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Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 2º Teste de Avaliação de Matemática

Preparação para o Teste de Avaliação

1. Considera as equações: (1) ( ) ( )22212 xxx +−=+ e (2) 0107

2 =+− xx .

1.1. As raízes da equação (2) são:

(A) 5 e -2 (B) -5 e -2 (C) -5 e 2 (D) 2 e 5

1.2. A equação (1) na forma canónica é dada por: (A) 0123

2 =++ xx (B) 01652 =++ xx (C) 165

2 −=+ xx (D) 01252 =++ xx

1.3. Sendo 1S a menor solução e 2S a maior solução da equação (1), então 12

23 SS × , é:

(A) 6,0 (B) 5

6− (C)

5

3− (D)

25

1−

Data da Realização : ____ / 11/ 2012

Material necessário: material de escrita (esferográfica de cor azul ou preto), compasso e régua e máquina de calcular científica. Não é permitido o uso de tinta correctora.

Conteúdos Objetivos

• Equações do 2° grau:

-Incompletas.

-Completas. -Fórmula resolvente.

-Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para linguagem matemática. - Operar com polinómios. - Aplicar os casos notáveis da multiplicação, na resolução de equações de 2º grau. - Decompor um binómio ou trinómio em fatores, com vista à resolução de equações. - Resolver equações do 2° grau, procurando utilizar o processo mais adequado a cada situação (lei do anulamento do produto, fórmula resolvente, noção de raiz quadrada, artifício do quadrado do binómio). -Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma equação, no contexto de um problema. - Escrever equações a partir da soma e do produto das soluções. - Resolver problemas.

• Trigonometria

- Determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo. - Resolver problemas que envolvam o cálculo das razões trigonométricas. - Utilizar as razões para determinar a amplitude de um ângulo. - Aplicar fórmulas trigonométricas para fazer demonstrações. - Resolver problemas.

• Funções - Proporcionalidade direta;

- Função afim; - Proporcionalidade inversa; - Gráficos

- Reconhecer uma função através de: gráficos e tabelas; - Determinar imagens e objetos, recorrendo a: expressões algébricas, gráficos e tabelas; - Indicar o domínio e o contradomínio de uma função; - Escrever a expressão algébrica de uma função afim; - Fazer a representação gráfica de uma função afim, dada a sua expressão algébrica; - Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção de retas; - Resolver equações literais; - Resolver sistemas de equações com duas incógnitas; - Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa; - Analisar e interpretar gráficos.

• Deves também: - Dominar conhecimentos lecionados em anos anteriores, como é o caso do Teorema de Pitágoras, Cálculo de Áreas e de Volumes, Semelhança de figuras e triângulos, Resolução de Sistemas de Equações, utilização de números escritos em Notação Científica, operar com Potências de Expoente Inteiro e operar com valores exatos e aproximados. - Resolver problemas de estratégia e comunicar, por escrito, as estratégias e os procedimentos usados na resolução de problemas. Em todas as questões, deves apresentar todas as justificações, explicações e os cálculos que sustentem a tua resposta.

• Por onde deves estudar: caderno diário, fichas de trabalho, manual adotado e em

http://planomat.wordpress.com/ cujo site contém uma Sala de Estudo com inúmeros materiais importantes.

Escola Secundária de Lousada Matemática do 9º ano – FT 10 Data: ___ / ___ / 2012

Assunto: Ficha de Preparação para o 2º Teste

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2. Existirá algum ângulo β tal que 3

4senβ = e

1cos

4β = ? Justifica.

3. Um fio encontra-se suspenso e completamente esticado entre

dois postes. A distância entre ambos é de 40 metros. Considera a função f definida por: 52)( += xxf .

Admite que )(xf é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a x metros à direita do primeiro poste.

3.1. Determina )0(f e explica qual é o significado do valor que determinaste.

3.2. Calcula a altura do segundo poste. 3.3. Determina, em metros, o comprimento do fio.

Apresenta o resultado arredondado às décimas do metro.

4. Para cada valor de a a equação 02 =+ ax é uma equação de 2º grau. Quantas soluções tem a equação se:

(A) 0=a (B) 0>a (C) 0<a

5. Resolve cada uma das seguintes equações pelo método indicado.

5.1. ( )2

3 2x x+ − = , utilizando a fórmula resolvente.

5.2. ( )2

2 5 16x + = , utilizando a lei do anulamento do produto.

5.3. ( )2

18 2 3 0x− + = , utilizando a noção de raiz quadrada.

6. Na figura está representado um trapézio [ ]ABCD .

Sabe-se que:

• 2CD DE EF FC= = = =

• 60ºE AD∧

= e 30ºC BF∧

= Mostra que:

6.1. a área do trapézio é 8 3 12

3

+;

6.2. o perímetro do trapézio é 4 3 8+ .

