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Corpos Finitos Matheus Bernardini de Souza 25 de junho de 2014 Matheus Bernardini de Souza opicos de ´ Algebra II

Corpos Finitos - Unicamp

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Corpos Finitos

Matheus Bernardini de Souza

25 de junho de 2014

Matheus Bernardini de Souza Topicos de Algebra II

Page 2: Corpos Finitos - Unicamp

Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Definicao 1

Um corpo K e um anel comutativo (K,+, ·) de tal forma que

1 ∈ K, com 1 6= 0;

Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k−1 ∈ K tal que k · k−1 = 1.

Observacao 1

Se K e um corpo, entao K∗ := K \ {0} com a operacao · e umgrupo abeliano.

Exemplo 1

Q,R,C sao corpos.

Z NAO e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com1 ∈ Z.

Seja p um numero primo. Entao Zp := Z/pZ e um corpo.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Definicao 1

Um corpo K e um anel comutativo (K,+, ·) de tal forma que

1 ∈ K, com 1 6= 0;

Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k−1 ∈ K tal que k · k−1 = 1.

Observacao 1

Se K e um corpo, entao K∗ := K \ {0} com a operacao · e umgrupo abeliano.

Exemplo 1

Q,R,C sao corpos.

Z NAO e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com1 ∈ Z.

Seja p um numero primo. Entao Zp := Z/pZ e um corpo.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Definicao 1

Um corpo K e um anel comutativo (K,+, ·) de tal forma que

1 ∈ K, com 1 6= 0;

Para todo k ∈ K(k 6= 0), existe k−1 ∈ K tal que k · k−1 = 1.

Observacao 1

Se K e um corpo, entao K∗ := K \ {0} com a operacao · e umgrupo abeliano.

Exemplo 1

Q,R,C sao corpos.

Z NAO e um corpo, apesar de ser um anel comutativo com1 ∈ Z.

Seja p um numero primo. Entao Zp := Z/pZ e um corpo.

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Corpos Finitos

Proposicao 1

Se D um domınio finito, entao D e um corpo.

Dem.: Seja d ∈ D \ {0}. Considere a funcao

f : D −→ Dx 7−→ dx .

Note que f e injetiva, pois dados x e y ∈ D tais quef (x) = dx = dy = f (y), temos que d(x − y) = 0. Como D edomınio e d 6= 0, segue que x − y = 0, isto e, x = y . Como D eum conjunto finito, segue que f e sobrejetiva. Assim, existed−1 ∈ D tal que dd−1 = 1, pois 1 ∈ D.

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Corpos Finitos

Proposicao 1

Se D um domınio finito, entao D e um corpo.

Dem.: Seja d ∈ D \ {0}. Considere a funcao

f : D −→ Dx 7−→ dx .

Note que f e injetiva, pois dados x e y ∈ D tais quef (x) = dx = dy = f (y), temos que d(x − y) = 0. Como D edomınio e d 6= 0, segue que x − y = 0, isto e, x = y . Como D eum conjunto finito, segue que f e sobrejetiva. Assim, existed−1 ∈ D tal que dd−1 = 1, pois 1 ∈ D.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Exemplo 2

Seja R um anel comutativo e m um ideal de R. Entao

R/m e corpo se, e somente se, m e ideal maximal de R.

Seja K um corpo e K[X ] o anel de polinomios em umavariavel. Entao para todo polinomio irredutıvel f ∈ K[X ], oideal (f ) e maximal e K[X ]/(f ) e um corpo.

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Corpos Finitos

Exemplo 2

Seja R um anel comutativo e m um ideal de R. Entao

R/m e corpo se, e somente se, m e ideal maximal de R.

Seja K um corpo e K[X ] o anel de polinomios em umavariavel. Entao para todo polinomio irredutıvel f ∈ K[X ], oideal (f ) e maximal e K[X ]/(f ) e um corpo.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Caracterıstica de um corpo

Definicao 2

Seja K um corpo. Definimos a caracterıstica de K (char(K)) comoo menor inteiro positivo n tal que n · 1 = 0, caso esse inteiro nexista. Se nao existir nenhum n satisfazendo essa condicao,dizemos que o corpo tem caracterıstica 0.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Proposicao 2

Seja K um corpo de finito. Entao existe p primo tal quechar(K) = p e neste caso Zp e isomorfo a um subcorpo de K.

