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1 F Í S I C A CURSO DE EDIFICAÇÕES

CPE - apostila de física - completa

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F Í S I C ACURSO DE EDIFICAÇÕES

Professor: MARIO DE SOUZAA. Medidas Físicas1

1 Extraído do texto de apoio didático Grandezas e Medidas, de Mário de Souza.

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Para compreender o significado de Grandeza, busca-se essa compreensão num dicionário e vê-se que, a esse respeito diz-se que ela é uma qualidade do que é grande ou tudo que pode aumentar ou diminuir; estes conceitos referentes à grandeza são vagos e sem muita utilidade para a ciência, em especial para a Física; para tal, vejamos então a justificativa matemática apresentada por Wilhelm August Förstemann (1791-1836), matemático alemão que nos brotos de sua organização estrutural da Aritmética diz que “grandezas são linhas, ângulos, superfície, volumes quantidade de pessoas, de livros, etc. Números são apenas relações entre as grandezas2”; este fato é muito interessante para nosso estudo de Grandezas, que agora ganha um vestido teórico e, uma configuração de origem matemática bem estabelecida; isto se fez maturar na concepção de que as grandezas são mensuráveis em: comprimento, graus, área, volume (capacidade), quantidades de elementos; ou seja, a Grandeza passa a ser um elemento de coesão entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria, sendo, portanto o ato de medir, o processo de ligação e coesão entre a Grandeza e os campos de estudos da Aritmética, Álgebra e da Geometria.

Com isto as Grandezas Físicas passam a ser concebidas como quantidades ou magnitudes Físicas que são propriedades mensuráveis3 dos objetos de interesse físico; isto revela que a Grandeza Física ganha significado quando se exige que a mesma tenha valores ligados a ela, de modo a ser possível uma relação entre os resultados práticos e o instrumento de medida.

E, interior a esta concepção se estabelece que o conhecimento de um objeto físico se dá na relação entre coisas, aqui compreendidas como o objeto físico de interesse e um processo de medida, no qual o instrumento de medida é a outra coisa que irá se casar num processo relacional cujo objetivo é buscar atributos dos objetos físicos. Como diz Poincaré, a Ciência só conhece a relação entre as coisas; não as próprias coisas.

Isto reveste a metrologia de dois pontos crucias para com as medidas: o primeiro é que ela se estabelece na relação de atributos do objeto e suas propriedades métricas e, a segunda é que, se não posso conhecer o objeto em si mesmo, logo, a medida por mais que seja precisa não representará, de fato, o valor verdadeiro; o valor verdadeiro, de fato, como verdade absoluta, não existe embora se possa ficar tão próximo da verdade quanto se deseja, ou tolera-se numa escala de processual de medição. Este é o fato pelo qual se faz análise das condições físicas da tolerância numa medida física como forma de aperfeiçoar o resultado médio num conjunto de medidas encontradas.

Por isso é que se diz que toda medida carrega consigo uma tolerância, e este fato produz técnicas e procedimentos tecnológicos cujo interesse é estabelecer regras de convivência com os graus de aceitabilidade de resultados entre a medida e o medir; isto implica na criação, então, de um Sistema de Medição associado a um Sistema de Unidades de Medidas, onde resultados de medidas diretas4 ou indiretas, indicadas em leituras de instrumentos, irão se assentar; desse modo, a medida pode ser expressa, por exemplo, como x = (3,0 0,5) cm, cuja tolerância é tida como 0,5; claro que, a aceitação de uma tolerância esta associada com o grau de confiabilidade que se deseja obter na medida e, quanto menor a tolerância5 melhor é o resultado, ou mais o preciso é; neste resultado do exemplo, tem-se um Sistema de Unidades de Medidas baseado no metro e, um Sistema de Medição, em princípio, manual (podendo ser elétrico/eletrônico).

De modo geral uma medida se apresenta na forma RM = (VM TL) [unidade], onde RM é o Resultado da Medição, VM é o valor médio6, ou valor central, onde deve estar teoricamente, o valor verdadeiro ou absoluto da medida e, TL é a tolerância da medida, que é um valor que mede o grau de confiança da medida; claro que, tudo isto está associado a um Sistema de Medição, a um Sistema de Unidades de Medidas e aos estudos dos Algarismos Significativos de uma Medida, que é uma sistemática oriunda da matemática numérica, que se aplica aos números encontrados no processo de leitura de instrumento, como a máquina de calcular, com o objetivo de tornar possível a compreensão e a apresentação do resultado de medição. Tudo isto se processa num Sistema de Medidas.

Onde se compreende por um Sistema de Medição como um artefato tecnológico, evidentemente, eles estão submetidos a leis físicas e, o ideal é que a lei fosse sempre linear o que de fato nem sempre é possível para um sistema de medição e, além das imperfeições naturais de sua construção, pois são

2NETO, Fernando Raul. “Sobre a oposição entre grandeza positiva e negativa” (1817) de Wilhelm August Förstemann (1791 – 1836). Texto apresentado pelo referido Professor, em aulas proferidas no Mestrado em Ensino das Ciências da Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE.3As grandezas que obedecem a uma ordem (ordinais) e que, além de ordinais admitem uma operação de adição entre suas quantidades, logo, essas grandezas – ordinais e aditivas, são chamadas de grandezas mensuráveis.4 Aquelas medidas que são obtidas com a leitura no visor de um instrumento de medida, como um voltímetro, ou num processo de comparação entre duas grandezas, como no caso de uma medida de comprimento. A medida indireta ocorre com a análise de resultados que, depois de terem sido obtidos por via direta vão para uma análise dentro de um formalismo físico-matemático, por exemplo. 5 Em algumas literaturas esta tolerância é também denominada de desvio, erro ou incerteza na medida.6 Postulado de Gauss: o valor mais provável de uma série de medidas de igual padrão nos permite escrever esta medida, como sendo a média aritmética dos valores individuais da série do conjunto de medidas apresentados.

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elementos modelados segundo alguns princípios físicos e técnicos previamente discutidos e pensados, podem também apresentar problemas de ordem natural, de manuseio e de inferências físicas pelas quais os instrumentos podem sofrer e alterar o sistema de medição; daí ser necessário conhecer as características metrológicas e operacionais do sistema de medição, para que, com o conhecimento do vai ser medido (fenômeno ou objeto), ambos desempenhe uma relação de busca a aperfeiçoar resultados.

Pode-se então compreender, como diz Gonçalves7 (2004) que, “do ponto de vista técnico a medição é empregada para monitorar, controlar ou investigar um processo ou fenômeno físico”, desse modo, quando se usa um instrumento de medição (elétrico e/ou eletrônico), num determinado instante ele apresenta o valor mensurado e, ao apresentar este valor, o instrumento passa por um processo tecnológico conhecido como Sistema de Medidas, o qual é composto por três partes: o transdutor; a unidade de tratamento do sinal e, o dispositivo mostrador, sendo cada módulo destes interligados ou não, fato que depende dos interesses de estudo e arquitetura eletrônica do dispositivo como um todo.

O transdutor é formado por um sensor que entra em contato com o que vai ser medido e, associado aos outros módulos do sistema transdutor gera um sinal proporcional ao que está sendo medido conforme fora previamente projetado, ou seja, ele transforma um efeito físico, oriundo da sensibilidade do fenômeno, e transforma em outro ou outros; como o sinal gerado pelo sensor/transdutor é pequeno este módulo entra em contato com a unidade de tratamento do sinal cujo objetivo maior é a ampliação da potência do sinal; nesta unidade outros procedimentos podem ocorrer dependendo do interesse do projeto bem como sua proposta de qualidade técnica, daí ser esta unidade integrada a sistemas de medição com mais qualidade tecnológica; a última parte compõe do sinal tratado e amplificado, mostrando num visor ou display um número na forma analógica ou digital; este conhecimento aqui exposto está como forma de entender um dispositivo de sistema de medição em sua estrutura maior.

Os estudos até o momento sobre Medidas levaram ver a necessidade de um processo de medição – medir, como uma atividade cheia de procedimentos sistêmicos e, neste processo um Sistema de Medição se faz necessário estar presente, e colado com ele à necessidade de se ter um Sistema de Unidades de Medidas para que de forma coerente e coesa limite uma quantidade de Grandezas Físicas, tida como elementares. Neste processo de conhecimento sete grandezas físicas são tomadas como elementares ou grandezas primitivas eis os conceitos dessas unidades.

METRO8: é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo.MASSA: o quilograma é a unidade de massa (e não de peso e nem de força); ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.TEMPO9: o segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos de radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133. Esta definição corresponde a um átomo de Césio em repouso, a uma temperatura de 0 K.CORRENTE ELÉTRICA: o ampère é a intensidade de corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados a uma distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre esses condutores uma força igual a 2 x 10 – 7 newton por metro de comprimento.TEMPERATURA10: o kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica no ponto tríplice da água. QUANTIDADE DE MATÉRIA11: 1º) o mol é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de Carbono 12.

7 GONÇALVES, Armando. A. Metrologia. Parte I. Texto do Laboratório de Metrologia e Automação do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina, 2004, encontrado em www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema092/Documentos/ APOSTILA _PARTE_I.pdf acessada em 11/06/2009. 8 A definição baseada no protótipo internacional de platina iridiada, em vigor desde 1889, foi substituída em 1960 na 11ª CGPM por uma definição baseada no comprimento de onda de uma radiação de Criptônio 86, com a finalidade de aumentar a exatidão da realização do metro. 9 Primeiramente a unidade de tempo era definida como a fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata do “dia solar médio” fora deixada aos cuidados dos astrônomos, porém seus trabalhos demonstraram que o dia solar médio não apresentava as garantias de exatidão requeridas, por causa da irregularidade da rotação da Terra. Sendo assim na 11ª CGPM outra definição fora apresentada pela União Astronômica Internacional, baseada no ano trópico. Na mesma época pesquisas experimentais mostravam que o padrão atômico de intervalo de tempo poderia ser reproduzido com mais precisão que a anterior. 10 Foi adotado que a temperatura kelvin fosse expressa como K em substituição a ºK. Também foi definido que a unidade kelvin e seu símbolo K fossem utilizados para expressar um intervalo ou uma diferença de temperatura. 11 Nessa definição, entende-se que os átomos de carbono 12 livres, em repouso e no seu estado fundamental.

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2º) Quando se utiliza o mol12, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons, assim como outras partículas, ou agrupamentos especificados em tais partículas. LUMINOSIDADE13: a candela é a intensidade luminosa, numa dada direção de uma fonte que emite uma radiação monocromática de freqüência 540 x 1012 hertz e cuja intensidade energética nessa direção é 1/683 watt por esteradiano.

De início as unidades foram usadas de formas não padronizadas e, desse modo, após um longo período de ação da tecnologia resolve-se criar padrões para as Unidades de Medidas; inicialmente, surgem dois padrões: CGS (Centímetro, Grama, Segundo) ou padrão de laboratório e o MKS (Metro, Quilograma, Segundo), depois denominado de Sistema Internacional (SI) de Medidas, hoje aceito de forma Internacional por países que fazem parte de acordos sobre os padrões de medidas, dentre eles o Brasil; para melhor compreender este fato veja como se dar o processo de criação deste sistema de medidas, pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas pela Convenção do metro (palavra de origem grega metron que significa medir).

Tabela de Unidades de Medidas FundamentaisGRANDEZA

FÍSICA

UNIDADE NO (SI)

SÍMBOLO DA

UNIDADE

SÍMBOLO DA

DIMENSÃO

ERRO ATUAL DE

REPRODUÇÃO

Minúscula Maiúscula

Comprimento metro m x, r L 10–11

Massa quilograma kg m M 10–9

Tempo segundo s t T 3 x 10–14

Corrente Elétrica ampère A i I 3 x 10–7

Temperatura kelvin K t 3 x 10–3

Quantidade de Matéria mol mol n N 6 x 10–7

Luminosidade candela cd IV J 10–9

Além das unidades fundamentais, têm-se as unidades de medidas derivadas, ou seja, aquelas nas quais sua composição final tem duas ou mais unidades fundamentais, como é o caso da unidade de medida da velocidade, no Sistema Internacional de Medidas (SI), que é m/s e, assim sendo tem duas unidades fundamentais conjuntas.

Faz-se saber que, na apresentação das unidades de medidas algumas regras são necessárias, pois seguem normas ou padrões nacionais e internacionais. Para tal, tem-se:

1) A apresentação das unidades é escrita em caracteres romanos minúsculos, como por exemplo, m (metro), kg (quilograma), h (hora), mol (quantidade de matéria). Mas, se o nome da grandeza deriva de um nome próprio ele é representado pela letra maiúscula, como por exemplo: V (volt) devido a Alexander Volta; C (coulomb) devido a Charles Coulomb; Bq (becquerel)14 devido a H. Becquerel; Sv (sievert) devido ao físico médico Rolf Maximilian Sievert; R (röntgen) devido a Wilhelm Conrad Röntgen; Gy (gray) devido a Louis Harold Gray. Porém, quando se escreve o nome da unidade, este é minúsculo, mesmo que esta unidade derive de nome próprio, como nos exemplos citados, colocados em parênteses.

12 Com as descobertas das leis químicas, utilizaram diversas unidades denominadas, por exemplo, “átomos grama” ou “molécula grama”, para especificar quantidades de diversos elementos ou compostos químicos. Estas unidades eram estritamente utilizadas aos “pesos atômicos” ou aos “pesos moleculares”. Originalmente, os “pesos atômicos” eram referidos ao elemento químico oxigênio (16 por convenção). Porém, enquanto os físicos separavam os isótopos no espectrógrafo de massa e atribuíram o mesmo valor à mistura (levemente variável) dos isótopos 16, 17 e 18, que para eles constituía o elemento oxigênio natural. Um acordo entre a União Internacional de física Pura e Aplicada (UIPPA) e a União Internacional de Química Pura e Aplicada (UICPA) resolveu esta dualidade em 1959-60. Desde desta época, físicos e químicos concordaram em atribuir o valor 12 ao isótopo 12 do carbono. 13 As unidades de intensidade luminosa baseadas em padrões de chama ou filamento incandescente, que eram usadas em diversos países, foram substituídas em 1948 pela “vela nova”, que correspondia a luminância do emissor de radiação Planck (corpo negro) à temperatura de solidificação da platina. Em virtudes das dificuldades experimentais da realização do irradiador de Planck a temperaturas elevadas e das novas possibilidades oferecidas pela radiometria, isto é, a medida de potência dos raios ópticos e adotou a referida definição. 14 Esta unidade é compreendida como sendo desintegração por segundo; 1 desintegração/s = 1 dps = 1 Bq.

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2) O símbolo da unidade não vai para o plural, isto quer dizer que o correto é 5 metro e não 5 metros, ou seja, o correto é 5 m e não 5 ms.

3) Quando se tem duas unidades, como é o caso da unidade trabalho de uma força física que pode ser dado em newton x metro, esta unidade pode ser representada por N.m ou por Nm.

4) Se a unidade for composta por uma razão entre duas unidades diferentes, como a unidade de

velocidade, pode-se escrever esta unidade como: m/s ou

ms ou por ms–1.

5) Nunca repetir a barra de fração mais de uma vez para expressar uma unidade. Por exemplo, a unidade

de aceleração é m/s2 ou

m

s2 ou ms–2, mas nunca na forma m/s/s.

6) Quando se fizer uso dos prefixos, estes não devem ficar longe da unidade, mas junto à mesma, desta forma, ao escrever dez miligrama, a escrita correta é 10 mg e não 10 m.g. O mesmo para seis microcoulomb de carga elétrica, que deve ser escrito como 6 C e não 6 .C.

Sendo assim, com o uso da potência de dez nas unidades de medidas foram criados prefixos que podem ser anexados a uma unidade de medida, conforme regra vista anteriormente; veja agora os prefixos até agora aceitos e trabalhados na tabela – 1.2.

Tabela de prefixos PREFIXO SÍMBOLO FATOR PREFIXO SÍMBOLO FATOR

yotta Y 1024 = (103)8 deci d 10–1

zetta Z 1021 = (103)7 centi c 10–2

exa E 1018 = (103)6 mili m 10–3 = (10–3)1

peta P 1015 =(103)5 micro 10–6 = (10–3)2

tera T 1012 = (103)4 nano n 10–9 = (10–3)3

giga G 109 = (103)3 pico p 10–12 = (10-3)4

mega M 106 = (103)2 femto f 10–15 = (10–3)5

quilo k 103 = (103)1 atto a 10–18 = (10–3)6

hecto h 102 zepto z 10–21 = (10–3)7

deca da 101 yocto y 10–24 = (10–3)8

Exemplo:Grandeza metro. Então: 5 nanômetro = 5 nm (n de nano e m de metro).Grandeza grama. Então: 2 miligrama = 2 mg (m de mili e g de grama).Grandeza freqüência. Então: 5 gigahertz = 5 GHz (G de giga e Hz de hertz).

Aqui estão expostas outras medidas físicas

GRUPO – 1 [a] minuto min 1 min = 60 s[b] hora h 1 h = 60 min[c] dia d 1 d = 24 h = 86 400 s[d] grau º 1º = (/180) rad[e] minuto ´ 1´ = (1/60)º = (/10 800) rad[f] segundo ´´ 1´´ = (1/60)´ = (/648 000) rad[g] litro , L 1L = 1 dm3 = 10 –3 m3

[h] tonelada t 1 t = 103 kg

GRUPO – 2 [a] milha marítima não se tem um símbolo 1 milha marítima = 1852 m[b] nó milha marítima por hora 1 nó = (1852/3600) m/s[c] angstron Å 1 Å = 10–10 m = 0,1 nm[d] are a 1 a = 1 dam2 = 102 m2

[e] hectare ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

[f] barn b 1 b = 102 fm2 = 10 –28 m2

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GRUPO – 31 fermi 1 fm = 10–15 m [usado na Física Nuclear]1 raio de Bohr a0 = 5,252 x 10–11 m = 52,52 pm = 0,5252 Å (0,53 Å)1 ano-luz 1 a.l. = 9,460 x 1022 km [c = 2,99 792 458 x 108 m/s]1 polegada 1 in = 2,54 cm [as vezes se usa 1’ = 2,54 cm]Quilograma-força 1 kgf = 9,80 665 NAtmosfera 1 atm = 101 325 Pa [760 mmHg = 1 atm]Caloria (termodinâmica) 1 calth = 4,184 J.

GRUPO – 41 acre = 4046,85642 m2

1 alqueire mineiro = 48.400 m2

1 alqueire Paulista = 24.200 m2

1 are = 100 m2

1 are = 0,024710538 acres internacionais1 Ha (Hectare) = 100 are = 10.000 m2

1 m.g. (milha geográfica) = 1852 m = 6076,1 pés.

Este texto serve de base para que você comece a conhecer os elementos que se integram na compreensão de Medidas Físicas, na realidade este é um texto introdutório e, durante as aulas, muito desse conteúdo será trabalhado em atividades de sala de aula.

A.1 Algarismos SignificativosConta-se que o astrônomo inglês Arthur Eddington iniciou uma de suas aulas em certa ocasião

dizendo: Acredito que o número total de elétrons no Universo (igual ao número de prótons) é dado por: 15.747.724.136.275.002.577.605.961.181.555.468.044.717.914.527.116.709.366.231.425.076.185.631.296

Na opinião dele, este número representaria uma constante fundamental, dedutível teoricamente.Embora as idéias numerológicas de Eddington não tenham encontrado receptividade, este exemplo

serve pelo menos para ilustrar o fato de que na física é freqüente termos de lidar com números muitos grandes ou muito pequenos, uma vez que ela abrange o estudo de fenômenos que vão desde a escala atômica até a do Universo. Torna-se necessário assim o uso de uma notação conveniente.

O número de Eddington é igual a 2 x 136 x 2256, o que ilustra a vantagem da notação exponencial. Convém lembrar algumas regras simples da potenciação:

ap x aq = ap + q

a – p = 1/ap

(ap)q = apq

Usualmente trabalhamos com potência de 10. Exemplos:

Velocidade da luz no vácuo: c = 300.000 km/s = 3 x 105 km/s Sabendo-se que: 1 km = 103 m = 103 x 102 cm = 105 cm, logo, c = 3 x 1010 cm/s O número de Eddington nesta notação é 1,6 x 1079 ( significa aproximadamente)

Exercícios:Escreva na notação científica (a x 10n), onde 1 a < 10 e n Z, os seguintes números:

[a] 45.000.000 [b] 7.000.000.000

[c] 326.000.000.000[d] 45.000.000.000.000.000.000[e] 0,000000000002[f] 0,00000000000000000016

A.2 Algarismos Significativos e Ordem de GrandezaNa estação ferroviária de Campos de Jordão (SP), a tabuleta com o nome da cidade continha

aproximadamente a seguinte informação: Altitude: 1698,73567 metros. Mesmo sem levar em conta o problema da precisão da medida, é óbvio que não tem sentido definir a altitude de uma cidade com precisão de 10 – 2 mm! Também não tem sentido dizer que o peso de uma pessoa é de 75,342846 kg!

Embora o absurdo seja patente nestes exemplos, é um erro muito comum, especialmente para principiantes, manipular dados numéricos preservando um número excessivo de algarismos. Além de

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sobrecarregar inutilmente as operações com estes números, acarretando grande perda de tempo, isto leva muitas vezes a resultados tão absurdos como os acima citados.

Toda medida é feita com certa margem de precisão, e o resultado só deve ser indicado até o último algarismo significativo. Assim, se o resultado da medida de comprimento de uma sala for indicado como sendo 7 m, deve-se subentender uma precisão na medida de 0,5 m, ou seja, só podemos dizer que está entre 6,5 m e 7,5 m. Se indicarmos o resultado como 7,00 m subentende-se uma medida muito mais precisa, com precisão de 0,005 m, ou seja, o resultado deve estar entre 6,995 m e 7,005 m.

Note que 0,0001 só tem um algarismo significativo, ao passo que 0,1000 tem quatro. É mais comumente escrevermos 1 x 10 – 4 no primeiro caso, e 1,000 x 10 – 1 no segundo, empregando sempre números compreendidos entre 1 e 10 seguidos de uma potência de 10. Com esta notação, o número de algarismos do coeficiente da potência de 10 será o número de algarismos significativos.

Em operações com dados de precisões diversos, não tem sentido manter mais algarismos significativos do que os do número conhecido como menor precisão.

Assim, se as dimensões de uma sala são dados como: comprimento = 7 m; largura = 5,23 m, não tem sentido calcular o perímetro como 2 x 7 + 2 x 5,23 = 24,46 m; os dois algarismos decimais no são significativos, uma vez que o comprimento só é conhecido com precisão de 0,5 m. Devemos usar para o cálculo 2 x 7 + 2 x 5 = 24 m.

A precisão de uma medida também pode ser diretamente indicada: por exemplo, (26,2 0,3) m significa que o resultado obtido foi 26,2, mas, levando em conta a precisão da medida, poderia estar compreendido entre 25,9 m e 26,5 m.

É de grande importância para um físico saber fazer rapidamente estimativas de ordem de grandeza, onde em geral não se mantém mais do que um único algarismos significativo; o importante é obter a potência de 10 correta.

Exemplos: De que ordem de grandeza é o número de segundo em um ano?1 ano 12 x 30 = 3,6 x 102 dias ( significa: da ordem de ...)1 dia = 24 x 60 x 60 8,6 x 104 s

Logo:1 ano (3,6 x 102) x (8,6 x 104) 3,6 x 8,6 x 106 3 x 107 1 ano 3 x 107 s

De que ordem de grandeza é o ano-luz?1 ano-luz é a distância percorrida pela luz em 1 ano. Esta é uma unidade de medida muito usada em astronomia.1 ano-luz (3 x 105 km/s) x (3 x 107 s) 9 x 1012 km 9 x 1015 m.

De que ordem de grandeza é o número de células no corpo humano?Diâmetro médio de uma célula é da ordem de 10 m (1 m = 10 – 6 m), logo o diâmetro dessa célula

será da ordem de 10 x 10 – 6 m = 1 x 10 – 5 m. Como o diâmetro é igual ao dobro do valor do raio, então o raio dessa célula é da ordem de 0,5 x 10 – 5 m = 5 x 10 – 6 m. Como o volume de uma esfera é dado por (4/3)πr3, então o volume médio dessa célula é (4/3).π.(5 x 10 – 6)3 1,7π10 – 16 m3.

Para uma pessoa, toma-se a mesma como se fosse um cilindro que tem a forma πR2h, sendo h a altura da pessoa (aqui se toma uma altura aproximada de 1,70 m) e, R o raio da base do cilindro, que é a largura média de uma pessoa (aqui se toma o diâmetro aproximado de 40 cm como largura média de uma pessoa); desta forma, o volume médio dessa pessoa é π(0,2)21,70 0,068π m3.

Então, o número de células no corpo humano será (0,068π)/(1,7π10 – 16) 4 x 1014. Como a imprecisão dos dados é muito grande, o resultado correto é a ordem de grandeza de 1014, uma vez que, nesse caso, o fator numérico não tem relevância.

No caso de operações com números com algarismos significativos, onde, após as operações, deve-se proceder com o arredondamento dos resultados, preservando os algarismos significativos, onde o critério de arredondamento é o seguinte:

Se o algarismo seguinte ao primeiro algarismo duvidoso for um número igual ou superior a 5, aumenta-se de uma unidade o primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais. Caso o algarismos seguinte ao duvidoso for um número menor que 5, o primeiro algarismo duvidoso não se altera e despreza-se os demais.

Exemplos 1:[a] 2,37041 m com dois algarismos significativos tem-se: 2,4 m (7 é o algarismo seguinte ao primeiro

duvidoso que é o algarismo 3).

[b] 2,34569 m com dois algarismos significativos tem-se: 2,3 m (4 é o algarismos seguinte ao primeiro duvidoso que é o algarismos 3).

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Exemplos 2:[a] 2,34 + 1,01235 = 3,35235Como:2,34 tem 3 algarismos significativos (AS) e 1,01235 tem 6 (AS)Então:3,35 é a resposta correta da operação, porque tem mesmo número de AS da parcela mais pobre em decimais.

[b] 3,14 x 1,25045 = 3,926413Como:3,14 tem 3 AS e 1,25045 tem 6 ASEntão:3,93 é a resposta correta (procure compreender o motivo desta resposta)

Exercícios:Resolva as seguintes operações, e apresente respostas levando em conta os AS.[a] 1,2 + 4,0012 + 0,240456 =[b] 3,02 – 1,000456 =[c] 2 x 1,2 x 3,45 =[d] 2,34 x 3,14 x 1,08 =[e] 6,05327 2,14 =

Observação:Para terminar esse nosso encontro com esse tema, faço saber que no uso de equações física,

representadas por signos algébricos, onde esses signos estão atrelados a um valor numérico ou foi obtido num processo de medição, a representação de uma equação física-matemática tem um fator muito importante em sua estrutura: a coerência dimensional.

Assim, a coerência dimensional é uma exigência na compreensão da análise dimensional dos componentes da equação, para verificar se há uma coerência nas dimensões envolvidas nos elementos de composição da equação.

Este fato da coerência dimensional será mais bem entendido no tratamento das equações físicas no transcorrer do curso.

