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UM LABORATRIO PARA UM CURSO DE AUTOMAO INDUSTRIAL

UTILIZANDO A TEORIA DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

Jos Ricardo da Silva Dias

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS

PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISISTOS

NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM

ENGENHARIA ELTRICA.

Aprovada por:

_______________________________________________

Prof. Joo Carlos dos Santos Basilio, Ph. D.

_______________________________________________

Prof. Fernando Cesar Lizarralde, D. Sc.

_______________________________________________

Prof. Paulo Csar Marques Vieira, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL

ABRIL DE 2005


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ii

DIAS, JOS RICARDO DA SILVA

Um Laboratrio para um Curso de Automa-

o Industrial utilizando a Teoria de Sistemas a

Eventos Discretos [Rio de Janeiro] 2005

VIII, 127 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Eltrica, 2005)

Tese Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Sistemas a Eventos Discretos

2. Autmato

3. Redes de Petri

4. Controladores Lgicos Programveis

5. Linguagem de Programao Ladder

3. Experincias de Laboratrio

I. COPPE/UFRJ II. Ttulo ( srie )


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iii

minha me Conceio, minha esposa Andra.

Aos meus filhos Andr Ricardo e Samuel Elias, e

aos meus irmos Eduardo, Ftima, Berna, Glria e Bete.


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iv

AGRADECIMENTOS

A Deus Pai pela vida, pela sade, cuidado, proteo e disposio concedidos

sem medida e a Jesus, por seu sacrifcio e sua interseo por ns. minha me, por ter dedicado sua vida para que ns (seus filhos) tivssemos

condies de estudar e todo o seu esforo para fazer-nos pessoas de bem, e aos meus

irmos que sempre me ajudaram nas dificuldades.

minha esposa Andra e meus filhos Andr e Samuel, pela compreenso,

pacincia e apoio durante mais essa jornada.

Aos professores Afonso Celso, Amit Bhaya, Fernando Lizarralde, Liu Hsu e

Ramon Romankevicius da UFRJ/COPPE, professora Marly Guimares e ao professorCcero Costa da UFAM e SUFRAMA, pela disposio e colaborao no ensino.

Ao professor Dionsio pelo emprstimo de vrios livros e a todos que, de

maneira direta e indireta , colaboraram para a concluso deste trabalho.

E, em especial, ao meu professor e orientador Joo Carlos dos Santos Baslio,

que mesmo enfrentando problemas de sade, nunca desanimou e nem me fez desanimar,

continuando sempre firme para concluso deste trabalho, e pelos laos de amizade que

se formaram pela convivncia, mesmo que distncia.


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v

Resumo da Teses apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios

para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M. Sc.)

UM LABORATRIO PARA UM CURSO DE AUTOMAO INDUSTRIAL

UTILIZANDO A TEORIA DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS


Abril/2005

Orientador: Joo Carlos dos Santos Baslio

Programa : Engenharia Eltrica

O ensino de automao industrial, em cursos de engenharia, alm dos

fundamentos tericos, requer, a nvel de projeto, a utilizao de redes de Petri e na

implementao, a prtica com o hardware e o software dos controladores lgicos

programveis.

Este trabalho tem por finalidade elaborar experincias para um laboratrio de

automao industrial utilizando a teoria de sistemas a eventos discretos, tratando de

algumas tcnicas usadas para modelagem desses sistemas. As experincias sero

implementadas utilizando-se um controlador lgico programvel (CLP) que ser

programado em linguagem ladder para executar o controle de seqncias de eventos

pr-determinadas. O modelo a ser implementado ser formalizado em rede de Petri e

posteriormente gerado um programa em linguagem ladder de forma heurstica.

As teorias de autmatos e redes de Petri, que so alguns dos formalismosutilizados para representar um sistema a eventos discretos, sero tambm estudadas

neste trabalho.


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vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master in Sciences (M. Sc.)

A LABORATORY FOR A COURSE IN INDUSTRY AUTOMATION USING THE

THEORY OF DISCREET EVENTS SYSTEMS


April/2005

Advisor: Joo Carlos dos Santos Basilio

Department: Electrical Engineering

The teaching of industry automation, at undergraduating level, and its besides

theoretical background, also requires the use of Petri Nets implementation using the

hardware and software of programmable logic controllers.

The objective of this work is to propose experiments for a laboratory of a course

in industry automation using the theory of discrete events systems, dealing with some

techniques used for modeling these systems. The experiments will be implemented

using a programmable logical controller (PLC) that will be programmed in ladder

language to execute the control of pre-determined sequences of events. The model to be

implemented will be formalized in Petri net and in the sequel, a program in ladder

language will be developed in a heuristic way.

Automata and Petri nets theories, some of the formalisms used to represent a

discrete events system will also be studied in this work.


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vii

Sumrio

Resumo v

Abstract vi

1. Introduo 1

2. Fundamentos da teoria de sistemas a eventos discretos 6

2.1. Sistemas a eventos discretos....................................................................... 6

2.1.1. Evento................................................................................................ 6

2.1.2. Sistemas controlados pelo tempo e sistemas baseados em eventos... 72.1.3. Propriedades caractersticas de sistemas a evento discretos.............. 8

2.1.4. Exemplos de sistemas a evento discretos........................................... 10

2.2. Linguagens e Autmato.............................................................................. 14

2.2.1. Linguagens......................................................................................... 14

2.2.2. Operaes em linguagens................................................................... 15

2.2.3. Autmato............................................................................................ 16

2.2.4. Representao de linguagens por autmatos...................................... 18

2.2.5. Bloqueio............................................................................................. 19

2.3. Redes de Petri.............................................................................................. 20

2.3.1. Fundamentos de redes de Petri......................................................... 20

2.3.2. Evoluo dinmica das redes de Petri.............................................. 23

2.3.3. Equaes de estado........................................................................... 25

2.3.4 - Linguagens de Rede de Petri........................................................... 26

2.3.5 - Modelos de redes de Petri para sistemas com filas........................ 27

2.3.6. Comparao entre redes de Petri e autmato................................... 29

2.4. Modelos temporizados................................................................................ 30

2.4.1. Redes de Petri temporizadas............................................................. 31

3. Programao e utilizao de controladores lgicos Programveis (CLPs) 36

3.1. Controlador lgico programvel................................................................. 36

3.1.1. Introduo........................................................................................ 36


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viii

3.1.2. Operao Bsica............................................................................... 39

3.1.3. Arquitetura bsica do CLP............................................................... 40

3.1.4. Classificao dos CLPs.................................................................... 45

3.2. Linguagem de programao (ladder).......................................................... 45

3.2.1. Programadores................................................................................. 46

3.2.2. Fundamentos de programao em linguagem ladder....................... 47

3.2.3. Implementao da lgica de controle............................................... 48

3.2.4. Implementao da lgica de controle por funes do CLP.............. 50

3.3. Converso entre Redes de Petri e Linguagem Ladder................................. 53

3.3.1. Mtodos de converso entre redes de Petri e linguagem ladder....... 53

3.3.2. Um mtodo para converter redes de Petri em linguagem ladder...... 55

4. Equipamentos do laboratrio 61

4.1. CLP TSX 37-22.......................................................................................... 61

4.2. Linguagem de Programao do TSX 3722................................................. 66

4.2.1. Estrutura de execuo das Tarefas................................................... 67

4.2.2 Ambiente de trabalho do PL7 Micro................................................ 68

4.2.3. Programao.................................................................................... 68

4.2.4. Criando um programa em linguagem ladder no PL7 Micro............ 72

4.3. Esteira transportadora................................................................................. 75

4.4. Conjunto de lmpadas e chaves de impulso sem reteno......................... 77

4.5. Esquemas de ligaes dos experimentos do captulo 5.............................. 79

5. Experincias do laboratrio 86

5.1. Experimentos bsicos para familiarizao com o CLP............................... 87

5.2. Experimentos para controle de trfego....................................................... 93

5.3. Experimentos para simular uma linha de produo industrial ................... 108

6. Concluso e trabalhos futuros 121Bibliografia 123


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1

Captulo 1. Introduo

As queixas mais freqentes de alunos dos cursos tcnicos da rea de indstria

so a falta de prticas nos laboratrios do curso e a necessidade de mais embasamentoprtico para que os alunos possam se desenvolver melhor durante seus estgios

curriculares.

Segundo MARTIN e BROWN (1998), durante os ltimos dez anos, foram

administradas entrevistas com os alunos dos cursos superiores do Departamento de

Engenharia Eltrica da Universidade de Engenharia Eltrica de Arkansas em

Fayetteville, Arkansas 72701, aproximadamente 2 semanas antes de completarem o

semestre final. Dos muitos anos de entrevistas, ficou claro que muitos estudantessentiam que as disciplinas do currculo carecem de treinamento prtico adequado, i.e.,

no bastava dispensar algum tempo no laboratrio, se que os exerccios de laboratrio

no estiverem bem relacionados ao material dirigido em sala de aula. Alm disso, nas

discusses abertas com empregadores dos mesmos estudantes, verificou-se tambm que

os alunos precisam de uma exposio a uma variedade mais ampla de experincias e

equipamentos.

Um laboratrio de sistemas de engenharia uma amlgama de criar mtodos,

habilidades, princpios e disciplinas. Os mtodos de engenharia incluem descoberta,

avaliao e investigao. As habilidades de engenharia aplicveis incluem

experimentao, anlise de dados e modelagem, (MIDDLETON et al., 1996).

Enquanto foram aplicadas idias inovadoras a muitos aspectos do currculo de

engenharia em recentes anos (GRAYSON, 1994, ASEE, 1994, BORDOGNA et al.,

1993, CIBUZARet al., 2001), o componente de laboratrio geralmente arrastou-se no

processo de reforma, com a exceo de algum progresso notvel ao nvel de iniciantes

(QUINN, 1993). Ainda hoje, os empregadores das indstrias pedem que a educao dos

estudantes seja recheada de inovaes para adquirir experincias prticas afinadas com

habilidades de integrao necessria aos engenheiros modernos. De acordo com

Norman Augustine (Lockheed Martin Corporation), Uma educao de engenharia tem

que incluir aplicaes claras que certamente tm que incluir as mos no trabalho....

(AUGUSTINE, 1994), De acordo com o Conselho de Engenharia, o currculo tem que

encarnar uma perspectiva de sistemas, uma perspectiva multi-disciplinar, e uma

integrao de conhecimento. (BAUM et al., 1994).


