Criptografia de Chave Pública

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Criptografia de Chave Pública

O Problema

da Distribuição de Chaves

Abril de 2006 Criptografia de Chave Pública 2

Problema da Distribuição de Chaves

A criptografia de chave simétrica pode manter seguros seus segredos (chave e informação), mas se precisar compartilhar informações secretas com outras pessoas deve-se também compartilhar as chaves que são secretas.

Como duas ou mais pessoas podem, de maneira segura, enviar as chaves por meio de linhas inseguras ?


Compartilhando chaves antecipadamente


Problemas com esse esquema


Utilizando um terceiro confiável


Problemas com esse esquema



Na criptografia simétrica, a mesma chave é usada para encriptar e decriptar.

Na criptografia assimétrica a chave utilizada para encriptar não é usada para decriptar.

As chaves são significativamente diferentes: (Ke, Kd)



Elas são parceiras. Estão relacionadas entre si:

Kd => Ke Ke ? =>? Kd

O relacionamento é matemático; o que uma chave encripta a outra decripta:

C = E(ke, P) D(Kd, C) = P

É possível criar uma algoritmo criptográfico no qual uma chave encripta (Ke) e uma outra decripta (Kd): D( Kd, E(ke, P) ) = P



Se a função E(ke, P) realiza uma operação, tal como exponenciação sobre P.

E a função D( Kd,C) é similar, e a exponenciação usa módulo aritmético:

Então, pode-se provar que: D( Kd, E(ke, P) ) = P



Porque ambas as chaves são necessárias para cifrar e decifrar a informação, uma delas pode se tornar pública sem pôr a segurança em perigo.

Essa chave é conhecida como chave pública (Ke).

E sua contraparte é chamada chave privada (Kd).



Então, encripta-se com a chave pública e decripta-se com a chave privada.

Apenas a chave privada parceira pode ser usada para decriptar a informação.

A chave privada é mantida em sigilo. O texto simples encriptado permanecerá seguro.


Criptografando com Chave Pública

Texto Simples

Texto Simples

Texto Cifrado

Texto Cifrado

Chave Pública de Criptografia

Algoritmo Encriptador


Decriptografando com Chave Privada

Texto Simples

Texto Simples

Texto Cifrado

Texto Cifrado

Chave Privada

Algoritmo de Decriptografia


Como funciona a criptografia simétrica

Compartilhamento de uma chave comum.

Todos têm que manter a chave comum em segredo.

É possível ?


Como funciona a criptografia de chave pública

A criptografia de chave pública torna possível a comunicação segura entre pessoas, sem precisar do compartilhamento de uma chave comum.

Chaves públicas são distribuídas entre as pessoas, as quais guardam em segredo suas chaves privadas correspondentes.



Possibilitam assinar mensagens sem a presença de uma terceira parte confiável.

Os resumos de mensagens assinados permitem verificar com facilidade a integridade de mensagens recebidas.


Gerenciamento de chaves públicas

Problema:

Se Alice e Bob não se conhecem um ao outro, como eles irão obter as respectivas chaves públicas para iniciar a comunicação entre eles ?

Como Alice (Bob) pode ter certeza que está realmente obtendo a chave pública de Bob (Alice) ?



A solução óbvia: Bob coloca sua chave pública na sua página Web.

Não funciona !!!

Suponha que Alice queira se comunicar com Bob.



Alice, então, precisa pesquisar a chave pública de Bob na página dele.

Como ela fará isso?

Alice começa por digitar a URL de Bob, em seu navegador.



O navegador pesquisa o endereço DNS da página de Bob e envia ao site Web de Bob, uma solicitação HTTP-GET.

Infelizmente, suponha que Trudy intercepta a solicitação GET e responde a Alice com uma página falsa, fazendo a substituição da chave pública de Bob pela chave pública dela.



Quando Alice envia sua primeira mensagem criptografada, será com ET

(a chave pública de Trudy).






Desempenho

Para informação em grande quantidade, Algoritmos de chave pública são lentos. (20Kb a 200Kb) por segundo.Muito lento para processamento de dados em volume.

