SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-UsP

Data de Depósito: 29.05.2000

Assinatura: —íiçaikKet

Critérios Abstratos de Comparação e Aplicações*

Monica Regina Gaiotto

Orientador: Prof Dr. Alexandre No/asco de Carvalho

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas c de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Ciências — Área: Matemática.

USP — São Carlos Maio de 2000

* Trabalho realizado com o apoio da FAPESP

Louvem a Deus no seu templo,

louvem a ele no seu poderoso firmamento!

Louvem a Deus por suas façanhas,

louvem a ele por sua imensa grandeza!

Louvem a Deus tocando trombetas,

louvem a ele com cítara e harpa!

Louvem a Deus com dança e tambor,

louvem a ele com cordas e flauta!

Louvem a Deus com címbalos sonoros,

louvem a ele com címbalos vibrantes!

Todo o ser que respira louve a Javé!

Salmo 150

Aos meus pais

Dorival e Nadir

Agradecimentos'

Agradeço acima de tudo a Deus que esteve e está presente em todos os

momentos de minha vida.

Agradeço ao Alexandre pela dedicação, disponibilidade e sobretudo pela

paciência em me orientar, aos amigos do ICMC-USP, especialmente à Maria

Alice pelo apoio constante, ao Fernando pelo incentivo e ao Sadao pela ajuda

em dúvidas de digitação, aos professores do departamento que de alguma

forma tive contato e aos professores da UNESP-Rio Claro, principalmente à

Rosa e à Nativi pela orientação e apoio nos meus estudos.

Agradeço ainda aos meus pais pelas oportunidades de estudo que me

proporcionaram e aos meus irmãos Charles e Robson pelo apoio e incentivo

que me deram.

Agradeço também a escola "E.E.P.S.G. Pedro Raphael da Rocha," onde

os meus estudos tiveram início.

'Este trabalho teve suporte financeiro da FAPESP

Abstract

In this work, we develop abstract comparison methods for semilinear

differential equations in Banach spaces and apply them to heat equations

and systems of ordinary differential equations.

Resumo

Neste trabalho desenvolvemos métodos abstratos de comparação para

equações diferenciais semilineares em espaços de Banach e aplicamos estes

resultados à equação do calor e aos sistemas de equações diferenciais or-

dinárias.

índice

1 Preliminares 3

1.1 Semigrupos 3

1.2 O Teorema de Hille-Yosida e o Teorema de Lumer-Phillips 5

1.3 Transformada Inversa de Laplace 10

1.4 Operadores Setoriais e Analiticidade 12

1.5 Potências Fracionárias 15

1.6 Problema de Cauchy não homogêneo 30

1.7 O Problema de Cauchy Semilinear - Caso Hiperbólico 34

1.8 O Problema de Cauchy Semilinear - Caso Parabólico 39

1.9 O Espaço de Sobolev W1'P 47

1.10 Existência e Unicidade de Solução Para Problemas de Contorno 50

2 Positividade e Critérios de Comparação Abstratos 55

2.1 Espaços de Banach Ordenados e Positividade 55

2.2 A Equação Linear 59

2.3 Alguns Operadores com Resolvente Positivo 63

2.4 A Equação Não Linear 65

2.4.1 O caso hiperbólico 66

2.4.2 O caso parabólico 69

2.5 Sub-soluções e Super-soluções 70

3 Aplicações 73

3.1 A equação do calor semilinear 73

3.2 Um exemplo em dimensão finita 77

Introdução

Este trabalho tem por objetivo o estudo de métodos de comparação abstratos para

equações diferenciais semilineares em espaços de Banach, afim de encontrar condições

suficientes para que soluções de tais problemas possam ser comparadas.

Para um espaço de Hilbert H e um operador A: D(A) c H —> H tal que as seguintes

hipóteses estão satisfeitas:

1) A é um operador auto-adjunto e positivo;

2) (A + a)-11/ c H;

3) Para cada ti E H podemos definir lul E HnC e esta relação satisfaz: Um elemento

u E H está em C se e somente se u = H e Ilull = IIlul II;

4) (14v) > I (u, v)I , Vu E H, Vv E C,

mostramos que:

Se u E D(A1) implica lul E D(A) e

(MI/44u') (Alu,At'u).

então (A + a)l é crescente para todo a > 0.

Tal método foi aplicado ao seguinte problema de valor inicial e de fronteira:

ut (t, x) = un(t, - u(t, + fi(u)(t, 0< x < 1, t >0

u(0, x) = u(1, x) = 0,

u(0, x) = ui(x) i = O, 1.

onde fi : IR —> IR, i .= 0,1 é diferenciável com derivada localmente limitada.

1

Ele foi aplicado também ao sistema de equação diferencial ordinária:

{ S(t) = Ax(t)+

x(0) -= ;> O

onde A é a matriz n x n dada por:

f i—lo O

—1 2 —1

O —1 2 O

—1

\ • O —1 1

Com isso, concluímos que se os valores iniciais podem ser comparados, as soluções

correspondentes também o são. O mesmo resultado ocorre quando as funções f:s podem

ser comparadas.

Para obter os resultados descritos acima, este trabalho foi organizado da seguinte for-

ma:

Capítulo 1: Neste capítulo apresentamos os resultados da teoria de semigrupos necessários

ao desenvolvimento do problema proposto. Mostramos também a existência e a unicidade

de solução para problemas de contorno em espaços de Sobolev.

Capítulo 2: Desenvolvemos métodos de comparação em espaços de Banach para aplicar-

mos nos problemas propostos.

Capítulo 3: Para concluir fizemos aplicações dos métodos de comparação à equação do

calor e à sistemas de equações diferenciais ordinárias.

2

Capítulo 1

Preliminares

1.1 S emigrup os

Este capítulo tem por objetivo apresentar os resultados da teoria de semigrupos

necessários ao desenvolvimento do problema proposto. A exposição feita abaixo tem

como referência [8, 7, 1].

Consideraremos E0 sempre como um espaço de Banach sobre um corpo 11( (E = IR ou

C), a menos que se diga o contrário. E denotaremos por L(E0, F0) o espaço dos operadores

T: E0 Fo lineares e contínuos, munido da norma usual; isto é, para T E L(E0, Fo),

IITIIL(E0,F0) — sup <EB° 11811E0 600

Seja E; o dual topológico de E0; isto é, E; = L(E0, 1K), com a norma usual • lin

(11 e* 11 Et = sup{Re(e*, : Hl& < 1}), onde se e E Et e e E E0, denotamos por (e*, e) o valor de e em e. Denotaremos L(E0, E0) apenas por L(E0).

Definição 1.1.1. Um semigrupo de operadores lineares em E0 é uma família {T(t) :

t > O} c L(E0) satisfazendo

IlTellF0

(i) T(0) = 'E0,

3

(li) T(t + s) = T(t)T(s), para todo t,s > O.

Um semigrupo é uniformemente contínuo se

lim IIT(t) — 40 111(E0) = O.

E ainda dizemos que o semigrupo é fortemente contínuo se para todo e E E0, temos:

um IIT(t)e — ellE0 = O.

Neste caso caso chamaremos o semigrupo de C0-semigrupo.

Definição 1.1.2. Se {T(t),t > O} C L(E0) é um Co-semigrupo, seu gerador infinite-

simal é o operador definido por A: D(A) C El) —> Eci, onde

T(t)e — e T(t)e — e

D(A) = {e E E° : hm existe?, Ae = um

t-,o+ t t-w+ t

O teorema a seguir mostra que todo semigrupo fortemente contínuo possui uma limi-

tação exponencial.

Teorema 1.1.1. Suponha que {T(t),t > O} C L(E0) é um C0- semigrupo então existem

M>lefie IR tais que

IIT(t)IIL(E0) < Me, Vi > O.

Quando podemos tomar M = 1 e /3 = O no teorema anterior, isto é, se

IIT(t)II S 1, Vt > O,

dizemos que T(t) é um C0-semigrupo de contrações.

O resultado a seguir dá uma caracterização dos semigrupos uniformemente contínuos

de operadores através de seus geradores.

Teorema 1.1.2. Dado um Ccrsemigrupo {T(t), t > O} C L(E0), as seguintes afirmativas

são equivalentes:

(i) O semigrupo é uniformemente contínuo,

(ii) O seu gerador infinitesimal está definido em todo 4,

(iii Para algum A em 1(.E0), T(t) = et A

4

O teorema abaixo estabelece alguns resultados importantes da teoria de semigrupos

fortemente contínuos.

Antes de enunciarmos tal teorema, precisamos lembrar que o conjunto resolvente p(A)

de um operador linear A é o conjunto dos números complexos A tais que AI—A é invertível.

Chamaremos invertível uma aplicação que é injetora, sua imagem é densa no contra-

domínio e sua inversa é limitada. O complementar de p(A) em C é denominado espectro

de A e é denotado por a(A).

Teorema 1.1.3. Seja {T(t),t > O} C L(E0) um Co-semigrupo e A o seu gerador in-

finitesimal.

1. A é densamente definido e fechado. Para e E D(A), t T(t)e é continuamente

diferenciável e

= AT (t)e = T(t)Ae, t> O.

2. n,„>iD(Am) é denso em E0.

3. Para ReA > )3 e )3 dado no Teorema 1.1.1, À está no resolvente p(A) de A e

(A — A)-1 e = fre-AtT(t)edt, Ve E Eb.

Teorema 1.1.4. Sejam {T(t),t > O} e {S(t),t > O} semigrupos fortemente contínuos

cujos geradores são respectivamente A e B. Se A = B então T(t) = S(t), t > O.

1.2 O Teorema de Hille-Yosida e o Teorema de Lumer-

Phillips

Os teoremas desta seção caracterizam os geradores de semigrupos fortemente contínuos

de operadores lineares.

Teorema 1.2.1 (Hille-Yosida). Suponha que A : D(A) C E0 —> E0 é um operador

linear. Então os fatos seguintes são equivalentes:

5

(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo {T(t),t > O} c

L(E0) tal que

IIT(011L(E0) vt > O;

(ii) A é um operador linear fechado, densamente definido cujo conjunto resolvente contém

(to,co) e 1

II (À — A)-111L(E.) _ to, VÃ> to.

Ambas as condições (i) e (ii) dependem da escolha da norma em .E0. Daremos uma

formulação independente da norma, mas na prática devemos usualmente procurar normas

especiais para a qual este teorema se aplica.

Lema 1.2.1. Suponha que A é um operador linear cujo conjunto resolvente contém (O, oo)

e que satisfaz

(À — A) nilL(E0) MÀ—n, 71 > 1, A > O.

Então existe uma norma • IE. em E0 tal que

kik° 161E0 MiiellEo, Ve E Eo

e

I (À — A)-161E. A-1 ielEo, de E Eo, À> O.

Teorema 1.2.2 (Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida). Suponha que A :

D(A) c E0 E0 seja um operador linear. As seguintes afirmativas são equivalentes:

(O A é o gerador de um C0-semigrupo {T(t),t > O} C L(E0) tal que

IIT(t)11L(E0) < Ates', vt > o;

(ii) A é fechado, D(A) = E0, p(A) D (8,00) e

(À — 114E0) M(À — VÃ> fi, ri = 1, 2, • • • .

6

Definição 1.2.1. Um operador linear A : D(A) C E0 —> E0 é dissipativo se para cada

e E D(A) existe e E J(e)- tal que Re (e, Ae) < O, onde J : E0 —> 2A5 é uma função

multívoca, chamada aplicação dualidade, definida por

J(e) = {e E EP : Re(e*, = iieli 2E0 Iles = 116114}.

J(e) 0, pelo Teorema de Hahn-Banach.

Lema 1.2.2. Suponha que A é um operador linear. A é dissipativo se e somente se

11(À — A)ellEc, > 46114 (1.1)

para todo e E D(A) e A > O.

Teorema 1.2.3 (Lumer-Phillips). Seja A um operador linear sobre E0 tal que D(A) =

E.

(i) Se A é o gerador de um Co-semigrupo de contrações, então A é dissipativo (ou

podemos concluir mais ainda, Re (e, Ae) < O para todo e* E J(e)) e R(A— A) = E0

para todo A > O,

(ii) Se A é dissipativo e existe um Ào > O tal que R()o — A) = Eo, então A é o gerador

de um Co-semi grupo de contrações.

Note que se A : D(A) C E0 —> E0 é um operador linear tal que D(A) = E0, o adjunto

de A é o operador

A* : D(As) C EÉ, E,;

dado por: D(A*) é o conjunto dos es E A; tais que existe f* En com

(e* , Ae) = (f* , e), Ve E D(A).

Para e* E D(As) escrevemos Ases = f* .

E ainda se E0 é um espaço de Banach complexo e A é um operador linear. Chamamos

de imagem numérica W(A) do operador A o conjunto

W (A) := {(e* Ae) : e E D(A), e* e n, IeIiEo = lIelIE = 1, (e*, e) = 1}. (1.2)

7

Teorema 1.2.4. Suponha que A: D(A) c E0 E0 é um operador linear fechado tal que

D(A) = Eo. Seja W(A) a imagem numérica de A e E um subconjunto aberto e conexo

em C\W(A). Se A 0$ W(A) então A — A é injetor, tem imagem fechada e satisfaz

II (À — A)elli,(E0) ?_ d(À, w(A))IIellEr (1.3)

Além disso, se p(A) n E 0 então p(A) j E e

1 (À — Ari ii L(Eo) W(A))'

VA E E (1.4)

onde d(A, W(A)) é a distância de A a W(A).

Definição 1.2.2. Seja H um espaço de Hilbert com produto interno (•,.). Um operador

A: D(A) cH—>I1 é simétrico se D(A) =H e Ac As; isto é, (Ae, f) = (e, Af) para

todo e, f E D(A). A é auto-adjunto se A = A. .

Exemplo 1.2.1. Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) c H —> H um operador auto-

adjunto. Segue que A é fechado e D(A) = H. Suponha que A seja limitado superiormente;

isto é, que exista uma constante a E IR tal que (Au, u) < a(u,u). Então C\(—co, a] c

p(A), e existe uma constante M > 1 dependendo somente de cio tal que

IRA A)-111L(E0) 5 lAm_ ai,

para todo A E Ea = {A E C : arg(À — a) < cp}, cp <ir. Segue que A é o gerador de um

Co-semigrupo {T(t): t > O} satisfazendo

IIT(t)IlLw) eat•

Na verdade {T(t) : t > O} é um semigrupo analítico como mostraremos posteriormente.

Teorema 1.2.5. Seja {T(t) : t > O} um Co-semigrupo em Eo. Suponha que

A(h)e = T(h)e — e

h

então para todo e E E0 temos

T(t)e = um em(h)e (1.5)

e o limite é uniforme em t em qualquer intervalo limitado de IR.

8

Teorema 1.2.6. Seja A o gerador de um Co-semigrupo {T(t) : t > O} em Eo. Então

T (t)e = lim- -tAyn

e = um [-n (-n - A) e, Ve E .E0

n-4co n n-4°') t t

e os limites são uniformes para t em intervalos limitados de IR.

1.3 Transformada Inversa de Laplace

Sabemos que o resolvente do gerador de um Co-semigrupo é a transformada de Laplace

do semigrupo, pois no Teorema 1.1.3, (3), vimos que

(À - A)-1 = f: e-AtT(t)dt,

se ReA é grande. Isto sugere a transformada inversa de Laplace para encontrar T(t), dado

A. No que se segue perseguiremos este objetivo.

Lema 1.3.1.

(00 . t dt 7r " (ii) Se f : -“C é ta/ que f (t)1(1+ VI) é integrável em IR t e f (t) f(0)

dt < «,

então reo

f (t)sinNt

dt f (0) quando N +00. J 7rt

Teorema 1.3.1. Seja A o gerador de um Co-semigrupo {T(t),t > O} C L(E0) satisfazen-

do IIT(t)M L(Eo) < Mefit e assuma que 7 > max{0, )3}. Temos que para qualquer e E D(A2)

e t > O

71 riN k T (t)e = lim — ent(À _ A) ie dA,

N-K:0 27ri 7-iN

onde a integral é ao longo do segmento de reta com ReA = 7. O limite é uniforme em

intervalos da forma E < t < 11e, qualquer e > O.

