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Módulo 5 O novo conceito de Espaço e Tempo e a Teoria Relativística da Gravitação Ensino a Distância COSMOLOGIA Da origem ao fim do universo 2015

Cosmologia - Módulo 5

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Quinto módulo do curso de cosmologia oferecido pelo Observatório Nacional.

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  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 243

    Mdulo 5O novo conceito de Espao e Tempo e

    a Teoria Relativstica da Gravitao

    Ensino a DistnciacosmologiaDa origem ao fim do universo

    2015

  • Esta publicao uma homenagem a Antares Cleber Crij (1948 - 2009) que dedicou boa parte da sua carreira cientfica divulgao e popularizao da cincia astronmica.

    Presidente da RepblicaDilma Vana Rousseff

    Ministro de Estado da Cincia, Tecnologia e InovaoJos Aldo Rebelo Figueiredo

    Secretrio-Executivo do Ministrio da Cincia, Tecnologia e Inovaolvaro Doubes Prata

    Subsecretrio de Coordenao de Unidades de PesquisasKayo Jlio Csar Pereira

    Diretor do Observatrio NacionalJoo Carlos Costa dos Anjos

    Observatrio Nacional/MCTI (Site: www.on.br)Rua General Jos Cristino, 77So Cristvo, Rio de Janeiro - RJCEP: 20921-400

    Criao, Produo e Desenvolvimento (Email: [email protected])

    Carlos Henrique VeigaCosme Ferreira da Ponte NetoRodrigo Cassaro ResendeSilvia da Cunha LimaVanessa Arajo SantosGiselle VerssimoCaio Siqueira da SilvaLuiz Felipe Gonalves de Souza

    2015 Todos os direitos reservados ao Observatrio Nacional.

    Equipe de realizao

    Contedo cientfico e textoCarlos Henrique Veiga

    Projeto grfico, editorao e capaVanessa Arajo Santos

    Web DesignGiselle VerssimoCaio Siqueira da Silva

    ColaboradoresAlexandra Pardo Policastro NatalenseNey Avelino B. SeixasAlex Sandro de Souza de Oliveira

    A Nebulosa do Vu ou Nebulosa Vassoura de Bruxa (NGC 6960) uma enorme nuvem de gs (remanescente) composta por restos de uma estrela que foi destruda por uma violen-ta exploso (supernova). Foi descoberta por William Herschel em 1784. A uma distncia de 1470 anos-luz do Sistema Solar, a luz da exploso da supernova provavelmente chegou Terra h mais de 5.000 anos.

  • Mdulo 5O novo conceito de Espao e Tempo e

    a Teoria Relativstica da Gravitao

    Ensino a DistnciacosmologiaDa origem ao fim do universo

    2015

  • 246 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    O QUE GEOMETRIA?

    Geometria a parte da matemtica que trata de curvas, superfcies e vo-lumes. A geometria tem uma longa histria remontando a pocas at mesmo muito anteriores aos gregos. No entanto, foram os filsofos gregos os primei-ros a sistematizarem, e ampliarem, o conhecimento da geometria.

    Temos uma necessidade diria de usar a geometria. Quando afirmamos que alguma coisa est distante estamos falando de comprimento e isso ge-ometria. Se falamos sobre a rea de um campo de futebol estamos usando geometria. Se dizemos que o vestido da modelo est largo estamos falando de volumes e portanto de geometria. Ela nos acompanha todo o tempo.

    A geometria um dos ramos mais antigos da matemtica e, como j dis-semos, trata das regras de medio de distncias e ngulos, regras estas que foram compiladas pelo filsofo e matemtico grego Euclides por volta do ano 300 antes de Cristo.

    A geometria que usamos no nosso dia-a-dia aquela desenvolvida pelos gregos. a geometria de Euclides, ou geometria euclidiana, que estudamos nas escolas e aprendemos a aplicar na prtica. A geometria euclidiana realiza suas medidas sobre uma superfcie plana.

    A GEOMETRIA EUCLIDIANA

    Euclides foi um dos maiores matemticos gregos da antiguidade. No se sabe com certeza a data do seu nascimento, talvez tenha sido por volta do ano 325 antes de Cristo. Sabe-se que ele viveu na cidade de Alexandria, no atual Egito, quase certamente durante o reinado de Ptolomeu I (323 BC283 BC) e morreu, de causas desconhecidas, no ano 265 antes de Cristo. Por essa razo ele citado como Euclides de Alexandria.

    Euclides nos deixou um conjunto de livros de matemtica, os Elemen-tos, que pode ser considerado um dos mais importantes textos na histria da matemtica. Nesse monumental conjunto de 13 volumes Euclides reu-niu toda a geometria conhecida em sua poca, ou seja, os vrios resulta-dos originalmente obtidos por outros matemticos anteriores a ele e seus trabalhos originais. O fato importante que Euclides apresentou esses resultados dentro de uma estrutura logicamente coerente e simples. Ele at mesmo apresentou provas de teoremas matemticos que haviam sido perdidos.

    Euclides deduzia, entre vrios outros resultados, as propriedades dos ob-jetos geomtricos a partir de um pequeno conjunto de axiomas. Axiomas so afirmaes que no possuem prova mas so aceitas como auto-evidentes. Por esses motivos Euclides considerado o pai da geometria e o fundador do chamado mtodo axiomtico da matemtica.

    O sistema geomtrico apresentado por Euclides nos livros que formam os "Elementos" durante muito tempo foi considerado a geometria. Era a nica disponvel e podia ser usada na vida diria sem contradies aparentes. Os Elementos de Euclides foram os fundamentos do ensino de geometria prati-camente at o incio do sculo XX.

    Hoje a geometria apresentada por Euclides chamada de geometria Eucli-diana para distingui-la das outras formas de geometria, chamadas geome-trias no-Euclidianas, que foram descobertas ao longo do sculo XIX.

    As geometrias no-Euclidianas cresceram a partir de mais de 2000 anos de investigao sobre o quinto postulado de Euclides, um dos axio-mas mais estudados em toda a histria da matemtica. A maior parte dessas investigaes envolveram tentativas de provar o quinto postulado,

    35 O que

    geometria?

    Euclides (de Alexandria) (325 a.C. - 265 a.C.)

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 247

    relativamente complexo e presumivelmente no intuitivo, usando os ou-tros quatro postulados. Se eles tivessem sido bem sucedidos teriam mos-trado que esse postulado seria na verdade um teorema. Na verdade os Elementos consistem de duas partes: a primeira formada por teoremas que so provados sem o auxlio do quinto postulado e formam o que cha-mamos de geometria absoluta; e a segunda parte formada por teore-mas que esto baseados no quinto postulado e que formam a geometria Euclidiana propriamente dita.

    As imagens mostram pginas de um manuscrito grego do sculo XI com os Elementos.

    Os axiomas de Euclides so os seguintes:

    1. dados dois pontos h um intervalo que os une.

    2. um intervalo pode ser prolongado indefinidamente.

    3. um crculo pode ser construdo quando seu centro e um ponto sobre ele so dados.

    4. todos os ngulos retos so iguais.

    5. se uma linha reta inclinada sobre duas linhas retas faz os ngulos in-teriores do mesmo lado menores do que dois ngulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram naquele lado no qual os ngulos so menores do que dois ngulos retos.

    Vemos que o quinto postulado de Euclides tem um enunciado bem mais complicado que os outros. Na verdade ele pode ser colocado de uma maneira bem mais simples:

    Pginas dos "Elementos" de Euclides.

    Ilustrao do quinto postulado de Euclides.

  • 248 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Atravs de um ponto C, no localizado sobre uma dada linha reta AB, somente uma linha reta paralela a AB pode ser traada, ou seja, uma linha situada no mesmo plano onde est a linha reta dada e que no a intercepta.

    ou ento

    Duas linhas paralelas so equidistantes

    Por mais de 2000 anos os matemticos tm tentado demonstrar esse pos-tulado sem sucesso.

    A geometria Euclidiana aquela que as pessoas comuns usam na sua vida diria. Nessa geometria a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180o, como vemos na figura acima.

    Em uma geometria plana, ou geometria euclidiana, a distncia entre dois pontos pode ser facilmente calculada. Se considerarmos somente

    uma dimenso:

    a distncia entre dois pontos ser dada por ds

    ds= dx2 - dx1

    duas dimenses:

    essa distncia ser obtida por intermdio do chamado teorema de Pitgoras (o quadrado da hipotenusa de um tringulo retngulo e igual soma dos quadrados dos catetos)

    ds2 = dx2 + dy2

    trs dimenses:

    a distncia entre os dois pontos ser obtida a partir da relao:

    ds2 = dx2 + dy2 + dz2

    Geometria Euclidiana.A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 249

    Essas so as expresses que nos do a distncia entre dois pontos em uma geometria Euclidiana, no importando se eles esto muito afastados ou muito prximos.

    No entanto, embora o nosso mundo dirio seja descrito por trs dimen-ses espaciais, a matemtica est ligando muito pouco para isso! Para ela um espao pode ter um nmero qualquer de dimenses, at mesmo infinitas dimenses.

    O CONCEITO DE ESPAO E TEMPO DE ISAAC NEWTON

    J vimos que a descoberta da lei que nos mostra de que maneira os corpos celestes interagem foi feita por Isaac Newton. Ele foi capaz de determinar que a fora da gravidade depende diretamente do produto das massas dos corpos em interao e do inverso do quadrado da distncia entre eles.

    onde G a constante gravitacional, M a massa de um corpo, m a massa do outro corpo, e d a distncia entre esses dois corpos.

    Chama-se a ateno para o fato de que constante universal da gravitao, G, no o mesmo que acelerao da gravidade, g. Esta ltima varia, por exem-plo, de acordo com o corpo celeste considerado e, portanto, no uma cons-tante universal!

    A partir da equao da gravitao mostrada acima vemos que, uma vez que a fora gravitacional diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos que esto interagindo, variaes nas massas dos corpos provocaro variaes no efeito gravitacional. claro que se as massas de ambos os obje-tos aumenta (e a distncia entre eles permanece inalterada) a fora de atrao gravitacional entre eles tambm ir aumentar. Se a massa de um dos objetos dobrada, e eles permanecem mesma distncia um do outro, a interao gra-vitacional entre eles tambm dobrada. Se a massa de cada um dos objetos dobrada ento a interao gravitacional entre eles ser quadruplicada, e assim por diante.

    O contrrio acontece quando variamos a distncia entre os corpos. A equao nos mostra que a interao gravitacional inversamente proporcio-

    36 O conceito de espao

    e tempo de Isaac Newton

    Conceito artstico dos estudos de Newton

  • 250 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    nal ao quadrado da distncia entre os corpos que esto interagindo. Isso nos diz que, mantidas constantes as massas dos corpos, quanto mais afastados eles estiverem mais fraca ser a interao gravitacional entre eles. Assim, medida que dois objetos so afastados um do outro a interao gravitacional entre eles tambm diminui. Por exemplo, se a separao entre dois corpos dobrada (aumentada por um fator 2) a fora de atrao gravitacional ser diminuda por um fator quatro, uma vez que a interao gravitacional proporcional ao inverso do quadrado da distncia. Se a distncia entre os corpos triplicada ou seja, aumentada por um fator 3, a interao gravitacional ir diminuir por um fator 9 (trs elevado ao quadrado).

