CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULO...Programa de P os-Gradua c~ao em F sica Curso de Inverno - 2013: Introdu c~ao ao C alculo CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULO Cronograma

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Curso de Inverno - 2013: Introducao ao Calculo

CURSO DE INVERNO:

INTRODUCAO AO CALCULO

Pro-Reitoria de Ensino de Graduacao/UFSC

Pro-Reitoria de Ensino de Pos-Graduacao/UFSC

Programa de Pos-Graduacao em Fısica - CFM/UFSC

Projeto REUNI – Reestruturacao e Expansao das Universidades Federais

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Curso de Inverno - 2013: Introducao ao Calculo

CURSO DE INVERNO:

INTRODUCAO AO CALCULO

Cronograma do curso e ministrantes:05/08/2013 - Funcoes I (secoes 1.1 a 1.4) - Ariel Werle06/08/2013 - Funcoes II (secoes 1.5 a 1.7) - Rafael Heleno07/08/2013 - Funcoes III (secoes 1.8 e 1.9) - Paloma Boeck Souza09/08/2013 - Limites I (secoes 2.1 a 2.3) - Bruno Clasen Hames10/08/2013 - Limites II (secoes 2.4 a 2.6) - Carlos Eduardo KrassinskiSoares

Coordenacao:Felipe dos Passos.

Supervisao:Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano TragtenbergDepartamento de Fısica - UFSC

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v 1.2 01/08/2013

Sumario

1 Funcoes 51.1 Conceito, domınio, imagem e grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Paridade das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Funcao par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Monotonicidade de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Tipos especiais de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Funcao modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 Funcao Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.5 Funcao Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.6 Funcao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.7 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais . . . . . . . . . . . . 231.5.2 Operacoes entre funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Tipos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.1 Funcao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.2 Funcao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.3 Funcao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8 Funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.8.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.8.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8.3 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4 SUMARIO

1.9 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.2 Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10 Respostas dos exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Limites de funcoes e funcoes contınuas 512.1 Limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3 Indeterminacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.1 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.1 Primeiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.2 Segundo limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.3 Terceiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Respostas dos exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Capıtulo 1

Funcoes

1.1 Conceito, domınio, imagem e grafico

Vamos apresentar aqui um dos conceitos mais importantes da Matematica. Eum conceito que faz parte do “vocabulario” basico da Matematica.

Definicao - Dados dois conjuntos A e B nao vazios, chama-se funcao (ou aplicacao)de A em B, representada por f : A→ B; y = f(x), a qualquer relacao binariaque associa a cada elemento de A um unico elemento de B.

Portanto, para que uma relacao de A em B seja uma funcao, exige-se quea cada x ∈ A esteja associado um unico y ∈ B, podendo, entretanto existiry ∈ B que nao esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjuntoA.

Observacao I - Na notacao y = f(x), entendemos que y e imagem de x pela funcaof , ou seja, y esta associado a x atraves da funcao f .

Exemplo 1 - Seja a funcao f(x) = 4x+ 3, entao f(2) = 4.2 + 3 = 11, portanto, 11e imagem de 2 pela funcao f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 e imagem de5 pela funcao f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

5

6 CAPITULO 1. FUNCOES

Para definir uma funcao, necessitamos de dois conjuntos (Domınio e Con-tradomınio) e de uma formula ou uma lei que relacione cada elemento do domınioa um e somente um elemento do contradomınio.

Quando D(f) ⊂ R (domınio contido no conjunto dos reais) e CD(f) ⊂ R(contradomınio contido nos reais), sendo R o conjunto dos numeros reais, dize-mos que a funcao f e uma funcao real de variavel real. Na pratica, costumamosconsiderar uma funcao real de variavel real como sendo apenas a lei y = f(x) quea define, sendo o conjunto dos valores possıveis para x, chamado de domınio e oconjunto dos valores possıveis para y, chamado de conjunto imagem da funcao.Assim, por exemplo, para a funcao definida por y = 1

x, temos que o seu domınio

e D(f) = R∗, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que naoexiste divisao por zero), e o seu conjunto imagem e tambem R∗, ja que se y = 1

x,

entao x = 1y

, portanto y tambem nao pode ser zero. O sımbolo ⊂ le-se “contidoem”.

Dada uma funcao f : A → B definida por y = f(x), podemos representar ospares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadascartesianas. O grafico obtido sera o grafico da funcao f .

Assim, por exemplo, sendo dado o grafico cartesiano de uma funcao f , podemosdizer que:

a) A projecao da curva sobre o eixo dos x nos da o domınio da funcao.

b) A projecao da curva sobre o eixo dos y nos da o conjunto imagem da funcao.

c) Toda reta vertical que passa por um ponto do domınio da funcao, intercepta ografico da funcao em no maximo um ponto.

Isso pode ser verificado na Figura 1.1.

Exemplo 2 - Dada a funcao f : {−3, 2, 0,√

5} → R, definida pela formula f(x) =2x2 + 1. Determine a sua imagem.

Neste exercıcio, o domınio e dado, ele vale D = {−3, 2, 0,√

5} e o con-tradomınio sao todos numeros reais. Como ja estudamos, a imagem de umnumero e o elemento pertencente ao contradomınio que esta relacionado a estenumero, e para achar este numero devemos aplicar sua lei de formacao.