Dem.: Primeiro observe que char(K) 6= 0. De fato, como K efinito, existem k e ` ∈ N, com k > ` tais que k · 1 = ` · 1. Assim,(k − `) · 1 = 0, isto e, char(K) ≤ k − ` que e finito.Seja char(K) = p > 0 e suponha que p = a · b nao seja primo.Daı, 1 < a, b < p e entao

0 = p · 1 = (a · b) · 1 = (a · 1) · (b · 1).

Como cada elemento esta em K, o qual e um corpo, segue quea · 1 = 0 ou b · 1 = 0, o que contraria a minimalidade de p.Portanto, p e primo.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Proposicao 2

Seja K um corpo de finito. Entao existe p primo tal quechar(K) = p e neste caso Zp e isomorfo a um subcorpo de K.

Dem.: Primeiro observe que char(K) 6= 0. De fato, como K efinito, existem k e ` ∈ N, com k > ` tais que k · 1 = ` · 1. Assim,(k − `) · 1 = 0, isto e, char(K) ≤ k − ` que e finito.Seja char(K) = p > 0 e suponha que p = a · b nao seja primo.Daı, 1 < a, b < p e entao

0 = p · 1 = (a · b) · 1 = (a · 1) · (b · 1).

Como cada elemento esta em K, o qual e um corpo, segue quea · 1 = 0 ou b · 1 = 0, o que contraria a minimalidade de p.Portanto, p e primo.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Para a segunda parte, considere o homomorfismo de aneis

ϕ : Zp = {0, . . . , p − 1} −→ Ka 7−→ a · 1.

Note que ϕ e injetivo: sejam a, b ∈ Zp, com a ≤ b tais queϕ(a) = a · 1 = b · 1 = ϕ(b), entao (a− b) · 1 = 0. Comochar(K) = p > a− b, segue que a− b = 0, isto e, a = b. PeloTeorema do Isomorfismo, segue Zp ' ϕ(Zp), sendo o ultimo umsubcorpo de K.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Proposicao 3

Seja K um corpo finito e L uma extensao de K, com [L : K] = n.Entao |L| = |K|n.

Dem.: Seja {`1, . . . , `n} uma base de L sobre K. Dado ` ∈ L,existem unicos α1, . . . , αn ∈ K tais que

` = α1`1 + · · ·+ αn`n.

Para cada αi , existem |K| possibilidades. Portanto, existem |K|npossibilidades para `.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Proposicao 3

Seja K um corpo finito e L uma extensao de K, com [L : K] = n.Entao |L| = |K|n.

Dem.: Seja {`1, . . . , `n} uma base de L sobre K. Dado ` ∈ L,existem unicos α1, . . . , αn ∈ K tais que

` = α1`1 + · · ·+ αn`n.

Para cada αi , existem |K| possibilidades. Portanto, existem |K|npossibilidades para `.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Corolario 1

Seja K um corpo finito com char(K) = p. Entao existe n ∈ N talque |K| = pn.

Dem.: Pela Proposicao 2, temos que K e uma extensao (finita) deZp. Logo, existe n ∈ N tal que [K : Zp] = n. Pela Proposicao 3,temos que |K| = |Zp|n = pn.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Corolario 1

Seja K um corpo finito com char(K) = p. Entao existe n ∈ N talque |K| = pn.

Dem.: Pela Proposicao 2, temos que K e uma extensao (finita) deZp. Logo, existe n ∈ N tal que [K : Zp] = n. Pela Proposicao 3,temos que |K| = |Zp|n = pn.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Pergunta 1

Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo com q = pn elementos?Esse corpo e unico?

Observacao 2

Mostraremos em breve que as respostas para ambas as perguntassao positivas e a partir de agora denotaremos um corpo finito porFq, em que q = pn para algum p primo e algum n ∈ N.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Pergunta 1

Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo com q = pn elementos?Esse corpo e unico?

Observacao 2

Mostraremos em breve que as respostas para ambas as perguntassao positivas e a partir de agora denotaremos um corpo finito porFq, em que q = pn para algum p primo e algum n ∈ N.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

F∗q e um grupo cıclico

Proposicao 4

Seja K um corpo e G um subgrupo finito de K∗. Entao G ecıclico, com G ' Z/|G |Z.

