Corpos Rígidos – Equilíbrio · PDF fileinstituto superior de engenharia de lisboa departamento de engenharia civil - mecÂnica aplicada capÍtulo ii corpos rígidos – equilíbrio

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA

CAPÍTULO II

Corpos Rígidos – Equilíbrio

E

DC

B

30 kN/m

20 kN/m 10 kN.m

45 kN

30 kN/m

30°

A

1,0

m2,

0 m

3,0

m

3,0 m2,0 m4,0 m

SEMESTRE VERÃO 2004/2005

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/24


Capitulo II – Corpos Rígidos – Equilíbrio

2.1 Condições de equilíbrio

As forças exteriores que actuam um corpo rígido podem ser reduzidas em um qualquer ponto

O, a um sistema equivalente força-binário. Quando a força e o binário são ambos nulos, as

forças externas constituem um sistema equivalente a zero e diz-se que o corpo rígido está em

equilíbrio.

As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são:

∑ F = 0 e ∑ Mp = 0 − não tem movimento de translação nem movimento de rotação, por

isso, não tem graus de liberdade.

Condições gráficas de equilíbrio:

• o polígono de forças é fechado, coincidem os seus pontos inicial e final (∑F=R=0);

• e o polígono funicular é fechado, com os seus lados extremos coincidentes (∑ M=0).

Condições analíticas de equilíbrio: ∑ Fx = 0 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 no plano (x,y) ∑ Fy = 0 no espaço (x,y,z) ∑ Fz = 0 ∑ Mz = 0 ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0 Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 2/24

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As vigas de uma estrutura tanto podem estar directamente apoiadas nos pilares como em outras vigas.

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MEC


ÂNICA APLICA

Os pilares estão apoiados nas

fundações.

2.2 Elementos Estruturais

Uma estrutura, definida como o corpo concebido para desempenhar correctamente a função a

que se destina, isto é, adequado a resistir a solicitações, está ligada ao exterior por apoios e é

constituída por elementos estruturais, tais como, laje, viga, pilar, fundação.

Laje: peça laminar plana, uma das dimensões é muito menor do que as outras duas.

As lajes de uma estrutura

estão, na maior parte das

vezes, apoiadas em vigas,

podendo também, em certos

casos, estar apoiadas

directamente sobre pilares.

Viga: peça linear, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas, sujeita

principalmente a esforços de flexão.

Pilar: peça linear, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas, sujeita principalmente a esforços de compressão .

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As fundações de uma estrutura estão apoiadas em estacas ou directamente sobre o terreno.

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Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma

ordem de grandeza.


2.3 Sistemas de Carga

2.3.1 Considerações

Na antiguidade não havia o cálculo ou o projecto estrutural. A concepção e construção de

estruturas evoluía por tentativas, evitando-se a repetição de erros anteriormente ocorridos. O

conhecimento era empírico.

Um dos factores determinantes na evolução ao nível da concepção das estruturas, foi a

observação da natureza. Por exemplo, uma árvore com as suas raízes poderia perfeitamente

servir de modelo para a construção de um pilar com a sua fundação.

No entanto, com a Revolução Industrial, surgiram novas técnicas construtivas e novos materiais

que, aliados a um conhecimento cientifico, conduziram à elaboração dos projectos de cálculo

estrutural. Assim, foi possível com segurança que os elementos estruturais tivessem dimensões

cada vez menores e que os vãos fossem cada vez maiores.

Mas, a execução do projecto estrutural de uma obra passa pela definição do sistema de carga ou

tipo de carregamento que nele irá actuar, isto é, pelo conjunto das forças exteriores.



A classificação do tipo de carga é função dos seguintes parâmetros:

I – Extensão do local onde actua na estrutura: carga concentrada ou carga distribuída;

II – Tempo de aplicação: carga permanente ou carga acidental;

III – Permanência no local: carga fixa ou carga móvel.

2.3.2 Carga Concentrada

Força que actua num ponto da estrutura. Sendo uma abstracção, é considerada sempre que a

dimensão em que se distribui a carga é muito pequena em relação às dimensões da própria

estrutura.

A Unidade no Sistema Internacional é o Newton (N).

