Classe de Troisième

CORRIGE BREVET BLANC

MATHÉMATIQUE

Année 2012/2013

- Durée de l’épreuve :

2 heures (les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin de l’épreuve)

- Matériels autorisés :

calculatrice et matériel de géométrie (aucun prêt de matériel ne sera autorisé entre les candidats)

- Consignes générales :

Une attention particulière sera portée sur la rédaction, le soin et l’orthographe.

EXERCICE N°1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Aucune justification n’est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Pour chacune des cinq questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

L’image de -5 par la fonction f telle

que f ( x ) = -3x + 2 est -13 -17 17

La notation scientifique de

61000057,0 est 0,000 000 000 005 7 111057

10107,5

Le nombre 3

4

7

1

7

5 est égal à

21

24

21

19

7

8

169 est égal à 7 5 43

Si 5x alors l’expression

132 xx vaut 534 57 5324

EXERCICE N°2 :

On s’est intéressé à la pointure des élèves des classes de troisième d’un collège. Les résultats sont donnés dans

le tableau suivant :

Pointure 36 37 38 39 40 41 42 43

Effectif 8 19 31 32 29 24 15 4

1. Calculer l’effectif total.

2. Calculer la moyenne de cette série statistique.

3. Déterminer la pointure médiane et en donner une interprétation.

4. Déterminer les premier et troisième quartiles de cette série.

Réponse :

Pointure 36 37 38 39 40 41 42 43 Total

Effectif 8 19 31 32 29 24 15 4 162

pointure effectif 288 703 1178 1248 1160 984 630 172 6363

Effectifs cumulés

croissants 8 27 58 90 119 143 158 162

1. L’effectif total est égal à 162 élèves.

2. Calcul de la moyenne :

3,39162

6363m

3. La médiane est la pointure qui coupera l’effectif en deux groupes égaux, les « petites pointures » et les

« grandes », donc ici il faut former deux groupes de 81 élèves, la pointure médiane sera donc 39.

4. Pour le premier quartile, il faut le quart des élèves, donc « 40,5 » élèves et pour le troisième, il faut les

trois quarts des élèves donc « 121,5 » élèves. On a donc 381Q et 413Q .

EXERCICE N°3 : On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont

nommées321 Cet C ,C .

L’une d’entre elles est la représentation graphique d’une fonction linéaire. Une autre est la

représentation graphique de la fonction f telle que 34,0: xxf .

1. Laquelle de ces représentations graphiques est celle de la fonction linéaire ? Justifier.

2. Laquelle de ces représentations graphiques est celle de la fonction f ? Justifier.

3. Déterminer graphiquement l’antécédent de 1 par la fonction f.

4. On appelle g la fonction représentée sur le graphique qui est ni linéaire ni f.

déterminer graphiquement le ou les antécédents de 0 par g.

5. A est le point de coordonnées 1,2 ; 6,4 . A appartient-il à 2C ? Justifier par un calcul.

Réponse :

1. Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine donc ce sera 1C .

2. f est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite qui passe par A(0 ; 3) donc ce sera

2C .

3. L’antécédent de 1 par la fonction f est 5.

4. Les antécédents de 0 par la fonction g sont -1 ; 2 et 4.

5. Je calcule f(4,6) :

16,1)6,4(

384,1)6,4(

36,44,0)6,4(

f

f

f

Comme 1,16 1,2 A n’appartient pas à 2C .

EXERCICE N°4 :

1. Montrer que l’aire d’un rectangle de longueur 2

55x et de largeur

5

4 est 24x .

2. Soit f la fonction affine définie par 24xxf .

a. Calculer l’image de 3 par f. Interpréter ce résultat pour le rectangle.

b. Calculer l’antécédent de 20 par f . Interpréter ce résultat pour le rectangle.

3. Représenter graphiquement la fonction f dans le repère (O , I , J) avec pour unité en abscisse 1cm pour

une unité et en ordonnée 1cm pour 2 unités.

Réponse :

1. L’aire d’un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur d’où :

24

5

4

2

5

5

45

5

4

2

55

xA

xA

xA

2.

a. Je calcule :

14)3(

212)3(

234)3(

f

f

f

14 est l’aire obtenue pour x = 3, donc pour un rectangle de longueur 17,5 2

535 et de

largeur 0,8 8,05

4.

b. Je résous l’équation 20)(xf :

5,4

4

18

184

2204

2024

x

x

x

x

x

20 est l’aire obtenue pour x = 4,5, donc pour un rectangle de longueur 25 2

55,45 et de

largeur 0,8 8,05

4.

3. f est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite qui passe par A(0 ; 2 ) et par B(2 ;

10) par exemple, d’où le graphique suivant :

EXERCICE N°5 :

Pour payer la sortie de fin d’année des 3èmes

, le Foyer Social des Elèves (FSE) d’un collège a décidé de vendre

aux récréations des goûters composés de muffins et de cookies. Les élèves ont fait 663 muffins et 442 cookies.

