O silício contribui para elevar a resistividade das i hapas, dificultando a circulação das correntes parasitas. iMra isolar as perdas devido às correntes parasitas, as i hapas são isoladas umas das outra normalmente com vtirniz isolante.

Quanto à forma do núcleo e a disposição dos • 'iirolamentos, os transformadores podem ser classificados tim:

Núcleo Envolvido ou Nuclear:Transformador cujo núcleo é constituído por

colunas interligadas e todas elas atravessando as bobinas ilos enrolamentos.

Núcleo Encouraçado ou Envolvente:Transformador cujo núcleo é constituído por

"ilunas interligadas, onde algumas não atravessam as bobinas dos enrolamentos.

Perna

Culatra

gura 4-2: Transformador monofásico com núcleo vnlvido ou nuclear.

117

Joel Rocha Pinto

Figura 4-3: Transformador monofásico com núcleo encouraçado ou envolvente.

Figura 4-4: Transformador trifásico com núcleo envolvido ou nuclear.

F ig u ra 4-5 : Transformador trifásico com núcleoencouraçado ou envolvente.

118


4.1 Transformador Ideal

É um transformador teórico onde considera-se:O núcleo não apresenta perdas (perdas Foucault e

Histeréticas), a permeabilidade magnética do núcleo tende <>o infinito, portanto a relutância magnética do núcleo é /ero.

Não apresenta perdas Joule nos enrolamentos (Pjouie=R-I2)/ a resistência ôhmica dos enrolamentos é nula.

Não tem fluxo magnético de dispersão ao longo dos onrolamentos, o fluxo mútuo entre os enrolamentos é lotai.

Nt N2

JMyura 4-6: Transformador ideal, sem carga.

Na figura 4-6 tem-se:

(j) | 2 =fluxo magnético produzido no enrolamento 1

f« ia ( oncatena com o enrolamento 2 .Para o transformador sem carga ou em vazio, o

•o mútuo

Sabendo que a tensão alternada V\ tem um i|">it.imento senoidal, o fluxo mútuo também terá um pottflinento senoidal. Por hipótese, considera-se:

119

Joel Rocha Pinto

^ J 0 = ^«ix-C oswt [4.1]Conforme a lei de Faraday, o fluxo magnético

variando no tempo induz no enrolamento Ni a tensão e 'i(t) e no enrolamento N2 a tensão e'2 (t). Assim:

e\ (t) = .d [4.2]dt

e ' ( f ) = -A , d hm á£L [4 .3 ]2 2 dt

e \ ( t )~ —N t .d = -N , .d ^ ' °°S Wt [4.4]dt dt

e' (0 = -N 2 .d = ^ d •cos wt [ 4 5 ]dt ~ dt

Portanto:é , (0 = iV, 4mx.-w-senwt [4.6]

e 2 (0 = ^2' Máx. .w .senw t [4.7]Então, têm-se as equações 4.6 e 4.7 das tensões

induzidas instantâneas nos enrolamentos Ni e N2/ respectivamente.

Os valores máximos das tensões induzidas nos enrolamentos são:

E lm, = [4.8|

E 2MU= N 24 Máx.w [4.9|

E os valores eficazes das tensões induzidas nos enrolamentos são:

E 'm , _ N 1 4 u t a - W _ ^1 4 Má,

[4.10]

E = = - 1 - '-L. £- = 4 4 4 . f.N l ,<PMáxE*°! d l d l d l W'

E = E lp - = = =>e 2 = 4 ,4 4 . / . W 2 ,^ v/riv2£/“ - d í d l d l

[4 .1 I|Fazendo a divisão da equação 4.10 pela equaçfit}

4.11, tem-se:

120


^ 4,44 ./.N i ^ úx. E lvm N:

Como V i= E1Eficaz e V2 =E2Efica2 para o transformador ideal, portanto a relação de transformação de tensão do tiansformador (a ) fica:

V N= ^ = a [4.13]

V2 N 2Quando uma carga qualquer é conectada no

snrolamento N2espiras, conforme a figura 4-7, a tensão ©

Induzida Vi aplicada à carga faz circular no secundário©

uma corrente h , que produz um fluxo magnético ^21,

Iwidendo a anular o fluxo mútuo ^M. O fluxo magnéticoIJi

1 e produzido no enrolamento 2 e que se concatena k m o enrolamento 1 , é chamado de contra-fluxo.

o

Assim, o fluxo magnético ^M, será:• o •

| ~ $ 2 \ [ 4 - 1 4 ]

Observe que fora utilizada a notação vetorial para M n li a equação do fluxo mútuo, que corresponde ao

p t i magnético ^ menos o contra-fluxo 21. O contra-• o

Mn tende a diminuir o fluxo mútuo ^M, mas como a ©

|ftn aplicada V\ é mantida constante, aparece um i da força magnetomotriz no enrolamento primário ma de corrente elétrica, sentida pela fonte quando a

| Z v conectada ao secundário. Essa corrente de a é a I'2, ou seja, corrente no secundário refletida d primário, exatamente a parcela da corrente que a

Joel Rocha Pinto

fonte deve adicionar no enrolamento primário para garantir um fluxo mútuo constante.

Ni N2

Figura 4-7: Transformador ideal, com carga.

Fazendo um circuito elétrico equivalente do transformador ideal da figura 4-7, tem-se o esquema da figura 4-8.

Rn=0 ■MMr

F 1 = N 1.11 F 2 = N 2 . I 2

Figura 4-8: Circuito elétrico análogo do transformadoi ideal.

Utilizando a lei de Kirchhoff no circuito elétrico análogo do transformador ideal da figura 4-8, tem-se:

TVjJ, - N 2J 2 =0=>N1J 1 = N 2.I2 [4 .1 S |Portanto:

n 2 /,a [4 .1(i

fica:A relação de transformação do transformador («)

122


[4.17a]

Também pode-se dizer que para o transformador Ideal, o rendimento é de 100%, ou seja, não apresenta perdas (Pi = P2).

Polaridade Magnética:Analisando o circuito elétrico da figura 4-8 é

possível notar que a força magnetomotriz 3 2 =N2 . I 2 écontrária à variação do fluxo magnético produzido pelo enrolamento Ni. Os sentidos das forças magnetomotrizes no*, enrolamentos dependem da polaridade dos mesmos. 0*1 pontos (•) na figura 4-7, indicam a marcação da polaridade dos terminais dos enrolamentos, ou seja, indicam quais são os terminais positivo e negativo em tloterminado instante nos enrolamentos primário e*»m undário.

A polaridade dos transformadores dependefoml.imentalmente de como são enroladas as espiras do Piln íárlo e secundário, que podem ter sentidos

|$n< ordantes ou discordantes. É uma característica

Kianclalmente importante para a ligação de informadores trifásicos e sua operação em paralelo.

A convenção corrente-fluxo magnético adotada é ■Itnmtada na figura 4-9.

4 - 9 : Representação da polaridade magnética em|inhln,i.

123

Joel Rocha Pinto

Duas bobinas para produzir fluxos magnéticos concordantes têm que ter polaridades concordantes, conforme a figura 4-10.

Ni

N2

Figura 4 -10 : Duas bobinas com polaridadesconcordantes.

Reflexão de Im pedância:O transformador ideal apresentado na figura 4-7

permitiu verificar as relações de transformação de corrente do transformador quando a carga Z é conectada ao secundário e a fonte de tensão Vi impõe um acréscimo de corrente^ no primário para garantir fluxo mútuo constante. É evidente que essa relação de carga e acréscimo de corrente não é infinita para o transformador real, devido às perdas no núcleo, enrolamentos e saturação magnética no núcleo, mas por enquanto será verificado apenas a reflexão da impedância da carga para a fonte, ou seja, qual é o efeito da impedância Z, sentida pela fonte Vi.

Pode-se dizer que refletir ou referir uma impedância para o outro lado do transformador, significa

124

determinar o valor da impedância que conectada no outro lado faria o mesmo efeito.

A figura 4-11 apresenta a impedância Z conectada no enrolamento secundário e a impedância Z ' que é a impedância refletida para o enrolamento primário.


I'ig ura 4-11: Representação da reflexão de impedância.

Considerando que:

Z = — [4.18]L

Z'=%- [4.19]A

E sabendo que:V I N= = L = a [4.17b]V2 I,n 2

Tem-se:

125

Joel Rocha Pinto

7 , _ ü = a fLh~ y

/a9 V,Z'~ a [4.20]

/1 2

Z ' = t f 2 . Z

Essa relação implica que os transformadores podem servir como dispositivos para acoplamento de impedâncias de modo a prover a máxima transferência de potência de um circuito a outro.

A figura 4-12 apresentaagora, a impedância Z conectada no enrolamento primário e a impedância Z ' ' é a impedância refletida para o enrolamento secundário.

F igura 4-12 : Representação da reflexão de impedância do primário para o secundário.

Sabendo que:V

Z = - 1 [ 4 . 2 I |

E

126


[4.22]

Substituindo a equação 4.17 na equação 4.22, tem-se:

Analisando as equações 4.20 e 4.23, pode-se dizeri|ue:

- Para refletir uma impedância do secundário para o primário, basta multiplicar por a2.

- Para refletir uma impedância do primário para o M’< undário, basta dividir por a2.

Em sistemas de potência é comum a utilização de vnilos transformadores que fazem o ajuste de tensão dos tílversos estágios, o fluxo de energia no sistema pode Hllerar em função das cargas e das fontes geradoras. Para ftfletir as cargas para um dos lados do transformador, Wllll/a-se uma notação prática, tal que:

^ r e f le t id a ~ ® A s e r r e f le tid a [ 4 - 2 4 ]

Onde a é definido como:

Essa notação prática para refletir impedância é pulln útil para o modelamento de sistemas de potência, ■ l* é Importante salientar que essa relação a definida na

.1 0 4.25 vale apenas para reflexão de impedância. tomo exemplo, pode-se considerar o seguinte

■ffliformador:

vZ "= —

I 2 a./,

[4.23]

a = -------------- i-----Lado onde es toa

Lado que eu quero ir[4.25]

127

Joel Rocha Pinto

-Transformador monofásico 6.000/220VNormalmente os lados dos transformadores de

potência são denominados de A.T. (alta tensão) e B.T. (baixa tensão), assim:

Lado de 6.000V = A.T.Lado de 220V = B.T.Uma impedância Z = 2,0 Q conectada no lado da

B.T. pode ser refletida para o lado da A.T. como:

^ A .T . = a B .T .

Z , x = ® -2,0=>Zat.= 1 . 4 8 7 , 6 0

A mesma impedância Z = 2,0 a agora é conectada no lado da A.T. e pode ser refletida para o lado da B.T. como:

Z B . T . = a A .T .

7 -B .T .r 220 V

6000.2,0 =>Z4T = 0,0027a

4.2 Transformador Real

As equações apresentadas no tópico 4.1 são de extrema utilidade prática para o estudo do transformador real, embora tenha sido adotado o modelo ideal detransformador. Mas para o estudo da teoria dotransformador, deve-se levar em consideração os efeitos das resistências dos enrolamentos, o fluxo magnético dc dispersão, as perdas histeréticas e de Foucault no núcleo o a necessidade da existência de uma força magnetomotriz aplicada no primário para o estabelecimento do fluxo mútuo. Para altas tensões, altas frequências e transitório*, é necessário ainda considerar as capacitâncias dosenrolamentos, cujo enfoque não será abordado, por ora, nesse trabalho.

128

Representação das Resistências dos Enrolamentos:

A figura 4-13 apresenta o modelo do transformador Ideal com a inserção das resistências ôhmicas dos enrolamentos.


Ilfl ura 4-13 : Representação das resistências ôhmicas dos enrolamentos primário e secundário.

Onde:Ri = resistência do enrolamento primário;R2 = resistência do enrolamento secundário.

Representação do fluxo maanético de Mlauersão nos enrolamentos:

As figuras 4-14 e 4-15 permitem verificar o HMuportamento do fluxo magnético que se dispersa ao longo dos enrolamentos. Na figura 4-14, praticamente i)CJ» o fluxo magnético produzido no enrolamento primário, se concatena com o enrolamento secundário, no Bptnnto há um pequeno fluxo magnético que se dispersa p ) longo do enrolamento primário.

129

Joel Rocha Pinto

Ni ,(,12 N2

Figura 4-14 : Representação do fluxo de dispersão ao longo do enrolamento primário.

Onde:

y \ -y \ 2 -= fluxo magnético produzido pelo enrolamento primário que se concatena com o enrolamento secundário; também é o fluxo mútuo para essa condição.

9

= fluxo magnético que se dispersa ao longo do enrolamento primário.

O © 9

= $ 2 + ^ /i= fluxo magnético produzido peloenrolamento primário que se concatena com o enrolamento primário.

9

Na figura 4-15, a tensão aplicada V2 à carga, fa/

circular no secundário a corrente / 2 ^ 0 , que produz um «

fluxo magnético ™ tendendo a anular o fluxo magnético

12

Parte do fluxo magnético ^ se concatena com o primário e parte se dispersa ao longo do enrolamenlo

130


secundário. Para' que o fluxo mútuo permaneça constante, surge um reforço da força magnetomotriz no primário em função da carga inserida. O fluxo magnético

de dispersão no enrolamento primário ^ c/1 também aumenta.

N j cj)12 Ui

Figura 4-15 : Representação do fluxo de dispersão nos enrolamentos primário e secundário.

Onde:

l2= fluxo magnético produzido pelo enrolamento Mmário que se concatena com o enrolamento secundário.

™ = fluxo magnético que se dispersa ao longo do iintnlamento primário.

;= fluxo magnético produzido pelo enrolamento

secundário que se concatena com o enrolamento primário.

^ ,/2 = fluxo magnético que se dispersa ao longo do ihil.unento secundário.

Assim, tem-se o fluxo magnético em cada ilnl.imento:

i/>\ (f)\2+<f>di +<f>:2 ! [4.26]

131

Joel Rocha Pinto

4*2 4d 2~ >r 4*\i [ 4 - 2 7 ]

Sabendo que o fluxo magnético mútuo para essa condição é:

4*M ~ 4\ 2 4*21Portanto:

e o o

4>\ =4>m+4>cü

[4.28]

[4.29]

4*2 = 4>M+4>d2 t4 -3 °]De acordo com a lei de Faraday, o fluxo magnético

variável nos enrolamentos produzirão tensões induzidas, tal que:

e, = N ,.d ^ - = N ,.d 1 1 dt 1

è , = N 1. d ^ = N ,.d dt

4>m+4><d 1dt

= N ,.d<tàL + N ,.dÍtL [4.31]dt dt

( • • 34>m+4di

V_________dt

= N 2.d^ L + N 2.d ^ - [4.32]dt dt

Comparando as equações 4.31 e 4.32 com as equações 4.2 e 4.3, é fácil verificar que o primeiro termo das equações 4.31 e 4.32 representam as tensões induzidas devido ao fluxo magnético mútuo nos enrolamentos primário e secundário, tensões análogas ao transformador ideal. O segundo termo das equações 4.31 e 4.32 são tensões induzidas devido aos fluxos magnéticos de dispersão ao longo dos enrolamentos primário n secundário. Assim, tem-se:

el = e [ + e.d 1 [4 . 3 l |

e2 — e 2 + ed2 [4.