(Este texto foi retirado de Moysés Nussenzveig, do livro Curso de Física, volume 1)

A.3 Alguns elementos estatísticos15

Média AritméticaA média aritmética de um conjunto de medidas é o valor mais provável de uma variável medida;

assim, se x1, x2, x3, ..., xn são as n leituras obtidas, então a média aritmética das leituras é:

x=x1+x2+x3+. ..+xn

n=∑i=1

n

x i

n

Claro que, quanto maior for o número n de medidas efetuadas (leituras no instrumento de medida), melhor é o resultado do valor mais provável dessa variável medida.

Exemplo – a:Numa amostra de 10 leituras de medidas, determine a média aritmética delas:

[a] x1 = 119,14 V [f] x6 = 119,12 V[b] x2 = 119,13 V [g] x7 = 119,13 V[c] x3 = 119,12 V [h] x8 = 119,15 V[d] x4 = 119,13 V [i] x9 = 119,13 V[e] x5 = 119,14 V [j] x10 = 119,11 V

Solução:

x=119 ,14+119 , 13+119 , 12+119 , 13+119 ,14+119 , 12+119 , 13+119 , 15+119 ,13+119 ,1110

=119 ,13

Desvio da Média

15 Oriundo do texto de apoio didático, Grandezas e Medidas, de Mário de Souza.

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Uma vez que existe uma média de leituras do conjunto de medidas, entende-se por desvio da média o afastamento de cada uma das leituras individuais.

Exemplo – b:Calcule no conjunto das 10 leituras de medidas do exemplo – a, o desvio médio de cada uma das

leituras e, em seguida a soma dos desvios das médias.

Solução:

[a] d1 = x1 – x = (119,14 – 119,13) V = 0,01 V

[b] d2 = x2 – x = (119,13 – 119,13) V = 0

[c] d3 = x3 – x = (119,12 – 119,13) V = – 0,01 V

[d] d4 = x4 – x = (119,13 – 119,13) V = 0

[e] d5 = x5 – x = (119,14 – 119,13) V = 0,01 V

[f] d6 = x6 – x = (119,12 – 119,13) V = – 0,01 V

[g] d7 = x7 – x = (119,13 – 119,13) V = 0

[h] d8 = x8 – x = (119,15 – 119,13) V = 0,02 V

[i] d9 = x9 – x = (119,13 – 119,13) V = 0

[j] d10 = x10 – x = (119,11 – 119,13) V = – 0,02 VCom isto:

∑i=1

10

d i=0 , 01+0−0 , 01+0+0 , 01−0 , 01+0+0 , 02+0−0 , 02=0

Desvio MédioSoma de cada desvio da média em módulo, dividido pelo número de leituras, que também pode ser

chamado de média dos desvios.

S=1n∑i=1

n

|d i|=|d1|+|d2|+|d3|+ .. .+|dn|

n

Exemplo – c:Calcule o desvio médio oriundo das 10 leituras de medidas, do exemplo – a.

Solução:

S= 110

(0 , 01+0+0 , 01+0+0 , 01+0 , 01+0+0 ,02+0+0 , 02 )=0 , 0810

=0 , 008V

Ou seja:Desvio médio deste conjunto de medida é: S = 0,01 V; este valor indica a precisão dos instrumentos

usados para as 10 leituras de medidas apresentadas.

VariânciaÉ a soma dos quadrados de todos os desvios médios individuais divididos pelo número de leituras

obtidas menos a unidade.

s2=d1

2+d22+d3

2+. ..+dn2

n−1=∑i=1

n

d i2

n−1=∑i=1

n

(x i− x )2

n−1 (x é a média da amostra)

Onde:O denominado (n – 1)16 determina o grau de liberdade, que é uma grandeza utilizada em estatística;

o seu princípio consiste em compreender que dado um conjunto de dados coletados n e, fixando uma média para esse conjunto de medidas então, existe a possibilidade de se escolher (n – 1) dados dentre os n dados coletados; o último valor coletado fica fixo como forma de compreender que a soma dos desvios das

16 Diz-se que a introdução (n – 1) no denominador é para melhor estimar sem provocar uma tendência no resultado. Matematicamente isto se deve ao fator de Bessel que visa uma estimativa com mais precisão.

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medidas é zero; desse modo, se diz que a variância tem n graus liberdades inicialmente disponíveis, mas que sofreu a redução de uma unidade uma vez que a média do conjunto de dados coletados já fora calculada para o desvio médio.

Ao se estudar d i2=( x i− x )2 (numa amostra) em lugar de di = xi - x é que d i

2=( x i− x )2 é uma

função melhor comportada que di = xi - x . Para uma população formada pelo conjunto de N dados coletados a variância desta população é

dada por (N é um número muito grande):

δ2=d1

2+d22+d3

2+.. .+d N2

N=∑i=1

N

d i2

N=∑i=1

N

( x i−μ )2

N Onde, é a média da população.

Exemplo – d:Para o conjunto das 10 medidas, tem-se variância de valor (usa-se s e não ):

s2=0 , 012+02+0 , 012+02+0 , 012+0 , 012+02+0 ,022+02+0 ,022

10−1=12 x 10−2

9=1,3 x10−2

Desvio PadrãoÉ a raiz quadrada da variância. Esta grandeza é uma característica de análise dos erros aleatórios

num conjunto de medidas, é também denominada de raiz quadrada da média dos quadrados ou rms que significa: root mean square.

σ=√δ2 σ=√s2

σ=√ d12+d2

2+d32+. ..+dn

2

n−1=√∑i=1

n

d i2

n−1=√∑i=1

n

( x1− x )2

n−1 (amostral)

Ou:

σ=√ d12+d2

2+d32+. ..+dn

2

N=√∑i=1

n

d i2

N=√∑i=1

n

( x1−μ )2

N (populacional)

Exemplo – e:Calcular o desvio padrão das 10 leituras de medidas apresentadas no exemplo – a.

Solução:

σ=√ 0 , 012+02+0 ,012+02+0 ,012+0 ,012+02+0 , 022+02+0 , 022

10−1=√12 x10−2

9=√1,3 x10−2

Daí:

σ=1,1 x 10−1V=0 ,11 V

A vantagem do estudo do desvio padrão sobre a variância vem do fato de que, neste caso, a unidade do desvio padrão é a mesma unidade de cada medida coletada.

Com isto:

x=( x±σ )unidade de medida x é a expressão da medidaAssim:

Para o conjunto de medidas no exemplo-a, tem-se que o resultado da medição é expresso por:

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(119,13 0,11) VB Cinemática

Estudar cinemática significa estudar movimento. Isto é um problema fundamental em física e, neste contexto, a forma mais elementar de se aperceber é conhecer os conceitos que se apresentam na descrição do movimento, ou seja, na cinemática.

Antes da descrição do movimento vamos conceber a idealização de partícula como sendo um ponto imaterial, sem dimensões, fato que diferencia do quem vem a ser um corpo extenso. Assim, ao analisarmos um automóvel na BR-232, vamos considerá-lo como sendo uma partícula, porém, esse mesmo automóvel numa garagem residencial é analisado como um corpo extenso, pois automóvel e garagem possuem mesma ordem de grandeza (comprimento).

Esta idealização trás consigo a necessidade de ter um referencial para afirmação do fato do corpo ser tomado ou não como uma partícula. Do mesmo modo, a concepção de movimento (ou não) está atrelada a concepção de um referencial. Pois, duas pessoas num automóvel, a 100 km/h na BR-232, têm velocidades iguais a do carro quando percebida por uma terceira pessoa parada na referida BR-232. No interior do automóvel, ao contrário, as duas pessoas lado a lado, uma com referência a outra, estão em repouso com relação ao automóvel. Assim, ao descrever uma trajetória (lugar geométrico no qual a partícula “desenhou” com seu movimento), o fato de dizer se a partícula (ou corpo extenso) está ou não em repouso, leva a exigir a idealização do referencial.

Desse modo, tomemos a representação de uma reta com o “0” sendo a escolha da origem. Logo, a posição da partícula em movimento unidimensional num instante t é descrita pela abscissa correspondente x(t). Aqui é visto outro recorte para com a análise do movimento que é a sua simplificação para uma dimensão.

O movimento mais simples é o Movimento Retilíneo Uniforme, cuja caracterização vem do fato de percursos iguais descritos em intervalos de tempos iguais. Esta linguagem quando expressa em termos de função, representa uma função afim do tipo x(t) = a + bt, conforme se apresenta o gráfico abaixo.

Da matemática sabe-se que b representa o coeficiente angular da reta e, sendo assim, para t = t1

tem-se x(t1) = a + bt1 e, similarmente, para t = t2 tem-se x(t2) = a + bt2. Como x(t2) – x(t1) = x, logo: x = (a + bt2) – (a + bt1) = b (t2 – t1) = b.t e, isto leva a se ter que b = x/t, que representa a inclinação da reta, ou seja, fisicamente, b representa a velocidade. Daí, velocidade é a razão do deslocamento ao intervalo de tempo que ele leva para se produzir.

v = x/t v = [x(t2) – x(t1)] / (t2 – t1)

Tomando t2 para um instante t qualquer e para t1 o instante inicial t0 e, definindo x(t0) x0 como a posição inicial, tem-se a lei horária do movimento retilíneo uniforme, dada por:

x(t) = x0 + v(t – t0)

A unidade de velocidade no Sistema Internacional de Medidas é m/s, mas outras unidades de velocidades são usadas, tais como, cm/s ou km/h, dentre outras. Observe que v < 0 ocorre quando x < 0, pois t > 0 sempre. Fisicamente isto ocorre quando o movimento se dá no sentido decrescente dos valores de x, deste modo chama-se de rapidez o valor obtido do módulo desta velocidade.

No trabalho do conceito de velocidade há a concepção de velocidade instantânea que se matura no contexto do cálculo diferencial e integral o que não corresponde ao escopo desta apostila. Fato interessante

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neste contexto é que quando se tem um gráfico v versus t, a área correspondente ao gráfico, limitada pelo eixo das abscissas tem valor numérico igual ao deslocamento feito pelo corpo naquele intervalo de tempo.

Nesse momento têm-se duas observações a serem feitas. Primeira: a diferença entre instante e intervalo de tempo, bem como posição e deslocamento, pois um se refere ao caso pontual (instante ou posição) e o outro a um intervalo entre dois pontos considerados (temporal ou espacial). Segundo: existe uma diferença espaço percorrido e deslocamento, pois espaço percorrido entende-se como sendo todos pontos construídos numa trajetória descrita pelo movimento de uma partícula; enquanto que deslocamento é a distância entre o ponto de partida e o ponto de chegada. Assim, o espaço percorrido é uma grandeza escalar enquanto que o deslocamento é uma grandeza vetorial. Sendo assim, velocidade é uma grandeza vetorial.

Outro elemento importante na análise do movimento, ou cinemática, refere-se a variação de velocidade na tempo, ou taxa de velocidade, que pode ser conhecida como sendo o conceito de aceleração média.

a (t )=v (t 2 )−v (t1)

t2−t1

=∆ v∆ t

Onde a unidade de medida da aceleração é, no Sistema Internacional (SI), dada por m/s2. Observe que t > 0 (sempre), logo, a > 0 ocorre quando v cresce de t1 para t2 e negativa quando decresce. A aceleração média pode geralmente ser variável durante o movimento, nesse caso usa-se a aceleração instantânea, que foge ao escopo deste material, pois se refere a derivada em relação ao tempo da velocidade instantânea.

Dentro desse contexto tem-se o estudo do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado que ocorre quando a aceleração instantânea é constante. É com este caso que vamos construir as equações desse movimento, as quais são:

v (t )=v0+a(t−t 0)

x (t )=x0+v0t+ 12

a (t−t 0 )2

v2=v02+2. a . ∆ x (Equação de Torricelli)

Com estas equações termina-se a compreensão de análise do movimento, onde como exemplo de uma realidade física (soltar um corpo), existe o movimento de queda livre, na Terra onde a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 e, com este dado, usa-se as três equações acima, tomando a idéia de que o corpo ou partícula parte do repouso (v0 = 0) substitui-se nas equações acima “a” por “g” e, também se substitui x por h e x por h.

Exercícios01. (COVEST 1999) Um atleta caminha com uma velocidade de 150 passos por minuto. Se ele

percorrer 7,20 km em uma hora, com passos de mesmo tamanho, qual o comprimento de cada passo?a) 40,0 cm d) 100 cmb) 60,0 cm e) 120 cmc) 80,0 cm x

02. (COVEST 2000) Um projetor de filmes gira com uma velocidade de 20 quadros por segundo. Cada quadro mede 1,0 cm de comprimento. Despreze a separação entre os quadros. Qual o tempo de projeção, em minutos, de um filme cuja fita tem um comprimento total de 18 m?a) 1,5 x d) 6,0b) 3,0 e) 7,5c) 4,5

03. (COVEST 1991) Um motorista sai do Recife às 9 horas da manhã e pretende viajar até João Pessoa a uma velocidade média de 60 km/h. Se a distância aproximada entre Recife e João Pessoa é de 120 km, a que velocidade média, em km/h, um segundo motorista que saia do Recife meia hora mais tarde deve viajar para chegar a João Pessoa ao mesmo tempo que o primeiro?a) 120 d) 80 x

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b) 100 e) 70c) 90

04. (COVEST 2003) A imprensa pernambucana, em reportagem sobre os riscos que correm os adeptos da “direção perigosa”, observou que uma pessoa leva cerca de 4,0 s para completar uma ligação de um telefone celular ou colocar um CD no aparelho de som de seu carro. Qual a distância percorrida por um carro que se desloca a 72 km/h, durante este intervalo de tempo no qual o motorista não deu a devida atenção no trânsito?a) 40 m d) 85 mb) 60 m e) 97 mc) 80 m. x

C Estática dos corpos rígidos17

Dizemos que uma partícula que permanece em repouso em relação a um dado referencial está em equilíbrio neste referencial. Nesta situação inicial, pode-se pensar o referencial como sendo a sala de um laboratório

Compreendendo o equilíbrio de uma partícula: o movimento de uma partícula pode ser considerado como composto de movimento de translação associado ao movimento de rotação; se um conjunto de forças age simultaneamente sobre esta partícula seus efeitos podem ser compensados de modo a não haver mais o movimento de translação como o de rotação e, quando isto acontece diz-se que a partícula está em equilíbrio.

Consideremos algumas experiências imaginárias, como a de um corpo rígido sobre uma superfície horizontal sem atrito, sob o qual é aplicado no ponto A uma força de intensidade F1 com direção e sentido na figura.

Ora, a força aplicada conforme a figura da página anterior fará com o corpo, antes em repouso sobre a superfície, comece a girar no sentido dos ponteiros do relógio, ou seja, a força muda o estado de repouso para o estado de movimento; se imaginarmos que o corpo inicialmente estivesse em movimento, digamos, em linha reta sobre a superfície, a aplicação desta força faria variar o movimento de translação em módulo ou em direção (ou ambos); de qualquer forma, estando inicialmente o corpo em repouso ou em movimento em linha reta com velocidade sempre constante, a aplicação da forma muda o seu estado de equilíbrio.

Porém, pode-se aplicar outra força num ponto B, deste corpo, de intensidade F2 sendo esta intensidade a mesma intensidade de F1; além disso, as duas forças têm a mesma direção de ação (reta suporte sobre a qual se configura os dois vetores da força) e sentidos contrários, conforme a figura abaixo.

Neste caso, se diz que a resultante das forças é nula, ou seja, são vetores de mesma direção, mesma intensidade, mas de sentidos contrários; neste caso o corpo permanece em repouso e, se estiver

17 Texto adaptado d0 livro de Física de Seares & Zemansky, 1970.

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num movimento em linha reta com velocidade sempre constante de módulo direção e sentido, este estado de movimento não irá modificar com a existência deste conjunto de forças cuja resultante de força é nula.

Outro caso acontece quando o par de forças é aplicado ao corpo, mas com a condição de terem direções diferentes, embora tenham a mesma intensidade e sentidos contrários conforme figura a seguir.

Neste caso o corpo entra em equilíbrio de translação, pois as forças de intensidades F1 e F2 são aplicadas em pontos distintos nas condições já explicitadas, mas neste caso nada impede que o corpo gire, ou seja, o referido corpo não está em equilíbrio de rotação.

Com isto vê-se que uma força produz efeitos diferentes conforme a direção e sentido que é aplicada, então na figura a seguir (outra página), temos três forças co-planares, ou seja, atuam sob o mesmo plano (superfície) onde se localiza o corpo.

Se estas forças apresentam soma vetorial nula, diz-se então que o corpo está em equilíbrio. Neste caso, pode-se tomar uma origem 0 e, nela assentar os três vetores de intensidade F1, F2 e F3 com direção e sentidos mostrados na figura, para verificar que de fato esta soma vetorial é nula.

Observa-se nesta solução que a intensidade do vetor F4, que é resultante dos vetores de intensidades F1 e F2 têm a mesma direção, mesma intensidade e sentido contrário a intensidade do vetor F3

e, com isto a resultante de todo o sistema vetorial é nula.

Ou equivalentemente, que a soma vetorial (polígono fechado) é nula, ou F1+ F2+ F3=0

, conforme figura:

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Matematicamente:

Rx=∑ F x ; R y=∑ F y ∑ F x=0

e ∑ F y=0

Que é a primeira condição para um corpo estar em equilíbrio (equilíbrio de translação); ou seja, um corpo está em equilíbrio se a resultante de todas as forças que atuam sobre este corpo é nula.

Exercícios:01. Determinar a tração em cada uma das cordas das figuras abaixo, onde o peso do corpo é de 200N.

02. Determinar em cada montagem a seguir, a tração na corda, a intensidade, a direção e o sentido da força exercida sobre a barra articulada, considere o peso igual a 1000 N (desprezar o peso da barra).

C1 Momento de uma forçaJá vimos que o efeito produzido sobre um corpo por uma força nele aplicada depende da linha de

ação em relação ao corpo, a qual está sendo aplicada à referida força. A linha de ação de uma força pode ser especificada pela distância de algum ponto a ela referendado.

Observe a figura abaixo, na qual as forças de intensidades F1 e F2 têm mesma intensidade, mesmas direção (são paralelas) e de mesmo sentido, mas possuem linhas de ações diferentes.

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Como se pode especificar a linha de ação de uma força? Primeiro vamos compreender que linha de ação de uma força pode ser especificada pela distância entre determinado ponto e o ponto de aplicação da força.

Em muitos casos temos que estudar o movimento de um corpo que pode girar em torno de um eixo no qual estão aplicadas forças situadas num plano perpendicular ao eixo; este fato pode ser observado na figura abaixo, na qual um plano retangular tem duas forças de intensidades F1 e F2 aplicadas, respectivamente, nos pontos P e Q do plano, que possui um eixo que passa pelo cruzamento de suas diagonais e, é perpendicular ao conjunto de forças do plano.

Assim, à distância OP e OQ são chamados de braço do eixo que contém as forças, onde a distância entre este traço à linha de ação de uma força é chamada de braço de alavanca de força, ou simplesmente de braço.

Faz-se saber que, matematicamente, a distância de um ponto a uma reta é a medida deste ponto a um ponto da reta, de modo que, o segmento a ser medido deve ser uma perpendicular baixada deste ponto dado à reta.

Assim, na configuração acima a distância do ponto O a reta r, dentre os três segmentos de retas apresentados, só pode ser considerado como medida do ponto a reta, o segmento OQ que é perpendicular à reta; este conceito é muito utilizado no estudo do momento de uma força para identificar o braço de uma força.

Sendo assim, pode-se dizer fisicamente que, o produto da intensidade de uma força pelo seu braço de alavanca é chamado de momento de força em relação ao eixo.

Observação:As duas forças aplicadas ao corpo plano da primeira figura desta página têm uma particularidade

interessante que é o fato delas terem a mesma intensidade, mesma direção, mesma linha de ação e sentido contrários; quando isto acontece, o conjunto destas forças é chamado de binário ou conjugado; estes pares de forças são exemplos de forças que atuam sobre uma agulha magnética de uma bússola no campo

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magnético terrestre. Neste caso, a resultante das forças que atuam sobre o corpo é nula: R = F – F, uma vez que F1 = F2 = F.

Observe que o efeito produzido pelas forças F1 e F2 é o de produzir uma rotação em torno de um eixo; assim sendo, as duas forças estariam contribuindo para este movimento de rotação, que também pode ser estudado na rotação de galáxias; porém, nem sempre é assim; os efeitos de duas forças aplicadas a um corpo podem apresentar sentidos diferentes de rotação; desse modo, o efeito de uma força (ou conjunto de forças) é produzir um movimento no sentido contrário aos ponteiros do relógio (movimento direto ou positivo) em torno de um eixo e, o da outra força é produzir uma rotação no sentido contrário (movimento contrário ou retrógrado); no primeiro caso tem-se a produção de um momento de força positivo e no segundo caso a produção de um momento de força negativo, conforme se pode ver na figura a seguir.

Nesta configuração o objeto plano (ou corpo de massa m) pode girar em torno de um eixo que passa pelo ponto O e é perpendicular ao plano da figura; deste modo, ao aplicarmos a força de intensidade F1 o efeito produzido por esta ação é um giro no corpo no sentido positivo, enquanto que, o efeito produzido pela força de intensidade F2, também com relação ao eixo que passa pelo ponto O, é o de produzir um giro no sentido negativo ou retrógrado.

Para cada uma dessas forças tem-se o braço de alavanca; no caso de F1 o braço é 1 e no caso de F2 é 2; observe que 1 = OQ que é a distância perpendicular à linha de ação de F1 e, que 2 = OP que é a distância perpendicular à linha de ação de F2.

Deste modo, temos dois momentos de força em relação ao eixo que passa pelo ponto O; para calcular estes momentos de força usa-se o conceito físico do mesmo, ou: M1 = + F11 e M2 = – F22. Onde a unidade de medida é o produto da unidade de medida de força pela unidade de medida de comprimento, e que:

∑M = F11 – F22

Assim, se F1 e F2 têm mesma intensidade, possuem a mesma linha de ação e mesmo braço de alavanca em relação a um eixo perpendicular ao plano do corpo, passando por um ponto arbitrário O, então os seus momentos de força são iguais em intensidade e opostos pelos sinais, de modo que a soma de todos os momentos de força é zero, pois:

F11 = F22 = F F11 – F22 = 0.

∑M=0 (em relação a um eixo arbitrário)Esta é a segunda condição de equilíbrio (equilíbrio de rotação) para um corpo.

Na primeira condição de equilíbrio (equilíbrio de translação), usa-se o fato de, dado um conjunto de forças co-planares elas podem ser reduzidas a duas resultantes de forças, cuja intensidade é vista como:

∑ F x=0e ∑ F y=0

Para o caso do momento de força, não se faz necessário reduzir um sistema de força co-planares a duas com o objetivo de calcular a soma dos momentos; na realidade, dado um conjunto de forças co-planares atuando sobre um corpo, para impor a segunda condição de equilíbrio, basta tomar um eixo arbitrário e calcular o momento de força para cada força dada ou apresentada no problema e, em seguida,

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somar algebricamente estes momentos; lembrando sempre que, se o corpo está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças co-planares, então a soma algébrica dos momentos de força com relação a um eixo arbitrário é nula, que é a segunda condição de equilíbrio, ou equilíbrio de rotação; para o binário M0 = F(PQ) = F.

Exercícios:01. Uma barra rígida, cujo próprio peso é desprezível, é articulada no ponto 0 e sustenta um peso p1 na

extremidade A. Determinar o peso p2 de um segundo corpo que deve ser pendurado na extremidade B a fim de que a barra fique em equilíbrio: determinar a força exercida sobre a barra pela articulação no ponto 0.

D Leis de NewtonNa cinemática apresentou-se a descrição do movimento; desta forma não se delineou preocupação

para com as circunstâncias física com as quais estes movimentos se materializaram. Esta materialização é a constituição de princípios fundamentais da dinâmica, que teve base

formulada por Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1643 - 1727), embora os mesmos não sejam únicos, pois outras pessoas deram seu contributo para tal finalidade, mas estes dois nomes são citados como pontos de referências histórica, físicas e matemáticas na formulação de princípios e mudanças significativas de paradigmas da Ciência Física e, de suas contribuições relevantes para visão de mundo, tecnologia e sociedade.

Os estudos da dinâmica têm cinco princípios relevantes.Primeiro: o espaço é isotrópico.Segundo: o espaço, o tempo e a massa são absolutos.Terceiro: as leis da mecânica newtoniana são as mesmas em qualquer referencial inercial.Quarto: como conseqüência do terceiro, é válido o princípio de relatividade de Galileu.Quinto: as forças de interação entre as partículas dependem (agem) das distâncias mútuas (linha de ação).

Observação:Ao falar em Mecânica Clássica deve significar a existência de outras mecânicas na física, tais como:

mecânica relativística, mecânica quântica, mecânica estatística. Procure saber o que significa cada uma dessas mecânicas.

Antes de atingirmos diretamente os princípios da mecânica clássica, vamos compreender a idealização de “força” na forma intuitiva, ou seja, naquela a qual esta grandeza está associada ao esforço muscular, necessário para colocar uma partícula em movimento ou, alterar o seu estado de movimento. Uma vez que, historicamente, os efeitos da força foram estudados pela primeira vez nas situações de equilíbrio, ou seja, em situação de “estática” para medir o efeito desta força aplicado a uma partícula (corpo de massa m) a qual se toma sua extensão como não relevante no problema; este princípio se denomina em ciência de modelo ou recortes de uma situação real, para que se minimize a configuração do problema aos olhos de quem o analisa.

D1 A Força PesoConsideremos a situação de uma mola que está atrelada a um corpo de massa m, numa posição de

equilíbrio, ou seja, numa posição em que a mola não está nem esticada e nem comprimida; ao soltar esta massa num certo instante, o conjunto massa-mola, irá deslocar-se de sua posição de equilíbrio, para uma nova posição; no instante em que o sistema atingir esta nova posição vai-se analisar os elementos nele contido.

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Temos assim, duas forças iguais em módulo e direção, mas de sentido opostos (ver a figura, onde a notação em negrito significa uma grandeza vetorial). Quando o corpo sai da posição O (centro do corpo) para a posição P (também, centro do corpo), diz que a mola foi distendida (esticada) de uma distância dada por OP.

Nesta configuração −F é a força devido à mola (força que irá fazer com que a massa presa à mola desloque-se a partir deste instante para cima); a outra força, não é devido a um puxão, uma vez que o apoio é retirado sem que haja influência de uma ação sobre o corpo, então a referida força é devido à ação gravitacional da Terra e denomina-se de força peso.

Assim a força peso é a intensidade da força −F que é necessária aplicá-la ao corpo para que o mesmo se mantenha em equilíbrio quando um corpo é suspenso de forma livre; e um fato interessante é que a existência desta força sobre um corpo tem ação sem ser de contato, é a chamada força de ação à distância, diferente da força de contato, onde de fato há o contato (interação) entre os corpos (partículas).

D2 Peso e MassaQuando se fala da força peso entende-se que peso de um corpo esta relacionado à força, enquanto

que massa de um corpo está relacionada à quantidade de matéria desse corpo. Isto quer dizer que, peso e massa são grandezas físicas distintas. Embora, no cotidiano usamos a palavra peso para dar significado à quantidade de matéria. Assim quando dizemos que um corpo pesa 4,0 kg o que de fato, e correto seria era dizer que o corpo tem massa de 4,0 kg. Pois, na superfície terrestre o peso de um corpo é medido pelo produto da sua quantidade de matéria (massa m) e a aceleração da gravidade g = 9,80665 m/s2 (usado quase sempre como g = 9,8 m/s2 ou g = 10 m/s2).

