Currículo+ Matemática (E.F. II)

Atividades de Matemática Ensino Fundamental – Anos Finais

Fevereiro de 2016

GOVERNADOR

Geraldo Alckmin

Vice-Governador Márcio França

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO José Renato Nalini Secretária adjunta Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete Antônio Carlos Ozório Nunes

Coordenadora de Gestão da Educação Básica (CGEB) Ghisleine Trigo Silveira Diretora do Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão da Educação Básica (DEGEB) Regina Aparecida Resek Santiago Diretora do Centro de Estudos e Tecnologias Educacionais (CETEC) Renata da Silva Simões Equipe Técnica Camila Carvalho Lopes Eva Margareth Dantas Equipe de Apoio Gabriely Santos Hora Hércules Macedo Barbosa Marta de Oliveira Contreras

Elaboração Silvia Sentelhas e Robespierre Sentelhas

Agradecimentos especiais à equipe curricular da CGEB

Valéria Tarantello de Georgel (coordenação), Djalma de Oliveira Bispo Filho, João dos Santos Vitalino, Otavio Yoshio Yamanaka; Vanderley Aparecido Cornatione

Apoio

Instituto Natura

Apresentação

O Currículo+1 é uma plataforma lançada pela SEE em fevereiro de 2014, disponibiliza objetos digitais de aprendizagem (vídeos, videoaulas, jogos, animações, simuladores e infográficos), articulados com o Currículo do Estado de São Paulo. A seleção dos conteúdos é feita por meio de um processo de curadoria realizado por uma equipe composta por Professores Coordenadores de Núcleo Pedagógico (PCNP) de diversas Diretorias de Ensino da Rede, representantes de todos os níveis de ensino e disciplinas do Currículo. Assim, pretende-se incentivar a utilização da tecnologia como recurso pedagógico para inspirar práticas inovadoras em sala de aula, a fim de promover maior motivação, engajamento e participação dos alunos com o processo educativo, objetivando, prioritariamente, o desenvolvimento das competências e habilidades referidas no Currículo Oficial.

Desde o seu lançamento até o início de dezembro de 2015, quase 2 milhões de sessões2 foram registradas na plataforma Currículo+, sendo cerca de 80% delas em 2015. Devido à sua importância no engajamento de professores para o uso de tecnologias em sala de aula, o programa passou a fazer parte do Plano Plurianual 2016-2019 do Governo do Estado de São Paulo.

Agora, ao longo de 2016, o Currículo+ passará a disponibilizar também atividades para apoio ao trabalho docente, sobretudo em ações de reforço, com o uso de conteúdos digitais. Este volume contém parte dessas atividades que, além de disponibilizadas no Currículo+ estarão também disponíveis na plataforma Foco Aprendizagem.

1 Disponível em: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br. Acesso em: 7 fev. 2016. 2 Uma sessão é o período de tempo em que um usuário interage ativamente na plataforma. Todos os dados de utilização são associados a uma sessão.

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/

Introdução

Neste volume são apresentadas as atividades de Matemática dos Anos Finais do Ensino Fundamental. Para que fossem elaboradas, foi realizado um estudo do conjunto de habilidades fundamentais nessa disciplina que conferem as condições necessárias para construção dos conceitos nas diferentes áreas do conhecimento, conforme será detalhado a seguir.

As atividades têm duas versões, para professor e para aluno:

A versão para o professor inclui orientações para a condução das atividades e gabarito dos exercícios sinalizados em fonte vermelha.

A versão para o alunos é editável, ou seja, é possível responder às atividades em formato digital e salvá-las de acordo com orientações dos professores.3

Neste documento você encontra todas as atividades reunidas, de forma que possa conhecer todas as possibilidades de trabalho. Considerando que a sua opção seja realizar as atividades com alunos em formato digital (.pdf editável) é possível fazer dowload desses arquivos aqui na plataforma Foco Aprendizagem. Lembre-se de que não é possível salvar aquivos nos computadorres do Acessa Escola. Utilize pen drive ou algum repositório virtual.

Por fim, você também terá acesso, neste documento, a orientações técnicas para acesso a jogos que necessitam de configurações específicas (Java).

3 No cabeçalho das atividades para alunos o ano/série não é indicado pois fica a critério do professor utilizar a atividades em outros anos/séries para trabalhos de reforço ou de recuperação.

Sumário O sumário contém hiperlinks. Clique nos itens para ser direcionado à orientação sobre a habilidade ou à atividade.

Atividades indicadas para o 6º ano

H04 – Identificar diferentes representações de um mesmo número racional

Representações fracionária e gráfica

Inteiros discretos e frações equivalentes

Números fracionários e números decimais

Outro modo de ler frações e decimais: as porcentagens

H05 – Identificar a localização de números racionais, representados na forma decimal, na reta numérica

Dando um zoom na régua

H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração

Um dia agitado!

Probleminhas e Problemões

H27 – Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas desenhadas em malhas quadriculadas

Medindo o contorno de figuras em malhas quadriculadas


H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice‐versa

H08 – Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número

Fração decimal

Da representação fracionária à representação decimal

H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração

Pensando, discutindo, resolvendo

H17 – Classificar formas planas e espaciais

Formas geométricas por todos os lados

Em busca de pistas


H03 – Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros ‒ adição, subtração, multiplicação e divisão

Lendo, pensando, discutindo, resolvendo

H10 – Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais

Cálculos com decimais – parte 1

Cálculos com decimais – parte 2

H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa

Observando padrões em matemática

Ampliando o olhar sobre as expressões algébricas


H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa

Ler e escrever em Matemática – parte 1

Ler e escrever em Matemática – parte 2

H30 – Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc.

H01 – Reconhecer as diferentes representações de um número decimal

Revendo velhos conhecidos

Conhecendo novos significados para os racionais

H24 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos

Descobrindo umas boas sobre um cara conhecido

Orientações Técnicas – Java

Atividades indicadas para 6º ano

As atividades indicadas para 6º ano consideraram o desenvolvimento das seguintes habilidades:

• H04 ‒ Identificar diferentes representações de um mesmo número racional (avaliação do 5ºano).Ter o domínio dessa habilidade é essencial para que se possa avançar no estudo dos númerosracionais, pois dela depende a significação dos procedimentos de cálculo com esses númerose, também, a compreensão dessas representações ligadas às medidas.

• H05 ‒ Identificar a localização de números racionais, representados na forma decimal, nareta numérica (avaliação do 5º ano).Localizar números racionais, na forma decimal, na reta numérica é habilidade necessária paraa comparação e ordenação desses números que se mostra sempre como fonte de dificuldadesaos alunos. Além disso, sua vinculação às medidas os torna de grande aplicabilidade na vidacotidiana.

• H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvamdiferentes significados da adição ou subtração (avaliação do 5º ano).A resolução de problemas é determinante na consolidação de conhecimento matemático. Épor meio deles que o professor pode acompanhar o progresso das aprendizagens dos alunos,pois a aquisição dessa habilidade denota a aplicação de conhecimentos adquiridos e aspossibilidades de construção de novos.

• H27 – Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planasdesenhadas em malhas quadriculadas (avaliação do 5º ano).Explorar figuras planas em malhas quadriculadas permite discutir sobre o aspecto conceitualdo perímetro, sem que se fixem regras específicas a determinadas figuras, como triângulo,quadrado ou retângulo, ampliando as possibilidades de os alunos desenvolverem a habilidadede resolução de problemas com esse tipo de figura e generalizar para outras.

Números Racionais – representações

Ensino Fundamental 6º ano ‒ Professor

H04 - Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.

Orientações Gerais ‒ Como desenvolver esta habilidade

Muitos alunos têm dificuldades na aprendizagem dos números racionais. Alguns não percebem a necessidade de que a unidade seja dividida em partes iguais. Outros têm dificuldade em relacionar uma parte com o todo correspondente.

Mesmo quando parecem já ter algum conhecimento dos números racionais, parece faltar a alguns alunos a percepção de que os racionais são números e que podem ser representados de várias formas, mesmo estando na forma de fração têm outras frações que os representam, daí a necessidade de abordar a equivalência de frações.

Outro aspecto importante é o de apresentar representações pictóricas contínuas e discretas para que os alunos percebam que tanto se pode ter fração de pizza como fração de flores, por exemplo.

A representação verbal também desempenha papel fundamental no trabalho com números racionais, nomeadamente na comunicação oral. Portanto, as frações devem ser trabalhadas a partir dos seus nomes (metade, um terço, um quarto etc.).

O significado da fração como parte-todo, na qual se identifica o número de partes do todo considerado – e o número de partes que se toma desse todo – é fundamental para a compreensão dos outros significados a serem tratados posteriormente. Assim, as atividades propostas neste momento tratam do significado de parte-todo. Para maior conhecimento sobre as dificuldades que os alunos apresentam na aprendizagem dos números racionais e sugestões de trabalho veja o artigo de João Pedro da Ponte e Marisa Quaresma <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/15310/1/P3M.pdf>.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) para o professor

Vídeo

“Frações” <https://www.youtube.com/watch?v=PmIImkAIblM&feature=

youtu.be>

Aborda:

• Frações equivalentes.

• Números mistos.

• Quantidades de meios para formar vários inteiros.

Apresentar aos alunos partes do vídeo em que há propostas de desafios.

http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/15310/1/P3M.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=PmIImkAIblM&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=PmIImkAIblM&feature=youtu.be

Jogo “Frações do professor Sagaz”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-do-professor-sagaz/>

Tem três partes e aborda:

• Representação gráfica.

• Frações equivalentes.

• Comparação de frações.

As partes 1 e 2 podem ser sugeridas a alunos com mais dificuldade com as

representações e equivalências.

Endereços eletrônicos acessados em: 1 fev. 2016.

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-do-professor-sagaz/

Números Racionais ‒ Representações Ensino Fundamental - Aluno

Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Representações fracionária e gráfica”

1. Para se aquecer para as próximas atividades, jogue “Dividindo a pizza”em: <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/dividindo-a-pizza/>.

2. Pensando na divisão das pizzas, escreva a fração correspondente às partes pintadas.

3. Nas representações acima você obteve alguma fração correspondente à metade do

total de partes da figura? _________ Se sim, qual foi essa fração? ____________.

4. Escreva outra fração, conhecida por você, que também representa metade: _______ .

Como as duas frações representam metade de um total de partes, podemos escrever:

=

5. Observe novamente as representações gráficas acima e explique por que duas figuras

diferentes podem ser representadas pela mesma fração.


Números Racionais ‒ Representações Ensino Fundamental 6º ano ‒ Professor

Habilidade desenvolvida

H04 ‒ Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. Embora o foco da proposta seja o desenvolvimento da habilidade indicada acima, a realização dessa atividade também trata da habilidade de identificar e representar frações menores que a unidade associando a sua representação simbólica à ideia de parte de um todo, e também da habilidade de reconhecer frações equivalentes, uma vez que elas fazem parte da constituição do conhecimento requerido para a aquisição da referida habilidade. Além disso, é necessário que o aluno se habitue a trabalhar tanto com inteiros contínuos como com inteiros discretos.

Atividade “Representações fracionária e gráfica”

1. Para se aquecer para as próximas atividades, jogue “Dividindo a pizza”.<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/dividindo-a-pizza/>Professor, jogue também para perceber as discussões possíveis com os alunos, tantosobre a divisão sempre em partes iguais, como também sobre as diferentespossibilidades de resposta quando há a presença da adição. Solicite aos alunos queobservem como são as frações que representam o inteiro e como são as querepresentam mais do que um inteiro. Depois, peça a eles que expliquem o queobservaram e como podem, ao olhar para uma representação fracionária, já anteciparse ela representa um número menor, igual ou maior que um inteiro. Como o jogo temsom, veja se é o caso de sugerir o uso de fones de ouvido ou de selecionar a opçãosem o som, disponível por meio do botão “Desligar áudio” no canto inferior direito dojogo. Avalie também o tempo que pretende dedicar ao jogo.

2. Pensando na divisão das pizzas, escreva a fração correspondente às partes pintadas.

3. Nas representações acima você obteve alguma fração correspondente à metade dototal de partes da figura? __Sim_ Se sim, qual foi essa fração? _3/6__.

4. Escreva outra fração, conhecida por você, que também representa metade. ________A resposta dependerá do aluno, então colha as diferentes respostas e apresente-as atodos, destacando a fração ½ como a mais simples representação de metade.

Como as duas frações representam metade de um total de partes, podemos escrever:

As respostas podem variar. Este é um exemplo.

5. Observe novamente as representações gráficas acima e explique por que duas figurasdiferentes podem ser representadas pela mesma fração.Espera-se que os alunos observem que o número de partes em que cada inteiro estádividido e o número de partes pintadas em cada uma é o mesmo, independente dafigura apresentada.


Números Racionais ‒ Representações Ensino Fundamental ‒ Aluno

Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Inteiros discretos e frações equivalentes”

1. Ana desenhou estas flores e pintou 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏

de amarelo, 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏

de azul e o restante de vermelho.Se quiser, pinte as flores como Ana.

Quantas flores são amarelas? ___________ . Quantas flores são azuis? ____________ . Quantas são vermelhas? ________________. Qual a fração que representa as flores vermelhas? ________ .

Antes de resolver as próximas questões, assista ao vídeo “Frações de fruta – episódio 5” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=49999>

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-3/>. Pode assistir aos dois, se quiser. ou ao vídeo “Frações”

<

2. Complete as frações abaixo, considerando algumas que usou nas atividades anteriorese outras que também representem metade de um total.

𝟏𝟏𝟐𝟐

= = = = =

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=49999

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-3/

3. Faça duas figuras diferentes e represente, em cada uma, a fração 𝟏𝟏𝟒𝟒. Depois, escreva

pelo menos outras quatro frações equivalentes a ela.

4. Assinale quais destas figuras são representadas por frações equivalentes.


Números Racionais ‒ Representações Ensino Fundamental 6º ano ‒ Professor


H04 ‒ Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. Embora o foco da proposta seja o desenvolvimento da habilidade indicada acima, a realização dessa atividade também trata da habilidade de identificar e representar frações, menores que a unidade, associando a sua representação simbólica à ideia de parte de um todo, e também da habilidade de reconhecer frações equivalentes, uma vez que elas fazem parte da constituição do conhecimento requerido para a aquisição da referida habilidade. Além disso, é necessário que o aluno se habitue a trabalhar tanto com inteiros contínuos como com inteiros discretos.

Atividade “Inteiros discretos e frações equivalentes”

1. Ana desenhou estas flores e pintou 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏

de amarelo, 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏

de azul e o restante de vermelho.Se quiser, pinte as flores como Ana.

Quantas flores são amarelas? ___3____ Quantas flores são azuis? ____2______

Quantas são vermelhas? ______5_______. Qual a fração que representa as flores

vermelhas? __5/10 ou 1/2___

Antes de resolver as próximas questões, assista ao vídeo “Frações de fruta – episódio 5” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=49999> ou ao vídeo “Frações” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-3/>. Pode assistir aos dois, se quiser. Estes vídeos abordam a equivalência de frações e ampliam as noções já apresentadas anteriormente, sistematizando a construção/simplificação de frações. Assista-os antes de propô-los aos alunos, para que possa questioná-los sobre as frações equivalentes ali apresentadas e sobre como obtê-las.

2. Complete as frações abaixo considerando algumas que já usou nestas atividades eoutras que também representem metade de um total.


http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/fracoes-3/

3. Faça duas figuras diferentes e represente, em cada uma delas, a fração 𝟏𝟏𝟒𝟒. Depois,

escreva pelo menos outras quatro frações equivalentes a ela. A resposta depende do aluno, mas espera-se que ele represente um inteiro dividido em 4 partes iguais, e apenas uma pintada. Depois, espera-se que escreva frações como:

4. Assinale quais destas figuras são representadas por frações equivalentes.

X X Aproveite para discutir que a terceira figura não está dividida em partes iguais e que, portanto, não pode ser representada por uma fração.


Números Racionais ‒ Representações

Ensino Fundamental ‒ Aluno

Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Números fracionários e números decimais”

1. Você conhece um material como o representado abaixo?

Você pode tê-lo usado quando estudou o sistema de numeração decimal e as operações com números naturais. Pensando nele, complete:

a) Quantos formam uma ? Então, podemos dizer que:

• 1 cubinho corresponde a 110

da barrinha.

• 2 cubinhos correspondem a ou 15

da barrinha.

• 5 cubinhos correspondem a ou da barrinha.

• 10 cubinhos correspondem a ou barrinha.

b) Quantos formam uma ? Então, podemos dizer que:


da placa.


da placa.

• 5 cubinhos correspondem a ou da placa.

• 10 cubinhos correspondem ou da placa.

• 100 cubinhos correspondem a ou placa.

c) Quantos formam um ?

Então, podemos dizer que:

• 1 cubinho corresponde a do cubo.


do cubo.

• 5 cubinhos correspondem a ou _______ do cubo.

• 10 cubinhos correspondem a ou _______ do cubo.

• 100 cubinhos correspondem a ou do cubo

• 1000 cubinhos correspondem a ou cubo

2. Escreva como se lê cada uma das frações chamadas de frações decimais:

a) 310

b) 9100

c) 151000

3. Há outro modo de escrever as frações decimais, mas a leitura é a mesma. Complete os espaços, como no exemplo abaixo:

a) 310

= 0,3 (três décimos).

b) 710

= ( ).

c) 9100

= 0,09 ( ).

d) 43100

= ( ).

e) 151000

= 0,015 ( ).

f) 1321000

= ( ).

4. Escreva os números decimais na forma de fração.

a) 0,2 = b) 0,02 = c) 0,002

Explique como pensou para escrever as frações decimais acima.

5. Confira se acertou as transformações feitas nos itens 3 e 4 usando uma “calculadora

especial” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50135>.

6. Pratique um pouco mais as transformações entre frações e números decimais

acessando “conversões 1” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50137> e,

depois, “conversões 2” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50139>.





Números Racionais ‒ Representações


H04 – Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.

Atividade “Números fracionários e números decimais”

1. Você conhece um material como o representado abaixo? Se tiver alunos que não conhecem o Material Dourado, procure levar para a sala de aula uma caixa para que possam manipulá-la.

Você pode tê-lo usado quando estudou o sistema de numeração decimal e as operações com números naturais. Pensando nele, complete:

a) Quantos formam uma ? ____10________ Então, podemos dizer que:


da barrinha.

• 2 cubinhos correspondem a 2/10 ou 15

da barrinha. (indique a equivalência

entre as duas frações).

• 5 cubinhos correspondem a 5/10 ou 1/2 da barrinha.

• 10 cubinhos correspondem a 10/10 ou 1 barrinha.

b) Quantos formam uma ? 100 Então, podemos dizer que:


da placa.


da placa.

• 5 cubinhos correspondem a 5/100 ou 1/20 da placa.

• 10 cubinhos correspondem a 10/100 ou 1/10 da placa.

• 100 cubinhos correspondem a 100/100 ou 1 placa.

c) Quantos formam um ? 1000

Então, podemos dizer que:

• 1 cubinho corresponde a 1/1000 do cubo.


do cubo.

• 5 cubinhos correspondem a 5/1000 ou 1/200 do cubo.

• 10 cubinhos correspondem a 10/1000 ou 1/100 do cubo.

