Fundao de Assistncia e Educao Faculdades Integradas Espirito-santenses 2a verso 2011 CURSO DE FSICA III Helder H. Ch. Snchez 1 CURSO DE FSICA III Dr. Helder H. Ch. Snchez FAESA, 2011 ELETROSTTICA E MAGNETOSTTICA I.CAMPOS ELECTROSTTICOS 1.1 Quatro clases de foras1.2 Carga eltrica 1.3 Lei de Coulomb 1.4 O campo eltrico 1.5 Movimento de partculas carregadas Problemas ANIMAES: http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/ Estecursofoidesenhadoparaestudantesdecinciase engenharia.Abordamososaspectosfundamentaisdo eletromagnetismo, a saber; eletrosttica e magnetosttica. Ao final de cada captulo ilustramos os conceitos mediante a resoluo de problemas. Implementamos o contedo do material,namedidadopossvel,comanimaespor computadoredevdeoscomafinalidadedeilustraras idias. 2 II.LEI DE GAUSS 2.1 Introduo 2.2 Teorema de Gauss 2.3 Algumas aplicaes do teorema de Gauss Problemas III. POTENCIAL ELTRICO 3.1 Definio do potencial eltrico 3.2 Potencial de uma distribuio de cargas 3.3 Gradiente 3.4 Relao entre a intensidade do campo eltrico e o potencial Problemas IV.CAPACITNCIA E DIELTRICOS 4.1 Introduo 4.2 Capacitores e capacitncia 4.3 Clculo da capacitncia 4.4 Combinaes de capacitores 4.5 Campos eltricos nos dieltricos 4.6 Energia de um capacitor carregado 4.7 Densidade de energia num campo eltrico Problemas V. CORRENTE E RESISTENCIA 5.1 Corrente eltrica 5.2 Intensidade e densidade de corrente 5.3 Equao de continuidade 5.4 Resistncia e lei de ohm 5.5 Alguns problemas de aplicao 5.6 Resistncia e temperatura 5.7 Semicondutores e supercondutores 3 5.8 Energia eltrica e potncia Problemas VI. CIRCUTOS DE CORRENTE DIRETA 6.1 Trabalho, energia e fora eletromotriz 6.2 Clculo da corrente 6.3 Algumas aplicaes 6.4 Circuitos RC Problemas VII. CAMPOS MAGNTICOS 7.1 Introduo breve 7.2 Campo Magntico no vcuo 7.3Campomagnticodeumacargaem movimento 7.4 Lei de Biot-Savart 7.5 Fora de Lorentz 7.6 Fora magntica entre correntes eltricas 7.7 Circuito com corrente num campo Magntico Problemas ANIMAES: http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/magnetostatics/ VIII. CAMPOS MAGNTICOS EM MATERIAIS 8.1 Introduo. 8.2 Substncias na Presena de um Campo Magntico: Vetor Magnetizao 8.3 Lei de Ampre Generalizada: A Intensidade do Campo Magntico 4 Problemas IX.INDUO ELETROMAGNTICA 9.1 Introduo 9.2 O Experimento 9.3 Fora eletromotriz de induo Problemas X. INDUTNCIA 10.1. Introduo 10.2. Auto-indutncia 10.3. Exemplo de clculo 10.4. Indutncia mutua 10.5 Exemplo de clculo Problemas XI.BREVE INTRODUO AS EQUAES DE MAXWELL 11.1 Equaes de Maxwell 11.2 Corrente de deslocamento 11.3 Equaes de Maxwell Problemas Referncias [1] Young, H.D., Freemam, R.A. Sears e Zemansky Fsica. 10 ed. SP: Ed. Addison-Wesley, 2005. v.3. (LIVRO BASE) [2] Raymond A. Serway and John W. Jewetts Jr. - Physics for Scientists and Engineers, 6a Ed. ThomsonLearning Inc, 2005. [3]Halliday,ResnickandWalker,FundamentalofPhysics Extended, 4a. Ed. Wiley and Sons, 1995. 5 [4]PaulA.TiplereGeneMosca,PhysicsforScientistsand Engineers.Extendedversion,5a.Ed,W.H.Freeman& Company, 2004, [5] B. M. Yavorski e A. A. Detlaf, Prontuario de Fsica, Ed. Mir Mosc, 1983. [6] I. V. Savliev, Curso de Fsica General, volume 2, Editorial MIR, 1984. NOTA:ASUNIDADESMARCADASCOMVERDEFORMAN PARTE OBRIGATORIA DO CURSO. Unidade I CAMPOS ELTRICOS I.1 QUATRO CLASES DE FORAS Existemquatroforasbsicasconhecidasatualmentena natureza: Vamos listar na ordem de intensidade decrescente: 1. Forte, 2. Eletromagntica,3. Fraca, 4. Gravitacional. A brevidade desta lista pode o pegar de surpresa. Onde est a frico?Ondeestafora"normal"queimpedeavocde cairaocho?Ondeestoasforasqumicasqueligamas molculasjuntas?Ondeestaforadeimpactoentreduas 6 bolas de bilhar colidindo? A resposta que todas estas foras soeletromagnticas.Emrealidade,dificilmenteum exagerodizerquensmoramosemummundo eletromagntico--paravirtualmentetodaforaquens experimentamosemnossavidadiria,comaexceode gravidade, de origem eletromagntica.Asforasfortesqueunemprtonsenutronsnoncleo atmicotemalcanceextremamentecurto,assimnsnoos sentimos,apesardequeelessoumascemvezesmais poderosas que a foras eltricas. As foras fracas pelas quais respondemcertostiposdedecaimentoradioativo,noso unicamentedealcancecurto;elessomaisfracosqueo eletromagntico. Em quanto a gravidade, lamentavelmente tofraca(comparadaatodasasoutras)quesaprecivel emenormesconcentraesdemassa(comoaterraeosol). Arepulsoeltricaentredoiseltrons1042 vezesto grande que a atrao gravitacional deles, e se tomos fossem unidos por foras gravitacionais (em vez das foras eltricas), umnicotomodehidrognioseriamuitomaiorqueo universo conhecido.Nosaforaeletromagnticaextremamentedominante todososdiasdenossavidadiria,elestambmso,no momento, o nicoque completamentecompreendido.H, emrealidade,umateoriaclssicadagravidade(aleide Newtondegravitaouniversal)eumarelativsta(a relatividade geral de Einstein), mas nenhuma teoria quntica dagravidadequesejacompletamentesatisfatria (entretantomuitaspessoasestotrabalhandonisto).Ao presenteexisteumateoriasatisfatriaparaasinteraes fracas,eumcandidatonotavelmenteatraente(chamada cromodinmica)paraasinteraesfortes.Todasestas teoriastiveramainspiraodadeeletrodinmica;nenhuma 7 podereivindicarverificaoexperimentalconclusivanesta fase.Assimaeletrodinmica,umateoriagraciosamente completa e frutfera, se tornou um tipo de paradigma para os fsicos: um modelo ideal que outras teorias se esforam para emular.Foramdescobertasasleisdaeletrodinmicaclssicaem pedaosepeasporFranklin,Coulomb,Ampre,Faraday,e outros,masapessoaquecompletouotrabalho,e empacotoutudonaformacompactaeconsistentequetem hoje, foi James Clerk Maxwell. I.2 CARGA ELTRICA A conceio moderna que se tem das interaes da natureza baseia-senasteoriasdecalibre,segundoosquais,acada interaoselheatribuiumapartculaportadoradas interaes.Assimporexemplo,oportadordasinteraes eletromagnticasofton,dasinteraesfortessoos glons,dasfracasosbsonsvetoriaspessadosWeZ0,das interaesgravitacionaisogrviton.Acargaeltricadetodo sistemadecorposconstadeumnmerointeirodecargas elementaresiguaisa 191.6 10 . C Apartculaestvelde menor massa em repouso, com carga elementar negativa, o eltron.Amassaemrepousodoeltroniguala 319.1 10 . Kg Apartculaestveldemassamnimaem repousocomcargaelementarpositiva,opsitron,tema mesmamassaemrepousoqueoeltron.Existetambm outrapartculaestvelcomcargaelementarpositiva,o prton.Amassaemrepousodoprtoniguala 271, 67 10 . Kg Oseltronseosprtonsentramna composio de todos os elementos qumicos. I.2.1 Lei de conservao da carga eltrica 8 A soma algbrica das cargas eltricas dos corpos ou partculas queformamumsistemaeletricamenteisoladonovaria qualquerquesejamosprocessosqueaconteamemdito sistema.Estaleideconservaodacargaeltricaumadas leisdeconservaofundamentais,omesmoqueasleisde conservao do momento linear e da energia. I.3. LEI DE COULOMB CharlesCoulomb(17361806),usandoodispositivo(Fig.1.1) queeleinventou,obteveosseguintesresultados experimentais. a fora de interao entre as duas bolas 21.eFr proporcional ao produto das cargas q1 e q2; atrativaseascargassodesinalopostae repulsivas se as cargas tem igual sinal. Comestasobservaespossvelestabeleceraforade interao entre as duas bolas carregadas: 1 220.4q qFr = (1.1) EstaformadeescreveraLeideCoulombsechama racionalizada,eaconstante 11 200.885 10 / . C N m = chamadapermissividadedoespaolivreouconstante eltrica. 9 Fig.1.1 Balana de torso, usado para estabelecer a Lei de Coulomb para a fora eltrica entre duas cargas. Fig.1.2. Hoje em dia, nos laboratrios modernos possvel ver a interao entre cargas pontuais como eltron-eltron, eltron-prton, etc. 10 Em forma vetorial (veja Fig.1.3) Fig.1.3. a) Repulso entre cargas de igual sinal, b) atrao entre cargas de sinais diferentes. 1 220 ,4q qF nr =r(1.2) onde o vetor unitrio dado por. I.4 O CAMPO ELTRICO Podemostervariascargaspontuaisq1,q2,...,qn,adistncias r1,r2,...,rn, dacargaQ, respectivamente.A foratotalsobre Q ser: Ou11 F QE =r r(1.3) onde (1.4) I.4.1 Linhas do Campo eltrico Ummodoconvenientedevisualizarpadresdecampo eltricosdesenharlinhasqueseguemamesmadireo comoovetordecampoeltricoemqualquerponto.Estas linhas,chamadaslinhasdocampoeltrico,esto relacionadasaocampoeltricoemqualquerregiodo espao da seguinte maneira: O vetor do campo eltrico E tangente linha do campo eltrico em cada ponto.Onmerodelinhaspor unidadedereaatravsdeuma superfcieperpendicularslinhasproporcional magnitudedocampoeltriconaquelaregio.Assim,E grandequandoaslinhasdocampoestobemjuntas,e pequena quando elas esto separadamente distantes. EstaspropriedadessoilustradasnaFig.1.4.Adensidadede linhasatravsdasuperfcieAmaiorqueadensidadede linhasatravsdasuperfcieB.Porconseguinte,ocampo eltricomaisintensonasuperfcieAquenasuperfcieB. Almdomais,ofato,queaslinhasemlocaisdiferentes apontamemdireesdiferentesindicaqueocampono-uniforme. 12 Fig.1.4 Linhas do campo eltrico entrando a duas superfcies A e B. Na Fig.1.5-1.7 mostrado alguns padres de interaes para cargas pontuais mostrando as linhas do campo eltrico. Fig.1.5Aslinhasdocampoeltricoparaumacargapontual. (a)Paraumacargapositiva,aslinhassodirigidas radialmenteforadacarga.(b)Paraumacarganegativa,as linhassodirigidasradialmenteparadentrodacarga.Note queasfigurasmostramsomenteaslinhasdocampoque estonoplanodascargas.(c)Asreasescurassopedaos pequenosdelinhasuspensosemleoquesealinhacomo campoeltricoproduzidoporumcondutorpequeno carregado no centro. 13 Fig.1.6 (a) Linhas do campo eltrico para duas cargas pontuais demagnitudeigualesinaloposta(umdipoloeltrico).O nmerodelinhasquedeixamacargapositivaigualaao nmerodelinhasqueterminamnacarganegativa.b)As linhasescurassopedaospequenosdelinhasuspensosem leo com o qual se alinha ocampo eltrico de um dipolo. Fig.1.7(a)Aslinhasdocampoeltricoparadoiscargas pontuais positivas. (b) Pedaos de linha suspendidas em leo que se alinha com o campo eltrico criado por as duas cargas positivasdeigualmagnitude.(c)Aslinhasdocampoeltrico paraumacargapontual2q + eumasegundacargapontual q .Notequeduaslinhasdeixam2q + porcadalinhaque termina emq . 14 I.5CAMPOSELTRICOSDEDISTRIBUIESCONTINUASDE CARGAS DesejamoscalcularocamponumpontoPdevidoauma distribuiocontinuadecarga.Nestecaso,quebramosa distribuionumnmeroinfinitodepeasinfinitesimais, onde a carga de uma pea infinitesimal dq. Fig.1.8 Distribuio continua de cargas. Somarsobretodososdqconsistedecalcularumaintegral.TomeQparaseracargatotal;escrevendoistocomosoma sobre todos os dq, d (1.5) Tome o vetor r para ser o vetor desde dq at P. O campo (1.6) Oclculodasintegraisanterioresdependerdotipode problema que se aborda. Os passos a seguir so: 1.Matemticamentequebradistribuiodecargasnum nmeroinfinitodepeasinfinitesimais.Istorequerescolher uma varivel de integrao e seus limtes. 15 2.Encontredq,acargainfinitesimaldecadapea infinitesimal.Vocdeveescreverdqemtrmosdadiferencial da varivel de integrao. 