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2

A teoria de sistemas a eventos discretos um campo de conhecimentos em

expanso. Seu surgimento justifica-se, entre outras coisas, em face da necessidade de

um tratamento formal requerido por diversos sistemas construdos pelo homem, como

redes de comunicao, sistemas de manufatura, sistemas de trfego automatizado e

sistemas computacionais, guiados a eventos cujo tratamento, baseado classicamente em

equaes diferenciais, se torna extremamente complexo. A teoria tem carter

interdisciplinar e inclui princpios e conceitos extrados da cincia da computao,

teoria de controle e pesquisa operacional (KUMAR e GARG, 1995).

Devido ao grande avano na pesquisa em torno de formalismos e linguagens que

podem executar, implementar e controlar um sistema a eventos discretos, de

significativa importncia a criao de um laboratrio que vise tratar do assunto em

termos de implementao, pois muito do que visto tem carter apenas conceitual. A

experincia de ensino em engenharia de automao industrial, em nvel de graduao,

tem mostrado a importncia de trs elementos: a) a prtica com o hardware e o software

dos Controladores Lgicos Programveis; b) as redes de Petri aplicadas ao projeto de

automao; c) um conjunto consistente de experincias de laboratrio (MORAES e

CASTRUCCI, 2002).

evidente a importncia para a economia nacional de um maior nmero de

graduados em Automao Industrial, e especificamente com experincia nos

Controladores Lgicos Programveis (CLPs). As inmeras aplicaes possveis exigem

do engenheiro: i) presena nas longas fases da especificao, em dilogo com o cliente;

ii) projeto do sistema; iii) gerao do software do PLC; iv) start-up, na prpria planta

industrial, isto , hoje em dia, em qualquer parte do territrio nacional. (MORAES e

CASTRUCCI, 2002). Tambm, segundo MORAES e CASTRUCCI (2002), parece

difcil a migrao de tais instrumentos para a prtica do engenheiro. Nesta, portanto, o

projeto depende de tentativas, de intuies, de simulaes, enfim de engenho e arte.O projeto de sistemas de controle automticos requer muito conhecimento

terico. A conseqncia deste fato que um nmero grande de conceitos novos tem que

ser introduzido em um primeiro curso em sistemas de controle. Porm, estes conceitos

so introduzidos em geral de alguma maneira independentemente e isto coloca srios

problemas quando os estudantes so exigidos a lidar com o projeto inteiro de um

sistema de controle. Neste sentido um laboratrio de controle deve ser proposto com a

viso a reunir todos os conceitos introduzidos em um curso terico ministradopreviamente (BASILIO, 2002, BASILIO e MOREIRA, 2004). No que se refere a


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3

sistemas a eventos discretos, para o conhecimento das ferramentas de modelagem

necessrio um profundo conhecimento dos formalismos de modelagem utilizados em

sistemas a eventos discretos, um conhecimento amplo dos sistemas de controladores

lgicos programveis e suas linguagens de programao e uma metodologia na

elaborao de projetos, com base em linguagem ladder e redes de Petri. Segundo

VENKATESH e ZHOU (1998), um sistema industrial discreto consiste de vrias

unidades simultneas como mquinas, robs, veculos com guias automatizados,

controladores lgicos programveis e computadores que funcionam de forma assncrona

para se encontrar as necessidades dinmicas das variveis do mercado. Softwares

integrados que desenvolvem mtodos para modelar, analisar, controlar, e simular tais

sistemas so tambm importantes.

Muitos usurios industriais de CLPs preferem programar em linguagem ladder

que usa mtodos heursticos. Para sistemas simples, fcil escrever para programas de

PLC que usam o mtodo heurstico. Porm, medida que o sistema se torna mais

complexo, fica muito difcil de controlar problemas efetivamente (CHIRN e

McFARLANE, 1999, VENKATESH et al., 1994b). Estes problemas foram

reconhecidos desde que a linguagem ladder foi extensamente usada. Alguns

nivelamentos foram propostos s ferramentas de projeto para ajudar a solucionar estes

problemas (IEC, 1992; DAVID, 1995). Redes de Petri (PETERSON, 1981,

ZURAWSKI e ZHOU, 1994) so ferramentas comumente usadas neste aspecto, por

causa do sucesso em sistemas de controle de evento discretos (SED).

O objetivo desse trabalho no comparar redes de Petri e linguagem ladder, mas

mostrar que existem estudos a este respeito e na parte de elaborao das experincias de

laboratrio mostrar as duas formas de representao. Contudo os controles sero

implementados usando a linguagem ladder.

Por causa do planejamento e vantagens de organizao de redes de Petri, vriosinvestigadores tentaram desenvolver mtodos para transformar redes de Petri

(desenvolvidos na fase de projeto) em linguagem ladder (fase de implementao)

(SATO e NOSE, 1995, JAFARI e BOUCHER, 1994, BURNS e BINDANDA, 1994,

TAHOLAKIAN e HALES, 1997, VENKATESH et al., 1994a, LEE e HSU, 2001).

Alm disso, UZAM et al. (1996) props um mtodo lgico para converter redes de Petri

em linguagem ladder. Porm, estas aproximaes esto focalizadas tipicamente somente

na fase de projeto em lugar de as outras fases do desenvolvimento de sistemas decontrole. As metodologias apontam para traduzir a rede de Petri na sintaxe de


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4

linguagem ladder. Porm, problemas na fase de teste e fase de manuteno posterior

ainda so grandes. No somente o tempo de projeto mas tambm o tempo de

manuteno pode ser reduzido se uma aproximao apropriada estiver disponvel

(CHIRN e McFARLANE, 2000). Mais recentemente, LUCAS e TILBURY (2003)

conduziram um estudo com o objetivo de determinar os mtodos atuais de projeto de

sistemas de automao usados na industria automotiva. Neste sentido, verificou-se que

embora a linguagem ladder seja ainda a mais empregada, necessrio, dada a

necessidade de constantes modificaes das programaes nas linhas de produo, que

outras formas de implementaes devam ser usadas. Neste contexto, surge a chamada

linguagem SFC (sequential flow chart) que permite uma implementao mais rpida dos

programas no sistema industrial. Apesar disto, neste trabalho, a implementao ser

feita usando-se linguagem ladder.

Este trabalho est estruturado da seguinte forma. O captulo 2 apresenta os

fundamentos da teoria de sistemas a eventos discretos: autmatos e redes de Petri. O

autmato como formalismo de modelagem discutido em detalhe. apresentado,

tambm, o formalismo de modelagem por redes de Petri e discute-se a anlise e o

controle de modelos de rede de Petri independente do tempo. No final do captulo, as

duas classes de modelos independentes do tempo, autmato e redes de Petri, so

refinadas para incluir o tempo por meio de uma estrutura de temporizao, resultando

no autmato temporizado e nas redes de Petri temporizadas.

O captulo 3 descreve de forma geral um CLP (software e hardware), com suas

definies e caractersticas principais. Os principais blocos que compem um CLP so

descritos. feita uma classificao dos tipos de CLPs. A linguagem que ser utilizada

para implementao das experincias deste trabalho a linguagem ladder. So

mostradas as implementaes das funes lgicas utilizadas em projetos de circuitos

digitais (funes NOT, AND, OR, NAND, NOR, OR Exclusivo e NOR Exclusivo).Finalizando o captulo, feita uma comparao entre linguagem ladder e redes de Petri,

onde so descritos alguns mtodos relacionados tentativa de converso direta entre

redes de Petri e linguagem ladder.

No captulo 4 so apresentados todos os equipamentos que sero utilizados no

laboratrio proposto, quais sejam: o CLP TSX 3722 (hardware e software), a esteira

transportadora, o dispositivo com um conjunto de lmpadas e o conjunto de chaves sem

reteno. Cada um desses equipamentos detalhado de forma a mostrar suascaractersticas tcnicas. Tambm descrito o programa PL7 Micro que o software


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5

destinado ao modelo de CLP utilizado, dando uma viso geral do ambiente de

programao e dos recursos e ferramentas que so usadas para criao dos programas

em linguagem ladder.

O captulo 5 dedicado aos experimentos que sero propostos. So sete

experimentos ao todo, sendo dois experimentos utilizando-se os recursos do CLP para

acionamento de uma carga, no caso uma lmpada, trs experimentos com o conjunto de

esteiras, procurando simular um ambiente de produo e dois experimentos utilizando o

conjunto de lmpadas, simulando o funcionamento de semforos.

Finalmente, no captulo 6 so apresentados as concluses e os trabalhos futuros.


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6

Captulo 2. Fundamentos da teoria de sistemas a eventos discretos

Um sistema a eventos discretos (SED) um sistema a estado discreto, dirigido

por eventos, ou seja, sua evoluo de estado depende inteiramente da ocorrncia deeventos discretos assncronos no tempo. Neste sentido, ATTI (1998) escreve que

quando o espao de estados de um sistema naturalmente descrito por um conjunto

discreto, e as transies de estado so observadas somente em pontos discretos do

tempo, associam-se estas transies a eventos. O conceito de evento um desses

conceitos primitivos, cuja compreenso deve ser deixada intuio, mais do que a uma

exata definio. No se pode, porm, deixar de enfatizar que um evento deve ser

pensado como de ocorrncia instantnea e como causador de uma transio no valor(discreto) do estado do sistema.

Neste captulo ser feita uma reviso dos principais conceitos e dos fundamentos

da teoria de sistemas a eventos discretos, estando estruturado da seguinte forma: na

seo 2.1 so apresentados os fundamentos da teoria de sistemas a eventos discretos,

com a introduo dos conceitos de evento, sistemas controlados pelo tempo e sistemas

baseados em eventos, tratados em comparao aos sistemas dinmicos de variveis

contnuas; na seo 2.2 so estudado as linguagens e autmatos, e; na seo 2.3

estudado o segundo formalismo utilizado neste trabalho que so as rede de Petri, como

uma alternativa para substituir os modelos de autmatos de SED, sendo apresentados os

fundamentos de redes de Petri, as equaes de estado e as dinmicas da rede de Petri

para uma classe especial de redes, comparando, ao final, redes de Petri e autmato; na

seo 2.4 introduzida a estrutura de temporizao nas redes de Petri, gerando as redes

de Petri temporizadas.

2.1. Sistemas a eventos discretos

Nesta seo sero apresentados os principais conceitos para o estudo de sistemas

a eventos discretos.

2.1.1. Evento

Evento um conceito primitivo e necessita de uma boa base intuitiva para

compreender o seu significado. Deve ser enfatizado que um evento deve ser pensado

como alguma coisa acontecendo instantaneamente e que causa transies de um valor


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7

de estado para outro. Um evento pode ser identificado como uma ao especfica; por

exemplo algum aperta um boto, um computador deixa de funcionar, a chave de

ignio de um automvel ligada etc, ou pode ser o resultado de vrias condies que,

de repente, acontecem.