• 100 cubinhos correspondem a 100/1 000 ou 1/10 do cubo

• 1000 cubinhos correspondem a 1000/1000 ou 1 cubo

2. Escreva como se lê cada uma das frações chamadas de frações decimais:

a) 310

três décimos

b) 9100

nove centésimos

c) 151000

quinze milésimos

3. Há outro modo de escrever as frações decimais, mas a leitura é a mesma. Complete os espaços, como no exemplo abaixo:

a) 310

= 0,3 (três décimos).

b) 710

= 0,7 (sete décimos).

c) 9100

= 0,09 (nove centésimos).

d) 43100

= 0,43 (quarenta e três centésimos).

e) 151000

= 0,015 (quinze milésimos).

f) 1321000

= 0,132 (cento e trinta e dois milésimos).

4. Escreva os números decimais na forma de fração.

a) 0,2 = 2/10 b) 0,02 = 2/100 c) 0,002 = 2/1000

Explique como pensou para escrever as frações decimais acima.

Espera-se que os alunos percebam a regularidade da escrita, associando o número

de casas decimais ao número de zeros no denominador.

5. Confira se acertou as transformações feitas nos itens 3 e 4 usando uma “calculadora

especial” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50135>.

Não corrija os itens 3 e 4 antes de os alunos conferirem suas respostas. Acompanhe

essa etapa questionando os alunos sobre como pensaram para dar as respostas, tanto

para aqueles que estão acertando como para aqueles que tiverem erros.

6. Pratique um pouco mais as transformações entre frações e números decimais

acessando “conversões 1” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50137> e,

depois, “conversões 2” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50139>.

Acompanhe o desempenho dos alunos nestes dois aplicativos e os considere para sua

avaliação das aprendizagens.





Números Racionais – Representações

Ensino Fundamental – Aluno

Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Outro modo de ler frações e decimais: as porcentagens”

1. Você já deve ter visto o símbolo “%” em vários lugares porque ele é muito usado.

Vamos então estudar um pouco sobre isso. Comece assistindo ao vídeo “Números

mistos e porcentagens” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50141>.

2. No vídeo, você viu que a porcentagem é uma comparação que fazemos com o número

100. Com base nisso, complete:

a) 60% (60100

) dos alunos de uma escola são meninas.

Isso significa que em cada grupo de 100 alunos, 60 são _ e,

portanto, 40 são .

b) Numa loja de games 25% (25100

) dos jogos são de guerra, isso significa que em cada

grupo de games, são de e os outros

são de outras modalidades.

c) Na classe da Bia 100% (100100

) dos alunos trazem seu material em mochilas.

Isso significa que Será que na classe de Bia tem 100 alunos?

3. Embora a porcentagem indique a comparação com 100, é possível usarmos outras

frações, desde que sejam equivalentes à fração de denominador 100. Vamos, agora,

escrever frações equivalentes a cada uma das porcentagens.

a) 10% = 10100

= d) 30% = =


b) 20% = 20100

= = e) 50% = = = =

c) 25% = = = f) 75% = = =

4. Que frações são equivalentes a 100%? Explique como chegou a essa conclusão.

5. Dê um exemplo de algo que 100% de seus colegas de classe têm.

6. O fato de a porcentagem corresponder a uma fração de denominador 100 também

permite que sua escrita seja na forma de um número decimal. Escreva as

porcentagens na forma decimal.

a) 10% = d) 23% =

b) 45% = e) 90% =

c) 75% = f) 100% =

7. Você está preparado para jogar! Desafie um colega a jogar “Relacionando frações e

decimais” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50143>. Marquem seus

pontos!

8. Continue jogando e desfiando seu colega! Acesse agora outro jogo: “converter

decimais” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50145>.




Números Racionais – Representações

Ensino Fundamental 6º ano – Professor


H04 – Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.

Atividade “Outro modo de ler frações e decimais: as porcentagens”

1. Você já deve ter visto o símbolo “%” em vários lugares porque ele é muito usado.

Vamos então estudar um pouco sobre isso. Comece assistindo ao vídeo “Números

mistos e porcentagens” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50141>.

O vídeo apresenta a porcentagem e depois números mistos, embora nesta atividade

não foquemos explicitamente esses números. Você poderá fazer alguns comentários

sobre o conteúdo para avaliar o conhecimento e a familiaridade dos alunos.

2. No vídeo, você viu que a porcentagem é uma comparação que fazemos com o número

100. Com base nisso, complete:

a) 60% (60100

) dos alunos de uma escola são meninas, isso significa que em cada grupo

de 100 alunos, 60 são meninas e, portanto, 40 são meninos.

b) Numa loja de games 25% (25100

) dos jogos são de guerra, isso significa que em cada

grupo de 100 games, 25 são de guerra e os outros 75 são de outras modalidades.

c) Na classe da Bia 100% (100100

) dos alunos trazem seu material em mochilas, isso

significa que de um grupo de 100 alunos todos trazem mochilas.

Será que na classe de Bia tem 100 alunos?

Faça essa questão aos alunos e possibilite que deem sua opinião sobre o que

entendem por 100%.

3. Embora a porcentagem indique a comparação com 100, é possível usarmos outras

frações, desde que sejam equivalentes à fração de denominador 100. Vamos, agora,

escrever frações equivalentes a cada uma das porcentagens.

a) 10% = 10100

= 110

d) 30% = 30100

= 310


b) 20% = 20100

= 210

= 15 e) 50% =

50100

= 2550

= 510

= 12

c) 25% = 25100

= 520

= 14

f) 75% = 75100

= 1520

= 34

4. Que frações são equivalentes a 100%? Explique como chegou a essa conclusão.

A partir das discussões dos alunos, destaque o fato de que toda fração que tiver

numerador e denominador iguais são equivalentes a 1 e, portanto, correspondem a

100%.

5. Dê um exemplo de algo que 100% de seus colegas de classe têm.

Podem ser vários exemplos, como: todos têm a mesma professora; todos estão na

mesma escola.

6. O fato de a porcentagem corresponder a uma fração de denominador 100 também

permite que sua escrita seja na forma de um número decimal. Escreva as

porcentagens na forma decimal.

Sugira aos alunos que escrevam primeiro a fração decimal para depois passarem para

a escrita decimal.

a) 10% = 0,1 d) 23% = 0,23

b) 45% = 0,45 e) 90% = 0,9

c) 75% = 0,75 f) 100% = 1

7. Você está preparado para jogar! Desafie um colega a jogar “Relacionando frações e

decimais” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50143>. Marquem seus

pontos!

8. Continue jogando e desfiando seu colega! Acesse agora outro jogo: “Converter

decimais em porcentagens e frações”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50145>.

Acompanhe a realização dos jogos, pois eles poderão ser usados como avaliação das

aprendizagens.




Números Racionais – representações


H05 ‒ Identificar a localização de números racionais, representados na forma decimal, na reta numérica.

Orientações Gerais – Como desenvolver esta habilidade

A representação decimal dos números racionais deve ser abordada tendo como suporte o conhecimento social que esse tipo de número possibilita. As medidas, de modo geral, são o recurso mais adequado para o desenvolvimento dessa habilidade. Pode-se, por exemplo, pensar nas alturas dos alunos e colocar essas medidas na reta numérica, que substituiria a fita métrica.

Outro aspecto que você, professor, pode considerar é o de reapresentar aos alunos o quadro de ordens e classes, com destaque para as ordens decimais, ressaltando as relações entre essas ordens e as medidas das alturas obtidas com a fita métrica.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) para o professor

Ficha técnica de aula: “Quadro de ordens e classes na leitura e escrita de

números decimais”

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56440>.

(Acesso em: 17 fev. 2016)

Aborda:

• Representação fracionária para peças do Material Dourado.

• Representação de décimos, centésimos e milésimos no quadro.

• Leitura e escrita de números decimais.

Jogo “Decimais na reta numérica 1”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/numeros-decimais-na-reta-

numerica-1-2/> (Acesso em: 17 fev. 2016).

Aborda:

• o posicionamento de números decimais na reta numérica.

• os décimos entre 0 e 1.

Sugerido como introdutório ao trabalho de localização de números na reta

numérica.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56440

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/numeros-decimais-na-reta-numerica-1-2/

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/numeros-decimais-na-reta-numerica-1-2/

Jogo “Decimais na reta numérica 2”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/numeros-decimais-na-reta-

numerica-2/> (Acesso em: 17 fev. 2016).

Continuação do jogo anterior, agora abordando os centésimos.


Números Racionais Localização na reta numérica


Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Dando um zoom na régua”

1. Posicione números decimais na reta numérica, imaginando que você esteja usando uma régua em que foi dado um zoom: acesse “Decimais na reta numérica 1” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50003> e “Decimais na reta numérica 2”. <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50005>. Observe que os números são representados com ponto no lugar da vírgula, do mesmo jeito que se vê na maioria das calculadoras.

2. Você sabia que os números decimais podem ser escritos na forma de uma fração decimal? Para isso, basta fazer a leitura correta do número decimal. Veja como:

2,5 deve ser lido como dois inteiros e cinco décimos,

escrevendo na forma de fração temos: 2 510

ou 2510

. 2,52 deve ser lido como dois inteiros e 52 centésimos,


ou 252100

.

Escreva como deve ser lido cada número decimal e, depois, escreva sua representação

fracionária.

• 2,521:

• 0,6:

• 0,123:

• 3,3:

3. Para verificar se está craque em posicionar números na reta numérica e escrever a fração decimal correspondente, acesse “Números na Reta” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50007>. ATENÇÃO!!! Os números decimais devem ser escritos com ponto no lugar da vírgula.

4. Dê as medidas indicadas pelos pontos A, B e C na régua abaixo.

A: _____________ B: _____________ C: ______________





Números Racionais Localização na reta numérica

Ensino Fundamental 6º ano - Professor

Habilidade desenvolvida H05 - Identificar a localização de números racionais, representados na forma decimal, na reta numérica. Nesta atividade aborda-se o significado de medida para os números racionais representados na forma decimal. O uso da régua como suporte de trabalho é para que o aluno se apoie em conhecimentos anteriores para avançar no reconhecimento da localização dos números na reta numérica. Muitos alunos apresentam dificuldades em tratar com a reta numérica porque ela difere das outras representações: além de apresentar a repetição da unidade, traz ainda a subdivisão simultânea de todas elas. Por isso, há a proposta de leitura correta do número decimal e de sua correspondência com a fração decimal, na busca de maior significação do número localizado. Atividade “Dando um zoom na régua”

1. Posicione números decimais na reta numérica, imaginando que você esteja usando uma régua em que foi dado um zoom: acesse “Decimais na reta numérica 1” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50003> e “Decimais na reta numérica 2”. <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50005>. Observe que os números são representados com ponto no lugar da vírgula, do mesmo jeito que se vê na maioria das calculadoras. Professor, converse com os alunos sobre a diferença de representação dos números decimais nos países de língua inglesa, que invertem o uso da vírgula e do ponto nas representações numéricas. Faça as atividades propostas nos links para poder discutir com os alunos as dificuldades que eles eventualmente apresentem. Aproveite para discutir a ordenação dos números.

2. Você sabia que os números decimais podem ser escritos na forma de uma fração decimal? Para isso, basta fazer a leitura correta do número decimal. Veja como:

2,5 deve ser lido como dois inteiros e cinco décimos,


ou 2510

. 2,52 deve ser lido como dois inteiros e 52 centésimos,


ou 252100

.

Escreva como deve ser lido cada número decimal e, depois, escreva sua

representação fracionária.

• 2,521: dois inteiros e quinhentos e vinte e um milésimos 2 5211000

𝑜𝑜𝑜𝑜 25211000

• 0,6: seis décimos 610

• 0,123: cento e vinte e três milésimos 1231000



• 3,3: três inteiros e três décimos 3 310 𝑜𝑜𝑜𝑜 33

10

3. Para verificar se está craque em posicionar números na reta numérica e escrever a

fração decimal correspondente, acesse “Números na Reta” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50007>. ATENÇÃO!!! Os números decimais devem ser escritos com ponto no lugar da vírgula. Nesse jogo os alunos devem também indicar se a fração apresentada é própria, imprópria ou aparente. Então, explique que se trata de outro modo de observar como a fração é formada, e coloque na lousa a seguinte indicação:

• Fração própria: numerador menor do que o denominador. • Fração imprópria: numerador maior do que o denominador. • Fração aparente: numerador e denominador iguais ou o numerador é múltiplo

do denominador.

Importante! Para acessar esse jogo, é necessário fazer um cadastro. Você pode criar um login para a sua turma ou orientar cada aluno a criar o seu. Por isso, reserve um tempo da aula para esse cadastro.

4. Dê as medidas indicadas pelos pontos A, B e C na régua abaixo.

A: __1,9 cm_____ B: _6,6 cm___ C: __9,2 cm___


http://www.noas.com.br/ensino-fundamental-2/matematica/numeros-na-reta/


Números Racionais – problemas do campo aditivo


H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração.


É comum, entre pesquisadores e estudiosos da Educação Matemática, a afirmação de que o saber fazer em Matemática é a capacidade de resolver problemas. Essa capacidade se desenvolve pela utilização de variados tipos de problemas e pela sistematização de diferentes estratégias de resolução. Utilizar a metodologia de resolução de problemas é uma das mais fortes vertentes da didática da matemática, na qual o problema é o ponto de partida para o “fazer matemática”.

O professor apresenta um problema, escolhido por ele ou pelos alunos; os alunos procuram elaborar uma estratégia de resolução com os conhecimentos que já possuem, e, caso percebam que isto não é possível devido à falta de conteúdos específicos envolvidos na sua resolução, o professor apresenta estes conteúdos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resolução e o(s) conteúdo(s) apresentado(s).

A opção pela resolução de problemas favorece a troca de ideias entre os alunos e o emprego da linguagem ilustrada (desenhos ou esquemas) na busca das soluções dos problemas propostos, possibilitando a descoberta de relações e a elaboração de modelos que vão gradualmente servindo de ponte para a construção de conhecimento matemático mais formal. A socialização das resoluções, as comparações entre elas, a validação de algumas e o descarte de outras trarão mais significado para os conhecimentos colocados em jogo nas soluções.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) para o professor Vídeo: “Situações-problema”

<https://www.youtube.com/watch?v=3afFx0Xz0Q8>

Aborda:

• Aspectos favoráveis para o desenvolvimento de competências.

• Fundamentação para o trabalho com resolução de problemas.

• Aprendizagem por meio de situação-problema.

https://www.youtube.com/watch?v=3afFx0Xz0Q8

Jogo: “Mina de Decimais”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/mina-dos-numeros-decimais/>

Aborda o cálculo com decimais. Poderá ser utilizado se os alunos

apresentarem dúvidas nas operações de adição e subtração.


http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/mina-dos-numeros-decimais/

Números Racionais Problemas do campo aditivo


Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Um dia agitado!”

1. Você já viu uma daquelas máquinas automáticas de venda de objetos e alimentos que funcionam com o uso de moedas? Agora você vai a uma cafeteria com seus amigos e terá de usar uma máquina de café. Lá, tudo é feito com máquinas, até a troca de moedas! É melhor ter lápis e papel à mão, pois será preciso fazer alguns cálculos com dinheiro. Vá para a “Cafeteria Automática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50156>.

2. Ao voltar da cafeteria, chegando em casa, sua mãe precisava de ajuda para pendurar uma cortina. O suporte da cortina está a 2,10 m do chão e vocês dispõem apenas de cadeiras com 0,45 m de altura. Meça sua altura com os braços esticados para o alto e veja se conseguirá colocar a cortina subindo em uma das cadeiras.

3. Sua irmã mais nova mede 0,32 m a menos que você. Quanto ela mede?

4. Ufa! A história da cortina deu trabalho. Que tal tomar um suco? Sua mãe avisou que

deveria deixar um pouco de suco para sua irmã. Se você tomar um copo de 0,25 L, ainda vai sobrar um copo de 0,3 L para sua irmã. Quanto tinha de suco na jarra?

5. Seu dia ainda não terminou! Você precisa ir até a quitanda. Veja a lista de compras que

sua mãe preparou. ½ dúzia de laranjas 3 cenouras 1 dúzia de bananas

Como na quitanda as vendas são feitas por quilo, as laranjas pesaram 0,854 kg e as cenouras pesaram 0,240 kg. Se você levou para casa duas sacolas, uma com 1,05 kg e outra com 1,340 kg, quanto pesaram as bananas?



Números Racionais Problemas do campo aditivo


Habilidade desenvolvida H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. Os diferentes significados da adição e da subtração dizem respeito às variações que podem ser feitas nos enunciados, de modo a se ter situações envolvendo a composição, a comparação, a transformação de medidas ou quantidades. O grupo deve descrever o processo que utilizou para responder a cada problema abaixo, podendo fazê-lo utilizando palavras, desenhos, esquemas ou cálculos. Não apresente sua solução antes de os alunos apresentarem as deles. Atividade “Um dia agitado!”

1. Você já viu uma daquelas máquinas automáticas de venda de objetos e alimentos que funcionam com o uso de moedas? Agora você vai a uma cafeteria com seus amigos e terá de usar uma máquina de café. Lá, tudo é feito com máquinas, até a troca de moedas! É melhor ter lápis e papel à mão, pois será preciso fazer alguns cálculos com dinheiro. Vá para a “Cafeteria Automática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50156>. Professor, é importante que você faça o jogo da máquina de café antes de propô-lo a seus alunos. Assim, poderá ajudá-los com as dúvidas que possam surgir durante a realização jogo. Trata-se de obter o valor exato de cada bebida a ser selecionada na máquina, a partir de moedas de real. São problemas de composição de medidas.

2. Ao voltar da cafeteria, chegando em casa, sua mãe precisava de ajuda para pendurar uma cortina. O suporte da cortina está a 2,10 m do chão e vocês dispõem apenas de cadeiras com 0,45 m de altura. Meça sua altura com os braços esticados para o alto e veja se conseguirá colocar a cortina subindo em uma das cadeiras. Para a resolução deste problema, será necessário disponibilizar aos alunos algumas fitas métricas para que possam realizar as medidas solicitadas. Seria interessante colocar os alunos em duplas, para que se ajudem na realização das medições. Este é um problema de transformação positiva e a resposta dependerá de cada aluno.

3. Sua irmã mais nova mede 0,32 m a menos que você. Quanto ela mede? Este problema é de comparação e sua solução também dependerá de cada aluno. Cabe ressaltar também que será preciso que o aluno saiba sua altura ou a tenha obtido no problema anterior (sem os braços levantados).

4. Ufa! A história da cortina deu trabalho. Que tal tomar um suco? Sua mãe avisou que deveria deixar um pouco de suco para sua irmã. Se você tomar um copo de 0,25 L, ainda vai sobrar um copo de 0,3 L para sua irmã. Quanto tinha de suco na jarra? Este é um problema de transformação, no qual se deseja obter o estado inicial da situação proposta. Esse tipo de situação costuma causar dificuldades aos alunos que se apoiam em palavras-chave para a resolução pois, embora haja a referência à sobra, a resolução se dá pela adição: 0,25 + 0,3 = 0,55.


5. Seu dia ainda não terminou! Você precisa ir até a quitanda. Veja a lista de compras que sua mãe preparou.

½ dúzia de laranjas 3 cenouras 1 dúzia de bananas

Como na quitanda as vendas são feitas por quilo, as laranjas pesaram 0,854 kg e as cenouras pesaram 0,240 kg. Se você levou para casa duas sacolas, uma com 1,05 kg e outra com 1,340 kg, quanto pesaram as bananas? Este problema envolve sempre a composição. 0,854 + 0,240 = 1,094 1,05 + 1,340 = 2,390 2,390 – 1,094 = 1,296 As bananas pesaram 1,296 kg.