3.Escrevaumaexpressoparar,ovetordesdedqato pontoPondeovalordocampobuscado.Notequera magnitude de r. 4.Ponhaaspeasjuntasparaformarapropriadamentea integral definida e calcule a integral. I.6 MOVIMENTO DE PARTCULAS CARREGADAS Quando uma partcula de carga q e massa m e colocada num campo eltrico E, a fora eltrica exercida sobre a carga qE. Se esta a nica fora exercida sobre a partcula, deve ser a fora neta e assim deve provocar o movimento acelerado da mesma. Neste caso, a segunda Lei de Newton da: .F qE maqEam= ==r rrrr (5.5) PROBLEMAS. Estude o campo eltrico de um dipolo eltrico. Soluo.Problema. Campo de uma linha carregada. Soluo. Calculamos o campo eltrico nos pontos Pa e Pb, como mostrado na Fig.1.9. 16 Fig.1.9 1.No ponto Pa: A distncia desde dq at o ponto x0 x. A carga elementar dq = dx, onde = Q/L, logo dq = Q/L dx, por isto usando (1.6) 2. No ponto Pb:Nestecaso,acontribuiodoladoesquerdoe direitosoiguaisporemdesentidosopostosepor issoacomponentexdocampoeltricosecancela. Para a componente y:AdistnciadesdedqatPbr=(x2+y02)1/2e somente temos que calcular a integral . 17 Problema.Umacarga+Qdemassamencontra-se em meio de dois campos eltricos constantes E1 e E2. Determine o ngulo de inclinao da corda para o qual a carga se manter em equilbrio (veja Fig.1.10). Fig.1.10 Unidade II LEI DE GAUSS 2. 1 Introduo ConsidereumareamuitopequenadA aqualpodeser representado por um vetor dirigido perpendicular a rea e de uma magnitude igual a mesma rea. SedA a parte de uma superfciequalquer,abertaoufechada;comosemostra abaixo(Fig.2.1).EscolhemosadireodedAparaapontar foradasuperfcie.Notequeaslinhasdocampoeltricose olhamcomolinhasdefluxonumfludo(sebemquenada estfluindo).Apalavrafluxosignificasperamente"fluido". Baseado nesta analogia defini-mos o fluxo do campoeltrico atravs de uma superfciedAcomo . cosEd E dA E dA = =r r(2.1) ou, integrando por toda a superfcie para obter o fluxo total: 18 sup. .EerficieEdA =r r (2.2) Fig.2.1 Superfcie Gaussiana mostrando a um vetor do campo eltrico E formando um ngulo com o vetor de superfcie elementar dA. Nocasoemqueaslinhasdocampoeltricocruzamuma superfciefechada,aintegralanteriorresultaumaintegral fechada (2.3) Ofluxotemumsignificadosimples.LembrequeEpodeser medidoilustradamentecomoonmerodelinhasporrea perpendicular a E. Assim,cos EdA = ( nmero de linhas por reaperpendicularaE)(reaperpendicularaE)=nmero de linhasE que atravessam dA. Conseqentemente o fluxo de E pordA o nmero de linhas de E que atravessam dA. Quando linhas E saem de uma superfcie fechada (como uma esfera),ofluxopositivo.QuandolinhasEentramauma superfciefechada,ofluxonegativo(porquecos 0 cobrindo o nosso cilindro carregado. Consideraes de simetrianosindicamqueasintensidadesdoscampos eltricosseroradiaisenoestaroorientadosaolongodo eixodesimetria.NossasuperfcieGaussianatemum comprimentol.Ofluxodocampoeltricoser,portanto, ( ) 2EEr rl = .Comoestefluxodependedo comprimentol,suficienteintroduzirumadensidadelinear decarga tal queacargadentro dasuperfcieGaussiana dado porq l = , por isto: ( ) ( ) ( )0 01.2 , .2lE r rl E r r Rr = = (2.11) 24 Fig.2.6. Cilindro oco carregado superficialmente. Comoocilindrooco,dentrodomesmoocampoeltrico espera-sequeseanuleporqueascargassedistribuemna superfcie.Qualserocampo nasuperfciedocilindro?Pararesponder esta questo, substitumos: 2 R =(2.12) na expresso anterior e fazemos, r R =com o qual achamos: ( )0 01 2.2RE RR = = (2.13) 2.3.4 Campo de uma superfcie esfrica carregada Considere uma superfcie carregada de raio R, cuja densidade superficial de carga positiva (veja Fig.2.7). A esfera oca, demodoque,esperamosqueocampoeltricodentroda superfcieesfricacarregadasejazero( ) 0 E r R < = .Por outrolado,espera-setambmqueosvetoresdocampo eltrico sejam radiais. Para uma superfcie Gaussiana esfrica de raior R >encerrando nossa superfcie carregada, a carga totaldentrodasuperfciecarregada 24 q R = eofluxo do campo ser dado por( )24 E r r , assim: 25 ( )( ) ( )220 0204.4 ,1, .q RE r rRE r r Rr = =| |= |\ (2.14) Fig.2.7Diferentesregiesdoscamposeltricos:a)a superfcieesfricacarregadasuperficialmenteb)asuperfcie Gaussiana para 20, ,4qr REr = e c) a superfcie Gaussiana para, 0. r RE < = 2.3.5 Campo de uma esfera carregada volumetricamente SejaumaesferaderaioRcarregadacomadensidadede cargavolumtrica constante.Ocampo,nestecaso,tem simetria central. intuitivo afirmar que o campo eltrico fora daesferateraformacomodeumacargapontual ( ) ( )20,4qE r r Rr = > ondeq acargatotaldaesfera carregada.Noentanto,paraocaso, r R dentroda 26 superfcie Gaussiana de raiorhaver a carga 343q r = e o fluxo das linhas do campo ser( )24EEr r = , assim: ( )( ) ( )2 303 340 0 0 31 44 ,31 1 1, .3 3 4E r r rq qE r r r r r RR R = | |= = = |\

(2.15) Problemas. 1.Considereumcampoeltricouniformeorientadona direoX.EncontreofluxoeltricoatravsdecadasuperfciedeumcubocomladosLorientadoscomo mostrado na Fig.2.8, e o fluxo total. Fig.2.8 2.Umasuperfcieplanatendoumareade3.2m2rodada numcampoeltricouniformeofmagnitudeE=6.2105 N/C.Determineofluxoeltricoatravsdestarea(a) quando o campo eltrico perpendicular superfcie e (b) quando o campo eltrico paralelo superfcie. 3.Considereumacaixatriangularfechadadescansando dentro de um campo eltrico horizontal de magnitudeE = 7.80104N/CcomomostradonaFig.2.9.Calculeofluxo 27 eltricoatravsde(a)asuperfcieverticalretangular,(b) inclinada, e (c) a superfcie total da caixa. Fig.2.9 4.Umaesferaslidacondutoraderaioacarregaumacarga possitiva total 2Q. Uma camada esfrica condutora de raio interiorbeexteriorcconcntricocomaesferaslidae carregaumacargatotal-Q.UsandoaleideGauss, encontre o campo eltrico nas regies indicadas com 1, 2, 3, e 4 na Fig. 2.10 e a distribuio de carga sobre a camadaquando o sistema total est em equilbrio eletrosttico. Fig.2.10. Unidade III POTENCIAL ELTRICO 28 3.1 DEFINIO DO POTENCIAL ELTRICO Paracompreenderoconceitodepotencialescalareltrico considere uma carga de teste (ou de prova)Q , no ponto 1 de numcampoeletrosttico.AforaeltricaatuandosobreQmovera a carga de teste. Suponha que o seu movimento seja aolongodeumalinhaatoponto2,comomostradona Fig.3.1.Quantotrabalhofoifeitopelaforaeltricaneste caso? Fig.3.1 Carga de testeQnum campo eletrosttico produzido pela cargaq . ConhecemosaforaF deinteraoentraacargadeteste Qe a cargaqser dado por20 ( )4r rQqF n Fr nr = =r(3.1) onde( ) F r omdulodaforaF,e rn ,ovetorunitriodo raiovetorr,quedeterminaaposiodacargadetesteQ , respeitodeq .Estaforacentraleocampocentralde forasconservativoeporisso,otrabalhorealizadoao trasladaracargaQ deumpontoaoutronodependedo caminho percorrido. Este trabalho dado por: 29 2 21 21 1. cos W Fdl Fdl = = r r, (3.2) sendodlrodeslocamentoelementardacargadeteste.Da figura possvel mostrar quecos dl dr = , por isso temos ( )212 21 2 20 1 10 1 2cos41.4rrQq drW Fdl F r drrqQ qQr r= = =| |= |\ (3.3) Aexpressoentreparntesisdefineaenergiapotencialda cargaQno campo eletrosttico da carga fonteq01.4qQU constr = + ,(3.4) Assim, podemos reescrever1 2 1 2, W U U= (3.5) O qual mostra que o trabalho feito para deslocar a carga de testeequivalenteaperdadeenergiapotencial eletrosttica. A constante em (3.4) se escolhe de tal maneira que emr = aenergiapotencialdacargadetesteQ sejanula,assim co 0 nst =e (3.4) toma a forma:01.4qQUr = (3.6) Aconteceque,setrocamosdiferentescargasdetestes 1 2, ,...,nQQ Q paraseremcolocadosnomesmoponto,existe uma magnitude que permanece constante 04iU qQ r= =(3.7) 30 onde iQ qualquercargadetesteeq acargafonteer a distnciaentreacargadetesteeacargafonte.Esta quantidadefsicasechamapotencialescalardocampo eletrosttico.ConsideremaFig.3.2ondemostramosoefeitodeNcargas fontes iq eseuefeitosobreacargadetesteQ .Otrabalho querealizamasforasdestecamposobreQ seriguala somaalgbricadostrabalhosefetuadospelasforasdevidas a cada carga iqpor separado: Fig.3.2 Carga de testeQsob o efeito do campo de foras de N cargas fontes 1 2, ,...,Nq q q . 1 2 '1 101 2 '1 10 0141 1,4 4N Ni iii ii iN Ni ii ii iq Q q QW Wr rq Q q QU Ur r = == =| |= = |\ = = (3.8) onde, 1 2, UU sorespectivamenteasenergiaspotencialnas posies inicial e final da carga de teste. De acordo com (3.6) 31 a energia potencial da carga de testeQno campo de foras das cargas iq dado por 1 01,4Nii iq QUr ==(3.9) e,peladefinio(3.7),temosqueopotencialeletrosttico dado por 1 01.4Nii iq UQ r== =(3.10) Assim,opotencialcriadoporumsistemadecargasigual somaalgbricadospotenciaiscriadosporcadaumadas cargasindividualmente.Adiferenciadoscampos eletrostticosque,quandosesuperpem,sesomam vetorialmente;ospotenciaisescalareseletrostticosse somam algebricamente. De (3.10), em (3.8) temos ( )1 2 1 2. W Q = (3.11) Porconseguinte,otrabalhonecessrioparalevaracargade testeQ desdeaposioinicialatsuaposiofinaligual ao produto da sua carga com a diferencia de potencial 1 2 entre essas duas posies. Paracompletarestaseo,noteque,porconvenoa energiapotencialnoinfinitoassumidaparaserzero ( ) 0 Ur = = ,e,porconseguinte;seupotencial nesse ponto tambmzero( ) 0 r = = .Entoemvirtudede(3.11) temos que o trabalho necessrio para levar uma carga desde umaposioondeseupotencialescalar atoinfinito ser: ( ) . W Q =(3.12) 32 Unidades de medida A equao (3.12) pode ser usada para definir as unidades dopotencialeletrostticonosistemainternacional(SI). Antes,deve-selembrarquenoSIopotencialmedido em Volt (V), a carga eltrica em Coulomb (C) e o trabalho em Joules ( J). Logo 11 1 .1 1 .1JJ C V VC= =(3.13) Tambmmuitotiloeltronvoltdefinidocomoo trabalhonecessrioparafazermoverumeltronnuma regio cuja diferencia de potencial 1 V. Assim: 19 191 1, 60 10 .1 1, 60 10 . eV C V J = = (3.14) 3.2 POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIO DE CARGAS Seacargaestdistribudaatravsdeumvolumefinito (Fig.3.3)cujadensidadeconhecida (C/m3),ento,de acordocom(3.10)temosquetrocarasomapelaintegralde volumesequeremoscalcularopotencialnumpontoPdado noespao 1Niii Vq dVr r=,ondeacargainfinitesimal dq dV =era distncia entre a carga elementar e o ponto P:014VdVr=. (3.15) 33 Fig.3.3 Potencial num ponto P de uma distribuio de carga volumtrica. O elemento infinitesimal de cargadQ est contido no elemento de volumedV . Nocasodetermoscargasdistribudasemsuperfciesou linhas,comojfalamosantes;snecessriointroduzir densidades de cargas superficiais dqdS=e lineares dqdl =e trocarasexpressesparaascargaselementares ( ) dq dS ou dl =respectivamente em (3.15). 3.3 GRADIENTE Antes de estabelecer a relao que tem o potencial escalar e o campo eltrico precisamos de uma ferramenta matemtica dos campos vetoriais chamado gradiente. NaFig.3.4smostradodoispontosvizinhosMeN,numa regio onde est definido uma funo escalar . O raio vetor de separao entre este pontos s: , dr idx jdy kdz = + +r 34 FIG.3.4 O espao onde est definido uma funo escalar ( ) , , x yz . Afunoescalar aomudardevalordeMaNmudar tambm na quantidade d dx dy dzx y z = + + ,(3.16) agora,ooperadorvetorialimplcitonestaequao,definido por , i j kx y z = + + r (3.17) chama-se operador gradiente quando aplicado a um escalar ( ) , , x yz que varia no espao, i j kx y z = + + r. (3.18) As vezes (3.18) escrito comograd =r e representa um campo vetorial.Notetambmque(3.16)podeserentendidocomoum produto escalar . d dr = rr, (3.19) ou 35 .r =rr(3.20) Umainterpretaofsicamuitointeressantesurgesea funoescalar( ) , , x yz ,porexemplo,opotencial eletrosttico.SeospontosMeNseencontramnaregio onde( )1, , xyz c = (Fig.3.5),chamadasuperfcie equipotencial,ento0 d= ,oqualimplicaque r perpendicularadrr.Comtudo,drrtangenteasuperfcie equipotencial; de fato, para uma localizao apropriada de N, representa qualquer tangente atravs de M. Por conseguinte, rdeveestaraolongodasuperfcienormalemM.Como restnadireodocrescimentode ,apontadesde ( )1, , xyz c = ( )2, , x yz c = ,onde 2 1c c > .Ogradientede umafunopotencialescalarumcampovetorialques normal as superfcies equipotenciais. Fig.3.5 O gradiente de um potencial escalar s normal as superfcies equipotenciais. 