9

(e*, T(t + /-)e)e-7T, T > -t {

f (7) =

, T < -t

Prova: Pele Teorema 1.1.3, (3) e pelo Teorema de Hille-Yosida, temos que para ReA =

-y > fi, (A - A)-'. existe e é uniformemente limitada ( pois II(A - (7Ms) ). Se

e E D(A2)

(A _ Ayie _ A-2Ae+ A-2(A AyiA2e

então

1 r+iN 1 eAt „ riN 1 f7+iN eAt [Ae+(A-A)-1A2e]dA eAt (A - Arle cIA =

2/ri J-y-iN

Mas,

(— em)

2/ri 7-iN A 7-iN A"

e

Ilem[Ae

r+iN eAt dA

+ (A - A) lA2e111

+ M

11A2e11)

fN

- N

leAti(liAell +IRA

+

- 5

1024) = cte

IdOl

7 - fi

eer+iolt dO

7 - fi

N idOi <

f-N EN (7 + i0) tey+i0)2 1(-y + is9)21

Com isso, concluímos que ambos os termos convergem uniformemente em E < t < lie

quando N eo, o primeiro por integração por partes e o segundo porque o integrando

tem norma menor ou igual a cte 11Al2 então converge absolutamente, conforme foi visto

acima. Só resta mostrar que o limite é T(t)e.

Agora para ReA = 00

(A - Arle= o e-AsT(s)eds,

então

eAf(A - A)-le dA = 2/ri -y-iN

1 1.7±iN eMt-s)dA} 11(8)6 dS .10 121ri j7-iN

N(t 1 = fo (t - s)

' e7(t-s)T(s)e ds

ccsinNTe-1171(t + /-)edT. 11-T f -t

Consideremos a seguinte função

10

Verifiquemos que f satisfaz as condições do lema para qualquer e* E Ei; e t > O. Através

da definição de diferenciabildade, é fácil mostrar que f é diferenciável em T = O e que

f' (0) = (e, T(t)(A - 7)e). Como f é diferenciável em [-1,1], então pelo teorema do valor

médio 3c E (-1,1) tal que

fif f (0) 1 ch- =

I ri f fi(c)c/7- = 2 fi (c)

E para concluir as condições do lema temos usando a linearidade de e* e a limitação

exponencial que /CIL1 é integrável em IR. 14-17

Logo temos que

00 sin e-r-T(t + 7-)e dr) =

, emp, _ A.)-1 e dA) = (e, 27r i

f- t 7fT

quando N co pelo Lema, parte ii).

Como a convergência acima vale para todo e* E Elj, então temos que:

1 riN eAt(A - A) le clA -4 T(t)e

27ri

na topologia fraca, quando N co. Mas provamos no início que tal integral converge

fortemente e como o limite fraco é único, segue que

1 f -Y-FiN eAt ( - A) c/A -* T(t)e

1.4 Operadores Setoriais e Analiticidade

Se A é o gerador infinitesimal de um Crsemigrupo tal que

E = {À E C: I arg AI <} c p(A)

para algum E (7r/2, 7r) e

C ii(A - A)1 ilL(E0) 7,T, A C E

dizemos que -A é setorial.

00 sin ATI" (e* ,T(t + 7-)e) e-1T dr -4 f (0) = (e* ,T(t) e)

27ri 7-rN

uniformemente para e < t < 1/e, qualquer e > O. o

11

Definição 1.4.1. Seja A = {z E C: 01. < arg(z) < 02, 01. <O < 02} e para z E A seja

T(z) um operador linear limitado. A família T(z); zEA é um semigrupo analítico

em A se

(1) z T(z) é analítica em A,

(ii) T(0) = 1 e T(z)e -4 e quando z O, z E A, para todo e E .80,

(iii) T(.zi + z2) = T(zi)T(z2), z1, z2 E A.

Um semigrupo T(t) é analítico se é analítico em algum setor A, com [O, cio) c A.

Teorema 1.4.1. Seja A um operador tal que D(A) = E0 e —A é setorial. Então o

semigrupo gerado por A é analítico.

Teorema 1.4.2. Suponha que A : D(A) C Eo E0 seja um operador tal que D(A) =

E0 e —A é setorial; isto é, existem constantes a,C e cd2 E (r/2,71, E = {À E C :

1 arg (À — a)1 < w} está no conjunto resolvente de A e

— iit,(E.) C/1À — ai em E.

Então A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo {T(t), t > O} C L(Eo),

1 T(t) = Ira e\ (À — A)-14À

onde ra é a fronteira de Ea\{À E C: 1À — ai < r}, r pequeno, orientada com o sentido

da parte imaginária crescente. Para algum K > O

iint)ii 4E0) Keat, IIAT(t)ilL(Eo) 5_ K t-1 at

para todo t > O. Temos também que

-T(t) = AT (t)

é um operador limitado para qualquer t > O.

12

Prova: Notemos que basta fazer o caso a = O, pois se A é o gerador de

T(t) = —1 aAt(A - 44)-1 d.\

2/ri ro

então tome A •-= a + p, temos

e-atT(t) = 27ri fra ew-cot(A _ 44)-idA 1 /'

27ri iro a))-14.

e II(A - 11)-11IL(E0) 5 C/IA - ai implica que II(p, - (A - a)-1114E0) C/Ipl.

Provaremos inicialmente que IIT(t)IIL(E0) e tlIA(T(t)IIL(E0) são limitados para t > O.

Fazendo uma mudança de variáveis it = At temos:

T(t) = 1. (µ Ar1 clp

2/ri iro t •

Logo

1 IIT(t)IlL(E0) 5 Fr iro eRe"

Iam < 1 e C idpi

t L(E,o) 27r Jro t = K < co

uniformemente para t > O. Da mesma forma, temos que:

eAtil(A - A)-'d.\ Lin ro _rri

1 rext[-I _

o

= _ extdA trlif epm._ Ayldit ro ro

o primeiro termo é zero e o segundo é estimado da seguinte forma

1, - „,

27rt ir

j" e- 4 _ /i _ Ayido4E0)

i < erteividiti = Kit-1 <ao. „

27rz 1-0 t t

Logo a integral converge. Mostraremos agora que

eAtil(A - A)-1c/A = AT(t) ro

Para isso, observe que A é um operador fechado, pois (A - A)-1 E L(E0) para A E Eo.

Como a integral que define T(t) é um limite de somas de Riemann, isto é,

T(t)e = limmax164 Ekr irlieÀkt(Ak A)le ai Ak

/\k E F0, segue que

AT(t)e = limnia,(1641-,o exkt A(Ak _ A)-ie AAk= 1 2--,/ ext)1(A - A)-1e dA. ro

13

Temos também que AT (t)e = T (t)Ae para todo e E D(A).

Pela analiticidade e convergência uniforme para cada t> 0,

1 —dT (t) = f eAtÀ(À — ArldÀ,

dt 27ri ro

que é AT (t) como mostrado acima. Com isso, concluímos que:

IIAT(t)111,(&)

Seja e E D(A), t > 0 e

clA t — e +

_ — A)

t t dp

T(t)e = (-1 f eAt —) 27ri ro

f 27ri ro

logo

dp IIT (t)e — 4E° —

t f= 0(t)

27r ro

quando t —> O+ . Como IIT(t)IIL(E0) é limitado quando t —> 0, T(t)e —> e quando t —> O+

para todo e E Et). Finalmente, para O < s < t a aplicação s T(t — s)T(s)e é contínua

e é diferenciável (analítica) para O < s < t, com

— s)T(s)e) = — AT (t — s)T(s)e + T(t — s)AT (s)e = O

Então T(t — s)T(s)e = c : cte, Ve E Ec, e O < s < t; em particular

T(t — s)T(s)e = T(t — 0)T(0)e,

ou seja,

T(t — s)T(s)e = T(t)e, O < s < t,Ve E Eci

Esta é justamente a propriedade de semigrupo: T(t — s)T (s) = T(t — s + s) = T(t). E

portanto, a prova de que T(t) é um semigrupo fortemente contínuo está completa. Para

completar a prova do teorema, devemos mostrar que A é seu gerador. Mas T(t)e — e = fot

T(s)Ae da, quando t> O, e E D(A), então (T(t)e — e) Ae quando t —> O+ e A está

contido no gerador. A é de fato o gerador pois 1 está no resolvente de A e do gerador.0

14

1.5 Potências Fracionárias

Lema 1.5.1. (Série de Neumann) Seja T E L(X) com PI < 1, então a série =o 7"

é absolutamente convergente e

00

(I —T)-1 =ET". (1.6) n O

Além disso,

11(.1. — T)' II _5_ (1— IIT11)-1. (1.7)

Definição 1.5.1. Seja E um espaço de Banach. Um operador linear A em E é dito de

tipo positivo com constante K (veja [1]), K > 1 se é fechado, D(A) = E, IR + C

p(—A) e

(1+ s)11(s + ArliiL(E) K, s E IR+. (1.8)

Pelo restante desta seção assumimos que A é um operador de tipo positivo com con-

stante K e denotaremos A E PK (E).

Dado s E re e AEC satisfazendo

Pt — si 5 + s)/(2K),

segue de À + A = (s+A)(1+ (À — s)(s A)-1) que À E p(—A), pois os operadores (s + A)

e (1 + (À — s)(s + A)-1) possuem inversa limitada. O primeiro se deve ao fato de que

$ E p(—A) e o segundo usa-se Série de Neumann. E ainda temos que:

IÇA + Ar' IlL(E) I1[1 + (À — s)(s + Ar11-1 IlL(E)11 Cs + Ari iii.(E) 2K(1 +

2K 1+s+1A—si < 2K (1+,4\ 2K +Al. --'11- 1-\ 1+8 1+IÀI J 1 + I I

Observando a Figura 1.1, concluímos que

s/(2k) 1 sin (0) =

$ 2k

e

{z E C: I arg zi arcsin 1/(2K)} + {z E C: izi 1/(2K)} C p(—A)

15

Figura 1.1:

Temos também que:

(1 + 1A1)11(A + A)-1 111,(E) < 2K + 1, A E EK. (1.9)

Seja W o conjunto das funções holomorfas (19 : CV-lIt+) -r C tal que existe 5 >

(dependendo de (p) com

I A iáço(A) -+0 quando jI -r oo, (1.10)

uniformemente em {A E C : arg AI < ir - e} para cada e E (0,7r). Temos que W

é uma álgebra comutativa sem unidade relativamente a multiplicação ponto a ponto,

pois se 3p E tal que P(A)(,o(A) = ço(A) Vço E e VA E C\(-1R), teríamos que

p(A) = 1 = 1 + 0i, e então Võ >

lim IA180(A) = oo ptl—,co

e portanto P não está em W. Seja (19 E W, fazemos

1 r (p(A):= f —t y9(-f ( + ArldA = 27riry9(A)(A - AridA,

27ri r

onde F é qualquer curva simples em EK \lIt+ suave por partes indo de ooe'w até ooeiv

para algum v E (O, arcsin1/(2K)]. Segue de (1.9), (1.10) e (411) e do Teorema de Cauchy

que (19(A) é bem definido em L(E) e independente da escolha de r. Para mostrarmos que (19(A) está bem definida, devemos mostrar que a integral converge. Como (19 E W, temos

que 3M > O tal que E

VE > ly(À)1 <IÀ16

para IAI > M

(1.11)

16

E então, se = {À E : IÀI > M} temos:

imW(-À)(À + Arca 5_ f A)-11114 rm

< 1. e 2K + 1 IdAl e(2K +1) .1

km i),16 1 + rm Pki6+

A última integral converge, portanto segue que w(A) está bem definida.

Lema 1.5.2. A transformação els L(E), w w(A) é um homomorfismo de álgebras.

Dado z E C, faça

w (À ) := Az = eZIogÀ À eis\ (-ie),

está unicamente determinado, lembrando que log(z) é o ramo principal do logaritmo.

Temos que wz E .1) para Rez < O; de fato pois se À = lAleiarg(A) com I arg(À)I < 7r, então

log(À) = log(lÀ1)+iarg(À). Logo lAzi eRe(z)log(P4)—Im(z) arg(A). Com isso, temos que existe

õ = > O tal que

lim IÀ160(À) = lim er 21-11L Im(z)arg(A) = O. I AHoo lAHco

Se k = 1,2,3, • - • então w_k é holomorfa em C\ {O} e podemos deformar para o circulo

de raio r centrado em O orientado positivamente, onde O < r < 1/jIA-111L(E). Usando

série de Neumann, temos que

(À - A)-1 = -A-1(1 - AA-1)-1 = - = r, J.o

segue que

c,9_k(A) = fixi_rA-k(À - A)-1d = -Res(À-k(À - A)-1, 0) = A-k. (1.12) 2irz

Isto justifica a seguinte definição de potências fracionárias de A:

Az :=

w(A), Rez < O.

Se O < Rez < 1, podemos deformar sobre M.±. Logo

A-2 —1 ri° ( À) (À ± A)-1c1À+ fo+io (-À)-z (À + A)-1dÀ rri co-io

e /Do _z

-27" s (s + A)-lds + /WS-Z(3 A) l dS,

-ri o o

17

fom 3'(1 + s)-Ids - sinirz, O <Rez <1.

ir

isto é

A' = sinirzf cc

3_,(S 4- A) lds, O < Rez cl.

71- O

Aplicando a fórmula (1.21) ao caso E := C e A := 1, em particular, segue que

(1.13)

Portanto deduzimos do fato que A E P4E) e da igualdade acima que

Ii 11A-2IIL(E) K

l sin irz fecs-R" (1 + s)

sinirz ir o

-Ids = K sinirRez

(1.14)

para O < Rez < 1. Agora não é difícil provar o seguinte resultado de continuidade:

Teorema 1.5.1. {212; Rez < O} U {A° r- /E} é um semigrupo fortemente contínuo e

holomorfo sobre E.

Prova: É uma consequência simples do teorema da derivação sob o sinal de integração

que a aplicação z Az é holomorfa em {z E C : Rez < 0}. Temos do Lema 1.5.2, que

para z1, z2 E C com Re(zi) < O e Re(z2) < O,

Az1"2 =wzi+z,(A) _ 1 ,„ — Triz fr (-À)(À + A)-161A

= 12:rri (_À)Z1-1-z2 À) (À ± A)ldÀ

= 23-afr(-À)zi(--À)22(--À)(À ±A) ldÀ

1 = 2-rn frcPzi(-À)Wz2(-À)(À + A)-1dÀ = sozlsoz2(A)

= 99,1(A)c,oz2(A) = A21 A22.

Resta mostrar que é fortemente contínuo em z = O.

Note que,

(s + A)-1 - (1 + s)-1 D + Ar1(1— (s + A)(1 + s)-1) = (1 + s)-I(s + A)-1(1 - A)

18

para s > O. Portanto, dado e E D(A) e z com O < Rez < 1, segue de (1.21) e de (1.14)

que

44-ze — e = sin Irz sin Irz fc°8-z (S A)-le s-z(1 + s)-leds .1 Ir j ir o o

sin7r 7rz f z'zi=v_s-z (s + A)-1(1 — A)eds.

o s

Consequentemente,

dr° S—Ftez IIA-z e — COE 5 K

1 sin Lz111(1 A)ellE f (1 ± 8)2 ds, O < Rez < 1.

7r

Como a integral converge para 1 quando Rez O, vemos que A' z e —r e,quando z —r O em

{z E C : larg z< a} para cada a e (0,7r/2). Desde que A' é uniformemente limitado

para z E {z E C : I arg zi < a} n {z E C : O < Rez < 1} para cada a E (0,7r/2), graças a

(1.14), N converge para 1E na topologia forte quando z —r O em {z E (2: arg zi > 7r/2+4

para cada E E (0,7r/2). Isto prova o teoremaci

Já definimos Az, quando Rez < O. Agora mostraremos que N é injetiva, para podermos

definir as potências fracionárias para Rez > O.

Suponha que Ne = O para algum eEEezEC com Rez < O. Pelo Teorema 1.5.1,

segue que Az+we = &Aze = O para Reto < O. Portanto Awe = O para Reto < Rez. Em

particular, A-ke = O para k = 0,1,2, • • • com k > —Rez. Consequentemente, e = O. Isto

mostra que N é injetiva para Rez < O. Portanto podemos definir as potências fracionárias

para Rez > O por

Az := (A-z)-1, Rez > O. (1.15)

Claro que, N E C(E).

Teorema 1.5.2.

(i) Para z, w E C com O <Rez < Reto e e E D(Aw),temos que,D(Al c D(Az).

(ii) D(Az) = E, Rez > O.

