Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos - ccse.uepa.brccse.uepa.br/mestradoeducacao/wp-content/uploads/dissertacoes/07/... · Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos

Ensino das Funções Afim e Quadrática por

Atividades

Belém – PA

2013


Ensino das Funções Afim e Quadrática por Atividades

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores. Orientador: Prof. Dr. Fábio José Costa Alves

Data de aprovação: 30/10/2013 Banca Examinadora: _______________________________________ - Orientador Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia

_______________________________________ - Membro Interno Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará/Universidade da Amazônia

_______________________________________ - Membro Externo Claudianny Amorim Noronha Doutora em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Dedico este trabalho a Deus, fonte

inesgotável do amor e da sabedoria e a

minha mãe que me deu a vida com

dignidade.


Agradecimentos

Referendando a máxima de que não somos ninguém sem o outro e que o homem

não se constrói sozinho, esse trabalho só foi possível porque tive o apoio de muitas pessoas,

as quais quero fazer, neste momento, um especial agradecimento.

Agradeço primeiramente a Deus, por me fortalecer e guiar por este caminho de

desafios, superação e conquistas.

A minha mãe, pelos ensinamentos de vida, direcionando ao caminho da

dignidade, perseverança e respeito ao próximo.

A Universidade do Estado do Pará (UEPA) e ao Programa de Pós-Graduados

em Educação pela oportunidade.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), por

tornar esse sonho realidade, concedendo-me uma bolsa na modalidade Mestrado - GM.

Ao corpo docente do Programa de Pós-Graduados em Educação - UEPA pelos

ensinamentos, discussões e contribuições para este trabalho.

A professora Ma. Francinete Maria Rocha de Jesus, por ceder sua turma para

aplicação da sequência didática, pelo acompanhamento, paciência e dedicação à pesquisa.

Aos alunos da turma 101 de 2013 da escola do experimento, sem os quais este

trabalho não seria possível.

Ao professor Dr. Fábio José da Costa Alves pela dedicação, paciência,

conhecimento e orientação dispensada para a conclusão desta dissertação.

A professora Dra. Claudianny Amorim Noronha pelas colocações no exame de

qualificação que muito contribuíram para o enriquecimento da pesquisa.

Ao professor Dr. Pedro Franco de Sá pelas contribuições no desenvolvimento das

atividades, troca de experiências e ampliação da minha visão na área do saber.

A todos que, de uma forma ou outra, contribuíram para que eu pudesse alcançar

este objetivo, colocando ou retirando as pedras do caminho.


Ensinar matemática na escola só faz sentido quando

se proporcionam aos estudantes, de qualquer nível de ensino, ferramentas matemáticas básicas para o desenvolvimento de seu pensamento matemático sempre apoiado em suas práticas sociais, tendo em vista uma qualificação adequada que promova a inclusão social do estudante e o capacite para atuar no mundo social, político, econômico e tecnológico que caracteriza a sociedade do século XXI.

(INEP, 2009)

RESUMO

SANTOS, Cristiane do Socorro Ferreira dos. Ensino das funções afim e quadrática por atividades. 2013. 312 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013.

Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo investigar as contribuições de atividades para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e quadrática. A investigação foi orientada pela seguinte questão: Quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre funções afim e quadrática no desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio? O referencial teórico adotado em nossa pesquisa tem como base elementos da Didática da Matemática segundo Brosseau e para elaboração das atividades nos fundamentamos na Modelagem Matemática como estratégia de ensino e no Ensino por Atividades. Adotamos a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, estando às seções deste estudo organizadas segundo as etapas dessa metodologia. E como recursos: a análise bibliográfica de dissertações, questionários aplicados a professores e alunos, a gravação em áudio, testes, além da produção escrita dos alunos nas atividades. A sequência didática elaborada era composta de doze grupos de atividades e dois testes diagnósticos que foram analisados a priori e aplicada a 30 alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola pública estadual da cidade de Belém do Pará, sendo desenvolvidos em dezessete sessões de ensino. As análises a posteriori evidenciaram que a sequência didática aplicada possibilitou a alunos construir e compreender noções e conceitos matemáticos sobre função afim e quadrática; que os alunos tiveram avanços progressivos ao ponto de compreender um problema e trilhar passos para executá-lo; que a abordagem de aspectos da cultura local na sequência didática instigou os discentes nas discussões, na busca de informações e na participação das aulas e que os alunos tiveram significativos avanços nos pós-testes. Esses resultados nos permitiu concluir que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado, uma vez que a sequência didática aplicada revelou significativas contribuições para o aprendizado e, consequentemente o melhor desempenho dos alunos do 1º ano do ensino médio. Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Ensino da função afim. Ensino da função quadrática. Ensino por atividades.

ABSTRACT

SANTOS, Cristiane do Socorro Ferreira dos. Teaching affine and quadratic functions for activities. 2013. 312 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013. This paper shows the results of a study that aimed to investigate the contribution of activities to the process of understanding the contents of affine and quadratic functions. The research was guided by the following question: What are the effects of a set of activities on affine and quadratic functions in the performance of students in the 1st year of high school? The theoretical framework used in our research is based on elements of mathematical didactics second Brosseau and based our development activities in Mathematical Modeling as a teaching and Teaching Activities for strategy. We adopt a Didactic Engineering as a research methodology, this study being to sections organized according to the steps of this methodology. And as resources: a literature review of dissertations, questionnaires to teachers and students, the audio recording, testing, and production activities in students' writing. The elaborate instructional sequence was comprised of twelve groups of activities and two diagnostic tests that a priori were analyzed and applied to 30 students of the 1st year of high school from a state school in the city of Belém do Pará, being developed in seventeen teaching sessions. The subsequent analysis showed that the applied didactic sequence allowed the students to construct and understand mathematical concepts and notions about affine and quadratic function; students had progressive to the point of understanding a problem and walk steps to run it advances, the approach aspects of local culture in the teaching sequence instigated the students in the discussions, information seeking and participation in classes and that students had significant improvements in post-test. These results allowed us to conclude that the goal of our research has been achieved, since the applied didactic sequence revealed significant contributions to learning and hence better performance of students in the 1st year of high school.

Keywords: Education. Mathematics Education. Teaching affine function. Teaching

quadratic function. By teaching activities.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Esquema do ensino tradicional ................................................................ 17

Figura 2 - Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e interações com os alunos ........................................... 48

Figura 3 – Esquema da proposta de ensino ........................................................... 108

Figura 4 – Procedimentos realizados pela dupla 5 ................................................. 198

Figura 5 – Alunos resolvendo a questão proposta da atividade ............................. 201

Figura 6 – Tabela construída pelos alunos com os dados do texto ........................ 202

Figura 7 – Resolução da questão proposta ............................................................ 203

Figura 8 – Alunos socializando a questão proposta na atividade descobrindo a expressão algébrica ............................................................................ 204

Figura 9 – Alunos construindo o gráfico da função afim ......................................... 208

Figura 10 - Procedimentos desenvolvido pelos grupos sobre função crescente e decrescente......................................................................................... 213

Figura 11 – Explicação do quadro da atividade que indica o crescimento e decrescimento da função afim pela análise do gráfico. ....................... 215

Figura 12 – Aluno preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Concavidade da parábola” ................................................................. 233

Figura 13 – Alunos preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”............................................................................... 236

Figura 14 – Ilustração da questão complementar 1 ................................................ 240

Figura 15 – Socialização dos resultados das questões complementares da atividade “Encontrar os zeros da função quadrática” .......................................... 241

Figura 16 – Resolução da 1ª questão complementar ............................................. 253




Figura 20 – Gráfico traçado com os valores das coordenadas trocadas ................ 255

Figura 21 – Resolução da atividade descubra a expressão algébrica .................... 266

Figura 22 – Resolução da questão proposta na atividade 1 da função quadrática . 267

Figura 23 – Resolução dos procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função quadrática”............................................................................... 269

Figura 24 – Procedimentos da atividade 4 da função quadrática ........................... 271

Figura 25 – Procedimentos da atividade 5 da função quadrática ........................... 272

Figura 26 – Resolução da questão 4 da atividade 7 da função quadrática ............. 275

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados ................................... 55

Gráfico 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática ............... 57

Gráfico 3 – Instituição e ano de conclusão de especialização .................................. 59

Gráfico 4 – Mestrado e ano de conclusão ................................................................ 60

Gráfico 5 – Tempo de serviço .................................................................................. 62

Gráfico 6 – Tipo de escola que os sujeitos trabalham .............................................. 63

Gráfico 7 – Cursou alguma disciplina sobre função afim e quadrática ..................... 64

Gráfico 8 – Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática ....... 65

Gráfico 9 – Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu ...................... 66

Gráfico 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e função quadrática .................................................................................. 67

Gráfico 11 – Recursos para fixação do conteúdo de função afim e quadrática ........ 68

Gráfico 12 – Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento ............ 70

Gráfico 13 – Tempo aproximado para ministrar função afim .................................... 73

Gráfico 14 – Tempo aproximado para ministrar função quadrática .......................... 73

Gráfico 15 – Tipos de atividades que o professor trabalha matemática ................... 75

Gráfico 16 – Escola disponibiliza laboratório de Matemática .................................... 76

Gráfico 17 – Escola disponibiliza laboratório de informática ..................................... 77

Gráfico 18 – Momentos de planejamento das aulas oferecidos pela escola............. 78

Gráfico 19 – Atividades de nivelamento ................................................................... 78

Gráfico 20 – Recursos disponibilizados pela escola para o professor ...................... 80

Gráfico 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados ......................................... 82

Gráfico 22 – Responsável do aluno ......................................................................... 83

Gráfico 23 – Escolaridade do responsável do aluno ................................................ 84

Gráfico 24 – Responsável trabalha .......................................................................... 85

Gráfico 25 – Aluno trabalha de forma remunerada ................................................... 85

Gráfico 26 – Tipo de escola ..................................................................................... 86

Gráfico 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora ............................................ 87

Gráfico 28 – Cursos ................................................................................................. 88

Gráfico 29 – Pratica esporte ..................................................................................... 88

Gráfico 30 – Dependência........................................................................................ 89

Gráfico 31 – Gosta de Matemática ........................................................................... 90

Gráfico 32 – Gosta de Matemática ........................................................................... 91

Gráfico 33 – Distrai nas aulas de Matemática .......................................................... 91

Gráfico 34 – Estuda matemática em outros horários ................................................ 92

Gráfico 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática ................... 93

Gráfico 36 – Aulas de função afim e quadrática ....................................................... 94

Gráfico 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática ........................................ 96

Gráfico 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia .................................. 97

Gráfico 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados ....................................... 182

Gráfico 40 – Responsável do aluno ....................................................................... 183

Gráfico 41 – Escolaridade do responsável do aluno .............................................. 183

Gráfico 42 – Responsável trabalha ........................................................................ 184

Gráfico 43 – Aluno trabalha de forma remunerada ................................................. 185

Gráfico 44 – Tipo de escola ................................................................................... 186

Gráfico 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora .......................................... 186

Gráfico 46 – Cursos ............................................................................................... 187

Gráfico 47 – Pratica esporte ................................................................................... 188

Gráfico 48 – Dependência...................................................................................... 188

Gráfico 49 – Gosta de Matemática ......................................................................... 189

Gráfico 50 – Dificuldade em Matemática ................................................................ 190

Gráfico 51 – Distrai nas aulas de Matemática ........................................................ 191

Gráfico 52 – Estuda matemática em outros horários .............................................. 191

Gráfico 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática ................. 192

Gráfico 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia ................................ 193

Gráfico 55 – Média de acertos por questões no pós-teste da função afim ............. 264

Gráfico 56 – Percentual de acertos por questões no pós-teste da função quadrática ............................................................................................................ 276

Gráfico 57 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função afim ..................................................................... 278

Gráfico 58 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função quadrática ........................................................... 279

Gráfico 59 – Desempenho de cada aluno no pré-teste e pós-teste da função afim e da função quadrática ........................................................................... 281

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática .............................. 26

Quadro 2 - Níveis alcançados pela turma ................................................................ 32

Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores ........................................................................................... 71

Quadro 4 – Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática, segundo os discentes ............................................................................ 97

Quadro 5 – Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e os desempenhos dos alunos no teste ........................... 100

Quadro 6 – Tarefas do professor e dos alunos nos casos de Modelagem ............. 105

Quadro 7 – Distribuição das atividades .................................................................. 128

Quadro 8 - Cronograma das sessões de ensino na experimentação ..................... 179

Quadro 9 – Relação entre as dificuldades em aprender matemática, o gosto pela matemática, a atenção dos alunos nas aulas de matemática e o hábito de estudar fora do horário de aula ....................................................... 194

Quadro 10 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra .................................................................. 199

Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica .................................................... 206

Quadro 12 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim ................................................... 212

Quadro 13 – Crescimento e decrescimento da função afim ................................... 214

Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim .................................... 216

Quadro 15 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim ................................................... 219


Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da função afim.......................................................................................... 222


Quadro 19 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade construindo gráficos da função quadrática .......................................... 231

Quadro 20 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade concavidade da parábola .................................................................... 233

Quadro 21 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula das atividades “Construindo gráficos da função quadrática” e “Concavidade da parábola”. ............................................................................................ 235

Quadro 22 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade zeros da função quadrática ........................................................................... 237

Quadro 23 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática. ................................................................ 239

Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo .................. 241

Quadro 25 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática ................................................................. 243

Quadro 26 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade problemas sobre função quadrática ...................................................................... 245

Quadro 27 – Desempenho da turma obtido no pré-teste ........................................ 248

Quadro 28 – Respostas das questões complementares 1 e 2 da atividade 1 de função afim, dada pelos grupos........................................................... 253

Quadro 29 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 2 de função afim, dada pelos grupos .................................... 258



Quadro 32 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos ................................................................................................. 262

Quadro 33 – Desempenho da turma no pós-teste da função afim ......................... 263

Quadro 34 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos ................................................................................................. 274

Quadro 35 – Desempenho da turma no pós-teste da função quadrática ................ 276

Quadro 36 – Percentual de questões resolvidas nos pré-testes e nos pós-testes .. 278

Quadro 37 – Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática ....................................... 280

Quadro 38 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes ......................................................................... 282

LISTA DE SIGLAS

FIBRA Faculdade Integrada Brasil Amazônia

IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

LDB Lei de Diretrizes e Bases para o Ensino Básico

MEC Ministério da Educação

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

SAEB Sistema Naciona de Avaliação da Educação Básica

SEDUC Secretaria da Educação Básica

UEPA Universidade do Estado do Pará

UFPA Universidade Federal do Pará

UNAMA Universidade da Amazônia

UNIR Universidade Federal de Rondonia

UVA Universidade Estadual do Vale do Acaraú

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 16

1. ANÁLISES PRÉVIAS .......................................................................................... 30

1.1 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DAS

FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA .......................................................................... 30

1.1.1 Modelagem matemática para o ensino de funções .................................... 31

1.1.1.1 Modelando matematicamente questões ambientais relacionadas com a água

................................................................................................................................. 31

1.1.1.2 O uso da Modelação Matemática na construção do conceito de função ...... 34

1.1.1.3 A modelagem matemática como proposta de ensino e aprendizagem do

conceito de função ................................................................................................... 36

1.1.2 Uso das tecnologias de informação e comunicação .................................. 37

1.1.2.1 Aplicação do software Graphimaticano ensino de funções ........................... 37

1.1.2.2 Uma sequência de ensino usando o programa winplot ................................ 39

1.1.2.3 Função quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional . 41

1.1.3 Resolução de problemas como estratégia de ensino ................................ 43

1.1.3.1 Análise de uma sequência didática para aprendizagem do conceito de função

afim .......................................................................................................................... 43

1.1.3.2 O ensino da função afim a partir do registro de representação semiótica .... 46

1.1.3.3 Ensinar e aprender funções polinomiais do 2º grau no ensino médio ........... 48

1.1.4 Considerações Gerais .................................................................................. 50

1.2 O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA

VISÃO DE DOCENTES ........................................................................................... 54


VISÃO DE DISCENTES ........................................................................................... 80

1.4 ESTRATÉGIA DE ENSINO .............................................................................. 103

1.4.1 Modelagem Matemática .............................................................................. 103

1.4.2 Ensino por atividade ................................................................................... 106

1.4.3 Limitações das metodologias de ensino ................................................... 107

1.4.4 Combinação metodológica ......................................................................... 108

1.5 CONCEPÇÕES SOBRE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA ................................... 110

2.1 CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA .. 115

2.1.1 Pré-teste e pós-teste da função afim ......................................................... 116

2.1.2 Pré-teste e pós-teste da função quadrática .............................................. 120

2.1.3 Outras questões do pós-teste .................................................................... 124

2.2 ANÁLISE A PRIORI DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ............................................ 127

2.2.1 Atividades da função afim .......................................................................... 130

2.2.1.1 Atividade 1 ................................................................................................. 131

2.2.1.2 Atividade 2 ................................................................................................. 136

2.2.1.3 Atividade 3 ................................................................................................. 140

2.2.1.4 Atividade 4 ................................................................................................. 144

2.2.1.5 Atividade 5 ................................................................................................. 148

2.2.2 Atividade da função quadrática ................................................................. 153

2.2.2.1 Atividade 1 ................................................................................................. 154

2.2.2.2 Atividade 2 ................................................................................................. 158

2.2.2.3 Atividade 3 ................................................................................................. 161

2.2.2.4 Atividade 4 ................................................................................................. 165

2.2.2.5 Atividade 5 ................................................................................................. 167

2.2.2.6 Atividade 6 ................................................................................................. 169

2.2.2.7 Atividade 7 ................................................................................................. 172

3 EXPERIMENTAÇÃO .......................................................................................... 176

3.1 A ESCOLA ....................................................................................................... 176

3.2 O EXPERIMENTO ........................................................................................... 178

3.2.1 Primeira sessão ........................................................................................... 180

3.2.2 Segunda sessão .......................................................................................... 195

3.2.3 Terceira sessão ........................................................................................... 200

3.2.4 Quarta sessão ............................................................................................. 204

3.2.5 Quinta sessão .............................................................................................. 207

3.2.6 Sexta sessão ............................................................................................... 209

3.2.7 Sétima sessão ............................................................................................. 212

3.2.8 Oitava sessão .............................................................................................. 220

3.2.9 Nona sessão ................................................................................................ 223

3.2.10 Décima sessão .......................................................................................... 224

3.2.11 Décima primeira sessão ........................................................................... 225

3.2.12 Décima segunda sessão ........................................................................... 230

3.2.13 Décima terceira sessão ............................................................................ 235

3.2.14 Décima quarta sessão .............................................................................. 238

3.2.15 Décima quinta sessão ............................................................................... 239

3.2.16 Décima sexta sessão ................................................................................ 243

3.2.17 Décima sétima sessão .............................................................................. 245

4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO........................................................ 247

4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1 ....................................................... 247









4.10 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 10 ................................................... 263








4.18 ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE E DO PÓS-TESTE ................... 277

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 286

REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 292

APÊNDICE A – Questionário a professores ....................................................... 298

APÊNDICE B – Questionário a alunos do 2º ano ............................................... 302

APÊNDICE C – Questionário a alunos do 1º ano ............................................... 308

APÊNDICE D – Folha de Gráficos A ................................................................... 310

APÊNDICE E - Ficha de avaliação das aulas...................................................... 312

16

INTRODUÇÃO

Pesquisas que buscam inovar a sala de aula e desenvolver uma prática

docente criativa e adequada à necessidade da sociedade contemporânea são temas

férteis na área da Educação Matemática, que busca soluções e alternativas para

melhorar o ensino de Matemática, com base num vasto referencial teórico. Uma das

temáticas mais discutidas dentro da área são as Tendências metodológicas no

ensino da matemática.

As práticas pedagógicas no Brasil decorrentes de distintos pressupostos

epistemológicos relativos à Educação Matemática foram inseridas no processo

educacional e modificadas historicamente.Um dos marcos à história da Educação

Matemática ocorreu na década de1920 quando a Congregação do Colégio Pedro II

propôs ao Conselho Nacional de Ensino, uma mudança na seriação do curso

secundário. Essa alteração foi homologada em sessão do referido conselho, em 26

de julho de 1928, e legalizada pelo Decreto nº 18.564, de 15 de janeiro de 1929,

tendo sido regulada sua aplicação pelo Aviso do Ministro da Justiça, encaminhado

ao Diretor Geral do Departamento Nacional de Ensino, em 29 de janeiro de 1929,

nesta data foi criada uma nova disciplina escolar no ensino brasileiro denominada

Matemática,que antes ao referido decreto era ensinada de forma fragmentada, isto

é, fazia parte do currículo do ensino secundário a aritmética, a álgebra e a

geometria. É também nesse contexto que o tema função é inserido entre os

conteúdos matemáticos do ensino secundário, que parte das concepções de Felix

Klein para o ensino secundário dentre os quais destaco: “incluir o conceito de função

com o papel de ideia coordenadora dos diversos assuntos da matemática escolar”

(BRAGA, 2006, p. 57).

Propostas metodológicas para o ensino da matemática já vêm sendo

discutidas há algum tempo por estudiosos da área. No artigo de Dário Fiorentini,

publicado em 1995 na revista Zetetiké, foi apresentada uma categorização a partir

da análise histórica do ensino da Matemática ao longo dos anos, definindo a

concepção de ensino e aprendizagem da Matemática, e a relação professor-aluno-

saber em cada contexto. Identificamos no estudo de Fiorentini três grandes períodos

históricos da Educação Matemática: a Matemática Tradicional, a Matemática

17

Moderna e a Matemática Contemporânea, que evidenciam distintas concepções de

ensino, a saber, as tendências: formalista-clássica, empírico-ativista, formalista-

moderna, sócioetnocultural, tecnicista e suas variações, construtivista, e histórico-

crítica.

A Matemática Tradicional enfatizada na década de 1920 em um período

em que as discussões giravam em torno das reformas educacionais no Brasil. Foi

marcada pelo processo de industrialização, em que a fábrica era vista como ideal

civilizatório de sociedade, visando à necessidade de mão de obra especializada e a

educação voltada à qualificação para o trabalho industrial (CARVALHO, 1998, p. 27

e 28). Até a década de 1930 sob uma perspectiva tradicional privilegiou-se o

domínio das técnicas operatórias, necessárias à vida prática e às atividades

comerciais.

O ensino da Matemática no Brasil caracterizava-se pela tendência

formalista-clássica até final da década de 1950, onde o professor tinha um papel

central como transmissor e expositor do conteúdo. A aprendizagem do aluno se

dava pela memorização e reprodução precisa do raciocínio e procedimento do

professor e da disposição dos conteúdos dos livros. Nesse sentido, os

tradicionalistas compreendiam que a melhoria do ensino da Matemática estava

relacionada a uma dimensão técnica e formal, os recursos utilizados eram a lousa e

os livros (FIORENTINI, 1995, p.5-8).

Na perspectiva tradicional de aprendizagem da matemática não é dada ao aluno qualquer oportunidade de articular suas experiências e conclusões pessoais acerca do conhecimento ensinado ou mesmo cobrado pelo professor, visto que só lhe é permitido exercitar o que lhe foi transmitido na escola. O aluno, portanto, não tem oportunidade de interagir com o próprio conhecimento, o que transforma a relação educativa em uma via de mão única na qual não lhe é dada a chance de rever aspectos implícitos no conhecimento que lhe é transmitido (MENDES, 2001a, p. 69).

Figura 1 - Esquema do ensino tradicional Fonte: MENDES, 2001a, p.69

18

A tendência empírico-ativista surge no Brasil a partir da década de 1920.

Na década de 1930 contribuiu para formular as diretrizes metodológicas do ensino

da matemática da Reforma Francisco Campos em 1931, e para a criação da

disciplina matemática resultante da unificação da álgebra, aritmética e geometria

(BRAGA, 2006, p. 25).

Os ativistas veem a experimentação/manipulação como fundamentais no

processo de aprendizagem, privilegiando o uso de jogos, materiais manipulativos e

atividades lúdicas. O professor passa a ser visto como orientador da aprendizagem e

o aluno como centro. Utilizam-se atividades experimentais, a resolução de

problemas e o método científico acreditando-se que o aluno aprende fazendo. Os

métodos de modelagem matemática e resolução de problemas emergem desse

período (FIORENTINI, 1995, p.10-12).

De acordo com Fiorentini (1995, p.13-15) na década de 1950 e 1960, com

a Matemática Moderna, o cenário educacional brasileiro foi dominado pela repressão

a todos que não concordavam com o regime militar, daí ter sido fortemente

influenciada, na sua elaboração, pelo pensamento tecnicista. Hoje, visto como mais

um modismo que influenciou fortemente a prática pedagógica desenvolvida nas

escolas, este tipo de pensamento, reduziu o ensino à formulação de objetivos

através de uma prática formal e funcionalista. E posteriormente, ainda nesse cenário

o ensino da matemática foi depositário de expectativas relacionadas à melhoria do

ensino e aprendizagem por meio do Movimento da Matemática Moderna.

Nesse período, destaca-se a tendência formalista-moderna (IBID,p. 13-

15), com ênfase no rigor, no uso da linguagem formal da matemática e nas

estruturas algébricas. O ensino continua sendo centrado no professor e distante de

aplicações práticas, e o aluno como reprodutor do saber sistematizado pelo

professor, haja vista que a proposta de ensino do período visava formar o

especialista matemático.

Ainda em um contexto militar destaca-se entre os anos de 1960 e 1970, a

tendência tecnicista (IBID, p.15-18), cuja proposta era apresentar os conteúdos

como uma instrução programada. Os recursos e as técnicas de ensino passam a ser

o centro do processo ensino e aprendizagem. A concepção de aprendizagem tem

como base o behaviorismo, corrente psicológica que estuda mudanças

19

comportamentais que se dão através de estímulos. Os alunos e o professor são

vistos como meros executores de um processo desenvolvido por especialistas.

A tendência sócioetnocultural surge com o fracasso do Movimento

Modernista e ganha destaque no Brasil a partir da década de1970, trata-se de uma

visão antropológica, social e política da Matemática e da Educação Matemática.

Parte de problemas da realidade, inseridos em diversos grupos culturais, que podem

ser utilizados no trabalho na sala de aula. A Etnomatemática surge nesta

perspectiva, como técnica de explicar, de conhecer e de entender a matemática nos

diversos contextos culturais (FIORENTINI, 1995, p. 24-29).

Segundo Heliodoro (2001, p. 113-117) considera-se a Matemática

Contemporânea, no Brasil, a partir da primeira metade da década de 1980, com a

instalação da Nova República, marcada pelo fim da ditadura militar e à ascensão do

governo civil da Aliança Democrática que aboliu a censura, favorecendo a produção

de literatura educacional crítica, passa-se a discutir uma tendência curricular crítica,

onde o professor é responsável por fazer a mediação entre o saber sistematizado e

a experiência social concreta do aluno. Assim, a ênfase está na relação triádica,

aluno-professor-saber matemático, hoje é considera como um dos principais projetos

de investigação em Educação Matemática, com a intenção de transformação

qualitativa do processo ensino e aprendizagem da matemática.

A tendência construtivista ganha força no Brasil nos anos 80,

fundamentada na teoria do construtivismo de Piaget que considera o conhecimento

matemático resultante da ação interativa-reflexiva do indivíduo com o meio

ambiente. Destaca-se o aprender a aprender e o desenvolvimento do pensamento

lógico-formal (FIORENTINI, 1995, p. 18-24).

A tendência histórico-crítica que concebe a Matemática como um saber

dinâmico que pode atender estímulos externos e internos, como as necessidades

sociais e as necessidades teóricas de ampliação dos conceitos, respectivamente.

Trata-se de uma aprendizagem significativa, que acontece quando o aluno consegue

atribuir sentido e significado às ideias matemáticas e sobre elas é capaz de pensar,

estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.

Atualmente, com o intuito de adequar os conteúdos curriculares as

exigências dos documentos oficiais, procedimentos metodológicos são construídos

ou adaptados a fim de viabilizar o ensino e aprendizagem de forma a atender a

20

sociedade contemporânea, o que tem acarretado um aumento considerável das

abordagens metodológicas para o ensino de matemática.

Linhas de pesquisas voltadas aos métodos de ensino inclinam-se as

exigências educacionais dos documentos oficiais, tais como: a Lei de Diretrizes e

Bases para o Ensino Básico (BRASIL, 1996) que tem por finalidade desenvolver o

educando para o exercício da cidadania, consciente de sua responsabilidade

ambiental e apto a relacionar o conteúdo de sala de aula com o mundo a seu redor.

E os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 47 e 48) que apontam

como objetivo ao ensino da matemática, estimular o estudante a utilizar o

conhecimento matemático para fazer observações sistemáticas de aspectos

quantitativos do ponto de vista do conhecimento, a identificar os conhecimentos

matemáticos como meio para compreender e transformar o mundo a sua volta e a

desenvolver a capacidade de resolver problemas.

As tendências metodológicas no ensino da matemática, atualmente giram

em torno do Uso de Materiais Concretos e Jogos, da Resolução de Problemas, da

Etnomatemática, da Modelagem Matemática,do Uso das Tecnologias de Informação

e Comunicação, do Uso da História da Matemática como estratégia de ensino, e do

Ensino por Atividades, dentre outros. Essas metodologias utilizadas isoladamente ou

em conjunto apontam possibilidades de evolução no ensino e aprendizagem de

matemática.

O uso de materiais concretos e jogos é uma metodologia de ensino que

se utiliza de materiais manipulativos, balança, trena, fita métrica, ábaco, astrolábio

plano, com a finalidade de proporcionar uma verdadeira personificação e

representação dos conceitos matemáticos ou das ideias exploradas e tem como um

de seus precursores Reys (1971, apud MENDES, 2008, p.11).

A resolução de problemas como estratégia cognitiva em educação

matemática com ênfase em Polya (1979, apud MENDES, 2008, p. 28) que abordou

sobre como planejar e resolver problemas, e propõe situações-problemas

caracterizadas pela investigação e exploração de novos conceitos.

A etnomatemática que pode ser considerada como uma área do

conhecimento intrinsecamente ligada a grupos culturais e a seus interesses, propõe

um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia mais ampla.

“Etnomatemática significa que todas as culturas e todos os povos desenvolvem

21

maneiras de explicar, de reconhecer, de lidar com a realidade em um processo de

permanente evolução” (D‟AMBROSIO, 1985, apud MENDES, 2008, p.19).

A modelagem matemática, discutida por vários autores dos quais destaco

Bassanezi (1991). Este autor distingue a modelagem matemática enquanto método

científico, quando a mesma é utilizada como instrumento de pesquisa, na Física, na

Química, na Biomatemática, em problemas industriais de engenharia e em outras

áreas; e como estratégia de ensino, que propõe a partir do “mundo real” e, através

da abstração, construir modelos matemáticos que, resolvidos através de técnicas

matemáticas, apresentam soluções que passam por um processo de validação

visando ou não à modificação do modelo construído.

O uso da informática elucidada por Borba e Penteado (2003), que veem

nas novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras

gráficas, uma possibilidade para o aluno experimentar e gerar várias conjecturas e

conseguir desenvolver argumentos para várias delas.

O uso da história da matemática como estratégia de ensino da

matemática escolar, que visa a partir da informação histórica, contribuir para a

disseminação do conhecimento proveniente de diferentes grupos socioculturais que

se organizam e se desenvolvem intelectualmente de acordo com suas necessidades

(MENDES, 2001b).

E, o ensino de matemática por atividades, com base na redescoberta, a

partir de uma sequência fixa ou flexível de atividades, “pressupõe a possibilidade de

conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções matemáticas presentes

nos objetivos da atividade” (SÁ, 2009, p. 18).

Com o intuito de verificar as abordagens metodológicas atuais para o

ensino de matemática, especificamente no que diz respeito ao ensino e

aprendizagem das funções afim e quadrática, realizamos um levantamento de

produções científicas nas regiões brasileiras, tendo como recorte o período de 2005

a 2011. O critério utilizado para a seleção das pesquisas foi o conteúdo, funções

afim e/ou quadrática, com enfoque nos trabalhos que apresentaram e aplicaram

propostas de atividades.

Foram identificados estudos que abordaram duas ou mais metodologias,

uns trataram da resolução de problemas com o uso de softwares educativos, outros

da modelagem matemática com o auxílio de um programa plotador de gráfico. No

22

entanto, percebe-se a predominância de um método, a saber: os trabalhos de

Chaves (2005), Pires (2009) e Souza (2011) que se utilizaram da Modelagem

Matemática como metodologia de ensino para o estudo de funções; as pesquisas de

Dornelas (2007), Mesquita (2009) e Delgado (2010) comdestaquenaResolução de

Problemas; e as Tecnologias de Informação e Comunicação para o ensino da

matemática presente nas pesquisas de Berleze (2007), Maia (2007) e Calil (2010).

Dada a pluralidade de metodologias com o fim último de favorecer o

ensino e aprendizagem de matemática, visualizamos a possibilidade de um avanço,

mesmo que restrito, com relação ao desempenho dos estudantes. No entanto, tendo

como recorte a realidade da Amazônia paraense, percebemos que mesmo com a

expansão das metodologias de ensino, tem havido um decréscimo no desempenho

dos estudantes na educação básica.

O Sistema de Avaliação da Educação Básica - SAEB/Prova Brasil1

avaliou o rendimento escolar em 2011 que abrangeu 55.924 escolas públicas que

participaram da parte censitária, a chamada Prova Brasil, e 3.392 escolas públicas e

particulares que participaram da parte amostral. O primeiro grupo de escolas

recebeu aplicação censitária em turmas de 5º e 9º ano do ensino fundamental

público, nas redes estaduais, municipais e federais, de área rural e urbana, desde

que a escola possuísse no mínimo 20 alunos matriculados em cada série avaliada.

Para esse grupo, os resultados são divulgados por escola.Já a parte amostral da

avaliação abrangeu escolas com 10 a 19 alunos de 5º e 9º ano do ensino

fundamental das redes públicas; escolas com 10 ou mais alunos de 5º e 9º ano do

ensino fundamental das redes privadas; e escolas com 10 ou mais alunos do 3º ano

do ensino médio das redes públicas e privadas do país.

Comparando os resultados da avaliação realizada em 2011, observa-se

que as médias na disciplina de matemática a nível estadualcom a média

nacionalapresentam um decréscimo. Segundo os dados da planilha do

SAEB/ProvaBrasil (2012), a média das escolas estaduais urbanas e das escolas

públicas no Brasil nos anos finais do ensino fundamental é de 245,1 e 243,2

1O Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB/Prova Brasil é uma avaliação externa em larga

escala aplicada desde 1990, a cada dois anos, pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. O objetivo do SAEB/Prova Brasil é realizar um diagnóstico dos sistemas educacionais brasileiros. As informações produzidas por essa avaliação visam subsidiar a formulação, reformulação e o monitoramento das políticas públicas educacionais nas esferas municipal, estadual e federal, contribuindo para a melhoria da qualidade, equidade e eficiência do ensino.

23

respectivamente. Já no estado do Pará a média dos anos finais do ensino

fundamental é de 229,0 nas escolas estaduais urbanas e 229,1 nas escolas

públicas. Com relação ao ensino médio, as notas em matemática no estado do Pará

possuem média de 241,6 nas escolas estaduais urbanas e 243,1 nas escolas

públicas o que dista de 22,5 e 26,46 da média das escolas estaduais urbanas e

públicas brasileiras, respectivamente. Haja vista que a média das escolas de ensino

médio no Brasil é 264,1 para as escolas estaduais urbanas e 264,6 para as escolas

públicas.

Na região amazônica, os dados do Índice de Desenvolvimento da

Educação Básica (IDEB)2 apontam, em 2009, a conjuntura da rede pública de

ensino. No estado do Pará

pela planilha oficial é a menor média entre todas as unidades federativas. Em comparação com a nota nacional, os alunos do Estado estão um ponto abaixo da média (4,6). Considerando que neste levantamento o Ministério não considerou as notas da rede privada dos Estados nortistas, a diferença é de 0,8 pontos do resultado médio entre todas as escolas públicas do País (4,4) (FOLHA DO PROGRESSO, 2010).

Com relação aos anos finais do ensino fundamental o MEC estipulou uma

meta de 3,3 às escolas públicas estaduais do Pará para 2009 e 3,6 para 2011. No

entanto, os alunos do 9º ano apresentaram nota de 3,1 nos dois períodos. O quadro

negativo observado no Estado, nos anos finais do ensino fundamental, se repete nos

dados por município. Em Belém e Ananindeua, por exemplo, as escolas estaduais

ficaram aquém da meta do MEC. Belém ficou com 3.0 enquanto se esperava 3.2 e

Ananindeua ficou com 3.2 enquanto se esperava 3.5 (BRASIL, 2012).

O diagnóstico supracitado evidencia um problema inerente ao processo

educativo brasileiro, principalmente no que tange à realidade da Amazônia

paraense. Este cenário de baixo desempenho no âmbito da educação pode decorrer

de fatores, socioeconômicos como o índice de violência na escola, a falta de

incentivo da família, a falta de incentivo da escola, as condições financeiras,

2 O Ideb foi criado em 2005, como parte do Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE), para

medir a qualidade de cada escola e de cada rede de ensino. O índice é medido a cada dois anos, com o objetivo de, a partir do alcance das metas municipais e estaduais, o País chegue à nota seis em 2021, correspondente à qualidade do ensino em países desenvolvidos. No indicador estão reunidos o fluxo escolar (taxas de aprovação, reprovação e evasão obtidas no censo da educação básica) e as médias de desempenho nas avaliações Prova Brasil e Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (FOLHA DO PROGRESSO, 2010).

24

habitacionais e sociais das famílias dos alunos, dentre outras situações, ou de

fatores didático-pedagógicos, como por exemplo, estratégias de ensino.

A respeito das metodologias usuais, vale destacar que o método

tradicional é o mais recorrente em nossas escolas até hoje, adquirindo apenas uma

nova roupagem, antes os recursos mais utilizados eram o quadro negro e o giz,

agora o quadro magnético e o pincel. As aulas de matemática, em sua maioria,

continuam sendo ministradas de forma expositiva, a explanação do conteúdo

seguida de exemplos e exercícios, enfatizando uma aprendizagem mecanicista. O

que segundo os PCN também acarreta um baixo desempenho no aprendizado dos

alunos, principalmente por não favorecer uma proposta interdisciplinar, no que diz

respeito à execução de atividades escolares, que leve em conta a realidade do

educando.

O uso da metodologia tradicional na Amazônia, especificamente com

relação ao estudo das funções afim e quadrática, tem corroborado às dificuldades de

ensino e aprendizagem conforme aponta Furtado e Vale (2007) e Santos (2010).

Furtado e Vale (2007) realizaram uma pesquisa comparativa a partir de

questionários aplicados a alunos e professores sobre a concepção dos mesmos com

relação ao ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática e ainda apontaram

uma proposta metodológica com atividades de redescoberta, uma das investigações

diz respeito às metodologias utilizadas para o ensino de funções, os autores

constataram que:

O ensino das funções afim e quadrática, de acordo com os alunos consultados, vem sendo desenvolvido por meio de uma abordagem que inicia com a definição seguida de exemplos e exercícios. O que confirma a predominância do ensino de funções por meio da metodologia tradicional que vem sofrendo severas críticas por parte dos estudiosos do processo de ensino e aprendizagem da Matemática (FURTADO e VALE, 2007, p. 100).

Santos (2010) procurou identificar a metodologia mais utilizada para o

ensino de funções, no município de Belém do Pará a partir da análise de

questionários aplicados a 80 alunos do ensino médio. A autora confirma a

predominância no ensino de funções por meio da metodologia tradicional, sendo que

60% dos alunos consultados estudaram função afim por meio deste método e

51,25% a função quadrática pelo mesmo método. Identificou-se ainda, dentre as

principais dificuldades relacionadas ao conteúdo de funções: o conceito de função, a

25

definição de função afim e função quadrática, em identificar o tipo de função, em

relacionar a função a seu respectivo gráfico, e uma das maiores dificuldades dos

estudantes, encontrada na pesquisa, está na resolução de problemas, uma vez que

dos 80 alunos consultados apenas dois tentaram resolver o problema proposto, mas

não conseguiram chegar ao resultado.

As informações supracitadas nos levaram a refletir sobre as contribuições à

educação matemática dentro da realidade local, de um lado temos um conjunto de

metodologias com procedimentos distintos mais com o mesmo fim, propiciar a

aprendizagem, de outro o ensino continua deficiente e os alunos acabam por não

aprender nem a parte técnica da matemática3, nem a visão crítica de mundo, tão

almejado pelos parâmetros curriculares nacionais. Nesta perspectiva formulamos a

seguinte questão: Quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre funções

afim e quadrática no desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio?

Mediante o estudo das abordagens pedagógicas adotadas no âmbito da

matemática, das exigências curriculares e de recursos simples e viáveis a

professores e alunos, projetamos atividades em que os alunos fossem inquiridos a

observar, analisar, inferir, testar, concluir, etc., a respeito dos conceitos,

propriedades matemáticas e problemas contextualizados ou não, isto é,

participassem ativamente do processo de construção do saber em questão.

Nosso trabalho compreende um conjunto de atividades como recurso de

ensino e aprendizagem com o objetivo de investigar as contribuições de

atividades para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e

quadrática.

Contemplando a dimensão desta pesquisa, que visa uma estratégia

didático-metodológica, com a intenção de fornecer subsídio ao discente para o

aprendizado das funções afim e quadrática, optamos por um método de pesquisa

capaz de relacionar concepções teóricas e práticas, a saber: a Engenharia Didática.

A Engenharia Didática emergiu de uma linha de pesquisa francesa

denominada Didática da Matemática no início da década de 1980, proposta por

MichèleArtigue. Trata-se de uma metodologia de investigação que se caracteriza por

um esquema experimental baseado em ações pedagógicas na sala de aula

(ARTIGUE, 1996, p. 196). A autora abordou a Engenharia Didática como dois pontos

3Princípios lógicos, cálculo, linguagem formal da matemática, estrutura algébrica.

26

centrais: as relações entre a investigação e a ação no sistema de ensino; e, uma

forma de colocar as ações didáticas desenvolvidas na sala de aula no seio das

metodologias de investigação didática.

A Engenharia Didática consiste em um trabalho de investigação do

didático no ensino de matemática comparável ao trabalho do engenheiro durante a

realização de um projeto. O quadro a seguir esclarece a relação entre as ações do

engenheiro e do pesquisador em didática da matemática.

Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática

Ações Engenheiro Pesquisador em didática

Apoia-se nos conhecimentos científicos de seu domínio.

Apoia-se nos conhecimentos oriundos da Engenharia e suas teorias.

Apoia-se nos conhecimentos oriundos da pesquisa em didática e suas teorias.

Submete-se ao controle cientifico.

É controlado pelas normas legais que estabelecem os procedimentos e exigências para as construções.

É controlado pelas normas estabelecidas pela ética na pesquisa.

Trabalha com objetos complexos.

Desenvolve seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições do projeto, devido envolver materiais distintos e combinações dos mesmos por seres humanos.

Desenvolve seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições da sala de aula devido a diversidade de relações envolvidas na atividade pedagógica e os aspectos cognitivos.

Estuda de forma prática meios de alcançar seu objetivo.

Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e materiais que garantam a viabilidade do projeto.

Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e materiais que visem superar ou aperfeiçoar a situação didática em questão.

Estuda situações ainda não resolvidas.

A cada projeto tem que estudar as condições ambientais, materiais, de mão de obra, tecnológicas e financeiras disponíveis para com criatividade e técnica propor a sequencia de desenvolvimento do projeto.

A cada pesquisa tem que estudar as condições sócioambientais, ideológicas, materiais e tecnológicas disponíveis para com criatividade e técnica propor uma alternativa metodológica para a situação em estudo.

Fonte: SÁ e ALVES, 2011. p. 147.

27

Este método de pesquisa realiza-se em quatro fases, conforme explicita

Pais (2002, 101-103): a análise preliminar, a concepção e a análise a priori, a

experimentação e a análise a posteriori e validação.

A análise preliminar diz respeito ao quadro teórico da pesquisa

descrevendo dimensões epistemológica, cognitiva, pedagógica, dentre outras que

contribuem à construção do objeto de estudo; além de destacar constatações

empíricas, concepções dos sujeitos envolvidos e a compreensão da realidade sob a

qual a experiência será realizada.

A concepção e a análise a priori tem o objetivo de determinar quais as

variáveis e se é possível exercer algum tipo de controle, relacionando o conteúdo

estudado com as atividades que o aluno pode desenvolver para a apreensão dos

conceitos em questão.

A experimentação diz respeito a aplicação da sequência didática

previamente planejada, estruturada e analisadas com a finalidade de observar

situações de aprendizagem.

E, a análise a posteriori e validação referente ao tratamento das

informações obtidas com a sequência didática, na engenharia didática a validação é

obtida pelo confronto dos dados obtidos na análise a priori e a posterior.

Inicialmente objetivamos apreender todo o arcabouço teórico da pesquisa

e galgar etapas para a execução da mesma. O primeiro contato com o método se

deu no grupo de pesquisa, Cognição e Educação Matemática na Universidade do

Estado do Pará, no qual realizamos leituras e discussões sobre a Engenharia

Didática.

De posse da apreensão do método, foi realizado um levantamento

bibliográfico de dissertações sobre o ensino e aprendizagem das funções afim e/ou

quadrática, no intuito de apreender as abordagens metodológicas e analisar a

eficiência das mesmas conforme o propósito de cada pesquisa.Essa leitura

possibilitou uma perspectiva acerca da necessidade educativa do aprendiz com

relação ao conteúdo das funções e do processo de construção de conhecimento do

aluno, o que nos levou a escolha da modelagem matemática e do ensino por

atividades, como metodologias de ensino a fim de estimular o aluno ao estudo e

possibilitar o aprendizado do conteúdo matemático. Realizamos o estudo dessas

metodologias de ensino, a partir das concepções de Biembengut e Hein (2003),

28

Barbosa (2003) e Bassanezi (2004) sobre modelagem matemática; e Sá (2009)

sobre ensino por atividades. Além do estudo sobre os fundamentos e métodos da

Didática da Matemática com base nas ideias de Brousseau (1996), que possibilitou

tecermos nossas análises a respeitos das relações aluno-conhecimento-professor

estabelecidas em sala de aula.

Em seguida aplicamos questionários a professores de matemática do

ensino básico e alunos do 2º ano do ensino médio,elaborados com base nos

questionários apresentados nas pesquisas de Furtado e Vale (2007) e Santos

(2010), a fim de obter um diagnóstico local sobre o desempenho de estudantes

belenenses, relacionados a matemática e ao conteúdo das funções afim e

quadrática, e os dados profissionais e escolares dos alunos e dos pais dos alunos

com intuito de obter informações que possam influenciar no desempenho escolar do

aluno.

Levando em consideração as concepções prévias acerca dos fatores

favoráveis à aprendizagem do estudante, das dificuldades encontradas por

pesquisadores, na realização de sua pesquisa, e por alunos em dominar o conteúdo.

Elaboramos atividades sobre as funções afim e quadrática, com base no trabalho

desenvolvido por Furtado e Vale (2007) e Santos (2010) tendo como enfoque o

ensino por atividades e a modelagem matemática abarcando elementos da cultura

local. A sequência didática visa estimular o estudante na aquisição do conhecimento

a partir desituações peculiares a cultura paraense; potencializar a especificidade do

conteúdo permitindo ao aluno desenvolver seu cognitivo por meio da interação com

as atividades; e, fornecer subsídio ao discente para resolver problemas sobre

funções, a partir do conhecimento construído em sala de aula.

Na sequência foi realizada a Experimentação. Aplicamos um questionário,

sobre o perfil dos alunos, e um conjunto de atividades para os conteúdos de função

afim e de função quadrática que ocorreram por meio de sessões. Os sujeitos da

pesquisa foram alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola pública em Belém

do Pará. Executamos testes antes e após o conjunto de atividades, com a finalidade

de verificar o nível de aprendizado dos discentes antes e após o experimento.

Assim, registramos nessa fase a execução das atividades, nos roteiros de

atividades, nas gravações em áudio eem fichas que foram entregues a alunos com o

objetivo de verificar a opinião deles sobre cada aula. E por fim, analisamos as

29

produções dos alunos em classe a partir de uma abordagem qualitativa e

quantitativa dos pré-testes, das atividades desenvolvidas e dos pós-testes.

Com essa configuração de estudo almejamos contemplar nossa realidade

educacional e verificar a viabilidade de nossa estratégia. Assim, discorremos este

trabalho conforme as sessões a seguir:

A primeira sessão, análises prévias, apresentamos o levantamento

bibliográfico, de dissertações produzidas em instituições superiores no Brasil, nos

anos 2005 a 2011, sobre o ensino e aprendizagem das funçõesafim e quadrática; a

análise de uma pesquisa de campo realizada com docentes de matemática e

discentes do 2º ano do ensino médio para verificar o desempenho de estudantes

belenenses com relação aos conteúdos de funções; e ainda, nossa estratégia de

ensino, bem como, as metodologias de ensino que nortearam a pesquisa e os

elementos teóricos da pesquisa.

Na segunda seção, concepções e análise a priori, apresentamos o pré-

teste e o pós-teste descrevendo nossas hipóteses para a resolução dos mesmos

pelos alunos da turma experimental; e nossa sequência didática para o ensino das

funções afim e quadrática, detalhando o objetivo de cada atividade e o procedimento

para aplicação das mesmas, descrevendo possibilidades de ação para cada

atividade, prevendo comportamentos possíveis a fim de mostrar o desenvolvimento

da aprendizagem. Foram elaboradas 12 (doze) atividades e 02 testes diagnósticos.

A terceira seção se refere à experimentação. Nela apresentamos o

funcionamento da sequência didática, realizada em 17 (dezessete) sessões de

ensino, onde se procurou garantir a aproximação dos resultados práticos com a

análise teórica.

Na quarta seção tratamos da última fase da engenharia didática, que se

refere à análise a posteriori e validação. Nela analisamos as produções dos

alunos realizadas na aplicação das atividades e confrontamos os dados da análise a

priori ( nossas hipóteses sobre o experimento) com a análise a posteriori (o que de

fato ocorreu no experimento), a fim de tecer conclusões.

Por último, elencamos as considerações finais.

30

1. ANÁLISES PRÉVIAS

Com o objetivo de apresentar os resultados dos estudos realizados na

etapa das analises prévias, enfatizamos nesta seção: o levantamento de estudos

sobre o ensino e aprendizagem de funções afim e quadrática; a pesquisa de campo

sobre o processo de ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática segundo

professores de matemática; a pesquisa de campo sobre o processo de ensino e

aprendizagem das funções afim e quadrática segundo discentes do 2º ano do ensino

médio; nossa estratégia de ensino com base na modelagem matemática e no ensino

por atividades e os elementos teóricos que embasaram nossa pesquisa, concepções

acerca da Didática da Matemática.

1.1 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DAS

FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

Com o objetivo de analisar o efeito de propostas de ensino dentro das

abordagens de pesquisas que nos antecederam e buscar subsídios para a

construção de nossa pesquisa, levantamos e analisamos 9 dissertações, tendo

como recorte os anos de 2005 a 2011. Percebemos a preocupação de

pesquisadores em buscar estratégias que deem conta das expectativas

educacionais de um determinado contexto, seja este, uma instituição, um grupo de

alunos, alguns professores, especificidades de um dado local, dentre outras

situações.

O critério adotado para a seleção das pesquisas foi o conteúdo, sendo

selecionado trabalhos que abordaram a construção e aplicação de atividades

relacionadas as funções afim e quadrática, com destaque no percurso metodológico

para a execução das mesmas.

Os dados foram coletados na Biblioteca Digital Sapientia - Banco de

Teses e Dissertações da PUC-SP <www.sapientia.pucsp.br>, na Biblioteca Digital do

MEC - Portal Domínio Público <www.dominiopublico.gov.br>, na Secretaria da

Educação do Governo do Estado do Paraná - Portal Dia a Dia Educação

<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>, no Portal Mestrado Profissionalizante em Ensino

31

de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano

<sites.unifra.br/fisicamatematica/Inicial/tabid/269/Default.aspx>, no Repositório

institucional – RIUFPA - Banco de dados de teses e dissertações da UFPA

<www.repositorio.ufpa.br>.

A análise que realizamos nos permitiu obter uma visão geral acerca de

atividades desenvolvidas para o ensino de funções afim e quadrática, e das

dificuldades enfrentadas pelos pesquisadores. Os estudos analisados utilizaram

mais de um método de ensino, contudo predominou um que foi o foco do estudo,

abordamos cada proposta de pesquisa, a partir das categorias: a Modelagem

Matemática, o Uso de TICs e a Resolução de Problemas. Apresentamos a proposta;

o problema; a questão de investigação; o objetivo; a descrição das atividades para o

ensino de funções, e propostas para serem usadas em sala de aula ou em outro

ambiente; os resultados obtidos; as considerações de cada autor e as convergências

e divergências dos trabalhos citados com a nossa pesquisa.

1.1.1 Modelagem matemática para o ensino de funções

1.1.1.1 Modelando matematicamente questões ambientais relacionadas com a água

Chaves (2005) discutiu uma possível forma de se conceber e materializar

a Modelagem Matemática como método de ensino e aprendizagem em cursos

regulares. E, destacou com base no estudo de Barbosa (1999) que os obstáculos

inerentes ao ensino e aprendizagem, tendo por metodologia a modelagem

matemática, estão relacionados a dificuldades identificadas pelos alunos, escola e

professores: os alunos desmotivados para a aprendizagem estariam despreparados

para esta abordagem; a escola com toda a sua estrutura formal/organizacional

oferece barreira para a implementação da modelagem e inibe iniciativas dos

professores que intencionem enveredar por esses caminhos; quanto aos

professores, menciona o fato de não se sentirem habilitados a desenvolver a

modelagem.

Chaves (2005) investigou: Como podemos utilizar a Modelagem, para o

ensino e a aprendizagem da Matemática em um curso regular como o Ensino Médio,

por exemplo? Com o objetivo de observar como a professora e os alunos se

32

envolvem em atividades de Modelagem e discutir os efeitos desse envolvimento

para a prática docente no referido método, para a formação geral do educando bem

como para o processo de ensino e aprendizagem de um conteúdo

reconhecidamente complexo, como é o caso das funções.

A pesquisa teve como sujeitos uma turma de primeira série do ensino

médio de uma escola da rede Federal de ensino, em Belém do Pará. Com base na

ModelagemMatemática e nas concepções advindas após o estudo dos obstáculos

relativos à mesma. As atividades foram realizadas em 2004, e construídas a partir da

seleção de várias reportagens de jornais e de revistas, publicações e páginas da

internet, além de duas visitas a COSANPA (Companhia de água e saneamento do

estado do Pará), como fonte de informações interessantes para a elaboração de

situações, envolvendo o estudo das funções afim, quadrática, exponencial e

logaritmo. A aplicação das atividades foi divida em problemas com base na

modelagem matemática e exercícios para revisar o conteúdo já visto na perspectiva

de contribuir a compreensão efetiva dos textos apresentados.

Com relação à avaliação da aprendizagem foram considerados apenas os

problemas das atividades voltados ao contexto da água, uma vez que a autora

considera que os exercícios não tratam de transformação no conhecimento, assim

foi subdividida por níveis de produção de 1 a 5, como mostra a tabela abaixo:

Quadro 2- Níveis alcançados pela turma

(continua) Atividades Categorização Nível Porcentagem

1 Exercício - -

2 Problema 5 88%

4 12% 3 Exercício - -

4 Problema 5 65%

4 35%

5 Exercício - -

6 Problema

5 16%

4 8%

2 24%

0 52%

7 Exercício Avaliativo

5 56%

4 35%

8 Problema

5 56%

4 35%

2 9%

33

Quadro2 – Níveis alcançados pela turma (conclusão)

9 Problema

5 40%

4 36%

3 17%

2 7%

10 Exercício - - Fonte: Chaves, 2005, p. 126.

Nos resultadosobtidos Chaves aponta que a maior incidência de alunos

estão enquadrados no nível 5, representando que conseguiram efetivar a tradução

para a linguagem simbólica da Matemática e portanto, construíram o modelo/função

esperado, realizando inferências e projeções.E em menor incidência os alunos se

enquadraram no nível 4, representando aqueles que a pesar de construírem o

modelo/função não conseguiram realizar com eles inferências eprojeções. Uns por

apresentarem defasagens de conteúdos próprios de Ensino Fundamental, oque os

impedia de resolver uma equação, um sistema ou uma expressão numérica, outros

porque conseguiam trazer o problema para o contexto da Matemática, através da

tradução,mas, não conseguiam voltar os resultados obtidos para o contexto.

Chaves considerou de um modo geral, que os alunosdesenvolveram

habilidades e capacidades em compreender os princípios matemáticos, calcular

valor numérico e raízes, identificar os conjuntos domínio e imagens das funções,

analisar, interpretar gráficos, dentre outros. Conclui que esses alunos aprenderam

de formasignificativa a utilizar as funções como ferramenta para a compreensão de

problemas comreferência na realidade e, que, a Modelagem, favoreceu

essaaprendizagem.

Destaca ainda que o ensino por Modelagem pode levar o aluno a tornar-

se coparticipante de seu processo de ensinoeaprendizagem e, por consequência, ter

sua aprendizagem facilitada. Por outro lado, para a professora pesquisadora, entre o

reconhecimento das desvantagens quanto à utilização da Modelagem para o ensino

e a sua aplicação, existe um caminho permeado de estudo e de pesquisa, que, para

ser trilhado precisa-se de disposição e audácia para vencer os obstáculos que se

afiguram. De modo que, para que a Modelagem Matemática, como estratégia de

ensino,possa serfielmente e continuamente aplicada nas salas de aulaprecisa-se de

um projeto pedagógico que a contemple. Caso contrário, seu uso ficará restrito a

experiências isoladas.

34

1.1.1.2 O uso da Modelação Matemática na construção do conceito de função

Pires (2009) buscou investigar: Quais as reais possibilidades de se

introduzir o conceito de função afim no 7º ano do ensino fundamental por meio da

resolução de problemas? Tendo por objetivo realizar um estudo intervencionista para

investigar as reais possibilidades de se introduzir o conceito de função afim no 7º

ano do Ensino Fundamental, contrariando o que é tradicionalmente proposto nos

documentos oficiais da educação brasileira.

O autor realizou uma pesquisa, de metodologia quase-experimental, com

53 alunos de uma escola pública municipal, localizada na cidade de Salto de

Pirapora, no interior de São Paulo. Os alunos foram divididos em dois grupos: o

Grupo Experimental (GE) formado por 29 alunos e que passou por uma intervenção

de ensino para introduzir noções básicas sobre função afim; e o Grupo de Controle

(GC), composto por 24 alunos que não passou por qualquer tipo de intervenção

sobre o tema. Esses alunos nunca haviam antes estudado formalmente função afim.

Todos os participantes passaram por um pré-teste e um pós-teste.

A participação do GC na pesquisa resumiu-se na realização de um teste

inicial (pré-teste) e um teste final (pós-teste). O pré-teste teve por objetivo

diagnosticar os conhecimentos desses alunos sobre o assunto em questão e o pós-

teste, o intuito de, após a intervenção no GE, comparar os desempenhos dos

estudantes dos dois grupos. Os testes foram aplicados no período de aula, em

duplas sendo destinadas duas aulas para cada teste.

Para o GC, foram previstos dois encontros, com duas aulas de 50 minutos

cada no total de quatro horas/aulas, destinadas à aplicação do pré e pós-teste.

Enquanto que o GE participou do experimento realizando o pré-teste, a intervenção

de ensino e o pós-teste. Todas estas atividades consumiram sete encontros, cada

encontro com duas aulas duplas de 50 minutos cada, totalizando 14 horas/aulas.

Vale ressaltar que, o primeiro encontro, foi destinado a aplicação do pré-teste que

aconteceu 15 dias, antes do início da intervenção, e do segundo ao sexto encontro

aconteceu a intervenção. O sétimo encontro foi dedicado à aplicação do pós-teste,

que aconteceu 15 dias após o término da intervenção de ensino.

35

Pires (2009) abordou os resultados a partir da análise dos erros, sendo

estes analisados de forma qualitativa a partir da avaliação dos alunos e suas

experiências em sala e uma análise quantitativa com o uso do software SPSS

(Statistical Package for Social Science) fazendo um comparativo entre o pré-teste e

o pós-teste dos grupos, GE (Grupo Experimental) e GC (Grupo de Controle). Assim,

foi constatado um considerável número de erros que foram contornados com a

mediação do experimento, dentre os quais o autor afirmou considerando os limites

de sua amostra, que os alunos realmente iniciaram a compreensão do conceito de

função afim, adquirindo algumas noções básicas referentes a esse assunto

matemático.