- a imagem do −3 e tambem representada por f(−3), e f(−3) = 2(−3)2 + 1,entao f(−3) = 19;- f(2) = 2(2)2 + 1, entao f(2) = 9;- f(0) = 2(0)2 + 1, entao f(0) = 1;- f(√

5) = 2(√

5)2 + 1, entao f(√

5) = 11.

1.2. PARIDADE DAS FUNCOES 7

Figura 1.1: Grafico da funcao f(x).

Agora que ja achamos as imagens de todos pontos do domınio, podemos dizerque o conjunto imagem desta funcao e Im = {19, 9, 1, 11}.

1.1.1 Exercıcios Propostos

1. Determine o domınio e imagem da funcao real y = 5x+ 4.

2. Determine o domınio e imagem da funcao f(x) =√

2x+ 6.

3. Dada a funcao f(x) =√

2x+ 5x− 2 , determine seu domınio.

1.2 Paridade das funcoes

1.2.1 Funcao par

A funcao y = f(x) e par, quando ∀ x ∈ D(f), f(−x) = f(x), ou seja, para todoelemento do seu domınio, f(x) = f(−x). Portanto, numa funcao par, elementossimetricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia desse fato e que os graficoscartesianos das funcoes pares sao curvas simetricas em relacao ao eixo dos y ou eixodas ordenadas. O sımbolo ∀ le-se “para todo”.


Exemplo 4 - y = x4 + 1 e uma funcao par, pois f(x) = f(−x), para todo x. Porexemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(−2) = (−2)4 + 1 = 17.

1.2.2 Funcao ımpar

A funcao y = f(x) e ımpar, quando ∀ x ∈ D(f), f(−x) = −f(x), ou seja, paratodo elemento do seu domınio, f(−x) = −f(x). Portanto, numa funcao ımpar,elementos simetricos possuem imagens simetricas. Uma consequencia desse fato eque os graficos cartesianos das funcoes ımpares sao curvas simetricas em relacao aoponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

Observacao II - Se uma funcao y = f(x) nao e par nem ımpar, diz-se que ela naopossui paridade.

1.3. MONOTONICIDADE DE FUNCOES 9

O grafico abaixo, representa uma funcao que nao possui paridade, pois a curva naoe simetrica em relacao ao eixo dos y e, nao e simetrica em relacao a origem.


4. Determine quais das funcoes abaixo sao pares, ımpares ou sem paridade.a) senx b) cosx c) tan xd) x e) x2 f) x2 + 78g) x5 + x4 h) (senx)2 + (cosx)2 i) tan x+ senx

j) x2 + cosx k) x2 + 3x4 + 22 l) senx

xm) |x3 + x5|

1.3 Monotonicidade de funcoes

Define se a funcao e crescente ou decrescente.

Definicao - Sejam (A,>) e (B,>) conjuntos ordenados. Entao

1. f e estritamente crescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(x) > f(y)).

2. f e estritamente decrescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(y) > f(x)).

3. f e monotona nao-decrescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(x) > f(y)).

4. f e monotona nao-crescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(y) > f(x)).

1.4 Tipos especiais de funcoes

1.4.1 Funcao constante

Uma funcao e dita constante quando e do tipo f(x) = k, onde k nao dependede x.


Alguns exemplos de funcoes constantes sao as funcoes f(x) = 5 e f(x) = −3.

Observacao III - O grafico de uma funcao constante e uma reta paralela ao eixodos x.

1.4.2 Funcao polinomial

As funcoes polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O graude uma funcao polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variavel dopolinomio, ou seja, e o valor de n da funcao

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n =n∑i=0

aixi, ∀ n 6= 0.

Sejam f(x) e g(x) polinomios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintesleis:

a) O grau de f(x).g(x) e a soma do grau de f(x) e do grau de g(x).

b) Se f(x) e g(x) tem grau diferente, entao o grau de f(x) + g(x) e igual ao maiordos dois.

c) Se f(x) e g(x) tem o mesmo grau, entao o grau de f(x) + g(x) e menor ou igualao grau de f(x).

Funcoes polinomiais de primeiro grau

Uma funcao e dita do 1º grau, quando e do tipo y = ax+b, onde a 6= 0. Sao exemplosde funcoes do 1º grau f(x) = 3x+ 12, onde a = 3 e b = 12, e f(x) = −3x+ 1, ondea = −3 e b = 1.

Propriedade 1 - O grafico de uma funcao do 1º grau e sempre uma reta.

1.4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNCOES 11

Propriedade 2 - Na funcao f(x) = ax + b, se b = 0, f e dita funcao linear e seb 6= 0, f e dita funcao afim.

Propriedade 3 - O grafico intercepta o eixo dos x na raiz da equacao f(x) = 0 e,portanto, no ponto de abcissa x = − b

a.

Propriedade 4 - O grafico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b e chamadocoeficiente linear.

Propriedade 5 - O numero a e chamado coeficiente angular da reta e fornece ainclinacao da mesma.

Propriedade 6 - Se a > 0, entao f e crescente.

