corte-2008 (4)

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS IIRESISTÊNCIA DE MATERIAIS II

Prof. CarlosProf. Carlos ChastreChastre RodriguesRodrigues

MMóódulo 2dulo 2 -- CorteCorte

UNL,UNL, MarMarçço 2007o 2007

Prof. Chastre Rodrigues RM2-UNL–2007 (2 )

MMóódulodulo 22 -- CorteCorte1. INTRODUÇÃO AO CORTE

2. TEORIA ELEMENTAR DE CORTE

3. CÁLCULO DE LIGAÇÕES

4. ESCORREGAMENTO

5. TENSÕES TANGENCIAIS

A. SECÇÃO COMPACTA

i. RECTANGULAR

ii. NÃO RECTANGULAR

B. SECÇÃO DE PAREDE FINA ABERTA

C. SECÇÃO DE PAREDE FINA FECHADA

D. CAIXÕES MULTICELULARES

6. DEFORMAÇÃO

7. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

8. ÁREA REDUZIDA DE CORTE9. CENTRO DE CORTE

10.DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SECÇÕES




1. INTRODU1. INTRODUÇÇÃO AO CORTEÃO AO CORTE

• O esforço transverso não aparece isolado mas, associado ao momento flector.

• Logo que o momento (M) não é constante a ele está associado o esforço transverso (V).

• No estudo do esforço transverso recorre-se sempre à flexão, pois:

• Na hipótese de BERNOUILLI (Secções planas após a deformação) estabelece-se adistribuição linear de tensões na secção.

• Com base no equilibrio estático, determina-se a distribuição de tensões tangenciais.

• A partir destas determinam-se as deformações correspondentes que definem oempenamento da secção.

• O empenamento, representa uma correcção à hipótese de BERNOUILLI

3

12

dx

dM V =


2. TEORIA ELEMENTAR DO CORTE2. TEORIA ELEMENTAR DO CORTE

Na hipótese mais simples relativa à deformação por corte admite-se segundo BERNOUILLIque “As secções t ransversais per manecem planas e se deslocam par alelas a sí mesmas na dir ecção do esf orço de cort e ”.

Nesta situação, se destacarmos da viga um trecho de comprimento elementar dx3, comose pode observar na figura, submetida à acção de um esforço de corte numa determinada

direcção, a secção S2 terá em relação à secção S1 (infinitesimamente próxima) umdeslocamento relativo dv na direcção do esforço de corte actuante.

dx

dv=

γG=

A distorção angular produzida num pontoqualquer do trecho elementar será dada por:

O trecho elementar está submetido a um estadode distorção uniforme de valor γ.

Considerando a lei de HooKe, a tensão tangencial que actua num qualquer ponto dasecção vale:

Sendo G o módulo de distorção da peça.




Como a resultante das tensões tem de ser igual ao esforço de corte, resulta uma distribuiçãouniforme de tensões tangenciais, com a direcção coincidente com a do esforço de corte (*):

Sendo A, a área da secção. A distorção vem então:

A extensão (εx) de uma fibra qualquer, por exemplo a que une os centros degravidade das secções extremas (S1 e S2) vem dada por:

A

V =

GA

V =

dx

dx dv dx x

−+=

22

ε 1)(22

−×+

= dx

dx dx γ11

2 −+= γ

2

2γ

≈

Sendo pequeno o valor da distorção (γ) pode desprezar-se a extensão

longitudinal (εx) e consequentemente as tensões normais.

Esta teoria elementar do corte não é exacta porque não cumpre as condições internas de equilibrio dosólido, em particular, viola o princípio da reciprocidade das tensões tangenciais.

De facto, se considerarmos uma secção transversal de uma peça submetida a umesforço de corte vertical e um elemento desta secção próximo do contorno.