Os resultados da análise quantitativa apontam queos dois grupos partiram

de patamares próximos echegaram a patamares distintos, com nítida superioridade

no desempenho do GE sobre o GC. Este resultado já era esperado pelo

pesquisador, haja vista que o GE passou por uma intervenção de ensino enquanto

que o grupo GC não teve qualquer tipo de intervenção acerca do conteúdo.

Com relação à análise qualitativa o autor ressalta que o erro relativo à

proporcionalidade estava relacionado com a construção do conceito de função afim,

pois a noção proporcionalidade é o principal elemento para a construção do conceito

desse tipo de função. E, que de modo geral, a intervenção de ensino pela qual o

grupo passou foi eficiente no sentido de diminuir sensivelmente o número de

atividades que os alunos não sabiam responder e, também, na diminuição

considerável dos erros relativos à construção de gráficos, a não reconhecer no

gráfico as informações sobre a função afim e a não reconhecer a expressão

algébrica de uma função afim por meio de sua representação gráfica. Expõem ainda

que com relação ao erro de construção de gráficos, a não conhecer os coeficientes

de uma função afim e o desconhecimento da relação do coeficiente angular da

função afim com seu crescimento/decrescimento a intervenção de ensino não foi

suficiente para gerar uma diminuição significativa nesses tipos de erros, pois no pós-

teste esses erros voltaram a incidir com uma pequena diminuição em sua incidência

ou, em algumas vezes, chegando até a aumentar, como no caso do

desconhecimento da relação do coeficiente angular. E, conjecturou que estas

questões poderão ser contornadas se a intervenção de ensino apresentasse mais

atividades que dessem conta de superar esses erros, ou ainda, um maior número de

36

encontros, uma vez que esse foi o primeiro contato desses alunos com a função afim

e, também, com a álgebra.

O autor considerou que seus resultados podem contribuir para dar uma

pista a respeito da introdução das noções básicas de função afim, no que diz

respeito à construção do conceito de função afim por alunos do 7º ano do Ensino

Fundamental. E, que a modelação com a bomba d‟água motivou os alunos a

manipular o experimento e desenvolver o aprendizado, despertando ainda, um

espírito investigativo no aluno.

1.1.1.3 A modelagem matemática como proposta de ensino e aprendizagem do

conceito de função

Souza (2011) propôs o seguinte questionamento: De que maneira os

professores se apropriam da modelagem como processo de ensino e

aprendizagem? Com o objetivo de verificar como os professores se apropriam da

modelagem como processo de ensino e aprendizagem. Aplicou atividades a oito

professores de matemática de uma escola estadual de São Paulo.

A pesquisa teve por enfoque a utilização do segundo caso de modelagem

matemática proposto por Barbosa, que trata da escolha de um tema por parte do

professor mediador e uma busca de dados por parte dos alunos a fim de solucionar

por meio de um modelo matemático a situação desejada, e também se utilizou de

recursos tecnológicos especialmente para a construção gráfica, com o auxílio do

software GeoGebra.

Toda a atividade foi desenvolvida no laboratório de informática da escola,

onde os vinte computadores estavam conectados a internet. O conteúdo escolhido

para aplicação da modelação foi a relação existente entre potencias de motores

automotivos quando funcionados a álcool combustível (etanol) e a gasolina com

seus respectivos valores nos postos juntamente com a quilometragem rodada.

Para incentivar as discussões em cada dupla, foi entregue aos

professores textos e perguntas impressas, material este, onde puderam registrar

suas conclusões.O autor destacou pontos positivos e negativos identificados pelos

participantes, sobre a modelagem matemática como estratégia de ensino e

37

aprendizagem, haja vista que a intenção do estudo era a apropriação por parte dos

sujeitos do processo de Modelagem Matemática em suas práticas docentes.

Os pontos negativos mais citados foram: a falta de tempo para se realizar

todo o processo de modelagem e a preocupação com o cumprimento do

planejamento escolar. Dos positivos, se destacaram: a motivação do aluno e do

próprio professor;afacilitação da aprendizagem, o conteúdo matemático passa a ter

significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto; desenvolvimento do

raciocínio, lógico e dedutivo em geral; a interatividade do conteúdo matemático com

outras disciplinas, etc.

Souza (2011) considerou que os pontos positivos superaram os

negativos, principalmente pelo fato de propiciar aos alunos um debate a respeito do

problema tratado, fazendo da Matemática uma ferramenta necessária para

compreensão e tratamento de situações reais.O autor conclui que este trabalho

possibilitou perceber “que muitos professores de matemática, se mostram propícios

a trabalharem com outras metodologias, mas por diversos motivos, continuam

utilizando o método tradicional em suas práticas”.

1.1.2 Uso das tecnologias de informação e comunicação

1.1.2.1 Aplicação do software Graphimaticano ensino de funções

O trabalho de Calil (2010) teve por objetivo analisar o uso do software

GRAPHMATICA, no conteúdo específico de função polinomial do 1º grau, e sua

relação com a aprendizagem desse conteúdo. Calilapontao problema de algumas

escolas em apresentarem um ensino de Matemática descontextualizado,

impossibilitando os alunos de relacionarem os conteúdos estudados e sua aplicação

no cotidiano e, utilizando outros recursos como a memorização de fórmulas e

conceitos que acabam se perdendo com o passar dos tempos.

As principais inquietações que motivaram a pesquisa foram: Qual o

resultado que se obtém quando os alunos são direcionados para construírem o

saber - matemático sem, contudo, serem direcionadas as respostas? Como o aluno

se comporta diante de uma pesquisa de investigação utilizando o computador?

Como se dá a aprendizagem deste aluno, mediante a utilização do computador?

38

Como o computador pode ajudar no processo de ensino aprendizagem de

Matemática?

O estudo teve como categoria principal as Tecnologias Educacionais, com

o auxilio de software para a construção gráfica, e como categoria secundária a

Resolução de Problemasa partir de situações do dia a dia, como por exemplo,o

preço do taxi em Juiz de Fora/MG.

O pesquisador realizou um estudo comparativo entre duas turmas do

nono ano do ensino fundamental na escola municipal Dante Jaime Brochado, na

cidade de Juiz de Fora, em Minas Gerais, denominadas turma A e turma B, na

primeira foi ministrado o conteúdo de função afim com o recurso do computador e o

auxilio do software Graphimaticae na turma B foi ministrado o mesmo conteúdo

deforma tradicional. Foram aplicados questionários a turma Acom a pretensão de

conhecer o nível de entendimento dos alunos em relação à utilização do

computador, de traçar o perfil inicial dos alunos que iriam utilizar o programa

educacional, e, de orientar os procedimentos para a primeira aula no laboratório. As

aulas e atividades foram ministradas por dois professores da turma um de

matemática e um de física e o pesquisador assumiu papel de observador.

Com relação aos resultados os professores participantes da pesquisa

relataram as condições de aprendizagem das duas turmas, e reinterando que a

turma que não utilizou o computador conseguiu fazer a relação,contudo, tiveram

dificuldade na construção dos gráficos. E, a turma que utilizou o software, embora

com dificuldade nesta construção, compreendeu mais rapidamente as posições dos

gráficos, alterando os valores fixos e os tempos e quantidades gastos nas situações

propostas pelos professores.

Ainda com relação ao desempenho dos alunos foi observado que a turma

B que não utilizou o software Graphmatica 16% obteve de 5,5 a 7 acertos, e a turma

A que utilizou a ferramenta 25% obteve de 5,5 a 7 acertos. O autor concluiu que a

pesquisa demonstrou como as tecnologias de informação podem auxiliar alunos e

professores na construção de conhecimentos. E, que a prática docente deu

oportunidade para que os alunos construíssem o conceito de função polinomial do 1º

grau, compreendendo a relação do conteúdo estudado com a vida fora da escola e

também dentro dela, através de um conjunto de situações que deram significado a

seu estudo.

39

Calil (2010) enfatiza que ao trabalhar as propriedades, as representações

simbólicas, os exercícios com o software Graphmatica contemplou o estudo de

construções e análises de gráficos de funções de 1º grau, suas leis de formação,

assim como melhorou o aprendizado de conceitos básicos de funções, no período

da pesquisa. Considerou que a informática abre possibilidades de mudanças

efetivas dentro da construção do conhecimento. Mas, afirma que outros métodos

devem ser utilizados. Pondera ainda que a tecnologia de informação pode ser

considerada uma maneira de superar alguns problemas no ensino de Matemática e

que é necessário que as escolas tenham um projeto político-pedagógico que

valorize a utilização de recursos computacionais no aprendizado de seus alunos,

sabendo-se que não basta a aquisição de computadores e softwares:“Épreciso que

os professores mudem suas práticas pedagógicas e seus objetivos, inclusive na

avaliação destes softwares que serão utilizados”. Ao final de sua dissertação sugeriu

como tema para futuras pesquisas a utilização do software Graphimatica no estudo

de funções polinomiais do 2º grau e funções trigonométricas.

1.1.2.2 Uma sequência de ensino usando o programa winplot

Berzele (2007) enfatizou o estudo de funções, ressaltando as

transformações gráficas, a partir da geografia e física, sob a ótica da

interdisciplinaridade. Seu objetivo foi analisar a contribuição do software Winplot

para a melhoria da qualidade do ensino de funções reais.

A autora aponta a seguinte questão: O uso do Winplot pode contribuir

com a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem de funções reais, de

modo que o aluno seja capaz de construir sua própria aprendizagem de forma

autônoma, crítica e criativa?

Os sujeitos da pesquisa foram 14 alunos da primeira série do ensino

médio do Colégio Militar de Santa Maria. Foi aplicado questionário sobre o uso dos

computadores visando diagnosticar como os alunos participantes da pesquisa como

estavam sendo preparados para o uso das tecnologias computacionais no processo

de ensino e aprendizagem. Em seguida uma avaliação diagnostica.O experimento

foi realizado no laboratório de informática da escola com duplas fixas de alunos, as

40

atividades forma realizadas com o auxílio do winplot e ao final das atividades os

alunos salvaram as mesmas em disquete.

A aplicação da sequência didática ocorreu durante cinco sessões, cada

uma com duração média de 2h50min. Cada sessão esteve voltada a um tipo

específico de funções reais: afim, quadrática, exponencial, logarítmica e

trigonométrica. Os encontros ocorreram durante sete segundas-feiras.Os assuntos

abordados em cada uma das cinco sessões foram: sessão 1, função afim,

temperatura nas camadas atmosféricas; sessão 2, função quadrática, variação

diurna do índice ultravioleta num dia de verão; sessão 3, função exponencial, perfil

da pressão do ar na atmosfera; sessão 4, função logarítmica, perfil vertical da

velocidade do vento próximo à superfície; sessão 5, função seno, declinação solar

ao longo do ano. E por fim foi aplicada uma avaliação final, aanálisea posteriori.

O ambiente que se criou no laboratório de informática possibilitou a cada

aluno participar, sugerir, argumentar e tomar conclusões com base na

experimentação propiciada pelo Winplot ou sob a orientação da professora-

pesquisadora. O Winplot promoveu a interatividade aluno-aluno na medida em que

ambos os alunos, quando desconheciam um recurso ou uma estratégia para o

cálculo, viam-se envolvidos em desvendar a ferramenta, a fim de descobrir novas

possibilidades. Em sala de aula, o professor seria visto como o detentor da

“resposta”, bastando o aluno questioná-lo para obtê-la.

Berzele (2007)ressalta que o trabalho desenvolvido em sua pesquisa

procurou associar 3 pontos considerados fortes para a aprendizagem: buscou

relacionar o assunto matemático a outras áreas do conhecimento, mostrando a

importância e aplicabilidade da matemática; usou como ferramenta um recurso

atraente e popular entre os jovens, onde puderam perceber que o computador não

serve apenas para o lazer, mas também para fazer abordagens mais significativas e

relevantes de alguns conteúdos; dispôs os alunos em duplas, de modo que o

assunto matemático, geográfico ou mesmo computacional pudesse ser discutido e

analisado, permitindo que os colegas aprendessem um com o outro.

Os estudos preliminares mostraram que os alunos pesquisados têm

acesso ao computador, porém, o usam basicamente para o lazer. Por outro lado, os

PCN orientam que a formação do aluno deve contemplar o acesso às novas

tecnologias, de modo a prepará-lo para o mundo do trabalho, que espera cidadãos

41

críticos e autônomos. Para isso, a aula precisaria ser mais reflexiva e participativa,

ao invés de simplesmente informativa. Da análise dos resultados (atividades

propostas, relatórios, entrevista, observações) concluiu-se que o trabalho em dupla

foi importante durante o processo de ensino e aprendizagem, pois gerou um

ambiente de discussão, reflexão e argumentação que, por sua vez, desenvolveu a

criticidade do aluno; a curto prazo o uso do Winplot possibilitou que os alunos

inferissem e comprovassem suas asserções, diminuindo a dependência da figura do

professor.

Conforme Berzele esta tipo de abordagem permitiu uma melhor

compreensão do assunto por outro enfoque, uma vez que o aluno pôde discutir

sobre o problema, pois já havia visto o conteúdo em outra disciplina, ou seja, tinha

conhecimento prévio. Já não basta mais encher o quadro de exercícios repetitivos.

Os alunos sentem necessidade de conhecer aplicações concretas em que tais

assuntos são utilizados como forma de motivá-los a compreender melhor a situação.

Essa forma de abordagem permitiu que os alunos discutissem o assunto com base

nos conhecimentos já internalizados anteriormente e, sob o enfoque matemático,

pudessem analisar a situação com “um novo olhar”, agora matemático.

A autora destaca como sugestões que é preciso que as Licenciaturas

incentivem o uso das novas tecnologias durante a formação do futuro professor,

para que este possa sentir-se preparado e seguro ao incorporá-las em suas

atividades pedagógicas. Dessa forma, o professor poderá usar suas próprias

estratégias para viabilizar a melhor maneira de atingir os objetivos propostos do

conteúdo a ser aprendido, de uma forma mais atraente e enriquecedora.

1.1.2.3 Função quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional

Maia (2007) propõe uma sequência didática a oito alunos da 8ª série do

Ensino Fundamental de uma escola particular na cidade de São Bernardo do Campo

no estado de São Paulo com o auxilio de uma professora de Matemática. A questão

norteadora da pesquisa foi: É possível que alunos de 8ª série do Ensino

Fundamental se apropriem do processo de construção gráfica da função quadrática

como um conjunto de variáveis visuais que implicam em unidades simbólicas

significativas da escrita algébrica utilizando um ambiente computacional aliado ao

42

caráter lúdico como uma das ferramentas de aprendizagem? Tendo por objetivo

complementar estudos já realizados a respeito do ensino da função quadrática e da

utilização de software para este fim.

A pesquisa inicia com um breve estudo histórico e epistemológico acerca

do conceito de função. Em seguida a autora analisa livros didáticos sobre função

quadrática, sendo propostos no nível fundamental e médio, evidenciando os tipos de

exercícios e abordagens de ensino. Essas análises são realizadas a partir da noção

de Organização Praxeológica proposta por Chevallard (1995) presente em sua

Teoria Antropológica do Didático, que situa a atividade matemática no conjunto das

atividades humanas e das instituições sociais.

Dos 16 alunosconvidadosa participar da pesquisa somente oito

permaneceram até o final. A autora revela que a escolha do software winplot como

recurso informático se deu pelo fato dos alunos já conhecerem o software que fora

utilizado em uma atividade anterior para o estudo de função afim com o objetivo

observar o comportamento do gráfico relacionando-o com os coeficientes linear e

angular.

O experimento consiste em uma sequência didática composta por 6

atividades com o objetivo permitir que os alunos descubram uma “nova forma” de

representação da função do 2º grau – forma canônica, a fim de perceber que

modificações na escrita algébrica acarretam modificações na representação gráfica

e vice-versa.

A sequência didática foi dividida em três partes: a primeira parte

correspondeu às atividades 1, 2, 3 e 4 visando introduzir a forma canônica da função

quadrática, ou seja, realizar um tratamento na escrita algébrica da função com o

intuito de observar o comportamento do gráfico; a segunda parte correspondeu à

atividade 5 que visava aplicar os conceitos apreendidos e introduzir a noção de

domínio e intervalo de maneira lúdica. E, finalmente, a terceira parte correspondente

à atividade 6, na qual se pretendeu que os alunos reutilizem os conhecimentos

adquiridos.

Os resultados evidenciam que os alunos conseguiram estabelecer

relações do parâmetro a com os gráficos e descobriram, com o auxílio da animação

feita no Winplot, que o único valor que não poderia ser atribuído ao a era zero, pois,

o gráfico deixava deser uma parábola e passava a ser uma reta; e, conseguiram

43

generalizar a concavidade da parábola. Os alunos conseguiram perceber o eixo de

simetria da parábola e a simetria e reflexão entre as parábolas.

E que a primeira atividade possibilitou que os alunos perceberam que o

coeficiente de x2, implicava na mudança de abertura da parábola. E, para além das

expectativas da autora, essa atividade provocou uma indagação a respeito das

raízes da função o que não estava previsto, além do mais foi percebido a

preocupação que os alunos tinham em relacionar o que aprendiam na aula regular

com o que estavam aprendendo nas aulas extras.

Foram encontrados alguns problemas durante a execução das atividades,

pois os alunos sentiam dificuldades em interpretar os enunciados e sentiam-se

incapazes e inseguros em realizar as atividades que não se utilizaram do software

winplot, contudo foi contornada a situação com a mudança da estratégia de

aplicação, e os alunos passaram a construir gráficos da mesma forma que nas aulas

regulares.

Maia (2007) afirmou que o uso da Teoria dos Registros de Representação

foi fator preponderante para que os resultados na pesquisa fossem positivos,

principalmente por possibilitar a construção de uma sequência didática que

permitisse observar que modificações na escrita algébrica acarretam mudanças na

representação gráfica da função e vice-versa. De forma geral a autora concluiu que

houve um avanço por parte dos alunos, na apreensão do conceito de função

quadrática, propiciado pela compreensão e articulação entre as variáveis visuais e

unidades simbólicas significativas, e deixa como sugestão para trabalhos futuros que

se desenvolvam atividades que articulem a passagem de uma representação

algébrica a outra (forma canônica para a forma desenvolvida e vice-versa), por não

ter sido prioridade no seu trabalho.

1.1.3 Resolução de problemas como estratégia de ensino

1.1.3.1 Análise de uma sequência didática para aprendizagem do conceito de função

afim

Com o objetivo de investigar os efeitos de uma sequência didática nas

concepções de alunos do 1º ano do Ensino Médio em relação ao conceito de

44

Função Afim, abordado a partir da resolução de problemas de contexto realístico4.

Dornelas (2007) partiu de suas constatações, em escolas do ensino fundamental e

médio da rede pública estadual e da rede particular na região metropolitana do

Recife-PE, desde 1990, de que a aprendizagem não ocorre apenas quando se

apresenta um conteúdo de forma organizada e sequenciada, nem mesmo quando os

alunos repetem os modelos estudados. Assim, se preocupou com a seguinte

questão: a aplicação de uma sequência didática elaborada a partir de problemas de

contexto realístico enfatizando a ideia de variação entre grandezas (uma

dependendo da outra) e a articulação das diferentes representações de uma função,

produzirá que efeitos didáticos na aprendizagem do conceito de função afim?

Inicialmente a professora-pesquisadora desenvolveu o conteúdo Funções

de modo que os alunos compreendessem a importância da Matemática nas

situações reais por que passam, mas, também, sua importância enquanto

conhecimento historicamente acumulado pela humanidade ao longo do tempo.

Com base na Resolução de Problemas proposta por Charnay (1996),

Dornelas elaborou e executou uma sequencia didática, que foi trabalhada com cinco

grupos de quatro e cinco alunos da 1ª série do Ensino Médio de uma escola da rede

estadual em Recife. O trabalho foi desenvolvido em oito sessões, com duração de 1

h e 40 min cada uma. Foram utilizadas três formas de registro das atividades dos

participantes da pesquisa: registro escrito (fichas de atividades elaboradas a partir

da resolução de problemas), registro de áudio (gravação das discussões dos alunos

visando obter subsídios para a análise dos avanços cognitivos) e vídeo (filmagens

em fitas de VHS a fim de acompanhar as ações exercidas pelos alunos).

Em sua pesquisa, Dornelas (2007) observou no desenvolvimento da

sequência didática ter havido uma evolução nas concepções dos alunos, na

apreensão do conceito de função afim, propiciado pela compreensão do

relacionamento entre as variáveis dependente e independente e pelas devidas

conexões entre as diferentes representações da função.

Destacou também dificuldades em uma das questões, devido alguns

grupos de alunos acharem que a resposta necessitava do registro de algum cálculo

4 Para Dornelas (2007) esse tipo de problema tem como base uma situação real, a exemplo, uma

pessoa que paga um taxi onde é cobrada uma taxa fixa, pela bandeirada, e outra taxa por quilometro

rodado, assim os sujeitos podem estabelecer relações do cotidiano com a matemática.

45

numérico. E, a partir da análise dos registros escritos a autora observou que os

alunos não tinham intimidade com a conversão do registro da linguagem

matemática, tiveram certa dificuldade em compreender o enunciado do problema e

representá-lo na forma tabular, e em realizar a conversão do registro natural para o

tabular. Assim, foi necessária a intervenção da professora-pesquisadora instigando a

discussão entre os pequenos grupos, em algumas situações. Os próprios alunos ao

encontrarem alguma dificuldade que não conseguiam sanar nos pequenos grupos

solicitavam a ajuda da professora, o que evidenciou o efeito do contrato didático, e,

segundo a autora propiciou a incorporação de novas regras na relação professor-

saber-aluno além de possibilitar aos sujeitos da pesquisa assumir mais

responsabilidade pela construção do saber em jogo.

Dornelas (2007) considerou que os resultados das atividades e os relatos

das discussões das produções dos alunos revelaram que a sequência didática

aplicada e a metodologia adotada foram adequadas aos objetivos propostos, além

de propiciarem um “aprimoramento do espírito critico dos alunos”.

Destacou como aspecto positivo no desenvolvimento de sua pesquisa em

sala de aula, o fato das situações abordadas terem possibilitado aos alunos

perceber que uma tabela, uma expressão algébrica ou um gráfico de uma situação

do cotidiano são diferentes formas de representar uma função.

Concluiu que introduzir o estudo de função afim a partir de problemas de

contexto realístico, com ênfase na concepção variacional, possibilitou a identificação

das variáveis e o relacionamento entre elas, bem como a articulação entre os

diferentes registros de representação da função (linguagem natural, numérica,

algébrica e gráfica). E, que debates coletivos, realizados após a conclusão de cada

atividade, proporcionaram a superação de eventuais dúvidas ou dificuldades e as

institucionalizações dos conceitos trabalhados, e representaram um recurso didático

relevante para o bom desempenho dos grupos. Além disso, a discussão das

produções e a reflexão da validade dos resultados encontrados pelos alunos

possibilitaram um avanço cognitivo significativo.

Assim, considerou sua hipótese validada.E, ainda sugeriu as futuras

pesquisas que ao planejar sequências didáticas que envolvam a concepção

variacional, explorem a interpretação dos pontos de intersecção dos gráficos

construídos com os eixos coordenados e assim, favoreçam o estabelecimento de

46

conexões mais profundas entre os registros gráfico e algébrico. Além disso, que

sejam desenvolvidas investigações acerca da compreensão das noções de domínio

e imagem de função para que os alunos percebam que uma função não depende

apenas da relação de dependência entre duas variáveis, mas também dos valores

para os quais está definida.

1.1.3.2 O ensino da função afim a partir do registro de representação semiótica

No trabalho de Delgado (2010) foi enfatizada a crescente dificuldade

apresentada por seus alunos na aprendizagem de funções, relatando que a cada

ano percebe-se nos alunos uma resistência ou até mesmo uma insegurança em se

trabalhar qualquer uma de suas representações. E, uma das causas das

dificuldades apresentadas pelos alunos é a abstração exigida quando se lida com as

representações algébricas.

Destacou que o desenvolvimento desta capacidade de abstração não é

fácil de ser construída porque muitos alunos não têm esse hábito, ou simplesmente

nem sabem como desenvolver tal habilidade. Ressaltou que o estigma de que a

matemática é uma ciência exata traz a ideia errônea de que ela trabalha apenas no

campo do concreto enquanto o campo abstrato é extremamente útil e necessário. E

ainda, o fato dos alunos chegarem ao Ensino Médio com crescente deficiência de

leitura, escrita e interpretação, além das operações básicas em matemática. São

fatores que afetam o processo de aprendizagem, pois reduz a capacidade de

raciocínio, de abstração e de expressão desses alunos, o que ocasiona um enorme

abismo em todo esse processo.

Com base nessas situações, questiona: a utilização dos Registros de

Representações Semióticas auxilia no ensino e compreensão de suas várias

representações? Com o objetivo de avaliar as dificuldades de ensino e

aprendizagem da função afim aos alunos do 1ª ano do Ensino Médio da Rede

Pública Estadual na cidade do Rio de Janeiro.

O autor buscou na Resolução de Problemas como estratégia de ensino,

desenvolverum conjunto de atividades junto a três turmas totalizando cento e treze

alunosda qual o pesquisador foi o professor.Assim, inicialmente foi desenvolvida

com os alunos uma revisão de assuntos preliminares, equações, sistemas de

47

equações e posteriormente foi ministrado o conteúdo de funções afim para então

aplicar as atividades.

Foram realizadas dez atividades, com algumas delas subdivididas,

perfazendo um total de vinte e cinco itens. O objetivo principal das atividades foi a

verificação de quais transformações por conversão entre os diferentes registros de

representação da função afim (língua natural, expressões algébricas, tabelas de

valores e forma gráfica) os alunos possuíam maiores dificuldades e facilidades. Para

tanto, tomou-se o cuidado de se colocar nas atividades, pelo menos, duas diferentes

formas de representação seguindo as orientações dos Parâmetros Curriculares

Nacionais para Ensino Médio.

Das atividades realizadas foi identificado, dificuldade dos alunos com

relação a conversão da língua natural para a forma algébrica, erro conceitual

relacionado a troca dos coeficientes da função afim, além disso, comenta que não foi

percebida pelo professor uma mudança de atitude das turmas que justificasse esta

melhora. E, apenas uma das turmas obtiveram um rendimento satisfatório, e que o

aumento do índice de acerto está intimamente ligado à maior facilidade que os

alunos têm em realizar as transformações por conversão para a forma tabular e na

conversão da forma tabular para a gráfica.

Delgado considerou que os resultados apresentados demonstram que o

emprego dos registros, de forma escalonada, facilitou o ensino da Função Afim e

ajudou na detecção das dificuldades de conversão e tratamento, apontando em

qual(is) das conversões ocorreram maiores facilidades e dificuldades.

Afirmou que a utilização de procedimentos metodológicos adequados

propicia uma melhor avaliação do real aproveitamento dos alunos em relação ao

conteúdo trabalhado. E, muitas das dificuldades que apareceram no decorrer das

atividades podem perfeitamente passar despercebidas, caso se siga apenas a

sequência didática adotada pelos livros.

Delgado (2010, p. 90) conclui que: “Atividades que exigem tomadas de

decisões frente a situações-problema e desafios que ocorrem no cotidiano fazem

com que os alunos cresçam como cidadãos”.

48

1.1.3.3 Ensinar e aprender funções polinomiais do 2º grau no ensino médio

Com o objetivo de investigar como compatibilizar perspectivas

construtivistas de aprendizagem com o planejamento do ensino, no caso particular

do ensino e da aprendizagem de funções polinomiais do 2.º grau, e analisar a

atuação de professores de Matemática no que se refere às atividades de

planejamento e desenvolvimento do ensino, de forma compatível com uma

perspectiva construtivista de aprendizagem. Mesquita (2009) enfatiza as teorias

construtivistas de aprendizagem no que diz respeito ao aproveitamento do

conhecimento dos estudantes para a construção de uma Trajetória Hipotética de

Aprendizagem – THA.

Figura 2 - Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e interações com os alunos Fonte: SIMON, 1995 apud MESQUITA, 2009

Assim, surgiram as seguintes questões: Como compatibilizar perspectivas

construtivistas de aprendizagem com o planejamento do ensino de Funções

Polinomiais do 2.º grau? Como as pesquisas na área de Educação Matemática que

trazem resultados importantes sobre a aprendizagem podem contribuir para a

organização do ensino de Funções Polinomiais do 2.º grau que potencialize boas

situações de aprendizagem dos alunos? Como é a atuação do professor de

Matemática no que se refere às atividades de planejamento do ensino de Funções

49

Polinomiais de 2.º grau, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de

aprendizagem?

A pesquisadora escolheu dois professores de Matemática que atuavam

na escola pública estadual de São Paulo para desenvolver as atividades com a

primeira série do Ensino Médio totalizando 62 alunos. As atividades partem de

Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem tendo como suporte a Resolução de

problemas e uso de tecnologias com auxílio do software winplot.

Inicialmente foi proposta uma leitura compartilhada da situação-problema

e, em seguida, uma explicação com questionamentos em busca da interação com os

alunos, por meio das respostas às questões formuladas. Sempre após as

explicações, os alunos realizavam as atividades propostas e o professor circulava

pela sala para auxiliar e interagir com os alunos.

Dentre os resultados obtidos a autora esclarece que os mesmos

compatibilizaram perspectivas construtivistas de ensino e aprendizagem com o

planejamento ao propor tarefas envolvendo resolução de problemas, uso de

tecnologias, abordagens interdisciplinares e aplicações em situações do cotidiano e

em outras áreas do conhecimento, de modo que o aluno pudesse interagir e realizar

experimentos, levantar hipóteses, construir estratégias de resolução, esboçar

conjecturas, argumentar, relacionar e analisar, porém considera que isso não

garante uma aprendizagem com perspectivas construtivistas, sua efetivação

dependerá de como o professor vai atuar em sala de aula.Aesse respeito Marcia

Mesquita (2009, p. 111) afirma:

Nosso trabalho mostra que sem o professor se apropriar e participar do ciclo de aprendizagem esboçado por Simon, que parte do “conhecimento do professor” para organizar THA para seus alunos, identificando boas atividades (e que não necessariamente precise criá-las) a partir de objetivos claramente definidos e de atenção às hipóteses de aprendizagem de seus alunos; que as desenvolve em sala num processo interativo com os estudantes, não é possível avançar na qualidade da aprendizagem matemática.

Concluiu que não há recursos/materiais didáticos, por melhor que sejam

que garantam a aprendizagem. Acredita que não basta o professor receber materiais

prontos, haja vista que em sua pesquisa a autora mostra o professor como peça

fundamental para o desenvolvimento de trajetórias em sala de aula.E, ainda sugere

50

mudanças na Prática de Ensino e no Estágio Supervisionado no sentido de mudar

pesquisas nos currículos de formação inicial e continuada de professores.

1.1.4 Considerações Gerais

Nesta pesquisa abordamos trabalhos científicos que se utilizaram de

metodologias de ensino para o estudo de funções, devido a importância do conteúdo

não apenas para o domínio do conhecimento matemático como também às diversas

áreas do saber principalmente ligadas a fenômenos observáveis. No conceito de

função encontramos uma importante ferramenta para o estudo dasregularidades dos

fenômenos, em diferentes domínios, tais como Física,Química, Biologia e Economia.

As orientações curriculares para o ensino médio também destacam o

poder de alcance do conceito de função e a importância do mesmo para a

Matemática e outros campos do conhecimento:

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (Brasil 2006, p.121).

Com o diagnóstico das pesquisas sobre ensino e aprendizagem de

funções foi possível observar que as dificuldades apresentadas relacionadas a

aprendizagem giram em torno de conceitos de funções e principalmente das

diferentes representações de funções, algébrica, gráfica, tabular e literal, haja vista,

que a maioria das pesquisas evidencia a preocupação em suprir essas dificuldades,

com destaque na teoria dos registros semióticos. Com relação aos estudos que

trataram da manipulação de algum software destacou-se a necessidade de

familiarização com o programa. E, ainda que a sequência de aplicação

metodológica: pré-teste, atividades e pós-teste, nem sempre demonstraram uma

efetiva aquisição do conhecimento, talvez pelo fato de alguns alunos adotarem

postura avessa ao processo de avaliação somativa.

Estudos realizados em nível de Brasil sobre o ensino e aprendizagem de

funções, afim e quadrática, apresentam dentre as principais dificuldades dos alunos

no aprendizado desses conteúdos estão as diferentes representações de funções,

algébrica, gráfica, tabular e literal, como evidenciaSantos (2002), Lopes (2003) e

51

Delgado (2010), os alunos apresentam dificuldades em lidar com as relações das

representações gráficas e algébricas da função afim, e nas tarefas de interpretação

de informações contidas em representações gráficas. Santos (2005) aponta como

dificuldade o fato dos alunos não conseguirem identificar função como dependência

entre duas variáveis. Pires (2009) evidencia as dificuldades em relacionar o conceito

de função a situações contextualizadas. Reis (2012) destaca as dificuldades na

transcrição da linguagem natural para a linguagem algébrica e na resolução de

situações-problema. E, Araújo (2009) aponta as dificuldades em interpretar os

conceitos da função quadrática, como relacionar a parte algébrica, as equações,

com a parte geométrica, os pontos e a curva (parábola) num plano cartesiano.

Ao conhecer pesquisas que apontam resultados satisfatórios para

contornar a problemática no ensino e aprendizagem de funções e levando em

consideração as características específicas de nossa proposta, destacamos a seguir

os principais aspectos, decorrentes de um comparativo entre os trabalhos que

consultamos e nossa pesquisa.

O trabalho de Chaves (2005) aproxima-se do nosso em três aspectos:

primeiro o uso da modelagem, segundo os sujeitos são alunos do 1º ano do Ensino

Médio e terceiro os conteúdos abordados forama função afim e a função quadrática.

E, difere do nosso quanto à aplicação das atividades, pois no trabalho de Chaves

foram utilizados dois tipos de atividades, um considerado exercícios para revisar

conteúdos, reforçar ou desenvolver habilidades operatórias em algoritmos já vistos,

e outro foram atividades caracterizadas como problemas de Modelagem e utilizadas

com o intuito de que o aluno avançasse seus conhecimentos de funções, enquanto

construía modelos matemáticos. E, em nossas atividades partimos de uma situação

real para instigar o aluno a buscar soluções de algumas questões norteadoras,

apresentando durante o processo atividades com base no ensino por atividades que

permitam ao aluno experimentar matematicamente conceitos iniciais sobre funções

para em seguida formalizamos o conceito, e por fim conduzir o discente a encontrar

o modelo que represente o problema proposto.

A dissertação de Pires (2009) assemelha-se da nossa pesquisa por

trabalhar com os princípios da modelagem matemática para a resolução de

problemas em contextos significativos para o trabalho em sala de aula. Em

contrapartida, difere-se do nosso trabalho, pois ele enfatiza apenas a função afim e

52

nós a função afim e quadrática. Alem disso, a proposta de Pires consiste em uma

possibilidade de implementar o ensino de função afim no 7º ano do Ensino

Fundamental e nossa pesquisa não visa modificar o proposto pelos documentos

oficiais para o ensino básico, e sim um recurso para o aprendizado dos alunos com

relação ao conteúdo de funções que contemple o almejado pelos PCN, para o

currículo do 1º ano do Ensino Médio.

Apesar da pesquisa de Souza (2011) convergir com a nossa pelo fato de

trabalhar com a modelagem matemática e também utilizar os estudos de Barbosa

para direcionar as atividades, o enfoque da pesquisa diverge, pois a intenção de

Souza foi verificar como os professores se apropriam da modelagem como processo

de ensino e aprendizagem, e nossa proposta visa à aprendizagem do aluno, não a

apropriação de um método; o público ao qual aplica as atividades são professores

de matemática, e em nossa pesquisa as atividades serão aplicadas a alunos do 1º

ano do ensino médio;além disso, o enfoque com relação as atividades foi a

construção gráfica e utilizaram como auxílio o software GeoGebra, e nossas

atividades buscam trabalhar os demais tópicos de funções e são direcionadas de

forma prática para a sala de aula, não necessitando de um ambiente informático,

com a intenção de ser utilizada pelo professor mesmo que a escola não possua

laboratório de informática.

A pesquisa de Dornelas (2007) converge com a nossa pelo fato das

atividades partirem de um contexto real, os sujeitos da pesquisa serem alunos do 1º

ano do Ensino Médio e a técnica para coleta de dados durante o registro das

atividades, são os recursos de fichas de atividades e a gravação de áudio. No

entanto, o conteúdo abordado foi apenas função afim dando ênfase à variação entre

duas grandezas e às diferentes representações que uma função pode assumir

(literal, algébrica, tabular e gráfica) e nosso trabalho além de abordar essas

situações trata também de outros tópicos de função afim, como por exemplo: o zero

da função, o crescimento e decrescimento, o vértice da parábola, além da função

quadrática e seus conceitos.

A dissertação de Delgado (2010) tem como sujeitos alunos do 1º ano do

Ensino Médio, assim como nossa pesquisa, e também trata da resolução de

problemas, diferenciando no tipo de problemas. Isto é, enquanto o autor trata de

problemas típicos dos livros didáticos nossa pesquisa enfatiza atividades que tratam

53

de um contexto referente à cultura local do discente. Além disso, Delgado trabalha

apenas com a função afim e o enfoque é o ensino e compreensão das várias

representações da função tendo como referencial para embasamento das

atividades, a teoria de Raymond Duval (2005) sobre os registros de representação

semiótica para a aprendizagem da matemática. O que diverge de nossa proposta

que consiste em atividades estruturadas que parte de um contexto cultural da

Amazônia paraense com o enfoque da modelagem matemática para o ensino de

funções afim e quadrática, em seguida desenvolve atividades a fim de que o aluno

experencie e estabeleça construções matemáticas para posteriormente chegar ao

problema proposto, o que requer que o discente aprenda a matemática durante o

caminho (situação contextualizada atividades experimentais problema

proposto).

Ao comparar o trabalho de Mesquita (2009) com a nosso estudo

identificamos duas situações, uma consiste nas atividades também terem uma

perspectivas investigativa de aprendizagem, outra é o fato dos sujeitos também

serem alunos 1º ano do ensino médio. Dentre as principais diferenças podemos

elencar que a autora trabalha apenas com a função quadrática, ela utiliza o software

Cabri-Géomètre II para auxiliar nos gráficos e nossas construções são manuais, haja

vista que requeremos ao aluno desenvolver essa percepção. Além do mais, a

pesquisadora escolheu dois professores de Matemática que atuavam na escola

pública estadual para aplicar o experimento, ela foi apenas observadora, e nos

aplicamoso experimento com o auxilio da professora efetiva.

Os trabalhos de Calil (2010), Berzele (2007) e Maia (2007) diferem do

nosso estudo quanto ao enfoque, pois o objetivo era analisar a contribuição de um

software para o ensino do conteúdo, o Graphimatica para Calil e o Winplot no caso

dos outros autores. A pesquisa de Calil e de Maia foi direcionada ao 9º ano do

ensino fundamental, Calil enfatizou um estudo comparativo em duas turmas

ministrando o conteúdo de função afim e Maia aborda apenas função quadrática e

voltada para a construção gráfica, enquanto nossa pesquisa buscar observar o nível

de compreensão do conteúdo de função afim e quadrática a partir de atividades

aplicadas a uma única turma do 1º ano do ensino médio abordando vários tópicos do

conteúdo. A pesquisa de Calil converge com a nossa pelo fato de também

apresentar problemas, Berzele por aplicar a pesquisa a alunos do 1º ano do ensino

54

médio e por enfatizar atividades com base em um contexto e Maia por apresentar

uma sequência didática.


VISÃO DE DOCENTES

Apresentamos nesta subseção os resultados da consulta feita a 50

(cinquenta) professores de matemática de várias escolas da rede pública do

município de Belém, no Pará, com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito da

prática docente sobre o ensino de funções afim e quadrática, e também verificar

como esses professores avaliavam as dificuldades dos alunos para aprenderem este

conteúdo. Além de tecermos um comparativo com pesquisas diagnósticas, sobre o

perfil dos professores de matemática que atuam em escolas públicas de Belém,

desenvolvidas por Furtado e Vale (2007) com uma amostra de 33 professores;Juca

(2008) com 32 professores eSalgado (2009), Moreira (2010), Graça (2011) e Santos

(2012) com amostra de 100 professores cada.

A consulta foi realizada durante os meses de novembro e dezembro de

2012, tendo como instrumento de coleta um questionário (cf. apêndice A) contendo

25 perguntas fechadas, referentes ao perfil dos sujeitos, a prática docente em

relação a funções, afim e quadrática, a avaliação do grau de dificuldades percebidas

pelo professor em relação a seus alunos quanto ao aprendizado deste conteúdo e

os recursos disponibilizados pela escola para atuação do professor em sala de aula.

Os critérios adotados para a escolha dos sujeitos foi que fossem

professores graduados em matemática, que trabalhassem em escolas públicas e

que lecionassem ou já tivessem lecionando no 1º ano do ensino médio. A

sistematização dos dados mostrou os resultados a seguir.

55

Questão 1 – Sexo e Questão 2 – Idade

Tabela 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados

Faixa etária

Sexo

Total Masculino Feminino

21 a 25 anos F. A. 2 3 5

%. 4% 6% 10%

26 a 30anos F. A. 10 8 18

% 20% 16% 36%

31 a 35 anos F. A. 9 0 9

% 18% 0% 18%

36 a 40 anos F. A. 3 4 7

% 6% 8% 14%

41 a 45 anos F. A. 4 3 7

% 8% 6% 14%

46 a 50 anos F. A. 2 0 2 % 4% 0% 4%

51 a 55 anos F. A. 0 1 1

% 0% 2% 2%

56 a 60 anos F. A. 1 0 1

% 2% 0% 2%

Total F. A. 31 19 50

% 62% 38% 100% Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)

Gráfico 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados

Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)

A sistematização dos dados mostrou que dentre os professores

consultados, 31 eram homens e 19 eram mulheres, mostrando predominância de

2

10

9

3

4

2

0

1

3

8

0

4

3

0

1

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

21 a 25 anos

26 a 30anos

31 a 35 anos

36 a 40 anos

41 a 45 anos

46 a 50 anos

51 a 55 anos

56 a 60 anos

Professores

Femenino

Masculino

56

professores do sexo masculino no ensino desta disciplina. Quanto a idade dos

professores consultados, 32 estavam na faixa etária entre 21 a 35 anos, o que

revelou um quadro relativamente jovem de professores atuando em algumas escolas

de Belém.

Assim como em nossa pesquisa, os estudos desenvolvidos por Furtado e

Vale (2007), Salgado (2009), Moreira (2010), Graça (2011) e Santos (2012) também

evidenciaram o predomínio de professores do sexo masculino atuando na disciplina

de Matemática. O que já vem sendo discutido por Curi (2000, p. 62) quando afirma

que a porcentagem de professores homens em matemática é maior do que em

algumas outras áreas do cohecimento.

Com relação a faixa etária, em comparação com nossa pesquisa,os

estudos de Furtado e Vale (2007), Juca (2008), Graça (2011), Santos (2012) e

Salgado (2011) apontam um quadro de professores relativamente jovens; com

exceção de Moreira (2010) que obteve uma amostra cuja a classe docente era

mesclada entre juventude ematuridade.

Questão 3.1 – Formação

Todos os professores consultados possuíam graduação em licenciatura

em Matemática e uma professora possuía além desta, bacharelado em Estatística

pela UFPA concluído em 1995 e graduação em Ciências da Computação pela

UNAMA concluído em 1997. A tabela 2 e o Gráfico 2 dispõe os dados relativo aos 50

professores consultados sobre o ano de conclusão do curso de Licenciatura em

Matemática e a instituição superir de ensino em que cursaram o mesmo.

Tabela 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática

(continua)

Ano de conclusão

Instituição

Total UFPA UEPA UNAMA UVA UNIR 1983-1986 F. A. 3 0 0 0 0 3

% 6% 0% 0% 0% 0% 6%

1991-1994 F. A. 3 0 1 0 0 4

% 6% 0% 2% 0% 0% 8%

1995-1998 F. A. 2 2 0 0 0 4 % 4% 4% 0% 0% 0% 8%

57

Tabela 3 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática (conclusão)


Gráfico 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática


Os dados evidenciam dentre os professores consultados que 3 foram

graduados em Matemática entre 1983 e 1986, nenhum foi graduado entre 1987 e

1990, 4 foram graduados entre 1991 e 1994, 4 foram graduados entre 1995 e 1998,

12 foram graduados entre 1999 e 2002, 11 foram graduados entre 2003 e 2006; 15

foram graduados entre 2007 e 2010 e 1 não informou. E 43 dos professores

estudaram em instituições de ensino superior públicas.

3

3

2

6

6

7

1

2

4

2

6

1

1

2

1

1

1

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1983-1986

1991-1994

1995-1998

1999-2002

2003-2006

2007-2010

Não informaram

Professores

UNIR

UVA

UNAMA

UEPA

UFPA

1999-2002 F. A. 6 4 1 0 1 12

% 12% 8% 2% 0% 2% 24%

2003-2006 F. A. 6 2 2 1 0 11

% 12% 4% 4% 2% 0% 22%

2007-2010 F. A. 7 6 1 1 0 15

% 14% 12% 2% 2% 0% 30%

Não informaram F. A. 1 0 0 0 0 1

% 2% 0% 0% 0% 0% 2% Total F. A. 28 14 5 2 1 50

% 56% 28% 10% 4% 2% 100%

58

Questão 3.2 – Pós-Graduação lato sensu

Dos 50 professores consultados 22 cursaram ou estavam cursando

especialização dentre as quais apareceram os cursos e instituições proponentes

evidenciadas na tabela 4 a seguir.

Tabela 3 – Instituição, ano de conclusão e curso de especialização


Instituição / Curso

Ano de conclusão

Tota

l

1995-1

997

2001-2

003

2004-2

006

2007-2

009

2010-2

012

Curs

an

do

UFPA Educação Matemática F.A 0 1 3 2 0 0 6

% 0% 2% 6% 4% 0% 0% 12%

Didática da Matemática

F.A 0 0 0 0 0 1 1

% 0% 0% 0% 0% 0% 2% 2%

Fundamentos da Matemática Elementar

F.A 0 0 0 1 0 0 1

% 0% 0% 0% 2% 0% 0% 2%

Matemática Aplicada F.A 0 0 0 1 1 0 2

% 0% 0% 0% 2% 2% 0% 4%

Estatística Aplicações F.A 1 0 0 0 0 0 1

% 2% 0% 0% 0% 0% 0% 2%

Pró-Ciências F.A 0 0 1 0 0 0 1

% 0% 0% 2% 0% 0% 0% 2%

UEPA Educação Matemática F.A 0 0 2 0 1 1 4

% 0% 0% 4% 0% 2% 2% 8%

Informática F.A 0 2 0 0 0 0 2

% 0% 4% 0% 0% 0% 0% 4%

UNAMA Ciências e Matemática F.A 0 0 2 0 0 0 2

% 0% 0% 4% 0% 0% 0% 4%

FIBRA Matemática no Ensino Básico

F.A 0 0 0 0 1 0 1

% 0% 0% 0% 0% 2% 0% 2%

SEDUC-PA

Pró-Ciências F.A 0 0 1 0 0 0 1

% 0% 0% 2% 0% 0% 0% 2%

Total

F.A 1 3 9 4 3 2 22

% 2% 6% 18% 8% 6% 4% 44%

Não possui especialização F.A - - - - - - 28 % 56%

Total F.A - - - - - - 50 % 100%

59

Gráfico 3 – Instituição e ano de conclusão de especialização


Dos 22 professores que cursaram ou estão cursando pós-graduação lato

sensu os cursos destacados distribuem-se em: 10 professores Educação

Matemática, 1 Matemática no Ensino Básico, 1 Didática da Matemática, 1

Fundamentos da Matemática Elementar, 2 Matemática Aplicada, 2 Ciências e

Matemática, 1 Estatística Aplicações, 2 Informática e 2Pró-Ciências. Desses 19

estudou em instituição de ensino superior pública e 3 em instituição particular.

Quanto ao ano de conclusão observamos que 1professor concluiu entre 1995 e

1997, nenhum concluiu entre 1998 e 2000, 3 concluíram entre 2001 e 2003, 9

concluíram entre 2004 e 2006, 4 concluíram entre 2007 e 2009, 3 concluíram entre

2010 e 2012 e 2 estão cursando especialização.

1

5

2

1

1

1

1

1 1

1

2

1

2

2

28

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1995-1997

2001-2003

2004-2006

2007-2009

2010-2012

Cursando

Não possui

Professores

Não possui especialização

Pró-Ciências

Informática

Estatística Aplicações

Ciências e Matemática

Matemática Aplicada

Fundamentos daMatemática Elementar

Didática da Matemática

Matemática no EnsinoBásico

Educação Matemática

60

Questão 3.3 – Pós-Graduação stricto sensu

Do total de professores consultados apenas 4 cursaram ou estavam

cursando mestrado e nenhum dos sujeitos tinham doutorado.

Tabela 4 – Mestrado e ano de conclusão


Gráfico 4 – Mestrado e ano de conclusão


Dos cursos de mestrado destacado 2 professores cursaram ou estavam

cursando mestrado em Ciências e Matemática, 1 cursoumestrado em Estatística e 1

professor estava cursando mestrado em Matemática Profissional. A Instituição de

1 1 1 1

46

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1998 2007 Cursando Nãopossui

Pro

fes

so

res

Ciências e Matemática

Estatística

Matemática Profissional

Não possui mestrado

Curso Ano de conclusão

Total 1998 2007 Cursando

UFPA Ciências e Matemática

F.A 0 1 1 2

% 0% 2% 2% 4%

Estatística F.A 1 0 0 1

% 2% 0% 0% 2%

Matemática Profissional

F.A 0 0 1 1

% 0% 0% 2% 2%

Total F.A 1 1 2 4

% 2% 2% 4% 8% Não possui mestrado F.A - - - 46 % - - - 92% Total F.A - - - 50 % - - - 100%

61

ensino proponente foi a UFPA e os anos de conclusão observados foram 1 em 1998,

1 em 2007 e 2 estavam cursando.

Analisando os dados sobre a formação dos professores nos deparamos

com uma situação ruim, pois a quantidade de professores especialistas e/ou mestres

é muito pequena, quando dos 50 professores consultados pelo menos 34 destes se

formaram até 2006, 7 anos, sendo que 28 ainda não fizeram curso de

especialização e 46 não fizeram curso de mestrado. Significa que a maioria não deu

continuidade a sua formação.

Ao comparamos nossa investigação com outras, convergimos com os

estudos de Furtado e Vale (2007), Juca (2008), Graça (2011) e Santos (2012) que

também evidenciaram um baixo percentual de professores com pós-graduação,

sendo um pouco mais acentuados os que possuem especialização (em média 23%),

já mestrado e doutorado em média de apenas 5% e 1%, respectivamente, quando

possuíam; com excessão das pesquisas de Moreira (2010) e Salgado (2011),que

mostraram um percentual maior de professores com pós-graduação, embora este

último apresentou um percentual muito baixo de mestres (3%) e doutores(1%).

Essa realidade local retrata a dificuldade de acesso a um programa de

pós-graduação, seja lato sensu ou stricto sensuoferecido pelas instituições públicas

de nossa cidade; a formação inicial pouco estimulada e pouco incentivo na carreira.

Questão 4 – Tempo de serviço como professor de Matemática?

Tabela 5 – Tempo de serviço

Período Frequência

absoluta Percentual (%)

1 a 5 anos 18 36% 6 a 10 anos 12 24% 11 a 15 anos 8 16% 16 a 20 anos 7 14% 21 a 25 anos 2 4% 26-30 anos 2 4% 31-35 anos 1 2%

Total 50 100%


62

Gráfico 5 – Tempo de serviço


Sobre o tempo de serviço, 18 professores tem entre 1 a 5 anos de

docência, evidenciando um número considerável de professores participantes da

pesquisa com pouca vivência de sala de aula. No entanto, a maioria, 32 professores

tinha de 6 a 35 anos de docência, o que significa que tinham experiência suficiente

para avaliar as dificuldades dos alunos em sala de aula em relação a aprendizagem

das funções, afim e quadrática.

Questão 5 – Tipo de escola em que trabalha atualmente?

Tabela 6 – Tipo de escola em que os sujeitos trabalham

Escola Frequência

absoluta Percentual (%)

Pública Estadual, Federal e Privada 1 2% Pública Estadual e Federal 2 4% Pública Estadual, Municipal e Privada 3 6% Pública Estadual e Municipal 4 8% Pública Estadual e Privada 9 18% Pública Estadual 31 62% Total 50 100%


18

12

8

7

2

2

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 a 5 anos

6 a 10 anos

11 a 15 anos

16 a 20 anos

21 a 25 anos

26-30 anos

31-35 anos

Professores

63

Gráfico 6 – Tipo de escola que os sujeitos trabalham


Com relação às instituições nas quais os professores trabalham,

identificamos que 31 exercem atividades somente em escolas públicas da rede

estadual; 4 trabalham em escolas da rede pública estadual e municipal; 2 exercem

atividades na rede pública estadual e federal, 9 trabalham em escolas da rede

pública estadual e privada, 3 exercem atividades na rede pública estadual, municipal

e na rede privada e 1 exerce atividade na rede pública estadual e federal e na rede

privada. Ou seja, os 50 professores consultados trabalhavam em escolas públicas,

dentre outra, portanto eram conhecedores da realidade escolar na capital paraense.

Questão 6 – Durante sua formação de professor de matemática você fez

alguma disciplina sobre o ensino de Função Afim?

Questão 7 – Durante sua formação de professor de matemática você fez

alguma disciplina sobre o ensino de Função Quadrática?

Tabela 7– Cursou alguma disciplina sobre função afim e função qudrática

Afim Quadrática

Sim F.A 40 41 % 80% 82% Não F.A 10 9 % 20% 18% Total F.A 50 50 % 100% 100%


31

9

4

3

2

1

Pública Estadual

Pública Estadual e Privada

Pública Estadual e Municipal

Pública Estadual, Municipal e Privada

Pública Estadual e Federal

Pública Estadual, Federal e Privada

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Professores

64

Gráfico 7 – Cursou alguma disciplina sobre função afim e quadrática


No que se refere a formação inicial para atuar no ensino de função afim,

observamos que os professores, em sua maioria, 40, informaram ter cursado

disciplinas que trataram sobre o ensino deste conteúdo, sendo estas Fundamentos

da Matemática Elementar e/ou Cálculo I, enquanto que 10 informaram nunca ter

cursado nenhuma disciplina que tratasse com destaque deste assunto.Em se

tratando da formação inicial para atuar no ensino de função quadrática, 41 dos

professores consultados informaram ter cursado na disciplina de Fundamentos da

Matemática Elementar e/ou Calculo I, o conteúdo de função quadrática, e 9%

informaram nunca ter cursado nenhuma disciplina que tratasse do assunto.

Questão 8 – Como professor de matemática você já participou de evento/curso

sobre o ensino de Função Afim?

Questão 9 – Como professor de matemática você já participou de evento/curso

sobre o ensino de Função Quadrática?

Tabela 8– Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática

Afim Quadrática



10 9

40 41

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Afim Quadrática

Pro

fess

ore

s

Não

Sim

65

Gráfico 8 – Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática


Quando a questão era a formação continuada, os dados revelam que a

maioria dos professores consultados 35 nunca participou de cursos ou eventos que

abordasse o ensino de função afim e apenas 15 disseram ter participado de algum

desses momentos de formação, citando cursos de especialização e encontros de

educação matemática.No caso da formação continuada direcionada ao conteúdo de

função quadrática, a maioria, 37 professores consultados nunca participou de cursos

ou eventos que abordasse o ensino desse conteúdo e apenas 13 disseram ter

participado de algum desses momentos de formação, citando cursos de

especialização e encontros de educação matemática.

Questão 10 – Você ensina função afim do modo como aprendeu?

Questão 11 – Você ensina função quadrática do modo como aprendeu?

Tabela 9– Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu

Afim Quadrática



15 13

35 37

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Afim Quadrática

Pro

fes

so

res

Sim

Não

66

Gráfico 9 – Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu


Indagamos os professores acerca do saber aprendido e ensinado, e

verificamos que 36 professores não ensinam o conteúdo de função afim do mesmo

modo que aprendeu e 14 afirmam ensinar o assunto conforme haviam aprendido.

Com relação ao conteúdo de função quadrática, a maioria, 37 professores não

ensinam o conteúdo do mesmo modo que aprendeu e 13 afirmam ensinar o assunto

conforme haviam aprendido.

Com relação à forma de introdução dos conteúdos de função afim e

quadrática, os gráficos e tabelas das questões 12 e 13 do questionário aplicado a

professores evidenciam a prática destes em instituições de ensino públicas

belenenses.

Questão 12 – Introdução das aulas sobre função afim

Questão 13 – Introdução das aulas sobre função quadrática

Tabela 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e função quadrática

(continua)

Método Afim Quadrática

Pela definição seguida de exemplos e exercícios

F.A 25 25

% 50% 50%

Com uma situação problema para depois introduzir o assunto

F.A 21 21

% 42% 42%

Com a história do assunto para depois explorar os conceitos

F.A 2 2

% 4% 4%

14 13

36 37

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Afim Quadrática

Pro

fes

so

res

Sim

Não

67

Tabela 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e quadrática

(conclusão) Com um experimento para chegar ao conceito

F.A 1 1

% 2% 2%

Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

F.A 1 1

% 2% 2%

Com jogos para depois sistematizar os conceitos

F.A 0 0

% 0% 0% Total F.A 50 50

% 100% 100%


Gráfico 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e

função quadrática


Verificamos que existia uma boa parcela dos professores, 25, que fazia

uso de metodologias diversificadas para introduzir o assunto de função afim e de

função quadrática, com destaque para a utilização de situações problemas, 21.

Enquanto os outros 25 ainda introduziam os assuntos de forma tradicional, centrada

em aulas expositivas, com apresentação das definições, seguidas de exemplificação

e resolução de exercícios. Dentre eles estavam dois dos quatro professores de

matemática da escola onde foi desenvolvido o experimento. O uso da metodologia

tradicional fica mais evidente ainda na pesquisa realizada com alunos que já

cursaram o 1º ano do ensino médio a qual mostramos na seção 1.3.

Com o intuito de verificar quais recursos pedagógicos estavam sendo

mais utilizados por estes docentes no momento da apreensão dos conhecimentos e

25

21

2

1

1

0

25

21

2

1

1

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Pela definição seguida deexemplos e exercícios

Com uma situação problema paradepois introduzir o assunto

Com a história do assunto paradepois explorar os conceitos

Com um experimento para chegarao conceito

Com um modelo para situação eem seguida analisando o modelo

Com jogos para depoissistematizar os conceitos

Professores

Afim

Quadrática

68

no desenvolvimento das habilidades dos alunos em relação às funções, afim e

quadrática, tecemos questionamentos a respeito dos recursos utilizados para a

fixação dos conteúdos. As tabelas e gráficos a seguir traduzem as respostas obtidas.

Questão 14 – Os recursos usados pelos professores para fixar o conteúdo de

função afim?

Questão 15 – Os recursos usados pelos professores para fixar o conteúdo de função quadrática?

Tabela 11– Recursos para fixação dos conteúdos de função afim e quadrática

Recursos Afim Quadrática

Lista de exercícios F.A 31 29

% 62% 58%

Exercícios do livro didático F.A 12 13

% 24% 26%

Lista e livro F.A 2 3

% 4% 6%

Lista, jogos e procurar F.A 2 2

% 4% 4%

Lista, livro e procurar F.A 1 2

% 2% 4%

Lista, jogos, livro F.A 1 1

% 2% 2%

Jogos F.A 1 0

% 2% 0%

Total F.A 50 50

% 100% 100%


Gráfico 11 – Recursos para fixação do conteúdo de função afim e quadrática


29

13

3

2

2

1

0

31

12

2

2

1

1

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Lista de exercícios

Exercícios do livro…

Lista e livro

Lista, jogos e procurar

Lista, livro e procurar

Lista, jogos, livro

Jogos

Professores

Afim

Quadrática

69

Constatamos que os recursos mais utilizados pela maioria dos

professores consultados era a lista de exercícios, usados por 31 dos consultados na

fixação do conteúdo de função afim e 29 para o conteúdo de função quadrática,

dentre eles estavam os quatro professores da escola local da pesquisa. Em segundo

lugar o recurso mais utilizado pelos professores consultados era o livro didático

representado por 12 para a função afim e 13 para a função quadrática. Enquanto

outros recursos como jogos e pesquisa erammenos utilizados, sendo que uma das

professoras que utilizava atuavana escola local do experimento.

Para nós, estes dados revelaram uma tentativa de buscar outras questões

para compreensão do aluno que está além do livro didático, haja vista que na fala de

alguns professores, durante a aplicação do questionário, destacaram o fato do livro

utilizado na escola não contemplar questões suficientes à aprendizagem dos

discentesno que se refere aos exercícios de fixação, tendo por tanto que recorrer a

outras fontes para isso,uma vez que a preocupação desses professores centra-se

em preparar os alunos para o vestibular. Por outro lado, o uso expressivo de lista de

exercícios e do livro didático, reforma a concepção tradicional de ensino.