Números Racionais – Problemas do campo aditivo


Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Probleminhas e Problemões”

1. Você sabe o que é um quadrado mágico? Para saber assista “Matemática em toda parte” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50147>. Sabendo que o quadrado abaixo é mágico e sua constante mágica é 4, complete as lacunas que faltam.

510

0,85 1,1

310

1,1 15

10

0,85 1 35

100

1,8 13

10 0,3

15100

0,95 6

10 0,5

(Dica: transforme tudo em números decimais)

2. Continue a completar a faixa abaixo seguindo o modelo.

X X X X X X X X X X X X X

X X X a) Quantos quadrinhos essa faixa tem ao todo?

b) Quantos estão preenchidos?

c) Qual a fração de quadrinhos preenchidos nessa faixa?

d) Escreva o número decimal correspondente à fração dos quadrinhos pintados.


3. Antenor tem uma horta em seu quintal, que rega diariamente, usando água de uma caixa onde é captada a água de chuva. Nos dias que chove Antenor não rega sua horta. Veja no quadro abaixo a quantidade de litros que ele coletou e gastou durante um certo período.

Data Água coletada da chuva (L)

Água gasta na rega da horta (L)

11/04/2015 34,8 0 12/04/2015 12,7 0 13/04/2015 0 32 14/04/2015 0 33,2 15/04/2015 19,7 0 16/04/2015 0 31,4 17/04/2015 0 30,5 18/04/2015 0 27,6 19/04/2015 18,4 0 20/04/2015 0 28,4 21/04/2015 0 Caixa vazia

Descubra quantos litros de água havia na caixa no início desse período.

4. Ana compra toda semana a mesma quantidade de ovos, maçãs e peras. Nessa semana percebeu que o preço de um ovo diminuiu R$ 0,12, uma maçã subiu R$ 0,15 e uma pera subiu R$ 0,30. Quanto a mais Ana pagará se comprar a mesma quantidade de antes?

5. Um motorista de táxi quis verificar o consumo de combustível de seu carro. No primeiro dia encheu o tanque com gasolina, pagando R$ 3,10 por litro. Antes de iniciar seu trabalho viu que o velocímetro marcava 16.674,7 km. Ao chegar em casa, no final do dia o velocímetro marcava 17.045,1 km, tendo gasto 42 litros de gasolina. Quantos quilômetros ele andou nesse dia?


Números Racionais – Problemas do campo aditivo


H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. Atividade “Probleminhas e Problemões” Forme grupos de três alunos para que discutam as situações propostas e, depois apresentem suas soluções para toda a classe, explicando como pensaram.

1. Você sabe o que é um quadrado mágico? Para saber assista “Matemática em toda parte” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50147>. Veja se é o caso de apresentar o vídeo a todos ou sugerir que assistam, individualmente ou em duplas com o uso de fones de ouvido. Ao final questione os alunos sobre o que é chamado de constante mágica e se sentir necessidade apresente o vídeo novamente para que percebam como ela é obtida no quadrado mágico. Sabendo que o quadrado abaixo é mágico e sua constante mágica é 4, complete as lacunas que faltam.

510

0,85 1,1 0,85 0,7

310

𝟎𝟎,𝟗𝟗 0,2 1,1 15

10

0,65 0,85 1 1,15 35

100

1,8 0,45 13

10 0,3

15100

0,75 0,95 0,4 6

10 1,3

(Dica: transforme tudo em números decimais)

2. Continue a preencher na faixa abaixo seguindo o modelo.

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X a) Quantos quadrinhos essa faixa tem ao todo? 100.

b) Quantos estão selecionados? 36.

c) Qual a fração de quadrinhos selecionados nessa faixa? 36/100.

d) Escreva o número decimal correspondente à fração dos quadrinhos selecionados.

0,36.


3. Antenor tem uma horta em seu quintal, que rega diariamente, usando água de uma caixa onde é captada a água de chuva. Nos dias que chove Antenor não rega sua horta. Veja no quadro abaixo a quantidade de litros que ele coletou e gastou durante um certo período.

Data Água coletada da chuva (L)

Água gasta na rega da horta (L)

11/04/2015 34,8 0 12/04/2015 12,7 0 13/04/2015 0 32 14/04/2015 0 33,2 15/04/2015 19,7 0 16/04/2015 0 31,4 17/04/2015 0 30,5 18/04/2015 0 27,6 19/04/2015 18,4 0 20/04/2015 0 28,4 21/04/2015 0 Caixa vazia

Descubra quantos litros de água havia na caixa no início desse período.

Para resolver esse problema o aluno precisa perceber que deve obter o total de água gasta e dele subtrair o total de água acumulada no período. Isso poderá ser calculado de uma só vez, como:

32 + 33,2 + 31,4 + 30,5 + 27,6 + 28,4 = 183,1

34,8 +12,7 + 19,7 + 18,4 = 85,6

183,1 – 85,6 = 97,5

Os alunos poderão apresentar também outros modos de resolução corretos, apenas discuta que esse é um modo mais econômico.

4. Ana compra toda semana a mesma quantidade de ovos, maçãs e peras. Nessa semana percebeu que o preço de um ovo diminuiu R$ 0,12, uma maçã subiu R$ 0,15 e uma pera subiu R$ 0,30. Quanto a mais Ana pagará se comprar a mesma quantidade de antes? Este é um problema que os alunos devem perceber que com as informações dadas não é possível ser resolvido. Depois de os grupos terem apresentado suas conclusões a respeito dele, peça que acrescentem a informação que considerem necessária para sua solução.

5. Um motorista de táxi quis verificar o consumo de combustível de seu carro. No primeiro dia encheu o tanque com gasolina, pagando R$ 3,10 por litro. Antes de iniciar seu trabalho viu que o velocímetro marcava 16.674,7 km. Ao chegar em casa, no final do dia o velocímetro marcava 17.045,1 km, tendo gasto 42 litros de gasolina. Quantos quilômetros ele andou nesse dia? Quando da discussão dos alunos sobre a solução deste problema, questione-os sobre as informações constantes do enunciado que não foram relevantes para sua resolução. Proponha que acrescentem uma questão que possa ser respondida com os dados não utilizados anteriormente.


Figuras Planas – perímetro de figuras em malhas quadriculadas


H27 – Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas desenhadas em malhas quadriculadas


A visualização é uma habilidade espacial necessária à formação do conceito geométrico, visto que os aspectos figurais são decorrentes de imagens visuais. Esta pode ser considerada como a habilidade de pensar, em termos de imagens mentais (representação mental de um objeto ou de uma expressão), naquilo que não está ante os olhos, no momento da ação do sujeito sobre o objeto.

Explorar figuras geométricas planas com as formas não usuais para os alunos (quadrado, retângulo e triângulo), além de propiciar o desenvolvimento da visualização, contribui para a aquisição de habilidades como observar, comparar, descrever, abstrair e generalizar, que são de importância fundamental em Matemática – particularmente para o desenvolvimento de conhecimentos geométricos.

Por outro lado, a aquisição do conceito de perímetro tem grande relevância para a formação do cidadão, visto a necessidade de medir contornos de regiões planas como terrenos, pisos, paredes e faces de objetos, em atividades cotidianas. Para favorecer a aquisição deste conceito é que se privilegiou o trabalho com atividades que possibilitam aos alunos perceber que, ao construir uma figura com quadrinhos de uma malha, ela pode ser bastante variável conforme se distribuem e organizam esses quadrinhos, proporcionando mais flexibilidade ao modo de pensar dos alunos, ao mesmo tempo em que coloca em evidência o que muda e o que permanece fixo de uma figura para outra.

Sugestão de Objeto Digital de Aprendizagem (ODA) para o professor Coleção de aulas: “Para além da adição das medidas dos lados”

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=456&pagina=espaco%2Fvisualizar_colecao_aula&secao=espaco&request_locale=es> Em 13 aulas, esta coleção desenvolve a noção e o cálculo do perímetro a partir da formação de polígonos no geoplano. As aulas se desenvolvem desde a construção de polígonos usando barbante e elástico até a aplicação do conceito em um jogo virtual. As aulas 2, 3, 4 e 5 confrontam os conceitos de área e perímetro. Da sexta à nona, a noção de perímetro aparece usando como pano de fundo o Tangram e plantas de imóveis. As quatro últimas aulas possibilitam a composição de figuras com diferentes medidas de lados, a aplicação do conceito em uma produção artística e a utilização das peças de um pentaminó virtual.

Endereço eletrônico acessado em: 1 fev. 2016.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=456&pagina=espaco%2Fvisualizar_colecao_aula&secao=espaco&request_locale=es

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=456&pagina=espaco%2Fvisualizar_colecao_aula&secao=espaco&request_locale=es



Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Medindo o contorno de figuras em malhas quadriculadas”

1. Para aprender mais sobre perímetro, acesse “Medindo contornos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50017> e verifique quantas atividades você acerta. Seja o campeão da classe!

2. Para provar que está craque em perímetro, acesse “Acerte na medida” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50019>. Quantas atividades você acertou?

3. Pensando no que aprendeu nos jogos, descubra, em cada caso, quais figuras possuem a mesma medida de perímetro e marque-as com um X.

Você sabia que a linha que forma o contorno de uma figura plana é chamada

de perímetro?






Habilidade desenvolvida H27 – Resolver problemas que envolvam o cálculo de perímetro de figuras planas desenhadas em malhas quadriculadas É muito comum os alunos confundirem o perímetro com a área de figuras. Então o foco do trabalho deve ser o de destacar que, embora uma figura possa “parecer” maior do que a outra, o que importa é descobrir a medida da linha que forma seu contorno. Destaque sempre a variação das figuras conforme se organizam os quadrinhos que as formam, estimulando os alunos a perceberem o que muda e o que permanece em cada montagem proposta.

Atividade “Medindo o contorno de figuras em malhas quadriculadas”

1. Para aprender mais sobre perímetro, acesse “Medindo contornos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50017> e verifique quantas atividades você acerta. Seja o campeão da classe!

Oriente os alunos quanto ao uso da unidade dm presente nas propostas. Explique que não há necessidade de transformação: basta dar o nome dessa unidade e esclarecer que se trata do décimo do metro, enquanto estamos acostumados a usar o cm, que corresponde ao centésimo do metro. Como há necessidade de calcular algumas multiplicações, disponibilize lápis e papel ou calculadoras.

2. Para provar que está craque em perímetro, acesse “Acerte na medida” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50019>. Quantas atividades você acertou?

Determine com os alunos que façam apenas 10 das propostas apresentadas, pois como o lançamento das figuras é randômico, há muitas possibilidades. Aproveite para solicitar que marquem seus acertos e seu tempo de resolução.

3. Pensando no que aprendeu nos jogos, descubra, em cada caso, quais figuras possuem a mesma medida de perímetro e marque-as com um X.

Você sabia que a linha que forma o contorno de uma figura plana é chamada

de perímetro?



X X

X X

Proponha aos alunos que, antes de determinarem as figuras com a mesma medida de contorno, façam uma estimativa sobre quais seriam as duas que atenderiam ao pedido na questão. Peça que, depois, confiram se acertaram.




• H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa (avaliação do 5º ano). A identificação da fração decimal com um número decimal é necessária para que os alunos percebam que nosso sistema de numeração pode ser estendido para representar também números não inteiros, promovendo a ampliação de seu conhecimento sobre o sistema decimal de numeração.

• H08 – Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número (avaliação do 7º ano). Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número promove a ampliação do conceito de fração com maior possibilidade de os alunos as reconhecerem como um número – e que, como tal, pode ter outras representações.

• H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração (avaliação do 5º ano). É comum entre pesquisadores e estudiosos da Educação Matemática a afirmação de que o saber fazer em Matemática é a capacidade de resolver problemas. Essa capacidade se desenvolve pela utilização de variados tipos de problemas e pela sistematização de diferentes estratégias de resolução. Além disso, ao resolver problemas de modo autônomo, os alunos têm a oportunidade de colocar em jogo os conhecimentos adquiridos e proceder à formulação de novos saberes.

• H17 – Classificar formas planas e espaciais (avaliação do 7º ano). As observações e as análises necessárias para que as classificações sejam realizadas pelos alunos promovem o desenvolvimento do pensamento geométrico, essencial para a ampliação do trabalho em geometria e a percepção da presença e da aplicação dos conceitos geométricos em diversas áreas do conhecimento.

Números Racionais –Representações fracionária e decimal


H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa.

H08 – Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número.

Orientações Gerais – Como desenvolver estas habilidades

Representar um número significa atribuir-lhe uma designação, podendo um número ter várias designações. O numeral decimal, a fração, a porcentagem, a reta numérica e as linguagens natural e pictórica são representações que um número racional pode tomar e que os alunos devem compreender.

Pesquisadores em Educação Matemática sugerem que a compreensão dos números racionais esteja muito relacionada com a flexibilidade na conversão entre diferentes representações; com a flexibilidade nas transformações dentro de cada representação; e com o abandono gradativo de representações pictóricas e de materiais manipuláveis. Eles consideram que é através do processo de reinterpretação de ideias e conceitos requerida pelas conversões que os alunos adquirem novos conhecimentos e reforçam os conhecimentos anteriores, alcançando uma compreensão mais ampla e profunda das ideias matemáticas.

A representação em fração pode originar muitas dificuldades. Comumente os alunos dizem, por exemplo, que 1/2 = 1,2, não relacionando as representações com os números. Outras dificuldades dizem respeito: aos decimais, quando confundem décimos e centésimos, não distinguindo 2,5 e 2,05; ao número de algarismos e a grandeza, quando, por exemplo, dizem que 1,456 é maior que 1,5; e também quando consideram não existirem números racionais entre 0,1 e 0,2.

Considerando essas dificuldades, as atividades propostas tomaram um caminho mais investigativo para que os alunos possam desenvolver suas observações e determinem regularidades para perceber as relações entre as representações fracionária e decimal, explicitando como reconhecem essa relação. Com isso, tem-se maior possibilidade de ampliar a flexibilidade nas conversões necessárias.

Para saber mais sobre as dificuldades que os alunos apresentam na aprendizagem dos números racionais e sugestões de trabalho, veja o artigo de João Pedro da Ponte e Marisa Quaresma <http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/15310/1/P3M.pdf>.

http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/15310/1/P3M.pdf

Sugestão de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) para o professor Site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul

<http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/>

Acessando o tema “Números e Operações” e, depois, “Frações”, tem-se alguns

jogos interessantes para retomar alguns conhecimentos, caso seja necessário.

Vídeo “A história de Mussaraf”

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1115>

Aborda:

• Situações com proporções.

• Propriedades das frações.

• Situações-problema.

Professor, consulte também as propostas e orientações feitas para o 6º ano referentes

a números racionais.


http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1115

Números Racionais – Representações fracionária e decimal


Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Fração decimal”

1. Você sabe reconhecer uma fração decimal? Se não, procure saber como no “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021>.

2. No quadro abaixo, selecione as frações decimais.

3. Entre as frações do quadro acima, há algumas que não estão na forma de fração

decimal, mas que podem ser transformadas nessas frações. Para ajudá-lo a pensar em como fazer essa transformação, assista ao vídeo “Frações de Fruta” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=49999>.

4. Use o que aprendeu com o vídeo e transforme a fração 12

em uma fração decimal.

12 × =

5. Descubra quais outras frações do quadro têm frações equivalentes com denominador 10, 100 ou 1 000 e escreva-as abaixo:

6. Para quais frações não foi possível escrever a fração decimal? Explique por que isso acontece.






Habilidades desenvolvidas H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa. H08 – Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. A atividade salienta a importância da conversão entre e dentro das diversas representações dos números racionais e na equivalência de frações, saberes essenciais para a futura comparação e ordenação desses números, além de ser a estrutura básica para as operações de adição e subtração de frações.

Atividade “Fração decimal”

1. Você sabe reconhecer uma fração decimal? Se não, procure saber como no “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021>. Oriente os alunos a buscar o que caracteriza as frações decimais. Solicite a eles que expliquem, com suas palavras, como podem identificar as frações decimais. Eles usarão esses dados no próximo exercício.

2. No quadro abaixo, selecione as frações decimais.

3. Entre as frações do quadro acima, há algumas que não estão na forma de fração

decimal, mas que podem ser transformadas nessas frações. Para ajudá-lo a pensar em como fazer essa transformação, assista ao vídeo “Frações de Fruta” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=49999>. Nesse vídeo, os alunos terão oportunidade de verificar como tratar com frações equivalentes, fazendo simplificação. Eles terão oportunidade de reconhecer a multiplicação do numerador e do denominador pelo mesmo número, que se trata da multiplicação por 1.

4. Use o que aprendeu com o vídeo e transforme a fração 12

em uma fração decimal.

12

×55

=5

10



5. Descubra quais outras frações do quadro têm frações equivalentes com denominador 10, 100 ou 1 000 e escreva-as abaixo:

14

×2525

=25

100

1

25×

44

=4

100

6. Para quais frações não foi possível escrever a fração decimal? Explique por que isso acontece.

23 e 59

Espera-se que os alunos percebam que com os denominadores 3 e 9 não se consegue obter, por meio de uma multiplicação por um número natural, denominadores 10, 100, 1 000 etc. Aproveite para discutir a possibilidade de aproximações, como foi apresentado no “jogo da balança”, no qual 1/3 foi aproximado para 0,33.




Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Da representação fracionária à representação decimal”

1. Observe que no quadro abaixo há algumas regularidades. Descubra quais são elas para completar os espaços em branco. Na última linha, você faz tudo.

Fração decimal Número decimal Leitura

510

0,5 Cinco décimos

910

0,9 Nove décimos

2710

2,7 Dois inteiros e sete décimos

110

32,5

Cem inteiros e três décimos

Escreva o que observou sobre a relação entre a fração de denominador 10 e o número decimal correspondente.

2. Neste quadro também há regularidades. Descubra-as e complete o que falta.


5100

0,05 Cinco centésimos

9100

0,09 Nove centésimos

27100

0,27 vinte e sete centésimos

122100

1,22 Um inteiro e vinte e dois centésimos

3,25

Cem inteiros e três centésimos

Escreva o que observou sobre a relação entre a fração de denominador 100 e o número decimal correspondente.

3. Pensando nos quadros anteriores, escreva o que imagina que ocorre na transformação de uma fração decimal de denominador 1 000 em um número decimal. Dê três exemplos que expliquem o que escreveu.

4. Use o que descobriu sobre frações no jogo “Mendel’s mercado matemágico” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50023>. Você deverá passar pelo primeiro nível para chegar a usar as frações e decimais.

5. Agora, veja um outro modo de pensar sobre os números decimais. Recorde o valor posicional dos algarismos que formam os números. Acesse: <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50025>.

Endereços eletrônicos acessados em 1 fev. 2016.





Habilidades desenvolvidas H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa. H08 – Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. A atividade salienta a importância da conversão entre e dentro das diversas representações dos números racionais e na equivalência de frações, saberes essenciais para a futura comparação e ordenação desses números, além de ser a estrutura básica para as operações de adição e subtração de frações.

Atividade “Da representação fracionária à representação decimal”

1. Observe que no quadro abaixo há algumas regularidades. Descubra quais são elas para completar os espaços em branco. Na última linha, você faz tudo.


510

0,5 Cinco décimos

910

0,9 Nove décimos

2710

2,7 Dois inteiros e sete décimos

110

0,1 Um décimo

32510

32,5 Trinta e dois inteiros e cinco décimos

100310

100,3 Cem inteiros e três décimos

Durante as discussões sobre como os números foram completados na tabela, reforce a ideia da divisão por 10 indicada em cada fração. Apresente à classe alguns dos números propostos pelos alunos na última linha. Escreva o que observou sobre a relação entre a fração de denominador 10 e o número decimal correspondente. Espera-se que o aluno perceba a relação entre a divisão por 10 e a presença de uma casa decimal (décimos) na escrita numérica.