132


As tensões induzidas &d' e d2 , devido aos fluxos• o

magnéticos de dispersão dl e dl respectivamente, são representadas por indutâncias de dispersão Ldl e Ld2 e consequentemente por reatâncias indutivas, chamadas de reatâncias de dispersão Xdl e Xd2f pois:

p - J d L l^d 1 ^d\ •u JjLdt [4.35]

$ II

e d2 — L d2 - d 2 dt [4.36]

X d 2 ~ W -^d2

As reatâncias de dispersão dos enrolamentos Xdl ey>,i2 são denominadas, simplesmente de Xi e X2. Dessa forma, a figura 4-16 apresenta o modelo do transformador tom a representação das resistências e reatâncias de tlr.persão primárias e secundárias.

Ní N2

ura 4-16: Representação das resistências e reatâncias ilr.persão primárias e secundárias.

133

Representação das perdas no núcleo e da corrente de maanetizacão:

Para analisar o enrolamento do núcleo do transformador quando energizado, será utilizado inicialmente a condição do transformador em vazio, verificando a condição da corrente em vazio I D. Sabe-se que os diagramas vetoriais são aplicados às grandezas senoidais, entretanto, este formato não ocorre para a corrente em vazio I 0, devido as propriedades do circuito magnético do núcleo, que não são lineares.

Quando o transformador da figura 4-17 é ensaiado em vazio, com a aplicação de uma tensão alternada variável, é possível obter a curva normal de magnetização através dos valores da tensão VQ e da corrente I Q.

Joel Rocha Pinto

Ni N?

Figura 4-17 : Transformador em vazio.

A curva normal de magnetização do núcleo é n curva entre a tensão VQ e a corrente I D, que ó n responsável pela magnetização do núcleo e também pel.n suas perdas, não apresenta valores elevados, é da orcli-iii de 5% da corrente nominal dos transformadores (ln potência. Portanto a queda de tensão na resistência v na reatância de dispersão do enrolamento primário apresofVrt valores muito baixos, sendo desprezíveis para a condiÂ|j em vazio do transformador, de tal forma que puila

o oconsiderar-se V0 - El .

Como V 0 é senoidal, também o será e s íiIkmhIque:

134


[4.39]

£ ,(0 = - A V i ^ t4 -37idtOu seja, a tensão aplicada no enrolamento

primário, bem como a tensão induzida Elr são proporcionais ao fluxo magnético e o fluxo magnético é proporcional à densidade de campo.

<f> = B.S [4.38]Dessa forma o valor eficaz da tensão E j, é:E, =4,44

E í =4,44.f.N vBuix.SSendo que:K '= 4 A ^ f.N vBMÃX.S [4.40]É uma constante, pode-se apresentar a tensão

Induzida como:= K = K'.Bltíx [4.41]

É importante notar que sendo E i senoidal, o fluxo ifUgnético terá "a mesma forma de onda", embora não em

pois o fluxo magnético será cossenoidal, devido a |Un derivada.

A corrente em vazio I D é proporcional à força letomotriz 3 e esta é proporcional à intensidade de

impo magnético H. Assim:

[4.42]

é uma constante.

hrssa forma, a curva VD versus I Q do Jlfmndor em vazio fornece informações sobre o pfumento do material empregado no núcleo do

(frnndor, é a curva normal de magnetização Inlndn na figura 4-18.

135

Joel Rocha Pinto

160

140 -

120 -

100 - /

S 8 0 -o> /

60 - /

40 -

20 -/

0 * 1-----1 i--1--- * 1-* 1 * 1 *-1 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

lO (A)

Figura 4-18 : Curva VD versus I Q do ensaio em vazio de um transformador.

Em vazio, praticamente todo o fluxo magnético se concatena pelo núcleo, mas como a permeabilidade magnética do núcleo não é constante, a curva normal demagnetização B versus H ou VQ versus I Q não é linear.

O gráfico da figura 4-18 foi obtido em laboratório, aplicando tensão alternada variável e portanto não apresenta a retentividade do material do núcleo e consequentemente o ciclo de histerese. O que é apresentado é na realidade o conjunto dos pontos que são os pares VQ versus I Q dos máximos positivos do ciclo de histerese, que é realizado 60 vezes por segundo (60 Hz), através dos valores eficazes obtidos por um amperímetro e um voltímetro.

O circuito magnético do transformador não é linear (B versus H), portanto a corrente em vazio terá um aspecto não senoidal, conforme apresentado na figura 4- 19.

136


Figura 4-19 : Forma de onda da corrente de excitação I G.

Através da figura 4-19 é possível concluir:A tensão aplicada VQ é proporcional ao fluxo magnético

f• O fluxo magnético <)> é proporcional à densidade de ' .impo magnético B.

A corrente em vazio I Q é proporcional à intensidade de i .impo magnético H.

Se a corrente de excitação I Q for analisada por uma lérle de Fourier, verifica-se através da equação 4.43, que H.i se compõe de uma fundamental e uma família de harmônicas ímpares, pois a corrente de excitação I Q é Mmétrica em relação ao eixo do tempo./„(/) = Iolsen(wt + Ôl) + Io3sen(3.wt+03) + Io5sen(5.wt + 05) + Io7sen(l.wt + 97) + .

[4.43]Onde:Ioi = componente fundamental.

137

Joel Rocha Pinto

I o3 = componente de terceira harmônica Io5 = componente de quinta harmônica. I o7 = componente de sétima harmônica.

A figura 4-20 apresenta as formas de onda da componente fundamental, da componente de terceira harmônica e da fundamental mais a terceira harmônica.

Figura 4-20 : Componente fundamental, terceiraharmônica e composição da fundamental + 3a harmônica da corrente de excitação I0.

Analisando a componente fundamental é possível verificar que ela pode ser decomposta em outras duas componentes, sendo uma componente em fase com E i e a outra atrasada de 90° em relação a E i. Dessa forma, a parcela da componente fundamental em fase com Et representa a potência absorvida pelas perdas histeréticas e perdas Foucault no núcleo, sendo denominada de componente de perdas no núcleo I P, da corrente total de excitação I D.

Subtraindo a componente de perdas no núcleo I P da corrente total de excitação I Q, a diferença é chamada de corrente de magnetização I mag., essa componente

138


compreende uma pequena parcela da componentefundamental atrasada de 90° em relação a Ex e mais todasas harmônicas ímpares. A principal harmônica é a terceira.

Com exceção dos os problemas referentesdiretamente aos efeitos das harmônicas, as peculiaridadesda forma de onda da corrente de excitação I Q usualmentenão precisam ser consideradas, pois a corrente deexcitação I Q em si mesma é pequena. Por exemplo, acorrente de excitação I Q de um transformador típico écerca de 5% da corrente de plena carga.Consequentemente os efeitos das harmônicas usualmentesão sobrepujados pelas correntes senoidais de outroselementos lineares do circuito.

A corrente de excitação I D pode então serrepresentada pela sua "onda senoidal equivalente", quetem o mesmo valor eficaz e mesma frequência, e produz amesma potência média, que a onda real. Talrepresentação é essencial para a construção do diagrama

«

fasorial. Na figura 4-21, os fasores e ,respectivamente, representam a f.e.m .i (força

eletromotriz induzida) e o fluxo magnético. O fasor representa a corrente de excitação senoidal equivalente.

Ima<

(jw

Ei

Figura 4-21 : Diagrama fasorial em vazio.

Dessa forma pode-se dizer que:

139

Joel Rocha Pinto

p = é a corrente de perdas no núcleo, em faseor

com a tensão i . Para representar esse comportamento, utiliza-se um resistor hipotético Rp, denominado de resistência de perdas no núcleo, pois:

F 2Pp = K J = R J Í = —— [4.44]F e rro 1 p p P D L J

R P

Lnag. - é a corrente de magnetização, é a responsável pela força magnetomotriz. E uma parcela da componente fundamental atrasada de 90° em relação à

o

F , , „ .tensão i , mais as componentes de harmônicas impares. Para representar esse comportamento, utiliza-se uma reatância de magnetização X m.

Para representar as perdas no núcleo e a existência da força magnetomotriz de magnetização, deve-se acrescentar ao transformador ideal uma resistência de perdas no núcleo Rp e uma reatância de magnetização X m, ambas em paralelo com a fonte , conforme a figura 4-22.

Ni N2

Figura 4-22 : Circuito elétrico equivalente dotransformador real.

Quando o transformador está em vazio, acõrrente I2 é nula, portanto: I j = I0 (condição de transformador em vazio).

140

Observar que as perdas no núcleo dependem npcnas da tensão aplicada ao enrolamento primário e não • l.i existência de carga no transformador.

Da mesma forma, a corrente de magnetização depende apenas da tensão aplicada e da relutância do circuito magnético, por essa razão Rp e Xm estão em p.iralelo com a fonte.

As resistências ôhmicas dos enrolamentos primário r secundário, responsáveis pelas perdas Joule no cobre do li.insformador, são colocadas em série no circuito equivalente, pois as perdas Joule são diretamente nioporcionais ao quadrado da corrente elétrica.

Referindo as impedâncias do lado 2 para o lado 1, !< m-se o circuito equivalente do transformador referido para o primário, apresentado na figura 4-23.


Wg ura 4-23: Circuito elétrico equivalente doli.msformador real referido para o primário.

Onde:R '2 = a2.R2 [4.45]

X '2 = a2.X 2 [4.46]V '2 = a.V2 [4.47]

r =l±. 1 2 [4.48]a

Z' - a1 Zc a rg a c a rg a [4.49]

141

Joel Rocha Pinto

4.3 Perdas, Rendimentos e Regulação de Tensão

As perdas no transformador são normalmente agrupadas em duas: perdas constantes e perdas variáveis. Esse agrupamento atende muitas finalidades para a análise do transformador, onde as perdas constantes ou independentes das cargas aplicadas ao transformador, são as perdas no núcleo ferromagnético, que dependem apenas da tensão aplicada ao enrolamento primário e consequentemente do fluxo magnético mútuo estabelecido no núcleo do transformador. Assim, tem-se:Perdas CTE = Perdas no núcleo = Perdas Foucault + Perdas His ter éticas

[4.50]

Perdas Histeréticas:São perdas devido a diferença entre energia

absorvida e a devolvida à fonte em um ciclo completo de magnetização. Segundo Steinmetz, ela vale:

Pk = K h. v . f . B [4.51]Onde:Ph = perdas histeréticas, em Watts;

Bmc-v = densidade de campo magnético máxima;77 = constante de Steinmetz, depende do materialferromagnético, 77 situa-se na faixa de 1,5 <r|< 2,5;v = volume ativo total do material ferromagnético, em m3. v = a.b .h .Ke; Ke = fator de empacotamento das lâminas do material ferromagnético;/ - frequência da variação de H, em Hertz;

K h = constante de histerese, que depende do material,por exemplo:Aço forjado = 0,025 Chapa de aço-silício = 0,001 Permalloy = 0,0001

142


Perdas Foucault:É sabido que o fluxo magnético alternado também

induz tensão no material ferromagnético do núcleo, possibilitando a circulação de correntes induzidas no núcleo, causando uma perda de energia.

Para diminuir as perdas Foucault, o núcleo do transformador é composto por chapas laminadas e Isoladas entre si com verniz. Também é adicionado silício nos aços-carbono do núcleo para aumentar a resistividade do material ferromagnético.

As perdas Foucault podem ser determinadas por: PF = K F .v . f \ z \ B ^ [4.52]

Onde:I) = perdas Foucault, em Watts;

limih = densidade de campo magnético máxima;v = volume ativo total do material ferromagnético, em m3. v = a.b .h.Ke; Ke = fator de empacotamento das lâminas <Io material ferromagnético;/ = frequência da variação de H, em Hertz;t = espessura de laminação;h , = constante de Foucault, depende do materialnnpregado e é inversamente proporcional à sua msistividade. Para densidade de campo magnético

1 64lenoidal, pode-se adotar K F = — — .

PAs expressões 4.51 e 4.52 são extremamente

Importantes para a análise quantitativa e projeto dos li.msformadores, mas pode utilizá-las para uma análise qualitativa, onde o expoente r| da equação 4.51 será considerado igual a 2, dessa forma, as perdas no núcleo podem ser:I '< rdas no núcleo = Perdas Foucault + P erdas His ter éticas

M '< 'i'(las no núcleo = K' J3?„áx + K " J3?tláx[4.53]

Onde as constantes K ' e K " são:

143

Joel Rocha Pinto

[4.57]

K'= K .-.v .f1 .t2F J [4.54]

K " = K h.v .fAssim, a perda no núcleo fica:Perdas no núcleo = K ''' .Bmáx [4.55]

Onde:K "'= K '+ K " [4.56]

Sabendo-se que o valor eficaz da tensão induzidaeficaz no enrolamento primário do transformador édefinido como:

El = A M .f.N l4 máx,

E, =4.44 . f .N r S .B ,^Portanto a densidade máxima fica:

b . = ________ ^ ________4.44./.JV, ,S.Bmá< [4.58]

Bmáx= E ,.K 'Onde:

K ' = --------- 1--------- [4.59]4,44. f .A|

Substituindo a equação 4.58 na equação 4.55, tem-se:

Perdas no núcleo = K' .B2máx

Perdas no núcleo = K ’" .(is,. K * J [4.60]

Perdas no núcleo = K núcleo.E 2

A equação 4.60 simplesmente mostra que as perdas no núcleo são diretamente proporcionais ao quadrado da tensão aplicada no enrolamento primário.

144


Perdas Variáveis:As perdas variáveis são aquelas que dependem

diretamente das correntes impostas pelas cargas, são as perdas Joule no cobre dos enrolamentos primário e secundário.

Tanto as perdas variáveis como as perdas constantes, podem ser obtidas através dos ensaios de< urto-circuito e em vazio, respectivamente.

Perdas Suplem entares:Os fluxos magnéticos de dispersão também

.itingem outras partes metálicas dos transformadores, ( orno as paredes dos seus tanques, parafusos e outras poças metálicas, induzindo nelas correntes parasitas que provocam uma perda de energia. Essas perdas produzidas pelas correntes parasitas mais o acréscimo de perdas em lunção dos efeitos peliculares dos enrolamentos, são< hamadas de perdas suplementares. Na prática, essas pordas são desprezíveis, pois são muito pequenas em «omparação com as perdas constantes e variáveis, mencionadas anteriormente.

Rendimentos:Os rendimentos dos transformadores normalmente

•nio excelentes, mas é um item muito importante a ser .iiícilisado para a especificação e instalação do mesmo.