Neste trabalho ser usado o smbolo e para denotar um evento. Ao considerar

um sistema afetado por tipos diferentes de eventos, define-se um conjunto E cujos

elementos so todos estes eventos. Claramente,E um conjunto discreto.

O conceito de evento pode ser melhor entendido com a ajuda do seguinte

exemplo: um sistema de armazenamento de cargas. Neste caso pode-se perfeitamente

verificar que h, no mnimo, dois eventos: um evento a chegada de produto e o

outro a chegada de caminho. Neste caso, pode-se definir um conjunto de eventosE

= {P,T} ondePdenota o evento chegada de produto, e Tdenota o evento chegada de

caminho, que corresponde sada do produto.

2.1.2. Sistemas controlados pelo tempo e sistemas baseados em eventos

Em sistemas de estados contnuos o estado muda geralmente com mudanas de

tempo. Isto particularmente evidente em modelos a tempo-discreto: um sinal de

clock determina a seqncia de amostras a serem obtidas, pois esperado que a cada

marcao desse sinal, ocorra uma mudana no estado do sistema. Neste caso, a varivel

de tempo (t, em tempo contnuo, ou k, em tempo-discreto) uma varivel independente

que aparece como sendo o argumento de toda a contribuio de entrada dos estados, e

em funes de sada. Por essa razo, esses sistemas so denominados dirigidos pelo

tempo.

Em sistemas de estados discretos, as mudanas de estado s ocorrem em certos

pontos por transies instantneas e, a cada uma dessas transies, pode-se associar um

evento. Suponha que exista um relgio pelo qual tomado o tempo, e considere as duas

possibilidades:

1. A toda marcao do sinal de clock, um evento e ser selecionado de um conjunto fixo

E. Se nenhum evento acontecer, pode-se pensar em um "evento nulo" como pertencendo

aEcuja propriedade no causar nenhuma mudana de estado.

2. Em vrios momentos de tempo (no necessariamente conhecidos com antecedncia, e

no coincidindo com as marcaes de tempo), algum evento determinado e ir ocorrer.

H uma diferena fundamental entre 1 e 2 acima. Em 1, as transies de estadoso sincronizadas pelo relgio, isto , a toda marcao de tempo, um evento (ou nenhum


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8

evento) selecionado. O tempo responsvel por toda e qualquer possvel transio de

estado. Em 2, todo evento e deEdefine um processo distinto pelo qual os momentos de

tempo, quando e acontece, so determinados. As transies de estado so o resultado

das combinaes destes processos de eventos assncronos e simultneos. Alm disso,

estes processos no precisam ser independentes um do outro.

A distino entre 1 e 2 d origem s definies de sistemas dirigidos pelo tempo

(1) e sistemas dirigidos por eventos (2). importante ressaltar que a idia de transies

de estado baseadas em eventos corresponde a uma noo familiar, que de uma

interrupo em sistemas de computador. Enquanto muitas das funes em um

computador so sincronizadas por um relgio, e so controladas pelo tempo, outras so

resultados de chamadas assncronas que podem acontecer a qualquer hora como, por

exemplo, o pedido de um usurio externo ou uma mensagem de intervalo pode

acontecer como resultado de eventos especficos, mas completamente independentes do

relgio do computador.

2.1.3. Propriedades caractersticas de sistemas a evento discretos

A maioria dos sistemas de controle em engenharia so baseados em modelos de

equaes diferenciais ou em equaes a diferenas lineares. Para usar estes modelos

matemticos, esses sistemas devem satisfazer as seguintes propriedades: devem ser de

estado contnuo; com o mecanismo de transio de estado dirigido pelo tempo. A

primeira propriedade permite definir o estado por meio de variveis contnuas que

podem assumir qualquer valor real (ou complexo). Quantidades fsicas comuns como

posio, velocidade, acelerao, temperatura, presso, fluxo etc., esto nesta categoria

desde que se possa definir naturalmente as derivadas para estas variveis contnuas. A

segunda propriedade vem o fato de que o estado geralmente evolui em funo do tempo.

Os sistemas considerados neste trabalho so os Sistemas Dinmicos a Eventos

Discretos (SDED) ou, mais amplamente, Sistemas a Eventos Discretos (SED). As suas

principais caractersticas so: (i) o espao de estado um conjunto discreto; (ii) o

mecanismo de transio de estados baseado em eventos.

Essas propriedades levam a seguinte definio de SED.

Definio 2.1. Um Sistema a Eventos Discretos (SED) um sistema de estado discreto

baseado em eventos, isto , a evoluo dos estados depende somente da ocorrncia de

eventos discretos assncronos.


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9

Muitos sistemas, particularmente tecnolgicos, so na realidade sistemas de

estados discretos. At mesmo se este no for o caso, para muitas aplicaes de interesse,

uma viso de estado discreto de um sistema complexo pode ser necessria. Alguns

exemplos simples de sistemas de estados discretos so: (i) O estado de uma mquina

pode ser selecionado de um conjunto como {LIGADA, DESLIGADA} ou

{OCUPADO, OCIOSO, LIVRE}; (ii) um computador que executa um programa pode

ser visto como estando em um de trs estados: {ESPERANDO POR INSTRUES,

EXECUTANDO, PARADO}; (iii) qualquer tipo de inventrio que consiste de valores

discretos (por exemplo produtos, unidades monetrias, pessoas) tem um espao de

estado natural nas grandezas no negativas {0,1,2,...}, (iv) a maioria dos jogos pode ser

modelado como tendo um espao de estado discreto (em xadrez, por exemplo, toda

possvel configurao do tabuleiro define um estado); o espao resultante enorme, mas

discreto.

A propriedade baseada em eventos de SED decorre do fato de que o estado s

pode mudar no tempo em pontos discretos, que correspondem fisicamente a ocorrncias

assncronas de eventos discretos. De um ponto de desenvolvimento de um modelo, isto

tem a seguinte implicao: se for possvel identificar um conjunto qualquer de "eventos"

que podem causar uma transio de estado, ento o tempo j no serve ao propsito de

dirigir tal sistema e no pode ser uma varivel independente apropriada.

As duas caractersticas fundamentais que distinguem Sistemas Dinmicos de

Variveis Contnuas (SDVC) de SED so claramente mostradas ao se comparar

trajetrias tpicas de cada uma destas classes de sistema, como na figura 2.1. Para o

SDVC mostrado, o espao de estado X o conjunto de nmeros reais R, e x(t) pode

assumir algum valor fixo. A funo x(t) a soluo da equao diferencial x& (t)=f[x(t),

u(t), t], onde u(t) a entrada. Para o SED, o espao algum Xfixo e discreto igual a

{s1, s2, s3, s4, s5, s6}. De acordo com a trajetria mostrada na figura 2.1.b, o estado smuda de um valor para outro se um evento ocorrer. V-se, inclusive, que um evento

pode acontecer, mas no causar uma transio de estado, como no caso de e3.


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10

t

x(t)

X=

s6

s5s4

s3s2

s1

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e

X= {s1,s2,s3,s4,s5,s6}

(a)

(b)

(c)

Figura 2.1: Comparao de caminhos de amostra para Sistemas Dinmicos de Variveis

Contnuas (SDVC) e Sistemas de Evento Discretos (SED).

2.1.4. Exemplos de sistemas a evento discretos

Nesta seo sero apresentados trs exemplos de SED utilizados no mundo real

e experincias comuns em engenharia. O primeiro desses exemplos representa uma

estrutura simples que servir para representar muitos SED de interesse.

1. Sistemas de filasO termo fila decorre de um fato intrnseco que em muitos dos sistemas mais

comuns, para se usar certos recursos, deve-se esperar. Por exemplo, para usar os

recursos de um caixa de banco, as pessoas formam uma fila e esperam; para usar o

recurso de um caminho, produtos acabados esperam em um armazm.

Semelhantemente, para usar os recursos da CPU, vrias tarefas esperam em algum lugar

no computador at que seja dado acesso s mesmas por mecanismos potencialmente

complexos.H trs elementos bsicos em um sistema de filas:

1 - As entidades que fazem a espera para utilizao dos recursos. Estas entidades

so usualmente denominadas clientes.

2 - Os recursos para os quais a espera realizada. Desde que os recursos

provejam alguma forma de servio aos clientes, devemos genericamente os

cham-los de servidores.

3 - O espao onde a espera realizada. A esse elemento d-se o nome fila.


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11

Chegada de clientes

ServidorFila

Partida de clientes

Figura 2.2: Um simples sistema de fila.

A cada chegada, o cliente, ou se dirige ao SERVIDOR e servido, ou tem que

esperar primeiro na FILA at que o servidor esteja disponvel. Aps ser atendido, cada

cliente parte. Exemplos de clientes so: pessoas (por exemplo, esperando em um banco

ou em um ponto de nibus), mensagens transmitidas de algum meio de comunicao,

tarefas, trabalhos ou transaes executadas em um sistema de computador, produo em

um processo de fabricao e carros que usam uma rede de estradas. Exemplos de

servidores so: pessoas (por exemplo, caixas de banco ou caixas de sada de

supermercado), canais de comunicao responsveis pela transmisso de mensagens,

processadores de computador ou dispositivos perifricos, vrios tipos de mquinas

usadas na fabricao e semforos que regulam o fluxo de carros. Exemplos de filas so

encontrados em vrios locais, como por exemplo banco, pontos de nibus ou

supermercados. Porm, filas tambm esto presentes em redes de comunicao ou

sistemas de computador onde tambm so alocadas formas menos tangveis de clientes,

como telefonemas ou tarefas a serem executadas em reas de espera.

Graficamente, um simples sistema de fila ser representado como mostrado na

figura 2.2. O crculo representa um servidor, e uma caixa aberta representa uma fila que

precede a este servidor. Aberturas de fila indicam os clientes em modo de espera. Os

clientes so vistos como chegando fila e partindo do servidor. Supe-se ainda que o

processo de servir os clientes, normalmente leva uma quantidade estritamente positiva

de tempo (caso contrrio no haveria espera). Assim, um servidor pode ser visto como

um "bloco de atraso" que retm um cliente por algum tempo at a realizao do servio.

Visto como um SED, o sistema de fila da figura 2.2 tem um conjunto de eventos

E= {a, d}, onde {a} denota um evento de chegada e {d} denota um evento de sada.