36 3.4 RELAO ENTRE A INTENSIDADE DO CAMPO ELTRICO E O POTENCIAL DocursodeFsicaIaprendemosquearelaoqueexiste entre a fora e a energia potencial dado por F U = r r. (3.21) Paraumapartculacarregadaqueseencontranumcampo eletrosttico,, F QEU Q = =r r. Substituindo estes valores em (3.21): ( ) QE Q E = = r r r r. (3.22) Usando(3.18),podemosencontrarascomponentesdo campo eltrico: ,, , .x y zE i j kx y zE E Ex y z = = = = r (3.23) Usandoadefinio(3.20)podemoscalcularavariaodo potencial entre dois pontos quaisquer 211 2, .rrE E drr = = =rrr r rrr.(3.24) Estaintegral podesetomaraolongode quaisquerlinhaque possaunirospontos1e2cujosraiosvetoresso 1 2re rr r, porqueotrabalhodasforasdocamponodependemdo caminhopercorrido.Seopercorridoporumcontorno fechado 1 2 =e nos teremos de (3.24) Advertimosqueestarelaosomentesvlidaparaos campos eletrostticos.37 Uma superfcie imaginaria cujos pontos tem todos os mesmo potencial chama-se superfcie equipotencial ou de nvel. Sua equao tem a forma: ( ) , , . x yz const = Problemas.1.Calcularopotencialdeumavaracarregacom densidadedecargalinearconstante ,de comprimentoLnum ponto( ) , , r x yzdo espao. Veja a Fig.3.6 para um clculo por computador. Fig.3.6(a)Grfico dassuperfciesequipotenciais(superfcies tracejadasencerrandoavara)edoscamposvetoriais eletrostticosmostradoscomovetores,(b)potencialcomo funodascoordenadas, . xy Camposeltricosmuito intensos no so mostrados. 2.Calcularopotencialescalareaintensidadedo campoeletrostticonumpontoP(x,y,z)devidoa duascargaspontuais, q q + separadosporuma distnciad .Estesistemaconhecidocomodipolo eltrico. Veja a Fig.3.7. para um clculo por computador. 38 Fig.3.7(a)Grficodassuperfciesequipotenciais(superfcies tracejadasencerrandoavara)edoscamposvetoriais eletrostticosmostradoscomovetores,(b)potencialcomo funodascoordenadas, . xy Camposeltricosmuito intensos no so mostrados. 3.Sejam as dimenses do condutor a e b e de espessura desprezvel frente as dimenses dadas. Se o condutor est carregado com a densidade superficial positiva , o potencial a uma distncia R ser dado por 39 Para buscar curvas equipoenciais, fazemos = Const , com o qual escrevemos todo em forma adimensional: 1.Para valores realistas:a = 10 cm, b = 1.2 cm, teremos quecalcularaintegraldupla.Primeirocalculamosa integral,ondev=y-y'.Usandoopacotedeclculo simblico Mathematica 7.0 obtemos: 40 41 Unidade IV CAPACITNCIA E DIELTRICOS 4.1 INTRODUO Usos: Cmera flash (lanamento rpido de energia). Circuitosdesintonizaoemtvs,rdios,telefones mveis, microfones, etc. Suavizao potencia de ondas, retificao. Algumacoisaquerequeira,ouposaserfeitopara guardar energia eltrica por um corto tempo. Fig.4.1 Diversos tipos de capacitores. 42 4.2 CAPACITORES E CAPACITNCIA NaFig.4.1temosmostradovriostiposdecapacitores,com tudo,quaissoseuselementosbsicos?NaFig.4.2 mostradoesteselementosbsicos.Doiscondutoresisolados de forma arbitrria. Sem importar sua geometria se chamam placas condutoras. Fig.4.2Doiscondutoresisoladosentresimedeseus arredores,formamumcapacitor.Quandoocapacitor carregado,oscondutores,ouplacas,comoelesso chamados, levam cargas Iguais e opostas de magnitudeQ . NaFig.4.3(a)semostraumarranjomaisconvencionale,no entanto,menosgeral,chamadocapacitordeplacasplanas, consistentededuasplacascondutorasparalelasdereaA separadas por uma distnciad . O smbolo que usamos para ocapacitor(||)geraleindependentedesua geometria.Pelomomento,vamossuporquenoexistem materiaisdieltricos(talcomoplsticoouvidro)emseu interior(depoismudaremosestasuposioparaincluirmos dieltricos). Comoasplacassocondutoras,elessosuperfcies equipotenciais,noentantoexisteumadiferenciade potencialentreasduasplacas.Porraeshistricas 43 apresentamosovalorabsolutodestadiferenadepotencial com V . Existe uma relao estreita entre a carga de um capacitor e a diferenciadepotencialentresuasplacaschamada capacitncia.Paraestefim,considereprimeiroumcorpo condutorcomcargaQ muitolongedequaisqueroutras cargas. Suponha que o potencial do corpo V . Se a carga no corpo trocado akQ , ondek qualquer nmero real, qual ser o potencial do corpo neste caso? Fig.4.3 Um capacitor de placas planas, feito de duas placas de rea A separados por uma distnciad . As placas tem cargas iguaisemmagnitude,porem,desinalcontrriaemsua superfcie.b)comomostraaslinhasdocampo,ocampo eltricouniformenaregiocentralentreasplacas.As linhasdocampobordejamosextremosdaplaca, mostrando que o campo eltrico no-uniforme.

A densidade superficial de carga sobre o corpo, , tal que o campo eltrico s zero dentro do corpo. O campo eltrico em qualquerpontosobreasuperfciedadopor 0. E n=r 44 Quando o corpo carregado akQ , o campo eltrico dentro docorpodevepermanecerzero,assim,adensidade superficialdecargadeveserk.Istosignificaqueonovo campoeltricoemtodosospontosserkEr.Por conseguinte,opotencialcrescerporumfatorde k,assim o novo potencial kV . A concluso que a carga do corpo condutoreseupotencialsoproporcionaisentresim.Esta proporcionalidade escrita como , .QQ CV ou CV= =(4.1) Aunidade dacapacitnciachama-se: CoulombFaradayVolts= e se denota por F. A constanteC no depende deQouV , seno unicamente daformaetamanhodocorpoedosmateriaisqueaoseu redor.Issochamadoacapacitnciadeumcorpoisolado. Paradetermina-lo,necessitamosconhecerseupotencialem termos de uma carga dada. 4.2 CALCULO DA CAPACITNCIA Istoumatarefasimplesdesdequeconheamossua geometria.Aestratgiadenossotrabalhoconsisteno seguinte: Assuma uma cargaQnas placas; Calcule o campo eltricoEr entre as placas, usando a Lei de Gauss; ConhecendoErcalculeadiferenciadepotencial V entre as placas; CalculeCda equao (4.1). Alguns exemplos so mostrados aqui. 45 4.2.1 A TERRA COMO UM CAPACITOR Em2.3.4temoscalculado,usandoaLeideGauss,ocampo eltrico de uma superfcie esfrica carregada: ( ) ( )201, ,RE r r Rr| |= |\ (4.2) onde 2/ 4 Q R = .Como( )VE rr= ,temos(lembre que assumimos o potencial emr = igual a zero: ( )2022 20 0 001,,4 44V RV RE rr rQ d r Qd V RR r RQVR | |= = |\ = == (4.3) de onde 6 30914 6,37 10 0, 708 10 1 .9 10QC R F mFV= = = > detalmodoquepodemos desprezar o fato dos campos bordejarem o qual espera-se queapareanosextremosdocilindro.Cadaplacatem uma carga de magnitudeQ . Nocap.VItemoscalculadoocampoeltricodeum condutorcilndricocarregadosuperficialmente,oqual dado por: ( ) ( )01,2E r r ar = (4.8) onde2 a = densidadelineardecargado cilindro.Estecampodevidoaocilindrointeriorderaio acujacargapositiva.Naregioa r b teremos apenas este campo, porque, em virtude da Lei de Gauss o campo devido a placa de carga negativa zero. Podemos calcular a diferencia de potencial entre as placas: ( )00 012l n .2 2baE rr rd r bV dr a += == = = (4.9) Considerandoque 2QaL= ,temos 2 22Q Qa aaL L = = =. Logo 0 00ln ln ,2 22 .lnb Q bVa L aQ LCbVa = == = (4.10) 4.2.4 CAPACITOR ESFRICO 49 EstetipodecapacitordescritonaFig.4.6.Tambmno cap.VItemosencontradoocampoeltricoparauma superfcie esfrica carregada: ( ) ( )201, ,aEr r ar| |= |\ (4.11) e,comonocasoanterior;acontribuiodaplacacom carganegativaQ naregioa r b zero.Tambm lembreque 2,4Qa= entopodemoscalculara diferencia de potencial entre as duas placas: ( )202 2 22 20 0 00144baaE rr ra dr a b a Q a b aV dr ab a abQ b aab + | |= = |\ | | | |= = = = ||\ \ | |= |\ (4.12) de onde obtemos 004 .4Q b a Q abV Cab V b a | | | |= = = ||\ \

(4.13) 50 Fig.4.5 Seo eficaz de um capacitor cilndrico. 4.2.5 CAPACITOR ISOLADO Podemosavaliartambmacapacitnciadeumaesfera condutora de raio finito R, supondo que a placa faltante tem raio infinito. Neste caso, lembre-se que emr = o potencial zero, ento dos resultados anteriores: 0 2 2 22 20 0 001 1 144RR dr R Q RV dr R R RQVR +| | | |= = = = ||\ \ = (4.14) ento 04 .QC RV = =(4.15) 4.3 COMBINAES DE CAPACITORES Associarconvenientementediversoscapacitoresem diferentestiposdecircuitosnoeletro-tcnicacomume necessrio.Algunsdosdispositivosusadosnoscircuitose seus smbolos respectivos so mostrados na Fig.4.6. 51 Fig.4.6. Smbolos de alguns mecanismos comumente usados nos circuitos. 4.3.1 Combinao em paralelo Um desenho de tal tipo mostrado na Fig.4.7. Fig.4.7 Combinao de capacitores num circuito em paralelo. A quantidade total de carga eltrica armazenada na bateria distribuda em cada capacitor, assim: 1 2. . . ,NQ Q Q Q = + + +(4.16) o seguinte passo usar a definio da capacitncia, i.e., , 1, 2 , . . . , .i i iQ CV i N = = (4.17) 52 Noentanto,notequecadacapacitorseencontraauma mesma diferencia de potencial igual a E; i.e., E = Vi , por isso a equao anterior se re-escreve assim Qi = ECi.(4.18) Logo, em (4.16) ECT = EC1 + EC2+...+ ECN , ou 1 21...NT N iiC C C C C== + + + = (4.19) 4.3.2 Combinao em serie NaFig.4.8mostramosumdesenhodetaltipo.Nestecaso, espera-sequeadiferenciadepotencialEnabateriase distribuiremcadacapacitor.Poristo,adiferenciade potencial em cada capacitor ser: 1 21 2, , . . . , ,NNQ Q QV V VC C C= = =(4.20) Fig.4.8 Circuito de capacitores em serie. NotequeconsideramosumamesmacargaQemcadaplaca decadacapacitor.Aexplicaoaestefatoserdadanas prximas sees. Podemos, por tanto, afirmar que: E = V1 + V2+...+ VN ,(4.21) 53 por isto e usando as definies (4.20) 1 2. . . ,T NQ Q Q QC C C C= + + + e a capacitncia equivalente dado por: 11 21 1 1 1 1. . . .NiT N iC C C C C== + + + = (4.22) 4.4 Campos Eltricos nos Dieltricos 4.4.1 Polarizao de dieltricos Chamam-sedieltricos(ouisolantes)oscorposincapazesde conduziracorrenteeltrica.Nanaturezanoexistem isolantesperfeitos.Todososcorpos,aindaque insignificantemente,conduzemacorrenteeltrica.No entanto,osisolantesoudieltricosconduzem 15 2010 10 vezes pior que os condutores. Queacontece quandoumdieltricosubmersonumcampo eltricoexterno?Pararesponderestaperguntadevemos lembrarqueostomos emolculassecompemde ncleos com carga positiva e eltrons com carga negativa. Todamolculaeletricamenteneutra,esuasdimenses linearessodaordemdoangstrm(o-1 01 A = 1 0 m ).Os dieltricosresultampolarizadosnumcampoeltrico.Uma teoriasimplificada,pormsatisfatria,dapolarizaopode serobtidatratandoumtomododieltricocomoduas regiessuperpostasdecargaspositivasenegativas,como so mostradas na Fig.4.9 (b). Quando um campo eltrico E0 aplicado, a regio de carga 54 Fig.4.9Modelosimplificadodeumamolculadeum dieltrico:a)naausnciadecampoeltrico,b)napresena de um campo eltrico E0. positiva se move na direo do campo aplicado e a regio da carganegativasemovenadireooposta(b).Este deslocamentopodeserrepresentadoporummomento dipolar eltrico: . p Qd =rr (4.23) Paramuitosmateriais,asregiesdecargavoltaramasuas posiesoriginaisdesuperposioquandoocampoeltrico externoremovido.Comocom uma mola obedecendoaLei deHooke,otrabalhofeitonadistororecobradoquando osistemavoltaaseuestadooriginal.Aenergiaarmazenada nestadistoroaparecedamesmamaneiracomocoma mola. Deacordoaomodelo,umdieltricopolarizadouma coleoenormededipoloseltricossituadosnumvcuo.Se conhecemosascargasQeQdosdipolosesuasposies, poderamoscalcularocampoeltricoeopotencialescalar