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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO DE GEOCIÊNCIAS CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO CONVERSÃO TEMPO-PROFUNDIDADE DE SEÇÕES SÍSMICAS EMPILHADAS POR RAIO IMAGEM E RAIO NORMAL DIOGO PENA REZENDE BELÉM PARÁ 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CENTRO DE GEOCIÊNCIAS

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CONVERSÃO TEMPO-PROFUNDIDADE DE SEÇÕES SÍSMICAS

EMPILHADAS POR RAIO IMAGEM E RAIO NORMAL

DIOGO PENA REZENDE

BELÉM – PARÁ

2014

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DIOGO PENA REZENDE

CONVERSÃO TEMPO-PROFUNDIDADE DE SEÇÕES SÍSMICAS

EMPILHADAS POR RAIO IMAGEM E RAIO NORMAL

Dissertação apresentada ao curso de Pós-

Graduação em Geofísica do Instituto de

Geociências da Universidade Federal do Pará

para a obtenção do título de mestre em

Geofísica.

Área de Concentração: Métodos Sísmicos.

Orientador: Prof. Dr. João Carlos Ribeiro Cruz.

Banca Examinadora:

___________________________________ Prof. Dr. João Carlos Ribeiro Cruz (Orientador)

Universidade Federal do Pará

________________________________________

Prof. Dr. Pedro Andrés Chira Oliva

Universidade Federal do Pará

________________________________________

Prof. Dr. Manuel de Jesus dos Santos Costa

Universidade Federal do Pará

BELÉM – PARÁ

2014

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À memória de

Airton Mauro Rezende, meu pai.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, fonte de todas as oportunidades e possibilidades de sucesso as

quais foram colocadas em meu caminho.

À minha mãe pela força e incentivo nos momentos mais difíceis e encorajamento para

continuar seguir em frente.

Ao Prof. Dr. João Carlos Ribeiro Cruz pela paciência de disponibilidade para

orientação na confecção deste trabalho.

Aos membros da banca Professor Dr. Pedro Andrés Chira Oliva e Professor Dr.

Manuel de Jesus dos Santos Costa pela disponibilidade, conselhos, ajustes e dicas para o

melhoramento do trabalho.

Ao corpo administrativo do CPFG, formado pelas secretárias e todos os demais

funcionários no auxílio às questões burocráticas e conversas agradáveis.

Aos colegas Rizimar Cunha, Alexandre Sodré, Wildney Wallacy, Glauco Lira, e todos

os outros que estiveram ao meu lado nesta caminhada.

Ao CNPQ pela bolsa e incentivo ao seguimento na pós-graduação.

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RESUMO

A conversão de seções sísmicas tempo em profundidade vem sendo cada vez mais

realizada na indústria do petróleo pelo método do traçado de raio imagem. Este método

converte do tempo para a profundidade, ponto a ponto, as amplitudes da seção sísmica

migrada no tempo. Para cada ponto da seção migrada é traçado um raio, perpendicular a

superfície. Ao fim deste, a amplitude do ponto da seção migrada é colocada em profundidade.

O método de migração sísmica pré ou pós-empilhamento consiste em colocar os

eventos sísmicos nas posições mais próximas das reais em seções em tempo ou em

profundidade. Seções sísmicas em profundidade fornecem uma imagem aproximada da

subsuperficie, de modo a facilitar a identificação de possíveis estruturas geológicas

acumuladoras de petróleo. A conversão de seções do domínio do tempo para o domínio da

profundidade é considerada uma etapa intermediária do processo de construção de imagens

sísmicas em profundidade.

Neste trabalho é desenvolvido e testado o método de conversão tempo para

profundidade de seções sísmicas afastamento-nulo. A construção de seções em profundidade

é feita pelo traçado do raio normal. Este método utiliza como dado de entrada seções

afastamento-nulo no domínio (tempo de interseção versus vagarosidade). Cada ponto

neste domínio fornece as condições iniciais para o traçamento do raio normal: a posição

inicial de partida dos raios e os ângulos iniciais formados com a normal à superfície, ou seja,

os parâmetros de vagarosidades iniciais. Diferente do método do raio imagem, vários raios

são traçados para um mesmo tempo de trânsito e uma mesma posição inicial, definindo uma

curva isócrona. A amplitude de cada ponto da seção afastamento-nulo é convertida para a

profundidade a partir da distribuição destas ao longo de cada isócrona em profundidade.

A conversão por raio imagem tem boa recuperação da profundidade dos refletores com

curvatura suave além de baixo custo computacional, pois apenas um raio é traçado para cada

ponto da seção em tempo. Porém a continuidade dos refletores pode ser prejudicada no caso

de refletoras com curvaturas acentuadas. Por sua vez, a conversão por raios normais recupera

a profundidade e continuidade dos refletores de modo satisfatório, já que um mesmo ponto em

tempo é convertido varias vezes em profundidade. Entretanto, possui um custo computacional

mais alto, pois vários raios devem ser traçados para um mesmo ponto em tempo além de

converter os artefatos inerentes do Slant Stack.

Palavras chave: Migração, Conversão Tempo-Profundidade, Raio Imagem, Raio Normal.

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ABSTRACT

In general, the oil industry makes the time-to-depth conversion of seismic data by the

image ray tracing method. This method takes time into the depth, point to point, the

amplitudes of the time migrated seismic section. For each point of the migrated time section,

it is necessary to trace a ray perpendicular to the surface. After this, the amplitude of the

migrated point of the section takes place in depth.

The seismic migration method pre- or post-stack consists of placing seismic events in

the correct positions in time or depth sections. Seismic depth sections provide an image near

of the subsurface, in order to facilitate the identification of possible oil accumulating

geological structures. The conversion of sections from the time to the depth domain is an

intermediate step in the construction of seismic images in depth.

This work developed and tested a method of converting time to depth the zero-offset

seismic sections. In this case, the construction of sections in depth uses normal ray tracing

method. The proposed method makes use of the (slowness versus time of intersection)

transformation on the zero-offset section. Each point in the domain provides initial

conditions for the normal ray tracing: a start position of the initial rays and initial angles

formed with the normal to the surface, i.e., the slowness initial parameter. Unlike ray image

method, several rays use the same travel time and the same initial position, defining an

isochronous curve. The amplitude of each point in the zero-offset section takes place to depth

from the distribution of values along each isochronous curve in depth.

The image ray based time-to-depth conversion has good recovery of the depths of

reflectors as well as low computational cost, since it is necessary only one ray to convert each

point of the section in time. However, the reflector continuity may be damaged in case of

sharpened curvature. In turn, by normal ray the time-to-depth conversion correctly

approximate the depth of the reflectors, since the same point in time assigns several times in

depth. However, it has a higher computational cost, because it is necessary many rays to

convert one point in time.

Keywords: Migration, Time-Depth Conversion, Image Ray, Normal Ray.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Análise da geometria dos eventos sísmicos para o caso de um modelo de uma

camada plana-horizontal: (a) modelo; b) ondas diretas e refletidas; c) ondas diretas e refração

total. Por simplicidade, é assumido > 18

Figura 02 – Uma família de tiro comum (common shot gather) para o modelo da Figura 01,

sem nenhum tipo de ruído. Na ilustração, (a) denota a onda direta (linha tracejada), (b) a onda

refletida (linha cheia), e (c) a onda para refração total (linha pontilhada). As distancias criticas

1 e 2 determinam o inicio das refrações (também indicado pela seta) e o ponto a partir do

qual esses eventos são registrados antes das ondas diretas, respectivamente 20

Figura 03 – Ondas e efeitos gerados pela propagação de ondas sísmicas em um meio

geológico 21

Figura 04 – Esquema de um levantamento sísmico com uma fonte e cinco receptores. Ao se

transladar esse arranjo ao longo da linha sísmica planejada, vermos a repetição da iluminação

de pontos do refletor, o que provocará uma melhora na razão sinal-ruído 23

Figura 05 – Geometrias de aquisição end-one split spread. 24

Figura 06 – Percurso do raio para um ponto médio fonte - receptor em um refletor horizontal

com camada homogênea 25

Figura 07 – Representação de correções NMO. CDP original, CDP sobrecorrigido, correção

NMO com velocidade real (estiramento) e CDP subcorrigido, respectivamente. 26

Figura 08 – Fluxograma com as etapas do processamento utilizadas neste trabalho. 29

Figura 09 – Situação hipotética mostrando (a) a onda NIP produzida por um ponto difrator R

sobre o refletor (em azul) e (b) a onda N gerada por um experimento de refletor explosivo. As

frentes de onda (em laranja) correspondentes ao raio normal (em vermelho) em R propagam-

se de forma ascendente até atingir o ponto de emergência em o. 34

Figura 10 – Representação de um raio normal. O é simulado em um experimento de

afastamento nulo, o qual fonte e receptor estão no mesmo ponto. Este raio incide

perpendicular ao refletor R, no ponto D, sob a condição inicial de um ângulo inicial específico

para tal situação. 35

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Figura 11 – Relação entre o ângulo de emergência e o mergulho aparente do evento na seção

zero-offset

. Este mergulho é igual ao parâmetro do raio normal que chega a superfície. O

ângulo de emergência pode, deste modo, ser inferido a partir do mergulho da seção zero-offset

se a velocidade da superfície é conhecida . Esta equação é a base para a conversão

tempo-profundidade. 36

Figura 12 – O raio normal é retropropagado a partir da superfície, no ponto de incidência .

O raio inicia com ângulo de mergulho obtido da seção empilhada

. O raio é calculado

incremento a incremento utilizando a lei de Snell, com incremento de tempo . O raio é

traçado até que metade do tempo duplo de transito seja atingida /2. O último ponto do raio é

o ponto de reflexão sobre o refletor, sendo o refletor perpendicular ao raio. 38

Figura 13 – Esquema da conversão tempo-profundidade por raio normal. Seção no domínio

fornece o parâmetro inicial do raio. Pela equação do Slant Stack o tempo a ser

consumido no traçado do raio e a posição inicial são conhecidos para cada ponto da seção

. O raio normal é traçado e o valor da amplitude da seção empilhada em tempo é

colocado em profundidade. 41

Figura 14 – Modelo heterogêneo com velocidade variando nas direções do eixo x e eixo z. O

raio imagem é o único que forma um ângulo perpendicular com a superfície de medida,

partindo de um ponto difrator D em profundidade. Este ponto gera inúmeros raios os quais

formam frentes de onda. Estas frentes de onda seriam hiperbólicas para modelos homogêneos,

e curvas para heterogêneos. 43

Figura 15 – Representação de um raio central (em vermelho) entre um refletor (em azul) no

ponto R de incidência normal, juntamente com um raio SR’G na sua vizinhança,

esquematizando uma reflexão primaria. As frentes de onda NIP e N (pontilhadas) chegam a

superfície no ponto com um ângulo de emergência . 45

Figura 16 – Modelo sintético composto de 3 camadas homogêneas com um raio de

afastamento nulo ou incidência normal (em vermelho), parte inferior. Superfície de cobertura

múltipla (curvas em azul) correspondente às reflexões da segunda interface. As curvas em

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vermelho definem a superfície de empilhamento CRS, correspondente ao ponto R de reflexão

47

Figura 17 – Modelo composto por três camadas homogêneas e um raio de afastamento nulo

ou de incidência normal (em verde) – Parte Inferior. Superfície de cobertura múltipla (curvas

em azul) correspondente às reflexões da segunda interface. As curvas em verde definem a

superfície de empilhamento CDS, correspondente ao ponto R de reflexão (supostamente um

difrator). 48

Figura 18 – Modelo com três camadas homogêneas e um raio de afastamento nulo (em

vermelho) – Parte inferior. A curva (em azul) corresponde aos tempos de trânsito de

afastamento nulo das reflexões normais da segunda interface. A curva (em vermelho),

chamada curva de empilhamento, corresponde ao ponto de reflexão R, e é calculada pela

expressão (4.3). 49

Figura 19 - Uma trajetória curva no domínio – (à direita) e sua transformada (à

esquerda). Para dados discretizados – , o aliasing no domínio estará presente na

região listrada. Esta região é definida pelo lugar geométrico formado por todas as tangentes da

curva ou equivalente a todas as linhas tangentes a curva no domínio – . A abertura

formada mergulhos das direções em formam a região a qual o aliasing está presente.

Com o aumento da diferença entre a maior e menor direção de empilhamento em – ,

aumenta a região de aliasing em . 53

Figura 20 – Seção 2D migrada em tempo e seção de zero-offset. O campo de velocidade é

variável na vertical definida pela velocidade rms, sem variação lateral. A função do tempo de

trânsito tem a forma aproximada de uma hipérbole, que é valida para uma abertura de

migração limitada. O resultado desta soma é atribuído ao ápice desta curva de empilhamento,

considerando . 57

Figura 21 – Modelo 1 composto de seis camadas com velocidades constantes e interfaces

curvas. v1=1508m/s, v2=1581m/s, v3=1690m/s, v4=1826m/s, v5=2000 m/s, v6=2236 m/s

61

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Figura 22 – Modelo 1, seção empilhada obtida após correção NMO. 62

Figura 23 – Modelo 1, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS. 62

Figura 24 – Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando

a migração Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix. 62

Figura 25 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo

método de empilhamento de difrações CDS. 63

Figura 26 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da Figura 22. 63

Figura 27 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da Figura 23. 63

Figura 28 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CMP da Figura 24. 64

Figura 29 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CDS da Figura 25. 64

Figura 30 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 26. 64

Figura 31 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 27. 65

Figura 32 – Modelo 2 composto de três camadas com velocidades constantes e interfaces

curvas. v1=1508m/s, v2=1826m/s, v3=2000m/s. 65

Figura 33 – Modelo 2, seção empilhada obtida após correção NMO. 66

Figura 34 – Modelo 2, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS. 66

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Figura 35 - Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando

a migração Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix. 66

Figura 36 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo

método de empilhamento de difrações CDS. 67

Figura 37 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da Figura 33. 67

Figura 38 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da Figura 34. 67

Figura 39 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CMP da Figura 35. 68

Figura 40 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CDS da Figura 36. 68

Figura 41 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 37. 68

Figura 42 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 38. 69

Figura 43 – Modelo 3 composto de três camadas com velocidades constantes e interfaces retas

e curvas. v1=1508m/s, v2=1581m/s, v3=1690m/s, v4=1826m/s, v5=2000m/s. 70

Figura 44 – Modelo 3, seção empilhada obtida após correção NMO. 70

Figura 45 – Modelo 3, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS. 70

Figura 46 - Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando

a migração Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix. 71

Figura 47 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo

método de empilhamento de difrações CDS. 71

Page 13: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

Figura 48 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da Figura 44. 71

Figura 49 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da Figura 45. 72

Figura 50 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CMP da Figura 46. 72

Figura 51 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção

migrada CDS da Figura 47. 72

Figura 52 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 48. 73

Figura 53 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da

seção da Figura 49. 73

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SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO 16