7. Na figura [ ]ABC é um triângulo retângulo em A e AB//DE.

7.1. Determina a área do trapézio [ ]ABED .

8. Na figura está representado um triângulo retângulo [ ]ACD .

Sabe-se que o ponto B pertence a [ ]AC e que 6AC cm= e 2BC cm= .

A área o triângulo [ ]ABD é dada por:

(A) 12tgθ (B) 18tgθ (C) 12senθ (D) 18 6tgθ −

3

9. Escreve uma equação, na forma canónica, em que a soma das soluções seja 8 e o produto 12. Encontra as

soluções da equação.

10. Considera a função ( )14

82 +−=

xxf .

10.1. A imagem do objeto - 3 por f é: (A) 14

3 (B) 1 (C)

7

2 (D) 2

10.2. Uma reta paralela à reta da função f é:

(A)

2: 814

s x − (B)

: 2,57

xv − −

(C) : 8

14

xh − +

(D)

1: 8

7r x +

11. Numa equação 32=∆ . Então a equação: (A) não tem soluções reais. (B) tem duas soluções diferentes. (C)tem uma solução dupla.

12. Dos seguintes gráficos, qual é o que representa a equação 12 =− yx ?

13. Sabendo que as variáveis, t e d são diretamente proporcionais, os valores de x , y e w são, respetivamente, iguais a:

(A) 25 ; 04,0 ; 2

1 (B) 2 ; 04,0 ;

4

5

(C) 25 ; 04,0 ; 4

5 (D) 25 ; 4,0 ;

4

5

14. O casal Silva tem 3 filhos: O Tiago, a Sofia e a Maria. A Sofia tem mais 3 anos do que a Maria e o Tiago é o mais velho e tem 13 anos. Qual é a idade da Sofia, sabendo que o produto das idades dos três irmãos é 364?

t w 1,0 x 5,2

d

2

1

y 22 1

4

15. Determina um valor aproximado às centésimas do grau da amplitude do ângulo BAC do

triângulo representado na figura.

16. Considera a equação ( ) 551322

+=− xx . O conjunto-solução da equação é:

(A)

−=2

1;2S (B)

−= 2;2

1S (C) { }=S (D) Nenhuma das opções

anteriores.

17. Resolve as equações, aplicando a fórmula resolvente, apenas quando for rigorosamente necessário:

(A) ( ) 02

22 =−x (B) ( )( ) 182

413 −=+− xxx (C) 03

27

3

82

=−

=− xx

(D) 052

=− xx

(E)

−=−

2

121 xxx (F) 010

2=+x (G) 04014

2=++ xx (H) ( ) ( ) ( )2

26252

32 xxx +−=+−−

18. Observa a figura onde está representado um círculo de centro O, em que [AC] é um diâmetro.

Sabe-se que 4BC cm= e º30ˆ =CAB . Determina, apresentando os resultados arredondados às centésimas: 18.1. O perímetro do triângulo [ABC]. 18.2. A área da região sombreada.

19. Representa por uma expressão analítica cada uma das funções cujo gráfico consta na figura seguinte,

indicando, em cada caso, se se trata de uma função afim, linear, ou constante.

20. A figura é formada por cinco quadrados. As medidas indicadas estão

expressas em centímetros. Sabendo que a área da figura é de 299cm ,

determina: 20.1. o valor de x ;

20.2. o perímetro da figura.

21. Prova que:2

1 cos1 cos

sen xx

x− =

+

22. Escreve uma expressão algébrica para a função h , sabendo que se trata de uma função afim e cujo gráfico

contém os pontos ( )0,1−A e ( )3,2−B . Faz a sua representação gráfica.

5

x-5

x-3

23. O esquema seguinte representa uma

roda gigante com 12 m de raio. Sabe-se que a distância do ponto O, centro da roda, ao solo é 14m.

23.1. Determina a distância ao solo do ponto P assinalado na figura. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

24. A área do retângulo é 35 cm2. Qual é o valor de x?

(A) 7cm (B) 9 cm (C) 10 cm (D) 20 cm

25. O arbusto da figura tem 1,4m. Quando os raios do Sol incidem no chão segundo um ângulo de 40º, o valor, aproximado às décimas, qual é o comprimento da sombra que o arbusto projeta?

26. Completa as seguintes expressões:

27. Seja ( ) ( ) 123 −+−= pxkxg uma função afim.

27.1. Determina os valores de k e p sabendo que os pontos ( )2,1− e

4,

2

1 pertencem ao gráfico de g .