Uma varivel de estado o nmero de clientes na fila ou o comprimento da fila. Assim,

o espao de estado o conjunto de valores no negativosX= {0,1,2,...}.


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12

2. Sistemas de manufatura

Em um processo industrial, os clientes so as peas ou partes de peas da

produo. Essas peas esto dispostas para o acesso aos vrios servidores da fbrica que

so as mquinas que executam operaes especficas e dispositivos de manipulao dematerial, como robs e correias transportadoras. Quando as peas no esto sendo

trabalhadas, elas so armazenadas em uma fila at que o servidor libere o acesso para a

prxima operao que est disponvel. Por causa de reais limitaes fsicas, filas em um

sistema industrial tm normalmente capacidades finitas.

Uma vez mais, modelos de filas provem uma conveniente descrio para

sistemas industriais. Um exemplo simples mostrado na figura 2.3, onde as peas

passam por duas mquinas, sendo a capacidade da primeira fila infinita, enquanto a

capacidade da fila da segunda mquina limitada a dois. Como resultado, possvel que

uma parte de servio da mquina 1 seja completado porm a mquina 2 esteja ocupada e

alm disso a fila esteja completa. Neste caso, a pea tem que permanecer na mquina 1

embora no requeira mais nenhum servio; alm disso, so foradas outras peas a

esperar o acesso na mquina 1 permanecendo em fila. O conjunto de eventos fixado

para este exemplo E= {a, c1, d2}, onde a uma chegada para a primeira mquina, c1

uma concluso de servio da primeira mquina e d2 uma partida para a fila da segunda

mquina.

21Entradas

Mquina MquinaFila Fila

Figure 2.3: Sistema industrial de filas.

Observe que o evento c1 no implica em movimento de uma pea da mquina 1

para a fila da mquina 2, desde que esta possibilidade esteja bloqueada. O estado do

sistema pode ser definido como um vetor x = [x1, x2]T correspondendo aos

comprimentos de fila das duas mquinas. Neste caso,x2 restrito aos valores {0,1,2,3}.

Porm, note que quando x2 = 3, a mquina 1 bloqueada, pois acabou de executar o

servio na pea e a fila da segunda mquina est completa. Para modelar o fenmeno de

bloqueio necessitamos introduz uma varivel adicionalB quex2 pode gerar. O espao de

estado se torna o conjunto discreto X= {(x1, x2) : x1 0, x2 {0, 1, 2, 3, B}}. Para

ilustrarmos a flexibilidade do processo modelado (dependendo do nvel de detalhe que


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13

se deseja capturar) pode-se gerar um espao de estado alternativo que pode ser: X= {x1,

x2) :x1 {I, W, B} e x2 {I, W}} ondex1 o estado da primeira mquina, que pode

assumir os seguintes valores: inativo (I), trabalhando (W) ou bloqueado (B), e x2 o

estado da segunda mquina, que pode assumir os seguintes valores: inativo (I) ou

trabalhando (W). Neste modelo, no so focalizados os comprimentos das filas, mas sim

os estados lgicos de cada mquina.

3. Sistemas de trfego

Considere, agora, como exemplo uma simples interseo em T (figura 2.4). H

quatro tipos movimentos de veculos: (a) veculos vindo de ponto 1 e virando para o

ponto 2; (b) veculos vindo de 1 e virando para o ponto 3; (c) veculos que vo

diretamente do ponto 2 ao 3, e (d) veculos que vo do ponto 3 ao 2. O semforo

funciona da seguinte forma: fica vermelho para os veculos vindo da posio 1 e verde

para os veculos vindo das posies 2 e 3, permitindo assim os movimentos ce d, ou

ao contrrio, vermelho para os veculos vindo das posies 2 e 3 e verde para os

veculos vindo da posio 1, permitindo os movimentos ae b.

Neste caso, o conjunto de eventos determinado por:

E= {a12, a13, a23, a32, d12, d13, d23,d32,g, r},

onde a12, a13, a23, a32 so as chegadas de veculo em cada uma das quatro possibilidades

e d12, d13, d23 e d32 so as partidas de veculo quando o semforo permite o trfego,ge r

indicam o estado do semforo.

Um possvel espao de estado definido pelos comprimentos de fila formados

pelos quatro tipos de veculo e o estado do prprio semforo, isto :

X= {(x12,x13,x23,x32,y) :x12,x13,x23,x32 0,y {g1,g2,g3, r1, r2, r3},

ondex12, x13, x23, x32 so os quatro comprimentos de fila, e y o estado da luz (gi e ri

denotam, respectivamente, verde e vermelho para os veculos que vem dos pontos

indicados).

Semforo

3

1

2

Figura 2.4: Uma simples interseo T controlada por semforos.


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14

2.2. Linguagens e autmato

Nesta seo ser apresentado o primeiro formalismo de modelagem utilizado

para representar um SED, que o autmato, uma vez que os sistemas a eventos

discretos (SED) no so adequadamente modelados atravs de equaes diferenciais,como so modelados os Sistemas Dinmicos de Variveis Contnuas (SDVC).

O autmato forma a classe bsica de modelos de SED. So intuitivos, fceis de

usar, com facilidade para operaes de composio e para anlise (no caso de estado

finito), mas carecem de uma estrutura e, por esta razo, podem levar a grandes espaos

de estados quando do modelamento de sistemas complexos. O segundo formalismo de

modelagem a ser considerado neste trabalho redes de Petri. Como ser visto, as redes

de Petri tm mais estruturas que os modelos de autmatos, embora no possuam, no

geral, o mesmo poder analtico que os autmatos. Deve ser ressaltado que as redes de

Petri que sero utilizadas para gerar a modelagem dos experimentos do laboratrio

propostos neste trabalho.

2.2.1. Linguagens

Um SED possui um conjunto de eventos Eassociado a ele que pode ser visto

como sendo o alfabeto de uma linguagem. As seqncias de eventos associados a este

conjunto so definidas como "palavras" desta linguagem. Para entender o seu sentido

considere o seguinte exemplo: suponha que aps um carro ser ligado, as seguintes

tarefas bsicas devam ser realizadas: (a) quando o carro ligado (ON), primeiramente

deve ser enviado um sinal informando que foi ligado e est no estado ON, e ento; (b)

realizar um simples relatrio informando as seguintes condies: 1-tudo OK, 2-

checar leo, ou 3-necessito de gasolina, e, (c) concluir com outro sinal informando

que o relatrio de condies foi feito". Cada um destes sinais define um evento e todos

os possveis sinais que o carro puder emitir definem um alfabeto. Assim, esse sistema

tem as mesmas caractersticas de um SED dirigido por esses eventos, sendo responsvel

por reconhecer eventos e dar a prpria interpretao para qualquer seqncia particular

recebida. Por exemplo, a seqncia de eventos: estou ON, tudo est OK, relatrio

de condies feito, completam com sucesso a tarefa. Por outro lado, a seqncia de

eventos: estou ON e relatrio de condies feito, sem que seja relatada a condio

real entre os eventos, deve ser interpretado como uma condio anormal requerendo

ateno especial. Pode-se, portanto, pensar nas combinaes de sinais emitidos pelo


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carro, como palavras pertencendo linguagem particular falada por este carro. Neste

exemplo, a linguagem de interesse tem somente trs palavras ou eventos.

Uma linguagem um caminho formal para descrever o comportamento de um

SED. A linguagem especifica todas as seqncias admissveis de eventos que o SED

capaz de "processar" ou "gerar", no necessitando de qualquer estrutura adicional.

Definio 2.2. (Notao de Linguagem) O conjunto de eventos Ede um SED visto

como um alfabeto, e ser suposto finito. Uma seqncia de eventos tirados desse

alfabeto forma uma palavra ou seqncia. Uma seqncia que consiste de nenhum

evento chamado de seqncia vazia e denotada por (o smbolo no deve ser

confundido com o smbolo genrico e para um elemento de E). O comprimento de uma

sequncia o nmero de eventos contidos nesta seqncia, contando ocorrncias

mltiplas do mesmo evento. Se s uma seqncia, seu comprimento denotado por

s. Por conveno, o comprimento da seqncia vazia zero, isto , =0.

Definio 2.3. (Linguagem) Uma linguagem definida em um conjunto de eventos E

um conjunto de seqncias de comprimentos finitos formados de eventos deE.

Como exemplo, sejaE={a, b, g}um conjunto de eventos. Podem-se definir as

seguintes linguagens:L1 = {, a, abb}, consistindo somente de trs seqncias, ou uma

linguagem;L2 = {todos as possveis seqncias de comprimento 3 que comeam com o

evento a}, ou seja, L2 = {aaa, aab, aag, aba, abb, abg, aga, agb, agg}, que contm

nove seqncias; ou linguagem L3 = {todos as seqncias de possveis comprimentos

finitos que comeam com evento a}, que contm um nmero infinito de seqncias etc.

2.2.2. Operaes em linguagens

SejaE* o conjunto de todas as seqncias finitas de elementos deE, incluindo .

O conjuntoE* denominado fechamento de Kleene de E. Por exemplo, seE={a, b, c}

entoE*={, a, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, ...}. Note queE* infinito porm

contvel e tem seqncias de comprimento arbitrariamente longos.

As operaes fixas habituais so: unio, interseo, diferena e complemento

com respeito aE*, e so aplicveis para linguagens, desde que sejam conjuntos. Alm

disso, so usadas as seguintes operaes:

1 Concatenao. Seja La,Lb E*. Ento:

LaLb:={sE* :(s = sasb) e (sa La) e (sb Lb)} .

Uma seqncia est em LaLb se ela puder ser escrita como a concatenao de uma


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seqncia emLa com uma seqncia emLb.

2 Fechamento de Prefixos. O fechamento de prefixos de L a linguagem

denotada porL e consiste de todo os prefixos de todas as seqncias em L. No geral,L

L . SejaLE*, ento:L :={sE* : tE* (stL)}.

Uma linguagemL dita ser de prefixo fechado se L = L .Assim a linguagemL

de prefixo fechado se qualquer prefixo de qualquer seqncia emL for tambm um

elemento deL.

3 Fechamento de Kleene: sejaL E*,ento

L*:= {} LLLLLL...

