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Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

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Page 1: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

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x

y

z

r

z

P , ,r z

Sistema de Coordenadas Cilíndricas

, ,0r

Page 3: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Conversão de Coordenadas(Cilíndricas - Retangulares)

Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares, usamos as equações

cosx r sy r en z z

enquanto que para converter de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos as equações

2 2 2r x y tgy

x z z

Page 4: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Exemplo 1:

(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas .

e determine suas coordenadas retangulares.

(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares

22, ,13

3, 3, 7 .

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Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas .z r

Page 6: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas cilíndricas para o elipsóide

2 2 24 4 1.x y z

Page 7: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

é o ângulo entre o

eixo positivo e o

vetor .OP��������������

z

é o mesmo ângulo que em coordenadas cilíndricas.

Sistema de Coordenadas Esféricas

P , ,

onde

x

y

z

O

OP��������������

Note que:0 0

Page 8: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Conversão de Coordenadas(Esféricas -

Retangulares)

P , ,

x

y

z

O

P , ,x y z

x

y

'P , ,0x y

r

z

Do triângulo retângulo , temos

'OPP

Q

Page 9: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Do triângulo retângulo , temos 'OPP

cosz

cosz

senr

senr

Do triângulo retângulo , obtemos 'QOP

i

ii

cosx

r cosx r

seny

r seny r

iii

iv

Page 10: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

cossenx sen seny

também, a distância entre dois nos mostrta que

Para converter de coordenadas esféricas para

coordenadas retangulares, substituímos em para

encontrar a coordenada e substituímos em para

encontrar a coordenada , daí

ii iiix ii ivy

cosz

usamos este resultado para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas.

2 2

OP��������������

2 2 2x y z

Page 11: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Exemplo 4: O ponto é dado em coordenadas

esféricas. Plote o ponto e determine suas

coordenadas retangulares.

2, ,4 3

Page 12: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Exemplo 5: O ponto é dado em coordenadas

retangulares. Determine as coordenadas

esféricas desse ponto.

0,2 3, 2

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Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas esféricas para o hiperbolóide 2 2 2 1.x y z

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Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas retangulares da superfície cuja equação esférica é .sen sen