Dem.: Seja n a ordem de G , isto e, o menor inteiro positivo talque gn = 1,∀g ∈ G . Pelo Teorema de Lagrange, n | |G |, logon ≤ |G |. Por outro lado, como gn − 1 = 0, ∀g ∈ G , todos oselementos de G sao raızes do polinomio X n − 1. Mas essepolinomio tem no maximo n raızes, isto e, |G | ≤ n. Portanto,|G | = n. Assim, G e cıclico, isto e, G ' Z/|G |Z.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

F∗q e um grupo cıclico

Proposicao 4

Seja K um corpo e G um subgrupo finito de K∗. Entao G ecıclico, com G ' Z/|G |Z.

Dem.: Seja n a ordem de G , isto e, o menor inteiro positivo talque gn = 1,∀g ∈ G . Pelo Teorema de Lagrange, n | |G |, logon ≤ |G |. Por outro lado, como gn − 1 = 0, ∀g ∈ G , todos oselementos de G sao raızes do polinomio X n − 1. Mas essepolinomio tem no maximo n raızes, isto e, |G | ≤ n. Portanto,|G | = n. Assim, G e cıclico, isto e, G ' Z/|G |Z.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Corolario 2

F∗q e um grupo cıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.

Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposicao anterior.

Observacao 3

Dessa forma, podemos escrever

Fq = {0, α, . . . , αq−2, αq−1 = 1}.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Corolario 2

F∗q e um grupo cıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.

Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposicao anterior.

Observacao 3

Dessa forma, podemos escrever

Fq = {0, α, . . . , αq−2, αq−1 = 1}.

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Corpos Finitos

Caracterıstica de um corpoF∗q e um grupo cıclico

Corolario 2

F∗q e um grupo cıclico de ordem q − 1, com F∗q ' Z/(q − 1)Z.

Dem.: Basta tomar K∗ = G = F∗q na proposicao anterior.

Observacao 3

Dessa forma, podemos escrever

Fq = {0, α, . . . , αq−2, αq−1 = 1}.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Construcao de F4 a partir de F2

Exemplo 3

Considere o corpo finito F2 = {0, 1} e o polinomiof (X ) = X 2 + X + 1 ∈ F2[X ]. Como f (0) = f (1) = 1 6= 0 e∂f = 2, segue que f e irredutıvel. Seja α tal que α2 + α + 1 = 0,isto e, α2 = α + 1, temos

F := F2[α] = {a + bα : a, b ∈ F2} ' F2[X ]/(X 2 + X + 1)

contem F2 e [F : F2] = 2. Assim,

F = {0, 1, α, α2 = α + 1}.

Denotamos o corpo F por F4, pois tem 4 elementos.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Observacao 4

Para essa construcao de F4 a partir de F2 = Z2, usamos o fato deexistir um polinomio irredutıvel de grau 2 com coeficientes em F2.Assim para contruir o corpo F2n , seria natural procurarmos umpolinomio irredutıvel de grau n com coeficientes em F2.

Observacao 5

Em geral para a construcao de Fpn a partir de Fp = Zp oprocedimento e analogo.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Observacao 4

Para essa construcao de F4 a partir de F2 = Z2, usamos o fato deexistir um polinomio irredutıvel de grau 2 com coeficientes em F2.Assim para contruir o corpo F2n , seria natural procurarmos umpolinomio irredutıvel de grau n com coeficientes em F2.

Observacao 5

Em geral para a construcao de Fpn a partir de Fp = Zp oprocedimento e analogo.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Pergunta 2

Dado n ∈ N, existe um polinomio irredutıvel de grau n comcoeficientes em Fp = Zp?

Observacao 6

Veremos adiante que a resposta dessa pergunta e positiva.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Existencia de Corpos Finitos com pn elementos

Teorema 1

Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo finito com q = pn

elementos, o qual e denotado por Fq.

Dem.: A motivacao para a demonstracao desse teorema e o fatoque se K e um corpo finito com q elementos, entao K∗ e um grupocıclico. Logo todo elemento de K e raız do polinomio X q − X .Ja sabemos que Fp = Zp e corpo. Seja n ∈ N e tome q = pn.Considere o polinomio

fq(X ) = X q − X ∈ Fp[x ].

