"CURSO DE AVALIAÇÃO S0CIOECONÔMICA DE PROJETOS"

BRASÍLIABRASIL

CLAUDIA NERINA BOTTEONcbotteon@fcemail.uncu.edu.ar

cyatrape@yahoo.com.arMaio - 2009

CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRAPARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS

• Valor do dinheiro ao longo do tempo.• Juros e taxas de juros.• Valores atuais e futuros num único valor monetário e de uma série de valores iguais ou diferentes.

“MOMENTO” Y “PERÍODO”

Momento: INSTANTE no tempo(exemplo: 30 de Julio de 2003)

Período: tempo decorrido entre dois momentos do projeto (exemplo: 30/7 á 30/8 de 2003)

Fluxo mensal

Momento 0 Momento 2Momento 1 Momento n

Segundo mêsPrimeiro mês

VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO

IDEIA CENTRAL: O valor atribuído a um real hoje é maior que o valor dado a um real disponível no futuro.

Não é o mesmo:R$ 100 hoje Promessa de

R$ 100 num mês

CAUSAS DESTA DIFERENÇA:

Impaciência Risco Oportunidades de investimento

CONCEITO DE JUROS

O QUÉ É JUROS?

Os juros é esse “adicional” que se pode obter se o dinheiro for aplicado numa alternativa de

investimento.TAXA DE JUROS

É uma forma de medir qual porcentagem representa os juros em relação ao capital investido.

Por exemplo:Invisto R$ 1.000Obtenho: R$ 60

Taxa: 60/1.000 = 0,06 = 6%

Importante: definir bem o período

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

1. JUROS SIMPLES

Os juros se recebem sobre o capital investido originalmente. Suposto: os juros são retirands em cada período.

Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 para ser devolvido em três anos, a juros simples. Taxa anual de juros: 10%

Período Dívida ao início

do ano Juros anuais

Dívida ao final do ano

1 1.000 100 1.100 2 1.100 100 1.200 3 1.200 100 1.300

Capital inicial (A) = 1.000

Capital final ou valor ou montante total (MT) = 1.300

Juros totais (IT) = MT – A = 300

Forma de calcular o IT:

300 = 1.000 . 3 . 0,10

Fórmula “principal”IT = A . n . TP

Fórmulas derivadas:

Montante total: MT = A + IT = A + (A . n . TP) = A . ( 1 + n . TP)

Taxa de juros: TP = IT / ( A . n)

2. JUROS COMPOSTOS

Os juros são recebidos sobre o capital investido originalmente ao qual vão sendo acumulados os juros que se vão ganhando. Suposto: os juros não são retirados em cada período.

Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 a ser pago em três anos, a juros compostos. Taxa anual de juros: 10%

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

Período Dívida ao início

do ano Juros anuais

Dívida ao final do ano

1 1.000 100 1.100 2 1.100 110 1.210 3 1.210 121 1.331

Capital inicial (A) = 1.000

Capital final ou valor ou MONTANTE TOTAL (MT) = 1.331

Juros totais (IT) = MT – A = 331

Forma de calcular o MT:

1.331 = 1.000 . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) = 1.000 . (1+ 0,10)3

Fórmula “principal”MT = A . ( 1 + i ) n

Fórmulas derivadas:

Juros totais: IT = MT - A = A . (1+i)n - A = A . [(1+i)n – 1]

Capital inicial: A = MT / (1+i)n

Taxa de juros: i = (MT / A)(1/n) - 1

NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS:

Utiliza-se sempre JUROS COMPOSTOS O capital inicial (A) é denominado de VALOR PRESENTE (VP) O montante total (MT)é denominado de VALOR FUTURO (VF)

Portanto, centramos a atenção em duas fórmulas:

VF = VP . (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS

1. TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas de juros são proporcionais quando estando referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e se capitalizado a juros simples produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo.

Utilizando o exemplo anterior (juros simples)

Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 3 . 0,10 ) = 1.300

Taxa 30% de 3 anos: MT = 1.000 . ( 1 + 1 . 0,30 ) = 1.300

No mesmo lapso (três anos) produzem o mesmo montante total. Pelo tanto, estas duas taxas são proporcionais.

Como se obtém outras taxas proporcionais a estas duas?

Supõe-se que se deseja obter uma taxa proporcional semestral à taxa mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:

Primeira etapa: igualização do prazo

• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.

Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso

• Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01 . 6 )• Semestral: MT = A . ( 1 + TPsemestral . 1 )

Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo da TP

A . ( 1 + 0,01 . 6 ) = A . ( 1 + TP semestral . 1 )

1,06 = 1 + TP semestral . 1

(1,6 – 1) = TP semetral = 0,06

2. TAXAS EQUIVALENTES

As taxas de juros são equivalentes quando são referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e capitalizado a juros COMPOSTOS produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo

Utilizando o exemplo anterior (juros compostos)

Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 0,10 )3 = 1.331

Taxa 33,1% três anos: MT = 1.000 . ( 1 + 0,331) = 1.331

No mesmo lapso (três anos), as taxas produzem o mesmo montante total. Portanto, estas duas taxas são equivalentes.

Como se obtém outras taxas equivalentes a estas duas?

Supõe-se que se deseja obter una taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:

Primeira etapa: igualização do prazo

• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.

Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso

• Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01)6

• Semestral: MT = A . ( 1 + i semestral)1

Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo de i

( 1 + 0,01 )6 = ( 1 + i semestral)1

( 1,06152015) - 1 = i semestral

i semestral = 0,0615

Passar de uma taxa NOMINAL para outra EFETIVA

Taxa nominal anual

Taxa periódica proporcional

Taxa efetiva anual

Por proporcionalidade de taxas

Por equivalência de taxas

Um elemento essencial para poder passar de uma taxa nominal a uma efetiva é a

unidade de tempo definida para a capitalização de juros

Os resultados são diferentes

Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA

Exemplo: Taxa nominal anual: 20%

Taxa mensal proporcional: TP anual = TP mensal x 12

0,2 / 12 = 0,0167 = TP mensal

Taxa efetiva anual: (1 + 0,0167)12 - 1 = TEA

0,2194 = TEA 21,94% > 20%

A capitalização é mensal

Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA

Taxa bimestral proporcional: TP anual = TP bimestral x 6

0,2 / 6 = 0,0333 = TP bimestral

Taxa efetiva anual: (1 + 0,0333)6 - 1 = TEA

0,2174 = TEA21,74% > 20%

A TEA resultante com capitalização bimestral é menor que a TEA com capitalização mensal.Isto ocorre pois os juros passam a formar parte do capital a cada período e sobre quais são cobrados novos juros.

Exemplo: Taxa nominal anual: 20%

A capitalização é bimestral

Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA

Taxa anual proporcional: TP anual = 20%

Taxa efetiva anual: (1 + 0,2)1 - 1 = TEA

0,20 = TEA

A TEA é igual a TNA, quando a capitalização é anual.

Exemplo: Taxa nominal anual: 20%

A capitalização é anual

Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA

Taxa mensal proporcional: TP mensal = 1%

Taxa efetiva bimestral: (1 + 0,01)2 - 1 = i bimestral

0,0201 = i bimestral

Exemplo: Taxa nominal anual: 12%

A capitalização é mensal

Taxa efetiva mensal: (1 + 0,01) - 1 = i mensal

0,01 = i mensal

VALORES PRESENTES E VALORES FUTUROS

Valor futuro de uma soma presente

Valor presente de uma soma futura

Valor presente de um plano de prestações futuras diferentes

Valor presente de um plano de prestações iguais

Valor presente de um plano de prestações crescentes a uma taxa constante

1. VALOR FUTURO DE UMA SOMA PRESENTE

É o valor que essa soma (presente) terá ao final do tempo, considerando juros compostos.

Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:

• A duração total do período• A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso• A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)

Soma presente (R$)

Valor Futuro (R$)

...JUROS...

Fórmula geral a aplicar

VF = VP . ( 1 + i ) n

Exemplo 1: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de

2%?

VF = 150 . ( 1 + 0,02 )3 = 159,18

150 153 156,06 159,18

Exemplo 2: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2%

durante dois meses e 5% no terceiro?

VF = 150 . ( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05 ) = 163,86

Se a taxa de juros muda o durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral

“CAPITALIZAÇÃO”

Fórmula geral a aplicar

VF = VP . ( 1 + i ) n

Exemplo 3: Qual é o valor futuro de R$ 100 ao final de 14 meses, se a taxa de juros efetiva semestral

é de 10%?

O primeiro a fazer é encontrar a taxa efetiva mensal:

i mensal = (1,1)(1/6) – 1 = 1,6012%

O valor futuro no momento 14 resulta:

VF14 = 100 . ( 1,016012)14 = 124,91

2. VALOR PRESENTE DE UMA SOMA FUTURA

É o valor que essa soma (futura) terá HOJE. Calcula-se utilizando juros compostos.

Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:

• A duração total do período• A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso• A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)

Valor presente (R$)

Soma Futura (R$)

Fórmula geral a aplicar

VP = VF / ( 1 + i ) n

Exemplo 1: Qual é o valor presente de R$ 150 a receber dentro de três meses, se a taxa de juros mensal é de 2%?