Assim, como na lua a aceleração da gravidade é de 1,6 m/s2 então, uma pessoa com massa de 75 kg tem na superfície terrestre um peso de 75 x 9,8 = 735 N (75 x 10 = 750 N), mas na lua, esta mesma pessoa tem peso dado por 75 x 1,6 = 120 N. Como exercício, calcule o seu peso na superfície terrestre e na superfície lunar.

Um fato interessante na força peso é que ela é uma força de ação à distância, ou força de campo. Todos nós sabemos que, ao soltarmos um corpo de massa m este tende a cair sobre a superfície da Terra, quando suas forças de interação interna (atômicas e nucleares) não interferem na força peso. Daí a concepção de Campo Gravitacional Terrestre, para a Terra; Campo Gravitacional de Marte, para o planeta Marte onde g = 3,7 m/s2.

Deste modo pode-se dizer que a força peso é responsável por manter todos os objetos presos na superfície terrestre e, sua natureza tem origem no princípio de que massa atrai massa. Daí dizer-se que todo objeto na superfície da Terra tem peso dirigido para o centro da mesma. A força peso é uma grandeza vetorial.

Outro fato interessante é que o valor da aceleração da gravidade terrestre não é constante como se pode imaginar, esses valores variam de acordo com a altitude, como se pode ver na tabela abaixo.

Altitude (km) Nível do mar 5 10 100 400 35.700 380.000Aceleração g (m/s2) 9,83 9,81 9,80 9,53 8,70 0,22 0,0027

FONTE: Física em Contexto, volume 1.

D3 Força NormalQuando corpos sólidos se toca há uma interação por meio do contato que recebe o nome de Força

Normal e, esta força é sempre perpendicular à superfície de apoio. Observe que esta é também uma força de contato.

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N

D4 Força de TraçãoNas escolas de Educação Básica existe uma brincadeira que é muito praticada nas aulas de

Educação Física, chamada de Cabo de Guerra. Nesta brincadeira o(a) professor(a) convoca duas equipes com igual número de estudantes e, cada grupo, fica com um pedaço da corda, que tem um nó como referência. A equipe que deslocar a outra (deslocamento do nó), num determinado tamanho, ganha a brincadeira. O que fisicamente faz cada equipe? Cada equipe puxa uma em direção da outra com uma força sendo aplicada na corda, chamada de força de tração.

MA = 2,0 kg MB = 1,5 kg MC = 2,5 kg

F = 60 N

Na figura acima entre os corpos de massa igual a 2,0 kg e 1,5 kg existe uma força de tração T1 e entre os corpos de massa 1,5 kg e 2,5 kg existe outra força de tração T2. Estas forças podem ser determinadas, conforme veremos mais adiante, nesse curso.

D5 Força de AtritoQuando uma caixa é arrastada sobre uma superfície da direita para esquerda, entre a superfície

(que pode ser o chão de uma casa) e a face da caixa que está sobre a superfície há uma força que age no sentido contrário a este movimento (da esquerda para direita), no caso, denominada de força de atrito. Essa característica faz com que se conceba a força de atrito como sendo forças tangencias à superfície de contato.

O fenômeno do atrito é complicado e suas leis de força são leis empíricas e têm uma dependência muito forte com o estado das superfícies em contato, grau de polimento, oxidação e presença ou não de fluido entre as camadas de contato, como lubrificantes.

Observe a figura abaixo para um bloco de massa m em repouso sobre uma superfície horizontal e a qual se aplica uma força F (em negrito para significar grandeza vetorial), também horizontal.

N

F

P

No instante inicial em que F é aplicada o corpo, a partir de zero, o corpo fica em repouso. À medida que a intensidade da força F (módulo de F) vai aumentando, de forma gradual, vai existir um momento no qual em um específico instante, quando F atingir um valor crítico, deve aparecer à força de atrito f. E, nesse instante, temos a configuração.

N

f F

P

N

Page 21: CPE - apostila de física - completa

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Nesse instante o bloco ainda está em equilíbrio e neste caso, tem-se na vertical que a intensidade da força normal é igual à intensidade da força peso, ou N = P; e na horizontal, tem-se que a intensidade da força aplicada ao corpo é igual a força de atrito, para o caso do corpo está em equilíbrio ou estático, o que leva a equacionar as equações na horizontal, como sendo:

F = f para F < fe (fe força de atrito estático)

Note que, enquanto F < fe a força de atrito se ajusta automaticamente para equilibrar a força F. E, neste contexto, as leis de atrito são:

A força de atrito máxima fe, para o qual o bloco começa a se mover é proporcional ao módulo da força normal de contato N entre as duas superfícies.

fe (Max) = eN e é o coeficiente de atrito estático

O coeficiente de atrito estático ou coeficiente de proporcionalidade depende da natureza das duas superfícies em contato.

A força de atrito é independente da área de contato entre os dois corpos.

Sendo assim:Quando o bloco sai de seu limiar de movimento e, realmente, entra em movimento, é verificado que

há uma diminuição na força de atrito, o que permite manter o equilíbrio das forças F e uma força de atrito fa

de magnitude menor que a força de atrito estático. Assim, no movimento há a força de atrito cinético dada pela mesma expressão matemática:

F = fc (no movimento), onde: fc = cN(c é o coeficiente de atrito cinético, com c < e)

Tudo o que se apresentou até o momento sobre as leis de atrito se referem a superfícies secas. Se existe uma camada de fluido entre s duas superfícies (lubrificantes) a situação se torna muito diferente. Neste caso temos que considerar o problema do atrito entre os sólidos e um fluido. Este é o caso de “atrito interno”, e um exemplo importante deste fato é a resistência do ar. Para baixas velocidades, a resistência depende da viscosidade do fluido, e geralmente é proporcional à velocidade, opondo-se ao movimento através do fluido. Para velocidades mais elevadas, produz-se em geral turbulência no fluido, e o termo dominante da força de resistência é proporcional ao quadrado da velocidade. Chamando de R a força de resistência, tem-se:

R = av + b(v)2

Com, a e b são constantes, mas este caso não será tratado neste curso.

Na parte que se seguiu vimos alguns princípios da dinâmica que surgiram na compreensão da física clássica, como o de força; agora vamos conhecer os princípios da dinâmica dentro da perspectiva de assentamento das idéias sobre o estudo da dinâmica clássica; estes princípios se materializam nas Leis de Newton, que serão apresentadas pedagogicamente, numa ordem da 1ª para a 3ª lei.

Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia)Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos

que seja levado a modificar este seu estado pela ação de uma força impressa a este corpo.

Esta é a primeira Lei de Newton expressa numa linguagem física-matemática tem a forma.

∑ F≡R=0⇒ a=0⇒ v = 0 (repouso) ou v = constante (MRU); num sistema inercial.

Esta lei ia de encontro ao pensamento aristotélico no qual só existiria movimento com a “presença”

da força e, no momento em que a força “cessasse” o movimento também cessaria.

Não se pode dizer sob hipótese nenhuma que Aristóteles estava errado, pois existe interação onde a força depende da velocidade, como pensou Aristóteles. Esta concepção aristotélica é comum na compreensão da concepção de força, como se pode ver na configuração a seguir.

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Figura expressando a concepção aqui “errônea” da concepção aristotélica

Uma utilização prática da lei de inércia é o uso do cinto de segurança nos automóveis, cujo princípio é evitar que o corpo da pessoa seja ejetado do assento quando numa freada brusca, com velocidade igual a que o corpo tinha antes da ação desastrada; o uso do cinto de segurança tem evitado mortes em acidentes; sendo assim, esta lei física explica um problema que ocorre em acidentes em estradas brasileiras; com igual valor, está o apoio a cabeça do passageiro, pois, numa arrancada brusca o corpo é levado para traz e a cabeça se não estiver bem posta no assento ou no encosto, o passageiro pode sofrer lesões no início da coluna, chamadas de vértebras cervicais. Esta é uma informação que o estudante deve aprender fato que pode ser visto com a figura abaixo da coluna vertebral de uma pessoa em pé.

A coluna vertebral humana é dividida em quatro partes: 7 vértebras cervicais, situada logo abaixo da caixa craniana; 12 vértebras torácicas, seguida de 5 vértebras lombares, que estão imediatamente acima do sacro contendo o cóccix; a ordenação das vértebras é de cima para baixo. A linha definida pela coluna de uma pessoa em pé não é reta, mesmo em posição normal, mas curva com variação da concavidade; a curva definida pelas vértebras lombares se chama de lordose lombar; a curva que é definida pelas vértebras torácicas é definida como cifose dorsal; a curva definida pelas primeiras vértebras é chamada de lordose vertical.

Segunda Lei de Newton (Principio Fundamental da Dinâmica)Uma conseqüência da primeira lei é que se houver variação de velocidade v de um corpo em

módulo ou direção em relação a um referencial inercial, então deve existir ação de uma força para alterar o módulo ou a direção da velocidade; sabendo que, a variação da velocidade num intervalo de tempo é a aceleração deste corpo, pode-se então dizer que a força (ação sobre o corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme) é a causa da variação de velocidade em módulo e/ou direção e, a causa não pode depender do efeito; isto fez com que se começasse a pensar numa relação entre força e aceleração.

Fato como este fora compreendido em discussão anterior sobre a existência da força peso, em ação numa queda livre; assim sendo, ao ser solto um corpo ganha uma aceleração (variação de velocidade) dirigida para baixo, denominada de aceleração da gravidade; ou seja, está aceleração também tem como

Page 23: CPE - apostila de física - completa

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efeito uma força (força peso), que é proporcional a esta aceleração; e que esta proporcionalidade está ligada (verificação experimental) para com corpos de inércia diferentes; outro fato semelhante ocorre o mesmo com corpos de inércias diferentes atrelados a uma mola para verificar a distensão da mesma; observa-se assim que, esta distensão está associada à inércia do mesmo, assim como está a força peso; ou seja, o coeficiente de proporcionalidade entre a aceleração e força é uma propriedade do corpo, que vai dar uma resposta à força aplicada.

Para melhor compreender o significado de inércia colocado no trecho acima suponha que um carro acelere (ou provoque uma freada) e, este mesmo fato ocorra com uma bicicleta; evidentemente os dois casos são iguais quanto ao contexto de manifestação física, porém são diferentes num aspecto: o carro tem uma inércia maior que a bicicleta (imagine um chocando-se com o outro com a mesma velocidade!), pois numa colisão o carro resiste muito mais a variação de velocidade que a bicicleta. E é esta inércia (dificuldade de provocar variação de velocidade) que representa o coeficiente de proporcionalidade entre a força e a variação de velocidade, ou seja, a massa do corpo, propriedade inercial do corpo ou massa inercial do corpo.

Vamos compreender esta análise dentro do contexto de uma experiência imaginada em três etapas e, a experiência é a seguinte: um corpo de A está sobre uma superfície sem atrito, ligado a um instrumento que em seu interior é uma mola que pode ser distendida e, este instrumento está ligado a outro corpo de P, que fica pendurado e passa por uma polia ideal (sem massa e sem atrito), tomando o fio que liga o corpo A ao instrumento é o mesmo que liga o instrumento ao corpo P e, também é considerado ideal (não estica e sua massa não tem influência sobre o problema).

Na figura abaixo, a força F , que é medida pela distensão da mola, é aplicada ao corpo A pelo peso P; deste modo, o corpo A desliza sobre a superfície com movimento retilíneo uniformemente acelerado, de

aceleração a , na direção e sentido da força, como v0 = 0 e t0 = 0 temos que v = at, pois: v = v0 + a(t – t0).

Agora vamos imaginar a mesma configuração, só que o peso P fora duplicado e, o corpo A continua sendo o mesmo, neste caso a intensidade da força aplicada ao corpo A é duplicada, ou seja, 2F (devido ao

peso adicionado) e, neste caso a aceleração é duplicada, ou seja, 2 a , e deste modo, temos v = 2at.

Tomando ainda, a mesma configuração, agora numa terceira etapa do experimento, vamos tomar agora à duplicação do corpo A (aumentar a inércia) e, manter apenas um peso P; neste caso a aceleração do sistema cai para a metade, ou seja, a inércia duplicou e a aceleração se reduziu a metade e a força passa a ter intensidade F, como na primeira etapa e, deste modo, v = ½ at.

Page 24: CPE - apostila de física - completa

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Comparando a terceira etapa com a primeira, vemos que, na primeira etapa, o peso P faz o corpo mova-se na forma retilínea com aceleração a (vetorial) na direção e sentido da força F; porém, ao duplicarmos a inércia (2A), a aceleração cai pela metade e novamente a força fica proporcional a variação de velocidade da inércia. Isto que dizer que:

No primeiro caso: a= F

m

Enquanto no terceiro caso: a= F

2 m (“a” cai pela metade).

Ou seja, m é o coeficiente de proporcionalidade de inércia que mede a quantidade de matéria; deste modo, ele é denominado de massa temos fisicamente que:

F a F=m a

Tomando a primeira etapa e a terceira, podem-se repetir estas experiências com as seguintes

características: aplica-se a mesma força F (força padrão) para uma massa m1 e, conseqüentemente,

F=m1 a1 . Repetindo a experiência (mesma F ) para uma nova massa m2 teremos F=m2 a2 Deste

modo:

m1 a1=m2 a2

|a2||a1|=

m1

m2

O que equivale a dizer que, as acelerações de objetos diferentes quando submetidos à mesma força são inversamente proporcionais aos respectivos coeficientes de inércia, ou seja, a massa inercial do corpo, que de agora em diante será denominada apenas de massa do corpo. Deste modo a 2ª Lei de Newton pode ser expressa como:

F=m a

Quando estudamos a parte primeira da dinâmica escolhemos uma unidade de força, o kgf, que às vezes é representado por kg*, para se trabalhar o referido conceito que, inicialmente é ligeiramente compreendido como esforço físico; neste momento, é mais apropriado definirmos a propriedade do corpo que caracteriza a resposta a força aplicada, ou seja, a massa inercial do corpo, ou simplesmente a massa.

A unidade de massa é definida em termos de um protótipo (padrão de platina iridiada, depositada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Paris), que representa o quilograma (kg), foi constituído originalmente para corresponder à massa de um litro de água à pressão atmosférica e à temperatura de 4ºC. É este protótipo padrão que representa 1 kg.

Observação:

Page 25: CPE - apostila de física - completa

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Quando se estuda Física Clássica a relevância do estudo está em grandezas físicas macroscópicas; embora um corpo de massa m seja constituído de um número muito grande de partículas menores, como por exemplo, seus átomos (grandezas microscópicas), este último não é revelado no estudo clássico da física, para compreender a massa de um corpo; isto se deve ao fato de que não podemos contar com precisão o número de partículas num corpo de massa m, o que dificultaria a estabelecer precisão na medida, fato que não ocorre com o quilograma.

Conhecendo-se a unidade de massa, pode-se agora dizer que: 1 N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa 1 kg imprime uma aceleração de 1 m/s2, no Sistema Internacional de Medidas, ou MKS. Assim:

1 = m.9,8 m = 1/9,8 m 0,10 kg m = 100 g.

No sistema de medida CGS, temos que: 1 kg = 103 g e daí vêm que 1 g = 10– 3 kg; semelhantemente, a unidade de aceleração que é m/s2 se tornará cm/s2, onde: 1 m = 102 cm e daí vêm que 1 cm = 10 – 2 m. Com isto o produto massa vezes aceleração, que representa 1 newton, fica: 1 N =1 kg x 1 m/s2 = 1 kg.m/s2 = 103 g x 102 cm/s = 105 g.cm/s2 = 1 dina. E daí: 1 N = 105 dina ou 1 dina = 10 – 5 N.

Na compreensão anterior de força usou-se a unidade de medida kgf; força necessária para fazer a massa de 1 kg cair sob a ação da aceleração da gravidade (9,8 m/s2), isto conduz a 1 kgf = 9,8 N, ou, numa forma simplificada usa-se 1 kgf = 10 N, onde, esta forma simplificada vem do fato de que usamos o valor de g igual a 10 e não 9,8 m/s2.

Esta segunda lei de Newton não é uma definição de força, pois as forças que atuam sobre os corpos resultam da interação entre esses corpos e este fato se atrela a denominada “leis de forças”; ou seja, esta segunda lei de Newton é um dos elementos (pilares) da física clássica de que compõe as leis de forças, na realidade, a idéia central desta lei é que a massa inercial é uma propriedade do corpo. Outro fato interessante nesta segunda lei de Newton é que a massa m quando submetida a uma força produzir aceleração, é independente da posição e da velocidade da partícula, no domínio da física clássica. Ou seja, a força é proporcional a aceleração do corpo de massa m.

Outra característica da força é que, por ser uma grandeza vetorial, então a resultante de forças aplicadas a um corpo é o somatório de todas estas n forças aplicadas ao corpo:

R=∑i=1

n

Fi

Este princípio, chamado de Princípio de Superposição, quando no cálculo da resultante, é necessário calcular cada força levando em conta a presença de todas as outras forças; isto não é um problema fácil, mas em nossos estudos esta complicação não estará presente; deste modo, em nosso trabalho vamos calcular a resultante sem levar em conta a presença das outras forças, mas tendo a resultante como sendo a soma (vetorial) cada força devida a uma partícula origem. Como na configuração abaixo:

Nesta figura temos três corpos interagindo e, dando um olhar sobre a partícula 1 (origem) que

interage com as partículas 2 e 3; neste caso temos: F1(2 ) que é força sobre a partícula 1 devida à presença

da partícula 2 e, F1(3 ) é a força sobre a partícula 1 devida à presença da partícula 3. E que:

F=F1(2 )+ F1(3) é a resultante.

Importante.

Page 26: CPE - apostila de física - completa

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Porém, a força sobre a partícula 1 devida à presença da partícula 3 é devida unicamente da relação entre as partículas 1 e 3, mas isto não é necessariamente verdade uma vez que a partícula 2 apresenta uma força sobre 1, que pode ser alterada pela presença da partícula 3. Nesse estudo, não estamos a considerar esta vertente para o princípio da superposição, apenas a interação tomada entre a partícula origem e cada outra partícula, repito.

Conservação do Momento Linear e a Terceira Lei de Newton (Lei da ação e reação)Vamos agora considerar dois corpos 1 e 2, e imaginar como se dá a interação entre esses dois

corpos; para tal compreendemos que as únicas forças existentes neste sistema são as forças devido à ação mútua entre esses dois corpos, agindo na linha de ação que as une (se houver colisão será frontal). Vamos considerar esses dois corpos como se fossem cilindros de pequena altura, com relação ao diâmetro do mesmo. Além disso, nesse modelo não vamos considerar o atrito entre os corpos e a superfície.

Para descrever esta experiência imaginada, vamos tomar os dois corpos com a mesma massa (m1

= m2 = m) e, supor que entre esses corpos há colisões; deste modo, as forças de interação ocorrem com o contato no instante da colisão; ao falar de “instante de colisão” em lugar de um intervalo de tempo t, se dá pelo motivo de considerar este intervalo de tempo tão curto que em nada muda em nosso modelo físico, a consideração de um instante de colisão, uma vez que o intervalo de tempo é praticamente imperceptível. Outra suposição que vamos tomar neste experimento pensado é que a força resultante em cada corpo antes e depois da colisão é nula; este fato se justifica por considerar as velocidades constantes, antes e depois da colisão, o que leva a se ter uma variação de velocidade (ou aceleração) nula.

Vejamos as três experiências:

EXPERIÊNCIA – 1ANTES DA COLISÃO DEPOIS DA COLISÃO

v − v 1 2 m m

− v v 1 2 m m

Velo-cida-des

v1=v v2=−v v1

'=−v v2'=v

Mo-men-tos

p1=m v p2=−m v p1'=−m v p2

'=m v

Total P= p1+ p2=0 P'= p1' + p2

'=0

Na experiência – 1, os corpos 1 e 2 se aproximam na forma frontal, com velocidades de módulos iguais, direção igual e sentidos contrários; depois da colisão, os dois corpos se afastam e, embora suas velocidades tenham mudado de sentido, continuam com mesmo módulo e mesma direção. Observa-se que a antes da colisão a quantidade de momento total é zero e, o mesmo resultado ocorre depois da colisão.

EXPERIÊNCIA – 2ANTES DA COLISÃO DEPOIS DA COLISÃO

v 1 2 m m

v 1 2 m m

Velo-cida-des

v1=v v2=0 v1

'=0 v2'=v

Mo-men-tos

p1=m v p2=0 p1'=0 p2

'=m v

Total P= p1+ p2=m v P'= p1' + p2

'=m v

Page 27: CPE - apostila de física - completa

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Na experiência – 2, vamos considerar o corpo 2 inicialmente em repouso enquanto que o corpo 1 aproxima-se dele com uma velocidade de intensidade v, o que provoca uma colisão; após esta colisão, o corpo 1 pára enquanto que o corpo 2 desloca-se com uma velocidade, de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário ao do corpo 1, antes da colisão. Observa-se que antes da colisão e depois da colisão, a quantidade de momento linear é a mesma e tem intensidade dada por mv.

EXPERIÊNCIA – 3ANTES DA COLISÃO DEPOIS DA COLISÃO

v

1 2 m m

2m

Velo-cida-des

v1=v v2=0 v1

'=v 2'=(1/2) v

Mo-men-tos

p1=m v p2=0 p1'= p2

'=(1/2)m v

Total P= p1+ p2=m v P'= p1' + p2

'=m v Na experiência – 3, a situação é muito parecida com a da experiência – 2, a diferença está no fato de que na bola de massa 1 existe uma pequena porção de “chiclete”, de modo que, logo após a colisão as duas bolas fiquem juntas; neste caso, a massa das duas partículas juntas passa a ser 2m e, sendo assim, a velocidade cai à metade, embora a direção e o sentido sejam o mesmo da velocidade da partícula 1.

Analisando as experiências idealizadasUm fato interessante é que a quantidade de momento total antes da colisão e depois da colisão permanece constante, em todos três experimentos:

P= p1+ p2= p1' + p2

'=P'

Se estas experiências fossem feitas com m1 m2 e, considerarmos quaisquer velocidades v1 e

v2 antes da colisão, seria verificado que o princípio de conservação dos momentos lineares é verificado, desde que, todas as forças que atuam no sistema sejam apenas oriundas das interações entre as duas partículas, durante a ocorrência da colisão; isto equivale a dizer “os efeitos das forças externas ao sistema não são consideradas” como, por exemplo, as forças de atrito. Esta criação analítica deste processo de conservação de momento linear é um modelo denominado de sistema isolado. Este é um dos princípios fundamentais da física e, pode ser generalizado para o caso de mais partículas, ou n partículas, daí afirmar-se que:

No Princípio de Conservação do Momento Linear, o Momento Total de um Sistema Isolado se Conserva.

Voltando a equação P= p1+ p2= p1' + p2

'=P', vamos tomar a variação entre os momentos

Δ p1 e Δ p2 onde, a diferença ocorre devido à colisão (momento depois da colisão menos o momento antes

da colisão), ou seja, Δ p1= p1'− p1 e Δ p2= p2

'− p2 . Partindo de p1+ p2= p1' + p2

' '

isto nos leva a

tornar esta equação na forma: p2− p2'= p1

'− p1 ou que −( p2'− p2 )= p1

'− p1 ou

p1'− p1=−( p2

'− p2 ) que com o uso da variação do momento, temos que: Δ p1=−Δ p2 . Isto ocorre para

um t extremamente curto, logo:

Δ p1

Δt=−

Δ p2

Δt

Como t é extremamente pequeno, podemos tomar t 0, o que leva a:

(1/2) v1 e 2

Page 28: CPE - apostila de física - completa

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d p1

dt=−

d p2

dt .

Isto equivale a

ddt( p1+ p2)=0

o que quer dizer que o momento total se conserva a cada instante, inclusive durante a colisão.

Como: F=d p

dt , temos que: F1(2 )=

d p1

dt e F2(1 )=−

d p2

dt isto leva a F1(2 )=−F2(1) .

Mas quem são essas forças?

F1(2 )

Estas forças representam a força sobre o corpo de massa m1 devido à colisão com o corpo de

massa m2. F2(1 ) Representa a força sobre o corpo de massa m2 devido à colisão como corpo de massa m1.

Numa representação gráfica temos, onde F1(2 ) age sobre o corpo 1 e,

F2(1 ) sobre o corpo 2.

Observa-se que estas duas forças atuam, na mesma direção, tem mesma intensidade, porém de sentidos contrários; além disso, atuam em corpos diferentes. Dentro deste contexto é que se dá o par: Ação – Reação, o que forma a terceira lei de Newton: “a toda ação corresponde uma reação igual e contrária”.

Conclusão.Todo este estudo se refere a mecânica newtoniana na qual à dinâmica de uma partícula significa

responder “como se moverá o corpo?”. E, se estivermos bem informados a respeito da vizinhança deste corpo que, para compreendê-la há necessidade de se fazer compreender as Leis de força e as Leis de Movimento, e este fato pode ser agora, em princípio, compreendido, após este texto, como na configuração que se segue:

Isto tudo se refere à Física Clássica e, para compreender o que vem a ser a Física Clássica basta se tiverem em mente os limites de aplicabilidade de uma Teoria Física; assim, para a Física Clássica temos duas suposições:

1ª) o comportamento dos instrumentos de medidas não é alterado pelo estado de movimento, desde que eles não sejam acelerados rapidamente;

2ª) é o de ser possível, pelo menos em princípio, se ter instrumentos capazes de medir qualquer grandeza com uma aproximação tão pequena quanto se queira.

Page 29: CPE - apostila de física - completa

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Estes dois casos falham; no primeiro caso há falhas quando se refere a velocidades muito grandes, como por exemplo, próximas a velocidade da luz; no segundo caso há falhas quando se quer medir grandezas muito pequenas, como por exemplo, no mundo atômico e, nesse caso se tem o chamado Princípio da Incerteza.

ObservaçõesOutras unidades de forças também podem ser apresentadas, tais como: libra, representada por lbf,

tem a relação 1 lbf = 4,48 N; poundal, representada por pdl, tem a relação 1 pdl = 0,1383 N; unidade atômica de força, representada por u.a.f, tem a relação 1 u.a.f. = 8,24 x 10 – 8 N; grama força, representado por gf, tem relação dada por 1 gf = 0,0098 N. além de: 1 kgf = 9,8 N e 1 N = 105 dina.

Exercícios:01. Dado que se conhece uma Força de intensidade F = 735 N, escreva este resultado em:

[a] libra (força)[b] Unidade atômica de força[c] Poundal[d] dina[e] Grama força.

02. (PUC – SP) Se você saltar de um ônibus em movimento, para não cair:[a] deve tocar o solo com um pé e seguir correndo.[b] deve tocar o solo com um pé e seguir correndo para trás.[c] deve saltar tocando o solo com os dois pés.[d] deve saltar na direção perpendicular ao movimento do ônibus.[e] se esborrachará no chão de qualquer forma.