O rendimento de potência (riP) de um li.insformador é definido pela relação entre a potência de '..iída Ps pela potência de entrada PE/ expressa em porcentagem, ou seja, trata a eficiência do transformador,< oracterizando o seu valor de perdas para suas diferentes condições de operação.

A equação 4.61 explicita o rendimento de potência>I|H

A equação 4.61 pode ser analisada de várias formas, tal que:

entrada

saída [4.61]

145

Joel Rocha Pinto

PSeU<, = Parada - Perdas Pím-dda = psaida + Perdas

Perdas = Perdas MelwsB,rolmMS + Perdas mdel>

[4.62]

Assim, o rendimento de potência r|p pode ser expresso em:

saida- . 10()( %)p

saida?7 = —P pscida + Perdas Psaida + Perdas JoulenosEnrolament)S + Perdas Núcleo

[4.63]

E ainda, no circuito do transformador da figura 4- 24, tem-se:

= -------------------V2J z_.cos<p2_------------------- . 100(%)F2./2.coS(p2+ «!•/, + R 2.I2 + P e r d a s [4 64 ]

Figura 4-24 : Circuito do transformador com cargavariável.

Também pode-se utilizar 0 circuito elétricoequivalente do transformador referido para 0 lado primário, da figura 4-23, para determinar 0 rendimento de potência r)p, tal que:

146

fÚ =V \ T 2. cos <p'2


p

+ P odeis V\ J \ . cos (p\ + Perdas

Onde:/ ’< Te las = Perdas Jou len o sE n ro la m en b s P e r d ú S y c jeQ

I '<'fdasJouleriosEnrolamenDS — Pj — R{ ./, + R 2 J 22

[4.65]

[4.66]

pP erdas - P ~ F J - R í 2 = —l < / U t / . '» W c /e o * Núdeo — p — l \ p.l p —

RpUtilizando o circuito elétrico simplificado do

transformador da figura 4-25, o rendimento de potência i||(, fica.

V'2J ' 2. co sç'2 V \ J \ . COSÇ9'2

V\ J ' 2. cos (p\ + Perdas V\ T 2. cos ç>’2 +7?cc

Onde:/? = /? + 7?’

.100(%)

[4.67]

[4.68]

rig ura 4-25 : Circuito elétrico simplificado dotransformador.

Através da equação 4.67 é possível levantar o comportamento do rendimento de potência em função da torrente da carga I ' 2/ que é apresentado na figura 4-26.

147

Joel Rocha Pinto

T|(%)

T|máx.

cos(p=1,G

cos(p=0,8

cos(p=0,6

Carga para

T| máx.

* I ?2 ( % d a I nominal)

Figura 4-26 : Rendimento do transformador em função da carga.

Analisando o gráfico da figura 4-26, é possível verificar que o rendimento de potência do transformador varia em função das perdas Joule no cobre e do fator de potência da carga. Também verifica-se que existe uma determinada condição de carga para que o transformador opere com o rendimento máximo (iimáx.)- Essa condição pode ser facilmente obtida, determinando o ponto de máxima da função do rendimento de potência pela corrente da carga, tal que:

driP= zero [4.69]

Daí:

V'2.ço$(p'2.[V'2. r 2.cos<p'2+Rcc. r 22+Pxlk.leo] - V '2. r 2.cos<p'2.[V'2.cos(p'2+2.Rcc. r 2 ]

148


Ou seja:

Perdas Constantes = Perdas Variáveis, é acondição para o máximo rendimento do transformador.

A análise do rendimento também pode ser feita de uma outra forma.

Sabe-se que a potência de saída ou potência na carga do circuito do transformador da figura 4-24 é dita por:

P S M c = P c ^ a = V 2. I 2. C O S < p 2 [4.71]E que a solicitação de potência do transformador

varia em função da carga inserida no secundário, assim, pode-se dizer que o fator de carga (K) do transformador é:

K = —^ [4.72]Trafo

Que mostra a relação de potência que a carga solicita do transformador.

Portanto, a potência ativa solicitada pela carga é:P Saida = = ^ ' S Traf 0 - COS ( p 2 [4.73]

As perdas constantes, que são as perdas no núcleo, podem ser obtidas através do ensaio em vazio do transformador. Quando aplicada a tensão nominal no enrolamento do transformador, mede-se a potência ativa consumida com wattímetro, essa potência em vazio (P0), representa as perdas no núcleo.

Assim, do ensaio em vazio:

PN<d~ = P* [4 '743

Já as perdas variáveis, que são as perdas nos enrolamentos, podem ser obtidas através do ensaio em curto-circuito. Quando é aplicada, normalmente uma corrente nominal, no enrolamento do transformador e o outro lado do transformador tem o seu enrolamento curto- circuitado. Nessa condição, os dois enrolamentos estão com correntes nominais circulando por eles, através do

149

Joel Rocha Pinto

wattímetro mede-se a potência ativa consumida nessa condição. A potência de curto-circuito (P Cc) medida está sendo consumida pelos enrolamentos do transformador. Então é possível dizer que ao aplicar corrente nominal no ensaio em curto-circuito, tem-se:

P, , = P [4.75]J o u le ParaK=x 0 cc L J

Onde K= 1 ,0 , significa a condição nominal para o transformador. Sabendo-se que as perdas variáveis dependem diretamente da carga (K ) e consequentemente da corrente ao quadrado, tem-se:

^ Jo u le N o x ú n a l ^ ~cc N o r n n a l ^ c c [4-76]Por exemplo, para meia carga (K = 0 ,5 ), as perdas

Joule valem:

J o u le p a ra K =0,5 —

f I VNo min a l

7

R J Pcc N o m in a l cc

[4.77]Logo, para qualquer carga (K ), as perdas Joule

valem:Pj»,,,* = X 2-Kc [4.781

Utilizando as equações 4.73, 4.74 e 4.78, o rendimento de potência pode ser:

P -a K S Tr„fn-CQS(Po=----- isauk,------= -------------Kafc-------------- 100(%)'' PSaida + P e r d a s K. STr<lf0.C0S(p2+

[4.79]

O comportamento do rendimento de potência do transformador em função da carga K é apresentado no gráfico da figura 4-27.

150


n(%) T](%)

Figura 4-27 : Rendimento do transformador em função da carga K.

Para obter a carga com a qual o transformador terá a máxima eficiência, basta determinar o ponto de máxima da função do rendimento de potência pela carga K, ou seja:

STra/o-cos (p2 -[K.STrafv.cos <p2 + Pa + K 1 ,Pcc j - K.STrafo. cos cp2 . [ 5 r,Q/o. cos <p2 + 2.K .P , ] _

(K-STrajo' C0S <Pl + K + K 2 -Prc ^K.STrafa.cos<p2+P0 + K2.Pcc -K .STrafo.cos(p2-2 .K 2.PCC=0 P0= K2.PCC

[4.80]

Logo:

Rendimento de Eneraia:Como é sabido, a carga de um transformador

durante as 24 horas de funcionamento, dificilmente se mantém constante. Para determinar a eficiência do transformador num período de tempo T, é necessário analisar a energia perdida nesse período, ou seja, determinar o rendimento de energia do transformador, que é definido como:

151

Joel Rocha Pinto

d ENERGIA ~ : , , , ~tnergia entrada no período de tempo T

Energia saida no período de tempo T

d ENERGIA ~

I

J E c u A [4 .82]_0__________T| p«„nj A

Para a condição diária de carga apresentada no gráfico da figura 4-28, como exemplo, o rendimento de energia diário fica:

F igura 4-28 : Condição diária de carga de umtransformador.

152

_ ________________ S-n-afo- cos cpx \T,+(K2.STraf,c o s (p2\T1 +...( K .S ^ c o s ^ +Pa + K í2.Pk ) ti 4 -fc s^ .co s^ +Pí,+ K 22.Pcc\t2

__________ + (K VSTrajo- CQS <Pj + f e j,- COS )^4__________

"■ + t a - W c o s ft + P<> +^32 -)^ + ( f r a c o s * , +P0 + K 42.Pcc} t<[4.83]


Reaulacão de Tensão CR):A tensão de saída de um transformador em vazio

(V2o) é normalmente diferente da tensão de saída em carga ( V 2 C a r g a ) - Essa diferença ocorre em função das inevitáveis quedas de tensões devido à circulação de corrente elétrica nos enrolamentos dos transformadores.

As quedas de tensões não são apenas de natureza tesistiva, devido a resistência ôhmica dos enrolamentos, mas também de natureza reativa, devido aos fluxos magnéticos de dispersão.

Para a maioria das cargas (resistivas e indutivas), a lonsão em carga (V 2carga) é menor que a tensão em vazio (V2o). Para cargas fortemente capacitivas, pode ocorrer da lonsão em carga (V 2carga) ser maior que a tensão em vazio (V 2o). Como se sabe, as quedas de tensões em bipólos reativos (indutores e capacitores), em regime «onoidal, dependem não só dos módulos das correntes alternadas, mas também dos seus ângulos de fase.

Para explicitar a diferença de tensão em carga ( V 2 c a r g a ) com a tensão em vazio (V 2o), atribui-se o termo regulação de tensão (R), que nada mais é, como o percentual de queda de tensão que ocorre no Imnsformador quando com carga, ou seja:

R = V v a z io Z V CARGA . ! Q 0 ( % ) [ 4 . 8 4 ]

CARGA

153

Joel Rocha Pinto

Utilizando-se do circuito elétrico equivalente do transformador referido para o lado primário, a regulação de tensão fica:

^ ^VAZIO ~ VCARGA _ ^ 2 0 ~ ^ 2 C _ ^ 2 0 ~ a ^ 2 CV V aVV CARGA V 2 C u ' y 2 C ^

V - V R= 1 t ■■■2- .100(%)y 2

154


4.4 Ensaios em Vazio e de Curto-Circuito em Transformadores

As características de desempenho do transformador podem ser obtidas através dos circuitos equivalentes. Os parâmetros do circuito equivalente são determinados, ou pelos dados do projeto ou pelos dados tios ensaios. Os ensaios normais para se obter os parâmetros do transformador são:

- Ensaio em Vazio ou Aberto;- Ensaio em Curto-Circuito.

Ensaio em Vazio:Consiste em alimentar o transformador com tensão

e frequência nominais, mantendo o secundário em vazio ou aberto conforme a figura 4-29 e mede-se a tensão (V o), a corrente ( IQ) e a potência (PQ) fornecidas ao transformador. Com esses dados é possível determinar os parâmetros Rp (resistência de perdas no núcleo) e X m (teatância de magnetização), que permitem verificar as tondições do circuito magnético e as perdas no núcleo do transformador.

Po Io

<Ã>

Vo

<> Lado da

((

B.T. <((<j

Lado da A.T.

Fluura 4-29: Esquema elétrico do Ensaio em Vazio.

É sabido que as condições do circuito magnético, Htu é, do fluxo mútuo, são impostas pela força iMiomotriz aplicada VD no enrolamento primário do ■nsformador. E com a tensão nominal aplicada V0, os ,"n âmetros Rp e X m estarão no circuito equivalente de

155

r

Joel Rocha Pinto

acordo com a figura 4-30, sendo submetidos à força eletromotriz E i, levemente inferior à tensão aplicada VQ, pois a corrente em vazio I Q sendo pequena (aproximadamente 5% a 10% da corrente nominal para transformadores de potência) produz uma pequena queda de tensão (Av) em R i e X 1; que normalmente pode ser desprezada.

Figura 4-30 : Circuito elétrico do transformador em Vazio, referido para o lado da Baixa Tensão (B .T .).

Assim, através do ensaio em vazio com alimentação nominal, obtém-se os parâmetros Rp e X m para as condições nominais do transformador, uma vez que seu valor depende da curva de magnetização do material usado no núcleo e de suas perdas Foucault e histeréticas, sendo, portanto variáveis de acordo com a condição do circuito magnético.

Para transformadores de alta tensão, é conveniente que o ensaio seja efetuado alimentando o transformador pelo lado da menor tensão, ou seja pelo lado da baixa tensão (B .T .), evitando o erro causado pelo emprego de transformadores abaixadores para os instrumentos de medida e evitando maiores cuidados com a isolação e riscos para o operador a realizar o ensaio.

Como a corrente I G é pequena em relação à corrente nominal de carga do transformador, pode-se desprezar a queda de tensão (Av) em R i e X i, dessa

156

forma, o circuito equivalente da figura 4-30 fica reduzido a um ramo paralelo, conforme o circuito da figura 4-31.


Figura 4-31 : Circuito elétrico equivalente reduzido para a condição em Vazio.

Utilizando o circuito da figura 4-31, pode-se determinar os parâmetros Rp e X m, como:

K-

Joel Rocha Pinto

Ensaio em Curto-Circuito:Através do ensaio em curto-circuito é possível

obter os parâmetros relacionados aos enrolamentos do transformador: Rcc (resistência ôhmica dos enrolamentos) e Xcc (reatância de dispersão dos enrolamentos), ou seja, a impedância série do circuito elétrico equivalente do transformador, também chamada de impedância de curto- circuito Zcc.

Com o ensaio em curto-circuito é simulado as condições reais de perdas no cobre dos enrolamentos e nos fluxos magnéticos de dispersão do transformador quando em condições nominais de operação.

Como as perdas Joule nos enrolamentos são proporcionais ao quadrado da corrente elétrica e a dispersão de fluxo magnético depende da corrente nos enrolamentos, o ensaio em curto-circuito deve ser efetuado com o transformador sob corrente nominal.

O ensaio em curto-circuito consiste em alimentar, geralmente, o lada da alta tensão (A .T.) do transformador com corrente nominal ( I cc) à frequência nominal e mantém-se o lado da baixa tensão (B .T .) curto-circuitado, conforme a figura 4-32 e mede-se:

- a tensão aplicada Vcc (tensão de curto-circuito);- a potência consumida Pcc (potência de curto-

circuito).A figura 4-33 apresenta o circuito elétrico do

transformador referido para o lado da alta tensão, para a condição de curto-circuito.

Figura 4-32 : Esquema elétrico do Ensaio em Curto- Circuito.

158


Figura 4-33 : Circuito elétrico do transformador em curto- circuito, referido para o lado da Alta Tensão (A .T .).

O ramo de magnetização pode ser desprezado, pois a corrente por ele absorvida I0 é normalmente bem inferior que a corrente nominal, é ainda menor pois a tensão aplicada Vcc é bem menor que a tensão nominal de alimentação do transformador que é da ordem de 3% a 7% da tensão nominal, assim as perdas no núcleo e o ramo de magnetização Rp e X m podem ser desprezados e o circuito pode ser reduzido conforme a figura 4-34.

Figura 4-34 : Circuito elétrico equivalente reduzido para a condição do ensaio em curto-circuito.