Durante a aplicação do questionário presenciamos um momento de

ensino e aprendizagem em sala de aula em que a professora realizava com a turma

atividades com base em questões contextualizados, o que já é previsto no currículo

escolar, a resolução de problemas, embora não seja bem destacado no processo de

aprendizagem como podemos observar nos dados obtidos desta e da próxima

subseção.

Embora a maioria dos professores afirmaramnão ensinar os conteúdos de

função afim e função quadrática do mesmo modo que aprendeu, a maioria ainda

ensina de forma tradicional (definição, exemplo, exercício). O que denota a falta de

preparação didática que estimula professores a repetir os modelos os quais, um dia,

vivenciaram, conforme salientou Pimenta (2011, p. 35).

Questão 16 – Realizou o ensino de Função Afim por meio de experimento?

Questão 17 – Realizou o ensino de Função Quadrática por meio de

experimento?

70

Tabela 12– Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento

Afim Quadrática

Sim F.A 2 1

% 4% 2%

Não F.A 46 47

% 92% 94%

Não informaram F.A 2 2

% 4% 4%

Total F.A 50 50

% 100% 100%


Gráfico 12 – Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento


Procuramos verificar se os professores consultados já haviam realizado o

ensino de funções por meio de experimentos e contatamos que dos 50 professores

apenas 2 afirmaram realizar o ensino da função afim por meio de experimentos, 46

não realizaram o ensino do conteúdo por experimento e 2não informaram; e apenas

1 dos professores afirmaram utilizar o ensino de função quadrática por meio de

experimentos, 47 não realizaram o ensino deste conteúdo por experimento e 2 não

informaram.

Questão 18 – Grau de dificuldade dos alunos no aprendizado de funções

Os professores foram inquiridos a destacar quais dos tópicos dos

conteúdos de função afim e quadrática costumavam ministrar e a avaliar o grau de

dificuldades dos discentes no aprendizado das funções afim e quadrática,

46 47

2 1 2 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Afim Quadrática

Pro

fes

so

res

Não

Sim

Não informaram

71

destacando cada tópico destes conteúdos, a partir de suas experiências

profissionais em sala de aula, conforme o quadro a seguir.

Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores

(continua)

Nº Conteúdo

Você costuma

ministrar?

Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Sim

Não

Mu

ito

Fácil

Fácil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

Dif

ícil

01 Definição da Função Afim [

( ) ,f x ax b 0a ] 100% 0% 2% 52% 36% 10% 0%

02 Gráfico da Função Afim 100% 0% 0% 43% 45% 12% 0%

03 Função constante [ ( )f x b ] 100% 0% 10% 58% 22% 10% 0%

04 Função linear [ ( )f x ax ,

0a ] 100% 0% 0% 64% 26% 10% 0%

05 Função identidade [ ( )f x x ] 100% 0% 2% 64% 24% 10% 0%

06 Domínio e Imagem de uma Função Afim

100% 0% 2% 42% 40% 16% 0%

07 Crescimento e decrescimento da Função Afim

100% 0% 4% 40% 42% 14% 0%

08 Zero ou raiz da Função Afim 100% 0% 6% 62% 22% 10% 0%

09 Estudo do Sinal da Função Afim

96% 4% 0% 38% 46% 16% 0%

10 Inequação do 1º grau [

0ax b , 0ax b ] 100% 0% 0% 30% 44% 26% 0%

11

Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Afim

98% 2% 2% 20% 50% 14% 0%

12

Definição da Função Quadrática [ 2( )f x ax bx c ,

0a ]

100% 0% 0% 44% 46% 10% 0%

13 Gráfico da Função Quadrática

100% 0% 0% 36% 50% 14% 0%

14 Função Quadrática do tipo

2( )f x ax bx , com 0a 100% 0% 0% 38% 30% 32% 0%


2( )f x ax c , com 0a 100% 0% 0% 30% 40% 22% 0%


2( )f x ax , com 0a 100% 0% 6% 30% 48% 16% 0%

72

Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores

(conclusão)

17 Domínio e Imagem de uma Função Quadrática

100% 0% 0% 34% 50% 16% 0%

18 Zeros ou raízes da Função Quadrática

100% 0% 6% 40% 38% 16% 0%

19 Concavidade da parábola 100% 0% 14% 40% 30% 16% 0% 20 Vértice da parábola 100% 0% 6% 38% 42% 14% 0%

21 Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática

100% 0% 2% 50% 36% 12% 0%

22 Estudo do Sinal da Função Quadrática

100% 0% 0% 24% 48% 28% 0%

23 Inequação do 2º grau

2 0ax bx c e 2 0ax bx c 96% 4% 0% 18% 50% 32% 0%

24

Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Quadrática

98% 2% 0% 16% 46% 38% 0%


Observamos no quadro 2 que a maioria dos professores costumava

ministrar todos os tópicos de função afim e quadrática, com exceção de 2 que não

costumavam ministravam inequação do 1º e do 2º grau e 1 que não costumava

ministrar situações-problemas sobre função afim e sobre função quadrática.

De acordo com a opinião dos professores consultados os alunos

apresentam maior dificuldade na resolução de problemas, sendo que 32

consideraram de regular a difícil, situações-problemas sobre função afim e 42

consideram de regular a difícil, situações-problemas envolvendo função quadrática.

Os demais tópicos do conteúdo de função afim e quadrática, a maioria dos

professores considerou como regular o grau de dificuldade para os alunos

aprenderem, com exceção da definição da função afim, dos tipos de função afim, do

zero da função afim, dos zeros da função quadrática, da concavidade da parábola e

do valor de máximo e de mínimo considerados grau de dificuldade fácil. Vale

destacar que os BRASIL (2006, p.83) apontam o quanto é importante, para o

exercício da cidadania, a competência de analisar um problema e tomar as decisões.

73

Questão 19.1 – Tempo aproximado para ministrar aulas de função afim

Tabela 13–Tempo aproximado para ministrar função afim

Hora/aula F.A %

2-6 23 46% 7-11 16 32% 12-16 11 22%

Total 50 100%


Gráfico 13 – Tempo aproximado para ministrar função afim


Questão 19.1 – Tempo aproximado para ministrar aulas de função quadrática

Tabela 14–Tempo aproximado para ministrar função quadrática

Hora/aula F.A %

4-9 19 38% 10-15 24 48% 16-21 7 14%

Total 50 100%


Gráfico 14 – Tempo aproximado para ministrar função quadrática


23

16 11

05

101520253035404550

2-6 h/a 7-11 h/a 12-16 h/a

Pro

fes

so

res

19

24

7

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

4-9 h/a 10-15 h/a 16-21 h/a

Pro

fes

so

res

74

Indagamos os professores sobre o tempo que eles levam para ministrar o

conteúdo de função afim em sala de aula e os dados revelam que a maioria, 23,

levam de 2 a 6 horas/aulas, 16 levam de 7 a 11 horas/aulas e 11 levam de 12 a 16

horas/aulas. Com relação a função quadrática 19 levam de 4 a 9 horas/aulas para

ministrar este conteúdo, 24 levam de 10 a 15 horas/aulas e 7 levam de 16 a 21

horas/aulas. Dentre eles um dos professores de matemática, cujo conteúdo de

função afim estava previsto para ser ministrado em 2 h/a e o conteúdo de função

quadrática em 4 h/a, ressaltou que este tempo foi estipulado durante o planejamento

escolar visando alcançar os demais conteúdos para o vestibular.

Entendemos a importância de o professor cumprir o extenso conteúdo

destinado a cada série de ensino, no caso do 1º ano do ensino médio BRASIL

(2000, p. 128) aponta:

Noção de função; funções analíticas e não-analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica.

Trigonometria do triângulo retângulo.

Geometria plana: semelhança e congruência; representações de figuras.

Estatística: descrição de dados; representações gráficas.

E refletimos até que ponto a pressão do vestibular, impulsionando os professores a

terminarem os assuntos de forma rápida pode afetar o desempenho cognitivo do

aluno.

Questão 20 – Atividades extracurriculares em que os professores trabalham a

Matemática

Tabela 15–Tipos de atividades em que trabalha aulas de matemática

Atividades F.A %

Feira da cultura 12 24%

Não trabalha 23 46%

Feira e Campo 2 4%

Feira e jogos 5 10%

Campo e data comemorativa 1 2%

Feira, Jogos e Datas comemorativas 2 4%

Jogos e datas comemorativas 3 6%

Feira e Informática 2 4%

Total 50 100%


75

Gráfico 15 – Tipos de atividades que o professor trabalha matemática


Em se tratando de atividades extracurriculares buscamos identificar em

quais tipos de atividades os professores consultados costumavam trabalhar a

matemática no ensino básico independente do conteúdo abordado, os resultados

apontam que 12 trabalhavam a matemática em feira da cultura, 2 em feira da cultura

e aulas de campo, 5 em feira da cultura e jogos, 1 em aulas de campo e datas

comemorativas, 2 em feira da cultura, jogos escolares e datas comemorativas, 3 em

jogos escolares e datas comemorativas, 2 em feira da cultura e informática e a

maioria, 23, não desenvolviam nenhum tipo de atividade extracurricular para ensinar

matemática em nenhuma das situações citadas.

Questão 21 – A escola disponibiliza de um laboratório de Matemática?

Tabela 16–Laboratório de Matemática

F.A %

Sim 7 14%

Não 38 76%

Não informaram 5 10%

Total 50 100%


23

12

5

3

2

2

2

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Não trabalha

Feira da cultura

Feira e jogos

Jogos e datas comemorativas

Feira e Campo

Feira e Informática

Feira, Jogos e Datas comemorativas

Campo e data comemorativa

Professores

76

Gráfico 16 – Escola disponibiliza laboratório de Matemática


Com relação a laboratórios de matemática verificamos que apenas 7 dos

professores afirmaram ter laboratório de matemática na escola em que eles

trabalham e aplicamos o questionário, 5 não informaram, e a maioria 38 afirmaram

não haver laboratório de matemática ou que o este estaria em construção e um não

estava funcionando, pois estava sendo usado como depósito.

Compreendemos que a falta de laboratórios de matemática pode ser um

dos fatores que colaboram para a escassa utilização de métodos diferenciados, haja

vista que os professores não dispõe de material necessário na escola para modificar

suas práticas e como alguns professores destacaram no momento em que

aplicamos o questionário, outro fator seria o pouco tempo que eles dispõe para

preparar as aulas, o que dificulta a procura por outras abordagens.

Questão 22 – A escola disponibiliza de um laboratório de informática?

Tabela 17–Laboratório de Informática

F.A %

Sim. Com computadores suficientes para uma turma 17 34%

Sim. Com computadores insuficientes para uma turma 32 64%

Não disponibiliza de um laboratório de informática 1 2%

Total 50 100%


5 7

38

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Nãoinformaram

Sim Não

Pro

fes

so

res

77

Gráfico 17 – Escola disponibiliza laboratório de informática


No caso do laboratório de informática, 17 dos professores afirmaram que

a escola em que trabalhavam possuía laboratório de informática com computadores

suficiente para uma turma, levando em consideração computadores suficientes seria

uma quantidade que permitisse trabalhar em duplas ou trios em cada computador,

32, a maioria, afirmou que as escolas possuíam laboratório de informática mas com

computadores insuficientes para uma turma e 1 afirmou não disponibilizar de

laboratório de informática.

Questão 23 – A escola proporciona momentos de planejamento das aulas entre

os professores?

Tabela 18–Momentos de planejamento entre os professores oferecido pela escola

F.A %

Sim 24 48%

Não 17 34%


Total 50 100%


1

17

32

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Não disponibilizade um laboratório

de informática

Sim. Comcomputadores

suficientes parauma turma

Sim. Comcomputadores

insuficientes parauma turma

Pro

fes

so

res

78

Gráfico 18 – Momentos de planejamento das aulas oferecidos pela escola


Sobre os momentos de planejamento das aulas entres os professores 24

afirmam que a escola proporciona esses momentos, 17 afirmam que a escola não

disponibiliza esses momento e 9 não informaram.

Questão 24 – A escola disponibiliza atividades de nivelamento/aulas de reforço

para os alunos com baixo desempenho na disciplina?

Tabela 19–Atividades de nivelamento/reforço ofertado pela escola

F.A %

Sim 25 50%

Não 25 50%

Total 50 100%


Gráfico 19 – Atividades de nivelamento


9

17

24

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Nãoinformaram

Não Sim

Pro

fes

so

res

25 25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Sim Não

Pro

fes

so

res

79

Buscamos investigar ainda se a escola disponibiliza atividades de

nivelamento/aulas de reforço para os alunos com baixo desempenho na disciplina e

dos 50 professores consultados 25 afirmou não disponibilizar esse tipo de atividade

e os outros 25 confirmou que a escola disponibiliza atividades de

nivelamento.Inclusive um dos professores relatou aimportanciadesta atividade e que

isto não ocorre nesta escola pública dentre as quais fomos aplicar o questionário,

mas que em outra escola da rede privada em que esse professor trabalha há, e ele

considera uma boa mudança nos resultados, e outro professor citaram o projetoMais

Educação funcionando nesse sentido.

Questão 25 – Quais recursos a escola disponibiliza para os professores

utilizarem dentro da sala de aula?

Tabela 20 – Recursos disponibilizados pela escola para uso do professor em sala de aula

Recursos F.A %

Livro 2 4%

Pincel e lousa 2 4%

Livro, Pincel e Lousa 18 36%

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook 3 6%

Livro, Pincel e lousa e DataShow 5 10%

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook e DataShow 11 22%

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow e jogos 1 2%

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow, jogos e calculadora

1 2%

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow e software educativo

2 4%

Livro, Pincel e lousa, DataShow e calculadora 5 10%

Total 50 100%


80

Gráfico 20 – Recursos disponibilizados pela escola para o professor


O livro e o pincel e lousa são os principais recursos destacados pelos

professores que as escolas disponibilizam para uso do professor em sala de aula,

representado por 18 das respostas, em segundo lugar o livro didático, pincel e lousa,

computador/notebook e data show são recursos bastante disponibilizados pela

escola, 11 das respostas, apenas 1 dos professores consultados destacaram o Livro,

Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow, jogos e calculadora. Desses

materiais a calculadora, os jogos e softwares educativos são os recursos com menor

frequência disponibilizados pela escola.


VISÃO DE DISCENTES

Com o objetivo de obter um diagnóstico local a respeito das dificuldades

dos alunos em relação à aprendizagem das funções, afim e quadrática, realizamos

uma consulta a alunos que já haviam cursado o 1º ano do Ensino Médio em escolas

públicas no município Belém no estado do Pará.

18

11

5

5

3

2

2

2

1

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Livro, Pincel e Lousa

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook eDataShow

Livro, Pincel e lousa e DataShow

Livro, Pincel e lousa, DataShow e calculadora

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook

Livro

Pincel e lousa

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow e software educativo

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow e jogos

Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow, jogos e calculadora

Professores

81

A consulta foi realizada por meio de um questionário (cf. apêndice B)

contendo questões sobre dados pessoais dos discentes (questões 1 e 2), dados

familiares (questões 3, 4, 5 e 6), dados escolares (questões 7, 8, 9, 10 e 11), dados

sobre a relação do aluno com a matemática (questões 12, 13, 14, 15, 16 e 21),

dados sobre a forma como foi desenvolvido o conteúdo de funções afim e quadrática

por seus professores (questões 17, 18, 19 e 20), dados sobre o grau de dificuldades

sentidas pelos alunos para o aprendizado de funções afim e quadrática (questão 22)

e questões envolvendo o conteúdo defunção afim e função quadrática, com o

objetivo de verificar qual o nível de domínio dos alunos sobre esses conteúdos.

O instrumento de pesquisa foi aplicado a 100 (cem) alunos do 2º ano do

ensino médioem duas escolas, uma localizada na periferia de Belém, na mesma

escolana qual foi desenvolvido o experimento e a outra situada no centro de Belém,

ambas da rede pública estadual. A consulta foi realizada durante o mês de

novembro e dezembro de 2012, sendo aplicado em sala de aula, contando com a

participação de cinco turmas; duas da escola na qual foi aplicado o experimento,

sendo uma do turno da manhã e uma do turno da tarde, e três turmas do turno da

manhã de outra escola. As duas turmas representam o quantitativo total de alunos

do 2º ano do ensino médio da escola em que foi aplicado o experimento e esses

alunos em sua maioria também cursaram o 1º ano do ensino médio nesta mesma

escola, nos dando uma ideia mais precisa de como o ensino de funções, afim e

quadrática foi desenvolvido nessa escola.

O critério adotado para a seleção dos sujeitos foi que já tivessem

estudado o conteúdo de funções afim e quadrática e que fossem alunos do 2º ano

do ensino médio, uma vez que nesta série possivelmente os alunos estariam com

esses assuntos mais recentes já que o conteúdo de funções é visto no 9º ano do

ensino fundamental e no 1º ano do ensino médio. A seguir mostramos a

sistematização dos resultados obtidos com a aplicação do questionário a alunos.

82

Questão 1 – Idade? e Questão 2 – Sexo?

Tabela 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados

Faixa etária

Sexo


15 anos F. A. 0 2 2

% 0% 2% 2%

16 anos F. A. 22 11 33

% 22% 11% 33%

17 anos F. A. 20 19 39

% 20% 19% 39%

18 anos F. A. 9 8 17

% 9% 8% 17%

19 anos F. A. 2 2 4

% 2% 2% 4%

20 anos F. A. 1 2 3

% 1% 2% 3%

21 anos F. A. 0 1 1

% 0% 1% 1%

22 anos F. A. 0 1 1

% 0% 1% 1%

Total F. A. 54 46 100

% 54% 46% 100%


Gráfico 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados


0%

22%

20%

9%

2%

1%

0%

0%

2%

11%

19%

8%

2%

2%

1%

1%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

15 anos

16 anos

17 anos

18 anos

19 anos

20 anos

21 anos

22 anos

Femenino

Masculino

83

Observamos dentre os dados coletados dos alunos do 2º ano do ensino

médio que54% eram homens e 46% eram mulheres. Quanto a idade dos alunos

consultados os dados revelam que 2% tinham 15 anos, 33% tinham 16 anos e 65%

tinham idade igual ou superior a 17 anos. O que representa que a maioria destes

alunos estava em uma faixa etária superior a enfatizada pela LDB para o 2º ano do

ensino médio que prevê o ingresso do aluno no ensino médio com 15 anos de idade,

e consequentemente com 16 no 2º ano, se seguir corretamente as etapas de

obrigatoriedade de 7 a 14 anos no ensino fundamental.

Questão 3 – Quem é seu responsável?

Tabela 22 – Responsável do aluno


Gráfico 22 – Responsável do aluno


1% 1% 2% 4% 4% 6% 14% 17%

51%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Eumesmo

Avô eAvó

Irmão Avó Tia Avô Pai eMãe

Pai Mãe

Responsável F.A %

Mãe 51 51% Pai 17 17% Pai e Mãe 14 14% Avô 6 6% Avó 4 4% Tia 4 4% Irmão 2 2% Eu mesmo 1 1% Avô e Avó 1 1%

Total 100 100%

84

Questão 4 – Qual o nível de escolaridade de seu responsável?

Tabela 23 – Escolaridade do responsável do aluno

Escolaridade F.A %

Não escolarizado 2 2% Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª série/1º ao 5º ano) 8 8% Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª série/6º ao 9º ano) 15 15% Ensino Fundamental Completo 11 11% Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau) 10 10% Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau) 45 45% Ensino Superior (bacharelado, licenciatura ou tecnólogo) 9 9% Total 100 100%


Gráfico 23 – Escolaridade do responsável do aluno


Questão 5 – Seu responsável trabalha?

Tabela 24 – Responsável trabalha

Trabalha F.A %

Sim 76 76%

Não 24 24%

Total 100 100%


45%

15%

11%

10%

9%

8%

2%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)

Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ªsérie/6º ao 9º ano)

Ensino Fundamental Completo

Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)

Ensino Superior (bacharelado, licenciaturaou tecnólogo)

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ªsérie/1º ao 5º ano)

Não escolarizado

85

Gráfico 24 – Responsável trabalha


Questão 6 – Você trabalha de forma remunerada?

Tabela 25 – Aluno trabalha de forma remunerada

Trabalha F.A %

Sim 10 10%

Não 74 74%

Às vezes 15 15%


Total 100 100%


Gráfico 25 – Aluno trabalha de forma remunerada


A maioria dos alunos (82%) tinha como responsável o pai e/ou a mãe. Os

responsáveis concluíram em sua maioria o ensino médio (45%), apenas 9% dos

responsáveis possuía ensino superior. A maioria dos responsáveis (76%) possuía

24%

76%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Não Sim

Não

Sim

1% 10%

15%

74%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Nãoinformaram

Sim Às vezes Não

86

emprego, dos 24% restantes, alguns alunos afirmaram durante a pesquisa que seus

responsáveis eram aposentados, nesse grupo constava os avós outros disseram

que seus responsáveis não possuíam emprego. O que indicava que a maioria dos

alunos tinha pelo menos um dos responsáveis cuidando de sua subsistência. Com

relação aos alunos que trabalhavam de forma remunerada apenas 10% afirmou

trabalhar dessa forma, 15% indicou que às vezes e a maioria (74%) declarou não

trabalhar de forma remunerada.

Questão 7 – Você cursou o ensino fundamental em que tipo de escola?

Tabela 26 – Tipo de escola

Rede de ensino F.A %

Estadual 76 76%

Municipal 15 15%

Particular 6 6%

Estadual e Municipal 2 2%

Estadual e Particular 1 1%

Total 100 100%


Gráfico 26 – Tipo de escola


Dos 100 alunos consultados os dados revelam que 93% haviam cursado

o ensino fundamental somente em escolas públicas, sendo que destes 76% cursou

o ensino médio somente em escola estadual e 15% somente em escola municipal.

76%

15%

6%

2%

1%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

Estadual

Municipal

Particular

Estadual e Municipal

Estadual e Particular

87

Questão 8 – A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora?

Tabela 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora

F.A %

Sim 41 41%

Não 59 59%

Total 100 100%


Gráfico 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora


A maioria dos alunos (59%) afirmou não estudar no mesmo bairro que

mora. No entanto, com relação aos discentes que estudam na escola do

experimento a maioria, com exceção de cinco alunos, estudam na escola de seu

bairro.

Questão 9 – Você faz algum curso?

Tabela 28 – Cursos

Cursos F.A %

Informática 27 27% Língua Estrangeira 11 11% Cursinho pré-vestibular 7 7%

Língua estrangeira e Informática 2 2% Língua Estrangeira e Cursinho pré-vestibular 1 1%

Informática e Administração e logística 1 1% Garçom 1 1%

Informática, Língua estrangeira e Comércio e varejo 1 1% Gestão empresarial 1 1% Petróleo e gás 1 1% Atendente de farmácia 1 1%

Nenhum curso 46 46% Total 100 100%


41%

59%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Sim Não

88

Gráfico 28 – Cursos


Procuramos investigar se os alunos possuíam algum curso além do

ensino regular, os dados revelaram que a maioria (54%) fizeram ou estavam fazendo

algum curso dentre eles informática (31%), Língua estrangeira (15%) e Cursinho pré-

vestibular (8%); em menor percentual, mas também foram evidenciados alguns

cursos profissionalizantes como: Gestão Empresarial, Atendente de Farmácia,

Petróleo e Gás dentre outros.

Questão 10 – Você pratica algum esporte regularmente?

Tabela 29 – Pratica esporte

F.A %

Sim 49 49%

Não 51 51%

Total 100 100%


Gráfico 29 – Pratica esporte


0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

Nenhum curso

Informática

Língua Estrangeira

Cursinho pré-vestibular

Língua estrangeira e Informática

Língua Estrangeira e Cursinho pré-…

Informática e Administração e logística

Garçom

Informática, Língua estrangeira e…

Gestão empresarial

Petróleo e gás

Atendente de farmácia

49% 51%

10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Sim Não

89

Quanto a prática de esporte houve um empate técnico com 49% dos

alunos que afirmaram praticar esportes regularmente dentre eles: futebol, vôlei,

basquete, corrida, musculação, futsal, natação, esgrima, muaithai, tai kondo, karatê.

A pesquisa realizada por Oliveira (2012, p. 26-44) com alunos e

professores sobre a prática de esportes regular e a influência desta no desempenho

escolar, evidenciouque o esporte pode tanto ajudar quanto ser prejudicial ao

rendimento escolar do aluno.Pois, contribui para a disciplina, a disposição para

realizar as tarefas, a concentração, a responsabilidade e a organização e

consequentemente para melhora no aprendizado, se aliado a administração do

tempo de prática e ao apoio familiar, escolar e sócio-econômico, do contrário pode

haver uma desvalorização dos estudos e a priorização excessiva dos treinos.

.

Questão 11 – Você já ficou em dependência?

Tabela 30 – Dependência

F.A %

Sim 41 41%

Não 59 59%

Total 100 100%


Gráfico 30 – Dependência


Procuramos verificar se os alunos já haviam ficado em dependência em

alguma matéria e caso sim que identificassem a disciplina e a série. Dos alunos

consultados 41% já ficou em dependência em algumas disciplina, dentre elas:

Matemática com ocorrências em todos os anos do ensino fundamental e 1º ano do

ensino médio; Português com ocorrência no 6º e 7º ano; Ciências no 6º e 9º ano;

41%

59%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Sim Não

90

arte no 7º e 8º ano e Sociologia, Biologia, Inglês, História, Física e Química no 1º

ano do ensino médio.

Questão 12 – Você gosta de Matemática?

Tabela 31 – Gosta de Matemática

F.A %

Nenhum pouco 27 27%

Pouco 60 60%

Muito 13 13%

Total 100 100%


Gráfico 31 – Gosta de Matemática


No que se refere ao sentimento dos alunos pela matemática constatamos

que 73% dos alunos gostam desta disciplina, sendo que 60% gostavam um pouco e

13% gostavam muito; enquanto que 27% não gostavam nenhum pouco.

Questão 13 – Você tem dificuldade para aprender matemática?

Tabela 32 – Dificuldade em Matemática

F.A %

Não 17 17%

Um pouco 57 57%

Muito 26 26%

Total 100 100%


13%

27%

60%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Muito Nenhum pouco Pouco

91



Com relação a dificuldade em aprender matemática apenas 17% dos

alunos consultados declarou não ter dificuldade, a maioria alegou possui um pouco

de dificuldade (57%) ou muita dificuldade (26%) em aprender a disciplina.

Questão 14 – Você se distrai nas aulas de matemática?

Tabela 33 – Distrai nas aulas Matemática

F.A %

Não, eu sempre presto atenção 28 28% Sim, eu não consigo prestar atenção 16 16% Às vezes, quando a aula está chata 56 56% Total 100 100%


Gráfico 33 – Distrai nas aulas de Matemática


17%

26%

57%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Não Muito Um pouco

16%

28%

56%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Sim, eu nãoconsigo prestar

atenção

Não, eu semprepresto atenção

Às vezes,quando a aula

está chata

92

Com relação às aulas de matemática a maioria alegou se distrair durante

as aulas, 56% dos alunos se distrai às vezes quando a aula está chata, 16% se

distraem por não conseguirem prestar atenção e apenas 28% alegam sempre

prestar atenção nas aulas de matemática. Podemos atribuir esse desinteresse a

forma como vem sendo conduzidas as aulas, na maioria das vezes de forma

tradicional, não possibilitando que o aluno participe mais ativamente do processo de

aprendizagem.

Questão 15 – Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?

Tabela 34 – Estuda matemática em outros horários

F.A %

Só no período de prova 47 47%

Só na véspera da prova 23 23%

Só nos fins de semana 9 9%

Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) 14 14%

Não costumo estudar fora do horário de aula 7 7%

Total 100 100%


Gráfico 34 – Estuda matemática em outros horários


Os dados evidenciam que a maioria dos alunos consultados (77%) não

possui o hábito de estudar matemática fora do horário de aula apenas 23%

afirmaram estudar a matéria alguns dias da semana ou nos fins de semana. O que

pode ser um dos fatores que influencia no baixo rendimento do aluno, pelo fato de

47%

23%

14%

9%

7%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

Só no período de prova

Só na véspera da prova

Alguns dias na semana (2 ou 3 dias)

Só nos fins de semana

Não costumo estudar fora do horário de aula

93

não fixar os conteúdos ou não buscar exercitar os conhecimentos apreendidos a fim

de melhorar seu desempenho.

Questão 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

Tabela 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática

F.A %

Ninguém 54 54% Professor particular 16 16% Amigo(a) 10 10% Irmão 8 8% Mãe 4 4% Pai 3 3% Primo 2 2% Cunhado 1 1% Namorado(a) 1 1% Mãe e Amigo(a) 1 1% Total 100 100%


Gráfico 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática


Com relação as tarefas extraclasse perguntamos aos alunos quem lhes

ajudava nas tarefas de matemática e a maior frequência (54%) alegou não receber

ajuda, seguido vem os que afirmaram receber ajuda de professor particular (16%) ou

de amigos (10%).

54%

16%

10%

8%

4%

3%

2%

1%

1%

1%

0% 10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

Ninguém

Professor particular

Amigo(a)

Irmão

Mãe

Pai

Primo

Cunhado

Namorado(a)

Mãe e Amigo(a)

94

Questão 17 – Como começaram a maioria das aulas quando você estudou

Função Afim?

Questão 18 – Como começaram a maioria das aulas quando você estudou

Função Quadrática?

Tabela 36 – Aulas de função afim e quadrática

Método Afim Quadrática

iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios

F.A 76 78

% 76% 78%

iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto

F.A 12 9

% 12% 9%

iniciaram coma História do assunto para depois explorar os conceitos

F.A 10 5

% 10% 5%

iniciaram com um experimento para chegar ao conceito

F.A 1 2

% 1% 2%

iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

F.A 1 6

% 1% 6%

iniciaram com jogos para depois sistematizar os conceitos

F.A 0 0

% 0% 0% Total F.A 50 50

% 100% 100%


Gráfico 36 – Aulas de função afim e quadrática


78%

9%

5%

2%

6%

0%

76%

12%

10%

1%

1%

0%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

iniciaram pela definiçãoseguida de exemplos e…

iniciaram com uma situaçãoproblema para depois…

iniciaram com a História doassunto para depois…

iniciaram com umexperimento para chegar…

iniciaram com um modelopara situação e em…

iniciaram com jogos paradepois sistematizar os…

Afim

Quadrática

95

No que diz respeito ao ensino de função afim, 76% dos alunos declararam

que seus professores costumavam desenvolver o conteúdo por meio de aulas

expositivas, começando com a definição, seguida de exemplos e exercícios; 12%

iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto; 10%

iniciaram com a História do assunto; 1% iniciaram com um experimento para chegar

ao conceito; 1% iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o

modelo e nenhum utilizou jogos para introduzir o assunto.

No que diz respeito ao ensino de função quadrática, 78% dos alunos

declararam que seus professores costumavam desenvolver o conteúdo por meio de

aulas expositivas, começando com a definição, seguida de exemplos e

exercícios;9% iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o

assunto; 6% iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o

modelo; 5% iniciaram com a História do assunto; 2% iniciaram com um experimento

para chegar ao conceito e nenhum utilizou jogos para introduzir o assunto.

Questão 19 – Para fixar o conteúdo de Função Afim, seu professorcostumava?

Questão 20 – Para fixar o conteúdo de Função Quadrática, seu professor

costumava?

Tabela 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática


Recursos Afim Quadrática

Lista de exercícios F.A 62 64

% 62% 64%

Exercícios do livro didático F.A 26 28

% 26% 28%

Jogos F.A 7 3

% 7% 3%

Procurar questões F.A 3 3

% 3% 3%

Não propor questões de fixação F.A 2 2

% 2% 2%

Total F.A 100 100

% 100% 100%

96

Gráfico 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática


Em se tratando do método para fixar o conteúdo de função afim os alunos

informaram que 62% dos seus professores costumavam apresentar uma lista de

exercícios para serem resolvidos, 26% solicitavam que os alunos resolvessem

questões do livro didático, 7% apresentavam jogos envolvendo o assunto, 3%

solicitavam que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver e

2% não propõe questões de fixação.

Com relação ao método para fixar o conteúdo de função quadrática os

alunos informaram que 64% dos seus professores costumavam apresentar uma lista

de exercícios para serem resolvidos, 28% solicitavam que os alunos resolvessem

questões do livro didático, 3% não propõe questões de fixação, 3% apresentavam

jogos envolvendo o assunto, 2% solicitavam que os alunos procurassem questões

sobre o assunto.

Questão 21 – Você usa vê/percebe os conteúdos de matemática que você

aprende na escola em atividades/situações do dia a dia?

Tabela 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia

F.A %

Sim 57 57%

Não 34 34%


Total 100 100%


64%

28%

3%

3%

2%

62%

26%

7%

3%

2%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Lista de exercícios

Exercícios do livro didático

Jogos

Procurar questões

Não propor questões defixação

Afim

Quadrática

97

Gráfico 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia


Buscamos saber se o aluno vê ou percebe os conteúdos matemáticos

que ele aprende na escola em atividade ou situações do dia a dia, e 57%

responderam positivamente, 34% não vê/percebe e 9% não informaram.

Questão 22 – Grau de dificuldade do aluno

Solicitamos que os alunos destacassem dentre os tópicos de função afim

e quadrática os que eles haviam estudado e destes qual o grau de dificuldades que

eles tiveram em aprender os conteúdos. Obtemos os dados a seguir:

Quadro 4 – Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática,

segundo os discentes (continua)

Nº Conteúdo

Você estudou?

Grau de dificuldade

Sim

Não

Mu

ito

Fácil

Fácil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

Dif

ícil

01 Definição da Função Afim [

( ) ,f x ax b 0a ] 100% 0% 3% 12% 56% 25% 4%

02 Gráfico da Função Afim 97% 3% 2% 16% 44% 30% 5%

03 Função constante [ ( )f x b ] 92% 8% 2% 10% 51% 25% 4%

04 Função linear [ ( )f x ax ,

0a ] 90% 10% 2% 6% 53% 27% 2%

05 Função identidade [ ( )f x x ] 82% 18% 0% 11% 39% 27% 5%

06 Domínio e Imagem de uma Função Afim

91% 9% 3% 11% 46% 26% 5%

9%

34%

57%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Nãoinformaram

Não Sim

98

Quadro 4 - Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática, segundo os discentes

(conclusão)

7 Crescimento e decrescimento da Função Afim

86% 14% 2% 7% 46% 26% 5%

08 Zero ou raiz da Função Afim

91% 9% 4% 9% 44% 30% 4%

09 Estudo do Sinal da Função Afim

85% 15% 3% 13% 33% 30% 6%

10 Inequação do 1º grau [

0ax b , 0ax b ] 87% 13% 0% 13% 39% 29% 6%

11


83% 17% 1% 5% 33% 36% 8%

12

Definição da Função Quadrática [ 2( )f x ax bx c ,

0a ]

93% 7% 3% 10% 40% 32% 8%

13 Gráfico da Função Quadrática

91% 9% 1% 9% 45% 28% 8%


2( )f x ax bx , com 0a 88% 12% 2% 9% 49% 25% 3%


2( )f x ax c , com 0a 85% 15% 2% 9% 48% 23% 3%


2( )f x ax , com 0a 83% 17% 3% 13% 39% 23% 5%

17 Domínio e Imagem de uma Função Quadrática

85% 15% 2% 10% 36% 31% 6%

18 Zeros ou raízes da Função Quadrática

87% 13% 4% 9% 35% 32% 7%

19 Concavidade da parábola 85% 15% 3% 12% 25% 39% 6% 20 Vértice da parábola 89% 11% 3% 9% 33% 36% 8%

21 Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática

84% 16% 1% 8% 32% 35% 8%

22 Estudo do Sinal da Função Quadrática

85% 15% 1% 10% 34% 32% 8%

23 Inequação do 2º grau

2 0ax bx c e 2 0ax bx c 80% 20% 4% 5% 33% 25% 13%

24


84% 16% 1% 4% 37% 40% 2%


99

Analisando o quadro 3 observamos que alguns alunos não estudaram

alguns tópicos de funções, sendo o percentual mais acentuado referente aos

tópicos: função identidade, função quadrática do tipo [f(x)=ax2], valor de máximo e

de mínimo, inequação do 2º grau e situações-problemas sobre função afim e

quadrática, com um percentual de 17% em média.

Verificamos que para um número significativo de alunos o aprendizado da

função afim e quadrática tinha um grau de dificuldades regular, sendo que alguns

tópicos de função quadrática eram considerados difícil. Confirmando em parte a

avaliação feita pelos professores, em que a maioria dos tópicos foi considerado

regular e alguns foram fácil.

Os tópicos mais apontados pelos alunos como de difícil aprendizagem

referiam-se a situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre função afim

e quadrática, a concavidade da parábola e o vértice da parábola. Esses tópicos são

considerados em sua maioria como regular para os professores.

Menina (2009, p. 225) afirma que as dificuldades apresentadas pelos

alunos sobre resolução de problemas podem estar relacionadas com a incapacidade

de se relacionarem com o novo e desconhecido ou com o fato de não conseguirem

estabelecer relações entre diversos conteúdos e/ou efetuar generalizações e

transferências entre diferentes situações e contextos.

Comparamos a seguir a avaliação realizada pelos docentes e discentes

com o desempenho destes últimos na resolução das questões dos testes sobre

função afim e quadrática, com a intenção de identificar o nível de domínio dos

alunos em relação aos conteúdos citados.

100

Quadro 5 – Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e os desempenhos dos alunos no teste

Nº Questão

Conteúdo matemático

relacionado a questão

Grau de dificuldade declarado

pelos docentes

Grau de dificuldade declarado

pelos discentes

Resultados do teste

Acertos Erros Não Fez

FUNÇÃO AFIM

1 Q1a

Definição Fácil Regular

49% 31% 20%

2 Q1b 10% 3% 87%

3 Q2 1% 2% 97%

4 Q3a Gráfico Regular Regular 6% 10% 84%

5 Q3b Crescimento e decrescimento

Regular Regular 0% 10% 90%

6 Q4a Problema Regular Difícil 3% 0% 95%

7 Q4b Domínio e imagem

Fácil Regular 8% 0% 92%

8 Q5 Zero da função Fácil Regular 4% 6% 90%

FUNÇÃO QUADRÁTICA

9 Q1a Definição Regular Regular

51% 18% 31%

10 Q1b 12% 1% 87%

11 Q2a Gráfico Regular Regular 0% 4% 96%

12 Q2b Concavidade da parábola

Fácil Difícil 3% 2% 95%

13 Q3 Zeros da função

Fácil Regular 4% 0% 96%

14 Q4a Vértice,valor de máximo e de mínimo

Fácil Difícil 0% 0%

100%

15 Q4b 0% 0% 100%

16 Q5 Problema Regular Difícil 0% 0% 100%


Analisando o quadro observamos que o desempenho dos alunos foi muito

aquém do considerado por eles e pelos professores nas avaliações, sendo

registrado um percentual muito alto de questões não resolvidas em todo o teste. O

que nos levou a inferir que os procedimentos de ensino aos quais esses alunos

foram submetidos, dentre outros fatores,não tem contribuído de fato para resolverem

questões sobre os diferentes tópicos do conteúdo de função afim e função

quadrática.

E ainda que fatores, tais como:pouco tempo de estudo, falta de interesse

pela disciplina, falta de incentivo ou ajuda nas atividades extracurriculares, pouco

tempo que o professor possui para preparar suas aulas e buscar abordagens

101

diferenciadas, pouco empenho por parte da escola em atividades de reforço e a

escassa disponibilidade na escola de recursos de aprendizagem, laboratórios, etc.,

tem colaborado para um baixo desempenho dos alunos no aprendizado de

matemática, mais especificamente de funções, o que ficou reforçado na avaliação

dos docentes e discentes declarando que os conteúdos de funções afim e

quadrática possui nível de dificuldade de regular a difícil na maioria dos tópicos

destes conteúdos.

Vale ressaltar que no momento de aplicação dos questionários muitos

alunos afirmaram que apesar de terem estudado funções afim e quadrática no 1º

ano do ensino médio e alguns também no 9º ano do ensino fundamental, a maioria

não lembrava dos conteúdos.

Na análise das questões verificamos que as únicas questões que os

alunos tiveram um melhor desempenho foi a que tratou da identificação das funções

afim e quadrática. Mas poucos identificaram seus respectivos coeficientes. E na

questão 2 que lhes inquiria encontrar a função afim a partir de dois pontos dados,

apenas um aluno acertou a questão.

Quanto a construção gráfica somente 6% obteve êxito na função afim

nenhum aluno conseguiu construir corretamente na função quadrática. Na

identificação da função afim quanto seu crescimento e decrescimento dos 10% que

tentaram responder nenhum acertou. Já com relação a problemas 3% ainda

conseguiu resolver corretamente a questão da função afim, mas nenhum na função

quadrática. Quanto a questão em que se pedia a imagem da função afim, ainda

obteveram 8% dos acertos e no zero da função afim e nos zeros da função

quadrática 4% dos acertos; o que não ocorreu na questão sobre vértice, valor de

máximo e de mínimo, pois nenhum aluno tentou resolver.

Verificarmos ainda, nos resultados do teste para esses conteúdos, que os

alunos não tiveram rendimento satisfatório em nenhum dos casos, uma vez que a

soma do percentual de erros e de questões não resolvidas superou em muito o

percentual de acertos. Observamos dentre os erros que apesar de alguns alunos

terem a noção de reta, construíram o gráfico da função afim como sendo crescente,

sendo que lhes foi dada uma função decrescente, e que na função quadrática os

alunos tinham a noção que o gráfico era uma parábola, mais só desenharam o

gráfico, não calcularam os pontos, ou calcularam os pontos incorretamente e

102

construíram um gráfico errado, ou ainda dispunham o gráfico côncavo para baixo ao

invés de côncavo para cima. Outra observação foi com relação aos erros cometidos

na identificação da função afim ou quadrática, dentre os erros na função afim 3%

marcaram a função logaritmo (alternativa d), 4% marcaram a função exponencial

(alternativa b) e 24% marcaram a função quadrática (alternativa c); nos erros

cometidos na função quadrática 2% marcaram a função seno (alternativa d), 4%

marcaram a função logaritmo (alternativa b) e 12% marcaram a função afim

(alternativa a).

Braga (2009, p. 22 e 23) ao analisar pesquisas em Educação Matemática

que tratam das dificuldades dos alunos no aprendizado de função afim e quadrática

destaca que essas são resultantes da variedade de noções que estão relacionadas

ao pensamento funcional, com destaque: as representações gráficas, tabulares e

algébricas, o reconhecimento de variáveis dependentes e independentes, a noção

de conjuntos numéricos, domínio e imagem.

Outra análise nos remete ao cruzamento dos dados do questionário

aplicado a professores e alunos. Com relação a formação continuada a maioria dos

professores afirmou não ter cursado nenhuma disciplina sobre funções afim e

quadrática. E a maioria desses também afirmou não ensinar funções afim e

quadrática do mesmo modo que aprendeu, apesar da metade dos professores

consultados evidenciarem o uso do método tradicional (definição seguida de

exemplos e exercícios) para introduzir os conteúdos mencionados. Além de

utilizarem listas de exercícios para fixar os conteúdos. Confirmando os dados

também indicados pelos alunos para a forma com que aprenderam esses conteúdos.

O que nos permite dizer que para a amostra obtida a partir de professores

e alunos que atuam e estudam, respectivamente, em escolas belenenses, o método

de ensino mais utilizado ainda é o tradicional e que o mesmo tem colaborado com os

obstáculos cognitivos do aluno em determinados conteúdos conforme revelam os

dados do teste aplicado a alunos.

Compreendemos que uma possibilidade para contornar essa situação

está relacionada a utilização de recursos e estratégias diversificadas no ensino da

matemática e em contrapartida exige um esforço muito maior por parte dos

professores que precisam, dentre outros, estar bem preparados de forma a gerenciar

o saber necessário em cada ocasião. Dessa forma, é preciso que o professor

103

busque competências5 que o direcione na tomada de decisão da melhor escolha

metodológica que contribuirá com seu meio.

Assim, se faz necessário que o professor procure inserir em sua prática

docente, metodologias que visem favorecer as interações aluno-professor, aluno-

aluno, aluno-saber, buscando criar condições para que a aprendizagem aconteça.

Por este motivo, procuramos abordar nas análises dassituações de ensino

perspectivas da Didática da Matemática com base nas ideias de Brousseau, que tem

como proposta possibilitar construções que permitam a compreensão das interações

sociais desenvolvidas em sala de aula, entre alunos, professores e conhecimentos

matemáticos, reconhecendo que estas acabam condicionando o que se aprende e a

forma como se aprende.

1.4 ESTRATÉGIA DE ENSINO

Para alcançar o objetivo desta pesquisa, desenvolvemos uma estratégia

de aplicação e verificação de uma sequência didática para o ensino e aprendizagem

das funções afim e quadrática, com base no uso de duas metodologias de ensino, a

modelagem matemática e o ensino por atividades. Nesta subsessão apresentamos

essas duas metodologias de ensino, suas vantagens e limitações e nossa

abordagem para a aplicação da sequência didática.

1.4.1 Modelagem Matemática

A Modelagem Matemática pode ser vista como um método que

transforma uma situação escrita na linguagem usual de um contexto real ou fatos do

dia a dia em linguagem simbólica da matemática, fazendo aparecer um modelo

5Competência é à capacidade de agir eficazmente mediante determinadas situações, tendo como

pressupostos conhecimentos, habilidades e atitudes éticas que em nós são desenvolvidas ao longo do processo de profissionalização, no qual está inserida a experiência pré-profissional, formação inicial e continuada e a própria prática docente. Competência é a soma de „conhecimentos‟ saberes que se criam ou desenvolvem ao longo do processo de profissionalização; „habilidades‟, capacidades técnicas para realizar determinadas tarefas, desenvolvidas a partir da relação dialética, teoria e prática, o saber-fazer; e „capacidades individuais‟ características que nascem com cada um e que são criadas/moldadas com a experiência individual e em grupo, e conduzem a um desempenho satisfatório tanto na aprendizagem quanto na execução da habilidade (RAMALHO; NUÑEZ e GAUTHIER, 2004,pag. 69-96).

104

matemático, que por ser uma representação significativa do real, se analisado e

interpretado segundo as teorias matemáticas, devolve informações interessantes

para a realidade que se está questionando.“É o processo que envolve a obtenção de

um modelo” e que, se o modelo for “um conjunto de símbolos e relações

matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou

problema de situação real”, então temos um modelo matemático (BIEMBENGUT e

HEIN, 2003). Sendo que este modelo será delimitado de acordo com a necessidade

do modelador, assim, um modelo não é a representação da realidade em sua

totalidade, embora carregue essa responsabilidade, mas sempre um recorte, uma

aproximação de idealizações sobre a realidade.

Desse modo, a modelagem matemática pode ser analisada de duas

maneiras, Bassanezi (2004, p. 32-38) a diferencia quanto ao seu uso, como um

método científico ou como uma estratégia de ensino aprendizagem.

Como método científico a modelagem é utilizada como instrumento de

pesquisa, devido sua larga aplicação, na Física, na Química, na Biomatemática, em

problemas industriais de engenharia, na economia e em outras áreas. Como pontos

relevantes:

Pode estimular novas ideias e técnicas experimentais;

Pode dar informações em diferentes aspectos dos inicialmente previstos;

Pode ser um método para se fazer interpolações, extrapolações e previsões;

Pode sugerir prioridades de aplicações e de recursos e pesquisas e eventuais tomadas de decisão;

Pode preencher lacunas onde existem falta de dados experimentais;

Pode servir como recurso para melhor entendimento da realidade;

Pode servir de linguagem universal para compreensão e entrosamento entre pesquisadores em diversas áreas do conhecimento (BASSANEZI, 2004, p. 32 e 33).

A Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem

leva em consideração a interação do aluno com seu ambiente natural, onde o mais

importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas o caminho

que permite aprender o conteúdo matemático. Bassanezi identifica a modelagem em

Educação como Modelação Matemática.

Na modelação a validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária. Mais importante do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sócio-cultural. O

105

fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática (BASSANEZI, 2004, p. 38).

Biembengute Hein (2007, p.28) a vê como uma “metodologia de ensino-

aprendizagem [que] parte de uma situação/tema sobre ela desenvolve questões,

que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental matemático e da

pesquisa sobre o tema”.

Nesse sentido, “há várias maneiras de conceber e materializar a

modelagem na sala de aula” (Barbosa, 1999, p.5), através de projetos de curta ou

longa duração, através de situações que podem requerer uma ou duas aulasou

atividades propostas aos alunos.

De acordo com as possibilidades de sala de aula Barbosa (2003, p.70)

explicita três “casos” para a aplicação da modelagem que são categorizados

conforme as tarefas que compete ao professor e/ou aos alunos desenvolverem

dentro do processo de Modelagem, na sala de aula, conforme quadro a seguir:

Quadro 6 – Tarefas do professor e dos alunos nos casos de Modelagem

Fonte: Barbosa, 2003. p.70

No caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado, com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos (...), acompanhados pelo professor, (...) a tarefa de resolver o problemae chegar a um modelo que o represente e possa ser generalizado para outras situações semelhantes. Já no caso 2, os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar (...). Ao professor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. (...) E, por fim, no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas „não-matemáticos‟, que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos. (BARBOSA, 2003 p. 69).

De posse das abordagens da modelagem matemática e das pesquisas

realizadas, entendemos que a mesma enquanto estratégia de ensino e seguindo o

caso mais adequado para a sala de aula, dependendo de cada contexto, pode

consistir em uma forte alternativa para o desenvolvimento cognitivo do aluno,

principalmente se aliada ao ensino por atividades.

106

1.4.2 Ensino por atividade

Com o intuito de conduzir o aprendiz à construção das noções

matemáticas presentes em cada atividade proposta, adotamos o Ensino por

Atividade. De acordo com Mendes e Sá (2006, p. 13)

a característica essencial desse tipo de abordagem metodológica de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos serão descobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que ele seja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz.

O Ensino por Atividades evidencia uma proposta dinâmica, participativa e

construtiva em que o educando é conduzido a descobertas cognitivas a partir de um

roteiro de atividades estruturados de acordo com a especificidade do conteúdo a ser

abordado. Trata-se, portanto de uma proposta com base na redescoberta em que

previamente são pensados os objetivos, os materiais necessários, os procedimentos

operacionais, dentre outros.

Podemos considerar que as atividades de redescoberta contribuem para a compreensão de propriedades, relações, regras e teoremas matemáticos, bem como a construção de conceitos [...] (SÁ, 2009, p. 24).

A proposta de ensino baseada em atividade pressupõe a possibilidade de

conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções matemáticas presente

em cada atividade, e visa a construção de um material instrucional centrado no aluno

e em seus interesses explicitados na interação em sala de aula (MENDES, 2001a, p.

74). Esta concepção de ensino apresenta elementos essenciais que devem estar

presentes no momento de construção das atividades:

As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;

Toda atividade deve procurar conduzir o aluno a construção das noções matemáticas através de três fazes: a experiência, a comunicação oral das ideias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;

As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;

As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias

107

matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;

De acordo com o modelo proposto por Dockweiller (1996), as atividades propostas pelo professor podem se apresentar de três maneiras: desenvolvimento, conexão e abstração, de modo que sejam sequencialmente apresentadas e possam contribuir para a construção gradual dos conceitos matemáticos (SÁ, 2009, p. 18).

Com essas instruções construimos atividades orientadas, com a intenção

de solucionar obstáculos encontrados por professores em suas práticas em sala de

aula relacionadas às especificidades do conteúdo matemático.

1.4.3 Limitações das metodologias de ensino

As metodologias em questão apresentam algumas limitações no que

concerne ao aprendizado de matemática.

A modelagem matemática, como metodologia de ensino, parte de uma

situação/tema que pode ser questões ambientais como no trabalho de Chaves

(2005) ou sobre a produção do etanol envolvendo conceitos de economia, custo e

consumo, como na pesquisa de Souza (2011), dentre outras, para se chegar à

resolução de problemas. Assim, dada a diversidade de temas e abordagens que

pode abarcar a modelagem, a mesma limita-seno sentido de que a capacidade de

delimitar o conteúdo matemático tratado no modelo depende do nível de

conhecimento do aluno podendo direcionar o problema a conteúdos diferenciados,

assim fica a cargo do professor propiciar condições para aprofundar o conhecimento.

Conforme afirma Biembengut (2007) “Há o inconveniente de não sabermos,

inicialmente, por onde o modelo passará, ou seja, nem sempre o ferramental

matemático requerido está ao alcance do educando e mesmo do professor”.

Por sua vez, oensino por atividadesvisaa construção das noções

matemáticas não sendo seu foco explorar e transformar diferentes contextos para

para a linguagem matemática, o que já encontramos na modelagem.

Temos, portanto, dois aspectos a serem considerados na construção do

saber matemático, de um lado estabelecer conexões entre temas matemáticos de

diferentes campos e áreas curriculares de outro a compreensão das regras,

conceitos e especificidades dos conteúdos.

108

1.4.4 Combinação metodológica

Nossa estratégia de ensino consistiu na combinação da modelagem

matemática, com o ensino por atividades. Partimos da modelagem matemática, com

situações/temas relacionadas a elementos culturais da Amazônia paraense, e sobre

essas desenvolvemos questões a serem solucionadas pelos alunos, que durante o

processo foram propostas atividades estruturadas, direcionadas as especificidades

dos conteúdos das funções afim e quadrática com o objetivo de que o aluno aprenda

o conteúdo e posteriormente resolva as questões propostas.

A figura abaixo esquematiza nossa intenção de ensino na qual nos

pautamos para a construção da sequência didática.

Figura 3 – Esquema da proposta de ensino Fonte: a autora

Nesta pesquisa buscamos a partir da combinação metodológica, três

situações: primeiro que a modelagem matemática como estratégia de ensino

estimule os discentes na aquisição de conhecimento; segundo que o ensino por

atividade possibilite a adequação da metodologia adotada ao cronograma curricular

ao mesmo tempo em que potencialize as especificidades na aprendizagem dos

conteúdos; e terceiro que o discente desenvolva sua capacidade cognitiva para

resolver problemas.

Vale destacar que somos iniciantes na temática e também nossos sujeitos

não estão acostumados com essa abordagem de ensino, o que fica evidente nas

análises prévias a partir do questionário aplicado aos discentes comprovando que a

metodologia de ensino mais utilizada ainda é a tradicional com definição, exemplos e

exercícios.

Neste contexto julgamos o 1º caso de Barbosa mais adequado para a

aplicação da modelagem matemática em sala de aula,

109

Caso 1 – Imaginemos que um professor apresente aos alunos uma situação-problema acerca da construção de um estacionamento numa avenida (da cidade), onde se pede a melhor forma de dispor os carros. A descrição da situação, os dados (reais) e o(s) problema(s) são traduzidos pelo professor, cabendo aos alunos o processo de resolução (BARBOSA, 2001, p.38).

Concordamos com Chaves (2005, p. 35) ao enfatizar que um professor

ainda iniciante no que diz respeito ao uso da Modelagem pode optar pelo Caso 1, no

qual ele toma para si a maior quantidade das tarefas a serem desenvolvidas e, a

medida que começar a sentir-se mais seguro e/ou mais a vontade dentro de seu

contexto, vai transferindo mais tarefas aos alunos, enveredando assim pelos outros

“casos” e assumindo uma postura, cada vez mais predominante, de mediador entre

o conhecimento e o aprendiz, deixando de ser o que detém e transmite o

conhecimento para ser aquele que, por meio de tarefas, oportuniza a aquisição do

conhecimento. Isto é, ser aquele que ensina a aprender.

Com isso, consideramos que se o aluno a partir de conhecimentos

próprios, anteriores ou atuais, puder construir um modelo matemático representativo

de um problema com referência na realidade, estará fazendo uma Modelagem

Matemática. Nesse sentido, adequamos os procedimentos apresentados por

Biembengut e Hein (2007, 13-15) “Interação,reconhecimento da situação-problema e

familiarização com o assunto a ser observado; Matematização, formulação e

resolução do problema; e Modelo Matemático, interpretação da solução e validação

do modelo”, a nossa estratégia de ensino.

A execução da sequência didática possui as etapas, a seguir:

1. Interação

Nesta etapa, o objetivo foi apresentar o texto e a questão proposta. Com

a intenção de aguçar a curiosidade do discente, abrir discussões sobre a cultura

local e sua participação enquanto ser social e direcionar o estudo ao conhecimento

matemático presente na situação de aplicação. Esperamos que o educando

percebesse que os elementos matemáticos tem relação com o contexto cultural.

2. Construções matemáticas

Com o objetivo de propiciar o desenvolvimento cognitivo do estudante,

apresentamos atividades direcionadas aos tópicos do conteúdo de funções, afim e

quadrática, denominadas atividade do conteúdo, permitindo ao aluno familiarizar-se

com os conceitos e experiênciar descobertas, provocando discussões em sala de

110

aula e a construção do saber matemático. Na sequência ocorrereu a formalizaçãodo

conteúdo.

3. Resolução do problema e sistematização

Com os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade orientada, o

discente foi conduzido a resolver as questões referentes ao texto, que denominamos

de questão proposta,nesta etapa ocorreu a transformação da situação problema

para a linguagem matemática, ou seja, o modelo em questão.Não é importante para

esta pesquisa validar ou verificar o nível de aproximação da aplicação do problema a

realidade. Uma vez que nosso objetivo é possibilitar a aprendizagem do aluno por

meio dessas vivências e não descrever um modelo científico padronizado. Portanto,

prosseguimos com a sistematização das informações, isto é, examinar a

experimentação vivenciada, a partir da observação do modelo encontrado,

culminado com a socialização e discussão dos resultados dos discentes, que

posteriormente foram direcionados a resolver os problemas complementares com o

objetivo de fixar e aprofundar os tópicos de função apreendido.

O esquema, apresentação da situação real, atividades direcionadas ao

conteúdo, questão proposta e questões complementaresfoi realizado para cada

tópico do conteúdo de função, afim e quadrática, ao qual propomos que o aluno

aprendesse. A última atividade de cada assunto (afim e quadrática) diferentemente

das anteriores, não aborda estes procedimentos, pois se trata da resolução de

problemas, nossa intenção com estas é fortalecer a capacidade do aluno de resolver

problemas de aplicação.

1.5 CONCEPÇÕES SOBRE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

Nesta subseção abordamos elementos da Didática da Matemática com

base nas ideias de Guy Brousseau que embasaram nossas análises na observação

dos fenômenos ocorridos em sala de aula com a aplicação da sequência didática.

Brousseau (1996, p. 49) ao tratar das situações didáticas e a-didáticas

ressalta uma concepção de ensino em que cabe ao professor provocar no aluno as

adaptações desejadas através de uma escolha do problema que lhe propõe, de tal

forma que o aluno o aceite, pois sabe que o problema foi escolhido para levá-lo a

adquirir um conhecimento novo.

111

Mas, antes de adentrarmos na temática das Situações Didáticas, se faz

necessário entendermos a Didática da Matemática e o papel de cada agente

envolvido. Segundo Brousseau (1996, p. 35):

A didática da matemática estuda as atividades didácticas, ou seja as

atividades que tem como objecto o ensino, (...)dizem respeito aos comportamentos cognitivos dos alunos, mas também aos tipos de situações utilizadas para lhos ensinar (...).(grifo nosso)

Destacaremos como agentes o professor, o aluno e o conhecimento,

considerados o triângulo didático na compreensão de Brousseau, uma vez que

nosso estudo está focalizado nas relações entre os mesmos. Na perspectiva da

Didática da Matemática o professor é responsável por organizar situações didáticas

em que nem tudo fica explícito (considerado obstáculos) e também dar a cada

aluno,meios para que avance na construção do saber e que possa acessar esse

saber nos diversos momentos em que necessite utilizá-lo.O papel do aluno é pensar

em possíveis caminhos para resolver os problemas propostos pelo professor,

formulando variadas hipóteses sem ter a necessidade de dar nenhuma resposta

imediata (momento a-didático); em seguida o aluno busca simular situações para

reproduzir a atividade, sendo requerido que aja, formule, construa modelos,

linguagens, conceitos, etc. E o conhecimento por sua vez pode ser determinado por

uma situação, entendida como uma ação entre duas ou mais pessoas, que pode ser

articulado de acordo com as necessidades cognitivas do sujeito.

Desse modo, voltando às Situações Didáticas, podemos entender como

um jogo de interações entre o professor e o problema proposto, cujo objetivo é

aprender, pois oprofessor faz a devolução ao aluno deuma situação a-didática, e

esta por sua vez tem o objetivo de ensinar, oferecendo maior responsabilidade ao

aluno na construção do conhecimento.