Se τ é vertical, pode decompor-se numa componente normal (τn) e noutra

tangencial (τt). De acordo com o princípio da reciprocidade deve existir uma

componente igual e oposta a τn. No entanto, em geral esta superficie lateral da

peça está livre de tensões pelo que τn=0. Ficando apenas τt, em pontospróximos do contorno da secção, o que é contrário à hipótese referida (em *)

Esta inconsistência demonstra que a teoria elementar do corte baseia-se numateoria de deformação demasiado simplificada.


A teoria elementar de corte é utilizada para realizar o cálculo de ligações de peças comrebites, parafusos ou através de cordões de soldadura.

3. C3. CÁÁLCULO DE LIGALCULO DE LIGAÇÇÕESÕES




4. ESCORREGAMENTO4. ESCORREGAMENTO

Considere-se uma barra sujeita a flexão simples com esforço transverso.

E um trecho elementar dx3 , destacado da viga.

Considere-se, agora, o trecho dx3 dividido em duas parte (I e II) por uma superfíciequalquer de geratrizes paralelas ao eixo. O equilibrio global implica o equilibrio de cadauma das partes.


O equilibrio global implica o equilibrio de cada uma das partes (I e II) como se pode observar no diagramade corpo livre do trecho dx3

A resultante das tensões normais que actuam na parte I é dada por:

e a resultante das tensões normais que actuam na parte II:

Como o MOMENTO ESTÁTICO é dado por:

∫ Ω

Ω+− I

d d )(3333 σ ∫

Ω

=Ω+ I

d 33 =Ω− ∫

Ω I

d x I

dM 2

11

1 dN

∫ Ω

Ω++ II

d d )(3333 σ ∫

Ω

=Ω− II

d 33 =Ω∫

Ω II

d x I

dM 2

11

1 dN

∫ ∫ ΩΩ

Ω=Ω−= II I

d x d xS 221

11

11

I

S dM dN =⇒

3

1

2 dx

dM V = 3

11

12 dx I

SV dN =⇒Como o esforço transverso é: fazendo: 321 dxV dM = vem:




Deformação de uma viga (a) em flexão simples

(b) com tensões tangenciais

(c) e sem tensões tangenciais

Prof. Chastre Rodrigues RM2-UNL–2007 (10)

O esforço elementar de escorregamento dN é a resultante das tensões tangenciais de

ecorregamento τ que actuam na superfície de corte AB x dx3:

5. TENSÕES TANGENCIAIS5. TENSÕES TANGENCIAIS

dN ds dx AB

=×∫ × 3

τ

Fazendo a simplificação de que τ é uniformena superfície de corte, vem:

considerando:

33 dx b dx AB dN ××=××= τ

3

11

12 dx I

SV dN =

vem: b I

SV

11

12=

Sendo o fluxo das tensões tangenciais na linha AB=b11

12

I

SV b f =×= τ

Na secção transversal, as tensões σ31 e σ33 distribuem-se de uma forma que depende: do tipo de

secção e da forma do corte.

Considera-se sempre que a tensão tangencial é uniforme na superfície de corte. Quanto menor for aespessura de corte (b) mais válida se torna esta simplificação.




Exemplo 2.1Exemplo 2.1


5.A i)5.A i) –– SecSecççãoão compactacompacta rectangular (b// LN)rectangular (b// LN)

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −×=2

2

22

2

21

x h h

x h

bS

τ segue o andamento de S1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −× 2

2

2

42 x

h b

=== b I

SV

11

1232

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −×

2

22 62

3

h

x

h b

V

h b

V x

×== 2

2max2

3)0(




5.A ii)5.A ii) –– SecSecççãoão compactacompacta nãonão rectangularrectangular

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

×=

b I SV

tg

11

1232

3231

σ

α

A largura b, de corte que era constante na secçãorectangular passa a ser variável, mantendo-se perpendicularao eixo x2 na direcção da menor espessura

O vector das tensões tangenciais tem de ser tangente aocontorno da secção, dado que, quer em A, quer em B não hácargas aplicadas.

Todos os vectores das tensões σ31 , ao longo de AB=bconvergem para P.