2. Neste quadro também há regularidades. Descubra-as e complete o que falta.


5100

0,05 Cinco centésimos

9100

0,09 Nove centésimos

27100

0,27 vinte e sete centésimos

122100

1,22 Um inteiro e vinte e dois centésimos

325100

3,25 Três inteiros e vinte e cinco centésimos

10003100

100,03 Cem inteiros e três centésimos

Nas discussões sobre o preenchimento da tabela, vá reforçando a divisão por 100 expressa nas frações e também compare com a escrita feita na tabela anterior, nos casos em que se tem o mesmo numerador. Escreva o que observou sobre a relação entre a fração de denominador 100 e o número decimal correspondente. Espera-se que os alunos percebam a relação entre a divisão por 100 e a presença de duas casas decimais (décimos e centésimos) na escrita numérica.

3. Pensando nos quadros anteriores, escreva o que imagina que ocorre na transformação de uma fração decimal de denominador 1 000 em um número decimal. Espera-se que os alunos se refiram à relação entre a divisão por 1 000 e a presença de três casas decimais (décimos, centésimos e milésimos) na escrita numérica. Dê três exemplos que expliquem o que escreveu. Deve-se ter aqui frações com denominador 1 000.

4. Use o que descobriu sobre frações no jogo “Mendel’s Mercado Matemágico” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50023>. Você deverá passar pelo primeiro nível para chegar a usar as frações e decimais. Na primeira parte do jogo, os alunos vão lidar com a representação fracionária ligada a elementos discretos em que também poderá ser explorada a ideia de razão, uma vez que a fração estará ligada ao número de maçãs verdes em relação ao total de maçãs.

5. Agora, veja um outro modo de pensar sobre os números decimais. Recorde o valor

posicional dos algarismos que formam os números. Acesse: <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50025>. Nesse objeto digital, os alunos terão oportunidade de tratar com a decomposição dos números, como faziam com os números naturais, agora acrescentando as frações decimais que passam a fazer parte da escrita numérica. Se achar interessante, use o quadro de ordens e classes para dar suporte às discussões sobre essa representação numérica.




Números Racionais – resolução de problemas com representação decimal


H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração.

Orientações Gerais – Como desenvolver essa habilidade

A resolução de problemas pode ser vista como ponto de partida da atividade matemática, em contraposição à simples resolução de procedimentos e ao acúmulo de informações, uma vez que possibilita aos estudantes a mobilização dos conhecimentos e o gerenciamento das informações que estão ao seu alcance.

Vários educadores matemáticos afirmam que a capacidade de resolver problemas constitui um dos principais objetivos do processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Tal afirmação tem como suporte o fato de que o conhecimento matemático ganha significado, quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Na medida em que os alunos são incentivados a construir estratégias de resolução, buscar a comprovação e justificativa de resultados (apoiados em sua criatividade e iniciativa pessoal, se envolvendo em trabalho coletivo, respeitando o modo de pensar do outro e, assim, adquirindo confiança na própria capacidade de enfrentar desafios) a Matemática contribui para a constituição de sujeitos críticos, autônomos e criativos.

Por outro lado, as pesquisas também apontam aspectos da resolução de problemas que causam dificuldades aos alunos. A mais recorrente está ligada à concepção de que um problema matemático tem uma e somente uma resposta e que, para se chegar a ela, todos os dados propostos devem ser utilizados em alguma operação, sem necessidade de nenhuma outra indicação.

Tal concepção impede que haja questionamentos sobre a pertinência dos dados contidos na questão proposta e a percepção de que pode-se ter situações com mais de uma resposta ou situações em que não se pode dar respostas. Desse modo, os problemas apresentados na atividade têm essas características e você, professor, deve incentivá-los a perceber essas variações durante as discussões a serem realizadas.

É fundamental que essa atividade seja desenvolvida em trios de alunos que apresentem níveis próximos de conhecimento para que todos possam ter voz no grupo e deem sua contribuição nas discussões.

Sugestão de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) para o professor Vídeo “Situações – problema”

<https://www.youtube.com/watch?v=3afFx0Xz0Q8>

Aborda:

• Aspectos favoráveis para o desenvolvimento de competências.

• Fundamentação para o trabalho com resolução de problemas.

• Aprendizagem por meio de situação-problema.

Jogo “Mina de Decimais”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/mina-dos-numeros-decimais/>

Aborda o cálculo com decimais e poderá ser utilizado se os alunos

apresentarem dúvidas nas operações de adição e subtração.


https://www.youtube.com/watch?v=3afFx0Xz0Q8

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/mina-dos-numeros-decimais/

Números Racionais – resolução de problemas com representação

decimal Ensino Fundamental ‒ Aluno

Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Pensando, discutindo, resolvendo”

Para solucionar as questões desta atividade, junte-se a dois colegas. Lembre-se de que, para resolver bem um problema, é preciso ler bem seu enunciado e as pistas que ele apresenta. Então capriche na leitura e resolva, um a um:

1. Ao contar suas moedas, Bete separou as de R$ 1,00 das outras. Com as demais, ela

obteve R$ 18,25. Depois, ela somou ao montante inicial as de R$ 1,00, chegando a um total de R$ 29,25. Quantas moedas de R$ 1,00 Bete tinha?

2. Por falar em moedas, descubra maneiras diferentes de formar R$ 5,00 usando moedas

de R$ 1,00, de R$ 0,50 e de R$ 0,25. Depois, verifique se todos na classe encontraram as mesmas formações que você.

3. Zeca precisa calcular o total de fio elétrico de que precisa para a instalação elétrica de

uma casa. Veja as anotações que fez: Cozinha – 22,3 m Banheiro – 17,2 m Quartos – 19,7 m Sala – 28,5 m

Quando estava na loja, percebeu que não havia medido quanto precisaria para a área externa. Então, decidiu comprar 100 m de fio. Você acha que ele terá fio suficiente para todas as áreas?

4. Antes de continuar com a resolução dos próximos problemas, exercite-se um pouco

mais, acessando <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50161>.

5. Um corredor de maratona tem 13 semanas para se preparar para a próxima prova. Ele quer começar correndo 10 km na primeira semana e aumentar certo número de quilômetros a cada semana, até atingir a marca dos 42,195 km, que é a extensão da maratona que correrá. Construa uma planilha com a quantidade de quilômetros que ele deverá correr a cada semana, lembrando que os aumentos não precisam ser iguais, mas devem ser mais ou menos próximos.

6. Um piloto de Fórmula 1 sofre intenso desgaste físico e emocional: dentro de um pequeno espaço invadido pelo calor, em posição semideitada, preso por um cinto de segurança, sacudido pelas fortes trepidações da pista e “esmagado” pela poderosa força G (força da gravidade exercida sobre um corpo). Some-se a tudo isso o estarrecedor som do motor do carro, tendo pela frente uma hora e meia de corrida. O coração do piloto bate de 150 a 170 vezes por minuto. Não existe nenhum outro esporte em que a adrenalina seja bombeada na circulação sanguínea com tanta intensidade! Devido à alta temperatura, o piloto perde muito líquido, o que resulta em desidratação. No GP da Malásia, por exemplo, ele pode perder de 3 a 6 quilos durante uma corrida!1. A partir do que você leu no texto, responda: um piloto de Fórmula 1 que termina a corrida com 75,3 kg, tendo perdido 3,123 kg durante o percurso, iniciou a corrida com quantos quilos?

7. Assista ao vídeo “Resolução de um problema” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/situacao-problema-em-varias-etapas-envolvendo-numeros-decimais-e-subtracao/>. Usando o que aprendeu, resolva a seguinte situação: Pedro quer colar, em sua mochila, um adesivo de seu game favorito. As dimensões desse adesivo são 7,5 cm de largura por 19,6 cm de altura. As dimensões

1 Trecho adaptado de texto retirado do site Super Danilo F1 Page <http://www.superdanilof1page.com.br/materia/formula-1-como-ser-piloto-ruas-avenidas-alimentacao.php>. Acesso em: 10 jan. 2016.


http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/situacao-problema-em-varias-etapas-envolvendo-numeros-decimais-e-subtracao/


http://www.superdanilof1page.com.br/materia/formula-1-como-ser-piloto-ruas-avenidas-alimentacao.php


de sua mochila são 30 cm de largura, 16 cm de profundidade e 44 cm de altura. Determine as distâncias das bordas da mochila, para que o adesivo seja aplicado centralizado, na parte da frente.

Endereços eletrônicos acessados em: 10 jan. 2016.

Números Racionais – resolução de problemas com representação decimal



H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. É na resolução de problemas que o aluno tem mais possibilidade de perceber que é capaz de pensar, produzir, ler e escrever em Matemática. Dessa forma, a proposta é de que os alunos possam discutir entre eles as resoluções e validá-las ou refutá-las, se for o caso. Nas situações apresentadas há problemas com solução única, com várias respostas, com impossibilidade de resposta e com excesso de informação, de modo a ampliar a concepção de problemas em matemática, quebrando um paradigma de que deve-se sempre fazer um cálculo e obter uma resposta. Atividade “Pensando, discutindo, resolvendo”

Para solucionar as questões desta atividade, junte-se a dois colegas. Lembre-se de que, para resolver bem um problema, é preciso ler bem seu enunciado e as pistas que ele apresenta. Então capriche na leitura e resolva, um a um, em seu caderno.

1. Ao contar suas moedas, Bete separou as de R$ 1,00 das outras. Com as demais, ela

obteve R$ 18,25. Depois, ela somou ao montante inicial as de R$ 1,00, chegando a um total de R$ 29,25. Quantas moedas de R$ 1,00 Bete tinha?

29,25 – 18,25 = 11 Bete tinha 11 moedas de R$1,00.

2. Por falar em moedas, descubra maneiras diferentes de formar R$ 5,00 usando moedas

de R$ 1,00, de R$ 0,50 e de R$ 0,25. Depois, verifique se todos na classe encontraram as mesmas formações que você. Este é um problema com várias soluções e a discussão suscitada por você, professor, deve destacar esse fato. Embora possa ser exaustivo, os alunos devem ser estimulados a tentar obter todas as formações possíveis. Porém, a organização das moedas para cada formação já constitui um bom modo de os alunos prepararem-se para os problemas de contagem.

3. Zeca precisa calcular o total de fio elétrico de que necessita para a instalação elétrica de uma casa. Veja as anotações que fez:

Cozinha – 22,3 m Banheiro – 17,2 m Quartos – 19,7 m Sala – 28,5 m

Quando estava na loja, percebeu que não havia medido quanto precisaria para a área externa. e então, decidiu comprar 100 m de fio. Você acha que ele terá fio suficiente para todas as áreas?

Faltam informações para que a resposta seja definitiva, uma vez que não se sabe as medidas externas da casa. Pode-se apenas dar uma opinião diante da metragem de fio disponível. 22,3 + 19,7 + 17,2 + 28,5 = 87,7 100 – 87.7 = 12,3

4. Antes de continuar com a resolução dos próximos problemas, exercite-se um pouco mais, acessando <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50161>. Alguns problemas apresentados são bem simples. Estimule-os a fazer mentalmente os cálculos propostos.

5. Um corredor de maratona tem 13 semanas para se preparar para a próxima prova. Ele quer começar correndo 10 km na primeira semana e aumentar certo número de quilômetros a cada semana, até atingir a marca dos 42,195 km, que é a extensão da maratona que correrá. Construa uma planilha com a quantidade de quilômetros que ele deverá correr a cada semana, lembrando que os aumentos não precisam ser iguais, mas devem ser mais ou menos próximos. Esta também é uma situação que tem múltiplas respostas. As diferentes possibilidades de solução deverão ser discutidas, sempre considerando as informações do problema.

6. Um piloto de Formula 1 sofre um intenso desgaste físico e emocional: dentro de um pequeno espaço invadido pelo calor, em posição semideitada, preso por um cinto de segurança, um sacudido pelas fortes trepidações da pista e “esmagado” pela poderosa força G (força da gravidade exercida sobre um corpo). Some-se a tudo isso o estarrecedor som do motor do carro, tendo pela frente uma hora e meia de corrida. O coração do piloto bate de 150 a 170 vezes por minuto. Não existe nenhum outro esporte em que a adrenalina seja bombeada na circulação sanguínea com tanta intensidade! Devido à alta temperatura, o piloto perde muito líquido, o que resulta em desidratação. No GP da Malásia, por exemplo, ele pode perder de 3 a 6 quilos durante uma corrida!1 A partir do que você leu no texto, responda: um piloto de Fórmula 1 que termina a corrida com 75,3 kg, tendo perdido 3,123 kg durante o percurso, iniciou a corrida com quantos quilos?

Destaque com os alunos o excesso de informações que o problema tem, solicitando a eles que reescrevam-no, deixando apenas o que consideram essencial para a compreensão do que se quer saber.

75,3 + 3,123 = 78,423.

7. Assista ao vídeo “Resolução de um problema” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/situacao-problema-em-varias-etapas-envolvendo-numeros-decimais-e-subtracao/>. Usando o que aprendeu, resolva a seguinte situação: Pedro quer colar, em sua mochila, um adesivo de seu game favorito. As dimensões desse adesivo são 7,5 cm de largura por 19,6 cm de altura. As dimensões de sua mochila são 30 cm de largura, 16 cm de profundidade e 44 cm de altura. Determine as distâncias das bordas da mochila, para que o adesivo seja aplicado centralizado, na parte da frente.

1 Trecho adaptado de texto retirado do site Super Danilo F1 Page <http://www.superdanilof1page.com.br/materia/formula-1-como-ser-piloto-ruas-avenidas-alimentacao.php>. Acesso em 10 jan. 2016.






Nesta situação também há uma informação que não será utilizada: a da profundidade da mochila. Sugira aos alunos que façam uma representação da frente da mochila e da colocação do adesivo, como apresentado no vídeo, para facilitar a visualização do que deve ser calculado. Para a divisão, estimule-os a fazer mentalmente.

30 – 7,5 = 22,5 22,5 : 2 = 11,25

44 – 19,6 = 24,4 24,4 : 2 = 12,2

Das bordas laterais, o adesivo deve distar 11,25 cm; das bordas superior e inferior, deve distar 12,2 cm.

Endereços eletrônicos acessados em: 10 jan. 2016.

Formas planas e espaciais – representações

Ensino Fundamental 7º ano ‒Professor

H17 – Classificar formas planas e espaciais.


A geometria é o ramo da matemática que traz grande contribuição para o desenvolvimento da visualização, entendida como a constituição de uma imagem mental a partir da habilidade de perceber, de representar, de transformar, de descobrir, de documentar e de refletir sobre as informações visuais.

A classificação das formas planas e espaciais dependem da observação das semelhanças e das diferenças, de análises sobre os elementos que constituem determinado grupo de formas e que não estão presentes em outro. É preciso perceber propriedades das formas analisadas e estabelecer algumas relações entre essas propriedades.

Nesse ano de escolaridade, a manipulação dos sólidos geométricos já não precisa ser sobre os objetos físicos. Os alunos devem ser estimulados a construírem suas visualizações a partir da exploração de aplicativos computacionais.

Partindo desses pressupostos é que esta atividade foi elaborada, devendo o professor estar atento aos movimentos de exploração e de análise dos sólidos e figuras planas, de modo a incentivar os alunos a estabelecerem os elementos que caracterizam cada figura estudada.

Sugestão de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor Curso “Introdução à Geometria Espacial”

<http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/au909/CDgeo2/serverV3.swf> Aborda Geometria espacial e suas representações bidimensionais, com recursos computacionais dinâmicos.


http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/au909/CDgeo2/serverV3.swf

http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/au909/CDgeo2/serverV3.swf

Formas planas e espaciais – Representações


Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Formas geométricas por todos os lados”

1. Você já deve ter ouvido falar que estamos cercados de formas geométricas. Veja no vídeo “Diálogo Geométrico” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50027> como, de fato, as formas geométricas podem ser vistas por toda parte.

2. No vídeo, são feitas referências a figuras planas e a sólidos. Você sabe diferenciar a representação de uma figura plana da representação de um sólido?

Assinale quais das representações abaixo são de sólidos.

Explique como pensou para fazer sua escolha.

3. Em geometria, estudamos vários outros sólidos, mas principalmente os poliedros e os

corpos redondos. Para conhecê-los melhor e mexer um pouco com eles acesse “Sólidos geométricos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50029>. Use seu caderno para as seguintes anotações: nome do sólido, quantas faces ele possui e a forma de suas faces.



4. Use o que aprendeu e anotou dos sólidos geométricos para responder as questões.

a) Dos sólidos que viu, quais você acha que podem ser chamados de corpos

redondos?

b) Os sólidos limitados apenas por superfícies planas são chamados de poliedros.

Você movimentou dois tipos de poliedros. Qual o nome de cada um desses tipos?

c) O que diferencia as pirâmides dos prismas?

d) Ana montou uma pirâmide de base quadrada e quer recobri-la com tecido

colorido. Assinale todos os cortes de tecido que ela deverá usar.




Habilidade desenvolvida H17 – Classificar formas planas e espaciais A aprendizagem de geometria é a grande plataforma para o desenvolvimento da visualização, manipulação, construção de modelos e simulação. Todos esses aspectos hoje podem ser amplamente explorados com o uso de aplicativos computacionais associados a ações que possibilitam ao aluno observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. Atividade “Formas geométricas por todos os lados”

1. Você já deve ter ouvido falar que estamos cercados de formas geométricas. Veja no vídeo “Diálogo Geométrico” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50027> como, de fato, as formas geométricas podem ser vistas por toda parte. Assista ao vídeo antes de apresentá-lo aos alunos, para poder apontar a eles os momentos em que há apresentação das noções geométricas às quais eles precisam se ater. O vídeo tem duração de 9m52s. Avalie se é o caso de solicitar o uso de fones de ouvido.

2. No vídeo, são feitas referências a figuras planas e a sólidos. Você sabe diferenciar a representação de uma figura plana da representação de um sólido?

Assinale quais das representações abaixo são de sólidos.

X X

Explique como pensou para fazer sua escolha.

Espera-se que os alunos apresentem os elementos que consideraram para a identificação das representações que justifiquem a sua escolha.

3. Em geometria, estudamos vários outros sólidos, mas principalmente os poliedros e os

corpos redondos. Para conhecê-los melhor e mexer um pouco com eles, acesse “Sólidos geométricos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50029>. Use seu caderno para as seguintes anotações: nome do sólido, quantas faces ele possui e a forma de suas faces.



Oriente os alunos a fazer anotações durante a manipulação dos sólidos disponíveis no objeto digital. Além disso, oriente-os a observar os diferentes pontos de vista que se pode ter sobre um sólido.

4. Use o que aprendeu e anotou dos sólidos geométricos para responder as questões. a) Dos sólidos que viu, quais você acha que podem ser chamados de corpos

redondos? Cilindro e Cone. Espera-se que os alunos percebam que os sólidos que possuem faces circulares são chamados de corpos redondos.

b) Os sólidos limitados apenas por superfícies planas são chamados de poliedros. Você movimentou dois tipos de poliedros. Qual o nome de cada um desses tipos? Prisma e Pirâmide.

c) O que diferencia as pirâmides dos prismas? Os alunos poderão não expressar todas as diferenças. Porém, ao socializar as respostas dadas, faça a síntese das diferenças: as pirâmides só têm uma base, enquanto os prismas têm duas; além disso, as pirâmides possuem um vértice que se destaca dos outros, pois nele se cruzam todas as faces laterais, e suas faces laterais são triangulares.

d) Ana montou uma pirâmide de base quadrada e quer recobri-la com tecido colorido. Assinale todos os cortes de tecido que ela deverá usar.