03. Num ônibus de viagem possui uma área de lazer com uma mesa de jogos, onde algumas crianças brincam de futebol de botão. Quando o ônibus freia, jogadores, traves e bolinhas são lançadas para frente. Por que isso acontece?

04. Um corpo está sujeito a uma força F. podemos dizer que esse corpo não está em repouso?

05. Um corpo, preso a um barbante, está em movimento circular sobre uma mesa lisa. Quando ele passa pela posição mostrada na figura abaixo, o barbante se rompe.

[a] Desenhe, a trajetória que o corpo passa a descrever sobre a mesma.[b] Qual a propriedade do corpo que faz com que ele siga essa trajetória?

06. Um bloco de massa m = 2,0 kg, é arrastado sob uma superfície horizontal por uma força F constante, de módulo igual a 4,0 N e direção horizontal, conforme figura abaixo. Entre o bloco e a superfície há uma forma de atrito f constante, de módulo igual a 1,0 N.

N

F f

P

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[a] Qual é a aceleração do bloco?[b] Supondo que o bloco partiu do repouso, qual será sua velocidade e a distância percorrida por ele, depois de decorrido um tempo de 4,0 s?

07. Um bloco de massa m1 = 3,7 kg está apoiado em um plano inclinado liso, fazendo um ângulo de 300

com a horizontal. Um segundo bloco, de massa m2 = 2,3 kg está ligado ao primeiro por uma corda que passa por uma polia. O atrito com a polia é desprezível e o segundo bloco está pendurada verticalmente, conforme figura. Determine:

[a] a aceleração de cada bloco.[b] a tensão na corda.

LEITURA: As forças básicas da Natureza18

Gravitação Universal: A mais antiga lei de força é a Lei de Gravitação Universal; esta lei se refere à ação entre duas

massas m1 e m2 quando separadas por uma distância (deslocamento relativo) r12 entre essas as massas:

Onde:

F2(1 )=−Gm1 m2

r122

r12=−F1(2)Sendo

r12 o vetor unitário entre os corpos de massa m1 e m2.

G = 6,67 x 10 – 11 Nm2/kg2 constante de gravitação universal (no SI).

Observe que, para duas massas m1 = m2 = 1 kg e com um deslocamento relativo de módulo igual a 1 m, tem-se que o valor da força é F = 6,67 x 10 – 11 N. Considerando g = 9,8 m/s2, e F = Força peso, então a massa de um corpo com este peso será de: 0,68 x 10 – 11 kg ou aproximadamente 7 x 10 – 12 kg.

Estes resultados mostram o quanto esta interação é pequena, daí dizer-se que a interação gravitacional é a menor das interações conhecidas; daí esta interação ter mais aplicações quando nas escalas astronômicas, uma vez que as massas de corpos celestes são grandes quando comparadas com as massas de corpos de manuseios em laboratórios na Terra; além disso, esta força é sempre atrativa. Esta lei é enunciada na seguinte forma: “a intensidade da força gravitacional é proporcional ao produto das massas das duas partículas e, inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa”.

Interações eletromagnéticas: A lei de força para as cargas elétricas foi obtida por Charles Augustin Coulomb, para cargas

elétricas em repouso, assim sendo, para duas cargas positivas, por exemplo, a lei de força é de atração e se apresenta:

18 Texto baseado no livro de Nussenzveig (1981).

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Onde:

F2(1 )=−k0

q1 q2

r122

r12=−F1(2) Sendo

r12 o vetor unitário entre as cargas elétricas q1 e q2.

Com k0 = 9 x 109 Nm2/C2 sendo a constante de permissividade elétrica do meio (vácuo).Em alguns problemas da eletrostática a simetria esférica é usada e, sendo assim, usa-se o fator 4.

Daí:

k 0=1

4πε 0 ε 0=

14 πk 0 Substituindo e resolvendo 0 = 8,85 x 10– 12 C2/Nm2.

Diferente das interações gravitacionais, a interação entre cargas elétricas pode ser atrativas (cargas de sinais diferentes) e repulsivas (cargas de mesmo sinal); além disso, estas cargas são pequenas e, o uso da carga pontual indica que o corpo que está carregado tem dimensões físicas desprezíveis se comparado com a distância entre essas cargas; além disso, a intensidade da força elétrica de duas cargas elétricas pontuais, digamos positivas, de valor igual a 1 C, cada, quando separadas de 1 m, tem um valor de 9 x 109

N; como a aceleração da gravidade é 9,8 (aproximadamente 10), então isto corresponde a um peso de 9 x 108 kg. Observe que, “a intensidade da força elétrica é proporcional ao produto das cargas elétricas das duas partículas pontuais e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa”. Veja que esta definição é semelhante à definição para a força gravitacional entre dois corpos de massas diferentes.

No campo magnético, uma partícula carregada move-se neste campo sob ação de uma força denominada de Força de Lorentz; esta força tem algumas características que são totalmente diferentes das que já vimos até o momento e, uma dessas características é que a linha de ação não está na linha de ação dos corpos, ou seja, a direção desta força é perpendicular ao vetor velocidade, além disso, esta força é proporcional à velocidade; outro fato de interesse neste estudo é que a partícula em movimento produz campo magnético logo, duas cargas em movimento qualquer gera interação tanto elétrica quanto magnética; e estas forças são as chamadas forças eletromagnéticas e não obedecem à terceira lei de Newton. Mas, o princípio de conservação do momento permanece válido, embora seja preciso considerar que, em geral, a radiação eletromagnética também transporta momento.

As diferenças apresentadas para com as força elétrica e magnética, quando particularizadas, foi mostrado na teoria da relatividade restrita, criada por Einstein que, na realidade de um único contexto físico – força, só que com aspectos diferentes; daí a junção do nome força eletromagnética.

Interações fortes: São as interações que ocorrem dentro do núcleo de um átomo, que estão dentro de uma região muito pequena, cerca de 10 – 15 m, ou 1 F, as quais são as chamadas forças nucleares. Deste modo, os núcleos são partículas de energia muito intensa e, deste modo, para quebrar um núcleo faz-se necessária muita energia; outro fato interessante é que a força de repulsão (força elétrica) entre duas partículas positivas no interior do núcleo é muito grande, devido à distância entre as partículas serem muito pequena. Outro fator para que as forças nucleares sejam consideradas fortes é que as interações eletromagnéticas são muito mais fortes que as interações colombianas, embora o alcance das forças eletromagnéticas seja da ordem do tamanho do núcleo atômico; estas forças nucleares atuam entre as partículas elementares denominadas de hádrons. Os hádrons compreendem os bárions, entre os quais figuram os núcleons (nêutrons e prótons), bem como outras partículas mais pesadas, e partículas leves como os mésons, onde muitas destas partículas são instáveis e desintegram-se uma em outra de forma espontânea com tempo de meia-vida muito curto (menores que 10 – 8 s). Essas forças nucleares são muito complexas, para se ter uma idéia deste fato, ela ter um caráter atrativo para distâncias 0.4 F e, caráter repulsivo para distâncias menores. Todo este estudo é feito através da mecânica quântica, onde o conceito de força da mecânica clássica se perde totalmente.

Interações fracas: As interações fracas, como as fortes, atuam somente na escala nuclear; seu alcance, aliás, é ainda

menor que o das interações fortes. Entretanto, sua intensidade é muito menor, não apenas que a das

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interações fortes, mas também do que a das eletromagnéticas, situando-se num nível intermediário entre as eletromagnéticas e as gravitacionais. As interações fracas são responsáveis pelo processo de “desintegração beta”, emissão de elétrons pelos núcleos de certas substâncias. Em 1956, foi descoberto que as interações fracas violam o que se acreditava ser uma simetria fundamental das leis físicas, a “conservação de paridade” (associada com a simetria entre direita e esquerda, ou para reflexão num espelho). Como as interações fortes, as interações fracas também só podem ser tratadas pela mecânica quântica.

Entre os progressivos recentes mais interessantes nas teorias das interações fundamentais, destacam-se as tentativas de unificação dessas interações. Uma das mais bem sucedidas é a teoria unificada das interações eletromagnéticas e fracas, segundo a qual elas representam aspectos diferentes de uma mesma interação fundamental. Está se procurando atualmente juntar a esta teoria unificada também as interações fortes. Um desenvolvimento ainda mais recente, que ainda tem um caráter muito especulativo, unificaria todas as interações, juntando-se também a gravidade (são as teorias chamadas de supergravidade). Todas estas teorias encontram-se agora em fase de rápido desenvolvimento. Esta compreensão das leis de Newton e das Leis de Força é o que forma a dinâmica de uma partícula, como na mecânica newtoniana.

E Trabalho e EnergiaA matéria é a primeira característica que percebemos quando olhamos o mundo em que vivemos.

Ela está presente em todas as coisas palpáveis que nos cercam, inclusive na formação de nosso corpo. A segunda característica tão presente quanto a matéria, porém mais difícil de se perceber é a Energia.

A etimologia da palavra Energia está composta de duas palavras de origem latina: EM (dentro) + ERGON (ação), o que pode ser concebido como ação (ato) que parte do interior (potência), ou capacidade de manifestar-se em meio a mudanças, realizando um trabalho. Isto se faz compreender o significado de energia, mas não um conceito.

Estas manifestações energéticas pode se dar sob diversas maneiras ou diferentes formas de um único referente, no caso a Energia. Por isso é que se desenvolvem vários significados de energia, pois se tenta defini-la num contexto particularizado segundo a ótica do contexto explícito, ou em vistas (estudos).

Daí ser necessário compreender os fluxos de energias, pois esta referência é essencial para o metabolismo das sociedades humanas modernas, e os estudos de planejamento energético, neste contexto, possibilitam a descrição de como os sistemas econômicos produzem, consomem e convertem as diferentes formas de energias.

Assim, nas diferentes formas de energias, faz-se saber que o Trabalho pode ser produzido por uma fonte inanimada como um motor ou fonte animada como um organismo vivo.

Além disso, as diferentes formas de energias podem ser convertidas uma na outra. Isto significa que a energia por ser transformada, mas não pode ser criada nem destruída. Desta forma, o papel do Homem é controlar os diversos processos de transformação, usando-o, em geral, para seu benefício.

Usando a compreensão, não o conceito, de que a energia tem a capacidade de realizar trabalho, isto nos remota a compreender, numa divisão metodológica de ensino, primeiramente, o conceito de Trabalho de uma Força, representado pela letra W.

E1 Trabalho de uma força constante.Suponha que um corpo de massa m esteja sendo puxado por uma força de módulo F, constante,

fazendo um ângulo com o deslocamento deste corpo. O trabalho realizado por esta força é o produto do módulo da força na direção do deslocamento, pelo módulo deste deslocamento, representado por d. Como o módulo da força, fazendo um ângulo com o deslocamento, tem valor, F.cos, que é a componente de F sobre o deslocamento, então, o trabalho será dado por:

W = F.d.cos

Observe que, para 00 ≤ ≤ 1800, tem-se: Se = 00, tem-se que cos00 = 1, então W = F.d. Se 00 < < 900, tem-se: cos positivo, então W > 0. Se = 900, tem-se que cos900 = 0, então W = 0. Se 900 < ≤ 1800, tem-se: – 1 ≤ cos < 0, então W < 0.Trabalho é uma grandeza escalar, sua unidade no Sistema Internacional é N.m, onde, 1 J = 1 N.m,

uma vez que o cos é uma grandeza adimensional.Para força que varia com o deslocamento, se faz necessário levantar um gráfico da Força versus

Deslocamento e, em seguida, calcular a área desta figura, limitada pelo intervalo fechado sobre o eixo do deslocamento. O valor numérico desta área é o que se denomina do Trabalho realizado. Onde, o valor

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numérico desta área pode ser, positivo, negativo ou nulo, dependendo da forma como se comporta a característica da curva no gráfico Força versus Deslocamento.

E2 Energia CinéticaEstudando a Energia Mecânica, isto quer dizer que estamos a estudar energias que pode ser

transferida por meio de forças mecânicas. Dentro deste caso, temos a energia cinética ou energia de movimento. Assim, todo corpo de massa m quando dotado de uma velocidade v, tem associado a ele sua quantidade de movimento e a energia cinética.

Assim, temos p = mv como sendo o módulo da quantidade de movimento, uma vez que esta é uma grandeza vetorial e, K = ½ mv2, como sendo a energia cinética deste corpo de massa m, quando a velocidade v << c (c, sendo a velocidade da luz, cujo valor é 300.000 km/s). E, com um pouco de uso da álgebra chegamos ao fato de que K = p2/2m. Ou seja, tem-se a energia cinética associada a quantidade de movimento. Por se tratar de energia, a unidade de energia cinética é o joule (J), no Sistema Internacional. Observe que, a massa de um corpo é uma grandeza escalar positiva, ou seja, m > 0 e, v2 é também uma grandeza positiva, assim sendo a energia cinética é também positiva. E quando v = 0, a energia cinética é nula, logo, de um modo geral, K ≥ 0

Usando a equação de Torricelli, a única equação da cinemática que não inclui o tempo de forma explicita, pode-se com o uso da álgebra, mostrar que o trabalho realizado por um corpo de massa m, que vai de uma velocidade vi para uma velocidade final vf é dado pela variação de energia cinética, W = K f – Ki

ou W = K.

E3 Energia Potencial GravitacionalEsta também é uma Energia Mecânica, só que neste caso, a Energia Potencial é uma Energia de

Configuração, ou seja, muda-se a configuração muda-se a energia potencial. No caso, da energia potencial gravitacional a configuração se estabelece com respeito a altura h, dada com respeito a um referencial. Assim, um corpo de massa m a altura h1 quando este corpo vai para outra configuração, de altura h2

entende-se que a energia potencial gravitacional desse corpo mudou. Se estivermos falando de h1 e de h2

para com um mesmo referencial, podemos dizer que em h1 o corpo tem uma energia potencial gravitacional U1 e, na altura h2 uma energia potencial gravitacional U2. Se h2 for maior que h1 diz-se então que U2 > U1 e, se h2 < h1 então U2 < U1. A unidade de medida da energia potencial gravitacional, no Sistema Internacional é o joule (J).

De modo geral a Energia Potencial Gravitacional é representada por U = – m.g.h, sendo g a aceleração da gravidade. Assim, para h2 > h1 tem-se U2 > U1 e, dessa forma, a diferença entre essas energias representa o trabalho realizado pela força peso para levar o corpo de h1 para h2, ou seja, W = U2 – U1 o que leva a W = – mgh2 + mgh1 e daí ser escrito como W = – (mgh2 – mgh1), o que pode ser representado como W = – U.

Observe que, se um corpo de massa m está inicialmente numa altura H, com referência ao solo, e este corpo, sairá dessa altura H para o solo (h = 0), como sendo a sua altura final. Assim, W = U f – Ui ou W = – mgh + mgH donde W = mgH, pois h = 0. E similarmente, se inicialmente o corpo está no solo (h = 0) e é levado a uma altura H, tem-se que W = Uf – Ui ou W = – mgH + mgh, donde W = – mgH, ou seja, para elevar o corpo de massa m do solo até uma altura H, tem-se um trabalho mgH (negativo) e, para levar o corpo de uma altura H para o solo, tem-se um trabalho mgH (positivo), de modo que, o trabalho total, para ir e vir é nulo. Isto quer dizer que o peso (P = mg) é uma força conservativa que depende apenas dos pontos inicias e finais.

Observação:Da Energia Cinética: W = KDa Energia Potencial Gravitacional: W = – U

Daí:W – W = K – (– U) = K + U 0 = K + U

Mas:Variação de uma constante tem resultado nulo, sabendo disso, podemos escrever o valor nulo como

a variação constante; como se trata de energia, podemos tratar como sendo a variação de energia mecânica E. Desse modo, a equação: 0 = K + U, pode ser escrita como sendo E = K + U, uma vez que 0 = E. Equivalentemente diz-se que a energia mecânica num sistema isolado se conserva. Assim, quando um corpo rola sobre um plano inclinado, sem atrito, à medida que o corpo desce a rampa, perde energia potencial gravitacional e ganha energia cinética, mas a soma das energias cinética e potencial gravitacional em cada ponto da rampa, ou seja, do ponto mais alto onde a energia potencial gravitacional é máxima e a energia cinética é nula (v0 = 0) até o ponto mais baixo, onde h0 = 0 o que equivale à energia potencial

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gravitacional zero, mas energia cinética máxima ou, E = K, as energias cinética e potencial gravitacional vão se complementando de modo a não ultrapassar o valor E, constante.

Como K + U = E, donde U – E = – K que desta vem que E – U = K. Uma vez que se tem K ≥ 0, podemos dizer que E – U ≥ 0, donde – U ≥ – E o que leva a U ≤ E, sendo assim observado que o valor máximo para U ocorre quando U = E, ou seja, UMAX = mgh.

E4 Lei de HookeOutra força mecânica é a força de restauração que se estabelece num movimento harmônico dum

sistema massa-mola, expressa pela Lei de Hooke, na forma F = – kx (as letras em negrito significa dizer que elas representam uma notação vetorial), onde o sinal negativo significa fisicamente que esta força se restaura no sentido contrário do deslocamento provocado por sua ação, desenvolvendo um ir e vir continuo uma vez que neste modelo toma-se não haver atrito entre o bloco e a superfície. Esta força também é conhecida como força elástica.

Com F = – kx e F = ma, isto implica que: – kx = ma a = – kx/m ou a = – (k/m)x e, se diz que um movimento harmônico ocorre quando a aceleração do sistema for simétrica e proporcional ao deslocamento promovido pela aplicação da força.

Estando inicialmente o sistema em equilíbrio, na posição x = 0 (equilíbrio estável), a mola não está sendo comprimida nem distendida. Porém, no momento em que esta mola for, por exemplo, comprimida até uma distância (– A), a mão de quem a comprime sofre uma ação no sentido contrário, na mesma direção e de igual intensidade, fazendo com que o corpo movimente-se até o ponto (+ A), após passar pelo ponto de equilíbrio. Esta simetria com a amplitude do movimento do sistema massa-mola se dar para com a idealização do modelo que não sofre amortecimento devido a possíveis ações externas, como o atrito, por exemplo. Isto pode ser visto na figura a seguir.

Observe que no movimento entre os extremos de amplitude (– A) e (+ A) ocorre com a variação de energia cinética e de energia potencial elástica deste sistema. Onde nos extremos, v = 0 tem-se que a energia cinética é nula e a energia potencial elástica é máxima, ou seja, nos extremos K = 0 e U = E. Enquanto que no centro, x = 0 tem-se que a velocidade é máxima, logo a energia cinética é máxima ou K = E, e nesse ponto, x = 0 tem-se energia potencial elástica nula ou U = 0.

Para o caso da força elástica tem-se K = ½ mv2 e U = ½ kx2. Ou seja, as duas formas energéticas envolvem uma simetria matemática da função parabólica, pois a energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade e, a energia potencial elástica é proporcional ao quadrado do deslocamento da amplitude.

O modelo deste sistema massa-mola que vai para o movimento harmônico simples, tem consigo alguns elementos de interesse físico, como: velocidade (v); intervalo de tempo repetitivo entre as amplitudes, ou período T; repetição desse movimento dentro de um intervalo de tempo, o que significa a repetição por uma quantidade de vezes no período T, chamada de freqüência f. Onde f.T = 1.

Como este movimento harmônico simples pode ser associado ou comparado a uma projeção de um corpo em movimento circular num círculo de raio A, com [– A, + A] sendo o intervalo de x, sendo x = 0 a posição central ou de equilíbrio; então, nessa comparação (estabelecida) tem-se: = 2πf (freqüência angular) ou = 2π/T. Usando equações diferencias (que foge completamente ao escopo desta apostila, repito), este estudo recai na representação do movimento ondulatório, com equação dada por x(t) = A.cos(t + ), sendo A e constantes, onde A é a amplitude e é a constante de fase, sendo (t + ) chamado de argumento do cosseno.

Com isto, a derivada segunda da função x(t) é: – 2x. Este resultado multiplicado pela massa m é uma força que deve ser igual à força – kx. Com isto: – m.2x = – kx donde 2 = k/m.

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Observe que 2 é uma força restauradora por unidade de deslocamento (k = F/x, na forma modular) e por unidade de massa. Assim, para sistemas vibrantes, quanto maior a força restauradora por unidade de deslocamento do equilíbrio e quanto menor a massa, mais rápidas são as oscilações.

Além disso, a característica da função x(t) = Acos(t + ) num plano x versus t, tem a forma de uma onda, dita onda harmônica, num período T com velocidade v = /T, mas fT = 1 e, daí se ter, v = f. Para a onda eletromagnética c = f, com c = 300.000.000 m/s. Exercícios:01. Ao serem bombeados pelo coração num regime de baixa atividade, 300 g de sangue adquirem uma

velocidade de 30 cm/s. Com uma atividade mais intensa do coração, essa mesma quantidade de sangue atinge uma velocidade de 60 cm/s. Calcule, em ambos os casos, a energia cinética que essa massa de sangue adquire e o trabalho realizado pelo coração.

02. Um estudante num laboratório de biologia levanta do assoalho um caixa com bichos empalhados. A caixa e os bichos em seu interior têm massa de 12,5 kg. O estudante eleva a caixa com aceleração desprezível até uma altura de 1,70 m, para colocá-la numa prancha localizada na parede. [a] Qual é o trabalho realizado pelo estudante sobre a caixa? [b] Qual o trabalho realizado pela atração gravitacional da Terra sobre a caixa? [c] Qual o trabalho total realizado sobre a caixa por todas as forças que atuam sobre ela?

03. Um bloco de massa de 1 kg colide com uma mola horizontal, de massa desprezível, cuja constante elástica é k = 200 N/m. A compressão máxima da mola é de 0,5 m a partir da posição de repouso. Qual era o valor da velocidade no momento da colisão? Não considere as forças de atrito.

F Dinâmica da rotaçãoQuando se estuda o movimento da Terra ao redor do Sol diz-se que a mesma possui dois tipos de

movimento: translação e rotação. Na realidade, os dois tipos de movimentos atuam em conjunto. Mas, o que vem a serem estes movimentos?

Quando se diz que a Terra tem um movimento de translação ao redor do Sol se diz que todos os pontos da Terra seguem a mesma trajetória, enquanto que, ao dizer que a Terra executa um movimento de rotação, significa que os pontos de periferia da Terra, com relação ao eixo, deslocam-se num sentido, com mesma velocidade de centro de massa. Vamos entender esses movimentos na figura abaixo.

Observe que no topo da roda, v = R, mas no topo com relação ao ponto que toca à superfície,

tem-se R = 2r e, com isto, v = 2r, ou seja, a velocidade no topo é o dobro da velocidade no centro de massa.

O movimento de rotação é muito utilizado na patinação no gelo, por exemplo, onde os efeitos mais visíveis da rotação ocorrem quando o artista (patinadores) prepara-se como da figura a seguir (http://www.laifi.com/laifi.php?id_laifi=2914&idC=55438#), para executar o movimento denominado de piruetas (corrupios ou spins) onde o patinador(a) gira sobre seu próprio eixo e com o movimento dos braços e/ou pernas (abrindo ou fechando) ele(a) usa para mudar sua velocidade de rotação. Outro exemplo da dinâmica de rotação acontece com os mergulhadores que pulam de trampolim que, ao se encurvar em torno de seu próprio eixo de gravidade para aumentar o efeito de rotação na apresentação de seu mergulho, ou uma pessoa num trampolim giratório.

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Como L = r x p, então, a componente do momento angular ao longo do eixo de rotação é dada pela equação L = r.p.sen900, ou L = r.p, pois sen900 = 1, sendo p = m.v e v = .r, logo, L = r.(mv) = r.(m..r) = m.r2., ou seja, L = (m.r2), chamando m.r2 = I, onde I é o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo de rotação, tem-se: L = I..

Uma vez que, a variação da componente de L ao longo do eixo em relação ao tempo representa a resultante dos torques externos em relação a um ponto fixo O do eixo. Numa linguagem acurada da matemática (não no nível do Ensino Médio):

τ ext=d L z

dt= d

dt(Iω )=Iα

Sendo a aceleração angular. Observe que esta equação é similar a F = ma.

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Similarmente:

K = ½ mv2 = ½ m(r)2 = ½ m.2.r2 = ½ (m.r2)2 = ½ I.2

Enquanto:

W = ext.

Observe a semelhança com W = F.d

Conservação do momento angular

ext = 0 L = I = constante

Isto significa que, se a resultante dos torques externos na direção do eixo se anula, o produto da velocidade angular pelo momento de inércia em relação ao eixo se conserva.

A equação L = I = constante permanece válida para um sistema não rígido, cujo momento de inércia em relação ao eixo pode variar durante a rotação, passando de Ii para If. Neste caso, a velocidade angular também varia de i para f e, dessa forma:

Ii.i = If.f

(O que há de mais incompreensível na natureza é o fato dela ser compreensível. Albert Einstein)Alguns momentos de inércia

Exercício IProcure verificar quais os momentos de inércia de um cilindro sólido; de um anel cilíndrico de

parede fina; de uma esfera sólida.

Exercícios II1. Uma menina faz uma bola de massa m presa a um cordão girar numa trajetória circular de raio igual

a 130 cm com uma velocidade angular inicial de 35 voltas por minutos. A menina faz a corda ficar mais curta, atingindo um raio de 85 cm. Nestas condições, qual a velocidade final de rotação da referida massa?

2. Uma ginasta de 45 kg de massa, 1,40 m de altura, ao dar uma cambalhota com todo o corpo completa uma volta em torno de si mesmo em 0,60 s. Quando gira com a cabeça, as pernas e os braços recolhidos, gasta apenas o,24 s para completar essa mesma volta (rotação). Determine o “raio” aproximado de seu corpo encolhido.

3. Determine a inércia rotacional de um cilindro maciço de 400 g de massa, cujo raio mede 5,0 com e altura de 20 cm. Se este cilindro girar com frequencia de 2,0 Hz em torno de seu eixo, qual a sua quantidade de momento angular?

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G Mecânica dos fluidosPrimeiro vamos compreender que a matéria, como se conhece, se apresenta sob três formas

diferentes de seus estados físicos: sólido, liquido e gasoso. A caracterização de cada estado físico citado é apresentada de acordo com a compreensão de agregação de partículas (átomos ou moléculas) que compõe a matéria. Desse modo, o estado sólido é caracterizado por ter volume bem definido e, do ponto de vista interno, as moléculas vibram (oscilam) em torno de posições fixas; o estado líquido tem a forma do recipiente e, numa visão microscópica, diz-se que possuem interação molecular forte, denominada de pontes de Van der Waals, restringindo-se ao volume finito do recipiente; o estado gasoso, diferente do estado liquido, possui interação fraca e, por esse motivo, além de tomar a forma do recipiente o preenche completamente.

Nesse contexto, a mecânica dos fluidos é o ramo da mecânica que estuda o comportamento físico dos fluidos e suas propriedades, segundo Rodrigues19. E que, a mecânica dos fluidos está dividida em dois ramos: estática dos fluidos (que estuda os esforços do fluido quando não existe movimento relativo entre as porções do fluido)20 e dinâmica dos fluidos (que estuda o movimento e as deformações nos fluidos provocadas por esforços de cisalhamento)21. Onde, fluido é uma substancia que pode escoar (fluir) através de um condutor ou duto.G.1 Estática dos Fluidos

Trata das propriedades e leis físicas que regem o comportamento dos fluidos livre de forças externas, o que quer dizer, que o fluido se encontra em repouso ou deslocando-se com velocidade constante. Isto é o que caracteriza a Hidrostática, onde se estuda os fluidos idéias ou perfeitos, cujo princípio físico se assenta no fato de que nessa categoria não há atrito entre as moléculas que se deslocam e nem há atrito entre o fluido e as paredes do condutor, segundo Carvalho22.