Sendo assim, se faz necessário estabelecer uma estratégia da situação

didática denominada de contrato didático. Brousseau (1996, p. 50-53) o descreve

como o conjunto de regras que esclarece as responsabilidades que cada parceiro da

relação didática (professor e aluno) deve gerir e pelo qual será responsável perante

o outro.

É em meio a este contexto de perspectivas metodológicas e concepções

sobre relações em sala de aula que construímos atividades sobre funções afim e

quadrática, apresentadas e analisadas a seguir.

112

2. CONCEPÇÕES E ANÁLISE A PRIORI

Nesta seção, nosso objetivo é apresentar a sequência didática referente

ao ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática, construída a partir das

análises preliminares apresentadas na seção anterior, e a respectiva análise a priori

sobre ela, e ainda, apresentar os testes para cada função.

Intencionamos propiciar ao discente o desenvolvimento de sua

capacidade cognitiva e ao mesmo tempo favorecer um ambiente em que o sujeito

estivesse ativo no processo ensino e aprendizagem, de modo que os alunos

pudessem construir conhecimentos sem a interferência direta do professor, que

atuaria com a tarefa de criar condições que favorecesse essa construção.

Nas bases teóricas acerca da Didática da Matemática encontramos em

Brousseau (1996, p. 38) a distinção entre o trabalho do aluno e do professor no

processo de construção do saber matemático:

- O trabalho intelectual do aluno exige que ele aja, formule, prove, construa modelos, linguagens, conceitos, teorias, os troque com outros, reconheça aqueles que são conformes à cultura, retire desta aqueles que lhes são úteis, etc. - O professor tem de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a solução óptima e passível de ser descoberta para os problemas colocados.

Na elaboração da sequência didática foi considerado o que vem sendo

defendido para o ensino de função pelos PCN, pelos sistemas de avaliação da

educação básica: Prova Brasil/SAEB e ENEM. AProva Brasil/SAEB (2011, p. 17) é

elaborada a partir de documentos denominados Matrizes de Referência6 que reúnem

o conteúdo a ser avaliado em cada disciplina e ano de ensino com base nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, nas referências curriculares estaduais e

municipais, na consulta a professores e exame de livros didáticos. Essas Matrizes de

6As matrizes de referência representam um recorte das matrizes curriculares feito com base no que

pode ser aferido por meio dos instrumentos utilizados na Prova Brasil/Saeb.Elas não englobam todo o currículo escolar e não podem ser confundidas com procedimentos, estratégias de ensino ou orientações metodológicas, pois um recorte é feito com base naquilo que pode ser aferido (SAEB, 2011, p. 17).

113

Referência estão subdivididas em tópicos ou temas e estes em descritores7. No caso

como do ENEM a Matriz de referência parte de cinco Eixos Cognitivos8 que são

comuns as áreas de conhecimentos e esses são subdivididos em competências de

área e habilidades.

Nos documentos analisados, PCNEM, SAEB e ENEM, percebemos que

os mesmos requerem que os alunos desenvolvam/expressem no processo de

ensino e aprendizagem competências e habilidades de acordo com cada área do

saber. Entende as competências cognitivas como as diferentes modalidades

estruturais da inteligência que compreendem determinadas operações que o sujeito

utiliza para estabelecer relações com e entre os objetos físicos, conceitos, situações,

fenômenos e pessoas.

Ainda no mesmo documento, é mencionado que habilidades referem-se,

especificamente, ao plano objetivo e prático do saber fazer e decorrem,

diretamente,das competências já adquiridas e que se transformam em

habilidades.Para a Matemática destacamos alguns itens relativos a competências e

habilidades, explicitas no PCNEM e abordadas em nossas atividades:

Representação e comunicação: Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc).Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. Investigação e compreensão: Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc). Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. Formular hipóteses e prever resultados. Selecionar estratégias de resolução de problemas. Contextualização sócio-cultural: Desenvolver a

capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real. Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento (BRASIL, 2000, p.46).

7O descritor é o detalhamento de uma habilidade cognitiva (em termos de grau de complexidade),

que está sempre associada a um conteúdo que o estudante deve dominar na etapa de ensino em análise. Esses descritores são expressos da forma mais detalhada possível, permitindo-se a mensuração por meio de aspectos que podem ser observados. 8I Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das

linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa. II Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. III Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema. IV Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente. V Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural (ENEM, 2011, p. 1).

114

Construímos a sequência didática desenvolvida em sala de aula, estando

esta composta de 5 atividades sobre função afim contendo 4 atividades de

aprendizagem do conteúdo com base no ensino por atividade, com 4 questões

propostas com base na modelagem matemática e 13 questões complementares

para exercitar ou aprofundar o conteúdo aprendido e a última atividade consiste em

10 problemas sobre função afim; e de 7 atividades sobre função quadrática

contendo 6 atividades de aprendizagem do conteúdo com base no ensino por

atividade, com 6 questões propostas com base na modelagem matemática e 14

questões complementares para exercitar ou aprofundar o conteúdo aprendido e a

última atividade são 10 problemas sobre função quadrática.

No desenvolvimento das atividades os alunos trabalharam em grupos. As

atividades e testes diagnósticos foram desenvolvidos pela professora-pesquisadora

com alunos do 1º ano do ensino médio, que ainda não tinham passado pelo ensino

de funções afim e quadrática nesta série. Isto porque este conteúdo tem inicio no 9º

ano do ensino fundamental, com ênfase nos conceitos iniciais de funções. Cada

uma das atividades elaboradas estava planejada para ser desenvolvida em média

de 2 horas/aula, podendo variar em algumas atividades, sendo a primeira aula de

apreensão do conteúdo a partir da atividade orientada e a segunda aula para a

resolução das questões (do texto e complementares).

Frente ao exposto realizamos a análise a priori das atividades e testes

diagnósticos contidos na sequência didática apoiados na concepção de Artigue

(1996, p. 205) de que a análise a priori é concebida com “o objetivo de determinar de

que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos

e o sentido desses comportamentos. Para isso fundamenta-se em hipóteses”. Deste

modo, foi possível prevermos as possíveis soluções para as questões propostas em

cada atividade; as dificuldades que os discentes poderiam enfrentar na resolução de

cada atividade e os comportamentos esperados em relação aos alunos. Neste

sentido, as variáveis locais em nossa sequência se referem a apresentação das

atividades para abordar e fixar o conteúdo, as competências e habilidades presentes

nas atividades e requeridas pelos documentos oficiais de acordo com os descritores

em voga, a organização dos alunos na realização das atividades, ao

acompanhamento sistemático da evolução do desempenho dos alunos e ao tempo

115

necessário para o desenvolvimento das atividades. Apenas os testes-diagnóstico

foram realizados individualmente.

Apresentamos a seguir atividades, com a exposição do objetivo para cada

uma delas e o material utilizado para realização da mesma, os testes diagnósticos

de cada conteúdo (afim e quadrática), bem como a análise a priori de cada atividade

e de cada teste.

2.1 CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA

Com o objetivo de produzir informações sobre o perfil pessoal e estudantil

dos alunos que participaram da aplicação da sequência didática, produzimos um

questionário (cf. Apêndice C) que foi aplicado antes do desenvolvimento das

atividades em sala de aula. O questionário continha questões referentes a idade,

sexo, informações sobre os pais ou responsáveis, condição estudantil; interesse,

dificuldades e nível de dedicação ao estudo da matemática.

O referido questionário também continha um teste elaborado com o

objetivo de produzir informações que permitissem realizar comparações entre o

desempenho dos discentes, na resolução de questões das funções afim e

quadrática, antes e depois da realização das atividades. O primeiro momento de

resolução das questões foi denominado de pré-teste e o segundo momento, de pós-

teste. A análise a priori do pré-teste e do pós-teste foi realizada com base nos

resultados do teste aplicado a alunos do 2º ano do Ensino Médio, descrito na

subseção 1.3, e no questionário aplicado a docentes, subseção 1.2.

Em virtude dos pré e pós-testes terem as cinco primeiras questões

exatamente as mesmas, a análise a priori de ambos foi realizada no mesmo

instante, com exceção de quatro questões que foram adicionadas ao pós-teste de

função afim e uma questão que foi adicionada ao pós-teste de função quadrática,

por consideramos necessário buscar outras informações que evidenciasse o

aprendizado dos conteúdos abordados. Essas últimas foram analisadas na

sequência. O tempo estimado para a aplicação de cada teste foi de duas horas/aula,

corresponde ao total de 90 minutos.

116

2.1.1 Pré-teste e pós-teste da função afim

QUESTÃO 1

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a

função afim e escrever seus coeficientes, antes e depois do desenvolvimento da

sequência didática.

Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função afim e

escreva os valores de seus coeficientes.

a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 1( ) 2xf x c) ( ) 2( ) 2f x x d) ( ) ( ) logf x x

Análise a priori das questões no pré-teste: Avaliamos que os alunos conseguirão

resolver corretamente a questão, considerada de baixa complexidade, por se tratar

do reconhecimento da função afim e da identificação de seus coeficientes, conteúdo

abordado no 9º do ensino fundamental. No entanto, os alunos poderão ter

dificuldades em identificar os coeficientes, pois no teste tratado na subseção 1.3,

realizado com alunos do 2º ano do ensino médio, ocorreu de muitos discentes

identificarem a função, mas não escreverem seus coeficientes, alegando não saber

ou não se lembrar do que se trata.

Análise a priori das questões no pós-teste: Como a definição da função afim foi

considerada de fácil a regular na opinião de alunos e professores, subseção 1.2 e

1.3, supomos que o desempenho dos alunos será bastante satisfatório. Nosso

entendimento é de que eles conseguirão identificar corretamente a função e seus

coeficientes após a aplicação das atividades.

QUESTÃO 2

Esta questão objetivava identificar se os alunos, concordante com os

descritores do ENEM e SAEB conseguirão “reconhecer expressão algébrica que

representa uma função a partir de uma tabela”, antes e depois do desenvolvimento

da sequência didática.

117

(SAEB, 2009) Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa acrescida de uma taxa

que varia de acordo com o número de quilômetros rodados. A tabela seguinte mostra o custo total

(C) do aluguel, em reais, em função do número de quilômetros rodados (q).

A sentença que representa o custo total é

a) ( ) 5 5C q q b) ( ) 4 15C q q c) ( ) 45C q q d) ( ) 502

qC q e) ( ) 55

10

qC q

Análise a priori das questões no pré-teste: Levando em consideração que este

conteúdo já vem sendo trabalhado no 9º ano do ensino fundamental, partimos da

hipótese de que os alunos da turma experimental conseguirão encontrar a

expressão representada pelos dados na tabela.

Análise a priori das questões no pós-teste: A primeira atividade, da sequência

didática aplicada, sobre função afim, tem o intuito de aguçar nos alunos sua

capacidade de relacionar variáveis e encontrar uma expressão algébrica que

caracterize cada situação proposta. Além disso, desenvolvemos alguns problemas

matemáticos, envolvendo dados em tabelas, a fim de que o discente desenvolva a

resolução de problemas similares. Desse modo, após a aplicação da atividade,

esperamos que os alunos estejam aptos a estabelecer a relação entre os dados

tabelados e as funções e resolvam a questão sem dificuldades.

QUESTÃO 3

Esta questão objetivava verificar se os discentes conseguirão encontrar a

expressão algébrica a partir da leitura do texto e calcular a imagem da função a

partir de um valor do domínio dado, antes e depois do desenvolvimento da


A corrida do Círio, realizada em Belém do Pará, surgiu em 1984, a partir da ideia de

um grupo de corredores de rua que queriam homenagear Nossa Senhora de Nazaré.

O CORBE (Corredores de Rua de Belém) promoveu a 1ª Corrida do Círio no dia 13 de

outubro de 1984, na véspera da grande procissão do Círio de Nazaré. Cerca de 50 atletas

participaram dessa 1ª edição. Um atleta leva em média 4 minutos para percorrer 1 km. Ele faz um

118

percurso de x quilômetros.

a) Qual a expressão algébrica que permite calcular o tempo, em minutos, que ele leva para percorrer

os x quilômetros?

b) Sabendo que o percurso é de 10 km, em quantos minutos este atleta completou a prova?

Análise a priori das questões no pré-teste: Esta questão além de fazer parte do

pré e pós-teste aplicado na turma experimental, também foi colocada no teste

aplicado a alunos do 2º ano do ensino médio e os resultados deste evidenciaram

que poucos alunos responderam a questão, apesar de docentes e discentes

(subseção 1.2 e 1.3) julgarem como fácil para o aluno aprender o domínio e imagem

da função afim. Observou-se também a dificuldade que os discentes tiveram em

resolver problemas matemáticos, pois, dos alunos que tentaram resolver, apenas

três responderam corretamente e os outros, embora pareça tido um raciocínio que

os conduziram a quantidade correta de minutos percorridos pelo atleta, não

expressaram na forma algébrica a função que representa o problema. Entretanto,

buscamos obter neste teste o nível de conhecimento e/ou dificuldade da turma

experimental.

Análise a priori das questões no pós-teste: As propostas de atividades de nossa

pesquisa visam que os alunos ampliem sua percepção das ferramentas matemáticas

e de visualizar a matemática em situações contextualizadas. Desse modo, após o

conjunto de atividades, espera-se que os discentes possam ampliar seus conceitos e

perceber na leitura da questão, a possibilidade de resolução das situações

problemas propostas.

QUESTÃO 4

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão traçar o gráfico

da função afim e identificar se a função era crescente ou decrescente, antes e

depois do desenvolvimento da sequência didática.

A produção de artefatos para o uso doméstico é uma prática milenar, herdada da

população ameríndia que habitava a região amazônica, antes da colonização

europeia. A confecção de cestaria e brinquedos feitos de miriti são de grande

relevância econômica e cultural para a população local. A maioria dos artesãos

envolvidos nessas atividades encontra-se no município de Abaetetuba (Pará), localizado no baixo

curso do rio Tocantins, onde os miritizais são abundantes. O lucro diário obtido pela venda por

119

unidade do brinquedo cobra é calculado pela expressão 5 4L x , na qual L indica o lucro (em

reais) e x indica a quantidade de peças vendidas (em unidade).

a) Construa o gráfico de L em função x.

b) A função representada é crescente ou decrescente?

Análise a priori das questões no pré-teste: Na questão que envolvia gráfico da

função afim os discentes do 2º ano mostraram-se mais participativos na tentativa de

resposta, muitos mostraram que entendiam que se tratava de uma reta, mas em sua

maioria traçaram o gráfico com pontos errados, por erro no cálculo no momento em

que substituíram o valor de x na expressão para encontrar a respectiva imagem e

por errarem o jogo de sinal, e a dificuldade maior foi de responder se a função era

crescente ou decrescente. Desse modo, temos por hipótese os alunos do

experimento poderão até conseguir traçar o gráfico, mas terão dificuldades em

classificar a função quanto seu crescimento ou decrescimento.

Análise a priori das questões no pós-teste: Com base na avaliação realizada por

docentes (subseção 1.2) que classificou de muito fácil a regular, para os alunos

aprenderem a construção do gráfico da função afim e seu comportamento quanto ao

crescimento e decrescimento, e no teste aplicado a alunos do 2º ano, supomos que

o desempenho dos alunos será bastante satisfatório. Após a aplicação da sequência

didática, nossa hipótese é que a maioria dos alunos do experimento conseguirá

traçar o gráfico da função afim e avaliar se a função é crescente ou decrescente

tanto pela observação do gráfico quanto da expressão. No entanto, alguns poderão

ainda ter dificuldades com relação ao jogo de sinal, no momento de encontrar o valor

da imagem substituindo o valor de x.

QUESTÃO 5

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão o problema

real e calcular o zero da função, antes e depois do desenvolvimento da sequência

didática.

Um automóvel percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função horária

( ) 2 100S t t , em que S(t) representa sua posição (em km) e t representa o tempo (em min.).

Depois de quanto tempo o automóvel passa pelo marco quilometro zero (km 0)?

120

Análise a priori das questões no pré-teste: Consideramos que os discentes terão

algumas dificuldades em interpretar o problema por tratar de conceitos da física e

pela própria dificuldade que alguns alunos apresentam em resolver problemas

matemáticos conforme afirmaram a maioria dos docentes e discentes (subseção 1.2

e 1.3). No entanto, por se tratar de um conteúdo trabalhado desde o ensino

fundamental recaindo em uma equação do 1º grau com uma incógnita, caso os

discente consiga perceber que basta igualar a zero a posição conseguirá encontrar

facilmente o tempo solicitado.

Análise a priori das questões no pós-teste: Ainda baseados nos questionários,

julgamos que os discentes do 1º ano terão bom desempenho na resolução desta

questão, haja vista, que a maioria dos professores e alunos considerava o zero da

função afim de fácil domínio para os alunos.

2.1.2 Pré-teste e pós-teste da função quadrática

QUESTÃO 1

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a

função quadrática e escrever seus coeficientes, antes e depois do desenvolvimento


Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função quadrática

e escreva os valores de seus coeficientes.

a) ( ) ( ) 4f x x b) ( )4( ) logf x x c) ( ) 2( ) 5 2f x x x d) ( ) ( ) ( )f x sen x

Análise a priori das questões no pré-teste: Avaliamos que os alunos conseguirão

resolver corretamente a questão, considerada de baixa complexidade, por se tratar

do reconhecimento da função quadrática e da identificação de seus coeficientes,

conteúdo abordado no 9º do ensino fundamental. No entanto, os alunos podem ter

dificuldades em identificar os coeficientes, pois no teste tratado na subseção 1.3,

realizado com alunos do 2º ano do ensino médio, ocorreu que muitos discentes

identificarão a função, mas não escreverem seus coeficientes, alegando não saber

ou não se lembrar do que se trata.

121

Análise a priori das questões no pós-teste: Baseados nos resultados do teste

aplicado aos discentes do 2º ano do ensino médio (subseção 1.3) e na avaliação da

maioria dos docentes, de que é fácil a regular para a maioria dos alunos aprenderem

a definição da função quadrática, supomos que o desempenho dos alunos será

bastante satisfatório. Entendemos que, após a sequência didática, eles conseguirão

identificar corretamente a função e seus coeficientes.

QUESTÃO 2

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão encontrar a

expressão algébrica da parábola conhecendo três de seus pontos, antes e depois do

desenvolvimento da sequência didática.

Um atleta realiza um salto partindo da origem

(0,0), segundo um referencial dado, percorre uma

trajetória parabólica que atinge sua altura máxima

no ponto (3,1)conforme a figura ao lado e chega

ao ponto (6,0). Escreva a expressão que

representa a trajetória do atleta.

Análise a priori das questões no pré-teste: Considerando esta questão similar a

questão 5 sobre função quadrática do teste aplicado a alunos do 2º ano (subseção

1.3), onde os mesmos nem se quer tentaram resolver a questão. Avaliamos que por

não conseguirem relacionar os pontos as coordenadas da função quadrática

representativa da parábola indicada na figura acima, muitos dos alunos do 1º ano

não tentarão resolver a questão. Os que tentassem talvez encontrassem dificuldade

no cálculo do sistema formado após a substituição dos pontos dados.

Análise a priori das questões no pós-teste: Considerando que nossa sequência

didática enfatiza questões similares, incluindo problema envolvendo coordenadas

visualizadas em situações gráficas, avaliamos que a maioria dos alunos do

experimento conseguirá substituir corretamente as coordenadas na função

quadrática genérica e encontrar a expressão que descreve a parábola da trajetória

do atleta. Alguns poderão ter dificuldades na resolução do sistema ou com o jogo do

sinal.

122

QUESTÃO 3

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguiriam interpretar o

problema e encontrar a função quadrática, antes e depois do desenvolvimento da


A prefeitura de Belém deseja construir um novo Hospital PSM. A largura do terreno retangular é 100

metros menor que seu comprimento. Escreva a expressão algébrica que representa a área do

terreno.

Análise a priori das questões no pré-teste: Este problema tem um grau de

complexidade médio e envolve noções de geometria plana. E pelo motivo

evidenciado por docente e discentes no questionário (subseção 1.2 e 1.3) de que os

alunos têm dificuldades em resolver situações problemas envolvendo conhecimentos

sobre função quadrática, considerado difícil. Acreditamos que os alunos do

experimento nem tentarão resolver a questão.

Análise a priori das questões no pós-teste: Como nossa sequência didática sobre

função quadrática enfatizou problemas envolvendo noções de área e perímetro com

o objetivo do discente desenvolver a capacidade de resolver problemas de tal

natureza. Nossa hipótese é que muitos alunos conseguirão resolver a questão pela

similaridade com outras que serão resolvidas em sala. Mas, alguns alunos ainda

poderiam sentir dificuldades em resolver a questão, pelo fato da mesma requerer

conceitos matemáticos relacionados a geometria plana acima citados.

QUESTÃO 4

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão encontrar os

zeros da função, construir o gráfico da função quadrática e identificar a concavidade

da parábola pela análise da expressão algébrica e do gráfico, antes e depois do

desenvolvimento da sequência didática.

O peixe arqueiro é famoso por conseguir "disparar" um jato d'água contra algum inseto

na superfície enquanto submerso. Além disso, o peixe analisa a trajetória de queda da

presa para determinar em qual ponto da água ela irá cair. Supondo que o jato d'água

disparado pelo peixe tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela

expressão 2( ) 2 4h t t t em que h é a altura atingida em metros.

a) Em que instante o jato d'água lançado pelo peixe retorna a superfície da água?

b) A função representada é côncava para cima ou para baixo?

c) Esboce o gráfico da função que representa o jato d'água.

123

Análise a priori das questões no pré-teste: Com base no questionário aplicado a

alunos do 2º ano (subseção 1.3), avaliamos que poucos alunos da turma

experimental resolverão a questão, alguns poderão se lembrar do que viram no 9º

ano do ensino fundamental e tentar construir o gráfico, ou calculassem os zeros da

função lembrado-se da fórmula de Bhaskara e os que conseguissem construir o

gráfico talvez identificassem quando a parábola fosse côncava para cima ou para

baixo, mas dificilmente farão essa relação pela visualização dos coeficientes da

função. Ainda de acordo com o questionário aplicado aos alunos (subseção 1.3),

que evidenciou a resolução de exercícios diretos não dando ênfase a questões

contextualizadas, acreditamos que a maioria dos alunos do experimento terá

dificuldade também por este fato.

Análise a priori das questões no pós-teste: Com base no questionário aplicado a

discentes e docentes (subseção 1.2 e 1.3) que consideraram os conteúdos de

função acima mencionados com grau de dificuldade regular, acreditamos que após a

sequência didática os alunos não terão muita dificuldade em resolver a questão.

Alguns poderão ter dificuldade em interpretar o problema para observar que no

instante em que o jato atinge a superfície da água sua altura é nula ou ainda no

momento de construção gráfica, dificuldade com o cálculo da imagem no jogo de

sinal, ou seja com relação a interpretação do problema.

QUESTÃO 5

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão calcular o valor

de máximo e de mínimo da função quadrática, antes e depois do desenvolvimento


(Dante, 2005) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura

h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t) = - t2 + 6t, determine:

a) em que instante a bola atinge a altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela bola.

Análise a priori das questões no pré-teste: Esta atividade também fez parte do

teste aplicado a alunosdo 2º ano (subseção 1.3) e os mesmos não resolveram a

questão. Supomos que os alunos do experimento também nem tentassem resolver a

questão.

124

Análise a priori das questões no pós-teste: Embora questões que envolvam o

conhecimento sobre o valor de máximo e mínimo na opinião de professor e aluno

tenha certo conflito, pois a maioria dos docentes considerava como de fácil

entendimento para os alunos e a maioria dos discentes considera de difícil

entendimento. Acreditamos que após a sequência didática, que traz alguns

exemplos de questões de tal natureza, os alunos conseguirão resolver questões que

envolvem o conceito de vértice, valor de máximo ou de mínimo.

2.1.3 Outras questões do pós-teste

Tendo em vista o processo de construção do conhecimento dos alunos,

sentimos a necessidade de verificar no pós-teste de forma mais ampla, o

aprendizado dos alunos em sala de aula. Para tanto, acrescentamos questões

diretas e também em forma de problemas, alguns tópicos da função afim, tais como:

crescimento e decrescimento observando o gráfico ou a expressão algébrica, análise

do zero da função e do coeficiente b pela observando o grafico, a contrução de

tabela, da expressão algebrica, do gráfico, dentre outros. E de verificar, na função

quadrática, se os alunos compreenderam quando a parabola era côncova para cima

ou para baixo, e quantas raizes a função possui, a partir da análise do grafico.

Acrescentamos quatro questões ao pós-teste de função afim, a saber:

QUESTÃO 6

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar o

zero da função, o coeficiente b e se a função era crescente ou decrescente apenas

pela análise do gráfico da função afim, depois do desenvolvimento da sequência

didática.

125

Análise a priori das questões no pós-teste: Nos questionários aplicados

(subseção 1.2 e 1.3) a maioria dos professores e alunos consideram de fácil a

regular os tópicos de função solicitados nesta questão, e como na sequência

didática enfatizamos esta abordagem esperamos que após a mesma os alunos

sejam capazes de identificar facilmente os itens desta questão.

QUESTÃO 7

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão elaborar uma

tabela com valores do domínio pré-estabelecido, encontrar a expressão algébrica

correspondente, construir o gráfico da função afim e determinar o domínio e a

imagem da função afim a partir de um ponto dado, depois do desenvolvimento da


Uma empresa aluga uma máquina industrial por uma quantia fixa de R$20,00 mais R$5,00 por hora

de uso.

a) Faça uma tabela mostrando o número de horas de uso da máquina e o preço correspondente do

aluguel para 2 horas, 5 horas, 10 horas e t horas;

b) Escreva a expressão para o custo y em função do número de horas de uso t (supondo que t seja

um número real positivo);

c) Faça o gráfico da expressão obtida no item (b);

d) Determine a quantia cobrada pelo aluguel da máquina quando o tempo de uso foi 6 horas;

e) Determine o tempo de uso do equipamento, se a quantia cobrada pelo aluguel da máquina foi

R$60,00.

Análise a priori das questões no pós-teste: Embora esse tipo de questão tenha

um grau de complexidade maior, os descritores do SAEB e do ENEM propõe que os

alunos estejam aptos a construirem as diferentes formas de representações da

função, seja algébrica, tabelar, geométrica ou literal. Esperamos que as questões de

aplicação presentes nas atividades possibilite ao aluno resolver questões de tal

natureza ou pelo menos reduzam as dificuldades na resolução, já que os discentes

não estão acostumados a resolver tais questões conforme aponta o questionário.

QUESTÃO 8

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirião identificar se a

função era crescente ou decrescente apenas observando os coeficientes da função

afim, depois do desenvolvimento da sequência didática.

126

Dadas as funções abaixo, marque com X somente as funções decrescentes:

a) ( ) 5 1y x b) ( ) 2 3y x c) ( ) 3y x d) ( ) 3 2y x e) ( )3

22

y x

Análise a priori das questões no pós-teste: Consideramos essa questão de baixa

complexidade, acreditamos que após a sequência didática os alunos consigam

resolver a mesma com facilidade.

QUESTÃO 9

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão construir o

gráfico da função afim, depois do desenvolvimento da sequência didática.

Análise a priori das questões no pós-teste: Procuramos avaliar se os alunos

serão capazes de construir o gráfico da função afim a partir de uma questão direta,

isto é, sem envolver um contexto. Segundo a maioria dos professores consultados a

construção do gráfico da função afim possui nível de dificuldade de fácil a regular no

aprendizado dos alunos, acreditamos que após a sequência didática os alunos

estejam aptos a construção do gráfico da função afim, pelo fato das atividades

possibilitarem que o aluno treine a construção de gráficos diferenciados.

Acrescentamos uma questão ao pós-teste de função quadrática:

QUESTÃO 9

Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a influência

do coeficiente a na concavidade da parábola e do delta no número de raízes, depois

do desenvolvimento da sequência didática.

127

Análise a priori das questões no pós-teste: De acordo com o questionário os

professores classificam de muito fácil a regular o nível de dificuldade para os alunos

aprenderem a concavidade da parábola ou as raízes da função quadrática, após a

sequência didática esperamos que os alunos estejam aptos a identificar o número

de raízes de uma função quadrática a partir da observação do gráfico e se a

parábola é côncava para cima ou para baixo.

2.2 ANÁLISE A PRIORI DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Inicialmente apresentaremos o texto para cada grupo de atividades e

realizaremos, juntamente com os alunos, a leitura do mesmo, assim abriremos a

discussão sobre a temática da cultura local ampliando o debate do conhecimento

matemático presente na situação de aplicação, com o intuito de favorecer ao

discente, a percepção dos elementos matemáticos presentes no texto. Em seguida

distribuiremos o roteiro da atividade para serem desenvolvidas pelos grupos com o

auxílio da professora-pesquisadora destacando suas observações e conclusões em

cada atividade. As atividades foram divididas em: atividades para aprender o

conteúdo com base no ensino por atividade, questões proposta a partir do texto

sugerido com base na modelagem matemática, questões complementares para

exercitar e aprofundar o conteúdo apreendido e a última atividade de cada

conteúdo/função envolvia um grupo de problemas com o objetivo de conduzir o

discente descobrir estratégias para a resolução de problemas.

128

Quadro 7 – Distribuição das atividades

Função Atividades / Título Quantidade Categorização

Afim

1 - Descobrindo a expressão algébrica

1 Atividade do conteúdo

1 Questão proposta

4 Questões

complementares

2 - Construindo gráficos da função afim


1 Questão proposta

4 Questões

complementares

3 - Crescimento e

decrescimentoda

função afim


1 Questão proposta

3 Questões

complementares

4 - O zero da função afim


1 Questão proposta

2 Questões

complementares

5 - Problemas sobre função afim

10 Problemas

Quadrática

1 - Descobrindo a expressão algébrica


1 Questão proposta

4 Questões

complementares

2 - Construindo gráficos da função quadrática


1 Questão proposta

2 Questões

complementares

3 - Concavidade da parábola


1 Questão proposta

1 Questões

complementares

4 - Zeros da função quadrática


1 Questões

complementares

2 Questões

complementares

5 - Cálculo dos zeros da função quadrática


1 Questão proposta

2 Questões

complementares

6 – Vértice, Valor máximo ou mínimo da função quadrática


1 Questão proposta

3 Questões

complementares

7 - Problemas sobre função quadrática

10 Problemas

Fonte: autoria própria.

129

Após a execução de cada atividade do tipo para aprender o conteúdo, os

grupos socializarão suas conclusões a respeito do conceito apreendido. Na

sequência a professora-pesquisadora entrará em cena promovendo a

institucionalização do saber, que segundo Brousseau (1996, p. 70) é uma etapa

indispensável da aprendizagem e é constitutiva do saber em relação aos

conhecimentos, é um trabalho cultural e histórico que compete ao professor

estabelecer ou concretizar naturalmente determinas situações.

Em seguida, conduziremos os grupos na resolução da questão proposta

com base no texto, nesse momento os discentes terão que encontrar o modelo mais

adequado a cada situação, o que de acordo com Biembengut e Hein (2011, p. 12) “é

um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma

forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real”. Posteriomente, os

discentes também realizarão a socialização dos resultados encontrados e por fim

resolverão as questões complementares, discutindo ao final suas possíveis

soluções.

A atividade 5 referente ao conteúdo de função afim e a atividade 7 sobre

a função quadrática consiste em um conjunto de problemas com a intenção de que o

aluno descubra estratégias para a resolução de problemas para esses conteúdos,

assim estas atividades devem ter um tratamento diferenciado das demais, por tratar

de problemas de fixação com modelos diferenciados, conduziremos a atividade

procurando destacar de modo que o discente possa atentar para os passos

estabelecidos por Polya

1. Compreender o problema: O que se pede no problema? Quais são os

dados e as condições do problema? É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? É possível estimar a resposta? 2. Elaborar um plano: Qual é o seu plano para resolver o problema? Que estratégia você tentará desenvolver? Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. Tente resolver o problema por partes 3. Executar o plano: Execute o plano

elaborado, verificando-o passo a passo. Efetue todos os cálculos indicado no plano. Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema. 4. Fazer o retrospecto ou verificação: Examine se a solução obtida está correta. Existe outra maneira de resolver o problema? É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes? (POLYA, 2006).

Ao final de cada atividade (grupo de questões) os alunos receberão uma

ficha de avaliação (cf. Apêndice F) para expressar suas opiniões sobre a aula do dia.

Esses procedimentos seriam usados por cada grupo de atividades.

130

2.2.1 Atividades da função afim

Texto para as atividades 1 a 4

SISTEMA DE PRODUÇÃO DO AÇAÍ

O uso de cultivares adaptadas às diferentes condições de

clima, solo e sistema de produção é o princípio fundamental para a

obtenção de incrementos de produtividade e de qualidade de qualquer

vegetal.

O programa de melhoramento genético da Embrapa Amazônia

Orienta, com base na seleção fenotípica na coleção de germoplasma de

açaizeiro, implantada em área de terra firme, no Município de Belém, PA,

lançou, em 2004, a cultivar BRS-Pará, selecionada para as condições de

terra firme, com bons níveis de produtividade de frutos.

De modo geral, é estimado que, no 5º ano, a produtividade possa chegar a 4 toneladas

e, no 6º ano a 6 toneladas, e a partir do 6º ano, ocorram aumentos progressivos que poderão

alcançar a 10 toneladas de frutos no 8º ano.

A colheita dos cachos inclui a debulha dos frutos e o seu transporte até o local do

embarque, efetuado nas costas ou em pequenas embarcações a remo (cascos). A rasa é uma

medida local que consiste em duas latas de 20 litros (28,4 kg), é confeccionada com talos de arumã

(IschnosiphonovatusKcke.), planta da família das Marantáceas, a qual pertence a araruta

(Marantaarundinacea).

Os preços mensais recebidos pelos extrativistas no Estado do Pará tiveram um

acréscimo no mês de junho. Tal ocorrência se deve a pouca oferta do produto em função do período

de entressafra. Contudo, esses preços tendem a recuar uma vez que no mês de julho inicia a safra do

açaí no Estado do Pará, isto pode ser creditado em parte à demanda externa que fortaleceu as

exportações. O incremento das exportações vem provocando a escassez do produto e a elevação

dos preços ao consumidor local em grande parte do ano, principalmente no período de entressafra

que acontece de janeiro a junho. O preço mensal pago ao extrativista (em R$/rasa) foi de R$18,00 em

junho de 2009, R$12,00 em junho de 2010 e R$ 6,00 em junho de 2011.

Bibliografia

Conab. Companhia Nacional de Abastecimento. Ministério da agricultura, pecuária e abastecimento. Disponível em: <http://www.conab.gov.br/OlalaCMS/uploads/arquivos/11_06_22_17_13_53_conjunturaacaijunho2011..pdf>. Data de acesso: 24 ago. 2012. (Texto adaptado) Embrapa Amazônia Oriental. Sistema de Produção. Disponível em: <http://sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br/FontesHTML/Acai/SistemaProducaoAcai_2ed/index.htm>. Data de acesso: 15 mar. 2012.(Texto adaptado) HOMMA, Alfredo KingoOyama. et al. Açaí: Novos desafios e tendências. Revista Amazônia: Ciencia e Desenvolvimento. Belém, v. 1, n. 2, jan./jun. 2006. (Texto adaptado)

Fonte: ASBRAER, 2011

131

2.2.1.1 Atividade 1

Esta atividade esta assim estruturada:

1

Título: Descobrindo a expressão algébrica

Objetivo: descobrir uma relação entre conjuntos de números.

Material: texto “Sistema de produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

Questão proposta: Volte ao texto “Sistema de produção do açaí”, selecione os dados sobre a

produção anual de açaí em função do ano, em seguida construa uma tabela com duas colunas, uma

coluna com dados dos anos e outra coluna com os valores da produção em toneladas. Com base na

tabela responda a questão proposta: Qual a expressão algébrica que melhor representa a produção

anual de Açaí?

Observação:Antes de responder a questão, complete as tabelas a seguir.

Procedimentos: observe os dados abaixo e descubra a expressão algébrica que relaciona o

conjunto dos valores de x e o conjunto dos valores de y em cada tabela.

x y x y

1 2 0 0

2 4 1 3

3 6 2 6

4 8 3 9

5 10 4 12 x x

x y x y

1 - 2 0 0

2 - 4 1 - 3

3 - 6 2 - 6

4 - 8 3 - 9

5 - 10 4 - 12 x x

x y x y

0 1 0 -1

1 2 1 0

2 3 2 1

3 4 3 2

4 5 4 3 x x

Observação:

Conclusão:

132

Após a discussão do texto do sistema de produção do açaí o professor

deverá entregar somente a primeira página da atividade 1, pois na segunda consta o

quadro explicativo sobre a definição da função afim, após a socialização dos

resultados dos alunos e de suas observações e conclusões, o professor definirá a

função afim e entregará o restante da atividade 1 (páginas 2 e 3).

2

Agora que você já compreendeu a relação existente entre o conjunto de dados das

tabelas acima volte ao texto “Sistema de produção do açaí”, selecione os dados sobre a produção

anual de açaí em função do ano, em seguida construa uma tabela com duas colunas, uma coluna

com dados dos anos e outra coluna com os valores da produção em toneladas. Com base na tabela

responda a questão proposta: Qual a expressão algébrica que melhor representa a produção anual

de Açaí?

3

Questões complementares

1. (ENEM, 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas

em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir.

Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de

vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Disponível em: www.penta.ufrgs.br.

Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).

133

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x d) y = 0,7x e) y = 0,07x + 6

2. (ENEM, 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de

refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de

canu

dos (C) de cada figura dependente da quantidade de quadros (Q) que formam cada figura. A

estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

........

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada

figura?

a) C = 4Q b) C = 3Q+1 c)C = 4Q-1 d) C = Q+3 e) C=4Q-2

3. (DANTE, 2008) O preço de venda de um livro é de R$15,00 por unidade. A receita total obtida pela

venda desse livro pode ser calculada pela formula: receita total = preço de venda por unidade vezes

quantidade de livros vendidos. Indicando por x a quantidade de livros vendidos escreva a lei da

função.

4. (VUNESP, 1995) Uma pessoa obesa, pesando em certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA

onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg Por semana. Suponhamos que isso realmente

ocorra. Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após

n semanas.

Análise a priori: O objetivo desta atividade é descobrir uma relação entre conjuntos

de números. A aplicação da mesma tem o intuito de auxiliar o aluno a descobrir uma

expressão algébrica e compreender o conceito de função afim a partir de relações

entre variáveis, desenvolver a capacidade de análise do discente com base em

dados de problemas contextualizados e conduzi-lo a encontrar o modelo (expressão

algébrica) que melhor represente a situação.

Nessa mesma perspectiva, as Matrizes de referência de Matemática do

ENEM 2011 visam que os alunos tenham desenvolvido, ao final do 3º ano do ensino

médio, competências e habilidades para “identificar representações algébricas que

expressem a relação entre grandezas; resolver situação-problema cuja modelagem

envolva conhecimentos algébricos e resolver problema com dados apresentados em

134

tabelas e analisar informações expressas em tabelas como recurso para a

construção de argumentos.”. E, os descritores do SAEB apontam para o 3º ano do

ensino médio habilidades como “reconhecer expressão algébrica que representa

uma função a partir de uma tabela”.

Nesta atividade, inicialmente os grupos estabelecerão uma relação entre

o conjunto dos valores de x e de y em cada tabela, as quais estão organizadas de

forma a facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre o conjunto de

valores do domínio e da imagem da função afim. Nossa hipótese é que os grupos

conseguirão descobrir a expressão algébrica em cada tabela enunciando-a

corretamente, pois consideramos que os alunos do 1º ano do ensino médio

dominem os conteúdos do ensino fundamental, como equações do 1º grau, pré-

requisito para o ensino de função afim. Contudo, terão dificuldade de redigir suas

observações e conclusões, isto porque escrever uma texto explicativo acerca dos

seus entendimentos poderá ser um problema para muitos deles, uma vez que

possivelmente os alunos não estão habituados a participar ativamente da construção

do conhecimento.

Por este motivo, durante a institucionalização do saber orientaremos os

estudantes a atentar para o título, o objetivo da atividade e também a obtenção dos

resultados advindos das relações estabelecidas entre os conjuntos de valores do

domínio e imagem, até então abordados apenas como x e y, a fim de que percebam

que esses elementos podem ajudá-los na organização de suas conclusões. E ainda

que tenham dificuldades em estabelecer uma associação entre a expressão

algébrica e a definição de função, esclareceremos isto no quadro explicativo, após a

socialização das considerações dos alunos, abordando a definição da função afim e

seus coeficientes, a variável dependente e independente e como podemos encontrar

uma função afim conhecendo dois pontos, evidenciaremos alguns exemplos, para

que em seguida os discentes resolvam a questão proposta com base nos dados do

texto “Sistema de produção do açaí”.

Supomos, também, que os grupos conseguirão encontrar o modelo

algébrico que representa a produção do açaí em toneladas, uma vez que a questão

busca instruí-los a montar a tabela com os dados para em seguida encontrar a

função semelhante aos procedimentos anteriormente desenvolvidos, mas que

poderiam encontrar dificuldades em retirar dados do texto, uma vez que não

135

estavam acostumados a modelar situações reais. Pensando nisso, orientaremos os

discentes a leitura do parágrafo que trata mais especificamente da produção anual

do açaí e a coletar os valores dos anos para o conjunto dos x e os valores da

produção para os conjuntos dos y. Depois que os grupos conseguirem encontrar a

expressão algébrica da produção anual de açaí, compararemos os resultados dos

alunos solicitando que eles escrevam no quadro suas respostas para a questão

proposta. Em seguida os discentes serão instigados a resolver as questões

complementares a fim de aprofundar o conteúdo aprendido.

Julgamos que inicialmente os discentes sentirão dificuldades em resolver

os problemas, haja vista que os questionários mensionados nas subseções 1.2 e 1.3

evidenciaram a resolução de problemas como um dos tópicos de função afim que os

discentes mais apresentam dificuldades, tanto na visão dos professores quanto dos

alunos. Em virtude disso, orientaremos os discentes aos passos para a resolução

dos problemas de acordo com a perspectiva de Polya (2006) para a resolução de

problemas.

Na primeira questão complementar supomos que os alunos consigam

enxergar a relação entre o nível da água e o número de bolas, pois a disposição dos

valores na tabela é similar a atividade anteriormente desenvolvida, no entanto o fato

dos dados serem números decimais pode causar certa estranheza aos discentes e

dificulte o cálculo para a construção da expressão. Na questão 2, por se tratar de

outra forma de representar os dados da função, os alunos a princípio poderão ter

dificuldades em identificar uma relação, para resolver isso, solicitaremos que eles

construam a próxima figura e agrupem os dados em uma tabela relacionando

quantidade de palitos e quantidade de quadrados até que cheguem a uma

conclusão sobre a sequência de dados.

Consideramos que os alunos conseguirão encontrar a expressão da

questão complementar 3, uma vez que a função representada está bem explicita na

forma de texto e esta subsidiará a construção da questão 4, caso os discentes

tinham dificuldades em resolver esta questão solicitaremos que busquem destacar a

variável dependente e a variável independente, o valor que é fixo e o valor que é

variável, a fim de enxergarem a relação existente.

Com relação ao tempo gasto para a realização da atividade, calculamos

que esta atividade demandará mais tempo para ser concluída, por iniciar com um

136

debate acerca da cultura local, a produção de açaí, e ainda pela própria estrutura da

atividade requerer ir e voltar ao texto, conceber conceitos, abrir espaço para

discussões, o que está previsto nas metodologias de ensino adotadas nesta

pesquisa. Contudo provoca uma quebra no contrato didático com o qual os alunos

estão acostumados, pois no questionário aplicado alunos do 2º ano (alunos da

escola lócus da pesquisa e de outras escolas) haviam informado que a forma de

abordagem do conteúdo utilizada por seus professores era pautada na definição,

exemplos e exercícios. E a sondagem realizada na turma de aplicação também

ressaltou essa abordagem. O que comprova que a turma experimental não estava

acostumada com o procedimento de ensino que adotamos.

2.2.1.2 Atividade 2


1

Título: Construindo gráficos da função afim

Objetivo: descobrir uma representação geométrica para função afim.

Material: texto “Sistema de Produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

Questão proposta: Organize os dados do texto “Sistema de Produção do açaí” em uma tabela

com os valores de x referente ao ano e os valores de y referentes a produção anual do fruto,

construa o gráfico e responda: Como podemos representar graficamente a produção anual de

açaí?

Observação:Antes de responder a questão, construa os gráficos a seguir.

Procedimentos: para cada função encontre o valor de f(x), preencha a tabela e em seguida construa o gráfico.

( ) 2f x x

( ) 2f x x

x

( )f x

x

( )f x

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

137

( ) 1f x x

( ) 1f x x

x ( )f x x ( )f x

-2 -2 -1 -1

0 0

1 1

2 2

( ) 3f x x

( ) 2 4f x x

x ( )f x

x

( )f x

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1 2 2

Conclusão:

Primeiramente o professor entregará a página 1 da atividade 2 da função

afim. Somente após a construção do gráfico e as conclusões dos discentes que o

professor deverá institucionalizar o saber mostrando o quadro explicativo da

atividade 2 (páginas 2) e prosseguir com a aplicação das demais questões.

2

Como você já praticou a construção dos gráficos, organize os dados do texto “Sistema

de Produção do açaí” em uma tabela com os valores de x referente ao ano e os valores de y

138

referentes a produção anual do fruto. Construa o gráfico e responda: Como podemos representar

graficamente a produção anual de açaí?


1. (DANTE, 2008) Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula

matemática 2 3s t , em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos).

Construa o gráfico de s em função de t.

2. (BACKS, 2008) Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis

econdensou as informações na tabela seguinte:

Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por um dia, em função donúmero de km

rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. E esboce os gráficos de cada uma das

situações.

3. (ENEM, 2011) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas

por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção.

Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.

Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas

desse produto é

a) b) c) d) e)

4. (VUNESP) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em

centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico,

obtemos a figura abaixo. Se for mantida sempre essa relação entre tempo e

altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:

a) 5 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 15 cm e) 30 cm

Análise a priori: No que diz respeito ao ensino de funções e suas

representações gráficas, o SAEB, em seus descritores, ressalta: “identificar o gráfico

que representa uma situação descrita em um texto; reconhecer o gráfico de uma

função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes e reconhecer a

expressão algébrica de uma função do 1º grau dado seu gráfico”. O ENEM destaca

139

habilidades como “analisar informações expressas em gráficos como recurso para a

construção de argumentos; utilizar informações expressas em gráficos para fazer

inferências e resolver problema com dados apresentados em gráficos”. Estes

aspectos iniciados nesta atividade serão também explorados na atividade 5, nos

problemas que envolvem gráficos.

Assim, esta atividade intenciona propiciar aos alunos a construção de

gráficos da função afim para em seguida resolverem questões de aplicação

envolvendo gráficos. Inicialmente os discentes serão conduzidos a encontrar a

imagem de cada função e marcar os pontos encontrados no plano cartesiano para

em seguida traçar o gráfico. Esperamos que os alunos tenham a percepção de que

o gráfico que representa a função afim é uma reta e abriremos um momento para

discussão e esclarecimento das considerações dos alunos.

A questão proposta busca conduzir o discente a extração de dados do

texto para construção gráfica, daremos um tempo para os grupos buscarem esses

dados no texto. Supomos que eles tenham dificuldades em extrair e tabelar esses

dados por não estarem acostumados a buscar dados matemáticos em um texto.

Para tanto, os conduziremos na construção de uma tabela semelhante a da

atividade 1, em que estavam destacados valores domínio e da imagem, mostrando

que esses dados no texto estão substituídos por valores de ano e produção em

toneladas. Esperamos que desta forma seja possível que eles sistematizem os

dados e construam o gráfico.

Quanto a questão complementar 1, nossa hipótese é que os alunos terão

facilidade em resolve-la, já que é apresentada a função e as variáveis e o discente

apenas deverão escolher valores do domínio, substituir na equação e encontrar as

coordenadas de cada ponto, bem parecido com a atividade inicial. Na questão

complementar 2, consideramos que os discentes terão um pouco mais de dificuldade

por se tratar de duas ações, primeiro achar a equação e segundo a construção

gráfica, outra dificuldade poderá ser pelo fato dos dados não serem números

inteiros, mas como nossa intenção é treiná-lo para resolução de problemas reais se

faz necessário apresentarmos dados que os expressem. No entanto, como em

ambas as ações eles terão que resolver questões similares consideramos que seria

possível às assertivas. Na questão três por se tratar da análise dos dados

relacionando ao gráfico, consideramos que o conhecimento apreendido até então

140

seja suficiente para que eles possam realizar a questão corretamente. Na questão

complementar 4 buscamos que o discente seja capaz de coletar dados do gráfico

para representá-lo algebricamente e em seguida encontrar a imagem a partir do

domínio.

Extipulamos que esta atividade também demandaria certo tempo, pois

apesar da atividade 1, já ter esclarecido alguns conceitos, como domínio e imagem,

que será abordado nesta atividade, o exercício da construção gráfica e a releitura do

texto do “sistema de produção de açaí”, e principalmente pelas diferentes

abordagens de representação gráfica da função afim presentes nas questões

complementares, são fatores que justicam um tempo consideravelmente longo para

a aplicação.

2.2.1.3 Atividade 3


1

Título: Crescimento e decrescimento da função afim

Objetivo: descobrir uma relação entre os coeficientes da função afim com o comportamento do

gráfico e seu crescimento ou decrescimento.


Questão proposta: Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em

função do ano, com base no texto “Sistema de produção do açaí” na Atividade 1, agora com base no

que você aprendeu responda a questão proposta: A função que representa a produção anual de açaí

é crescente ou decrescente?

Observação:Antes de responder a questão, estude os gráficos a seguir.

Procedimentos: Observe os gráficos e preencha a tabela abaixo.

( ) 2f x x ( ) 2f x x

141

( ) 1f x x ( ) 1f x x

( ) 3f x x ( ) 3f x x

2

2

( ) 23

f x x

2( ) 2

3f x x

( ) 10 5f x x 5( ) 10

2f x x

142

( ) 9 3f x x ( ) 2 4f x x

3

Uma função em que sempre que o valor da variável independente aumenta

implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável

independente diminui implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de

função crescente.

Uma função em que sempre que o valor da variável independente diminui

implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável

independente aumenta implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada

de função decrescente.

bxaxf )(, com

:f a

b

0a

maior

0a

menor

A função é:

Crescente?

Decrescente?

( ) 2f x x

( ) 2f x x

( ) 1f x x

( ) 1f x x

( ) 3f x x

( ) 2 4f x x

2( ) 2

3f x x

2( ) 2

3f x x

( ) 10 5f x x

5( ) 10

2f x x

( ) 9 3f x x

143

Observação:

Conclusão:

( ) 3f x x

4

Agora com base na atividade que você desenvolveu, responda a questão proposta.

Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em função do ano, com

base no texto “Sistema de produção do açaí” na Atividade 1, agora com base no que você aprendeu

responda a questão proposta: A função que representa a produção anual de açaí é crescente ou

decrescente?

Questões complementares:

1. (CESESP-PE) Considere a função afim ( ) ( 0)f x ax b a . Qual dentre as seguintes

alternativas é verdadeira?

a) se b>0, então a função é crescente;

b) se b<0, então a função é decrescente;

c) se a>-1, então a função é crescente;

d) se a<1, então a função é decrescente;

e) se a>0, então a função é crescente;

2. (IEZZI, 2005) Especifique, para cada uma das funções abaixo, quais são crescentes ou

decrescentes em .

a) 5 1y x

b) 2 3y x

c) 3y x

d)

3y x

3. (DANTE, 2008) Determine a lei da função afim cuja reta intersecta os eixos em (-8,0) e (0,4). Essa

função é crescente ou decrescente?

O professor deve entregar a atividade completa ao aluno, incluindo o

quadro explicativo da função crescente e decrescente, essencial para a resolução da

atividade.

Análise a priori: A atividade consoante aos descritores do SAEB requer que os

discentes desenvolvam a habilidade de “analisar crescimento/decrescimento

apresentadas em gráficos”. A atividade deverá permitir que os alunos verificassem

144

que a influência do coeficiente a no comportamento do gráfico da função afim.

Consideramos que os grupos não teriam dificuldades para descobrir, enunciar e

redigir as conclusões, já que o quadro explicativo anunciará as situações de

crescimento e decrescimento o que implicaria apenas na associação do valor de a

ao seu correspondente gráfico.

O que poderá ocorrer neste caso é que os grupos fassam confusão entre

a variável independente e dependente quanto ao aumento e diminuição no momento

da observação do gráfico. E contornaremos a situação explicitando em um exemplo

a variável dependente e independente no gráfico e como esse aumento ou

diminuição poderá ocorrer, para em seguida eles prosseguirem a atividade nos

gráficos propostos. Após as conclusões dos alunos e nossas considerações sobre a

atividade os mesmos serão direcionados a resolver as questões seguintes.

Julgamos que as duplas serão capazes de responder a questão proposta

e as questões complementares, haja vista que a conclusão dos procedimentos desta

atividade era suficiente para que fosse possível identificar se a função afim era

cresceste ou decrescente tanto observando a expressão algébrica como observando

seu gráfico.

Consideramos que esta atividade demandará menor tempo que as

atividades anteriores para ser concluída e que apresentará o melhor desempenho

das duplas em relação a redação das conclusão, devido o acúmulo de experiências

que eles terão e por ter poucas questões complementares.

2.2.1.4 Atividade 4


1

Título: O zero da função afim

Objetivo: identificar o zero da função afim a partir da análise gráfica.


Questão proposta: Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em

função do ano, a partir do texto “Sistema de produção do açaí”, agora com base no que você

aprendeu responda a questão proposta: Sabendo que os anos iniciais foram dedicados ao plantio do

açaí. Qual o ano em que inicia a produção dos frutos?

Observação: Antes de responder a questão, estude os gráficos a seguir.

Procedimentos: Para cada gráfico abaixo identifique as coordenadas do ponto em que a reta corta

145

o eixo das abscissas

.

( ) 2f x x ( ) 2f x x

( ) 1f x x ( ) 1f x x

( ) 3f x x ( ) 3f x x

2

2

( ) 23

f x x

2( ) 2

3f x x

146

( ) 10 5f x x 5( ) 10

2f x x

( ) 9 3f x x ( ) 2 4f x x

3

Com base na observação realizada preencha o quadro a seguir:

Função

Coordenadas do ponto em que a reta corta o eixo das abscissas

Valor da abscissa Valor da ordenada

( ) 2f x x

( ) 2f x x

( ) 1f x x

( ) 1f x x

( ) 3f x x

( ) 3f x x

2( ) 2

3f x x

2( ) 2

3f x x

( ) 10 5f x x

147

5( ) 10

2f x x

( ) 9 3f x x

( ) 2 4f x x

Observação:

Conclusão:

O professor deverá entregar as três primeiras páginas da atividade 4

sobre o zero da função afim, as últimas páginas somente após a observação e

conclusões dos alunos, pois na página 4 consta o quadro sobre a definição do zero

da função, que deverá ser ministrada pelo professor após a socialização dos

resultados da execução dos procedimentos desta atividade pelos alunos.

4

O zero da função afim (ou raiz da função) é o valor de x para o qual a função

( )f x ax b se anula, ou seja, para o qual ( ) 0f x .

Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em função do

ano, a partir do texto “Sistema de produção do açaí”, agora com base no que você aprendeu

responda a questão proposta: Sabendo que os anos iniciais foram dedicados ao plantio do açaí.

Qual o ano em que inicia a produção dos frutos?

Problemas complementares

1. Encontre o zero ou raiz das funções a seguir:

a) 5 1y x

b) 2 3y x

c) 3y x

d)

3 2y x

2. (DANTE, 2008) Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função

horária S(t) = 100t – 50, em que S(t) representa sua posição (em km) e t representa o tempo (em h).

Depois de quanto tempo o motociclista passa pelo marco quilometro zero (km 0)?

Análise a priori: A atividade trata basicamente da análise do gráfico, nossa hipótese

era que as duplas conseguissem identificar que o zero da função é a abscissa do

148

ponto em que o gráfico corta o eixo x. O SAEB (2011, p. 79) aponta como um de

seus descritores (D20) “analisar zeros de funções reais apresentadas em gráficos”.

Julgamos que os alunos terão dificuldade em compreender a questão

proposta, em associar o zero da função ao ano inicial do plantio. Caso isso ocorra

pediremos para que analisassem o gráfico construído na questão proposta da na

atividade 2 e tentassem identificar o zero da função para em seguida associarem o

valor ao ano observado.

Quanto a atividade complementar 1, supomos que as duplas não tenham

dificuldades em encontrar o zero da função, por terem estudado anteriormente

equação do primeiro grau. As outras duas questões também podem ser de fácil

solução por ser similar a questão proposta. Consideramos que esta atividade

demandará o menor tempo para ser concluída, por ser mais sucinta e por ter

questões complementares similares.

2.2.1.5 Atividade 5


1

Título: Problemas sobre função afim

Objetivo:Descobrir estratégias para resolução de problemas envolvendo a função afim.

Material:Roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

1. O patchuli é nativo nas Índias Orientais e Ocidentais da língua tamil patchai (verde) e ellai (folha),

tem sido utilizado durante séculos em perfumaria, o seu aroma é considerado relaxante por diversas

pessoas. São atribuídas várias propriedades benéficas tanto à planta quanto ao seu óleo essencial,

principalmente por parte dos adeptos de medicina alternativa e ervanários. Nas feiras de artesanato

de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de

patchuli. Um artesão paraense resolveu incrementar sua produção, investindo na compra de matéria

prima, assim tinha um gasto fixo acrescido do custo por unidade produzida. A tabela seguinte mostra

o custo total C da produção, em reais, em função do número de árvores produzidas n.

Escreva a expressão algébrica que representa o custo total da produção de árvores de patchuli.

Qual o custo para o artesão se forem produzidas 10 árvores?

149

2. (UNAMA, 2012) Um paciente esteve interado durante X dias num hospital que cobrou R$200,00

pela diária do apartamento e R$ 1.200,00 pelo procedimento cirúrgico. A expressão que representa o

total pago Y (em reais) pelo paciente em função do número x de dias é

a) 1.400Y X b) 1.200 200Y X c) 200 1.200Y X d) 200Y X

3. (HOFFMANN, 2002) Uma locadora de automóveis cobra R$100,00 por dia mais R$2,00 por

quilômetro rodado. a) Expresse o custo para alugar um carro nessa locadora por 1 dia em função do

número de quilômetros rodados; b) Quanto custa alugar o carro por 1 dia para uma viagem de 50

quilômetros? c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por 1 dia foi R$150,00?

4. (HOFFMANN, 2002) Desde o inicio do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo

água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d‟água; no dia

21, está apenas com 164 milhões de litros. a) Expresse a quantidade de água no reservatório em

função do tempo; b) Quanta água havia no reservatório no dia 8?

5. (HOFFMANN, 2002) Uma empresa aluga uma máquina industrial por uma quantia fixa de R$20,00

mais R$5,00 por hora de uso. a) Faça uma tabela mostrando o número de horas de uso da máquina

e o preço correspondente do aluguel para 2 horas, 5 horas, 10 horas e horas; b) Escreva a

expressão para o custo y em função do números de horas de uso t (supondo que t seja um número

real positivo); c) Faça o gráfico da expressão obtida no item (b); d) Determine o tempo de uso do

equipamento, se a quantia cobrada pelo aluguel da máquina foi R$60,00.

2

6. (UEPA, 2011) Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$11.000,00 na produção de papel

reciclado e R$0,06 na produção de cada folha o gráfico que representa o custo total que a fábrica

tem por mês, na produção de folhas de papel reciclado será:

a) uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas

b) uma reta de origem no ponto (0, 11.000).

c) uma reta que passa pelo ponto (6.600, 11.000).

d) uma curva que passa pelo ponto (11.000, 327).

e) uma curva que passa pelo ponto (6, 11.000).

7. (UEPA, 2012) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço

realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De

acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar

glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De

acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe uma relação

linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse

sentido, essa relação linear pode ser expressa por y ax b , onde “y” representa o volume

cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do

150

gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume

cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é:

(Fonte: AGUIAR, A. F. A., XAVIER, A. F. S. e RODRIGUES, J. E. M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São. Paulo: Editora Harbra, 1988. Texto Adaptado)

a) 0,91. 585y x

b) 0,92. 585y x

c) 0,93. 585y x

d) 0,94. 585y x

e) 0,95. 585y x

3

8. (ENEM, 2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custos fixos de

R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo

total para x jogos produzidos é dado por C (x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa

determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos

produzidos é dada por R(x)=0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidade

de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela

corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos é

a) b) c)

d) e)

9. Um dos atrativos da Ilha de Marajó é o queijo marajoara feito do leite de búfala. Um produtor de

queijo tem um gasto mensal R$1.000,00 para manutenção das instalações. Como cada quilo de

151

queijo será vendido a R$50,00. Determine: a) a expressão algébrica da função que representa o

ganho mensal do produtor de queijo em função do número x de quilos de queijo vendidos; b) indique

se a função é crescente ou decrescente; c) quantos quilos de queijo devem ser vendidos para que

haja lucro no final da venda. d) se o produtor vender 15 quilos de queijo, qual será seu rendimento

mensal? Ele vai ter lucro ou prejuízo?