Propriedade 7 - Se a < 0, entao f e decrescente.

Exemplo 5 - Determine a funcao f(x) = ax+ b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) =−10.

Podemos escrever5 = 2.a+ b

−10 = 3.a+ b

Fazendo a subtracao da relacao de cima pela de baixo, temos5− (−10) = 2a+ b− (3a+ b)15 = −a, logo,a = −15

Substituindo o valor de a em uma das duas equacoes, temos5 = 2(−15) + b

b = 35

Escolhemos a primeira equacao para esta substituicao, mas poderıamos es-colher a segunda que resultado seria o mesmo. Encontrados os valores de a eb, temos a funcao procurada

y = −15x+ 35.


Funcoes polinomiais de segundo grau

Uma funcao e dita do 2º grau quando e do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0.Sao exemplos de funcoes do segundo grau as funcoes f(x) = x2−2x+1, com a = 1,b = −2, c = 1, e y = −x2, com a = −1, b = 0, c = 0.

Graficamente a funcao do 2º grau y = ax2 + bx + c e sempre uma parabola deeixo de simetria vertical. Suas raızes sao encontradas utilizando-se da Formula deBhaskara

x = −b±√b2 − 4ac

2a

Propriedade 1 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de mınimo.

Propriedade 2 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de maximo.

Propriedade 3 - O vertice da parabola e o ponto V (xv, yv) ondexv = − b

2ayv = −D4a , onde D = b2 − 4ac.

Propriedade 4 - A parabola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x′ ex′′, que sao as raızes da equacao ax2 + bx+ c = 0.

Observacao I - A parabola pode nao interceptar o eixo dos x. Nesse caso, aparabola nao tera raızes para y = 0.

Propriedade 5 - A parabola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).

Propriedade 6 - ymax = −D4a, (a < 0)

Propriedade 7 - ymin = −D4a, (a > 0)

Propriedade 8 - Forma fatorada: sejam x1 e x2 as raızes de f(x) = ax2+bx+c, entaoela pode ser escrita na forma fatorada da seguinte forma y = a(x−x1)(x−x2).

Exemplo 6 - Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 − x− 2.


Vamos primeiro calcular as raızes usando Bhaskara. Os coeficientes sao:a = 1, b = −1 e c = −2. Colocando na formula de Bhaskara, temos

x = −(−1)±√

(−1)2 − 4· 1· (−2)2· 1 = 1±

√1 + 8

2

x = 1± 32

x′ = 1 + 32 = 2

x′′ = 1− 32 = −1

As duas raızes sao 2 e –1, entao ja sabemos os pontos por onde a parabolacorta o eixo x. No grafico, fica

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Elevale –2, entao o grafico da parabola com certeza corta o eixo y no ponto –2.Vamos marca-lo

Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b

sabemos que logo apos o ponto de corte com y ela tem que descer. Tracandoo esboco, temos o seguinte


Curiosidade - Como chegar na Formula de Bhaskara

A ideia e completar o trinomio ax2 +bx+c de modo a fatora-lo num quadradoperfeito. Assim, inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a e em seguidasomamos b2 aos dois lados da igualdade

ax2 + bx+ c = 0

4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0

4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = b2

4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 − 4ac

(2ax+ b)2 = b2 − 4ac

2ax+ b = ±√b2 − 4ac

2ax = −b±√b2 − 4ac

x = −b±√b2 − 4ac

2a

1.4.3 Funcao modulo

O conceito de modulo de um numero real esta associado a ideia de distancia de umponto da reta a origem. Como existe uma correspondencia biunıvoca entre ospontos da reta e os numeros reais, pensar na distancia de um ponto a origem oupensar no modulo de um numero e exatamente a mesma coisa.

Assim, |5| = | − 5| = 5, pois o numero 5 esta a uma distancia de 5 unidades daorigem, e −5 tambem esta a 5 unidades da origem. De modo geral podemos dizer


quese a > 0, |a| = a

se a < 0, |a| = −ase a = 0, |a| = 0

Definimos entao uma funcao que, a cada numero real x associa o modulo de x,ou seja, a distancia de x a origem. Temos assim

f(x){

x se x > 0−x se x < 0

O grafico dessa funcao tem o seguinte aspecto

Pois, para os valores positivos ou zero da variavel independente x, o valor davariavel dependente y e o mesmo que x, pois |x| = x; para valores negativos dex o valor de y e −x, pois |x| = −x. Dessa forma, o grafico e constituıdo de duassemi-retas de mesma origem. Outra maneira interessante de olhar para o grafico dey = |x| e considerar que ele coincide com a reta y = x para valores de x positivosou zero, enquanto que para valores negativos de x tomamos a semi-reta “rebatida”,pois, nesse caso, |x| = −x. Esta semi-reta “rebatida”, evidentemente, e simetricada original em relacao ao eixo horizontal.


Essa ultima consideracao nos permite rapidamente entender como sera o graficode y = |f(x)| para uma dada funcao f conhecida. De fato

|f(x)| ={

f(x) se f(x) > 0−f(x) se f(x) < 0

.