    As proporcionalidades expressas pela lei da gravitao universal de New-ton so mostradas graficamente ao lado. Observe como a interao gravitacio-nal diretamente proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas.

    Observaes: note que as foras gravitacionais entre duas partculas formam um

    par ao-reao, como exigido pela terceira lei de Newton. A primeira partcula exerce uma fora de atrao sobre a segunda partcula e esta tambm exerce uma fora sobre a primeira. Essas foras esto dirigi-das ao longo da linha imaginria que une os centros dessas partculas. As foras gravitacionais que as partculas exercem uma sobre a outra tm o mesmo valor numrico, mas sentidos opostos.

    interessante sublinhar que um corpo colocado em qualquer regio no interior da Terra somente sentir a ao gravitacional gerada pela massa que est entre o centro do nosso planeta e a posio do corpo. Isso quer dizer que para clculos de ao gravitacional somente a mas-sa interior ao raio do corpo que importa. Por exemplo, se voc est a meio caminho do centro da Terra somente a metade da massa da Terra que est abaixo de voc que ir gerar ao gravitacional sobre o seu corpo. A parte que est entre a sua posio e a superfcie da Terra no participa desse clculo. Assim, se voc chegasse ao centro da Terra (considerando que a forma da Terra uma esfera, o que no verdade) a fora gravitacional que atuaria sobre seu corpo seria igual a zero uma vez que no haveria massa (matria) entre voc e o prprio centro do planeta, que onde voc est. No entanto, tudo isso s aconteceria se o nosso planeta tivesse densidade constante!

    se fosse cavado um tnel atravessando a Terra de um lado ao outro, e passando pelo seu centro, uma partcula que casse nele descreve-ria um movimento harmnico (se desprezarmos as foras de atrito, considerarmos a Terra com simetria esfrica e com densidade unifor-me). A partcula teria um movimento que se repetiria em intervalos de tempos iguais ou seja, descreveria um movimento peridico. Esse movimento peridico poderia ser descrito matematicamente usando-se senos e cossenos, da o chamarmos de movimento harmnico.

    O QUE UM SISTEMA DE REFERNCIA?

    As leis de Newton so vlidas em um sistema de referncia inercial. Um sistema de referncia um sistema de coordenadas capaz de nos dar informa-es sobre a ocorrncia de um evento ou fenmeno.

    Veja que, no necessariamente os eixos que nos informam os valores das coordenadas precisam ser retilneos. O sistema de coordenadas que usamos

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 251

    mais comumente no nosso dia-a-dia o chamado sistema de coordenadas cartesiano. Nesse sistema os eixos coordenados so linhas retas ortogonais (ou seja, perpendiculares) e as coordenadas em geral (mas no obrigatoriamente) so chamadas de (x, y, z).

    No entanto, existem outros sistemas de coordenadas, tais como o sistema de coordenadas esfricas, o sistema de coordenadas cilndricas, etc, que no usam eixos ortogonais. As imagens abaixo mostram os sistemas de coordena-das cilndricas e esfricas, respectivamente. Em ambas as figuras as coordena-das cilndricas e esfricas esto colocadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas e relacionadas matematicamente a elas. Veja que o sistema de co-ordenadas cilndricas dado pelas variveis (r, , z). As coordenadas r e so coordenadas polares para a projeo vertical do ponto P sobre o plano carte-siano xy. J a coordenada z a coordenada vertical cartesiana.

    No caso do sistema de coordenadas esfricas as variveis so (, , ) onde a distncia do ponto P at a origem do sistema de coordenadas, o n-gulo que a semi-reta OP forma com o eixo cartesiano z positivo e o mesmo ngulo usado na determinao das coordenadas cilndricas.

    Existem at mesmo sistemas de coordenadas cujos eixos so curvilneos. Qualquer um desses sistemas de referncia pode ser usado para a determina-o, por exemplo, da posio de um objeto. claro que ao analisarmos um problema, procuramos utilizar o sistema de referncia mais adequado a ele. Por exemplo, se queremos descrever um objeto esfrico usaremos o sistema de coordenadas esfricas, etc.

    SISTEMAS DE REFERNCIA INERCIAIS

    Um sistema de referncia inercial, ou simplesmente referencial inercial, um sistema de coordenadas no qual o princpio de inrcia se aplica: se nenhu-ma fora est atuando sobre uma partcula, ela ou permanece estacionria ou se desloca em linha reta com velocidade constante.

    Portanto, sistema de referncia inercial aquele que no est acelerado. Veja que um sistema de referncia inercial no necessariamente precisa es-tar em repouso. Ele pode estar se movendo em linha reta e com velocidade constante.

    Qualquer sistema de coordenadas que est em movimento uniforme em relao a um referencial inercial tambm um referencial inercial.

    Mas, por que as leis da fsica deveriam ser as mesmas somente em referen-ciais inerciais? O que acontece quando um referencial est sujeito a acelerao, isto , quando o princpio de inrcia no ocorre nele?

    Quando o movimento de uma partcula no uniforme dizemos que algu-mas foras esto agindo sobre ela. Nesse caso a primeira lei de Newton, F= ma,

    Sistemas de coordenadas cartesianas (x,y,z). Sistemas de coordenadas cilndricas (r, , z). Sistemas de coordenadas esfricas (, , ).

  • 252 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    ter termos adicionais que chamamos de foras fictcias ou foras inerciais. Por exemplo, a to conhecida fora centrfuga uma fora fictcia.

    Entretanto, possvel que, na verdade, nenhuma fora esteja agindo sobre a partcula, mas o sistema de coordenadas a partir do qual ns a observamos seja no inercial. Por exemplo, o movimento ao longo de uma linha reta pode parecer curvo para um observador em rotao. Neste caso no podemos dizer com certeza se o sistema inercial ou no. Como ve-remos mais tarde, essa dificuldade no encontrada somente na mec-nica clssica mas tambm na teoria da relatividade especial. Usualmente evitamos o problema definindo um referencial aproximadamente inercial que est centrado no Sol e tem seus trs eixos dirigidos na direo de trs galxias distantes.

    O ESPAO E TEMPO DE NEWTON

    O conceito de espao absoluto defendido por Isaac Newton foi a culmi-nao de um longo processo histrico. A afirmao de Aristteles de que a natureza tem horror ao vcuo dominou o pensamento dos filsofos e cien-tistas por vrios sculos. Aps um prolongado debate os conceitos defendidos pelos atomistas da antiguidade ganharam novamente seu lugar na cincia, principalmente aps a descoberta do vcuo no sculo XVII, quando ento eles passaram a ter cada vez mais defensores.

    Newton considerou o espao como sendo uma arena desprovida de coisas e fenmenos. Para ele o espao era tridimensional, contnuo, esttico (no variava com o tempo), infinito, uniforme e isotrpico (possua as mesmas propriedades independentemente da direo considerada). Ele acreditava que o espao absoluto, por sua prpria natureza e em relao a qualquer coisa externa, sempre permanecia similar e imvel.

    O tempo para Newton era tambm absoluto e independente. Ele o con-siderava como sendo o receptculo de eventos e supunha que o passar dos eventos no afetava o fluxo do tempo. O tempo era assim unidimensional, contnuo, homogneo (possua as mesmas propriedades em todos os locais do universo) e infinito.

    A viso de Newton sobre o movimento era semelhante. Em um sistema de referncia estacionrio em relao ao espao absoluto, as trs leis de Newton, lei da inrcia, lei do movimento e lei da ao e da reao, deve-riam ocorrer.

    Um sistema de referncia absoluto, fixo em relao ao espao absoluto um referencial inercial. Para Newton, a transio de um referencial iner-cial para outro seria realizada por intermdio de uma transformao de Galileu:

    t= t x= x + vt

    Pode ser mostrado que se voc aplica as transformaes de Galileu se-gunda Lei de Newton, F= ma, ela permanece com a mesma forma. Dizemos ento que a segunda lei de Newton invariante pelas transformaes de Gali-leu. Assim, todos os sistemas de referncia inerciais so equivalentes e no h uma maneira de detectar o espao absoluto.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 253

    GENERALIZANDO A GEOMETRIA EUCLIDIANA

    Vamos ento generalizar as expresses que nos ensinam como medir a distncia entre dois pontos, para um nmero qualquer de dimenses espa-ciais. Para isso melhor substituir as coordenadas x, y, z por xn onde n um ndice que pode ser igual a qualquer nmero inteiro positivo. Assim x ser substitudo por x1, y ser escrito como x2, z ser x3, e assim por diante at atingirmos o nmero equivalente dimenso do espao que queremos estudar. Em geral se queremos dizer que o espao tem um nmero qual-quer de dimenses escrevemos xn onde n assume os valores 1, ou 2, ou 3 ou qualquer outro valor inteiro positivo. Isso pode ser resumido escrevendo-se n = 1, 2, 3,..

    Podemos ento generalizar a expresso que nos d a distncia entre dois pontos em um espao euclidiano de dimenso qualquer n escrevendo:

    ds2 = dx12 + dx22 + dx32 + ..... + dxn2

    A expresso ds2, que chamada de elemento de linha ou mtrica, de im-portncia vital nos clculos da teoria da relatividade. A partir desse momento sempre que nos referirmos distncia entre dois pontos em um espao de qualquer dimenso a representaremos por ds2.

    REFERENCIAIS EM MOVIMENTO

    Suponha agora que voc quer descrever a posio de um corpo no espa-o. A primeira coisa a fazer determinar um sistema de referncia no qual o corpo (para simplificar o problema) esteja em repouso. Voc poder obter as coordenadas de posio desse corpo ou seja, se estiver considerando um sistema de coordenadas cartesianas, os pontos (x, y, z). A isso voc adiciona a medida do tempo, t. Pronto. Voc agora est descrevendo a posio e a din-mica (mudanas no tempo) do corpo em estudo por meio de um conjunto de quatro variveis, (x, y, z, t).

    Suponha agora que, ainda estudando o mesmo corpo, voc decide descrev--lo em um outro sistema de coordenadas (no qual ele ainda est em repouso). Ser obtido um segundo grupo de coordenadas que descreve a posio e a dinmica desse corpo, as quais chamaremos de (x, y, z, t).

    E se um dos sistemas de coordenadas estiver em movimento, deslocan-do-se em relao ao outro com velocidade constante e em linha reta? Pelas propriedades descritas acima esses referenciais ainda so inerciais e, portanto, as leis de Newton valem. Mas, como ficaro relacionadas as coordenadas do corpo em estudo nesses dois sistemas de referncia?

    Foi o fsico holands Hendrik Lorentz quem demonstrou (embora no tenha sido o primeiro a fazer isso!) como os dois conjuntos de coordena-das do mesmo corpo, aquelas obtidas no sistema de referncia em repouso e aquelas obtidas no sistema de referncia que se desloca com velocidade constante e em linha reta, esto relacionadas. Essas transformaes passa-ram a ser conhecidas como transformaes de Lorentz e so fundamentais para a fsica.