2 – SÍSMICA DE REFLEXÃO 18

2.1 – AQUISIÇÃO DE DADOS: A TÉCNICA CDP 21

2.2 – PROCESSAMENTO SÍSMICO 23

2.2.1 – FLUXOGRAMA DO PROCESSAMENTO 23

3 – TEORIA DO RAIO 30

3.1 – EQUAÇÕES DA ONDA ELASTICA 30

3.2 – EQUAÇÕES CINEMÁTICAS DO RAIO 33

3.3 – LEIS DE CURVATURAS 34

3.4 – RAIO NORMAL 35

3.4.1 – ESTIMANDO O PARÂMETRO DO RAIO NORMAL 35

3.4.2 – CONVERSÃO TEMPO-PROFUNDIDADE POR RAIO NORMAL 36

3.5 – RAIO IMAGEM 41

4 - O MÉTODO CRS (COMMOM REFLECTION SURFACE) 44

4.1 – ATRIBUTOS CINEMÁTICOS CRS 44

4.2 – APROXIMAÇÃO DE TEMPO DE TRÂNSITO CRS 45

4.3 – O OPERADOR CDS 47

4.4 – ALGORÍTMO DE EMPILHAMENTO CRS 49

4.4.1 – MEDIDA DE COERÊNCIA OU “SEMBLANCE” 50

5 – MÉTODO SLANT STACK 52

6 – MIGRAÇÃO KIRCHHOFF EM TEMPO E SUPERFÍCIE DE DIFRAÇÃO

COMUM 54

6.1 – MIGRAÇÃO KIRCHHOFF EM TEMPO 54

6.2 – ALGORITMO DE MIGRAÇÃO EM TEMPO 55

6.3 – MIGRAÇÃO USANDO A SUPERFÍCIE CDS 58

7 – RESULTADOS 60

7.1 – MODELO 1 61

7.2 – MODELO 2 65

7.3- MODELO 3 69

8 – CONCLUSÕES 75

REFERÊNCIAS 77

APÊNDICE 80

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APÊNDICE A - O MÉTODO RUNGE-KUTTA 81

CONTROLE DO PASSO NO ALGORITMO RUNGE-KUTTA 81

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS SIMULTÂNEAS 82

APÊNDICE B – VELOCIDADE MÉDIA, VELOCIDADE INTERVALAR,

VELOCIDADE DE EMPILHAMENTO, VELOCIDADE RMS 84

B.1 – VELOCIDADE MÉDIA 84

B.2 – VELOCIDADE INTERVALAR 84

B.3 – VELOCIDADE DE EMPILHAMENTO 85

B.4 – VELOCIDADE RMS 85

APÊNDICE C – INTERPOLAÇÃO BILINEAR 87

Page 16: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

16

1 – INTRODUÇÃO

Vários são os métodos geofísicos utilizados no tratamento de dados com o objetivo de

obter uma imagem da subsuperfície. Dentre eles, o mais utilizado na indústria do petróleo é o

método sísmico. Os dados obtidos em levantamentos sísmicos são submetidos a vários tipos

de tratamentos digitais de modo a gerar ou recuperar a melhor resposta possível da geologia.

Este tratamento é dividido em várias etapas, sendo estas conhecidas como um conjunto de

procedimentos para o tratamento dos dados, denominado como processamento do dado

sísmico. Dentre os vários passos do processamento, os principais são a deconvolução,

empilhamento e migração. A migração sísmica tem como objetivo a geração de uma imagem

da subsuperfície, a mais próxima possível da real, a partir dos dados medidos nos

levantamentos. Como uma alternativa a migração sísmica o traçamento de raios normais e

raios imagens geram seções sísmicas em profundidade, assim como a migração convencional.

Além disso, o método Slant Stack, o qual utiliza o parâmetro do raio normal para

decomposição do dado sísmico em ondas planas, pode ser utilizado como uma importante

ferramenta para converter seções sísmicas em profundidade.

A migração pode ser realizada a partir de seções pré-empilhadas ou pós-empilhadas.

Migração pós-empilhamento (realizada neste trabalho) coloca os dados sísmicos nas suas

posições corrigidas em tempo (migração em tempo) ou convertem o dado sísmico em

profundidade (migração em profundidade). Paralelamente a esta aplicação, o traçado de raios,

também, converte seções sísmicas migradas do domínio do tempo e seções no domínio

para o domínio da profundidade, não sofrendo algumas limitações da migração, mas sendo

sensíveis a outras inerentes ao método. O objetivo deste trabalho é a conversão de seções do

domínio do tempo para o domínio da profundidade, utilizando o traçamento de raios a partir

de seções migradas em tempo e seções afastamento nulo no domínio , além de

comparação da eficácia entre elas.

O traçado de raios não constitui uma etapa do processamento sísmico, mas uma

ferramenta de fundamental importância para realização de inúmeros procedimentos. O traçado

de raio pode ser cinemático ou dinâmico. O traçado cinemático de raios tem como objetivo a

determinação das coordenadas espaciais de pontos e o tempo de trânsito ao longo da trajetória

de um raio. O traçado dinâmico envolve o cálculo da propagação da energia por meio da

equação do transporte (ČERVENY, 1987; ČERVENY, 2001 e POPOV, 2002).

Page 17: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

17

O raio imagem é construído com condição inicial perpendicular à superfície de

medida, sendo traçado até que o tempo da seção migrada seja consumido. O raio é chamado

normal quando ele incide perpendicularmente ao refletor (ČERVENY, 1987; ČERVENY,

2001; POPOV, 2002). Os raios normais são construídos variando o ângulo inicial com que o

raio parte da superfície. Este ângulo varia dentro dos limites dos parâmetros do raio. O raio

imagem converte seções migradas pós-empilhadas em tempo para seções em profundidade. O

raio normal, neste trabalho, converterá seções sísmicas no domínio para o domínio da

profundidade.

A conversão de seções do domínio para organiza o dado sísmico do

domínio tempo duplo de trânsito para o tempo de interseção e parâmetro do raio. Esta

organização permite que as condições iniciais do raio normal sejam satisfeitas: ângulo inicial

com a vertical, vagarosidade inicial, posição de partida do raio e quantidade de tempo que o

raio será traçado (HARLAN, 1984; STOFFA, 1981; DIEBOLD, 1981). A transformação para

o domínio é usada no processamento convencional para supressão de múltiplas além de

filtrar ondas guiadas e refrações (STOFFA, 1981).

O capítulo 2 faz uma revisão do método sísmico de reflexão bem como a aquisição de

dados sísmicos e as etapas básicas do processamento. Além disso, mostra o fluxograma

utilizado neste trabalho como alternativa ao processamento sísmico convencional.

O capítulo 3 faz uma análise breve da teoria do raio além das equações cinemáticas do

raio. Exemplifica a diferença entre raio normal e raio imagem assim como o algoritmo dos

passos para realização de ambos.

O capítulo 4 mostra o método CRS de empilhamento. É feita uma análise dos

parâmetros do método, do operador de empilhamento CRS e CDS, o algoritmo de

empilhamento e busca dos parâmetros ótimos, e a migração baseada nos atributos CRS.

O capítulo 5 fala do método Slant Stack e da transformação para o domínio ,

além da utilização no processamento convencional e neste trabalho.

O capítulo 6 mostra a migração Kirchhoff em tempo e seu algoritmo. É mostrada,

também, a superfície de difração comum, método que utiliza os parâmetros do CRS para gerar

imagens em tempo.

O capítulo 7 mostra os resultados e comparações entre os resultados obtidos pelo

fluxograma no capitulo 2.

No capítulo 8 são feitas as considerações entre a conversão em profundidade

utilizando raios imagem e normal, com vantagens e desvantagens destes.

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18

2 – SÍSMICA DE REFLEXÃO

O objetivo do método sísmico de reflexão é fornecer uma imagem da geologia em

subsuperfície a partir de dados de multi-cobertura. Esta imagem é obtida por meio do

processamento de dados sísmicos dividido em vários passos. O processamento sísmico

aumenta a relação sinal/ruído do dado coletado pelos receptores e atenua a energia de sinais

indesejáveis, como ruídos coerentes e aleatórios. Isto é conseguido por meio de vários passos

que constituem o processamento sísmico.

O método sísmico é descrito, basicamente, pelo conjunto: (1) fonte (explosão e seu

acoplamento); (2) meio (geologia); (3) receptores (parâmetros da geometria, arranjo de

geofones, eletrônica, sensores); e (4) presença de ruídos diversos, tudo descrito pelo modelo

convolucional (YILMAZ 1987). Um ponto importante a se ressaltar é que o sinal captado de

interesse é chamado de reflexão primária, e os sinais de não interesse são reconhecidos como

ruídos como, por exemplo, múltiplas, conversão de onda P em outros tipos de onda, ondas de

superfície, etc.

O método sísmico de reflexão emprega os princípios da ótica geométrica que regem a

reflexão de ondas planas incidentes numa superfície refletora. A maneira mais simples de

analisar os aspectos geométricos das ondas registradas nesse método é através do modelo

esquematizado na Figura (1a). O modelo em questão apresenta uma interface que delimita

dois pacotes de rochas com contraste de impedância acústica. Ambas são caracterizadas pela

densidade e velocidade das ondas P, cujo produto é definido como impedância acústica (I =

ρV). É exatamente o contraste de impedância acústica que determina o espalhamento da

energia sísmica na forma de reflexão e refração de ondas elásticas.

Figura 1 – análise da geometria dos eventos sísmicos para o caso de um modelo de uma camada plana-

horizontal: (a) modelo; b) ondas diretas e refletidas; c) ondas diretas e refração total. Por simplicidade, é

assumido > .

Fonte: Autor

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19

Considere a Figura 1b, onde uma fonte é posicionada no ponto F. Ondas acústicas são

injetadas no solo a partir desse ponto, através da liberação brusca de alguma forma de energia

mecânica ou explosiva. Conforme mencionado anteriormente, uma parte dessas ondas sofre

reflexão ao atingirem o refletor que delimita os dois pacotes rochosos em questão. Quando

retornam à superfície, as ondas refletidas são captadas por receptores conectados a uma

unidade central de registro denominada sismógrafo. Na aquisição de dados terrestres esses

receptores são conhecidos como geofones e, em operações de aquisição de dados marítimos,

chamam-se hidrofones.

Ainda observando a Figura 1b, nota-se que as ondas incidentes sofrem refração total a

partir de um ângulo definido como ângulo de incidência crítico ( ). A caracterização desse

ponto permite identificar o inicio das refrações críticas (refrações para ângulos de incidência

maiores que o ângulo crítico), e delimita as reflexões subcríticas e supercríticas (reflexões

associadas a ângulos de incidência menores e maiores, respectivamente, que o ângulo critico).

Na prática, os arranjos fonte-receptores são projetados para detalhar o registro das reflexões

na região subcrítica. Esses eventos caracterizam-se pela onda que se propaga diretamente da

fonte ate o receptor, e cuja expressão matemática é (YILMAZ, 2001):

(2.1)

A equação anterior define uma reta que passa pela origem do plano cartesiano (x,t). O eixo

horizontal x define o eixo dos afastamentos (offsets), e o eixo vertical t caracteriza os tempos

de trânsito. Assim, na equação (2.1), x é a distancia entre a fonte e o receptor, e é o tempo

de trânsito da onda direta medido no receptor.

Por outro lado, isolando-se um dos raios refletidos, deduz-se facilmente que o tempo

de percurso desde a fonte ate um dado receptor será expresso por (YILMAZ, 2001):

(2.2)

na qual é o tempo duplo para incidência normal, e d é a espessura da camada que

compõe o modelo em analise. É possível concluir, após um rearranjo dos termos, que a

expressão (2.2) é a equação de uma hipérbole. Apenas um dos ramos dessa curva será

observado no registro de campo quando do emprego da geometria de aquisição end-one

estipulada na Figura 1b. A geometria em que a fonte se posiciona simetricamente em relação

aos receptores (split spread) conduziria ao mapeamento do ramo negativo da hipérbole de

reflexão representada por 2.2. Essa peculiaridade fica mais clara quando se analisa a Figura 2.

Page 20: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

20

A fonte do sinal sísmico gera, em meios geológicos, vários tipos de ondas, as quais

podem ser classificadas como ondas do ar, de volume, e de superfície terrestre ou da água

(figura 03). As ondas de interesse são conhecidas como ondas de volume (se propagam pelo

interior do corpo geológico), e a análise é feita no efeito da transmissão e na reflexão através

das interfaces em subsuperfície. As ondas refletidas e refratadas que emergem nos receptores

são registradas com relação ao tempo total de trânsito, ou tempo-duplo. Cada canal registra

um traço sísmico ou sismograma, e este traço pode ser descrito matematicamente por uma

equação que comporta de duas partes: uma determinística e uma não- determinística na forma

(YILMAZ, 2001):

(2.3)

A componente m(t,x) representa o sinal de interesse ao imageamento. A componente

não-determinística r(t,x) representa o ruído e deve ser excluída (YILMAZ,1987), tais como:

produzidos pela fonte, geológicos, locais correlacionáveis e instrumental. A parte

determinística se caracteriza por ser escrita como o resultado de uma convolução entre a

Figura 02 – uma família de tiro comum (common shot gather) para o modelo da Figura 01, sem nenhum tipo

de ruído. Na ilustração, (a) denota a onda direta (linha tracejada), (b) a onda refletida (linha cheia), e (c) a

onda para refração total (linha pontilhada). As distancias criticas e determinam o inicio das refrações

(também indicado pela seta) e o ponto a partir do qual esses eventos são registrados antes das ondas diretas,

respectivamente.

Fonte: Autor

Page 21: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

21

função meio, R(t,x), definida como a refletividade, e a função pulso-fonte efetivo, w(t,x).

(ROBINSON; SILVA 1979).

A deconvolução comprime a wavelet (pulso sísmico) do sismograma medido, atenua

reverberações e múltiplas de período curto, além de aumentar a resolução temporal da seção

sísmica e fornecer uma função refletividade da subsuperfície. Normalmente ela é aplicada

antes da etapa de empilhamento. O empilhamento sísmico convencional tem como objetivo

somar o dado sísmico organizado em CMP (commom mid point), após a correção NMO

(normal moveout), para a construção de uma seção sísmica ZO (zero offset) com razão

sinal/ruído elevada (YILMAZ, 1987; YILMAZ, 2001; CLAERBOUT, 1993). O dado sísmico

é reorganizado segundo a configuração CMP (fonte e receptor a mesma distância do ponto

médio). Deste modo, pontos em profundidade são iluminados várias vezes trazendo

redundância de informações dos mesmos. Os eventos sísmicos no domínio CMP possuem

moveout hiperbólico (curva do tempo de trânsito) o qual são horizontalizados após a correção

NMO. Após correção NMO, a seção é empilhada de modo que todos os traços de uma família

CMP são somados, aumentando a razão sinal ruído e gerando uma seção ZO.

2.1 – AQUISIÇÃO DE DADOS: A TÉCNICA CDP

As operações de campo para aquisição dos dados sísmicos seguem determinados

procedimentos que são executados pela equipe sísmica. No caso de aquisição terrestre, a

Figura 3 – Ondas e efeitos gerados pela propagação de ondas sísmicas em um meio geológico.

Fonte: adaptado de Sheriff (1975).