Portanto, seu grafico esta sujeito as seguintes caracterısticas

a) Coincide com o grafico de f para todos os valores da variavel independente xnos quais a variavel dependente e positiva ou zero.

b) E o desenho da funcao “rebatido”, ou seja, simetrico com relacao ao eixo hor-izontal do grafico de f para todos os valores da variavel independente x nosquais a variavel dependente e negativa.

Dada uma funcao f , podemos pensar na funcao g(x) = f(|x|). De fato, peladefinicao da funcao valor absoluto de um numero real, a funcao g pode ser en-tendida como sendo

f(x) ={

f(x) se x > 0f(−x) se x < 0


Observemos que para a construcao desse novo grafico so sao considerados os valoresde f em que a variavel x e nao negativa. Isto e, para x assumindo valores positivosou zero, a funcao g coincide com a funcao f , e para x assumindo valores negativos,a funcao g e igual a funcao f calculada no oposto de x. Assim

A parte do grafico de f em que x e negativo e irrelevante para a construcao dografico de g, ou seja, o grafico de g apresenta simetria em relacao ao eixo vertical.

1.4.4 Funcao Racional

Uma funcao racional e da forma

f(x) = p(x)q(x)

onde p e q sao polinomios.O domınio de uma funcao racional e o conjunto de todos os numeros reais, com

excecao daqueles que anulam o denominador (as raızes de q).O grafico de uma funcao racional tem assıntotas verticais nestes pontos em que o

denominador se anula, quando isso ocorre. Tambem pode ter assıntotas horizontais,que ocorrem se f(x) se aproxima de um valor finito quando x→ ±∞.

O comportamento de uma funcao quando x→ ±∞ e chamado limite no infinito.“Assıntotas” sao retas das quais o grafico aproxima-se cada vez mais, sem nunca

toca-las.

Consideremos a funcao racional f , definida por

f(x) = x2 − 4x2 − 1

O grafico dessa funcao fica


4 3 2 1 0 1 2 3 4

9876543210123456789

Nota-se que o valor x = 1 e x = −1 nao estao contidos no domınio da funcao.

1.4.5 Funcao Periodica

A funcao f : A→ R sera considerada periodica se houver p ∈ R∗ tal que f(x+p) =f(x) para todo x em A.

Se f(x+ p) = f(x) para todo x em A, temos

f(x) = f(x+ p) = f(x+ 2p) = . . . = f(x+ kp) x ∈ A e k ∈ Z∗.

Se f : A → R for considerada uma funcao periodica, o menor valor positivo de psera denominado perıodo de f , o qual indicamos por P (f).


1.4.6 Funcao limitada

A funcao f : A → R sera considerada limitada superiormente se houver b ∈ R talque f(x) 6 b, para todo x em A.

A funcao f : A → R sera considerada limitada inferiormente se houver a ∈ Rtal que f(x) > a, para todo x em A.

A funcao f : A → R sera considerada limitada, se f for limitada inferior esuperiormente, isto e, ∀ x ∈ A, f : A → R e limitada se, e somente se, existea, b ∈ R onde a 6 f(x) 6 b.

A funcao f : A→ R sera considerada limitada no grafico cartesiano se ele estiverinteiramente dentro de uma faixa horizontal.



5. (UNIFOR) A funcao f , do 1º grau, e definida por f(x) = 3x+ k. O valor dek para que o grafico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 e:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. (EDSON QUEIROZ - CE) O grafico abaixo representa a funcao de R em Rdada por f(x) = ax+ b (a, b ∈ R). De acordo com o grafico conclui-se que:


a) a < 0 e b > 0

b) a < 0 e b < 0

c) a > 0 e b > 0

d) a > 0 e b < 0

e) a > 0 e b = 0

7. Calcule a raiz da funcao y = 53x−

78 .

8. (UNIFORM) O grafico da funcao f , de R em R, definida por f(x) = x2 +3x−10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distancia AB e igual a:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

9. (CEFET - BA) O grafico da funcao y = ax2 + bx+ c tem uma so interseccaocom o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Entao, os valores de a e b obedecema relacao:

a) b2 = 4a

b) −b2 = 4a

c) b = 2a

d) a2 = −4a

e) a2 = 4b

10. (ULBRA) Assinale a equacao que representa uma parabola voltada parabaixo, tangente ao eixo das abscissas:

a) y = x2

b) y = x2 − 4x+ 4

c) y = −x2 + 4x− 4

d) y = −x2 + 5x− 6

e) y = x− 3


11. (UEL) A funcao real f , de variavel real, dada por f(x) = −x2 +12x+20, temum valor:

a) mınimo, igual a −16, para x = 6.

b) mınimo, igual a 16, para x = −12.

c) maximo, igual a 56, para x = 6.

d) maximo, igual a 72, para x = 12.

e) maximo, igual a 240, para x = 20.

12. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diaria de x pecas, e dado porL(x) = 100(10 − x)(x − 4). O lucro maximo, por dia, e obtido com a vendade:

a) 7 pecas

b) 10 pecas

c) 14 pecas

d) 50 pecas

e) 100 pecas

13. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a funcao real f(x) = −2x2 +4x+ 12, o valor maximo desta funcao e:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 12

e) 14

14. (ACAFE) Seja a funcao f(x) = −x2 − 2x+ 3 de domınio [−2, 2]. O conjuntoimagem e:

a) [0, 3]

b) [−5, 4]

c) ]− 3, 4]

d) [−3, 1]

e) [−5, 3]

15. Dada a funcao |x–2| = 3, ache os valores possıveis para x.

16. Dada a funcao |x2–3| = 13, ache os valores possıveis para x.

17. Dada a funcao |x+ 3| = 2x− 5, ache os valores possıveis para x.

1.5. OPERACOES COM FUNCOES 23

1.5 Operacoes com funcoes

Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir os numeros reais de forma a en-contrar novos numeros reais. Analogamente, tambem podemos fazer estas operacoescom funcoes de forma a encontrar novas funcoes. Estas operacoes serao definidas aseguir.

1.5.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais

Aplicando certas operacoes entre uma funcao e um numero real podemos en-contrar novas funcoes cujos graficos estao relacionados entre si por deslocamentos,expansao ou reflexao. Isto nos capacita a fazer facilmente o esboco de muitos graficosde funcoes.

a) Translacoes - Consideremos inicialmente, as translacoes, que sao deslocamentosdo grafico de uma funcao em k unidades (para cima, para baixo, para a direitaou para a esquerda).

Seja f(x) uma funcao e k um numero real positivo (k > 0). Podemos produziruma nova funcao g(x) pela soma de f(x) com k, onde g(x) = f(x) + k. Ografico de g(x) sera igual ao grafico de f(x) deslocado para cima em k unidades(uma vez que cada coordenada f(x) fica acrescida pelo mesmo numero k). Ouseja, g(x) e uma translacao vertical de f(x) em k unidades para cima. Damesma forma, se fizermos h(x) = f(x − k), entao o valor de h em x e igualao valor de f em x − k. Portanto, o grafico de h(x) = f(x − k) sera igualao grafico de f(x) deslocado em k unidades para a direita (uma translacaohorizontal).

As diferentes translacoes (horizontais e verticais) estao resumidas e exempli-ficadas na Figura 1.2.

Translacoes horizontais e verticais: Seja f(x) uma funcao e k umnumero real positivo (k > 0)Translacao Vertical:g(x) = f(x) + k, desloca o grafico de y = f(x) em k unidades para cima.g(x) = f(x)− k, desloca o grafico de y = f(x) em k unidades para baixo.Translacao Horizontal:g(x) = f(x + k), desloca o grafico de y = f(x) em k unidades para aesquerda.g(x) = f(x−k), desloca o grafico de y = f(x) em k unidades para a direita.

Exemplo 7 - Dado y = x, use o grafico desta funcao e as transformacoes para obteros graficos de y1 = x+ 2 e y2 = x− 2.

Sabendo que o grafico da funcao y = x e uma reta com inclinacao de 45°com o eixo x. Desenhando todos os graficos no mesmo sistema de coorde-


Figura 1.2: Exemplificacoes de novas funcoes g(x) obtidas por translacoes horizontais everticais do grafico de f(x).

nadas, basta observarmos que y1 = y + 2, ou seja, o grafico de y1 e igual aografico de y deslocado em 2 unidades para cima. Analogamente, observa-seque y2 = y− 2, ou seja, o grafico de y2 e igual ao grafico de y deslocado em 2unidades para baixo. Estes graficos estao representados na Figura 1.3.

Exemplo 8 - Dado y = x2, use o grafico desta funcao e as transformacoes paraobter os graficos de y1 = (x− 5)2 e y2 = (x+ 5)2.

Sabendo que o grafico da funcao y = x2 e uma parabola com concavidadepara cima, e que os graficos de y1 e y2 tratam de deslocamentos horizontais,desenhando todos os graficos no mesmo sistema de coordenadas, observarmosque o grafico de y1 sera deslocado em 5 unidades para direita. Analogamente,observa-se que y2 sera o grafico de y deslocado em 5 unidades para a esquerda.Estes graficos estao representados na Figura 1.4.

b) Expansoes e Compressoes - Seja f(x) uma funcao e k um numero real positivo


Figura 1.3: Exemplo de translacao vertical: Graficos de y, y1 e y2.

(k > 0). Podemos produzir uma nova funcao g(x) pela multiplicacao de f(x)por k, onde g(x) = k· f(x). O grafico de g(x) sera igual ao grafico de f(x)expandido por um fator k na direcao vertical (pois cada coordenada de f(x)fica multiplicada pelo mesmo numero k). Podemos tambem produzir umanova funcao h(x) da seguinte forma: h(x) = f(x.k). Neste caso, o grafico deh(x) sera igual ao grafico de f(x) comprimido horizontalmente por um fatork, pois o valor de h em x sera igual ao valor de f em x.k.

As diferentes expansoes e compressoes estao resumidas a seguir.

Expansoes e Compressoes horizontais e verticais: Seja f(x) umafuncao e k um numero real positivo (k > 0)Expansao:g(x) = k.f(x), expande verticalmente o grafico de y = f(x) por um fatork.g(x) = f(xk ), expande horizontalmente o grafico de y = f(x) por um fatork.Compressao:g(x) = ( 1

k ).f(x), comprime verticalmente o grafico de y = f(x) por umfator k.g(x) = f(k.x), comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) por umfator k.