emqualquerponto.Isto,noentanto,resultapraticamente impossveldevidoaonmeroextremamentegrandede dipolos.Porestaraodefinimosumaclassededensidade 55 dipolarmdia,umaquantidadevetorial,conhecidacomo vetor polarizao.ConsidereagoraumvolumepequenodV dodieltrico polarizado.SejaN onmerodedipolosporunidadede volume dentro dedV , e p o momento dos dipolos. O vetor polarizao, P, num ponto dentro dedV definido como: ( )2/ .N pP C md V=rr (4.24) Deve-senotarqueasdimensesdapolarizao(C/m2), coincide com a dimenso de 0E.Nosdieltricosistroposdequalquertipoapolarizaoest ligadacomaintensidadedocamponomesmopontopela relao simples: 0, P E =r r (4.25) ondeumamagnitudeadimensionalindependentedeE chamada susceptibilidadedieltricadodieltrico.Vale dizer que para todos os dieltricos > 0 e somente para o vcuo = 0. A relao (4.25) sugere uma distribuio suave e continua dos momentosdipolareseltricosatravsdovolume,oqualna prtica no o caso. Na descrio macroscpica, no entanto, apolarizaoPpodedarcontaparaoincrementodovetor deslocamento eltrico, dado pela equao: 0. D E P = +r r r(4.26) Substituindo em (4.26) o valor da polarizao (4.25): ( )01 . D E = +r r(4.27) A magnitude 56 1 , = +(4.28) Sedenominapermissividaderelativaousimplesmente permissividadedomdio.Destemodo,(4.27)pode-se escrever 0. D E =r r(4.29) Segundo (4.29) o vetor D proporcional a E. Lembremos que estamosestudandodieltricosisotrpicos.Nosdieltricos anisotrpicososvetoresDeE,emgeralnosatisfazem (4.29). Agora estamos em condies de achar uma expresso para o vetor D, por exemplo, no vcuo onde = 0 e, por conseguinte = 1; para uma carga pontualQ num ponto cujo raio vetor sejarr: 21 ,4rQD nr =r (4.30) onde o vetor unitrio radial. As unidades de D so C/m2. Ascargasquesofontesgeradorasdovetordeslocamento eltricoDseencontramnosdieltricosesechamam estranhas.Estascargas,sebemseencontramdentrodos limitesdosdieltricos,noentramnacomposiodesuas molculas.Podesermostradotambm,quecomoconseqnciada polarizao,umacamadadecargassuperficiais,chamadas induzidasouligadas,distribudapelasuperfciedo dieltricocomumadensidade ind quandoestsobreo efeitodeumcampoeltricoexterno,oqualdadopela equao: 0,ind nE = (4.31) 57 onde nE acomponentenormaldaintensidadedocampo eltricodevidoascargasinduzidasnodieltrico.Para entender este efeito, considere uma amostra dieltrica como na Fig.4.10. Fig.4.10 Amostra dieltrica: a) sob o efeito do campo eltrico E0comeaaordenaodosdipolos,b)oresultadofinalda polarizaoaredistribuiodecargasinduzidasaambos lados da amostra. Como resulta claro da Fig.4.10, dentro do dieltrico o campo eltrico resultante ser: 0,indE E E = r r r(4.32) onde Eind o campo eltrico induzido como conseqncia da redistribuiodascargasligadasouinduzidasaambosos lados da amostra. 4.4.2 Exemplo de clculo do campo nos dieltricos VamosaesclarecerosignificadodasmagnitudesDecom alguns exemplos concretos. 58 Campodentrodeumaplacaplana.Consideredois planosparalelosinfinitoscomcargasdesinais contrarias, como mostrado na Fig.4.11. Fig.4.11. Dieltrico dentro de placas planas carregadas. Suponhaque,novcuo,i.e.,emausnciadodieltrico entreasplacas,ocampocriadopelasplacasE0eo deslocamento eltrico D0 = 0E0. A intensidade do campo E0 = /0.Dentro do dieltrico temos ( )00 0 01.indind indE E E = = = (4.33) E fora do dieltrico E = E0. A polarizao do dieltrico est condicionadapelocampo(4.33).Estecampo perpendicular as superfcies da placa. Por isso, En = E e de acordo com (4.31), ind = 0E. Substituindo este valor na frmula (4.33), obtemos: 0, E E E = (4.34) 59 de onde 0 0.1E EE = =+(4.35) Assim, no caso considerado, a permissividade indica em quantas vezes se enfraquece o campo eltrico externo no dieltrico.Paraodeslocamentoeltricodentrodaplaca,deacordo com (4.29) dado por: 0 0 0 0. D E E D = = =(4.36) Destemodo,odeslocamentoeltricodentrodaplaca coincidecomodeslocamentoeltricodocampoexterior D0. Substituindo em (4.36) E0 por /0 , obtemos que D = .(4.37) Para encontrar ind expressamos em (8.35) E e E0 usando suas densidades de cargas: ( )0 01.ind = Daqui achamos 1.i n d =(4.38) Comopodeserobservado,naausnciadedieltricos onde=1ascargasinduzidasnoaparecemnos condutores. 4.4.3 capacitores com dieltricos Comotemosvistoem(8.35),ocampoeltricodentrode um dieltrico submerso num campo externo dado por 0.EE= No entanto, E0 = /0, temos 60 0, E = (4.39) Ondeapermissividadedodieltrico.Adiferenciade potencial entre as placas do capacitor ser dado por: 1 20 0,qdV Ed dA = = = = Onde qacarga nas placascujareaAe da distancia de separao entre elas. Por tanto, a capacitncia ser: 0.A qCV d = =(4.40) Desprezandoosefeitos doscamposnosbordes,para um capacitorcilndricodecomprimentoL,entrecujasplacas existe um dieltrico de permissividade e raios R1 e R2, a capacitncia ser: 0212.l nLCRR =| | |\ (4.41) E para um capacitor esfrico temos 1 202 14 .R RCR R = (4.42) 4.5 Energia de um capacitor carregado Emfsica,umdosmaioresusosdoscapacitoreso armazenamento deenergia.Avantagem deusarcapacitores quegrandesquantidadesdeenergiapodemserliberados num tempo muito curto. Aformamaisfcildedeterminaraquantidadedeenergia armazenadanumcapacitorcalcularquantotrabalho requeridoparacarregar umcapacitor.NaFig.4.12temosum 61 capacitordecapacitnciaC quejtemumacarga Q +na placapositivae Q naplacanegativa.Avoltagem Vpelo capacitor est relacionada a cargaQpela equao q CV = (4.43) Agoratomemosumacarga dqdaplacainferior,deixando umacarga ( ) q dq +detrs,eleve-oataplacasuperior, deixando ( ) q dq + ali. O trabalhodW que fazemos para levar acargaiguala dqvezesotrabalhorequeridoparalevar umacargadetesteunidade,fundamentalmente dqvezesa voltagem VdW Vdq = , (4.44) como qVC=, temos qd W d qC=.(4.45) Fig.4.12 VocPodeverdaEq.(4.45)que,quandoocapacitorest descarregadoenoslevantamosoprimeirodq,nenhum trabalho e necessrio porquenoexisteainda umcampono capacitor.Noentanto,comoexistaumacargaenormeno 62 capacitor, muito trabalho ser necessrio para elevar umdq adicional.Aquantidadetotaldetrabalhoparacarregaro capacitordesdeumacargazeroatuma Q,,claramente, dado pela integral 201.2QQW qdqC C= =(4.46) ComomaisfcilmediravoltagemfinalVemvezdacarga finalQfnocapacitor,usamos Q CV =parare-escreveraEq. (4.46) na forma 2.2CVW= (4.47) AenergiaarmazenadaproporcionalcapacitnciaCdo capacitor,eoquadradodavoltagemV.Otrabalhofeitoao carregarocapacitoraparececomo energiapotencialeltrica U,armazenadanocapacitor.Porconseguinte,podemos expressaraenergiapotencialarmazenadanocapacitor carregado nas seguintes formas: 2 21.2 2 2Q CVU QVC= = = (4.48) Esteresultadoseaplicaaocapacitor,semconsiderarsua geometria. Vemos que para uma capacitncia dada, a energia armazenada cresce como cresce a carga armazenada e como aumentaadiferenciadepotencial.Naprtica,existeum limite a energia mxima (ou carga) que pode ser armazenada em virtude que, para um valor suficientemente grande de V, adescargafinalmenteapareceentreasplacas.Poresta 63 razo,oscapacitoressousualmenteetiquetadoscomuma voltagem de operao mxima. 4.6 Densidade de energia num campo eltrico interessanteexpressaraenergiaarmazenadadeum capacitor carregado em termos do campo eltrico entre suas placas. Para isto, lembre que o capo eltrico e a diferencia de potencial se relacionam como VEd= e0.ACd = Com isto, a energia potencial tem a forma: 2 22 2 0 012 2 2Ad.A E CVU E dd = = = V,V = (4.49) OndeAd V = ovolumedocapacitor.Daltimafrmula podemosdeduzirdiretamenteadensidadedeenergiado campo eltrico no capacitor201.2EdUu Ed = =V (4.50) CAPTULO V CORRENTE E RESISTENCIA 5.1 Corrente eltrica 64 Ataquitemosestudadoaeletrostticaouafsicados fenmenos com cargas eltricas em repouso. A parte da fsica responsvel pelo estudo dos fenmenos com cargas eltricas em movimento se chama eletrodinmica, na qual o conceito mais importante a corrente eltrica. Sedaonomedecorrenteeltricaatodomovimento ordenadodascargaseltricas.Acorrenteeltricaquesurge nosmdioscondutorescomoresultadodomovimento ordenado das cargas livres sob a ao de um campo eltrico, criadonestesmdios,sedenominacorrentedeconduo. Algunsexemplosdosquaissoascorrentesnosmetaise semicondutores,acorrentenoseletrlitos,queconsisteno deslocamento ordenado dos ons de sinal contrria.Acorrentedeconvecoomovimentoordenado,no espaodoscorposmacroscpicoscarregados.Umexemplo deste tipo de corrente a corrente devida ao movimento da Terra, que tem excesso de carga negativa, pela sua rbita.Duranteomovimentoordenadodascargaseltricasnum condutor, a distribuio em equilbrio das cargas se quebra e asuperfciedocondutordeixadeserumasuperfcie equipotencial.Nasuperfciedocondutorexisteuma componentetangencialdaintensidadedocampoeltrico ( ) 0 Eedentrodocondutordeveexistirumcampo eltrico.Acorrenteeltricapermaneceatquetodosos pontos do condutor se faam equipotenciais. 5.1.1Condiesnecessriasparaaexistnciadecorrente eltrica num condutor. So as seguintes: a)Deveexistir,nomdioconsideradodocondutor, portadores de cargas livres, i.e., partculas carregadas quepodemdeslocar-sepelocondutordemodo ordenado.Nosmetaisesemicondutores,estas 65 partculassooseltronsdeconduo;nos condutoreslquidos(eletrlitos),estaspartculasso onspositivosenegativos,enosgases,soosonse eltrons com cargas de sinais contrrias.b)Deveexistir,dentrodocondutor,umcampoeltrico externo,cujaenergiaseinvesteemtransladar ordenadamenteascargaseltricas.Eparaqueeste movimentopermanea, necessrioqueestecampo sejadevidoaumafontedeenergiaeltricaum dispositivoquetransformaumaformaqualquerde energia em energia do campo eltrico. Considera-sequeosentidodacorrenteeltricadevidoao movimentoordenadodascargaseltricaspositivas.No entanto, em realidade, nos condutores metlicos a corrente criadopelomovimentoordenadodoseltrons,quese deslocam em sentido contrrio da corrente. 5.2 Intensidade e Densidade de Corrente Chama-seintensidadedecorrente(ousimplesmente corrente) a magnitude fsica escalar igual a razo da carga dq transportada atravs da superfcie que se considera, durante umpequenointervalodetempo,dt.Nocaso dacorrentede conduo, atravs da seo transversal de condutor. Sendo assim, temos: .dqIdt= (5.1) NaFig.5.1mostradoumailustraodascargasem movimentoatravsdeumaseotransversalA,num intervalo de tempo dt.66 Fig.5.1 A direo da corrente definido pela direo dascargas positivas em movimento. A corrente eltrica se dize que continua se sua densidade e sentidonovariamcomotempo.Paraacorrentecontinua temos: ,qIt= (5.2) sendoqacargaeltricatransportadaatravsdasuperfcie queseconsidera,duranteoperododetempofinitocompreendido entre 0 e t. As unidades de medida no S.I. so definidos por [ ][ ],[ ]q CI At s= = = denominado Amper.Se a corrente eltrica continua, a quantidade de carga total 1AQque, na unidade de tempo, entra na superfcie transversal 1Adeumvolumedadodeumcondutoridnticaacarga total 2AQque,nomesmointervalodetempo,atravessaa 67 superfcie 2A do mesmo volume do condutor. Assim, deve-se cumprir: 1 2.A AQ Q =(5.3) Fig.5.2 Portadores de corrente entrando a uma superfcie 1A e saindo pela superfcie 2A de um condutor. Oditoantespermiteaintroduodovetordensidadede correnteJroqualestdirigidoemsentidocontrrioao movimentodoseltronsportadoresdecorrentenos metais e definido pela taxa da intensidade de corrente dI atravsdeumelementoinfinitesimaldasuperfcienormal direo do movimento das partculas carregadas, dA : .dIJdA=rr (5.4) ComosentidodeJsetomaadovetorvelocidadeu+rdo movimentoordenadodosportadorespositivos(contrriaao vetorvelocidadeurdomovimentodosportadores negativos). Conhecendoovetordensidadedecorrenteemcadaponto do espao se pode achar a intensidade de corrente Iatravs de qualquer superfcieAr: 68 . ,nA AI JdA J dA = = r r (5.5) onde cosnJ J =aprojeodovetorJsobreadireo normal n a superfcie, e a integrao se estende a toda a rea dasuperfcieA.Deistosegue-sequeaintensidadede correnteo fluxodovetor intensidadedecorrenteatravs de uma superfcie. Para a corrente continua, temos esta relao simples: . I JA =(5.6) Num circuito de corrente continua as densidades de corrente emduasseestransversais 1 2AeAsoinversamente proporcionais as reas destas sees: 1 22 1,J AJ A=(5.7) o que conseqncia de (5.3). 