Prova: (i) Dados z, w E C com O < Rez < Reto e e E D(Aw), segue de

e= A'Awe =

19

que e E D(Az), isto é,

D(Aw) C D(Az), O < Rez < Rew. (1.16)

(ii) Dado e E D(A), faça f := Ae. Como D(A) é denso em E, podemos encontrar para

cada c > O um elemento ti E D(A) tal que liu — filE < e/HA-1114E). Portanto, fazendo

v := Au,

IIA 2V — ellE = .f PIE S f IIE S E.

Isto mostra que D(A2) D D(A). Portanto D(A2) D D(A) = E o que garante que D(A2)

é denso em E. Por indução vemos que D(Ak) é denso em E para k = 1,2,3,• • •. De

fato, suponha que D(Ak) = E. Sabemos que D(A2) = E e D(A 1) C D(Ak). Portanto

D(Ak+1) = E. Agora provaremos que D(Az) = E, Rez > 0. Dado z E (C com Rez > 0,

existe k > 1 tal que O < Rez < k. E pelo Teorema 1.5.2 (i), D(Ak) C D(Az). Portanto

segue que

D(Az) = E, Rez > 0, (1.17)

com isso concluímos a demonstração. o

Teorema 1.5.3. Para z, tu E C com Rez, Rew, Re(z + w) O,

AzAwe = Az+we, e E D(A"), (1.18)

onde ti E {z, w, z w} com Reu = max{Rez, Rew, Re(z + w)}.

Prova: Suponha que Rez > O e Rew > O. Dado

e E D(Ai) C D(Aw) n D(Az),

faça f := e. Então e = A-(z+w) f = tz f implica Avie = A' f o que, por sua

vez; mostra que f = Azre; isto é,

flz+we = Azilwe = AAZe, e E D(Az+w).

Se Rez > Rew >0eeE D(A") então

A'Awe = A-(z-w)A-wire = /1-(z-w)e = Aw-ze.

20

Adicionalmente, se e E D(AZ) então, graças a identidade acima,

t" Aze = t" " Az-we = Az-me.

Com isso concluímos que, dados z,w E C com Rez,Rew,Re(z + w) O,

Az Awe = A' e, e E D(A"), (1.19)

onde ti E {z, w, z w} com Reu = max{Rez,Rew,Re(z + w)}.

Considere a seguinte extensão de (1.21). Como usual o produto vazio é definido corno

sendo 1.

Proposição 1.5.1. Suponha que m = 0, 1, 2, • • •. Temos que

A_z sin irz m! 07 s'(s + Arlds (1.20)

Ti (1 — z) (2 - z) • • • (m - z) fo

para 0 < Rez < m + 1.

Prova: Suponha que z satisfaz O < Rez < 1. Por (1.21) temos que:

A' = sin irzf

s_z (s + A)-lds, O < Rez < 1.

7T O

Usando integração por partes na equação acima temos:

(1.21)

A-z _ sin rrz - z)

1-(81-z (8 ± Aric-1- f° ir-z(8 Ar2d81 rr(1

00

Siri ITZ fc°81-z (8 ± A) 2d.5. 71•0Y O

Portanto (1.20) é válido para m = 1. Suponhamos que (1.20) é válido para m, com

O < Rez < 1, então temos

A_z sin irz m! 107

Ir (1 - z)(2 - z) • • • (m - z)./o st" z(s + A)_m-lds.

Provemos que vale para m + 1; fazendo a integração por partes da integral hipótese

indutiva, temos que:

+1 c° fo .s"—(3-

f ni4 z(s + A)-m-lds = 00 m 1-z(.5 A)-m+1-1ds.

17/ + 1 - zio

21

Logo temos que:

sin 7rz (m + 1)! co A' = sm-Fi-z (8 ±

7r (m- 1) • • • (m - z) (m + 1 - z) Á

Portanto a igualdade (1.20) vale para todo m = 0,1, 2, ..., com 0 < Rez < 1. Por (1.8)

temos que a integral em (1.20) converge absolutamente para O < Rez < m + 1. De fato,

S

TIL-2 (s 24)-Trt-Idsi < km+1 CO CO

SM-11"(1 SYM-1 ds < len+1f 01(1+ srlds o

E portanto o lado direito de (1.20) é uma aplicação holomorfa de {z E C : O < Rez <

m + 1} em L(E). Sabemos pelo Teorema 1.5.1 que 24-z é holomorfa para O < Re <1. E

ainda

A-z = sin 7rz m! co s171—Z (s Arrn-1 ds,

7r (1 - z)(2 - z) • • • (rn - z)fo

no intervalo O < Rez < 1, então vale (1.20) .

É uma consequência do Teorema 1.5.1 que {A-t; t > 0} é um semigrupo fortemente

contínuo sobre E. Denotamos o seu gerador infinitesimal por

- log A

o que define o logarítimo de A E P(E). Então a fórmula intuitiva

A-t e-tlogA, t > o,

é válida.

Definição 1.5.2. Um sernigrupo analítico {e-b9;t > 0} é dito de ângulo a, onde O <

a < 7r, se existe urna função holomorfa

T: {z E C: I argzi <a} L(E)

estendendo {e-ta ;t > 0}, tal que T é fortemente contínuo no setor fechado {z E C :

I arg zl a - c} U {O} para cada E E (0,a).

Dessa forma, T é um semig-rupo sobre E e escrevemos e-zB := T(z) para {z E C :

larg zl < a} U {0}. Esta notação é justificada já que ÉT(z) = -BT(z) para z E {z E

C: I argzi <a}.

22

Teorema 1.5.4. Assuma que A E PK(E). Então {A-z;t > 0} é um sernigrupo analítico

de ângulo 7r/2. Adicionalmente,

iittlit(E) 5_ Km, 0 < t Cm, m= O, 1,2, • • • ,

e A-z = e-z iog A para Rez < 0.

Prova: Pelo Teorema 1.5.1 a maior parte deste teorema já foi provado. Resta provar

apenas a limitação. Aplicando a Proposição 1.5.1 a E := C e A := 1 vemos que

71.(1 - t)(2 - t) • • • (m - t) ft')am_t(i+ ar_ids>

rn! sin Irt o

para Oc s<m+1em= O, 1, 2, • • •. Agora a Proposição 1.5.1 e (1.8) implicam

sin 7rt rn! to len+1 7r (1 - t)(2 - t) • • • (rn - t)fo

Km+1

para O <t<rn+1 ern=0,1,2,•••.0

Agora suponha que -1 < Rez < 1. Então pomos

sin Irz j•Do Aze

sz (s + A)-2Ae ds, := rz o

Observe que

e E D(A).

oc Aoe = f (s 4- A)-2ds Ae = -(s + Ari Aer = e, e E D(A).

o

Adicionalmente, se Rez O, segue de (1.21) e de (1.20) que

sin7r(1 - z)

Az e = Az-lAe = ice

s' (s+ A)-2Ae ds = Aze 7I"Z O

para e E D(A). Note que

sin Irz /Do

A-1A, c Bz s' (s + A) 2ds E L(E). := W2' O

(1.22)

(1.23)

(1.24)

Seja (éi) uma sequência em D(A) tal que ei O e Azei f em E. Então graças a (1.24),

Be O e Bzei A-1 f . o que implica que f = 0. Portanto A, é fechável. Motivado

por (1.22) e (1.23) fazemos

A' := fecho de Az, Rez = 0.

Com estas considerações já provamos a maior parte da seguinte afirmativa.

23

1-borema 1.5.5. Suponha que A E Pk(E). Então a potência fracionária Az é; para

cada z E C, um operador linear fechado densamente definido em E. Se Rez < O, então

Az E L(E) e é dado pela integral

Az = 1

r(-A)z (A + ArlirDt,

27ri (1.25)

onde r é qualquer curva simples suave por partes em C\IR± indo de coe-i o a coei* para

algum w, 2P E (0,70 tal que c(-A) fica estritamente a esquerda de F. Adicionalmente,

(i) Az é a potência usual de A se z é inteiro.

Aza. = sinrrz 1'7°9 (s + A)-2 Ae ds, e E D(A), -1 <Rez <1. '" 71-Z o

(iii) Suponha que ou m = 0,1,2, • • •, e E D(Am) e max{Rez, Rew} < rn ou Rez, Rew

e Re(z + w) não são nulos e e E D(Au) onde ti E {z,w,z + w}, satisfaz Reu =

max{Rez, Rew, Re(z + w)}. Então

Az A' e = AH' e.

(iv) Az = 242±' Rez, Ftew > O.

(v) D(Aw) 4 D(N) 4 E, O <Rez <Rew, onde D(Aw) 4 D(Az) 4 E denota uma inclusão contínua e densa de D(A") em D(Az).

(vi) Az E Lis(D(Az+w),D(Aw)) n Lis(D(Az),E), Rez, Rew > O, onde Lis denota um

isomorfismo linear.

(vii) Dada m = 0,1, 2, • • a aplicação

{z E C : Rez < m} L(D(Am), E), z 1-* Az

é holomorfa.

Note que, se -A é o gerador infinitesimal de um Co-semigrupo com decaimento expo-

nencial em E, então A é do tipo positivo. Neste caso, podemos obter outra fórmula de

representação útil para Az com Rez > O.

24

Teorema 1 5 6 Suponha que A é o gerador de um Co-sernigrupo com decaimento expo-

nencial. Então

At 1 = /00 tz-ie-tadt,

F(z) o

Prova: Pela limitação exponencial, temos que

Rez > O.

rtz-le-tAdtil < M rtRez-le-etdt x(E) -

e das propriedades conhecidas da função F segue que a aplicação

{z E C: Rez > 0} L(E), tz- e-„,, dt z *ic° A F(z) o

é holomorfa. E pelo Teorema 1.5.1, temos que Az para Rez < 0 é holomorfo. Portanto é

suficiente provar a igualdade para 0 < z < 1.

Pela Proposição 1.5.1, dado z E (0,1),

= sin 7rz foo

s_i (s + A)'ds.

O

Por outro lado, sabemos da teoria de semigrupos que

co (s Ar. = f e—ste—tAd., s > 0.

o

Pelo Teorema de Fubini

A-z = sinirz S-zi e—st e—tAatas = sin e—tAf s—z e—ts ds dtc° c° rzo

c°

fo o o

= sin wzr(1 - z)/00

le-tAdt. o

Portanto a afirmativa segue da fórmula

F(z)F(1 - 4 = 7r/ sin

Teorema 1.5.7. Suponha que A E Px(E0) e O < a < 1, então

= sin Ira /00

s'(s + Arlds 71 O

e

li(p+ ArlellE0 >0, e E E.

Aqui K é uma constante dependendo de A e a última desigualdade vale para O < a < 1.

25

Prova: Por (1.8), sabemos que Ils(s + A)-11I L(&) K, 11A(s+ A)-1111,( E0) K+1, s O.

Seja e E D(11), então usando a proposição 1.5.1, temos

(h+ A)-le = 24°-1A(4t+ A)-124-ae

sin ira][003-1,1( 1+,1)-1(s+ A)-121-aeds.

— ir o

Portanto

Ij(p + _< sirra71. K(K + 1)[f# s'ids µ-1 + fcc sa-2ds] IIAeII I o

< K(K + 1)sinrira Rpri + 1 ama-11 HA-acho

e o resultado segue.

Teorema 1.5.8.

I. Assuma que A E P(E0) e que e E D(A°) para algum a, O < a< 1. Então, se

= (I + > O, temos que

Ile, —eIIE0 C KellA2eilE0

Med&

para todo e > O.

2. Suponha que e E .E0 e que para algum a, O < a < 1, lielko < B < ao, existe

e, E D(A), para todo e > O tal que

IICE — ellE0 < Bc°, Ve > O,

Medi& _ f< B a-1, VE > O.

Então e E D(240) para qualquer fl em O < fl < a e

11Afieho < Kc„fiB

para uma constante K,,,s dependendo somente de A, a e fl.

26

Prova: 1) Pelo Teorema 1.5.7

11241-a(1 eA)_lAaellE0

S Kect-111Aaell&

e portanto ile, - 611E0 = IleA(1 + 624)-11E° KfailAaellEo•

2) Para qualquer a> O, e > O

1144 IjA(it+ A)l(e - ee)IlE0 4" II (14 + A) itieellED

G (K +1)Bea + K 1Bea-1.

Logo, escolhendo e = /2-1

ilA(Ii+A)-lellE0 5_ B(2K + 1)14-a

e claramente

1144+ 24)-10E0 5 (K + B(2K + 1).

Logo

+ leho B(2K + 1) min{1, 1t-a}.

Se O </3 < a segue que f o

liss-1A(s + A)leilEgls < oo e

Joe = siri° ft° st1-1A(s + Ari eds 7r O

é tal que IlJoellE. < K0d3B, mas

fR sin7rfl fR 813-1(s A) ieds --+ A13-le

7r JO

quando R -+ oo e AfR -+ Joe quando R -+ oo. Como A é fechado segue que AO-1e E

D(A) o que significa e E D(14/3), desde que e = A-13(AA0-16), e ligellE0 = IJJfiCME0 <

Ka,013.0

Corolário 1.5.1. SeeED(A°),a>0e0GfiGaentão

Ase sin 7rfl

7r ia

27

Teorema 1.5.9. Existe uma constante K dependendo somente de A, tal que <

Kikeirko He para O < a < 1, e E D(A).

Prova: Para a = O e para a = 1 é fácil verificar. Como mostrado no Corolário 1.5.1 para

O < a < 1, e E D(A)

Ae = sin ira F.

s12-1 A(s + A)' eds a 7i O

sinrO

+ 1)lielids + fwscE-2KIIAelids]

< sinja(K +1) + al

para qualquer p> O. Seja µ = liAellEdliellEo. Então

sin r ± 1 1

(K +1)ir71- a

ia 1— ai liAeli 0liell1C

e a constante é uniformemente limitada para O < a < 1.0

Corolário 1.5.2. Seja A E PK(E0) e B : D(B) C E0 Es um operador fechado tal que

D(B) D D(Aci), para algum &> O. Então existem constantes C,C1 > O tais que

CilirellE0, e E D(An)

e

IlBellE0 (PailellEo /ri II AellE0), g > O, e E D(A).

Agora, consideramos o caso em que A é setorial; isto é, {e-At, t > O} é semigrupo

analítico.

Teorema 1.5.10. Assuma que A é setorial. Logo {e-At; t > O} é um semigrupo analítico,

suponha que p(A) D (-0c, O]. Então

1. Se t > O, a > 0, R(e-At) C D(A') e

liActe-AtilL(4) s mera O < t <1,

a 1-4 Ma é contínua em [O, oo).

2. Se a > O, temos que t's "-Ate -+ O quando t O+ para cada e E Eo.

28

logo

3. 'Re-At _ I)A-'114s.)< Mi_at; se O < a < 1, t < 1.

Prova: 1) Se t > O, R(e-m) C D(A) e ilile-AtilL(E.) < mr-i, IIe_AtIItso <M para

O < t < 1. Logo, para qualquer inteiro m, R(Cm) c D(Am) pois e-min leva E0 em

D(A) e D(Ak) em D(A"), logo cm = (e-Atm-ora ) leva E0 em D(A) em D(A2) em • • •

emD(Am)e O <a< 1

KMt-a

logo para m = O, 1, 2, • • •, O < < 1, O < t < 1

l i Am-Ecte-At 4E0) < Acte-Atfitn+n 114E0) ile-Ati(m+1) iin4E0)

< KM"1±1(m + 1)m+9-"'"

2) Se e E D(Am) para algum m > a > O, tc Aüe-Ate _5, quando t 0 + e

iltaAae-AtiluE0) Ma para O < t < 1, logo o resultado vale para todo e E Eo•

3) Para todo e E E0 temos que

UCA — nreliEo __ J(

t211 -Cte -ASeds1

O Eo JMaliejlEods.0

so o

1.6 Problema de Cauchy Não Homogêneo

O objetivo deste capítulo é o estudo da existência de soluções de problemas de Cauchy

(problemas de valor inicial) para equações lineares não homogêneas da forma

= Ae + f(t), to < t < ti (1.26)

e(to) = eo E E0

onde A é o gerador de um semigrupo fortemente contínuo {eat; t • > O} C 4E0) e f :

[to, t1) —> E0 é contínua por partes e contínua a direita.