159

Joel Rocha Pinto

Sendo a tensão aplicada Vcc bem inferior à tensão nominal, as perdas no núcleo, que são diretamente proporcionais ao quadrado da tensão aplicada, são desprezadas, considera-se que toda a potência Pcc é consumida nos enrolamentos do transformador, ou seja:

D = D J z

cc cc cc

tf„ =

E:

Ki i

[4.88]

x cc= J z 2cc- r

X =V Icc J

[4.89]r :

Pode-se adotar com boa aproximação as seguintes relações:

R\ + R 2 — Rcc

tf, =a2.R, =^s[4.90]

X 1+X ’2 = X C

X, = az.X 2 =X [4.91]

4.5 Transformadores Trifásicos

A possibilidade de ligar três transformadores monofásicos resulta na configuração de um banco trifásico que pode ser ligado em estrela ou triângulo e outras ligações mais específicas.

160


Mas também é possível conceber uma unidade trifásíca em um único acondicionamento conforme a seqüência das figuras 4-35 a 4-39.

Inicialmente a figura 4-35 apresenta três transformadores monofásicos denominados de A, B e C.

Fig ura 4-35 : Três transformadores monofásicos.

Introduzindo os três transformadores monofásicos em um único tanque maior conforme a figura 4-36 e fundindo as três colunas desprovidas de enrolamentos, obtém-se o arranjo da figura 4-37.

Figura 4-36 : Os três núcleos ativos acondicionados em um único tanque.

161

Joel Rocha Pinto

Figura 4-37 : Fusão das três colunas.e

Na figura 4-37, o fluxo magnético resultante <f>R é a• • •

soma dos fluxos magnéticos (f)MA, (j)m e (j)MC e como aalimentação dos três enrolamentos são tensões senoidais, simétricas e defasadas de 120°, o que produzem fluxos magnéticos com a mesma proporção e com defasagens de 120° entre eles. Assim, tem-se:

e o o ®

h = <I>MA+ </>MB+ K c = Z e r ° l 4 -9 2 !

Portanto a coluna fundida torna-se dispensável e o arranjo pode assumir a figura 4-38.

162


Figura 4-38 : Arranjo do transformador trifásico coma coluna "fundida" desprezada.

E remanejando o arranjo da figura 4-38, mantendo um alinhamento dos enrolamentos, obtém-se um transformador trifásico de núcleo envolvido ou nuclear, que é apresentado na figura 4-39.

Figura 4-39 : Transformador trifásico de núcleo envolvido ou nuclear.

A configuração final do transformador trifásico com a retirada da coluna central gera uma economia

163

considerável de material ferromagnético em comparação com o transformador trifásico de núcleo envolvente ou encouraçado, ilustrado na figura 4-40.

Mas alguns cuidados devem ser tomados nas ligações dos enrolamentos, pois as formas de onda dos fluxos magnéticos, bem como as formas de onda das tensões induzidas podem ser sensivelmente afetadas, caso alguma corrente harmônica não possa ser estabelecida no núcleo do transformador.

Joel Rocha Pinto

Fig ura 4-40 : Transformador trifásico de núcleoenvolvente ou encouraçado.

O núcleo com os enrolamentos do transformador de potência é montado dentro de um reservatório de óleo mineral neutro. A finalidade do óleo é de realizar a retirada de calor gerado pelas perdas no ferro e pelas perdas do cobre dos enrolamentos para fora do transformador (as perdas do transformador são praticamente proporcionais aos cubos de suas dimensões lineares), além de possibilitar melhores condições para a isolação dos enrolamentos, devido à sua elevada rigidez dielétrica. O arrefecimento do transformador pode ser feito através de uma circulação natural do óleo, por simples convecção ou por uma bomba que faz a circulação forçada do óleo, sendo mais rápida a troca de calor.

Nas aletas do transformador, também podem ser fixados motos-ventiladores que produzem uma circulação forçada do ar de ventilação.

164


Assim, pode-se ter um resumo da forma de refrigeração dos transformadores de potência:

Circulação do óleo:- natural: ON- forçada: OF

Circulação de ar:- natural: AN- forçada: AF

Dessa forma, dependendo de como se retira o calor do transformador, define-se uma potência nominal. Como exemplo, tem-se:

Formas de refrigeração:ONAN => I a potência nominal => potência mínima =50MVA.ONAF => 2a potência nominal => potência média = 66MVA. OFAF => 3a potência nominal => potência máxima =83MVA.

A refrigeração do transformador é extremamente importante, não somente por definir a potência nominal, mas para garantir a vida útil do transformador.

Os isolantes dos enrolamentos entram em processo de deteriorização quando as temperaturas a que são submetidos excedem os valores máximos estabelecidos para cada classe de isolação. Esse processo afeta fisicamente o isolante e aumenta rapidamente com oaquecimento excessivo e do tempo de permanência, reduzindo drasticamente sua rigidez dielétrica e consequentemente sua vida útil.

A norma NBR-5416 define os procedimentos para aplicação de cargas em transformadores de potência levando em consideração o efeito térmico na sua vida útil.

Com o funcionamento do transformador de potência e o aquecimento do óleo, ocorrerá uma dilatação do seu volume que necessita de espaço para garantir a expansão. Um tanque de expansão de 7% a 8% do volume do reservatório do óleo, deverá ser previsto para essa finalidade para os transformadores de grande porte.

Os cálculos de circuitos envolvendo bancos detransformadores trifásicos alimentados por tensões

165

Joel Rocha Pinto

simétricas e equilibradas, podem ser feitos considerando- se apenas um dos transformadores ou apenas uma fase, pois as condições são exatamente as mesmas nas outras duas fases, exceto pelos deslocamentos de fases associados a um sistema trifásico.

4.6 Valores em Por Unidade - P.U.

É comum que as grandezas elétricas de tensão (Volts), de corrente (Ampères), de impedância (Ohms) e de potências (VA, W ou VAR) para transformadores de potência, máquinas elétricas e sistemas de potência sejam expressas em porcentagens ou por unidade (P .U .). Uma grandeza elétrica será expressa em por unidade (P.U .) se ela for dividida por uma grandeza elétrica de referência ou de base, o que permite a facilidade de manuseio com os valores matemáticos.

A equação 4.93 explicita essa relação.

7 • r t / r r x Valor da Grandeza Elétricavalor por unidadeyPXJ.) = ------------------------------Valor de Base

[4.93]A seguir, alguns exemplos de aplicação dos valores

em por unidade (P.U .) serão apresentados.

Exem olol:Um transformador monofásico de 10 KVA;

2400/240V; fora ensaiado em vazio pelo lado da baixa tensão (B .T .) e em curto-circuito pelo lado da (A .T .) e apresentou os seguintes dados:Ensaio em Vazio (B .T .):V0 = 240V I0 = 0,8A P0 = 80WEnsaio em curto-circuito (A .T .):Vcc = 80V Icc = 4 ,17A Pcc = 220W

166


Normalmente os valores dos ensaios já são apresentados em por unidade (P .U .), mas para esse caso será feito a conversão dos valores dos ensaios para P.U.i. Valores de Base do Lado da B. T.^Base = 2 4 0 V = V nominal ^Base 1 0 K V A Snominal

Inicialmente duas grandezas são escolhidas como base, as outras grandezas são calculadas a partir delas. Transformador Monofásico:

c° Base

K—íII

^ Base

C_ ° Base _ 1 0 * I0 3

vB a se 240

^ Base N o n ú n a l = 41,674

B a se

V__ B a se

TBase

7V

_ Base _ _ V L . _ 2402^ Base

^ B ase

VB a se

S B a se 10*10-

Z B a s e ~ 5 , 7 6 T 2

ii. Valores de Base do Lado da A.T. ^Base = 2 4 0 0 V = V nominal SBase = 1 0 K V A = Snominal Transformador Monofásico:S - V IBase B a se B a se

SBase 10* 103 2400

B a se 1N o n ú n a l 4,17 A

167

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vy Base

Base ~ jB a se

V V2 24007 _ y B a se _ v Base _

tee SBa,e 10*103v

B ase

ZB.se = 576ÍÍ

iii. Convertendo os valores do ensaio em vazio (B.T.) oara P.U.

V 240Vo(p-u-) = ---■ ■ => v„(p.w.) = — => V0(p.u.) = 1 p.u. ou vo = 100%

B a se B.T.

i0(p-u.) = — => = ~ ~ ~ => = 0,0192/?.w. ou iQ = 1,92%W . 41,67

D QQ

w0(p.«.) = "c => W0(p.u.) = => w0(p.«.) = 0,008p.u.ouw0 = 0,8%67 „„ 10*10

iv. Convertendo os valores do ensaio em curto-circuito (A.T.) para P.U.

vcAP-u•) = ^ => vcÁP-u-) = => vcAP-u-) = 0,0333/?.?/. ow vcc = 3,33%

*«(/>•«•) = y cc => *«(/>•"•) = J7 7 => %(P-W-) = % = 10(,%* Ba.se 4,1 />(.r.P 220Wee(pju.)= cc => Wcc(p.u.) = => w cc(/?.M .) = 0,022P M .ouwcc = 2,2%

10* 10'

168


v. Cálculo dos parâmetros elétricos do transformador emP.U.Ensaio em Vazio:

v..=

v0 1r — -JL~ r = ------p w p 0,008 p

r =125 p.n.

- => x.., -f \• 2 w0

P0,01922 0,008

1

xm = 51,29 p.u.

Ensaio em Curto-Circuito:•2 w 0,022 . _ __

= r c c - l cc => r cc = — => rcc = — — => rcc = wcc = 0 ,0 2 2 p.u .CC

= — => => z* = v« = 0,033p.u.'cc 1

*<« = yRc C j c x cc= Vo,03332 - 0,0222 => = 0,025

A figura 4-41 apresenta o circuito elétrico equivalente do transformador em p.u.

Figura 4-41: Circuito elétrico equivalente dotransformador em p.u.

169

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Exemplo 2: Rendimento de potência utilizando valores em p.u.

il p =P . Psa ída sa ída

P en ,ra d a P sa id a +

k - S Trc,J b . c o s < p

Up =k -S T ra fc ,-C 0 S < P + P „ + k ~ - P n

n Base(lp ~

k-STrafo- C0S 9 [-4 g4 j

k -S Trajo- C0S <P+Po+k A c

V° B ase

k.cos (p7Jp = ----------------- 2-- . 100(%)

k. cos (p + w0 + k~ .wcc

170


Exem olo3: Rendimento em energia.T

f P saida-d t

1 Energia = / 100(%)

J Pe n ,rada -d t

0 (kl. cos <p,)./, + (A'-,. cos <p; .COS <p3).fj + ...B'eS' (A:,. cos çc>, + wa + k)' ■Wci:jt] +■ (à'2 , cos (p2 + w„ + k2" ,wa.j.t2 + (â:3 . c o s <p3 + w0 + k}‘ .wcc].ti + ...

„ _ +(/c„.cos^,)i„/ Energia ' * * T. ~ 2 *í+ \kn. cos (pn + w0 + kn ,wcc }tn

[4.95]

Exemplo 4: Regulação de tensão em p.u.E sabido que a regulação de tensão representa a

queda de tensão percentual que ocorre nos enrolamentos do transformador em função das cargas inseridas. Assim, de posse do circuito elétrico equivalente simplificado do transformador em p.u., conforme a figura 4-42, pode-se equacionar a regulação de tensão em p.u. (r ) , tal que:

Figura 4-42 : Circuito elétrico equivalente simplificado do transformador em p.u.

r = A[4.96]

A v = < > « .+ ■ / * « ) • » „ * ,

171

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_ c a r g a

c a r g a (p.u.)Trafo

W = k Assim:

r = (rcc+ jx cc).k

[4.97]

[4.98]

Utilizando-se da figura 4-43, é possível obter a expressão da regulação de tensão para carga indutiva, definida na equação 4.106, pois:

Figura 4-43 : Representação fasorial para carga indutiva no transformador.

172

V j - v 2 / . O C -O A O D -O A rAnnlr = — ~(p.u.) = ---------- = ----------- [4.99]

v 2 ' OA OASendo que OC = OD = raio da circunferência da

figura 4-43.E:

v, v2 . O C -O A O D -O A AB'+B'C C'Dr = — ( p.u.) = -------------= --------------- = ---------------+ -------

v 2 OA OA OA OA[4.100]

Sendo que:AB'= ABsencp

[4.101]B'C'= BE = BCsen (pVerificando na figura 4-43 a presença dos três

triângulos: FDC; C 'DC e FC 'C , pode-se determinar por semelhança de triângulo, as seguintes equações:

C C F C I c c f C E - C E = ---- => C D = --------= ------------ [4.102]C'D C C F C F COnde:CE = BC cos (pC E = AG = ABsencpE sabendo que na prática o segmento OA é

aproximadamente igual ao segmento OC' ou o segmento OD, contrariamente o que sugere a figura 4-43, pois esta foi elaborada para uma melhor visualização, assim, pode- se dizer que:

FC '= 20A = 2v2 [4.104]Substituindo a equação 4,103 e 4.104 na equação

4.102 e depois substituindo-a na equação 4.100 juntamente com a equação 4.101, tem-se:


[4.103]

v, — v, AB’+B'C' C D ABsencp + BCsenw 1 ,r = — = --------------- + --------- T- — + --------\BC cos cp - ABsencpv2 OA O A OA 2 0 A ]

[4.105]

Como o último termo da equação 4.105 representa uma parcela pequena, pode-se desprezá-la, e

173

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considerando a tensão na carga do circuito da figura 4-42 igual a 1 p.u., para a análise da regulação de tensão, tem- se :

Para cargas indutivas a regulação de tensão (r ) ,fica:

r = (rcc. cos (p + xcc. cos (p)k [4.106]Para cargas capacitivas a regulação de tensão (r ) ,

ficará:r = (rcc .cos (p- xcc. cos (p)k [4.107]

Para transformadores trifásicos de potência, alguns valores em por unidade são encontrados com maior frequência, entre eles estão:

- impedância equivalente: zcc = 0,02 a 0,10 p.u.- corrente a vazio: i0 = 0,02 a 0,06 p.u.- perdas no núcleo: w0 = 0,005 a 0,03 p.u.

174


4.7 Harmônicas em Transformadores

Dada uma forma de onda qualquer simétrica e periódica, pode-se decompô-la em uma soma de infinitas senóides de frequência 1, 2, 3 ,... vezes a frequência fundamental.

No caso de circuitos magnéticos, as formas de onda de tensões e correntes são sempre simétricas e, portanto possuem harmônicas de ordem ímpar.

Como exemplo, as tensões trifásicas de um sistema podem ser decompostas por:

VA(t) - F (| .senwt + VA} .senS.wt + J7 .sen5.wt +...

VB(t) = VBi .sen{wt -120J)+ V/í} .sen3.(wt - 120°)+ VBs .sen5.{wt -120 )+...