Devem ser assinalados os 4 triângulos isósceles e um dos quadrados.



Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Em busca de pistas”

Nesta atividade você se tornará um detetive matemático! Passe por todas as etapas observando as informações e pistas presentes em cada quadro.

1. Observe atentamente as figuras de cada quadro e escreva suas descobertas. Etapa 1 Todas as figuras deste quadro são polígonos. Nenhuma das figuras deste quadro é um polígono. Da observação dos dois quadros, escreva as pistas que descobriu sobre como devem ser os lados de uma figura para ser chamada de polígono.

Etapa 2 Todos os polígonos deste quadro são quadriláteros. Nenhum dos polígonos deste quadro é quadrilátero. Da observação dos dois quadros, escreva as pistas que descobriu sobre os polígonos chamados de quadriláteros.

Todas as figuras deste quadro são paralelogramos.

Nenhuma das figuras deste quadro é um paralelogramo.

Assinale as pistas que indicam como reconhecer um paralelogramo.

( ) É polígono. ( ) Não é quadrilátero. ( ) Possui dois pares de lados paralelos. ( ) As medidas dos lados são todas diferentes. ( ) Não possui lados paralelos.

( ) Não é polígono. ( ) É quadrilátero. ( ) Possui apenas dois lados paralelos. ( ) Os lados paralelos têm a mesma medida.

2. Usando as pistas que descobriu, ache o espião infiltrado num encontro ultrassecreto de matemáticos. Acompanhe o que cada um está dizendo para encontrar qual não é matemático. Aritimex Algebrics Radix Pentaquês

O espião é _______________________

3. Agora você vai colocar em prática todas as suas descobertas! Acesse o jogo da “Classificação dos Quadriláteros” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50031>.

Todo retângulo é

paralelogramo.

Todo quadrado é retângulo.

Todo losango é quadrado.

Todo quadrado é losango.





Habilidade desenvolvida H17 – Classificar formas planas e espaciais A aprendizagem de geometria é a grande plataforma para o desenvolvimento da visualização, manipulação, construção de modelos e simulação. Todos esses aspectos hoje podem ser amplamente explorados com o uso de aplicativos computacionais associados a ações que possibilitam ao aluno observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc.

Atividade “Em busca de pistas”

Esta atividade pode ser feita em duplas, para que possam discutir as percepções de cada um. Não dê suas respostas antes de os alunos apresentarem as deles, pois assim terá oportunidade de verificar as dúvidas ou enganos que podem apresentar.

Nesta atividade você se tornará um detetive matemático! Passe por todas as etapas observando as informações e pistas presentes em cada quadro.

1. Observe atentamente as figuras de cada quadro e escreva suas descobertas. Etapa 1 Todas as figuras deste quadro são polígonos. Nenhuma das figuras deste quadro é um polígono.

Da observação dos dois quadros, escreva as pistas que descobriu sobre como devem ser os lados de uma figura para ser chamada de polígono. Espera-se que os alunos observem que, nos polígonos, os lados são sempre segmentos de reta. Etapa 2 Todos os polígonos deste quadro são quadriláteros. Nenhum dos polígonos deste quadro é quadrilátero. Da observação dos dois quadros, escreva as pistas que descobriu sobre os lados dos polígonos chamados de quadriláteros. Espera-se que os alunos percebam que os quadriláteros são polígonos de quatro lados. Todas as figuras deste quadro são paralelogramos.

Nenhuma das figuras deste quadro é um paralelogramo.

Assinale as pistas que indicam como reconhecer um paralelogramo.

( x ) É polígono. ( ) Não é quadrilátero. ( x ) Possui dois pares de lados paralelos. ( ) As medidas dos lados são todas diferentes. ( ) Não possui lados paralelos.

( ) Não é polígono. ( x ) É quadrilátero. ( ) Possui apenas dois lados paralelos. ( x ) Os lados paralelos têm a mesma medida.

2. Usando as pistas que descobriu, ache o espião infiltrado num encontro ultrassecreto

de matemáticos. Acompanhe o que cada um está dizendo para encontrar qual não é matemático. Aritimex Algebrics Radix Pentaquês

O espião é ___Pentaquês______

3. Agora você vai colocar em prática todas as suas descobertas! Acesse o jogo da “Classificação dos Quadriláteros” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50031>. O jogo apresenta 19 desafios, mas proponha apenas os 10 primeiros. Professor, faça o jogo antes de apresentá-lo aos alunos, para perceber eventuais dúvidas e, assim, estar preparado para ajudá-los tanto em relação ao uso do aplicativo como em aspectos do conhecimento geométrico.

Todo retângulo é

paralelogramo.

Todo quadrado é retângulo.

Todo losango é quadrado.

Todo quadrado é losango.





• H03 – Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros ‒ adição, subtração, multiplicação e divisão (avaliação do 7º ano). As dificuldades apresentadas pelos alunos no trato com os números negativos tornam-se mais explícitas quando precisam resolver problemas envolvendo esses números. Saber reconhecer o significado dos números negativos é preponderante para a evolução do conhecimento matemático dos alunos e é uma das chaves de entrada para o alargamento da possibilidade de abstração dos alunos na direção da aquisição do conceito de número. Este é o primeiro passo para a compreensão do número para além da quantificação de objetos concretos.

• H10 – Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais (avaliação do 7º ano). Compreender a multiplicação e a divisão de números racionais possibilita ao aluno a ampliação da noção de número racional, uma vez que se tem situações em que os resultados dessas operações contrariam a concepção de que a multiplicação sempre aumenta e a divisão sempre diminui. A desconstrução dessa concepção é necessária para a compreensão dos outros conjuntos numéricos a serem abordados na sequência do trabalho em matemática.

• H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa (avaliação do 7º ano). A linguagem matemática, notadamente escrita e simbólica, foi desenvolvida historicamente para comunicar suas ideias e conceitos, assim as notações e símbolos matemáticos precisam ser tratados com significados claros e relativamente precisos, além da necessidade do reconhecimento de suas regras e procedimentos. A álgebra, mais do que manipular expressões e resolver equações, envolve as capacidades de estabelecer generalizações e relações, interpretar situações e resolver problemas. Desse modo, o ensino de uma linguagem algébrica já constituída e que prioriza o domínio de habilidades manipulativas das expressões algébricas não é suficiente para que os alunos desenvolvam uma relação direta entre o pensamento algébrico e uma linguagem que o represente.

Números Inteiros – resolução de problemas


H03 – Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão).

Orientações gerais – Como desenvolver esta habilidade

É importante ressaltar que aspectos como abstração e generalização são fundamentais para o desenvolvimento do conhecimento matemático e, portanto, as propostas a serem feitas aos alunos devem caminhar nessa direção, ampliando as possibilidades de abstração dos alunos para que atinjam a generalização.

A introdução do Conjunto dos Números Inteiros é um momento no qual o professor precisa buscar manter um equilíbrio entre a apresentação de situações que trazem ideias mais fáceis de os alunos concretizarem esses números, assim como situações nas quais não há outra contextualização além da própria matemática. Isso significa que as ideias relativas aos números negativos não podem se resumir às considerações “dívidas” e “saldos negativos”, que podem funcionar para adição e subtração, mas que não funcionam para multiplicação e divisão.

Pesquisadores da Educação Matemática apresentam alguns dos aspectos das dificuldades apresentadas por alunos quanto ao trato com os números inteiros. São eles: admitir, a partir de agora, algo menor que zero; aceitar a representação (-4) que não se encaixa na sua ideia de número natural, conectada com a cardinalidade (como pode existir -4 bolas?); realizar operações do tipo 3 - 5 = (se, até então, de três não se pode tirar cinco); identificar, na ordenação dos números negativos (-2 como maior que -5 se aprendeu que 5 > 2); realizar operações do tipo: 2 - (-5) = e -3 - (-7) = onde o sinal de menos é apresentado com dois significados (subtração e indicação de número negativo).

A resolução de problemas pode ser um caminho mais favorável para as discussões sobre os números negativos, com a apresentação de situações em que os alunos poderão usar seus conhecimentos sobre os números naturais e verificar que precisam de conhecimento novo para a solução final. Os problemas propostos nesta atividade dão oportunidade para discussões sobre como empregar o número negativo: por exemplo, diferenciar a altitude do avião e a profundidade atingida pelo submarino quando não há a referência verbal, considerando-se o nível do mar como ponto de separação entre as duas situações opostas (indicado pelo zero).

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor Jogo “Reconhecendo o uso de negativos”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/interpretacao-de-numeros-negativos/>

Aborda situações que devem ser representadas por números negativos. Pode ser proposto como recordação dos números negativos.

Vídeo “Jogo do sobe e desce”

<https://www.youtube.com/watch?v=IAGczKSd848>

Aborda:

a elaboração do tabuleiro do jogo.

as regras do jogo.

Ficha de aula “Jogando com os inteiros”

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10002>. Aborda:

a utilização de um jogo de pista com números inteiros.

A elaboração do material para o jogo.

As regras do jogo.

Exercícios “Desafios com inteiros”

<http://matematicainformaticauepr.pbworks.com/w/page/44011246/Oficina%203%3A%20N%C3%BAmeros%20Inteiros%20%20(6%C2%AA%20s%C3%A9rie)> Para realizar no caderno: exercícios interessantes e desafiantes com o emprego das operações.


http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/interpretacao-de-numeros-negativos/

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/interpretacao-de-numeros-negativos/

https://www.youtube.com/watch?v=IAGczKSd848



http://matematicainformaticauepr.pbworks.com/w/page/44011246/Oficina%203%3A%20N%C3%BAmeros%20Inteiros%20%20(6%C2%AA%20s%C3%A9rie)





Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Lendo, pensando, discutindo, resolvendo”

Junte-se a dois colegas para encontrar as soluções das seguintes situações. Resolva-as no caderno.

1. Em uma gincana de matemática na escola, o aluno participante ganhava 20 pontos por acerto e perdia 22 pontos por erro. De 100 perguntas, Ana acertou 52. Ela ganhou ou perdeu pontos nessa gincana? Quantos?

2. Em minha conta no banco, eu estava com um saldo de R$ 520,00 negativos. Depositei R$ 1 810,00, mas dei cheques para pagar algumas contas: aluguel, R$ 765,00 e supermercado, R$ 237,00. Depois que os cheques forem pagos, qual será meu saldo?

3. O avião mais veloz e que alcança a maior altitude atualmente é o russo MiG25. Sua velocidade chega a 3 500 km/h e atinge 37 550 m de altitude. O submarino tripulado que atinge a maior profundidade é o americano Triton 36 000, que chega até 11 000 metros. Imagine um MiG25 sobrevoando uma região em que está um Triton, ambos em suas posições máximas, e calcule a distância entre eles.

4. Um avião partiu de um aeroporto situado 600 metros acima do nível do mar, com tempo bom e temperatura de 28°C. Ao atingir a altitude máxima, de 3 300 metros acima do nível do mar, o piloto avisou que a temperatura externa era de - 40°C. Da decolagem até o momento em que foi atingida a altitude máxima, calcule quanto variou a temperatura externa.

5. Clarice fez uma divisão na máquina de calcular e o quociente foi - 36. Complete o texto deste problema, de modo que se possa descobrir os números que fizeram parte dos cálculos de Clarice.

6. Paulo e Bia inventaram um jogo de dados diferente. Pintaram as faces dos dados de modo que ficaram 2 faces amarelas, 2 azuis e 2 vermelhas. As faces amarelas valiam 3 pontos negativos, as faces vermelhas valiam 3 pontos positivos e as faces azuis valiam 0. Eles jogavam 2 dados e multiplicavam os valores que saíam em cada um, de acordo com as cores. Veja na tabela as jogadas de cada um e encontre o vencedor.

Jogada Bia Paulo

1 Amarelo e Vermelho Vermelho e Azul

2 Amarelo e Amarelo Vermelho e Vermelho

3 Azul e Amarelo Amarelo e Amarelo

Jogada Bia Paulo

1

2

3





H03 – Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão). É na resolução de problemas que o aluno tem mais possibilidade de perceber que é capaz de pensar, produzir, ler e escrever em Matemática. Dessa forma, a proposta é de que os alunos possam discutir entre eles as resoluções e validá-las ou refutá-las, se for o caso. Nas situações apresentadas há problemas com solução única, com várias respostas, com impossibilidade de resposta e com excesso de informação, de modo a ampliar a concepção de problemas em matemática, quebrando um paradigma de que deve-se sempre fazer um cálculo e obter uma resposta. Professor, lembre-se de que os alunos podem resolver os problemas de diferentes modos. Por isso, algumas vezes apresentamos aqui uma entre as várias possibilidades de resposta.

Atividade 5 – Lendo, pensando, discutindo, resolvendo.

Junte-se a dois colegas para encontrar as soluções das seguintes situações. Resolva-as no caderno.

1. Em uma gincana de matemática na escola, o aluno participante ganhava 20 pontos por acerto e perdia 22 pontos por erro. De 100 perguntas, Ana acertou 52. Ela ganhou ou perdeu pontos nessa gincana? Quantos? 20 x 52 = 1040 22 x 48 = 1056 Ana perdeu 16 pontos.

2. Em minha conta no banco, eu estava com um saldo de R$ 520,00 negativos. Depositei R$ 1 810,00, mas dei cheques para pagar algumas contas: aluguel, R$ 765,00 e supermercado, R$ 237,00. Depois que os cheques forem pagos, qual será meu saldo?

- 520 + 1 810 – 765 – 237 = 288

3. O avião mais veloz e que alcança a maior altitude atualmente é o russo MiG25. Sua velocidade chega a 3 500 km/h e atinge 37 550 m de altitude. O submarino tripulado que atinge a maior profundidade é o americano Triton 36 000, que chega até 11 000 metros. Imagine um MiG25 sobrevoando uma região em que está um Triton, ambos em suas posições máximas, e calcule a distância entre eles. Professor, após os alunos apresentarem a solução deste problema, levante uma discussão sobre o enunciado e solicite que apontem quais informações poderiam ser retiradas do texto sem que se alterasse a problematização apresentada. 37 550 + 11 000 = 48 550

4. Um avião partiu de um aeroporto situado 600 metros acima do nível do mar, com tempo bom e temperatura de 28°C. Ao atingir a altitude máxima, de 3 300 metros acima do nível do mar, o piloto avisou que a temperatura externa era de - 40°C. Da decolagem até o momento em que foi atingida a altitude máxima, calcule quanto variou a temperatura externa.

Do mesmo modo que no exercício anterior, peça aos alunos que apontem os dados não relevantes para a questão proposta. Depois, você pode pedir aos alunos que elaborem uma questão de modo a utilizar as informações do problema. 28 – (-40) = 28 + 40 = 68

5. Clarice fez uma divisão na máquina de calcular e o quociente foi -36. Complete o texto deste problema, de modo que se possa descobrir os números que fizeram parte dos cálculos de Clarice. Nesta situação, os alunos são colocados diante da escrita de problema, além de precisarem encontrar os números adequados à situação proposta. Discuta as várias possibilidades encontradas por eles, pois tem-se aí infinitas soluções.

6. Paulo e Bia inventaram um jogo de dados diferente. Pintaram as faces dos dados: ficaram 2 faces amarelas, 2 azuis e 2 vermelhas. As faces amarelas valiam 3 pontos negativos, as faces vermelhas valiam 3 pontos positivos e as faces azuis valiam 0. Eles jogavam 2 dados e multiplicavam os valores que saíam em cada um, de acordo com as cores. Veja na tabela as jogadas de cada um e encontre o vencedor.

Jogada Bia Paulo

1 Amarelo e Vermelho Vermelho e Azul

2 Amarelo e Amarelo Vermelho e Vermelho

3 Azul e Amarelo Amarelo e Amarelo

Esse problema requer leitura atenta. Para a solução, eles farão multiplicação de números inteiros:

Jogada Bia Paulo

1 (-3) × 3 = - 9 3 × 0 = 0

2 (-3) × (-3) = 9 3 × 3 = 9

3 0 × (-3) = 0 (-3) × (-3) = 9


Números Racionais na forma decimal – operações


H10 – Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais.


A aprendizagem das operações com números decimais constitui um importante passo no desenvolvimento matemático dos alunos, pois a compreensão desses números e suas operações possibilitam a ampliação do conhecimento do sistema numérico.

A utilização das operações de multiplicação e de divisão são as que apresentam maiores dificuldades, tanto na aprendizagem quanto no seu ensino.

Até este momento da trajetória estudantil, os alunos têm na prática operatória a utilização dos elementos do Conjunto dos Números Naturais, de tal forma que as soluções obtidas nas multiplicações apresentam resultado maior que os fatores desta multiplicação (exemplo: 3 x 4 = 12).

Porém, quando se trata dos números decimais, a operação nem sempre resultará em números maiores que os fatores envolvidos na multiplicação (exemplos: 0,5 x 2 = 1 ; 0,5 x 0,2 = 0,1).

No caso da divisão, dados dois números decimais positivos x e y, para que o quociente seja maior do que o dividendo, basta que o divisor esteja compreendido entre 0 e 1.

Desse modo, propomos atividades que promovam essas observações e você, professor, precisa ficar atento e verificar se os seus alunos modificam essa ideia para que consigam compreender esses fatos.

Vale a pena ressaltar que é necessário dar atenção aos raciocínios dos alunos, valorizando-os, procurando que eles os explicitem com clareza, que analisem e interajam com os raciocínios dos colegas. Este tipo de ação revela o importante papel do professor em mediar as questões em estudo, estimulando, incentivando e transmitindo-lhes confiança para que acreditem em suas capacidades.

Além disso, indagações do tipo: “Por que será que esta é uma boa resposta?” e “Como sabem que esta resposta é correta?” proporcionam o entendimento de que não basta dar uma resposta. É preciso também saber justificá-la. Assim, os professores são os principais responsáveis pela criação de ambientes que promovam uma aprendizagem matemática significativa.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor Ficha técnica de Aula “Labirinto dos decimais”

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=52226>.

Aborda:

• Jogo de estratégia com multiplicação e divisão de um número decimal por 10, 100 e 1 000.

Vídeo “Divisão de decimais” <https://www.youtube.com/watch?v=KG2YwMZrUzY>.

Aborda:

• Justificativas para a multiplicação de ambos os termos da divisão pelo mesmo número, quando da divisão de decimais.



https://www.youtube.com/watch?v=KG2YwMZrUzY



Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Cálculos com decimais – parte 1”

1. Você já deve ter feito ou ter visto alguém fazendo palavras cruzadas. Mas e números cruzados, você já viu? O resultado de cada cálculo deve ser escrito no local indicado, na vertical ou na horizontal. Use a calculadora, se precisar. A vírgula também ocupa um quadrinho.