Neste estudo vamos compreender os conceitos de massa específica, peso específico e densidade.

Massa EspecificaCada substância é diferente entre si e possui certa quantidade de massa e, esta natureza faz com

que esta grandeza (massa especifica) referende como o próprio nome sugere, a característica especifica de cada uma dessa substância e, é também conhecida por densidade absoluta. Sua definição é a razão entre a massa e o volume da substância considerada, geralmente representada pela letra grega 23.

= m/V

Exemplo 1:Um bloco com comprimento de 0,5 m; altura 0,4 m e espessura de 0,05 m é feito de material

homogêneo e tem massa de 78 kg. Qual a sua massa específica?Solução:

V = 0,5 x 0,4 x 0,05 m3 = 0,01 m3

m = 78 kgEntão:

= 78 / 0,01 = 7800 kg/m3

Observe que a massa específica se relaciona com a massa e o volume dos corpos. Daí, 1kg de alumínio e 1 kg de isopor tem a mesma massa, mas volumes diferentes. Vejamos:

Sabendo-se que a massa específica do alumínio é 2,7 g/cm3, ou seja, 2700 kg/m3 e a massa específica do isopor é de 0,2 g/cm3, ou seja, 200 kg/m3, pois, 1 g/cm3 = 1000 kg/m3, então:

Para o alumínio: 2700 = 1/V ou V = 1/2700 V = 3,7 x 10 – 4 m3 Para o isopor: 200 = 1/V ou V = 1/200 V = 5,0 x 10 – 3 m3

19 RODRIGUES, Luiz Eduardo Miranda J. Mecânica dos Fluidos. Slides de aula ministrada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia. São Paulo. Disponível em <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/mef.pdf >, com acesso em 18 de jan. de 2012.20 PINOTTI, Marcos. Mecânica dos Fluidos. Notas de aula. Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais. Disponível em <http://ufsm.br/aerodesign/biblioteca/pdf/Mec>, com acesso em 18 de jan. de 2012.21 Idem.22 CARVALHO, Luiz Fernando Fiatte. Curso de formação de operadores de refinaria: física aplicada, mecânica dos fluidos. Curitiba: PETROBRAS: UnicenP, 2002.23 Esta notação muda de autor para autor. Assim sendo, o importante é você compreender a definição de massa especifica e não ficar preocupado com sua representação com as letras gregas.

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Ou seja:

Para o alumínio: V = 0,00037 m3 V = 370 cm3 (1m3 = 106 cm3)Para o isopor: V = 0,005 m3 V = 5.000 cm3 (1m3 = 106 cm3)

Vê-se assim que o volume do isopor é muito maior que o volume do ferro, apesar dos dois ter a mesma massa de 1 kg. Assim, se um corpo tem massa específica elevada isto significa que o corpo é muito denso.

Faz-se saber que esta definição é utilizada para líquidos e substâncias puras, não sendo necessário definir o corpo que as contém. Quando nos referimos a determinado corpo, essa relação recebe o nome de densidade d e mantém-se a mesma definição algébrica, a razão da massa pelo volume do corpo. A definição é feita porque o corpo pode apresentar diferentes características, como ser oco ou maciço, homogêneo ou heterogêneo, dentre outras, conforme Pietrocolla, et al, vol. 1 (2010, p. 244).

Exemplo 2:Um automóvel tem um tanque com capacidade de 60 litros de gasolina. Qual a massa de gasolina

contida neste tanque quando completamente cheio desta substância?

Solução:Tem-se = m/V e desta expressão: m = .V

Mas: = 0,67 g/cm3 (ver tabela na outra página)V = 60 L (há necessidade de mudar a unidade de medida)

Então:1 L = 1 dm3 = 103 cm3

Assim:60 L = 60 x 103 cm3 = 60.000 cm3

Daí:m = 0,67 x 60.000 = 40.200 g ou m = 40,2 kg

Tabela de valores de massa específica de alguns materiais (substâncias)

MATERIAIS MASSA ESPECÍFICAAlumínio 2,7 g/cm3

Ferro 7,8 g/cm3

Latão 8,6 g/com3

Cobre 8,9 g/cm3

Prata 10,5 g/cm3

Chumbo 11,3 g/cm3

Mercúrio 13,6 g/cm3

Ouro 19,3 g/cm3

Platina 21,4 g/cm3

Isopor 0,2 g/cm3

Aço 7,8 g/cm3

Álcool 0,81 g/cm3

Petróleo 0,88 g/cm3

Benzeno 0,90 g/cm3

Glicerina 1,26 g/cm3

Gasolina 0,67 g/cm3

Gelo 0,92 g/cm3

Água 1,0 g/cm3

Ar 1,29 g/cm3 (0 oC)

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Peso EspecíficoCada substância é diferente entre si e possui certa quantidade de massa e, na Terra, esta

quantidade de massa sob ação do Campo Gravitacional Terrestre, interage com a mesma ficando submetida a uma força denominada de Peso do Corpo que compõe a substância e isto é uma característica especifica de cada substância. Sua definição é a razão entre peso (P) e o volume (V) ocupado pela substância considerada, geralmente representada pela letra grega .

= P / V

Como:P = mg logo = mg/V = (m/V)g = .g

Então:

Para determinar o peso específico, basta multiplicar o valor da massa específica pelo valor da aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s2, porém para efeito de alguns cálculos considera-se g = 10 m/s2). A unidade do peso específico é N/m3.

Exemplo 3:Calcular o peso especifico de uma peça metálica na forma cilíndrica de 8 kg que ocupa um volume

igual a 6 x 10 – 4 m3. Solução:

P = m.g = 8 x 9,8 = 78,4 NV = 6 x 10 – 4 m3

Então: = 78,4 / 0,0006 = 130.667 N/m3

Densidade RelativaÉ a razão entre as massas específicas de suas substâncias:

γ r=ρA

ρB

Em geral se faz uso da água como sendo a massa específica de referência B.

γ r=ρ

ρágua

Deste modo a densidade relativa é uma grandeza adimensional, e o seu valor é o mesmo para qualquer sistema de unidades.

Substância Massa Específica(kg/m3)

Peso Específico(N/m3)

Densidade Relativa(água)

Água 1000 10000 1Água do Mar 1025 10250 1,025

Etanol 879 8790 0,879Acetona 791 7910 0,791

Querosene 820 8200 0,820Aqui foi tomado g = 10 m/s2, no cálculo do peso específico

Vale salientar que quando uma massa m é aquecida, esta aumenta de volume embora sua massa e peso não mude. Isto significa que, variando o aumento de volume logo se varia a densidade da substância.

Observação24

24 CARVALHO, Luiz Fernando Fiatte.

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Na prática, a medida da densidade é uma técnica de grande importância, em muitas circunstâncias. O estado da bateria de um automóvel pode ser testado pela medida da densidade de eletrólito, uma solução de ácido sulfúrico. À medida que a bateria descarrega, o ácido sulfúrico (H2SO4) combina-se com o chumbo nas placas da bateria e forma o sulfato de chumbo, que é insolúvel, decrescendo, então, a concentração da solução. A densidade varia desde 1,30 g/cm3, numa bateria carregada, até 1,15 g/cm3, numa descarregada. Este tipo de medida é rotineiramente realizado em postos de gasolina, com o uso de um simples hidrômetro, que mede a densidade pela observação do nível, no qual um corpo calibrado flutua numa amostra de solução eletrolítica.

PressãoA pressão média aplicada a uma superfície (A) é a razão entre a força normal (F) a superfície,

aplicada a esta área.

p= FA

Por isso, às vezes a expressão da pressão é posta na forma

p=F⊥

A=F cosθ

A

Assim:Uma força F aplicada sobre uma parede é decomposta em duas forças; uma no eixo x e outra no

eixo y. A força que está decomposta no eixo x, é a força normal sobre a superfície (parede), e é esta força que vai influenciar na pressão. Conforme figura abaixo.

As unidades de pressão. No sistema internacional de medidas N/m2, também chamada de pascal (Pa), onde 1 N/m2 = 1 Pa. Outras unidades são: dina/cm2, libras força por polegada ao quadrado ou Lbf/(pol)2, também denominada de psi; Atmosfera técnica métrica ou atm, milímetros de mercúrio ou mmHg; quilograma força por centímetro quadrado ou kgf/cm2; dentre outras unidades, como: bar ou barométrica e metro de coluna de água ou mca.

Relação entre as unidades25

1 atm = 760 mmHg1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1,0330 kgf/cm²1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca

Exercícios01. Tome na figura anterior a intensidade da força F = 100 N, com = 600 e a área igual a 10 m2.

Sabendo disto calcule a pressão exercida por esta força nesta superfície.

02. Por que usamos o hábito de amolar a peixeira de cortar a carne em nossa casa?

03. Qual a massa especifica do líquido que ocupa 500 m dum recipiente e apresenta massa de 400 g?

25 RODRIGUES, Luiz Eduardo Miranda (CEFET-SP).

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04. Se um bloco de alumínio pesa 2,5 kg, qual o seu volume?

G2 Propriedades dos fluidos

P1: A superfície líquida de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal.

P2: A força exercida por um liquido sobre a superfície qualquer num recipiente que o contém é sempre perpendicular, ou seja, normal a esta superfície.

P3: Quando líquidos de diferentes densidades são colocados em um mesmo recipiente, observa-se que eles não se misturam como o caso de óleo e água. Isto se chama de imiscibilidade dos líquidos.

G4 Equilíbrio de um fluidoUm fluido em equilíbrio, com densidade constante, varia linearmente com a profundidade. Observe

a figura abaixo, onde se traça um cilindro hipotético com uma quantidade de liquido nele. Neste cilindro está exposto a intensidade das forças F1 e F2 bem como da força peso deste líquido. O cilindro hipotético tem uma altura h e uma área A e, comporta uma massa m com densidade constante .

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Assim, a atmosfera provoca o aparecimento da força F1. Como p = F1/A logo, F1 = p.A, sobre a parte superior do cilindro hipotético. Isto causa o aparecimento de F2, com F2 = p(h).A, onde p(h) quer dizer uma pressão do fluido na profundidade h. além disso, a Terra exerce sobre a massa contida no cilindro hipotético uma força peso PE, onde P = mg, mas = m/V isto implica que m = .V e daí P = .V.g mas podemos tomar o volume como sendo o produto da área (A) pela altura h e, desse modo, P = .A.h.g.

Como o fluido está em equilíbrio, logo F2 = F1 + PE. Usando as expressões já encontradas, temos que: p(h).A = p.A + .A.h.g que pode ser simplificada e vai à forma.

p (h )=p+ ρgh

Esta equação também é escrita como: p (h )=patm+ρgh ou p=p0+ ρgh

Isto acarreta compreender o princípio dos vasos comunicantes

Onde, HÁ = HB = HC = h e, sendo o mesmo líquido, logo se tem a mesma densidade . Como g é um valor constante, assim como é a pressão atmosférica na qual os líquidos estão sujeitos, então p(h) tem o mesmo valor uma vez que h é o mesmo valor para os vasos diferentes, com diferentes massas de uma mesma substância.

Isto permite compreender a transferência de líquidos de um recipiente para outro. Ver figura abaixo.

G5. Experiência de Torricelli

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Torricelli toma um tubo de 1,0 m e, enche de mercúrio. Toma um recipiente, também com mercúrio. O tubo fechado e cheio de mercúrio é colocado no recipiente com mercúrio. Em seguida Torricelli retira a tampa do tubo e observa que o mercúrio desloca-se no tubo e se estabiliza com h = 76 cm, deixando uma parte do tubo com vácuo, conforme figura abaixo.

Como os pontos A e B estão na mesma linha, isto significa que estão submetidos a mesma pressão. A pressão no ponto A corresponde a pressão da coluna de mercúrio dentro do tubo e a pressão no ponto B corresponde à pressão atmosférica ao nível do mar. Como a coluna está a 76 cm, diz-se então que a pressão atmosférica é de 76 cmHg = 760 mmHg. Esta experiência de Torricelli fez com que se criassem os nanômetros que são medidores de pressão que usam a pressão atmosférica como referência, medindo a diferença entre a pressão do sistema e a pressão atmosférica (pA = patm + gh enquanto que pB = patm + 0, pois h = 0, daí p = pA – pB = gh). Por isso p p = gh p = 13600x9,8x0,760 daí p = 1,01 x 105 Pa, no sistema internacional de medidas.

Isto vai a Lei de Stevin: a variação de pressão entre dois pontos quaisquer de um fluido é igual ao produto da massa específica, pela aceleração da gravidade e, pela diferença de nível entre os dois pontos.

Exercícios.01. Qual a diferença de pressão entre dois pontos situados no ar; um deles no nível do mar e o outro a

1000 m de altura? A densidade do ar é 1,293 kg/m3 e g = 10 m/s2.

02. Determine a pressão total num ponto a 30 m de profundidade no oceano, sabendo que a pressão atmosférica é de, aproximadamente, 1,0 x 105 Pa e que a massa específica da água do mar é de 1,03 x 103 kg/m3. Use g = 10 m/s2.

G6. Princípio de PascalQualquer acréscimo de pressão num ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, esta se transmite a

todos os pontos do líquido. Este princípio é muito usado nos elevadores hidráulicos. Onde p1 = p2 e com isto, F1/A1 = F2/A2. Vamos resolver o exercício abaixo.Exercício01. Num elevador hidráulico as áreas dos êmbolos são 1800 cm2 e 3,0 cm2 e o líquido contido no

encanamento é óleo de densidade 0,8 g/cm3. A massa do automóvel sobre o êmbolo maior é 800 kg. Há um desnível de 1,5 m entre os êmbolos e o fundo do encanamento. A massa dos êmbolos é desprezível, g = 10 m/s2, e a pressão atmosférica é 1,0 x 105 Pa.

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G7. Princípio de Arquimedes É conhecido de todos nós, pelo menos em princípio, que quando vamos tirar água de um poço com um recipiente preso a uma corda, após mergulho e enchimento do recipiente, enquanto o mesmo estiver dentro da água do poço, o levantamento (o puxar) do recipiente é bem melhor quando ainda o mesmo está dentro da água. Após sair completamente da água há um acréscimo de esforço físico para continuar a puxar o recipiente até a “boca” do poço. Ou seja, dentro da água, enquanto puxado, o recipiente tem uma “ajuda” para sair dela. Esta “ajuda” é o que se conhece como empuxo. Pois, quando se coloca um corpo dentro de um recipiente com água (como o poço), há um deslocamento de água no mesmo, que causa uma força peso e, no sentido contrário da força peso, uma força denominada de empuxo. Este é o princípio de Arquimedes. Ou seja, todo o corpo imerso em um fluido, está sujeito a ação de uma força vertical de baixo para cima, denominada de empuxo, cujo módulo desta é igual ao peso da quantidade de fluido deslocado pelo corpo imerso no líquido.

Onde, embora o corpo esteja parcialmente imerso tem-se que E = P que é o mesmo para o corpo totalmente imerso e em equilíbrio. Quando o corpo está afundando P > E enquanto que, quando o corpo está sendo puxado E > P, como é o caso explicado inicialmente.

Assim:E = peso do líquido deslocadoP = mg

Como: = m/V logo m = .V então P = .V.g

Daí:E = .g.V m massa do volume deslocado e V volume de líquido deslocado

Exercícios: 01. Uma pedra pesa 600 N no ar e parece pesar 350 N na água. Determine o volume da pedra e sua

densidade. Dados: g = 10 m/s2, água = 1,0 g/cm3.

02. Um corpo pesa 50 N no ar. Quando imerso no mercúrio que tem densidade de 13,6 g/cm3 aparenta ter 10 N. Determine a densidade do corpo. Dado g = 10 m/s2.

H Dinâmica dos fluidos Estudar a dinâmica dos fluidos significa dar início ao projeto de estudo da hidrodinâmica, que é o estudo de fluidos em movimento. Este é um tema complexo e muito abrangente em seus estudos, como se pode ver com as figuras abaixo, para o caso da hidrologia (estudo do fluxo de água nos rios) e para o bombeamento do sangue.

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Como também nos casos climáticos, de tornados e furacões

Isto revela a complexidade desse estudo uma vez que cada partícula desse sistema macroscópico tem seus movimentos descritos pelas leis de Newton, o que resulta em equações muito complicadas e, para resolver este problema faz-se um recorte na complexidade do sistema como um todo e elaboram-se modelos físicos e matemáticos com possibilidades de análises e de compreensão do problema em estudo.

Assim sendo, o modelo adotado neste estudo é o de um fluido ideal, ou seja, um fluido que não tem força interna de atrito, também denominada de viscosidade e que o fluido seja incompressível.

Este modelo de incomprensibilidade só é aplicado para o caso de líquidos, ele não vale para o caso dos estudos de um fluido gasoso, pois nesse caso o modelo mais apropriado vale quando o escoamento existe e a diferença de pressão não é muito grande.

Desse modo, um fluido escoando num tubo, numa consideração vetorial, diz-se que há um campo de velocidade (grandeza vetorial), com direção e sentido, caracterizando as linhas de corrente para um campo de velocidades, como a figura abaixo.

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Onde linha de escoamento quer dizer que cada elemento do fluido movimenta-se num caminho, com uma velocidade (constante ou não). No caso de escoamento com velocidade constante, o que quer dizer que diferentes partículas do fluido passam pelo mesmo ponto com a mesma velocidade, tem-se o escoamento estacionário ou de regime permanente. O escoamento de água a baixa velocidade numa canalização ligada a um grande reservatório é, com boa aproximação, estacionário.

No escoamento turbulento tem-se que as moléculas do fluido estão completamente desordenadas; estas moléculas não têm a mesma velocidade o que torna o comportamento do fluido difícil de ser previsto. Daí o seu perigo quando um corpo movimenta-se num campo de fluido turbulento, pois promove uma alta resistência ao movimento do corpo. Por isso, nos projetos de aviões o modelo prever a possibilidade de evitar turbulências.

H1. Vazão num escoamento uniformeEsta é uma parte denominada de cinemática dos fluidos, onde se estuda o comportamento de um

fluido numa condição de movimento. Neste contexto surge o conceito de vazão: razão entre o volume de fluido escoado num intervalo de tempo considerado em que ocorre a vazão.

Q=Vt

No sistema internacional de medidas a unidade de vazão é m3/s, porém outras unidades de medidas para a vazão são usadas, tais como: litro por segundo (L/s) e metro cúbico por hora (m3/h).

Se a velocidade é constante, podemos usar o fato de que V = Área x Comprimento = A.d e, dessa forma, temos que:

Q= Axdt=A x

dt=A . v

Exercícios01. Um condutor de 18 cm2 de secção de área despeja liquido num reservatório a velocidade de 65

cm/s. Qual a vazão do líquido despejado?

02. Uma bomba transfere gasolina para tanques de automóvel à razão de 80 m3/h. Qual o volume de gasolina de um recipiente que para enchê-lo leva-se 15 minutos?

H2. Equação de continuidade Para se obter resultados da hidrodinâmica um dos princípios é o da lei de conservação de massa aplicada ao movimento do fluido. Desta forma, vamos tomar um tubo de corrente cuja secção transversal no entorno de um dado ponto do fluido num dado intervalo de tempo, tem área A.

Como a massa m do fluido que atravessa a área A é dada por m = .V (V volume do cilindro), mas o volume V = Área x distância percorrida pela massa m no volume. Mas, como d = v.t, pois o fluido tem uma velocidade constante, então V = A.v.t. Desta forma, a massa m = .V torna-se m = .A.v.t.

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Consideremos agora um escoamento estacionário e uma porção de tubo de corrente situado entre duas secções transversais de áreas A1 e A2, com velocidades v1 e v2 e, similarmente com 1 e 2. Observe que a massa do fluido não pode variar com o tempo entre as diferentes secções de áreas, ou seja, m1 e m2 são iguais.

Como m = .A.v.t, logo:

1.A1.v1.t = 2.A2.v2.t 1.A1.v1 = 2.A2.v2

Ou seja, o produto .A.v permanece constante ao longo do tubo de corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo através da secção transversal do tubo. Se, o fluido é incompressível, tem-se que 1 = 2 = e, nesse caso, quando o produto A.v = constante, diz-se que este valor mede a vazão.

Exercício01. Um fluxo de água ocorre num duto com 8,0 cm de diâmetro da secção reta e com velocidade de 10

m/s. num ponto mais na frente há um estrangulamento da secção reta que se traduz na diminuição de seu diâmetro para 6,0 cm. Qual a velocidade da água neste estrangulamento?

H3. Equação de BernoulliVamos aplicar a lei de conservação de energia para o movimento de um fluido ideal, ou seja,

quando não há atrito e, vamos limitar para o caso de um escoamento estacionário de um fluido incompressível.

Vamos imaginar o fluido passando por A1 e chegando até A2. Considerando o nível de referência, vê-se que há uma energia potencial gravitacional relativa a Z1 e a Z2.

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O fluido passa em A1 com velocidade v1 o implica ter energia de movimento, ou energia cinética. O mesmo ocorre para a região onde a velocidade do fluido é v2.

Como está se supondo um fluido estacionário, então a quantidade de massa que passa entre os pontos 1 e 1’ fica compreendida como se fosse transportada para os pontos 2 e 2’ e, dessa forma, as quantidades de massas são iguais.

m1 = m2 .A1.v1.t = .A2.v2.t

A variação de energia cinética é dada por

∆ K=12

∆ m2 v22−1

2∆ m1 v1

2

Enquanto que W = F.d, mas F = p.A enquanto d = v.t e, com isto, W = p.A.v.t.

Como:

O deslocamento de 1 para 1’ está no mesmo sentido das forças de pressão, enquanto que de 2 para 2’ é no sentido contrário, por isso:

W = p1.A1.v1.t – p2.A2.v2.t

E que:

O trabalho realizado pelas forças gravitacionais é dado por:

U = U2 – U1 U = – m2.g.Z2 + m1.g.Z1

Daí:

12

∆ m2 v22−1

2∆ m1 v1

2 = p1.A1.v1.t – p2.A2.v2.t – m2.g.Z2 + m1.g.Z1

Como

A.v.t = m/12

∆ m2 v22−1

2∆ m1 v1

2 = p1.m1/ – p2.m2/ – m2.g.Z2 + m1.g.Z1

Uma vez que:

m1 = m2 12

v22−1

2v1

2 = p1/ – p2/ – g.Z2 + g.Z1

O que gera

12

v22+g . Z2+

p2

ρ=1

2v1

2+g . Z1+p1

ρ

O que exprime a conservação da energia por unidade de massa. Multiplicando-se essa equação por , e retomando a suposição do fluido incompressível, temos que:

½ v2 + p + g z = C (constante) Esta é a equação de Bernoulli

Se tomarmos um reservatório suficientemente grande, então na superfície deste reservatório, p = p0

(p0 é a pressão atmosférica) e, nesse caso z = z0 = constante e v2 é desprezível, ou seja, podemos tomar v2

como sendo nulo. Dessa forma, a equação de Bernoulli, torna-se.

C = p0 + g z0

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(Exercícios sobre este tema se farão no transcorrer do curso)Termodinâmica Aplicada ao Conforto Térmico

2.1 Introdução a compreensão de conforto térmicoAntes de comentar sobre a Termodinâmica é preciso compreender o significado de conforto térmico.

Primeiro: conforto é uma sensação absorvida pelo organismo vivo. Assim, para os animais está sensação é percebida por suas ações singulares no cativeiro ou não, quanto aos estudos de desvios climáticos ou processos de climatização feitos pelo Homem; enquanto que no ser humano suas ações de conforto térmico são expressas verbalizando esses sentimentos. Este conhecimento, da sensação de conforto térmico, no animal (por suas ações) ou no humano (por suas verbalizações), é visto dentro da concepção de que “a temperatura interna do corpo é controlada pelo equilíbrio entre o calor produzido pelo seu metabolismo e o calor ganho ou perdido para o ambiente externo”, segundo Rodrigues, s/d., o que quer dizer que Homens e animais são seres homoetérmicos, ou seres que, mesmo estando sujeito a variações de temperatura externa mantém temperaturas internas de seus corpos constantes ou com variações dentro de estreita faixa de limites permissíveis ou num quasitermoconstantecorporal.

Isto leva a se ter, em princípio, as sensações como representações ou descrições do estado de espírito quanto à satisfação ao ambiente térmico, resultando assim numa compreensão de uma faixa ou zona de conforto térmico. Estas representações e/ou descrições são individualizadas e estão intrínsecas a parâmetros internos e externos ao organismo vivo dos indivíduos. Isto faz ver que o significado de conforto térmico é complexo e, desse modo, precisamos compreendê-lo no contexto, aqui para o caso das edificações, estabelecido por zonas de conforto de temperatura aceitáveis para os humanos e, tal fato vem dos estudos de temperatura e calor, que estão associados à termodinâmica e a biologia, junto com as características tecnológicas e arquitetônicas.

Embora os elementos como: qualidade do ar externo/interno as edificações, ruídos externos e problemas de ruídos entre andares e paredes únicas de dupla casa, as questões da qualidade visual a ser oferecidos aos ocupantes dos imóveis, a influência da radiação solar e o ergonômico, façam parte e dê significado à idealização de conforto pessoal para uma edificação, aqui fazemos um recorte para o caso do conforto térmico.

Neste contexto, a importância do conforto térmico resulta no processo de busca para com a qualidade de vida dos habitantes de uma edificação. Neste sentido, isto se dar não somente para atividades prazerosas e amorosas de um conjunto de pessoas ou família, como também para com as atividades laborais cujo princípio reside no fato de buscar maior produção na empresa, pois trabalhando em ambientes confortáveis o estímulo a uma maior disposição para o desenvolvimento de atividades laborais tendem a surtir mais produtividade, o mesmo se dá para com os estudos. Daí ser uma importância e motivação para se trabalhar no contexto de um curso de Edificações a compreensão e a Física envolvida nos processos termodinâmicos que irão se assentar no que diz respeito ao Conforto Térmico.

Neste processo de utilização da idealização do conforto térmico nas construções ou edificações, citam-se algumas formas “simples” de contribuir para que se minimizem alguns problemas num projeto arquitetônico. São elas26.

Paredes robustas aproveitando-se a inércia térmica dos materiais de construção. Áreas envidraçadas somente onde possibilitem a utilização da luz natural. Dimensionar ambientes com profundidades máximas de 3,5 m para a qual a luz natural ainda é satisfatória. Utilizar lâmpadas que produzam maior iluminação por kW consumido. Utilizar protetores externos - brises nas fachadas mais expostas a radiação solar. Sempre que possível, privilegiar a ventilação natural.

Assim sendo, este estudo exige a concepção de envoltória do edifício que pode ser compreendida como limite físico entre o meio interior e exterior duma edificação e, isto se faz necessário, pois esta envoltória é responsável pelas necessidades extras de energia elétrica no prédio; assim, a minimização de energia elétrica fica ligada as necessidades energéticas e o controle da mesma27 de modo a se ter um processo de minimização de trocas térmicas com o exterior, buscando assim um equilíbrio térmico casado com o conforto térmico.