Vc(t) = Vc .sen{wt +120°)+ VC}.ser?3.(wt +120°)+ Vc .sen5.(wt +120°)+...

Analisando o comportamento de cada uma das harmônicas:

A componente fundamental está orientada na seqüência positiva ou direta, ou seja:

[4.108]

Kn =V,.senwt

[4.109]

175

Joel Rocha Pinto

fa 4-44 : Diagrama fasorial da componente

fúnd^mentaL

A componente de terceira harmônica tem o .jn te comportamento:

y sfV ^ .serti.w t = VA .sen3.wt = VÃ .sen3.wt

y S 5 , .sen3.(wt -120°) = VB .sen{ò.wt - 360°) = VBisenS.wt

v ^ Vc ,sen3.(wt +120°) = Vc .senfa.wt + 360°) = Vc .sen3.wtC3 3 3

[4.110]

= V A 3

V B 3

V C 3

^ra 4-45 : Diagrama fasorial da componente de. îra harmônica, terd^

As terceiras harmônicas comportam-se como uma 0 de seqüência zero ou nula, pois as três terceiras

0 viônicas das fases A, B e C são iguais em módulo e * $0em fase.

Para a quinta harmônica tem-se:

176

VA5 = V, .sen5.wt =VA.sen5.wt = Vt.sen5.wt

VB5 = Fg5 .sen5.{wt - 120")= VBc .sen(5.wí - 600°)= VB .seni^.wt + 120°

VC5 = VC} .sen5.(wt + 12 0 °) = Vc< .sen(5.wt + 6 0 0 °) = Fc< .senfa.wt -1 20°

[4.111]


Figura 4-46: Diagrama fasorial da componente de quinta harmônica.

A quinta harmônica tem um comportamento de seqüência negativa ou inversa, conforme apresentado no diagrama fasorial da figura 4-46.

Através desse raciocínio, pode-se verificar o comportamento de qualquer harmônica ímpar e desenvolver a tabela 4.1, que permite analisar as harmônicas nas seqüências positiva, negativa ou nula.

Joel Rocha Pinto

TABELA 4.1 - SEQÜÊNCIA DAS HARMÔNICAS ÍMPARESSeqüência

dasHarmônica

s

HARMÔNICAS ÍMPARARES

Positiva ou 1 "7 1 1 2Direta 1 / 3 9 5

Negativa c: 1 1 2 2ou Inversa 1 7 3 9

Nula ou O Q 1 2 2Zero ú 5 1 7

Como se sabe, a corrente de magnetização dos transformadores tem um aspecto não senoidal em função das características do circuito magnético do transformador não serem lineares. Portanto a corrente de magnetização apresenta componentes harmônicas ímpares, com destaque para a terceira harmônica.

Em função dessas componentes harmônicas da corrente de magnetização, uma atenção especial deve-se dar aos tipos de ligações dos transformadores trifásicos.

A seguir, algumas ligações serão comentadas:

178


Liaacão A: Primário em Triângulo (A)

Figura 4-47: Ligação do transformador trifásico com o enrolamento primário em triângulo (A).

Aplicando ao primário tensão de linha senoidal, a tensão de fase aplicada também será. Como a tensão aplicada em cada fase é senoidal, o fluxo magnético também terá comportamento senoidal, mas a corrente de fase será "deformada", pois a relação B versus H não é linear.

Essa corrente tem a componente fundamental e as componentes de harmônicas ímpares, predominando a terceira e quinta harmônicas.

As terceiras harmônicas, como apresentado, comportam-se como seqüência zero, estando, portanto em fase e por isso ficam circulando apenas dentro do triângulo não passando para a linha. Embora exista terceira harmônica na fase, ela não existe na linha.

Já a quinta harmônica comporta-se como seqüência negativa e pode circular tanto na fase como na linha. Não

179

Joel Rocha Pinto

se deve esquecer que a quinta harmônica da corrente de linha deve ser J3 vezes maior que a corrente de fase e está adiantada de 30° em relação a ela. Por essa razão, a superposição de uma fundamental com uma quinta harmônica é diferente na fase e na linha de um triângulo,pois ambas são V3 vezes o valor da corrente de fase e enquanto a fundamental na linha está atrasada de 30°, a quinta harmônica está adiantada de 30°.

Como foi possível circular em cada fase do transformador, as correntes fundamental, terceira harmônica e quinta harmônica, então o fluxo magnético produzido por elas será de aspecto senoidal e portanto as tensões induzidas por variação do fluxo magnético no tempo, no primário e no secundário também serão senoidais.

O raciocínio descrito vale para qualquer que seja o tipo de ligação das bobinas secundárias.

A figura 4-48 apresenta o comportamento das tensões e correntes no transformador trifásico com o primário em triângulo (A).

180


Tek JL... B W m Pos: oooüs

CH1 SOJJV M1Õ.0ms CHI /

Tek J L O M Pos: 0.MÕS

Ctti SOSmV M 5«im s............ CHI / -

Tek J L S TiHfd M Po í: O.OOOs *•

Ô12 500oiV M S.OOms C m /

Tek J L q m'i m Pos o/iúOi

CHI 50.0V M líl.Onw cm /

Figura 4-48: Comportamento das principais formas deonda do transformador trifásico com o enrolamentoprimário em triângulo (A ) .

181

Primário em Estrela (aterrada ou isolada)Com o primário em estrela, as formas de onda da

tensão e da corrente de magnetização de fase e de linha no primário ou no secundário, dependem do tipo de ligação do primário (aterrado ou isolado) e do tipo de ligação imposta ao secundário.

Para todas as ligações, sempre vale o raciocínio aseguir:

Sendo a tensão de linha aplicada pela fonte do tipo senoidal, a tensão da fase tende a ser também senoidal. O fluxo magnético deve ser "senoidal" para induzir tensões senoidais nas fases do primário e do secundário. Para que o fluxo magnético seja senoidal, é necessário que a corrente que o produz tenha as componentesfundamental, terceira e quinta harmônicas, pois a relação B versus H do material do núcleo do transformador não é linear.

A quinta harmônica corresponde a uma seqüência negativa e sempre pode circular em uma ligação estrela (aterrada ou isolada) ou numa ligação em triângulo, pois sua soma em um ponto (das três fases) será sempre zero.

A terceira harmônica corresponde a uma seqüência zero e nem sempre tem caminho para circulação, por exemplo, não pode circular numa ligação em estrela isolada ou num triângulo aberto.

Quando a corrente de magnetização não consegue produzir a força magnetomotriz de terceira harmônica necessária para que o fluxo magnético seja "senoidal", ele se deforma e as tensões induzidas no primário e no secundário não serão senoidais.

Joel Rocha Pinto

182

Liaacão B: Primário em Estrela aterrada e Secundário em Estrela isolada

Sendo a tensão de linha aplicada pela fonte do tipo senoidal, o fluxo magnético e a tensão de fase tenderão a ser senoidal. Para que isso ocorra devem circular pela linha e pela fase, já que são idênticas, as correntes de componentes fundamental, terceira e quinta harmônicas para magnetizar o transformador.

A componente fundamental e a quinta harmônica que se comportam com seqüência positiva e negativa respectivamente, podem circular pela ligação estrela aterrada ou isolada, pois a somatória das correntes no neutro da estrela é zero.

A estrela do primário, estando aterrada, possibilita um caminho para a circulação da terceira harmônica pelo neutro. Pelo neutro circula a terceira harmônica, que é predominante e as harmônicas de seqüência zero.

A componente fundamental e a quinta harmônica, sendo três correntes defasadas de 120°, somam zero.

Dessa forma, o fluxo magnético pode ser senoidal e as tensões induzidas no primário e secundário também serão.

A figura 4-49 apresenta o comportamento de tensões e correntes no transformador trifásico com o primário em estrela aterrada e o secundário em estrela isolada.


183

Joel Rocha Pinto

Tek JL BWd mpwbMODs

CHÍ SÒ.W M iaom s c h i /

Tek J L □ Trig'd M Pos: 0,000?

T e k J L B MPo r SMBOs

CHI S0.0V M10.0ms C H I /

Figura 4-49: Comportamento das principais formas de onda do transformador trifásico com o enrolamento primário em estrela aterrada e o secundário em estrela isolada.

184

Liaacão C: Primário em Estrela aterrada e o Secundário em Triângulo (A)

Com o fechamento do secundário em triângulo, pode circular dentro dele uma parte da componente de terceira harmônica necessária para garantir fluxo magnético absolutamente senoidal. A força magnetomotriz de terceira harmônica deve ser aplicada ao circuito magnético, mas não necessariamente pelo primário, ocorrendo assim uma distribuição dessa componente de terceira harmônica, entre o primário (escoando pelo neutro) e o secundário (circulando dentro do triângulo), inversamente proporcional às impedâncias a ela oferecida.

O comportamento das tensões e correntes no transformador trifásico com o primário em estrela aterrada e o secundário em triângulo (A) em apresentado na figura 4-50.


185

Joel Rocha Pinto

T e k J k . I W MPokOOMs

A

Vv Fase r

CHI <sm MIOjOím CH1 /

T e k J L H W d M P o c OjOOOs Bastante Reduzida

a A/\a A A a AA/CHI 1.B8V CH2 1.00V M5.00ms CHI/

T e k J t „ Q Tii/d MPos O.OOOs

í ,• ^Fase 16 ” Unha r — * Fundamentei + h aH + *5‘ H + h ài

Maior parte

/ ^ Fase 2o - l y n + h - H + I ) y H + •••

Bastante Reduzida

/^Fase 1* _ IU nhai* ~ ^ Fimdtmcmd + h ‘H + h ‘H + h ‘ H +

Menor pai

/Neutro ~ l V H T í h 'H r ‘ I5*H

CHI 1.00V CH2 1.00V M 500m> CH1 /

T e k J L O T rig'd M Pos; <S.0«s

y^v

M 10.0ms CH1 /

Figura4-50: Comportamento das principais formas deonda do transformador trifásico com o enrolamentoprimário em estrela aterrada e o secundário em triângulo.

186

Liaacão D: Primário em Estrela isolada e Secundário em Estrela isolada

Como a estrela isolada do primário não permite o escoamento da componente de terceira harmônica, o fluxo magnético não pode ser senoidal e dessa forma as tensões induzidas de fase por ele também não serão senoidais. Deve, entretanto, aparecer no neutro em relação à terra uma tensão de terceira harmônica que impõe a circulação da corrente pelo fio quando aterrado.

A figura 4-51 apresenta o comportamento de tensões e correntes no transformador trifásico com o primário e o secundário na ligação estrela isolada.


187

Joel Rocha Pinto

Figura 4-51: Comportamento das principais formas deonda do transformador trifásico com o enrolamentoprimário e secundário em estrela isolada.


Liaacão E: Primário em Estrela isolada e Secundário em Triângulo (A)

Fechando o triângulo, aparece um caminho para a circulação da corrente de terceira harmônica, que garante a força magnetomotriz de terceira harmônica necessária para tornar o fluxo magnético senoidal. Dessa forma, as tensões de fase do primário e do secundário tornam-se senoidais e a componente de tensão de terceira harmônica que existia entre neutro e o terra desaparece, pois o fluxo magnético é senoidal.

O comportamento das tensões e correntes no transformador trifásico com o primário em estrela isolada e o secundário em triângulo (A) em apresentado na figura 4-52.

189

Joel Rocha Pinto

CH1 1.00V CH2 1.0ÒV M 5.00ms CH1 /T o k J L l i Titg-d M Pos: O.OOOí

iV \A ^ / \A ^ A ^ W v A ^ V vNEVm>

CH1 20.0V M lO.Ofí» CH1 f

Figura4”52: Comportamento das principais formas deonda do transformador trifásico com o enrolamentoprimário em estrela isolada e o secundário em triângulo.

190

1


4.8 Deslocamentos Angulares

De acordo com as ligações dos enro la1116 . « suas polaridades magnéticas, as tensões de lado primário e o lado secundário dos trsn^ o^ .M trifásicos podem apresentar deslocamento^ jextremamente importante verificar os de$l°C;,. ;1', 1 angulares das tensões de linha dos transfoi^;:||^ quando pretende-se interligá-los em paralelo. t a j

As regras para a nomenclatura, convenção para o deslocamento transformadores é estabelecida pela INBR-5356-

Para exemplificar, tem -se a seguir>te conforme a convenção dos ponteiros do l os lfeil|'i relógio: | | | i

- Grandezas de Alta Tensão: íMi;- Letra maiúscula;- Ponteiro dos minutos.

- Grandezas de Baixa Tensão:- Letra minúscula;- Ponteiro das horas.

A seguir, alguns esquemas de liçjaÇoes^primário e o secundário serão definidos, d e f°rn>5 a rotação de fase (deslocamento a n g u 'ar lembrando que enrolamentos magneticam ente ^ têm as tensões em fase. í

Dd . Víi \ltt I

Deslocamentos angulares de fas&LGrupo 1 - deslocamento nulo (YyO; DdO; D zO)Grupo 2 - deslocamento de 180° (Y y l8 0 ° ;D zl80°)Grupo 3 - deslocamento de -30° (Dy-30°;3 °°) n | lGrupo 4 - deslocamento de +30°( Dy+30° ;Yz+30°). M ;

191

Joel Rocha Pinto

Figura 4-53: Esquema da ligação Dy5.

Figura 4-54: Esquema da ligação D yl.

Figura 4-55: Esquema da ligação Dy7.

192


* *à/tS / j ! 1 « Y s r

4/ ?▼/ ?▼/

y1 y r J s

Figura 4-56: Esquema da ligação Yd3.

R

Vrn I V sn i V tn]

Figura 4-57: Esquema da ligação Y d l l .

Figura 4-58: Esquema da ligação Yy8.

193

Joel Rocha Pinto

R

Figura 4-59: Esquema da ligação Dd2.

R

Figura 4-60: Esquema da ligação DdO.

Figura 4-61: Esquema da ligação Dd6.


Figyra 4-62: Esquema da ligação Yd l.

4.9 Paralelismo de Transformadores

As razões para se efetuar o paralelismo de transformadores são:- Necessidade de ampliação das instalações;- Limitação das potências unitárias (potências elevadas; necessidade de arrefecimento; dificuldade no transporte devido ao peso e dimensões);- Operação sob condições mais adequadas de carga.

Condições essenciais oara o paralelismo:a) Mesma polaridade dos enrolamentos.A figura 4-63 exemplifica tal condição.

195

Joel Rocha Pinto

Figura 4-63: Esquema da ligação de doistransformadores monofásicos em paralelo.

b) Mesma rotação de fase.A figura 4-64 ilustra um exemplo de dois

transformadores trifásicos, o T i na ligação Yd l e o T2 na ligação Y d l l , cujos deslocamentos angulares não permitem o paralelismo dos mesmos.

196


V S R

R

V r n !

Figura 4-64: Esquema de dois transformadores trifásicos, cujos deslocamentos angulares não permitem o paralelismo dos mesmos.