    As transformaes de Lorentz so mostradas nas equaes a seguir. Aten-o: as transformaes de Lorentz nos mostram como esto relacionadas as coordenadas de um corpo medidas em dois referenciais diferentes: um refe-rencial est em repouso e o outro referencial se desloca em linha reta e com velocidade constante v. Note que as transformaes de Lorentz, por serem de-

    37 Generalizando a geometria Euclidiana

    Hendrik Lorentz (1853 - 1928).

  • 254 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    finidas para um espao-tempo de 4 dimenses, misturam as coordenadas do espao (x,y,z) com a de tempo (t).

    Entretanto, do mesmo modo como foi feito anteriormente postulando-se que as Leis de Newton no deveriam mudar quando submetidas a uma trans-formao de Galileu, agora postulou-se que as leis fsicas no deveriam mudar quando so observadas em referencias inerciais ou seja, aqueles que esto ou em repouso ou em movimento retilneo com velocidade constante. Isso quer dizer que as leis fsicas tm que ser invariantes por uma transformao de Lorentz.

    Consequentemente, um elemento de linha de uma geometria (ou melhor, a distncia entre dois pontos em uma dada geometria) tem que ser invariante por uma transformao de Lorentz.

    Vimos acima o elemento de linha que descreve um espao de trs dimen-ses e como essa expresso pode ser generalizada para um nmero qualquer de dimenses. Ento, resta-nos perguntar qual seria a forma do elemento de linha que descreve a geometria do espao-tempo de Lorentz, o espao-tempo da teoria da relatividade restrita.

    Nossa primeira ideia acrescentar o termo temporal ao elemento de linha que descreve a distncia entre dois pontos no caso tridimensional visto acima. Ficaramos com :

    ds2 = dt2 + dx12 + dx22 + dx32

    Mas isso est errado! Lembre-se que dx1, dx2 e dx3 so coordenadas de espao, respectivamente dx, dy e dz, e, portanto, s podem somadas a outras coordenadas com dimenses de espao. Como dt tem dimenso temporal, ns o multiplicamos pela velocidade da luz para que o primeiro termo do elemen-to de linha acima tambm fique com as dimenses de espao (lembre-se que espao = velocidade x tempo).

    Se chamarmos o termo cdt de dx0, para mantermos a mesma forma das expresses usadas para as coordenadas do espao, ficamos ento com:

    ds2 = dx02 + dx12 + dx22 + dx32

    Essa seria a generalizao quadri-dimensional da expresso que nos d a distncia entre dois pontos muito prximos no espao Euclidiano.

    Esse elemento de linha de um espao-tempo com quatro dimenses est correto sob o ponto de vista de dimenses fsicas (todos os termos tem dimen-ses de comprimento). No entanto, ele no adequado para descrever o espa-o-tempo quadri-dimensional, pois no invariante por uma transformao de Lorentz!

    Foi Minkowski quem mostrou que o elemento de linha invariante por uma transformao de Lorentz para um espao-tempo com 4 dimenses de-veria ser escrito como:

    ds2 = dx02 - dx12 - dx22 - dx32

    ou, equivalentemente,

    ds2 = - dx02 + dx12 + dx22 + dx32

    Com esse elemento de linha podemos falar de uma geometria do espa-o-tempo do mesmo modo como falamos da geometria do espao somente. Essa expresso o elemento de linha ou mtrica de um espao-tempo plano

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 255

    4-dimensional, tambm conhecido como espao-tempo de Minkowski. O conjunto de sinais (+ - - -) ou (- + + +) que antecedem os termos que

    formam as expresses acima chamado de assinatura da mtrica. Ambos os conjuntos de sinais so corretos. Os dois elementos de linha descritos acima, com as duas assinaturas de mtrica diferentes, so vlidos para descrever o espao-tempo de Minkowski e esse espao-tempo plano onde definimos a teoria da relatividade restrita.

    Como vimos anteriormente, podemos usar vrios sistemas de coordenadas para descrever um espao. Podemos usar as coordenadas cartesianas como feito acima, mas tambm podemos usar coordenadas cilndricas e esfricas, por exemplo. Mostramos em um dos itens anteriores que as coordenadas es-fricas so representadas por (, , ). As relaes entre as coordenadas carte-sianas (x, y, z) ou (x1, x2, x3) e as coordenadas esfricas (, , ) so dadas por:

    x = x1 = sen cos y = x2 = sen sen

    z = x3 = cos

    Se substituirmos isso na expresso da mtrica de Minkowski, dada acima, teremos a expresso dessa mtrica em coordenadas esfricas:

    ds2 = c2dt2 - dr2 - r2 (d2 + sen2 d2)

    Como dissemos antes, essa a expresso da distncia entre dois pontos em um espao-tempo quadri-dimensional em coordenadas esfricas. Ela inva-riante por uma transformao de Lorentz e, portanto, satisfaz s exigncias da teoria da relatividade especial. Essa expresso o elemento de linha de Minkowski ou mtrica de Minkowski em coordenadas esfricas.

    Um outro ponto a considerar que se voc compara a assinatura da mtri-ca Euclidiana em um espao-tempo quadri-dimensional qualquer com a m-trica de Minkowski, nota imediatamente a diferena de sinal que existe entre elas. A mtrica Euclidiana tem assinatura (+ + + +) enquanto que a mtrica de Minkowski, por satisfazer s transformaes de Lorentz, tem assinatura (+ - - -) ou (- + + +). A uma mtrica que possui assinatura semelhante mtrica de Minkowski ou seja, com sinais diferentes em seus termos no importando se (+ - - -) ou (- + + +), damos o nome de mtrica pseudo-euclidiana.

    O FATOR GAMA

    Em quase todas as relaes matemticas obtidas por Einstein na sua teoria da relatividade restrita surge um termo bastante caracterstico. Ele :

    onde c a velocidade da luz e v a velocidade de um objeto. Quando a velocidade de um objeto muito menor do que a velocidade da

    luz teremos que a diviso v/c d um resultado pequeno demais para ser consi-derado. Neste caso, o termo GAMA aproximadamente igual a 1 e dizemos, ento, que estamos em uma situao no relativstica ou seja, Newtoniana.

  • 256 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    O CONCEITO DE ENERGIA RELATIVSTICA

    Einstein mostrou que a expresso relativstica correta para a energia total de uma partcula de massa de repouso m0 e momentum p :

    E2= p2c2 + m02c4

    Essa uma das mais importantes e interessantes equaes da fsica relati-vstica. Vamos ver isso com detalhes.

    suponha que estamos estudando uma partcula que se desloca com velocidade v diferente de zero. Nesse caso, a equao acima se aplica sem qualquer problema pois o momentum p dado pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade ou seja, p = mv.

    e se a partcula estiver em repouso ou seja, tiver velocidade nula? Nesse caso v = 0 e consequentemente p= mv= 0. Nesse caso o primeiro termo da equao nulo e ela se reduz relao:

    E0= m0c2

    onde E0 a energia de repouso da partcula e m0 a massa que a part-cula possui quando est em repouso (v= 0). Note que essa equao nos diz que, mesmo em repouso, todo objeto possui uma energia residual no nula.

    e se a partcula no tiver massa? No caso em que m= 0 a equao acima tambm se aplica. S que agora o segundo termo da equao, m02c4, fica igual a zero. Temos ento, como expresso final, que:

    E= pc

    O leitor atento imediatamente pode reclamar: mas p= mv e se m= 0 ento o primeiro termo da equao tambm nulo! No bem assim. No caso de partculas de massa zero o momento p no mais dado pela expresso mv, mas sim por h onde h a constante de Planck e a frequncia de propagao da partcula sob a forma de onda.

    A expresso:

    E2= p2c2 + m02c4

    que relaciona a energia de repouso e a energia cintica de um corpo fre-quentemente escrita na forma:

    E= mc2

    relacionando a energia total e massa relativstica m do corpo. Podemos ento resumir as possveis expresses de energia da seguinte

    maneira:

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 257

    MASSA VELOCIDADE EQUAO DE ENERGIA

    m > 0

    v > 0

    E2= p2c2 + m02c4

    ouE= mc2

    (E a energia total, m0 massa de repouso e m massa relativstica)

    v = 0 E0= m0c2

    (E0 a energia de repouso)

    m = 0 v > 0 E= pc

    OS EFEITOS PECULIARES DAS VELOCIDADES RELATIVSTICAS

    A contrao do espao Considere dois observadores, cada um deles em um laboratrio de uma

    espaonave distinta. Nesses laboratrios eles possuem barras de medio. Uma das espaonaves est se movendo em relao outra a uma veloci-dade bem prxima velocidade da luz. A teoria da relatividade especial nos diz que:

    cada observador ver a barra de medio do outro observador mais curta do que a sua por um fator gama. A isso se d o nome de contrao do espao.

    A dilatao do tempo Considere dois observadores, cada um deles em um laboratrio de uma

    espaonave distinta. Em cada laboratrio existe relgios para a medio de tempo. Uma das espaonaves est se movendo em relao outra a uma velo-cidade bem prxima velocidade da luz. A teoria da relatividade especial nos diz que:

    cada observador (que se considera em repouso enquanto v o outro se movendo) ver o relgio situado no laboratrio da outra espaonave (a que est se movendo) contando o tempo de modo mais lento do que o seu prprio relgio por um fator gama. A isso se d o nome de dilatao do tempo.

  • 258 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    AS TRANSFORMAES DE SISTEMAS DE COORDENADAS EM MOVIMENTO

    Um dos mais importantes trabalhos surgidos nessa poca tratavam das transformaes existentes entre dois sistemas de coordenadas que estavam em movimento. Esse trabalho foi apresentado pelo fsico Lorentz e sobre ele Eins-tein se baseou para estabelecer os princpios da relatividade restrita.

    O ESPAO-TEMPO DE MINKOWSKI

    Durante sculos os fsicos falaram de uma geometria aplicada ao espao somente. Isso s veio a ser mudado com os trabalhos que levaram ao surgi-mento da teoria da relatividade restrita em 1905.

    As transformaes de Lorentz nos dizem como podemos unir as medies de espao com medies de tempo. Foi ele que nos mostrou como podemos estender as regras da geometria de Euclides, estabelecidas para medies espaciais apenas, de modo a incluir tambm medies temporais. Em 1905 Minkowski mostrou que isso podia ser feito e que era possvel falar de uma geometria do espao-tempo do mesmo modo como falamos da geometria do espao somente. As transformaes de Lorentz relacionam, desse modo, medies geomtricas feitas por observadores inerciais diferentes.

    Mas a geometria de Minkowski no realizvel na prtica porque a fora da gravidade probe a existncia de observadores inerciais capazes de usar tal geometria.

    Einstein, por conseguinte, teve a ideia de procurar uma nova geometria que, automaticamente, permitiria a existncia de observadores reais sujeitos fora da gravidade.

    Para muitos pode ser uma grande surpresa descobrir que no existe ape-nas uma geometria. Outras geometrias, diferentes da geometria euclidiana e coletivamente chamadas de geometrias no euclidianas, existem e so per-feitamente respeitveis, sendo assuntos de estudo que apresentam estruturas lgicas bastante auto-consistentes.

    Os matemticos levaram quase dois mil anos para apreciar este fato. As geometrias no-euclidianas s emergiram durante o sculo XVIII. Mesmo assim, estas geometrias eram consideradas apenas como elegantes exerccios intelectuais abstratos, sem qualquer relevncia para o mundo real.