26 Adaptado de Osvaldo Guilen Lopes, em Conforto Térmico e Qualidade do Ar em Ambientes, artigo publicado no jornal e site da AEASV. Disponível em <http://cursos.unisanta.br/mecanica/polari/ct-og.pdf>, com acesso em 05 de janeiro de 2012. 27 Fluxos de ar do meio externo para o interno devido ao gradiente de temperatura e pressão atmosférica no meio externo. Controle da entrada de luz natural o que evita uso desnecessário da luz artificial. Evidentemente, tudo isto depende da localização (climatização) geográfica do projeto arquitetônico, dos interesses econômicos em jogo e dos ocupantes da edificação.

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Este fato faz com que haja a possibilidade de se minimizar o uso de equipamentos eletromecânico para equilibrar a temperatura interna de edificações como uso do ar condicionado, na intenção de buscar um conforto térmico; tal atitude também se verifica com os níveis de iluminância e, este princípio está na minimização de consumo de energia casado com o conforto térmico e do bem estar.

Em caso contrário, desequilíbrios promovidos entre a geração e a dissipação de calor pelo organismo tem a possibilidade de causar sensações não agradáveis ou sensações de desconforto térmico, que em casos extremos é denominado de estresse térmico, para pessoas e para animais em cativeiro.

Finalizando, o conceito de conforto térmico é descrito pela International Organization for Standardization (ISO), como: “conforto térmico é o estado de espírito que expressa a satisfação com o ambiente térmico que envolve uma pessoa”, segundo Baltar, 2006. E como “condição da mente que expressa satisfação com o meio térmico”, segundo a American Society of Heating Refrigeration and Air-Conditioning Engineers (ASHRAE). Isto faz ver o conforto térmico sob dois pontos: do ponto de vista pessoal e ambiental.

E a condição de necessidade para que uma pessoa esteja em conforto térmico, é a neutralidade térmica que apresenta duas definições28. Primeira: é a condição na qual a pessoa não prefira nem mais calor nem mais frio ao seu redor, segundo Fangner (1982) e, segunda: é a condição da mente que expressa satisfação com a temperatura do corpo como um todo, segundo Tanabe (1984) logo, neutralidade térmica é condição necessária, mas não suficiente para que uma pessoa esteja em conforto térmico.

Como sensação não é grandeza física quantitativa, necessita-se de um modelo que explicite essas informações tomando o Homem como sendo uma “máquina térmica” e desta forma: “a condição de conforto térmico a que está sujeita uma pessoa em um ambiente interno, é normalizada através da Norma Internacional ISO 7730 (1994), a qual é baseada nos estudos realizados por Ole Fanger (1970), na Dinamarca. Estes estudos foram realizados em câmaras climatizadas onde o pesquisador possui total controle sobre as condições ambientais, analisaram as respostas psicofisiológicas relativas a percepção térmica de uma grande grupo de pessoas quando submetidas a variações ambientais efetuadas na câmara climatizada. Eles se basearam no modelo físico de balanço de calor entre o homem e o meio ambiente, através do qual todo calor gerado pelo organismo humano pela execução de atividades deve ser dissipado em igual proporção ao ambiente, a fim de que não haja nem acúmulo nem perda excessiva de calor no interior do organismo” (XAVIER29, 2000, p. 12).

Os estudos de Fanger geraram um modelo analítico para determinar as condições de conforto térmico, conhecido como PMV (Predicted Mean Vote), ou Voto Médio Estimado, também entendido como sensação analítica de conforto térmico. Segundo Humphreys e Nicol (1996), citado por Xavier, 2000, o modelo de PMV foi definido pela temperatura média da pele e pela taxa de secreção de suor em função da atividade desempenhada, enquanto sua extensão para equação do PMV definiu os requisitos para conforto como função da carga térmica atuando sobre o corpo.

Ainda segundo Xavier, esse modelo leva em consideração 6 variáveis, sendo 4 variáveis ambientais (temperatura do ar, temperatura radiante média, velocidade do ar e umidade relativa do ar) e 2 variáveis subjetivas (taxa metabólica ou produção de calor pelo organismo, devido ao trabalho executado e, isolamento térmico das vestimentas utilizadas); e neste modelo as trocas de calor entre o Homem e o Ambiente, se dão por:

Taxa de produção de calor gerado pelo organismo (taxa metabólica). Taxa de perda de calor por convecção da respiração. Taxa de perda de calor por evaporação da respiração. Taxa de perda de calor por convecção pela pele. Taxa de perda de calor por radiação pela pele. Taxa de perda de calor por evaporação e dissipação de suor pela pele.

Para que haja o balanço térmico entre o homem e o ambiente a taxa metabólica (consumo de oxigênio) deve ser igual ao somatório das taxas de perdas de calor para o ambiente, citadas anteriormente. Aqui se faz necessário dizer que, o modelo PMV, ainda segundo Xavier, 2000, por se basear num modelo físico de trocas de calor entre o homem e o ambiente não leva em consideração os mecanismos de adaptação das pessoas e nem seus hábitos e estilos de vida diferenciados, o que para alguns autores são tão ou mais importantes do que os próprios mecanismos de troca de calor (p. 21).

28 Segundo slide de aula da disciplina Conforto Ambiental, ministrada pelos professores Ana Paula, José Alberto e W. Augusto. Curso: Arquitetura e Urbanismo. Disponível em <http://www.dec.ufms.br/lade/docs/cft/4ConfTerm.pdf>, com acesso em 05 de janeiro de 2012.29 XAVIER, Antonio Augusto de Paula. Predição de Conforto Térmico em Ambientes Internos com Atividades Sedentárias – Teoria Física Aliada a Estudos de Campo. Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistema, na Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000. Disponível em <http://www.labeee.ufsc.br/sites/default/files/publicacoes/teses/TESE_Antonio_Augusto_Xavier.pdf>, com acesso em 06 de janeiro de 2012.

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O PMV está associado a uma escala de 7 pontos, criada por Fanger, onde pessoas registravam seu voto nesta escala que vai de muito frio até muito quente.

+ 3 Muito quente+ 2 Quente+ 1 Levemente quente

0 Neutro– 1 Levemente frio– 2 Frio– 3 Muito frio

Onde:PMV = (0,303. e – 0,036M + 0,028).L

Com:M Atividade desempenhada pelo indivíduoL Carga térmica atuante sobre o corpo (aqui outros fatores são relevantes)

2.2 Temperatura e Calor

O princípio da termodinâmica está associado aos conceitos de temperatura e calor. Ou seja, grandezas térmicas que apresentam uma dinâmica em seus mecanismos de ação e, apresenta uma natureza física muito diferente da mecânica.

Pois, num sistema mecânico descreve-se o movimento e escrevem-se equações em todos os graus de liberdade, mas para um sistema termodinâmico, digamos um gás, esta realidade de descrever o movimento e escrever as equações em todos os graus de liberdade não é possível, pois um gás num recipiente de dimensões macroscópicas é formado por, ou tem uma ordem de grandeza para com a quantidade de partícula ou átomos de N ~ 1024. Desta forma, tratar cada uma dessas partículas como um elemento de estudo na descrição de seu movimento, teria um sistema mecânico de 3N graus de liberdades e, seria inconcebível que todas as equações criadas fossem resolvidas. Pois, além da grande quantidade de partículas tem-se que o movimento dessas partículas acontece numa ordem de grandeza de 10 – 8 m de comprimento (deslocamentos), com intervalos de tempo médio de 10 – 13 s. Essa é a diferença fundamental entre a mecânica e a termodinâmica.

Então, como descrever um sistema termodinâmico? Para responder vamos supor que a descrição do sistema termodinâmico seja a descrição macroscópica de um gás num recipiente e, dessa forma, vamos estabelecer parâmetros físicos que representam valores médios de grandezas microscópicas: a pressão P, o volume V e a temperatura T. Assim sendo, o estado termodinâmico de um gás descrito por (P, V, T), fornece as informações médias sobre o estado dinâmico microscópico em 3N graus de liberdades. Vê-se assim que a descrição termodinâmica é uma descrição estatística do sistema formado por um grande número de elementos. Fato que não é o objetivo desse curso.

Porém, quando se constrói um abrigo tem-se diversas influências de ações da natureza, tais como: energia luminosa oriunda do sol; variações de temperatura por influência do ciclo da água, radiação solar, ventos e umidade do ar; volume médio de ar ocupado pelo abrigo. Estas características físicas que se intercambia concomitantemente são relevantes e necessita-se de estudos quanto à aplicação dos conhecimentos da termodinâmica ao conforto térmico nos projetos arquitetônicos. Pois como anteriormente visto, esses aspectos ambientais estão relacionados com a troca de calor e apresentam parâmetros de descrição termodinâmica.

Assim sendo, vamos então compreender os aspectos teóricos que conduzem aos conceitos de temperatura e de calor.

O conceito de temperatura está associado a propriedade comum de sistemas em equilíbrio térmico. Pois, a sensação subjetiva de temperatura não fornece um método confiável de medição. É por isso que num dia frio, ao tocarmos num objeto metálico, temos a sensação de que está a temperatura mais baixa do que um objeto de madeira, embora ambos se encontrem à mesma temperatura: a razão é que, por condução, o objeto remove mais rapidamente calor da ponta de nossos dedos.

A lei zero da termodinâmica diz que: dois sistemas em equilíbrio térmico com um terceiro estão em equilíbrio entre si.

E com o conhecimento desta lei a noção intuitiva de temperatura leva a idéia de que dois sistemas em equilíbrio térmico entre si têm a mesma temperatura. É por esse motivo que podemos medir temperatura com o auxílio de um termômetro, pois para saber se dois sistemas A e B estão em equilíbrio térmico não precisa colocá-los em contato térmico, basta verificar se estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C, que é o termômetro, pois a lei zero da termodinâmica garante que A e B também estão em equilíbrio térmico com o outro.

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Já para a concepção de calor, vamos começar pela máquina a vapor de James Watt, desenvolvida na segunda metade do século 18, que era uma demonstração prática de que o calor leva à capacidade de produzir trabalho. Entretanto, a conexão entre calor e energia só foi estabelecida no século 19.

Um dos primeiros a discutir essa conexão foi o médico alemão Julius Robert Mayer. Aparentemente, ele foi levado a refletir sobre o problema quando, como médico de bordo durante uma viagem aos trópicos, observou que p sangue venoso parecia mais vermelho que nos climas frios da Europa, o que conduziu a especulações sobre a origem do calor animal. Assim, em 1842, Mayer chegou ao primeiro enunciado geral do Princípio de Conservação da Energia.

As energias são entidades conversíveis, mas indestrutíveis ... Em inúmeros casos, vemos que um movimento cessa sem ter produzido quer outro movimento (energia cinética) quer o levantamento de um peso (energia potencial), mas a energia, uma vez que existe, não pode ser aniquilada, pode somente mudar de forma, e daí surge a questão: Que outras formas pode ela assumir? Somente a experiência pode levar a uma conclusão. A experiência mostra que o trabalho pode (por exemplo, através do atrito) ser convertido em calor. Logo, diz Mayer: Se energia cinética e potencial são equivalentes a calor é natural que calor seja equivalente a energia cinética e potencial, ou seja, o calor é uma forma de energia30.

Aqui ficou compreendido o conceito de temperatura e de calor, elementos básicos da termodinâmica e que fazem parte do contexto no qual se trabalha o conforto térmico. E daí ser necessário compreender que trocas de calor significa trocas de energias.

“Ao efetuar trabalho mecânico, os músculos se contraem. Tal contração produz calor. A quantidade de calor liberado pelo corpo, por essa razão, será função do trabalho desenvolvido, podendo chegar a um máximo da ordem de 1200 W, desde que por pouco tempo. Esse calor é dissipado através dos mecanismos de troca térmica entre o corpo e o ambiente, envolvendo as trocas secas – condução, convecção e radiação – as trocas úmidas – evaporação. O calor perdido para o ambiente através das trocas secas é denominado de calor sensível e é função das diferenças de temperatura entre o corpo e o ambiente. Já o calor perdido para o ambiente através das trocas úmidas é denominado calor latente e envolve mudança de estado de agregação – o suor, liquido, passa para o estado gasoso, de vapor, através da evaporação. Assim, o organismo perde calor para o ambiente sob duas formas: calor sensível e calor latente31”.

2.3 Trocas de CalorEste é um tema importante para o conhecimento do comportamento térmico nas edificações e, as

trocas térmicas entre os corpos vêm de duas condições básicas: Existência de corpos que estejam a temperaturas diferentes. Mudança de estado de agregação.

2.3.1 Trocas térmicas secas32

As trocas de calor que envolve variações de temperatura são denominadas trocas secas, em contraposição à denominação de trocas úmidas, relativa às trocas térmicas que envolvem a água. Os mecanismos de trocas secas são convecção, radiação e condução.

2.3.2 ConvecçãoConvecção: troca de calor entre dois corpos, sendo um deles sólido e o outro um fluido (líquido ou

gás). A intensidade do fluxo térmico envolvido no mecanismo de troca por convecção é:

qc = hc (t − θ) (W/m2)

Onde:qc – intensidade do fluxo térmico por convecção (W/m2);hc – coeficiente de trocas térmicas por convecção (W/m2°C);t – temperatura do ar (°C);θ – temperatura da superfície do sólido (parede) (°C), sendo que t > θ ou θ < t.

As trocas de calor por convecção são ativadas pela velocidade do ar, quando se trata de superfícies verticais. Nesse caso, mesmo que o movimento do ar advenha de causas naturais, como o vento, o mecanismo de troca entre a superfície e o ar passa a ser considerada convecção forçada.

No caso de superfície horizontal, o sentido do fluxo desempenha importante papel. Quando o fluxo é ascendente, há coincidência do sentido do fluxo com o natural deslocamento ascendente das massas de ar aquecidas, enquanto no caso de fluxo descendente, o ar, aquecido pelo contato com a superfície, encontra

30 Texto (em itálico) retirado do livro Curso de Física Básica, volume 2, de Moysés Nussenzveig.31 Texto extraído do livro Manual do Conforto Térmico, de Anésia B. Frota & Sueli R. Schiffer.32 Idem, da p. 31-48. Com pequenas adaptações sem prejudicar de forma alguma o texto original e/ou figuras; alem disso, houve neste intervalo de páginas a supressão de alguns itens para adaptar a este portfólio.

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nela mesma uma barreira para sua ascensão, dificultando a convecção – seu deslocamento e sua substituição por nova camada de ar à temperatura inferior à sua.

Para o coeficiente de trocas térmicas por convecção - hc -, no caso de convecção natural, são adotados, segundo Croiset, os seguintes valores:

Para superfície horizontal, fluxo descendente: hc = 1,2 (W/m2°C); Para superfície vertical: hc = 4,7 (W/m2°C); Para superfície horizontal, fluxo ascendente: hc = 7 (W/m2°C).

2.3.3 RadiaçãoRadiação: mecanismo de troca de calor entre dois corpos – que guardam entre si uma distância

qualquer – através de sua capacidade de emitir e de absorver energia térmica. Esse mecanismo de troca é conseqüência da natureza eletromagnética da energia, que, ao ser absorvida, provoca efeitos térmicos, o que permite sua transmissão sem necessidade de meio para propagação, ocorrendo mesmo no vácuo.

O fluxo de calor envolvido nesse mecanismo de troca será:

qr = hr(θ − θr) (W/m2)

Onde:qr – intensidade do fluxo térmico por radiação (W/m2);hr – coeficiente de trocas térmicas por radiação (W/m2°C);θ – temperatura da superfície da parede considerada (°C);θr – temperatura radiante relativa às demais superfícies (°C).

O coeficiente hr é um parâmetro simplificado, que resume todos os fatores que interferem nas trocas de radiação, a saber: as temperaturas das superfícies, os aspectos geométricos e físicos das superfícies envolvidas e, principalmente, a emissividade térmica ε da superfície. A emissividade expressa a capacidade de uma superfície de emitir calor.

Para os materiais de construção correntes, sem brilho metálico, ε 0,9, pode-se adotar hr = 5 (W/m2°C).

2.3.4 ConduçãoCondução: troca de calor entre dois corpos que se tocam ou mesmo partes do corpo que estejam a

temperaturas diferentes, como apresentado na figura abaixo, onde: θe ≠ θi.

Trocas de calor

A intensidade do fluxo térmico por condução envolvido nesse mecanismo de troca é:

qcd=λe(θe−θi ) (W/m2)

Onde:e – espessura da parede (m);θe – temperatura da superfície externa da envolvente (°C);θi – temperatura da superfície interna da envolvente (°C);λ – coeficiente e condutibilidade térmica do material (W/m°C).

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Como eλ=r ,sendo r a resistência térmica específica da parede (m2°C/W), tem-se:

qcd=(θe−θi )

r (W/m2)

O coeficiente de condutibilidade térmica do material - λ - é definido como sendo “o fluxo de calor que passa, na unidade de tempo, através da unidade de área de uma parede com espessura unitária e dimensões suficientemente grandes para que fique eliminada a influência de contorno, quando se estabelece, entre os parâmetros dessa parede, uma diferença de temperatura unitária” – Gomes. Este coeficiente depende de:

Densidade do material – a matéria é sempre muito mais condutora que o ar contido em seus poros; Natureza química do material – os materiais amorfos são geralmente menos condutores que os cristalinos; A umidade do material – a água é mais condutora que o ar.

O coeficiente λ varia com a temperatura, porém, para as faixas de temperatura correntes na construção, pode ser considerado como uma característica de cada material.

2.3.5 Trocas térmicas úmidasAs trocas térmicas que advêm de mudança de estado de agregação da água, do estado líquido para

o estado de vapor e do estado de vapor para o estado líquido, são denominadas trocas úmidas, cujos mecanismos são evaporação e condensação.

2.3.6 EvaporaçãoEvaporação: troca térmica úmida proveniente da mudança do estado líquido para o estado gasoso.

Para ser evaporada, passando para o estado de vapor, a água necessita de certo dispêndio de energia. Para evaporar um litro de água são necessários cerca de 700 J.

A velocidade de evaporação é função do estado higrométrico do ar e de sua velocidade. A uma determinada temperatura, o ar tem capacidade de conter apenas certa quantidade de vapor d’água, inferior ou igual a um máximo denominado peso do vapor saturante. Portanto, o grau higrométrico é a relação entre o peso de vapor d’água contido no ar, a certa temperatura, e o peso de vapor saturante do ar à mesma temperatura.

As cartas psicrométricas, apresentadas nos Anexos 4 e 5, fornecem dados acerca do peso de vapor d’água contido no ar segundo sua temperatura. O peso de vapor saturante relativo a cada temperatura pode ser obtido na carta psicrométrica por meio da linha da umidade relativa (U.R.) 100%, enquanto o peso de vapor contido no ar, para cada condição de umidade relativa (U.R.) e para cada condição de temperatura, pode ser obtido na mesma carta.

2.3.7 CondensaçãoCondensação: troca térmica úmida decorrente da mudança do estado gasoso do vapor d’água

contido no ar para o estado líquido. Quando o grau higrométrico do ar se eleva a 100%, a temperatura em que ele se encontra é denominada ponto de orvalho33 e, a partir daí, o excesso de vapor d’água contido no ar se condensa - passa para o estado líquido.

A condensação é acompanhada de um dispêndio de energia. A condensação de um litro d’água dissipa cerca de 700 J.

Se o ar, saturado de vapor d’água, entra em contato com uma superfície cuja temperatura está abaixo da do seu ponto de orvalho, o excesso de vapor se condensa sobre a superfície, no caso de esta ser impermeável - condensação superficial -, ou pode condensar-se no interior da parede, caso haja porosidade.

A condensação superficial passageira em cozinhas e banheiros, nos horários de uso mais intenso, é considerada normal. Torna-se problemática quando se dá em paredes e principalmente em coberturas de baixa resistência térmica.

33 Ponto de orvalho: como a umidade relativa do ar varia com a temperatura do ar, diminuindo com o aumento desta, então quando o ar contendo certa quantidade de água é esfriado, sua capacidade de reter água é reduzida, aumentando a umidade relativa do ar até se tornar saturado – com umidade de 100%. A temperatura na qual esse ar se satura é denominada temperatura do ponto de orvalho. Qualquer esfriamento abaixo dessa temperatura causa condensação de vapor.

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Um meio para evitar a condensação superficial consiste na eliminação do vapor d’água pela ventilação. Outro consiste em imprimir ao elemento da construção uma resistência térmica R adequada, que pode ser calculada através da expressão:

R=( t e−ti

ti−t o). 1

hi

(m2.oC/W)

Onde:ti – temperatura do ar interno (oC).te – temperatura do ar externo (oC).to – temperatura do ponto de orvalho relativa a ti (oC).hi – coeficiente de condutância térmica superficial interna (figura abaixo) (W/m2.oC).

2.3.8 Condutância térmica superficialA condutância térmica superficial engloba as trocas térmicas que se dão à superfície da parede. O

coeficiente de condutância térmica superficial expressa às trocas de calor por convecção e por radiação.Assim, considerando-se a figura abaixo, onde se toma uma lâmina que separa dois ambientes, um

externo e outro interno, havendo diferenças de temperatura, as trocas térmicas superficiais poderão ser expressas através dos coeficientes de condutância térmica superficiais:

Onde:he – coeficiente de condutância térmica superficial externa (W/m2.oC)Logo, os espaços de ar confinando, portanto não ventilados, entre duas lâminas paralelas,

apresentam resistência térmica em função dos seguintes fatores: espessura da lâmina de ar, sentido do fluxo térmico e emissividade das superfícies em confronto.

2.3.9 Coeficiente global de transmissão térmicaO coeficiente global de transmissão térmica, representado por K, engloba as trocas térmicas

superficiais (por convecção e radiação) e as trocas térmicas através do material (por condução). Portanto, engloba as trocas de calor referentes a um determinado material segundo a espessura da lâmina, o coeficiente de condutibilidade térmica, a posição horizontal ou vertical da lâmina e, ainda, o sentido do fluxo.

O coeficiente K quantifica a capacidade do material de ser atravessado por um fluxo de calor induzido por uma diferença de temperatura entre dois ambientes que o elemento constituído por tal material separa (W/m2°C). Define-se como sendo “o fluxo de calor que atravessa, na unidade de tempo, a unidade de área do elemento constituído do material, quando se estabelece uma diferença unitária de temperatura entre o ar confinante com suas faces opostas”.

2.3.10 Determinação de K para paredes homogêneasPara uma parede de material homogêneo e com espessura constante, o coeficiente global de

transmissão térmica K é obtido em função de:

[a] Trocas térmicas na superfície interna

q=hi (t i−θi )=( ti−θ i )1/hi

(W/m2)

[b] Trocas térmicas através do material

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q=λ (θi−θe )

e=(θ i−θe )

e /λ (W/m2)

[c] Trocas térmicas na superfície externa

q=he (θe−t e )=(θe−t e )

1/he

(W/m2)

Igualando-se estas frações e admitindo-se que

q=K . Δt= Δt1/K

(t diferenças de temperaturas)

Então:

1K= 1

h i

+ 1he

+ eλ (m2.oC/W)

Sendo:

R= 1K

Resistência térmica global da lâmina

Onde:Esses valores são tabelados.

2.3.11 Determinação de K para paredes heterogêneasNo caso de paredes heterogêneas, em que os elementos da construção se constituem de várias

camadas de materiais diferentes, a expressão de cálculo considera essa heterogeneidade incluindo a somatória das relações espessuras (e) / condutibilidade térmica (), ou o inverso das condutâncias, ou das resistências térmicas específicas das sucessivas camadas constituintes do elemento.

Então:

1K= 1

he

+e1

λ1

+e2

λ2

+e3

λ3

+…+ 1hi

(m2.oC/W)

2.4 Comportamento térmico da construçãoO Sol, importante fonte de calor, incide sobre o edifício representando sempre certo ganho de calor,

que será função da intensidade da radiação incidente e das características térmicas dos paramentos do edifício. Os elementos da edificação, quando expostos aos raios solares, diretos ou difusos, ambas as radiação de alta temperatura, podem ser classificados como: a) opacos; b) transparentes ou translúcidos.

2.4.1 Trocas de calor através de paredes opacas No caso de uma parede opaca exposta à radiação solar e sujeita a uma determinada diferença de

temperatura entre os ambientes que separa, os mecanismos de trocas podem ser esquematizados como na

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figura a seguir. A intensidade do fluxo térmico (q) que atravessa essa parede, por efeito da radiação solar incidente e da diferença de temperatura do ar:

q=K ( te+α I g

he

−ti) (W/m2)

Onde:K – coeficiente global de transmissão térmica (W/m2.oC)te – temperatura do ar externo (oC) – coeficiente de absorção da radiação solarIg – Intensidade da radiação solar incidente global (W/m2).

2.4.2 Trocas de calor através de paredes transparentes ou translúcidaNeste caso, deve-se incorporar a incidência solar, com relação a figura anterior, a parcela que

penetra no ambiente por transparência (Ig).

q=(αKhe

+τ )I g+K (∆ t ) (W/m2)

Sendo:

(αKhe

+τ)≡ S tr (Fator Solar)

A parcela K(t) se refere a troca de calor por diferença de temperatura e representa ganho quando te > ti e perda quando ti > te.

A figura para este caso é:

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Onde, para o vidro comum:

= 0,07 K = 5,7 (m2/oC.W) = 0,08 1/he = 0,05 (m2/oC.W) = 0,85 Str = 0,86

Existem outras formas de análise que pode ser consultada no livro citado desta bibliografia sobre o manual de conforto térmico.

2.4.3 Inércia térmica de um componente da envolventeÀ inércia térmica estão associados dois fenômenos de grande significado para o comportamento

térmico do edifício: o amortecimento e o atraso da onda de calor, devido ao aquecimento ou ao resfriamento dos materiais. A inércia térmica depende das características térmicas da envolvente e dos componentes construtivos internos.

Quando, por exemplo, a temperatura exterior, suposta inicialmente igual à temperatura interior, se eleva, certo fluxo de calor penetra na parede. Esse fluxo não atravessa a parede imediatamente, antes a aquecendo internamente.

Tal fluxo, se comparado com uma parede fictícia de peso nulo, atravessa a parede com certo atraso e amortecido, conforme a figura 10. O atraso e o amortecimento, juntos, compõem a inércia térmica, a qual é função da densidade, da condutibilidade e da capacidade calorífica da parede. A capacidade calorífica da parede é expressa através do fator denominado calor específico, que se mede pela quantidade de calor necessária para fazer elevar de uma unidade de temperatura, a sua unidade de massa (J/kg°C).

Onde:Q = m.c.T, como o calor específico. Sendo c dado em J/kg.oC)

ComentárioEsta parte do curso, quando necessária será elaborado questões aos estudantes e, qualquer outro

tema que se possa veicular na turma será acrescido de elementos teóricos apresentado aos alunos como complementação. Para nível de um curso técnico de Edificações estas informações técnicas/científicas estão bem postas para esta finalidade.