Condições integrantes para o paralelismo:a) Mesma relação de transformação, porém

diferentes impedâncias de fase.Análise da divisão de cargas nos dois

transformadores com impedâncias Zi e z2 diferentes, apresentados na figura 4-65.

197

Joel Rocha Pinto

r ~ z n - ü »

Figura 4-65 : Esquema elétrico de dois transformadores em paralelo com diferentes impedâncias em fase.

Sabendo que:S = V\J s = s {+s2S\ = V'2.I{ => S = V'2.I[+ V'2J 2 [4.112]S2 = V’2.I2 S = V'2.(Ii + I2) = V 2.IE:Av — zlJ ] =z2.I2 r . . . , ,F ' 2 = Z ' . / = Z ’ . ( / , + / 2 )

Assim, a potência que o transformador T2 irá fornecer é:

198


7, + / 2 = 7 => 7, = I ~ I 2 ÀV = Zj ./j = z 2 .7 2

z,.(7 — 72) = z2.72

Zj.7 = Z2-/2 + Zj./2 z1./ = (z1+ z 2)./2 f

1 = L[4.114]

V z i + z 2 7

v zi + z2 yj r 2 = i2y'

s = s.\ z \ + z 2 y

sera:E a potência que o transformador T i irá fornecer

7, + / 2 = 7 => I 2 = I -7 j

Á v = z r 7 , = z 2 .7 2

Zj.7, = z 2. (7 -7 , )Zj .7 j = z 2 .7 — z 2 .7 j

z , . 7 | + z 2 .7 l — z 2. 7

(Zj + z 2) . 7 , = z 2 .7

z77 , =

v zi + z2 y.7

I V' =l\.V 2

\

5i =Vzi + z2y

[ 4 .

199

b) Diferentes relações de transformação e diferentes impedâncias.

Análise da divisão de cargas nos dois transformadores com diferentes relações e diferentes impedâncias zx e z2/ apresentados na figura 4-66.

Joel Rocha Pinto

Figura 4-66: Esquema elétrico de dois transformadores em paralelo com diferentes relações e diferentes impedâncias.

Considerando as tensões Ei e E2:E x = Z j . / j -l- Z . I

/ = / ,+ / ,E x — Z | . / j + Z . 1 x + Z . / 2 [ 4 . 1 1 6 ]

= (z i + Z J 2_ ^ — ( z t + Z ) . / ,

2 ~

200


E2 = z2.I2 + Z .l

/ = / . + / 2

E-, = z?./2 Z./j + Z ./2 E 2 — Z .11 + (z2 + Z).I2

_ E x - (z, + Z).IX

£ 2 = Z . / l + ( z 2 + Z ) . f ^ L _ Í £ ! _ t l k

z

oz

Z.E2 = Z 2./, + z2.Ex + Z .E { - z 2.Ir (zl + Z ) -Z . / , . ( z l + z )

Z.E2 = Z 2 ./j + z2 + Z.£, - z,.z2 - Z.z2./, - Z.z,./, - Z 2 /, .[z, .z2 + Z.(z, + z2)] = z2 .Ex + Z.(£, - E2) j __ z2.£, +Z.(£ , - E 2)

1 z,.z2 + Z.(z, + z2)[ 4 . 1 1 7 ]

Onde tem-se a corrente I x resultante que vai para ccarga:

/ , = ---------------------- [ 4 . 1 1 8 ]

Z\.Z2 + Z.(Z] + z2)

E a corrente I>, de circulação resultante da diferençaentre Ei e E2/ cujo valor se anula quando as relações sã<iguais (a i = a2).

I? = — — [4 . 1 1 9 ;zt .z2 + Z.(zj + z2)

Analogamente, a corrente total I 2 é:/ _ z i ' ^ 2 + Z . ( E 2 - E { ) [ 4 . 1 2 0

z r z 2 + Z . (z , + z 2)

Observações:

201

1 ) Barramento em vazio, implica em Z - » o o .

E x — zv I Xyazjo — E 2 — z2 -12 m:ío

E \ ~ E 2 = ~Z2 ' 2wzi0 + Z\ 1

A = - / 2 [4.121]1 vazio vazio

— E 2 — z2./] + Zj ,/j1 ^ ^ 1 vazio 1 1 vazio

Ej - E 2_

L„in 1

Joel Rocha Pinto

2) Relação das correntes:A ^ z 2 - ^ i + Z . ( E { - E 2 ) =

I 2 z v E 2 + Z . ( E 2 - E x) S 2

i^ _ z2.E1+ z .(E1 E 2) = SL = k [4.122]

4.10 Autotransformador

A definição teórica de um autotransformador é a de um transformador que só tem um único enrolamento.

Através dessa definição, um transformador de múltiplos enrolamentos pode ser considerado um autotransformador, desde que os seus enrolamentos estejam totalmente ligados em série, na condição aditiva ou subtrativa.

O autotransformador também pode ser construído para ser variável, análogo a um resistor variável ou potenciômetro, sendo um divisor de tensão ajustável.

A constituição dos autotransformadores variáveis é baseada num simples enrolamento, normalmente acondicionados em núcleos de ferro toroidal. 0 autotransformador variável tem uma escova de grafite solidária a um eixo rotativo, fazendo o contato com as espiras expostas do enrolamento do autotransformador.

A utilização de autotransformadores variáveis é extremamente importante em laboratórios ou situações

202


experimentais, onde se requer uma larga faixa de ajuste de tensão com uma pequena perda de potência.

A potência aparente de um transformador convencional aumenta quando ele é ligado como autotransformador. Esse aumento de potência é conseguido em função de que toda a energia recebida pelo primário é transferida ao secundário por meio apenas do acoplamento magnético entre os enrolamentos do transformador convencional, já no autotransformador, parte da energia pode ser transferida condutivamente do primário para o secundário, e o restante da energia é transferida por ação da transformação do acoplamento magnético entre os enrolamentos.

Dessa forma um autotransformador apresenta dimensões físicas menores do que um transformador convencional com a mesma capacidade de potência.

O princípio de ligação de um autotransformador pode ser verificado através do esquema inicial de ligação de um transformador monofásico na figura 4-67 comparado com o esquema de ligação do autotransformador apresentado na figura 4-68.

Ni N 2

Figura 4-67 : Esquema elétrico de ligação de umtransformador monofásico.

203

Joel Rocha Pinto

Ni N;1 AUTO •

4>! AUTO

V?. AUTO

V l AUTO

Figura 4-68a : Esquema elétrico de ligação de um autotransformador monofásico.

V i AUTO

V l T R A F O N i5 l N2 V'2 TRAFO

I N ir » ......1

c N2 V 2 A U T O

VlAUTO

N1

N2; V2AUTO

Figura 4-68b: Esquema elétrico de ligação de um autotransformador monofásico.

204

Comparações do Autotransformador com o Transformador:1. Fator Econômico:Apresenta uma vantagem que pode repercutir de 2,5 a 20 vezes o volume de custo em relação ao transformador.2. Desvantagem Técnica:Não há isolação entre os circuitos primário e secundário.

Relações entre tensões no autotransformador:Considerando o fluxo mútuo no núcleo do autotrafo

como:<f>m»,,,o(t) = <t>„á x .Ç O S(w t) [4.123]Assim:

e\auS0=~(W. + N2) >eUw,Xt)={N, + N2)<fiwsen(wt) [4.124]dt

e2<„,,<,(t) = ~ N2 => e2„„„(0 = Af2Í>wsen(w/) [4.125]

Considerando o autotrafo como ideal, portanto não há queda de tensão, assim:

v>= elmtc(t) = (N I +4.126]

v 2 = e2aM(t) = N Jw sen (w t)

Onde:

E:V lm» .„= F ,V 2 e V 2m = r 2V2 [4.128]

Logo:


205

Joel Rocha Pinto

^.,„„ = 4,44,/'.(W1+iV2) - ^^ « , = 4 ,4 4 . / .^ .^

a = ^1+^2 NjK N2 n 2

-^>ciaut0—atraf0+\

[4.129]

[4.130]

Relações entre as correntes noautotransformador:

A figura 4-69 apresenta o esquema elétrico de ligação de um autotransformador monofásico com os sentidos das correntes.

H A U T O

Vi A U T O

V 2 A U T O

Figura 4-69: Esquema elétrico de ligação de umautotransformador monofásico.

Lembrando que:1 = 1,

4 mafo

[4'131]K auto 1 trajo

Pelo transformador, tem-se:

206


N r I { = 0(rafo 2 2(rafo

Ari . / ,^ - i V 2./ = 0

1 ' I l a u t o ~ ^ 1 ' ( / l a u t o ~ / a u t o ) = ^

(N i+N 2).IlaMO = N2J 2mM

[4.132]

Logo:

A ,,,. W + N J/,

1a u to **

aauto [4.133]

Comoaracão entre as potências como transformador e autotransformador:

A comparação entre as potências do transformador e do autotransformador apresentados na figura 4-70, será:

Í1 AUTO

Figura 4-70 : Esquema elétrico de ligação de umtransformador monofásico e de um autotransformador monofásico.

S =V *f =V */tra fo lj.aj6 \„.afo 2 ^ 2 ímtò

S =v */ */oautO )(julo auto 2au ,o ^ auto

[4.134]

207

Joel Rocha Pinto

Para comparar as potências aparentes disponíveis, a máquina nas duas condições deve gerar:

Pferrotrafo + Pjouletrafo = Pferroauto + Pjouleauto Para mesma Pferro => mesmo <t)mútu0no núcleo Para mesma Pjoule no primário => mesma

corrente no enrolamento de N . espiras.Assim:

S =V */ -V */° a u t o V 1 \aut> y 2 auk) 1 2 auta [4.135]

Sabendo que:^„„B = 4,44./.(JV,+Ar2) . ^

^ = 4 ,4 4 ./ .^ .^ , .[4.136]

Ou seja:V, n x+ n 2

K1 trafo=> K =

Nx+N2

N,V, trafo

[4.137]

Portanto:

S =V *1 =autO 1 a ii Io

r N ,+ N fN

Vx */, =v trafo 1 trajo

r N l+N f

tf,*s.tra fo

auto

í , N f 1 1+—

N * S t r a f o = > S ta u to = 1+—V a trafo J

*Ç° trafo

[4.138]

208


4.11 Exercícios

1) Seja um transformador de 1.000 KVA em que, nas condições nominais, a perda no núcleo é de 4,5 KW e as perdas Joule nas resistências iguais a 13,5 KW. Calcular o rendimento para:a) Plena Carga.b) Meia Carga.c) 1/4 de Plena Carga.Onde F.P da carga = 0,8 indutivo.

Resp. :a) 97 ,80% b) 98,06% c) 97,40%

2) Um transformador de 10 KVA, 60 Hz, 4.800/240 V é ensaiado a vazio e a curto-circuito:Ensaio à Vazio: 60 W; 240 V; 1,5 A (lado da B .T .).Ensaio em Curto-Circuito: 180 W; 180 V; correntenominal (lado da A .T .).Utilizando estes dados, calcule:a) O circuito equivalente referido para o primário e secundário.b) A regulação de tensão do transformador à plena carga e F.P. de carga unitário.

R e sp .:b) 1 ,92%

3) Um transformador de 100 KVA, 60 Hz, 12.000/240 V é ensaiado a vazio e a curto-circuito:Ensaio à Vazio: 480 W; 240 V; 8,7/5 A (lado da B .T .). Ensaio em Curto-Circuito: 1.200 W; 600 V; corrente nominal (lado da A .T .).Utilizando estes dados, calcule:a) A regulação de tensão para carga nominal com F.P. = 0,8 em atraso.b) Rendimento para F.P = 0,8 em atraso a V2 , 3A e 5/4 da carga nominal.c) A fração da carga para qual ocorre rendimento máximo.

209

Joel Rocha Pinto

d) O rendimento máximo para uma carga de F.P. = 0,8 em atraso.

R esp .:a) 3 ,97% b) 9 8 ,0 8 % ;9 8 ,0 9 % ; 97,67% c) 0,6324 d) 98 ,14%

4) Um transformador de 20 KVA, 1.200/120 V, que está permanentemente ligado, é carregado com cargas de F.P. unitário durante um período de 24 horas, como segue:- 5 horas à plena carga;- 5 horas à meia carga;- 5 horas a 1A de carga.O rendimento máximo ocorre à piena carga e vale 97%. Calcule o rendimento diário.

R esp .: 95 ,04%

5) Num teste de circuito aberto e de curto-circuito de um transformador monofásico de 25 KVA, 2.400/240V, 60 Hz, obteve-se os seguintes valores:Ensaio em Vazio (B .T .): Vo = nominal; Io = 1,6A; Po = 114W.Ensaio em Curto (A .T .):Vcc = 55V; Icc = nominal; Pcc = 360W.a) Calcule as perdas no núcleo.b) Qual a perda no cobre a plena carga.c) Calcule a regulação de tensão para a condição de plena carga com F.P.= 0,65 atrasado. Adotar V'2 com referência.d) Determine os valores das tensões e das correntes do primário (V I e I I ) e do secundário (V2 e 12), para a condição de plena carga com F.P. = 0,65 atrasado. Adotar V'2 como referência.e) O que deve ser feito na relação de transformação do transformador para garantir 240 volts na carga. Qual é a nova relação de transformação.f) Determine os rendimentos do transformador quando ele alimenta cargas com 20%, 80% e 120% da nominal, com F.P. = 0,80 indutivo. Sabendo que o rendimento máximo

210


vale 98,01% e ocorre com 56,27% da carga nominal, quando com carga com F.P. = 0,80 indutivo.

R e sp .:а) 114W b) 360W c) 2 ,46% f) 96 ,8 9 % ; 97 ,89% ; 97,42%

б) Um transformador de 25 KVA, 2.400/240 V consome 254 W, com F.P. = 0,15, quando 240 V são aplicados no lado de baixa tensão, com o lado de alta tensão em aberto. Calcule a corrente que é fornecida pela linha quando 2.400 V forem aplicados no lado de alta tensão, com o lado da baixa tensão em aberto.

R esp .: 0 ,7056A

7) Um transformador de 100 KVA tem perdas no núcleo medidas de 1.250 W, na tensão nominal. O teste de curto- circuito foi executado a 125% da corrente nominal e a potência de entrada foi medida como 2.875 W. Calcule o rendimento deste transformador quando ele entrega a potência nominal em kVA, com um fator de potência de 0,9 atrasado.

R esp .: 96 ,68%

8) Um transformador monofásico de 100 KVA,11.000/2.200V, 60 Hz, foi ensaiado e apresentou os seguintes valores:Ensaio em Vazio (B .T .) : Vo = nominal; Io = 1,59A; Po = 980W.Ensaio em Curto (A .T .): Vcc = 580V; Icc = nominal; Pcc = 1.100W.a) Determine os valores das tensões e das correntes do primário (V I e I I ) e do secundário (V2 e 12) quando o transformador utiliza 110% da sua capacidade nominal para alimentar uma carga com F.P. = 0,95 indutivo. Adotar V I como referência e utilizar o circuito simplificado. Determinar a regulação de tensão do transformador.