A carga concentrada pode ocorrer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e

fundações, como se indica de seguida:



Exemplo de carga concentrada:

sobre uma laje: um cofre no meio de uma sala

sobre uma viga: reacção de uma outra viga

sobre um pilar: reacção das vigas que se apoiam no pilar

sobre a fundação: carga do pilar que chega na fundação

2.3.3 Carga Distribuída

Força que se distribui numa zona que não é desprezível em relação às dimensões da estrutura.

2.3.3.1 Carga distribuída sobre uma direcção



A carga distribuída pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas.

Exemplos de carga distribuída/m:

sobre uma laje: peso de uma parede de alvenaria (ex. parede interior).

sobre uma viga: peso de uma parede de alvenaria (ex. parede exterior).

A carga distribuída é caracterizada pela taxa de distribuição ou ordenada de carga dQqdx

= , isto

é, pela relação entre a força que actua um elemento da peça e esse elemento, sendo medida,

portanto, em força por unidade de comprimento.

As cargas distribuídas formam um sistemas de forças infinitésimais paralelas, infinitamente

próximas – sistema representado em (a), – que é redutível a uma resultante única Q –

representada em (b).

Porque os sistemas (a) e (b) são equivalentes:



• têm o mesmo efeito de translação – a resultante das cargas distribuídas é a concentrada,

, pelo que a intensidade da resultante é a área da superfície delimitada

pelo eixo da peça e pela linha de carga, designada por superfície de carga.

b

a

dQ qdx Q= =∫ ∫

• têm também o mesmo efeito de rotação – é igual o momento do sistema de cargas

distribuídas em relação ao ponto A e o momento da carga concentrada em relação ao

mesmo ponto A. .b b

a a

x qdx d qdx=∫ ∫ , o que mostra que a posição d da resultante passa no

centroíde da superfície de carga.

Alguns exemplos de carga distribuída indicam-se de seguida:

a) a ordenada de carga é constante – a linha de carga é uma recta paralela ao eixo da peça e

a carga é designada por uniformemente distribuída – como exemplo tem-se uma parede

de alvenaria

Q = q × l

≅

q = peso da parede por unidade de comprimento (kN/m)


q


b) a ordenada de carga é uma função linear – como ocorre nos reservatórios de água, nas

piscinas e nos muros de suporte de terra – como exemplo tem-se um reservatório de

água

≅ 2q h×

23h

13h

h

Q =

q (kN/m)

2.3.3.2 Carga distribuída sobre uma superfície da estrutura

Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje.

Exemplo de carga distribuída/m2:

sobre uma laje: peso das pessoas sobre a laje

sobre uma laje: peso do revestimento sobre a laje



2.3.4 Carga Momento

Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje, viga.

Exemplo de carga momento:

sobre uma viga: peso do mundo sobre a viga

pergunta: porque será que a maçaneta de uma porta é o mais longe possível da dobradiça?

Para haver equilíbrio, o momento causado pela força ‘P’ deve ser igual ao momento causado pela força ‘Q’.

Conclusão:

quanto maior a distância, menor será a força.

2.3.5 Cargas Permanentes e Cargas Acidentais

As cargas permanentes são fixas ao local em que actuam, não variam de intensidade e actuam

constantemente, podendo ser distribuídas ou concentradas.

As cargas acidentais são chamadas sobrecargas, e podem estar ou não a actuar na estrutura,

como por exemplo a ocorrência de uma explosão.



Exemplo de cargas permanentes:

biblioteca

escritório

Exemplo de cargas acidentais:

explosão

choque



2.3.6 Carga Móvel

A carga é designada por móvel porque se desloca, percorrendo a estrutura. A carga representa o

peso dos veículos que circulam sobre pontes e viadutos e o seu efeito é função da sua

localização.

São utilizados veículos padrão para definição deste tipo de cargas.

Exemplo de cargas móveis:

ponte rodoviária

ponte ferroviária



2.4 Vínculos

2.4.1 Considerações

Os vínculos tanto são as ligações (ou transmissões) entre os elementos estruturais como as

ligações da estrutura ao exterior, estas últimas designadas por apoios.