Para melhor entender os conceitos acima, considere o seguinte exemplo: SejaE

= {a,b,g},e considere as linguagensL1 = {, a, abb}eL4 = {g}. Note queL1 eL4 no

so de prefixo fechado uma vez que abL1 e L4. Ento:

L1L4 = {g, ag, abbg}

1L = {, a, ab, abb}

4L = {, g}

L1 4L = {, a abb, g, ag, abbg}

L4* = { , g, gg, ggg, }

L1* = { , a, abb, aa, aabb, abba, abbabb, }Observao 2.1: importante observar que:

(i) ;

(ii) {} uma linguagem no-vazia, contendo unicamente uma seqncia vazia;

(iii) SeL= ento L = , e seL ento, necessariamente, L ;

(iv) * = {}e {}* = {}.

2.2.3. Autmato

A dificuldade de se trabalhar com linguagens simplesmente que representaes

simples de linguagem no so, em geral, fceis de especificar ou de trabalhar.

necessrio, pois, um conjunto de estruturas compactas que definam linguagens e que

possam ser manipuladas atravs de operaes claras de modo que possam construir e,

subseqentemente, manipular e analisar linguagens arbitrariamente complexas.


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Um autmato um dispositivo que capaz de representar uma linguagem de

acordo com regras claras. O modo mais simples para apresentar a noo de autmato

considerar sua representao de grfico direcionada, ou diagrama de transio de

estado. Considere, portanto, o seguinte exemplo: considere o grafo da figura 2.5, onde

os ns representam estados e os arcos rotulados representam transies entre esses

estados. Este grfico fornece uma descrio completa de um autmato. O conjunto de

ns o conjunto de estados do autmato,X= {x, y, z}. O conjunto de rtulos para as

transies o conjunto de evento (alfabeto) do autmato,E = {a, b, g}. Os arcos no

grfico fornecem uma representao grfica datransio funcionaldo autmato, sendo

denotado como :XEX: (x, a) =x, (x, g) = z, (y, a) = x, (y, b) =y, (z, b) =z

e (z, a) = (z, g) =y. A notao (y, a) = x representa os meios de representar que o

autmato est noestado y, e com a ocorrncia de um evento a, o autmato far uma

transio rpida para o estado x. A causa da ocorrncia do evento a irrelevante; o

evento pode ser uma entrada externa para o sistema modelado pelo autmato, ou pode

ser um evento espontaneamente gerado pelo sistema modelado.

x

z

y

a

a

g a,g

b

b

Figura 2.5: Diagrama de transio de estado.

Trs observaes so vlidas com respeito ao exemplo acima: primeira, um

evento pode ocorrer sem mudar o estado, como em (x, a) = x; segunda, dois eventos

distintos podem ocorrer em um dado estado causando a mesma exata transio, como

em (z, a) = (z, g) = y (oque interessante sobre o ltimo fato que possvel no

distinguir os eventos aegsimplesmente observando-se uma transio do estadozpara

o estadoy);terceira, a funo uma funo parcial com domnioemX E, isto ,no

precisa ser uma transio definida para cada evento em E e cada estado de X (por

exemplo, (x, b) e (y, g) no so definidas).

Para se definir completamente um autmato, necessrio ainda um estado

inicial, denotado porx0,e um subconjuntoXmdeXque representa os estados deXque


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so marcados. Os estados so marcados quando necessrio dar um significado

especial para eles e so referidos como estados finais. O estado inicial ser

identificado por uma flecha apontando para dentro e estados pertencentes aXm sero

identificados por crculos duplos.

Pode-se, agora, dar uma definio formal de um autmato.

Definio 2.4. (Autmato determinstico) Um autmato Determinsticodenotado por

G, uma sextpla G = (X, E, f, , x0, Xm ), onde X o conjunto de estados, Eo

conjunto finito deeventosassociados com as transies emG,f : X E X afuno

de transio f(x,e) =y, que significaque existe uma transio rotulada pelo evento e doestadoxpara o estadoy (no geral, f uma funoparcialem seu domnio), : X 2E

funo de evento ativa(ou possvel funo de evento), (x) o conjunto de todos os

eventos deEtais quef(x, e) definida (isto chamado deconjunto de evento ativoou

possvel conjunto de evento deG em x),x0 o estado inicialeXmX o conjunto de

estados marcados.

Oautmato G opera como segue: comea no estado inicialx0e na ocorrncia de

um evento e(x0) Efar uma transio de estadof(x0, e)X.Este processo ento

continua baseado nas transies para as quaisf definida.

Por convenincia, f sempre estendida doXE para o domnio XE* daseguinte maneira recursiva:f(x, e) := x ef(x, se):=f(f(x, s), e) parasE*e eE .

2.2.4. Representao de linguagens por autmatos

A conexo entre linguagem e autmato feita facilmente por inspeo do

diagrama de transio de estado do autmato, considerando todos os caminhos diretos

que podem ser seguidos no diagrama de transio de estado, comeando no estado

inicial, e, dentre esses, aqueles caminhos que terminam em um estado marcado. Istoconduz s noes de linguagens geradas e marcadas por um autmato.

Definio 2.5. (Linguagens geradas e marcadas) A linguagem gerada porG = (X, E, f,

, x0, Xm) L(G) := {sE* :f(x0, s) definida}. A linguagem marcada porG Lm(G)

:= {sL (G) :f(x0, s) Xm}.

A linguagem L(G)representa todos os caminhos diretos que podem ser seguidos

ao longo do diagrama de transio de estado, comeando no estado inicial. Portanto,

uma seqncia s est em L(G) se e somente se essa corresponde a um caminhoadmissvel no diagrama de transio de estados ou equivalentemente, se e somente sef


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definida em (x0, s). A segunda linguagem representada porG, Lm(G), o subconjunto

de L(G) consistindo unicamente da seqncia s tais quef(x0, s)Xm,quer dizer, essas

seqncias correspondem aos caminhos que terminam em um estado marcado no

diagrama de transio de estado.As definies de linguagens gerada e marcada podem ser melhor compreendidas

com a ajuda do seguinte exemplo: sejaE = {a, b} um conjunto de eventos e considere o

autmato de estado finitoG = (X, E, f, , x0, Xm) ondeX = {0, 1},x0 = 0,Xm= {1}, ef

definida como :f(0, a) = 1, f(0, b) = 0, f(1, a) = 1, f(1, b) = 0, representado na figura

2.6. Como 0 o estado inicial, a linguagem gerada por esse autmato o prprioE* isto

: L (G) = {a, b, aa, ba, bb, aaa, }. Como o nico estado marcado o 1, ento esse

estado s pode ser atingido pelas seqncias deL

(G) em que o ltimo evento o a.Portanto Lm(G) = {a, aa, ba, aaa, aba, baa, bba, }. Pode-se, ento, concluir que um

autmato G a representao de duas linguagens L(G) e Lm(G).

0

b

a

a

b1

Figura 2.6: Autmato.

2.2.5. Bloqueio

A partir das definies deG, L(G),eLm(G) tem-se que Lm(G) )(GmL L(G).

A primeira incluso de conjunto devida ao fato deXmser um subconjunto do prprio

X,enquanto a segunda incluso de conjunto uma conseqncia da definio de Lm(G)

e do fato de queL(G) ser, por definio, de prefixo fechado.

Umautmato Gpode alcanar um estadox, tal que (x) = masx Xm isto ,f

no definida para x. Isto chamado de trancamento definitivo (deadlock) tendo em

vista que nenhum evento adicional pode ser executado. Se um trancamento definitivo

acontecer, ento necessariamente )(Gm

L ser um subconjunto prprio deL(G), uma

vez que qualquer seqncia de L(G)que termina noestado x no pode ser um prefixo de

uma seqncia emLm(G).

Outro tipo de trancamento quando o sistema entra em um determinado

conjunto de estados no marcados e no consegue sair deles. A esse tipo de


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trancamento, dar-se o nome de trancamento cclico (livelock). Tambm nesse caso,

fcil observar que )(Gm

L um subconjunto prprio de L(G). Pode-se, ento, apresentar

a seguinte definio:

Definio 2.6. Um autmato G dito estar bloqueando se )(GmL L(G) onde a

incluso de conjunto prpria, e no bloqueiaquando )(Gm

L = L(G).

Para entender esses conceitos, considere o autmato G descrito na figura 2.7.

Claramente, o estado 5 um estado de trancamento definitivo. Alm disso, os estados 3

e 4, com suas transies associadas a, b, e g, formam um componente absorvente

fortemente conectado; uma vez que 3 e 4 no so marcados, qualquer seqncia que

alcana o estado 3 conduzir a um trancamento cclico. Note que a seqncia agL(G)

mas ag )(Gm

L ; o mesmo verdade paraqualquer seqncia em L(G) que comea

com aa. AssimG estbloqueando uma vez que )(Gm

L um subconjunto prprio de

L(G).

1

0

2

3

a

g

4

5

b

a

g

b

a

g

Figura 2.7: Autmato bloqueando.

2.3. Redes de Petri

Uma alternativa para substituir os modelos de autmatos de SED fornecida

pelas redes de Petri. Uma rede de Petri um dispositivo que manipula eventos deacordo com regras estabelecidas. Uma de suas caractersticas principais a existncia

de condies explcitas sob as quais um evento pode ou no ser habilitado, permitindo

representaes de SED muito gerais, cuja operao depende de esquemas de controle

potencialmente complexos.

2.3.1. Fundamentos de redes de Petri

A definio de uma rede de Petri feita em dois passos: primeiro, define-se ografo da rede de Petri, tambm chamado estrutura da rede de Petri, que anlogo ao


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21

diagrama de transio de estado de um autmato; em seguida, junta-se a esse grafo um

estado inicial, um conjunto de estados marcados, e uma funo de transio rotulada,

resultando no modelo completo da rede de Petri.

Em uma rede de Petri, os eventos esto associados s transies. Para que uma

transio acontea, vrias condies devem ser satisfeitas. Estas condies so

localizadas nos prprios estados ou lugares com suas informaes relacionadas a cada

transio. Os lugares podem ser definidos como entradas ou sadas para uma

transio. Transies, lugares, e as relaes entre esses definem os componentes bsicos

de um grafo da rede de Petri. O grafo de uma rede de Petri tem dois tipos de ns

(lugares e transies) e setas conectando estes ns. Por esta razo a rede de Petri um

grafo bipartido, no sentido que as setas no podem conectar diretamente ns do mesmo

tipo, isto , as setas conectam ns de lugares para ns de transio e ns de transio

para ns de lugares. Pode-se, ento apresentar a seguinte definio.

Definio 2.7. (Grafo da rede de Petri)Um grafo ou estrutura da rede de Petri um

grafo ponderado bipartido (P, T, A, w), onde P o conjunto finito de lugares, T o

conjunto finito de transies, A (Px T) (Tx P) o conjunto de setas de lugares

para transies e de transies para lugares no grfico e w : A {1,2,3,...} a funo

dos pesos das setas (um nmero inteiro positivo).

p2t1

p1

t2

t5

t3

t4p3

p4

Figura 2.8: Grfico de rede do Petri.