Page 22: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

22

demarcação dos pontos de tiro (PT) e das estações receptoras ao longo da linha sísmica é a

primeira etapa para a execução da aquisição dos dados. Em seguida, efetua-se o

posicionamento do sistema de registro (sismógrafo, cabos e receptores); cada estação

receptora corresponde a um arranjo de receptores que se conecta ao sismógrafo através de um

canal de registro. Um traço sísmico na família de tiro comum representa, na realidade, a

resposta de um conjunto de receptores às vibrações que chegam à superfície. Ocorre que

determinados eventos indesejáveis sempre estarão presentes nesses registros. Minimizar a

presença dessa energia indesejável (ruídos), a qual interfere destrutivamente com o sinal, é

tarefa a ser executada durante a aquisição dentro de um procedimento de controle de

qualidade dos dados. Com essa finalidade, os sismógrafos fornecem a opção dos chamados

filtros digitais. Nota-se atualmente que a filtragem dos ruídos está sendo realizada durante o

processamento dos dados e não mais na etapa de aquisição.

As reflexões são os sinais desejados; os eventos que interferem de forma destrutiva

com o sinal são os chamados ruídos. Classificam-se em ruídos coerentes (possuem uma lei de

formação) e ruídos incoerentes (apresentam-se de forma aleatória no registro, pois não

possuem nenhuma lei de formação). O traço sísmico é registrado através da digitalização dos

eventos que chegam aos receptores. As amplitudes são amostradas a intervalos de tempo

constantes denominados intervalo de amostragem. O valor padrão para o intervalo de

amostragem é 1 milissegundo (ms). Define-se freqüência de Nyquist, como sendo

a freqüência dominante a ser encontrada no traço sísmico após o registro dos dados.

O processo de filtragem é muito simples, e visa ao registro dos dados dentro de uma

banda de freqüências diferente daquela em que os ruídos incoerentes se encontram. Um filtro

corta-baixa, por exemplo, elimina todas as freqüências do traço sísmico abaixo de uma

freqüência de corte estipulada. Os arranjos de receptores, por outro lado, constituem os filtros

espaciais, e tem a finalidade de atenuar as ondas superficiais (ruído coerente) e amplificar a

componente vertical das vibrações que chegam à superfície.

A geometria para aquisição dos dados sísmicos obedece a um padrão pré-definido. A

finalidade é registrar as informações de um mesmo ponto no horizonte refletor conforme

estabelece a técnica CDP. Para tal, após o registro de uma família de tiro comum, a fonte

sofre um deslocamento constante ate o PT seguinte. O registro é então executado para um

novo grupo de estações receptoras, preestabelecido pela geometria de aquisição. Esse

procedimento pode ser ilustrado na Figura 4 para o caso de 1 fonte e 5 estações receptoras. Ao

se transladar esse conjunto de fonte-receptores pelos pontos previstos na aquisição, notaremos

que pontos do refletor estão localizados na mediana entre os pares fontes-receptores (common

Page 23: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

23

Figura 4 – esquema de um levantamento sísmico com uma fonte e cinco receptores. Ao se transladar esse arranjo

ao longo da linha sísmica planejada, vermos a repetição da iluminação de pontos do refletor, o que provocará

uma melhora na razão sinal-ruído.

mid point - CMP) e, além disso, vários pontos são iluminados mais de uma vez por um par

fonte-receptor ao longo do levantamento. Nesta situação, um CMP corresponde a um CDP no

caso de camadas planas horizontais e essa aproximação é assumida ao longo do

processamento de dados sísmicos, mesmo não refletindo a maioria dos casos geológicos.

A principal vantagem da redundância da técnica CDP, na amostragem dos pontos de

um refletor, é a melhoria da razão sinal-ruído.

2.2 – PROCESSAMENTO SÍSMICO

Neste segmento trata-se dos princípios básicos do processamento dos dados. É válido

porém ressaltar alguns pontos. Primeiro, o processamento dos dados sísmicos de reflexão será

referenciado sempre através do termo processamento de dados. Segundo, por questões de

simplificação, focalizar-se-ão as etapas básicas do processamento bidimensional (2D). Por

último, mas não menos importante, as rochas são consideradas meios acústicos. A seção

sísmica é o produto final do processamento dos dados. Pode-se defini-la como o mapeamento

em tempo das feições geológicas da subsuperfície ao longo de um perfil (linha sísmica). A

estimativa das impedâncias acústicas dos principais pacotes rochosos ao longo desse perfil,

através da aplicação de técnicas de inversão, é um subproduto do processamento dos dados.

No entanto, para execução do processamento, é necessário conhecer os parâmetros

empregados na aquisição dos dados. De maior importância ainda é o conhecimento da técnica

CDP, sobre a qual está fundamentado todo o processamento.

2.2.1 – FLUXOGRAMA DO PROCESSAMENTO

A seção sísmica é o produto final do processamento dos dados. Trata-se de uma

imagem das feições geológicas em subsuperfície obtida após a aplicação de varias

Fonte: Autor

Page 24: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

24

metodologias cuja seqüência básica, utilizada neste trabalho, pode ser observada na tabela

abaixo.

Neste momento comentaremos sobre as etapas convencionais, ou seja, as etapas da

coluna esquerda do fluxograma. Após esse breve comentário será feita uma explanação sobre

as etapas da coluna à direita.

Edição e Geometria – nesta etapa, os dados são inspecionados visualmente

(normalmente no domínio do tempo), visando à eliminação de traços ruidosos e de registros

acima da reflexão do fundo do mar (em levantamentos marinhos) que possam vir a

comprometer a qualidade dos resultados. Normalmente a edição é realizada antes ou logo

após a montagem da geometria. A geometria do levantamento é também outro modo de

melhorar o dado sísmico medido em campo. Baseado nas informações do levantamento para

dados terrestres ou marinhos, as coordenadas dos tiros e dos receptores, para todos os traços,

são gravadas no cabeçalho de cada traço. Mudanças na posição dos tiros ou receptores são

tratadas adequadamente baseadas nas informações disponíveis nos relatórios de campo. As

duas geometrias mais utilizadas são end-one e split spread. A geometria end-one é

caracterizada pela fonte se deslocando com um conjunto de receptores apenas em uma dos

lados da mesma, já a split spread a fonte se desloca juntamente com um conjunto de

receptores em ambos os lados da mesma. A geometria usada foi a split spread.

Ordenação em famílias CDP - Os registros selecionados na etapa de edição, e que

agora possuem a informação da geometria de aquisição gravada nos headers, sofrem uma

ordenação. Os dados podem ser ordenados de várias maneiras, mas a ordenação CDP

(commom depth point) é a mais utilizada. O objetivo é agrupar os dados em famílias CDP

uma vez que todo o processamento tem por base a técnica CDP. Ao final da ordenação, cada

grupo de traços, assim composto, contém informações (reflexões) de um mesmo ponto (CMP

Figura 5 – Geometrias de aquisição end-one split spread.

Fonte: Autor

Page 25: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

25

– ponto médio) dos refletores iluminados pela geometria de aquisição (descritas neste trabalho

como end-one e split spread). A visualização de uma família CDP revela que os eventos

sísmicos apresentam a mesma geometria observada nas famílias de tiro comum da figura 2.02.

Nota-se, também, que para camadas plano-horizontais, o CDP coincide com o CMP.

Análise de velocidades e Correções de NMO: Conforme visto anteriormente, os

traços que compõem uma família CDP representam, na verdade, informações acerca de um

ponto ao longo de um mesmo refletor. O objetivo é gerar um único traço sísmico a partir

desses dados, o qual posteriormente comporá a seção sísmica. Em conseqüência, as hipérboles

de reflexão presentes nas famílias CDP devem ser corrigidas em relação ao tempo

(correções de normal move-out). Ou seja, as posições das reflexões em relação à existentes

nos traços mais afastados precisam ser corrigidas, a fim de que cada reflexão encontre

coerência traço a traço. Isto só é possível quando a funçãovelocidade inerente ao grupo de

traços CDP é conhecida.

A etapa de análise de velocidades tem por objetivo estimar a função velocidade para

empilhamento dos dados. As velocidades de empilhamento ( ) são determinadas de

maneiras distintas, conforme o ambiente de aquisição dos dados. É comum, no caso terrestre,

executar a análise de velocidades para vários CDP´s estrategicamente escolhidos. Um

intervalo de trabalho e um incremento para as velocidades são adotados. O incremento é

aplicado ao CDP a partir do valor inicial do intervalo escolhido até o valor final, executando-

se as correções através de (2.4) e é extraído diretamente do CDP. A visualização lado a lado

dos vários CDP´s originados ao longo desse procedimentos fornece a posição em tempo das

reflexões alinhadas na horizontal. Gráficos das velocidades de empilhamento em função do

tempo são construídos para os CDP escolhidos. Esses dados são empregados para execução

de interpolações para as velocidades entre CDP´s intermediários.

Considerando um evento de reflexão numa família CDP em uma camada horizontal

(Figura 6), o tempo de transito da onda, usando o teorema de Pitágoras, em função do

espaçamento fonte-receptor x é dado por (YILMAZ, 2001):

(2.4)

Figura 6 – Percurso do raio para um ponto médio fonte-receptor em um refletor horizontal com camada

homogênea.

Fonte: Autor

Page 26: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

26

na qual v é a velocidade do meio acima do refletor e é o tempo de trânsito para um

afastamento nulo (também chamado de tempo duplo de reflexão com afastamento nulo), ou

seja, o tempo de trânsito medido para fonte e receptor coincidentes (x = 0). A equação anterior

apresenta matematicamente uma hipérbole no plano tempo x afastamento.

A correção NMO (normal moveout) é dada pela diferença entre e (YILMAZ,

2001):

(2.5)

ou,

(2.6)

que implica em trazer os eventos de tempo de trânsito para tempos de trânsito com um

afastamento nulo ( ).

Após a correção NMO ser aplicada nas famílias CDP´s, os eventos hiperbólicos

associados aos refletores em subsuperficie ficaram horizontalizados. A velocidade utilizada na

correção de NMO, é chamada de velocidade de NMO ( , como mencionado.

Quando a velocidade escolhida para a correção NMO é maior que a velocidade do

meio, dizemos que o evento esta subcorrigido. O efeito contrário é observado quando a

velocidade escolhida é menos que a velocidade do meio e dizemos que o evento está

sobrecorrigido.

Além disso, observa-se que a correção NMO, mesmo quando bem aplicada (reflexão

horizontalizada), distorce o dado, principalmente em reflexões próximas a superfície e para

afastamentos mais longos. Esse efeito é conhecido por estiramento do traço (stretching) e

deve ser retirado do CDP para não prejudicas o empilhamento do mesmo.

Figura 7 – Representação de correções NMO. CDP original, CDP sobrecorrigido, correção NMO com

velocidade real (estiramento) e CDP subcorrigido, respectivamente.

Fonte: modificado NOVAES, 2007.

Page 27: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

27

Ao se empilhar, traços muito estirados não devem fazer parte desta soma para que não

comprometam a qualidade dos traços com sinal de interesse, devendo esses traços estirados

serem silenciados visualmente ou automaticamente.

Empilhamento - É uma operação simples executada depois da aplicação das

correções estáticas e das correções de NMO. O somatório de um grupo de traços CDP é

executado respeitando-se as posições das amostrar em tempo. Um único traço sísmico é

gerado para cada CDP empregado. Os traços resultantes comporão a seção sísmica bruta, isto

é, a seção sísmica sem as correções devido às inclinações dos refletores em subsuperfície. No

entanto, procedimentos mais sofisticados como migração pré-empilhamento são capazes de,

após o empilhamento propriamente dito, gerar seções sísmicas com os refletores mais

corretamente posicionados em subsuperfície. A atenuação dos ruídos incoerentes pelas

interferências destrutivas representa uma vantagem do empilhamento CDP. Eventos que

possuem coerência nos traços laterais têm a amplitude reforçada após o empilhamento; os

eventos incoerentes são atenuados. Em dados marítimos, é importante diferenciar a

múltipla(classe de ruídos coerentes que possuem a mesma forma hiperbólica das reflexões) do

fundo do mar e a reflexão do fundo do mar. Basicamente, o NMO da múltipla é maior que o

da reflexão, o que fica bem evidente numa família CDP quando há traços com grandes

afastamentos fonte-recepetores), principalmente as causadas pela lâmina d´água em dados

marítimos, são parcialmente atenuadas com o empilhamento. A melhoria da razão sinal-ruido

é evidente, mas uma parcela significativa das amplitudes das reflexões é distribuída em face

de uma estimativa pobre das velocidades de NMO.

Migração - Os traços sísmicos gerados após o empilhamento podem ser imaginados

como se fonte e receptores de uma família CDP estivessem posicionados num mesmo ponto

na superfície. As reflexões contidas nesses traços estão, a principio, associadas a uma

propagação puramente vertical no caso de superfície e refletores horizontais, e a seção sísmica

assim gerada teria o nome próprio de seção sísmica zero-offset (afastamento nulo). No

entanto, a posição temporal das reflexões na seção sísmica deve ser corrigida em virtude da

presença de camadas inclinadas em subsuperfície. A migração dos dados é o procedimento

que corrige os efeitos das feições geológicas (inclinação de camadas, falhas, sinclinais, etc.)

no posicionamento das reflexões mapeadas na seção sísmica não-migrada (seção sísmica

bruta).

Deve salientar nesse ponto que os fundamentos matemáticos da migração são

complexos. Em síntese, o método visa o colapso das difrações em um ponto (ápice da

hipérbole de difração) que, teoricamente, pertence a um dado refletor. O processo requer o

Page 28: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

28

prévio conhecimento da distribuição das velocidades nas rochas, fato que representa um sério

problema em regiões inexploradas ou estruturalmente complexas. Com o intuito de contornar

tais situações, opta-se pelo emprego do processo de migração pré-empilhamento. Embora

consuma bastante tempo de computação, trata-se de um procedimento capaz de fornecer

seções sísmicas com os refletores mais corretamente posicionadas em subsuperfície, e pode

ser executado tanto em tempo como em profundidade. O método de migração utilizado neste

trabalho foi a migração Kirchhoff em tempo, a qual será comentada posteriormente em uma

seção mais detalhada.

Slant Stack – A transformada é um caso especial do slantstack na qual o dado

sísmico é decomposto em séries de linhas retas as quais iram mapear uma seção no domínio

Este processo é chamado de slantstack de modo que o dado no domínio seja

obtido por meio de somas ao longo de linhas retas do domínio . Normalmente este

procedimento é usado para filtrar ondas guiadas, reflexões indesejadas e ruídos. Este processo

será mais detalhado posteriormente.

Conversão tempo-profundidade: raio normal e raio imagem – os raios são

elementos matemáticos os quais tentam descrever a trajetória da energia propagada através de

um meio. Neste trabalho, estes serão a ferramenta utilizada para conversão da seção sísmica

de tempo em profundidade e serão abordados em uma seção posterior específica para tal.

Os passos utilizados neste trabalho foram modificados da linha mostrada nos itens

anteriores. Alguns passos foram mantidos, mas outros foram realizados como Slant Stack,

etapas do empilhamento e migração CRS, e conversão tempo-profundidade por traçamento de

raios normal e imagem, os quais serão explicados nos capítulos seguintes.