    Foi para estas geometrias que Einstein se voltou a fim de expressar, de manei-ra quantitativa, suas novas ideias sobre gravitao. Mas antes de descrever como Einstein usou as geometrias no-euclidianas vamos ver como essas geometrias fornecem teoremas alternativos queles apresentados pela geometria de Euclides.

    O CONCEITO DE ESPAO-TEMPO

    Definimos espao-tempo como uma estrutura que combina as trs dimen-ses do espao com a dimenso nica de tempo. Essa juno nos fornece uma descrio nica para o espao e tempo que identificamos com o nome de con-tinuum do espao-tempo. bastante claro que a estrutura do espao-tempo quadri-dimensional.

    O tratamento do espao e tempo como sendo duas propriedades fsicas que podem ser unificadas foi uma criao do fsico Hermann Minkowski logo de-pois da teoria da relatividade restrita ter sido apresentada por Poincar e Eins-tein em 1905. Minkowski apresentou esse novo e surpreendente conceito em um trabalho publicado em 1908 no qual ele ampliava o trabalho de Einstein sobre a teoria da relatividade restrita. Foi Minkowski o primeiro a mostrar que

    38 As

    Transformaes de sistemas de

    coordenadas em movimento

    Ilustrao de conceito de Espao-Tempo.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 259

    o conceito de espao e tempo como uma entidade nica ou seja, espao-tempo, permitia um melhor entendimento dos fenmenos relativsticos.

    importante notar que na teoria da relatividade restrita, assim como na teoria da relatividade geral, a descrio do espao e do tempo por meio de uma nica estrutura, o espao-tempo, absolutamente fundamental. No possvel separar espao e tempo quando analisamos fenmenos fsicos nessas teorias, como fazamos na teoria Galileana e Newtoniana, e um descuido pode nos levar a interpretaes absolutamente erradas.

    Poderamos perguntar de que modo unificar grandezas com propriedades to distintas. Sabemos que tempo medido em segundos, horas, etc enquan-to que espao ou seja, comprimento, medido em metros, quilmetros, etc. Como fazer essa unio matematicamente? Isso feito multiplicando-se o ter-mo associado ao tempo pela velocidade da luz, o que d uma medida de espao uma vez que espao= velocidade x tempo.

    Para a fsica, o espao-tempo a arena onde todos os eventos fsicos acon-tecem. No entanto, cabe ressaltar que existem vrios tipos de espaos-tempo e fenmenos diferentes que podem ocorrer em diferentes espaos-tempo.

    Tanto a teoria da relatividade restrita como a teoria da relatividade geral trabalham com um espao-tempo que possui quatro dimenses, trs espa-ciais e uma temporal. Por que assim e no, por exemplo, duas dimenses espaciais e duas temporais? Ocorre que a nossa percepo exige que tenhamos trs dimenses espaciais para descrever a posio de um corpo no espao. O tipo de coordenadas usadas no importa, elas podem ser cartesianas, esfricas, cilndricas, ou qualquer outra, mas o nmero mnimo de dimenses espaciais sempre trs. Quanto ao fato de considerarmos apenas uma dimenso tem-poral isso tambm se deve ao fato de que para descrevermos as equaes da dinmica ou seja, da evoluo temporal dos sistemas fsicos, precisamos de um nico tempo. No h qualquer processo fsico que exija a definio de uma outra varivel semelhante ao tempo para que possamos descrever a evoluo de um sistema qualquer.

    Cabe aqui ressaltar que o problema do nmero verdadeiro de dimen-ses no nosso Universo ainda um assunto sob discusso. Existem teorias que nos falam de cinco dimenses (teorias de Kaluza-Klein), assim como teorias que nos falam de at mesmo 10 dimenses. No entanto, em todas essas teorias o nmero de dimenses superiores a quatro esto enroladas de tal modo que no as percebemos. Essas dimenses extras pertencem apenas s estruturas subatmicas existentes, mas so muito importantes quando tratamos dos estgios iniciais do Universo (veremos esse assunto mais tarde).

    A CONFUSO SOBRE A QUARTA DIMENSO

    claro que um conceito to revolucionrio como a introduo de quatro dimenses para descrever os fenmenos fsicos relativsticos logo despertou a curiosidade do mundo cientfico e dos msticos de planto. Como sempre acontece, algumas pessoas, embora sem entender possivelmente uma nica li-nha dos trabalhos de Einstein e das propostas de Minkowski sobre um assunto to tcnico, imediatamente se adiantaram e passaram a explicar os chama-dos fenmenos sobrenaturais usando o conceito de quarta dimenso. Era fcil justificar fantasmas ou qualquer outra coisa do gnero alegando que estes pertenciam a uma quarta dimenso e que a teoria da relatividade nada mais era do que a comprovao matemtica de que esses fenmenos realmente existiam. O termo quarta dimenso foi introduzido pelo escritor ingls de fico cientfica H. G. Well em 1895 na sua novela A Mquina do Tempo.

    H. G. Well (1866 - 1946).

  • 260 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Sem querer entrar no mrito da existncia ou no de fantasmas, almas do outro mundo, mula sem cabea, ou qualquer outra coisa, bom ficar bem claro que a formulao da teoria da relatividade, restrita ou geral, em quatro dimenses apenas um belssimo artifcio matemtico usado para melhor explicar fenmenos relativsticos. Talvez voc no saiba, mas outras teorias f-sicas descrevem seus fenmenos em espaos com mais de trs dimenses. Por exemplo, a teoria que trata do movimento de fluidos, chamada teoria cintica dos gases, trabalha nos chamados espaos de fase que possuem seis dimen-ses. Como dito acima a teoria de Kaluza-Klein descreve o universo em cinco dimenses. As novas teorias de superstrings precisam de mais de 10 dimenses para descrever sua estrutura matemtica. Nenhuma delas traz espritos do ou-tro mundo para o nosso. O que elas nos trazem uma belssima, mas muito difcil, matemtica para a mesa de trabalho.

    Para aqueles que acreditam nos chamados fenmenos paranormais certamente no ser o estudo da teoria da relatividade que ir comprovar qualquer coisa nessa rea. melhor deixar a teoria relativstica quieta no seu canto, tratando apenas dos fenmenos ou com velocidades prximas da luz ou em espaos-tempo com curvatura.

    OS ELEMENTOS BSICOS DO ESPAO-TEMPO

    Os elementos bsicos do espao-tempo so os eventos. Um evento qualquer fenmeno que ocorre no espao-tempo. Uma estrela explodir em uma galxia distante tratado como evento no espao-tempo. Em qualquer dado espao-tem-po um evento ocorre em uma posio nica e em um instante de tempo nico.

    Um evento marca um ponto no espao-tempo. Se o processo fsico des-crito por esse evento evolui ao longo do tempo ele ser representado sob a forma de uma linha no espao-tempo onde cada um de seus pontos representa a evoluo temporal do evento ou seja, a sequncia de posies e instantes de tempo que mostram como uma dada situao fsica evoluiu. A essa linha damos o nome de linha do universo do processo fsico. Por exemplo, voc est parado no ponto do nibus (um evento), segundos depois voc faz sinal para um nibus (outro evento), voc entra no nibus (outro evento), etc. Todos esses eventos formam uma nica linha do universo que descreve a evoluo temporal dessa parte do seu dia.

    Embora o espao-tempo seja independente do observador para descrever um determinado fenmeno fsico que ocorre em um dado instante de tempo e em uma dada regio do espao, cada observador precisa escolher um sistema de coordenadas conveniente. Isso bastante lgico pois cada evento descrito por quatro coordenadas, trs espaciais e uma temporal.

    Para estudar as propriedades do espao-tempo precisamos definir outras de suas propriedades. Para simplificar, vamos considerar em primeiro lugar uma geometria Euclidiana ou seja, um espao-tempo plano.

    J vimos que um espao-tempo plano descrito pelo elemento de linha de Minkowski. Vamos analis-lo pois a partir dele podemos obter informaes muito importantes que podem ser generalizadas para qualquer espao-tempo.

    A mtrica, ou elemento de linha, do espao-tempo de Minkowski escrita como:

    ds2 = dx02 - dx1

    2 - dx22 - dx3

    2

    Nesse elemento de linha sabemos que dx0 representa o produto cdt assim como dx1= dx, dx2 = dy e dx3 = dz. Da podemos escrever o elemento de linha de Minkowski como:

    Evento: Um ponto no espao-tempo.

    Linha do Universo: A evoluo de um evento ao longo do espao-tempo.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 261

    ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2

    Vamos considerar inicialmente o caso em que c2dt2 > (dx2 + dy2 + dz2). Isso significa que ds2 vai ter um valor positivo ou seja ds2 > 0. Como a parte que envolve tempo, que chamaremos aqui de parte temporal, maior do que a parte espacial dizemos que o elemento de linha do tipo-tempo.

    Vimos anteriormente que, num espao tridimensional (dx2 + dy2 + dz2) corresponde ao comprimento de um vetor x qualquer. Podemos ento escrever que c2dt2 > dx2, onde dx2 representa dx2 + dy2 + dz2. Consequentemente c > dx/dt. Como dx/dt nos diz de que modo a coordenada espacial varia no tempo, isso representa velocidade (lembre que espao = velocidade x tempo e ento espao/tempo = velocidade). Da, para um intervalo tipo-tempo, c > v. Esse importante resultado nos diz que a regio do espao-tempo onde o elemento de linha tipo-tempo a velocidade da luz, c, maior do que aquela desenvol-vida por qualquer outro objeto fsico.

    Considere agora o caso em que c2dt2 < (dx2 + dy2 + dz2). Isso significa que ds2 vai ter um valor negativo ou seja ds2 < 0. Como a parte que envolve coorde-nadas espaciais, a parte espacial, maior do que a parte temporal dizemos que o elemento de linha do tipo-espao.

    Considerando o que foi dito no caso anterior, temos que c2dt2 < dx2. Con-sequentemente c < dx/dt. Ento, para um intervalo tipo-espao, c < v. Esse resultado nos diz que a regio do espao-tempo, onde o elemento de linha tipo-espao a velocidade da luz, c, menor do que aquela desenvolvida por qualquer corpo material. Isso viola um dos princpios da teoria da relativida-de espacial.

    Finalmente vamos considerar o caso em que c2dt2 = (dx2 + dy2 + dz2). Isso significa que ds2 vai ter um valor igual a zero ou seja ds2 = 0. Nesse caso c2dt2 = dx2 e ento c= dx/dt. Como consequncia c = v e isso nos diz que essa situao representa todos os corpos que se movem com a velocidade da luz. A esse tipo de intervalo damos o nome de tipo-luz ou nulo.

    Vemos, portanto, que o espao-tempo possui trs regies com caractersti-cas bem distintas. Seria possvel mostrar isso em um diagrama?

    O espao-tempo possui quatro dimenses. Sabemos que impossvel tra-ar uma figura com quatro dimenses. O que fazer? Se queremos representar o elemento de linha de Minkowski graficamente precisamos reduzir o problema de modo a obter uma figura em trs dimenses. Para isso, consideraremos apenas duas dimenses espaciais e a dimenso temporal, uma vez que que-remos ver a evoluo dos fenmenos fsicos. A mtrica de Minkowski ento escrita como:

    ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2

    Para continuarmos preciso lembrar um pouco de geometria. Essa parte da matemtica nos diz que a forma geral da equao de uma hiprbole :

    Ax2 + By2 = C

    onde A e B diferem em sinal.