Sobre o conceito de conforto podemos ver na figura abaixo os itens subjetivos que neste conceito habita34

34 Retirado de Nelson Solano Vianna

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Em suma podemos afirmar que a produção técnica, cientifica ou qualquer outro desenvolvimento humano, atrela-se ao conforto térmico. Assim sendo, escolas, indústrias, escritórios, residências dentre outras edificações, devem estar sempre minimizando os efeitos térmicos desagradáveis. Tal conceito, não somente está centrado nos efeitos térmicos, mas se estende para o conforto acústico e luminoso. Estes fatos serão abordados no transcorrer deste curso de física aplicada, num curso técnico de Edificações.

ÓPTICA APLICADA A LUMINOTÉCNICA

3 Conceitos básicos relacionados à óptica geométrica Os olhos são a principal forma de perceber o mundo à nossa volta e, para os antigos, a busca por

fontes luminosas após o por do Sol se apresentaram como a primeira necessidade humana do luminoso que tem na criação do fogo a primeira conquista fundamental nesse processo de busca pelas fontes luminosas, como as estrelas. O problema daí então era compreender não como fontes luminosas se apresentavam aos nossos olhos, mas como compreender quando enxergamos coisas objetos ao nosso redor, como uma mesa, cadeira, livros e outros objetos que não são fontes de luz. Atualmente, se aceita a descrição de que corpos não luminosos quando iluminados emitem luz que chegam a nossa visão. Este é um dos princípios fundamentais do conhecimento óptico.

Com o advento de estudos preliminares sobre a óptica verificou-se três outros princípios, fundamentais: o princípio da propagação retilínea e o princípio da independência dos raios luminosos. Na óptica geométrica há também dois princípios de relevância em seu conhecimento: a reflexão que é o fenômeno no qual o raio luminoso incide sobre uma superfície este volta para o meio de onde partiu; e a refração, fenômeno que ocorre com a mudança no meio de propagação da luz quando esta atravessa uma superfície que separa dois meios diferentes, como ar e água, promovendo um desvio de sua trajetória original, tendo a Lei de Snell-Descarte aplicada a este fenômeno, ou n1.seni = n2.senr (i ângulo de incidência que a luz faz com a normal; r ângulo de refração que a luz faz ao passar do meio 1 para o 2); é

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o principio de Fermat, ou principio do tempo mínimo o qual é feito pela luz para ir de um ponto a outro, fato que justifica o principio de propagação retilínea.

Outro conceito básico da óptica geométrica é o da luz ter velocidade constante e independente do referencial no qual ela é medida, com valor c = 300.000 km/s ou c = 3,0 x 108 m/s. Este dado faz com que se tenha a compreensão do que vem a ser índice de refração absoluto, n = c/v, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio refratado. Com estas compreensões e com o conceito de luz como uma onda eletromagnética, construiu o espectro eletromagnético e verifica-se que a faixa de luz visível está compreendida no intervalo de comprimento de onda de 380 nm a 780 nm (nm nanômetro, onde 1 nm = 10 – 9 m), onde os olhos são estimuladas e respondem a sensação luminosa.

3.1 Conceitos básicos relacionados à luminotécnica35

Compreende-se a luminotécnica como sendo o estudo da aplicação da iluminação artificial em espaços interiores e exteriores. Neste contexto, desfilam-se alguns conceitos básicos.

Fluxo luminoso: é a radiação total da fonte luminosa entre os limites de comprimento de onda da luz visível (380 nm – 780 nm) e, definido como a quantidade de luz emitida por uma fonte, na tensão nominal de funcionamento. Sua unidade de medida é o lúmen (ln).

Intensidade luminosa: é o fluxo luminoso irradiado na direção de um determinado ponto. Este conceito surge para justificar que uma fonte luminosa não emite uniformemente luz em todas as direções e, dessa forma se faz necessário medir o valor dos lumens em cada direção. A unidade de medida é a candela (cd).

Iluminância: é o fluxo luminoso de uma fonte de luz que incide numa superfície, situada a certa distância, por unidade de área. Sua representação matemática é E = /A. sua unidade de medida é o luz (lx). Também se credita a esta definição como densidade de luz necessária para realização de determinada tarefa.

Luminância: é a intensidade luminosa que emana de uma superfície, pela superfície aparente. Sua unidade de medida é a candela por metro quadrado (cd/m2). Este conceito vem do fato de que não percebemos os raios, o que percebemos é quando os mesmos são desviados em uma superfície e, nesse momento, transmitem a sensação de claridade. Sua equação é L = I / A.cos. Onde, L é a Luminância dada em cd/m2. I é a intensidade luminosa dada em cd. A é a área projetada, em m2. E é o ângulo considerado, pois você pode estar olhando para uma superfície com esta inclinação. Outra forma de quantificar a luminância é usar L = .E/. Onde, é o coeficiente de reflexão e, E é Iluminância sobre essa superfície.

Eficiência luminosa: é a razão entre o fluxo emitido (em lúmen), pela potência consumida (em Watt). Esta grandeza retrata a quantidade de “lux” que uma tarefa luminosa pode produzir a partir da potência elétrica de 1 Watt. Quanto maior o valor da eficiência luminosa de determinada lâmpada, maior será a quantidade de luz produzida com o mesmo consumo. Dentro desta definição, classificam-se algumas lâmpadas.

Incandescente 10 a 15 lm/W Halógenas 15 a 25 lm/W Mista 20 a 35 ln/W Vapor de Mercúrio 45 a 55 ln/W Fluorescente tubular 55 a 70 ln/W Fluorescente composta 50 a 80 lm/W Vapor metálico 65 a 90 ln/W Vapor de sódio 80 a 140 ln/W

Índice de Reprodução de cor (IRC): é a medida de correspondência entre a cor real de um objeto e sua aparência diante de determinada fonte de luz. A luz artificial, como regra, deve permitir ao olho humano perceber as cores corretamente, ou o mais próximo possível da luz natural do dia (Sol). Lâmpadas com índices de 100% apresentam cores com total fidelidade e precisão, assim, quanto mais baixa o índice, mais deficiente é a reprodução de cores. Os índices variam conforme a natureza da luz e são indicados de acordo com o uso de cada ambiente.

Temperatura de cor: é a grandeza que expressa a aparência de cor da luz. Sua unidade é o kelvin (K). Quanto mais alta a temperatura de cor, mais branca é a cor de luz. A “luz quente” é a que tem

35 Texto extraído, ora integralmente, ora parcialmente, do Manual de Iluminação Eficiente, do Manual de Luminotécnica e da Enciclopédia Livre Wikipédia, conforme interesse específico ao curso Técnico de Edificações.

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aparência amarelada e temperatura de cor baixa, 3000 K ou menos. A “luz fria”, ao contrário, tem aparência azul-violeta, com temperatura elevada, 6000 K ou mais.

Curva de Distribuição Luminosa: é a curva que representa, em coordenadas polares, as intensidades luminosas nos planos, transversal e longitudinal.

Ofuscamento: efeito de uma luz forte no campo de visão do olho humano. Pode provocar sensação de desconforto e prejudicar o desempenho das atividades realizadas no local.

Reflexão, Transmissão e Absorção da luz. Quando se ilumina uma superfície de vidro, uma parte do fluxo luminoso que incide sobre a mesma, se reflete, outra atravessa a superfície transmitindo-se ao outro lado, e uma terceira parte do fluxo luminoso é absorvida pela própria superfície, se transformado em calor. Portanto, o fluxo luminoso incidente divide-se em três partes, em dada proporção, que depende das características da substância sobre a qual incide. Isto gera três fatores a se definir:

Refletância: é a relação entre o fluxo luminoso refletido por uma superfície e o fluxo luminoso incidente sobre ela.Transmitância: é a relação entre o fluxo luminoso transmitido por uma superfície e o fluxo luminosos que incide sobre ela.Fator de Absorção: é a relação entre o fluxo luminoso absorvido por uma superfície e o fluxo luminosos que incide sobre ela.

3.2 Tipos de lâmpadas36

Lâmpadas incandescentes: Produzem energia luminosa a partir da incandescência (que significa "em brasa, ardente") de um filamento de tungstênio, que e o material que mais se adaptou as elevadas temperaturas que se verificam no interior das lâmpadas, onde existe vácuo ou um gás raro. As partes principais de uma lâmpada incandescente são: base, bulbo e filamento. As bases podem ser do tipo rosca ou baioneta, cada qual com finalidades específicas. Os bulbos podem ser do tipo globular comum, pêra, parabólico entre outros. Ha lâmpadas infravermelhas, germicidas, para iluminação geral ou refletora, com as mais diversas aplicações.

Eficiência: extremamente baixaVida útil: 800 horasIRC: 100%Uso: residencial, arandelas, abajures, luminárias de pé.Tensão de rede: 110 V ou 220 V.

36 Texto extraído, ora integralmente, ora parcialmente, do Manual de Iluminação Eficiente, do Manual de Luminotécnica e da Enciclopédia Livre Wikipédia, conforme interesse específico ao curso Técnico de Edificações.

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Lâmpadas de descargas: Baseiam-se na condução de corrente elétrica em um meio gasoso, quando em seus eletrodos se forma uma tensão elevada capaz de vencer a rigidez dielétrica do meio. Os meios gasosos mais utilizados são o vapor de mercúrio ou o argônio. São elas:

Lâmpadas fluorescentes. As lâmpadas fluorescentes funcionam de modo semelhante aos tubos de descarga de gás neon, possuem um par de eletrodos em cada extremo. Os elétrons são emitidos de um eletrodo por meio de uma sobtensão. O tubo de vidro e coberto com um material a base de fósforo, este, quando excitado com radiação ultravioleta gerada pela ionização dos gases, geralmente vapor de mercúrio, produz luz visível. Os equipamentos auxiliares das lâmpadas fluorescentes são o reator e o arrancador (starter). Os reatores, que geralmente são bobinas enroladas em um núcleo de ferro, têm duas funções: Produzir a sobtensão no momento do desligamento do arrancador e limitar corrente. No momento em que se da a condução do gás, tudo se passa como se houvesse um curto-circuito, pois a resistência elétrica passa a ser quase nula, porem neste momento o reator age como uma reatância, limitando a corrente.

Eficiência: altaVida útil: 7.500 a 10.000 horasIRC: 85%Uso: residencial e comercialTensão de rede: 110 V ou 220 V

Lâmpadas a vapor de mercúrio. Também utiliza o principio da descarga através do vapor de mercúrio. Esta lâmpada não possui arrancador e a partida e dada por meio de uma bobina. Uma vez iniciado o arco entre um dos eletrodos principais e o eletrodo auxiliar, o vapor de mercúrio contido no tubo vaporiza-se, propiciando um meio condutor favorável. Assim, entre os eletrodos principais se forma um arco, produzindo-se energia luminosa em escala visível, pois o vapor de mercúrio encontra-se em alta pressão. O tempo de partida de uma lâmpada de vapor de mercúrio e de cerca de oito minutos, suficientes para que o mercúrio se vaporize, enquanto que na fluorescente comum e de poucos segundos. A lâmpada a vapor de mercúrio e utilizada em larga escala na iluminação de ruas, jardins públicos, postos de gasolina, campos de futebol entre outros lugares. Estas lâmpadas têm uma cor branco-azulada.

Lâmpadas a vapor de sódio. Tal como as lâmpadas de vapor de mercúrio, também utiliza o principio da descarga através do vapor de sódio. Esta lâmpada também não possui arrancador e a partida e dada por meio de uma bobina. A lâmpada de vapor de sódio é a mais usada em auto-estradas, aeroportos, gares marítimas, e outros espaços públicos onde a acuidade visual seja muito importante, mas onde não haja necessidade de conseguir distinguir com perfeição as diferentes cores. Estas lâmpadas têm cor alaranjada.

Lâmpadas Mistas. Estas lâmpadas, ao mesmo tempo incandescentes e a vapor de mercúrio, são constituídas de um tubo descarga de mercúrio, ligada em série com um filamento de tungstênio. Este filamento além de funcionar como fonte de luz, age como resistência, limitando a corrente da lâmpada. Tem duas grandes vantagens sobre as lâmpadas de vapor de mercúrio comum: Não necessitam de reator e podem ser aplicadas simplesmente substituindo a lâmpada incandescente sem necessitar adaptação. O seu campo de aplicação e semelhante ao das lâmpadas a vapor de mercúrio, ou seja, iluminação de ruas, jardins, armazéns, garagens e postos de gasolina. No inicio do funcionamento e acesso o filamento incandescente e aos poucos o mercúrio e vaporizado, iniciando-se o processo da iluminação por meio do vapor de mercúrio. A luz possui uma coloração branco-azulada, agradável a visão e de ampla aplicação emespaços exteriores. Exemplo disto:

Lâmpadas Halógenas. Possuem filamento de tungstênio e trabalha em conjunto com o gás halogênio.

Eficiência: alta para baixa tensão de redeVida útil: 2.500 horasIRC: 100%Uso: residencial decorativo e comercialTensão de rede: 110 V ou 220 V ou 12V

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Isto faz ver que numa iluminação de interiores, devemos produzir uma eficiência luminosa e, para tal, alguns itens são relevantes, tais como:

Boas condições de visibilidade Boa reprodução de cores Economia de energia elétrica Facilidade e menores custos de manutenção Preço inicial compatível Utilizar iluminação local de reforço Combinar iluminação natural com artificial

Em paralelo, pode-se dizer que num trabalho de revitalizar ambientes com fatores de luminosidade, alguns itens de relevância devem ser consultados, tais como:

Características do ambiente Componentes do sistema e da instalação elétrica Forma e horário de funcionamento Nível de iluminamento nos planos de trabalho Faixa etária das pessoas que trabalham no local Tarifa de energia

3.3 Cálculo de IluminaçãoHoje em dia os cálculos nos procedimentos de engenharia são de característica computacional.

Este fato é importante o técnico em edificações saber, embora alguns dados possam ser calculados sem a necessidade de um sistema computacional.

Potência total Instalada: Pt=n . W1000

(kW)

Aqui, n é o número de elementos e w é a soma de todos os aparelhos instalados para iluminação.

Densidade de potência: D=Pt x 1000

A (W/m2)

Densidade de potência relativa: DR=Pt

A . Ex100 [(W/m2)x100 lx]

DR é a densidade de potência relativa instalada para cada 100 lx de iluminância.

Exemplo:Instalação 1: A = 50 m2; E = 750 lx; Pt = 1,5 kWInstalação 2: A = 70 m2; E = 400 lx; Pt = 1,4 kW

Tem-se:D1 = (1,5 x 1000)/50 = 30 W/m2 DR1 = [(1,5 x 1000)/(50 x 750)] x 100 = 4,0 (W/m2)x100 lxD2 = (1,4 x 1000)/70 = 20 W/m2 DR2 = [(1,4 x 1000)/(70 x 400)] x 100 = 5,0 (W/m2)x100 lx

A comparação entre dois projetos só é efetiva quando se leva em conta níveis de iluminância iguais para diferentes sistemas, ou seja, se consumir menos potência por metro quadrado. No caso, o projeto 2, consome mais energia por metro quadrado.

Índice de recinto direto: K= a . bh (a+b)

(não tem unidade de medida)

Índice de recinto indireto: K= 3. a . b

2.h' (a+b)(não tem unidade de

medida)

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Onde:

a comprimento do recintob largura do recintoh pé-direito útilh’ distância do teto ao plano de trabalho

Observação:Suponha o quarto como sendo um recinto. No teto há uma luminária de x cm. No plano de

referência, há uma escrivaninha de altura y cm, na qual há uma pessoa sentada. Sabe-se que existe uma altura H cm, do plano de referência (solo) até o teto. A diferença, h = H – x – y é chamada de pé direito útil, enquanto que H é chamado de pé direito. A altura x com é denominada de altura do pendente e, a altura y cm é denominada de altura do plano de trabalho. Assim, o fluxo luminoso sofre influencia do tipo de luminária e da conformação física do recinto.

Exercício01. Na figura abaixo indique o lugar das grandezas expressas por H, x, y e h comentadas neste texto.

Previsão de carga (NBR 5410)Para área igual ou inferior a 6 m2 atribuir um valor mínimo de 100 VA (potência da iluminação)Para área superior a 6 m2 atribuir o valor mínimo de 100 VA para os 6 m2 primeiros e acrescer de 60

VA para cada 4 m2 inteiros.Esta norma adverte que os valores indicados são para efeito de dimensionamento do circuito, não

havendo qualquer vínculo com a potência nominal de lâmpadas. Em cada cômodo da casa é previsto um ponto de luz de pelo menos 100 VA.

Exemplo:Uma sala com dimensão: 3,0 m x 4,0 m = 12 m2 = 6 m2 + 4 m2 + 2 m2 100 VA + 60 VA = 160 VAUm quarto com dimensão: 3,5 m x 2,0 m = 7,0 m2 = 6 m2 + 1 m2 100 VABanho com dimensão: 1,40 m x 3,20 m = 4,48 m2 = 4 m2 + 0,48 m2 100 VA

3.3.1 Método do fluxo luminoso

Φ= L . Aμ . Fd

Onde: Fluxo luminoso (lúmen)L Luminância (cd/m2)A Área (m2) Coeficiente de utilização FD Fator de depreciação

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Assim:

n=Φϕ

Onde:n Número de lâmpadas Fluxo luminoso total Fluxo luminoso de cada lâmpada

Determinação da IluminânciaDe acordo com a NBR 5413 da ABNT, alguns níveis recomendados para iluminação de interiores

constam em tabela. Segundo a mesma fonte, as atividades foram divididas em três faixas: A, B, C e cada faixa com três grupos de iluminâncias, conforme o tipo de atividade. A seleção da iluminância específica para cada atividade é feita com auxílio de outra tabela, que define qual o nível recomendado.

Onde, para os fatores determinantes de iluminação adequada usa-se os procedimentos. 1. Analisar cada característica para determinar o seu peso (– 1, 0, + 1)2. Somar os valores encontrados considerando os sinais3. Usar a iluminância inferior do grupo, quando o valor total fou igual a – 2 ou – 3; a iluminância

superior, quando a soma for + 2 ou +3, e a iluminância média nos outros casos.

Coeficiente de Utilização

Índice de recinto: já visto anteriormente

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Fator de reflexão É a porcentagem da luz refletida por uma superfície em relação à luz incidente.

Tabela simplificadaTeto branco 75% Teto claro 50%Parede branca 50%Parede clara 30%Parede clara (média) 10%

Tabela - Fator de depreciação

ComentárioExercícios e mais informações sobre estes cálculos serão apresentados durante o contexto da aula.

Além disso, tabelas e gráficos serão dados nos CASES e/ou atividades de aprendizagem.

Tipos de luminária – algumas figuras

Observe a baixa eficiência da última iluminaria.

ACÚSTICA

4. Características do somVimos no início do curso à idealização de onda. Vimos também que, esta entidade física e

matemática possuem alguns elementos de interesse específicos, tais como: velocidade, comprimento de onda, freqüência e período, representados respectivamente por v, , f e T, além da intensidade que provoca uma pressão em determinada superfície. Além disso, se fez saber sobre o tipo de ondas (longitudinais, transversais e mistas) quanto à propagação de sua vibração e, quanto a sua natureza (mecânica e eletromagnética), cujo princípio reside no fato de que as ondas mecânicas necessitam de um meio material para se propagar, como nos sólidos, líquidos e gasosos, enquanto que a onda eletromagnética não

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necessita de um meio de propagação, podendo propagar-se no vácuo. Neste contexto a onda sonora é uma onda mecânica, pois necessita de um meio de propagação.

Para que a sensação sonora seja percebida, é necessário que a freqüência dessas ondas mecânicas esteja dentro de certa faixa de valores; esta por sua vez, depende do ouvinte e varia com a idade mesmo (no desenvolvimento biológico do ser humano, à medida que ele envelhece a orelha cresce, porém a capacidade auditiva diminui).

De modo geral, entretanto, são audíveis as ondas mecânicas com freqüências na faixa entre 20 Hz e 20.000 Hz (20 kHz); e que, chamam-se vibrações acústicas também as vibrações mecânicas cujas freqüências estão acima (ultra-sons) ou abaixo (infra-sons) desses limites.

A aplicação das ondas sonoras ocorre, pó exemplo, na procura de petróleo com o uso da prospecção (sondagem) sísmica na crosta terrestre; o aparelho sonar, que tem a finalidade de alcançar objetos com o uso do som é usado pelos navios para detectar obstáculos, também usado pelos submarinos para emitirem ondas sonoras para detectar e perseguir outros submarinos, com a escuta do som (barulho) das outras navegações pelo uso dos mecanismos das hélices; é usado também nas ultra-sonografias com as mulheres grávidas para descobrir o sexo dos bebês (dentre outras opções médicas); as ondas sonoras de alta freqüência também são usadas para criar imagens de objetos pequenos, isto porque este tipo de equipamento que usa esta técnica tem um poder de resolução maior que os microscópicos ópticos.

Um fato curioso e interessante é que as ondas sonoras quando fluem em meios como gás ou líquido, quer dizer, propagam-se num meio que é um fluido, as ondas sonoras neste meio só ocorrem na forma de ondas longitudinais; isto é interessante porque as ondas transversais necessitam de elasticidade de deformação para gerarem uma força restauradora; como as ondas provocadas pelos terremotos são ondas transversais e, terremotos não são próximos do centro da Terra, isto implica em dizer que há evidencias de que o centro da Terra seja líquido, pois somente neste meio é que se têm as ondas sonoras longitudinais e não transversais.

Por falar em ondas sonoras longitudinais, como compreender essas ondas após a vibração de uma superfície, por exemplo, depois de perturbada com uma pancada, como é o caso dos instrumentos de percussão? Por estarmos inseridos num ambiente físico: o ar atmosférico, este é dotado de dois outros elementos físicos que influenciam na propagação do som: a pressão e a densidade; claro que a temperatura (outro elemento físico do ar atmosférico) está atrelada aos outros elementos físicos já citados para com a propagação do som; assim, para compreender os mecanismos de propagação do som, observe a figura a qual mostra um gongo sendo atingido por um golpe numa visão frontal (a) e depois, o mesmo gongo na visão lateral (b); para que se tenha uma idéia física desse encontro (golpe no gongo).

As deflexões da placa do gongo na figura b estão exageradas apenas para compreensão do que de fato ocorre fisicamente, ou seja, em A comprime-se o ar sucessivamente e, quando o gongo retorna para trás (em B), num vai-e-vem ele cria uma zona de rarefação e, assim, sucessivamente.

Em seguida, na figura c a visão da propagação da onda com as zonas de compressões e rarefações os quais são os mecanismos de propagação do som. Ou seja, a vibração.

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Ou seja, todo o deslocamento de ar provocado pela mudança do gongo com suas vibrações faz com que haja uma mudança de densidade de ar na camada logo a seguir, ou condição de rarefação; estes mecanismos promovem mudança de pressão que pode ser por compressão ou descompressão, esse gradiente de pressão provoca o deslocamento da camada de ar de forma contínua que irá atingir nossos ouvidos provocando o que se compreende por som; com esta explicação você agora é capaz de explicar como se produz o som de uma bateria; observe que os elementos físicos que se manifestam para com a explicação da propagação de uma onda sonora estão ligados entre si. Embora se faça saber que, ao ouvirmos um som significa que algo vibra, porém a relação inversa nem sempre é verdadeira, ou seja, nem tudo que vibra produz um som audível.

Sendo assim, som é a energia transmitida por ondas de pressão no ar a outro meio, sendo a causa da sensação auditiva. E no contexto de conforto (percepção subjetiva) que se “apresenta quando fazemos o mínimo de esforço fisiológico em relação ao som para realização de determinada tarefa”, segundo Vianna37. Desse modo, surge a concepção de som não agradável, denominado de ruído, cuja ação de sensação auditiva é desagradável, tendo a possibilidade de provocar doenças nervosas.

Há várias fontes de ruídos; de uma maneira geral, podemos classificar essas fontes como:[a] ruído provocado pelo homem;[b] distúrbios irregulares naturais;[c] ruído de flutuação, que surge nos sistemas físicos.

O ruído provocado pelo homem aparece devido à captação dos sinais indesejáveis de outras fontes, como contatos defeituosos, aparelhos elétricos, irradiação por ignição e luz fluorescentes. Esse tipo de ruído pode ser eliminado, removendo-se a fonte de ruído.

O ruído natural irregular, que não é provocado pelo homem, pode surgir devido a relâmpagos, tempestades elétricas na atmosfera, ruído intergaláctico ou distúrbios atmosféricos em geral.

O ruído de flutuação também não é provocado pelo homem e surge nos sistemas físicos devidos a flutuações espontâneas como o movimento térmico (movimento browniano) de elétrons livres em um resistor, a emissão (aleatória) de elétrons em válvulas e a geração, recombinação e difusão aleatórias de portadores eletrônicos (buracos e elétrons) em semicondutores.

4.1 Intensidade auditivaFisicamente, as variáveis de percepção sonora têm conceitos bem definidos, os quais são: volume

ou intensidade (que já tratamos anteriormente), o tom ou altura e seu timbre. Em laboratórios, conhece-se que o som mínimo que um ouvido pode detectar é de 3,0 x 10 – 5 Pa, ou 3,0 x 10 – 5 N/m2; como:

P= v A A= P

ρ . v . ϖ A= P

2 . π . ρ . v . fNesse caso:A amplitude de deslocamento, de um som mínimo, no ar (20ºC), com velocidade de 344 m/s, densidade de 1,2 kg/m3 numa freqüência de 103 Hz é igual a:

371. VIANNA, Nelson Solano. Acústica Arquitetura. Slides apresentado no II seminário de Acústica e Arquitetura Contemporânea. Disponível em <www.amf-brasil.com.br/bibliotecas.php?idd=76&fn=nelson...pdf >, com acesso em 12 de jan. de 2012.

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A= 3,0 x 10−5

2 x3 , 14 x 1,2 x 344 x103=3,0 x 10−5

2,6 x 106=1,2 x10−11m

Enquanto que, experimentalmente, a máxima intensidade de som que o ouvido humano pode suportar está sobre uma pressão média de 30 Pa (Pa Pascal), e neste caso:

A=30

2 x3 , 14 x 1,2 x 344 x103=30

2,6 x 106= 3,0 x10

2,6 x 106=1,2 x10−5 m

Vê-se assim que:

Amím. 10 – 11 m Amáx. = 10 – 5 m Amáx./ Amím. 106

Como, intensidade varia com o quadrado de sua amplitude, assim sendo, a razão entre essas duas amplitudes torna-se 1012; e este é um número muito grande: 1.000.000.000.000! Para evitar trabalhar com este número, usa-se a escala logarítmica.

Além disso, a menor intensidade ficou em torno de 10 – 11 m, desse modo, uma intensidade padrão fora estipulada como padrão de referência e, o valor escolhido ficou muito próximo do limite inferior da audição humana, ou seja, I0 = 10 – 12 W/m2.

Com isto, ao invés de falarmos de intensidade de uma onda sonora, é mais conveniente falar de nível de som , definida como:

10β= II 0

log 10β= logII 0

β=(10 dB) logII 0

Onde, dB é a abreviação de decibel, como unidade de nível sonoro; o nome Bell vem em homenagem a Alexander Granham Bell (1847 – 1922), e assim temos:

Imáx = 10º W/m2 (Limiar da Dor)Imím = 10 —12 W/m2 (Limiar da Audibilidade)

Exemplo:Calcule o nível de intensidade sonora de um local cuja intensidade neste local é de 10 – 3 W/m2.