Admitindo que a tensão tangencial σ32 , igual à tensão

tangencial de escorregamento, τ, é constante ao longo do

corte b, a tensão tangencial σ31 será dada por:

NOTA:

De acordo com este método as tensões tangenciais, σ31 , são nulas na secção rectangular.

Os esforços transversos são a resultante das tensões tangenciais:

0311 =Ω= ∫

Ω

d V σ ∫ Ω

Ω= d V 322 σ

A B

Pσ32

σ31

σ3t


5.B i)5.B i) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina abertaaberta(b(b segundosegundo aa menormenor espessuraespessura dada paredeparede: I, T, L, U): I, T, L, U)

Caso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) queé o eixo de simetria da secção

NOTA:A superfície de corte deve ser normal à parede de corte, isto é, deve estarsegundo a menor espessura

τ segue o andamento de S1




5.B ii)5.B ii) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina abertaaberta(b(b segundosegundo aa menormenor espessuraespessura dada paredeparede: I, T, L, U): I, T, L, U)

Caso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) quenão é o eixo de simetria da secção

Nestas condições, para além de flectir a barratorce em torno do ponto Cc designado porCentro de Flexão ou Centro de Corte


O momento estático de um trecho decomprimento x é:

As resultantes das tensões tangenciais Em cada banzo

Na alma

Visto que é o momento de inércia da secção reduzida à

sua linha média

Considere-se uma secção em U, reduzida à sua linha média e os correspondentesdiagramas de tensões tangenciais

x h

tS ××=

2

1

=×= ∫ dx t R

b

0

311 σ =××

×⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××∫ dx x

h t

t I

V t

b

0 11

2

2

=×= ∫ dxe R

h

0

322σ

( )=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −×+

×××

×∫ dx x h xe h t b

e I

V e

h

0 11

2

22=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×+

××122

32

11

2 he h t b

I

V 2V

1S

1222

32

11

he h t b I

×+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ××=

4

2

11

2 b h t

I

V ××




No caso geral podem analisar-se as

componentes V1 e V2.

O esforço transverso deve passar pelo pontodo eixo de simetria que fica à distância d dalinha média da alma.

A esse ponto chama-se centro de flexão oucentro de corte.

O sistema de forças resultante R1 e R2 é estaticamente equivalente a uma força V2(esforço transverso na secção) actuando a uma distância d da linha média da alma

h R d V ×=× 12

11

22

4 I b h t d ××=⇒


Se o esforço transverso não passar pelo Cc, a barra não se limita a flectir e torce também, emconsequência do equilibrio.

PROCEDIMENTO GERAL DE ANÁLISE

Admite-se que a barra flecte sem torcer;

Determinam-se as resultantes das tensões tangenciais;

Considerando as flexões segundo os dois planos principais (x1 e x2), obtêm-se os doisesforços (V1 e V2) cujo ponto de cruzamento é o Cc.

CASOS PARTICULARES

Se existir eixo de simetria, Cc fica sobre esse eixo;

Se existirem dois eixos de simetria, Cc fica no ponto de cruzamento;

Quando as linhas médias das paredes convergem num ponto, esse ponto será Cc, uma vezque as resultantes das tensões tangenciais se cruzão nesse ponto.




Exemplo 2.2Exemplo 2.2Determine o centro de corte da secção indicada:

O eixo x1 é de simetria, pelo que Cc estará sobre ele.

A alma não apresenta praticamente rigidez à flexão(I11≈0), pelo que se pode desprezar, considerando-seapenas os banzos 1 e 2.

O esforço transverso V2 é estaticamente equivalente aosistema R1+R2, o que implica que:

em que R1 e R2, são as resultantes das tensões σ32,respectivamente no banzo 1 e no banzo 2.

h R d V ×=× 22

2

2

V

R h d ×=⇒

221 V R R =+


Exemplo 2.3Exemplo 2.3Determine o centro de corte da secção indicada.Considere a espessura e constante ao longo da linha média.