1 2 3 4

5 6 7

8 9

10

11 12

13

Horizontal Vertical 1. 22,43 – 9,17 5. 10.11 – 9,01 6. 8,23 – 7,22 8. 12,141 x 100 10. 20,87 x 10 11. 40,02 + 41,1302 13. 8,244 x 5

1. 8,741 – 7,540 2. 3100,8 + 18 3. 57,746 – 35,976 4. 0,82 x 5 5. 472,2 + 656,4 7. 0,2 x 9 9. 32,8 x 0,125 12. 19,8 : 9

2. Vamos olhar com mais atenção algumas das multiplicações com números decimais. Pode continuar usando a calculadora. a) Usando a calculadora, faça os cálculos e observe as alterações em um dos fatores e

nos resultados: • 8,241 × 5 = _______________ 0,83 × 5 = _____________

• 8,241 × 0,5 = ______________ 0,83 × 0,5 = ____________

• 8,241 × 0,05 = _____________ 0,83 × 0,05 = ______________

b) Agora, sem usar a calculadora, apenas apoiando-se nos resultados anteriores,

complete:

• 8,241 × 0,005 = _____________ 0,83 × 0,005 = ______________

c) Escreva o que notou sobre as alterações ocorridas nos resultados quando se muda

um dos fatores.

3. Voltando a usar a calculadora, junte-se a dois colegas e descubra como calcular as

mesmas multiplicações anteriores, mas considerando que a tecla do ponto (vírgula) não

funciona. Escreva suas descobertas.

4. A partir das discussões e descobertas anteriores, ainda em grupo e sem calculadora,

obtenha o resultado de cada multiplicação. Mas, antes, escreva quantas casas decimais deverá ter cada resultado:

a) 43,5 x 2,1 = _______________ b) 25 x 3,04 = _______________

Como você explica o fato de os dois resultados terem o mesmo número de casas decimais?

5. Você está pronto para o “Desafio da multiplicação!” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50033> . Anote os pontos que conseguir.








1. Você já deve ter feito ou ter visto alguém fazendo palavras cruzadas. Mas e números cruzados, você já viu? O resultado de cada cálculo deve ser escrito no local indicado, na vertical ou na horizontal. Use a calculadora, se precisar. A vírgula também ocupa um quadrinho.

1 1

2 3

,

3 2

4 6

5 1

,

1

6 1

,

0

7 1

8 1

2

1

9 4

,

1

,

10 2

0

8

,

7

8

11 8

1

,

1

5

0

12 2

,

8

,

6

13 4

1

,

2

2

Horizontal Vertical 1. 22,43 – 9,17 5. 10.11 – 9,01 6. 8,23 – 7,22 8. 12,141 x 100 10. 20,87 x 10 11. 40,02 + 41,1302 13. 8,244 x 5

1. 8,741 – 7,540 2. 3100,8 + 18 3. 57,746 – 35,976 4. 0,82 x 5 5. 472,2 + 656,4 7. 0,2 x 9 9. 32,8 x 0,125 12. 19,8 : 9

2. Vamos olhar com mais atenção algumas das multiplicações feitas com números decimais. a) Usando a calculadora, faça os cálculos e observe as alterações em um dos fatores e

nos resultados: • 8,241 × 5 = _41,205 _ 0,83 × 5 = ___4,15_

• 8,241 × 0,5 = _4,1205____ 0,83 × 0,5 = ___0,415____

• 8,241 × 0,05 = _0,41205____ 0,83 × 0,05 = ___0,0415______

b) Agora, sem usar a calculadora, apenas apoiando-se nos resultados anteriores,

complete:

• 8,241 × 0,005 = _0,041205_ 0,83 × 0,005 = __0,00415____

c) Escreva o que notou sobre as alterações ocorridas nos resultados quando se muda

um dos fatores.

Aqui, dois aspectos podem ser observados. Um diz respeito à ordem de grandeza do

resultado, quando comparado com o primeiro fator. Isto é, os resultados são menores

quando o segundo fator é um número menor que 1. Outro diz respeito ao aumento

no número de casas decimais apresentados nos resultados e que a quantidade de

algarismos da parte decimal corresponde ao total desses algarismos presente nos dois

fatores. Importante destacar com os alunos essas duas observações.

3. Voltando a usar a calculadora, junte-se a dois colegas e descubra como calcular as

mesmas multiplicações anteriores, mas considerando que a tecla do ponto (vírgula) não

funciona. Escreva suas descobertas.

Não podendo usar a tecla da vírgula pode-se fazer a multiplicação considerando os

fatores como números naturais e dividir o resultado obtido por 10, 100, 1000 etc., de

acordo com o total de casas decimais dos dois fatores.

Circule entre os grupos para acompanhar as discussões e fazer questões que possam

orientar os alunos em suas investigações.

4. A partir das discussões e descobertas anteriores, ainda em grupo e sem calculadora, obtenham o resultado de cada multiplicação. Mas, antes, escrevam quantas casas decimais deverá ter cada resultado:

a) 43,5 x 2,1 = _______________ b) 25 x 3,04 = ___________________ Duas casas decimais Duas casas decimais

Como você explica o fato de os dois resultados terem o mesmo número de casas decimais? Espera-se que os alunos apliquem suas descobertas anteriores para explicar que, em ambas as multiplicações, o total de casas decimais dos resultados obtidos é o mesmo.

5. Você está pronto para o “Desafio da multiplicação!” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50033>. Anote os pontos que conseguir. Os alunos vão resolver multiplicações propostas pela plataforma, mas agora eles não devem usar a calculadora, de modo que você possa avaliar o desenvolvimento do conhecimento dos alunos.





Aluno RA

Professor Turma


1. Agora vamos pensar em divisão com números decimais. Continue com seus dois colegas

e com a calculadora para fazer os cálculos. Observando os números envolvidos e os

resultados obtidos em cada linha da tabela, complete:

19,8 : 9 = 198 : 90 =

32,5 : 4 = 325 : 40 =

120 : 0,2 = 1 200 : 2 =

48 : 0,6 = 480 : 6 =

2,54 : 0,2 = 254 : 20 =

42,35 : 0,05 = 4 235 : 5 =

51 : 0,03 = 5 100 : 3 =

1,44 : 0,012 = 1 440 : 12 =

6,28 : 1,256 = 6 280 : 1 256 =

A partir de suas observações, complete as frases abaixo:

a) Se um ou os dois termos da divisão é um número decimal com representação:

• até décimos, então ambos os termos são multiplicados por

_______________.

• até centésimos, então ambos os termos são _________________________.

• até milésimos, então _________________________________________.

b) Essas multiplicações são feitas para que as divisões fiquem com números

___________________________________________________.

2. Vá para seu “Desafio final” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50167>!

Pode continuar em grupo, mas sem calculadora. Use apenas lápis e papel.








1. Agora vamos pensar em divisão com números decimais. Continue com seus dois colegas

e com a calculadora para fazer os cálculos. Observando os números envolvidos e os

resultados obtidos em cada linha da tabela, complete:

19,8 : 9 = 2,2 198 : 90 = 2,2

32,5 : 4 = 8,125 325 : 40 = 8,125

120 : 0,2 = 600 1 200 : 2 = 600

48 : 0,6 = 80 480 : 6 = 80

2,54 : 0,2 = 12,7 254 : 20 = 12,7

42,35 : 0,05 = 847 4 235 : 5 = 847

51 : 0,03 = 1 700 5 100 : 3 = 1 700

1,44 : 0,012 = 120 1 440 : 12 = 120

6,28 : 1,256 = 5 6 280 : 1 256 = 5

A partir de suas observações, complete as frases abaixo:

a) Se um ou os dois termos da divisão é um número decimal com representação:

• até décimos, então ambos os termos são multiplicados por ___10________

• até centésimos, então ambos os termos são multiplicados por 100____

• até milésimos, então ambos os termos são multiplicados por 1 000__

b) Essas multiplicações são feitas para que as divisões fiquem com números ____

Espera-se que os alunos percebam que os números ficam “sem vírgula”, isto é,

recaímos na divisão de números naturais.

2. Vá para seu “Desafio final” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50167>!

Pode continuar em grupo, mas sem calculadora. Use apenas lápis e papel.

Este é mais um momento de avaliação dos conhecimentos adquiridos pelos alunos.



Expressões algébricas – a expressão dos padrões


H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa.


O ensino de álgebra, tendo em vista a constituição do pensamento algébrico, pode ser desenvolvido considerando-se os seguintes focos de trabalho.

• Problematização que demande a construção de generalização.

Trata-se da exploração de situações-problema nas quais os alunos são instigados a

observar os elementos apresentados, aritméticos ou geométricos, para perceber

uma regularidade na formação do fato apresentado e nas relações que esses

elementos possuem, chegando a uma representação genérica de sua descoberta.

• Atribuir múltiplos sentidos ou significações a uma expressão algébrica.

Nesta etapa, partindo de uma expressão algébrica, tida como pura ou simbólica, o

aluno tentaria atribuir múltiplos sentidos ou significações a ela. A explicitação, pelos

alunos, dos significados possíveis vai aproximá-los mais da leitura e da interpretação

de situações-problema, além do avanço quanto às diferentes interpretações das

letras. A leitura, pelo professor, das expressões algébricas com diferentes significados

durante suas aulas também deve tornar-se rotineira para habituar os alunos a esse

modo de ler as expressões.

• Reconhecer os procedimentos que permitem a transformação de uma

expressão algébrica em outra equivalente.

Esta seria a terceira etapa, momento em que a atenção recai sobre o modo como as

expressões algébricas podem ser transformadas em expressões equivalentes e sobre

problematização que demande a construção de generalização

atribuir múltiplos sentidos ou

significações a uma expressão

algébrica

reconhecer os procedimentos que permitem a

transformação de uma expressão algébrica em

outra equivalente

os procedimentos que validam tais transformações. Esse trabalho é significativo para

que o aluno perceba que a transformação de uma expressão algébrica em outra

equivalente, mais simples, facilita a solução de um problema.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor

Vídeo “A linguagem da Matemática”

<http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/Conteudo.aspx?

MateriaID=56&tipo=Videos>

Aborda o emprego de expressões: • algébricas em situações cotidianas. • para o cálculo do imposto de renda de pessoa física. • para o cálculo do perímetro de quadrados e de retângulos.

Vídeo “Álgebra – uma introdução”

<https://www.youtube.com/watch?v=4Sp5kunaXGE>

Aborda: • conceitualização da álgebra. • níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico.

Vídeo “O Código Pascal”

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1069>

Aborda: • regularidades numéricas e geométricas que podem ser

observadas no Triângulo de Pascal.


http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/Conteudo.aspx?MateriaID=56&tipo=Videos


https://www.youtube.com/watch?v=4Sp5kunaXGE




Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Observando padrões em matemática”

1. Para observar padrões é preciso preparar o olhar. Assista ao vídeo “A ordem no caos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50037>.

Com o vídeo, você pôde perceber que os padrões estão presentes no mundo, tanto na natureza como nas ciências, e precisam ser estudados para o desenvolvimento do homem. A matemática busca meios de expressar esses padrões – não só para compreender o que está ocorrendo, mas também para poder antecipar acontecimentos e prever soluções. Vamos observar e expressar matematicamente alguns padrões.

2. Veja uma proposta de desenho e pintura de quadriculados.

Mantendo este padrão de desenho e pintura vamos fazer algumas antecipações sobre como seriam as figuras que continuariam a ser desenhadas e pintadas: a) Quantos quadrinhos terá a base do quadriculado da figura de número 6? _________

b) Quantas faixas brancas serão no quadriculado de número 15? ___________

E quantas serão coloridas? ___________

c) Agora, pense em um quadriculado de número 1 000 e descreva como ele seria.

d) As questões anteriores ajudaram você a perceber o padrão de desenho e pintura do

quadriculado. Então vamos expressar matematicamente esse padrão. Para isso, não

vamos pensar em 1 000, 40 ou 2, temos que considerar que o que vamos escrever

deve valer para qualquer número. Vamos representar esse número pela letra n.

Assim, pensando no número n, responda:

Quantos quadrinhos terá a base do quadriculado? ________

Quantas faixas brancas terá esse quadriculado? ___________ E quantas serão

coloridas? ___________

Qual o total de faixas horizontais dessa figura? ______________

Para saber se a expressão matemática que obteve representa o padrão desta

sequência, faça o teste. Troque o n por 1, faça os cálculos e veja se bate com o

que está apresentado na figura 1. Depois, faça o mesmo para os números 2, 3 e

4. Se tudo der certo, você deve ter obtido uma boa expressão.

3. Observe agora uma sequência de empilhamentos de caixas.

1 2 3 4 a) Desenhe como seriam os empilhamentos de números 5 e 6. b) Imagine como seria o empilhamento de número 10 e descreva-o.

c) Expresse matematicamente o total de caixas necessárias para montar qualquer empilhamento n que fosse pedido.

4. Vamos também observar padrões em sequências numéricas. Descubra o próximo

número das sequências apresentadas em


5. A sequência: 2, 4, 6, 8... fez parte de seu jogo. Usando o que descobriu sobre ela,

complete:

a. O 10º termo dessa sequência será o número ______________.

b. O 20º termo será o número ______________________ .

c. O 100º termo será o número ______________________ .

d. Escreva como pensou para responder às questões anteriores.

e. Como podemos falar de qualquer número n par?

f. Escreva uma expressão matemática que represente qualquer número n par.

g. Pense na sequência de números ímpares e escreva uma expressão matemática que represente qualquer número ímpar.






H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa. A álgebra, mais do que manipular expressões e resolver equações, envolve as capacidades de estabelecer generalizações e relações, interpretar situações e resolver problemas. As atividades propostas buscam colocar os alunos em um movimento de observação de padrões para chegar à generalização e escrita da expressão algébrica.

Atividade “Observando padrões em matemática”

1. Para observar padrões é preciso preparar o olhar. Assista ao vídeo “A ordem no caos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50037>.

Com o vídeo, você pôde perceber que os padrões estão presentes no mundo, tanto na natureza como nas ciências, e precisam ser estudados para o desenvolvimento do homem. A matemática busca meios de expressar esses padrões – não só para compreender o que está ocorrendo, mas também para poder antecipar acontecimentos e prever soluções. Vamos observar e expressar matematicamente alguns padrões.

Professor, o vídeo tem duração de 25m51s. Veja se é o caso de selecionar um trecho para apresentação a todos os alunos. Caso prefira indicar o acesso individual, serão necessários computador e fone de ouvido.

2. Veja uma proposta de desenho e pintura de quadriculados.

Mantendo este padrão de desenho e pintura vamos fazer algumas antecipações sobre como seriam as figuras que continuariam a ser desenhadas e pintadas: a) Quantos quadrinhos terá a base do quadriculado da figura de número 6? ___6___

b) Quantas faixas brancas serão no quadriculado de número 15? ___15_____

E quantas serão coloridas? ____14____

c) Agora, pense em um quadriculado de número 1 000 e descreva como ele seria.

Espera-se que os alunos descrevam que o quadriculado terá 1 000 quadrinhos na base, com 1 000 faixas brancas e 999 faixas coloridas.

d) As questões anteriores ajudaram você a perceber o padrão de desenho e pintura do

quadriculado. Então vamos expressar matematicamente esse padrão. Para isso, não

vamos pensar em 1 000, 40 ou 2, temos que considerar que o que vamos escrever

deve valer para qualquer número. Vamos representar esse número pela letra n.

Assim, pensando no número n, responda:

Quantos quadrinhos terá a base do quadriculado? ___n___

Quantas faixas brancas terá esse quadriculado? ____n_____ E quantas serão

coloridas? ___n - 1____

Qual o total de faixas horizontais dessa figura? _n + n – 1 = 2n - 1_______

Para saber se a expressão matemática que obteve representa o padrão desta

sequência, faça o teste. Troque o n por 1, faça os cálculos e veja se bate com o

que está apresentado na figura 1. Depois, faça o mesmo para os números 2, 3 e

4. Se tudo der certo, você deve ter obtido uma boa expressão.

Faça uma discussão sobre a validação da expressão obtida, mas deixe que os próprios alunos apresentem seus testes de verificação.

3. Observe agora uma sequência de empilhamentos de caixas.

1 2 3 4 a) Desenhe como seriam os empilhamentos de números 5 e 6.

5 6 b) Imagine como seria o empilhamento de número 10 e descreva-o.

Espera-se que os alunos observem que na base serão 10 caixas e, na fileira de cima, serão 9 caixas.

c) Expresse matematicamente o total de caixas necessárias para montar qualquer empilhamento n que fosse pedido.

n + n – 1 = 2n – 1 Aproveite para discutir o fato de as duas situações serem representadas pela mesma expressão algébrica.

4. Vamos também observar padrões em sequências numéricas. Descubra o próximo número das sequências apresentadas em <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50039>.

5. A sequência: 2, 4, 6, 8, ... fez parte de seu jogo. Usando o que descobriu sobre ela,

complete:

a. O 10º termo dessa sequência será o número ____20______.

b. O 20º termo será o número ____40_______________

c. O 100º termo será o número ___200_______________

d. Escreva como pensou para responder às questões anteriores.

Espera-se que os alunos observem que o padrão apresentado é a multiplicação por 2 ou podem também referir-se ao dobro.

e. Como podemos falar de qualquer número n par?

Os alunos podem variar nas respostas, mas a referência deve ser a multiplicação por 2.

f. Escreva uma expressão matemática que represente qualquer número n par.

Chamando de n um número natural qualquer, temos que a representação de um número par será 2n.

g. Pense na sequência de números ímpares e escreva uma expressão matemática que represente qualquer número ímpar. Chamando de n um número natural qualquer, temos que a representação de um número ímpar será 2n – 1.





Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Ampliando o olhar sobre as expressões algébricas”

1. Você viu na atividade anterior que as expressões algébricas representam um modo de

generalizar um padrão observado em determinada situação. Então, toda vez que uma

situação é descrita a partir de elementos padrões observados, pode-se escrever uma

expressão algébrica que corresponda a ela. Para verificar como tratar com variadas

expressões algébricas, acesse “Interpretando expressões lineares”

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50041>< .

2. Junte-se a um amigo e, com o que aprendeu no objeto digital, criem um texto e a

expressão matemática correspondente. Troque o texto com outra dupla para que

descubram a expressão matemática que escreveram.

3. Escreva a expressão algébrica correspondente à seguinte situação. A altura de um

prédio é o triplo da altura de uma árvore, que tem o dobro da altura de um poste.

Escreva a expressão que representa a altura do prédio.

4. Use o que aprendeu para resolver:

Marcos ganha um salário mais uma comissão vendendo televisores em uma loja. A

equação S = 375 + 0,04 V representa seu salário semanal, em reais. Nesta equação, a

letra V indica o total de suas vendas semanais e 375 indica:

a) o salário de Marcos para cada televisor vendido.

b) o salário de Marcos, se ele vende 375 televisores.


c) o salário de Marcos, se ele não vende televisores.

d) o aumento do salário de Marcos em cada venda.

Justifique a resposta que indicou como correta.

5. Observe a seguinte situação:

Analise a situação e traduza-a por meio de uma equação.

Pedro gastou seu salário da seguinte maneira:

1/5 em roupas;

1/10 em livros;

R$ 500,00 nas despesas do mês;

Com o restante, comprou um presente de R$ 80,00 para sua irmã.






Atividade “Ampliando o olhar sobre as expressões algébricas”

1. Você viu na atividade anterior que as expressões algébricas representam um modo de

generalizar um padrão observado em uma determinada situação. Então, toda vez que

uma situação é descrita a partir de elementos padrões observados, pode-se escrever

uma expressão algébrica que corresponda a ela. Para verificar como tratar com variadas

expressões algébricas, acesse “Interpretando expressões lineares”


Realize também a atividade proposta no site para poder orientar os alunos na sua

execução.