5.3 Equao de Continuidade ConsideremosumasuperfciefechadaA(Fig.5.3(a))em algum mdio pelo qual passa a corrente eltrica. Fig.5.3 a) Fontes de cargas em movimento dentro da rea fechada A, b) 69 cargas atravessando a rea A no caso de corrente continua. Aexpressodaaintensidadedecorrenteouacarga quesainaunidadedetempodovolumeV limitadopela superfcieA.Emvirtudedaconservaodacarga,esta magnitudedeveserigualavelocidadecomquediminuia carga q contido em dito volume: (5.8) Representando q na forma q d =VV, (5.9) Obtemos (5.10) Poroutrolado,usamosoteoremadovolume,conhecido tambm como teorema de Ostrogradski-Gauss: (5.11) ento teremos divJd d rV VV = - V.t(5.12) Independente do volume esta relao deve ser vlida. Sendo asim, devemos ter 70 . di v Jt = r (5.13) Estafrmulachama-seequaodecontinuidadeaqual expressaaleideconservaodacargaeltrica.Deacordoa esta frmula, nos pontos em que as cargas so mananciais ou fontes do vetor J se produze uma diminuio da carga.Nocasodeumacorrenteestacionaria,opotencialem diferentes pontos, a densidade de carga e outras magnitudes, soinvariveis.Portanto,paraacorrenteestacionaria(i.e. continua) a equao de continuidade toma a forma: 0 . d i v j =r(5.14) NestecasosedizequeovetorJnotemfontes.Istoquer dizer que as linhas de corrente no comeam nem terminam emnenhumaparte.Porconseguinte,aslinhasdecorrente continua so sempre fechadas. Respectivamente. Poristo,paraacorrentecontinuaafiguraanlogaa representadanaFig.5.3(a)temaformaquesemostrana Fig.5.3(b). 9.4 Resistncia e Lei de Ohm FoiestabelecidoporG.S.Ohmumaleimuitoimportante, segundo o qual a intensidade da corrente que passa por um condutormetlicohomogneo(nocasodenoexistirem forasexternas)proporcionalaquedadetensoVno condutor: 1. I VR= (5.15) 71 Lembramosquenocasodeumcondutorhomogneoa tenso V coincide com a diferencia de potencial 1 2 . NaequaoanteriorRchama-seresistnciaeltricado condutor, cuja unidade de medida dado por: [ ][ ][ ]( ).VVoltR OhmI Ampere= = = (5.16) Amagnitudedaresistnciadependedaformaedas dimensesdocondutor,assimcomodaspropriedadesdo materialdoqualestfeito.Paraumcondutorcilndrico homogneo temos ,lRA =(5.17) Onde l o comprimento do condutor; A, a rea de sua seo transversal,eumcoeficientequedependedas propriedadesdomaterial,chamadoresistividadeou resistnciaeltricaespecficadasubstncia.Asunidadesde [ ] [ ] [ ] [ ]/ . R A l m = = . ParaachararelaoentreadensidadedecorrenteJeo campoeltricoexternoEnummesmopontodocondutor, considere a Fig.9.4. Fig.5.4 72 Supondo que o condutor seja istropo (neste caso todas suas propriedadesfsicassoasmesmasemtodasasdirees)o movimentoordenadodosportadoresdecorrenteseefetua nosentidodovetorE.PoristoossentidosdosvetoresJeE coincidem.Noentornodeumpontodeterminadoisolemos mentalmenteumelementocomomostradonaFig.9.4. Atravsdaseotransversaldestecilindropassauma correntedeintensidadedI=JdA.Atensoaplicadaao cilindro igual a V = Edl , sendo E a intensidade do campo no pontodado.FinalmentearesistnciadocilindroserR= dl/ dA. Substituindo estes valores chegamos a relao: ,1.dAJdA EdldlJ E= =(5.18) Como J e E tem o mesmo sentido, pode-se escrever 1. J E E = =r r r(5.19) Esta frmula expressa a lei de Ohm em forma diferencial. Amagnitude,inversode,queaparecenaltimarelao se denomina condutividade eltrica especfica do material. A unidade de medida de ser: [ ][ ]1 1,.Sm m= = =(5.20) onde 1Siemens; 11 . S = Osvaloresdosresistoresemohmssonormalmente indicadospelocdigodecores,comomostradonaTabela 5.1 73 5.5 Alguns problemas de aplicao 1.EncontraracorrentenofiocircularmostradonaFigura adjunta,seadensidadedecorrente ( )1000 215 1 / .rJ e kA m= rO raio do fio 2mm. 74 Soluo. Um elemento de rea transversal do fio dado por dA=rdrd,ovetorreaelementar,normalasuperfcie .ndA dAk rdrd k = = Ento,acorrenteelementarque passa neste elemento de rea transversal : ( )( )10002 0.0021000 40 0 . 15 1 .15 1 1.33 10 .rrdI JdA e k rdrd kI d e rdr A (= = = = = r r 2.Encontrararesistnciaentreassuperfciescurvadas interna e externa do bloco mostrado na Figura adjunta, onde omaterialprataparaoqual=6.17x107S/m.Suponha que a densidade de corrente dado por ,rcJ nr=r onde c umaconstantee rn umvetorunitrioaolongodoraio vetor. Soluo. Temos 1 1 .rkE J nr = =r r SabemosqueadiferenciadepotencialdadoporV=IR.A diferencia de potencial: 75 . , V Edl =r r a intensidade de corrente, dada por . . , I J dA EdA = = r r r r Note, antes que , , dl dr dS rd dz k = =r por isto ( )( )3 . 0 3 . 00 . 2 0 . 20 . 0 5 0 . 0 8 7 30 05 . . . .l n 1 51 . 0 1 1 0 1 0 . 1 .0 . 0 5 0 . 0 8 7 3r r rr rScE d r n n dr nrRcj dS n r d dz nr= =| | |\ = = = rr r 5.6 Resistncia e Temperatura Osvaloresdemuitaspropriedadesfsicasvariamcoma temperatura, e a resistividade no uma exceo. A relao entre resistividade e temperatura para o cobre (e para metais emgeral)razoavelmentelinearparaumaamplagamade temperatura (veja a Fig.5.5 (a)). Na Fig.5.5 (b) mostrado um grficodestetipoparaumsemicondutorpuro,talcomo silicone ou germnio. 76 Fig.5.5 a) Grfico de vs T para o cobre, b) o mesmo para um semicondutor como silicone ou germnio. Para muitos propsitos de engenharia, pode-se escrever uma frmula emprica para o caso dos metais: ( ) ( )0 01 , T T = + (5.21) ondeT0umatemperaturaderefernciaselecionada (usualmente 20 oC),0=1.69.cmaresistividade aessa temperaturaeocoeficientedetemperaturada resistividade. Suas unidades de medida so: [ ][ ]11,[ ] [ ]CT C= = = (5.22) e seus valores so tabuados para vrios tipos de metais. Comoresistnciaproporcionalaresistividade(Eq.5.17), podemos escrever a variao da resistncia como ( ) ( )0 01 . R R T T = + (5.23) 5.7 Semicondutores e Supercondutores Semicondutorescomoosiliconeegermnio,somateriais quesointermediriosentrecondutoreseisolantes.Os mecanismossemicondutorestmproduzidoumarevoluo namicroeletrnica,transformandoassimnossasvidas. Finalmente,existemsupercondutores,chamadosassim porqueelesnoapresentamnenhumaresistnciaao movimentodacargaeltricaatravsdeles.Paraosmetais ordinriosexisteresistnciaaofluxodacorrente,aindaque pequena;emborasejambonscondutoresdecorrente.Nos supercondutores, a resistncia no to pequena; ela zero.77 Ofenmenodasupercondutividadefoidescobertaem1911 porKammerlinghOnnes,quemobservoqueomercrio slidoperdesuaresistnciacompletamenteatemperaturas debaixo dos 4.2 K como ilustrado na Fig.5.6. Fig.5.6 a) Queda da resistncia com a Temperatura para Hg, b) Uma aplicao prtica da supercondutividade o fenmeno da levitao magntica de um magneto pequeno sob um disco do supercondutor YBa2Cu3O7 , o qual est 77 K. 5.8 Energia eltrica e Potncia NaFig.5.7semostraumcircuitoconsistentedeumabateria queestconectadaporfiosderesistnciadesprezvelpara ummecanismocondutornoespecificado.Omecanismo poderiaserumresistor(cujosmbolo),uma bateriadearmazenamento(umabateriarecarregvel),um motor ou algum outro mecanismo eltrico. A bateria mantm umadiferencia de potencialVentreseusterminaistal que o potencial em a maior do que em b.78 Fig.9.7 Mantendo a diferencia de potencial na bateria, uma corrente fixaIfluipelocircuitodesdeoterminalaatob.A quantidade de carga dq que se move entre esses terminais no intervalodetempodtigualaIdt.Estacargaelementarse moveatasregiesdediminuiodepotencialde magnitudeV,eporisso aenergiapotencialeltricatambm diminui em magnitude na quantidade: . dU dqV IdtV = =(5.24) Oprincipiodeconservaodeenergianosensinaquea diminuiodaenergiapotencialeltricaacompanhadapor umatransfernciadeenergiadealgumaoutraforma.A potenciaP associadacomessatransfernciadadopela taxa dUdt, o qual da: . IV = P(5.25) Esta frmula vlida independente de qual seja o mecanismo noespecificadonocircuito.Apotencia,assimdefinido,a taxadetransfernciadeenergiadabateriaaomecanismo noespecificado.Seo mecanismo umresistor,aenergia transferidaaenergiatrmicainterna,revelando-seassim 79 mesmocomoumaquecimentodoresistor.Asunidadesda potencia so: [ ] [ ][ ] ( )1 1. .C J JI V AV Wa t t Ws C s| | | |= = = = = ||\ \ P (5.26) Seomecanismonoespecificadoumresistor,podemos ter: 22.VV I I RR= = = P (5.27) Captulo VI CIRCUTOS DE CORRENTE DIRETA 6.1 Trabalho, Energia e Fora Eletromotriz AFig.6.1(a)mostraummecanismodeforaeletromotriz (f.e.m)oqualpodeserconsiderado,porexemplo,uma bateriaquepartedeumcircuitosimples.Asimbologia usadacomumenteparaumaf.e.mindicadopelaseta vermelhanaFig.6.1(a)aqualapontadoterminalnegativo at o positivo. 80 Fig.6.1 Paraistoserpossvel,deveexistiralgumafontedeenergia dentro do mecanismo, permitindo trabalhar sobre as cargas e assimforando-osasemovercomorealmenteofazem.A fontedeenergiapodeserqumicacomodabateria,ode qualquer outro tipo. Agoraestudemosocircuito.Sejaquenointervalodetempo dtpassaumacargadqpelaseotransversaldocircuito, comoporexemploaanaFig.6.1.Sobreesteelementode cargaseefetuaumtrabalhodWparaforar-loasemover. Definimos a f.e.m como: .dWdq= E (6.1) NoS.Iasunidadesdaf.e.m [ ][ ][ ].dWJVoltdq C= = = EUm mecanismof.e.midealcarecederesistnciainterna,no 81 entanto,ummecanismof.e.mrealtemumaresistncia interna ao movimento das cargas internas. Na Fig.6.1 (b se mostra o anlogo gravitacional ao circuito da Fig.6.1 (a). Em (b) a pessoa coloca as bolas desde a regio de menorenergiapotencial(nocho)atapartesuperiorde aquele bloco desde onde as bolas comearam a se mover at voltarparteinferior,serepetindoassimociclode movimento dos portadores. 6.2 Clculo da Corrente Usaremosdoismtodosequivalentesparaoclculodas correntes, ilustrando-o no circuito da Fig.6.2. Fig.6.2 6.2.1 Mtodo Energtico Temos visto que a potencia 2I R = Pindica que no intervalo de tempo dt depositada a quantidade de energia 2I Rdtno resistoremformadeenergiatrmica.Assumindoqueos condutores no tm resistncia aprecivel, a carga dq = Idt se havermovidoatravsdabateriaquem,asuavsefetua trabalho sobre ela, dado por: . dW dq Idt = = E E(6.2) 82 Do principio de conservao de energia, o trabalho feito pela bateriadeveigualar-seaenergiatrmicaqueapareceno resistor: .2dq I Rdt = E Isto nos da , IR = E(6.3) cujosignificadofsico:af.e.maenergiaporunidadede cargatransferidaascargasemmovimentopelabateria.A quantidadeIR a energia por unidade de carga transferida desde as cargas em movimento energia trmica do resistor. 6.2.2 Mtodo do Potencial Este mtodo se fundamenta nas seguintes regras: RegradoLao.Conhecidocomoregradolaode Kirchhoff.Ilustraremos estaregrausandoumcircuito mais complexo, como o mostrado na Fig.6.3. Fig.6.3 1.Primeiroescolhaoseucontornofechado, comoporexemploocontorno1-2-3-4-1na Fig.6.3. 83 2.Segundo,estabelecemosumsentidode percorridodospotenciais(porexemplo,em sentidohorriocomoseindicanaFig.10.3)e aplicamos a lei de Ohm a cada uma das partes no ramificadas do contorno: 1 1 1 2 12 2 2 3 23 3 3 4 34 4 4 1 4,,,.I RI RI RI R = += += += +EEEE (6.4) Aosomarestasexpressesospotenciaisse simplificam e se obtem a equao: , k k kI R = E(6.5) QueexpressaaregradoslaosdeKirchhoff.Ao formarasequaesdaregradoslaos, necessrioatribuirsinaisdeacordocomo sentidodopercorridoescolhido.Porexemplo,a corrente 3I naFig.6.3deve-seconsiderar negativa,emvirtudequevaiaoencontrodo sentidodopercorridoescolhido.Af.e.m. 1Etambmdevesernegativa,emvirtudequeatua emsentidocontrrioaodopercorrido,no entanto, 3E positivoporcoincidircomo sentido do percorrido, etc. Regra dos Nos Estabelecequeasomaalgbricadascorrentesque chegam a um no (Fig.6.4) zero: 84 10nkkI==. (6.6) Estaregraconseqnciadaequaode continuidade,querdizer,daconservaodacarga eltrica. Fig.6.4 Aconvenoqueascorrentesquechegamaon so positivas e as que saem so negativas. 6.3 Algumas Aplicaes Resistores em Serie NaFig.6.5temosvriosresistorescolocadosemseriea umabateriaidealaqualaplicaumadiferenciade potencial E . Fig.6.5 85 Anlise do circuito: Primeironotequeascorrentesquecruzamcadaresistor soiguais.Estamospensandoqueoconjuntodostrs resistoresequivaleaumnicoresistorequivalente(veja Fig.6.5 (b)) pelo qual passa a mesma corrente I. Aplicando a regra dos laos comeando no ponto a: 1 2 31 2 3 .0 ,s o m a n d oa bb aeqI R I R I RIR R R R = ++ + == =+ +- E-E E