O fluxograma da figura 8 mostra todas as etapas realizadas neste trabalho.

Page 29: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

29

Figura 8 – Fluxograma com as etapas do processamento utilizadas neste trabalho.

EDIÇÃO E GEOMETRIA

ORDENAÇÃO EM FAMÍLAS CDP

ANÁLISE DE VELOCIDADE

CORREÇÃO NMO

EMPILHAMENTO

MIGRAÇÃO

CONVERSÃO EM

PROFUNDIDADE –

RAIO IMAGEM

BUSCA AUTOMÁTICA DOS

PARÂMETROS CRS

EMPILHAMENTO CRS

MIGRAÇÃO BASEADO NOS

PARAMETROS CRS SLANT STACK

SLANT STACK

CONVERSÃO EM

PROFUNDIDADE

- RAIO NORMAL

CONVERSÃO EM

PROFUNDIDADE

– RAIO IMAGEM

CONVERSÃO EM

PROFUNDIDADE –

RAIO NORMAL

Fonte: Autor

Page 30: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

30

3 – TEORIA DO RAIO

A teoria do raio constitui, de forma matemática, uma importante ferramenta do método

sísmico, pois por meio da mesma são realizadas várias etapas importantes no modelamento e

processamento sísmico. Além disso, podem-se simular as possíveis trajetórias da onda

sísmica através da subsuperfície assim como embasar vários métodos de migração (YILMAZ,

1987). Será apresentado, o desenvolvimento teórico básico da teoria do raio e as equações que

regem o mesmo de forma cinemática, sua solução assintótica (resultando na equação eiconal),

além do sistema de equações cinemáticas do raio.

O imageamento e até mesmo a etapa de aquisição sísmica, de forma sintética, podem

ser realizados computacionalmente simulando, numericamente, uma fonte de energia sísmica

a qual se propaga através da geologia em subsuperfície. Esta simulação é construída por meio

do traçamento de raios, os quais permitem a construção das frentes de onda por todo o seu

trajeto, desde a fonte até os receptores.

Para um bom entendimento dos raios, deve-se realizar um estudo da teoria do raio, a

qual leva em consideração dois aspectos básicos: o cinemático, que trata das trajetórias dos

raios, determinando os tempos de trânsito ao longo delas, e o dinâmico, que lida com a

distribuição espacial da energia propagada no meio, determinando a amplitude dos eventos

sísmicos. Neste trabalho será abordado apenas o traçamento cinemático dos raios (HUBRAL,

1980 e CERVENY, 2001).

Além da teoria do raio normal, temos algumas situações particulares para a

propagação dos mesmos. Dentre estas situações, encontra-se o raio normal, o qual incide com

um ângulo normal ao refletor em profundidade, e o raio imagem, o qual se propaga na

subsuperfície partindo com um ângulo normal a superfície. Estes raios têm fundamental

importância na conversão de seções sísmicas do domínio do tempo para o domínio da

profundidade.

3.1 – EQUAÇÕES DA ONDA ELASTICA

Considerando a estrutura geológica da Terra como um meio elástico bidimensional,

então, em um sistema de coordenadas Cartesiano, no qual um vetor posição x = ( ) é

descrito pelas coordenadas ( ), a equação da onda elástica por ser obtida combinando-se

a equação do movimento (relaciona as derivadas no tempo do vetor deslocamento u = (x,t))

de uma partícula (um corpo de dimensões desprezíveis em relação ao meio) às derivadas

Page 31: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

31

espaciais do vetor tensor de tensão com a Lei de Hooke (que relaciona o tensor de tensão às

derivadas espaciais do vetor deslocamento), logo:

(3.1)

em que e são as componentes cartesianas do vetor deslocamento e do tensor de tensão,

respectivamente, e é a densidade do meio. A equação homogênea (3.1) descreve a

propagação da onda elástica no meio solido no instante em que a fonte sísmica deixa de atuar

no meio. Em um meio isotrópico e heterogêneo, o tensor de tensão e a deformação sofrida por

uma partícula no meio estão relacionados através da expressão (CERVENY, 2001):

(3.2)

em que representa a função delta de Kronecker, definida como:

(3.3)

sendo e os parâmetros de Lamé que, juntamente com a densidade ,

determinam as propriedades físicas do meio.

A forma final da equação da onda elástica pode ser obtida inserindo a expressão (3.2)

em (3.1), que resulta em (CERVENY, 2001):

(3.4)

a qual reescrita na forma vetorial:

(3.5)

e no domínio da freqüência, a expressão (3.5) se torna:

(3.6)

Nas equações (3.1) a (3.4) é utilizada a convenção de Einstein para somatórios, isto é,

índices repetidos implicam em somatório sobre os mesmo. A vírgula entre índices indica

diferenciação em relação às coordenadas indicadas pelos índices e o ponto indica

diferenciação em relação ao tempo. (CERVENY, 2001).

Page 32: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

32

Na expressão (3.6) o tempo é a freqüência angular e os operadores e

representam o gradiente e o laplaciano, respectivamente, de uma função , sendo

definidos por (CERVENY, 2001):

(3.7)

(3.8)

Os vetores u e estão ligados pelo par de transformada de Fourier, no domínio do

tempo e da freqüência, respectivamente (CERVENY, 2001):

(3.9)

(3.10)

Realizando aproximações assintóticas no domínio da freqüência, utilizando a

expressão (3.6), permite uma aproximação da solução da equação da onda elástica. Esta

aproximação é feita através da utilização de series assintótica, a qual será solução do

problema de propagação de ondas (CERVENY, 1985), e é aproximada pela expressão:

(3.11)

também chamada série assintótica do raio. Na expressão (3.11), é o somatório das

infinitas parcelas, variando seus índices de n = 0,1,2,..., , representa os coeficientes

da serie e estão relacionados com o valor da amplitude, é a função do tempo de transito

ao longo do raio. A precisão desta aproximação será melhor quanto maior for a freqüência do

campo de onda observado, em outras palavras, o comprimento de onda deve ser pequeno

quando comparado às dimensões características do meio.

Levando em conta a aproximação de ordem zero da expressão (3.11), ou série do raio,

consideramos apenas o primeiro termo da serie assintótica, obtendo uma solução para a

equação da onda dada por (CERVENY, 1985):

(3.12)

a qual a função vetorial representa a amplitude, juntamente com a função , que

dependem das coordenadas espaciais e independem da freqüência .

Page 33: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

33

3.2 – EQUAÇÕES CINEMÁTICAS DO RAIO

Inserindo a equação (3.12) na expressão (3.5) e levando em conta as altas freqüências

apenas, a equação do eiconal tem a forma (CERVENY, 1987; CERVENY, 2001):

(3.13)

Esta expressão representa a função tempo de transito (ou função fase) , que é

o eiconal, e que é a velocidade de propagação da onda no meio. Esta equação

calcula o tempo de transito para um dado conjunto de raios, permitindo a construção de

frentes de onda por meio do calculo dos tempos de transito ao longo de cada raio, calculado

pela mesma.

A expressão (3.13), conhecida como equação eiconal, é uma equação diferencial

parcial (EPD) não linear de primeira ordem e pode ser resolvida utilizando o método das

características (BRONSTEIN; SEMENDJAJAEW, 1991), o que resulta em um sistema não

linear de 4 equações diferenciais ordinárias (EDOs), para o caso 2D, e 6 equações EDOs para

o caso 3D. Estas EDOs são chamadas de equações cinemáticas do raio, que parametrizando

pelo tempo de transito assumem a forma:

(3.14)

(3.15)

nas quais, representa as coordenadas do vetor posição x ao longo do raio, e o parâmetro

as componentes do vetor vagarosidade, sendo expresso por , com .

Os raios (ou características) surgem como solução do sistema de equações diferenciais

ordinárias (expressões (3.14) e (3.15)), chamadas equações características, ou do raio.

Portanto, ao longo de cada raio, os tempos de trânsito são determinados pela equação eiconal.

O sistema (3.14) e (3.15) é resolvido matematicamente pelo método Runge-Kutta de 4ª

ordem, descrito no apêndice A.

Tendo introduzido a idéia sobre a teoria do raio, será comentado a teoria do raio

normal e raio imagem, ferramentas as quais realizarão a conversão dos dados sísmico do

domínio tempo X espaço para o domínio profundidade X espaço.

Page 34: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

34

3.3 – LEIS DE CURVATURAS

O ângulo de partida do raio em relação ao refletor constrói alguns tipos teóricos de

frentes de onda. Dois tipos são de extrema importância, denominadas frente de onda N

(normal) ou NIP (ponto de incidência normal).

Estas frentes de ondas hipotéticas são produzidas em situações hipotéticas especiais,

considerando um dado refletor. O primeiro caso ocorre como ilustrado na Figura 9a. Nesta

situação o ponto R sobre o refletor (em azul) é um ponto de incidência normal (NIP – ponto

de incidência normal) de um raio (em vermelho) zero-offset com origem no ponto na

superfície. Este ponto pode ser comparado a um ponto de difração no refletor, o qual simula a

onda denominada NIP (onda de incidência normal), que se propaga até o ponto , do refletor

à superfície.

Figura 9 – Situação hipotética mostrando (a) a onda NIP produzida por um ponto difrator R sobre o refletor (em

azul) e (b) a onda N gerada por um experimento de refletor explosivo. As frentes de onda (em laranja)

correspondentes ao raio normal (em vermelho) em R propagam-se de forma ascendente até atingir o ponto de

emergência em .

a) b)

.Fonte: modificado MANN, 2001.

No segundo caso (Figura 9b), considera-se o ponto do refletor como um ponto

difrator, simulando a situação de refletor explosivo. Nesta situação, esses pontos funcionam

como fontes sísmicas que são acionadas ao mesmo tempo, gerando uma frente de onda que se

propaga do refletor ao ponto , na superfície. Essas frentes de onda carregam a curvatura do

refletor em R produzindo, assim, a onda N (onda normal).

Dentre os raios que formam a frente de onda NIP, um deles incide perpendicularmente

com a superfície, conhecido como raio imagem, e os demais incidindo com ângulos diferentes

conhecidos como raios normais. Para a frente de onda N, todos os raios que partem do

refletor, do ponto considerado, formam ângulos diferentes de 90º com a superfície. Estes raios

conhecidos como raios normais.

Page 35: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

35

3.4 – RAIO NORMAL

Como mencionado anteriormente, o raio é a solução das EDO’s que fornecem o lugar

geométrico pelo qual a energia possivelmente se propaga através de um meio considerado

(subsuperfície). Dentre os raios temos o raio normal, sendo este ilustrado na figura 10. O raio

normal incide perpendicularmente em um ponto sobre um refletor considerado, em

profundidade. Mas para que o raio seja traçado, precisamos fornecer suas condições iniciais,

das quais são: a posição de onde este raio será traçado, a velocidade inicial no ponto de onde o

raio partirá e o parâmetro do raio, conhecido como vagarosidade. Este último, de fundamental

importância, fornecerá o ângulo inicial que o raio fará com a vertical, fazendo com que ele

incida perpendicularmente ao refletor, sendo esse parâmetro conhecido como “parâmetro do

raio.

Figura 10 – Representação de um raio normal. O é simulado em um experimento de afastamento nulo, o qual

fonte e receptor estão no mesmo ponto. Este raio incide perpendicular ao refletor R, no ponto D, sob a condição

inicial de um ângulo inicial específico para tal situação.

Fonte: modificado ROBEIN, 2003.

3.4.1 – ESTIMANDO O PARAMETRO DO RAIO NORMAL

O parâmetro do raio p pode ser estimado a partir de seção zero-offset. A frente de onda

gerada pelo refletor explosivo (cada ponto do refletor é considerado uma fonte que gera uma

frente de onda) toca a superfície nos pontos de tangência da mesma, fornecendo o ângulo de

emergência , após um tempo , em um ponto infinitesimalmente próximo ao ponto de

medida, , para o tempo . O ângulo de emergência (ângulo inicial

da figura 10) normalmente não é conhecido no levantamento sísmico, devido apenas ser

registrada a componente vertical do campo de ondas. Devido à razão

poder ser

mensurada, o parâmetro do raio passa a ser conhecido e, deste modo, este parâmetro pode ser

calculado ao longo de cada ponto que compõe o raio, de acordo com a lei de Snell.

Page 36: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

36

Deste modo, o parâmetro do raio para o caso do raio normal será a vagarosidade

aparente, considerando um refletor numa seção empilhada. Este resultado permite que a

técnica de “migração por raios” seja definida para este refletor, e irá envolver o picking ao

longo do refletor na seção empilhada fornecendo, assim, o tempo e a razão

.

3.4.2 – CONVERSÃO TEMPO-PROFUNDIDADE POR RAIO NORMAL

O traçamento de raios é regido, em pontos de variação abrupta de velocidade, pela lei

de Snell. Esta lei diz que a projeção do vetor vagarosidade na direção normal do gradiente da

velocidade de propagação é constante, ou seja, a lei de refração para uma interface plana é

dada por (ROBEIN, 2003):

(3.16)

Tendo conhecimento da geometria do refletor e da velocidade do meio (por meio da

razão

na seção empilhada) é possível realizar o traçamento do raio normal, para o qual

é conhecido o parâmetro do raio (Figura 11).

Figura 11 – Relação entre o ângulo de emergência e o mergulho aparente do evento na seção zero-offset

. Este

mergulho é igual ao parâmetro do raio normal que chega a superfície. O ângulo de emergência pode, deste modo,

ser inferido a partir do mergulho da seção zero-offset se a velocidade da superfície é conhecida . Esta

equação é a base para a conversão tempo-profundidade.

Fonte: modificado ROBEIN, 2003.

Page 37: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

37

Com as condições iniciais conhecidas, o raio normal pode começar a ser traçado,

utilizando intervalos de tempo constantes, até que metade do tempo de transito seja

consumida e a informação da seção sísmica seja colocada em profundidade, no fim deste raio.

O traçado convencional do raio normal é feio através dos seguintes passos:

1) Aplicar a lei de Snell que inicia o processo do traçado fornecendo o ângulo de

emergência na superfície, considerando a velocidade conhecida na

superfície (ROBEIN, 2003):

(3.17)

2) Levando em conta esta relação, o raio pode ser retropropagado a partir da sua

posição inicial ( com direção retropropagado

durante o tempo de duração infinitésima, de modo que obedeça a relação

. A partir dessa idéia, uma nova posição do raio será obtida, na qual

terá velocidade .

3) Esta mudança de velocidade, definida como gradiente (figura 12), refrata

o raio de acordo com a lei de Snell. A curvatura do raio, para pequenos

incrementos é ignorada, de modo que a relação é empregada para a mudança de

velocidade (ROBEIN, 2003):

(3.18)

4) O raio é, então, retropropagado, nesta nova direção durante o incremento de tempo

, fornecendo o novo ponto .

5) o processo é repetido até que o tempo total de propagação seja atingido.

6) Baseando-se na condição de imagem, o ponto final será o ponto D no refletor,

onde a reflexão registrada no tempo para o traço , com mergulho

.