10

10

12,57,5

12,5

7,5

e = 2cm

[cm]

x 2

x 1 G

e




5.C i)5.C i) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina fechadafechada(b(b segundosegundo aa menormenor espessuraespessura dada alma)alma)

Caso em que o plano de flexão contém um eixo principalcentral de inércia (x2) que é o eixo de simetria da secção

Nesta situação não é possível aplicar directamente a expressão do fluxo detensões de corte:

Visto que não existe nenhum bordo livre ao longo do qual o fluxo econsequentemente as tensões tangenciais sejam nulas.

Apenas se pode afirmar que para se obter o fluxo de tensões de corte numa dada

espessura da secção é necessário conhecer o fluxo numa outra espessura. Contudo, neste caso particular, se V2 está num plano de simetria da secção, o

fluxo de corte é nulo, por simetria, nas espessuras situadas sobre o eixo desimetria.

Pode, pois, cortar-se a viga longitudinalmente, sem que isso implique qualqueralteração quanto à distribuição de esforços.

11

12

I

SV b f =×=τ


a) 2 cortes simetricos para que os fluxossejam iguais:

b) 2 cortes em que um deles contém o eixode simetria (x2) para que só um dosfluxos seja diferente de zero:

Note-se que:

b I

SV

b

f t ××

×=

×==

22 11

12

3

b I

SV

b

f t ×

×===

11

12

3

b)a)

211SS ×=

bCD AB ==





5.C ii)5.C ii) –– SecSecççãoão dede paredeparede finafina fechadafechadaCaso em que o plano de flexão contém um eixo principal central de inércia (x2) quenão é eixo de simetria da secção (secção não simétrica)

O fluxo das tensões de corte numa espessurada secção só se pode determinar se seconhecer o fluxo noutra espessura.

O fluxo total é a soma dos fluxos através dasduas espessuras

Como tal, para determinar o fluxo numaespessura qualquer, o que constitui umproblema HIPERSTÁTICO, pode usar-se oMÉTODO DAS FORÇAS

CD ABTOTAL f f f +=

Este método consiste em suprimir um número suficiente de ligações para tornar oproblema estaticamente determinado e calcular as forças necessárias paraeliminar os deslocamentos que aparecem nas ligações suprimidas.




MÉTODO DAS FORÇAS

PROCEDIMENTO GERAL

1) Efectua-se um corte da parede, num ponto qualquer da secção

Obtendo-se assim, uma secção aberta que constitui o SISTEMA BASE,

sendo o esforço de escorregamento libertado pelo corte a INCÓGNITA HIPERSTÁTICA X

2) No sistema base fazem-se actuar, separadamente, o esforço transverso V2, e o esforço deescorregamento X entre as faces do corte que definiu o sistema base,

calculando-se o deslocamento relativo dos bordos do corte, respectivamente:

3) Sobrepondo-se os efeitos no sistema base, obtem-se a equação de compatibilidade

com a qual se determina a incógnita hiperstática X

4) A tensão de corte é

por sobreposição dos efeitos no sistema base

X uu ΔΔ e 0

00 =Δ+Δ X uu

X τ+= 0


1) SISTEMA BASE sob a acção do esforço transverso

Exemplo 2.4Exemplo 2.4Considere a secção fechada de parede fina (HIPERSTÁTICA)indicada na figura. Determine o fluxo de tensões de cortenuma espessura da secção.

2) SISTEMA BASE sob a acção da INCÓGNITAHIPERSTÁTICA X (esforço de escorregamento)




1) O deslocamento relativo na direcção x3 de

dois pontos da linha média da parede afastados

entre sí da distância infinitesimal ds é:

como o ângulo de deslizamento dado pela Lei de Hooke:

(sendo G o módulo de distorção)

Da mesma maneira, o deslizamento relativo dos bordos da superfície de corte

pode ser calculado integrando a distorção provocada pelo esforço transverso V

ao longo da linha média da parede, ou seja:

dsu ×=Δ00

γ

G

00 τ

γ =

====Δ ∫ ∫ ∫ dsG

ds duu 00001

τ

e I

SV

11

120 =

∫ dse

S

I

V

G1

11

2

1


2) Da mesma forma:

Vem: Visto que:

3) A compatibilidade dos dois deslizamentos fornece o valor do fluxo de tensões:

4) A tensão tangencial na peça real pode ser calculada adicionando as tensões:

na espessura da parede, ao nível do corte, visto que:

dsu X X ×=Δ γ

====Δ ∫ ∫ ∫ dsG

ds duuX X X X

τ1

e

f X X =

constante==×=l

X e f

X X τ

∫ =Δ e

ds

G

f

u

X X

00 =Δ+Δ X uu

X τ+= 0

∫

∫ −=⇒

e

ds

dse

S

I

V f

X

1

11

2

e

f X X =⇒τ

X τ= 0

0 =




NOTA:

Os integrais curvilineos utilizados nas expressões anteriores referem-se apenas à partefechada da secção, não incluindo os troços ligados de forma simplesmente conexa


5.D5.D –– CAIXÕES MULTICELULARESCAIXÕES MULTICELULARES

As expressões anteriores são válidas para peças tubolares com apenas um canal.

Em caixões multicelulares é necessário efectuar um número de cortes igual ao número decélulas, para se obter uma secção aberta.




Exemplo 2.5Exemplo 2.5Considere o CAIXÃO MULTICELULAR indicada na figura.

Neste caso particular, o cálculo das tensões tangenciais

devidas ao esforço transverso, é um problema 2 vezesHIPERSTÁTICO.

SISTEMA BASE:

Bastam 2 cortes para se obter uma secção aberta que éisostática

=> 2 incógnitas X1 e X2, que são os esforços deescorregamento nos cortes C1 e C2


Sistema de 3 equações a 3 incógnitas (f1, f2, f3)

- COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTOS

- EQUILÍBRIO DE FLUXOS

TENSÕES

e

f X 11 =

0

020

2

10

1

=Δ+Δ

=Δ+Δ X

c

X

c

uu

uu

321 f f f =+

e

f X 22 =

10 X τ+=

20 X τ+=

➔ Nas paredes da célula com C1

➔ Nas paredes da célula com C2




Em virtude da presença de esforço transverso, as secções transversais, inicialmente planas eperpendiculares ao eixo da peça, sofrem um empenamento deixando de ser planas eperpendiculares ao eixo.

Esta deformação associada ao esforço transverso constitui uma correcção à hipótese deBernouilli.

Conhecidas as tensões tangenciais na secção, as correspondentes distorções calculam-seatravés da lei de Hooke:

6. DEFORMA6. DEFORMAÇÇÃOÃO

G

3131

σγ =

G

32

32

σγ =


A distorção é máxima onde fôr máximaa tensão tangencial

e anula-se onde esta se anular

sendo nulas as tensões tangenciais nassuperfícies laterais da barra (superiore inferior), as secções transversaispermanecem normais a estas superfícies.

Na linha neutra as distorções são máximasuma vez que as tensões tangenciais são máximas aí.

Como as fibras longitudinais permanecem sensivelmente paralelas umas às outras, assecções transversais são forçadas a empenar e deixam de ser perpendiculares ao eixo dabarra (contrariando assim a hipótese de Bernoulli de que as secções se mantêm planas apósa deformação).

A análise da deformação de um trecho de barra, de comprimento elementar, como se

mostra na figura, permite definir a distorção média

γmed(ângulo definido pelo eixo da

barra, antes e depois da deformação por esforço transverso):

3

22

dx

du med == γ




Considere-se um trecho de comprimento l de uma barra sujeita a um esforço transversoconstante V2

7. ENERGIA DE DEFORMA7. ENERGIA DE DEFORMAÇÇÃOÃO

Nesse trecho considere-se apenas a deformação devida a esforço transverso (o qual éaplicado gradualmente desde 0 até ao valor final, com suficiente lentidão para que sepossam desprezar as forças de inércia)


O trabalho realizado pelo esforço transverso durante a deformação é dado pela área dodiagrama triangular V2-u2

A energia de deformação da barra deformada é dada por:

em que W representa a densidade de energia de deformação.