Les élèves proposent de faire des lots tous identiques en utilisant tous les muffins et tous les cookies.

1. Pourront-ils faire 51 lots de composition identique ?

2. Les élèves veulent faire le plus grand nombre de lots possible. Combien de lots peuvent-ils faire ?

3. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

Réponse :

1. 1351663 , mais 7,851442 donc je ne pourrai pas faire 51 lots de composition identique.

2. Je dois calculer le PGCD, par exemple avec la méthode des divisions successives (algorithme

d’Euclide). J’ai alors :

02221442

2211442663 donc on a 221442;663PGCD donc je ferai 221 lots au maximum.

3. 3221663 et 2221442 donc il y aura 3 muffins et 2 cookies par lot.

EXERCICE N°6 :

En versant cinq verres de même contenance, on remplit exactement un pichet. Pour remplir un récipient

de 7,2 litres, il faut 9 pichets et 3 verres.

Quelle est la contenance, en centilitres, d’un pichet ?

Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Réponse :

Il faut 5 verres pour faire un pichet, donc 45 verres pour 9 pichets. Les 7,2 litres correspondent donc à

48 verres. J’en déduis que un verre contient 0,15 litre 15,0482,7 donc un pichet contient 0,75 litre

75,0515,0 .

Autre solution : En travaillant avec un système :

Soit x la capacité d’un pichet et y celle d’un verre, j’obtiens alors le système suivant :

2,739

5

yx

yx

Je remplace x par 5y dans la seconde équation et je la résous :

15,0

48

2,7

2,748

2,7345

2,7359

y

y

y

yy

yy

d’où 75,0

15,05

x

x

Un pichet contient 0,75 litre.

EXERCICE N°7 :

On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et DBC = 60°.

Il n’est pas demandé de dessiner une figure en vraie

grandeur.

1. Montrer que BC = 8 cm.

2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au

dixième.

3. Calculer AC.

4. Quelle est la valeur de tan BAC ?

5. En déduire la valeur arrondie au degré de BAC.

Réponse :

1. Dans BCD rectangle en D, j’ai :

8

60cos

4

460cos

460cos

cos

BC

BC

BC

BC

BC

DBDBC

2. Dans BCD rectangle en D, j’ai :

9,6

60tan4

460tan

tan

DC

DC

DC

BD

DCDBC

3. Dans ABC rectangle en B, d’après la propriété de Pythagore, j’ai :

10

100

100

6436

86

2

2

222

222

AC

AC

AC

AC

AC

ACBCBA

4. Dans ABC rectangle en B, j’ai :

3

4tan

6

8tan

tan

BAC

BAC

BA

BCBAC

5. D’où 53BAC

EXERCICE N°8 :

On considère la figure ci-contre. Cette figure n’est pas

en vraie grandeur et n’est pas à reproduire.

M est le point d’intersection des droites (AO) et (IU).

L’unité de mesure est le millimètre.

On donne MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36 et

AI = 45.

1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont

parallèles.

2. Calculer la distance OU.

Réponse :

1. Les points A, M et O sont alignés dans le même ordre que les points I, M et U. Je calcule alors :

9

7

27

21

MA

MO

MA

MO

et

9

7

36

28

MI

MU

MI

MU

J’ai donc MI

MU

MA

MO, donc d’après la réciproque d la propriété de Thalès, les droites (OU) et (AI)

sont parallèles.

2. MAO , MIU et AIOU // , d’après la propriété de Thalès, j’ai :

AI

OU

MI

MU

MA

MO d’où (d’après 1.) :

459

7 OU d’où 35

9

457OU .

EXERCICE N°9 :

SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur

[SA].

On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.

1. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

2. Démontrer que SB = 17 cm.

3. On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de

[SB] tel que SF = 13.6 cm. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont

parallèles.

4. On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la

base de la pyramide. La pyramide SEFGH, ainsi obtenue, est une

réduction de la pyramide SABCD.

a. Quel est le coefficient de cette réduction ?

b. Déduire le volume de la pyramide SEFGH du volume .

Réponse :

1.

3

1

1

1

440

3

15118

3

3

cmV

V

SABCABV

hAV

pyramideABCD

SABCD

2. Dans ABS rectangle en A, d’après la propriété de Pythagore, j’ai :

17

289

289

22564

158

2

2

222

222

SB

SB

SB

SB

SB

SBASAB

3. Les points S, E et A sont alignés dans le même ordre que les points S, F et B. Je calcule alors :

8,0

15

12

SA

SE

SA

SE

et

8,0

17

6,13

SB

SF

SB

SF

J’ai donc SB

SF

SA

SE, donc d’après la réciproque d la propriété de Thalès, les droites (EF) et (AB)

sont parallèles.

4.

a. 8,0SA

SEk (d’après 3.)

b.

3

2

3

2

1

3

2

28,225

4408,0

cmV

V

VkV