Para tornar mais clara a definio 2.7, considere o grafo de uma rede de Petri

mostrado na figura 2.8. Tem-se que o conjunto de lugares P = {p1, p2, p3, p4}, o

conjunto de transies T= {t1, t2, t3, t4, t5},A={(p1, t1), (p1, t2), (p2, t2), (p2, t3), (p2, t5),

(p4, t5), (t1, p1), (t1, p2), (t2, p3), (t3, p3), (t3, p4), (t4, p3), (t5, p1)}, w(p1, t1)=1, w(p1, t2)=1,

w(p2, t2)=1, w(p2, t3)=2, w(p2, t5)=1, w(p4, t5)=1, w(t1, p1)=1, w(t1, p2)=1, w(t2, p3)=1,

w(t3, p3)=1, w(t3, p4)=1, w(t4, p3)=1 e w(t5, p1)=1.

Note que como a transio t4 no tem nenhum lugar de entrada, ento o evento


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22

correspondente a t4 acontece de forma incondicional. Em contraste, o evento

correspondente transio t2, depende de certas condies relacionadas aos lugaresp1 e

p2 para que possa ocorrer.

Voltando idia de que as transies em um grafo de redes de Petri representam

os eventos que fazem a evoluo de um SED e que os lugares descrevem as condies

sob as quais esses eventos podem ocorrer, tornam-se, ento, necessrios mecanismos

que identifiquem se essas condies foram, de fato, satisfeitas ou no. Isto feito

atribuindo-se discos aos lugares para indicar que a condio descrita por aquele lugar

satisfeita. Esses discos definem uma marca. Formalmente, uma marcao, x, de um

grafo da rede de Petri (P, T, A, w) uma funo x : P = {0, 1, 2,...}. Assim, a

marcao de x define um vetor linha x= [x(p1), x(p2),..., x(pn)] onde n o nmero de

lugares na rede de Petri e a i-sima entrada deste vetor indica o nmero de discos no

lugarpi, x(pi). Em um grafo da rede de Petri, um disco indicado por um ponto

escuro posicionado no interior do crculo que define o lugar.

Definio 2.8. (Rede de Petri marcada)Uma rede de Petri marcada uma Quntupla

(P, T, A, w, x), onde (P, T, A, w) um grafo da rede de Petri e x a marcao de um

conjunto de lugaresP, isto ,x = [x(p1), x(p2),...,x(pn)] n o vetor linha associado a

x.

Para ilustrar o conceito acima, considere a rede de Petri representada pelo grafo

da figura 2.9. Nessa figura esto mostradas duas possveis marcaes, correspondentes

aos vetores linhax1= [1, 0] ex2 = [2, 1].

p2t1p1 p2t1p1

x1

=[1, 0] x2

=[2, 1]

Figura 2.9: Duas marcaes,x1 ex2, ao grfico de rede de Petri.

Observao 2.2. (a) Por simplicidade, uma rede de Petri marcada ser, de agora em

diante, referida simplesmente como Rede de Petri; (b) O nmero de discos atribudos a

um lugar um nmero inteiro arbitrrio e no negativo. Segue-se, ento, que o nmero

de estados que se pode ter , em geral, infinito. Assim, o espao de estado X, de uma

rede de Petri, com n lugares definido por todos os vetores n-dimensionais, isto ,

X=n.


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23

Enquanto o termo marcao mais comum que estado na literatura sobre

rede de Petri, o termo estado consistente com o papel de estado em sistemas

dinmicos. Alm disso, o termo estado evita uma potencial confuso entre marcao em

grafos da rede de Petri e marcao no sentido de estados marcados em autmato.

2.3.2. Evoluo dinmica das redes de Petri

A definio 2.8 no descreve explicitamente os mecanismos de transio das

redes de Petri, embora este seja um ponto crucial na utilizao das redes de Petri para

modelar SED dinmico. Para Tanto a seguinte definio necessria.

Definio 2.9. (Transio habilitada)Uma transio tj Tem uma rede de Petri dita

estarhabilitada

sex(p

i)

w(p

i, t

j)

para todop

iI(t

j)

, ondeI(t

j)

denota o conjunto delugares conectados transio tj por meio de setas.

De acordo com a definio 2.9 a transio tjna rede de Petri estar habilitada

quando o nmero de discos no lugarpi maior ou igual ao peso da seta que conectapi a

tj, para todo lugarpique so entradas para a transio tj. Note na figura 2.9 que para o

estadox1,x(p1) = 1 < w(p1, t1) = 2, e portanto t1 no est habilitada. Por outro lado para o

estadox2, tem-sex(p1)=2= w(p1, t1) e ento, t1 est habilitada.

Nos autmatos, o mecanismo de transio de estado diretamente capturado

pelos arcos conectando os ns (estados) no diagrama de transio de estado,

equivalentemente pela funo de transio f. O mecanismo de transio de estado em

redes de Petri dado pelo movimento dos discos atravs da rede, conseqentemente,

pela mudana do estado da rede de Petri. Quando uma transio est habilitada, diz-se

que ela pode disparar. A funo de transio de estado de uma rede de Petri definida

atravs da mudana no estado da rede de Petri devido ao disparo de uma transio

habilitada. Algumas vezes podem haver diversas transies habilitadas e poder-se-ia

pensar em disparos simultneos. No presente trabalho, ser suposto que os disparos

acontecem um de cada vez.

Definio 2.10. (Dinmicas da rede de Petri)Afuno de transio de estado, f : n

Tn, da rede de Petri (P, T, A, w, x) definida pela transio tjTse e somente se

x(pi) w(pi, tj) para todopiI(tj) (2.1)

Se f(x, tj) definida, ento o prximo vetor de estados x' = f(x, tj) definido

como

x'(pi) =x(pi) - w(pi, tj) + w(tj, pi), i = 1,...,n. (2.2)


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24

A condio (2.1) assegura que a funo de transio de estado seja definida

unicamente por transies que so habilitadas. Assim, o prximo estado, definido pela

condio (2.2) depende explicitamente dos lugares de entrada e de sada de uma

transio e dos pesos das setas que conectam esses lugares transio. importante

observar que o nmero de discos no precisa necessariamente ser conservado aps o

disparado de uma transio em uma rede de Petri. Em geral, inteiramente possvel que

depois de vrios disparos de transio, o estado resultante seja x = [0,...,0], ou que o

nmero de smbolos em um ou mais lugares cresa arbitrariamente depois de um

nmero arbitrariamente grande de disparos de transio.

Para ilustrar o processo de disparo de transies e mudanas de estado de uma

rede de Petri, considere a rede de Petri da figura 2.10(a), onde o estado "inicial" x0 =

[2, 0, 0, 1]. fcil verificar que a nica transio habilitada t1, uma vez que ela requer

um nico smbolo do lugarp1 e tem-sex0(p1) = 2. Em outras palavras,x0(p1) w(p1, t1),

e a condio (2.1) satisfeita para a transio t1. Quando t1 dispara, um smbolo

removido dep1, e um smbolo colocado em cada lugar dep2 ep3, como pode ser visto

no grfico da rede de Petri. Esse mesmo resultado poderia ser obtido tambm aplicando-

se diretamente a equao (2.2) para obter o novo estadox1= [1, 1, 1, 1], como mostrado

na figura 2.10(b). Neste estado, todas as trs transies t1, t2 e t3 esto habilitadas.

Considere, agora, o disparo da transio t2. Um disco removido de cada um dos

lugares de entrada,p2 ep3. Como os lugares de sada sop2 ep4, ento, um disco retorna

ao lugarp2, uma vez que p2I(t2) O(t2); alm disso, um disco adicionado a p4. O

novo estado x2= [1, 1, 0, 2], como mostrado na figura 2.10(c). Neste estado, t2 e t3 j

no esto habilitados, mas t1 ainda est.

Voltando ao estado x1 da figura 2.10(b) e ao invs de disparar t2, suponha se

dispare t3. fcil verificar que de cada um dos lugares de entrada,p1,p3, ep4, mover-se-

a um disco. Como no h lugares de sada, o novo estado denotado porx'2 ser dado por

x'2 = [0, 1, 0, 0], como mostrado na figura 2.10(d). V-se que nenhuma transio est

habilitada e, assim, nenhuma mudana de estado adicional possvel, isto , o estado [0,

1, 0, 0] um estado de trancamento definitivo desta rede de Petri.


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25

p2

t1

p1

t2

t3

p4

p3

p2

t1

p1

t2

t3

p4

p3

p2

t1

p1

t2

t3

p4

p3

p2

t1

p1

t2

t3

p4

p3

(a) (c)

(b) (d)

Figura 2.10: Seqncias de disparos de transies em uma rede de Petri.

Uma observao importante sobre o comportamento dinmico de redes de Petri

que nem todos os estados em n podem necessariamente ser alcanados em um

grfico da rede de Petri com um dado estado inicial. Por Exemplo, ao examinar o grafo

da figura 2.9, tem-se que para o estado inicial x2 = [2, 1], o nico estado que pode ser

alcanado dex2 [0, 2]. Isto leva definio de conjunto de estados alcanveis, R[(P,

T, A, w, x)], da rede de Petri (P, T, A, w, x).Neste sentido, primeiramente, necessrio

estender a funo de transio de estadofdo domnio nTao domnio NnT*, isto :

=:=

Tte*Tsparat)s),,xf(f(:st),xf(

x,xf( )

onde o smbolo interpretado como a ausncia de disparo de transio.

