14    BTS  ATI  –  Fonctions  d’une  variable  réelle  

     

Partie  E  :  Approximation  locale  d’une  fonction    

Développements  limités  

I. Fonction  exponentielle  

A. Rappel  :  définition  du  nombre  dérivé  

Soit  f  une  fonction  définie  en  a  et  au  voisinage  de  a.  On  dit  que  𝑓  est  dérivable  en  a  s’il  existe  un  réel  A  et  une  fonction  𝜀  tels  que       𝑓 𝑎 + ℎ = 𝑓 𝑎 + 𝐴ℎ + ℎ𝜀(ℎ)         avec  lim!→! 𝜀(ℎ) = 0    A  est  appelé  le  nombre  dérivé  de  𝒇  en  a  et  A  est  noté  𝒇′(𝒂)  

B. Fonction  exponentielle  Soit  𝑓  la  fonction  exponentielle  𝑥 ↦ exp  (𝑥)  𝑓  est  dérivable  sur  ℝ  donc  en  0  𝑓! 𝑥 = 𝑒!  et    𝑓! 0 = 1    En  utilisant  la  définition  du  nombre  dérivé,  on  peut  donc  écrire  au  voisinage  de  0,    𝑓 ℎ = 𝑓 0 + 𝑓! 0 ℎ + ℎ  𝜀(ℎ)       avec  lim!→! 𝜀(ℎ) = 0    Au  voisinage  de  0,  on  peut  alors  écrire  𝑒!  sous  la  forme  de  la  somme    d’un  polynôme  de  degré  1  :  1+ 𝑥  et  d’un  terme  complémentaire  :  𝑥  𝜀(𝑥)     avec  lim!→! 𝜀(𝑥) = 0    "1+ 𝑥 +  𝑥  𝜀(𝑥)"      s’appelle  le  développement  limité  d’ordre  1  de  la  fonction  exponentielle  au  voisinage  de  0.      Remarque  :  

• 1+ 𝑥    est  une  valeur  approchée  de  𝑒!  au  voisinage  de  0    

• ce  polynôme  1+ 𝑥  se  retrouve  dans  l’équation  de  la  tangente    à  la  courbe  au  point  d’abscisse  0  :  𝑦 = 𝑥 + 1    

• !!!!!

= 1+ 𝜀(𝑥)    avec  lim!→! 𝜀(𝑥) = 0    donc    lim!→!

!!!!!

= 1            

C. Recherche  d’un  développement  limité  d’ordre  2  de  la  fonction  exponentielle  au  voisinage  de  0    Formule  de  Mac  Laurin  

  𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + !!(!)!!𝑥 + !!!(!)

!!𝑥! +⋯+ !

! !!!

𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥)       avec  lim!→! 𝜀(𝑥) = 0    Cette  formule  permet  d’obtenir  un  développement  limité  plus  proche  de  la  valeur  𝑓(𝑥)  au  voisinage  de  0.    

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II. Développements  limités  des  fonctions  usuelles    Nous  admettons  qu’en  utilisant  la  formule  de  Mac  Laurin,  on  obtient  les  développements  limités  des  fonctions  usuelles  suivantes  au  voisinage  de  0.      𝑒! = 1+ !

!!+ !

!

!!+⋯+ !

!

!!+ 𝑥!𝜀(𝑥)                         avec        lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

 !

!!!= 1− 𝑥 + 𝑥! +⋯+ −1 !𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥)         avec        lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

 ln 1+ 𝑥 = 𝑥 − !

!

!+ !

!

!+⋯+ −1 !!!  !

!

!+ 𝑥!𝜀(𝑥)           avec        lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

 sin  (x) = 𝑥 − !

!

!!+ !

!

!!+⋯+ −1 !   !

!!!!

!!!! !+ 𝑥!!!!𝜀(𝑥)      avec          lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

 cos  (x) = 1− !

!

!!+ !

!

!!+⋯+ −1 !   !

!!

!! !+ 𝑥!!𝜀(𝑥)                     avec        lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

 1+ 𝑥 ! = 1+ !

!!𝑥 + ! !!!

!!𝑥! +⋯+ ! !!! … !!!!!

!!𝑥! + 𝑥!𝜀(𝑥)            avec        lim!→! 𝜀(𝑥) = 0  

             

III. Utilités  des  Développements  limités  Le  développement  limité  d’une  fonction  permet  :  

• d’approximer  cette  fonction  par  un  polynôme  au  voisinage  de  0  • de  déterminer  l’équation  de  la  tangente  à  la  courbe  représentative  de  cette  fonction  au  point  

d’abscisse  0  • d’étudier  la  position  relative  de  la  courbe  par  rapport  à  cette  tangente  autour  de  0  • de  déterminer  une  valeur  approchée  d’une  aire  (notion  qui  sera  vue  plus  tard)