Seja R ⊆ Fp o conjunto das raızes de fq. Pelo TeoremaFundamental da Algebra, #R ≤ q. Por outro lado, f ′(X ) = −1.Assim toda raiz de f e simples. Portanto, a quantidade de raızesde fq e igual a q.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Existencia de Corpos Finitos com pn elementos

Teorema 1

Dado p primo e n ∈ N, existe um corpo finito com q = pn

elementos, o qual e denotado por Fq.

Dem.: A motivacao para a demonstracao desse teorema e o fatoque se K e um corpo finito com q elementos, entao K∗ e um grupocıclico. Logo todo elemento de K e raız do polinomio X q − X .Ja sabemos que Fp = Zp e corpo. Seja n ∈ N e tome q = pn.Considere o polinomio

fq(X ) = X q − X ∈ Fp[x ].

Seja R ⊆ Fp o conjunto das raızes de fq. Pelo TeoremaFundamental da Algebra, #R ≤ q. Por outro lado, f ′(X ) = −1.Assim toda raiz de f e simples. Portanto, a quantidade de raızesde fq e igual a q.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Resta mostrar que R forma um corpo: sejam α, β ∈ R. Entaoαq = α e βq = β.

(α± β)q = αq ± βq = α + β e

(αβ−1)q = αq(βq)−1 = αβ−1.

Denotaremos o conjunto R por Fq, em que q = pn.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Resta mostrar que R forma um corpo: sejam α, β ∈ R. Entaoαq = α e βq = β.

(α± β)q = αq ± βq = α + β e

(αβ−1)q = αq(βq)−1 = αβ−1.

Denotaremos o conjunto R por Fq, em que q = pn.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 2

Seja K um corpo com q = pn elementos, entao K ' Fq.

Dem.: Seja K um corpo com q = pn elementos e considere que ogrupo cıclico K ∗ seja gerado por β ∈ K∗. Dessa forma, K∗ e omenor subcorpo de K que contem Fp e β. Daı, K = Fp[β]. Sejag(X ) ∈ Fp[X ] o polinomio monico de menor grau (n, por exemplo)que tem β como raiz. Dessa forma, temos o isomorfismoFp[β] ' Fp[X ]/(g(X )) e entao

∂g = n = [K : Fp].

Como β e raiz de X q − X , segue que g(X ) | X q − X . Seja α ∈ Fp

outra raiz de g(X ).

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Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 2

Seja K um corpo com q = pn elementos, entao K ' Fq.

Dem.: Seja K um corpo com q = pn elementos e considere que ogrupo cıclico K ∗ seja gerado por β ∈ K∗. Dessa forma, K∗ e omenor subcorpo de K que contem Fp e β. Daı, K = Fp[β]. Sejag(X ) ∈ Fp[X ] o polinomio monico de menor grau (n, por exemplo)que tem β como raiz. Dessa forma, temos o isomorfismoFp[β] ' Fp[X ]/(g(X )) e entao

∂g = n = [K : Fp].

Como β e raiz de X q − X , segue que g(X ) | X q − X . Seja α ∈ Fp

outra raiz de g(X ).

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Proposicao 5

O corpo Fpm e um subcorpo de Fpn (por isomorfismo) se, esomente se, m | n. Nesse caso, Fpm pode ser visto como oconjunto das raızes de X pm − X ∈ Fp[X ] em Fpn .

Dem.: (⇒) Seja K um subcorpo de Fpn . Daı, existe m tal que|K| = pm. Note que

n = [Fpn : Fp] = [Fpn : K] · [K : Fp] = [Fpn : K] ·m,

isto e, m | n.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Proposicao 5

O corpo Fpm e um subcorpo de Fpn (por isomorfismo) se, esomente se, m | n. Nesse caso, Fpm pode ser visto como oconjunto das raızes de X pm − X ∈ Fp[X ] em Fpn .

Dem.: (⇒) Seja K um subcorpo de Fpn . Daı, existe m tal que|K| = pm. Note que

n = [Fpn : Fp] = [Fpn : K] · [K : Fp] = [Fpn : K] ·m,

isto e, m | n.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

(⇐) Sejam m e n ∈ N tais que m | n. Olhando Fpm como oconjunto das raızes de X pm − X ∈ Fp[X ] em Fp. Como m | n,segue que todo elemento de Fpn e tambem raiz de X pn − X , poisse m | n, entao X pm − X | X pn − X . De fato:m | n⇒ n = mr ⇒ pn − 1 = pmr − 1 = (pm)r − 1 = (pm − 1)t,para algum t ∈ Z. Logo

X pn − X = X (X pn−1 − 1) = X (X (pm−1)t − 1)

= X ((X pm−1)t − 1) = X (X pm−1 − 1)h(X )

= (X pm − X )h(X ),

em que h(X ) ∈ Fp[X ]. Portanto, Fpm e isomorfo a um subcorpode Fpn e pelo Teorema 2 ele o unico com pm elementos.