Definio 2.11. (Estados Alcanveis) O conjunto de estados alcanveis da rede de

Petri (P, T, A, w, x)

R[(P, T, A, w, x)]:= {yn : sT*(f(x,s) =y)}

2.3.3. Equaes de estado

Considere novamente a equao (2.2), que descreve como o valor de estado de

um lugar individual muda quando com o disparo de uma transio. No difcil ver que

possvel gerar um sistema de equaes a partir da equao (2.2) para obter o prximo

estado da rede de Petri x'= [x'(p1), x'(p2),..., x'(pn)] a partir do estado atual x = [x(p1),

x(p2),...,x(pn)] dado que uma transio particular, tj, tenha disparado. Para tanto, deve-

se, primeiro, definir o vetordisparo u, isto um vetor linha de dimenso m da forma

u=[0,..., 0, l, 0,..., 0], onde um nico 1 aparece na j-sima posio,j {1, ..., m}, para

indicar o fato que a j-sima transio est, neste momento, disparando. Alm disso,


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26

defina a matriz de incidncia Ade uma rede de Petri, uma matriz m x n cujo elemento

(j, i) da forma

aji= w(tj,pi) w(pi, tj) (2.3)

Usando a matriz de incidncia A, pode-se agora obter a seguinte equao de

estados

x'=x + uA (2.4)

que descreve o processo de transio de estado como resultado de uma "entrada" u, isto

, uma transio particular disparando. O i-simo elemento da equao (2.4)

precisamente a equao (2.2). Portanto, f(x, tj) = x + uA, onde f(x, tj) a funo de

transio definida anteriormente. O argumento tj nesta funo indica que a j-sima

entrada em u , no zero. A equao de estado fornece uma ferramenta algbrica

conveniente e uma alternativa anlise grfica para descrever o processo de transies

aps disparos e mudanas de estado de uma rede de Petri.

Para ilustrar a evoluo de um SED a partir das equaes de estado, considere a

rede de Petri da figura 2.10(a), com o estado inicial x0= [2, 0, 0, 1]. Pode-se,

primeiramente, escrever a matriz de incidncia por inspeo do grfico da rede de Petri,

que neste caso :

=11011100

0111

A

A entrada (1, 2), por exemplo, dada porw(t1, p2) - w(p2, t1) = 1 - 0. Usando a equao

(2.4), a equao de estado quando a transio t1dispara no estadox0

x1=[ 2 0 0 1] + [1 0 0]

1101

1100

0111

x1=[ 2 0 0 1] + [-1 1 1 0] = [ 1 1 1 1]

que precisamente o foi obtido no exemplo de figura 2.10(b). Similarmente, os outros

estados tambm podem ser obtidos.

2.3.4 - Linguagens de rede de Petri

Seja Eo conjunto de eventos de um SED cuja linguagem modelada por uma

rede de Petri. O modelo por redes de Petri desse sistema deve ser tal que a cada

transio em Tcorresponda um evento distinto no conjunto de eventosE, e vice-versa.


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27

Contudo, isto poderia ser desnecessariamente restritivo, uma vez que em modelos de

autmatos permitido haver duas setas diferentes (originando de dois estados

diferentes) rotulados com o mesmo evento. Isto conduz definio de uma rede de

Petri rotulada.

Definio 2.12. (Rede de Petri rotulada)Uma rede de Petri rotulada N uma ctupla

N= ( P, T, A, w, E, l, x0, Xm), onde ( P, T, A, w) um grfico de rede de Petri, E o

conjunto de eventos por transio rotulada, l: TE a funo de transio rotulada,x0

n o estado inicial da rede (i.e., o nmero inicial de smbolos em cada lugar) e Xm

n o conjunto de estados marcados da rede.

A seguir introduzido o conceito de estados marcados para definir uma

linguagem marcada de uma rede de Petri rotulada.Definio 2.13. (Linguagens geradas e marcadas) A linguagem gerada por uma rede de

Petri rotuladaN= ( P, T, A, w, E, l, x0, Xm)

L(N) := {l(s) E* : sTef(x0,s) definida }.

A linguagem marcada porN

Lm(N):= {l(s) L(N) : sT* ef(x0,s) Xm }.

Pode-se ver que essas definies esto completamente consistentes com as

definies correspondentes aos autmatos. A linguagem L(N) representa todas as

seqncias de transies rotuladas que so obtidas por todos as possveis (finitas)

seqncias de disparos de transio em N, comeando no estado inicial x0 de N. A

linguagem marcada Lm(N) o subconjunto destas seqncias que deixam a rede de Petri

em um estado que um membro do conjunto de estados marcados da definio deN.

A classe de linguagens que podem ser representados por redes de Petri rotuladas

PNL:={KE*: N=( P, T, A, w, E, l, x0, Xm)[Lm(N)=K]}

Esta uma definio geral e as propriedades de PNLdependem fortemente dassuposies especficas que so feitas sobrel (por exemplo, se injetiva ou no) e Xm

(por exemplo, se finito ou infinito). Nesse trabalho sero adotadas as seguintes

hipteses: lno necessariamente injetiva e Xm no precisa ser finito.

2.3.5 - Modelos de redes de Petri para sistemas com filas

Considere o grafo da figura 2.11 em que trs eventos ou transies dirigem um


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sistema com filas, quais sejam: chegada de cliente (a), comeo do servio (s) e servio

completo e partida do cliente (c). A partir desses eventos possvel formar o conjunto

de transio T ={a, s, c}.Note que, nesse exemplo no necessrio considerar redes de

Petri rotulada; equivalentemente, pode-se supor queE = Te que l um mapa um-para-

um entre esses dois conjuntos. A transio a espontnea e no requer condies

(lugares de entrada). Por outro lado, a transios conta com duas condies: a presena

de clientes na fila, e que o servidor esteja inativo. Essas duas condies sero

representadas por dois lugares de entradas para esta transio, lugarQ (fila) e lugarI

(servidor inativo). Finalmente, a transio c requer que o servidor esteja ocupado, assim

introduziremos um lugar de entrada B (servidor ocupado) para isto. Assim, o conjunto

de lugares desse sistema P = {Q, I, B}.

O grfico da rede de Petri completo, junto com o simples modelo de sistema de

fila, mostrado nas figuras 2.11(a) e (b). Nenhum smbolo colocado em Q, indicando

que a fila est vazia, e um smbolo colocado em I, indicando que o servidor est

inativo. Isto define o estado inicial x0= [0, 1, 0]. Uma vez que a transio de estado a

est sempre habilitada, possvel gerar vrios caminhos de amostra possveis. Como um

exemplo, a figura 2.11(c) mostra o estado [2, 0, 1] resultante do disparo da seqncia de

transies {a, s, a, a, c, s, a}. Este estado corresponde a dois clientes esperando na fila,

enquanto um terceiro est em servio (a primeira chegada na seqncia j tem partido

depois da transio c).

IQ

a

s

B

c

IQ

a

s

B

c

(b) (c)

Chegada de clientes

ServidorFila

Partida de clientes

(a)

Figura 2.11: (a) Simples sistema de fila, (b) Modelo de rede de Petri para um sistema de

fila simples com estado inicial [0, 1, 0]. (c) Modelo de rede de Petri de um sistema de


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fila simples com estado inicial [0, 1, 0] depois de disparada a seqncia {a, s, a, a, c, s,

a}.

2.3.6. Comparao entre redes de Petri e autmatosAutmatos e redes de Petri podem ser utilizadas para representar o

comportamento de um SED. Nos autmatos, isto feito enumerando-se explicitamente

todos estados possveis e conectando-se esses estados com as possveis transies

entre eles, resultando na funo de transio do autmato. Em redes de Petri os estados

no so enumerados, pois a informao de estado distribuda dentre um conjunto de

lugares que capturam as condies chaves que governam a operao do sistema e,

ento, conectam esses lugares corretamente s transies.

No possvel afirmar qual o melhor formalismo de modelagem, pois,

modelar sempre envolve questes pessoais e muitos freqentemente dependem de

aplicao considerada. Entretanto possvel comparar segundo critrios especficos,

quais sejam:

(a) Expressividade de Linguagem

Como primeiro critrio para comparar autmatos e redes de Petri, tem-se a

classe de linguagens que pode ser representada por cada formalismo, quando restrito a

modelos que requerem memria finita (uma bvia considerao prtica). A classe PNL estritamente maior que a classe R, significando que redes de Petri com conjuntos

finitos de lugares e transies podem representar (isto , marcar) mais linguagens emE*

que os autmatos de estado finito. Um exemplo de criao de uma rede de Petri em que

no h um correspondente autmato, pode ser visto em CASSANDRAS e

LAFORTUNE (2000).

(b) Modelo de Construo Modular

A despeito da complexidade potencial de grficos da rede de Petri exigidos para

modelar at mesmo um SED relativamente simples, a estrutura da rede de Petri possui

algumas vantagens inerentes. Uma dessas vantagens sua capacidade para decompor ou

modular um sistema potencialmente complexo. Suponha que haja dois sistemas que

possuem os espaos de estadoX1 eX2modelados como autmatos. Ao combinar esses

dois sistemas dentro de um, seu espao de estado, X, pode ser to grande quanto os

estados deX1X2; em particular, este limite superior ser alcanado se os dois sistemas


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30

no tm eventos comuns. Isto significa combinar sistemas mltiplos, aumentando-se

ligeiramente a complexidade de modelos de autmatos. Por outro lado, se os sistemas

so modelados atravs da rede de Petri, o sistema combinado freqentemente mais

fcil de se obter por deixar as redes originais como eles so e simplesmente somando-se

uns poucos lugares e/ou transies (ou fundindo alguns lugares) representando a unio

efetuada entre os dois. Alm disso, ao olhar tal grfico da rede de Petri, uma pessoa

pode convenientemente ver os componentes individuais, discernir o nvel de sua

interao, e finalmente decompor o sistema dentro de mdulos distintos lgicos.

(c) Capacidade de Tomar Decises

Outra maneira de se comparar redes de Petri com autmatos quanto a

capacidade de tomar deciso. Suponha que seja feita a seguinte pergunta: pode uma

certa seqncia de eventos ser reconhecida por um determinado autmato de estado

finito? A este problema d-se o nome de capacidade de tomar deciso, isto , se h

um algoritmo ou procedimento especfico que permite dizer sim ou no como

resposta. Um recurso atrativo dos autmatos de estado finito que tais perguntas podem

ser respondidas precisamente porque o espao de estado finito. Infelizmente, isto nem

sempre verdadeiro em procedimentos com redes de Petri, refletindo um compromisso

natural entre a capacidade de tomar deciso e a riqueza do modelo.

Como concluso mais conveniente pensar em redes de Petri e autmatos como

abordagens de modelagens complementares e no como tcnicas que competem entre si.

Ser a aplicao considerada que definir qual a tcnica de modelagem (autmato ou

rede de Petri) a ser adotada.

2.4. Modelos temporizados

Nesta seo ser feita uma breve reviso da teoria de modelos temporizados de

SED. O estudo ser limitado a uma descrio de entrada que completamente

especificada, a fim de se ter uma compreenso das dinmicas de um SED com eventos

bsicos contendo tempo, independente da caracterizao probabilstica de sua entrada.

No sero considerados nesse estudo, autmatos temporizados, uma vez que os modelos

a serem utilizados nos experimentos propostos so as redes de Petri.


