Resumo de aulas anteriores

Geodésica: menor distância entre dois pontos

• espaço euclidiano: linhas retas• espaço esférico: arco de círculo máximo• espaço hiperbólico: hipérbole

Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1a leide Newton de movimento pode ser descrita expressando suascoordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t)

t absoluto

Este caminho representa a menor distância entre dois pontos

geodésica do espaço

CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo

Supondo um espaço plano 3-D dado por dl2=dx2+dy2+dz2

Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski, definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela distância temporal ct, onde x() , y() , z() , t()

tempo próprio (absoluto)

ds2=c2dt2-|dl2|métrica pseudo-euclidiana

a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é

generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-Ddefinido pelas coordenadas de tempo e espaço

Dois eventos separados no E-T são causamente conectadospor sua separação espacial dl e temporal dt obedecendoa lei:

cdtdl

ds2=c2dt2-|dl2| , se dl/dt=c dl=cdt ds2=c2dt2-c2dt2= 0

um sinal de luz tem separação nulaou atravessa um espaço de geodésicasnulas (ligth-like)

O intervalo de tempo próprio d = ds/c (entre dois eventos ao longo da linha de mundo de um corpo)

luz : d = 0 Limita o universo observável presentecontém todas as linhas de mundo que podemser observadas em princípio

MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER

Sai do caso plano (K=0), para diferentes K ou geometrias possíveis

Mas K é sempre constante (princípio cosmológico)

Ҝ= -1/R2

Ҝ= 1/R2

X

Y

Z

R

P

Definição:

GeometriasPossíveis:

Ҝ(t)=k / R2(t) k =-1,0,+1A curvatura é constante somente num dado t, mas varia paratempos diferentes

fator de escala ou parâmetro de expansão

Suposições:

• universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico• descrição da posição de um objeto no espaço: coordenadas comóveis

como coordenadaslagrangeanas

• quantidade absoluta: = tempo próprio medido por “relógios” em repouso em relação ao fluído cosmológico

referencial inercial

Vimos que a métrica de um espaço 3-D de Ҝ constante podeser descrito como:

)sin(1

22222

22 dda

a

dads espacial

Onde a não é o raio próprio no espaço

a

Raiopróprio

22222

22222 sin(

1)(

ddk

dtRdtcds

a não é comóvel

corte vertical da esfera anterior:

a

R

expandindo oucontraindo a esferaa muda o seu valormas fica constante

Podemos usar como coordenada comóvel:)(tR

a

= sin )sin(1

22222

22 dda

a

dads espacial

Substituindo na métrica r=R(t) e Ҝ=k/R2(t)

MÉTRICA DE ROBERTSON WALKER (MRB) (1934)

adimens.

MRW : ds2 = distância entre dois eventos num E-T 4D definidos pelas coordenadas de tempo e espaço

Ao longo da linha de mundo de um observador comóvel(em repouso em relação a um dado ref. inercial)

ds2espacial=0 ds2=c2dt2-ds2

espacial

dds/c d=dt

Pode-se demonstrar que se (,,) = constante é uma geodésicano E-T (todos os observadores comóveis estão em “queda livre”)

Se (,,) = constante d=d= d=0 ds2espacial=0

d=dt

Demonstração:

Pelo princípio da equivalência: gravitação é considerada como um aspecto intrínseco do E-T

Campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T:

22 4

c

Ggoo

goo determina propriedadesgeométricas do E-T (ex. K)

Cada galáxia segue, além da expansão, um caminho “natural”descrito pela geometria do E-T

movimentos de algumas galáxias são observados em direçõesdiferentes da direção dada pelo movimento de recessão devido àexpansão

Postulado da TRG: corpos livres movem-se ao longo de geodésicasno E-T curvo

Se (,,) = constante é uma geodésica referencial comóvel observador em “queda livre”

Sistema de coordenadas comóveis: está em repouso emrelação à matéria no universo

DEFINIÇÕES DE DISTÂNCIAS E VELOCIDADES PRÓPRIAS

em termos da MRW

Seja: nossa galáxia →coordenadas (,,)=(0,0,0)galáxia arbitrária → coordenadas (,0,0)

definição de D própria → dDP=cdt (no E-T ds2=0)

0sin(1

)( 22222

22222

ddk

dtRdtcds

dD2P 2/1

22222

2

sin(1

)(

ddk

dtRdDP

Sendo e fixos:

021

)(k

dtRdDP

1arcsin

0

1arcsin

)(

1)(0

2

kh

k

k

tRD

k

dtRD

P

P

DP depende de R que depende do t

Analisando:

1. k=0 : DP=R(t) pode crescer sem limite com DP

Espaço plano (=a/R(t), DP=a) universo não-ligado

2. k=+1: DP= R(t)arcsin =sin(DP/R(t))

DP/2R

valor máximo de : DP= /2R

Viajando a uma distância DP=R através de um espaçocurvo 3D voltamos ao ponto de partida!!!

Universo com k>0 : ligado e fechado

3. k=-1: DP= R(t)arcsinh =sinh(DP/R(t))

sinhx=(ex-e-x)/2

DP

pode crescer indefinidamente com DP → k=-1: universo não-ligado e aberto

Velocidade própria entre duas galáxias:

dt

dDV PP

Se

021

)(k

dtRDP

021

)(k

dtRVP

Então:PPP DtHD

tR

tRV )(

)(

)(

Onde: )(

)()(

tR

tRtH

é o parâmetro de Hubble

VP=H(t)DP é uma equação semelhante à de Hubble, não Estritamente igual pois envolvem DP e VP que não podemSer medidas diretamente

EQUAÇÕES DE FRIEDMANN

Obtidas a partir das equações de Einstein da TRG, usando a MRW:

ijij Tc

GG 4

8

Gij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universoTij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de matéria e energia

Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura no E-Tque é descrita pelas equações de Einstein

22 4

c

Ggoo

Vimos que:campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T:

Generalização desta equação para a TRG:

• A TRE diz que toda a forma de energia possui massa (E=mc2)

= matéria+ energia

a generalização de nos leva a Tij = distribuição dematéria e energia

• generalização de oog

2 para uma métrica pseudo-riemannianaarbitrária leva ao chamado tensor deEinstein Gij que depende de gij e suasderivadas 1a e 2a

Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t)e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluídocosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias

pressão dinâmica

Então chega-se a duas equações fundamentais quedescrevem a dinâmica do universo:

3)(

)(

)()(

3

8

)(

)(2

)(

)(

)()(

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

tR

tR

tR

kct

G

tR

tR

tR

tR

tR

kctp

c

G

constantecosmológica

→ introduzida por Einstein para obter soluções paraum universo em equilíbrio

Soluções estáticas (R=cte)

Combinando as duas equações:

)(3

1)(

)(3)(

3

42 tRtRc

tpt

GR

Equação do movimento que vai definir a expansão ou contração do universo

Estas equações nos dão: k (geometria) e R(escalas de distância)

do universo, conhecendo-se e p.Obtemos a equação da evolução do universo R(t) t para umadada geometria

Notinha: se =0 e p=0 RG

R 3

4

= cosmologia newtoniana para cte =0

No entanto R(t) tem outra interpretação...

Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte...

por isso Einsten introduziu