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Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 3

Dados um corpo finito K e um inteiro positivo n, existe umpolinomio irredutıvel de grau n em K[X ].

Dem.: Temos que existem p primo e m ∈ N tais que K ' Fpm .Pela Proposicao 5, Fpm pode ser considerado um subcorpo deFpmn . Seja α um gerador de F∗pmn . Como Fpmn e o menor subcorpoque contem α e Fpm , segue que Fpmn = Fpm [α]. Seja f (X ) opolinomio minimal que tem α como raiz. Temos que

∂f = [Fpmn : Fpm ] =[Fpmn : Fp]

[Fpm : Fp]=

mn

m= n.

Portanto, f (X ) ∈ Fpn [X ] e um polinomio irredutıvel de grau n.

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Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 3

Dados um corpo finito K e um inteiro positivo n, existe umpolinomio irredutıvel de grau n em K[X ].

Dem.: Temos que existem p primo e m ∈ N tais que K ' Fpm .Pela Proposicao 5, Fpm pode ser considerado um subcorpo deFpmn . Seja α um gerador de F∗pmn . Como Fpmn e o menor subcorpoque contem α e Fpm , segue que Fpmn = Fpm [α]. Seja f (X ) opolinomio minimal que tem α como raiz. Temos que

∂f = [Fpmn : Fpm ] =[Fpmn : Fp]

[Fpm : Fp]=

mn

m= n.

Portanto, f (X ) ∈ Fpn [X ] e um polinomio irredutıvel de grau n.

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Definicoes e ExemplosPropriedades

Corpos Finitos

Construcao de F4 a partir de F2Existencia de Corpos Finitos com pn elementosFecho Algebrico de um Corpo Finito

Fecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 4

O fecho algebrico de Fp e

Fp =⋃n∈N

Fpn .

Lema 1

Todo polinomio irredutıvel de grau n em Fp[X ] e um fator deX pn − X ∈ Fp[X ]. Mais ainda, os fatores irredutıveis deX pn − X ∈ Fp[X ] sao os polinomios irredutıveis os quais o graudivide n.

Nao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstracaodo Teorema 4.

Matheus Bernardini de Souza Topicos de Algebra II

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Fecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 4

O fecho algebrico de Fp e

Fp =⋃n∈N

Fpn .

Lema 1

Todo polinomio irredutıvel de grau n em Fp[X ] e um fator deX pn − X ∈ Fp[X ]. Mais ainda, os fatores irredutıveis deX pn − X ∈ Fp[X ] sao os polinomios irredutıveis os quais o graudivide n.

Nao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstracaodo Teorema 4.

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Fecho Algebrico de um Corpo Finito

Teorema 4

O fecho algebrico de Fp e

Fp =⋃n∈N

Fpn .

Lema 1

Todo polinomio irredutıvel de grau n em Fp[X ] e um fator deX pn − X ∈ Fp[X ]. Mais ainda, os fatores irredutıveis deX pn − X ∈ Fp[X ] sao os polinomios irredutıveis os quais o graudivide n.

Nao demonstraremos esse fato. Apenas usaremos na demonstracaodo Teorema 4.

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Faremos agora a demonstracao do Teorema 4.

Dem.: (⊆) Seja α ∈ Fp e considere f (X ) o polinomio minimal quetem α como raiz. Suponha que ∂f = n. Pelo Lema 1, temos quef (X ) | X pn − X , logo α e raiz de X pn − X , isto e, α ∈ Fpn .

(⊇) Dado α ∈ Fpn , temos que α e raiz de X pn − X ∈ Fp[X ], istoe, α ∈ Fp.

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ROMAN, S. Field Theory. Graduate Texts in Mathematics158. Springer New York.

MOKARI, F. Y., A Note on Finite Fields.

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OBRIGADO!

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