211

Joel Rocha Pinto

b) Determine o rendimento do transformador quando ele alimenta cargas com 50%, 80% e 120% da nominal do transformador com F.P. = 0,85. Sabendo que orendimento máximo do transformador ocorre com 94,39% da carga nominal, quando com carga com F.P. = 0,85 e vale 97,62% .

Resp. :a) 11000Z 0°V ; 10 ,0Z -18 ,19°A ; 2142 ,7 Z -2 ,94°V ; 49,1 Z- 16 ,66°A b) 97 ,14% ; 97 ,59% ; 97,55%

9) Um transformador com valor nominal de 100 KVA tem perdas totais no cobre de 700W, quando opera com 80% da corrente nominal. Em vazio e sob tensão nominal, a potência de entrada é de 950W. Determine o máximo rendimento deste transformador quando alimentando uma carga cujo F.P. = 0,90 indutivo.

R esp .: 97 ,78%

10) Um transformador monofásico 250KVA, 24.200/220V fora ensaiado apresentando os seguintes dados:Ensaio em Vazio (B .T .): 16A; 1.200W; Vnominal Ensaio em Curto (A .T .): Inominal; 1.700W; 600V Utilizando o circuito equivalente do transformador referido para o lado de A.T. e adotando V '2 como referência, determine a regulação de tensão do transformador quando ele opera com um fator de carga de 0,85 e um fator de potência de 0,92 indutivo.

R esp .: 1 ,36%

11)Um transformador monofásico de 30 KVA; 2.200/110 V, 60 Hz apresenta os seguintes dados dos ensaios normais:Ensaio em Vazio (B .T .): 5,0 A; 150 W; Tensão Nominal. Ensaio em Curto-Circuito (A .T .): Corrente Nominal; 550 W; 85,0 V.

212


Tal transformador irá operar com 80% de sua capacidade nominal a uma carga cujo F.P. é de 0,90 atrasado.a) Determinar a regulação de tensão do transformador para essa carga.b) Determinar o rendimento do transformador para essa carga.c) Determinar a carga para qual o rendimento do transformador seja máximo.

R esp .:a) 2 ,56% b) 97,33% c) 0,5222

12) A indução máxima de um transformador alimentado por Va = 220V e fa = 60 Hz é igual a BmáX..Supondo que todas as dimensões lineares sejam duplicadas, que os números de suas espiras primárias e secundárias sejam reduzidos à metade e que o transformador, assim modificado, passe a ser alimentado por Vb = 110V e fb = 30 Hz, pergunta-se: qual será a nova indução máxima B máx. mantendo o mesmo material de seu núcleo? Demonstrar algebricamente sua justificativa.

13) Um transformador de 200 KVA tem perdas no núcleo medidas de 2.500 W, na tensão nominal. O teste de curto- circuito foi executado a 80% da corrente nominal é~a potência de entrada foi medida como 3.000 W. Calcule o rendimento desse transformador quando ele entrega a potência nominal em KVA, com um fator de potência de 0,9 atrasado.

R e sp .: 96 ,16%

14)Um transformador monofásico de 50KVA, 200/2.000 V, 60 Hz, apresenta rendimento máximo quando fornece 40KVA à uma carga com fator de potência de 0,8 indutivo, e esse rendimento vale 94% . Pede-se qual o valor da 'Perda no cobre do transformador nessa condição e qual o valor da perda no cobre para a condição de plena carga. R esp .: 1021,28W e 1595,74W

213

Joel Rocha Pinto

15) Um transformador monofásico de 10KVA, 200/2.000 V, 60 Hz, apresenta rendimento máximo quando fornece 8 KVA à uma carga com fator de potência de 0,8 indutivo, e esse rendimento vale 94%. Pede-se qual o valor da perda no cobre do transformador nessa condição e qual o valor da perda no cobre para a condição de plena carga.

R esp .: 204 ,26W e 31 9 ,15W

16) Um transformador de 50KVA, 400/4.600V, 60 HZ, tem 750 W de perda no ferro e resistência ôhmica dos enrolamentos de 0,06Q referida para o lado da baixa tensão. Qual o valor do rendimento desse transformador quando fornece uma potência nominal a uma carga resistiva? Qual a condição de máximo rendimento?

R esp .: 96 ,735% e k,,máx =0,894

17) Um transformador monofásico 225KVA, 24.200/220V fora ensaiado apresentando os seguintes dados:Ensaio em Vazio (B .T .): 15A; 1.125W; Vnominal Ensaio em Curto (A .T .): Inominal; 1.800W; 605V Utilizando o circuito equivalente do transformador referido para o lado de A.T. e adotando V '2 como referência, determine a regulação de tensão e o rendimento do transformador quando ele opera com um fator de carga de 0,9 e fator de potência de 0,75 indutivo.

R esp .: 1 ,97%

18) Um transformador com valor nominal de 1.100 KVA passa pelo teste de curto-circuito com uma corrente igual a 75% do valor nominal, consumindo uma potência de 7.030W. Um teste de circuito aberto também é executado, e na tensão nominal, a potência de entrada é medida como 9.850W. Determine o rendimento máximo para uma carga com fator de potência unitário.

R esp .: 98 ,02%

214


19) Os ensaios normais de um transformador monofásico de 75 KVA; 24,2/0,22 KV apresentaram os seguintes dados:Ensaio em Vazio (B .T .): 2,6A; 330W; Vnominal Ensaio em Curto (A .T .): Inominal; 900W; 1.210V Utilizando o circuito equivalente do transformador referido para o lado de A.T. e adotando V '2 como referência, determine a regulação de tensão e o rendimento do transformador quando ele opera com um fator de carga de 0,8 e um fator de potência de 0,85 indutivo.

R esp .: 2 ,91% e 98,25%

20) Um transformador com valor nominal de 40 KVA tem perdas totais no cobre de 250 W, quando opera com 50% da corrente nominal. Em vazio e sob tensão nominal, a potência de entrada é de 700 W. Determine o máximo rendimento deste transformador quando alimentando uma carga cujo F.P. = 0,90 indutivo.

R esp .: 95 ,03%

21)Um transformador monofásico de 300 KVA; 12.000/2.200 V, 60 Hz apresenta os seguintes dados dos ensaios normais:Ensaio em Vazio (B .T .): 3,57 A; 2.140 W; Tensão Nominal Ensaio em Curto-Circuito (A .T .): Corrente Nominal; 1.934 W; 231,5 VO transformador opera com 100% de sua capacidade nominal a uma carga cujo F.P. é de 0,95 atrasado.a) Determinar a regulação de tensão do transformador para essa carga.b) Determinar o rendimento do transformador para essa carga.c) Determinar a carga para qual o rendimento do transformador seja máximo e o seu respectivo rendimento.R e sp .:a) 1 ,24% b) 98 ,59% c) 1 ,052; 98 ,59%

215

Joel Rocha Pinto

22) A indução máxima de um transformador alimentado por Va = 110V e fa = 60 Hz é igual a Bmax..Supondo que todas as dimensões lineares sejam duplicadas, que os números de suas espiras primárias e secundárias sejam reduzidos à metade e que o transformador, assim modificado, passe a ser alimentado por Vb = 220V e fb = 60 Hz, pergunta-se: qual será a nova indução máxima B máX. mantido o mesmo material de seu núcleo? Demonstrar algebricamente a sua justificativa.

23) Um transformador de 250 KVA, 60 Hz, 2.000/240 V é ensaiado a vazio e a curto-circuito:Ensaio à Vazio: 1.200 W; Vnominai; 21,88 A(lado da B.T.) Ensaio em Curto-Circuito: 3.000 W; 100 V; corrente nominal (lado da A .T .).Utilizando estes dados, calcule:a) A regulação de tensão quando o transformador opera com um fator de carga de 0,7 e com F.P. = 0,85 em atraso. O que efetivamente pode ser feito para que a tensão nesta carga seja nominal? Qual será a nova relação de transformação do transformador?b) Rendimento para F.P = 0,85 em atraso a V2 , 3A e 5/4 da carga nominal.c) O rendimento máximo para uma carga com F.P = 0,85 em atraso.

R esp .:a) 2 ,58% b) 98 ,20% ; 98 ,22% ; 97,83% c) 98 ,25%

24) Um transformador monofásico de 1.000 KVA, 6.000/220V fora ensaiado e apresentam os seguintes dados:Ensaio em Vazio (lado da B .T .): V0 = tensão nominal; P0 = 4.500W; I0 = 70A.Ensaio em Curto (lado da A .T .): Icc = corrente nominal; Pcc = 13.500W; Vcc = 150V.Determine:a) O circuito equivalente do transformador referido para 0 lado da A.T.

216


b) A regulação de tensão quando o transformador operar com um fator de carga de 0,95 e F.P. = 0,92 atrasado. Adotar V '2 como referência.c) O rendimento máximo do transformador com F.P. = 0,92 atrasado.

Resp. :b) 1 ,99% c) 98,33%

25) Um transformador monofásico de 100 KVA, 7.600/220V fora ensaiado e apresentam os seguintes dados:Ensaio em Vazio (lado da B .T .): V0 = tensão nominal; P0 = 450W; FP0 =0,29Ensaio em Curto (lado da A .T .): Icc = corrente nominal; Pcc= 1.350W; FPCC =0,59Determine:A regulação de tensão quando o transformador operar com um fator de carga de 0,90 e F.P. = 0,85 atrasado. Adotar V '2 como referência.

R esp .: 1 ,72%

26) Tem-se dois transformadores que foram projetados com as mesmas condições (tensões, potência, condutores e material ferromagnético do núcleo). Um trabalha com 50 Hz e o outro trabalha a 60Hz. Qual transformador é maior? Explique matematicamente.

27) Um transformador monofásico de 125 KVA, 2.400/240 V, consome 1.270W F.P. = 0,15 indutivo, quando 240 V são aplicados no lado da baixa tensão, com o lado da alta tensão em aberto. Calcule a corrente que é fornecida pela linha quando 2.400 V forem aplicados no lado da alta tensão, com o lado da baixa tensão em aberto.

R esp .: 3 ,53A

28) Analise as condições de tensão, potência aparente, perdas Joule nos enrolamentos, para que um

217

Joel Rocha Pinto

transformador de projetado para 50 Hz passe a funcionar em uma rede elétrica de 60 Hz.

29) Um transformador de 20 KVA, 1.200/120 V, que está permanentemente ligado, é carregado com as seguintes cargas durante um período de 24 horas, como segue:- 8 horas à plena carga, com fator de potência de 0,95 indutivo.- 5 horas à meia carga, com fator de potência de 0,90 indutivo.- 3 horas a 1A de carga, com fator de potência de 0,85 indutivo.O rendimento máximo ocorre com um fator de carga de 0,85 e com fator de potência de 0,95 indutivo, valendo 98%. Calcule o rendimento diário.

R esp .: 97 ,17%

30) Um sistema industrial de porte razoável necessita de um transformador de 10 MVA para alimentá-lo. Sabendo- se que este sistema fica 8 horas por dia com carga nominal e o restante do dia fica em vazio, um estudo foi efetuado e verificou-se que existiam dois transformadores que poderiam atender esse sistema. Um transformador (A) que apresenta rendimento nominal de 99% e perdas à vazio de 0,5% e um transformador (B) que apresenta rendimento nominal de 98,8% e perdas à vazio de 0,3% . Determine:a) Qual o transformador que deve ser escolhido para uma melhor economia de energia?b) Qual a diferença econômica anual (U$/ano) que existe entre os transformadores, sabendo-se que o valor da energia consumida é da ordem de U$ 140,00/MWh?

R esp .: a) Trafo B

218


31) Um transformador trifásico de 1.500 KVA, 24,2/0,22 KV, ligação A/Y, 60 Hz, foi ensaiado e apresentou os seguintes valores:Ensaio em Vazio (B .T .) : v0 = 1,0 p.u.; i0 = 0,0102 p.u.; p0 = 0,0017 p.u.Ensaio em Curto (A .T .): vcc = 0,0496 p.u.; icc = 1,0 p.u.; pcc = 0,015 p.u.a) Determine o circuito equivalente do transformador em p.u.b) Determine o circuito equivalente do transformador refletido para o lado da B.T. em valores ôhmicos.c) Determine o rendimento do transformador para asseguintes cargas:50% da nominal, F.P. = 0,92 indutivo;80% da nominal, F.P. = 0,92 indutivo;100% da nominal, F.P. =0,92 indutivo.d) Determine o rendimento máximo e a respectiva carga.

R esp .:c) 98 ,8 3 % ; 98 ,49% ; 98 ,22% d) 98 ,91% ; 0 ,3367

32) Um transformador trifásico de 100 KVA, 12.000V/240 V, ligação A/Y, 60 Hz, foi ensaiado e apresentou osseguintes valores:Ensaio em Vazio (B .T .): v0 = 1,0 p.u.; i0 = 0,021 p.u.; p0 = 0,0048 p.u.Ensaio em Curto (A .T .): vcc = 0,05 p.u.; icc = 1,0 p.u.; pcc = 0,012 p.u.a) Determine o circuito equivalente do transformador em p.u.b) Determine o circuito equivalente do transformadorreferido para a B.T.c) Determine o rendimento do transformador para asseguintes cargas:50% da nominal, F.P. = 0,92 indutivo;80% da nominal, F.P. = 0,92 indutivo;100% da nominal, F.P. =0,92 indutivo.d) Determine o rendimento máximo e a respectiva carga.

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Joel Rocha Pinto

e) Determine a regulação do transformador para a seguinte carga: 100% da nominal, F.P. =0,92 indutivo. O que deve ser feito na relação de transformação do transformador para garantir 240 volts na carga. Qual é a nova relação de transformação?f) Especifique um disjuntor para o lado da B.T. (corrente de curto-circuito, potência de curto-circuito e corrente nominal).

R e sp .:c) 98 ,33% ; 98 ,33% ; 98,20% d )9 8 ,3 8 % ; 06325 e) 3 ,00% f) 5KA ou 2MVA

33) Um transformador trifásico de 750 KVA, 13.200/380V, ligação A/Y opera com as seguintes cargas:Carga A: 50% da capacidade nominal e F.P. =0,92indutivo, durante 6 horas.Carga B: 70% da capacidade nominal e F.P. = 0,85indutivo, durante 8 horas.Carga C: 90% da capacidade nominal e F.P. = 0,95indutivo durante 10 horas.Conhecendo os valores dos ensaios em P.U.:Ensaio em Vazio : i0 = 0,035 p.u.; p0 = 0,007 p .u.; v0 =1,0 p.u.Ensaio em Curto: icc = 1,0 p.u; pcc = 0,008 p.u.; vcc= 0,035 p.u.Determine:a) O rendimento de energia (diário).b) O custo da energia perdida anual. Considere uma tarifa média de U$200,00/MWh.c) O disjuntor de proteção no lado da B.T.