10. (ENEM, 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que

produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função,

simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q

também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de

produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q e

CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria

terá de fabricar para não ter prejuízo?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

Análise a priori: Tanto o PCNEM quanto o ENEM e o SAEB destacam a resolução

de problemas dentre as habilidades que o discente deve desenvolver seja de forma

geral “resolver problema envolvendo uma função do 1.º grau”(Saeb, 2011, p. 79) ou

mais específica “resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos

e resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos”

(ENEM, 2011, p.5).

Esta atividade certamente demandará tempo igual ou superior a atividade

1, por se tratar de situações problemas, por apresentar questões diferenciadas e por

tratar de questionamentos ainda não estudados como a noção de lucro e prejuízo

pela ótica da resolução de problemas sobre função afim. Os aspectos destacados

por Polya para a resolução de problemas serão aqui empregados, na tentativa de

treinar o discente a resolução de problemas e torná-lo apto a percepção de tais

situações no seu cotidiano, desse modo propomos problemas de vestibulares locais

como UFPA, UEPA e UNAMA, de outras instituições e de outros autores além de

alguns problemas por nos elaborados.

Inicialmente daremos um tempo para os grupos tentarem resolver os

problemas, nossa hipótese era que os discentes tivessem dificuldades em resolver

questões de tal natureza. Caso esta situação fosse percebida em algum grupo,

procuraremos fazê-los refletir sobre as seguintes questões: O que se pede no

problema? Quais são os dados e as condições do problema? É possível fazer uma

152

figura, um esquema ou um diagrama? É possível estimar a resposta? Dentre outros

questionamentos destacados por Polya(2006). Assim, esperamos contribuir para que

os grupos conseguissem desenvolver a atividade e chegar à solução dos problemas.

As questões 1, 2, 3, 4 e 5 por serem similares as questões desenvolvidas

nas atividades 2 e 3 julgamos que as duplas consiguam resolver com certa

facilidade. Supomos que os grupos possam sentir dificuldade na questão 6, uma vez

que o visual (gráfico) não fazia parte da questão, no entanto, instigaremos os grupos

a encontrar uma relação entre o valor de b e os gráficos construídos na atividade 2,

e assim poderemos conduzí-los a conclusão de que o b é o ponto que corta o eixo

das ordenadas, ampliando desse modo a capacidade de análise do aluno sobre a

questão 5.

Na questão 7, esperamos que os alunos não tenham dificuldade por se

tratar da extração de dados do gráfico, o que já haviam estudado, e de encontrar

uma expressão algébrica que represente a função a partir de dois pontos o que já

teremos esclarecido no momento da socialização da atividade 1. Na questão 8, os

discentes poderão ter dificuldades em relacionar receita, lucro e custo, neste caso,

instruiremos os mesmos quanto noção da regra que representa o lucro de uma

empresa (lucro = receita – custo), nossa hipótese é que eles consigam visualizar no

gráfico a função correspondente ao lucro.

Consideramos que os grupos até consegam estabelecer as expressões

nas questões 9 e 10, mas não conseguam concluir a questão por se tratar de

situações que envolvam uma inequação do 1º grau, assumindo valores maiores,

menores ou iguais a zero para situações de lucro ou prejuízo. Caso isso ocorra

incentivaremos os discentes a encontrarem a desigualdade conforme o solicitado na

questão (com ( ) 0f x ou ( ) 0f x ) e observar para que valores da função os dados

seriam maior ou menor que o zero da função.

153

2.2.2 Atividade da função quadrática

Texto para as atividades 1 a 6

ARQUITETURA DO VER-O-PESO

O trecho do poema acima do poeta belenense Max Martins enfatiza a vida no Mercado

Ver-o-Peso, na cidade de Belém do Pará, grande metrópole da região amazônica, o poeta retratou a

dificuldade do homem ribeirinho em vencer a pobreza na cidade. O mercado foi criado em 1627 para

fiscalizar as mercadorias e cobrar os impostos para a coroa portuguesa, eram as Casas do “Ver-o-

Peso”, o que levou o lugar a ficar conhecido popularmente como Ver-o-Peso. Mas a configuração

que conhecemos atualmente, na paisagem urbana, é resultado de investimentos realizados no

famoso ciclo da borracha, pois o Brasil era o maior produtor mundial de borracha natural do mundo,

em meados do século XIX e início do século XX.

Esses lucros resultaram em investimentos na construção de

prédios públicos, além da urbanização da cidade, o mercado do Ver-o-

Peso, que era a porta de entrada de Belém, logo se beneficiou deste

processo: “as principais ruas foram pavimentadas em concreto e no

calçamento de outras em paralelepípedos de granito, importados de

Portugal; na obrigatoriedade, através de códigos urbanos, do

alinhamento das construções que agora ganhavam varanda na frente dos pavimentos; na

ornamentação das antigas praças alagadiças e recém plantadas com amendoeiras e causarias; na

construção do Mercado Municipal, junto ao Ver-o-Peso”.

Durante muito tempo o Ver-o-Peso, apesar de sua grande importância econômica

regional, chamava a atenção por sua desorganização espacial, refletida na distribuição irregular de

barracas amontoadas umas sobre as outras, sem ventilação e iluminação adequada, era uma

verdadeira favela comercial. Em 1998 foi iniciado um processo de revitalização urbana no Pará, o

Ver-o-Peso foi reformado.As antigas barracas de madeiras foram demolidas, e novas estruturas de

lona tencionada foram construídas para abrigar os feirantes, o tecido das tendas é sintético, branco

e translúcido, e tem durabilidade de seis anos. Foram projetadas em módulos de 8m por 8m, no total

de 77 unidades, propiciando uma área coberta de quase 5 mil m2. Um módulo de tenda de tecido

planificado forma um quadrado cujas dimensões largura e comprimento é xmetros, conforme a figura

a seguir:

Foto da tenda do Ver-o-Peso

Fonte: Google imagem

“A canoa traz o homem a canoa traz o peixe

a canoa tem um nome no mercado deixa o peixe

no mercado encontra a fome” Mercado Ver-o-Peso (Desenho de Luiz Porto)

154

Tendas

Tecido de uma tenda

O projeto foi feito com ajuda da comunidade, e o espaço tornou-se motivo de orgulho

para os paraenses. No dia 27 de março de 2011, o maior mercado aberto da América Latina

celebrou 384 anos, símbolo de diversidade, elo entre a metrópole e vida do ribeirinho.

Bibliografia

CARVALHO, Bianca Moro de. Ver-o-peso em Belém do Pará: 384 anos de história e transformação urbana. (Texto

adaptado). Disponível em: < http://www.thegreenclub.com.br/urbanismo/ver-o-peso-em-belem-do-para-384-anos-de-historia-e-

transformacao-urbana/>. Data de acesso: 02 mai. 2012. (Texto adaptado)

2.2.2.1 Atividade 1


1

Título: Descobrindo a expressão algébrica

Objetivo: descobrir uma relação entre conjuntos de números.

Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

Questãoproposta:No texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, o tecido usado para formar a tenda é feito

de um módulo de 8 metros de comprimento por 8 metros de largura, considerando as dimensões

largura e comprimento iguais a x metros, qual das expressões algébricas,encontradas a partir da

relação estabelecida nas tabelas desta atividade, melhor representa a área de tecido necessária

para construir um módulo da tenda em função de suas dimensões?

Observação:Antes de responder a questão, resolva a sequência a seguir.

Procedimentos: observe os dados abaixo e descubra a expressão algébrica que relaciona o

conjunto dos valores de x e o conjunto dos valores de y em cada tabela.

x y x y

1 1 1 2

2 4 2 5

3 9 3 10

4 16 4 17

5 25 5 26 x x

x y x y

1 2 1 3

2 6 2 6

3 12 3 11

4 20 4 18

5 30 5 27 x x

x

x Fonte: Blog uruatapera

155

x y x y

1 3 1 4

2 7 2 8

3 13 3 14

4 21 4 22

5 31 5 32 x x

Observação:

Conclusão:

Após a discussão do texto da arquitetura do Ver - o – Peso, o professor

deverá entregar somente a primeira página da atividade 1, pois na segunda consta o

quadro explicativo sobre a definição da função quadrática, após a socialização dos

resultados dos alunos e de suas observações e conclusões, o professor definirá a

função quadrática e entregará o restante da atividade 1 (páginas 2).

2

As expressões algébricas encontradas nas tabelas acima relacionam dois conjuntos reais

:f , o conjunto dos valores de x chamados de domínio e o conjunto dos valores de y

denominados imagem. Essas expressões são exemplos de função quadrática, onde o y é a

variável dependente e o x a variável independente, assim dizemos que y está em função de x .

Essas expressões podem ser escritas na forma genérica: 2( )f x ax bx c , com 0a ,

onde a , b e c pertencem ao conjunto dos números reais e são chamados coeficientes da

função quadrática.

Com base nas expressões que você encontrou responda: No texto “Arquitetura do Ver-

o-peso”, o tecido usado para formar a tenda é feito de um módulo de 8 metros de comprimento por 8

metros de largura, considerando as dimensões largura e comprimento iguais a x metros, qual das

expressões algébricas,encontradas a partir da relação estabelecida nas tabelas desta atividade, que

melhor representa a área de tecido necessária para construir um módulo da tenda em função de

suas dimensões?

Tendas

Tecido de uma tenda

x

x

156


1. (DANTE, 2008) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus

quatro cantos, quadrados de lado x . Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou

em função de x .

2. Uma mesa retangular de ping-pong possui um perímetro de aproximadamente 8 metros.

Sabendo que a área da mesa é função do comprimento de um dos lados. Qual a expressão

algébrica que representa a área da mesa de ping-pong?

3. (BACKS, 2008) Um quadrado de cartolina tem lados medindo 10 cm. Em um

dos cantos foi cortado um pedaço quadrado cujos tamanhos dos lados medem x

.Determine a expressão que representa a área da figura pintada de cinza.

4. (HUFFMANN, 2002) Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1.000 m de

cerca. Se um dos lados mais compridos do pasto fica na margem do rio (portanto, não precisa ser

cercado), expresse a área do pasto em função da largura.

Análise a priori: O objetivo desta atividade é descobrir uma relação entre conjuntos

de números. A aplicação da mesma tem o intuito de auxiliar o aluno a descobrir uma

expressão algébrica e compreender o conceito de função quadrática a partir de

relações entre variáveis, desenvolver a capacidade de análise do discente com base

em dados de problemas contextualizados e conduzi-lo a encontrar o modelo

(expressão algébrica) que melhor represente a situação.

Inicialmente os alunos irão estabelecer uma relação entre o conjunto dos

valores de x e de y em cada tabela, estas tabelas estão organizadas de forma a

facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre o conjunto de valores do

domínio e da imagem da função quadrática. Nossa hipótese é que será possível que

os grupos consigam descobrir a expressão algébrica em cada tabela enunciando-a

corretamente, haja vista que no 1º ano do ensino médio os alunos já devem ter

estudado o conteúdo de equações do 2º grau no ensino fundamental que é pré-

requisito para o ensino de função quadrática, e tivessem mais facilidade de redigir

suas observações e conclusões, por terem realizados atividades similares no estudo

da função afim.

Após a execução desta parte inicial da atividade abriremos um espaço

para a socialização das observações e conclusões dos grupos e em seguida será

157

ministrada a instrumentalização do conteúdo, abordando a definição de função

quadrática, seus coeficientes, a variável dependente e independente, a noção de

domino e imagem da função quadrática e como poderíamos encontrar uma função

quadrática conhecendo três pontos, evidenciaríamos alguns exemplos, para que em

seguida os discentes resolvessem a questão proposta com base nos dados do texto

“Arquitetura do Ver-o-Peso”.

Supomos, também, que os grupos consigam identificar o modelo

algébrico que represente a área do tecido da tenda, devido o acúmulo de

informações após as atividades da função afim e também devido o desenho

ilustrativo explicitar com clareza a situação proposta. Após isto, os grupos terão que

resolver as questões complementares, julgamos que estas serão um pouco mais

difíceis para os alunos por se tratar de exemplos diferenciados. As questões

complementares nesse primeiro momento requerem apenas alguns conceitos de

geometria plana, relacionando a função quadrática a questões de área e perímetro,

prosseguiríamos ressaltando os passos para a resolução dos problemas de acordo

com Polya e elucidaremos caso fosse necessário às noções de lado, área e

perímetro, a fim de que chegassem a expressão solicitada.

Com relação as Matrizes de referência de Matemática os conteúdos

abordados na atividade se enquadram nos descritores do ENEM (2011, p.5)

“identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas;

resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos e

resolver problema com dados apresentados em tabelas e analisar informações

expressas em tabelas como recurso para a construção de argumentos”. E, nos

descritores do SAEB (2011, p. 79) “reconhecer expressão algébrica que representa

uma função a partir de uma tabela”.

Em se tratando do tempo gasto para a realização da atividade,

consideramos que esta atividade demandará menos tempo para ser concluída, que

a atividade 1 da função afim, pelo fato dos discentes já dominarem alguns conceitos

e estratégias para solução de tais problemas. No entanto, o maior tempo nesta

atividade será dedicado aos problemas complementares, por necessitar de noções

da geometria plana, assunto possivelmente tratado em anos anteriores de ensino.

158

2.2.2.2 Atividade 2


1

Título: Construindo gráficos da função quadrática

Objetivo: descobrir uma representação geométrica para função quadrática

Material: texto “Arquitetura do ver-o-peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

Questão proposta: Com base nos dados do texto “Arquitetura do Ver-o-peso”, descobrimos na

Atividade 1 a expressão que melhor representa a área do tecido de um módulo de tenda, agora

responda: qual dos gráfico que você construiu acima representa a função da a área do tecido de um

módulo de tenda?

Observação:Antes de responder a questão, construa os gráficos a seguir.

Procedimentos: para cada função: encontre o valor de f(x), preencha a tabela e em seguida construa o gráfico.

2( )f x x 2( ) 1f x x

x y

x y

- 2 - 2 - 1 - 1

0 0

1 1

2 2

2( ) 2f x x x 2( ) 4f x x x

x y

x y

- 3 0

- 2 1 - 1 2

0 3

1 4

159

2( ) 4 4f x x x

2( ) 4 5f x x x

x y

x y

- 4 0

- 3 1

- 2 2 - 1 3

0 4

Conclusão:

Primeiramente o professor entregará a página 1 da atividade 2 da função

quadrática. Somente após a construção do gráfico e as conclusões dos discentes

que o professor deverá institucionalizar o saber mostrando o quadro explicativo da

atividade 2 (páginas 2) e prosseguir com a aplicação das demais questões.

2

Os gráficos construídos acima são exemplos de gráfico de uma função quadrática (

2( )f x ax bx c , com x e 0a ), cuja representação no plano cartesiano é uma curva

aberta chamada parábola.

Com base nos dados do texto “Arquitetura do Ver-o-peso”, descobrimos na Atividade 1

a expressão que melhor representa a área do tecido de um módulo de tenda, agora responda: qual

dos gráfico que você construiu acima representa a função da a área do tecido de um módulo de

tenda?


1. (DANTE, 2010) Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e

(0,4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde

a essa função:

a) 2( ) 2 8 4f x x x b)

2( ) 2 8 4f x x x c)2( ) 2 8 4f x x x

160

2. O Amazonas é o segundo rio mais extenso do planeta, apresenta 6,4 mil quilômetros, sendo

menor apenas que o rio Nilo (7.400 quilômetros). A nascente do rio Amazonas está localizada no

lago Lauri, nos Andes do Peru. O rio Amazonas está presente nos

países do Peru, Colômbia e Brasil, em sua bacia hidrográfica estão

também os países da Bolívia, Equador, Venezuela e Guiana. O rio

nasce com o nome de Vilcanota, e recebe depois as denominações

de Uicaiali, Urubamba e Marañón. Quando entra no Brasil, se torna

Solimões, até o encontro com o rio Negro, próximo de Manaus.

Desse ponto até a foz recebe o nome de Amazonas. O rio

Amazonas, possui cerca de 1.100 afluentes, exemplos deles são: Rio Javari, Rio Jutaí, Rio Juruá,

Rio Madeira, Rio Purus, Rio Coari, Rio Napo, Rio Negro, Rio Jari e Rio Paru.

Supondo que um dos afluentes do rio possui profundidade de 8 metros. E, para se determinar

a equação do leito de rio, basta possuir os registros, de distância e profundidade, em uma seção do

rio. Considerando que foram registrados os seguintes dados, (0,0), (4,-8), (8,0), da distancia e

profundidade do rio, em metros, ilustrado no desenho abaixo.

Determine a expressão que represente o leito do rio.

Análise a priori: Esta atividade tem o intuito que os alunos construam o gráficos da

função quadrática. Em se tratando do cálculo dos valores da imagem e da colocação

dos pontos encontrados no plano cartesiano consideramos que os discentes não

terão dificuldades por terem executado atividade similar no estudo da função afim, e

com relação à disposição dos pontos no plano cartesiano, nossa hipótese é que eles

consigam traçar a parábola em cada atividade, haja vista que já devem ter o primeiro

contato com funções desse tipo no 9º ano do ensino fundamental. Caso algum aluno

tenha dificuldade em construir o gráfico, nossa intervenção consistirá em solicitar

que eles liguem os pontos, conforme a disposição no plano cartesiano. Assim,

esperamos que os alunos tenham a percepção de que o gráfico que representa a

função quadrática é uma parábola e abriremos um momento para discussão e

esclarecimento das considerações dos alunos.

Fonte: Brasil Escola

161

Como a expressão algébrica da questão proposta desta atividade deverá

ter sido encontrada na atividade 1 supomos que os grupos relacionem facilmente a

expressão explicitada na atividade com seu respectivo gráfico.

Após a socialização dos resultados obtidos e o esclarecimento quanto a

representação gráfica de uma função quadrática, bem como a possibilidade de

encontrar a expressão algébrica da função quadrática conhecendo três de seus

pontos, esclarecidos na atividade 1, esperamos que os grupos sejam capazes de

construir o gráfico e encontrar a função da questão complementar 1 e de extrair os

dados do gráfico para encontrar a função quadrática da questão complementar 2.

Dentre os descritores do ENEM sobre funções e suas representações

gráficas destacam-se: “analisar informações expressas em gráficos como recurso

para a construção de argumentos; utilizar informações expressas em gráficos para

fazer inferências e resolver problema com dados apresentados em gráficos”. O

SAEB ressalta habilidades como “identificar o gráfico que representa uma situação

descrita emum texto”.

2.2.2.3 Atividade 3


1

Título: Concavidade da parábola

Objetivo: descobrir uma relação entre os coeficientes da função quadrática e sua concavidade.


Questão proposta: A figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” foi destacada por

uma malha quadriculada com base em uma escala (1:100) que nos permite visualizar pontos no plano

cartesiano. A curva formada por uma tenda ao amarrar suas extremidades nas artes de ferro que a

sustenta, tem inicio na origem O dos eixos, com os pontos (coordenadas) O, P e Q destacados na

curva da tenda conforme a figura ao lado. Com base nos dados, responda: a) Qual a expressão

algébrica que representa a função da curva da tenda? b) A figura da tenda ilustrada no texto

“Arquitetura do Ver-o-Peso” é côncava para cima ou côncava para baixo?

Observação: Antes de responder a questão proposta realize os procedimentos a seguir.

Procedimentos: Observe as funções, preencha o quadro abaixo e responda: o que acontece com a

parábola quando o a é positivo ( 0a )? O que acontece com a parábola quando a negativo ( 0a )?

162

2( )f x a x bx c

Gráficos Função

Coeficientes

0a

positivo

0a

negativo

Côncava para cima

Côncava para baixo

a b

c

2( )f x x

2( ) 1f x x

2( ) 2 8f x x x

2( ) 4f x x x

2

2( ) 4 4f x x x

163

Observação:

Conclusão:

2( ) 4 5f x x x

2( ) 2 2f x x x

2( ) 4f x x x

2( ) 3 4 4f x x x

2( ) 5 4 3f x x x

164

3

A figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do

Ver-o-Peso” foi destacada por uma malha quadriculada com

base em uma escala (1:100) que nos permite visualizar pontos

no plano cartesiano. A curva formada por uma tenda ao

amarrar suas extremidades nas artes de ferro que a sustenta,

tem inicio na origem O dos eixos, com os pontos (coordenadas)

O, P e Q destacados na curva da tenda conforme a figura ao

lado. Com base nos dados, responda: a) Qual a expressão

algébrica que representa a função da curva da tenda? b) A

figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” é

côncava para cima ou côncava para baixo?


Observe as seguintes funções quadráticas, escreva os seus coeficientes e se o gráfico possui

concavidade voltada para cima ou para baixo:

a) 2( ) 2 3f x x x c) 2( ) 2 5 1f x x x

b) 2( ) 2 8 5f x x x d) 2( ) 5 5 10f x x x

Análise a priori: A atividade deverá permitir que os alunos verifiquem a influência

do coeficiente a no comportamento do gráfico da função quadrática. Consideramos

que os grupos não tenham dificuldades para descobrir as regularidades entre o valor

de a e a disposição do gráfico, e a própria disposição do gráfico e das questões

norteadoras irão facilitar a redação da observação e conclusão.

O que poderá ocorrer neste caso, será que os grupos podem confundir a

palavra côncava na observação do gráfico então mostraríamos que quando a parte

aberta da curva está para cima a parábola é côncava para cima e quando a parte

aberta da curva estiver para baixo a parábola é côncava para baixo.

Acreditamos que esta atividade demandará pouco tempo para ser

concluída e que os grupos terão um bom desempenho em relação a redação das

conclusão, devido o acúmulo de experiências que eles poderão ter e devido as

questões complementares serem mais diretas.

165

2.2.2.4 Atividade 4


1

Título: Zeros da função quadrática

Objetivo: descobrir o número de raízes reais da função quadrática a partir da análise do gráfico e do

cálculo do discriminante.


Questão proposta: Quantas raízes reais possui a função que representa a curva da tenda?

Observação: Antes de responder a questão proposta estude os gráficos abaixo

Procedimentos: Observe os gráficos da Folha de Gráficos A e responda: Em que pontos a função

toca o eixo x? Qual o valor da função ( )f x no ponto em que a função toca o eixo x? Em seguida,

preencha o quadro a seguir.

Os pontos que a parábola toca o eixo do x são denominados zeros (ou raízes) da

função quadrática 2( )f x a x bx c .

Para cada função: Calcule o discriminante e preencha o quadro abaixo:

Observação:

Conclusão:

166

A atividade pode ser entregue na íntegra, o quadro explicativo é

necessário para o entendimento dos alunos e execução dos procedimentos desgta

atividade.

2

Agora responda a questão proposta: Quantas raízes reais possui a função que

representa a curva da tenda?

( )f x


1. (DANTE, 2008) Em cada gráfico da função quadrática 2( )f x ax bx c , com

2 4. .b a c ,

descubra se 0a ou 0a e se 0 , 0 ou 0 .

a) b) c)

d) e) f)

2. Sendo 2( )f x ax bx c , com 0a e x , considere

2 4. .b a c . Não haverá a

interseção do gráfico com o eixo x quando:

a) 0 b) 0a c) 0 d) 0

167

Análise a priori: A atividade trata basicamente da análise do discriminante, nossa

hipótese era que os grupos consigam identificar que a função possui duas raízes

reais quando o delta é maior que zero, uma única raiz quando o delta é igual a zero

e não possui raízes reais quando o delta for menor que zero. No entanto, essa

relação será melhor empregada visualmente a partir da análise do gráfico. O que

está previsto nos descritores do SAEB (2011, p. 79) “analisar zeros de funções reais

apresentadas em gráficos”.

Com as habilidades adquiridas até então consideramos que os alunos

serão capazes de redigir suas conclusões acerca do apreendido, mas sem relatar

precisamente na linguagem matemática o que será fortalecido por nos no momento

de socialização do conhecimento. Após isso, julgamos que os alunos não terão

dificuldade em compreender e resolver a questão proposta e as questões

complementares. Consideramos que a atividade levará pouco tempo para sua

realização e a concentração maior do mesmo será na fase inicial de análise do

gráfico e preenchimento do quadro até a conclusão a respeito do ocorrido.

2.2.2.5 Atividade 5

Esta atividade estaria assim estruturada:

1

Título: Cálculo dos zeros da função quadrática

Objetivo: encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara.


Questãoproposta:Para quais valores de x a função que representa a curva da tenda ilustrada no

texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”se anula?

Observação: Antes de responder a questão proposta realize a atividade a seguir.

Procedimentos: Para cada função: preencha o quadro abaixo com os valores dos coeficientes e

calcule os zeros (ou raízes) da função. Em seguida compare os valores encontrados com os gráficos

da Folha de Gráficos A.

É possível calcularos zeros (ou as raízes) da função quadrática 2( )f x a x bx c desde que

se conheçam os coeficientes (valores a, b e c) da expressão algébrica que a representa,

substituindo esses valores na fórmula de Báskara.

168

2( )f x a x bx c

Função

Parâmetros

2

1

4

2

b b acx

a

2

1

4

2

b b acx

a

a

b

c

2( ) 2f x x

2( ) 2f x x

2( ) 2 8f x x x

2( ) 4f x x x

2( ) 16f x x

2( ) 1f x x

2( ) 2 3f x x x

2( ) 2 2f x x x

2( ) 2 4 2f x x x

2( ) 6 9f x x x

2( ) 4 8f x x x

2( ) 2 3f x x x

A atividade pode ser entregue na íntegra, o quadro explicativo é

necessário para o entendimento dos alunos e execução dos procedimentos desgta

atividade.

2

Com base na atividade que você desenvolveu e na função encontrada na Atividade 1

responda a questão: para quais valores de x a função que representa a curva da tenda ilustrada no

texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”se anula?

( )f x

169


1. (PUC – SP)Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em

relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão 2( ) 25 625h t t . Após

quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

(VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em

função do tempo (em segundos) pela expressão 2( ) 3 3h t t t em que h é a altura atingida em

metros. Em que instante o grilo retorna ao solo?

Análise a priori: Esta atividade intenciona que os discentes desenvolvam o cálculo

dos zeros da função quadrática, fornecendo a fórmula de Báskara para isso. Como

os discentes possivelmente já tiveram contato com a fórmula, no ensino fundamental

na resolução de equação do 2º grau ou no próprio estudo de função quadrática

iniciado no 9º ano, acreditamos que os discentes tenham certa familiaridade ao

cálculo de raízes para esse tipo de função.

No caso da questão complementar, supomos que eles precisarão retomar

a expressão encontrada na atividade 3 da curva da tenda e em seguida encontrar os

zeros da função. Como já foi esclarecido na atividade 4 o que era os zeros da

função quadrática, a partir da análise dos gráficos, supomos que as duplas não

tenham dificuldades em executar este cálculo, tanto para a questão proposta quanto

para as questões complementares. Julgamos que esta atividade levasse um pouco

mais de tempo que a anterior por ter uma quantidade considerável de funções para

realizar o cálculo das raízes.

2.2.2.6 Atividade 6

Esta atividade estaria assim estruturada:

1

Título: Vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo

Objetivo:descobrire calcular o vértice da função quadrática, e identificar se a função possui valor de

máximo ou de mínimo.


Questão proposta:Com base na atividade que você desenvolveu e na expressão algébrica que

representa a curva da tenda, encontrada na Atividade 3, responda a questão: Qual o vértice da

parábola representada pela curva da tenda do Ver-o-Peso?

170

Observação: Antes de responder a questão proposta realize os procedimentos a seguir.

Procedimentos: Observe os gráficos da Folha de Gráficos A e identifique as coordenadas do ponto

mais alto ou mais baixo.

Os pontos encontrados são denominados vértice da parábola. O vértice é o ponto da

parábola que se localiza mais acima quando a parábola é côncava para baixo, ou é o ponto da

parábola que se localiza mais abaixo quando a parábola é côncava par acima. As coordenadas

do vértice de uma parábola são ( , )2 4

bV

a a

. Quando a ordenada do vértice for o ponto da

parábola que se localiza mais acima temos um valor de máximo. Quando a ordenada do vértice

for o ponto da parábola que se localiza mais abaixo temos um valor de mínimo.

Esta atividade deve ser entregue com o quadro explicativo que auxiliará o

discente a identificar o valor de máximo e mínimo visualisando o gráfico.

2 Com as informações obtidas preencha o quadro a seguir:

3

Observação:

Conclusão:

Com base na atividade que você desenvolveu e na expressão algébrica que representa

a curva da tenda, encontrada na Atividade 3, responda a questão: Qual o vértice da parábola

representada pela curva da tenda do Ver-o-Peso?

171

( )f x


1. (DANTE, 2008) Determine o vértice da parábola em cada item abaixo:

a) 2( ) 2 3f x x x b)

2( ) 3 5f x x x c) 2( ) 4 3f x x x

2. A Secretaria de Estado de Pesca e Aquicultura (Sepaq) realizou no dia 4 de agosto mais uma

edição da Feira do Peixe Popular em Belém, na Fundação Tancredo Neves (Centur), das 8h às 14h.

Entre as tradicionais espécies vendidas estão: a sardinha inteira, o xaréu com cabeça, o filé de

pescada branca, o filé de dourada e o filé de pescada amarela.

Um piscicultor tem um custo C para produzir x unidades de pescada branca, sendo

2( ) 80 3000C x x x . Nessas condições, calcule:

a) A quantidade de peixes produzidos para que o custo seja mínimo.

b) O valor mínimo do custo.

3. (DANTE, 2010) A trajetória da bola num, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo qua

sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por 2( ) 6h t t t . a) Em que

instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual a altura máxima atingida pela bola?

Análise a priori: Esta atividade exigirá um pouco mais de observação dos grupos,

para distinção do representado geometricamente e algebricamente no caso do

vértice e valor de máximo ou de mínimo.

Os grupos terão que realizar o cálculo no quadro a partir dos coeficientes

de cada função e em seguida retirar do gráfico os valores de x e y do vértice.

Esperamos com isso, que os alunos consigam relacionar o valor do vértice calculado

a seu respectivo ponto no gráfico concluindo que se trata do vértice. Quanto à

apreensão da fórmula para o cálculo do vértice, que já é dada, é consequência dos

sucessivos exercícios realizados. A próxima ação será marcar no quadro se o vértice

172

era o ponto mais alto ou mais baixo da parábola concluindo, portanto, qual será o

valor de máximo ou de mínimo.

Com relação à questão proposta os grupos poderão ter duas

possibilidades se solução, uma será reescrever a expressão algébrica da curva da

tenda e calcular o vértice e a outra será observar a figura e destacar o ponto no

plano cartesiano contando a distância da origem para o valor de x e de y.

Na questão complementar 1 consideramos que seja de fácil resolução

para os discente por se tratar apenas da substituição dos valores dos coeficientes

para o cálculo do vértice o que já haverão de realizar até então.

Nas questões complementares 2 e 3 supomos que os discentes tenham

dificuldades em identificar os dados no texto relativos a posição de máximo e mínimo

por estarem acostumados com questões desta natureza na forma mais direta. Caso

isso ocorra, nossa intervenção consistirá em pedir que observem os coeficientes da

expressão, destacando a concavidade e consequentemente seu valor de máximo ou

mínimo e atentem para o que se pede no texto com relação ao x e y do vértice. Vale

destacar que resolver problemas sobre valor de máximo ou de mínimo da função

quadrática também está presente nos descritores (D25) do SAEB para o ensino

médio.

2.2.2.7 Atividade 7


Título: Problemas sobre função quadrática

Objetivo:Descobrir estratégias para resolução de problemas envolvendo a função quadrática.

Material:Roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.

1. (HOFFMANN, 2002) A largura de um terreno retangular é 200 metros menor que seu

comprimento. A área do terreno é calculada pelo produto da largura pelo seu comprimento.

Determine a expressão que representa a área do terreno.

2. A prefeitura de Belém deseja construir uma área de lazer para moradores de um bairro a beira de

uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular e será cercado nos três lados que não dão

para a rodovia com 200 metros de cerca. Expresse a área do terreno em função do comprimento do

lado que dá para a rodovia.

3. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do

tempo, em segundos, é dada por 2( ) 20 200h x x t . Qual a altura máxima atingida pela bala?

173

Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?

3. (UFPA, 2009) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de

sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a

pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma

parábola, podemos afirmar que a pedra demora

a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela

expressão 2( ) 10 200h t t t .

b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela

expressão 2( ) 2 20 150h t t t .

c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t

é dada pela expressão 2( ) 20 20h t t t .

d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t

é dada pela expressão 2( ) 5 100 100h t t t .

e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela

expressão 2( ) 20 51h t t t .

4. (UEL, 2012 - adaptada) O óxido de potássio, 2K O , é um nutriente usado para melhorar a

produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens

diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente

se deu conforme mostra a tabela a seguir.

Dose do nutriente

(kg/hectare)

Produção de cana-de-açúcar

(toneladas/hectare)

0 42

70 56

140 61

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode

ser descrita por uma função do tipo 2y(x) ax bx c .Qual a expressão algébrica que representa a

função? A função encontrada é côncava para cima ou para baixo?

2 6. Uma pedra lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundo atinge a altura h, dada

por: 2( ) 5 40h t t t . a) Calcule a posição da pedra no instante 2 segundos; b) Calcule o instante

em que a pedra passa pela posição 75 metros; c) Determine a altura máxima que a pedra atinge.

7. (ENEM, 2009) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de

fabricação de cada unidade é dado por 3x² + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função

180x – 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x. Contudo, a mesma deseja saber quantas

unidades precisa vender para obter o lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem

vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é

a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232

8. (ESPM – SP) A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da

174

equação y = –x² + 120x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades.

Determine o número de unidades a serem vendidas a fim de se obter o lucro máximo.

9. (UNESP, 2003 - Adaptada) Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de

coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura.

Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e

baseado nos dados da figura, responda: a) Qual a expressão algébrica da parábola do projétil de

ataque? b) Qual o valor da abscissa no ponto que corresponde ao alvo?

10. (MESQUITA, 2009) Deseja-se cercar um canteiro retangular dispondo de 8 metros de tela. O

terreno já possui uma parede construída, então será necessário cercar apenas três lados do

retângulo como mostra a figura abaixo:

a) Qual é a fórmula que expressa a área desse canteiro em função de x, que é a medida de um dos

lados do retângulo?

b) Dê alguns valores para x (medida de um dos ladosdo retângulo) e construa o gráfico da área do

canteiro.

c) Verifique qual deve ser a medida do lado do retângulo para que a área do canteiro seja máxima. E

qual é a área máxima?

Análise a priori: Resolver problemas, reconhecer a matemática a partir de

diferentes contextos e associá-la a outras disciplinas ou áreas, a

interdisciplinaridade, são aspectos ligados a matemática que ganham destaque nos

documentos analisados (PCN, SAEB e ENEM).

Embora os discentes já tivessem acostumados a resolver alguns

problemas sobre funções, eles poderão sentir dificuldades para resolver algumas

questões, devido elencarmos problemas diferenciados e com outros contextos,

contudo esperamos que as habilidades desenvolvidas pelos alunos no decorrer da

175

aplicação os levem a ter maior domínio na leitura, categorização, sistematização dos

dados e resolução dos problemas.

As questões 1, 2 e 10 tratam da representação algébrica da função

quadrática envolvendo o cálculo de área e perímetro. As questões 3, 4,6, 7 e 10

desta atividade reinteram um dos descritores do SAEB (2011, p. 79) “resolver

problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma

função polinomial do 2.º grau”. As questões 5 e 8 também tratam da representação

algébrica, porém na quinta a situação parte de uma tabela e na oitava do gráfico.

Esperamos que os discentes busquem caminhos para a resolução das

questões 1, 2 e na letra a da décima questão, por serem similares as questões

desenvolvidas na atividade 1 e assim estabeleceriam associação ao que já foi visto.

E nas questões 3, 4, 7 e 10 por tratarem do mesmo conceito de valor de máximo e

mínimo também já estudado. Mas os alunos poderão ter dificuldades em interpretar

a quarta questão, pois cobrava esses conteúdos de forma diferenciada das questões

anteriores. E com relação as questões 5 e 8 a dificuldade que os alunos poderão ter

está relacionada a resolução do sistema devido os valores das coordenadas serem

altos.

176

3 EXPERIMENTAÇÃO

Nesta seção apresentamos os resultados dos registros obtidos na

experimentação com a aplicação da sequência didática, isto é, o conjunto de dados

recolhidos das observações e das produções dos alunos na sala de aula durante a

realização das atividades desenvolvidas nas sessões de ensino. A referida

sequência didática foi colocada em prática a partir do dia 02/04/2013 e encerrada

em 26/06/2013, contando com a participação de 30 (trinta) alunos do 1º ano do

ensino médio do turno da manhã de uma escola pública estadual, localizada no

bairro da Cremação.

3.1 A ESCOLA

A experimentação foi desenvolvida em uma escola pública estadual

situada no bairro da cremação na cidade de Belém no estado do Pará. Atualmente a

escola oferta o ensino fundamental (5º ao 9º ano) e o ensino médio (1º ao 3º ano)

regular nos turnos da manhã e tarde e o ensino médio regular no turno da noite,

conta com o corpo docente de 33 professores sendo que desses 5 (cinco) ministram

a disciplina de matemática e desses, 3 lecionam matemática no ensino médio nessa

instituição, e com um total de 950 alunos matriculados sendo aproximadamente 400

alunos matriculados no turno da manhã, e possui apenas uma turma do primeiro ano

do ensino médio em cada turno, sendo que no turno da manhã nesta série são 65

alunos matriculados9.

A opção pela escola pública em questão se deu pelo fato de termos

estudado parte do ensino básico na mesma e termos vivenciado enquanto discente

os encontros e desencontros com o saber escolar decorrentes do processo de

ensino e aprendizagem. E, por acreditarmos que a educação é um forte meio dentre

os quais é possível contribuir para a melhoria da condição de vida do homem e

constituir um cidadão de bem.

Os outros motivos foram: facilidade de acesso à direção da escola, devido

à compreensão e aceitação da pesquisa nesta escola pela direção, o que não

9 Dados fornecidos pela secretaria da escola pesquisada.

177

ocorreu em algumas escolas públicas quando solicitadas a participarem da mesma;

facilidade de acesso à turma, uma vez que a professora do 1º ano do ensino médio

a qual a diretora nos direcionou foi bastante receptiva, se interessou pela pesquisa e

mostrou-se disposta a contribuir com a aplicação das atividades; facilidade para

chegar à escola, devido morarmos no mesmo bairro onde a escola fica localizada.

Tivemos um contato inicial com a direção da escola explicitando do que

se tratava a pesquisa e solicitando a realização da mesma. No dia 16 de outubro de

2012, foi entregue um ofício a diretora da escola formalizando nosso acesso a esta

unidade de ensino, a partir de então foi feito os contatos com os professores de

matemática da instituição os quais participaram da pesquisa preenchendo um

questionário; com os alunos do 2º ano do ensino médio que também preencheram

um questionário e realizaram um teste sobre os conteúdos de função afim e

quadrática e ainda o contato com a professora do 1º ano do ensino médio, onde

passamos a acompanhar as aulas ministradas pela mesma na turma de 2012.

A partir desse convívio foi apresentada a pesquisa a professora da turma

que se dispôs a nos auxiliar em sala de aula durante a execução das atividades.

Acertamos que iniciaríamos a aplicação das atividades com o inicio do ano letivo na

turma do 1º ano de 2013, e ela acompanharia a turma, sem interferir, ajudando-nos

nas observações das ações dos alunos. Acertamos, ainda, que a avaliação bimestral

dos alunos seria feita a partir da avaliação que ela faria sobre a participação deles

nas atividades e sobre o desempenho destes nos testes que seriam realizados.

Os encontros durante a experimentação ocorreram inicialmente nas terça

e quinta-feira, dias em que eram realizadas as aulas de matemática na turma,

obedecendo aos seguintes horários: Terça-feira: dás 8h45min às 9h30min (3º

horário) e dás 9h45min às 10h30min (4º horário), tendo 15 minutos de intervalo entre

uma e outra aula; Quinta-feira: dás 10h30min às 11h15min (5º horário). No dia

23/04/2013 houve mudança nos horários de aula e as aulas de matemáticas

passaram a ocorrer:

Terça-feira: dás 10h30min às 11h15min (5º horário) e dás

11h15min às 12h (6º horário);

Quarta-feira: dás 9h45min às 10h30min (4º horário).

178

3.2 O EXPERIMENTO

O experimento foi realizado em uma turma do 1º ano do ensino médio no

turno da manhã, nesta turma são 65 alunos matriculados sendo que desses 16 são

alunos de dependência em matemática e 6 são alunos de dependência em outra

disciplina, totalizando 22 alunos com dependência em alguma matéria matriculados

nesta turma, portanto, são 59 alunos cursando a disciplina de matemática, dos 16

alunos em dependência em matemática três alunos não frequentam por motivo de

trabalho segundo a professora da turma. Do total de alunos somente 30 estavam

presentes no dia da aplicação do questionário, portanto consideramos para análise

do perfil dos alunos da turma 101 do 1º ano do ensino médio da escola Mario

Chermont e para análise do desempenho nas atividades apenas as informações e

resultados destes 30 alunos, o que não impediu aos demais participarem das

atividades, sempre que estavam presentes na aula, e realizarem os testes que

resultariam em sua avaliação bimestral.

Inicialmente, as atividades foram realizadas em duplas, mas como havia

alunos que não eram muito frequentes nas aulas, quando estes estavam presentes

juntavam-se com alguma dupla, assim as atividades foram desenvolvidas em grupos

de dois ou três alunos, conforme a afinidade entre os mesmos, totalizando 12

grupos; fazíamos o controle da frequência dos discentes por meio de uma lista que

passávamos ao final da aula.

Os recursos utilizados na observação em sala de aula foram anotações

em um caderno sobre os diálogos dos discentes e sobre o ocorrido em cada

encontro, folhas de atividades realizadas pelos alunos e um gravador de bolso.

Ocorreu de realizarmos uma atividade em duas ou mais sessões, buscando adequar

a atividade ao tempo de aula disponível, em virtude disso, optamos por realizar no

final de cada atividade a avaliação das aulas.

No quadro 8, apresentamos o cronograma das sessões de ensino

desenvolvidas durante a experimentação e os dias em que ocorreram.

179

Quadro 8 - Cronograma das sessões de ensino na experimentação

DATA ATIVIDADE DO DIA

02/04/2013 Aplicação do questionário sobre o perfil dos discentes e pré-teste sobre função afim e quadrática

04/04/2013 Leitura e discussão do texto “Sistema de Produção do Açaí” e realização dos procedimentos da atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim

09/04/2013 Questão proposta na atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim

16/04/2013 Questões complementares da atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim

18/04/2013 Procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função afim”

30/04/2013 Questão proposta e questões complementares da atividade “Construindo gráficos da função afim”

07/05/2013 Atividade “Crescimento e decrescimento da função afim”

14/05/2013 Atividade “Zero da função afim”

15/05/2013 Problemas sobre função afim

29/05/2013 Pós-teste sobre função afim

11/06/2013 Leitura e discussão do texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” e realização da atividade “Descobrindo a expressão algébrica”.

15/06/2013 Atividade “Construindo gráficos da função quadrática” e Atividade “Concavidade da parábola”

18/06/2013 Procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”

19/06/2013 Procedimentos da atividade “Cálculo dos zeros da função quadrática”

22/06/2013

Questão proposta e questões complementares da atividade “Zeros da função quadrática”; Questão proposta e questões complementares da atividade “Cálculo dos zeros da função quadrática” e a Atividade “Vértice, Valor máximo ou mínimo da função quadrática”

25/06/2013 Problemas sobre função quadrática

26/06/2013 Pós-teste sobre função quadrática

Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2013)

180

3.2.1 Primeira sessão

O primeiro contato com a turma de 2013 ocorreu no dia 28/03/2013

(quinta-feira), a professora efetiva nos apresentou a turma e explicou que faríamos

um trabalho com eles referente a uma pesquisa científica em nível de mestrado e em

seguida passou a palavra para nós.

Então, nos apresentamos aos alunos informando que também éramos

professora de matemática estávamos realizando uma pesquisa em nível de

mestrado pela Universidade do Estado do Pará. Explicamos que o trabalho que

iríamos desenvolver com eles seria sobre o conteúdo de funções afim e quadrática,

que o assunto de matemática que seria abordado fazia parte do conteúdo do 1º ano

do ensino médio, mas que possivelmente já haviam iniciado o assunto no 9º ano do

ensino fundamental. Ressaltamos que precisávamos da colaboração deles

respondendo o questionário para que pudéssemos colher algumas informações que

nos ajudariam na pesquisa que seria realizado na próxima aula.

Dialogamos com os alunos sobre a forma na qual conduziremos as aulas

e a importância da participação deles durante o experimento. Informamos que as

atividades serão realizadas em dupla, que será aplicado um teste individual antes e

após o conjunto de atividades para cada assunto, e que a participação deles nas

atividades e nos testes, será a avaliação bimestral deles. A escolha do parceiro para

formar a dupla ficou a critério dos alunos, solicitamos aos alunos que escrevessem

em uma folha do caderno os nomes das duplas e nos entregassem no final da aula.

Depois desse diálogo agradeci a colaboração da turma e passei a palavra

para a professora efetiva, a mesma iniciou a aula e ministrou o assunto: relação

pertinência e relação de inclusão. Durante a aula permaneci em sala observando a

turma. Os alunos eram bem falantes, alguns conversavam enquanto a professora

ministrava a aula, outros prestavam atenção à explicação e quando solicitados

respondiam aos questionamentos da professora efetiva durante a resolução dos

exercícios. De modo geral, a turma pareceu bem comunicativa com exceção de

poucos que eram tímidos e só copiavam.

A primeira sessão foi realizada no dia 02/04/2014 (terça-feira), aplicamos

o questionário e o pré-teste sobre função afim e função quadrática. Os discentes

pareciam entusiasmados com a pesquisa, mas no momento de responder as

questões do teste alguns alunos protestaram alegando que não tinham estudado

181

para o teste e questionaram se o mesmo já valia “nota”. Explicamos aos alunos que

aquele teste era para verificar se e como resolvem problemas sobre funções afim e

quadrática, antes da sequência de atividades sobre os assuntos, para podermos

comparar o desenvolvimento dos mesmos depois da aplicação das atividades e que

a resolução deste não consistirá na nota da avaliação. Orientamos os alunos a

resolverem as questões ou pelo menos tentar resolver.

Os alunos foram entregando o questionário e os testes, muitos deixaram

questões em branco uns alegaram que não se lembravam do assunto e outros que

ainda não haviam estudado o assunto em série anterior. Salientamos que a

professora efetiva ainda não havia ministrado os referidos assuntos na turma. Houve

um pequeno grupo de três meninas e cinco meninos que ficou até o final da aula

tentando resolver as questões.

Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa levantamos os

dados por meio de um questionário (cf. apêndice E) aplicado no primeiro encontro do

experimento, evidenciando as constatações a seguir.

Questão 1 – Idade? e Questão 2 – Sexo?

Do total de 59 alunos matriculados na turma, apenas 30 foram

observados em nossas análises, conforme mensionamos anteriormente, por terem

participado do momento inicial da aplicação do questionário, embora tivéssemos

uma média de 35 a 45 alunos em sala de aula participando das atividades.

Tabela 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados

Faixa etária

Sexo


14 anos F. A. 3 1 4

% 10% 3,3% 13,3%

15 anos F. A. 2 9 11

% 6,7% 30% 36,7%

16 anos F. A. 6 3 9

% 20% 10% 30%

17 anos F. A. 2 2 4

% 6,7% 6,7% 13,3%

18 anos F. A. 0 2 2

% 0% 6,7% 6,7%

Total F. A. 13 17 30

% 43,3% 56,7% 100%


182

Gráfico 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados


Observamos dentre os dados coletados na turma de aplicação do

experimento, 13 eram homens e 17 eram mulheres. Quanto a idade dos alunos

consultados os dados revelam que 4 tinham 14 anos, 11 tinham 15 anos, 9 tinham

16 anos, 4 tinham 17 anos e 2 18 anos, ou seja, a metade dos alunos tinham idade

superior a idade de ingresso no ensino médio. A LDB estipula a oferta obrigatória do

ensino fundamental dos 7 aos 14 anos. Assim, seguindo o avanço gradual por série

o aluno pode ter acesso ao ensino médio a partir dos 15 anos.

Questão 3 – Quem é seu responsável?

Tabela 40 – Responsável do aluno

Responsável F.A %

Mãe 16 53,3% Pai 5 16,7% Pai e Mãe 5 16,7% Avó 1 3,3% Tia 1 3,3% Tio e Tia 1 3,3% Mãe e Avô 1 3,3% Total 30 100%


3

2

6

2

0

1

9

3

2

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

14anos

15anos

16anos

17anos

18anos

Alunos

Feminino

Masculino

183

Gráfico 40 – Responsável do aluno


Questão 4 – Qual o nível de escolaridade de seu responsável?

Tabela 41 – Escolaridade do responsável do aluno

F.A %

Não escolarizado 1 3,3%

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª série/1º ao 5º ano) 5 16,7%

Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª série/6º ao 9º ano) 7 23,3%

Ensino Fundamental Completo 3 10,0%

Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau) 2 6,7%

Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau) 10 33,3%

Ensino Superior (bacharelado, licenciatura ou tecnólogo) 2 6,7%

Total 30 100%


Gráfico 41 – Escolaridade do responsável do aluno


1 1 1 1

5 5

16

02468

1012141618202224262830

Avó Tia Tio eTia

Mãe eAvô

Pai Pai eMãe

Mãe

Alu

no

s

10

7

5

3

2

2

1

0 2 4 6 8 1012141618202224262830

Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)

Ensino Fundamental Incompleto (5ª a…

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…

Ensino Fundamental Completo

Ensino Médio Incompleto (antigo 2º…

Ensino Superior (bacharelado,…

Não escolarizado

Alunos

184

Questão 5 – Seu responsável trabalha?

Tabela 42 – Responsável trabalha

Trabalha F.A %

Sim 25 83,3%

Não 5 16,7%

Total 30 100%


Gráfico 42 – Responsável trabalha


Questão 6 – Você trabalha de forma remunerada?

Tabela 43 – Aluno trabalha de forma remunerada

Trabalha F.A %

Sim 3 10%

Não 25 83,3%

Às vezes 1 3,3%

Não informaram 1 3,3%

Total 30 100%


5

25

0

246

810121416

18

2022242628

30

Não Sim

Alu

no

s

185

Gráfico 43 – Aluno trabalha de forma remunerada


A maioria dos alunos, 26, tinham como responsável o pai e/ou a mãe. Dos

responsáveis 10 concluíram o ensino médio, apenas 2 dos responsáveis possuía

ensino superior, os outros 18 cursaram no máximo até ensino médio incompleto. A

maioria dos responsáveis, 25, possuía emprego. O que indicava que a maioria dos

alunos tinham pelo menos um dos responsáveis cuidando de sua subsistência. Com

relação aos alunos que trabalhavam de forma remunerada apenas 3 afirmaram

trabalhar dessa forma, 1 indicou que às vezes, 1 não informou e a maioria, 25,

declarou não trabalhar de forma remunerada.

Questão 7 – Você cursou o ensino fundamental em que tipo de escola?

Tabela 44 – Tipo de escola

Rede de ensino F.A %

Estadual 26 86,7%

Municipal 1 3,3%

Particular 2 6,7%

Estadual e Municipal 1 3,3%

Total 30 100%


02

46

81012

1416

18

2022

2426

2830

Nãoinformaram

Às vezes Sim Não

Alu

no

s

186

Gráfico 44 – Tipo de escola


Dos 30 alunos consultados os dados revelam que 28 haviam cursado o

ensino fundamental somente em escolas públicas, sendo que destes 26 cursou o

ensino fundamental somente em escola estadual e 1 somente em escola municipal,

1 em escola estadual e municipal.

Questão 8 – A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora?

Tabela 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora

F.A %

Sim 27 90%

Não 3 10%

Total 30 100%


Gráfico 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora


26

2

1

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Estadual

Particular

Municipal

Estadual e Municipal

Alunos

27

02468

1012141618202224262830

Não Sim

Alu

no

s

187

A maioria dos alunos, 27, afirmaram estudar no mesmo bairro que mora, 3

alegou não estudar no mesmo bairro em que mora.

Questão 9 – Você faz algum curso? Tabela 46 – Cursos

Cursos F.A %

Nenhum curso 17 56,7% Informática 9 30%

Cursinho pré-vestibular 3 10%

Língua estrangeira e Informática 1 3,3%

Total 30 100%


Gráfico 46 – Cursos


Procuramos investigar se os alunos possuíam algum curso além do

ensino regular, os dados revelaram que a maioria, 17, não fizeram nenhum curso;

apenas 13 fizeram ou estavam fazendo algum curso, dentre eles informática, 9

alunos, cursinho pré-vestibular 3 alunos e 1 aluno língua estrangeira e informática.

Questão 10 – Você pratica algum esporte regularmente?

Tabela 47 – Pratica esporte

F.A %

Sim 15 50%

Não 15 50%

Total 30 100%


17

9

3

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Nenhum curso

Informática

Cursinho pré-vestibular

Língua estrangeira e Informática

Alunos

188

Gráfico 47 – Pratica esporte


Quanto a prática de esporte houve um empate, a metade dos alunos

praticavam esportes regularmente dentre eles: futebol, basquete, karatê, natação,

caminhada, jiu-jitsu.

Questão 11 – Você já ficou em dependência?

Tabela 48 – Dependência

F.A %

Sim 14 46,7%

Não 16 53,3%

Total 30 100%


Gráfico 48 – Dependência


15 15

02468

1012141618202224262830

Sim Não

Alu

no

s

14 16

02468

1012141618202224262830

Sim Não

Alu

no

s

189

Dos alunos consultados, 14, quase a metade, já ficou em dependência

em alguma matéria, dentre elas: no ensino fundamental as disciplinas de Matemática

no 7º, 8º e 9º ano; Ciências no 9º ano, Português no 8º ano; História no 6º e 7º ano;

Estudos Amazônicos no 6º e 7º ano; Artes no 6º ano por motivo de falta; Geografia

no 8º ano; Ed. Física no 8º ano e Inglês no 8º ano. No ensino médio as disciplinas de

Matemática, Física e Química no 1º ano.

Questão 12 – Você gosta de Matemática?

Tabela 49 – Gosta de Matemática

F.A %

Nenhum pouco 1 3,3%

Pouco 23 76,7%

Muito 6 20%

Total 30 100%




No que se refere ao sentimento dos alunos pela matemática constatamos

que 29 alunos gostam desta disciplina, sendo que 23 gostavam um pouco e 6

gostavam muito; enquanto que 1 não gostavam nenhum pouco.

1

6

23

02468

1012141618202224262830

Nenhumpouco

Muito Pouco

Alu

no

s

190

Questão 13 – Você tem dificuldade para aprender matemática?

Tabela 50 – Dificuldade em Matemática

F.A %

Não 8 26,7%

Um pouco 19 63,3%

Muito 3 10%

Total 30 100%


Gráfico 50 – Dificuldade em Matemática


Com relação a dificuldade em aprender matemática apenas 8 dos alunos

consultados declarou não ter dificuldade, a maioria alegou possui um pouco de

dificuldade 19 ou muita dificuldade 3 em aprender a disciplina.

Questão 14 – Você se distrai nas aulas de matemática?

Tabela 51 – Distrai nas aulas de matemática

F.A %

Não, eu sempre presto atenção 14 46,7%

Sim, eu não consigo prestar atenção 1 3,3%

Às vezes, quando a aula está chata 15 50%

Total 30 100%


3

8

19

02468

1012141618202224262830

Muito Não Um pouco

Alu

no

s

191

Gráfico 51 – Distrai nas aulas de Matemática


Com relação às aulas de matemática a maioria alegou se distrair durante

as aulas, 15 dos alunos se distrai às vezes quando a aula está chata, 1 se distraem

por não conseguirem prestar atenção e 14 alegam sempre prestar atenção nas

aulas de matemática. Podemos atribuir esse desinteresse a forma como vem sendo

conduzidas as aulas, na maioria das vezes de forma tradicional, não possibilitando

que o aluno participe mais ativamente do processo de aprendizagem.

Questão 15 – Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?

Tabela 52 – Estuda matemática em outros horários

F.A %

Só no período de prova 18 60%

Só nos fins de semana 5 16,7%

Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) Só na véspera da prova

3 2

10% 6,7%

Todo dia 1 3,3%

Não costumo estudar fora do horário de aula 1 3,3%

Total 30 100%


Gráfico 52 – Estuda matemática em outros horários


15

14

1

0 2 4 6 8 1012141618202224262830

Às vezes, quando a aula está chata

Não, eu sempre presto atenção

Sim, eu não consigo prestar atenção

Alunos

18

5

3

2

1

1

0 2 4 6 8 1012141618202224262830

Só no período de prova

Só nos fins de semana

Alguns dias na semana (2 ou 3 dias)

Só na véspera da prova

Todo dia

Não costumo estudar fora do horário…

Alunos

192

Os dados evidenciam que a maioria dos alunos consultados,19 não

possui o hábito de estudar matemática com frequência fora do horário de aula, 18

destes só estudavam no período de prova e 1 nem estudava; apenas 11 afirmaram

estudar a matéria alguns dias da semana, nos fins de semana ou todo dia. O que

pode ser um dos fatores que influencia no baixo rendimento do aluno, pelo fato de

não fixar os conteúdos ou não buscar exercitar os conhecimentos apreendidos a fim

de melhorar seu desempenho.

Questão 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

Tabela 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática

F.A %

Professor particular 5 16,7%

Mãe 2 6,7%

Irmão(ã) 1 3,3%

Amigo(a) 4 13,3%

Ninguém 14 46,7%

Primo 1 3,3%

Tio(a) 3 10%

Total 30 100%


Gráfico 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática


Com relação as tarefas extraclasse perguntamos aos alunos quem lhes

ajudava nas tarefas de matemática, 5 recebia ajuda de professor particular, 2 da

mãe, 1 de irmão(ã), 4 de amigo; 1 primo; 3 de tio(a) e a maioria, 14 alunos, não

recebia a ajuda de ninguém.

14

5

4

3

2

1

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Ninguém

Professor particular

Amigo(a)

Tio(a)

Mãe

Irmão(ã)

Primo

Alunos

193

Questão 17 – Você usa vê/percebe os conteúdos de matemática que você

aprende na escola em atividades/situações do dia a dia?

Tabela 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia

F.A %

Sim 23 76,7%

Não 7 23,3%

Total 30 100%


Gráfico 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia


Buscamos saber se o aluno vê ou percebe os conteúdos matemáticos

que ele aprende na escola em atividade ou situações do dia a dia, e 23 responderam

positivamente enquanto7 não vê/percebe a matemática no seu dia a dia. A pesar da

maioria dos sujeitos afirmarem ter a percepção da matemática no contexto

extraescolar os alunos não demonstraram isso nas questões dos pré-testes.

No quadro a seguir cruzamos os dados relacionando à dificuldade dos

alunos em aprender matemática à afinidade, à atenção durante as aulas e ao hábito

de estudar a disciplina.

7

23

02468

1012141618202224262830

Não Sim

Alu

no

s

194

Quadro 9 – Relação entre as dificuldades em aprender matemática, o gosto pela matemática, a atenção dos alunos nas aulas de matemática e o hábito de estudar

fora do horário de aula


Gosta de Matemática

Dificuldade em aprender matemática

Total

Não Um

pouco Muito

Nenhum pouco F. A. 0 1 0 1

% 0% 3,3% 0% 3,3% Pouco F. A. 4 16 3 23

% 13,3% 53,3% 10% 76,7%

Muito F. A. 4 2 0 6 % 13,3% 6,7% 0% 20%

Total F. A. 8 19 3 30

% 26,7% 63,3% 10% 100%

Atenção dos alunos nas aulas de matemática


Total Não

Um pouco

Muito

Não, eu sempre presto atenção F. A. %

4 13,3%

9 30%

1 3,3%

14 46,7%

Sim, eu não consigo prestar atenção F. A. %

0 0%

1 3,3%

0 0%

1 3,3%

Às vezes, quando a aula está chata F. A. %

4 13,3%

9 30%

2 6,7%

15 50%

Total F. A. %

8 26,7%

19 63,3%

3 10%

30 100%

Hábito de estudar fora da escola


Total Não Um

pouco Muito

Só no período de prova F. A. 4 12 40%

2 6,7%

18 60% % 13,3%

Só na véspera da prova F. A. 0 1 0 2

% 0% 3,3% 0% 6,7%

Só nos fins de semana F. A. 2 3 0 5

% 6,7% 10% 0% 16,7%

Todo dia F. A. 0 1 0 1

% 0% 3,3% 0% 3,3%

Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) F. A. 1 2 0 3

% 3,3% 6,7% 0% 10%

Não costumo estudar fora do horário de aula

F. A. 0 0 1 1

% 0% 0% 3,3% 3,3%

Total F. A. 8 19 3 30

% 26,7% 63,3% 10% 100%

195

A análise do quadro indicou que a turma era constituída, em sua maioria,

por alunos que gostavam ao menos um pouco de matemática e apresentavam um

pouco ou muita dificuldade para aprendê-la. Entretanto, a maioria destes alunos não

costumava dedicar muito tempo ao estudo de matemática quando estavam fora da

escola. Na análise do quadro foi possível verificar que a maioria dos alunos que

tinha um pouco ou muita dificuldade para aprender matemática eram também

àqueles que informaram estudar matemática, fora da escola, apenas no período ou

na véspera da prova, o que contribui para que as dificuldades se acentuem.