Definição 1.6.1.

a) Uma função contínua e: [to, t1) —> E0 é urna solução forte de (1.26) se e(t0) = eo

e para to < t < t1, e(t) E D(A), Çe(t) = e(t e(t)

existe, (1.26)

29

é satisfeito com aid e(t) substituido por Çe(t) e t 1—> Çe(t) é contínua onde f é

contínua. Note que se ti—> f (t) é uma função contínua e t 1—> e(t) é uma solução

forte de (1.26) então t 1—> e(t) é continuamente diferenciável e (1.26) se verifica

para cada t E (ta ti).

te) Uma função contínua e: [to, t1) E0 é uma solução fraca de (1.26) em [t0, t1) se

e(to) = eo E E0 e para todo e" E D(A*), ti—> (e, e(t)) tem derivada a direita e

= (Ase*, e(t)) (e* f (0), to < t < t1 . (1.27)

Note que, se ti—> (e, f (t)) é uma função contínua e ti—> e(t) é uma solução fraca de

(1.26), então ti—> (e, e(t)) é continuamente diferenciável e (1.27) se verifica com

substituido por aid

Definição 1.6.2. Um subconjunto St C g; é dito total se: e E Eo, (e*, e) = O, Ve* E S'

implica e = 0.

Lema 1.6.1. Se A : D(A) C E0 —> E0 é fechado e densamente definido, então D(A`) é

total.

Prova: Seja e E E0 tal que (e, e) = O para todo e* E D(A*). Queremos mostrar que

e = 0. Como o gráfico de A', G (A*) = {(e* , A* e*) : e* E D(A*)} é o anulador em 4; x E5

de r = {( —Ae, e) : e E D(A)}; isto é, G(A) = r-L. Note que G(A) também anula (e, 0),

assim segue que (e, 0) E G(A)' = r e portanto e = 0.0

Através do teorema a seguir obtemos formas de manuseio mais simples piara as soluções

fracas e estabelecemos algumas relações importantes entre soluções fracas fortes.

Teorema 1.6.1.

1. Toda solução forte de (1.26) é também uma solução fraca de (1.26).1

2. Se e: [t0, t1) —> Eo é uma solução fraca de (1.26), então

e e(t) = eA(t—t°)e0 + f eAU-s)f (s)ds, to < t < ti. (1.28)

to

Em particular, existe uma única solução fraca de (1.26).

30

3. Se e: [to, ti) —* E0 é definido por (1.28), então e: [to, ti) E0 é uma solução fraca

de (1.26).

4. Se e : [to, ti) —* E0 é uma solução fraca e para algum t E (to, t1) ou e(t) E D(A) ou

wd+ e(t) existe, então ambos são verdadeiros e para este instante

—d dt+e(t) = Ae(t) + f (t).

Prova: A prova de 1) é simples. Se e : [t0,t1) E0 é uma solução forte de (1.26) em

[to, ti) então e(to) = eo E E0 e para todo e" E D(A.)

di (es, e(t)) l = um (e, e(t + h) — e(t))

um . e(t + h) — e(t))

e dt h ' h

d+ (e, —dt e(t)) = (e*, Ae(t) +f (t)) = (Ases, e(t)) + (et, At)), to < t <ti.

Portanto e : [to, ti) —*E0 é uma solução fraca de (1.26).

Provaremos agora o item 3), pois usaremos ele na prova de 2).

Defina e : [to, ti) —*E0 por (1.28) e seja e E D(As). Para qualquer e E D(A), temos que:

d A = AeAse ds

pelo Teorema 1.1.3, (1). Assim, integrando a igualdade acima temos:

eAte — e = AeAse ds o

Portanto (e. e) _ (e., e) = f /Ases, eAsems

o \

para e E D(A) e por continuidade para todo e E Eo. Logo, para qualquer e E E0, t

(e, eAt e) é diferenciável com derivada (Ase*, Ae ) Usando isto calculamos Ç (e* , e(t))

e vemos que e : [to, ti) E0 é uma solução fraca; de fato,

(e* , e (t + h) —e(t)) lim

h (es '

ent—to)+Nee _ eA(t—to)eo)

lim h

t-Fh (e*,

eA(t+h—s) f (s)ds — ft0 Jto

d+

liM h—W+ h

31

d „ (e e A(t-to)e) (e., f t eA(t-s)

• it dt to f (s)ds)

(Ase., emt-to)e) • um _

1 t+h (e., f eAt ,

h-Ki- r h f (s)ds)

_ um 1(e, fteA(t-s)f (s)ds) h-art h to

(A.e, eA(t-to)e) • um _ 1 (e., f t+h eA(t+h-s) f (s)ds)

h-Kti- h t ± um 17 (e (e.ith _ 1) f eA(t-s) f (s)ds)

rt to

= (Xe*, ekt-t°)e) + (e, f (t)) + (A* e* ,f eA(t-s) f (s)ds) to

= (A* e* , e(t)) + (e* , f (t)).

Prova de 2). Se existem duas soluções de (1.26), a diferença entre elas is : [to, t1) -4 E0 é

uma função contínua com u(to) = 0 e -Ed+ (e*, u(t)) = (Ase*, u(t)), to < t < t1 e e* E D(A).

Integrando a igualdade acima de to à t, obtemos:

(e", u(t)) = f (Xe*, u(s))ds to

É conveniente trabalhar com uma função Cl, logo seja U(t) = f u(s)ds; então (e* I t rd U(t)) = O

(A* e* , U (t)) .

Note que (eAi)*D(A*) c D(K) para t > O, já que ((eAt)* e*, Ae) = e* , eme) para

e E D(A), e E D(A). Logo, para qualquer r E (to, ti)

_d ie, ekt•-tw(t)) = (e eA(t* _d u(t)\ _ Gee., efi(c-ou(t)) = o dt dt "

para to <t < C.

Como U(to) = 0, (e*, U(C)) = O para todo e E D(A), portanto U(C) = O (pois D(R) é total). E como r é arbitrário, segue que u(s) = 0 para to < $ < t1. Dessa

forma, por 3) e pela unicidade de soluções fracas, concluímos que se e : [t0, t1) -4 E0 é

uma solução fraca de (1.26), então vale (1.28).

Prova de 4). Se e(S) é uma solução fraca, dada por (1.28), então para to < t < t+ h < t1

e(t + h) - e(t) 1 t+h -

f eA(t+h-s) f (s)ds + - (eAh - 1)6(0.

h h e h

O termo do meio converge para f (t+) = f (t) quando h -4 0+, logo se um dos outros

termos converge, ambos devem convergir.0

R9

A seguir damos condições simples que asseguram a diferenciabilidade de uma solução

fraca.

Teorema 1.6.2. Suponha que A e f são como antes e seja e: [to, t 1) E0 é uma solução

fraca de (1.26). Se eo E D(A) e ou

1. f (t) E D(A) com t Af (t) E Eo contínua a direita em [to, ti) ou

2. wci+ f (t) = f (t) existe e é contínua a direita em [to, ti)

então ‘4. e(t) existe, e(t) E D(A) e e : [to, ti) E0 é uma solução forte.

Prova: Seja u(t) = eA(t-s) f (.5)dS, então e(t) eA(t-to)eo + u(t). Como e0 E D(A),

to t ekt-to)eo éC1, então basta mostrarmos que se to <t <t+h <t1,4u(t). De fato,

se 4<t<t+h<t1,

e u(t ± h) — u(t) - fi±h pA(t+h-s) f (s)ds ftemt_s)Ahhf

(s)ds h h t to

e por (1), temos que d+ —dt

u(t) = f (t) + f eA(')Af (s)ds, to

Por outro lado, temos:

u(t + h) - u(t) _ 1 11°441 eA(t+h-s) - i

f (s)ds + (t eA(t-s)f (8 ± f ( s )

f (8)ds h h to Jto h

e usando (2), segue que:

—u(t) = eA(t-t°)f (to) + f ern-3).1(s)ds. dt to

Pelo Teorema 1.6.1 (4), u(t) E D(A) e assim concluímos a prova. o

1.7 Problema de Cauchy Semilinear - Caso

Hiperbólico

33

Consideremos agora o problema de valor inicial

di e= Ae + f (t, e) (1.29)

e(to) = eo E E0,

onde A é o gerador de um Co-semigrupod : U c IR. x Eo E0 é uma função contínua e

(to, go) E U.

Definição 1.7.1.

a) Urna função contínua e: [to, ti) E0 é urna solução forte de (1.29), em [to, ti) se

e é Cl em (to, ti) e tal que e(to) = eo e para to < t < ti, (t, e(t)) E U, e(t) E D(A)

e (1.29) vale.

b) Urna função contínua e : [to, ti) Eo é uma solução fraca de (1.29) em [to, ti)

se e(to) E eo (t, e(t)) E U, to < t < t1 e para todo et E D(A), t (e*, e(t)) é

diferencidvel e

= (Ase e(t)) + (e, f (t, e(t))), /o < t <ti. (1.30) dt

Teorema 1.7.1.

1. Toda solução forte de (1.29) é também uma solução fraca de (1.29).

2. Urna solução fraca e : [to,ti) E0 de (1.29) é também uma solução forte se e

somente se é Cl em (t0,t1) se e somente se e(t) E D(A) com t Ae(t) contínua

em (to,t1)-

3. Se e: [to,ti) E0 é uma solução fraca de (1.20, então

= em-4)e° f s, e(t)

e(s))ds, to t <ti. (1.31) to

4. Se e :[to,ti) E0 é contínua com (t,e(t)) E U to < t <t1 e satisfaz (1.31), então

e: [to, ti) E0 é uma solução fraca de (1.29).

Prova: A prova; deste teorema segue imediatamente do Teorema 1.6.1 uma vez que

t f(t, e(t)) : [to, ti) E0

é uma função continua.0

34

Teorema 1.7.2. Suponha que {eAt;t > 0} é um Co-semigrupo, U c IR. x Eo um aberto

e f : U E0 contínua e localmente Lipschitz contínua em seu segundo argumento; isto

é, dado (t0,x0) E U existe 8> 0 e L tal que

- (t, ez)iiED Lllei - e21IE0 (1.32)

quando it - toi < 8 e Hei - eollEo _< 8, i = 1,2. Então, dado qualquer (to,eo) E U existe

t1 > to e uma solução fraca e : [to, ti) -) E0 de (1.29). E ainda, qualquer solução fraca

ë: [t0,11) E0 é tal que "é(t)= e(t) para to < t < min{ti, 4}•

Prova: Como f : U E0 é contínua e localmente Lipschitz contínua em seu segundo

argumento, existe 6 > O e constantes L, M tais que se to < t < to + 8, ¡ - eoIlE0 < (5,lei

i = 1,2,

Ilf(t,ei) - f (t, e2)11E0 Lllei - ezIlEo

Ilf (t, €1)11E0 M.

Dado ti > to tal que

{2MM 1 0< ti - to < min (5 e}

o' 2MoL"

onde IleATIIL(E0) < Mo, O < r< 8, eolko < 6/2 quando O <r < e.

Consideremos como S o conjunto das funções contínuas e : [t0, t1] E0 tal que

II e (t) - eollE0 < 8 para to < t < ti e defina d(e, = suPto<t<t, Ile(t)-ê(t)11E para e, ê E S;

então (S,d) é um espaço métrico completo. Para e E S defina G(e) : [to, ti] -) E0 por

G (e)(t) = eA('—060 + f t eA(') f (8, e(8))ds, to < t< ti. to

Temos que G(S)c S, pois seeESe to<t<ti,

rt IIG(e)(t) - eollEo IleA("°)eoll& + fto IleA(')

IIL(E0)11f(s,e(s))11Eods

(5 õ (5 (5 5_ -1- Mo M(t - to) .5. + MoM (ti - to) .. + MoM 2m mo - 8

Mostraremos agora que G: 5 -) .9 é uma contração. Para isso, tomemos e, "é G S,

d(G(e) - G (é")) < sup f ilekt-8)11L(Eálf (8 , e(8)) - f (8, è(8)11Eods to<t<t, to

sup MoLile(s) - é(s)liEods< - d(e, è) - to<t<t, to 2

35

Pelo Teorema da Contração de Banach, temos que G tem um único ponto fixo em S, isto

é,

e(t) = ell(t-t°)eo + f eA(t-s)f (s, e(s))ds. to

Isto prova a afirmativa pelo Teorema 1.7.1 partes (3) e (4).0

A seguir obtemos resultados sobre extensões de soluções de (1.29) e a existência de

intervalos maximais de definição para soluções de (1.29).

Lema 1.7.1 (Desigualdade de Gronwall). Se a E IR, )3(t) > O, e 0(t) são funções

reais contínuas para a < t < b que satisfaz

0(t) a + f 13(s)0(s)ds, a < t < b,

então

0(t) < efitfi(s)ds a, a < t < b,

Teorema 1.7.3. Assuma que A, U e f são como no Teorema 1.7.2. Para (to, eo) E U

existe uma única solução fraca maximal e : [to, rmax ) —> E0 de (1.29). Suponha que

'nom <00, então ou existe el E E0 tal que (rma„ , ei) E eu e e(t) —> ei quando t —> Troax

ou II f (t, e(t))11E.

um sup = oo. t-rms. 1 +110)11E0

Prova: Tomemos Tm ax = sup{ti : existe uma solução de (1.29) definida em [to, ti)} e

para qualquer t E [to, rma„ ) defina e(t) = {o valor em t de uma solução fraca ê : [to, t1) —>

E0 de (1.29), ti > t }. Ela está bem definida, pois toda solução fraca dá o mesmo valor

para e(t). Pelo Teorema 1.7.2 e : [to, Tina. ) —> E0 é claramente maximal.

Se rmax < oo e o limite ei = e(t) existe, então para (rmax , ei) e I/ existe

uma solução fraca ë : [rmax , Tmax + 8] —> E0 para algum 8 > O com ê(rm.) = ei. Assim

se definirmos e : [to írmax + 8] —> E0 por ê(t) = e(t), to < t < rma„ e ê(t) =

rmax < t < rota. + 8, temos que é é uma solução fraca de (1.29) o que contradiz a

definição de /-max . Com isso, concluímos que, se o limite existe, devemos ter ei E eu.

Para finalizar tal prova, mostremos que

e(t)) bo < E < 00 1 + lie(t)ilEa

to < t <

36

implica que limt,,.;..e(t) existe. Pela desigualdade de Gronwal lie(t)li é limitada, pois

ile(t)II + ft° MB(1+ ile(s)11)ds,

donde segue que ilf(t,e(t))11E0 < Bi, to < t < r. Provamos que lie(s) e(r)11E0 O

quando s,t Ta,. Pela limitação exponencial, podemos assumir que &Ali < M para

O < t < Tmax — to. Dado E > O escolha O < ei < — to com ei .S 4 . Seja

= Tmax e O< 8 < ei tal que (eA(3-t.) — eA(r-t.))e(C)11E,„ < se is — ri < 5. Então

para e < Tm ax —8 < S,T < rmax,

e(s) = eA(3-t)e(C)+ isA e (s-8) f (O, e(0))dO,

logo, se s < r,

lie(s) — 6(00E0 S ileA(s-tle(C) — e 1€(C)11+ ft: Ilf (o, e(9)) Ide

— L. Ilekr-fn li Ilf 09, €(60)11de — ir IleA(r-9111f(19,€(9))ilde

E < — 4- 2f MBitli9+ f MBide €.0 — 4 r 3

Teorema 1.7.4. Suponha que A, U e f são como no Teorema 1.7.2 e que e: [t0,4)

é uma solução fraca de (1.29). Seja fn : U E0 = 1, 2, 3, • • .) tal que f„(t, e) f (t, e)

quando n oc uniformemente para (t, e) em uma vizinhança de cada ponto (r, e(r)),

to < T < t1. Suponha também que fn satisfaz as condições do Teorema 1.7.2. Se en

[to, tn) E0 é uma solução fraca de

did en = Aen + fn (t, en(t)) (1.33)

e(to) = eno,

onde en0 e0. então dado to < C <t1, para n grande, en está definido em [t0,t]; isto é,

> e e

lim sup iie(t) — e(t)liEo = O. -0

Prova: Temos que ileAtil oL(F33) < M em O < t < t, — to. E pela compacidade de {(r, e(r)) :

to < T < e} c U, podemos escolher r > O, L e Ea > O tal que, para y, z na bola fechada

de raio r em torno de e(r),

y) — f (T, z)11E, LIIY

37

e Ilfu(r,Y) f (7, z)11E. 5_ e., en O quando n cc.

Escolha no tal que n > no implica

MEllen(to) - g(to)11E. + en(t* - to)]emL(r-t°) < r.

