Curso de Hidráulica Aplicada

DHS UFPR

Pressão

a) Definição: Na Mecânica dos Fluidos a pressão resulta da força compressiva normal agindo sobre uma área. A pressão p é definida como:

ObS: A pressão, como outras grandezas, pode ser medida

usando escalas diferentes. Existem a escala absoluta

e a escala relativa, esta medindo a pressão em relação

a um ponto de referência pré-selecionado.

A

Fp n

A

0lim

Pressão em um ponto no interior de um fluido – Princípio de Pascal

Princípio de Pascal

A pressão se transmite

igualmente em todas as direções

(px = py = pz = p).

A pressão é uma grandeza

escalar

Estática dos Fluidos:

A equação geral da Estática dos Fluidos é expressa como:

dp = ρ.(Xdx + Ydy + Zdz)

onde: dp = diferencial total da pressão (expressa a variação total da pressão,

segundo as direções x, y e z)

X

Y = forças de massa por unidade de massa, segundo as três direções

Z

Particularizando para o campo da gravidade: X = 0; Y = 0; Z = -g

logo: dp = - ρgdz

dp = - ρgdz integrando entre dois pontos de pressão po e p e cotas zo e z vem:

Aplicação: - Fluido em equilíbrio estático ou relativo

Fluido incompressível

No campo da gravidade (única força de massa é o peso da massa fluida)

:

:

)(

0

00

0 0

vem

gehzzsendo

zzgpp

dzgdp

p

p

z

z

Po(po)

zo

P(p

)

z Datum

h

hpp 0Variação

hidrostática da

pressão

Igualdade de pressões – Princípio dos Vasos Comunicantes

Da equação da Estática (dp = -

ρ.g.dz) escrita para o campo da

gravidade conclui-se que as

superfícies isóbaras são superfícies

horizontais:

Se: p = cte então dp = o

Logo: dz = 0 e z = cte.

A B

Condições para pA = pB:

1. Mesma horizontal

2. Mesmo “U”

3. No caminho de A para B não se

atravessa superfície de separação

Pressão Absoluta: chega a zero quando um vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não resta

mais nenhuma molécula em determinado espaço; consequentemente pressão absoluta

negativa é impossível.

Pressão Relativa (ou Pressão Manométrica): considera como origem da medida de pressão a

pressão atmosférica; logo a pressão relativa admite valores negativos.

Assim tem-se, por exemplo:

relativaaatmosféricabsoluta ppp

relativostermosemp

e

absPapp

atm

atmaatmosféric

__...............0

)(101300

Variação da pressão atmosférica com a altitude – Uma coluna de

ar, na atmosfera, sobre um ponto na superfície da terra, ao nível do

mar, contem gases que exercem uma força igual a 10,14N em cada

centímetro quadrado. Esta pressão equivale a l atm or 760 mm Hg.

Em maiores altitudes a pressão é menor porque a massa de coluna de

ar sobre a superfície torna-se menor.

Exemplos da pressão sobre o cume de três montanhas é apresentado

na figura.

Representação - Pressão Absoluta e Pressão Relativa

Medida da pressão atmosférica: barômetro de mercúrio

Piezômetros e Manômetros: Instrumentos que utilizam colunas de líquidos para a medida da

pressão.

Nos piezômetros a pressão é medida pela ascensão ou depressão da coluna do próprio líquido.

Nos manômetros faz-se uso de outro líquido (líquidos manométricos) para a medida da pressão

em determinado sistema.

Manômetros mecânicos: equipamentos de menor precisão

Vapor de mercúrio (pv ≈ 0 absoluto)

Pressão

atmosférica

γHg

Hg

atmpH

Obs.: δHg ≈ 13,60

Piezômetros e Manômetros:

Variação hidrostática da pressão: A pressão varia linearmente com a profundidade

p = po + γ.h par + γ.h = γ.h1

Ar comprimido

γ

h1

h2

h3

γ.h2

γ.h1

γ.h3

h

piezômetros

manômetro

α tgα=γ

Manômetros diferenciais: fornecem a diferença de pressão entre os sistemas aos

quais está conectado. A pressão real dos sistemas não fica determinada.