É sempre necessário analisar as ligações interiores, isto é, a forma como os vários elementos

estruturais estão ligados. Isto, porque existem ligações que permitem movimentos de uns

elementos sobre os outros, ou seja, permitem movimentos relativos, aumentando, deste modo, o

número de graus de liberdade da estrutura.

As ligações ao exterior, os apoios, retiram graus de liberdade ao corpo por impedirem

movimentos, dando assim origem a forças reactivas que são traduzidas pelas incógnitas.

As incógnitas são variáveis dependentes das forças activas, ou seja, do sistema de cargas

actuantes.

Para se garantir o equilíbrio da estrutura estabelecem-se as equações que garantem a não

existência de qualquer movimento na estrutura, tanto de translação como de rotação.

2.4.2 Classificação dos apoios

Havendo no caso geral 6 graus de liberdade, os apoios são classificados em seis diferentes

tipos, consoante o número de graus de liberdade que restringem.

z

y

x

6 Graus de Liberdade

No plano os apoios são classificados em três tipos diferentes.

z

x

3 Graus de Liberdade



Apoio móvel: impede o movimento com a direcção perpendicular à base do apoio, por isso,

a reacção tem essa direcção e apenas se desconhece a sua intensidade. Este tipo de apoio

introduz uma incógnita.

Apoio pendular (escora ou tirante): impede o movimento com a direcção do eixo do apoio,

portanto, a reacção tem essa direcção desconhecendo-se apenas a sua intensidade. Este tipo de

apoio introduz uma incógnita.

Escora – compressão Tirante - tracção

Apoio fixo: impede todo e qualquer movimento de translação, pelo que a força reactiva é

desconhecida tanto em intensidade como em direcção. Este tipo de apoio introduz duas

incógnitas.

Encastramento: impede todos os movimentos, a translação no plano e a rotação em torno

do eixo que lhe é perpendicular, A força reactiva é desconhecida em intensidade, em direcção

e ponto de passagem. Este tipo de apoio introduz três incógnitas.


M

R2

R1

R2

R1

R2

R1

R2

R1

R2

R1

R2

R1

RR

R R RRR


2.4.3 Rótulas ou Articulações

Este tipo de ligação interior, entre elementos estruturais, não transmite momentos. Para que não

seja possível a rotação relativa entre as partes ligadas através da rótula, estas devem estar

adequadamente ligadas ao exterior através dos apoios.

É de referir que numa estrutura com uma rótula, para além das três equações de equilíbrio da

estática plana disponíveis para o cálculo das reacções, existe assim mais uma para garantir que

não haja movimento relativo. Dispõe-se assim, de quatro equações linearmente independentes.

Se a rótula ligar n barras, irá permitir escrever (n-1) equações de momentos, linearmente

independentes, a juntar às três equações da estática.

0

0

0

0 ou 0

x

y

p

Fd FeR R

F

F

M p

M M

=

=

= ∀

= =

∑

∑

∑

∑ ∑

OU

0

0

0

0

x

y

FdR

FeR

F

F

M

M

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

R R4

R3R2

R1



2.4.4 Exemplos Ilustrativos Exemplo 1

≅

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4



2.5 Classificação das estruturas

Se os vínculos de uma estrutura, não lhe permitem qualquer grau de liberdade, então a estrutura

encontra-se em equilíbrio estável para qualquer carregamento.

Se os vínculos deixam na estrutura um ou mais graus de liberdade, ou seja, possibilidade de

movimento, então, para dadas condições de carregamento, esta encontra--se em equilíbrio

instável. Mudando essas condições de carregamento o equilíbrio rompe-se e, porque há

movimento, trata-se não de uma estrutura mas sim de um mecanismo.

Numa estrutura definem-se as forças reactivas, ou seja, as incógnitas resultado da existência

dos apoios e estabelecem-se as equações de equilíbrio, 3 da estática plana e as disponíveis

resultado das ligações interiores. É necessário que as equações sejam linearmente

independentes.