β=(10dB) log10−3

10−12=(10dB) log 109=10 x 9dB=90 dB

A equação de nível sonora expressa o valor numa escala logarítmica como forma de tornar o resultado num valor mais acessível à mente humana. Vejamos isto na tabela abaixo.

(dB) I / I0 I / I0

0 100 110 101 1020 102 10030 103 100040 104 1000050 105 10000060 106 100000070 107 1000000080 108 10000000090 109 1000000000100 1010 10000000000110 1011 100000000000120 1012 1000000000000

Além disso, faz-se saber que a intensidade de som que chega as nossas orelhas está associada à pressão que ele exerce sobre a membrana timpânica. Essa pressão pode ser medida em grama-força por

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centímetro quadrado (gf/cm2), segundo Pietrocola et. al. (2010, p. 420), volume 2. Com isto constrói-se um audiograma, conforme figura abaixo.

Este audiograma relaciona três elementos: a freqüência de vibração no eixo horizontal; a intensidade física no eixo vertical à esquerda e a pressão da onda sonora sobre a membrana do tímpano no eixo vertical à direita.

4.2 A voz humanaQuando uma criança nasce, seu primeiro contato com o mundo natural sonoro é a produção do

choro. O riso, o grito e a fala são meios de comunicação dos humanos. Mas, como é produzida a fala?A voz humana é produzida na garganta (laringe) onde contém as cordas vocais. Fisicamente,

quando inspiramos o ar entra em nosso pulmão e as cordas vocais se afastam, ao falarmos as cordas vocais se aproxima, o ar sai do pulmão e, passando pela garganta, produz uma vibração, que perturba o ar em nossa volta, emitindo sons. Isto provoca um equilíbrio de forças entre a força muscular da garganta e o ar que sai do pulmão. O som produzido na garganta é amplificado pelo conjunto garganta, boca, nariz e cabeça, que funcionam como uma caixa de ressonância.

Esses sons produzidos são estruturados dentro da cavidade da boca, atrelados aos movimentos da língua, lábios, dentes (daí o problema para pessoas sem dentes), palato e mandíbula que em suas articulações modificam a passagem do ar vindo dos pulmões e, dessa forma promove a voz humana38. A maior necessidade da voz humana é a comunicação, daí ser tão importante essa atitude em nosso curso. Outro fato interessante é a característica da voz ser uma impressão digital, pois cada pessoa possui uma voz, que geralmente é classificada em agudas e graves.4.3 Outros fenômenos acústicos e a absorção e isolamento acústico

38 Texto adaptado de Adriana Pizzo N. Gabanini, A voz humana. Disponível em <http://www.profala.com/arttf57.htm>, com acesso em 18 de jan. de 2012.

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Entendemos que o som é uma onda que se propaga num meio material em todas as direções. Sendo assim, se a mesma encontra um obstáculo rígido ela se reflete. Deste modo a onda sonora tem a capacidade de reflexão.

Quando ocorre a reflexão sonora o processo de audição tem três características importantes, dependendo do tempo decorrido entre a chegada do som original e do som refletido.

Primeira característica: reforço. Isto ocorre quando se está em salas pequenas. O som sai de uma fonte (orador, por exemplo) e propaga-se em todas as direções, porém cada onda sonora de propagação vai se somando, ou se reforçando e, dessa forma a intensidade sonora apresenta-se como uma sensação de maior qualidade acústica. Isto ocorre quase sempre em auditório pequeno. Nesse caso, a clareza do som vem do fato de que o intervalo entre os dois sons é um mínimo de 0,1 s.

Segunda característica: reverberação. Isto ocorre quando se está em auditórios grandes ou em salas vazias, pois as paredes estão distantes dos ouvintes e, este fato faz com que o som refletido chegue depois do som original, provocando uma sensação de uma continuidade do som emitido pela fonte (orador). Isto é um problema porque esta característica pode provocar um prolongamento indesejável do som e, desse modo, ao invés de ajudar na audição, prejudica o discernimento da fala seguinte caso haja excesso de reverberação. A reverberação ocorre quando o recebimento entre esses dois sons é inferior a 0,1 s. Para conter a reverberação (anular ou minimizar), faz-se uso da absorção acústica, com usos de materiais leves e porosos como é o caso de tapetes, espumas, mantas, lãs de vidro, placa de fibra de coco. O princípio físico contido nesse trabalho é a dificuldade que pode apresentar as paredes para com a reflexão do som. Uma vez que as mesmas estejam com um ou mais revestimentos da natureza citada. Isto faz com que as médias e altas freqüências sejam anuladas. O problema aqui é o cuidado para que não se deixe a sala se tornar morta, com o excesso de revestimento de absorção acústica. Matematicamente, se expressa o coeficiente de absorção sonora, como sendo a razão entre a intensidade sonora absorvida Ia e a intensidade sonora incidente Ii, ambas medidas em W/m2. Ou seja, = Ia

/ Ii, onde materiais com = 0,1 absorve 10% da energia incidente sobre ele; materiais muito polidos, como o mármore, têm pequeno (0,01 ou 0,02) e, os materiais absorvedores têm superior a 0,5.

Enquanto que o coeficiente de absorção médio m é dado pela razão entre a absorção total da sala A (m2 Sabine) e a área interna total da sala S (m2), assim sendo, m = A / S. Este cálculo gera uma grade de classe de absorção sonora. Classe A (m = 0,90); Classe B (0,80 < m < 0,85); Classe C (0,60 < m < 0,75); Classe D (0,30 < m < 0,55); Classe E (0,15 < m < 0,25) e não classificado para m < 0,10.

Terceira característica: eco. Isto ocorre quando o som original e o reforço chegam ao ouvinte com um intervalo de tempo maior que 0,1 s e temos a impressão clara de que houve repetição da última sílaba.

Outro fenômeno sonoro é a difração. Esta ocorre quando a onda encontra um obstáculo de mesma ordem de grandeza de seu comprimento de onda, e neste caso, esta pode contornar o obstáculo. É por causa desse fenômeno que podemos ouvir nossos vizinhos conversando.

Para evitar isto há necessidade do isolamento acústico, cujo princípio esta na capacidade de certos materiais impedirem que a onda sonora passe de um ambiente para outro. Geralmente os materiais usados para esta finalidade são matérias pesado, ou de densidades altas, como o concreto e o chumbo. Por exemplo, paredes de alvenaria isolam 45 dB, porém paredes duplas com câmara de ar isolam 55 dB. Além disso, outros tratamentos acústicos podem ser vivenciados como vedar frestas em janelas e portas, usar dobradiças especiais, colocar na porta matérias de absorção acústica, uma vez que uma porta comum isola 18 dB e, quando recheada com materiais de absorção acústica pode chegar a isolar 40 dB.

4.4 Acústica em arquiteturaEste par (acústica e arquitetura) fornece os princípios de adequação de projetos que viabilizem não

somente a edificação, mas também o conforto acústico, de modo a promover as boas condições de audibilidade. Por isso, afirmar-se que arquitetura e acústica formam um único corpo, pois é a arquitetura que define a acústica do espaço, segundo Nepomuceno39.

Uma vez que o som é gerado por vibrações de materiais, isto faz com que o ar seja comprimido e distendido (compreensão e rarefações) num movimento harmônico, provocando microscopicamente, um movimento entre suas moléculas, criando a onda sonora que viaja a velocidade de 345 m/s, quando a pressão é de 1,0 x 105 Pa e a temperatura de 20 oC (ar seco). Isto é importante saber pois esta onda sonora

39 NEPOMUCENO, José A. Acústica de Auditórios. Disponível em <http://www.somaovivo.mus.br/artigos.php?id=125>, acesso em 30 de jan. de 2012.

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se propaga em todas as direções e, desse modo, edificações podem ser perturbada com ondas sonoras externas, por exemplo, dos ruídos dos automóveis, fato que pode induzir um desconforto para os habitantes da referida edificação. Isto é um conhecimento básico. Caso o problema de ruído persista na edificação, se faz necessário introduzir o isolamento acústico. O problema aqui é que, o problema apareceu por falhas no projeto de construção e a tentativa de eliminar o problema (ou minimizá-lo) é um tratamento, que por ser, até mesmo paliativo.

O custo da obra se eleva com a introdução de um tratamento acústico, mas isto pode ser salutar sob o ponto de vista do conforto acústico. Thiago Oliveira, no texto sobre tratamento acústico, intitulado de Equilíbrio Sonoro40, cita que os prédios antigos tinham lajes maciças de elevada espessura, paredes mais robustas, revestidas com reboco grosso, depois reboco fino, depois argamassa, enumera o engenheiro e consultor Davi Akkerman, da Harmonia Acústica. Além disso, usava-se muito carpete, uma contribuição ao isolamento de ruído, recurso que foi condenado pelos atuais acabamentos de pisos laminados e cerâmicos, sistemas mais rígidos e desfavoráveis à acústica, aponta (itálico posto por Mário Souza).

Isto reflete uma busca incansável para com pesquisas de novos materiais para a construção de modo que se possa produzir o conforto acústico e um equilíbrio financeiro quanto aos custos e inclusão desses novos materiais. O técnico em edificações deve ficar integrado quanto a esses novos materiais com esta finalidade. Neste texto, também é apresentada uma lista que pode ser checada no processo de compreensão de elaboração de um conforto térmico. Eis:

Consultar as normas NBR 10151 e NBR 1015241

Contratar profissionais especialistas no projeto de implementação. Atentar para o benefício do distanciamento da via pública Observar o posicionamento de cômodos mais sensíveis ao ruído junto a fontes ruidosas incidentes Considerar a ocorrência de dormitórios contíguos a famílias com perfis distintos Avaliar eventuais dutos e shaffs que comunicam ambientes Definir esquadrias e vidros de fachadas apropriados Considerar por onde passarão prumadas hidráulicas Adquirir equipamentos como motobombas, ventiladores, exautores e geradores com nível de ruído limitado e certificado Instalar os equipamentos citados acima em locais apropriados, confinados e corretamente conectados Prevenir-se quanto à localização adequada de casas de maquinas de elevadores e quanto ao tipo de sistema Verificar pisos acabados (lajes, enchimento e acabamento) e paredes (tipo de alvenaria e espessura) de acordo com performances esperadas.

Fonte: Harmonia Acústica Arquitetura e Engenharia

Exercícios01. Quais são o período e a freqüência de rotação do ponteiro das horas de um relógio?

02. Quais são o período e a freqüência de translação da Terra em seu movimento ao redor do Sol?

03. O motor de um automóvel gira 900 rpm em marcha lenta. Qual o seu período de rotação?

04. Um trem de ondas periódicas desloca-se com uma velocidade constante de 4,0 m/s. O comprimento de onda é de 50 cm. Determine o período e a freqüência de oscilação dessas ondas.

ELETRICIDADE

40 Disponível em <http://harmoniaacustica.com.br/midia/fasano/materia_Construcao.pdf>, acesso em 27 de jan. de 2012 (artigo produzido em 2006).41 Estas normas foram citadas nesse artigo em 2006, pode ser que haja outras normas mais atuais. O importante é perceber que todo o projeto de arquitetura deve está atrelado as normas técnicas brasileira, sobre esse tema.

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5. A eletricidade ontem e hoje42

A eletricidade e o magnetismo são conhecidos desde a antiguidade. A sua origem reside nas propriedades de duas substancias, o âmbar e a magnetita. O âmbar quando atritado, se eletriza, tornando-se capaz de atrair corpos pequenos e leves. A magnetita é um ímã natural que atrai espontaneamente objetos de ferro e pode criar outros ímãs.

Esses fenômenos sempre exerceram um incrível fascínio sobre inúmeros filósofos e cientistas ao longo de toda história humana. No entanto, até 1796, ano da invenção da pilha pelo italiano Alessandro Volta, a eletricidade e o magnetismo pouco tinham oferecido de prático ao homem. Além da bussola – que já existia há sete séculos – talvez a única contribuição prática tenha sido o pára-raios, inventado em 1752 pelo cientista e político americano Benjamin Franklin.

Apesar disso, inúmeros cientistas continuaram s pesquisar e buscar explicações e principalmente aplicações para os fenômenos elétricos e magnéticos. Imaginava-se nessa época, que as coisas continham fluidos elétricos e magnéticos que passavam de um corpo ao outro ou se espalhavam pelo ar. Fluido é qualquer corpo que pode fluir ou escorrer como a água flui pelos encanamentos. Ou ainda difundir-se como um perfume.

Como a eletricidade e o magnetismo, de certa forma, tinham propriedades semelhantes, os cientistas antigos acreditavam que eles seriam algum tipo muito especial de fluido. Mas estas explicações não duraram muito. O aparecimento da pilha de Volta foi um dos fatores que tornaram essas idéias de serem aceitas. Ao contrário de outros dispositivos elétricos antigos que se descarregavam instantaneamente, as pilhas forneciam eletricidade durante horas e horas. Onde elas guardariam tanto fluido? Ainda mais difícil de aceitar era o fluido magnético. Por que razão somente poucas substancias podiam armazená-lo se ele era tão abundante que magnetizava a própria Terra?

De qualquer forma, na falta de uma explicação melhor, a teoria dos fluidos ainda era aceita até o final do século XIX. Isso não impediu que as ciências da eletricidade e do magnetismo – que já tinham sido unificadas como eletromagnetismo – tivessem nessa época um enorme progresso. Surgiram novas descobertas que levaram o homem a encontrar uma explicação, baseada numa idéia muito antiga. Quatrocentos anos antes de Cristo, Demócrito, um filosofo grego, afirmava que toda matéria é constituída de partículas elementares, indivisíveis, chamadas átomos. Depois de 24 séculos essa idéia ressurgiu. Os cientistas passaram, desde então, a procurar e pesquisar essa partícula porque acreditavam que nela estaria também a origem do eletromagnetismo.

O resultado de todo esse trabalho nos dá, hoje em dia, uma explicação muito mais convincente para os fenômenos eletromagnéticos. É um “modelo”, uma proposta teórica até aqui solidamente confirmada por evidencias experimentais. Segundo esse modelo, o átomo indivisível na verdade não existe. Há outras partículas menores, verdadeiramente indivisíveis, como os elétrons e os quarks. Nelas está, de fato, a origem do eletromagnetismo.

ComentárioNesta parte do curso vamos trabalhar apenas dois temas de interesse. A Lei de Ohm e Circuito

Elétricos. Isto faz com que você já tenha outros conhecimentos da eletrodinâmica, como o significado de corrente elétrica e seus efeitos, de voltagem ou tensão elétrica, de resistência elétrica e de potência elétrica. Estes termos irão aparecer no contexto dessa parte do curso e, qualquer dúvida textos de apoio será apresentada com finalidade de minimizar possíveis distorções do tema.

5.1 Lei de OhmAplicando-se uma diferença de potencial nos terminais de um resistor, verifica-se que o mesmo é

percorrido por uma corrente elétrica. Experimentalmente, alguns desses resistores, apresentam uma linearidade entre a tensão aplicada (diferença de potencial) nos terminais desse resistor e a corrente elétrica, ou seja, sendo V a voltagem ou tensão elétrica, então, V = R.i, é a chamada primeira lei de Ohm.

Esta linearidade faz com que o gráfico tensão (V) versus corrente elétrica (i), tem-se uma reta onde a inclinação da mesma representa o valor do resistor R. A unidade de medida da corrente elétrica é o ámpere (A), da tensão é volt (V) e da resistência elétrica é ohm ().

A segunda lei de Ohm diz respeito a resistividade que é uma característica do material de que é feito o resistor e também de sua temperatura, onde experimentalmente, observou-se que a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento L do fio e inversamente proporcional á área da secção reta do fio.

R = (L/A) onde é a resistividade do material, com unidade de medida dada em .m5.2 Conseqüências da Lei de Ohm

42 GASPAR, Alberto. A eletricidade e suas aplicações, de onde fora retirado o texto integralmente, p. 6-7.

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Quando uma corrente elétrica passa através do resistor este se aquece, assim, dentro de certo intervalo de tempo, a energia elétrica que o resistor consome é dissipada em forma de calor e, dessa forma a potencia elétrica consumida é igual a potência elétrica dissipada e, com isto.

P = V.i como V = R.i P = R.i2 ou P = V2 / R

Para calcular esses dados, usa-se como forma de minimizar o trabalho de procura de fórmulas o quadro abaixo.

Onde, no centro do circulo tem-se as grandezas que se deseja determinar e, em cada quadrante, a expressão matemática a ela associada, onde I é a corrente, V é a tensão, P é a potencia e R a resistência elétrica.

5.3 Circuitos elétricosQuando se fala de um circuito elétrico isto significa que há uma circulação de corrente elétrica que

passa por todos os componentes deste circuito. Ou seja, existe uma entrada e uma saída de energia. Os componentes de um circuito elétrico podem ser resistores, capacitores, indutores, diodos, transistores, chips dentre outros. A finalidade de cada componente é especificada segundo os interesses do projeto elétrico ou eletrônico. O que vamos tratar aqui é o caso mais simples no qual se trabalha com os resistores elétricos, onde os mesmos podem estar ligados em série ou em paralelos.

Têm-se dois resistores ligados em série, R1 e R2, estes podem ser retirados e colocados em seu lugar um resistor de resistência equivalente aos dois, RE. Para este caso, o resistor equivalente tem valor igual a soma algébrica dos resistores dados, ou seja, RE = R1 + R2.

No caso de serem os dois resistores R1 e R2, ligados em paralelo, estes podem ser retirados e colocados em seu lugar um resistor equivalente RE que será dado pela razão entre a soma dos resistores dados e o produto deles. Ou seja:

RE=R1+R2

R1 x R2

Para o caso de termos R1, R2, R3, ..., RN como sendo n resistores de valores diferentes, temos duas expressões para o caso desses n resistores ligados em série e em paralelo.

Em série: RE = R1 + R2 + R3 + ... + RN

Em paralelo: RE=1R1

+ 1R2

+ 1R3

+…+ 1RN

Exercícios01. Sobre um resistor de 20 , flui uma corrente elétrica de 0,50 A. Determine a diferença de potencial

nas extremidades desse resistor.

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02. Uma diferença de potencial de 10 V, é aplicada a um resistor de 50 . Determine a intensidade de corrente elétrica que passa sob o resistor.

03. Um chuveiro elétrico tem as especificações 2500 W – 220 V. Determine a resistência elétrica desse chuveiro.

04. Dois resistores de valores R1 = 3,0 e R2 = 6,0 , estão ligados em paralelo. Determine a resistência equivalente destes dois resistores.

05. Uma torneira elétrica tem as especificações: 1.100 W – 110 V. Determine: [a] a intensidade de corrente elétrica que deve circular por sua resistência. [b] o valor de sua resistência.

06. Aplica-se uma ddp de 220 V nas extremidades de um fio condutor de 10 m de comprimento e secção transversal de área 2,5 mm2. Sabe-se que a corrente elétrica que circula no fio tem intensidade de 11 A. Calcule a resistividade do material que constitui o fio.

07. A resistência elétrica de um resistor em forma de fio vale 100 . Calcule o comprimento desse fio, sabendo que ao cortar 4 m do mesmo a resistência passa a valer 75 .

08. Na configuração abaixo, determine: [a] a resistência equivalente da associação; [b] a intensidade de corrente em cada resistor; [c] a intensidade total de corrente da associação.

09. Duas lâmpadas L1 e L2 são associadas em paralelo, conforme figura. No bulbo da lâmpada L1 está gravado 60 W – 120 V; e no da lâmpada L2, 100 W – 220 V. [a] Determine a resistência equivalente da associação. [b] Se o plugue for ligado a uma tomada de 220 V, o que acontecerá com as lâmpadas?

Prezado estudanteAqui terminamos uma etapa. Com isto que você tenha tirado bom aproveitamento e aprendido o

suficiente para que você possa exercer com qualidade sua função técnica em Edificações. Este é um trabalho que fora elaborado com o intuito de se ter o melhor possível para sua formação. Isto não quer dizer que não haja falhas, mas a intenção é que você tenha em mãos uma orientação, pois nada substitui o livro texto. Por isso, leia muito sobre os temas de seu interesse pessoal, profissional e filosófico. Afinal, estamos no século XXI, cujo princípio está na construção de uma sociedade do conhecimento e da informação. Desse modo, a socialização, as relações pessoais, interpessoais, a contextualização, o ambiente e a vida são elementos indissociáveis na construção humana e profissional. Deste modo, o professor de Física e o Centro Profissionalizante Especial desejam a você um nascer profissional de qualidade e uma maturação naquilo que você escolheu para aprender e a exercer como profissional, que busca sempre conhecimento como forma de estar no devir para com sua aprendizagem técnica e científica do curso técnico em Edificações.

Recife e Jaboatão – 2012.

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BIBLIOGRAFIABUKHOVTSEV, B. KLIMONTOVITCH, I. e MIAKICHEV, G. Física 3. 4 Volumes. Portugal: Mir Moscovo, 1987.

CARVALHO, Luiz Fernando Fiatte. Curso de formação de operadores de refinaria: física aplicada, mecânica dos fluidos. Curitiba: PETROBRAS: UnicenP, 2002.

EISBERG, R. & RESNICK, R. Física Quântica. Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. Tradução: Paulo C. Ribeiro, Enio F, Silveira e Marta F. Barroso. Rio de Janeiro: Campus, 1979.

FERREIRA, Rodrigues Arruda Felício. Manual de Luminotécnica. Apostila auxiliar do curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF), minas Gerais, 2010. Disponível em <http://www.ufjf.br/ramoieee/files/2010/08/Manual-Luminotecnica.pdf>, acesso em 28 de jan. 2012.

FROTA, Anésia Barros e SCHIFFER, Sueli Ramos. Manual do Conforto Térmico: Arquitetura e Urbanismo. São Paulo: Studio Nobel, 2000.

GASPAR, Alberto. A eletricidade e suas aplicações. Série: Investigando a Física. São Paulo: Ática, 1996.

GONÇALVES, Armando. A. Metrologia. Parte I. Texto do Laboratório de Metrologia e Automação do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina, 2004, disponível em <www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema092/Documentos/ APOSTILA _PARTE_I.pdf >, com acesso em 11 de jun. de 2009.

HALLIDAY & RESNICK. Fundamentos da Física. Ótica e Física Moderna. 4 volumes. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993.

LIMA, Paulo F. Questões Didáticas Relativas a Grandezas e Medidas. Departamento de Matemática da UFPE. Texto baseado numa palestra proferida no Centro de Investigação em Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa em abril de 2007.

LOPES, Osvaldo G. Conforto Térmico e Qualidade do Ar em Ambientes. Artigo publicado no jornal e site da AEASV. Disponível em <http://cursos.unisanta.br/mecanica/polari/ct-og.pdf>, com acesso em 05 de jan. de 2012.

NETO, Fernando Raul. “Sobre a oposição entre grandeza positiva e negativa” (1817) de Wilhelm August Förstemann (1791 – 1836). Texto apresentado pelo referido Professor, em aulas proferidas no Mestrado em Ensino das Ciências da Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE.

NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica. Vol. 1. Mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1981.

_____________________. Curso de Física Básica. Vol. 2. Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. São Paulo: Edgard Blücher, 1981.

OKUNO Emico, CALDAS Iberê e CHOW Cecil. Física para Ciências Biológicas e Biomédicas. São Paulo; Harbra; 1986, 490 p.

PAULA, Ana, ALBERTO & AUGUSTO, W. Conforto Ambiental. Segundo slide de aula da disciplina Conforto Ambiental, ministrada no curso de Arquitetura e Urbanismo. Disponível em <http://www.dec.ufms.br/lade/docs/cft/4ConfTerm.pdf>, com acesso em 05 de jan. de 2012.

PIETROCOLA, M., et al. Física em Contexto. Vol. 2. Energia, Calor e Imagem e Som. São Paulo: FTD, 2010.

Page 78: CPE - apostila de física - completa

78

PINOTTI, Marcos. Mecânica dos Fluidos. Notas de aula. Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais. Disponível em <http://ufsm.br/aerodesign/biblioteca/pdf/Mec>, com acesso em 18 de jan. de 2012.

RODRIGUES, Luiz Eduardo Miranda J. Mecânica dos Fluidos. Slides de aula ministrada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia. São Paulo. Disponível em <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/mef.pdf>, com acesso em 18 de jan. de 2012.

RODRIGUES, Pierre. Manual de Iluminação Eficiente. Editado pelo Programa Nacional de Conservação de Energia Elétrica – PROCEL. 1ª Edição, julho de 2002. Disponível em <http://www.google.com.br/#hl=pt-BR&cp=21&gs_id=1s&xhr=t&q=manual+de+ilumina%C3%A7%C3%A3o+eficiente&pf=p&sclient=psy-ab&rlz=1W1ADRA_pt-BRBR466&source=hp&pbx=1&oq=manual+de+ilumina%C3%A7%C3%A3o+&aq=0&aqi=g4&aql=&gs_sm=&gs_upl=&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=1ed4da501b58d499&biw=1440&bih=688>, acesso em 28 de jan. de 2012.

SEARES, F. W. & ZEMANSKY, M. W. Física. Vol. 1. Mecânica. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1970.

SHIGEKITO, Carlos Ti; YAMAMOTO, Kazuhito e FUKE, Luiz Felipe. Os Alicerces da Física. Mecânica. 9ª Edição. Volume 1. São Paulo: Saraiva, 1996.

______________________________________________________. Os Alicerces da Física. Eletricidade. 9ª Edição. Volume 3. São Paulo, Saraiva, 1996.

SOUZA, Mário. Grandezas e Medidas. Texto de apoio didático. Produzido com finalidade de aulas num mini-curso da Universidade de Pernambuco. Recife/PE, 2009.

____________. Ciência da Música. Texto de apoio didático. Produzido com a finalidade de complementar as aulas de física no Colégio Santa Catarina, Recife/PE, 2002.

TRIPLLER, P. Física Moderna. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1981.

VIANNA, N. Solano. Acústica Arquitetura. Slides apresentado no II seminário de Acústica e Arquitetura Contemporânea. Disponível em <www.amf-brasil.com.br/bibliotecas.php?idd=76&fn=nelson...pdf >, com acesso em 12 de jan. de 2012.

XAVIER, Antonio Augusto de Paula. Predição de Conforto Térmico em Ambientes Internos com Atividades Sedentárias – Teoria Física Aliada a Estudos de Campo. Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistema, na UFSC, Florianópolis, 2000. Disponível em <http://www.labeee.ufsc.br/sites/default/files/publicacoes/teses/TESE_Antonio_Augusto_Xavier.pdf>, com acesso em 06 de jan. de 2012.

WIKIPÉDIA, Enciclopédia Livre. Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Luminot%C3%A9cnica>, acesso em 28 de jan. de 2012.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARACIOLI, José L. Física Básica para Arquitetura, Mecânica, Transmissão de Calor e Acústica. Brasília: UNB, 1994.

CALÇADA, Caio Sérgio e SAMPAIO, José Luiz. Física Clássica – Óptica e Ondas e Eletricidade. Volumes III e V. São Paulo: Atual, 1995.

CREDER, Hélio. Instalações Hidráulicas e Sanitárias. São Paulo: LTC, 1999.

GILES, Ronald V. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica. São Paulo: Makron, 1997.

MONTENEGRO. Ventilação e Cobertas. São Paulo: Edgard Blücher, 1998.