(6.7) Deaquipodemosdeduzirumresultadodeparticular importncia. A resistncia equivalente de um sistema de resistorescolocadosemserieasomadecada resistncia: ( )1n resistores em serie.neq kkR R== (6.8) Resistores em paralelo Veja o circuito mostrado na Fig.6.6 (a). Uma bateria ideal forneceumaf.e.m.E atrsresistorescolocadosem paralelo. 86 Fig.6.6 Nestecaso,adiferenciadepotencialaplicadoacada resistor igual a E . Tambm se pode pensar numa nica resistnciaequivalenteastrssemmudaratensoEnem a corrente fornecida por ela I. As correntes em cada resistor so: 1 2 31 2 3, , . I I IR R R= = =E E E (6.9) Usando a lei dos ns: 1 2 31 2 3, I I I IR R R= + + = + +E E E(6.10) Trocandoacombinaoderesistoresemparalelopor uma equivalente, devemos: 1 2 3,e qIR R R R (= = + + ( E 1 1 1E (6.11) deondetiramosovalordaresistnciaequivalente conectadas em paralelo: 11 1, (n resistores em paralelo)nkeq KR R== .(6.12) 87 6.4 Circuitos RC ConsidereocircuitoRCmostradonaFig.6.7(a).Nesta Figura,umcapacitordecapacitnciaCcolocadoem paralelo com um resistor R o qual a sua vez colocada em paralelocomumabateriacujaf.e.m.E .Nestas circunstancias,ocapacitorcarregadoatumatenso equivalenteadabateriaE .Emt=0,ointerruptorse abre (Fig.6.7(b)). Fig.6.7 Nesteinstantecomeaasedescarregarocapacitoratravs doresistor.Notequeabateria,desdeestemomento desconectadaeosnicoselementosdocircuitoqueesto ativos mostrado na Fig.6.7(c),deste instante. Descarga do Capacitor DaFig.6.7(a),podemosverqueatensonocapacitor 0,qC= E e a tenso no resistor 0. I R = ENo instante dado t 88 =0,ointerruptoraberto(vejaFig.6.7(b)).Note-seque agoraocapacitorsecomportacomoumafontedetenso varivel no tempo.A tenso no capacitor ser, num instante de tempo t > 0, CqVC=. Uma ves que viajamos pela regio de tensoaltaatchegarmosaoresistor,atensocomeaa cair;demodoque,atensoalisernegativaiguala V IR = . Assim, a soma destas tenses deve ser zero: 0, 0,CqV V IRC = =ou 0.qIRC + =O capacitor no como uma bateria, porque no pode repor continuamenteenergiaaocircuito,demodoquesomente teraperderaenergia armazenadanela.Porestemotivo, a corrente pode se escrever como: ( ), descarga do capacitordqIdt= (6.13) Ondeasinalnegativacaracterizaofatoqueacarga,no capacitor, esta diminuindo no tempo. Por tanto, temos: 0.dq qdt RC+ = (6.14) Estaaequaodedescargadeumcapacitor.Asoluoa esta equao diferencial dada por: ( )0.tRCq t qe=(6.15) 89 Aqui, 0 0q I RC C = = E acarganocapacitornoinstante 0, t = e 0IR= Eacorrentenesseinstante.Acorrenteque flui pelo circuito, como funo do tempo dada por: ( )00.t tRC RCq dqI t e Iedt RC = = =(6.16) A quantidade , RC = (6.17) Duranteoqualaintensidadedecorrentediminuievezes chama-seconstantedetempodocircuito.Quantomaior estaconstante,maislentamentediminuiracorrenteno circuito.Na Fig.6.8 mostrado o resultado experimental para C = 1F, um resistor R = 104 quando o interruptor de mercrio. Fig.6.8 CAPTULO VII CAMPOS MAGNTICOS 90 7.1 Introduo breve Osefeitosmagnticosforamconhecidospormilharesde anos.Historicamenteo magnetismofoivistocomoseparado de,masrelacionadoa,eletricidade.Narealidade,ns sabemosagoradateoriaderelatividadeespecialqueo magnetismoeaeletricidadesodoisaspectosdiferentesde uma nica entidade em natureza, o campo eletromagntico.

7.2 Campo Magntico no vcuo umfatoexperimentalqueascorrentesinteragempor mdiodeumcampochamadomagntico.Em1820H.Ch. Oersted,descobriuquequandoumaagulhamagnticaera colocadapertodeumacorrenteeltrica,estaproduziauma aoorientadoranaagulha.Dealisurgiuonomedecampo magntico. No experimento de Oersted, um cabo de corrente eracolocadoacimadeumaagulhamagntica,semtocarno cabo,demodoqueaagulhapodiagirar.Quandose conectavaacorrente,aagulhasesituavaemdireo perpendicularaocabo.Aomudarosentidodecorrente,a agulha se voltava ao lado oposto.Da experincia de Oersted se deduze que o campo magntico temcarterdirigidoesepodecaracterizarporuma magnitudevetorial.Seusa,paraestecasoaletraB.Seria lgico que, por analogia com a intensidade do campo eltrico E, se chamara a B intensidade do campo magntico. Mas, por motivos histricos, se deu o nome de induo magntica. No entantoaintensidadedocampomagnticaseatribuiua umamagnitudeauxiliarH,anlogaacaractersticaDdo campo eltrico. Ocampomagntico,adiferenciadocampoeltrico,no exerceinflunciasobreumacargaemrepouso.Aforase manifesta unicamente quando a carga se move. 91 Aexperinciademonstraque,paraumcampomagntico,o mesmoqueparaocampoeltrico,vlidooprincipiode superposio:ocampoB,criadoporvariascargasem movimento(correntes)igualasomavetorialdoscampos Bi que geram as cargas (correntes) por separado: 1.niiB B== r r (7.1) 7.3 Campo magntico de uma carga em movimento Estescamposmagnticosexistememtudooespaoeso criados por partculas magnticas (como eltrons e prtons e tomosdeferro)eporcargaeltricaemmovimento.O campomagnticoserforteondeaslinhasdocampo magntico esto bem juntos. Nocasodeumm,comomostradonaFig.7.1aslinhasdo campomagnticosaemdoplonorteparachegaraoplo sureosvetoresdocampomagnticosotangentesaestas linhas em cada ponto. Fig.7.1 Nsnoencontraremosnenhuma"carga"magntica (chamadosmonopolosmagnticos)anlogosaoseltronse prtons,emboraaexistnciadelesteoricamentepossvel. Pessoalmente,euacreditoquetaispartculasexistem,mas no neste bairro de nossa galxia. 92 Suponha,agora,queumapartculacarregadadacargaqse movecom umavelocidadeconstantevcujo mdulomuito pequenoemcomparaocomavelocidadedaluz (Fig.7.2(a)).Aexperinciamostraqueocampocriadopor esta carga num ponto cujo raio vetor r dado por: ( )03v r.4qBr=r rr(7.2) Fig.7.2 Da frmula anterior se deduze que: AdireodovetorBemcadapontoPpodeser deduzidapelaregradamodireita,comoilustrada na Fig. 7.2(b) e (c). OcampovetorialBsedizequeumpseudo-vetor porquesuanaturezaadoprodutovetorialdedois vetores. A unidade de induo magntica no S.I chama-se tesla (T): 1 11 .. / .N NTC m s Am= = Existe outro sistema de unidades chamado sistema Gaussiano de unidades na qualainduodocampomagnticomedidoem 93 Gauss(G).ArelaoentreumaTeslaeumGauss: 41 10 . T G =Aconstantedeproporcionalidade 601,26.10 / , Hm = chama-seconstantemagntica.Existetambmuma relaomuitointeressanteentreaconstante magntica 0 eaconstanteeltrica 0 quesurge naturalmente no estudo das equaes de Maxwell: 0 021.c = (7.3) 7.4 Lei de Biot-Savart Temosditoquecamposmagnticoscriadosporcabos comcorrenteeramconhecidosdesdeostemposde Oerstedem1820,vamosvernestaseocomocalcular ditos campos. Suponhaqueporumcabodecorrentecirculauma correnteuniformeIcomomostradonaFig.7.3.Podeser mostrado que o elemento de comprimento vetorial dl do condutorproduze,nopontocomraiovetorruma induo do campo magntico dada por: ( )03.4dl rdB Ir=rrr (7.4) Esta importante relao pode ser deduzida usando (7.2) e foi estabelecida primeiramente experimentalmente antes de ser deduzida teoricamente. Foram J. B. Biot e F. Savart que,em1820estudaramcamposmagnticosque circulamporcondutoresfinosdeformasdiversas.P.S. Laplace analisou os dados experimentais obtidos por Biot eSavarteachouqueocampomagnticodequalquer correntepodesercalculadocomoasomavetorialou 94 superposio dos campos que criam as diferentes pores elementaresdecorrente.Paraainduomagnticado campoquecriaumelementodecorrentede comprimentodl,Laplaceobteveafrmula(7.4).Poristo esta relao Fig.7.3 levaonomedeleideBiot-Savart-Laplaceou simplesmente de Biot-Savart. Umexemplo.Induodocampomagnticodevidoaum condutorretocomcorrenteconstanteI(Fig.7.4(a)).O mdulo de dB ter a forma: 02,4I d l s e nd Br = ondeonguloformadopelosvetoresdler.Vamos supor que ofiocondutorinfinito.Note,dodesenho na Fig.7.4(b): ( ) , dlsen rd = ento, teremos ( )( )( )0 024 4rdI sensen Isen ddBr R | | |\ = =, 95 Fig.7.4 a) um condutor reto infinito gerando um campo magntico, b) geometria do desenho, c) regra da mo direita para determinar a direo do campo. A cruz indica que o campo sai da folha e o ponto que o campo entra. cuja integrao da ( )0 002.4 4Isen d IBR R = = (7.5) AdireodovetorinduomostradonasFig.7.4(a)epela regra da mo direita na Fig.7.4(c) 7.5 Fora de Lorentz Agora vamos a estudar a classe de efeitos fsicos envolvendo camposmagnticosestacionriossobrecargaseltricasem movimento. Quandoumacargaeltricasemovenapresenadeum campoeltricoexternoEexisteumaforaaplicadaaela, independente deseela estaemrepousoouem movimento. Esta fora dada pela fora de Coulomb: F qE =r r,(7.6) 96 estaforatemomesmosentidoqueocampoeltrico externo para uma carga positiva e o campo eltrico pode ser devidoaoutrascargaseltricas.Noentanto,seamesma carga esta em repouso na presena de um campo magntico externocujainduoB,nosentirapresenadeste campo magntico apesar que este campo seja muito intenso. A carga somente experimentar o efeito do campo assim que comeceasemoverno espao.Emtalcaso,a foraexercida sobreditapartculaF,dependerdacargaq,davelocidade deseumovimentoveainduomagnticaexternaBno pontoemqueseencontraacarga.Paraacharaexpresso destafora;asuposiomaissimplesconsisteemqueo mdulodaforaFproporcionalacadaumadastrs magnitudes q, e B. Pode-se esperar tambm que F dependa daorientaomutuadosvetoresveB,queoquenos vamossupor.Sendoassim,aexperinciademonstraquea foraexercidasobreumacargaemmovimentocom velocidadev,porumcampomagnticocujainduoB dada por: ( )v .mF q B = r rr(7.7) EstaexpressodaforajestadaptadaaoSistema Internacional (SI). Note que a direo da fora determinada peloprodutovetorialdavelocidadeedainduodocampo magntico,portanto,aregradamodiretanosindicar como achar-la de um modo prtico (veja a Fig.7.5) 97 Fig.7.5 Regra da mo direta para achar a direo da induo B, a) para uma carga positiva, b) uma carga negativa. Seacargaemmovimentoestsoboefeitodecampos externos,tantodeumcampoeltricoEeumcampo magnticocominduoB,entoaforatotalqueacarga experimentar