Outro fator verificado dizia respeito a atenção dada pelos alunos às aulas

que eram ministradas em sala de aula. O quadro evidencia a relação deste fator

com a dificuldade para aprender matemática. No cruzamento dos dados observamos

que os alunos que disseram ter um pouco de dificuldade para aprender matemática

se dividiram entre os que prestam atenção e os que só não prestam atenção às

vezes quando a aula está chata, estes alegaram que isso ocorria quando a aula não

estava interessante, quando não entendiam o assunto, quando estava muito barulho

na sala ou quando estavam com algum problema particular. Evidenciando que os

motivos mais frequentes para distração estavam diretamente relacionados aos

aspectos didáticos. Estes dados indicavam que a escolha de uma sequência didática

e de recursos pedagógicos adequados seria fundamental para despertar a atenção

dos alunos, reforçando nossa opção pelo uso de uma metodologia que elencasse

aspectos culturais paraenses como forma de instigar o aluno a olhar a matemática

em diferentes contextos.

3.2.2 Segunda sessão

A segunda sessão ocorreu no dia 04/04/2013 (quinta-feira), quando

iniciamos a atividade sobre função afim denominada: descobrindo a expressão

algébrica. Foram desenvolvidos os procedimentos referentes à mesma, com o

objetivo que os alunos descobrissem uma expressão/regra que relacionasse cada

conjunto de valores representados por uma tabela.

O encontro iniciou às 10h30min sob nossa orientação e com o apoio da

professora efetiva. Apresentamos-nos aos alunos que não estavam presentes na

primeira sessão e ressaltamos o objetivo da pesquisa, a metodologia que seria

196

utilizada e que assumiríamos o papel de professora da turma. A partir desse diálogo

buscamos estabelecer o contrato pedagógico com a turma. O contrato pedagógico

de acordo com PCNEM:

Baseia-se essencialmente na relação professor–aluno, e suas “cláusulas” são, na sua maioria, explicitáveis. No geral, são negociadas entre o professor e os alunos, e se mantêm relativamente estáveis no tempo. Nesse contrato, fica determinado o papel de cada um dos elementos humanos da situação didática (professor e alunos); não existem articulações com o saber objeto de ensino e aprendizagem (BRASIL, 2006, p.81).

Pedimos que organizassem as duplas conforme havíamos combinado na

última aula e os que ainda não tinham duplas que formassem, alguns alunos

pediram para se juntarem a outros colegas que já haviam formado dupla, assim

foram formados grupos de 2 ou 3 alunos e as atividades passaram a ser

desenvolvidas em grupos, totalizando 12 grupos. Entregamos a folha com o texto e

as folhas de atividade, uma para cada grupo, em seguida a turma acompanhou a

leitura do texto “Sistema de produção do açaí” e dialogamos sobre o mesmo

discutindo sobre: quem gostava de açaí; como eles gostavam de tomar; se eles já

haviam atentado para o processo que o fruto açaí sofre desde seu plantio, passando

pelo cultivo, colheita, debulha, transporte até chegar as nossas mesas.

Esclarecemos que o texto seria utilizado para as questões propostas nas atividades

sobre função afim.

Após essas discussões visando chamar a atenção da turma para as

atividades, pedimos que eles identificassem os dados matemáticos presentes no

texto e a que eles estavam relacionados. Esclarecemos que representamos as

manifestações dos diversos alunos durante o experimento por A1, A2, A3..., e dos

grupos por G1, G2, G3...

P: (pesquisadora): Quais os dados matemáticos presentes no texto? T: (Turma): Como assim professora? P: Quais os valores/números que tem no texto e a que eles estão relacionados? T: tem o 5, o 4, o 6, 12 reais, 6 reais... P: Mas, esses valores estão representando o que? A1: “Ah! Tem o ano aqui que é 5, 6 e 8 e tem o 4, o 6 e o 10 que é tonelada.” P: Ok. E essas toneladas estão relacionadas a quê? A2: “a produtividade” P: Isso mesmo, a produção do açaí. Quais outros dados têm no texto? A3: “O preço, a quantidade de latas”.

197

P: No texto está a medida de açaí em rasa que corresponde a duas latas de 20 litros. Vocês sabem o que é rasa? Os meninos que brincam de pipa lembram-se do material que utilizam para fazer... T: “tala, saco e linha” P: Então..., a rasa é feita com talos de uma planta chamada arumã.

Com o intuito de que os alunos pudessem interagir com o meio a fim de

adquirir o saber matemático referente ao conteúdo de funções afim e quadrática

buscamos estabelecer o contrato didático10, que foi construído, rompido e

reestabelecido durante a experimentação.

As 10h45min os alunos iniciaram a atividade. Pedimos que lessem em

voz alta o título e o objetivo da mesma, em seguida informamos que eles

desenvolverão os procedimentos da atividade, para posteriormente, encontrarmos

uma expressão algébrica com base nos dados do texto “Sistema de produção do

açaí”, conforme solicitado na questão proposta. Explicamos que deverão completar

cada tabela relacionando o conjunto de valores de x com o conjunto de valores de y.

Alguns alunos conseguiram encontrar facilmente a expressão da primeira

tabela, outros não conseguiram observar o que estava acontecendo, então nos

dirigimos aos grupos que estavam com dificuldades e as instigamos a achar a

resposta:

P: (pesquisadora): Observe, quando o x vale 1, quanto vale o y? G1: (dupla): “dois” P: Quando o x vale 2, quanto vale o y? G1: “quatro” P: Quando o x vale 3, quanto vale o y? G1: “seis” P: Quando o x vale 4, quanto vale o y? G1: “oito” P: Então, o que tá acontecendo com o x A1: “ele tá multiplicando por 2” A2: “ele tá dobrando” P: Então, podemos representá-lo por qual expressão? A2: “2x”

Com relação à segunda tabela os alunos entenderam, mas alguns tinham

dúvida em representar, e perguntavam: “Professora, esse também é 2x só que com

o sinal de menos, então fica -2x?”. Com nossa afirmativa eles continuaram a

10Sistema de obrigações recíprocas relacionadas aquilo (conhecimento matemático visado) que cada parceiro, o professor e o aluno, tem a responsabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maneira ou de outra, responsável perante o outro. (BROUSSEAU, 1986. In: BRUN (Org.), 1996, p. 51)

198

desenvolver a atividade e discutiam entre si os resultados alcançados. Após a

segunda tabela o processo para encontrar a expressão algébrica ficou mais claro e

as duplas resolviam com mais facilidade.

Figura 4 – Procedimentos realizados pela dupla 5 Fonte: Produção escrita dos alunos

Alguns grupos terminaram mais rápido outros eram um pouco mais lentos,

mas de modo geral a atividade foi bem acessível aos discentes, em seguida

pedimos para que anotassem suas observações e suas conclusões sobre a

atividade, e levantamos os seguintes questionamentos: “No quadro da observação

escrevam: O que está acontecendo com os valores de x e de y? No quadro da

conclusão respondam: Qual a relação existente entre os valores de x e de y?”. Após

os grupos concluírem suas anotações recolhemos a atividade e fizemos a

socialização das respostas oralmente. As observações e conclusões da turma teve

duração 5min.

199

Quadro 10 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra

GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES

G1 “Eles subtraem” “Eles estão trocando relação um com outro”

G2 “O x e o y podem tar somando, subtraindo e multiplicando.”

“O x e o y estabelecem uma relação que é representado por uma expressão”

G3 “Eles podem esta somando ou subtraindo, multiplicando”

“Estar ocorrendo uma relação entre dois conjuntos A e B”

G4 Não responderam “Eles somam, subtrai ou multiplicam”

G5 “Eles podem ta somando ou subtraindo”

“x e y estão se relacionando em função”

G6 Não responderam Não responderam


G8 “Eles estão somando, mas também podem estar subtraindo ou multiplicando”

“Está ocorrendo uma relação entre dois conjuntos”

G9 “Que eles podem está somando, podem está subtraindo ou multiplicando”

“Esta acontecendo uma relação que está sendo representada em uma expressão”

G10 “Eles podem estar somando, mas também podem está subtraindo”

“Conclui que entre x e y está avendo uma relação”


G12 O x pode somar, multiplicar, dividir e subtrair

Não responderam

Fonte: Produção escrita dos alunos

Observamos as considerações dos alunos e percebemos que os mesmos

sentiram dificuldades em redigir o texto explicitando suas observações e conclusões,

alguns não o fizeram e os que escreveram expressaram ideias confusas,

observamos que alguns grupos têm a noção de relação entre dois conjuntos já

advindas do conceito de função, conteúdo que iniciaram no 9º ano do ensino

fundamental, no entanto, apesar de alguns dos alunos afirmarem já terem estudado

o assunto em série anterior, a maioria não conseguiu generalizar a ideia da

representação algébrica a partir da correspondência de duas variáveis pertencentes

ao conjunto dos reais. O que já era esperado conforme elencamos nas análises a

priori. Esta atividade requer que o discente se utilize das noções de equações do 1º

grau para que possam construir a representação algébrica da função afim em cada

exemplo dado, nossa intenção foi introduzir o assunto.

200

De posse do exposto, coube a nós, nesse momento institucionalizar o

saber. Procuramos organizar as ideias construídas com a atividade, perguntamos

aos alunos o que eles tinham escrito na observação e na conclusão:

P: O que está acontecendo com os valores de x e de y? T: Eles estão somando, subtraindo, multiplicando. P: Eles estão somando... eles quem? A1: O x professora, ele ta multiplicando, ou subtraindo, ou somando com um número. P: E o y? A2: O y tá se relacionando com o x. A3: O y é o resultado P: Então poderíamos escrever uma igualdade? Por exemplo: y=x+1? T: Sim, é isso que queremos dizer.

Em seguida definimos a função afim, apresentamos os coeficientes linear

e angular, discutimos as ideias que os alunos tinham da relação entre dois conjuntos

reais, a noção de domínio e imagem, de variável dependente e variável

independente, ressaltando que trataremos dessas informações no decorrer das

atividades e pedimos para que eles copiassem a definição no caderno. Encerramos

esta sessão às 11h20min.

3.2.3 Terceira sessão

Na terceira sessão, que ocorreu no dia 09/04/2013 (terça-feira), foi

desenvolvida a questão proposta da atividade “Descobrindo a expressão algébrica”

objetivando que os alunos desenvolvessem habilidades na extração de dados de um

contexto real (o sistema de produção do açaí) e na construção da representação

algébrica da função afim a partir de dados dispostos em um texto.

Iniciamos o encontro às 8h45min relembrando a definição de função afim

que trabalhamos no encontro anterior, e mostramos outros exemplos de função afim.

Pedimos para os alunos identificarem os valores de a e b, em seguida explicamos

que na aula anterior eles haviam realizado a transformação de dados de uma tabela

para uma expressão algébrica, isto é, da representação tabelar para a algébrica, e

que podemos encontrar a expressão algébrica da função afim desde que

conhecêssemos dois de seus pontos bastando substituir na expressão genérica

201

vista anteriormente ( ( )f x ax b ) e montar um sistema, encontrando assim os

respectivos valores de a e b.

Em seguida distribuímos o texto “Sistema de produção do açaí” e a folha

de atividade, pedimos para que os alunos lessem a questão e identificassem o que

estava sendo pedido.

Alguns alunos eram mais independentes e foram logo tentando resolver a

questão, outros nos chamavam perguntando o que era pra fazer. Como eram muitos

alunos e eles falavam bastante discutindo o que fariam na atividade, pedimos que

fizessem silêncio para explicarmos a todos e quem já havia entendido que também

prestasse atenção. Explicamos que era para eles procurarem no texto os números

que estavam relacionados ao ano e os que estavam relacionados à produção anual

do açaí e montassem uma tabela similar a que foi dada na atividade anterior. Com

isso surgiram logo as dúvidas:

T: Professora, mas quem é o x e quem é o y? P: Observem a questão, quem está em função de quem? T: A produção está em função do ano. P: Quem é a variável dependente? A1: A produção P: Então, quem é o x e quem é o y? A2: O x é o ano e o y a produção. P: Então construam uma tabela com duas colunas, uma com os valores de x para o ano e outra com os valores de y para a produção. Em seguida encontrem a expressão algébrica que representa a produção de açaí. Vocês podem escolher dois pontos para encontrar a expressão ou se basear no procedimento realizado na atividade anterior.

Figura 5 – Alunos resolvendo a questão proposta da atividade descobrindo a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos

202

Antes da explicação de como resolver a questão dois grupos, dentre os

que foram logo construindo a tabela com dados do texto, o fizeram com os valores

do preço pago ao extrativista por ano. O que pode ser um problema de

interpretação, devido o uso do termo “valores”, utilizado no comando da questão

proposta (p. 123). Neste sentido, evidenciamos a importância da condução do

professor em atividades desse porte, principalmente em se tratando de alunos

iniciantes nesse procedimento de aprendizagem. Intruindo-os a interpretação mais

coerente em cada etapa da produção do conhecimento, explicitando o que de fato

sujere a questão. O que ficou evidente quando explicarmos que os dados que

pedimos eram da produção anual do açaí, eles refizeram a tabela, agora conforme

pedia o comando da questão e partiram para o segundo passo que era encontrar a

expressão.

ERRADO CERTO Figura 6 – Tabela construída pelos alunos com os dados do texto sistema de produção do açaí Fonte: Produção escrita dos alunos

Sugerimos uma mudança no comando da atividade, retirando os termos

“dados” e “valores” ficando “(...) construa uma tabela com duas colunas, uma com

os anos e outra com a produção em toneladas. (...)”.

Mostramos um exemplo para que eles pudessem relembrar como resolver

um sistema do 1º grau, pois apesar de já terem estudado sistemas em ano escolar

anterior, quando solicitamos que resolvessem o problema as dificuldades logo

apareceram. Alguns alunos afirmavam não lembrar como fazer outros disseram que

não sabiam. Então, procedemos com uma demonstração utilizando valores de

coordenadas que resultaram em uma expressão diferente das já vistas até então e

do problema proposto. Desse modo, os discentes resolveram o exemplo com a

professora-pesquisadora, ela perguntava à turma e resolvia no quadro de acordo

com a resposta de alguns alunos.

Dentre as resoluções dos alunos, verificamos que apesar de não

fornecermos no texto o valor relacionado ao 7º ano de produção, alguns alunos

203

mostraram ter compreendido bem a disposição dos valores na tabela: construíram

uma tabela com os dados do 5º ao 8º ano, completando o valor do 7º ano. E

procederam corretamente na resolução do sistema para encontrar a expressão

algébrica da produção anual do açaí.

Resolução do G2 Resolução do G5

Figura 7 – Resolução da questão proposta Fonte: Produção escrita dos alunos

Apesar de termos relembrado como resolver um sistema de 1º grau,

alguns alunos ainda tinham dificuldades em calcular os valores, uns tinham

dificuldades com substituição, outros com o jogo de sinal, percorremos (a professora

efetiva e a professora pesquisadora) as duplas explicando como fazer em cada

situação. Nessa atividade os alunos demonstraram bastante dificuldades,

primeiramente em perceber o modelo matemático presente no texto, o que foi

esclarecido quando instigamos os discentes a identificarem os dados no texto.

Contudo a maior dificuldade estava relacionada a falta de base matemática em

conteúdos de anos anteriores, como jogo de sinal e resolução de sistemas,

ocorrendo de alguns alunos resolverem apenas a metade do problema, ou deixarem

em branco.

Como observamos que alguns alunos não conseguiram resolver a

questão proposta e já haviam desistido de fazê-la pedimos para que entregassem

como estava e passamos para o momento de socialização das atividades.

Convidamos aqueles que haviam resolvido e se sentiam a vontade, para escrever no

quadro.

204

Figura 8 – Alunos socializando a questão proposta na atividade descobrindo a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos

Depois passamos a discutir os resultados, identificando os erros e

acertos, com a finalidade de promover a apreensão dos conhecimentos matemáticos

necessários à resolução do problema e possibilitar aos alunos com dificuldades

participar das demais atividades. A esse respeito Brousseau (1986, p. 51) afirma que

se o aluno recusa ou evita o problema, ou não o resolve, o professor tem então a

obrigação social de ajudá-lo, ou mesmo se justificar por ter colocado um problema

tão difícil. Nessa situação específica nos deparamos com a deficiência de

aprendizagem de alguns alunos em conteúdos necessários à continuidade do

aprendizado no ensino médio.

Tivemos que encerrar às 9h30min, pois os professores tinham reunião na

SEDUC e a escola foi fechada mais cedo. Então deixamos as questões

complementares para o próximo encontro.

3.2.4 Quarta sessão

Como na quinta-feira (11/04/2013) houve paralisação das escolas

públicas estaduais e municipais nosso encontro foi adiado para o dia 16/04/2013

(terça-feira), onde foram realizadas pelos alunos as questões complementares da

atividade “Descobrindo a expressão algébrica”, iniciamos as atividades às 8h45min,

com o objetivo de que os alunos desenvolvessem procedimentos para a resolução

de problemas envolvendo a definição de função afim, e finalizamos as 10h25min.

205

Na primeira questão auxiliamos os discentes a resolverem de forma

parecida com a questão complementar realizada no último encontro, como os

valores das variáveis dependente e independente estavam bem evidentes no quadro

com os valores do número de bolas (x) e nível de água (y), alguns grupos

conseguiram resolver com mais facilidade o problema, haja vista que já haviam

resolvido um problema similar relacionando o ano e a produção do açaí no encontro

do dia 09/04/2013. Mas, a maioria ainda apresentava grande dificuldade quando a

questão exigia a resolução de um sistema, além do mais alguns alunos também

tinham dificuldades com o jogo de sinais e com o cálculo envolvendo números

decimais, então liberamos o uso da calculadora para a resolução, interrompemos um

momento a atividade para relembrar o jogo de sinais e na sequência os discentes

continuaram o processo.

Alguns alunos tiveram dúvidas quanto à segunda questão, então pedimos

para que eles construíssem uma tabela com os valores da quantidade de canudos e

da quantidade de quadrados e observassem o que estava ocorrendo. Percebemos

ainda a dificuldade que alguns alunos ainda tinham em identificar as variáveis:

“Professora, quem é o x e quem é o y aqui?”. Então respondemos: “Quem está em

função de quem?”, alguns poucos responderam: “os canudos estão em função dos

quadrados”. Em seguida afirmamos: “então... o y é a variável dependente, lembram?

E, o x a variável independente... Agora construam a tabela similar àquela que

fizemos com os dados do ano e da produção do açaí, só que agora com os dados

da quantidade de quadrados canudos representada por Q e da quantidade de

canudos representada por C”.

Com relação a terceira e quarta questão, pedimos para que os alunos

lessem com atenção e tentassem responder, deixamos que eles resolvessem sem

interferência alguma. Como as questões 3 e 4 eram bem direcionadas, requerendo

que o aluno apenas compreendesse a relação entre as variáveis claramente

expostas e as transformassem da forma literal para a algébrica, julgamos que os

discente não teriam dificuldades nesta ação. O que ocorreu em parte, pois alguns

grupos tiveram dificuldade em interpretar a quarta questão.

As atividades foram encerradas às 10h05min em seguida foi realizada a

socialização das questões desenvolvidas, solicitamos que as duplas fossem ao

quadro, escrever as questões que haviam resolvido, em seguida entregaram a folha

206

de atividade e abrimos para a discussão dos resultados, esse momento teve

duração de 10min.

Distribuímos aos alunos algumas fichas solicitando que eles avaliassem a

atividade “Descobrindo a expressão algébrica” que fora realizada desde nosso

primeiro encontro finalizando com as questões realizadas no dia 16/04/2013, essa

avaliação teve duração de 10min. No Quadro 5 apresentamos as opiniões emitidas

pelos alunos acerca das aulas sobre definição da função afim sobre o que eles

achavam das atividades e do procedimento de ensino.

Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica

(continua)

AVALIAÇÕES Nº de Alunos

1

7

3

2

3

1

1

207

Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica

(conclusão)

1

3

2

1

1

Fonte: Ficha de avaliação

Observamos que a maioria dos alunos avaliaram as aulas positivamente,

alegando aprenderem mais, que o assunto se tornou mais fácil de aprender e que as

aulas foram boas porque houve interação com os colegas de classe e com a

professora proporcionadas pelas atividades. Com exceção de cinco alunos que

afirmaram terem aprendido um pouco, mas ainda tem dificuldades com a

matemática.

Vale ressaltar que o procedimento adotado no final de cada atividade,

solitando que o aluno exponha sua opinião sobre as aulas, estimula a capacidade de

argumentação dos discentes, mais evidente nas duas últimas opiniões do quadro 11.

3.2.5 Quinta sessão

Iniciamos a quinta sessão às 10h30min do dia 18/04/2012 (quinta-feira),

neste encontro foram desenvolvidos os procedimentos da atividade “Construindo

gráficos da função afim” com o objetivo de que os discentes descobrissem a

representação do gráfico da função afim. Distribuímos a folha de atividades e

208

pedimos para os discentes lerem o titulo e o objetivo da atividade, explicamos que

eles deveriam substituir os valores do domínio dado e encontrar suas respectivas

imagens, em seguida marcar os pontos encontrados no plano cartesiano e ligar os

pontos.

A atividade foi bem acessível para a maioria dos alunos, alguns tiveram

dificuldades em marcar os pontos no plano cartesiano, marcando o x no lugar do y e

o y no lugar do x, um aluno nos perguntou sobre a disposição dos eixos, pois não

lembrava qual era o eixo das abscissas e das ordenadas.

Em virtude do exposto, relembramos aos alunos o plano cartesiano, a

disposição dos valores positivos e negativos no eixo. E auxiliamos os alunos que

tinham dificuldades em marcar as coordenas, após os mesmos nos procurarem com

dúvidas de como fazer a atividade já que os pontos ficavam dispersos no plano

cartesiano, diferentemente do que fora feito pela grupo vizinho. Após nossa

orientação, foi possível os discentes resolverem o 1º procedimento e darem

continuidade no traçado dos demais gráficos. Pedimos para eles ligarem os pontos

com o auxílio de uma régua.

Figura 9 – Alunos construindo o gráfico da função afim Fonte: Produção escrita dos alunos

Quando a maioria das equipes havia encerrado a atividade perguntamos

aos alunos qual era a figura geométrica que eles haviam construído. E as respostas

deles foram: Linha, reta, seta. Então pedimos para que registrassem suas

conclusões sobre a atividade desenvolvida no quadro da conclusão que ficava no

final da folha. Recolhemos as folhas de atividades e abrimos uma rápida discussão

com a turma a partir de suas conclusões sobre a representação gráfica de uma

209

função afim concluindo que o gráfico em questão tratava-se de uma reta e que nós

estudaremos as peculiaridades do mesmo em atividades posteriores. Encerramos

este encontro às 11h15min.

3.2.6 Sexta sessão

Do dia 23 à 25/04/2013 houve paralisação dos professores das escolas

estaduais e municipais. A escola que realizamos o experimento não parou, mas os

alunos passaram a ser dispensados no horário do intervalo, às 9h30min, e como

houve mudança no horário de aulas passando as aulas de matemática com o 1º ano

para os últimos horários, nesta semana não houve aula de matemática na turma

101. Voltamos a desenvolver a atividade “Construindo gráficos da função afim” no

dia 30/04/2012, onde os alunos resolveram a questão proposta e as questões

complementares, quando os alunos resolveram a questão proposta e as questões

complementares, com o intuito de que desenvolvessem habilidades na resolução de

problemas relativos a construção do gráfico da função afim.

Iniciamos a sessão de ensino às 10h30min com a questão proposta.

Distribuímos a folha de atividade e o texto “Sistema de produção do açaí” e pedimos

para que os discentes lessem a questão proposta e tentassem resolvê-la.

Pensamos que a semana que os discentes ficaram sem aula poderia de

alguma forma desestimulá-los ou afetar o desempenho dos alunos no

desenvolvimento das atividades. O que em parte acorreu, pois alguns discentes não

lembravam como construir o plano cartesiano, mas tinham uma noção bem definida

que o gráfico de uma função afim era uma reta. Durante o desenvolvimento das

questões nos dirigimos aos grupos que tinham dificuldades, relembrando a

disposição dos eixos no plano cartesiano e dos quadrantes positivos e negativos,

pois eles se confundiam nesses casos.

Alguns discentes montaram a tabela com os dados do ano e da produção

do açaí e em seguida encontraram a função algébrica e vieram nos perguntar se

estava correto. Então, lembramos que já haviam construído uma tabela com esses

dados na questão proposta da atividade 1, só que antes eles eram para encontrar a

expressão algébrica que representava a função, agora solicitamos que construam o

gráfico dessa mesma função, portanto bastava que fizessem o gráfico.

210

A atitude de refazer todo esse processo de representação tabelar,

algébrica e gráfica de alguns discentes nos deixou contente, haja vista que

demonstraram ter acumulado o conhecimento apreendido em aulas anteriores

ampliando sua percepção sobre a questão, ao quererem mostrar as diferentes

representações na mesma questão. Com isso, observamos na prática o cruzamento

das duas metodologias de ensino utilizadas, de um lado o aluno foi capaz de buscar

informações para a resolução de um problema dentro de um contexto característico

da Modelagem Matemática, de outro ele executou os procedimentos de forma a

interagir com o conhecimento anterior observando a característica de continuidade

enfatizada pelo Ensino por Atividades.

As 11h05min os discentes começaram a resolver as questões

complementares. Na primeira questão, explicamos que eles deveriam montar uma

tabela com os valores do tempo e da posição, escolherem alguns valores para t e

encontrarem o valor de s. Alguns alunos ainda tinham dificuldades com a

substituição e o cálculo para encontrar os valores da imagem. Auxiliamos esses

alunos relembrando jogo de sinais e mostramos alguns exemplos de cálculo com

números negativos o que viabilizou a continuidade da resolução pelos alunos.

Na segunda questão os discentes tiveram um pouco de dificuldade em

montar a expressão, então lemos juntamente com eles a questão explicando que o y

era o preço e o x a quilometragem rodada, e que o preço consistia no valor fixo da

diária adicionado ao valor cobrado por quilometro rodado, e auxiliamos dessa forma

a encontrarem a expressão da locadora 1 e pedimos que de forma similar

encontrassem a expressão da locadora 2 e em seguida construíssem o gráfico das

duas locadoras. Como alguns alunos nos procuraram com dúvidas em como traçar o

gráfico explicamos ainda que seria melhor, nesse caso, que alterássemos a escala

do eixo y de acordo com os valores encontrados, com isso os discentes construíram

cada gráfico.

Na questão 3 pedimos que os discentes identificassem as variáveis

dependente e independente e em seguida marcassem a opção mais coerente ao

caso. Como as respostas dos discentes variavam entre as alternativas b, d e e, e os

discentes estavam ansiosos por saber qual era a resposta correta, começamos a

discutir a questão:

211

P: Qual a expressão algébrica que representa o preço pago pela fruta, de acordo com o comando da questão 3? T: Bem... m é o preço e n o quilograma...

P: Quanto custa cada quilo? T: 1,75 P: Se o n é a quantidade de quilos, a expressão fica...? T: 1,75n P: Então a expressão algébrica será: m=1,75n? Certo? T: Certo. Mas qual o gráfico? P: Por que não pode ser a alternativa a ou c? T: Por que não é reta. P: Isso. E os outros casos que são retas? T: Não sei professora P: Vejam o que acontece... quando o n vale 1, quanto vale m? T: 1,75 P: Então... o gráfico deveria passar pelo ponto (n,m), isto é, (1; 1,75), qual é esse gráfico? T: a letra e professora.

A quarta questão foi resolvida com facilidade pelos discentes, nos

procuravam apenas para confirmarmos se a resposta estava correta. Observamos

que os discentes não fizeram nenhum cálculo para resolver a questão, ou seja, não

buscaram encontrar a expressão algébrica para depois substituir o valor do domínio

dado e encontrar sua respectiva imagem. Como a maioria resolveu corretamente,

perguntamos como eles haviam chegado a essa conclusão, e eles disseram que: “os

dias estavam aumentando de 5 em 5 enquanto a altura aumentava de 1 em 1, então

quando chegasse 30 dias a altura seria 6 cm”.

Após as conclusões dos alunos solicitamos que eles fizessem o

prolongamento do gráfico na folha de atividade mostrando o raciocínio deles e

explicamos que havia outra forma de resolver a questão, substituindo os pontos na

função genérica, encontrando a expressão algébrica para esse caso e em seguida

substituindo o valor do dia para encontrar a altura.

Ao final da atividade pedimos para que os discentes escrevessem nas

fichas de avaliação o que eles haviam achado das aulas sobre construção gráfica,

os alunos já estavam com fome e pediram para sair, alguns preencheram

rapidamente a ficha e depois saíram, finalizamos o encontro às 12h.

212

Quadro 12 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim


1

3

3

4

2

1

5


Essa foi uma das atividades que os alunos mais gostaram, embora com

as dificuldades iniciais eles acharam bem divertido construir diferentes gráficos da

função afim e alguns relembraram que já haviam estudado a construção gráfica mas

com essa atividade ficou mais claro a substituição dos pontos para traçar as

coordenas o que antes quase sempre os confundia.

3.2.7 Sétima sessão

Iniciamos a sessão às 10h35min, pois a professora do horário anterior nos

pediu mais um tempo para que pudesse encerrar sua aula, aguardamos 5min até a

professora encerrar a aula e entramos em sala, cumprimentamos os discentes e os

mesmos nos responderam com um bom dia, eles estavam sentados organizados em

fileiras e terminavam de copiar a matéria do quadro. Pedimos para que formassem

213

os grupos, muitos alunos faltaram nesse dia então alguns alunos preferiram fazer

individualmente as atividades.

Distribuímos as folhas da atividade “Crescimento e decrescimento da

função afim”, explicamos que na aula anterior construímos os gráficos da função

afim e agora analisaremos o gráfico, durante a distribuição das folhas de atividade

os alunos de dependência estavam chegando e arrumando as cadeiras para se

sentarem e participarem da aula, esse período de distribuição teve duração de

10min.

As 10h45min pedimos para os discentes lerem o título e o objetivo da

atividade em voz alta, um aluno leu o título e outro leu o objetivo enquanto os

demais acompanhavam a leitura. Em seguida pedimos aos alunos pegassem a folha

da atividade que continha quadro das funções e preenchessem com os valores dos

coeficientes a e b para cada função dada.

Figura 10 - Procedimentos desenvolvido pelos grupos sobre função crescente e decrescente Fonte: Produção dos alunos

Os discentes realizaram o procedimento e em seguida nos perguntaram

se estava correto, dois grupos colocaram os valores dos coeficientes sempre

positivos então dissemos a esses que o número sempre deveria estar acompanhado

do seu respectivo sinal (noção fundamental para que chegassem a conclusão da

atividade), então esses alunos identificaram seus erros e foram corrigindo as

respostas.

214

Propositalmente escrevemos algumas funções em que primeiro

apresentamos o valor de b e depois o de a, por exemplo: ( ) 10 5f x x , com o

intuito de que os alunos identificassem e diferenciassem os coeficientes a e b,

independente de sua disposição na função afim. Ocorreu na execução da atividade

que alguns alunos confundiram e trocaram o valor de a, pelo valor de b e vice e

versa, escrevendo no exemplo citado: 10a e 5b , dentre outros. E, ainda ocorreu

de três duplas escreverem o coeficiente a acompanhado da variável x (p. ex. 2a x

), similar a alguns casos identificados no pré-teste dentre os poucos alunos que

colocaram os coeficientes da função afim (questão 1 do pré-teste da função afim)

De posse do exposto, escrevemos no quadro a expressão genérica da

função afim [ ( )f x ax b ] e dois exemplos de função afim [ ( ) 2 1f x x e

3( ) 1

2f x x ] e explicamos que o coeficiente a era o número que estava na frente

da variável x e o coeficiente b era o número que não estava acompanhado de

nenhuma variável. Depois disso, os discentes que haviam errado corrigiram os

coeficientes que estavam trocados.

Posteriormente pedimos para que eles lessem o texto acima do quadro

que eles estavam preenchendo e em seguida perguntamos se eles haviam

compreendido e eles responderam que não. Observamos que apesar de os alunos

já terem conhecimento de qual seria a variável dependente e a variável

independente, pois já havíamos visto isso em atividades anteriores e quando

perguntamos qual era a variável independente eles respondiam que era o x e qual

era a variável independente eles respondiam que era o y, no momento da realização

da atividade essa nomenclatura causava certa dificuldade na compreensão pelos

mesmos.

Quadro 13 – Crescimento e decrescimento da função afim

Uma função em que sempre que o valor da variável independente aumenta implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável independente diminui implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de função crescente.

Uma função em que sempre que o valor da variável independente diminui implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável independente

aumenta implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de função decrescente.

Fonte: a autora

215

Então pedimos a atenção dos alunos para que pudéssemos explicar o

conteúdo do texto lido por eles. Construímos dois gráficos na lousa, um da função

crescente e outro da função decrescente e fomos mostrando a eles que conforme o

valor da variável x aumentava o valor da variável y também aumentava, no caso da

função crescente; e conforme o valor da variável x aumentava o valor da variável y

diminuía para a função decrescente. Para eles dizer o “x” no lugar de “independente”

e o “y” no lugar de “dependente” melhorou a compreensão, uma vez que estavam

mais acostumados a essa representação.

Figura 11 – Explicação do quadro da atividade que indica o crescimento e decrescimento da função afim pela análise do gráfico. Fonte: a autora

Após a compreensão sob qual era a disposição dos gráficos, para cada

caso, pedimos que os discentes pegassem as folhas com os gráficos e marcassem

no quadro das funções qual função era crescente e decrescente observando o seu

gráfico. Eles preencheram o quadro sem dificuldade e durante o desenvolvimento

desse procedimento quando percorremos os grupos para verificar se estavam

conseguindo desenvolver, alguns alunos nos disseram que observaram uma

regularidade nos gráficos e nos explicaram falando e desenhando no papel:

“Professora, eu descobri uma maneira mais fácil de identificar, sempre que a reta tá

dispostas assim [ ] é crescente e sempre que a reta tá disposta assim [ ] é

decrescente”.

Na sequência pedimos para que eles obsevassem o valor do coeficiente a

que eles já haviam escrito na tabela, para cada função, e marcassem no quadro se o

mesmo era maior ou menor que zero. Eles foram marcando no quadro, uns

perguntaram se o sinal do número era mais/positivo ele era maior que zero e se o

sinal do número era menos/negativo ele era menor que zero, e acenamos com a

216

cabeça confirmando que sim. Um aluno perguntou: “Professora, e quando o a for

igual a zero onde devo marcar?” Como não trabalharemos a função constante na

atividade e ele tinha a necessidade de saber, respondemos que nesse quadro não

temos esse caso, pois na definição da função afim a condição é que o a seja

diferente de zero ( 0a ) do contrário teremos uma função constante que não é uma

função afim e o gráfico será uma reta paralela ao eixo x. Construímos na lousa um

gráfico exemplificando essa função. Os alunos continuaram desenvolvendo a

atividade enquanto escrevemos no quadro as seguintes perguntas que nortearam

suas considerações: Descubra como identificar se a função afim é crescente

observando seus coeficientes? Descubra como identificar se a função afim é

decrescente observando seus coeficientes? Como podemos determinar se a função

afim é crescente ou decrescente?

Quando os alunos terminaram de preencher o quadro lemos para eles as

perguntas que havíamos escrito na lousa e pedimos para eles responderem na folha

de atividades no espaço deixado para a observação e para a conclusão. A maioria

dos alunos não teve dificuldade em redigir o texto, alguns alunos ficaram em dúvida

de como escrever, então falamos para estes observarem as quatro últimas colunas:

0a , 0a , crescente e decrescente; e verificar o comportamento da função em

cada caso. Deixamos 5min para que os alunos pudessem redigir suas

considerações. Mostramos as respostas dos discentes no quadro a seguir.

Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim

(continua) GRUPO Descubra como

identificar se a função afim é crescente observando seus coeficientes?

Descubra como identificar se a função afim é decrescente observando seus coeficientes?

Como podemos determinar se a função afim é crescente ou decrescente?

G2 Quando o A for positivo (+) a função é crescente

Quando o A for negativo (-) a função é decrescente

Quem determina se a função vai ser crescente ou decrescente vai ser o A

G6 Quando é crescente o “a” é positivo e sua reta sobe.

Quando é decrescente o “a” é negativo e sua reta é para baixo.

Nós percebemos que para concluir o gráfico, é preciso do “a” da função afim.

217

Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim

(conclusão)

G9 Quando o sinal é positivo a função é crescente

Quando o sinal é negativo a função é decrescente

a crescente

a decrescente

G3 Quando a for maior que zero ele é crescente.

Quando a for menor que zero ele é decrescente.

Para ver se ele é crescente ou decrescente tem que observar o valor do (a)

G7 a positivo Crescente a negativo Decrescente

Para saber se uma função é crescente ou decrescente temos que observar o “a”

G12 A Função é crescente quando o A e positivo

Não informaram Não informaram

G11 A função e crescente quando o valor do a e maior do que o 0

A função e crescente quando o valor do a e menor do que o 0

Observando o A

G4 Crescente: quando a função é positivo

Decrescente: quando a função é negativa

Não informaram

G8 Pode perceber que o A e crescente quando e positivo

E quando a e decrescente e menor que zero

Não informaram

G1 A função e crescente quando o valor de (a) é positivo

E é decrescente quando o valor de (a) e negativo

O (a) sendo positivo ou negativo determina se a função afim e crescente ou decrescente

G10 Eu pude observar que quando o valor de a é positivo a função do gráfico é positiva.

E para o a negativo a função do gráfico é negativa.

Então, para nos descobrirmos se o gráfico é positivo ou negativo, devemos olhar para a função e mais atentamente para o sinal de a.

Fonte: Produção dos alunos

Essa foi a atividade que os alunos melhor descreveram suas observações

e conclusões, a maioria obteve bom êxito com exceção de poucos alunos com

dificuldade de expressar suas ideias, ora não especificando quem era positivo ou

negativo ora deixando em branco. Após essa etapa, realizamos a socialização das

conclusões dos discentes sobre a atividade, visando generalizar as observações dos

alunos e reescrevê-las de forma coerente com a matemática este procedimento teve

duração de 5min.

218

P: Observem as funções que vocês marcaram na coluna onde 0a , em

todos esses casos a função é crescente ou decrescente? T: Crescente A1: Professora, aqui no meu tens dois que tá decrescente. P: Então, você se enganou, repara se o a é positivo ou negativo e observa o gráfico dessas duas funções se ele tá crescente ou decrescente e ajeita aí. A1: Ah tá professora, agora deu certo. P: Então em todos esses casos ela é crescente. E, na coluna em que o

0a a função sempre é...?

T: ...Decrescente P: Então... Quando a função afim é crescente? T: Quando o a é positivo/maior que zero. P: Quando uma função afim é decrescente? T: Quando o a é negativo. P: Então, para determinar se a função afim é crescente ou decrescente quem é que devemos observar? T: o a professora

P: Muito bem, então é isso... podemos identificar se a função afim é crescente ou decrescente observando o seu gráfico como vimos inicialmente ou apenas observando a sua expressão algébrica, identificando o coeficiente a conforme vocês concluíram agora.

Na institucionalização associamos as ideias dos alunos à linguagem

específica da matemática, e ficou assim formulada:

Se 0a , a função ( )f x ax b é crescente.

Se 0a , a função ( )f x ax b é decrescente.

Encerramos a socialização das respostas dos alunos às 11h35min.

Depois escrevemos na lousa alguns exemplos de função afim e pedimos para eles

identificarem se eram crescente ou decrescente, as respostas foram unanimes, isto

é, todos conseguiram identificar o crescimento ou decrescimento da função

observando os seus coeficientes. Em seguida pedimos para eles lerem a questão

proposta, reescreverem a função da produção anual do açaí e dizerem se ela era

crescente ou decrescente. Depois pedimos para eles resolverem as questões

complementares. Quando eles terminaram de resolver pedimos para que

entregassem as atividades e fizemos a socialização oral das respostas dos

discentes.

P: Na primeira questão, qual é a condição para que a função seja crescente? T: O a tem que ser maior que zero. P: E, qual é a condição para que a função seja decrescente? T: O a tem que ser menor que zero.

219

P: Então, qual a resposta correta? T: letra e P: Na segunda questão, a função da letra a, é crescente ou decrescente. T: crescente P: a letra b? T: decrescente P: a letra c? T: crescente P: a letra d? T: decrescente

A terceira questão, muitos deixaram em branco. Como alguns dos alunos

presentes não estavam em aulas anteriores e até mesmo alunos de dependência

que não participavam antes já estavam engajados no processo, decidimos explicar

no quadro como podemos resolver a terceira questão, explicando que temos que

encontrar a expressão algébrica da função cujo gráfico passa pelos pontos dados e

em seguida dizer se a função era crescente ou decrescente. Após resolvermos,

deixamos um exemplo similar no quadro para que os alunos copiassem e tentassem

resolver em casa.

Ao final da atividade pedimos para que os discentes escrevessem nas

fichas de avaliação suas opiniões sobre as aulas de construção gráfica, os alunos já

estavam com fome e pediram para sair, alguns preencheram rapidamente a ficha e

depois saíram, finalizamos o encontro às 12h.


(continua)


2

1

3

1

220


(conclusão)

1

1

3

4

8

2


3.2.8 Oitava sessão

A oitava sessão foi realizada no dia 14/05/2013 (terça-feira) e teve inicio

às 10h30min distribuímos as folhas da atividade “O zero da função afim” e lemos

juntamente com os alunos o título, o objetivo da atividade e a questão proposta,

explicamos que desenvolveremos alguns procedimentos para posteriormente

resolver a questão proposta e as questões complementares.

Pedimos para os alunos pegarem a folha com os gráficos e observando-

os completassem o quadro com os valores das abscissas e das ordenadas do ponto

em que o gráfico corta o eixo x. Eles preencheram as coordenadas corretamente e

observaram imediatamente que a ordenada era sempre zero nos casos dados.

Pedimos para que eles escrevessem suas observações e conclusões, e

eles registraram conforme o quadro a seguir.

221



G2 “o valor da ordenada é sempre ZERO” “É que o valor da ordenada é sempre zero quando a reta corta a abscissa”

G6 “Observamos que o 0 se repete no valor da ordenada”

“Concluímos que no gráfico há o valor da abscissa e da ordenada, e sempre há um valor”

G8 Não informaram Não informaram

G1 “O valor da ordenada é 0” Não informaram

G12 “O valor da ordenada é 0” “Toda vez que a reta corta o eixo x o valor de y é 0.”

G5 “Quando x dá um valor e quando y da sempre igual a zero”

Não informaram

G3 “O valor da ordenada é sempre zero” Não informaram

G10 “É que nesse caso o valor de y vai ser sempre 0 por causa que a reta corta o x.”

Não informaram


G7 “O valor de x que muda e o valor da ordenada é sempre zero”

Não informaram

G11 “Que o valor da ordenada é sempre zero”

Não informaram

G4 “O valor da ordenada é zero” “Para achar o zero da função basta achar o valor de x”

Fonte: produção escrita dos alunos

Após as considerações dos discentes realizamos a institucionalização do

saber, perguntamos aos discentes o que eles haviam observado, e a turma

respondeu que “os valores de x estavam mudando mais os valores das ordenadas

era sempre zero na tabela”. Confiramos com eles que o ponto em que o gráfico corta

o eixo x tem ordenada zero. Então perguntamos qual era o objetivo da questão e

eles responderam “identificar o zero da função afim”. Dissemos que o zero ou raiz da

função afim era o valor de x quando f(x) for igual a zero. Escrevemos isso na lousa e

pedimos para que eles escrevessem no caderno. Depois mostramos um exemplo na

lousa evidenciado que quando a questão pedir que encontrem o zero ou raiz da

função, basta igualar o f(x) a zero, obtendo assim uma equação de 1º grau, e em

seguida encontrarem o valor de x.

222

As 11h05min pedimos que resolvessem a questão proposta. Perguntamos

se eles se lembravam qual era a função que representava a produção anual de açaí,

e alguns alunos responderam qual era a função, então a escrevemos no quadro. Em

seguida perguntamos se eles haviam entendido a questão e o que estava sendo

pedido, os discentes responderam “o ano de inicio da produção”, perguntamos como

poderiam encontrar esse valor e um aluno respondeu que poderia igualar o f(x) a

zero. Então pedimos para que os alunos encontrassem qual seria o valor de x, isto é

do ano quando a produção fosse igual a zero.

Em seguida pedimos para que resolvessem as questões complementares.

E, os alunos a fizeram sem dificuldades no que consiste na substituição do y por

zero, alguns tinham dificuldades apenas no cálculo da equação, com o jogo de sinal,

mais essas dificuldades foram sanadas quando os grupos nos chamavam para

ajudá-los e íamos perguntando a eles até que lembrassem da regra de sinais, ou da

mudança de membro.

Quando eles terminaram de resolver pedimos para que fossem a lousa

socializar suas resoluções e em seguida eles entregaram a folha de atividades.

Discutimos oralmente as soluções explicitadas por eles destacando os casos em que

o resultado final estava diferente e levando-os a identificar os erros.

Após isso distribuímos as fichas de avaliação da aula e pedimos para que

os alunos preenchessem, eles foram entregando e saindo. Finalizamos a atividade

às 12h.

Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da

função afim (continua)


1

2

2

223

Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da função afim

(conclusão)

3

7

1

1

1

5


3.2.9 Nona sessão

A nona sessão foi realizada no dia 15/05/2013 e teve inicio às 9h45min.

Como só teremos uma aula para encerrar função afim, pois na próxima semana os

alunos entrarão em período de prova optamos por selecionar três questões (questão

2, 6 e 7) da Atividade 5 sobre resolução de problemas envolvendo função afim, para

os alunos desenvolverem. Pedimos para eles lerem a questão e tentassem resolvê-

la percorríamos os grupos esclarecendo suas dúvidas e tecendo perguntas a fim de

conduzi-los a identificar as variáveis, interpretar o problema e descrevê-lo para

chegar a uma solução.

No momento da socialização, aproveitamos para relembrar o assunto

trabalhado buscando destacar outros elementos do conteúdo mesmo que não

estivesse sendo pedido na questão. Por exemplo, na questão 2, onde era pedido

para encontrar a expressão algébrica que representasse o total pago pelo paciente

em função do número de dias que ele passou na clínica, pedimos também para

identificarem se a função era crescente ou decrescente, e calculassem o zero da

função.

A avaliação da aula foi realizada oralmente. Os alunos afirmaram ter uma

dificuldade inicial em interpretar o problema, mas que com a explicação deu pra

224

entender melhor o que estava sendo pedido; outros disseram que sentiam mais

dificuldade em encontrar a função quando era dado dois pontos, pois era difícil

resolver um sistema mas que iriam treinar em casa para a prova. Encerramos às

10h30min.

Apesar de nossas constantes tentativas em encontrar a expressão

álgebrica da função afim a partir de dois pontos, o fato de alguns alunos não terem

aprendido a resolver um sistema de 1º grau inviabilizou o processo. Na forma inicial

(da primeira atividade) de encontrar qual seria a função a partir de um conjunto de

pontos disposto em uma tabela pareceu mais fácil aos discentes, contudo nem

sempre isso era possível, pois em questões de aplicação, que envolvem

coordenadas com valores maiores ou até mesmo fracionários, essa percepção era

inviável, sendo mais indicada a resolução de sistemas nesses casos. Por isso,

buscamos as duas abordagens. Infelizmente o escasso tempo de aulas de

matemática, não nos permitiu exercitar mais situações como esta para que os

discentes com dificuldade conseguissem se adaptar. Em virtude disso esperamos

um baixo rendimento na questão do pós-teste que envolve essa situação.

3.2.10 Décima sessão

A décima sessão ocorreu no dia 29/05/2013 (quarta-feira) das 8h30 às

10h, onde foi aplicado o pós-teste da função afim. Conforme o combinado o pós-

teste contou como a prova de 1ª (primeira) avaliação da turma e todos os alunos

presentes puderam fazê-la independente de terem respondido a nosso questionário

inicial, critério usado para selecionar os alunos que seriam avaliados em nossa

pesquisa.

Organizamos as carteiras em fileiras e pedimos aos discentes que

guardassem todo o material deixando em cima da carteira apenas lápis, borracha,

caneta e uma folha para borrão.

Distribuímos a folha do pós-teste e dissemos aos alunos que nos

chamassem caso tivessem alguma dúvida. Alguns alunos perguntaram sobre o

comando das questões e instruímos a resolver conforme o que se pedia. Em

seguida passamos a lista de frequência para que os alunos fossem assinando. As

9h10 minutos o primeiro aluno entregou o teste, após 10min mais duas alunas

225

entregaram, os demais alunos ainda tentavam resolver as questões após as

9h40min os alunos foram entregando o teste, ficando apenas 9 alunos até o final da

prova. Quando bateu a campainha os alunos foram entregando os testes e duas

alunas ainda persistiram em resolver enquanto os outros entregavam, dissemos que

elas não precisavam terminar de passar a limpo, mas que nos entregassem o borrão

e o anexamos a prova.

3.2.11 Décima primeira sessão

Após a semana de prova que encerrou dia 29/05/2013, não houve aula

nos dia 4 e 5/06/2013, pois foi reunião escolar. A décima primeira sessão ocorreu no

dia 11/06/2013 (terça-feira), quando iniciamos a atividade sobre função quadrática

denominada: descobrindo a expressão algébrica. O encontro iniciou às 10h30min,

dissemos que iniciaremos um novo conteúdo e pedimos para que os alunos

formassem os grupos e distribuímos o texto “Arquitetura do ver-o-peso” e as folhas

de atividade. Pedimos para que eles lessem o texto em seguida comentamos sobre

o processo de revitalização da feira e destacamos a estrutura das barracas formadas

por módulos 8mX8m que se consideramos de forma planificada o tecido teria a

forma de um quadrado conforme ilustramos no texto.

Em seguida pedimos que os alunos lessem o título e o objetivo da

atividade e desenvolvessem os procedimentos da mesma. Alguns alunos disseram

que já haviam feito essa atividade e dissemos que era bem parecida com a primeira

atividade da função afim, mas agora se tratava de outro tipo de função e os dados

das tabelas da atividade também eram diferentes.

Alguns alunos foram observando logo as últimas tabelas ou as do meio e

não conseguiram obter resposta, pedimos para eles iniciarem com a primeira tabela

e observar como o valor do y alterava conforme aumentava os valores de x, a

maioria dos alunos conseguiu concluir que se multiplissem o valor do x por ele

mesmo o resultado era o valor de y, então perguntamos como podemos escrever

esse número na forma de potência e eles foram mostrando na atividade.

Em seguida perguntamos aos alunos quando esse valor fosse x e não um

número como até então eles haviam observado como ficará o valor de y, eles

escreveram “x2” conforme esperamos. Então pedimos para que eles fizessem a

226

tabela ao lado enquanto percorremos os grupos de acordo com as dúvidas, e eles

perceberam que agora o número/valor de x elevado ao quadrado não estava dando

a resposta então pedimos para que observassem a primeira linha da segunda tabela

e perguntamos o que faltava para dar o respectivo valor de y e os grupos

responderam: “um”. E na próxima linha? Também. E na próxima? Também... E

quando for x, como fica? Então, eles fizeram a expressão correspondente e

solicitamos que fizessem a tabela abaixo que era bem parecida.

Na tabela cuja expressão era “2y x x ” alguns grupos nos perguntaram

como ficaria, pois não estava dando sempre o mesmo número pra ser adicionado ao

x2 como nas outras. Então perguntamos:

P (professora pesquisadora): o valor do x é sempre ele mesmo ao quadrado mais quem? G (grupo): Ele mesmo. P: Então como fica a expressão?

G:2x x

Outros grupos conseguiram compreender essa relação sem que fosse

preciso auxiliá-los. Alguns alunos tiveram um pouco de dificuldade com as duas

últimas tabelas na obtenção das expressões 2 1x x e 2 2x x , tentamos auxiliá-

los de forma similar, pedimos para observarem o que já haviam realizado. Outros

alunos conseguiram associar os valores a expressão sem nos pedir ajuda. Três

grupos não nos chamaram em nenhum momento para que os ajudássemos na

atividade e conseguiram perceber as particularidades de cada tabela sem qualquer

intervenção nossa. Percebemos que os alunos já estavam mais autônomos no

desenvolvimento das atividades, bem diferente do início quando esperavam que

déssemos as respostas ou que fornecêssemos todas as informações já prontas

como nas aulas tradicionais. Notamos que eles já estavam mais habituados a este

processo de aprendizagem e se sentiam instigados a encontrarem as respostas por

conta própria nos solicitando apenas quando não conseguiam progredir por alguma

dúvida.

As 11h15min os alunos já haviam encerrado os procedimentos da

atividade e pedimos para que eles registrassem suas observações e conclusões.

Notamos que eles assimilaram bem o que estava ocorrendo com valores da tabela e

227

também expressaram mais claramente, na observação e conclusão, uma ideia que

se aproxime da definição de função quadrática. Como mostra o quadro a seguir.



G10 É que está havendo uma mudança em relação aos valores de x e y como:

2y x , 2 1y x ,

2y x x , 2 2y x ,

2 1y x x e 2 2y x x .

Não informaram


G8 Sempre dá uma equação do segundo grau.

Não informaram

G3 Observamos que para descobrir a expressão algébrica precisamos de um fator elevado ao quadrado e outros fatores formando uma expressão

2y ax bx c

G2 Que todas as expressões sempre vão

iniciar com o 2x

A expressão da função é 2ax bx c .

G6 Observamos que sempre irá dar uma equação do 2º grau

2ax bx c


G1 São variados tipos de expressões algumas podem ter 3 fatores, algumas podem ter 2 fatores e algumas podem ter 1 fator.

2y ax bx c

G5 É que todas as funções são feitas por quadrado

Não informaram

G12 Tá ocorrendo uma mudança dos valores x e y.

O x sempre será elevado ao quadrado.


Após esse registro indagamos os discentes acerca de suas observações,

retomando as expressões por eles descobertas e associando-as a representações

algébricas da função dita quadrática, a partir de então definimos a função quadrática

e escrevemos no quadro essa definição seguida de outros exemplos de função

envolvendo coeficientes fracionários, e ressaltamos que os fatores ditos por alguns

eram os coeficientes e o x a incógnita, e ainda falamos sobre as funções

incompletas que eles haviam encontrado na atividade do tipo: 2( )f x ax ,

228

2( )f x ax bx e 2( )f x ax c . Em seguida pedimos para que os alunos anotassem

em seu caderno. Esse processo durou 10min.

Em seguida solicitamos que os alunos observassem a questão proposta e

a resolvessem. Inicialmente pedimos para identificarem o que estava sendo pedido e

os alunos logo responderam que seria para identificar a função que representava a

área do tecido. Os alunos conseguiram observar analisando a figura que se tratava

da área do quadrado, mas muitos não se lembravam de questões básicas da

geometria plana como, por exemplo, o cálculo de área. Então perguntamos se

alguém se lembrava de como podemos calcular a área de um quadrado e duas

alunas responderam que era “lado vezes lado”, então os alunos lembraram como

fazer, e pedimos para que eles escrevessem na forma de potência, assim os mesmo

identificaram a situação.

Somente um grupo nos chamou alegando não haver entendido e nos

dirigimos aos mesmos para explicar. Após os alunos terem identificado qual a

expressão dentre as tabelas dos procedimentos realizados anteriormente

correspondia a área do tecido de um módulo da tenda, que demos continuidade

solicitando que resolvessem as questões complementares, haja vista que seria

essencial que dominassem os conceitos de área da geometria plana para que

obtivessem êxito nas demais questões.

Pedimos para os discentes resolverem a primeira questão complementar.

Os grupos foram se empenhando em fazê-la. Tentando associar a questão anterior

mais sentiram dificuldades. Então, percorremos de grupo em grupo fazendo

indagações para que eles chegassem a algum caminho. E, de acordo com Polya

(2006) procuramos conduzi-los a caminhos para a resolução do problema.

Primeiramente solicitamos que lessem atentamente a questão, após isso

identificassem que figura geométrica estava em destaque e que a desenhassem no

papel para melhor visualização. Então os alunos desenharam um retângulo.

Perguntamos quais eram as medidas desse retângulo e os alunos as informaram.

Alguns foram logo escrevendo 30 cm em um lado e 20 cm em outro do retângulo. E,

lembramos que o retângulo possuía duas dimensões o comprimento e a largura e se

fosse para calcular a área do mesmo bastava multiplicarmos essas dimensões.

Perguntamos também, qual eram os outros dados na questão. Eles responderam

que tinha também o quadrado nos cantos. Então eles desenharam o quadro nos

229

quatro cantos como dizia a questão. Um grupo desenhou apenas um quadrado,

então pedimos para que ele lesse novamente e observasse quantos cantos tinha,

então eles corrigiram o desenho. Assim o problema se tornou mais visível.

Indagamos os discentes sobre qual eram os dados do problema? Eles

responderam: “área, largura, comprimento”. Em seguida perguntamos qual era a

incógnita? Isto é, o que eles tinham que encontrar? Os alunos responderam: “a área

da parte que sobrou”. E reinteramos, como nos podemos fazer isto? A maioria dos

grupos observou que se calculassem a área do retângulo maior e as subtraíssem da

área dos quatro quadrados menores obteriam essa resposta. Dois grupos não

conseguiram ter este raciocínio então solicitamos que eles calculassem a área do

retângulo e dos quadrados separadamente e em seguida perguntamos se eles

retirassem a área do quando como eles poderiam representar a área que sobrou,

então eles observaram que precisariam subtrair essas informações.

Um grupo que não pediu o nosso auxílio fez o procedimento do cálculo

corretamente, mas esqueceu de acrescentar a área dos quatro quadrados na

expressão escrevendo como se tivesse retirado apenas 1 canto do retângulo, e.x.:

2600A x .

Em seguida pedimos para que os discentes resolvessem a terceira

questão que era similar a primeira e já tinha o a figura correspondente o que

facilitava o reconhecimento do problema para os alunos. Nessa questão os alunos

identificaram mais facilmente o problema e como resolve-la. Alguns grupos foram

logo fazendo a questão. Outros nos chamaram para ter certeza do que estavam

fazendo. Perguntamos para cada grupo o que teriam que fazer para encontrar a

área da parte pintada de cinza. Eles responderam que agora teriam que tirar apenas

um dos cantos. Eles resolveram a questão sem qualquer interferência nossa. Como

alguns grupos já haviam terminada a questão três foram logo tentando resolver as

outras questões, e percorremos a sala auxíliando os grupos que nos solicitavam

informações, a quarta questão foi um pouco mais complicada pois alguns alunos

tendiam a calcular o perímetro total da figura, não observando que um dos lados não

precisava ser cercado, quando esclarecemos esta informação ficou mais fácil a

resolução.

Os grupos foram acabando de resolver e pedimos para que esperassem

para discutirmos o que tinham feito. Quando o último grupo terminou abrimos espaço

230

para socialização das respostas. Quatro grupos se ofereceram para ir ao quadro.

Então pedimos para que eles escrevessem no quadro as duas questões que haviam

resolvido. Após isso pedimos para que os alunos entregassem as folhas de atividade

e passamos a fazer a correção das respostas.

Perguntamos aos alunos o procedimento da resolução e ao final

apontamos as soluções corretas. Foi nesse momento que percebemos o equívoco

do grupo que retirou apenas um quadrado na questão 1. Então, com a ajuda dos

demais alunos todos observaram que deveriam considerar os quatro cantos. Na

questão três os alunos também explicaram como foram fazendo, durante a

discussão alguns se orgulhavam de terem acertado, outros ficavam calados quando

perceberam que suas respostas não estavam corretas. Salientamos que o objetivo

da socialização era para que todos pudessem esclarecer suas dúvidas para que não

saíssem da sala com a ideia errada sobre a questão, promovendo dessa forma mais

uma chance para aprendizagem, ou até ratificar as respostas dos grupos que

obtiveram êxito.