P2 = p1 + γA.h12

P3 = p2 – γo.h23

P3 = (p1 + γA.h12) - γo.h23

P3 = p4

P4 = (p1 + γA.h12) - γo.h23

p4 = p5 – γo.h45

(p1 + γA.h12) - γo.h23 = p5 – γo.h45

p1 – p5 = γo.h23 - γo.h45 -

γA.h12

Equação da Continuidade

= conservação da massa

Tubo corrente: me ms

m

∆s

me- ms = ∆m

( ) ( )[ ]

pQ pQ t Q s t s t

s t

( ) ( )Q pA

s t

Escoamento permanente 0t

: ρQ = cte

+ fluido incompressível: Q = cte

É resultante da aplicação do princípio da conservação da massa num escoamento permanente através de um tubo de corrente.

Seja o volume de controle constituído por uma porção de matéria isolada do mundo externo e fechada por um contorno imaginário ou real:

(massa do fluido nas regiões I e R)t = (massa do fluido nas regiões O e R)t+dt

(mI + mR)t = (mR + mO)t+dt (mI)t = (mO)t+dt

Ρ.dA1.ds1 = ρ.dA2.ds2 dividindo por dt, sendo v = ds/dt tem-se:

dQM = ρ.v1.dA1 = ρ.v2.dA2 = Cte

ds1

ds2

R I O

dA1

dA2

v1 v2

t t+dt

Equação da Continuidade – Escoamento

Permanente Unidimensional

Para um tubo de seção finita e fluido incompressível:

a) Fluxo de massa -

b) A vazão, que corresponde ao fluxo de volume -

Para uma velocidade constante na seção transversal (hipótese unidimensional):

a) Fluxo de Massa -

b) Vazão -

A

M dAvQ ..

A

M dAvQ

Q .

AUQM ..

AUQ .

Equação da Continuidade – Escoamento

Permanente Unidimensional

Equação da Continuidade: A vazão (Q) corresponde ao volume do diagrama de velocidades.

Equação da Continuidade – Escoamento Permanente Bidimensional:

O fluxo de massa ou de volume pode ser expresso por unidade de largura da seção

transversal do escoamento (B = largura). Logo:

a) Fluxo de massa –

b) Vazão -

NUB

Qq M

M ..

NUB

Qq .

v v vmax

vmax

Equação da Continuidade

Considere um canal largo cujo escoamento possa ser assemelhado à condição bi-dimensional (o

perfil de velocidades no plano vertical longitudinal é constante em toda a largura da seção). Calcular

a vazão (vazão específica - [q] = m³/s.m).

Dados: B = 100 m (largura)

N = 5 m

v = 1,2.n0,188

Q = q.B mas

Q = 68,35 m³/s.km²

v

N n

msm

dnndnvq

N

._835,6

188,1

5.2,1

..2,1.

3188,0

0

5

0

188,0

Exercício

Equações de Euler

2 2 1 (IV-4)s

vvp z

t s s

5)-(IV zpn

1

r

v

t

v 2n

2ª Lei de Newton: F = ma

tangencial normal

Lc Lc a F/m

Integrando a equação de Euler segundo a tangente e considerando movimento

permanente, resulta a Equação de Bernoulii na forma:

sobre a Linha de Corrente

escoamento permanente

z + p/γ + v2/2g = Cte. fluido incompressível

fluido ideal

no campo da gravidade

Os termos da equação de Bernoulli são interpretados como energia por unidade de

peso, daí a dimensão linear de cada parcela.

z ≡ energia potencial de posição;

p/γ ≡ energia latente de pressão (capacidade de elevar o fluido a uma altura h=p/γ);

v2/2g ≡ energia cinética {EC = 1/2(mv2).... EC/P = 1/2(mv2)/(mg) = v2/2g}.

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

9)-(IV .constg2

vpz

2

•Cota z: energia potencial de posição, expressa por unidade de peso, com relação a um

plano arbitrário de referência.

• Altura da pressão p/: pode ser considerada como uma forma de energia potencial, porque

indica que o fluido a uma pressão p tem condições potenciais para se elevar a uma altura h =

p/ de pressão relativa nula.

•O termo v²/2g corresponde à altura da velocidade.

O princípio de Bernoulli, portanto, pode ser considerado como um caso

particular do princípio da conservação da energia.