    Duas hiprboles so conjugadas quando os eixos transverso e conjugado de uma so, respectivamente, os eixos conjugado e transverso da outra. Para obt-las basta trocar os sinais dos coeficientes de x2 e y2 na equao geral da hiprbole mostrada acima.

  • 262 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Sempre que, em uma das formas tpicas da equao de uma hiprbole, substituirmos o termo constante por zero a nova equao nos mostrar que a figura vai se reduzir a um par de retas. Essas retas so chamadas de assntotas da hiprbole. Assim, as assntotas da hiprbole:

    b2x2 - a2y2 = c2 (Figura A)

    so as retas b2x2 - a2y2 = 0, ou seja

    bx + ay = 0 (Figura B)bx - ay = 0

    duas retas que passam pela origem e formam os ngulos - b/a e b/a com o eixo dos x.

    Uma das propriedades das hiprboles que seus ramos se aproximam in-definidamente de suas assntotas ao mesmo tempo em que o ponto que des-creve a curva se afasta para o infinito. Alm disso, duas hiprboles conjugadas tm as mesmas assntotas como vemos na figura ao lado.

    Uma outra propriedade que quando os eixos de uma hiprbole so iguais ou seja, a= b, diz-se que a hiprbole equiltera. Nesse caso suas assntotas so retas perpendiculares.

    Certamente voc j notou que o grfico da hiprbole discutido acima est situado no plano ou seja, bidimensional. Se pensarmos na mtrica de Minkowski dada em apenas duas dimenses, ou seja,

    ds2 = c2dt2 - dx2

    imediatamente identificamos essa equao com a de uma hiprbole. Fa-zendo c= 1 isso fica ainda mais claro

    ds2 = dt2 - dx2

    Essa a equao de uma hiprbole plana equiltera (uma vez que a= b). Suas assntotas so duas retas perpendiculares dadas por

    dt - dx = 0 (Figura C)dt + dx = 0

    Como representamos isso no plano? A figura ao lado mostra:

    Figura A

    Figura B

    Figura C

    Geometria de duas hiprboles conjugadas.

    Hiprbole equiltera.

    Assntotas da hiprbole

    Diagrama do espao-tempo da mtrica de Minkwski, em duas dimenses.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 263

    Esse o diagrama do espao-tempo da mtrica de Minkowski que es-tudaremos a seguir. Note que os eixos coordenados agora representam uma coordenada espacial e uma temporal.

    O leitor atento est desconfiado com essa deduo: o espao-tempo qua-drimensional; alegando no poder fazer uma figura em quatro dimenses as reduzimos a duas coordenadas espaciais e uma temporal e agora mostramos o diagrama usando apenas duas dimenses, uma espacial e uma temporal!

    A justificativa muito simples. Obtivemos o diagrama em apenas duas di-menses por que ele fica muito mais simples de ser visualizado. No entanto, podemos girar esta hiprbole em torno do eixo temporal e vamos obter dois cones com um vrtice comum. A esse conjunto de cones damos o nome de cone de luz. Claro que voc est perguntando se tudo isso pode ser demons-trado em trs dimenses. claro que sim. Existe uma parte da geometria que estuda as chamadas superfcies qudricas que possuem trs dimenses. Entre elas temos as chamadas qudricas centradas cuja equao geral do tipo:

    x2/a2 y2/b2 z2/c2 = 1

    onde a, b e c so constantes. Quando dois sinais dessa equao so positi-vos e um deles negativo a figura chamada de hiperbolide de uma folha (Figura D).

    Quando apenas um dos sinais positivo a figura um hiperbolide de duas folhas. (Figura E)

    Tudo isso poderia ser demonstrado por meio de hiperbolides mas no se-ria to simples. Fazer a deduo acima em duas dimenses e pensar na rotao da figura em torno de um eixo vertical muito mais acessvel.

    Generalizando para 4 dimenses dizemos que ds2 = 0 gera um cone no hiperespao ou seja, um hipercone. Se a dimenso z suprimida, por exemplo, (e passamos o estudo para trs dimenses) este hipercone ser apenas um cone de revoluo em torno do eixo t. A esse cone damos o nome de cone de luz (Figura F).

    Em geral representamos o cone de luz na forma mostrada ao lado (Figura G). O plano verde representa todos os eventos que esto ocorrendo no espao--tempo em um determinado instante de tempo. Este o instante presente, a reunio de todos os eventos que esto ocorrendo simultaneamente. Note que para cada evento teremos um nico cone de luz que nos d sua evoluo tem-poral. Dentro do cone de luz est a linha do universo do evento, ou seja, toda a descrio de sua dinmica.

    Cada evento define um cone de luz no espao-tempo (Figura H). A parte superior desse cone de luz, que representa o crescimento da coordenada tem-poral t, est representando o futuro desse evento. A parte de baixo do cone de luz, que nos mostra os valores da coordenada t que antecederam posio e instante atual do evento considerado, representam o passado. A linha de universo desse evento, ou seja, a evoluo dinmica que ele tem, ficar sempre contida no interior desse cone indo do passado para o futuro.

    Figura F

    Figura D Figura E

    Figura G

    Figura H

    Hiprbole de uma folha. Hiprbole de duas folhas. Cone de luz.

  • 264 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Na Figura I vemos tambm que o cone de luz divide em duas regies a vizi-nhana infinitesimal do espao tempo em torno de um ponto O de coordena-das x = 0, y = 0, z = 0, t = 0. A parte interior do cone contm linhas que passam por O e so chamadas de linhas tipo-tempo. A regio exterior do cone contm linhas tipo-espao. As linhas que passam pelo ponto O e esto localizadas sobre o hipercone tm ds2 = 0 e correspondem a pontos que se movem com a velocidade da luz tais como os ftons. Essas so as chamadas linhas nulas.

    Um ponto importante na anlise dos cones de luz diz respeito questo da causalidade. Sabemos que todo efeito tem uma causa e isso possui uma estrutura temporal que exige que a causa anteceda ao efeito. O princpio da causalidade exige que a causa (por exemplo, jogar na loteria) seja realizada antes do efeito (ganhar na loteria). Dizemos ento que os eventos causalmente relacionados esto dentro do cone de luz na regio do futuro. Isso nos diz que um evento para ocorrer na natureza precisa ser tipo-tempo. Dito de outra forma, pontos cuja separao tipo-tempo esto em comunicao. Os eventos A e B que esto sobre a linha de universo azul da Figura J esto causalmente relacionados: veja que o evento A ocorre antes do evento B.

    Isso no acontece para pontos que so tipo-espao. Nesse caso o princ-pio da causalidade rompido: na regio tipo-espao voc pode encontrar dois fenmenos (causa e efeito) ocorrendo no mesmo instante de tempo t, como mostra a figura ao lado.

    Nela os pontos A e B, situados sobre o eixo X, ocorrem no mesmo instante de tempo pois sua coordenada t a mesma. Isso quer dizer que as informaes emitidas por A, por exemplo, atingem B instantaneamente (velocidade infini-ta) violando o princpio relativstico de que a maior velocidade em que uma informao pode ser transportada a velocidade da luz. Dizemos ento que se dois pontos x e y so separados por um intervalo tipo-espao nada que acon-tece em x pode ter qualquer influncia causal direta sobre o que acontece em y.

    Um outro ponto muito importante aquele que diz respeito classificao de geodsicas ou melhor, as linhas mais curtas entre dois pontos. Linhas do universo de partculas ou objetos que se deslocam em velocidade constante so geodsicas. Dizemos que uma geodsica tipo-tempo, nula, ou tipo-espa-o se o vetor tangente a ela em algum ponto classificado dessa maneira. Isso muito importante pois as trajetrias das partculas materiais, assim como do fton, no espao-tempo sempre so representadas por geodsicas. As part-culas materiais so representadas por geodsicas tipo-tempo enquanto que os ftons so representados por geodsicas nulas (ou tipo-luz).

    Na teoria relativstica da gravitao sempre procuramos estudar o conti-nuum do espao-tempo que possui alguma forma de simetria. A razo para isso o fato de que a matemtica envolvida nesse estudo muito complexa e difcil de tratar, exceto quando essas simetrias aparecem. por essa razo que comumente estudamos espaos-tempo ou com simetria axial (um cilindro por exemplo) ou com simetria esfrica (uma esfera), bem mais fceis de lidar do que espaos-tempo sem simetria.

    Outros tipos de espaos-tempo comumente considerados, pela simpli-ficao que introduzem nos problemas, so os espao-tempo estticos e estacionrios.

    Como veremos mais tarde, no espao-tempo esttico as componentes do tensor mtrico g podem ser escolhidas de modo a nenhuma delas depender do tempo e ter iguais a zero as componentes que envolvem as coordenada tem-po e espao misturadas (goi = 0, onde o equivale a t e i equivale a x, y ou z por exemplo, em coordenadas cartesianas). Em um espao-tempo estacionrio esses termos no so, em geral, iguais a zero. Todo espao-tempo esttico estacionrio mas o inverso no verdade.

    Figura I

    Figura J

    Interpretaes do cone de luz.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 265

    POR QUE O ESPAO-TEMPO POSSUI ESSAS CARACTERSTICAS?

    Uma questo que sempre surge porque o espao-tempo teria as caracters-ticas que descrevemos: trs dimenses espaciais bidirecionais e uma dimenso temporal unidirecional. Por que no poderia ser um pouco diferente disso?

    Falamos muito ligeiramente sobre isso anteriormente, mas vamos discutir esses pontos com um pouco mais de detalhes agora.

    A resposta mais simples a essas questes seria declarar que isso aconteceu por acaso ou que isso uma pergunta que no tem significado nem fsico nem mate-mtico. Ocorre que alguns cientistas se preocuparam em analisar com detalhes essas questes e chegaram concluso de que, ao contrrio do que afirmamos acima, nenhuma das duas sugestes de respostas est correta. Eles mostraram que todos os outros possveis nmeros de dimenses tanto temporais como espa-ciais conduzem a uma ou mais das seguintes situaes problemticas:

    o passado no determina o futuro. Isso quer dizer que as leis da fsica so impossveis e os fenmenos naturais imprevisveis. Isso ocorre em todos os casos onde tanto o nmero de dimenses espaciais como de temporais superior a dois.

    a gravitao no produz rbitas estveis e o eletromagnetismo no produz tomos e molculas estveis. Os prtons e os eltrons tm meias-vidas curtas.

    dos nove casos possveis com no mais do que duas dimenses espa-ciais e duas temporais, os trs casos que so estveis e previsveis no permitem a existncia de matria com qualquer complexidade tais como seres vivos com sistema nervoso.

    com duas excees, todos os casos com mais de uma dimenso tem-poral so instveis ou imprevisveis. Uma exceo no permite com-plexidade. A outra exceo, o caso de trs dimenses temporais e uma dimenso espacial, exige que toda a matria tenha uma velocidade que excede a velocidade da luz no vcuo.