R esp .:a) 98 ,31% b) U$14.912,00/Ano c) 1200A; 35KA ou 25MVA

34) Um transformador trifásico de 1.000 KVA,12.000/220V,ligação A/Y, foi ensaiado e apresentou os seguintes valores:Ensaio em Vazio (B .T .): i0 = 0,021 p.u.; w0 = 0,0048 p.u.; v0 = 1,0 p.u.

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Ensaio em Curto (A .T .): icc = 1,0 P-u.; wcc = 0,012 p.u.; vcc = 0,05 p.u.Determine:a) O circuito equivalente do transformador referido para o lado da B.T.b) O rendimento do transformador para as seguintes cargas:50% da capacidade nominal e F.P. =0,92 indutivo;80% da capacidade nominal e F.P. = 0,82 indutivo;100% da capacidade nominal e F.P. = 0,92 indutivo.c) O rendimento máximo do transformador para F.P. = 0,92 indutivo.

R esp .:b) 98 ,33% ; 98 ,13% ; 98 ,21% c) 98,38%

35)Um parque fabril será instalado e conforme a figura 4- 71, que apresenta a sua curva de carga prevista, efetuou- se um estudo para adquirir transformadores que atendam a respectiva demanda. Dois fabricantes apresentaram os dados característicos dos seus transformadores como se segue:Transformador AZUL: w0 = 5,0% e wcc = 6,0% Transformador AMARELO: w0 = 4,6% e wcc = 6,4%a) Escolha o melhor transformador, demonstrando tecnicamente.b) Sabendo-se que o consumo médio diário está estimado em 1500MWh/dia, determine a economia média anual que será conseguida com a escolha do melhor transformador. Considere uma tarifa média de 220 U$/MWh.

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Curva de Carga

10 ,9 5 -

0 , 9 -

0 , 8 5

0,8 0 ,7 5 -

0 , 7

0 ,6 5 H

0,6 0 ,5 5

0 , 5

0 , 4 5 -

0 , 4 -

0 , 3 5 -

0 , 3 -

0 , 2 5

0 ,2 -

0 , 1 5 -

0,10 ,0 5 H

0

F.P. - 0,95

•P =J,9F.P. = 0,85

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

Tempo (Horas)

Figura 4-71R esp .:a) Trafo amarelo b) U$225.720,00/Ano

36) Um transformador de força de 750 KVA,24,2KV/380V, ligação A/Y, 60 Hz, impedância percentual a 75°C de 5% e pcc = 3%, alimenta um conjunto de cargas. Especifique o disjuntor a ser utilizado no lado da B.T. e a regulação de tensão percentual quando o transformador estiver operando com 90% da carga nominal e com o F.P. = 0,85 indutivo.

R esp .: 1200A ; 25KA ou 15MVA; 4 ,2%

37)Um transformador trifásico de 1.500 KVA, 13.800/440V, A/Y fora ensaiado e apresentou os seguintes dados:Ensaio em Vazio (lado da BT): V0 = P0 = I0 =Ensaio em Curto (lado da AT): Vcc = Pcc = Icc =

222


Mas os dados dos ensaios foram perdidos e sobrou apenas o circuito equivalente do transformador por fase referido ao lado da A .T., conforme o desenho da figura 4-72.

Figura 4-72

a) Determine os valores das grandezas elétricas dos ensaios em vazio e em curto-circuito.b) Utilizando os valores dos ensaios em P.U., determine a regulação de tensão do transformador quando operando com carga nominal e Fator de Potência de 0,95 indutivo.

R e sp .:a) V0~440V; I o=391,82A;Po=90,05KW ; VCC=1379,88V ;Icc=6 2 ,76A;PCC-105KW b) 8 ,88%

38) Um transformador de força de 750 KVA, 24,2KV/380V, ligação A/Y, 60 Hz, impedância percentual a 75°C de 4,5% e pcc = 2,83% , alimenta um conjunto de cargas. Especifique o disjuntor a ser utilizado no lado da B.T. e a regulação de tensão percentual quando o transformador estiver operando com uma carga nominal com o F.P. = 0,85 indutivo.

R esp .: 1200A ; 25KA ou 17MVA; 4 ,25%

39) Um transformador trifásico de 500 KVA, 13.200/380V, ligação A/Y opera com as seguintes cargas:

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Carga A: 50% da capacidade nominal e F.P. =0,99indutivo, durante 5 horas.Carga B: 70% da capacidade nominal e F.P. = 0,85indutivo, durante 8 horas.Carga C: 90% da capacidade nominal e F.P. = 0,95indutivo durante 11 horas.Conhecendo os valores dos ensaios em P.U.:Ensaio em Vazio : i0 = 0,035 p.u.; po = 0,007 p.u.; v0 =1.0 p.u.Ensaio em Curto: icc = 1,0 p.u.; pcc = 0,008 p.u.; vcc = 0,035 p.u.Determine:a) O rendimento de energia (diário).b) O disjuntor de proteção no lado da B.T.

R esp .:a) 98,19% b) 760A ; 15MVA

40) Um transformador trifásico de 1.500 KVA,24.200/220V, ligação A/Y opera com as seguintes cargas: Carga A: 40% da capacidade nominal e F.P. = 0,98indutivo, durante 4 horas.Carga B: 90% da capacidade nominal e F.P. = 0,95indutivo, durante 10 horas.Carga C: 70% da capacidade nominal e F.P. = 0,85indutivo, durante 10 horas.Conhecendo os valores dos ensaios em P.U.:Ensaio em Vazio : i0 = 0,0102 p.u.; p0 = 0,0017 p.u.; v0 =1.0 p.u.Ensaio em Curto: icc = 1,0 p.u.; pcc = 0,015 p.u.; vcc = 0,04965 p.u.Determine:a) O rendimento de energia (diário).b) O disjuntor de proteção no lado da B.T.

R esp .:a) 98 ,50% b) 4000A ; 80KA ou 30MVA

41) Um transformador de força de 500 KVA, 24,2KV/220V, ligação A/Y, 60 Hz, impedância percentual a

224


75°C de 4% alimenta um conjunto de cargas. Especifique o disjuntor a ser utilizado no lado da B.T.

R esp .: 1300A ; 12,5MVA

42) Um transformador trifásico de 500 KVA, 24,2KV/220V, ligação em A/Y, 60 Hz, apresenta os seguintes dados referente aos ensaios normais.Ensaio em Vazio (lado da B .T .): v0 = 1,0 p.u .; i0 = 0,021 p.u.; p0 = 0,0048 p.u.Ensaio em Curto (lado da A .T .): vcc = 0,05 p .u.; icc = 1/0p.u.; Pcc = 0,012 puDetermine:a) A regulação de tensão quando o transformador opera com F.P. = 0,85 indutivo.b) A regulação de tensão quando o transformador opera com F.P. = 0,85 capacitivo.c) O disjuntor de proteção do lado da BT (corrente nominal, corrente de curto-circuito e potência de curto).

R e sp .:a) 3 ,58% b) -1 ,54% c) 1500A; 10MVA

43) Um transformador trifásico de 1.500 KVA, 13,8KV/220V, ligação em A/Y, 60 Hz, apresenta os seguintes dados referente aos ensaios normais.Ensaio em Vazio (lado da BT): v0 = 1,0 p.u.; i0 = 0,021 p.u.; p0 = 0,0048 p.u.Ensaio em Curto (lado da AT): vcc = 0,05 p.u.; icc = 1,0p.u.; Pcc = 0,012 puDetermine:a) A regulação de tensão quando o transformador opera com carga nominal e com F.P. = 0,85 indutivo.b) O rendimento do transformador quando operando com 70% de carga e com F.P. = 0,85 indutivo.c) O disjuntor de proteção do lado da B.T. (corrente nominal, corrente de curto-circuito e potência de curto). R esp .:a) 3 ,58% b) 98,24% c) 4000A ; 30MVA

225

.Toei Rocha Pinto

44) Um transformador trifásico de 1.500 KVA, 24,2KV/220V, ligação em A/Y, 60 Hz, apresenta os seguintes dados referente aos ensaios normais.Ensaio em Vazio (lado da B .T .): v0 = 1,0 p.u.; i0 = 0,025 p.u.; p0 = 0,005 p.u.Ensaio em Curto (lado da A .T .): vcc = 0,047 p.u.; icc = 1,0 p.u.; pcc = 0,015 p.u.Determine:a) A regulação de tensão quando o transformador opera com carga nominal e com F.P. = 0,92 indutivo.b) O rendimento do transformador quando operando com 100% de carga e com F.P. = 0,92 indutivo.c) O disjuntor de proteção do lado da BT (corrente nominal, corrente de curto-circuito e potência de curto).

R esp .:a) 3 ,13% b) 97,87% c) 4000A; 90KA; 40MVA

45) Dois transformadores trifásicos, conectados em paralelo, alimentam uma carga trifásica de 1.500Z360 (KVA). Cada transformador trifásico tem as seguintes características:

Trafo 1: 1.000KVA; zi = 0,045Z78°O?.w.) ; 13,8/0,44 KV; Yd l.

Trafo 2: 1.000KVA; z2 = 0,065Z78°(p .w .); 13,8/0,44 KV; Yd l.Determinar a contribuição de carga oferecida por cada transformador.

R esp .:S 1 = 1114,3Z36°(KVA) e S 2= 385,7z36°(KVA)

46) Dois transformadores monofásicos, conectados em paralelo, alimentam uma carga monofásica de 1.000 KVA e um fator de potência de 0,8 indutivo. Cada transformador monofásico tem as seguintes características:

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Trafo 1: 400KVA; R'= 1 ,21 .10'3 Q; X = 7,26. 10 3í2; 13,8/0,22 KV.Trafo 2: 600KVA; R'= 0 ,8079 .10'3 Q; X = 4,038. 10“3Í2; 13,8/0,22 KV.Determinar a contribuição de carga oferecida por cada transformador.

R esp .:S 3 5 8 ,5 4 Z 3 5 ,6 8 o (KVA) e S 2 = 641 ,58z37 ,53°(K V A )

47) Tendo um sistema (1) de 13.800 V, deseja utilizar 13.200 V que é nomeado de sistema (2 ). Para fazer a interligação do sistema (2) utiliza-se um transformador de 100 KVA. Mas se for ligado o transformador como autotrafo, qual será a potência do autotrafo, ou seja que se pode retirar da rede?

R e sp .: 2300KVA

48) Um autotransformador abaixador deve ser usado para dar partida em um motor de indução, a fim de limitar o módulo da corrente de partida a um nível aceitável, que é conhecido como 34A, para uma tensão nominal da linha de 230 V. Em princípio, o autotransformador deve ser regulado em um ponto de derivação de 80%.a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d) Determine os VA condutivos.e) Determine o valor nominal, em VA, do autotrafo, para as condições indicadas.f) Determine o valor nominal de um trafo convencional equivalente que passa a ser utilizado como autotrafo.

R e sp .:a) 27 ,2A b) 6,8A c) 1251,2VA d) 5004/8VA e) 6256VA f) 46/184V; 1251,2VA

49) Transformador de 10 KVA, 60 Hz, 4800/240 V é ligado como autotrafo com polaridade aditiva.


227

Joel Rocha Pinto

a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d) Determine os VA condutivos.

R e sp .:a) 43 ,75A b) 2,08A c) 10KVA d) 200KVA

50) Transformador de 10 KVA, 60 Hz, 4.800/240 V é ligado como autotrafo com polaridade subtrativa.a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d) Determine os VA condutivos.

R esp .:a) 39,59A b) 2,08A c) 10KVA d) 180KVA

51) Uma chave compensadora é utilizada para dar partida em um motor de indução trifásico de 75 CV, 4 pólos, 60 Hz, ligação em A. A corrente de partida deste motor é de 7,4 vezes a corrente nominal dele.A chave compensadora é equipada com três autotransformadores abaixadores ligados em A. Inicialmente cada um deles é ligado no tap de derivação de 65%, de modo a limitar o módulo da corrente de partida a um nível aceitável, que é conhecido como 150A por fase.Sabendo que a tensão da linha é de 440 V. Determine os itens a seguir para um autotransformador apenas (por fase).a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d) Determine os VA condutivos.e) Determine o valor nominal, em VA, do autotrafo, para as condições indicadas.f) Determine o valor nominal de um trafo convencional equivalente que possa ser utilizado como autotrafo.

228


R esp .:a) 97,5A b) 52,5A c) 15KVA d) 28KVA e) 43KVA f) 154/286V; 15 KVA

52) O autotransformador da figura 4-73 será utilizado como abaixador de tensão de um sistema de 440V para 220V para poder alimentar uma carga cuja impedância é de 5,5;Q.

H AUTO ^

V 1 AU TO

f I Z M U I U

L» f +j *< « V2AUTO 7) * CARGA

Figura 4-73a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d) Determine os VA condutivos.e) Determine o valor nominal, em VA, do autotrafo, para as condições indicadas.f) Determine o valor nominal de um trafo convencionai equivalente que possa ser utilizado como autotrafo.

Resp. :a) 20A b) 20A c) 4400VA d) 4400VA e) 8800VA f) 220/220V 4400VA

53) Um autotransformador elevador de 110/760\ alimentará uma carga cujo módulo da impedância é de 9 ,í Q. Determinar:a) As correntes do autotransformador ( I iauto/ l 2auto (Icomum) ■b) As potências (total do autotransformador, transformadí e conduzida).

229

Joel Rocha Pinto

R esp .:a) 552 ,7A ; 80A ; 472 ,7A b) 60 ,8KVA; 52KVA; 8,8KVA

54) Para limitar a corrente de partida de um motor de indução em 70A, utiliza-se uma chave compensadora ajustada para um tap (derivação) do autotransformador abaixador de 70% . A tensão da rede é de 440 V. Determinar:a) As correntes do autotransformador ( I i auto# l 2auto e IComum)b) As potências (total do autotransformador, transformada e conduzida).

R esp .:a) 49A ; 70A; 21A b) 21560VA; 6468VA; 15092VA

55) O autotransformador da figura 4-73 será utilizado como abaixador de tensão de um sistema de 250V para 200V para poder alimentar uma carga cuja impedância é de 6Q.a) Determine a corrente de entrada do autotrafo.b) Qual o valor da corrente da bobina comum.c) Determine os VA transformados.d)Determine os VA condutivos.e) Determine o valor nominal, em VA, do autotrafo, para as condições indicadas.f) Determine o valor nominal de um trafo convencional equivalente que possa ser utilizadocomo autotrafo.

R esp .:a) 26 ,67A b) 6,66A c) 1334VA d) 5333VA e) 6667VA f) 50/200V; 1334 VA

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Referências

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Conversão Eletromecânica de Energia