27.2. Seja 5

1=k e

2

3−=p , determina x de modo que ( ) 2−=xg .

28. Na figura está representado um recipiente cónico. Sabe-se que: - o ponto M é o centro da base do cone; - a base do cone tem 8dm de diâmetro;

- o ângulo CBM tem 25º de amplitude.

28.1. Calcula o volume do recipiente. Apresenta o resultado em centímetros

cúbicos, arredondados às centésimas.

29. Determina o valor exato de senα , sabendo que 8

15tgα = e

15cos

17α = .

( )2

7a + = + +… … … ( )2

36b + = + +… … … ( )( )225 9t − = − +… … … …

( )2 2

4 36m+ = + +… … … ( )( )216 3 3c− = − +… … … ( )

226 3y y− + = −… …

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30. Resolve as equações seguintes:

30.1. xx7

17

2 = , pela Lei do Anulamento do Produto.

30.2. 020022 =−x , pela definição de raiz quadrada.

30.3. ( ) ( )1381 −=−− xxx , fazendo surgir no 1º membro o quadrado de um binómio.

30.4. ( )23

2

1−=− xx , pela fórmula resolvente.

31. Na figura estão representados dois triângulos retângulos [ABC] e [ADE].

Sabe-se que:

31.1. Determina a área, em metros, do quadrilátero [BCDE]. (nos cálculos

intermédios, utiliza 4 casas decimais). Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

32. O Gil tem 123 livros na sua estante, enquanto o Luís tem menos 20 do que ele. Quantos livros deveriam comprar cada um (na mesma quantidade) para que o produto do número de

livros do Gil pelo número de livros do Luís seja 28 124?

33. Sendo α um ângulo agudo em que 2tgα = , mostra que 5cos

5senα α− = .

34. Um retângulo tem de área 22 m . Um dos catetos tem metade do comprimento do

outro. 34.1. Qual das expressões representa, em metros, o perímetro do triângulo?

(A) 10224 + (B) 24283 + (C) 1023 + (D) 128

35. Resolve a equação ( )− = − +26 4 1 2x x x x .

36. Os espeleólogos, para determinar a sua profundidade em relação ao ponto de

entrada, utilizam por vezes um aparelho que desenrola um fio, e medem:

• 0 ângulo α do fio com a horizontal;

• o comprimento do fio esticado. A figura seguinte representa um esquema de uma descida A, B, C,

D, E, e as medidas tiradas.

Determina a profundidade atingida em E. (As distâncias são medidas em

metros e os ângulos em graus.)

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37. O João tem 14 anos e o Zé tem 13 anos. 37.1. Daqui a quantos anos é que a soma dos quadrados das suas idades será igual a 685?

(A) A situação referida no enunciado verificou-se há 5 anos atrás. (B) A situação referida no enunciado verificar-se-á quando o Zé tiver 25 anos. (C) A situação referida no enunciado verificar-se-á daqui a 13 anos. (D) A situação referida no enunciado verificar-se-á quando o João tiver 19 anos.

37.2. A equação ( ) ( )2 2

14 13 685x x+ + + = traduz a situação apresentada. O que podes

concluir relativamente à solução da equação?

38. O sinal de trânsito “subida íngreme de 10%” significa que em cada 100m

medidos na horizontal a estrada sobe 10m. 38.1. Para o ângulo de amplitude α assinalado na figura, determina o

valor de cos

senα

α.

38.2. Calcula o valor de α aproximado às décimas.

39. Na figura ao lado, está representada uma roda gigante de um

parque de diversões. Um grupo de amigos foi andar nessa roda. Depois de todos estarem sentados nas cadeira, a roda começou a girar. Uma das raparigas, a Beatriz, ficou sentada na cadeira número 1, que estava na posição indicada na cadeira 1, quando a roda começou a girar. A roda gira no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e demora um minuto a dar uma volta completa.

Seja d a função que dá a distância da cadeira 1 ao solo, t segundos

após a cadeira ter começado a girar.

Em qual das opções seguintes pode estar representada a função d ?

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40. Resolve, utilizando a fórmula resolvente, a seguinte equação ( )31 1

2 3 3

x xxx

−−− = + .

41. O Nuno tem uma escada com 5,5m de comprimento. Colocou a base da escada a 1,5m de uma parede, como mostra a figura.

41.1. Qual é a distância do topo da escada ao solo? 41.2. Qual é a amplitude do ângulo ABC? 41.3. O Nuno pretende alcançar uma janela que se encontra a 5m do solo, colocando a base da escada a 1m da parede. Quantos metros de comprimento precisa de ter a escada?