    Parece que complexidade, vida e processamento de informao somente so possveis em um universo sujeito ao espao-tempo que definimos ou seja, com trs dimenses espaciais e uma dimenso temporal. Esse fato um exem-plo de raciocnio antrpico. Teorias que propem que o universo tem mais de trs dimenses espaciais, tais como a teoria de Kaluza-Klein ou a teoria de cordas, no aniquilam o estado privilegiado do espao-tempo, porque as dimenses espaciais acima de trs somente importam para comprimentos da ordem do dimetro de partculas subatmicas.

    Immanuel Kant imaginou que o espao tinha trs dimenses porque a lei da gravitao universal entre dois objetos proporcional ao inverso do quadrado da distncia que os separa. O argumento de Kant historicamente importante mas pe o carro na frente dos bois. A lei da gravitao resulta da dimensionalidade do espao. De modo mais geral, em um espao com N dimenses, a intensidade da atrao gravitacional entre dois corpos separados por uma distncia d inversamente proporcional a dN-1.

    Paul Ehrenfest mostrou em 1917 (Annalen der Physik, 61, 440) que se o nmero de dimenses espaciais superior a trs, as rbitas de um planeta qualquer em torno de sua estrela no pode permanecer estvel. O mesmo ocorre para a rbita da estrela em torno do centro da galxia qual a estrela pertence. Do mesmo modo, eltrons no podem ter rbitas estveis em torno

  • 266 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    de um ncleo: eles ou caem na direo do ncleo ou se dispersam. Ehrenfest tambm notou que se o espao tem um nmero par de dimenses, ento as partes diferentes de um impulso de onda se deslocaro a velocidades diferen-tes. Se o nmero de dimenses mpar e maior do que trs, os impulsos de onda se tornaro distorcidos. Somente com trs dimenses ambos os proble-mas so evitados.

    Tegmak em 1977 (Classical and Quantum Gravity, 14, L69-L75) fez o se-guinte argumento antrpico. Se o nmero de dimenses temporais diferisse de 1, o comportamento dos sistemas fsicos no poderia ser previsto com con-fiana a partir do conhecimento das equaes diferenciais parciais relevantes. Em tal universo vida inteligente capaz de manipular tecnologia no poderia surgir. Se o espao tivesse mais do que trs dimenses, os tomos tais como ns os conhecemos (e, provavelmente, tambm estruturas mais complexas) no poderiam existir. Se o espao tivesse menos do que trs dimenses a gra-vitao de qualquer tipo se tornaria problemtica e o universo seria simples demais para conter observadores.

    Um outro ponto importante o fato de que existem afirmaes geomtri-cas cuja verdade ou falsidade conhecida para qualquer nmero de dimenses espaciais exceto trs. Curiosamente o espao tridimensional parece ser o mais rico matematicamente.

    A GEOMETRIA DO ESPAO-TEMPO

    Veremos em um dos prximos itens que a teoria da relatividade geral nos conduz a uma equao onde o lado esquerdo descreve a geometria do espao-tempo e o lado direito o seu contedo de matria.

    fcil entendermos porque a equao acima precisa de um termo para descrever o contedo de matria do espao-tempo. Afinal, vimos no mdulo anterior que o Universo possui uma inacreditvel fauna de objetos, galxias, aglomerados de galxias, superaglomerados de galxias, tudo isso distribu-do segundo uma hierarquia que precisa ser explicada. Qualquer teoria que tenha a inteno de descrever o universo tem que levar em conta o que existe dentro dele.

    No entanto, poderamos imediatamente questionar porque o lado esquer-do da equao exige uma geometria. Por que geometria? Existe mais de uma geometria? A geometria do espao-tempo a mesma que usamos na nossa vida diria? Se no , por que razo ela diferente?

    Para explicar a necessidade de descrever o espao-tempo por meio de uma geometria devemos primeiro entender o que ela significa. Vamos, ento, apre-sentar a matemtica que descreve o espao-tempo.

    A GEOMETRIA DOS ESPAOS CURVOS OU GEOMETRIA NO-EUCLIDIANA

    Vimos que a geometria Euclidiana funcionava muito bem em superfcies planas, o que era de se esperar. Afinal, a geometria Euclidiana uma geome-tria plana.

    Ento, como podemos definir situaes geomtricas sobre uma superf-cie curva? Certamente a geometria Euclidiana no satisfatria como ser mostrado.

    39 A Geometria do Espao-Tempo

    geometria do espao-tempo = contedo de matria-energia do espao

    Os leitores interessados em ler mais sobre esse assunto devem procurar os dois livros

    abaixo:

    John D. Barrow e Frank J. Tipler The Anthropic Cosmological Principle

    (1986) John D. Barrow The Constants of

    Nature (2002)

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 267

    Vimos que na geometria Euclidiana a soma dos ngulos internos de um tringulo d sempre o valor de 180o. Quando traamos o mesmo ngulo sobre uma superfcie curva isso j no mais verdade. Era preciso ento estabelecer uma nova geometria que pudesse resolver essas questes.

    Surge ento a seguinte pergunta: a Terra uma (quase) esfera, a geometria de Euclides funciona na Terra, ento porque a geometria de Euclides no pode explicar uma geometria curva? Ocorre que, localmente, podemos considerar que estamos trabalhando em um plano. Entretanto, quando precisamos con-siderar grandes distncias sobre a superfcie da Terra a geometria de Euclides tambm no funciona. Isso visto em navegao de longo curso, onde a cur-vatura da Terra no pode ser desprezada.

    Para desenvolver uma geometria de espaos curvos foi necessria a cola-borao de pesquisadores que marcaram a histria da matemtica. Entre esses nomes estavam Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann. S que o preo pago por alguns desses matemticos foi absurdamente alto. A hostilidade desper-tada a essas ideias fez com que esses matemticos, com exceo de Gauss e Riemann, fossem duramente rejeitados por seus colegas e pelo pblico.

    Johann Carl Friedrich Gauss Este foi o maior matemtico de sua poca. J aos sete anos de idade, ainda

    na escola elementar, Gauss mostrou seu potencial matemtico ao demonstrar, quase imediatamente, a seus professores a soma dos nmeros inteiros de 1 a 100 notando que isso representava a soma de 50 pares de nmeros e que a soma dos nmeros de cada par dava sempre o resultado 101.

    Desde o incio dos anos de 1800 Gauss comeou a se interessar pela ques-to da possvel existncia de geometrias no-Euclidianas. Sabemos a partir dos seus livros de anotaes que Gauss desenvolveu partes de uma nova ge-ometria, no Euclidiana, j nos anos de 1820. No entanto, Gauss sabia que a existncia de uma geometria no Euclidiana faria uma perturbao imensa na matemtica. Mais ainda, ele notou que a reao de seus colegas a essa des-coberta, e a qualquer um que a apoiasse publicamente, seria extremamente dura. Desse modo, Gauss preferiu manter seu status social e no divulgou os resultados de sua pesquisa. Deve ficar claro, entretanto, que Gauss no se acovardou cientificamente. Ele manteve correspondncia sobre o assunto com vrios matemticos de sua poca, embora sem adaptar seu extenso trabalho para a forma de artigo cientfico.

    Gauss tambm demonstrou grande interesse na chamada geometria diferen-cial. Ele publicou vrios artigos sobre esse assunto e em 1828 apresentou um dos seus mais importantes artigos onde estava contido o famoso teorema egregium, alm de importantes ideias geomtricas tais como a curvatura Gaussiana.

    Jnos Bolyai Jnos Bolyai foi uma criana prodgio. Filho do matemtico Farkas Bolyai,

    ele teve toda a sua infncia voltada para o aprendizado da matemtica. Tendo seu pai como professor, aos treze anos Jnos Bolyai j dominava todo o clculo e vrias formas de mecnica analtica.

    Em 1832, aps cinco anos de estudos, Bolyai publicou os resultados de sua pesquisa sobre geometrias no-Euclidianas como um apndice a um trabalho volumoso de seu pai, o matemtico Farkas Bolyai.

    Bolyai teve uma vida dura. Ele morreu em 1860 e a cerimnia de seu en-terro parecia um ritual de esquecimento. Apenas trs pessoas estiveram pre-sentes para ver seus restos mortais serem colocados em um tmulo coletivo sem lpide. O registro de sua morte na igreja dizia apenas: Sua vida passou inutilmente.

    Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).

    Jnos Bolyai (1802 - 1860).

  • 268 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Curiosamente, Bolyai nunca publicou seus trabalhos, exceto algumas pou-cas pginas no apndice do livro de seu pai. No entanto, ele deixou mais de 2000 pginas de manuscritos de trabalhos sobre matemtica desenvolvidos por ele at a sua morte.

    A imagem de Bolyai mostrada anteriormente foi tirada de um selo postal usado na Hungria. Alguns historiadores no acreditam que ela seja autntica. Possivelmente no existem imagens do grande matemtico Jnos Bolyai.

    Nicolai Ivanovich Lobachevski Lobachevski era um dos trs filhos de uma famlia russa muito pobre. Em

    1800, quando Lobachevski tinha apenas sete anos de idade, seu pai faleceu e sua me mudou-se para a cidade de Kazan, prxima fronteira com a Sibria. L, Lobachevski comeou seus estudos, sempre financiado por bolsas escola-res devido pobreza de sua famlia.

    Em 1804 o Czar Alexander I da Rssia reformou a Universidade de Kazan e convidou vrios professores estrangeiros, principalmente da Alemanha, para ensinarem na Universidade. Um desses professores era Martin Bartels (1769 - 1833) que ocupou o cargo de professor de matemtica. Bartels era muito amigo de Gauss e os dois se correspondiam sobre assuntos cientficos com bastante frequncia. Foi Bartels que fez com que Lobachevski, inicial-mente interessado em estudar medicina, se apaixonasse pela matemtica.

    O principal trabalho de Lobachevski foi Geometriya terminado em 1823 mas somente no dia 23 de fevereiro de 1826 que ele fez sua famosa apresenta-o Sobre os Fundamentos da Geometria em uma sesso do Conselho Cien-tfico do Departamento de Fsica e Matemtica da Universidade de Kazan. Esse trabalho foi publicado em 1829.

    O interesse de Lobachevski na geometria no-Euclidiana fez com que ele fosse visto na Rssia como uma pessoa excntrica, para usarmos um termo delicado. Ele foi atacado em um artigo humilhante e ignorante publicado no peridico O Filho da Ptria ao mesmo tempo em que membros distintos da comunidade de matemticos russos faziam zombarias e publicavam rudes comentrios sobre ele. Todos os estudantes de Lobatchevski o abandonaram e no seu funeral, quando era comum serem realizados discursos enaltecendo a obra do defunto, nada foi dito sobre o assunto que foi a principal investigao de sua vida: a geometria no-Euclidiana.

    POR QUE PRECISAMOS DE GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS?

    Que tipo de argumento cientfico poderia ter chamado a ateno de ma-temticos to ilustres como Nikolai Lobachevski, Jnos Bolyai, Carl Gauss e Bernhard Riemann para que dedicassem parte de sua vida a estabelecer uma geometria que ia contra o senso comum, a vida diria?