(Fluido ideal incompressível + regime permanente)

ao longo L.C.

pA = pB = 0 (pontos onde a LP cruza a LC)

Plano de Referência

Linha de Corrente

Linha Piezométrica

Linha de Energia

A B

z

p/γ>0

v2/2g

p/γ<0

Representação gráfica da equação de

Bernoulli

Integrando a equação de Euler segundo a normal e considerando movimento

permanente com linhas de corrente retas e paralelas, chega-se a conclusão que:

p + γz = Cte

Sendo fluido incompressível (γ = Cte), dividindo a equação acima por γ tem-se:

z + p/γ = Cte que coincide com a afirmação da estática:

Em um fluido em repouso a altura piezométrica (z + p/γ)

permanece constante. Logo pode-se concluir:

Onde as linhas de corrente são retas e paralelas a pressão varia

hidrostaticamente, ou seja: p = p0 + γh sendo h = Δz

Equação de Bernoulli para tubos de seção finita

Problemas práticos: tubos de corrente ou condutos de seção finita, onde existem

infinitas linhas de corrente.

12)-(IV .constp

z

A altura piezométrica é

constante. A energia cinética

em cada filete, entretanto, varia

em função da sua velocidade.

15)-(IV .constvdA

dAv

g2

1pzE

A

A

3

17)-(IV .constg2

Upz

2

Coeficiente corretivo de Coriolis

a) Orifícios – Fluxo efluente de um reservatório de grandes dimensões através de

um orifício, localizado na parede vertical à uma profundidade “h”.

Seção Contraída – ASC (LC retas e paralelas)

h U ≈ 0

v

A0

z1 + p1/γ + (U1)2/2g = z2 + p2/γ + (v2)

2/2g

z1 – z2 = h ; p1 = p2 = 0 ; U1 = 0

(v2)2/2g = h

Q = v2.Ac, sendo Cc = Ac/Ao

hgv ..22

Aplicações da equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli requer perdas nulas (fluidos ideais)

Para fluidos reais:

²( ) 0

2

p Uz J

s g

No caso de haver máquinas no circuito resulta (equação da energia):

2 2

1 1 1 2 2 21 2

2 2p

P U P Uz z H h

g g

hp = J.L = perda de carga H = altura líquida

Equação de Bernoulli

A máquina (que pode ser bomba – ou turbina +) terá potência:

1P QH

energia/peso (m)

peso/tempo (N/s)

potência = energia/tempo (W)

Perdas de carga = energia por unidade de peso transformada em calor (energia interna + transf. calor)

Perda de carga

Contínua = distribuída ao longo do escoamento

Localizada = provocada por transições

Regimes de escoamento

laminar 64

Ref

Transição laminar - turbulento

Turbulento liso 1

2log Re 0,8ff

Turbulento parcialmente rugoso

Turbulento rugoso 1

2log 114D

f

Diagramas de Moody

Rugosidade equivalente areia

Concreto 0,3 – 3 mm

Ferro fundido 0,26 mm

Ferro galvanizado 0,15 mm

Aço soldado 0,05 mm

Tubo trefil. 0,002 mm

Vidro 0,001 mm

EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

AUQ :deContinuida

g2

U

D

Lfh :Weisbach-Darcy

2

p

Muitas vezes é mais prático usar fórmulas empíricas para perdas de carga

Válidas para Re alto, tubo comercial e água !!

n

p n

Qh K L

D

Fórmulas Empíricas

Fórmulas Empíricas

Até recentemente ainda era comum a utilização da fórmula de Darcy (1803-58), na

solução de problemas de condutos de ferro fundido. Essa equação pode ser escrita

na forma simplificada:

2'.QmJ

Para condutos de maiores dimensões, a fórmula prática de maior divulgação é,

sem dúvida, a fórmula de Manning-Strickler .

em função do raio hidráulico (Rh), ou,

21

32

.. JRKU hS (VIII – 3)

21

32

21

32

...397,0..52,2

JDKJDK

U S

s (VIII – 4)

em função do diâmetro, para condutos de seção transversal circular.