Figura 1.4: Exemplo de translacao horizontal: Graficos de y, y1 e y2.

Exemplo 9 - Dada a funcao cosseno (y = cosx). A Figura 1.5 ilustra as trans-formacoes de expansao e compressao aplicadas a esta funcao com k = 2. Porexemplo, para obter o grafico de y = 2. cosx, multiplicamos todas as coorde-nadas y do grafico de cosx por 2. Isso significa que o grafico de y = 2. cosx eigual ao grafico de y = cosx expandido verticalmente por um fator 2.

c) Reflexoes - Seja f(x) uma funcao. O grafico de g(x) = −f(x) e o grafico de f(x)refletido em torno do eixo x, pois o ponto (x, y) sera substituıdo pelo ponto(x,−y). De forma analoga o grafico de h(x) = f(−x) sera igual ao graficode f(x) refletido em torno do eixo y. Estas regras estao resumidas abaixo eexemplificadas na Figura 1.6.

Reflexoes: Seja f(x) uma funcao.g(x) = −f(x), reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.g(x) = f(−x), reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.

1.5.2 Operacoes entre funcoes

Alem das operacoes entre funcoes e numeros reais, tambem podemos fazeroperacoes entre duas funcoes de maneira a formar novas funcoes. Assim, dado duas


Figura 1.5: Exemplificacoes de expansoes e compressoes do grafico de y = cosx.

funcoes, f(x) e g(x), podemos combina-las para formar novas funcoes atraves dasoma, subtracao, multiplicacao, divisao e composicao destas funcoes (f + g, f − g,f.g, f/g, f ◦ g). Estas novas funcoes serao definidas a seguir.

a) Soma e Diferenca - Dadas as funcoes f e g, sua soma (f + g) e diferenca (f − g)sao assim definidas:

i) soma (f + g)(x) = f(x) + g(x)

ii) diferenca (f − g)(x) = f(x)− g(x)

o domınio das novas funcoes f + g e f − g e a interseccao dos domınios de fe g. Ou seja, se o domınio de f e A e o domınio de g e B, entao o domıniode (f + g) e a interseccao A ∩ B, pois tanto f(x) quanto g(x) devem estardefinidas.

b) Produto (multiplicacao) - Dadas as funcoes f e g, seu produto e assim definido:

(f.g)(x) = f(x).g(x).

O domınio de f.g e a interseccao dos domınios de f e g (A ∩B).

c) Quociente (divisao) - Dadas as funcoes f e g, seu quociente e assim definido:f

g(x) = f(x)

g(x) .

O domınio de f/g e a interseccao dos domınios de f e g, excluindo-se os pontosonde g(x) = 0, pois nao podemos fazer a divisao por zero. Assim o domıniode f/g e {x ∈ A ∩B | g(x) 6= 0}.


Figura 1.6: Reflexoes do grafico de f(x).

Exemplo 10 - Sejam f(x) =√

4− x e√x− 2. As funcoes soma, diferenca, produto

e quociente de f com g sao:

(f + g)(x) =√

4− x+√x− 2

(f − g)(x) =√

4− x−√x− 2

(f.g)(x) =√

4− x·√x− 2 =

√(4− x)(x− 2)

(f/g)(x) =√

4− x√x− 2

=√

4− xx− 2 .

Como o domınio de f e D(f) = (−∞, 4] e o domınio de g e D(g) = [2,+∞),entao o domınio de f + g, f − g e f.g e interseccao dos domınios de f e g, ouseja, e [2, 4]. O domınio de f/g e (2, 4], onde o ponto 2 foi excluıdo porqueg(x) = 0 quando x = 2.

d) Composicao - Alem das operacoes basicas (soma, subtracao, multiplicacao e di-visao), existe ainda uma outra maneira de combinar duas funcoes para obteruma nova funcao, a composicao de funcoes. Dadas duas funcoes f e g, afuncao composta de g com f , denotada por g ◦ f (“ g bola f”), e definida por:


(g ◦ f)(x) = g(f(x))

O domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os pontos x no domınio de f

tais que f(x) esta no domınio de g. Simbolicamente temos D(g ◦ f) = {x ∈D(f)/f(x) ∈ D(g)}.

Podemos tambem representar a funcao composta pelo diagrama abaixo (Figura1.7).

Figura 1.7: Diagrama representando a operacao de composicao de funcoes. (Imagemretirada de funcao composta. In Infopedia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011.

[Consult. 2011-07-11]).

Exemplo 11 - Sejam f(x) = x2 e g(x) = x− 1, encontre as funcoes compostas f ◦ ge g ◦ f .

Temos,

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = [g(x)]2 = (x− 1)2

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = f(x)− 1 = x2 − 1

Observacao: Note que no exemplo acima f ◦ g 6= g ◦ f . Isto acontece em geral,ou seja, a composicao de funcoes nao e comutativa.