Donde segue que, ileA("°)(en(to) - e(t0))11 < r e ilen(t) - e(t)IIE„ < r para t próximo a

to. Digamos que n > no e iien(s) - e()II En < r para to < s <t < C; então

< ileA(t—to)tentt0\ e(t0)) + ito eA(')(fii(s,e n(s))- f (s,e,i(s)))dsli E, l , .

+II f eil(t—s)(f(3, eu(s)) f e(s)))c1311E0

Mile„(to) - e(t0)11 E0 + Men(t - to) + ft.MIlien(s)- e(s)IlEods.

Pela desigualdade de Gronwall temos que Ilen(t)- e(t)ii.E0 < r (se n > no) logo a desigual-

dade vale para todo to < t < C e

Ilen(t) - e(t)0E0 M[iien(to) - e(to)11E0 en(t - tolemL(- °) O

quando n co.0

1.8 O Problema de Cauchy Semilinear - Caso

Parabólico

Nesta seção consideramos problemas de Cauchy da forma

aid e = -Ae + f (t, e), (1.34)

e(to) = eo

onde A : D(A) c E0 E0 é um operador setorial positivo e f : U E0 é uma função

contínua e U c IR. x Ea é um aberto.

Note que, como o operador A é de tipo posivivo podemos definir as suas potências

fracionárias A', a E IR.

Teorema 1.8.1. Seja E° o domínio de A° dotado com a norma do gráfico, então:

(i) E° é um espaço de Banach;

Ilen(t) e(t)11.E0

38

(ii) A restrição de {e-t;t > O} a Ea é um C0-semi grupo em Ea.

Como —A é gerador de um Co-semigrupo, os resultados obtidos para o caso hiperbólico

também se aplicam a (1.34). Assim, obtemos teoremas de existência e regularidade apro-

priados para o caso parabólico. O que faremos aqui é mostrar que, toda solução de (1.34)

com dados iniciais em algum Ea, a < 1 são soluções fortes.

Definição 1.8.1. Seja A : 19(A) C E0 E0 um operador setorial e escolha a > O (se

necessário) tal que (—oo, 0] c p(A+ a). Considere O < a < 1 e Ea = D((A+ a)a) com a

norma do gráfico II• lia = 11(A + ar • IlEa.

Urna função contínua e : [t0, t) E0 é uma solução de (1.34) em [t0, t1), se e

é diferenciável em (t0, t1) e (t, e(t)) E U, to < t < ti, e(t) E 19(A), to < t <

t Ae(t) : (to, ti) —> E0 é contínua e (1.34) está satisfeita.

Através do teorema a seguir, temos que o conceito de solução fraca não se faz necessário

para (1.34).

Teorema 1.8.2. Assuma que ED, A, a, U e f são como na Definição (1.8.1) e suponha

que f é localmente HõIder contínua; isto é, qualquer ponto de U tem urna vizinhança

VcU e constantes K,O > O, tais que quando (ri, el) e (72, e2) estão em V

II f (71 ei) f (72, €2)iiE0 K(Fri — 72i° + ilei eziloEt.).

Se e: [to,ti] —> E° é contínua, (t,e(t)) E U, to < t < ti, e

t „ e(t) = e-kt-t0)00) + f kt-s) f (s,e(s))ds, to <t <t1,

to

então e(t) é uma solução forte de (1.34).

Prova: Primeiramente mostraremos que e : (t0, ti] —> Ea é 1151der contínua. Como

{(t, e(t)) : to < t < ti} é um subconjunto compacto de U, existe B tal que

sup II f (t, e(t)I1E0 5_ B. to<t<ti

Então, para to <t<t+h< ti,

e(t + h) — e(t) = (e- Ah — .1)[e-A(t-t°)e(to) + f e—A(t—s) f (s, e(s))ds] to

ft+h

kt+11-8) f (s, e(s))ds

39

logo, se 0 < O <1- a, e M é dada pelo Teorema 1.5.10

Ile(t + h) - effilla MM(t - to)-sile(to)lia + MM(t - s)-12-9Bds to t+h

+ M ± h - s)-ciBets

= 0(h°(t - to)-°)•

Segue que ti.4 f(t,e(t)) a- g(t) é contínua em [to, til e satisfaz uma condição de Htilder

+ h) - g(t)IIE, cc K(t - to)-õh's, to < t < t + h < t1,

para alguma escolha de K,8 > O (e O < 8 < 1 - a, sem perda de generalidade). É

suficiente provar que

G(t)= e-A(t-s)g(s)ds to

toma valores em D(A) com t AG(t) contínua em (to, til, e portanto mostraremos que

h-i(e-An - I)G(t) converge quando h -> 0+, uniformemente para g < t < t1, qualquer

que seja g > to. Agora

1/-1(e-Ah - I)G(t) = h-1(e-Ah - I)e-A(t-s)(g(s)- g(t))ds J o to+h

-Fh-1 e-A(i+h-s)g(t)ds - h-1 f e)g(t)ds to t—h

e os dois últimos termos são claramente convergentes uniformemente em t. Para o outro

termo, primeiramente note que

ft° IlAe-Au-8)lic(E0)11g(t) - g(s)I1Eods < 00

da condição de Hõlder, e

ilh-1f (e-Ah - I + hA)e-A(t-s)(g(s)- g(t))dsliEo to t li

= h-1 (I - e-Ag)do-Ae-A(t-s)(g(s)- g(t))dslIE. oto

< Mhe(t - s)-1-€1((s - t0)-6(t - C1,9 11.±2: O, o < E < to

uniformemente para g < t < t1.

Portanto, h-1(e-Ah - I)G(t) -t Ae-A(t-s)(g(s) - g(t))ds + e-A(t-t°)g(t) - g(t) o

quando h -> 0+ uniformemente em [n, ti], e a prova está completan

As integrais impróprias, que aparecem nas estimativas obtidas através da fórmula

da variação das constantes no caso parabólico, tornam necessárias a obtenção de uma

40

desigualdade de Gronwal onde as funções conhecidas possuem singularidades. Uma dessas

desigualdades é obtida no lema a seguir (veja [6]).

Lema 1.8.1. Assuma que a,b > 0, O < a,/3 < 1 eu: [0,T] —> IR é integrável com

O u(t) ar' + bo — s)-13u(s)ds

(1.35)

quase sempre em (0,T). Então, existe uma constante K dependendo somente de b, /3,T

tal que

u(t) 1 1± a ara

quase sempre em (0,T).

Prova: Defina a transformação B : {bo (t -. s)-00(s)ds, O < t < T}. Então, a

desigualdade (1.35) pode ser escrita na forma

0< u(t) < uo (t) + Bu(t),

onde uo(t) = ar'. É claro que B preserva ordem e portanto

m-1 O < u(t) < 'ao (t) + Bu(t) < uo (t) + Buo(t) + B2u(t) 5. • • • E Bkno(t) + Binu(t)

k=0

param = 1, 2, 3, • • •. Vamos mostrar que a série E"_0 gitto(t) converge e que Bnu(t) —> O

quando n ao e depois obter a estimativa

00 E Bnuo(t) K at'

1 — a

Suponha, por indução, que

Bn-I0(t) (bF(1 —

=

s)(n-1)(1-M-10(8)ds n > 2, J F((n — 1)(1 — )3))

n=0

41

então obtemos

= f (t - s)- fi [f 3 (br(1 Onn-1 I AN( „I AI

O O rUn 1)(1 - O)) a rn- "1- "ri 95(e)del ds

(t _ sr fi (8 - 0)(n-1)(1-13" 0(60 ds] tIO tinF (1 - Or-1 rt

= 1)(1 - fl)).h, do) [f F((n -

)[1. (t - - u)-Stt(n-1)(1-$)-1dit]t10 OF (1 - 0)n-i ft

= r((n 1)(1 — fo 0(0 o

bnr(1 — fir-1 — FUT?, — 1) 0.

O ft

o)) jo 0(9)(t — 0)72(1-)- 181f1(1 — Z) SZ(71-1)(1-0) a-1dZ

bnr(1 — f3)71-1

1-((n — 1)(1 — (3)) BO. - fi, (n - 1)(1 - ,8))/ q5(0)(t - Or(1-0)-1d0

o

_ ft 0(9)(t— er(1-0)-ide

— — )8)) o

= Bnq5(t)

1 onde utilizamos que B(x, y) = o 9-1(1- z) ldz = rrrx)±r(yY? .

Agora vamos estudar a convergência da série

zn

sfi(z) ,tso r(n(1 —fl))

note que se an = f(n(1 - 0))-1 temos que

an+1 a n

F(n(1 - (3)) _ B((1 - n(1 - (3)) = r((n + 1)(11- O)) r(1-0)

1 f t-fl(i— t)(1-13)-i dt O F(1 - (3) o

quando n co pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue.

Isto mostra que BN5(t) quando n co e segue que

00 u(t) E(Bnuo)(t).

42

Resta encontrar uma estimativa para a série acima. Note que

bnr(1 — fl t Bnuo(t) = S)(1)1SWs `

all(n(1— fir f

(t -$--

= ara Zn(1-13),3)) B(1 r(n(1 — — a, n(1 — 13))

< ra Z F(n(1 — 0))

onde z = t(bF(1 — )(3))1/(1-0) Defina, para z > O,

Efi(z) := r(n(i_ fi)

A convergência da série acima pode ser garantida como antes. Pode ser provado (veja [5],

página 38) que E(z) < cez.

Escolha um número natural k tal que k(1 — O) > 1, então

k-1 co z./(1-(3) zic(1-°) Zn(1-13)

S°(Z) o (i (1 — fi)) r(k(1 — 0)) nto r(1/(1 — + 1) i=

k-1 . z3(1-0) zk(1-,(3) z 0F(j(1 — O))

+ CF(k(1

3.

para algum e> O. Disto obtemos que

„„t(br(i a k-1 t ..;(1- 43)(br(1 — 0)) tk(1-'3) _0))1/0-$) u(t)5

1 - a i=0 F(j(1 — O)) + c (bF(1 fl))k

F(k(1 — )3))-

e o resultado segue. Observe que de fato provamos mais do que está enunciado. A prova do

resultado enunciado somente utiliza a continuidade de So, não fazendo uso dos resultados

em

Teorema 1.8.3. Assuma que E0 é um espaço de Banach, A é um operador setorial em

E0, O < a < 1, E' é definido como anteriormente e U é um subconjunto aberto de

IR x E'. Suponha que f : U -4 E0 é localmente Hõlder contínua e localmente Lipschitz

contínua em seu segundo argumento; ou seja, em uma vizinhança de qualquer ponto de U

ternos

Ilf (t, ei) — f (s, e2)11E0 C(t — 810 + lei — e2IlEc.)

43

para algum O > O. Dado qualquer (to, eo) E U, existe uma única solução e : [to, ti) --+ Eo

de (1.34) definida em um intervalo maxzmal. Adicionalmente, se e0 E D(A) a derivada

é contínua quando t tÈ,- . Se t1 < oo então, quando t -+ t1 ou (t,e(t)) tende para algum

ponto de au ou II f (t, e(t))114 1 + 110)11E0

é ilimitada (ou ambos).

Prova: Como no Teorema 1.7.2 e no Teorema 1.7.3, primeiramente provamos a existencia

local obtendo que a transformação

G(e)(t) = e-A(t-t°) eo + f t eA(t-s) f (5- , e(s))ds, to < t < to + T

to

é uma contração em uma bola fechada Br C C(Et0,t0+71, Ea). quando e: [to, t0+71 Eck

é contínua com supto<t<to+T ile(t) - eoIEa < r; isto é, e(•) E B. Escolhemos r, T >

O pequenos de forma que para t E [to, to ± 7] e Ilei - eoll Ea < r, temos (t, e) E U,

Ilf (t, ei)114 5 B, i = 1.2 e

ei) - f(t,e2)11E0 < Le1 - e2iiE., O < s < T

zH E. AllizliE., O < s < T

ile-AszilE. Ms-clizilEa, O < s < T

ije--4560 - eo HE. < r/2, O < s < T

_111:61- r / 2,

AILIni < 1/2,

onde adotamos o procedimento seguinte: primeiramente escolha r e um To para encontrar

B, L, M: então escolha um T menor que To para ter as condiçãoes acima satisfeitas.

Com estas escolhas. G leva Br nela mesma e é uma contração na norma de C([to, to +

Ea), logo existe um ponto fixo. Segue do Teorema 1.8.2, ela é uma solução de (1.34).

44

Para provar a unicidade, suponha que e, ê são duas soluções de (1.34), ambas definidas

em [to, t2]. Se elas coincidem em [to, t3] mas não coincidem em um intervalo maior, pode-

mos substituir to por t3. Logo, assuma que e(t) è(t) para t arbitrariamente próximo de

to, t > to. Como e, ê são contínuas, podemos assumir que isto ocorre para t E [to, to +

e Ile(t) < r Ilè(t) eollE. < r. Mas as restrições de e, è a [to, to + 71 são pontos

fixos de G, contradizendo a unicidade dos pontos fixos.

Estendemos as soluções locais ao intervalo maximal de existência como no Teorema

1.7.3 e completamos a prova aplicando a desigualdade de Gronwall do Lema 1.8.1.0

O teorema a seguir nos dá informações adicionais sobre a regularidade das soluções de

(1.34).

Teorema 1.8.4. Assuma que E0,A,a, U, f são corno no Teorema 1.8.3 e assuma que

t f(t,e) satisfaz uma condição de Holder local com expoente O < 1, próximo de cada

(t,e) E U. Então, qualquer solução e :[to,ti] -> Ea de (1.34) é tal que t calíe(t) E E'Y

é localmente Holder contínua em (t0, t1) para qualquer O < -y <9 e

= 0((t - t0)-7-1) quando t to.

Prova: Como [to, td é um intervalo compacto, para algum ho > 0, se to <t<t+h<t1,

< h < ho, f (t, e(t))11E0 < B e

ilf(t + h, e(t + h)) - f(t,e(t))11E0 5_ L(h° + ile(t + h) - e(t)I1Eo, 1 „,

para alguma escolha de B, L. Se M é tal que

• < O < s < ti - to

< MsIIzIlE0, O < s 5_ t1 — to

▪ — zlIE0 < ms911z11E9, o < s < t1 — to

temos

Ile(t + h) - 0)11E° 5_ M2h9(t — to)-61Ie(to)II E. + ft° M(t + h - s)-aBds to+ h

fA (t - S)' L[h° lie(s + h) - e(s)11Ealds

to

< C heRt - tor° + (t - tora]

+ML f(t - s)—alle(s+ h) - e(s)11Eaids.

to

45

Em seguida. usamos o Lema 1.8.1 para concluir lie(t + h) - e(t)11E. = 0(h61(t - to) ° +

(t - 4)-1) e portanto g(t) := f(t, e(t)) satisfaz

Mg(t + h) - g(t)liEo < Khe Rt - t0)-6 + (t - tO)_a g(t) E0 5 B

para to <t<t+h<t1,0<h< ho•

Mostramos na prova do Teorema 1.8.2 que

-A f e-A"g(s)ds = - f Ae-A(t-s)(g(s)- g(t))ds +e-A('-'°)g(t) - g(t) to to

e segue que

—dte(t)= -Ae(t)+ g(t) = -Ae-A(t-t°)e(to)+ A(t-to)g(t)+ G(t)

onde G(t) = f Ae-A(")(g(s) - g(t))ds. Somente o último termo G apresenta dificul-

dades. Mostraremos que IIG(t + h) - = 0(h°-'7) quando h -4 Ot sempre que

0< -y <9 e to <t <t1.

Agora,

to+h G(t + h) - G(t) = 1 Ae-A(t+h-s)(g(s)- g(t + h))ds

+ f

Ae-A(t-s)(g(s + h) - g(t +h) - g(s)+ g(t))ds to

e Mg(t + h) - g (s + h) - g(t) + g (s)11E0 < 2K[(s - 4)-4 + - tora] min{(t - s)°, li°} logo

t—h (t ± ) — G (t)I1E-Y 5_ 0(h) 0 (I he(t - s)-1-1(s - to) ° + (8 tO) ldS)

to

+o (f

(t — S)-1—".61(8 t0) ° (8 — to)ldS) t—h

= 0(h°~7), quando h O+ .0

No caso particular de problemas autonomos temos o seguinte resultado:

Corolário 1.8.1. Assuma que Eo,A,a.U,f são como no Teorema 1.8.3 e assuma que

f é independente de t. Então, qualquer solução e : [to,td -4 E' de (1.34) é tal que

t ciíe(t) E El é localmente Hõlder contínua em (t0, t1) para qualquer O < -y < 1 e

= 0((t - t0) -1-1) quando t to.