Algoritmos de chave simétrica podem encriptar informação em grande quantidade bem mais rapidamente. (10Mb, 20Mb, 50 Mb ou mais) por segundo.


Desempenho

Mas, encriptar 128 bits (tamanho provável de uma chave simétrica), não leva tanto tempo.

Solução: usar a combinação de criptografia de chave simétrica e de chave pública.


Envelope Digital

Processo usado para criptografar informação em grande quantidade

utilizando a criptografia de chave simétrica e

criptografando a chave simétrica de sessão com um algoritmo de chave pública.


Criptografando em Envelope Digital

Chave Simétrica de Sessão

Chave Pública

Chave Simétrica de Sessão Criptografada

Texto Plano

Texto Criptografado

Algoritmo de Chave Simétrica

Algoritmo de Chave Pública


Descriptografando o Envelope Digital

Algoritmo de Chave Pública

Chave Privada

Chave Simétrica de Sessão Criptografada

Chave Simétrica de Sessão

Texto Criptografado

Texto Plano

Algoritmo de Chave Simétrica


Vantagem do Envelope Digital

Ao invés do segredo ser compartilhado antecipadamente.

Segredo compartilhado, através da chave simétrica de sessão.

Manter uma chave separada para cada pessoa, mas agora é a chave pública que não precisa estar protegida.

Não é preciso armazenar as próprias chaves públicas. Diretórios de chaves públicas podem estar disponíveis.


Questões sobre a segurança

Exemplo do email usando envelope digital.

Pao-Chi ---> Gwen

Satomi pode interceptar o email.


Quebrando um algoritmo de chave pública


Notas Históricas




Quem inventou a Criptografia de Chave Pública


Algoritmos mais utilizados

Três algoritmos são mais usados para resolver o problema da distribuição de chaves:

- DH (Diffie-Hellman, 1976) (Stanford University)

- RSA (Rivest, Shamir, Adleman) (M.I.T, 1978)

- Ramo da matemática (Elliptic Curve, 1985) (Neal Koblitz-University of Washington, Victor Miller- Watson Research Center IBM) ECDH (Elliptic Curve Diffie-Hellman, final anos 90)


Estabelecendo uma Chave Compartilhada

Diffie-Hellman, 1976 Acordo de chave Diffie-HellmanResolve problema de distribuição de

chave simétrica, criando uma chave compartilhada.

É preciso encriptar uma chave simétrica de sessão para criar o envelope digital.


Acordo de chave Diffie-Hellman

Usa-se para tal, a criptografia de chave pública, para criar o envelope digital.

É utilizada a tecnologia de chave pública para gerar a chave de sessão simétrica.


Acordo de Chave Diffie-Hellman

Alice e Bob têm que concordar sobre dois grandes números: - p (um número primo) - g (um número pseudo-aleatório)

onde (p-1)/2 é também um primo e certas condições se aplicam a g.


Acordo de Diffie-Hellman

p é um número primo gerado a partir de um PRNG, sendo verificado se é primo pelo Teste de Fermat.

g é um número gerado por um PRNG, que se relaciona bem com o valor de p.



Estes números podem ser públicos, assim, qualquer uma das partes pode escolher p e g e dizer ao outro abertamente.

Seja Alice gerar, por um PRNG, um número grande (digamos 512 bits), chamado x. Ela guarda x como secreto.

Alice tem agora (p, x) que define a chave privada em DH, como em RSA.



Alice calcula y = gx mod p . Alice tem, então, um expoente privado x.

Alice inicia o protocolo do acordo de chave enviando a Bob uma mensagem contendo (p, g, y) .

y é um valor transmitido, portanto, público.



Bob tem agora um número grande gx mod p (512 bits) definindo a tripla(p, g, gx mod p) a qual é transmitida para Bob, como a chave pública DH de Alice.

Bob escolhe um número y secreto.

Bob responde enviando a Alice uma mensagem contendo (gy mod p) .