Exemplo 12 - Sejam f(x) = 2x− 5 e g(x) =√x. Encontre cada uma das funcoes

abaixo e seus respectivos domınios.

a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

Primeiro precisamos conhecer os domınios de f e g. O domınio de f e D(f) =(−∞,+∞) e o domınio de g e D(g) = [0,+∞).


a) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 2· g(x)− 5 = 2√x− 5

O domınio de f ◦ g e o conjunto de todos os valores de x no domıniode g tal que g(x) esteja no domınio de f , ou seja

D(f ◦g) = {x ∈ D(g) = [0,+∞)/g(x) ∈ D(f) = (−∞,+∞)} = [0,+∞).

b) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) =√f(x) =

√2x− 5

D(g ◦ f) = {x ∈ D(f) = (−∞,+∞)/f(x) ∈ D(g) = [0,+∞)} =[5/2,+∞)

Pois, f(x) = 2x − 5 deve estar dentro do domınio de g, ou seja, f(x) =2x− 5 > 0, o que significa que 2x > 5, entao x >

52 .

c) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = 2· f(x)− 5 = 2(2x− 5)− 5 = 4x− 10− 5 = 4x− 15

D(f ◦ f) = (−∞,+∞).

d) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) =√g(x) =

√√x = 4√x

D(g ◦ g) = [0,+∞).


18. Suponha que seja dado o grafico de y = f(x). Escreva as equacoes para asnovas funcoes g(x), cujos graficos sejam obtidos a partir do grafico de f(x),da seguinte forma:

a) deslocamento de 3 unidades para cima;

b) deslocamento de 5 unidades para baixo;

c) reflexao em torno do eixo y;

d) deslocamento de 4 unidades para a esquerda;

e) expansao vertical por um fator de 2;

f) reflexao em torno do eixo x;

g) compressao vertical por um fator de 6.

19. Explique como obter, a partir do grafico de y = f(x), os graficos a seguir.

a) y = 6f(x) b) y = −f(x)

c) y = −6f(x) d) y = 6f(x)− 2

20. Trace o grafico de f para os 3 valores de c em um mesmo sistema de coorde-nadas (utilize translacoes, reflexoes e expansoes).

1.6. TIPOS DE FUNCOES 31

a) f(x) = 3x+ c com c = 0; c = 2 e c = −1

b) f(x) = 3(x− c) com c = 0, c = 2 e c = −1

21. Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 + 6x + 10. (Dica: tente completaro quadrado e escrever esta funcao atraves de operacoes da funcao x2 comnumeros reais adequados).

22. Dado f(x) = x3 + 2x2 e g(x) = 3x2 − 1.Encontre f + g, f − g, f.g e f/g edefina seus domınios.

23. Dado f(x) =√x− 1 e g(x) = 1

x. Encontre f.g e f/g e defina seus domınios.

24. Sejam f(x) =√x e g(x) =

√2− x. Encontre cada uma das funcoes abaixo e

seus respectivos domınios.

a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

25. E possıvel fazer a composicao de tres ou mais funcoes. Por exemplo a funcaocomposta f ◦ g ◦ h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, entao g edepois f , como a seguir: ( f ◦ g ◦h)(x) = f(g(h(x))). Sabendo disso, encontref ◦ g ◦ h dado f(x) = x

x+ 1, g(x) = x10 e h(x) = x+ 3.

26. Ate agora usamos a composicao para construir novas funcoes mais complicadasa partir de funcoes mais simples. Em calculo, frequentemente e util decomporuma funcao mais complicada em outra mais simples. Sabendo que f = g ◦ h,decomponha f e encontre a funcao h, dado

a) f(x) = x2 + 1, g(x) = x+ 1

b) f(x) = 3x+ 1, g(x) = x+ 1

27. Sabendo que f = g ◦ h, decomponha f e encontre a funcao g sabendo quef(x) =

√x+ 2 e h(x) = x+ 2.

1.6 Tipos de funcoes

1.6.1 Funcao sobrejetora

E aquela cujo conjunto imagem e igual ao contradomınio.


1.6.2 Funcao injetora

Uma funcao y = f(x) e injetora quando elementos distintos do seu domınio possuemimagens distintas, isto e, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

1.6.3 Funcao bijetora

Uma funcao e dita bijetora, quando e ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

Exemplo 13 - Considere tres funcoes f , g e h, tais que:A funcao f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A funcao g atribui a cada paıs, a sua capital.A funcao h atribui a cada numero natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funcoes dadas, sao injetoras:

a) f , g e h

b) f e h

c) g e h

d) apenas h

e) nenhuma delas.

Sabemos que numa funcao injetora, elementos distintos do domınio, possuemimagens distintas, ou seja,

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Logo, podemos concluir que:

f nao e injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g

e injetora, pois nao existem dois paıses distintos com a mesma capital. h e

1.7. FUNCAO INVERSA 33

injetora, pois dois numeros naturais distintos possuem os seus dobros tambemdistintos. Assim e que concluımos que a alternativa correta e a de letra c).

1.7 Funcao inversa

Suponha que um cientista esteja analisando a producao de mel de uma colmeia.Ele coleta dados desta producao com o tempo, registrando a producao de mel, emlitros, a cada intervalo de 1 hora. A Tabela 1.1 fornece alguns dos dados destaexperiencia. A producao de mel P e uma funcao do tempo t: P = f(t).