VP = 150 / ( 1 + 0,02 )3 = 141,35

141,35 144,17 147,06 150

Exemplo 2: Qual é o valor presente de R$ 150 após três meses, si se estima que a taxa de juros mensal

será 2% durante dois meses e 5% no terceiro?

VP = 150 / [( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05) ] = 137,31

Se a taxa de juro muda durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral

“ATUALIZAÇÃO”

3. VALOR PRESENTE DE FUTURAS E DIFERENTES SOMAS DE DINHEIRO

É a soma dos valores presentes de cada soma futura (utilizando juros compostos).

SF1SF2

SF3SFn

VP1

VP2

VP3

VPn

...

...

+

VP

Cada una das somas deve ser ATUALIZADA devidamente

Exemplo: Qual é o valor presente das seguintes duas somas a receber no futuro: R$ 200 ao final de 10 meses e R$ 400 ao final de 18 meses? A taxa efetiva mensal: 10%.

200 400

11,77)10,1(

200)200$R(VP

10

+

94,71)10,1(

400)400$R(VP

18

05,149)10,1(

400

)10,1(

200)conjunto(VP 1810

4. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES IGUAIS

É a soma dos valores presentes de cada prestação(utilizando juros compostos).

O que é uma prestação? É uma soma de dinheiro que será paga ou recebida regularmente ao largo do tempo.

• Devem ser iguais em montante• Devem estar uniformemente distribuídas no tempo

Tipos de prestações

De acordo ao seu número:• Denominam-se ANUALIDADES se são prestações finitas • Denominam-se PERPETUIDADES se são prestações infinitas

De acordo ao momento de pagamento da primeira delas:• No principio do período denominam-se ADIANTADAS• Ao final do período denominam-se VENCIDAS• Em qualquer outro momento, denominam-se DIFERIDAS

a) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE VENCIDA

Diminuindo a segunda da primeira:

....)i1(

C

)i1(

CVP

2

0 1 2

1°C 2° C

....)i1(

C

)i1(

CC)i1(VP

2

CVP)i1(VP i

CVP

b) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE ADIANTADA

É como você atualizar todo o fluxo para o “momento –1” e em seguida capitalizar por um

período

0 1 2

1°C 2° C

)i1(i

CVP

Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?

250 250 250 ……

Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas?

250 250 …….250

VP = 250 / 0,10 = 2.500

VP = (250 / 0,10) . 1,1 = 2.500 . 1,1 = 2.750

Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo anual?

Primeiro: deve-se calcular a taxa efetiva semestral, já que as prestações são semestrais: 4,88% (equivalente à taxa de 10% anual).

Logo: a cota VP = 250 / 0,0488 = 5.122,02

Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais de R$ 250, se a primeira deve ser paga após 14 meses, calculadas a 10% efetivo anual?

c) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE VENCIDA

n)i1(

C....

)i1(

C

)i1(

CVP

2

1n)i1(

C....

)i1(

C

)i1(

CC)i1(VP

2

Diminuindo a segunda da primeira:

n)i1(

CCVP)i1(VP

i)i1(

1)i1(C

)i1(

11

i

CVP n

n

n

1° C 2° C Enésima

d) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE ADIANTADA

Enésima

0 1 2 n-1

1°C 2° C

)i1(i)i1(

1)i1(C)i1(

)i1(

11

i

CVP n

n

n

Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?

250 250 250 250250 250

Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas?

250 250 250 250 250250

82,088.110,0)10,1(

1)10,1(250VP 6

6

70,197.1)10,1(10,0)10,1(

1)10,1(250VP 6

6

Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 10% efetivo semestral, se a primeira delas for paga após 2 meses?

Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 1% efetivo mensal, se a primeira delas deve ser paga após 12 meses?

5. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES CRESCENTES A UMA TAXA CONSTANTE

Conceito 0 1 2 … n

Distribuição das cotas C C·(1+ ) … C·(1+ ) n-1

Taxa constante de crescimento:

C é o valor correspondente à primeira prestação/cota.

.)i()i1(

)1()i1(C

)i1(

)1(1

i

CVP

n

nn

n

n

.i

CVP

Se o número de prestações for infinito:

Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitos benefícios líquidos de transitar, calculadas a 10% efetivo anual?

Conceito 0 1 2 3 a4

Benefício líquido de transitar 95.000 96.900 98.838 ...

Taxa constante de crescimento: 2% anual

.1.187.500$R

)02,01,0(

000.95VP

Exemplo 2: ¿Qual é o valor presente dos benefícios se seu número for 20?

.925.209,02 $R

)1,1(

)02,1(1

)02,01,0(

000.95VP

20

20