Alice calcula (gy mod p)x

Bob calcula (gx mod p)y

Pela lei da aritmética modular, ambos os cálculos resultam em gxy mod p .

Alice e Bob, agora compartilham uma chave secreta: gxy mod p



gx mod p

(p,x) chave privada

ALICE

BOB

Alice escolhe p, g públicos e x secreto

Bob escolhe ysecreto

chave pública

(p, g, gx mod p)

gy mod p

Alice calcula(gy mod p)x

= gxy mod p

Bob calcula(gx mod p)y

= gxy mod p


Acordo de Chaves Diffie-Hellman

O algoritmo não criptografa os dados.Duas partes geram o mesmo segredo e

então utilizam para ser uma chave de sessão para uso em um algoritmo simétrico, ou seja, gxy mod p) .

Este procedimento é chamado Acordo de Chave.


O acordo de Diffie-Hellman

Dificuldade de quebra do algoritmo:

Trudy conhece g e p. Se ela pudesse descobrir x e y, ela descobriria a chave secreta.

O problema é que dado (gx mod p) e (gy mod p), ela não pode descobrir x nem y.

Nenhum algoritmo é conhecido para computar o módulo de logaritmo discreto de um número primo muito grande.


O algoritmo RSA

Baseado em alguns princípios da Teoria dos Números.

Sumário do algoritmo: 1. Escolher dois números primos

grandes, p e q (tipicamente maiores que 10100). Um PRNG escolhe p;

Teste de Fermat localiza q.


O algoritmo RSA

2. Compute n = p.q donde n > 10200

Ø(n) = z = (p-1).(q-1) função de Euler

3.Escolher um número relativamente primo a z e chamá-lo de d (isto é, tal que d não tenha fatores primos comuns com z). 4. Encontre e tal que e.d = 1 mod z


O algoritmo RSA

5. Dividir o texto plano (considerado como uma string de bits) em blocos,

de modo que cada mensagem do texto plano P (bloco) caia no intervalo 0 <= P < n.


O algoritmo RSA

Isto pode ser feito agrupando-se o texto plano dentro de blocos iguais de

k bits, onde k é o maior inteiro para o qual 2k < n. Em aplicações práticas k varia de 512 a 1024 bits.


O algoritmo RSA

6. Para encriptar um mensagem P, compute a função E’(e,n,P) = C = Pe mod n. Para decriptar, compute a função D’(d,n,C) = P = Cd mod n Pode ser provado que para todo P, essas funções são inversas: E’(D’(x)) = D’(E’(x)) = x


O algoritmo RSA

Para encriptar precisamos de e e n. Para decriptar precisamos de d e n. Assim, a chave pública consiste do par (e,n) e a chave privada do par (d,n).


Segurança do RSA

A segurança do método é baseada na dificuldade de se fatorar números grandes.

Se um cripto-analista puder fatorar n, ele poderia então descobrir p e q, e destes, z.


Segurança do RSA e DH

Em Diffie-Hellman, quanto maior for n, mais tempo os programas de computador levarão – na realidade, o mesmo tempo que levariam para fatorar.

O problema de fatoração e o problema de log discreto estão relacionados. Resolvendo um deles, ambos são resolvidos.

De praxe, em DH, n deve ter 1024 bits. Com o RSA encontramos dois primos de 512 bits e os multiplicamos para obter um módulo de 1024 bits.


Segurança do RSA [Coulouris et al. 2005, p294-295]

[Rivest et al. 1978] concluiram que fatorar um número tão grande quanto 10200 seria tomado mais de 4 bilhões de anos, com o melhor algoritmo conhecido e sobre um computador que realizasse 1 milhão de instruções por segundo.

Um cálculo similar para os computadores de hoje, reduziria este tempo em torno de 1 milhão de anos.



RSA Corporation tem emitido uma série de desafios para fatorar números de mais de 100 dígitos decimais.

Números de até 174 dígitos decimais (576 bits) têm sido fatorados, e assim o uso do algoritmo RSA com chaves de 512 bits é inaceitável para muitos propósitos.