Fórmulas Empíricas

Muito difundida (em particular nos Estados Unidos) e de uso atual é a fórmula de

Hazen-Williams (1902). Seu emprego, na faixa de diâmetro entre 0,05 m e 1,00

m, em sistemas urbanos de água, conduz a resultados satisfatórios. Em

unidades métricas, tem a forma:

54,063,0 ...355,0 JDCU

Modernamente, contudo, é cada vez maior a tendência à utilização da

fórmula de Colebrook-White ou de suas variantes, pois ainda que mais

complexas, conduzem certamente a melhores resultados. Sua própria

complexidade é relativa, pois os meios computacionais atualmente

disponíveis tornam mecânica sua solução.

De uso particularmente difundido passou a ser a fórmula de Colebrook-

White, que tem como único inconveniente não abranger os

escoamentos em regime laminar e a faixa de transição entre este

regime e o turbulento.

Fórmulas Empíricas

Perdas de cargas Localizadas

Geralmente são expressas em função da altura de velocidade, através da

fórmula empírica:

O coeficiente KL depende também do número de Reynolds do escoamento.

Entretanto, para valores elevados de Re, o que ocorre com freqüência em

problemas práticos, KL independe desse parâmetro.

49)-(VII 2

h2

Lg

UKL

Perdas de cargas Localizadas

50)-(VII 2

h

2

1L

g

U

Entrada em um reservatório

Alargamento Gradual

Redução brusca de seção

As tomadas de um reservatório apresentam-se como um caso particular de

contrações, onde A2/A1 = 0. Para uma entrada em cantos vivos o coeficiente KL

vale 0,5.

Tomadas em um reservatório

brusca. expansão da caso no como unidade, à igual ecoeficient o com, g2

Uh

22

L

Entradas com bordos arredondados evitam a formação de uma seção

contraída e as perdas são substancialmente reduzidas. Quando se consegue evitar

a separação, o coeficiente " KL " cai a valores entre 0,06 e 0,10.

Se o arredondamento for insuficiente para evitar a seção contraída, o coeficiente

“KL” apresentará evidentemente valores superiores, compreendidos entre 0,1 e

0,5, este último correspondendo, como já foi visto, à entrada com cantos vivos,

sem reentrância.

Contração Gradual

O valor de "KL" em uma transição curta bem projetada é da ordem de

0,02 a 0,04. Contudo, se a contração é muito longa, valores mais

elevados são obtidos devido ao aumento da resistência de contorno, que

nesse caso, também, é considerada como parte da perda de carga

localizada.

Perdas em Curvas

Dispositivos capazes de inibir ou evitar as correntes secundárias e a

separação, por exemplo, aletas diretrizes, reduzem sensivelmente as perdas

de carga. Duas curvas idênticas com raio de curvatura nulo (cotovelo), com e

sem aletas, apresentando coeficientes de perdas iguais a 1,1 e 0,2,

respectivamente.

SISTEMAS DE CONDUTOS

Simplificações: Em função de aspectos econômicos associados à vida útil das tubulações e à

garantia de bom funcionamento do sistema, as velocidades do escoamento ficam restritas à

2,5 m/s até 3,0 m/s. Para esta situação, muitas vezes é possível desprezar a energia cinética

do fluxo considerando, portanto a coincidência entre as Linhas de Energia e Linha

Piezômétrica. Como conseqüência, também são desprezadas, conforme o caso, as perdas de

carga localizadas.

Considerando, para efeito de análise, o escoamento entre dois reservatórios interligados, pode–se

avaliar as conseqüências devidas ao perfil do encanamento em relação à Linha de Energia.

Os planos ou linhas consideradas são: i) NAR superior; ii) LE ≡ LP para escoamento a plena

seção; iii) LEA ≡ LPA para a mesma condição: e iv) Nível estático absoluto relativo ao

reservatório superior.

patm/γ

Rs

Ri

tubulação

Observações:

a) Situação preferencial de fluxo é a que resulta em pressões positivas ao longo de

toda a tubulação;

b) Quando a pressão mínima na tubulação (ponto de maior cota) é negativa, é

aconselhável a instalação de dispositivos para eliminar o ar que se acumula,

devido ao desprendimento do oxigênio da água;

c) A pressão mínima pode ser negativa com o escoamento se estabelecendo

espontaneamente ou, caso se configure um sifão, é necessário o escorvamento

prévio;

d) O escoamento será totalmente a plena seção se a Linha de Energia (LE ≡ LP)

tiver decaimento linear ao longo de todo o comprimento da tubulação;

e) Ocorre redução da capacidade de descarga quando um trecho da tubulação, logo

a jusante do ponto de maior cota, não apresenta escoamento a plena seção,

mantendo uma pressão constante e igual a pressão mínima. Neste caso, a Linha

de Energia se altera, diminuindo sua declividade no trecho a montante do ponto

de maior cota.