Observa-se que o refletor neste ponto deve ser ortogonal ao raio, para modelos

isotrópicos.

Os passos acima são mostrados na Figura 12.

Page 38: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

38

Gradiente de Velocidade Local

Figura 12 – O raio normal é retropropagado a partir da superfície, no ponto de incidência . O raio inicia com

ângulo de mergulho obtido da seção empilhada

. O raio é calculado incremento a incremento utilizando a lei

de Snell, com incremento de tempo . O raio é traçado até que metade do tempo duplo de transito seja atingida

/2. O último ponto do raio é o ponto de reflexão sobre o refletor, sendo o refletor perpendicular ao raio.

Fonte: modificado ROBEIN, 2003.

A seqüência de passos acima mencionados constitui o algoritmo convencional de

traçamento de raios normal para a conversão de seções sísmicas do domínio do tempo para o

domínio da profundidade. A seguir será utilizada uma organização diferente dos passos que

constituem o traçamento de raios normais para a conversão tempo-profundidade.

Como foi mencionado, os raios normais precisam de condições iniciais para iniciar seu

algoritmo de traçamento. Dentre essas condições iniciais são a velocidade no ponto em

1 – Medida de

na seção empilhada;

2 – estimada e calculo do ângulo de emergência;

3 – Primeiro segmento ;

4 – Calculo:

- gradiente de velocidade ;

- ângulo de incidência ;

- ângulo de refração ;

5 – Segundo segmento ;

6 – Repetição dos passos 1 ao 5 até ;

Page 39: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

39

superfície , a coordenada do ponto em superfície ( , e o ângulo que este raio

sairá, ou ângulo de emergência . O ângulo de emergência está relacionado com a

vagarosidade ou parâmetro do raio pela lei de Snell (ROBEIN, 2003):

(3.19)

(3.20)

A equação (3.19) representa o parâmetro do raio ou a inclinação do evento na seção

sísmica empilhada, também conhecida como vagarosidade. Já a equação (3.20) fornece o

ângulo, com a vertical, com que o raio normal partirá da superfície, sendo este ângulo o

ângulo inicial, dependente do valor do parâmetro do raio e da velocidade neste ponto. Como

mencionado no capítulo 4, a seção sísmica pode ser organizada em parâmetro do

raio/vagarosidade versus tempo por meio da transformada . De posse da seção

empilhada no domínio e da seção no domínio , temos todos os parâmetros iniciais

para o traçamento de raios normais, e deste modo, conversão desta seção para o

domínio da profundidade.

De forma simplificada, esta conversão é realizada do seguinte modo:

1) De posse da seção , várias retas com inclinação ( ) são traçadas nesta

seção interceptando os traços. O sub-índice n indica a quantidade de traços da seção

e as variáveis x indicam a localização de cada traço na sua posição zero-offset

em superfície;

2) As n retas são traçadas, para cada ponto da seção , formando um leque de retas.

3) Cada reta intercepta os n traços da seção (a qual, neste trabalho, tem o mesmo

numero de traços da seção ), sendo que o eixo horizontal desta seção refere-se a

cada parâmetro do raio (o qual fornece o ângulo pela relação (3.20)).

4) Cada ponto de interseção representa a amplitude que tem seu ponto correspondente na

seção em tempo. Este ponto é indexado pelo parâmetro e o valor da seção ,

além da posição x que fornece a direção da reta que o intercepta. Pela relação:

(3.21)

calcula-se o tempo de transito duplo , o qual será consumido até sua metade para que

o raio seja traçado.

Page 40: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

40

5) A cada reta com no máximo n ponto interceptados no domínio , irá converter

estes n pontos em profundidade utilizando os quatro parâmetros iniciais (x, , .

(Ao variar todas as inclinações x, teremos um leque de retas para cada ; este leque de

retas é feito em todos os ´s da seção, de modo a cobrir toda a seção).

6) A cada reta com inclinação x, como dito anteriormente, interceptará no máximo n

pontos, e para cada ponto será feito o traçado de raios descrito abaixo:

- o raio começa na sua posição x, com ângulo de inclinação (

)

- é utilizado o método Runge-Kutta (apêndice A) para resolver as equações

cinemáticas (3.14) e (3.15), com intervalo de tempo dt (intervalo de amostragem da seção

sísmica), obtendo o próximo ponto do raio.

- se houver variação de velocidade, a lei de Snell é utilizada, de modo a obter o

próximo ângulo do raio para a próxima velocidade;

- quando a lei de Snell não é usada, ela extraída do modelo por meio de uma

interpolação bilinear (apêndice C);

- são repetidos os passos até que metade do tempo de transito duplo seja consumida

(obtido pela relação (3.21)).

- o valor da amplitude do ponto da seção é colocado no local em que o raio

terminar.

- todos os passos anteriores são feitos para todas as inclinações x, para todos os pontos

, de todos os pontos de interseção, criando assim uma nova seção, em profundidade,

a qual a cada raio traçado, o valor da amplitude é somado a seção.

Ao final de todo este procedimento teremos a seção sísmica em profundidade.

Page 41: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

41

...

evento

Figura 13 – Esquema da conversão tempo-profundidade por raio normal. Seção no domínio fornece o

parâmetro inicial do raio. Pela equação do Slant Stack o tempo a ser consumido no traçado do raio e a posição

inicial são conhecidos para cada ponto da seção . O raio normal é traçado e o valor da amplitude da seção

empilhada em tempo é colocado em profundidade.

Fonte: Autor.

3.5 – RAIO IMAGEM

Diferentemente do raio normal, o raio imagem não precisa que seu parâmetro inicial

relacionado ao ângulo de partida seja calculado. Este parte perpendicularmente a superfície,

se propagando em profundidade até que o tempo total, ou no caso da conversão tempo-

profundidade, metade do tempo duplo de trânsito seja consumido, colocando em profundidade

a amplitude sísmica da seção migrada em tempo.

Se considerarmos um ponto difrator D, em profundidade, espalhando energia até a

superfície, teríamos inúmeros raios em varias direções se propagando ascendentemente. Para

um determinado ponto na superfície, incidiria um raio com um mergulho aparente

, ou

em outras palavras, existe um raio o qual parte do ponto D e chega a um ponto , em

superfície, ortogonalmente (HUBRAL, 1977). A este raio é dado o nome de raio imagem. Se

considerarmos que o meio é heterogêneo (propriedade física velocidade variando com a

direção vertical, ou mesmo com a horizontal), nota-se que o ponto não corresponde a

projeção vertical do ponto D.

Como o meio é heterogêneo, a frente de onda não se comporta de forma hiperbólica,

Page 42: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

42

mas na vizinhança do ponto , a frente de onda devido ao ponto D pode ser considerada

hiperbólica, respeitando o operador de empilhamento de difração da migração em tempo

Kirchhoff (CLAERBOUT, 1976; CLEARBOUT, 1985). A velocidade que define a forma da

hipérbole é aproximada a velocidade rms (apêndice B), para esta posição, e focalizará a

imagem no ponto D para uma dada abertura desta hipérbole. Assim, a migração kirchhoff

(capitulo 6) em tempo terá como papel focalizar a informação espalhada pelo ponto difrator

aproximadamente no ponto D.

Para o meio heterogêneo, como dito anteriormente, a frente de onda gerada pelo ponto

difrator não é uma hipérbole, mas uma curva, e ao utilizar a migração kirchhoff em tempo, a

imagem não focalizaria no ponto do ápice da hipérbole de difração, mas em uma posição a

qual seria o ápice da hipérbole aproximada ao ponto , o qual tangencia a frente de onda

gerada no ponto D (Figura 14).

A partir de variações laterais de velocidade, nota-se que a migração em tempo não

focaliza o ponto difrator em sua posição correta na vertical e horizontal. Ao invés disso o

ponto é colocado diretamente abaixo do ponto de emergência do raio imagem, e em um tempo

igual ao de propagação deste raio.

A esse respeito, HUBRAL (1977) empregou o raio imagem, o qual permite corrigir

este erro, de modo a migrar a informação do domínio do tempo para o domínio da

profundidade na correta posição da amplitude.

A conversão utilizando raios imagem é semelhante à conversão por raios normais,

com a diferença que aquela não necessita que o parâmetro do raio seja medido. Isto é

possível, pois o ângulo de emergência é nulo, ou seja, o raio imagem tem ângulo de

emergência perpendicular à superfície. Este raio é, então, retro-propagado do mesmo modo

que o raio normal, obedecendo a lei de Snell, até que metade do tempo duplo de transito da

seção migrada seja atingido, considerando o modelo de velocidade conhecido para o caso

sintético.

A conversão tempo-profundidade por meio do raio imagem converte uma seção

migrada no domínio do tempo para profundidade, de modo que para cada ponto desta seção

um raio imagem é traçado até que metade do tempo duplo de trânsito da seção migrada seja

consumida. No final do raio é colocada a amplitude do respectivo ponto da seção migrada,

criando, assim, uma seção em profundidade, a qual é somada as parcelas de cada raio traçado.

Após a conversão de todos os pontos da seção migrada em tempo para profundidade, teremos

a seção sísmica em profundidade.

Page 43: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

43

x

z

D

Figura 14 – Modelo heterogêneo com velocidade variando nas direções do eixo x e eixo z. O raio imagem é o

único que forma um ângulo perpendicular com a superfície de medida, partindo de um ponto difrator D em

profundidade. Este ponto gera inúmeros raios os quais formam frentes de onda. Estas frentes de onda seriam

hiperbólicas para modelos homogêneos, e curvas para heterogêneos.

. Fonte: modificado ROBEIN, 2003.

Apesar de corrigir o problema da focalização errada da imagem na seção migrada em

tempo, o método do raio imagem proposto por Hubral (1977) não é dependente do modelo de

velocidade utilizado e nem do mergulho dos refletores em tempo, permitindo uma correção

aproximada destas situações de falha na migração convencional em tempo, sem ser corrigido

pela variação dos ângulos durante o traçamento do raio imagem.

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4 - O MÉTODO CRS (COMMOM REFLECTION SURFACE)

Neste capítulo será abordado o método de empilhamento por superfície de reflexão

comum ou CRS. Este método é uma diferente metodologia dos métodos aplicados na etapa de

empilhamento para gerar seções com afastamento-nulo ou zero-offset, as quais simulam a

situação de fonte-receptor com afastamento nulo, visando a um aumento da razão sinal/ruído.

Esse empilhamento é feito por uma aproximação de tempos de trânsito CRS, baseado nos

atributos cinemáticos de ondas hipotéticas NIP e N, o qual pode ser construído em duas

situações: simulando tempos de reflexões ou simulando tempos de difrações para um ponto

em um refletor. Este é resolvido com um conjunto de parâmetros ótimos, os quais irão

fornecer uma resposta zero-offset com alta razão sinal/ruído e, conseqüentemente, uma melhor

seção processada.

A etapa de empilhamento no processamento sísmico tem como principal técnica na

indústria do petróleo a metodologia CMP (ponto-médio-comum), que compreende as

correções normal-moveout e dip-moveout (MAYNE, 1962; HALE, 1991; YILMAZ, 1987).

Esta técnica é usada para simulação de seções com offset-nulo (fonte-receptor coincidentes)

com o objetivo de aumentar a razão sinal/ruído. Ela se baseia no somatório dos eventos de

reflexão, difração, dentre outros, ao longo de trajetórias de empilhamento. Apesar de simples,

está técnica tem pouca eficiência em meios com grandes variações laterais de velocidade, e

nesta situação novas técnicas de empilhamento se tornaram necessárias, dentre elas o método

]CRS (GARABITO, 2001; HUBRAL, 1999; MÜLLER, 1999; JÄGER, 1999).

O método CRS basea-se em uma aproximação hiperbólica paraxial de segunda ordem

dos tempos de transito de reflexão na vizinhança de um raio central, com o objetivo de

simular uma seção zero offset, além de seção dos atributos cinemáticos utilizados no operador

de empilhamento com esta finalidade. Estes atributos cinemáticos podem, também, ser

obtidos a partir do dado sísmico de cobertura múltipla, por meio de processos de busca destes

parâmetros usando a análise de coerência (GARABITO, 2001; JAGER, 1999).

4.1 – ATRIBUTOS CINEMÁTICOS CRS

Além da seção simulada zero-offset, o método de empilhamento CRS fornece um

conjunto de parâmetros cinemáticos do campo de onda, sendo eles: o ângulo de emergência

com a normal na superfície, o raio normal a um ponto R no refletor, e dois raios de

Page 45: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

45

curvatura de frente de ondas hipotéticas definidas detalhadamente em HUBRAL (1983). Estas

ondas hipotéticas são produzidas em situações hipotéticas especiais, considerando um dado

refletor.

Os parâmetros e são os raios de curvaturas das ondas NIP e N,

respectivamente, associadas ao raio normal, sendo estas curvaturas medidas em , e o ângulo

, comum as duas ondas, de emergência coincidindo com o ângulo de emergência do raio

normal em R.

4.2 – APROXIMAÇÃO DE TEMPO DE TRÂNSITO CRS

O CRS permite o cálculo do tempo de transito correspondente a reflexões de raios

vizinhos a um raio central. Este é uma expansão hiperbólica de segunda ordem em série de

Taylor a partir da função de tempo de trânsito de reflexão para o raio normal.

Figura 15 – Representação de um raio central (em vermelho) entre um refletor (em azul) no ponto R de incidência normal, juntamente com um raio SR’G na sua vizinhança, esquematizando uma reflexão primaria. As

frentes de onda NIP e N (pontilhadas) chegam a superfície no ponto com um ângulo de emergência .

Fonte: GARABITO, 2001.

A Figura 15 ilustra o raio normal a uma superfície, no ponto R, representado pelo

segmento , com afastamento fonte-receptor nulo (zero-offset). Observa-se que este raio

é normal ao refletor no ponto R. O segmento SR’G representa um raio de reflexão primária no

refletor , sendo que as reflexões primárias são descritas matematicamente pela expressão do

operador de empilhamento CRS. Este segmento tem como fonte S e receptor G, e está

localizado na vizinhança do ponto de emergência .

A aproximação do tempo de raios na vizinhança do raio central é dada pela expansão

hiperbólica de segunda ordem em série de Taylor e obtida por meio da teoria paraxial do raio

(SCHLEICHER, 1993). Para meios 2D, uma aproximação em função dos parâmetros

Page 46: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

46

cinemáticos das ondas NIP e N pode ser estabelecida (TYGEL, 1997). Tomando como base o

esquema da Figura 16, temos o refletor curvo e um raio central zero offset, onde R é

o ponto NIP. A aproximação hiperbólica do tempo de transito de raios na vizinhança do raio

central, para um par fonte receptor (S,G) vizinho a simulando uma reflexão primaria,

aplicáveis para configurações irregulares de fontes e receptores é dada por (TYGEL, 1997):

(4.1)

na qual é o tempo duplo do raio central de afastamento nulo e a velocidade próxima a

superfície, tomada do ponto de emergencia do raio central. As coordenadas

e representa, respectivamente, o ponto médio e o meio-

afastamento entre fonte e o receptor, sendo e as coordenadas horizontais do par fonte-

receptor (S,G). A coordenada = sobre a linha sísmica é o ponto de emergência

do raio central com fonte e receptor coincidentes.