    Basicamente o que esses pesquisadores investigavam era o que ocorreria se eles desprezassem o quinto postulado de Euclides e considerassem exatamente o oposto ou seja, que atravs de um ponto C no situado sobre uma dada linha reta AB, pudssemos traar no uma mas duas, e consequentemente um n-mero infinito, de linhas paralelas a AB.

    A tarefa agora passava a ser construir uma geometria baseada nesse novo axioma. A ideia subjacente a isso era que se o quinto postulado era realmente um teorema, ento, mais cedo ou mais tarde, a nova geometria conteria con-tradies lgicas, o que significaria que a suposio inicial estava errada e o quinto postulado estaria ento provado.

    Nikolai Ivannovich Lobachevsky (1792 - 1856).

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 269

    S que, aps construir essa nova geometria, os matemticos no encon-traram contradies. Mais ainda, eles descobriram que tinham uma nova e elegante geometria com vrias caractersticas interessantes e nicas.

    Por exemplo, nessa nova geometria a soma dos ngulos internos de um tringulo era menor do que 180o e de fato dependia das dimenses lineares do tringulo.

    Essa nova geometria era bastante particular. Em uma regio bastante pe-quena do espao essa nova geometria era praticamente Euclidiana mas em grandes regies as duas eram essencialmente diferentes.

    importante notar que tanto Lobachevski como Gauss no se limitaram aos aspectos matemticos dessa importante descoberta. Eles imediatamente comearam a pensar como essa nova geometria poderia estar relacionada com o mundo fsico. Eles queriam saber qual das duas geometrias, a Eucli-diana ou a no-Euclidiana recm descoberta, descrevia realmente o espao. Tentando responder a essa questo, Gauss tentou medir a soma dos ngulos de um tringulo formado por trs montanhas. Lobachevski tentou fazer a mesma medida s que usando um tringulo bem maior formado por duas posies da Terra em sua rbita e uma estrela distante de paralaxe conheci-da. Infelizmente nenhum dos dois foi bem sucedido, pois, naquela poca eles no dispunham de equipamentos capazes de fornecer a preciso necessria para essas medidas.

    Vamos explicar melhor o que uma geometria no-Euclidiana. Suponha que a Terra perfeitamente esfrica e que ela habitada por seres

    planos, criaturas absolutamente sem graa que tm apenas duas dimenses e que no percebem o sentido de altura. Lembre-se que estas criaturas se deslocam se arrastando sobre a superfcie terrestre.

    O mtodo usado por estas criaturas para identificar linhas retas como sendo as linhas de mais curta distncia entre dois pontos consiste em esten-der linhas atravs da superfcie conectando dois pontos quaisquer. Para essas criaturas, essa linha parece ser uma reta medida que elas se movem ao longo delas, uma vez que as direes de chegada ou de partida dessas criaturas em qualquer ponto sobre a linha tem ngulo zero entre elas.

    Com esta definio, os seres planos encontram que todas as linhas retas se interceptam e que movendo-se ao longo de qualquer linha reta eles final-mente retornam ao seu ponto de partida (lembre-se que os seres planos esto vivendo sobre a superfcie de uma esfera). Eles tambm descobrem que a soma dos trs ngulos internos de qualquer tringulo que eles desenham sobre a Terra no d mais como resultado o valor correspondente a dois ngulos retos como ocorre na geometria de Euclides. Em vez disso, a soma desses trs n-gulos internos sempre excede dois ngulos retos. A figura ao lado mostra uma situao onde a soma igual a trs ngulos retos.

    Ao contrrio da geometria Euclidiana, as geometrias que estamos agora apresentando so definidas sobre a superfcie de uma esfera ou de um hiper-bolide (algo parecido com a sela de um cavalo)

    As imagens a seguir mostram essas duas geometrias. Dizemos que uma superfcie esfrica tem uma curvatura positiva enquanto que a superfcie de um hiperbolide tem curvatura negativa.

    Vemos que em uma superfcie com curvatura positiva a soma dos ngulos internos de um tringulo traado nessa superfcie maior que 180 graus. No caso de uma superfcie com curvatura negativa a soma desses ngulos inter-nos ser menor que 180 graus.

    Neste caso, a soma dos ngulos internos do tringulo igual a 270.

  • 270 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Como a Teoria da Gravitao de Einstein prev, a existncia de curvatura no espao-tempo necessariamente ter que utilizar as geometrias no-Euclidianas.

    Existe um nmero muito grande de espaos possveis e cada um deles tem sua prpria geometria. Todos eles so igualmente vlidos e auto-consistentes. O espao Euclidiano, por exemplo, uniforme. Ele homogneo e isotrpico.

    Por homogneo queremos dizer que suas propriedades so as mesmas em qualquer local definido sobre ele.

    Ser isotrpico significa que suas propriedades no dependem da direo em que so consideradas.

    Alm disso, o espao Euclidiano tem uma geometria de congruncia. Isso quer dizer que nele todas as formas espaciais so invariantes sob translao e/ou rotao. De todos os possveis espaos no-Euclidianos existem somente dois que tambm so uniformes (ou seja, homogneos e isotrpicos) do mes-mo modo que o espao Euclidiano. Ambos foram descobertos no sculo XIX.

    O primeiro tem uma geometria hiperblica e foi descoberto a partir dos trabalhos do matemtico alemo Johann Carl Friedrich Gauss, do matemtico russo Nicolai Ivanovich Lobachevski e do matemtico hngaro Jnos Bolyai.

    O segundo tem a geometria esfrica e foi descoberto pelo matemtico ale-mo Georg Friedrich Bernhard Riemann.

    O trabalho de Riemann O passo seguinte no desenvolvimento da geometria no-Euclidiana foi fei-

    to pelo matemtico alemo Georg Friedrich Bernhard Riemann. Para obter uma posio de professor assistente na Universidade de Gttingen, Riemann tinha que fazer uma palestra que serviria como teste. Seguindo o procedimen-to existente ele apresentou ao departamento trs tpicos para que fosse esco-lhido o seu assunto de palestra. Dois desses tpicos versavam sobre problemas correntes entre os matemticos da poca enquanto que o terceiro estava vol-tado para os fundamentos da geometria. Embora esse ltimo assunto fosse o menos preparado por Riemann, Gauss o escolheu querendo saber como um jovem matemtico trataria tema to difcil.

    Riemann deu sua palestra sobre esse tema, que mais tarde foi publicada com o ttulo de Sobre as Hipteses subjacentes aos fundamentos da Geome-tria, com sucesso absoluto. Aps o trmino da palestra, Gauss permaneceu em silncio e ento levou Riemann aos cus, algo bastante raro de ser feito por ele.

    Gauss ficou impressionado pela abordagem feita por Riemann para a geometria no-Euclidiana, pelo fato de que ela era bem diferente daquelas apresentadas por seus antecessores. Aparentemente, Riemann no sabia nada sobre os trabalhos de Lobachevski e Bolyai e tinha somente uma vaga ideia do interesse de Gauss pelo assunto. O sucesso de Riemann se deve ao fato dele ter incorporado em seu estudo duas ideias extremamente frteis: o aparato matemtico de Gauss para descrever a geometria de superfcies curvas bidi-mensionais e seu prprio novo conceito de variedade multidimensional, ou seja, objetos geomtricos com mltiplas dimenses.

    Uma superfcie uma variedade bidimensional, um espao uma varieda-de tridimensional, etc. Como essa a nica diferena entre elas, todas as ideias e mtodos usados para descrever superfcies bidimensionais podem ser agora diretamente aplicados a espaos curvos tridimensionais. Entre as noes usa-das, a mais importante aquela de mtrica, ou seja, a forma quadrtica para as diferenas entre coordenadas que descreve o comprimento do intervalo entre dois pontos vizinhos em uma variedade curva.

    Superfcie esfrica.

    Superfcie de um hiperbolide.

    Georg Friedrich Bernard Riemann (1826 - 1866).

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 271

    Esta bem sucedida integrao de ideias permitiu que Riemann avanasse ao construir tanto casos particulares de espaos no-Euclidianos como uma teoria de espaos arbitrariamente curvos.

    Em primeiro lugar, Riemann descobriu uma geometria esfrica que era oposta geometria hiperblica de Lobachevski. Deste modo, ele foi o primeiro a indicar a possibilidade de existir um espao geomtrico finito. A ideia logo se firmou e trouxe a questo de que o nosso espao fsico era finito. Alm disso, Riemann teve a coragem de construir geometrias muito mais gerais do que a de Euclides e mesmo as aproximadamente no-Euclidianas conhecidas.

    A geometria Riemanniana uma geometria no-Euclidiana de espaos de curvatura constante positiva. A propriedade essencial desse espao tridimen-sional que seu volume finito de modo que se um ponto se move sobre ela na mesma direo, ele pode certamente retornar ao ponto de partida.

    Como vemos ao lado, em vez das linhas retas da geometria Euclidiana, na geometria esfrica Riemanniana temos geodsicas, ou seja, os arcos dos grandes crculos que podem ser traados sobre a esfera.

    A partir de uma ilustrao bidimensional da geometria sobre a esfera, mostrada ao lado, claro que a noo de linhas paralelas como dada pelo quinto postulado de Euclides no tem qualquer sentido, pois qualquer arco de um grande crculo que passa atravs de um ponto C, no situado sobre AB, necessariamente ir interceptar AB e at mesmo em dois pontos. A figura tambm mostra que a soma dos ngulos de um tringulo formado por trs arcos que se interceptam de trs grandes crculos sempre maior do que 180o.

    COMPARANDO AS GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS

    Uma maneira prtica pela qual podemos distinguir entre essas trs geome-trias o seguinte: pegue uma folha de papel e coloque-a sobre uma superfcie plana. O papel ir cobrir a superfcie suavemente. Tente agora com uma folha de papel do mesmo tamanho cobrir uma superfcie esfrica. Voc agora ver que para cobri-la ter que permitir que vincos surjam no papel. Isso indica que prximo a qualquer ponto dado sobre a superfcie da esfera a rea do papel maior do que a rea que voc est tentando cobrir. Quando voc tenta cobrir a superfcie de uma sela com a mesma folha de papel, ver que o inverso acon-tece: a rea do papel passa a ser insuficiente para cobrir a superfcie prxima a qualquer ponto sobre ele e o papel se rasga.

    COMPARANDOS OS TRS ESPAOS UNIFORMES

    espao euclidiano

    atravs de um ponto dado podemos traar somente uma paralela a uma linha reta.

    a soma dos ngulos interiores de um tringulo igual a dois ngulos retos.

    a circunferncia de um crculo igual a vezes o seu dimetro.

    espao esfrico

    atravs de um ponto dado no podemos traar nenhuma paralela a um ponto dado.

    a soma dos ngulos interiores de um tringulo maior do que dois ngulos retos.

    a circunferncia de um crculo menor do que vezes o seu dimetro.

    espao hiperblico

    atravs de um ponto dado podemos traar mais de uma paralela a uma linha reta.

    a soma dos ngulos interiores de um tringulo menor do que dois ngulos retos.

    a circunferncia de um crculo maior do que vezes o seu dimetro.

    Ilustrao bidimensional da geometria sobre a esfera.