2. Junte-se a um amigo e, com o que aprendeu no objeto digital, crie um texto e a

expressão matemática correspondente. Troque o texto com outra dupla para que

descubram a expressão matemática que escreveram.

Estimule os alunos a criar textos mais elaborados, de modo que tanto a elaboração

quanto a resposta exijam mais criatividade.

3. Escreva a expressão algébrica correspondente à seguinte situação. A altura de um

prédio é o triplo da altura de uma árvore, que tem o dobro da altura de um poste.

Escreva a expressão que representa a altura do prédio.

Acompanhe as discussões dos alunos para essa escrita. Caso necessário, sugira que

procurem identificar no texto qual elemento foi tomado como padrão de medida.

Chamando a altura do poste de p e a do prédio de P, tem-se:

P = 3 × 2 × p


4. Use o que aprendeu para resolver:

Marcos ganha um salário mais uma comissão vendendo televisores em uma loja. A

equação S = 375 + 0,04 V representa seu salário semanal, em reais. Nesta equação, a

letra V indica o total de suas vendas semanais e 375 indica:

a) o salário de Marcos para cada televisor vendido.

b) o salário de Marcos, se ele vende 375 televisores.

c) o salário de Marcos, se ele não vende televisores.

d) o aumento do salário de Marcos em cada venda.

Justifique a resposta que indicou como correta.

Resposta pessoal. A discussão dessa questão deve ser feita tendo em vista a leitura cuidadosa do enunciado e identificando, na equação dada, cada um dos termos com as informações presentes no texto.

5. Observe a seguinte situação:

Analise a situação e traduza-a por meio de uma equação.

Também aqui a leitura do texto requer cuidado para perceber que a equação esperada

tem como valor desconhecido o salário de Pedro e, portanto, a proposta é a de escrever

uma expressão com a qual seja possível obter o valor do salário. Assim, chamando de X

o salário, podemos escrever: 𝑋𝑋 − 15𝑋𝑋 − 1

10𝑋𝑋 − 500 = 80.

Pedro gastou seu salário da seguinte maneira:

1/5 em roupas;

1/10 em livros;

R$ 500,00 nas despesas do mês;

Com o restante, comprou um presente de R$ 80,00 para sua irmã.




• H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa (avaliação do 7º ano). A linguagem matemática, notadamente escrita e simbólica, foi desenvolvida historicamente para comunicar suas ideias e conceitos. Assim, as notações e símbolos matemáticos precisam ser tratados com significados claros e relativamente precisos, além da necessidade do reconhecimento de suas regras e procedimentos. A álgebra, mais do que manipular expressões e resolver equações, envolve as capacidades de estabelecer generalizações e relações, interpretar situações e resolver problemas. Desse modo, o ensino de uma linguagem algébrica já constituída e que prioriza o domínio de habilidades manipulativas das expressões algébricas não é suficiente para que os alunos desenvolvam relação direta entre o pensamento algébrico e uma linguagem que o represente.

• H30 – Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. (avaliação do 7º ano). A grande aplicação dos números racionais em nossa sociedade já é forte argumento para sustentar um movimento de modificação nas propostas de trabalho com as frações e decimais. A compreensão dos diversos significados desses números é muito mais premente do que as longas listas de exercícios para a memorização de procedimentos de cálculo das operações, que acabam por cair no vazio da não significação.

• H01 – Reconhecer as diferentes representações de um número decimal (avaliação do 9º ano). Ter flexibilidade no uso das diferentes representações dos números racionais, identificando as frações como números e percebendo que há infinitas maneiras de representá-las é mais um alicerce sobre o qual poder-se-á construir o conceito de número racional.

• H24 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos (avaliação do 9º ano). Uma figura geométrica, em particular um triângulo, tem propriedades envolvendo os seus elementos (lados, ângulos internos, ângulos externos), soma de ângulos internos, soma de ângulos externos etc., que é interessante analisar. As observações sobre esses elementos e suas relações são o ponto de partida para as proposições voltadas para o desenvolvimento das demonstrações em geometria.

Expressões algébricas – a linguagem da Matemática




A Matemática, quando caracterizada pelo rigor de sua linguagem, é isolada num mundo à

parte. Porém, este rigor é parte da linguagem, o que não quer dizer que ele seja o mesmo que

dificuldade. É preciso compreender o vocabulário dessa linguagem, os símbolos, que são os

elementos de sua comunicação. No entanto, apenas isso não basta para o desenvolvimento da

aprendizagem em matemática: é preciso também que ocorra um tipo de pensamento

específico para ler e escrever nesta linguagem, o pensamento algébrico.

O ensino de álgebra, tendo em vista a constituição do pensamento algébrico, pode ser

desenvolvido considerando-se os seguintes focos de trabalho.

• Problematização que demande a construção de generalização.

Trata-se da exploração de situações-problema nas quais os alunos são instigados a observar os

elementos apresentados, aritméticos ou geométricos, para perceber uma regularidade na

formação do fato apresentado e nas relações que esses elementos possuem chegando a uma

representação genérica de sua descoberta.

• Atribuir múltiplos sentidos ou significações a uma expressão algébrica.

Nesta etapa, partindo de uma expressão algébrica, tida como pura ou simbólica, o aluno

tentaria atribuir múltiplos sentidos ou significações a ela. A explicitação, pelos alunos, dos

significados possíveis vai aproximá-los mais da leitura e interpretação de situações-problema,

além do avanço quanto às diferentes interpretações das letras. A leitura, pelo professor, das

expressões algébricas com diferentes significados durante suas aulas também deve se tornar

rotineira para habituar os alunos a esse modo de ler as expressões.

problematização que demande a construção de generalização

atribuir múltiplos sentidos ou

significações a uma expressão

algébrica

reconhecer os procedimentos que permitem a

transformação de uma expressão algébrica em

outra equivalente

• Reconhecer os procedimentos que permitem a transformação de uma expressão

algébrica em outra equivalente.

Esta seria a terceira etapa, momento em que a atenção recai sobre o modo como as

expressões algébricas podem ser transformadas em expressões equivalentes e sobre os

procedimentos que validam tais transformações. Esse trabalho é significativo para que o aluno

perceba que a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente, mais simples,

facilita encontrar a solução de um problema.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor

Vídeo “A linguagem da Matemática”

<http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/Conteudo.aspx?MateriaID=56&tipo=Videos>

Aborda o emprego de expressões:

• algébricas em situações cotidianas.

• para o cálculo do imposto de renda de pessoa física.

• para o cálculo do perímetro de quadrados e de retângulos.

Vídeo “Álgebra – uma introdução”

<https://www.youtube.com/watch?v=4Sp5kunaXGE>

Aborda:

• conceitualização da álgebra.

• níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico.

Vídeo “Ler e escrever em matemática”

<http://pt.slideshare.net/pso2510/ler-e-escrever-matemtica-osmar>

Aborda a necessidade do rigor na linguagem matemática e no modo como se usa a língua materna para comunicação matemática.




https://www.youtube.com/watch?v=4Sp5kunaXGE

http://pt.slideshare.net/pso2510/ler-e-escrever-matemtica-osmar



Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Ler e escrever em Matemática – parte 1”

1. No 8º ano você teve contato com as expressões algébricas e deve ter feito um bocado de exercícios de matemática com elas. Em algum momento se sentiu diante de uma “sopa de letrinhas”? Para ajudá-lo a entender melhor o uso das letras nas expressões algébricas, assista “Para que todas aquelas letras em álgebra?” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50043>.

2. Junte-se a um colega para que, pensando no que assistiram, verifiquem para quais das situações abaixo seria necessário usar um símbolo para representar um número não conhecido. Depois, escrevam a expressão algébrica para esta situação. a) Em uma viagem de carro fiz uma parada depois de rodar 200 km. Só fiz outra

parada quando cheguei ao meu destino, 300 km depois. De quantos quilômetros foi minha viagem?

b) Do triplo de um número, subtraíram 25 e o resultado foi 45. Que número é esse?

c) Em uma classe de 45 alunos o número de meninas é o dobro do de meninos. Quantos são os meninos?


3. Ainda em dupla, façam um jogo de escrita de expressões algébricas. Acessem

“Escrevendo expressões algébricas” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50046> e passem por todos os níveis.

4. Agora a proposta será ao contrário! Dada a expressão algébrica 3x + 2 = 14, veja, abaixo, uma situação que pode ser representada por ela. Escreva mais duas situações para essa mesma expressão.

Joana tem 2 anos a mais do que o triplo da idade de seu irmão. Se a idade de Joana é 14 anos, qual a idade de seu irmão?





Habilidade desenvolvida H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa.


Hoje já sabemos que para ler e escrever em Matemática não é suficiente conhecer os símbolos matemáticos e, também, que compreender a linguagem matemática auxilia na compreensão da própria matemática. Com estas atividades busca-se aproximar o aluno da linguagem matemática de modo que ela possa tornar-se, cada vez mais, tão natural como a linguagem cotidiana.

1. No 8º ano você teve contato com as expressões algébricas e deve ter feito um bocado de exercícios de matemática com elas. Em algum momento se sentiu diante de uma “sopa de letrinhas”? Para ajudá-lo a entender melhor o uso das letras nas expressões algébricas assista “Para que todas aquelas letras em álgebra?” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50043>.

Assista antes dos alunos para que possa observar os aspectos mais relevantes e pontos a discutir com os alunos.

2. Junte-se a um colega para que, pensando no que assistiram, verifiquem para quais das situações abaixo seria necessário usar um símbolo para representar um número não conhecido. Depois, escrevam a expressão algébrica para esta situação. a) Em uma viagem de carro, fiz uma parada depois de rodar 200 km. Só fiz outra

parada quando cheguei ao meu destino, 300 km depois. De quantos quilômetros foi minha viagem? Nesta situação não há número desconhecido.

b) Do triplo de um número, subtraíram 25 e o resultado foi 45. Que número é esse? 3x – 25 = 45

c) Em uma classe de 45 alunos, o número de meninas é o dobro do de meninos. Quantos são os meninos? 2x + x = 45. Nesta situação os alunos poderão apresentar apenas a expressão do dobro (2x), discuta então a necessidade da representação de toda a situação e a interpretação de que a classe é, então, formada pelo número de meninos somado ao número de meninas.

3. Ainda em dupla, façam um jogo de escrita de expressões algébricas. Acessem “Escrevendo expressões algébricas” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50046> e passem por todos os níveis.



Acompanhe os alunos nessa escrita, destacando a variedade de letras que pode ser empregada, dependendo da representação que se escolha.

4. Agora a proposta será ao contrário! Dada a expressão algébrica 3x + 2 = 14, veja, abaixo, uma situação que pode ser representada por ela. Escreva mais duas situações para essa mesma expressão.

Joana tem 2 anos a mais do que o triplo da idade de seu irmão. Se a idade de Joana é 14 anos, qual a idade de seu irmão?

Caso os alunos apresentem dificuldade nessa escrita, sugira alguns contextos que eles possam usar: tempo, comprimento, valor, quantidades de frutas, material escolar etc., de modo que percebam que uma expressão algébrica pode representar qualquer situação cotidiana.




Aluno RA

Professor Turma


1. Você já criou uma expressão algébrica a partir de figuras? Esse será seu novo desafio! Observando cada sequência de figuras, responda o que se pede.

a)

1 2 3 4 5

Descreva como deverão ser desenhadas as figuras 6 e 7.

Quantas bolinhas deverão ser desenhadas no total para formar a figura 10?

Como pensou para descobrir?

Como representaria o total de bolinhas da figura de número n?

b)

Da maneira como as bolinhas estão organizadas, que figura geométrica elas formam?

Quantas linhas e quantas colunas de bolinhas teria a figura de número 7?

Qual o total de bolinhas na figura de número 7?

Qual o total de bolinhas na figura de número x?

2. A observação de padrões sempre atraiu a atenção das pessoas. As descobertas que

foram sendo feitas a partir delas foi um fator importante para o avanço da

humanidade. Para verificar isso, assista ao vídeo “A ordem no caos”


3. Depois de ter visto o vídeo, você pode estar pensando que só na natureza, nas artes ou

nas figuras é que se pode observar padrões. Para ampliar essa ideia, assista a mais um

vídeo muito interessante: “O Código Pascal”.

4. Usando o padrão de construção do Triângulo de Pascal, complete as próximas três

linhas do triângulo colocado a seguir. 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

5. Descubra o padrão de cada sequência numérica e complete o que se pede.

a) 3, 6, 9, 12, _____, _____, _____, ...

Qual seria o 10º termo dessa sequência?


Qual seria o 100º termo dessa sequência?

Qual seria o xº termo dessa sequência?

b) 4, 7, 10, 13, _____, _____, _____, ...

Compare a sequência anterior com esta para escrever uma expressão algébrica que

permita obter qualquer número dessa sequência, isto é, o xº termo. Teste-a para ver

se funciona mesmo!

6. Monte uma sequência numérica com um determinado padrão e troque com um

colega para que ele descubra como completá-la e qual a expressão que a representa.




Habilidade desenvolvida H12 – Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa.


1. Você já criou uma expressão algébrica a partir de figuras? Esse será seu novo desafio! Observando cada sequência de figuras, responda o que se pede.

a)

1 2 3 4 5

Descreva como deverão ser desenhadas as figuras 6 e 7.

A figura 6 deverá ter 6 bolinhas na base e 5 bolinhas na parte de cima.

A figura 7 deverá ter 7 bolinhas na base e 6 bolinhas na parte de cima.

Quantas bolinhas deverão ser desenhadas, no total, para formar a figura 10? _19_____

Como pensou para descobrir? ______________________________________________

Espera-se que o aluno perceba que deve-se somar 10 + 9.

Como representaria o total de bolinhas da figura de número n?

A figura de número n terá o total de n + n – 1. Aproveite para perguntar a eles se essa expressão poderia ser escrita de outro modo, procurando que eles descubram a equivalência n + n – 1 = 2n – 1 .

b)

Da maneira como as bolinhas estão organizadas, que figura geométrica elas formam?

Quadrado.

Quantas linhas e quantas colunas de bolinhas teria a figura de número 7?

7 linhas e 7 colunas.

Qual o total de bolinhas na figura de número 7? ___7 . 7 = 49_____________________

Qual o total de bolinhas na figura de número x? ____x . x = x2_____________________

2. A observação de padrões sempre atraiu a atenção das pessoas. As descobertas que

foram sendo feitas a partir delas foi um fator importante para o avanço da

humanidade. Para verificar isso, assista ao vídeo “A ordem no caos”


Assista ao vídeo antes dos alunos para observar as colocações de algumas pessoas

para destacá-las com os alunos.

3. Depois de ter visto o vídeo, você pode estar pensando que só na natureza, nas artes ou

nas figuras é que se pode observar padrões. Para ampliar essa ideia, assista a mais um

vídeo muito interessante: “O Código Pascal”


Chame a atenção dos alunos para a regra de formação do triângulo, pois eles precisarão dela na questão seguinte.

4. Usando o padrão de construção do Triângulo de Pascal, complete as próximas três linhas do triângulo colocado a seguir. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

5. Descubra o padrão de cada sequência numérica e complete o que se pede.

a) 3, 6, 9, 12, _15__, _18__, _21__, ...

Qual seria o 10º termo dessa sequência? 30

Qual seria o 100º termo dessa sequência? 300

Qual seria o xº termo dessa sequência? 3x

b) 4, 7, 10, 13, _16__, _19__, _22__, ...

• Compare a sequência anterior com esta para escrever uma expressão algébrica que

permita obter qualquer número dessa sequência, isto é, o xº termo. Teste-a para ver

se funciona mesmo!



Como nesta sequência cada número corresponde aos da sequência anterior

somando 1, tem-se a expressão 3x + 1. O teste deve ser feito substituindo o valor de

x pela sua posição na sequência: 3 . 1 + 1 =4; 3 . 3 + 1 = 7 etc.

6. Monte uma sequência numérica com um determinado padrão e troque com um

colega para que ele descubra como completá-la e qual a expressão que a representa.


Triângulos – propriedades


H24 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.


O trabalho com geometria é sempre muito especial, pois dele depende, em grande parte, o desenvolvimento da visualização, que possibilita o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento. É esse pensamento que permitirá ao aluno compreender, descrever e representar o mundo em que vive. A exploração deste campo do conhecimento permite o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial, possibilitando a descoberta de conceitos matemáticos de modo experimental. Este tema também é importante para que os alunos estabeleçam conexões entre a matemática e outras áreas do conhecimento. Em resumo: a geometria, quando apresentada com vistas ao desenvolvimento do pensamento geométrico, desenvolve a capacidade de raciocinar indutiva e dedutivamente.

Desse modo, a atividade proposta busca o desenvolvimento da visualização e do raciocínio geométrico, assim como a capacidade de colocá-los em uso; estimula o aluno a procurar compreender e ser capaz de utilizar propriedades e relações relativas aos triângulos no plano. O trabalho nestas tarefas constitui o ponto de partida para o desenvolvimento e formalização de novos conceitos e representações, o que deve ser feito, tanto quanto possível, com a participação dos alunos. Num ou noutro momento, no entanto, há também a realização de exercícios, tendo em vista consolidar conhecimentos.

Sugestões de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) ao professor Vídeo “Triângulos e suas propriedades”

<http://www.videodeaula.com.br/matematica/poligonos-e-triangulos/video-de-poligonos-e-triangulos.html>

Aborda algumas demonstrações mais formais das propriedades dos triângulos.

Plataforma “Khan Academy”

<https://pt.khanacademy.org/math/geometry/triangle-properties/triangle-inequality-theorem/v/triangle-inqequality-theorem>

Traz tanto vídeos explicativos como lista de exercícios, que poderão ser usados na medida em que os alunos apresentem dificuldade.


http://www.videodeaula.com.br/matematica/poligonos-e-triangulos/video-de-poligonos-e-triangulos.html

http://www.videodeaula.com.br/matematica/poligonos-e-triangulos/video-de-poligonos-e-triangulos.html

https://pt.khanacademy.org/math/geometry/triangle-properties/triangle-inequality-theorem/v/triangle-inqequality-theorem






Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Descobrindo umas boas sobre um cara conhecido”

1. O triângulo é a figura geométrica mais popular. Ele aparece em praticamente todas as construções feitas pelos homens. É que ele tem uma propriedade muito importante. Assista ao vídeo “Mão na Forma” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50061> para descobrir qual é essa propriedade.

2. Descobriu a propriedade que faz o triângulo ser o mais popular das figuras geométricas planas? Escreva-a aqui.

3. Agora, descubra mais uma sobre os triângulos. Assista ao vídeo “Propriedades dos triângulos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50063> e faça os exercícios. Melhor pegar uma calculadora para ser rápido nos cálculos.

4. Essa você já sabe! O triângulo possui três ângulos internos cuja soma de suas medidas vale .

5. Mas, e seus ângulos externos? Você os conhece? Para conhecê-los e descobrir qual é a medida de sua soma, acesse “Ângulos externos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50065>. Não precisa assistir ao vídeo: vá direto ao applet do ângulo externo.

6. Afinal, quanto dá a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo? .

7. Com as descobertas que já fez, você está pronto para enfrentar os “Desafios triangulares” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50067>.

8. Para saber mais sobre triângulos e outras figuras geométricas, assista ao vídeo “Equilibrando formas geométricas planas” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50069>.









H24 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.

Atividade “Descobrindo umas boas sobre um cara conhecido

1. O triângulo é a figura geométrica mais popular. Ele aparece em praticamente todas as construções feitas pelos homens. É que ele tem uma propriedade muito importante. Assista ao vídeo “Mão na Forma” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50061> para descobrir qual é essa propriedade.