46

1.9 O Espaço de Sobolev W1,P

Seja I = (a, b) C IR, não necessariamente limitado e consideremos p E IR, tal que

1 < p < co.

Definição 1.9.1. O espaço de Sobolev LIAI' é definido por:

W143 = {u E LP(I) :3g E i2' (i) tal que ¡tubi = — igeb Veb E Cr}

onde Cr (I) denota o conjunto das funções infinitamente deriváveis com suporte com-

pacto contido em I e para ti E W1,P denotaremos g por til. Quando p = 2, escreveremos

wi,p(i) = H' (I).

O espaço de Sobolev W1'P está dotado da norma:

Ilullwiip =

onde lip

11U1ILP = (112/(X)IP dx)

e

¡kik. = inf{k > O : lu(x) I < k quase sempre em I}.

E sobre Hl definimos o produto interno dado por:

(u, v)Hi = (u, v)L2 + (til, v')L2

e a norma associada é

IltiulHi = + iitic,2)1/2

que é equivalente a littliwia

Teorema 1.9.1. O espaço W1,P é um espaço de Banach.

O teorema a seguir mostra que toda função u E WI,P admite um representante

contínuo.

Teorema 1.9.2. Seja u E W'; então existe urna função ft E C(7) tal que

ti = ft quase sempre em I

e

ft(x)— ii(y) til(t)dt Vx,y E I

47

Teorema 1.9.3. Seja su E LP com 1 <p < ao. As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) u E W14'

(ii) Existe uma constante C tal que

co V cp E Cr (I)

(iii) Existe uma constante C tal que para todo aberto co CC I e todo h E IR. com IhI <

dist (co,Ic) se verifica

iirhu - ullt,P(w) C112,1.

Algumas operações fundamentais da Análise têm sentido apenas para funções definidas

em todo IR. Através do resultado a seguir podemos prolongar urna função tu E 1/171,P(/) a

uma função u E 1471,P(IR).

Teorema 1.9.4. (Operador Prolongação) Seja 1 < p < ao. Existe um operador prolon-

gação P :1471,P(I) Wh(IR) linear e contínuo tal que

(i) Puil = ti Vu E W1,P(I)

(ii) IlPubporo CiluilLP(1) Vu E W1"(/)

(iii) Vu E Wia'(/)

Teorema 1.9.5. (Densidade) Seja ti E W1'P com 1 < p < ao. Então existe uma seqüência

(un) em Cr (IR) tal que unI7 u E W" (I).

Teorema 1.9.6. Existe uma constante C (dependendo somente de < ao) tal que

Vu E Wl'P(I) 1 < p < oo

(1.36)

ou seja, 1471•P(I) c L°°(I) com injeção contínua para todo 1 < p < ao. Adicionalmente,

quando I é limitado temos:

(i) W1,P(I) C C(7) é compacta para 1 <p < oo

(ii) W" (I) C L(I) é compacta para 1 < p < ao.

48

Corolário 1.9.1. (Derivação do Produto) Sejam u,v E Wia' com 1 < p < oo. Então

uv E W1,P(I) e

(uv)' = u'v + uv'.

Portanto, temos também a regra de integração por partes:

uiv — u(x)v(x)— u(y)v(y)— f Vx, y E 1. fvz

Corolário 1.9.2. (Derivação de uma Composição) Seja G E C' (IR) tal que G(0) = O e

seja 11 E W1,P. Então

G ouEW1P(I) e (G ou)' = (G' o u)u'.

Definição 1.9.2. Dados um inteiro m > 2 e um número real 1 < p < oo, definimos o

espaço WmP por

WmP(.0 = {ti E Wm-1'P(.0, til E Wm-1'P(.0}

Denota-se por Hm(I) o espaço Wm,2(/).

Mostra-se que u E Wr"(/) se e somente se existem m funções gl, g2,..., gra E LP(.0

tais que

uDi = (-1)' gjcp Vc,o E Cr (/), Vj = 1, 2, ..., m.

Quando u E Wrn'P (I), consideraremos u' = g , (u')' = g2, Unu =

O espaço Wr" está dotado da norma:

771

Iluilw.,, = JUIJLP + E iipauu,„, a=1

Em Hm temos o produto escalar dado por:

771

(u, v),,. = (u, v), + E (Dc Dc v) 1,2 ci=1.

A norma é equivalente a 'Muni .= Nb" +

Observação 1.9.1. Podemos estender algumas das propriedades obtidas para W1,P , como

por exemplo, Win,P(I) C Cni-1(1) com injeção contínua.

Definição 1.9.3. Dado 1 < p < oo definimos o espaço Wol'P como o fecho de CRI) em

wi,p

49

Denotaremos por (I) o conjunto W01"2.

Pelo Teorema 1.9.5 sabemos que C(IR) é denso em W1,P(IR) assim, WoliP(IR) =

wl,p (Ja).

O teorema seguinte caracteriza as funções de WoliP(/).

Teorema 1.9.7. Seja ti E 147142 (I), então ti E WoliP (I) se e somente se ti = O sobre 51.

Teorema 1.9.8. (Desigualdade de Poincaré) Se I é limitado, então existe uma constante

C, dependendo de III, tal que

Vu E

ou seja, a norma ljullwia, é equivalente no espaço WoliP(I).

1.10 Existência e Unicidade de Solução Para Proble-

mas de Contorno

O objetivo desta seção é estudar a existência e unicidade de solução para problemas

de contorno da forma: { —u" + u = f em I = (0,1)

(1.37) u(0) = u(1) = O

onde f E C(1) Ou f E V (I). As condições de contorno u(0) = u(1) = O são chamadas

condições de Dirichlet (homogêneas).

Uma solução clássica (forte) de 1.37 é uma função u de classe O em [O, 1] que verifica

1.37 no sentido usual. Uma função ti E (I) que verifica

u v" + f uv = f fv, Vv E Holg)

o o

é uma solução fraca de 1.37.

Definição 1.10.1. Uma forma bilinear a(u, v) : H x H —> IR é:

(i) continua se existe uma constante C tal que ia(u, v), < Ciulivi Vu, v E H

(1.38)

50

(ii) coerciva se existe urna constante a> O tal que a(u,v)> alvI2 Vv e H

Lema 1.10.1. (Lax-Milgrarn) Seja a(u, v) urna forma bilinear, contínua e coerciva. Então

para todo w E H' existe u E H único tal que

a(u, v) = (w , v) Vv e H. (1.39)

E ainda, se a é simétrica, então u se caracteriza pela propriedade

ueH e vEH

— 21 a(u, u) — (w, u) =- min{ —

1 a(v, v) — (w,v)}

2 (1.40)

Teorema 1.10.1.

(i) Toda solução clássica de 1.37 é urna solução fraca de 1.37.

(ii) Existe uma única solução fraca de 1.37.

(iii) A solução fraca obtida é de classe C2, e portanto ela é urna solução clássica de 1.37.

Prova: A prova de (i) é simples. De fato, seja u é uma solução forte de 1.37. Então

multiplicando 1.37 por v E C1[0,1] e integrando por partes, temos que u verifica 1.38.

Prova de 2) Aplica-se o Lema 1.10.1 no espaço de Hilbert H = H(I), com a forma

bilinear

a(u, v) = f + f uv = (u, v)ip

e a forma linear w: v f f v.

Prova de 3) Observemos inicialmente que se f e L2 e se u e Hj é uma solução fraca,

então u e H2. De fato, pois como u é solução fraca, então

f vl = f ( f — u)v vv e Cel.

Com isso, temos que u' E Hl, já que (f — u) E L2 e, portanto u E H2. E ainda, se

f e CGT) então a solução fraca u e C2(1). De fato (ut e Ca) e então u' e C1(7),

portanto u E C2(I). E para finalizar, provaremos que uma solução fraca u de 1.37 tal que

u E C2(7) é também uma solução clássica de 1.37. Para isso, integrando por partes 1.38,

obtemos

foi (—ti" + u — f )v = 0, Vv e C1[0,1], v(0) = v(1) = 0,

51

isto é, fp, (—ui' + u — f)v = 0, Vv E C'(0, 1).

Como Ccl (O, 1) é denso em L2(0, 1), segue que —u"+ u = f quase sempre em (0,1).:

Lema 1.10.2. (Stampacchia) Seja a(u,v) uma forma bilinear, contínua e coerciva. Seja

K um convexo, fechado e não vazio. Dado ço E H' existe u E K único tal que

a(u, v — u) ((ao, v —ti) Vv E H. (1.41)

E ainda, se a é simétrica, então ti se caracteriza pela propriedade

uEK e —1 a(u u) — ((ao, u) = min { —

1 a(v, v) — ((Av)}

{

2 uca. 2 (1.42)

Exemplo 1.10.1. (Condição de Dirichlet não homogênea) Resolver o seguinte problema

—u" + u = f em / = (0,1)

u(0) = a, u(1) =

onde a,flEIRef éuma função dada.

Prova: Tomemos em Hl o convexo fechado

K = {v E H1(.0; v(0) = a, v(1) = fl}

Se u é uma solução clássica de 1.43, então ela é também uma solução fraca, e portanto:

(v — u)' + f u(v — u) = f f (v — u) Vv E K

Em particular, temos que:

us(v — u)1 + u(v — u) f (v — u) Vv E K

Para obter a desigualdade acima, basta aplicar o Lema (1.10.2), tomando a forma

bilinear

a(u, v) = uivi + Juv = (u, v)Hi

e a forma linear w: v f v. Logo, existe 22 e Ic única, tal que

f itil(v — u)' + f u(v — u) > f f (v — u) Vv E K —

Tomemos nesta desigualdade v = u ± w onde w E Há (I), para recuperar a solução

clássica.0

(1.43)

52

Exemplo 1.10.2. (Problema de Sturrn-Liouville)

{

—(puT + qu = f em I = (0,1)

u(0) = u(1) = 0

onde p E Cl (7), q E C(I) e f E L2(/) com

(1.44)

p(x)> a > O Vx E

Prova:

Se u é uma solução clássica de 1.44, então ela é também uma solução fraca, e portanto:

puivi + f quv = f fv 1/21v E 1-4(I).

Tomemos a forma bilinear

a(u, v) = f + f quv

e o espaço funcional Logo, pelo Lema (1.10.1) existe u E in única, tal que

a(u, v) = fv Vv E .110'(I).

Dessa forma, mil E H'. Se ut = èput, então u E IP. Portanto u é uma solução

clássica.0

53

54

Capitulo 2

Positividade e Critérios de

Comparação Abstratos

O objetivo deste capitulo é tornar simples a verificação de condições suficientes para

que soluções de problemas semilineares possam ser comparadas. No capitulo 4, aplicare-

mos os resultados obtidos aqui à equação do calor e aos sistemas de equações diferenciais

ordinárias.

2.1 Espaços de Banach Ordenados e Positividade

Para que métodos de comparação possam ser desenvolvidos, vamos introduzir as pro-

priedades básicas que uma ordem deve satisfazer em um Espaço de Banach.

Definição 2.1.1. Um espaço de Banach pré-ordenado é um par (X,<), onde X e um

espaço de Banach e < é uma relação em X que satisfaz:

1) x <y implica x + z < y + z, x, y, z E X.

ii)x<y ey<zimplicamz<z.

iii) x < y implica Az < Ay, para x,y E X, e número real A > O.

iv) O "cone positivo" C = {x E X, x > O} é fechado em X.

55

Se ainda,

c n -c = {o},

dizemos que X é um espaço de Banach ordenado

Observação 2.1.1.

i) Observe que x < y é equivalente a y — x > O. Observe ainda que x < O se e somente se

O < —x e que o cone C é convexo. Note ainda que se )t <p ex > O então ( )< (p — )t)x

e Az < px.

ii) Todo subespaço fechado de um espaço de Banach ordenado é também um espaço de

Banach ordenado com a ordem induzida.

iii) Se (X, <x) e (Y, <y) são espaços de Banach ordenados, então X x Y com a ordem

definida por (a, b) <xxv (x, y) se e somente se a <x x e b <y y, é um espaço de Banach

ordenado.

iv) Para 1 < p < ao, X = LP(S2), com a ordem "f < g se e somente se f(x) < g(x)

quase sempre" é espaço de Banach pré-ordenado.

Definiremos agora o que entendemos por transformações que preservam ordem.

Definição 2.1.2. Sejam (X, <) (Y,--‹) espaços de Banach pré-ordenados. Uma função

T : D(T) c X Y é dita crescente se e somente se x < y, x,y E D(T), implica

T(x) 3 T(y) e é chamada positiva se e somente se x < O, x E D(T), implica T(x) O.

Observação 2.1.2. Se na definição acima T é linear então ambos conceitos coincidem.

Lema 2.1.1. Seja (X,<) um espaço de Banach pré-ordenado e f E L1((t0, ti), X), tal

que f (t) > O para quase todo t E (to,ti). Então, gl f (s) ds > O.

Prova: Como a integral é um operador linear continuo entre L1((t0,t1), X) e X e o

cone C é fechado, é suficiente provar o resultado para f em um subconjunto denso de

L1((t0, ti), X)• Se f E C([to, ti], X), pelo teorema do valor médio para integral,

n tj

f (s) ds = (t1 — to) IIi E f (Cl) (—t)

E (t1 — to) W9 (f ([to, td)), ft° i=i

onde

rd( f ([to, ti]))

56

é o fecho da envoltória convexa da imagem de f. Se f(t) > O, para todo t, então sua

imagem está em C e então (f ([to, td)) C C, pois C é convexo e (f ([t0, til)) é o menor

convexo tal que{ f (t) : t E [to, ti]} C coUnto, taci

Definição 2.1.3. Seja (X,<) um espaço de Banach pré-ordenado. Podemos definir uma

ordem "-•<"(que chamaremos ordem dual) no dual X' de X da seguinte forma: Dados

x', y' E X' dizemos que x' y' se e somente se

(x', x)x,,x (il, V0<xEX

Temos que (X', -1 é um espaço de Banach pré-ordenado.

As propriedades i), ii), iii) de espaços de Banach pré-ordenados são facilmente ve-

rificadas. A propriedade iv) é verificada da seguinte forma: Seja O -‹ E X' uma

seqüência convergente para x' E X'. Então, se 0<xEX,0< (x1„, x) ,x (x' x) ,x

e O < (x', x)x,,x. Segue que O 3 x'.

Definição 2.1.4. Seja (X, <) um espaço de Banach pré-ordenado e seja ”a ordem

dual em X'. Dizemos que "<"e "-•<"stio compatíveis se

(x', x)x,,x > O, V O •-•< x' E X' x > O.

Consideremos o espaço L( Q), q > 1 com a ordem natural e q' tal que 1/q+ 1/q' = 1.

A ordem dual em (L(2))' = Lqi (2), coincide com a ordem natural de V' (2). De fato,

pois se x', y' E (L( Q))', temos:

x' 3 y' <=>(x', x)(Lcusw,(Lq(n)) (il, x)(Lq(n))',(Lq(s- )), VOxE (L(2))

t=>o (V, x)(Lq(o))',(Lq(n)) — x)(Lqp»,(Lq(n)) VOxE (L(2))

<=> f(y? — x)lx O, VO < Lq(Q)

— x' > O em quase toda parte

<=> V x' em quase toda parte.

57

Temos também que a ordem de Mn) é compatível com a ordem dual de (Lq(51))1. Isto

é um conseqüência do fato que se v E Lgi (A), então

u(x)v(x)dx O V ti E Lq(n), O u(x), q.s. em S/ •;=> v(x) > O q.s. em St

Lema 2.1.2. Suponha que X é um espaço de Banach reflexivo e X' o seu dual. Seja

E uma ordem em X, "-Ca ordem dual em X'. Se "<"e "-Csão compatíveis. Então a

ordem definida em X" por "-<"coincide com a ordem "<"de X quando os espaços X e

X" são identificados.

Prova: Temos que x" e menor ou igual a y" relativamente a ordem induzida em X" pela

ordem de X' se e somente se

(x", xi)x”,x, (Y", xn,x,

V O x' E XI

E quando identificamos X e X" temos

X)X,,X = (xpl, X5)(11,X1 (XII Y)X1,X

V O -< x' E X'.

o que implica,

O < y — V O ri E X.'