dada pela fora de Lorentz: ( )v . F qE q B = + r r rr (7.8) Advertimos uma vs mais que a velocidade das cargas devem sernorelativistas,querdizer;,muitopequenosem comparao com a velocidade da luz c. Problema.Acargapontual18 q nC = temavelocidadede 65.10 / ms nadireo v 0.04 0.05 0.2 n i j k = +.Calculara magnitudedaforaexercidasobreacargapelocampo:a) ( 3 4 6 ) ; b) ( 3 4 6 ) / B i j k mT E i j k kV m = + + = + +r r; c) e B Er r atuando juntos. Rps.a)124.6 ; b)140.6 ; c)187.8 . N N N Problema.Encontrararelaoentreasforaseltricae magntica exercidas por duas cargas pontuais 1 2, qe q que se 98 movemporduasretasparalelas,nomesmosentidocoma mesma velocidade . Soluo.Asduaspartculassemovemporretasparalelas, como mostrado na Fig.7.6. Vamos supor que luz, neste casoocampoeltriconosediferenciapraticamentedo campodascargasemrepouso.Entoamagnitudedafora eltrica eF queatuasobreascargassepodesuporque dada por: 1 21 2201.4e e eq qF F Fr = = =Cada carga em movimento produz, na posio da outra carga, uma induo magntica dada por (7.2): 0 1120 222,4,4qBrqBr == demodoqueasforasquecadacargasentiramserdada por: 20 1 21 2 24m m mqqF F Fr = = =, 99 deve-se notarquev. rr rAgorapodemosachararaoda fora magntica eltrica: 220 0 2,meFF c = =(7.9) ondetemosusado(7.3).Emboratenhamossupostoqueluz ,pode-sedemonstrarquearelaoanteriorvlida para qualquer velocidade v. Note que as foras e mF e Fr r tem sentidos opostos. Tambm necessrio dizer que a Fig.7.6 foi desenhada para cargas de sinalpositiva.Seascargasfossemnegativasossentidosdas forasseguemsendoasmesmas,masadosvetores 1 2B eBr r se invertem.Tambm observa-se que a fora magntica mais fraca que a de Coulomb no fator 22c. 7.6 Fora magntica entre correntes eltricas Intuitivamentepodemoscompreenderquedeveexistiruma foradeinteraomagnticaentrecondutorescom correntes.Istoassimporque,comojtemosmencionado antes,osresponsveisdacorrentenoscondutoressoos portadoresdecorrentescomooseltronsdeconduonos metais; e, estando em movimento gerariam uma induo que dependedasuavelocidadeedadistnciadeavaliaodo campo. 100 Fig.7.7 ConsidereaFig.7.7(a)ondeumcabocomcorrentediretaI estsobosefeitosdeumcampomagnticocominduo magnticaB.escolhemosumtrechoinfinitesimaldo condutordecomprimentovetorialdlrevemosque,este pedacinhodeveexperimentarumaforacomodadapor (7.7): ( )v , dF dq B = r rr(7.10) Onde dq a carga que passa pelo pedacinhodlrdo condutor comavelocidadevrdoseumovimentoordenado.Deve-se anteciparqueacomponentecaticadomovimentodos portadoresnocontribuirnoclculodaforaporque,em mdiaestavelocidadezero.Como , vdldq Idtdt= =rr, segue-se que: ( ),d ld F I d t B I d l Bd t| |= = |\ rr r r r ( ). dF I dl B = r r r(7.11) 101 Estafrmuladeterminaaforaqueexperimentaum elementodecomprimentodocondutorqueestsobos efeitosdeumcampomagnticoexterno.Estafrmulafoi estabelecida por A. M. Ampere e se chama lei de Ampere. Aplicao.Clculodaforadeinteraodedoiscondutores comcorrentesdiretasI1 eI2paralelaseinfinitasnovcuo (veja Fig.7.7 (b)). Se a distncia de separao entre os cabos b cada elemento decorrenteI2seencontrarnumcampomagnticocuja induo ser por (7.5): 0 11.2IBb= OnguloentreoselementosdacorrenteI2eovetorB1 reto.Portanto,porunidadedecomprimentodacorrenteI2 atua a fora: 0 21 1 22 12.4dF I II Bdl b= = Paraafora1 2d Fd lqueatuasobreaunidadede comprimentodacorrenteI1seobtmumaexpresso anloga.Umaconclusoimportanteque,seascorrentes tm o mesmo sentido, se atraem entre sim; e se tem sentidos opostos,serepelem.Veremosistoltimoemformade problema. Aplicao. Considere a Figura adjunta na qual temos um lao quadradodeumfionoplanoz=0levandoumacorrentede 2mAnocampodeumfioinfinitosoboeixoy=0.Calculea fora total sobre o lao. Soluo. 102 Ainduodocampocriadopelofioinfinitoteradireo definidopeloprodutovetorial . j i i j k = = Assim, este vetor ser dado por: 603.10 ,2I TB k kx x= =r ondexadistnciadesdeofioinfinitoatumpontocuja ordenada x no plano z = 0. Usando (7.11): Fig.7.8 236212 1 00 3 29( ) .3.10 ( ( ) ( ))3 12 ( ln 3 ln 3 2 ) 8 .10 .3AB BCCD DAI dl B dl Bi kdxdl B dl B Ixj kdy i kdx j kdyxj i j i i N= + + + = + + + = + + = r r r rr r r r 103 Variao.Calcule,noproblemaanterior,aforaexercida pelo campo magntico do lao sobre o fio infinito condutor. 7.7 Circuito com corrente num campo Magntico Almdaforaexercidaporumcampomagnticoexterno sobreumcircuitocomcorrente,existemoutrosaspectos fsicosdeinteresseparanos;comootorque,omomento magnticodipolar,trabalhofeitosobreocircuito,etc. Veremos aqui vrios destes efeitos fsicos. Se a induo do campo externo B constante, espera-se que aforatotalexercidasobreolaocondutorsejazero.Isto facilmentedemonstradodaseguintemaneira:escolhaum elementodecomprimentodleavaliamosaforaexercida sobre ela; ( )lao, 0. dF I dl B F I dl B| |= = = | |\ r r r r r r

(7.12) Aforaresultantequeatuasobreumlaocondutorcom corrente direta num campo magntico de induo constante zero,independentedageometriadolao,deseouno umlaoplanosituadosdemodoarbitrrioscomrelaoao campomagntico.Apesardisto,existealgunsefeitosfsicos importantes que nos podemos encontrar. 104 Fig.7.9 Circuito com corrente num campo magntico. Clculo do Torque Paradeterminaromomentoderotaooutorque, precisoescolherumpontodereferenciaO,sobreoqual calculamos o produto: ( ), r d F = rr r (7.13) onderoraiovetortracejadodesdeopontoOato pontodeaplicaodovetordF.Antecipamosqueo torquenodependedaeleiodopontodeaplicao. Paraistosuficientedeslocaroraiovetorrnuma quantidadeconstantebparaobteroutropossvelponto deaplicaoOondeoraiovetorr=r+b,ento,com relao a este ponto de aplicao temos: 105 (7.14) Portanto,otorqueindependentedopontode aplicao. NaFig.7.9consideramosumlaocondutorcomcorrente direta I na presena de um campo magntico homogneo deinduoB.NaFigura ovetorunitriodasuperfciedo lao n consideradopositivo,i.e.,eleestarelacionado comosentidodacorrenteesatisfazearegradamo direita: na figura adjunta ele entra ao plano do lao. NaFig.7.9(a)temosconsideradoumafaixaelementarda superfciedolao,paralelaaocampomagnticoB,de espessura dy e limitada pelos elementos de comprimento docondutordl1edl2sobrecadaumdosquaisest aplicada uma fora elementar dF1edF2 cujas direes indicadanodesenho.Estafaixaestampliadana Fig.7.9(b). Os mdulos destas foras elementares so: ( )( )1 1 12 2 2,.d F I d l B s e n I B d yd F I d l B s e n I B d y= == = (7.15) Esteresultadomostraqueasforasaplicadasaos elementosopostosdolaodl1edl2formamumparde foras, cujo torque : , d I Bx dy I BdA = = (7.16) sendo dA xdy = a rea da faixa. Temos achado o mdulo dotorqueelementar,asuadireoserdeterminada pelo produto vetorial: 106 ( ) . d I n B d A = rr(7.17) A integrao sobre toda a rea do lao nos dar o torque total sobre ele: ( ) ( ) r e a d o la o . I n B d A I n B A = = r rr

(7.18) Note que A a rea abarcada por todo o lao. Momento Magntico dipolar Outrapropriedadefsicainteressantesurgequandore-escrevemos a expresso anterior: ( ) . I A n B = rr (7.19) Esta expresso anloga ao torque de um dipolo eltrico numcampoeltricoexternoconstanteE,dadopor ( )p E = rr r,ondeomomentodipolareltrico , p ql =rre lrovetor orientadodesdeacargaqat+q.Poresta analogia,sedefineomomentomagnticodipolardo lao, a magnitude: .mp I A n I A = =rr(7.20) Osentidodovetor mprcoincidecomosentidopositivo da normal ao lao. Entreotorquetotaleomomentomagnticodipolar existe uma relao simples: ( ) ( ), .m mp B p B = r rr r r(7.21) Trabalho e energia potencial Suponha que mp e Brr formam um ngulo qualquer , como mostrado na Fig.11.10. 107 Fig.7.10 Lao condutor com corrente direta I sob O efeito de um campo formando um ngulo arbitrrio com . n Ento, por exemplo, o torque sobre o circuito ser dado por: ( ),mp B = rr r(7.22) querdizer,apenasacomponentetransversal(paralelaao planodolao)determinaotorque.Emgeral,podemosdizer que o torque definido pelo produto vetorial: ( ),mp B = rr r (7.23) cujo modulo: ( ) .mp B s e n = (7.24) Paraaumentaronguloentreosvetores mp eBrrna quantidaded,precisorealizar,contraasforasque atuam sobre o circuito no campo magntico, o trabalho: ( ),md W d p B s en d = = (7.25) estetrabalhoinvestidoemaumentaraenergiapotencial mecnicaU queposseolaocomcorrentenocampo magntico, ( ),r o t md U p B s e n d = (7.26) depois de integrar: c o s .r o t mU p B c o n s t = + (7.27) 108 Supondo0 const= , temos para a energia potencial: ( )( )cos . .rot m mU p B p B = =rr(7.28) O lao condutor ter uma posio instvel para o mximo de energiapotencial,i.e.para mp e Brrantiparalelosesua posioserestvelquandosejamparalelosentresim.A energiapotencialachadaaenergiapotencialderotao, no a energia potencial total. Aplicao.UsandoaFig.7.11,calculeotorquedevido presenadocampomagnticoexterno 00, 6 0,8 B j kT = +rsobre o lao condutor. Fig.7.11 Soluo. Temos: ( ) ( )3 23 4 . 1 0 . 2 . 0 , 6 0 , 84 , 8 . 1 0 . .IA n B A m k j k Ti N m= = + =rr 7.8 Divergncia e rotacional de um campo magntico QuandoestudvamosoteoremadeGaussparacampos eletrostticos, achamos uma expresso para a divergncia do campo eltrico: 109 0d i v . E=r ConhecidocomoformadiferencialdaLeideGauss.A interpretao fsicaera que, asfontesdocampoeltricoso ascargaseletrostticascujadensidadevolumtricadada por.Cabeseperguntarseumaexpressoanlogaexiste paraainduodocampomagntico.Arespostadepende crucialmentedaexistnciadascargasmagnticasou monopolosmagnticos.Infelizmente,osexperimentostm dadoresultadosnegativos.Setivermosdeaceitaros resultados experimentais temos de concluir que: d i v 0 . B =r (7.29) Istotemvariasimplicaes.Porumaparte,aslinhasdo campomagnticonotmprincipionemfim.Poroutra parte, o fluxo do campo magntico atravs de uma superfcie fechada deve ser zero: (7.30) oqualtambmimplicaqueovetorBtangente,emcada ponto,asuperfcieGaussiana.Estafrmulaexpressao teorema de Gauss para o vetor B. Agora nosso objetivo calcular a seguinte integral: (7.31) chamada circulao do campo magntico B. 110 Fig.7.12 a) Contorno fechado encerrando um condutor com corrente, b) condutor com corrente fora de um contorno. Vamossuporqueacorrenteporumcondutorencerrada pelocontornofechadodeformaarbitrria(vejaFig.7.12(a)). Oplanodocontornoperpendicularaocondutorcom correnteeacorrenteestdirigidaentrandoaoplano.Em todos os pontos da circunferncia de raio b existe um campo magntico aplicado de induo constante B tangencial, como mostrado. Note da Fig.7.12(a): ( )( ) . c o sBB d l Bd l Bd l Bb d = = =r r,(7.32) onde o ngulo formado por o segmentodlr do contorno eocampomagnticoB,cos ,Bdl dl bd = = a projeo do segmentodlrsob o vetor B. Por isto: 0 0. . ,2 2BI IB dl Bdl bd db = = =r r (7.33) Seocondutorseencontraforadocontornofechadocomo mostradonaFig.7.11(b)?Nestecaso,notequeotrechodo 111 condutor1-2percorridopelalinharadialprimeironum sentidoeotrecho21percorridonosentidocontrrio. Por tanto, neste caso. Em vista deste resultado, temos que: (7.34) Osinaldestaequaodependedosentidoemqueseja percorridoocontornooqualdeterminatambmosentido emquesermedidoongulo.Seosentidodopercorrido forma com a da corrente um sistema dextrogiro, a circulao ser positiva; no caso contrrio, negativa. Em outras palavras: acorrenteserpositivasesuadireoestrelacionadacom o sentido de percorrido do contorno dada pela regra da mo direita, a corrente de sentido contrrio ser negativa.O resultado anterior vlido quando o contorno encerra um