RSA Corporation (que retém a patente do algoritmo RSA) recomenda um comprimento de chave de ao menos 768 bits (em torno de 230 dígitos decimais), por um período de segurança a longo-prazo de aproximadamente 20 anos.



Chaves de 1024 bits são utilizadas. Chaves tão grandes quanto 2048 bits são

usadas em algumas aplicações. Os algoritmos de fatoração usados são os

melhores disponíveis. Algoritmos criptográficos assimétricos que usam

multiplicação de números primos como função de uma via estarão vulneráveis quando um algoritmo de fatoração mais rápido for descoberto.


RSA e Envelope Digital

Pode-se usar o RSA para criptografar dados diferentes do que uma chave de sessão, como no processo do envelope digital, mas o RSA não é tão rápido quanto os algoritmos simétricos.


Outros algoritmos de chave pública

(Merkle, Hellman, 1978), Knapsack Algorithm

(Rabin, 1979)El Gamal (1985)Schnort (1991)(Menezes, Vanstone, 1993)


El Gamal


RC4

RC4 (provavelmente o algoritmo simétrico com cifragem de ........, mais rápido usado hoje em dia) criptografa os dados a uma taxa 700 vezes mais rápida do que os 1024 bits de chave (tamanho de chave mais comumente usado) do RSA.


RC5

RC5, uma das mais rápidas cifragem de bloco, é aproximadamente 500 vezes mais rápido do que RSA.

A melhor maneira de se usar RSA é criar um envelope digital.


Comparando os algoritmos

SegurançaTamanhos de ChaveDesempenhoTamanho de transmissãoInteroperabilidade


Segurança do Algoritmo

RSA está baseado no problema da fatoração.

Diffie-Hellman (DH) está baseado no problema do log discreto.

ECDH (ECC) está baseado, também, no problema do log discreto.

Não se pode afirmar, atualmente qual é o algoritmo mais seguro


Tamanho de Chave

Quanto maior a chave, maior o nível de segurança, e consequentemente menor é a velocidade de execução.

O algoritmo de chave pública deve utilizar um tamanho de chave ao menos duas vezes mais longo que o da chave simétrica, independentemente do desempenho, por razão de segurança.


Desempenho

Diz respeito a rapidez com que o algoritmo é executado.

O algoritmo mais adequado depende do que é mais importante – a chave pública ou as operações de chave privada – para um aplicativo utilizando o algoritmo.


Tamanho de transmissão

É o custo ou o tempo que o algoritmo leva para transmitir bits através do meio de comunicação (cabos ou ar).

Com RSA e DH, o tamanho de transmissão é o mesmo que o tamanho de chave.

Com o ECC, é enviado duas vezes o tamanho de chave.


Interoperabilidade

Escolher o algoritmo que todo mundo tem. (DES, Triple DES ou AES); (RC4 ou RC5) podem não satisfazer interoperabilidade.

RSA é quase onipresente e tornou-se o padrão de fato.

DH tem boa chance, mas não é tão disseminado.

Com ECC, os aplicativos conversam somente entre si. Classes de curvas elípticas (Fp e F2) são incompatíveis.


Protegendo chaves privadas


Esquemas de Recuperação de Chave

Envelope digitalTerceiro confiávelGrupo de depositários de confiançaThreshold


Referências

Performance de algoritmos criptográficos

Crypto++

Open source library of cryptographic schemes [www.cryptopp.com]

PRB optimized

[Preneel et al. 1998]


Referências

Softwares que implementam a maioria dos principais algoritmos criptográficos:

Impresso: [Schneier 1996]

Online: versões comerciais e freeware[www.rsasecurity.com][www.cryptography.org][privacy.nb.ca][www.openssl.org][www.pgp.com][International PGP]


Referências

SPKI (Simple Public-KeyInfrastructure) Creation and management of sets of public certificates.

RFC 2693 [Ellison et al. 1999]


Documents

Criptografia de Chave Pública