E como "<"e "-<"são compatíveis segue que x

Lema 2.1.3. Sejam (E, <E) e (F, <F) espaços de Banach pré-ordenados e A : D(A) C

E —> F uma transformação linear positiva tal que D(A) = E . Se C denota o cone

positivo de E, assuma que D(A) n c é denso em C. Então A' : D(Al) c F' —> E' é uma

transformação linear positiva.

Prova: Note que A é densamente definida e portanto A' está bem definida. Como A

é positiva temos que O <E Au sempre que O <E it e u E D(A). Assim se v E D(A'),

O <Ft v' então da definição de A' e de ordem dual em F' obtemos que

O < (Au, ti)F,F, = (u,

Portanto, temos que para O <E it e ti E D(A), O <

Segue da densidade de

C n D(A) em C que O <E, Aiv o

58

2.2 A Equação Linear

Os resultados a seguir estabelecem a equivalência entre a positividade do resolvente

do gerador de um semigrupo e a positividade do semigrupo.

Proposição 2.2.1. Suponha que (X, <) é um espaço de Banach pré-ordenado, {T(t) :

t > O} um Co-semigrupo em X eA o seu gerador. Seja M>0 eco E IR tais que

IIT (011 x(x) _< Me". Assuma que existe À0 > O tal que (A - A)' é crescente para todo

A > Ào. Então, T(t) é crescente para todo t > O.

Reciprocamente, se X u0 T(t)u0 E C([°, a* X) é crescente para todo t > O,

então (À - A)-1 é crescente para todo A > to.

Prova: Pelo Teorema 1 2 6 temos que:

—1" T(i)tio = liM [El — A) uo Vuo EX e t >O (2.1) n-)00 t t

Tomando uo > O queremos provar que T(t)uo > 0, t > O. O caso t = O é trivial, assumimos

que t > O. Por hipótese, para 1:- > À0, temos que et - A)-1 uo > O. E assim, obtemos

que ín (h - A _T uo > 0, Vn > tAo.

Portanto, obtemos uma seqüência de elementos em C que converge para T(t)uo Segue do

fato que o cone positivo é fechado que T(t)uo > O.

A recíproca segue do fato que a integral é um operador positivo e de

00 (A - A)-1 = o T(t)e-m dt > O

para todo A > to.°

Observação 2.2.1.

i) Observe que a hipótese acima sobre A é equivalente a um resultado de positividade

para o problema "elíptico" Au - Au = f: para todo A > À0 e para todo f > O, a solução

satisfaz u > O.

Equivalentemente, temos o resultado de comparação: para todo A > À0 e f > g, se

Au - Au = f e Av - Av = g, então u > v.

59

ii) Da mesma forma observe que a conclusão da proposição é equivalente a: para uo >

a solução da equação linear homogênea

{ut = Au verifica u(t) O para todo t > O.

u(0) = tio E X

ou equivalentemente, se uo > vo, então u(t) > v(t) para todo t > O, onde u e v são

soluções da equação linear homogênea com dados iniciais uo e vo respectivamente.

iii) Se A verifica as hipóteses acima, então o mesmo acontece com A + µ, para todo

µ E IR.

Corolário 2.2.1. Suponha que (X,‹) é um espaço de Banach pré-ordenado, e seja A o

gerador de um Co-sernigrupo {T(t) : t O} tal que IIT(t)111,(x) Met. Assuma que para

todo A > Ào, (A - A)-' é crescente.

i) Seja uo E D(A) tal que Afio < O. Então se u(t)= T(t)uo, temos

Au(t) O, u(t) O, u(t) u(s) uo

para todo O < s < t. O mesmo vale, com as desigualdades invertidas, se Auo > O.

ii) Seja uo E X tal que uo > O e sejam A, µ números reais tais que A > p. Então, se

uÀ(t) e u(t) denotam respectivamente as soluções de v.t = Au - Au e v.t -=. Au - pu, com

dado inicial uo, então O < uÀ(t) < up(t) para todo t.

Prova: i) Seja tio E D(A) tal que Auo < O. De

—dtT(t)uo =- T(t)Auo.

e da Proposição 2.2.1 segue que

Au(t) = AT(t)uo = T(t)Auo < O

ut(t) = T(t)Auo < O

E para finalizar tal item, temos que para todo O < s < t,

ut (t) O u(t) u(s).

Analogamente, temos que: u(s) <

ii) Sabemos que tot(t) = e-AtT(t)uo e u(t) = e-PtT(t)uo. Como A G µ implica At < pt,

o resultado seguei]

60

Corolário 2.2.2. Seja (X,<) um espaço de Banach pré-ordenado e A o gerador de um

Co-semigrupo {T(t) : t > 0}. Assuma que existe )1/40 E IR tal que para À> À0, (À - A)-1

é crescente.

Seja u = u(t,u0, f) a solução de

ut = Au + f (t)

u(to) = no E X,

com f E Li ((to, ti), X)•

Assuma 'tio > ui e fo(t) > h(t) para quase todo t E (to, ti), então u(t,uo, fo) >

u(t,ui, h) Para todo t E (to, ti). Em particular, se uo > O e f(t) > O para quase todo

t e (to, ti), então u(t, uo, > O para todo t (t0, t1).

Prova: Observe que a solução é dada pela fórmula da variação das constantes

u(t) = T(t - to)ut + f T(t - s)ft(s) ds to

para i = 0,1, e já sabemos que T(t - to) é crescente. Por outro lado, para todo to < s <

t < t1, T(t - s) fo(s) > T(t - s)fi(s) e como a integral é crescente obtemos o resultado,

O resultado a seguir, garante que quando tratamos de semigrupos de operadores lin-

eares positivos o cone positivo contém um subconjunto denso de funções suaves.

Lema 2.2.1. Seja (X, <) um espaço de Banach pré-ordenado e A o gerador de um

Co-semigrupo {T(t) : t > O} tal que T(t) é positivo para todo t > O. Então Coo :=

nk>iD(Ak) n C é denso em C.

Prova: Como T(t) é positivo para todo t> O segue que se x E C, então T(t)x E C.

Seja cfr : lR IR+ uma função infinitamente diferenciável, com suporte contido com-

pactamente em (O, Do). Dado x e Cef= cfr(t)T(t)x dt. Temos que f E D(A). De

fato, dado h > O, fazendo uma mudança de variáveis, obtemos:

limh,0+11,-1[T(h)f - =limh,o+ {fr[o(t _ h) - itfr(t)]T(t)x dt - itk(t)T(t)x dt}

= - ith,(t)T(t)x dt.

Portanto, f E D(A). E como -1/ se comporta como a 0, Af tem as mesmas propriedades

de f, logo f E D(112). Indutivamente, obtemos que f E D(A), Vn > 1.

61

Escolha çb tal que fr çl4t)dt = 1. e seja ,f = ni)(nt)T(t)x da > O. Então

nk,,D(Ak) f„ = fr:° 4'(t)T (ti n)x da O

e fn x quando n oo. Claramente fn E aso e o resultado segue.0

Agora mostraremos que estes conceitos e resultados podem ser transferidos para as

potências fracionárias de operadores setoriais.

Seja —A um operador setorial e X" os espaços de potência fracionárias associados a

—A. Se (X, <) é um espaço de Banach ordenado podemos definir em X', a > 0, a ordem

induzida por X; isto é, denotando por C o cone positivo de X definimos o cone positivo

de X' por Ca = C n X'. Denotaremos por <a a ordem induzida em X' pela ordem de

X.

É fácil verificar que (X', <a) é um espaço de Banach ordenado, de fato: as pro-

priedades i) e ii) da Definição 2.1.1 são imediatas; a propriedade iii) segue do fato que se

x„ —> x em X' então xn —> x em X e do fato que C é fechado.

O resultado a seguir, resume as propriedades importantes das ordens em espaços de

potência fracionária.

Proposição 2.2.2. Seja (X, <) um espaço de Banach pré-ordenado, —A: D(A) C X —+

X um operador setorial e {T(t) : t > 0} c L(X) o sernigrupo gerado por A. Assuma que

T(t) é um operador positivo para cada t > 0. Então (X°, <a) é um espaço de Banach —x0

ordenado, para todo a > O e se a > fl, = Cs; isto é, se çb> O em X0, então existe

> O em X° tal que 4',2 —> em X. .

Adicionalmente, se IIT(t)iimx) _< Me' e (A — : X' —> X" é crescente para todo

> to, a > 0, e conseqüentemente a transformação

X° D u0 Muo E C([0, oo), Xa)

é linear crescente.

Prova: A única afirmativa que precisa ser verificada é

— Cax = C, a > fi > O.

62

Assuma que f E Cfl seja g(t) = e-At f . Então, pelo efeito de regularização, g(t) E X'. De

f E Cfl e T(t) = e-At é crescente, segue que g(t) E C. Portanto, g(t) E Cfl n x. = Ca e g(t) f em X0, quando t O. Conseqüentemente, Cax° = Cfl.0

Observe que a propriedade acima dos cones positivos mostra a consistência das defi-

nições "f > O", independentemente do espaço Xa no qual f está. Portanto, de agora em

diante, não faremos distinção entre as ordens <,„a > O.

Como nos Corolários 2.2.1 e 2.2.2, obtemos resultados de comparação e positividade

para a equação linear não homogênea

ut = Au + f (t)

u(0) = uo E Xa.

Corolário 2.2.3. Seja (X, <) um espaço de Banach pré-ordenado e {T(t) : t > O} C

L(X) um semigrupo de operadores lineares positivos com gerador A.

i) Seja uo E D(A) tal que Auo < O. Então, se u(t)=T(t)uo temos

Au(t) 5_ 0, ut(t) 5_ 0, u(t) 5_ u(s) uo

para todo O < s < t. O mesmo é verdade, com as desigualdades invertidas, se Auo > O.

ii) Seja uo E X tal que uo > O e seja À,bt E IR tais que À > p. Então, se uÀ(t) e utt(t)

denotam respectivamente as soluções de ut = Au — Au = O e ut = Au— mu = O, com dado

inicial uo, então O < ux(t) < ui(t) para todo t.

Se —A é setorial, para qualquer a > O, a transformação

xa x ((to, ti), Xa) f) ti E C([to, td, X')

é crescente.

2.3 Alguns Operadores com Resolvente Positivo

Os resultados das seções precedentes são dependentes da possibilidade de encontrarmos

geradores de semigrupos fortemente contínuos, A, cujo operador resolvente, (À — A)-1,

seja um operador positivo para todo À E (co, co). Nesta seção asseguramos que há. uma

classe interessante de operadores com esta propriedade.

63

Lema 2.3.1. Seja H um espaço de Hilbert e f E H. Suponha que existe j. E H tal que

¡IP lin e que (I, f) IV, hl.

Então f = J.

Prova: Sabemos que II /11 e que

= f) = l(f, 111-1111f11.

Segue que ilfil = II e

O (f - f, f - t) = 21If 112 — 2(1) o

implica que f = 1.0

Definição 2.3.1. Seja H um espaço de Hilbert ordenado e C o seu cone positivo. Dizemos

que um operador auto-adjunto A : D(A) c H .if é positivo, se (Au, u) > O para todo

u E D(A). E ainda, dizemos que (A + a)' é crescente se (A + If E C sempre que

f E C.

Teorema 2.3.1. Sejam H, A e C como acima. Assuma que H possui um subconjunto

denso D tal que:

• (A + a)-11) c D;

• Para cada d E D podemos definir ¡dl EDnc e esta relação satisfaz: Um elemento

d E D está em C se e somente se d = idi e 11dM = 'dl II;

• (14 g) i(d,g)¡, Vd E D, Vg E C.

Considere as seguintes afirmativas:

(i) Se u E D(A1) então lu¡ E D(A1) e

¡u¡, Afiul) 5_(Au, u).

(ii) (A+ a)-' é crescente para todo a > O.

64

Então (i) implica (ii).

Prova: Em D(441) adotamos o produto interno

(f, 9)1 = (Ai f, Ais) + a(f, g)

onde a> O. Denotamos por Hf o espaço de Hilbert (D(441), (•,•)i)•

SeDpg>Oec= (A + a) 1 g, (c E D, pois (A + a)'D c D)

(1c1, = (1c1, (A + a)-19)1 = (Al 1c1, Ai (A + a) ig) + (A + 12)-19)

= ((A + (A + 12)-19) = (iei, 1(e, 9)1

= i((A + ce)c, (A + a)-19)i = Re, (A + 0)-19)11 = 1(c, c)i I-

Adicionalmente, pela propriedade (i)

111c 111i = (Alici, Aè 1c1) + 12111c1 112

5_ (Ai c, Ai c) + allc112

=

Usando o Lema 2.3.1 com f =ce .7= c concluímos que se g EDnC então

(A + arigl = (A + a)-19

e (A + a)i g E C. Da densidade de D n C em C e da continuidade de (A + a)-I, segue

que

(A + a) l g E C Vg E C.

Portanto (A +a)-1 é crescenten

2.4 A Equação Não Linear

Nesta seção tratamos da comparação e positividade para problemas semilineares da

forma ut = Au + f (t,u)

(2.2) u(to) = uo

65

onde A é o gerador de um semigrupo de operadores lineares e positivos. Esta seção

está dividida em duas subseções: uma que trata o caso em que A é o gerador de um

semigrupo de de operadores positivos e outra que trata do caso em que A gera um semigrupo

analítico de operadores positivos.

2.4.1 O caso hiperbólico

Nesta subseção tratamos da comparação e positividade para problemas semilineares

da forma (2.2) no caso em que A é gerador de um semigrupo fortemente contínuo de

operadores lineares positivos em X, f : [to, ti) x X --+ X é contínua em t, localmente

Lipschitz contínua em u. A solução de (2.2) e denotada por uf(t, uo)•

Se (X, <) é um espaço de Banach ordenado, o resultado a seguir estabelece condições

sobre f que asseguram a invariância do cone positivo C de X.

Teorema 2.4.1. Seja (X, <) um espaço de Banach ordenado e {T(t) : t > O} C L(X)

um Co-semigrupo de operadores lineares positivos. Assuma que f é tal que f(t,x) > O

para todo t E [to, ti) e x E X. Então, uo > O implica uj(t,uo) > O, enquanto a solução

existir.

Prova: Seja .7- o operador dado pela fórmula da variação das constantes; isto é,

(u) = T(t — to)uo + fio T(t — s) f (s , u(s)) da.

Analogamente a demonstração feita no Teorema 1.7.2, temos que .7- é uma contração em

V = {u E C([to, to + h], X), Ilu(t) — uollx

se h e 8 são suficientemente pequenos.

Tomando inicialmente yo(t) = tio > O, então f (s,y0(s)) > O e pelo Corolário 2.2.3

obtemos yi(t) = F(yo(t)) > O. Iterando, obtemos y(t) = F(yn-1(t)) > O. COMO y(t)

converge para u(t) em C([to, to + hl, X), então u(t) > O em [to, to + h].

Assuma que TI é definido em [to, ti) e defina t+ = sup{t E [to, ti), u(t) > 0}. Se

t+ <t1, então t+ é finita e pela continuidade, u(t+) > O, mas então o argumento acima

contradiz a definição de t+ e então t+ = ti•Ei

66

Teorema 2.4.2. Com as notações acima, assuma que para todo r > O existe urna cons-

tante 13 = > O tal que para todo t E [to, t1), f (t,•)+ 131 é positiva sobre uma bola em

X de raio r.

Então, se tto > O, uf(t, tio) é positiva enquanto existir.

Prova: Inicialmente escrevemos a equação (2.2) na forma

ut = (A - 131)u + f (t,u)+

Seja F o operador dado por

F(u) = T(t - to)e-13(t-t0)uo + f T (t - s)( f (s,u(s)) + 13u(s)) ds. to

Temos que Fé uma contração em V = {u E C([to,to hl, X), liu(t) - uoiix < õ} se

h e õ são suficientemente pequenos.

Dado r = ilunli x + 5, existe /3 = fiaittoiix + 6) tal que f (t, •) +131 > O na bola de raio

IIuoIIx + 8. Temos ainda que T(t)e- fit > O.

Tomando inicialmente yo(t) = uo > O novamente temos f (s,Yo(8))+PYo(s) > O e então

pelo Corolário 2.2.3 obtemos yi(t) = F(yo(t)) > O. Iterando, y(t) = F(Yn-1(t)) > O e

como y(t) converge para u(t) em C([to, to + h], X), então u(t) O em [to, to + h].