Redes de Condutos:

a) Arbitra-se as vazões nos trechos

b) Calcula-se a soma das perdas de

energia em cada malha

c) Calcula-se a vazão de correção

para cada malha

d) Correção da vazão inicial

arbitrada

e) Repetição do procedimento até a

prcisão desejada

Método de Hardy-Cross

pertencequeasmalha

mi

i

i

mi

i

i

I

mi

i

i

i

i

QQQd

mQr

Qr

Qc

Qrhb

ii )(01

1

)

)

)

Condutos com distribuição em marcha: Considerando uma taxa de ditribuição de vazão

em marcha (q) constante vem Eq. Da Continuidade: Q = Qo – q.L

L

Qo Q q

Classificação do escoamento:

• Escoamento permanente

• Escoamento variado

Não são válidas as equações de

dimensionamento dedinidas para

o regime uniforme

A Linha de Energia não tem

decaimento linear (aproxima-

se a uma parábola cúbica

Para uso das equações do regime uniforme, a

solução é aproximada, supondo uma vazão

imaginária, que mantida constante, produz a

mesma perda de carga que o escoamento real

ESCOAMENTO LIVRE – ESCOAMENTO EM CANAIS

Escoamento em canal ocorre pela ação gravidade. A força responsável é a componente do peso no

sentido do escoamento. Desta forma a gravidade é preponderante para este tipo de escoamento.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:

Parâmetro adimensional: = n° de Froude

ie ≡ declividade da linha de energia

i ≡ declividade da linha de água

io ≡ declividade do fundo do canal

Δx

h ≡ perda de energia

gh

U

F

FFr

nalGravitacio

Inércia

Escoamento com superfície livre: (a) distribuição de velocidades;

(b) sewção transversal; (c) modelo uni-dimensional

Perfil de um escoamento em canal

Seções Transversais Regulares (Canais prismáticos):

(a) retangular; (b) trapezoidal; (c) circular.

Condição de regime uniforme:

• io = i = ie........ (superfície livre paralela ao fundo)

• Canal retilíneo em planta e perfil

• Seção transversal constante em forma e área

• Rugosidade do contorno constante ao longo do canal

OBS.: Em condições naturais nunca será atingida a condição de regime uniforme, porém o

escoamento sempre tenderá a estabelecer nesta situação, mesmo nunca a atingindo.

Equação do regime uniforme:

Do equilíbrio entre as forças atuantes resulta como característica do regime uniforme a relação (semelhante a

que se obtém para o caso de escoamento em condutos):

Considerando que 0 é uma função da velocidade média do escoamento e agrupando constantes

tem-se a equação de Chézy:

eh

h

e iRR

i ...

00

Equação de Chézy:

No regime uniforme como ie = i0, é comum escrever a equação de Chézy na forma:

onde: C = coeficiente de Chézy = f (rugosidade do contorno, n° de Reynoldas)

Fórmulas empíricas para a determinação do coeficiente C:

eh

eh

iRACQ

AUQcomomasiRCU

..

..

oh iRACQ ..

rugosidadenKuttereGanguillet

R

n

i

niC

canaldoticascaracterísfmBa

R

mC

he

e

h

)......(

).00155,0

23(1

100155,023

)(.......sin)......(

1

87

Equação de Manning ou Manning-Strickler:

É a fórmula mais utilizada para escoamentos em canais. Concluindo que os dados

utilizados por Ganguillet e Kutter, para estabelecer a fórmula para o valor de C,

ajustam-se bem à expressão simples,

que associada a própria equação de Chézy fornece a equação

de Manning, ou seja:

n

RC h

61

21

03

2

0

21

32

...1

,

...1

iRAn

Q

iiondeuniformeescoamentoopara

iRAn

Q

h

e

eh