Para finalizar a sessão pedimos para que os alunos falassem o que

acharam da aula do dia. Os alunos foram breves nas palavras, pois estavam com

fome. Eles disseram que haviam gostado, pois interagiram bastante; que haviam

relembrado assuntos que tinham esquecido, como o cálculo de área do quadrado e

do retângulo; e que gostaram da condução da aula, pois a professora os ajudava a

pensarem a questão quando tinham dificuldade sem lhes dá a resposta. Encerramos

a aula as 12h15min.

3.2.12 Décima segunda sessão

No dia 12/06/2013 (quarta-feira) não podemos dar continuidade, pois

houve uma palestra na escola com as turmas do 1º ano. Como houve diversas

situações dentre reuniões, palestras e paralisações que ocorreram justamente nos

dias de nossas aulas de matemática pedimos a coordenadora pedagógica que nos

cedesse uma sala para efetuarmos as atividades nos sábados seguintes do mês de

junho, assim combinamos com os alunos aulas aos sábados a partir das 8h30min

para darmos continuidade as nossas atividades além dos dias de aula que

ocorreriam normalmente durante a semana.

231

Assim, a décima segunda sessão (atividades 2 e 3 da função quadrática)

foi realizada no dia 15/06/2013 (sábado). Neste dia chegamos na escola as 8h para

que pudéssemos organizar a sala de aula e o material de aula, pois aos sábados a

escola não funcionava como dia letivo, estando presentes apenas o porteiro, a

professora pesquisadora, a professora efetiva e a turma do primeiro ano da manhã.

Deixamos com o porteiro a listagem com o nome dos alunos do primeiro

ano do ensino médio do turno da manhã e pedimos que controlasse a entrada dos

mesmos, os alunos também tiveram que participar das aulas de sábado

uniformizados seguindo as exigências da direção da escola.

Iniciamos a décima segunda sessão as 8h30min. Pedimos para um aluno

ler o título e o objetivo da atividade 2 “Construindo gráficos da função quadrática” e

em seguida os alunos desenvolveram os procedimentos da atividade. Os alunos

tiveram que encontrar o valor de y substituindo o valor de x dado, e em seguida

destacar os pontos no plano cartesiano da folha de atividade construindo a parábola

para cada função dada. Um grupo calculou errado o valor de x e construiu um dos

gráficos no formato de reta, mas os outros gráficos conseguiu formar a parábola,

quando perceberam a diferença nos questionaram se o que estavam fazendo era

correto e pedimos para que eles observassem o que havia de errado em seus

cálculos.

Observamos também que a maioria havia melhorando com relação ao

cálculo, vez ou outra tinham dificuldade com o jogo de sinais, mas já estavam bem

mais habilidosos. Após os alunos terminarem de construir os gráficos pedimos para

que eles registrassem na conclusão qual era o formato do gráfico que haviam

construído.

Quadro 19 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade construindo gráficos da função quadrática

GRUPOS CONCLUSÕES

G10 Essa figura é uma curva

G2 Concluímos que a figura formada é uma parábola

G6 Ligando os pontos forma uma parábola

G11 É uma curva uma parábola

G9 Isso é uma curva

G1 É uma parábola Fonte: Produção escrita dos alunos

232

Após os discentes escreverem suas conclusões, dentre as curvas e

parábolas descritas pelos alunos, formalizamos suas informações da seguinte forma:

O gráfico da função quadrática (2( )f x ax bx c , com x e 0a ) é

representado no plano cartesiano por uma curva aberta chamada parábola.

Em seguida pedimos para que registrassem em seu caderno. Na

sequência perguntamos aos alunos se eles lembravam da função que representava

a área do tecido da tenda e eles responderam que era x2. Então pedimos para eles

identificarem qual dos gráficos que eles construíram era a representação geométrica

dessa função, respondendo assim a questão proposta.

Solicitamos que eles resolvessem a segunda questão complementar.

Lembramos que esta atividade era similar a questão em que eles tiveram que

encontrar a função afim substituindo seus pontos na função genérica, só que agora

eram necessários três pontos para encontrar a função quadrática que representava

o leito do rio. Alguns alunos lembraram e foram resolvendo, outros tivemos que

ajudá-los, pois ainda tinham dificuldade em resolver sistemas. Em nossa análise

identificamos alguns progressos na execução de procedimentos matemáticos de

séries anteriores que foram necessários para o desenvolvimento da atividade, mas

que inicialmente os alunos de forma geral apresentavam muita dificuldade.

Pedimos para que entregassem a atividade, um grupo se confundiu no

cálculo e um nem tentou fazer a questão 2. Após entregarem a atividade resolvemos

a questão no quadro explicando passo a passo, já que os alunos ficaram acanhados

em escrever suas respostas no quadro. Pedimos para que eles anotassem a solução

da questão no caderno deles e treinassem em casa, buscando outros exemplos.

Ao final da atividade dos gráficos liberamos duas alunas, uma aluna não

estava se sentindo bem e pediu para ir para casa e a outra do seu grupo foi

acompanhando. Nesse momento, chegaram mais três alunos que pegaram o final da

socialização da atividade dos gráficos e passaram a participar da atividade da

concavidade da parábola.

As 11h iniciamos a atividade 3 “Concavidade da parábola”. Lemos o título

e o objetivo da atividade e pedimos para os alunos preencherem o quadro dos

procedimentos observando os gráficos e as expressões algébricas de cada função

dada.

233

Figura 12 – Aluno preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Concavidade da parábola” Fonte: Produção escrita dos alunos

Após isso, pedimos para que observassem o quadro que eles haviam

preenchido e escrevessem na conclusão: O que estava acontecendo com a

parábola quando o a é positivo? E quando o a é negativo? Os registros foram:

Quadro 20 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade concavidade da parábola

GRUPOS O que acontece com a parábola quando a é positivo?

O que acontece com a parábola quando a é

negativo?

G10 É que quando o valor de a é positivo a posição da parábola côncava é para cima.

Quando o valor de a for negativo a posição côncava é para baixo.

G8 Quando o valor de a for maior a posição da parábola é côncava para cima.

Quando o valor de a for menor a posição da parábola é côncava para baixo.

G2 Concluímos que o valor de A influencia na concavidade, se positivo para cima se negativo para baixo.

___________________

G11 Quando o A for POSITIVO a concavidade está para cima

E ao contrário é para baixo

G1 O 0a a concavidade é para cima O 0a a concavidade é para baixo

G5 Quando for a positivo minha concavidade vai ser para cima

E quando for negativo vai ser pra baixo

G6 Quando a concavidade é para cima a é positivo

Quando a concavidade é para baixo a é negativo


234

Como os discentes estavam “afoitos” discutindo entre eles suas

conclusões, socializamos as respostas assim que terminaram de escrevê-las na

folha de atividades. E, dissemos para que escrevessem em seus cadernos a

conclusão de nossas discussões que ficou da seguinte forma:

Se 0a a parábola é côncava para cima.

Se 0a a parábola é côncava para baixo.

Feito isso, solicitamos que os discentes observassem a imagem da

questão proposta e respondessem verbalmente só olhando a mesma, se a parábola

era côncava para cima ou para baixo. Após suas respostas pedimos para eles

resolverem a questão proposta e encontrarem a expressão algébrica que representa

a curva da tenda ilustrada. Os alunos identificaram os pontos na malha

quadriculada, alguns tiveram dificuldade de perceber os pontos e pedimos para

estes contarem os quadradinhos da malha quadriculada sobre a imagem como uma

unidade e destacassem os pontos. Em seguida encontrassem a expressão

semelhante ao que já haviam feito na atividade anterior.

No final da atividade pedimos aos alunos que se sentissem a vontade

para escreverem seus resultados no quadro. Desta vez, três alunos se dirigiram a

lousa para socializar suas respostas, enquanto isso recolhemos a atividade dos

demais e passamos a lista de frequência. Quando os três alunos que foram a lousa

acabaram de escrever a resolução das questões devolveram suas atividades e

passamos a discutir o que estes haviam escrito com todos os alunos. E, fizemos as

devidas correções quando necessário.

Após isso, distribuímos as fichas para que os alunos escrevessem suas

opiniões sobre a aula do dia. Finalizamos a sessão as 12h.

235

Quadro 21 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula das atividades “Construindo gráficos da função quadrática” e “Concavidade da parábola”


2

3

2

3

1

1

1

1

1


3.2.13 Décima terceira sessão

A décima terceira sessão ocorreu no dia 18/06/2013 (terça-feira). Como

havia duas horas/aulas nesse dia nossa pretensão era realizar toda a atividade.

Contudo ocorreu uma queda de energia na escola após nosso primeiro horário, o

que impossibilitou de concluirmos a atividade. Os alunos executaram os

procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”, deixando as questões

propostas e as questões complementares para outra aula.

Iniciamos a atividade as 10h30mim, distribuímos as folhas de atividade e

as folhas de gráficos A (Apêndice D) e pedimos aos alunos para lerem o titulo e

objetivo da atividade. Em seguida os alunos preencheram a tabela dos

procedimentos, calculando o determinante, marcando os valores do delta e

escrevendo a quantidade de raízes para cada função observando seus respectivos

gráficos.

236

Auxiliamos os alunos a preencherem o quadro com os números das

raízes de cada função orientando que procurassem no gráfico, observando o quadro

do inicio da atividade que informava:

Os pontos que a parábola toca o eixo do x são denominados zeros (ou raízes) da

função quadrática 2( )f x a x bx c .

Alguns alunos perguntaram:

A(alunos): Professora, como escrevo no quadro quando a parábola não toca o eixo x? P (professora pesquisadora): quando a parábola não toca no eixo das abscissas, quantas zeros ou raízes tem a função? A: Nenhum, pois a raiz é quando toca. P: Então, você escreve zero.

Figura 13 – Alunos preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática” Fonte: Produção escrita dos alunos

Acompanhamos os grupos atentamente a fim de que não errassem o

cálculo do delta o que poderia comprometer suas conclusões. Quando os discentes

terminaram de preencher o quadro, pedimos para eles observarem se havia e qual

seria a relação entre o determinante e o número de raízes de cada função e os

alunos descreveram conforme o quadro a seguir.

237

Quadro 22 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade zeros da função quadrática


G6 Não informaram Quando o é maior que 0 temos duas raízes, quando o é = 0 é 1 e quando é menor que 0 não tem raiz.

G9 O número de raízes varia conforme o .

Quando o é menor que 0 não tem raiz e quando ele é maior tem 2 raízes.

G1 Não informaram Quando o ( ) é igual a (0) a raiz é (1). Quando o ( ) é maior a raiz é (2). Quando for menor a raiz é (nenhuma).

G7 O número de raízes depende do delta

Quando delta é igual a zero existe uma raiz, quando o delta é maior que zero existe duas raízes, quando delta é menor que zero não existe nenhuma raiz.

G2 O delta altera os valores de raízes.

Quando o 0 temos 2 raízes, quando

0 temos 0 raízes e quando 0 temos 1 raiz.

G11 O número de raiz vai variando conforme o

Quando o é igual a zero só tem uma raiz, quando o é menor não tem raiz, quando o é maior tem 2 raiz

G4 O número de raiz depende do delta

Quando delta é igual a zero a uma raiz, quando é maior a duas e quando é menor não a nenhuma

G8 Não informaram Quando o delta é maior que zero tenho 2 raízes. Quando o delta é menor que zero tenho 1 raiz. Quando o delta é igual a zero tenho nenhuma raiz.

G3 Não informaram É que quando o for igual a (0) ele vai possuir somente uma raiz, quando o for maior que (0) ele vai possuir duas raízes e quando o for menor ele não vai possuir nenhuma raiz.

G5 Não informaram Quando deu = 0 o número de raiz foi 1, quando deu menor que 0 o número de raiz foi 0, e quando deu maior que zero o número de raiz deu 2.

G10 Não informaram É que quando o for igual a (0) ele vai possuir somente uma raiz, quando o for maior que zero ele vai possuir duas raízes e quando o for menor ele não vai possuir nenhuma raiz.


238

No momento da socialização observamos que todos os grupos

conseguiram identificar a influência do delta no número de raízes ou zeros de uma

função quadrática, embora alguns escrevessem suas conclusões com ideias um

tanto confusas. Para evitar uma futura interpretação errônea de suas respostas

finalizamos a discussão considerando as informações obtidas e reescrevendo-as da

seguinte forma:

Podemos determinar o número de raízes ou zeros da função quadrática observando o valor do (delta).

Quando 0 temos duas raízes reais;

Quando 0 temos duas raízes reais iguais ou uma única raiz real;

Quando 0 não existe raízes reais.

Enquanto os alunos registravam a conclusão da atividade em seus

cadernos, houve uma queda de energia na escola, o que impossibilitou dar

continuidade a atividade. Então, pedimos para os discentes permanecerem sentados

e terminarem de escrever a conclusão no caderno, e assim que acabassem,

entregassem a atividade e a frequência. Após isso, dispensamos os alunos,

encerramos a aula as 11h20min.

3.2.14 Décima quarta sessão

A décima quarta sessão foi realizada no dia 19/06/2013 (quarta-feira).

Como na quarta só havia uma aula, optamos por realizar os procedimentos da

atividade “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara”, deixado a

questão proposta e as questões complementares desta atividade e da atividade

anterior para a próxima sessão.

As 9h45min iniciamos a atividade. Distribuímos as folhas de atividade e as

folhas de gráficos, lemos o titulo, o objetivo e explicamos o primeiro quadro do

procedimento desta atividade, alegando ser possível calcular os zeros da função

quadrática desde que se conheça seus coeficientes. Pedimos para os discentes

calcularem os zeros de cada função dada no quadro das funções, com a fórmula de

Bhaskara presente no mesmo. Em seguida solicitamos que eles identificassem no

gráfico o valor das raízes e confirmassem se a resposta correspondia ao que haviam

calculado.

239

Quando todos os alunos concluíram a atividade. Pedimos que

entregassem o material e socializamos as respostas dos discentes verbalmente.

Pedimos também que escrevessem nas fichas suas opiniões sobre a atividade. E

após isso estavam dispensados. Finalizamos a aula às 10h30min.

Quadro 23 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática.


10

1

1

1

1

1

2

1


3.2.15 Décima quinta sessão

A décima quinta sessão ocorreu no dia 22/06/2013 (sábado). Iniciamos às

8h30min com a questão proposta e as questões complementares das atividades

“Zeros da função quadrática” e “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de

Bhaskara”.

Como havia mais alunos do que no sábado anterior e a maioria não havia

encontrado a expressão da curva da tenda, além disso, julgamos que esta

informação não era fundamental para a questão haja vista que os alunos poderiam

descobrir o que estava sendo pedido na questão complementar apenas observando

a figura, fornecemos a expressão algébrica da função, e pedimos para os alunos

responderem as questões propostas da primeira e da segunda folha de atividade.

Em seguida pedimos para eles calcularem o delta e encontrarem as raízes usando

240

Bhaskara só pra confirmarem a resposta. Com o intuito de treiná-los na resolução de

questões de tal natureza. Escrevemos as fórmulas do delta e de Bhaskara na lousa.

Em seguida eles resolveram as questões complementares da atividade

“Zeros da função quadrática”. Depois passaram para as questões complementares

da atividade “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara”. Os

alunos tiveram dúvidas em como resolver estas questões. Simulamos a situação no

quadro desenhando o prédio descrito na primeira questão complementar desta

atividade mostrando a variação decrescente da altura.

Figura 14 – Ilustração da questão complementar 1 Fonte: a autora

Então perguntamos qual seria a altura da bola no momento em que a

mesma atingisse o solo. Os alunos concluíram que seria zero. Informamos que se

substituirmos a altura por zero na função teremos uma equação do 2º grau e

poderemos encontrar suas raízes por Bhaskara. Então eles usaram as fórmulas que

estava na lousa para resolver a questão. A próxima questão como tinha um

raciocínio similar eles resolveram de imediato, sem ser necessário qualquer

intervenção. Pedimos para eles recorrem a seus livros didáticos e treinassem mais

essas questões em casa. Pois na próxima semana aplicaremos o pós-teste, e

teremos apenas mais uma aula antes do mesmo, pois entrariam em férias escolares.

Na sequência abrimos para a socialização dos resultados, alguns alunos

se ofereceram para escrever na lousa, enquanto esses compartilhavam suas

respostas recolhemos as atividades dos demais. Após os alunos que foram ao

quadro entregarem suas folhas de atividade, discutimos as respostas com a turma.

241

Figura 15 – Socialização dos resultados das questões complementares da atividade “Encontrar os zeros da função quadrática” Fonte: Produção dos alunos

As 10h iniciamos a atividade “Vértice da função quadrática, valor de

máximo e valor de mínimo”. Distribuímos as folhas de atividade e as folhas de

gráficos A, um aluno leu o título e o objetivo da atividade. Pedimos para eles

pegarem a folha com o quadro das funções, calculassem e preenchessem os

valores do vértice para cada função. Após isso, pedimos para eles lerem o quadro

explicativo. Identificamos o vértice como bico da parábola, que correspondia as

coordenadas do ponto xv e yv encontrados. E reinteramos que o valor de máximo

está localizado mais acima da parábola e o valor de mínimo mais abaixo.

Após isso, pedimos para eles pegarem as folhas de gráficos, identificarem

qual o ponto mais alto da parábola e o ponto mais baixo da parábola e marcarem no

quadro das funções. E por fim, observassem o quadro das funções e a concavidade

da parábola e respondessem qual a relação entre esses dados. As conclusões dos

discentes ficaram assim descritas:

Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo

(continua)


G1 Não informaram Quando o ponto estiver em cima é máximo e quando estiver em baixo é mínimo.

G10 Não informaram Quando a parábola é côncava para cima eu tenho o ponto de mínimo e quando a parábola é côncava para baixo eu tenho o ponto de máximo.

242

Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo

(conclusão)

G5 A concavidade da parábola altera o ponto do vértice.

Quando a parábola é para baixo o ponto é o máximo. Quando a parábola é para cima o ponto é mínimo.

G2 Não informaram Concluímos que quando a parábola estiver côncava para cima é um ponto mínimo e quando para baixo um ponto máximo.

G6 Não informaram Quando a parábola é côncava para cima o ponto mínimo e quando é para baixo é ponto máximo.

G11 Não informaram Quando esta para cima ponto mínimo. Quando a parábola esta para baixo (ponto máximo).

G9 Não informaram Quando a parábola está côncava pra cima é ponto de mínimo, quando a parábola é côncava pra baixo é ponto máximo.


Após discutirmos as considerações dos discentes a conclusão ficou

assim:

Quando a parábola é côncava para cima o ponto é de mínimo e quando a parábola é côncava para baixo o ponto é de máximo. E que o para calcularmos o x

do vértice e o y do vértice temos que 2

v

bx

a e

4vy

a

.

Na sequência pedimos aos alunos que resolvessem a questão proposta e

as questões complementares. Nas questões complementares 2 e 3 pedimos que os

alunos identificassem as variáveis, desse modo, foi possível perceber quem era o x

do vértice (quantidade de peixes; instante) e quem era o y do vértice (valor; altura),

quando os mesmos tinham dúvidas. O cálculo ficou acessível, pois eles tinham em

mãos as fórmulas precisando apenas entender a questão e substituir os dados para

encontrar o que estava sendo pedido.

Após a resolução alguns alunos se ofereceram para resolver na lousa. E

enquanto esses escreviam, recolhemos as atividades dos demais. Após isso,

discutimos os resultados, fizemos algumas correções, pois alguns alunos haviam

errado conta. Ressaltamos que os alunos gravassem as fórmulas para o teste. Logo

243

depois distribuímos as fichas para que fossem registradas as opiniões dos alunos

sobre a aula. Encerramos a sessão 12h.

Quadro 25 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática


4

1

1

1

1

1

1


3.2.16 Décima sexta sessão

A décima sexta sessão ocorreu dia 25/06/2013 (terça-feira). Como esta

seria a penúltima sessão com duração de 2 h/a, e na próxima teremos o pós-teste,

selecionamos algumas questões da última atividade “Problemas sobre função

quadrática”. A fim de que os alunos pudessem treinar mais questões de aplicação.

Conforme salientam os PCN, os PCNEM, o SAEB e o ENEM; bases de dados dentre

outras fontes, como vestibulares locais e livros, das quais utilizamos para construção

deste material.

A aula iniciou às 10h30min, distribuímos as folhas de atividade e papel A4

em branco para resolução das questões. Inicialmente um aluno leu o titulo da

atividade e o objetivo enquanto os demais acompanhavam com a folha de atividade.

Pedimos para os alunos lerem e tentarem resolver a primeira questão e

conforme fosse o desenvolvimento prosseguiremos as demais. Apesar dos

244

procedimentos desenvolvidos nas atividades até então já virem tratando de algumas

questões de aplicação, pelo fato destes alunos serem iniciantes nesse processo de

resolução, as dificuldades são mais presentes ou até mesmo o tempo gasto para ler,

compreender, representar e resolver o problema torna-se maior.

E ainda pelo fato de estar se propondo sempre questões diferenciadas,

pois abordamos diferentes tópicos do conteúdo de funções. Por isso, optamos por

trabalhar com bastante calma, dando tempo suficiente para que discente tomasse

suas conclusões e resolvesse por conta própria, sem nossa interferência, intervemos

somente quando necessário para esclarecer algo fundamental para dar continuidade

a resolução da questão procurando motivar o discente a resolvê-la. Desse modo, no

período de aula estipulado foram desenvolvidas as quatro primeiras questões,

incluindo o tempo de socialização dos resultados, a correção do problema e a

avaliação do aluno sobre a atividade.

Na primeira questão estava bem claro para os alunos a modelação do

problema, pois se tratava de um retângulo com o cálculo de área já mencionado no

texto, os discentes tiveram que pensar um pouco em como descrevê-lo

algebricamente. Instigamos isto, perguntando sobre as dimensões dadas e as

possíveis incógnitas, que a maioria dos alunos usou para representação a letra “x”

como um dos lados (comprimento) para poder em seguida expressar a largura. Após

esse entendimento a representação algébrica ficou mais acessível para os alunos.

Na segunda questão alguns alunos tenderam a calcular a área do terreno

considerando todo lado da cerca. Outros conseguiram compreender que deveriam

levar em consideração apenas os lados cercados. E pediram nosso auxilio nessa

representação. Pedimos para que eles verificassem o perímetro apenas dos lados

cercados e em seguida identificassem quais as variáveis em questão.

A terceira questão foi mais fácil para a maioria, pois aplicaram direto a

fórmula para cálculo do x e y do vértice, identificando assim o ponto de máximo.

Alguns alunos tiveram dificuldade, pois perderam a aula em que tratamos desse

assunto, então tentamos auxíliar esses alunos para que pudessem acompanhar.

A quarta questão foi a mais difícil para a maioria, poucos conseguiram

resolver a questão, bem como respondê-la e representá-la geometricamente, para

melhor compreensão do problema, alguns só marcaram a resposta, alguns fizeram o

cálculo do vértice e chegaram a conclusões parciais.

245

Quadro 26 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade problemas sobre função quadrática


3

2

1

2

2

1

4

1

1


Os alunos gostaram da aula, alegaram terem aprendido o conteúdo e

também assuntos novos. Após os alunos entregarem as fichas de avaliação da

aula, lembramos que na quarta-feira dia 26 realizaremos o pós-teste sobre função

quadrática que valeria como nota parcial para a segunda avaliação e encerraremos

as aulas de matemática do semestre, e os alunos retornarão em agosto as aulas

com a professora efetiva. Finalizamos esta sessão as 11h.

3.2.17 Décima sétima sessão

A décima sessão ocorreu no dia 26/06/2013 (quarta-feira), onde foi

aplicado o pós-teste da função quadrática. Combinamos com a professora que esse

pós-teste contará como nota parcial da segunda avaliação. Assim como no pós-teste

da função afim, todos os alunos presentes puderam fazê-lo, e receberam nota, mas

somente os alunos que responderam ao questionário e participaram mais ativamente

das atividades foram avaliados em nossa pesquisa.

246

Iniciamos as 8h30, organizamos as carteiras em fileiras e pedimos aos

discentes que guardassem todo o material deixando em cima da carteira apenas

lápis, borracha, caneta e uma folha para borrão.

Distribuímos a folha do pós-teste, lemos atentamente as questões

enquanto eles acompanhavam a leitura em silêncio e dissemos aos alunos que nos

chamassem caso tivessem alguma dúvida quanto ao comando. Em seguida

passamos a lista de frequência para que os alunos fossem assinando.

Com relação ao pós-teste de função afim os alunos resolveram as

questões em um tempo menor, acreditamos que isto se deve ao fato do conteúdo de

função quadrática ser um pouco mais extenso que o da função afim, e requerer mais

cálculos, ou mais pontos, p. ex., para construir o gráfico até formar uma parábola

bem visível.

Alguns alunos que esporadicamente frequentavam as aulas e não faziam

parte de nossa análise entregaram logo o teste alegando não saberem resolver.

Depois de um bom tempo alguns alunos foram entregando, mas com espaços de

tempo considerados. Muitos alunos ficaram até o final do teste tentando fazer as

questões. As 10h avisamos que o tempo para realização do teste havia terminado.

Os alunos foram entregando, alguns ainda persistiam, uns terminavam de passar a

limpo outros ainda resolviam, esperamos mais 5 minutos e pedimos para que esses

últimos que ficaram entregassem o teste. O teste finalizou as 10h05min.

247

4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Nesta seção nosso objetivo é apresentar a análise a posteriori e validação

da sequência didática aplicada, isto é, expor os resultados obtidos a partir do

confronto entre os dados coletados durante a experimentação e as concepções

advindas da análise apriori, evidenciando a validação da sequência didática por nós

elaborada e aplicada em sala de aula.

Salientamos que os dados aqui destacados são frutos das produções dos

alunos em sala de aula, das discussões ocorridas durante os encontros e dos

diagnósticos obtidos com os pré e pós-testes. Portanto, apresentaremos a análise a

posteriori por sessão de ensino consoante análise a priori. A sequência didática foi

desenvolvida em 17 (dezessete) sessões, devido a algumas situações ocorridas

durante o seu desenvolvimento, algumas dessas sessões sofreram pequenos

ajustes.

4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1

Na primeira sessão nosso objetivo era obter informações sobre a turma

referente ao perfil escolar e pessoal dos discentes (apresentados na seção 3.2.1) e,

também, verificar o desempenho dos alunos na resolução de questões de função

afim e quadrática, antes da aplicação da sequência didática. A essa verificação

denominamos de pré-teste.

Esperávamos que alguns alunos resolvessem algumas questões por

serem conteúdos que se iniciam no 9º ano do ensino fundamental, no entanto

poderiam ter dificuldades em resolver as questões contextualizadas, já que a

pesquisa realizada com alunos do 2º ano do ensino médio (seção 1.3) mostra que

esses alunos têm dificuldades em resolver tais questões.

No Quadro 27, apresentamos os resultados referentes ao número de

alunos que acertaram, erraram ou não fizeram cada questão do pré-teste. As

questões sobre função afim são representadas no quadro a seguir pela letra Q

seguida de sua numeração, as questões que estiverem com as letras minúsculas a,

b, c,... são referentes as alternativas de resposta conforme cada pergunta, as

questões denominadas Q1a são referentes a expressão algébrica representativa da

248

função e Q1b são referentes ao seus respectivos coeficientes, conforme pedido na

primeira questão.

Quadro 27 – Desempenho da turma obtido no pré-teste ALUNOS/

QUESTÕES ACERTOS ERROS NÃO FEZ

F.A F.R F.A F.R F.A F.R

FUNÇÃO AFIM

Q1a 11 36,7% 5 16,7% 14 46,7%

Q1b 0 0% 1 3,3% 29 96,7%

Q2 4 13,3% 13 43,3% 13 43,3

Q3a 1 3,3% 3 10% 26 86,7%

Q3b 7 23,3% 5 16,7% 18 60%

Q4a 1 3,3% 5 16,7% 24 80%

Q4b 1 3,3% 3 10% 26 86,7%

Q5 2 6,7% 3 10% 25 83,3%


Q1a 11 36,7% 4 13,3% 15 50%

Q1b 0 0% 0 0% 30 100%

Q2 0 0% 3 10% 27 90%

Q3 0 0% 0 0% 30 100%

Q4a 0 0% 2 6,7% 28 93,3%

Q4b 0 0% 0 0% 30 100%

Q4c 0 0% 4 13,3% 26 86,7%

Q5a 0 0% 0 0% 30 100%

Q5b 0 0% 0 0% 30 100% Fonte: Pré-teste realizado com os alunos

A análise do quadro mostrou que no geral os alunos não sabiam

resolver as questões de função afim e de função quadrática, confirmando as

hipóteses que foram levantadas na análise a priori.

Em nossa análise foi possível observar que os alunos que tentaram

resolver as questões, possuíam algum conhecimento da definição da função afim e

quadrática, identificando corretamente a função em cada caso, no entanto, não

identificaram seus coeficientes.

No caso de situações de aplicação envolvendo a definição de função

afim e função quadrática, somente quatro alunos marcaram corretamente a questão

2, e ainda assim, não mostraram como chegaram a essa conclusão; e um aluno

resolveu corretamente a letra a da questão 3 sobre função afim. Com relação a

função quadrática dos três alunos que tentaram resolver a questão 2 que consistia

em encontrar a expressão algébrica a partir de três pontos dados, nenhum aluno

249

conseguiu resolver, e esses três alunos apenas escreveram um resultado sem

mostrar nenhum cálculo ou método de raciocínio da resolução. Na questão 3 da

função quadrática que envolvia cálculo de área, assunto possivelmente visto pelos

discentes em anterior, os alunos deixaram em branco.

Em se tratando de encontrar a imagem da função a partir da

substituição de um ponto dado, 7 alunos responderam corretamente a alternativa b

da terceira questão da função afim. Acreditamos que os mesmos observando a

questão fizeram o cálculo mental, obtendo o resultado, embora não souberam

expressar a função algebricamente para posteriormente mostrar o cálculo.

Com relação a construção gráfica da função afim dos 6 alunos que

tentaram resolver a questão 4 alternativa a, verificamos que apenas um aluno

conseguiu construir corretamente o gráfico, os demais tinham uma ideia de que se

tratava de uma reta no entanto expressaram os pontos no plano cartesiano de forma

incoerente.

Quanto ao crescimento e decrescimento da função afim os dados

apontam que dos quatro alunos que tentaram responder apenas um acertou a

questão 4 alternativa b. Quanto ao zero da função afim, apenas dois alunos

conseguiram resolver a questão 5 do pré-teste.

No caso da função quadrática, nas questões que trataram da

construção gráfica, do zero da função e da concavidade da parábola verificamos que

nenhum aluno conseguiu resolver corretamente. Dos quatro alunos que tentaram

esboçar o gráfico mobilizando seus conhecimentos sobre o plano cartesiano e a

representação geométrica da função quadrática, traçaram uma parábola côncava

para baixo, no entanto, as coordenadas utilizadas eram incorretas, observamos que

os discentes representavam o domínio no gráfico como sendo os coeficientes da

função dada.

Em relação ao valor de máximo e de mínimo da função quadrática

nenhum aluno se quer tentou resolver a questão do pré-teste. Outra constatação foi

a de que dentre os alunos que resolveram as questões existiam muitos que

demonstraram não ter domínio da tabuada, nem do jogo de sinal.

250


Na segunda sessão nosso objetivo era que os alunos pudessem interagir

em grupo, discutir o texto apresentado e reconhecer a relação existente entre o

conjunto de valores de x e y apresentados nas tabelas da atividade, construindo

expressões que a representassem; e manifestassem conclusões satisfatórias sobre

suas observações.

Iniciamos esta sessão procurando estabelecer um esquema de

comunicação que possibilitasse a inserção do aluno nesta diferenciada11 prática de

ensino, ou seja, um contrato pedagógico. E a partir das interações dos alunos com o

meio12, visando proporcionar a aquisição do conhecimento através de suas próprias

construções procuramos estabelecer um contrato didático. As “cláusulas” deste

contrato foram estabelecidas por nós e pelos alunos no decorrer do experimento, por

vezes evidenciadas em um enunciado que desse pistas sobre qual procedimento

utilizar na resolução de uma questão, ou mesmo quando implícitas possibilitaram a

participação ativa dos alunos na construção do saber matemático.

Observamos que os alunos não tiveram problemas para formar os grupos;

se organizaram muito bem para o desenvolvimento das atividades, permitindo que

todos tivessem oportunidade de desenvolvimento dividiam entre si a resolução das

questões e estabeleceram diálogos nos grupos que lhes permitiram responder as

questões propostas e complementares. De acordo com os PCN o trabalho coletivo

supõe uma série de aprendizagens, tais como:

- perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-las e chegar a um consenso; - saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro; - discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; - incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender (BRASIL, 2000).

11

Pois os discentes estavam acostumados a metodologia tradicional, conforme esclarecemos na seção 3 (Experimentação). 12

Esse meio consiste nas atividades estruturadas, no saber matemático em voga, no ambiente de sala de aula, e na relação entre colegas de classe e professora-pesquisadora.

251

O que ficou evidente no acompanhamento da turma, quando percorremos

a sala durante a resolução das atividades e observamos o desenvolvimento dos

grupos e a comunicação entre os alunos de cada grupo.

Quanto ao desenvolvimento da atividade desta sessão, constatamos que

a maioria dos grupos de alunos conseguiu encontrar a expressão algébrica de cada

tabela, alguns por terem dificuldades com jogo de sinais tiveram dúvidas e erram

algumas expressões cujo valor do coeficiente linear era negativo e poucos deixaram

algumas tabelas em branco.

Esta atividade, “Descubra minha regra”, foi a que mais ofereceu

dificuldades aos grupos para formular e redigir as suas observações e conclusões,

conforme prevemos nas análises a priori. Consideramos que o fato da maioria dos

alunos não estar habituado a metodologia aplicada e ainda a forte dependência que

muitos deles demonstraram ter do professor são fatores que contribuíram

consideravelmente à dificuldade em questão.

Conforme o previsto a maioria dos alunos conseguiu chegar à expressão

algébrica requerida e observar que havia uma relação entre as variáveis

dependentes e independentes estabelecidas por uma regra. Portanto podemos

considerar que quase todos os objetivos traçados para esta sessão foram

alcançados, a exceção foi à apresentação de conclusões satisfatórias, uma vez que

nenhum grupo conseguiu formular uma regra que generalizasse as situações

apresentadas.


Na sessão três nosso objetivo era os alunos desenvolvessem habilidades

na extração de dados de um contexto real (o sistema de produção do açaí) e na

construção da representação algébrica da função afim a partir de dados dispostos

em um texto.

No desenvolvimento da questão proposta os alunos seguiram

corretamente a orientação da questão e construíram a tabela com os valores do ano

e da produção de açaí, com a exceção de dois grupos que construíram a tabela com

os dados do ano relacionado ao preço por rasa, mas após nossa explicação sobre a

atividade que deveriam desenvolver eles refizeram a tabela com os dados corretos.

252

A maior dificuldade nessa atividade foi em encontrar a função escolhendo

dois de seus pontos, pois a maioria dos discentes não sabia resolver sistemas de 1º

grau. O momento da socialização da atividade pelos alunos que conseguiram

desenvolvê-la foi essencial para que os demais pudessem observar e compreender

onde estavam seus erros.

Avaliamos que os objetivos requeridos nessa sessão foram quase todos

atingidos, pois a compreensão e identificação dos dados matemáticos no texto pelos

alunos foram alcançadas, no entanto, a conclusão da questão que consistia na

expressão algébrica que representa a produção anual do açaí ficou comprometida

pela falta de base em conteúdos de anos de ensino anteriores. O que nos levou a

fazermos determinadas pausas durante a execução das atividades para relembrar

os assuntos necessários para os discentes prosseguirem na descoberta dos

conceitos e propriedades aos quais nos propomos ensinar.


Nosso objetivo nessa sessão de ensino era que os alunos

desenvolvessem suas habilidades na resolução de questões de aplicação

envolvendo a definição de função afim.

Observamos no pré-teste que esses alunos tinham pouca habilidade, não

coseguiram ou nem tentaram resolver questões de tal natureza. E quando

perguntamos aos alunos os mesmos afirmaram que normalmente os exercícios em

sala de aula eram sobre questões mais diretas e a professora efetiva disse que

dificilmente conseguia propor questões de aplicação, devido o escasso tempo das

aulas de matemática, apenas 3 h/a semanais.

Percebemos ainda a dependência que os alunos tinham do professor,

acostumado a metodologia tradicional em que lhes eram dadas as respostas.

Romper com esse costume não foi uma tarefa fácil. Os discentes constantemente

nos procuravam pedindo que déssemos a resposta da questão, buscamos envolver

os alunos na atividade questionando-os sobre os procedimentos que eles adotaram

para resolver cada questão e observando as diferentes possibilidades de solução

que os grupos davam.

Com relação a primeira questão, alguns grupos conseguiram resolver

relacionando essa questão a questão proposta na sessão anterior e como os valores

253

das variáveis dependentes e independentes estavam bem evidentes não tiveram

muita dificuldades quanto a isso, exceto pelo jogo de sinal e pelos valores serem

decimais o que foi sanado com o auxílio da calculadora. Mas, muitos grupos tinham

problemas em resolver sistemas o que dificultou darem continuidade na resolução

da questão. E acabaram marcando qualquer opção sem finalizar os resultados.

Figura 16 – Resolução da 1ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos

Quanto a segunda questão a dúvida era com relação às variáveis, mas,

após o questionamentos que fizemos aos grupos que nos chamavam eles foram

estabelecendo a relação entre o número de quadrados e números de palitos, desse

modo, as respostas dos discentes foram conforme o quadro que segue.

Quadro 28 – Respostas das questões complementares 1 e 2 da atividade 1 de função afim, dada pelos grupos

Questão 1

a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x d) y = 0,7x e) y = 0,07x + 6 Não responderam

Nº de grupos 1 0 2 4 2 3

Percentual 8,3% 0% 16,7% 33,3% 16,7% 25%

Questão 2

a) C = 4Q b) C = 3Q+1 c)C = 4Q-1 d) C = Q+3 e) C=4Q-2 Não responderam

Nº de grupos 1 8 1 0 0 2

Percentual 8,3% 66,7% 8,3% 0% 0% 16,7%

Fonte: Pesquisa de Campo

No quadro 28, observamos que apenas 16,7% dos grupos conseguiram

resolver corretamente a questão 1 e 66,7% resolveram com êxito a questão 2. Ao

analisarmos as folhas de atividades percebemos que o grande déficit na primeira

questão se deu pelo fato dos discentes não saberem resolver sistemas de primeiro

grau, e que houve um melhor desempenho na questão 2 devido os grupos terem

realizado a relação dos dados de forma similar ao que fizeram nos procedimentos da

254

atividade “Descubra a expressão algébrica” da função afim (subseção 2.2.1.1).

Dentre os erros cometidos na segunda questão, observamos, por exemplo, que o

grupo G7 fez a contagem da quantidade de palitos errada obtendo uma tabela com

outros valores e consequentemente encontrando outra função gerando uma

resposta errada, mas com um raciocínio coerente na obtenção da função a partir da

tabela construída.

Resolução do G11 Resolução do G7


Quanto a terceira questão a maioria dos grupos conseguiu expressar a

questão que representava a receita total, a figura 18 evidencia a analogia direta que

os alunos fizeram a representação da imagem como sendo a variável y apesar de já

terem representado por R anteriormente.


Na questão 4, apenas 5 grupos conseguiram expressar corretamente, o

restante ficou oscilando entre as respostas indicadas como “errado” na figura 19.

CERTO ERRADO Figura 19 – Resolução da 4ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos

255

Apesar das dificuldades manifestadas as produções dos alunos revelam

que a maioria deles apresentou considerável evolução na resolução de questões

contextualizadas, desse modo nosso objetivo para esta sessão foi alcançado. O que

fica evidente na própria avaliação das sessões de ensino realizadas pelos alunos

que afirmaram que a interação em sala de aula e a forma como foi conduzido o

saber matemático possibilitou maior compreensão e aceitação do mesmo.


Nesta sessão os objetivos eram que os alunos descobrissem a

representação do gráfico da função afim. A maioria dos discentes conseguiu

desenvolver bem a atividade, no entanto alguns alunos apresentaram dificuldades,

tais como: a substituição da variável x na expressão dada para encontrar sua

respectiva imagem, principalmente quando eram negativos os valores do coeficiente

linear, os discentes também tinham dificuldade com o jogo de sinal, por isso, tivemos

que relembrar esses conteúdos e também os alunos passaram a utilizar a

calculadora para agilizar o cálculo.

Quanto a construção do gráfico, alguns alunos não lembravam a

disposição do plano cartesiano apesar do mesmo estar desenhado no papel

quadriculado disposto na folha de atividade. O que fica evidente no gráfico

construído pelo grupo 3 em que se confundiram e trocaram os valores das

coordenas, conforme a figura abaixo:

Figura 20 – Gráfico traçado com os valores das coordenadas trocadas Fonte: Produção escrita dos alunos

Conforme elencamos na sessão 5, quando os alunos observaram que o

grupo ao lado tinham disposto os pontos em uma certa linearidade e o seus pontos

estavam dispersos no gráfico nos chamavam para que pudéssemos ajudá-los, e

nesse momento pedimos para que observassem com atenção, qual era o eixo do x e

256

qual era o eixo do y, e solicitamos que traçassem os pontos a partir dessa

perspectiva. Isso possibilitou que eles observassem seus erros e alterassem os

gráficos. E por fim ligassem os pontos encontrados.

As diversas construções que os discentes realizaram, bem como as

discussões entre os alunos de cada grupo durante o desenvolvimento da atividade

possibilitou que eles concluíssem que a reta era a figura que representava o gráfico

da função afim, com a exceção de poucos que a denominaram de seta ou linha, o

que foi bem esclarecido na socialização dos resultados. Com isso, consideramos

que todos os objetivos desta sessão foram alcançados e que os discentes

compreenderam bem as diferentes formas de representação de uma função, sejam

estas um modelo algébrico, geométrico, literal ou tabelar, expostos nos diferentes

procedimentos e/ou questões propostas nas atividades até então abordadas.


Nesta sessão o objetivo era que os alunos mobilizassem os

conhecimentos adquiridos nos procedimentos da atividade “Construindo gráfico da

função afim” e observassem os dados no texto da produção anual do açaí para

construírem o gráfico dessa função, e em seguida resolvessem outras questões de

aplicação relacionadas à gráficos da função afim para que pudessem desenvolver

tais situações.

Com relação a questão proposta, como os alunos já haviam construído na

atividade 1, os dados da produção de açaí e do ano em uma tabela, a maioria dos

discentes não teve dificuldade nessa etapa, alguns alunos não lembravam a

disposição dos pontos no plano cartesiano e esses precisaram do nosso auxílio para

darem continuidade no seu processo de construção, os demais observaram os

pontos destacados no texto e construíram a reta sem muita dificuldade. Verificamos

que a noção de reta ficou bem clara aos alunos como sendo a representação

geométrica da função afim.

Avaliamos que nesta etapa da questão proposta, a dificuldade dos

discentes não estava diretamente ligada à extração de dados do texto conforme

destacamos na análise a priori, já que estes dados ficaram bem claros tanto na

leitura em conjunto do texto realizada em sala quanto na produção que os alunos já

haviam realizado com esses valores na atividade para descobrir a regra, a maior

257

dificuldade dos discentes se deu quanto a base do conteúdo que precede este, a

noção de plano cartesiano, de domínio e imagem, que alguns discentes não tinham

e tivemos que trabalhar em sala para possibilitar a continuidade da atividade que

propomos.

Na questão complementar 1, julgamos que os alunos tivessem facilidade

em resolvê-la, conforme apresentamos na análise a priori, primeiro por ser

apresentada a função e as variáveis ficando a cargo do discente apenas atribuir

valores ao domínio e encontrar sua respectiva imagem; segundo por eles já haverem

treinado esse procedimento no inicio da atividade. No entanto, o convívio em sala de

aula evidenciou a dificuldade que esses alunos tinham com relação a base

matemática, tais como: dificuldades na substituição, cálculo com as operações

básicas e jogo de sinais. Dificuldades estas nas quais tivemos que dar uma atenção

maior já que nosso objetivo era que os alunos desenvolvessem o raciocínio no

aprendizado de funções. Com relação à representação gráfica do problema os

discentes não tiveram muita dificuldade, pois os procedimentos desenvolvidos

anteriormente deram suporte para pensarem a situação em questão, no entanto,

alguns alunos se confundiram no momento de dispor os pontos no gráfico trocando

o domínio pela imagem.

Na questão complementar 2, esperamos que os discentes tivessem um

pouco mais de dificuldade por se tratar de duas ações, primeiro achar a equação e

segundo a construção gráfica, outra dificuldade esperada era pelo fato dos dados

não serem números inteiros. O que de fato ocorreu por dois motivos, primeiro os

alunos sentiram dificuldade em interpretar o problema e estabelecer a relação

domínio e imagem, o que só foi contornado com nossa discussão com os grupos até

que eles compreendessem quem estava em função de quem e pudessem expressar

a função; segundo, no momento da construção gráfica como estavam trabalhando

com valores maiores, tivemos que direcioná-los a mudança da escala, a fim de que

usassem apenas os valores encontrados para representar o problema

geometricamente. Essa foi a atividade complementar mais trabalhosa das questões

da atividade 2, mas de grande importância, principalmente no momento de

socialização, pois permitiu que os discentes apreendessem o conteúdo, no que se

refere a olhar o problema e caracterizar os dados representativos da função, isto é,

258

compreender na prática o conceito de função como relação entre conjuntos, e o que

está em função do que.

Na questão três, os alunos identificaram a função como sendo uma reta,

alguns selecionaram a opção correta substituindo o ponto e identificando a imagem,

outros marcaram outras opções (incorretas), mas mantendo a ideia de reta. Na

análise a priori, acreditamos que os discentes acertarão a questão por se tratar da

análise dos dados relacionando ao gráfico considerando que o conhecimento

apreendido até então era suficiente. O que ocorreu em parte, pois os alunos

compreenderam bem a representação geométrica da função afim, no entanto, na

dúvida com relação ao domínio e imagem acabaram por tirar conclusões errôneas.

A quarta questão, que tratava da análise gráfica, foi a questão que os

alunos tiveram mais facilidade para respondê-la, eles a fizeram observando a

relação de dependência entre os valores e chegaram a conclusão apenas com o

cálculo mental.

O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os

que não fizeram as questões.

Quadro 29 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 2 de função afim, dada pelos grupos

CERTO ERRADO NÃO

FIZERAM

Questão proposta

Nº de grupos 11 0 1

Percentual (%) 91,7% 0% 8,3%

Questão 1 Nº de grupos 5 4 3

Percentual (%) 41,7% 33,3% 25%


Percentual (%) 33,3% 50% 16,7%


Percentual (%) 41,7% 41,7% 16,7%


Percentual (%) 66,7% 25% 8,3% Fonte: Pesquisa de Campo


Nesta sessão o objetivo era que os alunos conseguissem descobrir uma

relação entre os coeficientes da função afim com o comportamento do gráfico e seu

crescimento ou decrescimento.

259

Conforme elencamos na analise a priori, acreditamos que os alunos não

teriam dificuldades em executar os procedimentos da atividade, contudo poderão ter

dúvidas com relação as variáveis dependente e independente na observação do

gráfico, mesmo com o quadro explicativo, o que de fato ocorreu, então tivemos que

elucidar o quadro explicativo desenhando dois exemplos de funções (crescente e

decresceste) na lousa, mostrando graficamente quando os valores das abscissas

aumentavam os valores das ordenadas também aumentavam, assim teremos uma

função crescente, e quando os valores das abscissas aumentavam e os valores das

ordenadas diminuíam a função era decrescente. Essa explicação possibilitou a

compreensão dos alunos de quando a função era crescente ou decrescente a partir

da visualização do gráfico. O que era fundamental para dar continuidade a atividade

que requeria que eles identificassem o crescimento ou decrescimento a partir da

análise dos coeficientes da função. Então os alunos progrediram no preenchimento

do quadro de procedimentos.

Outra dificuldade que poucos alunos tiveram, foi com relação a

identificação dos coeficientes, pois trocaram o valor de a pelo valor de b, devido a

ordem que dispusemos a função, então reforçamos a ideia de que o coeficiente a

estaria acompanhado da variável x e o b não. Isto ajudou esses os alunos a

corrigirem seus erros e chegaram a conclusão da atividade de forma coerente.

Quanto a questão proposta, os alunos não tiveram dificuldade em

identificar se a função da produção anual do açaí era crescente ou decrescente, pois

haviam internalizado bem suas conclusões sobre a atividade e conseguiam

identificar facilmente se a função afim era crescente ou decrescente observando seu

coeficiente a.

Com relação às questões complementares, os discentes também não

tiveram dificuldades em resolver a primeira e a segunda questão. Mas, a terceira foi

mais difícil, pois os alunos ainda tinham dificuldades em resolver sistemas de 1º grau

e como a maioria dos grupos não fez esta questão deixamos a explicação da mesma

para o momento de socialização e demos outros exemplos para que eles pudessem

treinar e evoluir nesse caso.

Essa foi umas das situações em que observamos o quanto o problema da

falta de base matemática pode inviabilizar o desenvolvimento do aprendizado do

aluno em outros conteúdos que requerem do conteúdo anterior. Mas, nossa hipótese

260

é que o aluno, com dedicação e uma instrução adequada, seja capaz de evoluir

mesmo que não tenha o conhecimento matemático antecedente para construir

novos conceitos, pois este aluno já acumula uma carga de saberes que se

explorados de forma conveniente pode lhe possibilitar ampliar o olhar.



Quadro 30 – Respostas da questão proposta e questões complementares da

atividade 3 de função afim, dada pelos grupos

CERTO ERRADO NÃO

FIZERAM

Questão proposta

Nº de grupos 9 0 3

Percentual (%) 75% 0% 25% Questão 1 Nº de grupos 10 1 1

Percentual (%) 83,4% 8,3% 83,3% Questão 2 Nº de grupos 12 0 0

Percentual (%) 100% 0% 0% Questão 3 Nº de grupos 2 2 8

Percentual (%) 16,7% 16,7% 66,6% Fonte: Pesquisa de Campo

Avaliamos esta sessão positivamente, haja vista que foi a atividade que

os alunos melhor expressaram suas observações e conclusões, além de

demonstrarem evolução na aprendizagem, e se mostrarem mais envolvidos com a

atividade e com a metodologia, também foi a atividade que demandou menor tempo

de execução. Além do mais, o objetivo desta sessão foi alcançado, uma vez que os

discentes descobriram uma regra para identificar se a função afim era crescente ou

decrescente e desenvolveram a habilidade de identificar tanto pela análise do gráfico

quanto da expressão algébrica.


Nesta sessão buscamos desenvolver nos alunos a capacidade de

identificar o zero da função afim a partir da análise gráfica. Com relação aos

procedimentos da atividade 4, os alunos desenvolveram com certa agilidade,

preencheram o quadro dos procedimentos e logo visualizaram que em todos os

casos o valor da ordenada era sempre zero.

O momento de socialização foi essencial para os alunos compreenderem

que calcular o zero da função afim recaia em uma equação do 1º grau. Na resolução

261

da questão proposta os discentes tiveram um pouco de dificuldade na interpretação

do problema, já na primeira questão complementar a dificuldade foi com relação ao

jogo de sinais e as operações básicas, mas, conforme exercitavam essas

dificuldades foram reduzidas; na segunda questão complementar os alunos tiveram

facilidade em compreender o que estava sendo pedido e logo foram substituindo a

variável independente por zero, a maioria coseguiu resolver a questão, alguns

tiveram dificuldade na resolução da equação.



Quadro 31 – Respostas da questão proposta e questões complementares da

atividade 4 de função afim, dada pelos grupos

CERTO ERRADO NÃO

FIZERAM

Questão proposta

Nº de grupos 6 5 1

Percentual (%) 50% 41,7% 8,3%

Q1a Nº de grupos 12 0 0

Percentual (%) 100% 0% 0%

Q1b Nº de grupos 11 1 0

Percentual (%) 91,7% 8,3% 0%

Q1c Nº de grupos 9 3 0


Q1d Nº de grupos 11 1 0

Percentual (%) 91,7% 8,3% 0%

Q2 Nº de grupos 8 1 3

Percentual (%) 66,7% 8,3% 25% Fonte: Pesquisa de Campo

4.9 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 9 A nona sessão foi modificada em função do período de avaliação está

agendado para a próxima semana, assim selecionamos algumas questões para os

alunos desenvolverem e na sessão seguinte aplicamos o primeiro pós-teste.

O objetivo dessa sessão era que os alunos desenvolvessem habilidades

na resolução de problemas envolvendo a função afim. Essa foi a atividade que

demandou mais tempo para resolver cada questão e também mais trabalho

conforme ressaltamos na análise a priori, pois os alunos não estavam acostumados

a resolver questões de tal natureza, embora já viéssemos trabalhando com algumas

questões similares no decorrer das sessões de ensino.

262

Dentre as questões que os alunos resolveram em sala, a questão 2, foi a

que eles apresentaram mais facilidade na resolução, pois envolvia a relação de

dependência entre variáveis e os alunos já haviam treinado situações similares em

atividades anteriores.

Já a questão 6, foi bem mais complicada para os alunos resolverem,

conforme prevemos na análise a priori, o fato do gráfico não fazer parte da questão

e os alunos exercitarem mais atividades visuais o problema se tornou um pouco

mais complexo, poucos alunos tiveram a noção de que o b, era o ponto que corta o

eixo das ordenadas, o que só ficou mais claro no momento da socialização das

respostas, mas, os alunos estavam certos de que se tratava de uma reta, e a maioria

conseguiu construir a expressão algébrica da função.

Na questão 7, observamos que os grupos entenderam a questão e

sabiam os procedimentos para resolvê-la, contudo, apenas um grupo conseguiu

resolver corretamente a questão, alguns alunos conseguiram construir o sistema

mas erram o cálculo por terem dificuldades com números decimais, outros apenas

substituíram os valores de a e b na expressão, mas não montaram o sistema, e

outros nem se quer tentaram resolver.



Quadro 32 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos

grupos

CERTO ERRADO NÃO

FIZERAM




Percentual (%) 50% 40% 10%


Percentual (%) 10% 50% 40% Fonte: Pesquisa de Campo

Em nossa análise avaliamos que introduzir questões problemas e

atividades que instiguem o aluno a pensar e desenvolver esquemas de resolução

não é tarefa fácil, principalmente quando os alunos tem uma cultura de aprendizado

tradicional. No entanto, o fato dos discentes estarem dispostos a buscarem

263

soluções, compreender o problema e se engajarem de forma dinâmica no

aprendizado é um ponto significativo nesse processo de construção do saber.


A décima sessão foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho

dos alunos em ralação ao conteúdo de função afim, para isso os alunos foram

submetidos a um pós-teste que nos forneceu dados para a realização desta análise.

Nossa análise a priori, evidenciava questões com diferentes níveis de

dificuldade que abordava diversos tópicos de função afim, a saber: definição;

representação gráfica, literal, tabelar e algébrica; construção do gráfico; crescimento

de decrescimento da função; zero da função e problemas sobre função afim. Abaixo

apresentamos o Quadro 33, referente ao desempenho da turma nas questões sobre

função afim. As questões são representadas no quadro pela letra Q seguida de sua

numeração, caso a questão tenha mais de uma pergunta separada pelas opções a,

b e c, estas estarão acompanhando a representação da questão, exemplo: Q3a –

para a resposta da terceira questão letra a; Q3b – para a resposta da terceira

questão letra b, e assim sucessivamente.

Quadro 33 – Desempenho da turma no pós-teste da função afim

ALUNOS/ QUESTÕES

ACERTOS ERROS NÃO FEZ

F.A (%) F.A (%) F.A (%)

Q1a 27 90% 3 10% 0 0%

Q1b 19 63,3% 1 3,3% 10 33,3%

Q2 12 40% 17 56,7% 1 3,3%

Q3a 21 70% 5 16,7% 4 13,3%

Q3b 26 86,7% 3 10% 1 3,3%

Q4a 11 36,6% 5 16,7% 14 46,7%

Q4b 21 70% 4 13,3% 5 16,7%

Q5 23 76,7% 2 6,7% 5 16,7%

Q6a 24 80% 6 20% 0 0%

Q6b 27 90% 3 10% 0 0%

Q6c 26 86,7% 4 13,3% 0 0%

Q7a 17 56,7% 10 33,3% 3 10%

Q7b 23 76,7% 5 16,7% 2 6,7%

Q7c 15 50% 9 30% 6 20%

Q7d 16 53,3% 9 30% 5 16,7%

Q7e 9 30% 14 46,7% 7 23,3%

Q8 27 90% 3 10% 0 0%

Q9 22 73,3% 8 26,7% 0 0% Fonte: Pós-teste realizado com os alunos

264

A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões sobre

função afim tiveram um aumento considerável após a sequência didática. Mas que

em algumas questões os erros foram bem acentuados, muitas vezes mais

relacionados a erros de cálculo do que propriamente dos conceitos apreendidos

sobre função afim. O gráfico 55 mostra o percentual de acertos no pós-teste da

função afim.

Gráfico 55 – Média de acertos por questões no pós-teste da função afim

Fonte: Pós-teste realizado com os alunos

Observamos que, 27 (90%), alunos conseguiram identificar a função afim

e, 19 (63,3%), os seus coeficientes, e dos alunos que identificaram a função afim e

não identificaram seus coeficientes, isso pode ter ocorrido por falta de atenção na

leitura da questão.

Na questão 2, embora um pouco mais da metade, 17 (56,7%) tenha

errado a questão, o que já era esperado pelo fato dos alunos terem dificuldade na

resolução de sistema, e os dados da tabela fornecer valores mais difíceis de

visualizar a expressão pela alteração dos valores da ordena e da abscissa como

eles fizeram na primeira atividade da função afim, justamente por ser uma questão

de aplicação; tivemos uma quantidade de acertos considerável, 12 (40%), nesta

questão.

A questão 3, teve um bom percentual de acertos, tanto para encontrar

a função (letra a), quanto para encontrar a imagem da função. Os alunos

demonstraram o cálculo da imagem substituindo o ponto dado na expressão

encontrada.

Na questão 4, os alunos não tiveram dificuldade em identificar se a

função era crescente ou decrescente, mas, muitos não construíram o gráfico,

90%

63,3%

40%

70%

86,7%

26,7%

70% 76,7% 80%

90% 86,7%

56,7%

76,7%

50% 53,3%

30%

90%

73,3%

Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q4a Q4b Q5 Q6aQ6b Q6c Q7a Q7b Q7c Q7d Q7e Q8 Q9

265

achamos que isso ocorreu porque os alunos optaram por não fazer essa construção,

pois em uma próxima questão deste teste, a maioria dos alunos conseguiu construir

o gráfico.

Quanto ao zero da função afim, 23 (76,7%), alunos conseguiram

resolver a questão 5 do pós-teste. E a questão 6, sobre análise gráfica, os dados do

quadro evidenciaram a compreensão da maioria dos alunos no que diz respeito ao

zero da função ser o ponto em que a reta corta o eixo das abscissas, ao valor do

coeficiente b ser o ponto em que a reta corta o eixo da ordenadas e o crescimento e

decrescimento da função afim.

A questão 7, que envolve diversos tópicos da função afim a partir de um

problema, observamos que os alunos tiveram bons resultados na resolução da

questão, na elaboração da tabela, na representação da expressão algébrica, na

construção gráfica e em encontrar a imagem da função a partir de um ponto dado, o

percentual de acertos só diminuiu quando foi pedido que encontrassem o domínio da

função a partir de um ponto dado.

Na questão 8, a maioria dos alunos acertou. E na nona e última questão a

maioria dos alunos conduziram muito bem a construção do gráfico. É válido ressaltar

que dos alunos que erram ou deixaram questões em branco em sua maioria eram

alunos que tinham pouca frequência nas aulas e perderam algumas atividades, no

geral os alunos tiveram um bom desempenho no pós-teste.


Nosso objetivo na décima primeira sessão era que os alunos pudessem

interagir em grupo, discutir o texto apresentado e reconhecer a relação existente

entre o conjunto de valores de x e y apresentados nas tabelas da atividade,

construindo expressões que representam a função quadrática; e manifestassem

conclusões satisfatórias sobre suas observações.

Um momento bastante importante antes do inicio desta outra etapa da

sequência didática, sobre a definição e os conceitos da função quadrática foi quando

os alunos leram e discutiram o texto “Arquitetura do ver-o-peso”, observamos que os

grupos estavam bem mais engajados na metodologia, que ao observarem situações

matemáticas em um ponto turístico de sua cidade se mostraram interessados na

leitura e em como as atividades abordariam essa temática.