(1) 2

1

2

1222 l××≈×= med

eV uV γ

(2) 2

1

)(

dv dvW U

V volumeV

×××== ∫ ∫ γ




Substituindo em (2) as expressões das tensões e deformações, a energia de deformação podeescrever-se:

Área reduzida dasecção transversal

Considerando a igualdade entre o trabalho τe realizado pelas forças exteriores e a energia dedeformação U, tem-se:

ou seja:

a este factor chama-se rigidez de corte (é = aoesforço transverso V2, correspondente a umadistorção média unitária)

=×××= ∫ dvU

V

γ

2

1=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡×

×

××

×

×∫ ∫

Ω

3

0 11

12

11

12 1

2

1 dx

G b I

SV

b I

SV l

τG

τγ =

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

= ∫ ∫ Ω

3

0

2

11

12 1

2

1 dx

G b I

SV l

3

0

2

2

1

2

11

22

2

1 dx

d b

S

I G

V V ∫

∫ Ω

Ω

l

'

2Ω

3

0

'

2

22

2

1 dx

G

V V U ∫ Ω×

=∴l

=××⇒ l med V γ221

'

2

2

23

0

'

2

22

21

21

Ω××=

Ω×∫ GV dx

GV V l

l

U=eτ

'

2

22 Ω×

×==G

V med

lγ


A área de corte Ω’2 pode relacionar-se com a área Ω para uma SECÇÃO RECTANGULAR da

seguinte forma:

FACTOR DE CORTEda secção rectangualar

8.8. ÁÁREA DE CORTEREA DE CORTE

∫ Ω

Ω=Ω

d

b

S

I

2

2

1

2

11'

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −×=2

2

22

2

21

x h h

x h

bS ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −× 2

2

2

42 x

h b

==Ω ∫ ∫ −Ω

2

2

2

2

2

1

2

2

1 dx b

S d

b

Sh

h

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×∫

−

2

2

2

2

2

2

2

2

44

11 dx x

h

b

b

b

h

h 120

5 h b×

=

Ω

=Ω∴

∫ Ω

d bS

I

2

2

1

2

11'

2 =

×

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×

120

125

23

h b

h b

=× h b

6

5 Ω

6

5




A área de corte Ω’2

pode relacionar-se com a área Ωpara uma Secção de parede fina em I ou U daseguinte forma:

Visto que a tensão tangencial pode supôr-senula nos banzos e aproximadamente constantena alma, vem:

Conclui-se neste caso que a área reduzida é a área da alma Ωa e portanto o FACTOR DE CORTEé unitário.

Da mesma forma é possível demonstrar que o factor de corte de uma secção em T é unitário,equanto o de uma secção circular é 9/10 e o de um anel é um ½.

b I

SV

11

12

32=

alma

V

Ω= 2

32

=×= 32322

1γW

a a G

V V

Ω×Ω22

2

1

== ∫ dvW U V

=ΩΩ×Ω∫ ∫

Ω

l

0

322

2

1 dx d

G

V V

a a

∫ Ω×

l

0

32

22

1 dx

G

V V

a

aΩ≅Ω∴ '


O deslocamento relativo calcula-se a partirda definição de distorção média:

O que permite definir o deslocamento relativo entre as secções L0 e L de um trecho decomprimento finito:

No caso particular de V2 ,G e Ω’2 serem constantes no intervalo L - L0, o deslocamento relativoé dado por:

9. DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SEC9. DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS SECÇÇÕESÕES

∫ ∫ Ω×==Δ

l

l

l

l0 0

3'

2

222 dx

G

V duu

3'

2

2322 dx

G

V dx du

Ω×== γ

( )0'

2

22 ll −

Ω×=ΔG

V u

3

22

dx

du med == γ

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