A expressão (4.1) mostra que o CRS depende dos parâmetros cinemáticos do raio

( , , e da velocidade próxima a superfície. Deste modo, percebe-se que este operador

não depende do modelo de velocidade e que pode ser aplicado a modelos heterogêneos.

Analisando a Figura 16 constata-se que o operador de empilhamento CRS, dado pela

expressão (4.1), simula uma superfície (em vermelho) de empilhamento em relação ao ponto

na seção zero offset, referente a uma reflexão primária no ponto de incidência

normal R no segundo refletor. A superfície em azul representa as curvas de tempos de trânsito

de reflexões primárias correspondentes ao segundo refletor, medidas na superfície (ao longo

da linha sísmica) com geometria de fonte-receptor comum. Observa-se, também, a presença

do raio central normal (em vermelho) através de 3 camadas homogêneas, emergindo, a partir

refletor em R, no ponto na superfície. As duas superfícies descritas estão no domínio do

tempo (parte superior da figura), enquanto a parte inferior mostra o modelo sintético de

camadas em profundidade.

Page 47: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

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Figura 16 – modelo sintético composto de 3 camadas homogêneas com um raio de afastamento nulo ou

incidência normal (em vermelho), parte inferior. Superfície de cobertura múltipla (curvas em azul)

correspondente às reflexões da segunda interface. As curvas em vermelho definem a superfície de empilhamento

CRS, correspondente ao ponto R de reflexão.

Fonte: GARABITO, 2001.

O operador de empilhamento descrito na expressão (4.1) soma (ou empilha) todas as

amplitudes dos eventos sísmicos ao longo dessa superfície e o resultado é atribuído a cada

ponto de amostragem , construindo a seção de afastamento nulo.

A superfície a qual serve como trajetória de empilhamento dada pela expressão (4.1) é

definida pelos parâmetros cinemáticos do raio ( , , , sendo que estes parâmetros

definem a melhor superfície de empilhamento para um dado ponto de amostragem. Ao

empilhar o dado, para o ponto em questão ( ), utilizando o trio de parâmetros que melhor

ajusta superfície de empilhamento as curvas de tempos de transito de reflexão primária,

teremos a seção empilhada zero offset melhor ajustada aos parâmetros cinemáticos do meio.

Os parâmetros que melhor desempenham este ajuste podem ser extraídos diretamente

do dado sísmico por meio de algoritmos de busca multiparamétrica, os quais utilizam a função

semblance como função objeto para o critério de escolha (GARABITO, 2001; JAGER, 1999).

O empilhamento CRS fornece, alem da seção empilhada zero offset, a seção de coerência de

cada parâmetro para cada amostra no tempo.

4.3 – O OPERADOR CDS

O empilhamento CRS, sob certas considerações, pode se comportar como um

operador de empilhamento de difrações, muito semelhante ao operador de migração

Kirchhoff. As informações dadas pelos parâmetros cinemáticos do raio ( , , estão

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48

ligadas à orientação angular do refletor no ponto de incidência normal, a posição do ponto de

reflexão na subsuperfície e a curvatura do refletor respectivamente. Com essa idéia, ao

substituirmos no lugar de na expressão (4.1), nota-se que o raio de curvatura da onda

N não fornece mais a informação da curvatura do refletor no ponto de incidência normal.

Aplicando esta substituição, , na expressão (4.1), obtemos (TYGEL, 1997):

(4.2)

expressão a qual depende dos parâmetros ( , associados a onda NIP. O par e

fornecem informações sobre a posição de um ponto em subsuperfície o que leva a dizer que

os tempos de trânsito calculados na expressão (4.2) podem ser interpretados como

aproximações dos tempos de transito de difração. Outra forma de dizer seria que a expressão

(4.2) é uma aproximação na vizinhança do raio central do operador de migração pré-

empilhamento. Por outro lado, como mostrado na parte superior da figura 18, mesmo

dependendo de dois parâmetros cinemáticos, a superfície de empilhamento (cor verde)

definida em (4.2) também é uma aproximação dos tempos de trânsito associados à reflexão

em R. Deste modo, a superfície de empilhamento descrita pela expressão (4.2) é conhecida

como operador de empilhamento CDS (commom difraction surface/superfície de difração

comum). (GARABITO, 2001).

Figura 17 – Modelo composto por três camadas homogêneas e um raio de afastamento nulo ou de incidência

normal (em verde) – Parte Inferior. Superfície de cobertura múltipla (curvas em azul) correspondente às

reflexões da segunda interface. As curvas em verde definem a superfície de empilhamento CDS, correspondente

ao ponto R de reflexão (supostamente um difrator).

Fonte: GARABITO, 2001.

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Um ponto a ser mencionado é que a expressão do operador de empilhamento CRS

pode ser utilizada para as mais variadas configurações de fontes e receptores usadas nos

passos do processamento sísmico convencional, dentre elas as configurações de afastamento

comum e afastamento nulo (zero-offset). Para a condição de h = 0, para a condição de

afastamento nulo, descrevendo a aproximação hiperbólica dos tempos de transito de reflexões

normais, temos (TYGEL, 1997):

(4.3)

O operador de empilhamento (4.3) é ilustrado na figura 18, na parte superior,

representado pela curva em vermelho, para o ponto de amostragem na seção de

afastamento nulo, correspondente à reflexão primaria em um ponto em profundidade R. Os

tempos de trânsito de afastamento nulo das reflexões primárias normais do segundo refletor

são representados pela linha em azul, na parte inferior da figura.

Figura 18 – Modelo com três camadas homogêneas e um raio de afastamento nulo (em vermelho) – Parte

inferior. A curva (em azul) corresponde aos tempos de trânsito de afastamento nulo das reflexões normais da

segunda interface. A curva (em vermelho), chamada curva de empilhamento, corresponde ao ponto de reflexão

R, e é calculada pela expressão (4.3).

Fonte: GARABITO, 2001.

4.4 – ALGORÍTMO DE EMPILHAMENTO CRS

O empilhamento CRS consiste na soma das amplitudes dos eventos sísmicos de dados

de múltipla cobertura compreendidos em uma superfície de empilhamento, sendo essa

superfície de empilhamento definida como ótima para os três parâmetros cinemáticos

( , , , considerados ótimos para um ponto de amostragem , gerando uma

seção zero offset.

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Existem alguns métodos de busca dos parâmetros para que o empilhamento gere a

melhor seção possível. Os três parâmetros podem ser determinados simultaneamente, a partir

de dados de múltipla cobertura, por processo de busca global (ou otimização global)

multidimensional, usando como função objeto a medida de coerência ou semblance do sinal

sísmico. Deste modo, o problema de otimização é baseado na estimativa dos parâmetros

ótimos os quais maximizam (ou minimizam), e o intervalo definido para cada parâmetro é:

< < e , .

Após determinado o trio ótimo de parâmetros para um ponto , um ponto da seção

zero offset ou empilhada é produzido somando todos os eventos sísmicos contidos no

operador CRS construído com este trio. Os parâmetros ótimos são determinados quando o

valor do semblance é máximo. Deste modo a seção afastamento nulo é determinada repetindo

este processo para todos os pontos da seção.

Várias são as estratégias de otimização e busca destes parâmetros as quais podem ser

encontradas em GARABITO (2001), JÄGER (1999), MULLER (1999), BIRGIN (1999),

dentre as quais será usada a estratégia proposta em GARABITO (2001) neste trabalho.

4.4.1 – MEDIDA DE COERÊNCIA OU “SEMBLANCE”

Como mencionado anteriormente, os trio de parâmetros ótimos que constroem a

superfície de empilhamento que melhor empilha o dado para, no método CRS, é encontrado

com base na medida de coerência, também conhecida com semblance. O semblance é uma

medida de coerência, a qual produz resultados que podem ser mais bem interpretados de

forma visual (MAURCH, 1999), além de melhorar (ou aumentar) a coerência em eventos de

reflexões, quando comparados a outras medidas de coerência provenientes de sinal que não

reflexão. Com esta finalidade, a medida de semblance é utilizada em algoritmos de otimização

global e local objetivando avaliar a qualidade dos parâmetros do operador CRS testados.

Tomando como base nos dados sísmicos de múltipla cobertura, o coeficiente de semblance é

calculado para escolha do trio ótimo de parâmetros ( , , . Este coeficiente é uma

medida da razão entre a energia do sinal depois do empilhamento dos traços e a energia de

todos os traços envolvidos na somatória, sendo expresso por (MAURCH, 1999):

(4.4)

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em que representa a amplitude do sinal sísmico indexado pelo numero de traços

sísmicos, i = 1,...,M, é a trajetória de empilhamento, t(i). O sobrescrito M indica o numero de

traços e significa que o empilhamento é realizado em uma janela temporal definida em

relação à trajetória de empilhamento central. Para a expressão (4.4), esta trajetória de

empilhamento é a própria superfície de empilhamento definida pela expressão hiperbólica dos

tempos de transito definida pelos parâmetros ( , , . O valor do semblance é uma

medida de coerência normalizada, variando entre 0 e 1, atingindo o valor próximo a 1 quando

todos os valores do sinal sísmico são idênticos. O algoritmo de empilhamento descrito neste

trabalho considera o problema de minimização, onde é usado o valor de coerência negativo.

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52

5 – MÉTODO SLANT STACK

O experimento sísmico é baseado na excitação da subsuperfície a qual é registrada,

normalmente, por um conjunto de receptores. Em função disto, vários métodos têm sido

implementados acerca dos parâmetros do dado medido como: offset fonte-receptor e duplo

tempo de transito – , assim como as variáveis da Transformada de Fourier .

Geralmente, assumimos o meio estratificado com camadas plano paralelas horizontais, com

parâmetro físico variando apenas na vertical. Mesmo para estes casos mais simples, o

conjunto de parâmetros propagados na onda são analisados, na maioria dos casos,

separadamente. Por exemplo, para estudos profundos relacionados à crosta a ênfase principal

é dada em relação à observação, inversão e modelamento do dado sísmico refratado

(CHAPMAN, 1978; ORCUTT et. al., 1976; MÜLLER, 1971). Para a exploração de

hidrocarbonetos, a ênfase é dada a reposta de incidência vertical a sub-vertical.

O dado sísmico normalmente é mapeado e medido no domínio – . Se este dado for

mapeado no domínio de tempo de interseção τ e o parâmetro horizontal do raio ρ

(BENESSOVA et. al., 1974; CHAPMAN, 1978), os eventos de reflexão determinarão

parâmetros do raio conhecidos como vagarosidade, do meio acima da interface refletora, e o

tempo de interseção do raio/onda refratada será o da camada acima desta interface. O

conhecimento destes dois parâmetros que constituem o domínio , em qualquer ponto

deste domínio, fornece informações suficientes para o calculo da espessura da camada assim

como a velocidade. Isto sugere que reflexão e refração podem ser analisadas simultaneamente

neste domínio.

Em um meio homogêneo e estratificado por camadas plano paralelas, o tempo de

interseção τ pode ser geometricamente interpretado como contribuição do tempo de transito

total t a partir da componente vertical de propagação.

O significado físico de ρ é o mergulho da curva de tempo de transito a qual depende da

geometria do levantamento (experimento). Para levantamentos de fonte ou receptor fixo, o

mergulho do tempo de trânsito é igual à componente horizontal da vagarosidade, na

superfície, para raios partindo do ponto médio comum (CMP). Para o CMP, onde fonte e

receptor são deslocados igualmente em relação a ele, o mergulho da curva do tempo de

trânsito é uma media da vagarosidade horizontal (DIEBOLD and STOFFA, 1981).

Bem definido cada parâmetro do domínio – e domínio , podemos realizar a

conversão do primeiro para o segundo domínio por meio da soma ao longo de retas definidas

pelo parâmetro do raio ou vagarosidade, e então reduzir o tempo de empilhamento para cada

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53

τ

p

t

parâmetro do raio e offset. Assim, o tempo de interseção é dado por (DIEBOLD and

STOFFA, 1981):

(5.1)

(5.2)

para a definição discreta com dado de abertura definida, a expressão (5.2) é substituída pelo

somatório:

(5.3)

O dado discretizado na expressão 5.3 representa uma versão amostrada do campo de

onda observado na superfície de medida. Para evitar aliasing no tempo, filtros analógicos

anti-aliasing são aplicados aos dados antes da digitalização. O intervalo de amostragem

espacial ∆x é a distancia entre os geofones ou grupo de hidrofones. Evitar aliasing espacial

requer um intervalo de amostragem espacial de , na qual V é a mais baixa

velocidade de fase horizontal no dado e é a máxima freqüência. Conseqüentemente, o

parâmetro de Nyquist do raio é igual a . A Figura 19 mostra o aliasing

presente no Slant Stack.

Figura 19 - uma trajetória curva no domínio – (à direita) e sua transformada (à esquerda). Para dados

discretizados – , aliasing no domínio estará presente na região listrada. Esta região é definida pelo

lugar geométrico formado por todas as tangentes da curva ou equivalente a todas as linhas tangentes a

curva no domínio – . A abertura formada mergulhos das direções em formam a região a qual o aliasing

está presente. Com o aumento da diferença entre a maior e menor direção de empilhamento em – , aumenta a

região de aliasing em .

Fonte: STOFFA, 1981.

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6 – MIGRAÇÃO KIRCHHOFF EM TEMPO E SUPERFÍCIE DE

DIFRAÇÃO COMUM

A migração sísmica constitui uma das últimas etapas do processamento sísmico

convencional. Ela tem como objetivo a construção de imagens da subsuperfície mais

próximas o possível da geologia real. Vários são os métodos de migração sísmica, a qual pode

ser em tempo ou em profundidade, e encontram-se bem descritas na literatura (YILMAZ,

1987; YILMAZ, 2001; CLAERBOUT, 1993). Esta etapa pode ser feita no domínio do tempo

ou no domínio da profundidade. O método de migração em tempo mais rápido e com

resultados satisfatórios é o método Kirchhoff em tempo. Ele utiliza curvas de tempo de

trânsito de difração sobre a qual é feita um empilhamento de amplitudes, e o resultado

colocado no ponto corrigido da seção sísmica. Este método foi o utilizado neste trabalho.

6.1 – MIGRAÇÃO KIRCHHOFF EM TEMPO

A etapa de migração constitui uma das mais importantes etapas do processamento

sísmico, pois nessa etapa é construída uma seção sísmica em tempo, apresentando um

posicionamento “correto” dos eventos sísmicos em suas posições, aproximadamente reais, em

tempo (HUBRAL, 1977). Vários são os métodos de migração encontrados na literatura, com

até mesmo algoritmos e códigos-fontes, com boas referências em YILMAZ (1987) e

CLAERBOUT (1993).

Dentre os métodos de migração, temos os métodos pré- e pós-empilhado, além de

migração em tempo e em profundidade. O método de migração em tempo basea-se na curva

que representa a frente de onda gerada em um ponto difrator em profundidade, somando todas

as amplitudes ao longo desta curva e atribuindo o valor final atribuído ao ápice da mesma.