266

Nossa hipótese era que os grupos conseguissem descobrir a expressão

algébrica em cada tabela enunciando-a corretamente, o que de fato ocorreu na

maioria dos grupos, alguns tiveram dificuldade com as últimas tabelas, mais a

maioria conseguiu compreender as particularidades de cada conjunto de valores de

x e y, o que evidenciou que as habilidades dos discentes já estavam mais aguçadas,

devido adquirirem experiência com as atividades anteriores.

É importante destacar a linha de raciocínio dos alunos para chegarem às

expressões, como por exemplo: na primeira tabela em que eles identificaram

numericamente que o valor de y era sempre o valor de x elevado ao quadrado para

finalmente concluir que “2y x ”; e na segunda tabela eles conseguiram identificar

que o y era um número elevado ao quadrado mais um; já na terceira tabela que era

um número elevado ao quadrado mais ele mesmo; e assim por diante. Na sequência

eles encontraram as demais expressões conforme mostramos na figura que segue.

Figura 21 – Resolução da atividade descubra a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos

Com relação as conclusões da atividade, percebemos que os alunos

conseguiram descrever melhor do que a primeira atividade sobre função afim. Pois,

já tinham uma noção mais clara da representação algébrica para a função

quadrática, o que facilitou no momento da socialização, a compreensão da definição

da função quadrática e sua representação genérica.

Em se tratando da questão proposta, os alunos gostaram bastante do

modelo matemático para representar a função, a dificuldade que alguns alunos

tiveram foi com relação ao cálculo de área, pois haviam esquecido. Mas, com a

267

ajuda de outros alunos da turma foi possível lembrarem e concluírem a atividade,

após isso, os grupos conseguiram identificar facilmente qual era a expressão

algébrica que representava área de um módulo da tenda.

Figura 22 – Resolução da questão proposta na atividade 1 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos

Em se tratando das questões complementares, ressaltamos em nossas

hipóteses que os discentes poderão ter uma dificuldade inicial por se tratar de

questões diferenciadas e por serem problemas que requerem outros conceitos como

a noção de área e perímetro. No entanto, como os alunos já tenham visto geometria

plana em anos anteriores esperamos que eles resolvessem as questões sem muita

dificuldade. Mas, o que de fato ocorreu foi que alguns alunos não se lembravam do

cálculo de área e perímetro, sendo necessário nosso auxílio e de outros alunos para

que a turma lembrasse o conteúdo.

Ainda com relação ao entendimento e resolução das questões

complementares, a utilização dos caminhos para a resolução de problemas elencado

por Polya (2006) foi crucial para auxiliarmos os alunos a pensarem o problema e

buscarem meios de resolução. O que comprova que determinada metodologia em

algum momento específico vai ser mais presente e que a junção das metodologias

de ensino (Ensino por atividades, Modelagem matemática e Resolução de

problemas) utilizadas nessa pesquisa foram necessárias à melhor compreensão do

aluno nas diferentes abordagens do conteúdo matemático, seja esta um problema

direto ou um problema de aplicação.

Com as nossas indagações, ajudamos os alunos a pensarem o problema,

uma vez que acreditamos que o papel de professor é auxiliar o aluno a resolver o

problema por seus próprios meios e mecanismos e não fornecer as respostas

prontas. A maioria dos grupos conseguiu desenvolver as questões, tendo um pouco

mais de dificuldade na quarta questão, e dos poucos alunos que não obtiveram o

bom rendimento nessas questões foram aqueles que por serem menos freqüentes,

acabaram perdendo algumas informações necessárias para sua compreensão.

268

Essas questões complementares levaram um pouco mais de tempo para a execução

do que previmos nas análises a priori, justamente pelos fatores citados

anteriormente.

Em nossa perspectiva esta atividade teve um excelente rendimento pelos

seguintes fatores: foi uma das atividades em que os alunos mais se envolveram e se

dedicaram em concluir a atividade mesmo passando um pouco do horário de aula da

turma; também foi a atividade em que os alunos evidenciaram claramente o

raciocínio que tiveram para encontrar as expressões nos procedimentos das tabelas

de conjunto de valores de x e y; comparada com a atividade 1 da função afim em

que os alunos tiveram dificuldade em expressar suas conclusões, a atividade 1 da

função quadrática foi a atividade em que os discentes mais se aproximaram da

definição; também foi uma das atividades em que os alunos passaram a atentar

mais para o contexto matemático fora de sala de aula, isto é, temas do cotidiano

em que a matemática pode estar presente o que ficou evidente na discussão do

texto; e apesar da dificuldade inicial na resolução das questões complementares foi

uma das atividade em que os alunos apresentaram melhor evolução em pensar e

buscar caminhos para resolver problemas.


A sessão 12 foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho dos

alunos na construção de gráficos da função quadrática, bem como na resolução de

questões que envolvesse esse tipo de gráfico e ainda com objetivo de verificar o

desempenho dos alunos em relacionar os coeficientes da função quadrática com

sua concavidade.

Com relação aos procedimentos da atividade 2 “Construindo gráficos da

função quadrática” os alunos desenvolveram bem a atividade, notamos que os

problemas iniciais que os alunos tinham com a substituição do valor do domínio para

encontrar a imagem já havia melhorado e que o traçado do gráfico foi de fácil acesso

para os discentes, exceto um grupo que construiu um dos gráficos como uma reta,

por ter errado o cálculo das coordenadas, mas, conforme foi fazendo os demais

gráficos observou a diferença e nos consultou a respeito, e após rever os valores

conseguiu construí-lo corretamente. Na conclusão da atividade os alunos também

obtiveram bom êxito, denominando o gráfico da função quadrática de parábola.

269

Figura 23 – Resolução dos procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função quadrática”. Fonte: Produção escrita dos alunos

Na questão proposta os alunos tinham ainda bem claro a expressão

algébrica da área do tecido da tenda, e facilmente identificaram qual dos gráficos

construídos era o correspondente. Observamos que essa estrutura de atividade sob

a ótica da modelagem matemática colaborou tanto para a percepção do aluno sobre

a questão quanto para a obtenção do modelo matemático requerido na questão

proposta.

Na questão complementar 2, alguns alunos ainda tinham dificuldades na

resolução de sistemas, porém, observamos que ouve uma melhora considerável no

desempenho dos grupos na resolução desse tipo de questão, alguns alunos com

nosso auxílio conseguiram resolver corretamente, outros tentaram mas não

concluíram a questão e um grupo não fez. Nessa questão no momento da

socialização dos resultados os alunos ficaram tímidos em escrever na lousa suas

respostas, nossa intervenção nesse momento foi essencial para que eles

compreendessem como resolver a questão, principalmente àqueles alunos que já

haviam faltado algumas aulas e estavam um pouco perdidos. Deixamos a questão

complementar 1 para que os alunos resolvessem em casa e pedimos para que

treinassem mais esse tipo de questão até o pós-teste.

Consideramos que nessa atividade, embora os alunos tivessem

dificuldades na questão complementar, o desenvolvimento da atividade foi bom e o

exercício do cálculo e da compreensão dos discentes também melhorou bastante. O

270

tempo de realização dessa atividade foi um pouco maior que a próxima, até porque

o cálculo e a marcação dos pontos no plano cartesiano demandam tempo e atenção,

contudo, os alunos desenvolveram a mesma em um tempo menor comparada a

construção do gráfico da função afim, justamente por terem reduzido as dificuldades

com o cálculo e com o jogo de sinais.

Com relação a atividade 3 “Concavidade da parábola” os dados obtidos

com as folhas de atividade apontam excelentes resultados. Na execução dos

procedimentos da atividade, os alunos tiveram mais facilidade em identificar os

coeficientes da função, em observar se o coeficiente a era positivo ou negativo

olhando para expressão, e observar se a parábola era côncava para cima ou para

baixo observando o gráfico. Alguns alunos fizeram confusão com o termo côncava,

conforme previmos na análise a priori, mas após nossa explicação sobre a superfície

mais cavada (côncava) poder estar para cima ou para baixo, esses alunos

concluíram o preenchimento do quadro de procedimentos . As conclusões dos

grupos sobre a atividade também foram excelentes, acerca da influência do

coeficiente a na concavidade da parábola.

No caso da questão proposta, os resultados também foram bons, como os

alunos tinham como base a resolução da questão complementar 2 da atividade 2, os

alunos conseguiram desenvolver com mais facilidade a letra a da questão proposta

na atividade 3 e também tiveram facilidade em identificar os pontos da curva da

tenda destacados na malha quadriculada. Quanto a letra b desta questão

verificamos que os grupos sabiam identificar se a parábola era côncava para cima

ou côncava para baixo, após a conclusão dos procedimentos dessa atividade, tanto

pela análise do gráfico quanto pela análise da expressão algébrica encontrada.

Na questão complementar os grupos não tiveram nenhuma dificuldade na

resolução. Observamos também que foi possível acompanhar melhor os grupos

devido o número de alunos presentes nesta sessão ser menor que nos dias de aula

habituais, e o desempenho da turma também. O que corresponde a opinião dos

professores quando aplicamos os questionários que ressaltaram o fato das turmas

possuírem muitos alunos dificulta trabalhar com propostas diferenciadas. Vale

lembrar que nas aulas habituais tivemos em média de 30 a 50 alunos presentes em

sala esporadicamente, mas por fatores que dissemos anteriormente apenas 30

alunos participaram de nossas análises.

271


Na décima terceira sessão planejamos executar toda a atividade 4 da

função quadrática, porém devido problemas técnicos essa sessão sofreu alterações,

assim desenvolvemos apenas os procedimentos dessa atividade deixando para

outra aula a questão proposta e as questões complementares. Nessa sessão

objetivamos verificar se os grupos eram capazes de descobrir o número de raízes

reais da função quadrática a partir da análise do gráfico e do cálculo do

discriminante.

Os grupos conseguiram realizar os procedimentos corretamente e com o

auxílio do quadro explicativo conseguiram identificar a quantidade de raízes

analisando o gráfico, alguns alunos tiveram dúvida quando o gráfico não toca o eixo

x, auxiliamos a perceberem que nesse caso não tem raiz, portanto o número de

raízes seria zero. Mais tarde, na socialização explicamos que isso ocorria no

conjunto dos reais, portanto nesse tipo de função não existe raízes reais. Ao

observarem o quadro dos procedimentos que eles haviam preenchido os alunos

expressaram bem suas conclusões acerca da atividade.

Figura 24 – Procedimentos da atividade 4 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos

Avaliamos essa sessão positivamente, pois os grupos apresentaram um

ótimo desempenho tanto na agilidade e execução dos procedimentos quanto na

conclusão da influência do valor do delta no número de raízes da função quadrática.

272


Essa sessão também sofreu modificação, devido o tempo de aula,

optamos por realizar apenas os procedimentos da atividade 5. De acordo com o

previsto na análise a priori esta atividade demandaria um pouco mais de tempo que

a atividade 4 devido os cálculos das raízes das funções, então na próxima sessão

executamos as questões complementares e as questões propostas das atividades 4

e 5 da função quadrática. O objetivo na décima quarta sessão era que os discentes

desenvolvessem o cálculo dos zeros da função quadrática, já dando a fórmula de

Báskara para isso.

Figura 25 – Procedimentos da atividade 5 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos

Cada grupo dividiu as questões entre si para agilizar o cálculo, os alunos

levaram algum tempo para executar essa etapa, depois confirmaram os resultados

analisando a folha de gráficos os que erraram conta corrigiram seus erros

observando as raízes destacadas nos gráficos.


Em função das modificações ocorridas nas sessões 13 e 14, a décima

quinta sessão também sofreu modificações. Inicialmente realizamos as questões

propostas e complementares das atividades 4 e 5, com o objetivo de que os alunos

desenvolvessem habilidades nas questões envolvendo os zeros (ou raízes) da

função quadrática. E, posteriormente os alunos desenvolveram a atividade 6 “Vértice

273

da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo” nosso objetivo era que

descobrissem e calculassem o vértice da função quadrática e que fossem capazes

de identificar o valor de máximo e o valor de mínimo, além de resolverem questões

sobre esses conteúdos.

Com relação as questões propostas das atividade 4 e 5, a maioria dos

alunos conseguiram identificar quantas e quais eram as raízes da função da tenda,

tanto pelo cálculo do delta e de Báskara utilizando os coeficientes da expressão

quanto pela análise do gráfico.

Quanto as questões complementares da atividade 4, a maioria dos grupos

resolveu sem dificuldade, os alunos que ainda tinha dúvidas contribuímos

contribuindo quando possível e deixamos para esclarecer melhor no momento da

socialização. Já nas questões complementares da atividade 5, os alunos tiveram um

pouco de dificuldade na interpretação do primeiro problema, mas com nosso auxílio

conseguiram evoluir e não tiveram problema no cálculo, na questão 2 eles já

conseguiram visualizar melhor a situação e resolveram sozinhos a questão. Nenhum

grupo deixou em branco as questões das atividades, e poucos alunos não acertaram

as questões.

A atividade 6 também levou algum tempo para os alunos executarem os

procedimentos devido o cálculo dos vértices de cada função dada, essa atividade

também foi bem acessível aos alunos e também rendeu ótimas conclusões. A

evolução na produção escrita dos alunos sobre as atividades é visível no decorrer

das atividades.

Na questão complementar da atividade 6, apenas dois grupos

identificaram o vértice utilizando os coeficientes da função para o cálculo, a maioria

dos grupos optou por observar o ponto na figura da questão. Com relação as

questões complementares, os alunos foram logo resolvendo a primeira questão por

ser mais direta e não tiveram dificuldade pois tratava apenas de substituição. Nas

questões 2 e 3 os grupos tiveram dúvida com relação as variáveis, mas conseguiram

conduzir bem a questão, a maioria obteve bom rendimento, alguns se confundiram

no cálculo. O desempenho dos grupos nessa atividade no geral foi bom, contudo é

necessário que pratiquem outras situações a fim de aperfeiçoarem suas

descobertas.

274


Com só tivemos mais duas aulas antes do encerramento do semestre, a

décima sexta sessão foi modificada, assim solicitamos que os alunos fossem

resolvendo as questões conforme o possível, pois na sessão seguinte aplicamos o

último pós-teste. O objetivo dessa sessão era que os alunos desenvolvessem

habilidades na resolução de problemas sobre função quadrática.

Na análise a priori nossa hipótese era que os discentes estabelecessem

associação das questões 1 a 3 e fossem capazes de buscar caminhos para resolvê-

las por serem similares a questões desenvolvidas em outras atividades, podendo ter

mais dificuldade na questão 4 em interpretar o problema. O que em parte ocorreu

para a maioria dos alunos, embora a dificuldade de alguns alunos ainda fosse bem

acentuada. O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os


Quadro 34 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos

CERTO ERRADO NÃO

FIZERAM


Percentual (%) 87,5% 12,5% 0%


Percentual (%) 62,5% 25% 12,5%


Percentual (%) 87,5% 12,5% 0%


Percentual (%) 12,5% 25% 62,5% Fonte: Pesquisa de Campo

Na primeira questão, a maioria dos grupos acertou. Na segunda questão

um grupo conseguiu entender o problema, mas errarou o sinal e acabou obtendo o

resultado final alterado, e outro grupo fez confusão com relação aos lados do terreno

a serem considerados obtendo outra resposta. Os demais tiveram bons resultados.

Na terceira questão, os grupos conseguiram desenvolver bem. Mas a quarta, a

maioria deixou em branco, dos três grupos que tentaram resolver dois fizeram a

substituição dos dados na fórmula do vértice da função, mas não conseguiram dar

continuidade, e um grupo conseguiu obter a resposta certa a partir da construção do

gráfico, esse grupo tentou visualizar o problema graficamente e identificou o

275

coeficiente c excluindo o restante das opções. Conforme visualizamos na figura a

seguir:

Figura 26 – Resolução da questão 4 da atividade 7 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos

Essa sessão também levou um bom tempo, pois em uma aula os alunos

conseguiram resolver apenas quatro questões. O que para nos é considerável, tanto

pelo fato de problemas de aplicação demandar mais tempo para leitura,

interpretação, escolha de caminhos para a resolução, etc., como pelo fato dos

alunos serem iniciantes nesse processo. Por isso, avaliamos que, independente dos

acertos e erros dos alunos, o fato deles estarem engajados no problema e tentarem

buscar soluções para o mesmo é um progresso considerável para os mesmos.


A décima sétima sessão foi realizada com o objetivo de verificar o

desempenho dos alunos em ralação ao conteúdo de função quadrática, para isso os

alunos foram submetidos a um pós-teste que nos forneceu dados para a realização

desta análise.

Nossa análise a priori, evidenciava questões com diferentes níveis de

dificuldade que abordava diversos tópicos de função quadrática, a saber: definição;

representação gráfica, literal, tabelar e algébrica; construção do gráfico; concavidade

da parábola; zeros da função; vértice, valor de máximo e valor de mínimo e

problemas sobre função quadrática. Abaixo apresentamos o quadro 35, referente ao

desempenho da turma nas questões sobre função quadrática.

276

Quadro 35 – Desempenho da turma no pós-teste da função quadrática

ALUNOS/ QUESTÕES

ACERTOS ERROS NÃO FEZ

F.A (%) F.A (%) F.A (%)

Q1a 30 100% 0 0% 0 0%

Q1b 27 90% 0 0% 3 10%

Q2 12 40% 10 33,3% 8 26,7%

Q3 27 90% 2 6,7% 1 3,3%

Q4a 28 93,3% 2 6,7% 0 0%

Q4b 27 90% 3 10% 0 0%

Q4c 11 36,7% 7 23,3% 12 40%

Q5a 13 43,3% 17 56,7% 0 0%

Q5b 14 46,7% 15 50% 1 3,3%

Q6a1 24 80% 0 0% 6 20%

Q6a2 24 80% 1 3,3% 5 16,7%

Q6b1 20 66,7% 3 10% 7 23,3%

Q6b2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%

Q6c1 19 63,3% 4 13,3% 7 23,3%

Q6c2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%

Q6d1 23 76,7% 0 0% 7 23,3%

Q6d2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%

Q6e1 23 76,7% 0 0% 7 23,3%

Q6e2 26 86,7% 0 0% 4 13,3%

Q6f1 21 70% 1 3,3% 8 26,7%

Q6f2 25 83,3% 2 6,7% 3 10% Fonte: Pós-teste realizado com os alunos

A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões sobre

função quadrática tiveram um aumento considerável após a sequência didática. Mas

que em algumas questões os erros foram bem acentuados o que ocorreu na maioria

com alunos que faltaram algumas aulas e perderam as atividades relacionadas ao

conteúdo específico da questão, mas no geral a turma obteve bom êxito. O gráfico

56 mostra o percentual de acertos no pós-teste da função quadrática.

Gráfico 56 – Percentual de acertos por questões no pós-teste da função quadrática

Fonte: Pós-teste realizado com os alunos

277

Os resultados obtidos no pós-teste evidenciam que todos os alunos

conseguiram identificar a função quadrática e, 27 (90%), os seus coeficientes,

confirmando o aprendizado dos alunos quanto a definição da função quadrática.

Na questão 2, o percentual de acertos foi menor (40%) o que já era

esperado pois apesar das melhoras no desenvolvimento desse tipo de questão

alguns alunos ainda tinham dificuldade na resolução de sistemas e também devido o

nível de dificuldade da questão. Contudo consideramos uma boa evolução, pois

apesar dos erros o percentual das questões em branco caiu bastante.

Na questão 3, verificamos que os alunos tiveram um ótimo

desempenho na resolução de problemas envolvendo cálculo de área. Na questão 4,

que também tinha um nível de dificuldade elevado, os alunos tiveram bom

desempenho na resolução da questão com um percentual menor na letra c, devido

os alunos optarem, por algum motivo, por não construírem o gráfico.

A quinta questão, sobre os valores de máximo e mínimo da função os

alunos tiveram um desempenho razoável quantitativamente, pois os erros foram bem

acentuados, dentre as dificuldades na resolução alguns alunos se confundiram na

interpretação do problema outros erram o cálculo. Como na atividade sobre esse

tópico de função quadrática, alguns alunos faltaram, associamos a isso, o equívoco

na interpretação do problema, haja vista que a questão é bastante similar ao que foi

desenvolvido em sala. Mas, mesmo com os erros, consideramos que o fato de

quase todos os alunos tentarem resolver a questão já mostra certa compreensão

sobre o problema.

Na questão 6, a maioria dos alunos não tiveram dificuldade em

associar o valor do delta e do coeficiente a da função quadrática a seu respectivo

gráfico, o que ocorreu foi que alguns alunos não prestaram atenção na questão e

acabaram identificando apenas uma da situações, relacionando a concavidade da

parábola ou relacionando o número de raízes.

4.18 ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE E DO PÓS-TESTE

Nosso objetivo nesta seção era comparar o desempenho dos alunos na

resolução das questões antes e após serem desenvolvidas todas as atividades

referentes a função afim e a função quadrática. O quadro 36 apresenta o

278

desempenho dos alunos naresolução de cada questão resolvida nos pré-testes e

nos pós-testes.

Quadro 36 – Percentual de questões resolvidas nos pré-testes e nos pós-testes QUESTÕES ACERTOS (%) ERROS (%) NÃO FEZ (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

FUNÇÃO AFIM

Q1a 36,7% 90% 16,7% 10% 46,7% 0%

Q1b 0% 63,3% 3,3% 3,3% 96,7% 33,3%

Q2 13,3% 40% 43,3% 56,7% 43,3 3,3%

Q3a 3,3% 70% 10% 16,7% 86,7% 13,3%

Q3b 23,3% 86,7% 16,7% 10% 60% 3,3%

Q4a 3,3% 36,6% 16,7% 16,7% 80% 46,7%

Q4b 3,3% 70% 10% 13,3% 86,7% 16,7%

Q5 6,7% 76,7% 10% 6,7% 83,3% 16,7%


Q1a 36,7% 100% 13,3% 0% 50% 0%

Q1b 0% 90% 0% 0% 100% 10%

Q2 0% 40% 10% 33,3% 90% 26,7%

Q3 0% 90% 0% 6,7% 100% 3,3%

Q4a 0% 93,3% 6,7% 6,7% 93,3% 0%

Q4b 0% 90% 0% 10% 100% 0%

Q4c 0% 36,7% 13,3% 23,3% 86,7% 40%

Q5a 0% 43,3% 0% 56,7% 100% 0%

Q5b 0% 46,7% 0% 50% 100% 3,3% Fonte: Pesquisa de campo

Gráfico 57 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função afim

Fonte: Pesquisa de campo

36,7%

0%

13,30%

3,3%

23,3%

3,3% 3,3% 6,7%

90%

63,3%

40%

70%

86,7%

36,7%

70%

76,7%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q4a Q4b Q5

PRÉ-TESTE

PÓS-TESTE

279

Gráfico 58 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função quadrática


Em nossa análise sobre os dados contidos no quadro 36 e nos gráficos

57 e 58, constatamos na comparaçãodos resultados obtidos nos pré e pós-testes

que houve uma considerável melhora no que diz respeito ao número de alunos que

resolveram corretamente as questões no pós-teste, mesmo quando esse número

não atingiu 50%, como ocorreu com as questões Q2 e Q4a da função afim e Q2,

Q4c, Q5a e Q5b da função quadrática que registrou os mais baixos índices de

acertos. Todavia é preciso levarmos em consideração as condições conturbadas nas

quais foram realizadas a questão proposta da atividade 1 da função afim e a

questão complementar 2 da atividade 2 e a questão proposta da atividade 3 da

função quadrática (relatadas na seção 3). É notória a falta de domínio na

resolução de sistemas.

Nas questões Q4a e Q4c sobre gráficos, supomos que os alunos

simplesmente optaram por não construírem esses gráficos, pois nas sessões de

ensino os discentes tiveram um bom desempenho nas atividades que envolviam

esse conteúdo. E com relação a quinta questão da função quadrática, apesar dos

alunos terem bom desempenho na sessão de ensino que tratou desse conteúdo

(sessão 15), verificamos que a maioria dos alunos errou o jogo de sinal ou o cálculo

na questão do pós-teste, e ainda que na mesma sessão de ensino houve uma baixa

frequência dos alunos.

Constatamos também, que apesar da quantidade de erros nos pós-testes,

verificamos que com exceção das questões supracitadas, em todas as outras foram

registrados índices de erros menores do que os registrados nos pré-testes. Além

36,7%

0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

100%

90%

40%

90% 93,3%

90%

36,7%

43,3% 46,7%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Q1a Q1b Q2 Q3 Q4a Q4b Q4c Q5a Q5b

PRÉ-TESTE

PÓS-TESTE

280

disso, o percentual de questões dos pós-testes não resolvidas teve uma queda

significativa com relação aos pré-testes, o que nos permitiu inferir que os alunos por

sentirem-se mais confiantes devido a toda experiência vivenciada durante o

processo, arriscaram-se mais a resolver.

Outro aspecto importante está relacionado ao acúmulo de experiências

vivenciadas com as atividades. Os dados revelaram que o desenvolvimento dos

procedimentos das atividades e especialmente das questões propostas e das

questões complementares, permitindo em alguns momentos o retorno de situações

já trabalhadas, como os problemas das últimas atividades de cada conteúdo,

contribuíram para que os alunos pudessem rever; consolidar e corrigir os

conhecimentos que já haviam apreendido. Dessa forma, verificamos que houve

melhora nos índices de acertos.

No Quadro 37 e gráfico 67, comparamos o desempenho individual dos 30

alunos do 1º ano do ensino médio submetidos às sessões de ensino no que se

refere à resolução dos testes da função afim e da função quadrática, que continham

as mesmas questões.

Quadro 37 – Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática

(continua)

Alunos

Percentual de acertos

Função Afim Função Quadrática

Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste

A1 0% 25% 0% 78%

A2 13% 88% 0% 56%

A3 38% 100% 11% 78%

A4 0% 75% 0% 89%

A5 25% 75% 11% 78%

A6 0% 88% 0% 100%

A7 0% 63% 0% 67%

A8 38% 38% 11% 89%

A9 25% 50% 0% 67%

A10 0% 63% 0% 78%

A11 13% 88% 11% 67%

A12 50% 75% 11% 100%

A13 0% 63% 0% 56%

A14 38% 88% 11% 100%

A15 0% 38% 0% 56%

A16 50% 88% 11% 100%

281

Quadro 37 - Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática

(conclusão)

A17 0% 63% 0% 56%

A18 0% 75% 0% 89%

A19 0% 50% 11% 44%

A20 13% 88% 11% 67%

A21 13% 88% 11% 78%

A22 0% 50% 0% 44%

A23 0% 63% 0% 56%

A24 0% 75% 0% 67%

A25 13% 63% 0% 56%

A26 0% 38% 0% 33%

A27 0% 75% 0% 44%

A28 0% 63% 0% 67%

A29 0% 63% 0% 56%

A30 13% 50% 11% 89% Fonte: Pesquisa de campo

Gráfico 59 – Desempenho de cada aluno no pré-teste e pós-teste da função afim e

da função quadrática


Por meio da análise desses dados fica evidente que individualmente

todos os alunosmelhoraram seus desempenhos, ainda que seis deles não tenham

conseguido alcançar 50% de acertos. Daí podermos concluir que, em maior ou em

menor escala, todos conseguiram apreender conhecimentos sobre funções afim e

quadrática, sendo que alguns parecem ter conseguido absorver melhor as atividades

construídas em sala de aula, levando-os a um melhor desempenho das questões no

pós-teste.

282

Um ponto importante a destacar na análise do desempenho individual dos

alunos é o fato de ter sido observado uma diminuição na incidência de erros não

apenas nas questões do pós-teste, mas também nas atividades das sessões de

ensino e ainda nos conteúdos precedentes ao que desenvolvemos em sala. Para

nós, a utilização do ensino por atividades, da modelagem matemática, da resolução

de problemas e do envolvimento dos alunos contribuíram significativamente para

que pudessem desenvolver um maior domínio sobre os conteúdos abordados. Tal

fato contraria aqueles que se colocam desfavorável a metodologias diferenciadas em

sala de aula, principalmente com relação à modelagem, afirmando que o aluno pode

levar o problema a conteúdos diferenciados de acordo com sua capacidade de

delimitação do modelo. Ao contrario, os dados mostraram que a associação dessas

metodologias de ensino utilizadas possibilitaram ao aluno desenvolver habilidades

diferenciadas em cada momento da atividade, conforme lhes eram exigidas essa ou

aquela abordagem. Isto é, na compreensão dos conteúdos matemático abordados,

na percepção do problema, em buscar um modelo que represente a situação

proposta, em pensar e buscar caminhos para resolver o problema.

No quadro a seguir cruzamos os dados das frequências dos alunos em

todas as sessões de ensino que envolvia atividades de função afim e função

quadrática com os dados do desempenho relacionado ao percentual de acertos de

cada aluno nos pós-testes realizados, buscando verificar o nível de participação e a

possível influência que este possuí sobre os resultados dos alunos.

Quadro 38 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes

(continua)

ALU

NO

S

Sessões de ensino

Percentual de acertos dos alunos nos testes

desenvolvidos durante o experimento

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S11

S12

S13

S14

S15

S16

Pós-teste f. afim

Pós-teste f. quadrática

A1 P P F F P F F F P P P F P P 25% 78%

A2 P P P P P P P P P F P P F P 88% 56%

A3 P P P P P P P P P P P P P P 100% 78%

A4 F P P P P P P P F P P P P P 75% 89%

A5 P P P P P P P F P P P P P F 75% 78%

283

Quadro 38 - Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes

(conclusão)


A7 P P F P P P P F P F P P F P 63% 67%

A8 F P P F F P P F P F P P P P 38% 89%

A9 P F P F F P P P P P P F P P 50% 67%

A10 P P P P F P P P P F P P P P 63% 78%

A11 P P P P P P P P F P P P F P 88% 67%

A12 P F P P P P P P P P P P P F 75% 100%

A13 P P F P P P P P P F P P F P 63% 56%


A15 P F F P F P P F P P P P F P 38% 56%


A17 P P P P F P P P P F P P F P 63% 56%

A18 P F P P P P P P P P P P P P 75% 89%

A19 P F F P P P P F P F F F P P 50% 44%

A20 P P P P P P P P P F P P P P 88% 67%

A21 P P F P P P P P P F P P P P 88% 78%

A22 P P P P F P P F P F F P F P 50% 44%

A23 P F P P P P P P P F P P F P 63% 56%

A24 P P P P P P P F P F P P P P 75% 67%

A25 P P F P P P P P P F P P F P 63% 56%

A26 F F P P P F P P F F P P F P 38% 33%

A27 P P P P P P P P P F P P F P 75% 44%

A28 P F P P P P P P P F P P P P 63% 67%

A29 P P P F P P P P P P F P F P 63% 56%

A30 P P P F F P P P P P P P P P 50% 89% Fonte: Pesquisa de campo

Analisando o quadro 38 identificamos que, 4 (13,33%), alunos

frequentaram todas as aulas ministradas, que 18 (60%) alunos frequentaram em

média 85,7% das aulas e que, 6 (20%), alunos faltaram em média 39,3% das aulas.

Identificamos ainda que os alunos que obtiveram maior percentual de

acertos nos testes foram aqueles de obtiveram maior frequência. Os alunos com

percentual de acertos inferior a 50% (A1, A8, A15, A19, A22 e A26) foram os que

obtiveram menor frequência. É importante ressaltar que dentre os alunos que

obtiveram menor frequência nas sessões de ensino (A1, A8, A15, A26) e

consequentemente menor percentual de acertos nos pós-testes foram os alunos

mais avessos inicialmente ao método de ensino, dois desses alunos nos disseram

logo nas primeiras sessões que preferiram copiar a matéria e depois ir para casa,

284

não quezerão participar ativamente do processo de construção do saber. Esse fato

explica o menor percentual de acertos desses alunos no pós-teste de função afim.

Vale destacar também que, a mudança no comportamento desses alunos

foi gradual, principalmente após os resultados obtidos na prova de 1ª avaliação da

turma que correspondeu as notas obtidas com pós-teste da função afim, esses

alunos observaram o desempenho dos outros colegas de classe e o envolvimento

dos demais nas atividades e passaram a ser mais frequentes nas aulas, isso pode

ser observado a partir da décima primeira sessão. Com a maior participação desses

alunos nas sessões de ensino, o percentual de acertos também aumentou o que

podemos observar nos dados do pós-teste da função quadrática.

Verificamos também que a maioria dos alunos aceitou desde o inicio o

contrato didático estabelecido, mas que a principio demonstraram dificuldades com o

método e gradualmente foram se envolvendo nas atividades e passaram a gostar da

estratégia de aprendizado, como por exemplo, quando passaram a pedir para ir ao

quadro socializar o que tinham realizado. E ainda, relacionado aos alunos de

dependência observamos que os mesmos passaram a ser mais participativos.

Conforme declarou a professora efetiva:

Fiquei admirada ao ver os alunos de dependência que vinham para a escola, mas não costumavam frequentar as aulas de matemática participando das atividades (Pesquisa de campo, 2013).

Destacamos ainda que para além dos resultados quantitativos, a

intervenção de ensino também promoveu resultados qualitativos capazes de

contribuírem consideravelmente para o melhoramento do processo ensino e

aprendizagem dos conteúdos trabalhados. Referimo-nos a relação de interação que

os alunos estabeleceram com o meio, com seu grupo e com a professora-

pesquisadora permitindo que desenvolvessem habilidades como a capacidade de

observação, de proposição, de diálogo,de elaboração de texto, de interpretação, de

buscar caminhos para a resolução de questões criando autonomia e autoconfiança

para desenvolverem o trabalho de construção dos conceitos e noções de conteúdos

matemáticos, contribuindo para um maior significado no processo de aprendizagem

das funções afim e quadrática.

De posse do exposto, consideramos que a sequência didática realizada,

revelou-se como uma eficiente alternativa metodológica para o ensino das funções

285

afim e quadrática, podendo ser perfeitamente adotada por outros docentes, pois

proporcionou significativos resultados na perspectiva da Educação Matemática, além

de fornecer subsídios para os alunos visualizarem e buscarem caminhos para

resolver problemas. Abordagem recomendada pelos PCN, no desenvolvimento dos

conteúdos matemáticos e aludida no ENEM e no SAEB.

Reinteramos que se trata de materiais de baixo custo, uma vez que as

atividades foram desenvolvidas para o aluno executar em sala de aula apenas com

a utilização das cópias das atividades, de lápis ou caneta e papel, recursos que os

alunos normalmente já dispõe no dia-a-dia escolar, podendo ser utilizado também a

régua e a calculadora se houver necessidade, além do mais o professor pode

trabalhar com as atividades mesmo que a escola não disponha de laboratório de

matemática ou de informática, ou ainda que disponha destes com poucos recursos

ou computadores, conforme as informações obtidas no questionário aplicado aos

professores (seção 1.2). Apresentaremos a seguir as considerações finais sobre

nosso estudo.

286

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho é fruto das reflexões sobre o ensino e aprendizagem da

função afim e função quadrática que realizamos desde o contato com a licenciatura

e a comunidade acadêmica. Nossa expectativa não é de formular uma proposta de

ensino acima das demais, mas sim de contribuir com atividades que viabilizem o

ensino e aprendizagem dos conteúdos citados, dentro de nossa realidade escolar.

Nossa pesquisa teve por objetivo investigar as contribuições de atividades

para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e quadrática.

Levamos em conta as dificuldades de ensino e aprendizagem destes conceitos,

tanto por meio de nossas observações, como pelas diversas investigações

existentes na área da Educação Matemática. Elaboramos e aplicamos uma

sequência didática, composta de 12 grupos de atividades, com o intuito de propiciar

a estes alunos uma melhor compreensão dos conteúdos abordados.

Levantamos, então, o seguinte questionamento: Quais os efeitos de um

conjunto de atividades sobre funções afim e quadrática no desempenho de alunos

do 1º ano do ensino médio?

Essa pesquisa fundamentou-se nos princípios da Engenharia Didática

tendo como aporte teórico elementos da Didática da Matemática a partir dos estudos

de Brousseau, que nos direcionou na abordagem das situações didáticas e a-

didáticas que ocorreram durante a aplicação das atividades. A sequência didática

teve por base a modelagem matemática e o ensino por atividade, que contribuíram

com o aluno no envolvimento com os conteúdos, em descobrir as propriedades e

conceitos matemáticos, em elaborar conclusões e direcionar os problemas.

No diagnóstico local obtido a partir dos questionários aplicados a

professores e alunos do 2º ano do ensino médio que já estudaram funções afim e

quadrática, identificamos que a metodologia de ensino que mais vem sendo utilizada

para os conteúdos de função afim e quadrática ainda é a tradicional: definição,

seguida de exemplos e exercícios; que os alunos consideram a maioria dos tópicos

dos conteúdos de função de regular a difícil; e que a maioria dos discentes tiveram

um baixo desempenho nos testes sobre função afim e quadrática. Confirmando a

ideia de que estes conteúdos são de difícil aprendizado conforme já ressaltaram as

287

pesquisas que nos antecederam, e ainda que a metodologia de ensino tradicional

não tem colaborado de forma significa para os alunos consultados, de acordo com

os dados do teste.

Na análise sobre pesquisas realizadas relacionadas ao ensino e

aprendizagem de função afim e/ou quadrática identificamos algumas propostas de

atividade que se mostraram relevantes para os sujeitos pesquisados mediante cada

contexto. Evidenciando uma gama de tendências educacionais que se utilizadas

isoladamente ou em conjunto apontam melhoras no processo de aprendizagem de

funções.

Nesse contexto, realizamos um trabalho experimental focalizado no

processo de ensino e aprendizagem e tendo como sujeitos 30 alunos do 1º ano do

ensino médio de uma escola pública de Belém. Vale lembrar que a turma era

composta por 59 alunos matriculados, sendo que 27% eram alunos de dependência

em matemática, mas como apena 30 estavam presentes no momento da aplicação

do questionário, somente esses foram considerados em nossa análise, apesar dos

demais frequentarem esporadicamente as aulas. Assim, a turma era composta por

alunos mais e menos frequentes, tendo em média 65% dos alunos presentes em

cada sessão.

No decorrer da pesquisa enfrentamos alguns percalços, principalmente

com relação a pesquisa de campo, que consideramos importante mencionar, no

período de aplicação dos questionários a docentes e alunos do 2º ano do ensino

médio, a direção de algumas escolas mostrou-se avessa a pesquisa, inviabilizando

nosso acesso a professores e alunos, mesmo com apresentação do documento

institucional e, em anexo, os questionários, respaldando que tratava-se de uma

pesquisa em nível de mestrado.

Por outro lado, em outras escolas fomos bem recebidos tanto pela direção

como por professores e alunos que mostraram interesse na pesquisa contribuindo

com o preenchimento do questionário e com conversas que tivemos durante a

aplicação do mesmo. Já com relação a execução da sequência didática, as

dificuldades estavam relacionadas a falta de base matemática dos alunos, sendo

necessário interrompermos alguns momentos para relembrar assuntos como jogo de

sinal, cálculo de área e perímetro, ou conceitos iniciais de função, como plano

288

cartesiano e a disposição das coordenadas no plano. O que acabou por consumir

mais tempo na realização das primeiras atividades.

Outra situação que pode ter influenciado nos resultados está relacionada

ao horário de aula da turma, além de terem poucas aulas semanais para a disciplina

de matemática, a mudança de horário de aula durante a realização das atividades, e

ainda, as paralisações, reuniões e palestras que geralmente marcavam nos dias das

aulas de matemática acabou conturbando um pouco a realização das atividades.

Contraponto os pontos negativos podemos elencar como pontos positivos

nesta pesquisa: o bom acolhimento que tivemos e a aceitação da pesquisa pela

escola de aplicação, com relação a nossa apresentação aos professores da escola

pela direção, a secretaria da escola que nos forneceu os dados sobre o histórico da

escola e os dados das turmas, ao corpo técnico que nos concedeu os momentos

nos sábados para realização das sessões de ensino e principalmente a professora

efetiva da turma de aplicação pelo apoio e acompanhamento nas sessões de ensino

e a própria turma que aceitou a pesquisa, as cláusulas do contrato didático e se

dedicou na execução das atividades.

Apesar das dificuldades iniciais que os alunos tiveram no decorrer do

experimento, em desenvolver as atividades e no choque com os procedimentos

metodológicos, ao ponto de alguns alunos se negarem a princípio de participar das

atividades alegando estarem acostumados ao método tradicional e preferirem copiar

a matéria e ir para casa, verificamos uma mudança gradual no desenvolvimento dos

alunos, tanto com relação a aceitação do método de pesquisa que lhes exigia

participar ativamente na construção do conhecimento, tomando para si a

responsabilidade da situação de aprendizagem quanto no desempenho intelectual

na assimilação dos conteúdos a partir de suas observações e na construção de suas

hipóteses com relação as funções e com relação a resolução das questões.

Os resultados apontaram que os alunos tiveram relevantes evoluções

durante as sessões de ensino, não somente relacionadas a apreensão dos

conteúdos de função afim e quadrática, mais principalmente a parceria entre os

grupos; na interação que estabeleceram um com os outros, com a professora

pesquisadora e com o meio; no “buscar a resposta” e na formulação de suas ideias e

conclusões tanto verbalmente quanto na escrita. Além de significativos avanços

observados na comparação dos dados dos pré-testes com os pós-testes. Sendo

289

visível um bom número de acertos em algumas questões dos pré-testes (questões

de identificação da função), haja vista que os alunos já tinham iniciado o estudo do

conteúdo no 9º ano do ensino fundamental, em decorrência disso esperávamos até

um melhor êxito nas questões dos pré-testes, o que não ocorreu. Após a sequência

didática os resultados nos pós-testes aumentaram e foi mais acentuado nos alunos

mais frequentes.

Compreendemos que os resultados poderiam ter sido melhores se não

fossem as dificuldades que os alunos tiveram com conteúdos bases para

compreender função afim e quadrática; se tivéssemos mais tempo para executar as

atividades e fornecêssemos um número maior de questões de aplicação para os

alunos exercitarem, já que não eram acostumados a resolver problemas

contextualizados.

Em se tratando das atividades, analisamos que o tempo de realização das

mesmas foi reduzindo a medida que os grupos se adaptaram ao método e tornavam-

se mais autônomos. Levamos cerca de 12 h/a para concluir o conteúdo de função

afim e 12 h/a para o conteúdo de função quadrática. O que não se distancia muito

do tempo estimado pelos professores para esses conteúdos, em média 9 h/a para

função afim e 12h/a para função quadrática de acordo com os dados do

questionário.

Quanto as questões elaboradas, salientamos algumas

melhorias/adquações no comando das atividades, destacadas na seção 3, como o

uso de palavras que podem levar a interpretação errônea da questão pelo aluno, por

exemplo, a palavra valores no comando da atividade 1 da função afim onde os

alunos confudiram os dados do texto, troncando a produção anual (o que realmente

era solicitado) pelo o preço do açaí. Ou termos matemáticos que dificultaram a

compreensão dos alunos, como por exemplo, variável dependente e independente

no lugar de variável y e x.

Nossa avaliação é de que a dinâmica usada para a socialização das

conclusões nas atividades foi de extrema importância para que pudéssemos

conduzir o momento de institucionalização dos conceitos e para que os alunos

pudessem melhorar suas redações, adquirindo confiança e autonomia em relação as

suas ideias e constatações, pois ao visualizarem as construções dos outros grupos

290

os alunos tinham oportunidade de fazer comparações e identificar onde haviam

cometido equívocos.

E que, abordar aspectos da cultura local (produção do açaí e arquitetura

do Ver-o-Peso) instigou os discentes nas discussões, na busca de informações e na

participação das aulas, ao ponto da própria professora efetiva declarar-se admirada

por ver até os alunos de dependência que não costumavam assistir as aulas,

estarem empenhados na participação das atividades.

Avaliamos também que a estrutura das atividades (atividades de

redescobertaquestão propostaquestões complementares) contribuiu para o

melhor entendimento do aluno tanto para encontrar o modelo matemático da

questão proposta, quanto para a associação do conteúdo matemático apreendido na

resolução de problemas.

Desta forma, consideramos respondida a questão norteadora desta

pesquisa, uma vez que os resultados apontam efeitos positivos e negativos, na

aplicação da sequência didática. As atividades possibilitaram aos alunos construir e

compreender noções, propriedades e conceitos matemáticos sobre função afim e

quadrática, porém, apesar das evoluções, ainda apresentam dificuldades em

resolver problemas. O que é aceitável devido esses alunos, mesmo no 1º ano do

ensino médio, não estarem acostumados a resolver problemas. Ressaltamos que os

mesmos tiveram avanços progressivos ao ponto de compreender um problema e

trilhar passos para executá-lo.

É importante ponderar que nossos sujeitos eram compostos por alunos

com muitas dificuldades nos conteúdos matemáticos de anos de ensino anteriores,

incluindo alunos que estavam repetindo o 1º ano mais ainda não tinham visto função

afim e quadrática devido a greve de professores e o escasso tempo de aulas em

2012, e que a abordagem de ensino que utilizamos era algo novo para eles. O que

nos permite conjecturar que se com essas dificuldades foi possível tal avanço, caso

a sequência didática fosse aplicada a uma turma com condições de aprendizagem

melhores os resultados positivos seriam mais expressivos.

De posse do exposto, concluímos que a metodologia da pesquisa

favoreceu a investigação em sala de aula e a sequência didática aplicada propiciou

o aprendizado e, consequentemente o melhor desempenho dos alunos do 1º ano do

ensino médio em atividades sobre funções afim e quadrática, o que permitiu afirmar

291

que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado. Além da sequência didática

aproximar-se das exigências curriculares, e dos programas do governo ENEM e

SAEB. E, de fornecer ao professor um conjunto de atividades que podem ser

utilizadas em sua totalidade ou parcialmente dependendo da escolha do professor e

do tempo das aulas.

Longe de estar pronta e acabada esta pesquisa gera em nos outras

inquietações, outras questões que nos parecem salutar é pesquisar a contribuição

das atividades de ensino na visão dos docentes, ou outros recursos que facilitem a

compreensão das funções pelos alunos. Qual o nível de aceitação pelos professores

de escolas públicas na utilização de metodologias diferenciadas? Qual a estratégia

mais viável para adequar o tempo de aula, o escasso tempo do professor para

preparar suas aulas e o uso de métodos diferenciados? A utilização de outros

recursos, como por exemplo, software que projetem modelos matemáticos de

situações reais e realizem cálculos possibilita o aluno tecer uma melhor observação

dos fenômenos do dia a dia, atribuindo a isso um significado? Essas questões estão

no horizonte de meus próximos trabalhos, que certamente motivarão outras

investigações.

292

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296

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297

VIANNA, Heraldo Marelim. Pesquisa em educação: a observação. Brasília: Plano Editora, 2003.

298

APÊNDICE A – Questionário a professores

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO

Data:___/___/___

Prezado(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este questionário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.

Agradeço sua colaboração.

1. Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino

2. Faixa Etária: ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos

( ) 31- 35anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos

( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos

3. Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) Ensino Superior:_______________Instituição:_____ Ano de Conclusão:___ Especialização:______________Instituição:_______Ano de Conclusão:___ Mestrado:___________________Instituição:______Ano de Conclusão:___ Doutorado:___________________Instituição:______Ano de Conclusão:___ 4. Tempo de serviço como professor de matemática? ( ) Menos de um ano

( ) 1-5 anos ( ) 6-10 anos ( ) 11-15 anos ( ) 16-20 anos

( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 anos ( ) Mais de 35 anos

5. Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública

Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra.

Qual?________________________ 6. Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma

disciplina sobre o ensino de Função Afim? ( ) Não ( ) Sim, qual?_______

7. Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma

disciplina sobre o ensino de Função Quadrática? ( ) Não ( ) Sim,

qual?___ 8. Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o

ensino de Função Afim? ( ) Não ( ) Sim, qual? ___________________

9. Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o

ensino de Função Quadrática? ( ) Não ( ) Sim, qual? _______________

299

10. Você ensina função afim do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim

11. Você ensina função quadrática do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim

12. Quando você ensina Função Afim, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos

13. Quando você ensina Função Quadrática, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos

14. Para fixar o conteúdo de Função Afim você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação

Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para

resolver

15. Para fixar o conteúdo de Função Quadrática você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação

( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para

resolver 16. Você já realizou o ensino Função Afim por meio de experimentos?

( ) Não ( ) Sim

17. Você já realizou o ensino Função Quadrática por meio de experimentos?

( ) Não ( ) Sim

300

18. Sobre Função Afim e Quadrática e seus conteúdos:

Conteúdo

Você costuma

ministrar?

Grau de dificuldade para

os alunos aprenderem

Sim

Não

Mu

ito

Fácil

Fácil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

Dif

ícil

Definição da Função Afim [ ( ) ,f x ax b 0a ]

Gráfico da Função Afim

Função constante [ ( )f x b ]

Função linear [ ( )f x ax , 0a ]

Função identidade [ ( )f x x ]

Domínio e Imagem de uma Função Afim

Crescimento e decrescimento da Função Afim

Zero ou raiz da Função Afim

Estudo do Sinal da Função Afim

Inequação do 1º grau [ 0ax b , 0ax b ]


Definição da Função Quadrática

[ 2( )f x ax bx c , 0a ]

Gráfico da Função Quadrática

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax bx , com

0a

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax c , com

0a

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax , com

0a

Domínio e Imagem de uma Função Quadrática

Zeros ou raízes da Função Quadrática Concavidade da parábola Vértice da parábola Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática

Estudo do Sinal da Função Quadrática

Inequação do 2º grau 2 0ax bx c e 2 0ax bx c


301

19. Quanto tempo você leva aproximadamente, em aulas, para ministrar o conteúdo sobre:Função Afim: ____aulas. Função Quadrática: ____aulas.

20. Você trabalha a matemática com atividades como (pode marcar mais de uma

opção): ( ) Feira da Cultura ( ) Aulas de campo ( ) Jogos escolares ( )

Datas comemorativas ( ) Outras. Especifique:________________

21. A escola disponibiliza de um laboratório de matemática? ( ) Não ( ) Sim

22. A escola disponibiliza de um laboratório de informática? ( ) Sim. Com computadores suficientes para uma turma (considere

computadores suficientes a quantidade que permita trabalhar com duplas ou trios em cada computador).

( ) Sim. Com computadores insuficientes para uma turma.

( ) Não disponibiliza de um laboratório de informática.

( ) Outros. Especifique:_________________________________________

23. A escola proporciona momentos de planejamentos das aulas entre os

professores? ( ) Não ( ) Sim

24. A escola disponibiliza atividades de nivelamento/aulas de reforço para os

alunos com baixo desempenho na disciplina? ( ) Não ( ) Sim

25. A escola disponibiliza para os professores utilizarem dentro de sala de aula

recursos como (pode marcar mais de uma opção): ( ) Livros ( ) Pincel e

lousa ( ) Computador/Notebook ( ) Data show ( ) Jogos ( ) Softwares

educativos ( ) Calculadora ( ) Outro. Qual?__________________

302

APÊNDICE B – Questionário a alunos do 2º ano



Data ____/___/_____ 1. Qual sua idade? _______________ 2. Qual o seu sexo? ( ) Masculino ( ) Feminino

3. Quem é o seu responsável ? ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Avô ( ) Avó

( ) Tio ( ) Tia ( ) Irmão ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro.

Quem?____________ 4. Qual o nível de escolaridade de seu responsável?

Não escolarizado

( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª serie/1ª ao 5ª ano)

( ) Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª serie/ 6ª ao 9ª ano)

( ) Ensino Fundamental Completo

( ) Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)

( ) Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)

( ) Ensino Superior (bacharelato, licenciatura ou tecnólogo)

5. Seu responsável trabalha? ( ) Não ( ) Sim

6. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Não ( ) Sim ( ) Às vezes

7. Você estudou o ensino fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?_____

8. A escola onde você estuda atualmente fica no bairro onde você mora?

( ) Não ( ) Sim

9. Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira

( ) Cursinho pré-vestibular ( ) Outro. Qual?___________

10. Você pratica algum esporte regularmente? ( ) Não ( ) Sim.

Qual?_______

Prezado(a) aluno(a) Neste momento estamos realizando um estudo que busca conhecer os dados escolares e profissionais seus e de seus pais, e conhecer sua avaliação sobre seus estudos e sobre o seu aprendizado em Matemática, para tanto necessitamos de sua participação respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

303

11. Você já ficou em dependência? ( ) Não ( ) Sim. Em que disciplina? Em que

série?___________________ 12. Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito

13. Você tem dificuldade para aprender matemática?

( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito

14. Você se distrai nas aulas de matemática?

( ) Não, eu sempre presto atenção.

( ) Sim, eu não consigo prestar atenção.

( ) Às vezes, quando a aula está chata.

15. Você costuma estudar matemática fora do horário de aula? ( ) Só no período de prova.

( ) Só na véspera da prova.

( ) Só nos fins de semana.

( ) Todo dia.

( ) Alguns dias da semana. Quantos? _____________

( ) Não costumo estudar fora do horário de aula.

16. Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática? ( ) Professor

particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém

( ) Outros. Quem? _____________

17. Quando você estudou Função Afim, a maioria das aulas: ( )


( )


( )

iniciaram com a história do assunto para depois explorar os conceitos

( )


( )


( )


18. Quando você estudou Função Quadrática, a maioria das aulas: ( )


( )


( )

iniciaram com a história do assunto para depois explorar os conceitos

304

( )


( )


( )


19. Para fixar o conteúdo de Função Afim seu professor costumava: ( )

apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( )

apresentar jogos envolvendo o assunto

( )

solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático

( )

não propor questões de fixação

( )

solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver

20. Para fixar o conteúdo de Função Quadrática seu professor costumava: ( )

apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( )

apresentar jogos envolvendo o assunto

( )

solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático

( )

não propor questões de fixação

( )

solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver

21. Você usa ou vê/percebe os conteúdos de matemática que você aprende

na escola em atividades/situações do dia a dia? ( ) Não ( ) Sim

305

22. A respeito de Função Afim e Quadrática e seus conhecimentos, preencha o quadro abaixo.

Conteúdo

Você estudou?

Grau de dificuldade

Sim

Não

Mu

ito

Fácil

Fácil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

Dif

ícil

Definição da Função Afim

[ ( ) ,f x ax b com 0a ]

Gráfico da Função Afim

Função constante [ ( )f x b ]

Função linear [ ( )f x ax , 0a ]

Função identidade [ ( )f x x ]

Domínio e Imagem de uma Função Afim

Crescimento e decrescimento da Função Afim

Zero ou raiz da Função Afim

Estudo do Sinal da Função Afim

Inequação do 1º grau [ 0ax b ,

0ax b ]


Definição da Função Quadrática 2( )f x ax bx c , com 0a

Gráfico da Função Quadrática

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax bx , com 0a

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax c , com 0a

Função Quadrática do tipo 2( )f x ax ,

com 0a

Domínio e Imagem de uma Função Quadrática

Zeros ou raízes da Função Quadrática

Concavidade da parábola

Vértice da parábola

Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática

Estudo do Sinal da Função Quadrática

Inequação do 2º grau 2 0ax bx c e 2 0ax bx c


306

TESTE DA FUNÇÃO AFIM

1. Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função afim e escreva os valores de seus parâmetros. a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 1( ) 2xf x c) ( ) 2( ) 2f x x d) ( ) ( ) logf x x

2. Determine a expressão algébrica que representa a função afim cujo gráfico passa pelos pontos ( 2,0) e (2, 4) .

3. Construa o gráfico da função ( ) 2f x x . Essa função é crescente ou

decrescente?

4. A corrida do Círio, realizada em Belém do Pará, surgiu em 1984, a partir da ideia de um grupo de corredores de rua que queriam homenagear Nossa Senhora de Nazaré. O CORBE (Corredores de Rua de Belém) promoveu a 1ª Corrida do Círio no dia 13 de outubro de 1984, na véspera da grande procissão do Círio de Nazaré. Cerca de 50 atletas participaram dessa 1ª edição. Um atleta leva em média 4 minutos para percorrer 1 km. Ele faz um percurso de x quilômetros. Qual a expressão algébrica que permite calcular o tempo, em minutos, que ele leva para percorrer os quilômetros? Sabendo que o percurso é de 10 km, em quantos minutos este atleta completou a prova? 5. Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maças, como cada maça será vendida a R$ 2,00. Determine o zero da função.

x y

307

TESTE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função quadrática e escreva os valores de seus parâmetros.

a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 4( ) logf x x c) ( ) 2( ) 5 2f x x x d) ( ) ( ) ( )f x sen x

2. Construa o gráfico da função 2( ) 2 1f x x x . Essa função possui

concavidade voltada para cima ou para baixo? 3. Encontre os zeros da função 2( ) 7 6f x x x .

4. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t) = - t2 + 6t, determine: a) em que instante a bola atinge a altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola. 5. O Amazonas é o segundo rio mais extenso do planeta, apresenta 6,4 mil quilômetros, sendo menor apenas que o rio Nilo (7.400 quilômetros). A nascente do rio Amazonas está localizada no lago Lauri, nos Andes do Peru. O rio Amazonas está presente nos países do Peru, Colômbia e Brasil, em sua bacia hidrográfica estão também os países da Bolívia, Equador, Venezuela e Guiana. O rio nasce com o nome de Vilcanota, e recebe depois as denominações de Uicaiali, Urubamba e Marañón. Quando entra no Brasil, se torna Solimões, até o encontro com o rio Negro, próximo de Manaus. Desse ponto até a foz recebe o nome de Amazonas. O rio Amazonas, possui cerca de 1.100 afluentes, exemplos deles são: Rio Javari, Rio Jutaí, Rio Juruá, Rio Madeira, Rio Purus, Rio Coari, Rio Napo, Rio Negro, Rio Jari e Rio Paru.

Supondo que um dos afluentes do rio possui profundidade máxima de é de 4 metros. E, para se determinar a equação do leito de rio, basta possuir os registros, de distância e profundidade, em uma seção do rio. Considerando que foram registrados os seguintes dados, (0,0), (2,-4), (6,0), da distancia e profundidade do rio, em metros, ilustrado no desenho ao lado. Determine a expressão que represente o leito do rio.

x y

308

APÊNDICE C – Questionário a alunos do 1º ano



Data ____/___/_____

Nome:______________________________________________________________

1. Qual sua idade? _______________

2. Qual o seu sexo? ( ) Masculino ( ) Feminino

3. Quem é o seu responsável ? ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Avô ( ) Avó ( ) Tio

( ) Tia ( ) Irmão ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro.

Quem?____________

4. Qual o nível de escolaridade de seu responsável?

( ) Não escolarizado

( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª serie/1ª ao 5ª ano)

( ) Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª serie/ 6ª ao 9ª ano)

( ) Ensino Fundamental Completo

( ) Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)

( ) Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)

( ) Ensino Superior (bacharelato, licenciatura ou tecnólogo)

5. Seu responsável trabalha? ( ) Não ( ) Sim

6. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Não ( ) Sim ( ) Às vezes

7. Você estudou o ensino fundamental em que tipo de escola:

( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?__________

8. A escola onde você estuda atualmente fica no bairro onde você mora?

( ) Não ( ) Sim

Prezado(a) aluno(a) Neste momento estamos realizando um estudo que busca conhecer os dados escolares e profissionais seus e de seus pais, e conhecer sua avaliação sobre seus estudos e sobre o seu aprendizado em Matemática, para tanto necessitamos de sua participação respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

309

9. Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Cursinho pré-

vestibular ( ) Outro. Qual___________

10. Você pratica algum esporte regularmente? ( ) Não ( ) Sim. Qual____________

11. Você já ficou em dependência?

( ) Não ( ) Sim. Em que disciplina? Em que série?___________________

12. Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito

13. Você tem dificuldade para aprender matemática?

( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito

14. Você se distrai nas aulas de matemática?

( ) Não, eu sempre presto atenção.

( ) Sim, eu não consigo prestar atenção

( ) Às vezes, quando a aula está chata.

15. Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?

( ) Só no período de prova.

( ) Só na véspera da prova.

( ) Só nos fins de semana.

( ) Todo dia.

( ) Alguns dias da semana. Quantos? _____________

( ) Não costumo estudar fora do horário de aula.

16. Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém

( ) Outros. Quem? _____________

17. Você usa ou vê/percebe os conteúdos de matemática que você aprende na

escola em atividades/situações do dia a dia? ( ) Não ( ) Sim

310

APÊNDICE D – Folha de Gráficos A

Gráfico 1 Gráfico 2

2( ) 2f x x

2( ) 2f x x


2( ) 2 8f x x x

2( ) 4f x x x


2( ) 16f x x

2( ) 1f x x

311


2( ) 2 3f x x x

2( ) 2 2f x x x


2( ) 2 4 2f x x x

2( ) 6 9f x x x


2( ) 4 8f x x x

2( ) 2 3f x x x

312

APÊNDICE E - Ficha de avaliação das aulas

Ensino da função afim:___________________________, em: ___/___/____ Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado: ______________________

Ensino da função quadrática:_______________________, em ___/___/____ Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado:___________________________

313

Universidade do Estado do Pará

Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado

Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

66113-200 Belém-PA

www.uepa.br

http://www.uepa.br/

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