Assista ao vídeo antes de apresentá-lo aos alunos para decidir se o exibirá completo ou apenas a parte referente ao triângulo. Dependerá do tempo disponível em sala de aula.

2. Descobriu a propriedade que faz o triângulo ser o mais popular das figuras geométricas planas? Escreva-a aqui. Trata-se da propriedade da rigidez, que o torna a figura geométrica mais aplicada nas construções em geral.

3. Agora, descubra mais uma sobre os triângulos. Assista ao vídeo “Propriedades dos triângulos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50063> e faça os exercícios. Melhor pegar uma calculadora para ser rápido nos cálculos.

Neste vídeo e depois, na resolução dos exercícios propostos, é apresentada a desigualdade triangular.

4. Essa você já sabe! O triângulo possui três ângulos internos cuja soma de suas medidas vale __180°____. Caso os alunos não conheçam essa propriedade, proponha que assistam ao vídeo que antecede o applet indicado no próximo item.

5. Mas, e seus ângulos externos? Você os conhece? Para conhecê-los e descobrir qual é a medida de sua soma, acesse “Ângulos externos” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50065>. Não precisa assistir ao vídeo: vá direto ao applet do ângulo externo.

6. Afinal, quanto dá a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo? __360°__




7. Com as descobertas que já fez, você está pronto para enfrentar os “Desafios triangulares” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50067>. Trata-se de um desafio, pois as questões apresentadas no jogo mesclam todos os assuntos apresentados anteriormente. É importante você conhecer as questões para poder orientar melhor os alunos em situação de dúvida.

8. Para saber mais sobre triângulos e outras figuras geométricas, assista ao vídeo “Equilibrando formas geométricas planas” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50069>. Após assistirem ao vídeo, proponha aos alunos que elaborem um móbile com as indicações apresentadas, para que determinem o centro de massa de triângulos e outras figuras geométricas planas.



Números Racionais – seus vários significados


H30 – Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem, etc. H01 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

Orientações Gerais – Como desenvolver estas habilidades

A natureza dos números racionais, que é composta por diferentes significados que eles podem assumir, é um dos motivos que leva à dificuldade no aprendizado. No entanto, esses números são de grande importância para a formação dos alunos. O conhecimento de números racionais favorece o desenvolvimento de habilidades para resolução de problemas cotidianos e age no desenvolvimento de competências cognitivas.

Frequentemente nos deparamos com situações que exigem o conhecimento de números racionais, seja na forma de frações, razões, decimais ou porcentagens. As soluções para muitos problemas que envolvem medida, geometria, álgebra, probabilidade e estatística requerem o conhecimento e a familiaridade com números racionais e proporções.

As considerações anteriores são justificativas suficientes para que, mesmo diante das dificuldades apresentadas por muitos dos alunos, haja a insistência de se abordar esse conjunto de números. No entanto, cabe ressaltar que é preciso enfatizar a compreensão de frações como números, a comparação de frações e a conversão para decimais e porcentagem.

Devemos lembrar que não é com grandes números e muitos cálculos que os alunos desenvolverão a compreensão dos conceitos. Habilidade nas técnicas operatórias não é suficiente para se saber resolver problemas. Pesquisadores em Educação Matemática consideram que o modo mais eficaz de os alunos desenvolverem estas compreensões é o de dar a eles a oportunidade de encontrar os diferentes significados dentro do contexto de uma variedade de situações-problema. Nestas atividades, os alunos estarão diante de diferentes situações em variados contextos que tratam dos significados de parte-todo e razão aplicada em diversos contextos.

Sugestão de Objetos Digitais de Aprendizagem (ODAs) aos professores Vídeos “Diversos” <http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/Conteudo.aspx?MateriaID=15&tipo=Videos> Abordam:

• Porcentagens: 100 mistério. • Proporcionalidade: comparando partes. • Razão: comparando grandezas semelhantes. • Escala: organizando medições. • Proporções no dia a dia.



Vídeo “A história de Mussaraf” <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1115> Aborda:

• Diferentes situações-problema que envolvem proporções. • Algumas propriedades de frações. • Conhecimentos sobre frações para resolver problemas.

Texto “Uma nova visão no ensino e aprendizagem de racionais”

<http://www.editoradobrasil.com.br/portal_educacional/fundamental2/projeto_apoema/pdf/textos_complementares/matematica/6_ano/pam6_texto_complementar05_nova_visao_aprendizagem_numeros_racionais.pdf>

Aborda: • Aspectos que causam dificuldades de aprendizagem. • Significados dos racionais. • Exemplos dos significados.



http://www.editoradobrasil.com.br/portal_educacional/fundamental2/projeto_apoema/pdf/textos_complementares/matematica/6_ano/pam6_texto_complementar05_nova_visao_aprendizagem_numeros_racionais.pdf





Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Revendo velhos conhecidos”

Junte-se a um colega para discutir cada uma das propostas desta atividade.

1. Para reencontrar um significado de número racional que você já conhece, jogue “Fração como parte-todo” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50053>.

2. Com esse jogo, você pôde lembrar que quando temos um inteiro e o dividimos em partes iguais, cada parte é uma fração do todo. Mas você mexeu também com frações equivalentes. Você lembra por que elas são chamadas assim? Acesse o “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021> e fique sabendo.

3. Usando o que descobriu no dicionário, escreva frações equivalentes a:



d) Quantas frações equivalentes é possível escrever para cada uma das frações?

e) Então, de quantos modos diferentes pode-se escrever o mesmo número racional?

4. Ao fazer um exercício como esse, diante da fração 54 , Bete comentou: “Como dá para

dividir um inteiro em 4 partes e pegar 5?” Paulo respondeu: “Use dois inteiros!”

Usando a dica de Paulo, marque na régua abaixo as frações 54 e 3

2 lembrando que

cada centímetro é um inteiro.

5. Agora, olhando na régua os pontos que você marcou e lendo os centímetros que a régua aponta, escreva os números decimais correspondentes às frações. 54

= ____________ 32

= _____________

6. Você está pronto para um jogo que exige rapidez: “Frações e Decimais”


7. Já que estamos falando em decimais, como se lê estes números? Qual a fração correspondente a eles? a) 0,25:

b) 0,1 = 0,10: c) 0,05:





Habilidades desenvolvidas

H30 – Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. H01 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

Atividade “Revendo velhos conhecidos”

Nestas atividades há o interesse de colocar vários dos significados dos racionais numa mesma sequência de trabalho, buscando uma comparação entre eles.

Junte-se a um colega para discutir cada uma das propostas desta atividade.

1. Para reencontrar um significado de número racional que você já conhece jogue “Fração como parte-todo” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50053>. O jogo exige o reconhecimento de frações equivalentes e sua representação pictórica. É importante que você, professor, circule entre os alunos para auxiliá-los com algumas informações ou mesmo recordando-as.

2. Com esse jogo, você pôde lembrar que quando temos um inteiro e o dividimos em partes iguais, cada parte é uma fração do todo. Mas você mexeu também com frações equivalentes. Você lembra por que elas são chamadas assim? Acesse o “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021> e fique sabendo.

3. Usando o que descobriu no dicionário escreva frações equivalentes a:



d) Quantas frações equivalentes é possível escrever para cada uma das frações?

Infinitas.

e) Então, de quantos modos diferentes pode-se escrever o mesmo número racional?

Infinitos.

4. Ao fazer um exercício como esse, diante da fração 54 , Bete comentou: “Como dá para

dividir um inteiro em 4 partes e pegar 5?” Paulo respondeu: “Use dois inteiros!”

Usando a dica de Paulo, marque na régua abaixo as frações 54 e 3

2, lembrando que

cada centímetro é um inteiro.

5. Agora, olhando na régua os pontos que você marcou e lendo os centímetros que a

régua aponta, escreva os números decimais correspondentes às frações. 54

= _1,25 32

= _1,5

6. Você está pronto para um jogo que exige rapidez: “Frações e Decimais”,


Neste jogo eles poderão solicitar o uso da calculadora. Esclareça que o uso será permitido.

7. Já que estamos falando em decimais, como se lê estes números? Qual a fração correspondente a eles? a) 0,25: vinte e cinco centésimos: 25/100

b) 0,1 = 0,10: _um décimo ou 10 centésimos: 1/10 = 10/100 c) 0,05: _cinco centésimos: 5/100





Aluno RA

Professor Turma

Atividade “Conhecendo novos significados para os racionais”

1. Na classe de Bete há 12 meninos e 24 meninas. Você sabe dizer qual é a razão entre homens e mulheres nesta classe? Antes de responder, acesse o “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021> para saber o que é uma razão e como expressá-la. Agora escreva a razão entre o número de meninos e o de meninas da classe. Simplifique-a, se possível. =

2. Você sabia que se usa muito a noção de razão na cozinha? Que tal comer um suspiro, daqueles que derretem na boca? A receita é bem simples: para cada xícara de clara de ovo, coloque 3 xícaras de açúcar, mas só depois que as claras já estiverem em ponto de neve. Bata mais um pouco, acrescente raspas de limão e pronto! Faça os suspiros e coloque para assar em forno com baixa temperatura. Você deve ter notado que, nesta receita, há uma razão entre as medidas de clara de ovo e de açúcar. Escreva essa razão. a) Imagine uma doceira que vai fazer suspiros. Se ela tiver 5 xícaras de claras,

quantas xícaras de açúcar ela deverá usar? Qual a razão entre a medida de clara e a medida de açúcar, neste caso?

b) A razão mudou ou é a mesma? ______________ Justifique sua resposta.


c) As frações que representam a razão entre as medidas de clara e de açúcar nos dois casos devem ser ______________________________ para que o suspiro dê certo com qualquer quantidade que se quiser usar. Assim, podemos dizer que usamos as medidas mantendo a proporcionalidade. Quando duas razões são equivalentes, dizemos que temos uma proporção.

d) Escreva a proporção obtida entre a razão dada na receita e a razão usada pela doceira.

=

3. Assista ao vídeo “Razão de semelhança e proporcionalidade”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50057>. Não é preciso vê-lo inteiro, apenas até chegar à parte que mostra a decisão sobre as dimensões da maquete (aos 4min36s do vídeo).

4. O fator da escala que é citado no vídeo nada mais é do que a razão entre as medidas do objeto real e da maquete. O principal cuidado que se deve ter com as razões é que as medidas comparadas devem estar na mesma unidade. Veja só como aparecem escalas em mapas.

A escala indica que neste mapa 1 cm representa

79 000 000 cm da realidade. Para este número nos dar

uma informação mais significativa, é preciso transformá-lo em km.

1 km = 100 000 cm

79 000 000 : 100 000 = 790 km

Neste caso, há duas representações diferentes para indicar a escala. Uma similar à

anterior, em que 1 cm no mapa representa 450 000 cm. Outra em que a representação é geométrica com a indicação de que um segmento de 1 cm

corresponde a 4,5 km. A representação geométrica permite o emprego das duas

unidades de medida diferentes, mas a razão não.

1 : 79 000 000


5. Determine a distância real entre dois pontos de cada mapa, sabendo que a distância

no mapa é de 2,5 cm.

6. Outra razão muito frequente é a razão percentual ou porcentagem. Ela recebe este nome porque, nesta razão, a comparação é sempre com o 100. Assim, quando há uma notícia de que o sistema de abastecimento de água do Cantareira está 4% acima do chamado “volume morto”, significa: a) Está sobrando no sistema 4 litros de água a cada 100 litros. b) De cada 100 litros de água, faltam 4 litros no sistema. c) A cada 100 litros de sua capacidade de armazenamento, há só 4 litros no sistema. d) A cada 4 litros de sua capacidade de armazenamento, há 100 litros no sistema.

7. Junte-se a um amigo, e com uma calculadora nas mãos, joguem “Transformando

frações” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50059>.





Habilidades desenvolvidas

H30 – Reconhecer o conceito de razão em diversos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc. H01 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

Atividade “Conhecendo novos significados para os racionais”

1. Na classe de Bete há 12 meninos e 24 meninas. Você sabe dizer qual é a razão entre homens e mulheres nesta classe? Antes de responder, acesse o “Dicionário de Matemática” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50021> para saber o que é uma razão e como expressá-la. Agora escreva a razão entre o número de meninos e o de meninas da classe. Simplifique-a, se possível.

1224

=12

2. Você sabia que se usa muito a noção de razão na cozinha? Que tal comer um suspiro, daqueles que derretem na boca? A receita é bem simples: para cada xícara de clara de ovo, coloque 3 xícaras de açúcar, mas só depois que as claras já estiverem em ponto de neve. Bata mais um pouco, acrescente raspas de limão e pronto! Faça os suspiros e coloque para assar em forno com baixa temperatura. Você deve ter notado que, nesta receita, há uma razão entre as medidas de clara de ovo e de açúcar. Escreva essa razão.

13

a) Imagine uma doceira que vai fazer suspiros. Se ela tiver 5 xícaras de claras, quantas xícaras de açúcar ela deverá usar? Qual a razão entre a medida de clara e a medida de açúcar, neste caso?

515

b) A razão mudou ou é a mesma? _É a mesma._ Justifique sua resposta.

Espera-se que o aluno perceba que as frações são equivalentes. Por isso, a razão é a mesma.

c) As frações que representam a razão entre as medidas de clara e de açúcar nos dois casos devem ser ___equivalentes__________ para que o suspiro dê certo com qualquer quantidade que se quiser usar. Assim, podemos dizer que usamos as


medidas mantendo a proporcionalidade. Quando duas razões são equivalentes, dizemos que temos uma proporção.

d) Escreva a proporção obtida entre a razão dada na receita e a razão usada pela doceira.

13

=5

15

3. Assista ao vídeo “Razão de semelhança e proporcionalidade”

<http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50057>. Não é preciso vê-lo inteiro, apenas até chegar à parte que mostra a decisão sobre as dimensões da maquete (aos 4min36s do vídeo).

4. O fator da escala que é citado no vídeo nada mais é do que a razão entre as medidas do objeto real e da maquete. O principal cuidado que se deve ter com as razões é que as medidas comparadas devem estar na mesma unidade. Veja só como aparecem escalas em mapas.

5. Determine a distância real entre dois pontos

de cada mapa, sabendo que a distância no mapa é de 2,5 cm. 1 cm no mapa 1 representa 790 km, então 2,5 cm representará 790 x 2,5 = 1975 km. 1 cm no mapa 2 representa 4,5 km, então 2,5 km representará 4,5 x 2,5 = 11,25km.

A escala indica que neste mapa 1 cm representa

79 000 000 cm da realidade. Para este número nos dar uma informação mais significativa, é preciso transformá-lo em km.

1 km = 100 000 cm

79 000 000 : 100 000 = 790 km

Neste caso, há duas representações diferentes para indicar a escala. Uma similar à

anterior, em que 1 cm no mapa representa 450 000 cm. Outra

em que a representação é geométrica com a indicação de

que um segmento de 1 cm corresponde a 4,5 km.

A representação geométrica permite o emprego das duas

unidades de medida diferentes, mas a razão não.

1 : 79 000 000


6. Outra razão muito frequente é a razão percentual ou porcentagem. Ela recebe este nome porque, nesta razão, a comparação é sempre com o 100. Assim, quando há uma notícia de que o sistema de abastecimento de água do Cantareira está 4% acima do chamado “volume morto”, significa: a) Está sobrando no sistema 4 litros de água a cada 100 litros. b) De cada 100 litros de água, faltam 4 litros no sistema. c) A cada 100 litros de sua capacidade de armazenamento, há só 4 litros no sistema. d) A cada 4 litros de sua capacidade de armazenamento, há 100 litros no sistema.

7. Junte-se a um amigo e, com uma calculadora nas mãos, joguem “Transformando

frações” <http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/?p=50059>.

Este jogo pode servir de avaliação das aprendizagens dos alunos.


Orientações técnicas

Configuração do JAVA para execução de Aplicações e Applets JAVA

Observação Importante: O Java utiliza uma API chamada NPAPI, que deixou de ter suporte no Google Chrome nas últimas versões. A partir daí diversos aplicativos deixaram de funcionar nesse navegador, tais com os softwares de bancos e alguns programas JAVA.

Se você desejar utilizar o navegador Google Chome para applets (jogos matemáticos), deverá instalar uma versão antiga desse navegador (por exemplo a versão 42 ou anteriores), senão abandone o Google Chrome para utilizar nas atividades que utilizam applets em JAVA.

Peça sempre orientação ao administrador dos equipamentos, que usa, antes de efetuar qualquer alteração nos mesmos.

Navegadores recomendados: FIREFOX, INTERNET EXPLORER, SAFARI (Apple).

Nas novas versões o software JAVA impede a execução de aplicações e applets Java por motivos de segurança. Para conseguir a execução desses objetos você deve configurar o Java para que a execução aconteça. Vamos acessar um jogo que não será executado: http://www.uff.br/cdme/razaoporcentagem/razaoporcentagem-html/razaoporcentagem-br.html

http://www.uff.br/cdme/razaoporcentagem/razaoporcentagem-html/razaoporcentagem-br.html

http://www.uff.br/cdme/razaoporcentagem/razaoporcentagem-html/razaoporcentagem-br.html

O jogo não executa, não havendo o que fazer nele. Desaparecem as opções e ações que teríamos nele. Para obter a liberação do jogo no computador usado faça:

1. Execute o Painel de Controle do JAVA:

2. Selecione a aba Segurança

3. Clique em Editar a Lista de Sites

4. Clique em Adicionar. Aparecerá uma nova linha na tabela existente. Nessa linha copie o link http://www.uff.br/cdme/razaoporcentagem/razaoporcentagem-html e clique em Ok. Observação: Não há necessidade de copiar o endereço completo e sim até o último subdiretório referenciado.

Se aparecer a mensagem abaixo clique em Continuar.

http://www.uff.br/cdme/razaoporcentagem/razaoporcentagem-html

Alguns endereços que colocamos na lista de exceção do JAVA (não deixe de colocar o endereço: http://www.geogebra.org) http://illuminations.nctm.org/ http://nlvm.usu.edu/es/nav http://www.cdme.im-uff.mat.br http://www.es.iff.edu.br/softmat/ http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/portaltic/ http://projetotic/trigonometria_dinamica

http://www.fi.uu.nl

http://www.fi.uu.nl/en/pt http://www.geogebra.org http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali http://www.mathcats.com/ http://www.mathcats.com/explore/puzzles/hexagons.html http://www.mathsnetgcse.com http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/ativa/programas http://www.uff.br/cdme/

5. Aparecerá novamente a aba de Segurança. Note que na última linha aparece o link digitado. Clique em OK.

http://www.geogebra.org/

http://illuminations.nctm.org/

http://www.cdme.im-uff.mat.br/

http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/portaltic/

http://projetotic/trigonometria_dinamica

http://www.fi.uu.nl/en/pt

http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali

http://www.mathcats.com/explore/puzzles/hexagons.html

http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/ativa/programas

6. Feche o seu navegador. Abra-o novamente e chame a página do jogo. Se ainda não funcionar, não desista: experimente com outro navegador – Se está usando o Firefox passe para o Internet Explorer ou Safari. Outra opção é fazer o downgrade do Chrome para versões anteriores que aceitam a API NPAPI. Este exemplo não funciona no Chrome, mas sim no Internet Explorer e Firefox.

7. Se em nenhum navegador o jogo funcionar, provavelmente existem problemas de segurança no aplicativo ou Applet JAVA que impedem que ele seja liberado para uso.

Documents

Currículo+ Matemática (E.F. II)