A curva, a qual é feita o empilhamento das amplitudes, é definida pela função de

tempo de transito, e requer o conhecimento do campo de velocidade na subsuperfície na qual

ocorreu a propagação do campo de onda. Esse modelo geralmente não é conhecido, mas

considera-se que não há variação lateral de velocidade. Adotando estas considerações,

chegamos a uma expressão analítica que descreve geometricamente a forma da frente de onda

que se propaga em subsuperfície, definida pelo tempo de trânsito, utilizando princípios da

equação de Dix (B.2.3) (ROBEIN, 2003):

(6.1)

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55

nesta equação, é a função tempo de trânsito para uma distância x relacionada a uma

posição, em superfície, diretamente acima do ponto imagiado em profundidade Z. e

são as velocidades media e rms para este ponto Z (apêndice B). Observa-se que

representa o duplo tempo de trânsito vertical, e é dado por (ROBEIN, 2003):

(6.2)

o que, em outras palavras, representa a velocidade media entre o ponto Z e o ponto x em

superfície.

A relação anterior permite a utilização da migração Kirchhoff de modo a criar uma

imagem no ponto D na profundidade Z simplesmente sabendo as velocidades e .

Além disso, a consideração que é dada a partir da análise de velocidade de

empilhamento, embora não seja conhecida quando usado apenas o dado sísmico.

Conclui-se que a relação entre o tempo vertical e a profundidade Z não é

conhecida. Para contornar este problema, na prática, observa-se que o ponto D não representa

a real posição da amplitude do dado para uma possível “migração em profundidade”,

mas uma posição no domínio ( - ponto em superfície diretamente acima do

ponto D; – tempo localizando o vértice da hipérbole na componente vertical da seção).

A imagem criada é chamada de imagem migrada em tempo, com o eixo vertical sendo o

tempo vertical, admitindo que todas as considerações anteriores foram satisfeitas. O tempo é

conhecido também como tempo migrado, que apesar de não ser igual ao tempo , será

chamado de .

6.2 – ALGORITMO DE MIGRAÇÃO EM TEMPO

Para realizar o metodo de migração em tempo, apenas a velocidade é necessária,

assumindo que todos os termos maiores que são desprezados na expressão (6.1). Deste

modo, a velocidade pode ser obtida diretamente da analise de velocidade.

A figura 21 mostra os passos do metodo de migração Kirchhoff em tempo. Um dado

ponto com coordenadas na seção migradaé calculado pela soma ponderada das

amostras que estão na seção empilhada, utilizando a função do tempo de transito hiperbólica

descrita por . A partir da relação (6.1) podemos dizer que é igual a

velocidade rms . Assim (ROBEIN, 2003):

(6.3)

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56

(6.4)

A imagem migrada completa é obtida através do calculo ponto-a-ponto nas amplitudes

da seção empilhada, com os pesos na equação (6.3) do mesmo tipo utilizado na migração

em profundidade. Com base na literatura já mencionada sobre migração, estes pesos não são

calculados de forma precisa e necessitam do modelo de velocidade de propagação. Na pratica,

este termo é negligenciado.

Um ponto a se frisar é que a velocidade de migração usada para imagiar o ponto

de coordenadas é definida nesta posição, ou seja, na posição do ponto migrado.

Levando em consideração tudo o que foi dito sobre a migração em tempo, notamos

que o procedimento para construção da imagem migrada em tempo é realizado tendo apenas

um conjunto limitado de informações sobre o campo de velocidades, o que foi conseguido

após varias considerações. Esta seção terá como eixo vertical o tempo vertical de propagação.

Uma das principais vantagens da migração em tempo é que uma imagem “migrada” da

subsuperfície pode ser obtida a partir de um conjunto limitado de informações de velocidade

de propagação. A velocidade é, em primeiro caso, a mesma resultante a partir da análise de

velocidade usada na correção NMO-DMO (YILMAZ, 1987). Esta consideração é uma

vantagem importante para migração em tempo e de longe uma importante ferramenta na

interpretação. Apesar da simplificação das informações necessárias para migração em tempo,

temos que levar em consideração algumas restrições: o modelo de velocidade de propagação

não pode ter variação lateral; a curva de tempo de trânsito é hiperbólica e com abertura

limitada de modo que se a abertura foi muito grande o resultado será cada vez menos preciso;

a velocidade de empilhamento é uma aproximação da velocidade rms e esta aproximação é

cada vez menor com o aumento da complexidade do meio geológico; e formações com

velocidades maiores aparecem mais “finas” do que são na realidade, além de regiões com

variação lateral de velocidade poder gerar mergulhos aparentes na seção migrada em tempo

conhecidos como “artefatos”.

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abertura x

a) Modelo de velocidade migrado em tempo

abertura

b) Seção zero-offset c) Seção migrada no tempo

Figura 20 – Seção 2D migrada em tempo e seção de zero-offset. O campo de velocidade é variável na vertical

definida pela velocidade rms, sem variação lateral. A função do tempo de trânsito tem a forma aproximada de

uma hipérbole, que é valida para uma abertura de migração limitada. O resultado desta soma é atribuído ao ápice

desta curva de empilhamento, considerando .

Fonte: modificado ROBEIN, 2003.

1 – Modelo de velocidade sem variações laterais

definido por ;

2 – Função hiperbólica:

3 – Soma das amostras ao longo da função hiperbólica;

4 – Resultado da soma colocado em ;

5 – Repetição dos passos 1 ao 4 para todos os

pontos da seção empilhada

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6.3 - SUPERFÍCIE DE DIFRAÇÃO COMUM

A aproximação CDS, como dito anteriormente, simula o método de migração

kirchhoff, empilhando amplitudes de pontos difratores ao longo de superfícies.

Conceitualmente, se um refletor se reduz a um ponto difrator, o raio de curvatura da

onda normal ( ) é reduzido ao raio de curvatura da onda NIP ( , ou seja, .

Como conseqüência, o operador de migração Kirchhoff, em tempo, resume-se a um caso

particular do operador de empilhamento CRS. Deste modo, o tempo de trânsito de reflexão se

transforma em um tempo de trânsito de difração, dado por (TYGEL, 1997):

(6.5)

q]ue é análogo a expressão (4.2). Embora o operador CRS aproxime melhor os eventos de

reflexão, a resposta aproximada à difração pode ser usada como uma alternativa do operador

de empilhamento para simular uma seção afastamento nulo como um operador do tipo

Kirchhoff. Uma aplicação apresentada por MANN ET. AL. (2000), onde o ápice da resposta

apropriada da difração também oferece a localização aproximada da imagem de uma

migração. Devido à simetria dos eixos, este conceito é aplicado no plano de afastamento nulo,

h = 0, onde

resulta na localização do ápice:

(6.6)

(6.7)

A resposta aproximada da seção afastamento nulo para a difração, parametrizada em

termos da localização do ápice ( , em vez da localização na seção afastamento

nulo ( , e com h = 0, é escrita como (MANN ET. AL., 2000):

(6.8)

(6.9)

O somatório (empilhamento) é feito ao longo da resposta aproximada da difração, com

seu resultado colocado no ápice da hipérbole, de modo a aproximar ao resultado da migração

Kirchhoff em tempo, como velocidade constante , no qual todos os atributos contribuem.

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Nesta estratégia, o empilhamento é realizado ao longo do operador CRS (expressão (4.1)), em

vez do operador de difração (expressão (6.5)), e se atribui o resultado ao ápice ( .

A velocidade de migração é dada em função dos atributos CRS na posição

afastamento nulo ( . Na migração convencional em tempo, a velocidade de migração é

definida no ápice (expressões (6.6) e (6.7)) do operador de migração.

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7 – RESULTADOS

Os resultados deste trabalho foram obtidos a partir de três modelos sintéticos gerados

pelo e processados pelo software Seismic Unix. O processo de empilhamento CRS foi

realizado pelo software escrito em C++, feito na Universidade de Karlsruhe (Alemanha),

versão 5.1. O traçamento de raios, normal e imagem, foi realizado utilizando algoritmos

escritos em Fortran e Matlab.

Cada modelo é constituído de camadas com velocidade constante, limitadas por

interfaces curvas e suaves. Em cada um destes modelos foi realizado um levantamento

sísmico split spread, com os seguintes parâmetros:

PARÂMETROS DA GEOMETRIA DO LEVANTAMENTO

Extensão do levantamento 14km

Número de tiros 12000

Número de posições da fonte 200

Número de receptores igualmente

espaçados em relação a fonte

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Espaçamento entre receptores 50m

Espaçamento entre tiros 50m

Taxa de amostragem 0.002s

Janela de tempo 3s

Número de amostras por traço 1502

Localização do primeiro/ultimo receptor 525m/13425m

Número de CDP´s 458

Freqüência Pico da wavelet usada 0.1/dt = 0.1/0.002

Tabela 7.01 – tabela contendo os parâmetros referente a geometria de todos os modelos

apresentados.

Para a conversão tempo em profundidade alguns importantes critérios devem ser

respeitados. Estes estão relacionados aos espaçamentos escolhidos nas direções x e z, que

definirá a malha que constituirá a seção convertida. Estes espaçamentos devem ser escolhidos

de modo a respeitar alguns critérios para que a seção em profundidade tenha boa qualidade.

Os espaçamentos em x e z estão relacionados à velocidade mínima do meio v, o ângulo de

inclinação máxima do refletor e a freqüência f do sinal, definidos pelas expressões

(YILMAZ 1987):

Espaçamento em x:

(7.1)

Espaçamento em z:

(7.2)

Para o modelo 1 apresenta camadas curvas, com inclinação máxima de 3,81º, e possui

critério de discretização de 11,33m e 15,08m.

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Para o modelo 2, com camadas curvas e ângulo de inclinação máximo de 4,76º, possui

o critério de discretização de 9.0 m e 15.08m.

Para o modelo 3, com camadas curva e horizontais, ângulo de inclinação máximo de

4.28º, possui critério de discretização de 10m e 15,08m.

Com base nas considerações anteriores foram feitos obtidos os seguintes resultados: 2

seções empilhadas zero offset (uma para o dado empilhado CMP e outra para o dado

empilhado CRS), 2 seções (uma obtida da seção empilhada CMP e a outra a partir da

seção empilhada CRS), 2 seções migradas (uma obtida da seção empilhada CMP e a outra a

partir da seção empilhada CRS), 2 seções convertidas em profundidade pelo raio imagem e 2

seções convertidas em profundidade pelo raio normal.

O modelo 1 (Figura 21) é constituído de cinco camadas e um semi-espaço. A primeira

camada tem velocidade v1=1508m/s, segunda camada v2=1581m/s, terceira camada

v3=1690m/s, quarta camada v4=1826m/s, quinta camada v5=2000m/s e o semi-espaço

v6=2236m/s.

O modelo 2 é similar ao modelo de talude continental e está constituído de duas

camadas e um semi-espaço com interfaces curvas. A primeira camada tem velocidade

v1=1508m/s, segunda camada v2=1826m/s e o semi-espaço v3=2000m/s.

O modelo 3 é composto de quatro camadas, contendo interfaces curvas e interfaces

planas horizontais, e um semi-espaço. A primeira camada tem velocidade v1=1508m/s,

segunda camada v2=1581m/s, a terceira camada v3=1826m/s, quarta camada v4=2000m/s e o

semi-espaço v5=2000m/s.

Nas figuras que seguem são apresentados os modelos e resultados para cada um deles.

7.1 – MODELO 1

A seguir serão mostrados as seções empilhadas, migradas, e convertidas em

profundidade para o modelo 1.

Figura 21 – Modelo 1 composto de cinco camadas e um semi-espaço com velocidades constantes e interfaces curvas. v1=1508m/s, v2=1581m/s, v3=1690m/s, v4=1826m/s, v5=2000 m/s, v6=2236 m/s.

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Figura 22 – Modelo 1, seção empilhada obtida após correção NMO.

Figura 23 – Modelo 1, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS.

Figura 24 – Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando a migração

Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix.

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Figura 25 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo método de empilhamento

de difrações CDS.

Figura 26 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da Figura 22

Figura 27 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da Figura 23

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Figura 28 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CMP da

Figura 24.

Figura 29 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CDS da

Figura 25.

Figura 30 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da Figura 26.

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Figura 31 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da Figura 27.

As figuras 28 a 31 mostram o resultado obtido a partir do método de raio imagem e

raio normal. A figura 28 e 29 foram convertidas em profundidade a partir das seções

migradas CMP e CRS, respectivamente, por meio dos raios imagens. Observamos uma

satisfatória recuperação da feição dos refletores assim como a profundidade dos mesmos. Para

as figuras 30 e 31, obtidas a partir das seções do método CMP e CRS, respectivamente,

notamos que há uma melhor recuperação da continuidade dos refletores devido o número de

raios traçados ser maior que no método do raio imagem. Em contrapartida, estas seções

sofrem com os efeitos dos artefatos inerentes da conversão .

7.2 – MODELO 2

A seguir serão mostradas as seções empilhadas, migradas, e convertidas em

profundidade para o modelo 2.

Figura 32 – Modelo 2 composto de duas camadas e um semi-espaço com velocidades constantes e interfaces curvas. v1=1508m/s, v2=1826m/s, v3=2000m/s.

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Figura 33 – Modelo 2, seção empilhada obtida após correção NMO.

Figura 34 – Modelo 2, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS.

Figura 35 - Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando a migração

Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix.

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Figura 36 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo método de empilhamento

de difrações CDS.

Figura 37 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da figura 33.

Figura 38 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da figura 34

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Figura 39 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CMP da

Figura 35.

Figura 40 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CDS da Figura 36

Figura 41 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da figura 37.

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Figura 42 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da Figura 38.

O modelo 2 é constituído de 2 camadas e um semi-espaço com interfaces curvas,

representando o talude continental. As figuras 39 e 40 foram convertidas em profundidade a

partir das seções migradas CMP e CRS, respectivamente, por meio dos raios imagens.

Observamos que houve recuperação satisfatória da profundidade das interfaces para cada uma

destas camadas juntamente com suas feições. Para as figuras 43 e 44, obtidas a partir das

seções do método CMP e CRS, respectivamente, obtidas pelo método do raio

normal.Obteve-se, novamente, um resultado satisfatório como no modelo 01. Novamente

observa-se que nas seções obtidas pelo raio normal há artefatos inerentes da transformada

. Estes artefatos podem ter a amplitude atenuada, mas não completamente eliminados na

transformação, sendo inseridos devido ao incremento da variação das direções de

empilhamento do Slant Stack.

7.3- MODELO 3

A seguir serão mostradas as seções empilhadas, migradas, e convertidas em

profundidade para o modelo 3.

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Figura 43 – Modelo 3 composto de quatro camadas e um semi-espaço com velocidades constantes e interfaces

retas e curvas. v1=1508m/s, v2=1581m/s, v3=1690m/s, v4=1826m/s, v5=2000m/s.

Figura 44 – Modelo 3, seção empilhada obtida após correção NMO.

Figura 45 – Modelo 3, seção empilhada obtida após busca dos parâmetros CRS.

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71

Figura 46 - Seção migrada a partir da seção empilhada CMP. Esta seção foi obtida utilizando a migração

Kirchhoff em tempo, no software Seismic Unix.