condutorcomcorrentedireta.Seocontornoencerravrios condutorescomcorrente,emvirtudedoprincipiode superposio, teremos: (7.35) Cada uma destas integrais igual a 0 iI . Ento: (7.36) No se deve esquecer que iI uma magnitude algbrica que tem um sinal definida.Pode ser o caso tambm que as correntes passam por todo o espao em que se encontra o contorno. Neste caso, em lugar de soma, necessrio transforma a integral: 112 rea. ,iiI J dA =r r(7.37) onde dIJdA=rr a densidade de corrente. Por isto teremos (7.38) Podemos, ainda usar o teorema de Stokes para transformar a circulaodeBnumaintegraldesuperfcie: ondeasuperfciedeintegraoa rea limitada pelo contorno fechado. Assim: 0 r e a r e a. . d , r o t Bd A J A = r r r r ou 0. r o t B J =r r (7.40) 7.9 Algumas Aplicaes a) Induo magntica devido a um lao com corrente 113 Fig.7.13 a) Linhas do campo magntico, b) avaliando B na origem e em qualquer ponto P(0,0.z) ao longo do eixo z, c) direo dos vetores dB devidos a todas as pores do condutor. O diagrama mostrado na Fig.7.13 (a). Precisamos calcular a induodocamponocentrodolaoderaioRoqualleva umacorrentediretaI.Comosedeveesperar,aslinhasdo campomagnticogiramemtornodolaocondutor,como mostrado no desenho (a), para o sentido dado da corrente o vetorinduo tangenteemcadapontoseguindoosentido de giro mostrado. NotequeoeixoS-N na Fig.7.13(a)(eixoznaFig.7.13(b)) um eixo de simetria de o lao circular, na qual esperamos que ainduodocamposobreviva,emtantoqueasoutras componentes do campo se anulam.Primeirovamosavaliarocamponaorigemdecoordenadas. OsentidodovetorBnaorigemdecoordenadaspodeser encontrado,porexemplo,considerandoumelementode comprimentovetorial dl dyj =rcom r Ri = r;eosentido serdeterminadopeloproduto: ( ) j i i j k = =. Qualquer que seja o elemento de comprimento do lao a ser escolhido(istojnoverdadequandoseavaliaocampo numpontoqualqueraolongodoeixoz)nopodemudaro sentidodovetorinduo.Se,porexemplo,tomamos dl dxi = re r Rj = r,osentidoserdeterminadopelo produto ( ) . i j i j k = =Portanto,naorigemo campotemaforma.Considerandoque r R =r,oseu modulo ser: 114 ( )0 003,4 4dlrddB I Ir R = =00.2IBR= (7.41) No ponto P, a induo tem o mdulo: ( )0 0 02 2 2 2,4 4 4I I I dl Rd RddBr r z R = = =+ cuja direo mostrada no desenho. Por simetria somente a componente z deste campo ser diferente de zero. O mdulo desta componente : ( )( )02 22 2203 / 22 24,4zzI Rd RdB dBsenz Rz RI R ddBz R = =++=+ ( )203 / 22 2.2zI RBz R=+(7.42) De acordo com (11.20), o momento magntico do lao: 2 .mp IAk I Rk = =r (7.43) Por tanto, a induo total pode ser escrito: ( )03 / 22 2.2mpBz R=+rr (7.44) b. Campo magntico num solenide e toride Campo de um solenide 115 Umsolenidelongoumrolodefioscondutoresde comprimentoL,oqualconsideravelmentemaiorqueo dimetroddeumadesuasespiras.Aformadocampo produzida quando uma corrente I flui pelo rolo ilustrado na Fig. 7.14(a).LimadurasdeferronosdoaformadocampodaFig. 7.14(c)ealeideAmprenosproporcionaroainduo docampo.Acaractersticaimportanteetildeum solenidequenosproporcionaumcampomagntico quase uniforme dentro do rolo e quase zero fora dele. Como mostrado na Fig. 7.14(b), acima prximo aos fios e dentro das espiras, o campo gira num circulo ao redor do fio da mesma maneira que faz para um fio reto. Fig.7.14 a) Solenide com N espiras e comprimento L, b) regra da mo direita para determinar o sentido do campo,c) limaduras de ferro para determinar experimentalmente o sentido do campo magntico. Comonossamosdofio,ospadrescircularesemergem para criar o campo uniforme no centro do solenide.NaFig.7.14(b),mostradaadireodocampo magntico,comocrculosverdesenrolandoaoredordos 116 fios,detalmodoqueparaoladoesquerdoenrolaem sentidodorelgioeparaoladodireitonosentido contrrioaorelgio.Paraambososjogosdecrculos,o campodentrodosolenideapontaparaabaixo.Como resultado o campo uniforme dentro do rolo tem a direo mostrada no desenho.H um modo simples para se lembrar deste resultado sem terqueolharparaocampopertodosfios.Enroleos dedosdesuamodireitanadireodofluxodeIno solenide,eseudedopolegarapontarnadireodo campomagnticodentrodosolenide.Estaaregrada mo direita para o solenide.NaFig.7.15mostradoemmaiordetalheosaspectos necessriosparaonossocalculodainduodocampo magntico no solenide, e para isto, usaremos (7.36). Fig.7.15 Temos escolhido um contorno ou caminho de percorrido, que,dentrodosolenide,temamesmadireodo campomagntico(lado(1)),emtantoquenolado(2) atravessaocampoperpendicularmente,eforado solenidenaregio(3)(ondeB=0)vai paraacima;para 117 finalmenteretornardentrodosolenidenolado(4)do contorno. Pode-se escrever: . (7.45) Nos caminhos 2 e 4, os caminhos so perpendiculares ao campomagnticoeporisso .Foradosolenide,como o campo zero teremos, assim nos resta somente o caminho 1. Para este caminho temos: (7.46) Seonmerodevoltasouespirasporunidadede comprimentodenotadopor,ento,paraum comprimento L: ,NL=(7.47) ondeNonmerodeespirasdosolenide.Parauma altura h, o nmero de espiras ser h, e, por conseguinte onmerodecorrentesencerradosnocontorno retangular ser: encerrada. I hI = (7.48) Istonosdaacorrentetotalencerradadentrodo solenide. Por tanto, de (11.36) temos: 118 0, Bh hI =0. B I = (7.49) Estaaexpressosimplesdainduodocampo magnticodentrodosolenide.Deve-senotarqueeste resultadovlidonoeixodosolenide.Istoassim, porqueoscamposmagnticosenrolandodireitado solenidegiramnosentidocontrarelgioaportamde igualmodoqueoscamposenrolandoaesquerdado solenide giram no sentido do relgio. Por isto, perto dos extremos e paralelos ao eixo, a induo ser dada por: 01.2B I = (7.50) Campo num toride UmtoridetpicomostradonaFig.7.16,oqual,na realidade,umsolenidelongoenroladoecomseus extremosunidoscomomostradonodesenho.A vantagemdeumtoridequenelenoexistemos efeitos de bordes que se observam num solenide reto e longomostradonaFig.7.14(a).Comootoridenotem extremos,oscamposnosaimdotorideficandoassim confinado seu interior.SejaNonmerodeespirasdotoride,entoacorrente total encerrada pelo contorno de raio r ser: .totI NI = (7.51) Ocontornoquetemosescolhidoaqueladeraior,na qual o campo magntico de induo B indicado. Usando (7.36), temos: 119 0.2N IBr=(7.52) O raio r dentro do toride se corresponde ao eixo axial, tomado como a media ( )1 212me dR R R = +, onde R1 e R2 so os raios interno e externo do toride. Fig.7.16 Um toride com N espiras e raios interno R2 e externo R1. CAPTULO VIII CAMPOS MAGNTICOS EM MATERIAIS 8.1 Introduo Oefeitodocampoeltricoemmateriaissimplesmente estrelacionadoexistnciadecargasdentrodos tomos,noaoseumovimento.Quandoumcorpo colocadonumcampomagntico,noentanto,foras magnticasatuamsobretodasascargasemmovimento dentrodostomosdomaterial.Estescargasem movimentofazemqueostomosemolculasdentrodo materialseolhemcomolaosdecorrentesminsculas. Ns sabemos que o momento de foras magnticas sobre umlaocomcorrentetalquetendeaalinharvetores 120 mpreBr.Istosignificaquenapresenadocampo,uma substnciasetornaumagregadograndedelaosde correnteselementaresorientadas.Estaslaosproduzem seuprpriocampomagntico,damesmamaneiraque dipolosnumdieltricopolarizadoproduzeseuprprio campoeltrico.Ento,umasubstncianocampo magntico, pode ser visualizada como um jogo grande de laosdecorrenteselementaresorientadossituadosno vcuo.Ummaterialnaqualumaforamagnticatem produzidosemelhanteslaosdecorrenteselementares orientadas chamado material magnetizado.Tambmpossvelacharcorrentesmacroscpicas(no laoselementares)queproduzemomesmocampo magntico como aquela de todos os laos elementares no corpo.Porconseguinte,possvelsubstituirummaterial numcampomagnticocomcorrentesmacroscpicas equivalentes,situadosnovcuo.Comonssabemos determinar o campo de correntes no vcuo, ns podemos analisarosmateriaisnocampomagnticotambm, contantoquenssaibamosacharestascorrentes equivalentes. Assimnspodemosesperarcertasanalogiasentrea anlisedemateriaisdentrodocampomagnticoea anlisedemateriaisnapresenadeumeltricocampo. Muitosdosconceitossosemelhantes,assimnosso conhecimentodocampoeletrostticohabilitauma discusso mais concisa de materiais no campo magntico. 8.2SubstnciasnaPresenadeumCampoMagntico: Vetor Magnetizao Sabemosqueostomosconsistemdenumncleo pesadopositivamentecarregadoeeltronsquecirculam 121 ao redor do ncleo. O nmero de revolues por segundo deumeltronaoredordoncleomuitograndeao redor de 1015 revolues/s. Ento, razovel dizer que tal rapidezdoeltron,umlaocomcorrenteelementar pequeno.Estequadronarealidademaiscomplicado porque os eltrons tem spin e por tanto giram sobre eles tambm.Porm,cadatomopodemacroscopicamente servisualizadocomoumsistemacomplicadodelaosde correnteselementares.Tallaodecorrenteelementar chamadaumacorrentedeAmpre.caracterizadopor ummomentomagntico, mp IA =rr,comomostradona Fig.8.1. Fig.8.1 Lao de corrente elementar e momento magntico mp IA =rr. SemelhantementeaovetordepolarizaoPnocasode dieltricospolarizados,ovetordemagnetizao,M, descreve a densidade do vetor momento magntico num material magntico num ponto determinado: ( ) / .mN pM A md V=rr(8.1) SedefinirmosporNonmerodecorrentesdeAmpre porunidadedevolumenesseponto,eomomento magnticodetomosoumolculasindividuaisda 122 substncia nesse ponto mpr, o vetor magnetizao pode ser escrito como: .N mM p =rr (8.2) O campo magntico de um nico lao no vcuo pode ser determinadodaleideBiot-Savart.Paraistopodeser mostradoqueovetorBdesemelhantelaoadistncias grandesdolaoproporcionalaomomentomagntico dolao, mpr.Deacordocomadefinioanteriorns podemossubdividirmateriaismagnetizadosemvolumes pequenosV ,erepresentartaisvolumes(contendo muitascorrentesdeAmpre)comoumanicacorrente de Ampre maior de momentoM V r. Por conseguinte, se nsdeterminamos ovetorde magnetizaoem todosos pontos,podemosacharovetorBintegrandoocampo destascorrentesdeAmpremaioressobreomaterial magnetizado.Istomuitomaissimplesquesomaros camposdecorrentesdeAmpreindividuais,desdeque seu nmero seja proibitivamente grande. 8.3LeideAmpreGeneralizada:AIntensidadedo Campo Magntico Ns sabemos que a lei de Ampre na forma da Eq.(7.38) vlidaparaqualquerdistribuiodecorrentenovcuo. Porm,nsexplicamosqueumasubstnciamagnetizada visualizadacomoumnmerovastodelaosde correnteselementaresnovcuo.Ento,nspodemos aplicaraleideAmpreparacamposemmateriais, contantoqueachemoscomoincluirestascorrentes elementares direita da Eq.(7.38). 123 Fig.8.2a)UmasuperfcieAnumpedaodematerial magnetizadolimitadaporumcontornoC.b)Seo aumentadadocontornoCeumapartedasuperfcieA ilustrampossveispossiesrelativasdoslaosde corrente de Ampre. MostradonaFig.8.2(a)estumasuperfcieAdentrode umpedaodematerialmagnetizadolimitadapelo contornoC.ConhecemosqueaescolhadasuperfcieA arbitraria - a intensidade da corrente atravs de qualquer superfcielimitadaporCamesma.Trsclassesde correntes de Ampre so indicadas na Fig.8.2(b): aqueles quenoatravessamA(porexemplo,ocontorno etiquetado por 3); aqueles que passam atravs de A, pelo menosduasvezes(contornos1e2);econtornosque cercamC,comoosetiquetadospor4e5.Osprimeiros dois tipos no fazem contribuio corrente total atravs deA.ContornosdoterceirotipopassamatravsdeAs uma vez, e so os nicos que contribuem intensidade da corrente total atravs de A. Ento,aquenstemosqueacharacorrentetotaldas correntes de todo o Ampre isso amarrado ao longo de C como prolas em um colar.Considere a Fig.8.3 que mostra um e