42. Qual é a idade da Ana se há 3 anos o quadrado da sua idade era igual ao quíntuplo da idade que terá daqui a 7 anos? Resolve o problema, recorrendo a uma equação de 2º grau e indica todos os cálculos que efetuares.

43. Numa reserva de caça, o número de coelhos bravos, em milhares, durante os anos de 2005 e

2010, estima-se ser dado por ( ) 220

5+= ttf , em que t é o número de anos após 2005 (2005 corresponde a

0=t ).

43.1. Quantos coelhos se estima existirem na reserva de caça em 2005?

43.2. Representa graficamente ( )tf para { }5,4,3,2,1,0∈t .

43.3. Resolve a equação ( ) 3=tf e interpreta o resultado.

43.4. Segundo aquela estimativa, indica o número de coelhos existentes na reserva de caça no ano de 2006. Explica como obtiveste a resposta.

44. A tabela que a seguir se apresenta traduz uma relação de proporcionalidade inversa entre as grandezas x e y . 44.1. Determina o valor de a .

45. As raízes de uma equação de 2º grau são -5 e 11. Escreve uma equação de 2º grau que tenha por soluções os números referidos.

46. Considera as seguintes rectas e as suas respectivas equações:

g : y = 2x k: y = -3x + 10 r: y = 3x – 14 s: y = 2x + 2 w: y = -3x + 22

Indica, justificando e indicando os cálculos efetuados: 46.1. duas retas que sejam paralelas; 46.2. uma reta em que o ponto (0;2) lhe pertença; 46.3. uma reta em que o ponto (2;4) lhe pertença; 46.4. a solução comum às equações y =2x e y = -3x + 10; 46.5. a solução comum às equações y = 3x – 14 e y = -3x + 22; 46.6. a solução comum às equações y = 3x – 14 e y = -3x + 10; 46.7. uma solução comum às equações y = 2x e s: y = 2x + 2 46.8. uma solução comum às equações y = -3x + 10 e s: y = -3x + 22

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47. O astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte: « Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais.» Na figura ao lado está representado um trapézio [ ]ABCD inscrito numa

circunferência. Sabe-se que:

♦♦♦♦ 12___

=AB , 9___

=CD ,

♦♦♦♦ 150______

== BDAC e ______

BCAD =

47.1. Determina o valor exato de ___

AD , utilizando a propriedade

enunciada por Ptolomeu.

48. A figura seguinte representa um candeeiro. O abajur tem a forma

de um tronco de cone. 48.1. Determina um valor aproximado às centésimas do volume do

abajur.

49. Na figura está representado um cubo, cuja aresta mede uma unidade. Considera um ponto P que parte de A, segue o trajeto A-B-C-D e demora um segundo a percorrer uma diagonal facial do cubo.

Seja d a função que dá a distância do ponto P ao ponto A, t segundos após a partida. Qual dos gráficos pode ser o da função d ?

50. Considera os sistemas:

(A)

+=−−

+=

yx

yx

1)3(5

13 (B)

−=

=−

622

0

xy

xy

50.1. Escreve o sistema (A) na forma canónica. 50.2. Resolve o sistema (A) pelo método de substituição. 50.3. Resolve graficamente o sistema (B). 50.4. Classifica o sistema (B).

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51. A compra do televisor O pai do Tiago comprou um televisor. Pagou de entrada 50 euros e o restante pagou em mensalidades de 40 euros

por mês.

51.1. Escreve uma expressão analítica que traduza o problema, considerando y, o valor total, e x, o número

de meses. 51.2. Calcula quanto pagou o pai do Tiago em meio ano. 51.3. Se o televisor no final do pagamento ficou por 530 euros, quantos meses o pai do Tiago levaria a

pagar o televisor?

52. Os braços de um compasso medem 12cm cada um. Qual é o ângulo que eles formam quando a

distância entre as suas pontas é de 7cm?

53. Considera as funções f, g e h representadas graficamente no

referencial da figura. 53.1. Escreve uma expressão analítica que defina cada uma

das funções.

54. O volume sanguíneo é a quantidade de sangue que

circula no organismo de um indivíduo e depende da sua altura, do seu peso e do seu género (masculino ou feminino).

O peso de uma mulher e de um homem com 1,75

metros de altura e o mesmo volume sanguíneo podem

relacionar-se através da expressão:

Peso mulher = 0 ,97 × Peso homem + 14 ,47

54.1. Seleciona a reta da figura - a, b, c ou d - que corresponde à relação entre o Peso de

um homem e o Peso de uma mulher, ambos com 1,75 metros de altura e o mesmo volume sanguíneo.

Bom Trabalho!

A Equipa de Professores do 3.º Ciclo