Figura 47 – Seção migrada a partir da seção empilhada CRS. Esta seção foi obtida pelo método de empilhamento

de difrações CDS.

Figura 48 – Seção obtida a partir da seção empilhada CMP da Figura 44

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Figura 49 – Seção obtida a partir da seção empilhada CRS da Figura 45.

Figura 50 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CMP da

Figura 46.

Figura 51 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio imagem a partir da seção migrada CDS da

Figura 47.

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73

Figura 52 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da Figura 48.

Figura 53 – Seção convertida em profundidade pelo método de raio normal a partir da seção da Figura 49.

O modelo 3 é constituído de 4 camadas com interfaces curvas e planas sobre um semi-

espaço. As Figuras 50 e 51 foram convertidas em profundidade a partir das seções migradas

CMP e CRS, respectivamente, por meio do raio imagem. Observamos que houve recuperação

satisfatória da profundidade das interfaces para cada uma destas camadas juntamente com

suas feições. Para as Figuras 52 e 53, que foram obtidas a partir do Slant Stack realizado nas

seções empilhadas CMP e CRS, respectivamente, pelo raio normal, obteve-se um resultado

também satisfatório com relação à profundidade e a recuperação da feição das interfaces, com

melhora da continuação dos refletores quando comparado ao método do raio imagem.

Observa-se, entretanto, que algumas regiões diminuíram a amplitude do dado na conversão,

devido à fraca existência de sinais que compõem os refletores. Esse efeito se dá pela

superposição de amplitudes no traçamento de raios normais, a usando os parâmetros iniciais

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fornecidos pela seção , no qual haver artefatos inerentes a esta transformação. Estes

artefatos são visíveis na seção convertida em profundidade, por raios normais.

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8 – CONCLUSÕES

A metodologia de conversão tempo-profundidade utiliza um raio imagem para

converter a informação sísmica da seção migrada em tempo para a seção em profundidade,

sendo este raio inicialmente perpendicular a superfície de medida. Por outro lado, a

metodologia de conversão tempo-profundidade por raios normais traça um número de raios

igual ao número de direções de empilhamento do SlantStack. Cada uma dessas direções tem

um valor de vagarosidade que define sua inclinação, sendo esta inclinação o valor que definirá

o ângulo inicial do raio normal traçado. Por esse motivo, a conversão utilizando raios normais

converte um mesmo sinal sísmico várias vezes para a seção sísmica em profundidade.

O raio normal, como dito anteriormente, converte a informação sísmica para a

profundidade várias vezes. Esta redundância permite uma melhor continuidade na

reconstrução do refletor. Entretanto, este dado, a partir da seção , carrega consigo os

artefatos provenientes do Slant Stack. Como esta transformada, em alguns casos, pode não ter

uma direção tangente ao refletor em um ponto, este refletor pode ser reconstruído com a

presença de artefatos nas seções em profundidade, como visto nas figuras 30 e 31. Estes

refletores têm amplitude menor nas seções das figuras 41, 42, 52 e 53.

Observou-se que a seção convertida pelo método do raio imagem forneceu uma

recuperação de profundidade e feição dos refletores de forma satisfatória, mas apresentando

problemas na reconstrução da continuidade dos mesmos. A conversão em profundidade

utilizando o método do raio normal, usando como dado de entrada a seção , recuperou,

também de forma satisfatória, a profundidade das interfaces. Além disso, mostrou melhor

recuperação da continuidade dos refletores. Entretanto nota-se que há a presença de artefatos

nas seções convertidas em profundidade por raio normal. Estes artefatos são visíveis nas

regiões de curvatura dos refletores.

O método de conversão por raios normais recupera de forma satisfatória todos os

refletores das geometrias utilizadas, respeitados os limites do traçamento de raio. O método de

conversão por raios normais possui a limitação do próprio Slant Stack. Esta limitação se dá

quando nenhuma direção de empilhamento intercepta tangentemente o evento sísmico em

algum ponto, construindo uma seção sem determinada informação, a qual é convertida

em profundidade com esta “falha” na informação. Adicional a isso, o Slant Stack possui erros

numéricos inerentes ao método, e mesmo respeitando os critérios para não inserir aliasing,

artefatos são inseridos. A conversão utilizando raios normais traça muito mais raios que a

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76

conversão por raios imagem, o que permite uma redundância de dados assim como a

superposição destrutiva de informações (nitidamente visíveis nos refletores mais profundos da

seção em profundidade do modelo 01). Deste modo a continuação dos refletores é mais bem

definida por este método, no entanto, a amplitude do sinal é diminuída em algumas regiões

devido à superposição dos dados, além dos artefatos estarem presentes.

Outro ponto a ser considerado é que o tempo computacional para conversão por raios

imagens é menor em relação aos raios normais. Na conversão por raios imagem apenas

um raio é traçado para cada amostra da seção migrada. Na conversão por raios normais o

número de raios traçados é igual ao número de direções de empilhamento Slant Stack

utilizados. Cada raio tem ângulo inicial dado pelo parâmetro do raio da seção , obtido

pela lei de Snell, da seção .

Outro ponto observado é que os refletores horizontais em profundidade foram

corrigidos de modo a manter sua geometria plana. Este problema é notável na migração em

tempo, a qual transmite a curvatura das interfaces mais rasas aos refletores planos mais

profundos. Com a conversão tempo-profundidade por traçado de raio imagem e normal este

problema foi contornado.

Por fim, a conversão por raio imagem traça apenas um raio para conversão ponto-a-

ponto tempo-profundidade, consumindo um tempo computacional menor, recuperando de

forma satisfatória a profundidade e feição dos refletores. Entretanto a continuidade do refletor

pode ser prejudicada para refletores de curvatura não suaves e profundos. A conversão por

raio normal consome um tempo computacional maior, recupera de forma satisfatória

continuidade, feição e profundidade do refletor. Além disso, converte os artefatos inerentes

devido ao Slant Stack, além de poder ocorrer a diminuição da amplitude do refletor em

profundidade devido uma mesma informação ser convertida várias vezes.

As perspectivas para trabalhos futuros são de conversão tempo-profundidade

utilizando dados reais, com camadas com campo de velocidade heterogêneo ou até mesmo

com anisotropia, além de tentar alternativas à diminuir o tempo computacional gasto na

conversão por raio normal.

Page 77: conversão tempo-profundidade de seções sísmicas empilhadas por

77

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80

APÊNDICE

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APÊNDICE A - O MÉTODO RUNGE-KUTTA

O método de Runge-Kutta é um método matemático de passo simples que requer

apenas as derivadas de primeira ordem, e pode fornecer aproximações precisas com erros de

truncamento da ordem de h2, h3, h4, etc. Ele fornece soluções de equações diferenciais de

primeira ordem, como as equações referentes ao traçamento cinemático do raio. Todos os

métodos de Runge-Kutta tem a seguinte forma geral (BUTCHER, 2005):

(A.1)

onde , chamado de função incremento, é uma aproximação conveniente para f(x,y) no

intervalo ≤ ≤ .

Neste trabalho foi utilizado apenas o método Runge-Kutta de 4ª ordem.

O método Runge-Kutta de 4ª ordem é dado pelas formulas abaixo:

(A.2)

(A.3)

) (A.4)

) (A.5)

(A.6)

CONTROLE DO PASSO NO ALGORITMO RUNGE-KUTTA

O algoritmo Runge-Kutta de ordem m expandindo em Taylor com termo até ,

representando o erro local de truncamento,tem-se:

(A.7)

no qual:

m = ordem do método (4ª ordem utilizado neste trabalho)

K = função matemática a depender de e suas derivadas.

Para a escolha de h, dado um certo , considerando:

a) erro local de truncamento (supondo K constante);

b) erro local de truncamento sendo a contribuição mais importante para o erro global.

Assumindo como solução exata, uma estimativa do erro local de truncamento

pode ser obtida integrando-se o método entre e com dois passos diferentes, e ,

obtendo-se duas estimativas de e .

Utilizando a extrapolação de Richardson:

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82

(A.8)

(A.9)

nos quais equivale ao numero de passos.

Dividindo (A.8) por (A.9), temos:

(A.10)

e substituindo

temos:

(A.11)

Deste modo, é feita uma estimativa para o erro local de truncamento com relação a

solução , assumindo , sendo a mesma dada por:

(A.12)

Como estamos tratando do algoritmo Runge-Kutta de 4ª ordem (m = 4)

(A.13)

Este procedimento permite monitorar o erro, mas o numero de cálculos aumenta.

Outro critério usado para determinar o tamanho do passo h, conhecido como critério

de Collatz, é feito através de avaliação da relação

após cada passo de integração. Se

esta relação se torna maior que alguns centésimos, o passo h deve ser diminuído.

SOLUÇÃO DE EDO SIMULTÂNEAS

Seja o seguinte sistema com nEDOs:

ou

(A.14)

Com condições iniciais:

ou (A.15)

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Deve-se aplicar, qualquer um dos métodos apresentados, em paralelo em cada passo.

Por exemplo, o método de Euler modificado:

ou (A.16)

no qual:

ou (A.17)

)

) ou

) (A.18)

Deste modo obtemos a resolução da função matemática descrita pelas EDOs a ser

implementada.

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APÊNDICE B – VELOCIDADE MÉDIA, VELOCIDADE INTERVALAR,

VELOCIDADE DE EMPILHAMENTO, VELOCIDADE RMS.

B.1 – VELOCIDADE MÉDIA

A velocidade média é um parâmetro sísmico o qual relaciona a distância total

percorrida pelo raio com o tempo total gasto para percorrê-lo, o que não ocorre para casos

reais. Esta velocidade não necessita do conhecimento de todos os pontos de discretização do

raio a qual será calculada e nem das velocidades individuais do meio, sendo que depende,

apenas, da distancia percorrida pelo raio e do tempo gasto para percorrê-lo. Este parâmetro é

utilizado, normalmente, para relacionar um especifico ponto em profundidade com um dado

tempo de transito para conversões tempo-profundidade.

A expressão abaixo representa a velocidade média :

(B.1)

na qual é a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade da onda acustica no ponto

considerado, que para casos reais é retirado diretamente do well-log, mas para o caso sintético

é dado pela razão

; o índice n do somatória varia de 0 a N o

qual são os n-ésimos pontos que constituem a trajetória do raio.

B.2 – VELOCIDADE INTERVALAR

A velocidade intervalar combina a velocidade instantânea em um intervalo definido. A

definição de velocidade intervalar depende da sua aplicação. Se aplicada no tempo para

calcular profundidade, então a velocidade media para o dado intervalo de tempo , de até

é usada:

(B.2.1)

Quando a velocidade intervalar é associada com a correção NMO ou aplicações em

migrações, a definição de velocidade rms é utilizada:

(B.2.2)

A velocidade intervalar pode ser obtida no processamento sísmico por meio da

equação de Dix e da velocidade rms, os quais são obtidos a partir das velocidades empilhadas.

A equação de Dix, para um intervalo n, pode ser obtida ajustando a expressão B.4:

(B.2.3)

Deste modo, as velocidades intervalares derivadas desta expressão tendem a ser continuas ao

longo dos eventos e melhorar o processo de análise de velocidade.

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Quando a velocidade intervalar é obtida a partir da velocidade de empilhamento de um

dado com mergulho, erros nos resultados podem acontecer. A velocidade de empilhamento

para um dado com mergulho é dado pela expressão:

(B.2.4)

Usando a velocidade de empilhamento, na expressão acima, como a velocidade rms resultará

em velocidades intervalares que vão variar de dois modos: ou variam para valores elevados,

ou para valores muito baixos os quais podem ser ate negativos.

B.3 – VELOCIDADE DE EMPILHAMENTO

Velocidades de empilhamento são escolhidas de modo obter o melhor ajuste visual na

seção empilhada com a equação NMO (B.3). Nesta equação t e são o duplo tempo de

transito e h o meio afastamento fonte-receptor. Vale ressaltar que a velocidade de

empilhamento não necessariamente é igual a velocidade rms, a não ser em refletores

horizontais.

(B.3)

O uso da palavra robusto é muito aplicado para as velocidades de empilhamento. Isso

deve-se pois esta velocidade alcança várias aproximações que são realizadas no

processamento sísmico e permitem o processamento de dados de estruturas complexas

tomando como base as considerações feitas pela . Um exemplo é a anisotropia a qual é

aproximada para variações suaves da velocidade de empilhamento.

Outra consideração poderosa é que a velocidade de empilhamento permite melhorar a

imagem do refletor com mergulho variando segundo a expressão (B.2.4).

A expressão (B.2.4) permite o empilhamento das amplitudes que compõem um evento

com mergulho para um dado CMP. Entretanto este processo diminui a resolução do dado ao

longo deste evento com mergulho, borrando-o.

B.4 – VELOCIDADE RMS

A velocidade rms é uma velocidade aparente a qual leva em conta a lei de Snell, para

os casos de refração, e permite uma simplificação do calculo da velocidade para moveout

normal e difrações. A sigla rms deriva de “root meansquare” e a velocidade rms é

definida pela fórmula B.3 abaixo:

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(B.4)

na expressão B.3, a variável representa a velocidade intervalar.

A velocidade rms é bem aproximada a velocidade média para pequenos offset´s,

quando calculadas após a correção NMO. Para offset´s grandes, mais termos da formula de

tempo de transito hiperbólico podem ser necessários. Esta velocidade será utilizada de modo a

realizar aproximações no que se refere à:

- melhor ajuste de velocidades para refletores horizontais, (meio

isotrópico);

- velocidade obtidas a partir da velocidade de empilhamento, as quais dependem do

mergulho do evento sísmico, serão ajustadas, ou seja,

- aproximação à velocidade NMO usada para a correção de mergulho ou dipmoveout

(DMO).

Deve-se lembrar que, normalmente, usamos a velocidade no lugar de para

estruturas horizontais e deste modo assumimos que não há anisotropia no dado sísmico.

Quando a anisotropia esta no dado, é obtido a partir do dado de poço e não é equivalente

a .

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APÊNDICE C – INTERPOLAÇÃO BILINEAR

No campo da matemática, a interpolação bilinear é uma extensão da interpolação

linear para funções interpoláveis de duas variáveis (x e y) em um grid regular.

A interpolação bilinear é realizada com a idéia da linear. A interpolação é realizada em

uma direção e depois na outra direção. Embora cada passo seja de uma interpolação linear,

amostrando dados em suas posições, a interpolação como um todo não é linear, mas sim uma

aproximação quadrática no local da amostra.

O algoritmo é descrito como segue. Supondo que queiramos achar os valores de uma

função desconhecida f em um ponto P=(x,y). Considera-se que a função f seja conhecida em

quatro pontos: , , e . Procedemos

com a interpolação linear da direção x expressa por:

(C.1)

na qual .

(C.2)

na qual . Após a interpolação na direção x, procede-se com a interpolação da

direção y.

(C.3)

Assim, a estimativa da função f no ponto desejado (x, y) é dada por:

=

Nota-se que chegaríamos ao mesmo resultado se a interpolação fosse feita primeiro na

direção y e depois ao longo da direção x.