Pode ocorrer uma das seguintes situações:

1- o n.º de incógnitas é menor que o n.º de equações

A estrutura tem graus de liberdade e, se para um dado carregamento estiver em equilíbrio, este

equilíbrio é instável e designa-se por estrutura hipoestática (o sistema de equações é

possível e determinado), caso não se verifique o equilíbrio trata-se de um mecanismo (sistema

impossível).

he = n.º incógnitas – n.º equações = 2 -3

B A

F

RBRA

Estrutura Hipoestática



Sistema possível e determinado

B

A

0 R

0 R

0 0 = 0

A

y

x

M

F

F

= →

= →

= →

∑

∑

∑

Sistema impossível ∑

B

A

0 R

0 R

0 - F cos 0

A

y

x

M

F

F θ

= →

= →

= → ≠

∑

∑

Mecanismo

he = n.º incógnitas – n.º equações = 2 -3

B θ

F

RBRA

A

2- o n.º de incógnitas é igual ao n.º de equações

Se não houver graus de liberdade significa que os apoios estão adequadamente distribuídos. É

uma estrutura isostática e mantém-se em equilíbrio estável qualquer que seja o

carregamento que sobre ela actuar (o sistema é possível e determinado).

he = n.º incógnitas – n.º equações = 4 – (3 +1)

R

B HB

VB

A

VA

HA

Estrutura Isostática Estável




A

B

B

A

0 V

0 V

0 H

0 H

FeR

y

FdR

x

M

F

M

F

= →

= →

= →

= →

∑

∑

∑

∑

Se existirem graus de liberdade, só para determinadas condições de carregamento se verifica o

equilíbrio que é instável (sistema de equações possível e determinado). Para as outras

condições de carregamento é um mecanismo (sistema impossível).


A

B A

B

0 V

0 e M 0 M e H

0 H

y

FeR

x

F

M

F

= →

= = →

= →

A

∑

∑ ∑

∑

Estrutura Isostática Instável


F R B HB

M

A

VA

HA




l

F

R B HB

M

A

VA

HA

Sistema impossível ⇒ 0 F l 0FdRM = → × ≠∑

Outros exemplos de mecanismo:

a)

Sistema impossível B

B

0 -50 1+V 2 0

0 -50 3+V 4 0 37

FdtaR B

A B

M V

M V

= → × × = → =

= → × × = → =

∑

∑

HB

VB

HA

VA 1 1 2 m

R C B A

50 kN

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes

Mecanismo

( )

( )

25

,5

↑

↑

kN

kN

Mecanismo

21/24


b)

Mecanismo

HB

VB

B

HA

VB

3

4 m 3

3

1

RC

A

50 kN

Sistema impossível B

B

0 -50 1+V 4 3 0

0 -50 5+V 8 6 0

FdtaR B

A B

M H

M H

= → × × + × =

= → × × + × =

∑

∑

3- o n.º de incógnitas é superior ao n.º de equações.

Se a estrutura não tiver graus de liberdade é uma estrutura hiperstática e está em equilíbrio

estável sob a acção de um qualquer sistema de cargas. Mas não é possível o cálculo das

reacções de apoio no âmbito da mecânica dos corpos rígidos, o sistema de equações é possível

mas insuficiente (sistema possível e indeterminado).


VA

VB

B HB

AHA

MA

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes

Estrutura Hiperstática Estável

R

22/24


Se existirem graus de liberdade só para determinadas condições de carregamento se verifica o

equilíbrio, que é instável, mas continua a não ser possível a determinação das incógnitas

(sistema de equações possível e indeterminado). Para as outras condições de carregamento é

um mecanismo (sistema impossível).


C

HCF

R B HB

M

A

VA

HA

Estrutura Hiperstática

Instável


C

HCF

R B HB

M

A

VA

HA

l

F

Mecanismo




Exercício de Aplicação

Enunciado Figura

Para a estrutura apresentada: a) calcule as reacções de apoio b) transforme-a numa hiperstática de grau 2, sem alterar as ligações interiores

c) transforme a estrutura hiperstática em isostática sem alterar as ligações exteriores.

E

DC

B

30 kN/m

20 kN/m 10 kN.m

45 kN

30 kN/m

30°

A

1,0

m2,

0 m

3,0

m

3,0 m2,0 m4,0 m

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