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31

2.4.1. Redes de Petri temporizadas

Ser, agora, introduzido uma temporizao estrutura de redes de Petri. Para

tanto, uma seqncia de tempo vj agora associada com uma transio tj. Um nmero

real positivo, vj,k, atribudo a tj ter o seguinte significado: quando a transio tj forhabilitada no k-simo instante, ela no dispara imediatamente, mas incorre em um atraso

no disparo dado porvj,k; durante este atraso, os discos so guardados na entrada do lugar

tj.

importante ressaltar que nem todas as transies tero que disparar com atraso.

Algumas transies podem disparar to logo sejam habilitadas. Assim, T (o conjunto

das transies ou eventos) pode ser dividido em dois subconjuntos T0 e TD, tais que T =

T0 TD, onde T0 um conjunto de transies que sempre ocorrem sem atrasos no

disparo, e TD o conjunto de transies que geralmente incorrem em algum atraso no

disparo. O ltimo chamado de transies dependentes do tempo

As seguintes definies podem ser apresentadas.

Definio 2.14. A estrutura de tempo associada a um conjunto de transies

temporizadas TD Tde uma rede de Petri marcada (P, T,A, w, x) um conjunto V =

{vj : tjTD} de seqncias de temporizao (tempo de vida), vj ={vj,1, vj,2, ...}, tjTD,

Vj,k R+, k= 1, 2, ...

Graficamente, as transies sem atraso de disparo so representadas por barras,

ao passo que transies temporizadas so representadas por retngulos, conforme

mostra a figura 2.12. A seqncia de tempo associada com uma transio temporizada

normalmente escrita prximo ao retngulo.

Definio 2.15. UmaRede de Petri Dependente do Tempo (com temporizao) uma

sextupla (P, T, A, w, x, V) onde (P, T, A, w, x) uma rede de Petri marcada, e V = {vj : tj

TD} uma estrutura de tempo.

Para ilustrar as definies de estrutura de tempo para redes de Petri, considere

uma seqncia de duas tarefas T1 e T2 que so desempenhadas simultaneamente com

uma terceira tarefa T3, e ento uma quarta tarefa T4 executada para combinar as sadas

de T2 e T3. Uma possvel modelagem deste processo mostrada na figura 2.12.


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v1

s

p1

t1

p2

t2v2

pC3

v3

p3

t3

p2C

t23 p4 v4

t4

F

Figura 2.12: Rede de Petri dependente do tempo.

As transies dependentes do tempo t1, t2, t3, t4 correspondem aos eventos de

concluso das tarefas so indicadas pelos retngulos acompanhados pelos

correspondentes tempos de atrasos de disparo v1, v2, v3, v4. Quando a tarefa 2

concluda, um disco somado para o lugarpC3 (indicando que T2 est completa, mas T3

ainda pode estar em execuo). Similarmente, para o lugarp2C. Assim, a transio de

tempo t23 ser habilitada quando ambas as tarefas 2 e 3 so completadas. Note que os

lugares pC3 e p2C podiam diretamente habilitar a transio t4, omitindo t23 e p4. O

processo terminado quando um disco adicionado ao lugarF. Na figura 2.12 a rede de

Petri tem um estado inicial tal que as tarefas 1 e 3 esto sendo realizadas.

Pode-se explorar a estrutura da rede de Petri decompondo o modelo dentro de

dinmicas de transies individuais. As equaes de estado em um tal modelo geram

seqncias de disparo de transies da forma {j,1, j,2, ...}, j = 1, ... , m onde j,k o k-

simo tempo de disparo da transio tj, k= 1, 2,..., que ilustrado na figura 2.13. A

obteno desses modelos , em geral, uma tarefa bastante complicada, porm para uma

classe especial de sistemas (sistemas de filas, por exemplo), ele pode ser obtido com

relativa facilidade.

Dinmicas da rede dePetri temporizada

v1={v1,1, v1,2, }

vm={v1,1, v1,2, }

},,{ 2,11,1 ...

},,{ 2,1, ...mm

Figura 2.13: Modelo de uma rede de Petri dependente do tempo de um SED.


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33

Ser considerado, inicialmente, o caso em que um lugarpi tem somente uma

transio de entrada tr. Para tanto, seja i,k o instante de tempo quando o lugarpi recebe

seu k-simo disco, k = 1, 2,.... Suponha inicialmente que x(pi) = 0. Ento, o k-simo

instante em que um disco depositado empi precisamente o k-simo tempo de disparo

tr. que denotado porr,k. Se, por outro lado,pi inicialmente contmxi0discos, ento, o

k-simo tempo de disparo de tr o tempo quando pi recebe seu (xi0 + k)-simo disco.

Portanto tem-se a seguinte relao:

i0xki, + = r,k,piO(tr), k= 1, 2, ... (2.5)

onde xi0 a marcao inicial do lugarpi e i,k = 0 para todo k = 1,... , xi0.

Equivalentemente,

,i0x-kr,ki, = piO(tr), k=xi0 + 1,xi0 + 2, ... (2.6)

Ser, agora, considerado o caso em que o lugarpi tem somente uma nica

transio de sada tj.Para tanto, suponha quepi o nico lugar de entrada de tj. Se tj

no dependente do tempo, ento o k-simo tempo de disparo de tj precisamente o

tempo em quepi recebe seu k-simo disco, e habilita tj. Ento, tem-se que j,k= i,k, k=

1, 2, .... Por outro lado, tj dependente do tempo com uma seqncia de tempo vj, ento

este relacionamento torna-se

j,k= i,k+ vj,k k = 1, 2, ... (2.7)

Finalmente sepi no a nica entrada do lugartj, ento tj habilitado para o k-

simo tempo sempre que o ltimo lugar de entrada do conjuntoI(tj) recebe seu k-simo

disco, isto , em algum instante s,k, psI(tj), tal que s,ki,k para todo pi I(tj).

Pode-se, ento, expressar este simples fato com a expresso

j,k=)(

maxji tIp

{ i,k} + vj,k, k= 1, 2, (2.8)

Em resumo, a combinao de (2.5) at (2.8) fornece um conjunto de equaes

recursivas que permitem determinar o tempo de disparo das transies para esta classe

de redes de Petri.

Para ilustrar as dinmicas da rede de petri, considere um sistema de filas com

redes de Petri temporizadas, sendo P= {Q, I, B} o conjunto que representa os estados

do servidor e {a, d} o conjunto que representa as chegadas de clientes fila e s

partidas de clientes do servidor. Um modelo de rede de Petri temporizado mostrado na

figura 2.14 com estado x= [0, 1, 0], isto , quando a fila est vazia e o servidor est

ocioso. Neste caso, o conjunto de transio dependente do tempo tD = {a, d},


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correspondente para chegadas de cliente e para partidas do servidor. A transio s, por

outro lado, no precisa de nenhum atraso de disparo. O servio comea to logo o

servidor fique ocioso e um cliente esteja na fila. A estrutura de tempo para este modelo

consiste de va = {va,1, va,2, ...} e vd= {vd,1,vd,2,... } e a mesma estrutura de tempo de um

modelo de autmato dependente do tempo. Alm disso, pode-se fazerx(t) =x(Q) +x(B)

denotar o nmero total de discos nos lugares Q e B com o tempo t.

IQ

a

s

B

d vd

va

Figura 2.14: Rede de Petri dependente do tempo de um simples sistema de filas.

Observando a figura 2.14, pode-se ver que o modelo satisfaz os requisitos de um

grafo marcado. Portanto, pode-se imediatamente derivar as equaes da forma (2.5) a

(2.8) para descrever a dinmica de disparo das transies de um simples sistema de

filas. Fazendo:

ak: k-simo instante de chegada.

dk: k-simo instante de partida.

sk: k-simo instante de comeo do servio.

Q,k:instante em que Q recebe seu k-simo disco.

I,k: instante em queIrecebe seu k-simo disco, com I,1 = 0.

B,k: instante em queB recebe seu k-simo disco.

De (2.6), ou diretamente por inspeo, pode-se escrever:

ak= ak-1 + va,k, k = 1, 2, ... a0 = 0

sk = max{Q,k, I,k}, k = 1, 2, ...

dk

= B,k

+ vd,k

, k = 1, 2, ...

Q,k= ak, k = 1, 2, ...


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35

I,k = dk-1, k = 1, 2, ..., I,1 = 0

B,k=sk, k = 1, 2, ...

Combinando as equaes acima para eliminarQ,k, I,ke B,k, resulta:

sk= max{ak, dk-1}, k= 1, 2, , d0 = 0dk=sk+ vd,k, k = 1, 2,

Pode-se ainda eliminarsk para obter a seguinte relao fundamental que

importante para este simples sistema de fila, obtendo

dk = max{ak, dk-1}+ vd,k, k= 1, 2, , d0 = 0,

que representa uma simples relao recursiva caracterizando os instantes de partida dos

clientes, que representa o fato de que a k-sima partida ocorre no tempo vd,k unidades

depois da (k - l)-sima partida, exceto quando ak>dk-1. Este ltimo caso ocorre quando a

partida em dk-1 esvazia a fila; o servidor deve ento esperar a prxima chegada no

instante ak,e gerar a prxima partida no instante ak+ vd,k.

Reescrevendo ak e dkpara k= 2, 3, ... obtm-se:

ak= ak-1 + va,k, a0 = 0

dk = max{ak-1 + va,k, dk-1}+ vd,k, d0 = 0

que representa um modelo em espao de estado na estrutura da figura 2.13. O modelo

de sistema de filas dirigido pelas seqncias de tempo va e vd, e sua sada consiste de

seqncias de tempo de chegada e partida {a1, a2, ...} e {d1,d2, ...} geradas atravs das

equaes de estado de ak e dkpara k = 1, 2, ..., a0 = 0 e d0 = 0.


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37

dispositivo de estado slido, com memria programvel para armazenamento de

instrues para controle lgico programvel e pode executar funes equivalentes s de

um painel de rels ou de um sistema de controle lgico, tambm realizando operaes

lgicas e aritmticas, manipulao de dados e comunicao em rede, sendo utilizado no

controle de sistemas automatizados.

O CLP e seus perifricos, ambos associados, so projetados de forma a poder ser

integrados dentro de um sistema de controle industrial e finalmente usados a todas as

funes s quais so destinados. A figura 3.1 apresenta uma aplicao do CLP.

Dispositivos de

Entrada

PLCDispositivos de

Sada

SistemaAutomatizado

Figura 3.1: Aplicao geral do controlador lgico programvel.

Os principais blocos que compem um CLP so:

1) CPU (Unidade Central de P

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