O mesmo argumento usado anteriormente prova que a solução é positiva enquanto

existir.0

Relativamente a comparação, temos

Teorema 2.4.3. Suponha que (X, <) é um espaço de Banach ordenado, e seja {T(t) :

t > O} c L(X) um Co-semi grupo de operadores lineares positivos.

i) Assuma que para todo t E [to, ti), f (t,•) é crescente. Então uo > u1 implica uf(t,u0) >

uf(t,u1) enquanto ambas existirem.

ii) Assuma que f , g satisfazem f (t,x) > g(t,x) para todo t E [to, ti) ex E X. Então,

uf(t,u0)> u9(t,uo) enquanto ambas existirem.

iii) Assuma que f, g são tais que x > y implica f (t,x) > g(t,y). Então, tto > implica

uf (t, un) > u9(t, ui) enquanto ambas existirem.

Prova: i) Sabemos que ui(t) = uf (t, ui) é um ponto fixo de

F(u) = T(t - to)u + f to T(t - s)f (s , u(s)) ds

67

em 14 = {u E C([to, to h], Ilu(t) -ujIx < 'Sb para h e 6 suficientemente pequenos.

Tomando como função inicial para as iterações y?(t) = ui, obtemos y?(t) = .7(yr-1(t)) e

esta seqüência converge para ui(t) em C([to, to + h], X).

Mas yg(t) ?_ y?(t) e portanto f (s, yg(s)) ?_ f (s , y?(s)) e pelo Corolário 2.2.3, y(t) >

(t) . Iterando, obtemos yg(t) > y(t) e portanto uo(t) > ui(t) em [to, to +

Seja t+ = sup{t E [to, ti), u9(t) > ui(t)}. Se t+ é estritamente menor que o tempo

maximal de existência de u0(t) e ui(t), então t+ é finito e por continuidade, uo(t+) >

ui(t+). Mas então o argumento acima contradiz a definição de t+, portanto u0 (t) > tti(t)

enquanto ambas existirem.

ii) Sabemos que u f (t uo) e u9(t,u0) são pontos fixos de Y. f (U)= T(t - to)uo + ftto T (t -

f (s,u(s))ds e .79(u) = T(t — to)no + ftto T(t — s)g(s , u(s)) ds, respectivamente em V =

{u E C([to, to h], X), ilu(t) — uollx < 6}, para h e .5 suficientemente pequenos.

Tomando como função inicial para a iteração y(t) = uo = yg°(t), temos por hipótese,

para cada n, > O,

f (s, (s)) g(s, (s))

e portanto, yr(t) (yy(t)) > F9(y7(t)) = yri(t) e então uf (t, uo) > ug(t, uo) em

[to, to + h].

Seja t+ = sup{t E [to, ti), uf (t, uo) > u9(t, u0)}. Se t+ é estritamente menor que o

tempo maximal de existência de uf(t,uo) e u9(t,u0), então t+ é finito e por continuidade,

uf(t,u0)(4) > u9(t+,u0). Mas então o argumento acima contradiz a definição de

portanto uf (t, tio) > ug(t, tio) enquanto elas existirem.

iii) Novamente, u0(t) = uf(t,u0) e ui(t) = ug(t, ui) são pontos fixos de

Ff (21) = T(t tO).120 f to T(t - s)f (s,u(s))ds

e

Y. g (ti) = T(t — to)ui + f T(t — s)g(s, u(s)) ds, to

respectivamente, em V = {u E C([to, to h], X), Ilu(t) - uill x < 5}, para h e 6 suficien-

temente pequenos.

Começando as iterações com y?(t) = ui, obtemos para cada n > O,

f (s, Vot(s)) g (s , yi:(s))

68

e portanto, Voi+1(t) = Ff (Y;(0) 9(y' (t)) = (t) e então uo(t) > (t) em [to, to +

Como antes, obtemos que uo(t) > ui(t) enquanto existirem.]:

Teorema 2.4.4.

i) Assuma que para todo r > O existe uma constante fi = fi (r) > O tal que, para todo

t e [to,ti), f (t,.) + /51 é crescente na bola de raio r de X. Então, uo > u1 implica

uf (t, tio) > uf (t, ui) enquanto ambas existirem.

ii) Assuma que para todo r > O existe constante fi = fi(r) > O tal que para x > y e

t e [to, ti), f (t, x) + fiz g(t,y) + y na bola de raio r de X.

Então, uo > ui implica uf(t, tio) > u9(t,u1) enquanto ambas existirem.

2.4.2 O caso parabólico

Nesta seção tratamos da comparação para problemas semilineares da forma (2.2) onde

—A é um operador setorial em X, f : [to, ti) x X° --+ X/3 é localmente Hõlder continua em

t, localmente Lipschitz continua em ueO<a —13 < 1. A solução de (2.2) e denotada por

uf(t, tio). Não demonstraremos os resultados a seguir, pois eles são análogos dos teoremas

da Seção 2.4.1.

Se (X, <) é um espaço de Banach ordenado, o resultado a seguir estabelece condições

sobre f que asseguram a invariância do cone positivo C de X.

Teorema 2.4.5. Seja (X, <) um espaço de Banach ordenado, e seja {T(t) : t > O} c

L(X) o sernigrupo analítico de operadores lineares positivos gerado pelo operador A onde

—A é setorial. Assuma que para todo t e [to,ti), f (t,.) é positivo. Então, uo > O implica

u1(t,u0)> O, enquanto existir.

Teorema 2.4.6. Com as notações acima assuma que para todo r > O existe uma constante

fi = fi(r) > O tal que para todo t e [to, ti), f (t,•)+ PI é positivo na bola de raio r em X'.

Então, se uo > O, uf (t, uo) é positiva enquanto existir.

Relativamente a comparação, temos o seguinte resultado:

69

Teorema 2.4.7. Suponha que (X, <) é um espaço de Banach ordenado e —A um operador

setorial tal que o semigrupo analítico gerado por A é positivo.

i) Assuma que para todo t E [to, ti), f (t, .) é crescente. Então uo > ui implica u f(t, uo) >

uf (t, ) enquanto ambas existirem.

ii) Assuma que f, g verificam f (t,x) > g(t, x) para todo t e x. Então, uf(t,u0) > u9(t, uo)

enquanto ambas existirem.

iii) Assuma f , g são tais que x > y implica f(t,x) > g(t,y). Então, uo > ui implica

u1 (t, uo) > u9 (t, ) enquanto ambas existirem.

Teorema 2.4.8.

i) Assuma que para todo r > 0 existe uma constante fi = )3(r) > O tal que para todo

t E [to, 4)2 f (4.) + é crescente na bola de raio r de X'. Então, uo > ui implica

uf(t,u0)> uf(t,u1) enquanto ambas existirem.

ii) Assuma que para todo r > O existe fi = > O tal que para t E [to, ti), e x > y

f(t, + fiz > 9(t,y)+ fiy na bola de raio r de X'. Então, uo > u1 implica uf(t,uo) >

u9(t,u1) enquanto ambas existirem.

2.5 Sub-soluções e Super-soluções

Seja (X, <) um espaço de Banach ordenado e {T(t) : t > O} c L(X) um Co-semigrupo

de operadores lineares positivos. Sob essas hipóteses temos:

Definição 2.5.1. A funcão v E C([to, td, X) é a subsolução de (2.2) se e somente se

vt Av + f (t, v)

no sentido que para todo to < r < t < t1 temos

v(t) <T (t — r)v(r) + T (t — s) f (s, v(s)) ds

Analogamente, definimos uma supersolução simplesmente invertendo a desigualdade.

70

Note que se v(t) é uma solução forte de vt = Av+ g(t) e g(t) < f (t, v) então, usando a

fórmula da variação das constantes e a positividade do semigrupo e do operador integral,

obtemos que v(t) verifica a desigualdade acima. De fato:

v(t) = T(t — r)v (r) + T(t — s)g(s) ds T(t — r)v(r) + T(t — s)f (s, v(s)) ds

Teorema 2.5.1. Assuma que para todo t E [4,4), f(t,.) é crescente.

Seja v(t) uma subsolução de (2.2). Então v(t) < uf(t,v(to)) enquanto ambas exis-

tirem. Adicionalmente, se tio é tal que v(to) < uo, então v(t) < uf(t, tio) enquanto ambas

existirem.

O mesmo vale para supersoluções, com as desigualdades invertidas.

Como uma conseqüência imediata, obtemos

Corolário 2.5.1. Assuma que v(t) e V(t) são sub e supersoluções de (2.2), respecti-

vamente e tais que v(t) < V(t) para todo t e assuma que para todo r > O existe uma

constante fi = fi(r) > O tal que para todo t E [to, ti), f(t, .) fiI é crescente na bola de

raio r em X.

Então v(to) < uo < V(to), temos

v(t) tif (t, tio) V(t)

enquanto ambas existirem.

71

72

Capítulo 3

Aplicações

3.1 A Equação do Calor Semilinear

Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira

ut(t, x) = uzz(t, x) — u(t, x) + f (u)(t, x), O < x < 1, t > O

u(0, = u(1, x) = O, (3.1)

u(0, x) = uo(x) E H.

onde f : IR -Y IR é diferenciável com derivada localmente limitada.

Teorema 3.1.1. Seja o operador

A : H2 n In c L2 —Y L2

tal que

Au = —ux, + u E L2 (3.2)

Ternos que:

(i) Ai é auto-adjunta.

(ii) A tem resolvente positivo.

73

Prova: (i) Note que:

Au, u)1,2 = (—til' + u, u)1,2 = (—u" + u)u dx =

= —u"udx + Ju2 dx = (11)2 dx + Ju2 dx = Hut + IIuII2 = IIuIIL > 0

e

(Au, v)1,2 = (-2f + u, v)1,2 = (—u" + u)v dx =

= —u"v dx + uv dr = u'vi dx + uv dx = (u, Av)

sempre que u.v E D (A).

Com isso, concluímos que A é simétrico. Ainda do Teorema 1.10.1 (iii), sabemos que

se f E L2 e u E Hd é solução fraca de —u" + u = f então u E H2 e, portanto A é

sobrejetora. Logo A é auto-adjunto. E assim, temos que Al também o é.

ii) Como Ai é auto-adjunto, então

(Al u) = u, AL) = + Vu E D (A)

portanto,

= IIuIj,ji, Vu E D(A)

e

= D(A» = x4.

Provaremos agora que A tem resolvente positivo, isto é,

(Alu,Alu)= (Allui,Aliul).

Para isso, dado u E Hd, defina Fui como segue

lul (x) = Itt(x)1.

74

Temos que ¡ui E In e

(Ai Ah) = f (te (x))2 dx + f (u(x))2 dx

= f lu' (x)I2 + f lu(x)I2 dx

= f (lur (x))2 dx f (1111(x))2 dx •

= II iur ii2L2 + 1iui ii2L2

Ailul)

Com isso, segue o resultado.0

Defina a seguinte função f : H -4 L2, tal que (7(u))(x) = f (u(x)). Mostremos que

7 está bem definida. De fato, seu E 141, temos pela observação 1.9.1 que u E CM. Dessa

forma,

sup I f (u(x))1 5_ k < 00. xEl

Com isso, concluímos que fe(u) E L2, pois:

f (7(u)(x))2 = f (f (u(x)))2 <fK2 < 00

Logo f e está bem definida.

Teorema 3.1.2. fe é Lipschitz em subconjuntos limitados de N.

Prova: Seja B = {u E In ItzIIHi <M} e ti, ü E B. Temos que u, ü E Ca) e, portanto

M.

E ainda,

If e (u)(x) — ft(ü) = I f (u(x)) — f (ii(x))1 < L(B)iu(x) — 2-1(4,

o que implica,

Ilfe(u) — PO:011v L(B)lin —

75

Como u : [0, ruo] —r 1-4 é uma solução de 3.1 então u é uma curva em N. E ainda

{(t, uo) : t E 40 = [O, ru0]} é um compacto, logo {u(t, uo) : t E 40 = [0, rto]} e, portanto

{u(t, uo) : t E I.° = [O, Tuon é limitada.

Analogamente para u1 tal que uo > 221.

Assim, temos:

sup ilu(t,u0)1103 K tEluo

e

sup ilu(t, 22,1)1103 K t€1„,

O nosso objetivo agora é deixar f crescente, para que possamos aplicar o Teorema

2.4.3; nas considerações acima.

Como f : IR —r IR é diferenciável com derivada localmente limitada, então se s,s+h E

[—K, K], temos I f (s + h) — f (8)15_ M3 1h1. Donde, segue que supkia I f' (s)I --= fl.

Logo

)3 + f'(s)?_ O, Vs E [—K, K] (3.3)

Tomando j(s) = f (s)+ fis, 'Is E [—K,11.

Por (4.3), temos ji(s) = f'(s)-Fi3 > O, 'Is E [—K, K], o que implica que f é crescente

em / = [—K, K].

Se s E (—co, —K], tomamos 'As) = as +b, onde a = f'(—K)+ fie a(—K)+ b = j(—K).

Se s E [K, co), tomamos j(s) = as + b, onde a = f'(K)+ fie a(K) + b = j(K).

Portanto j assim definida é crescente então fe é crescente.

Pelo Teorema 2.4.3, temos que se 220 > u1 então

u(t, uo, fe — fi) u(t, ui, fi)

enquanto as soluções existirem.

Teorema 3.1.3. Se 24 > u1 então

u(t, u0, fe) /e — )9) u(t, 211, P - fi) = u(t, 2112 fe)] Vt iuo n

Analogamente, temos:

76

Teorema 3.1.4. Se g > fT então

u(t , uo, É) u(t, uo,

enquanto ambas existirem.

3.2 Um Exemplo em Dimensão Finita

Como uma segunda aplicação dos resultados da seção sobre "Critérios de Comparação

Abstratos," mostramos que para um espaço H de dimensão finita e um operador A dado

por uma matriz a ser especificada, as hipóteses do Teorema 2.3.1 estão satisfeitas.

Seja a matriz n x 72.

1 —1 O

—1 2 —1

O —1 2 O

—1

O O —1 1

Ela é chamada matriz do tipo Jacobi.

Mostremos inicialmente que:

(Au,u), Vu = (tii,u2,...,u„) E IR".

De fato:

(Au,u) = (ti — u2)ti1 + (—u1 + 2u2 — u3)u2 + (—u2 + 2u3 — u4)u3

+(—Tki-2 2u1_1 — 22/3 — Ui-F1)U1 •••

±(—Un_2 2241-1 Un)Un-1 (—Un-1 Un)Un

Portanto

(Au,u) = (ti — u2)2 + (u2 — u3)2 + ...+ (u1_1 — u42 + ...+ (un_i — 14)2 > O.

77

E assim, segue que:

(AU, > O, VU E Ir.

Então A :1Rn —> IRA é um operador auto-adjunto e positivo. Temos que:

1) (A + a)-IIRA C IRA;

2) Para cada u = (ui, u2, ..•,an) E MA podemos definir itzi = luzi, iun I) E IRA n C

e esta relação satisfaz: Um elemento u E ir está em C se e somente se u = itti e

11uII=IIIuIjI,pois = Vu? + + + uâ;

3) Dados v = (vi, ECeuE IRA, temos:

Iu1Iv1+1u21v2+...+IunIvn = I I + Iu211v21 + + Ivnl + u2v2 + + unvnl

Portanto:

(12/1,V) 1(u, V)I, Vu E IR", Vre E C.

E ainda se u E D(Ai) então lui E D(A4) e

(Au, u)

(Ai Àu,

(Aftt,Alu).

Com todas as considerações acima, temos pelo Teorema 2.3.1, segue que (A + a)-1 é

crescente para todo a > O.

Como A E L(R), então A é o gerador do semigrupo T(t) = em. Sabemos que

T(t)xo = etAxo é solução da equação diferencial:

{

g(t). Ax(i)

x(0). x0 > 0

Como (A +a)-1, Va > O é crescente então pelo Teorema 2.2.1, T(t) = etA é crescente

para todo t > O. Logo como xo > O, então etAxo > O, Vt > O.

Com isso, acabamos de provar o seguinte teorema:

Teorema 3.2.1. Se x0 > xl então T(t)xo > T(t)xl, para todo t > 0.

Analogamente, temos:

78

Teorema 3.2.2. Considere os problemas:

{ (4 (t) = Ax (t) + f(x)

x(0) = x., > 0 i = 0,1.

Então se x0 > xi temos que x(t, xo, fo) > x(t,x1, h), enquanto as soluções existirem.

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Referências Bibliográficas

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