  • 272 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    GEODSICAS

    A teoria relativstica da gravitao trata, em geral, com espaos-tempo curvos. Em um espao-tempo desse tipo os movimentos das partculas assim como o da luz so curvos. Entretanto, essas curvas tm uma caracterstica comum com as linhas retas.

    Do mesmo modo que as linhas retas so as trajetrias mais curtas conec-tando dois pontos de um espao plano, os movimentos nos espaos-tempo curvos percorrem as linhas curvas mais curtas entre dois pontos. Tais curvas so chamadas geodsicas. Por exemplo, sobre a superfcie de uma esfera pode-mos traar somente curvas e no linhas retas. De todas as curvas que conec-tam dois pontos a mais curta o arco de um grande crculo. Por conseguinte, as geodsicas sobre a superfcie de uma esfera so os arcos de grandes crculos.

    A luz segue curvas geodsicas. Dizemos que a luz no se move uniforme-mente ao longo de linhas retas, no porque ela est sujeita a alguma fora mas por que o espao-tempo curvo. Isso muito importante por que mostra que o conceito de fora foi substitudo pelo conceito geomtrico de curvatura do espao-tempo.

    A teoria da relatividade geral trata, em geral, com espaos-tempo curvos. Nesses espaos-tempo os movimentos das partculas materiais, assim como da luz, so descritos por linhas curvas.

    GEOMETRIA E COSMOLOGIA

    A geometria do espao de grande importncia para a cosmologia, uma vez que a teoria relativstica da gravitao se apoia inteiramente na ideia de que a geometria do espao em qualquer local no Universo est diretamente relacio-nada com a intensidade do campo gravitacional naquele local. Quanto mais intenso o campo gravitacional mais forte ser a curvatura correspondente.

    Poderamos dizer, de uma maneira bastante livre e baseado exclusivamente nas questes de geometria discutidas acima, que em um contexto cosmolgico os trs tipos de curvaturas podem nos dar:

    o universo de curvatura positiva corresponde a um universo que se expandir at uma certa separao entre as galxias e ento contrair de volta at um espao zero. Este o chamado universo fechado.

    o universo de curvatura zero corresponde a um universo que se ex-pande para sempre, diminuindo sua velocidade medida que faz isso. Este o chamado universo espacialmente plano.

    o universo de curvatura negativa corresponde a um universo que se expandir para sempre. Este o chamado universo aberto.

    O QUE A TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL?

    No sculo passado surgiram na fsica vrias teorias muito importantes. A Teoria da Relatividade Restrita, a Teoria Quntica e a Teoria da Re-latividade Geral transformaram radicalmente nosso entendimento sobre a natureza que nos cerca.

    Dentre essas teorias, certamente a Teoria da Relatividade Geral de Albert Einstein a que mais tem despertado a curiosidade e o interesse do pblico no profissional em cincias fsicas. Talvez pelo carisma de seu descobridor, talvez por estar mais intimamente ligada s nossas fantasias de aventuras espaciais, com seus buracos negros e viagens no tempo, a teoria da Relatividade Geral,

    40 O que a Teoria da Relatividade

    Geral?

    Isaac Newton.

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 273

    que uma teoria da gravitao, tem sido constantemente citada na mdia, na maioria das vezes no de uma maneira direta mas em funo de resultados que podemos extrair dela.

    Uma teoria complicada demais para mim

    Inmeras vezes ouvimos a frase citada acima sendo dita at mesmo por pessoas que mantm contato peridico com a cincia. Ser que a teoria da gra-vitao de Einstein realmente to complicada que somente alguns crebros bem dotados so capazes de entend-la? Bem, seria tolice dizer que a teoria da gravitao de Einstein simples, que qualquer um pode entend-la. Isso no verdade. Essa teoria realmente complicada, est envolvida por uma matem-tica bastante sofisticada, introduz conceitos que no fazem parte da nossa vida diria e apresenta concluses que at hoje confundem os fsicos.

    Existem vrias formas de apresentar a teoria da gravitao de Einstein sem que tenhamos que falar em geometria riemanniana, variedades diferenciais, clculo tensorial, espaos fibrados, espaos de Hausdorff, topologia, etc.

    Tentaremos aqui mostrar como a teoria da gravitao de Einstein interes-sante, fazer com que voc entenda alguns de seus princpios.

    A evoluo do conhecimento sobre gravitao Ao contrrio do que muitos declaram, a teoria relativstica da gravitao

    no surgiu do nada. Sua elaborao uma longa histria de erros e acertos que se alternaram at que, em um determinado momento, cientistas conseguiram estabelecer a forma correta final que ela deveria ter. Como qualquer outra teo-ria descoberta na fsica, a construo da teoria da relatividade geral se apoiou em conhecimentos previamente estabelecidos ou, como disse muito bem Isaac Newton, ela foi criada sobre os ombros de gigantes. Isso de modo algum uma tentativa de tirar o mrito cientfico de Albert Einstein, mas preciso desmistificar a histria e aceitar que muitos outros grandes nomes da fsica participaram do problema e contriburam para a sua soluo.

    A TEORIA DA GRAVITAO DE EINSTEIN

    Apesar do grande sucesso da teoria da relatividade restrita apresentada por Einstein em 1905, existiam algumas questes bsicas que no eram respondi-das por essa teoria. Por exemplo, a teoria da relatividade restrita nos diz que as leis da natureza so as mesmas em todos os sistemas de referncia inerciais.

    Einstein notou imediatamente a fraqueza da teoria da relatividade restri-ta e props em 1916 a teoria da relatividade geral, que generaliza o princpio da relatividade estabelecendo que as leis da natureza so as mesmas em dois referenciais que se movem de qualquer maneira possvel um em relao ao outro.

    A teoria da gravitao proposta por Albert Einstein e David Hilbert ficou sendo mais conhecida como Teoria da Relatividade Geral (TRG), como Teoria Relativstica da Gravitao (TRG) ou como Teoria da Gravitao de Einstein (TGE). Usaremos todos esses termos de modo indiscriminado embora o nome teoria da gravitao seja considerado bem mais representativo sobre o que a teoria descreve.

    A Teoria da Gravitao de Einstein descreve os fenmenos de interao gravitacional entre quaisquer corpos existentes no universo.

    Para Einstein a gravidade no uma fora, no sentido tradicional que da-mos a este termo na fsica. Segundo ele:

    41 A Teoria da

    Gravitao de Einstein

    Albert Einstein (1879 - 1955).

  • 274 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    a gravidade uma manifestao da curvatura do espao-tempo

    a curvatura do espao-tempo produzida pela massa-energia contida nele

    Isso pode ser representado esquematicamente pela relao abaixo, que ocorre em ambos os sentidos:

    Esta relao entre energia-momentum e a curvatura do espao-tempo go-vernada por um conjunto de equaes que so as famosas equaes de campo de Einstein.

    Na verdade, o estudo das interaes gravitacionais deveria ser chamado de Geometrodinmica. Esse nome foi proposto pelo fsico norte-americano John Archibald Wheeler tendo em vista que a teoria da relatividade geral ge-ometriza a gravitao.

    O ESPAO-TEMPO DA RELATIVIDADE GERAL

    A Teoria da Gravitao Universal proposta por Isaac Newton utiliza os conceitos de espao e tempo. Isso foi mudado com o surgimento da Teoria da Relatividade Restrita, proposta por Einstein em 1905. Nessa poca foi in-troduzido o conceito de espao-tempo como uma nica entidade, ao con-trrio do espao e tempo separados da fsica Newtoniana. Isso foi proposto pelo fsico alemo Hermann Minkowski ao realizar estudos sobre a teoria da relatividade restrita. No entanto, o conceito de espao-tempo definido na Teoria da Relatividade Especial no pode ser simplesmente transferido para a relatividade geral.

    Na teoria relativstica da gravitao o espao-tempo possui caractersticas no usuais. Por exemplo, ele :

    curvo:dizemos que o espao-tempo da relatividade geral tem uma geometria no-Euclidiana. Na relatividade restrita o espao-tempo plano.

    Lorentziano:as mtricas do espao-tempo devem ter uma assinatura mtrica mista. Isto herdado da relatividade especial.

    quadri-dimensional:isso necessrio para poder cobrir as trs dimenses espaciais e o tem-po. Isto tambm herdado da relatividade especial.

    Os princpios fundamentais da Teoria da Gravitao de Einstein

    A Teoria da Gravitao de Einstein est baseada em um conjunto de prin-cpios fundamentais que guiaram o seu desenvolvimento. Esses princpios foram sendo criados ao longo do desenvolvimento da prpria teoria.

    princpio geral da relatividade:as leis da fsica devem ser as mesmas para todos os observadores, este-jam eles acelerados ou no.

    matria ou energia efeito gravitacional espao-tempo curvo

  • Cosmologia - Da origem ao fim do universo 275

    princpio da covarincia geral:as leis da fsica devem ter a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas.

    o movimento inercial movimento geodsico:as linhas de universo de partculas no afetadas por foras fsicas so geodsicas tipo-tempo ou nulas do espao-tempo.

    princpio da invarincia de Lorentz local:as leis da relatividade especial se aplicam localmente para todos os ob-servadores inerciais.

    o espao-tempo curvo:isso permite que os efeitos gravitacionais, como por exemplo a queda livre, sejam descritos como uma forma de movimento inercial.

    a curvatura do espao-tempo criada pelo momento-energia conti-do no espao-tempo:isso descrito na teoria relativstica da gravitao pelas equaes de campo de Einstein.

    Todos os termos acima citados sero explicados ao longo do texto.

    As equaes de campo de Einstein: o trabalho do fsico relativista

    A Teoria da Gravitao de Einstein no somente nos diz que o espao-tempo curvo mas tambm especifica quanto a sua curvatura. Mais especi-ficamente, ela nos d um conjunto de equaes que relacionam a curvatura do espao-tempo com a distribuio de energia-matria no espao.

    As equaes propostas por Einstein so chamadas de equaes de campo porque elas descrevem o comportamento e as propriedades do campo gravita-cional. Elas tm a forma:

    G

    = - k T

    onde k dado por:

    k = 8 G/ c4

    Nesta ltima expresso G a constante gravitacional.

    Vamos explicar melhor o que essa equao nos diz. O lado esquerdo dela, G, o chamado tensor de Einstein. Ele depende das funes g e de suas primeiras e segundas derivadas. Essa parte da equao de campo de Einstein est associada com a estrutura geomtrica do espao-tempo.

    O lado direito da equao de campo de Einstein apresenta o tensor ener-gia-momentum T. Ele depende da distribuio de energia e matria no universo.

    Veja ento que a equao de campo de Einstein nos diz que a curvatura do espao-tempo (lado esquerdo) produzida pela distribuio de massa-energia no espao-tempo (lado direito).

    curvatura do espao-tempo (G

    ) = contedo de matria-energia do espao (T

    )

  • 276 Mdulo 5 O novo conceito de Espao e Tempo e a Teoria Relativstica da Gravitao

    Poderamos escrever as equaes de campo de Einstein de modo mais de-talhado. O tensor de Einstein, G, na verdade dado por:

    G

    = R

    -1/2 g

    R

    Deste modo, as equaes do campo gravitacional so dadas por:

    R

    -1/2 g

    R = - k T

    ou ento:

    O termo R chamado de escalar de curvatu