Tabela 1.1: Producao de mel como funcao do tempo.

t (h) P (l)0 101 122 163 224 305 42

Suponha agora, que outro cientista analisando a mesma colmeia, queira analisaro tempo necessario para que a producao de mel atinja certos nıveis em litros. Ouseja, este outro cientista esta pensando em t como uma funcao de P (olhando aTabela 1.1 ao contrario). Essa funcao, chamada funcao inversa de f , e denotadapor f−1, e deve ser lida assim: “inversa de f”. Logo, o tempo t e uma funcao dovolume de mel P : t = f−1(P ).

A funcao inversa e uma funcao em que trocamos as variaveis dependentes com asvariaveis independentes da funcao. No entanto, nem todas as funcoes admitem in-versa, ou seja, existem restricoes para a existencia da funcao inversa. Para entenderestas restricoes, temos que pensar sobre o que e a funcao inversa e das definicoes dafuncao sobrejetora, injetora e bijetora. Se f(x) = y, isto significa que f transformax em y, entao a sua inversa, f−1 transforma y de volta em x. Ou seja, a relacaoentre o domınio e a imagem da funcao f e invertida para a funcao f−1.

domınio de f−1 = imagem de f

imagem de f−1 = domınio de f

Esta relacao so pode ser invertida se a funcao for bijetora, pois neste caso seucontradomınio e igual ao seu conjunto imagem (sobrejetora), permitindo a trocaentre o domınio e a imagem; e elementos distintos do seu domınio possuem imagensdistintas (injetora), permitindo que f−1 seja definida de forma unica.

Graficamente, podemos determinar se uma funcao e injetora e, portanto, sepodera admitir inversa, caso tambem seja sobrejetora, atraves do teste da reta


horizontal. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o graficoda funcao em apenas um ponto para que a funcao seja injetora, pois, se uma retahorizontal intercepta o grafico de f em mais de um ponto, entao, isto significa que,existem numeros x1 e x2 tais que f(x1) = f(x2). Ou seja, neste caso f nao e umafuncao injetora (Figura 1.8).

Figura 1.8: Exemplificacao do teste da reta horizontal para uma funcao f nao injetora,pois a reta intercepta mais de um ponto do grafico de f . (Imagem retirada da referencia:

Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

Na Figura 1.9, temos um diagrama de flechas, onde pode-se observar que afuncao f admite inversa pois e bijetora, enquanto a funcao g nao admite inversa(mais de um elemento distinto do seu domınio (3 e 2) possui a mesma imagem (4)).

Figura 1.9: Diagrama de flechas das funcoes f (bijetora) e g (nao bijetora). (Imagemretirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

Agora que sabemos o que sao funcoes inversas, vamos ver agora como calcularestas funcoes. Se tivermos uma funcao y = f(x) (f e bijetora) e formos capazes de

1.7. FUNCAO INVERSA 35

isolar x nessa equacao escrevendo-o em funcao de y, entao encontramos x = f−1(y).Se quisermos voltar a chamar a variavel independente de x, devemos trocar x pory na expressao encontrada e chegamos a equacao y = f−1(x).

Para fazermos o grafico da funcao inversa basta tracarmos a reta y = x e obser-varmos a simetria. O grafico de f−1 e obtido refletindo o grafico de f em torno dareta y = x, como ilustrado na Figura 1.10.

Figura 1.10: Exemplificacao da simetria em torno da reta y = x dos graficos de f ef−1. (Imagem retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage

Learning, 2010.)

Exemplo 14 - Encontre a funcao inversa de f(x) = x3 + 5.

(1º passo) escrevemos y = f(x)

y = x3 + 5;

(2º passo) isolamos x na equacao, escrevendo-o em termos de y

x3 = y − 5 =⇒ x = (y − 5)1/3;

(3º passo) para expressar f−1 como uma funcao de x, trocamos x por y.A equacao resultante e y = f−1(x) (funcao inversa de f).

f−1(x) = (x− 5)1/3.

Exemplo 15 - Encontre a funcao inversa de f(x) = 3x+ 2

(1º passo) y = 3x+ 2;

(2º passo) x = y − 23 ;

(3º passo) f−1(x) = x− 23 .



28. a) O que e uma funcao bijetora? b) A partir do grafico, como dizer se umafuncao e injetora?

29. Se f for uma funcao injetora tal que f(2) = 9, quanto e f−1(9)?

30. Verifique se a funcao f admite inversa (dica: verifique se a funcao e bijetora).

a)x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1,5 2,0 3,6 5,3 2,8 2,0

b)x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1 2 4 8 16 32

c) f(x) = 12(x+ 5)

d) g(x) = |x|

31. Dado f(x) =√

10− 3x. Encontre a formula para a funcao inversa f−1(x).

32. Dado f(x) = 4x− 12x+ 3 . Encontre a formula para a funcao inversa f−1(x).

33. Dado as funcoes abaixo encontre as formulas das funcoes inversas.

a) 2x+ 3

b)√

4x

c)√x

2 + 1

1.8 Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Veremos agora outros dois tipos de funcoes que fazem parte da nossa vida diaria.Estamos falando da funcao exponencial e da funcao logarıtmica.

1.8.1 Funcao Exponencial

A funcao exponencial ocorre frequentemente em modelos matematicos que des-crevem processos da natureza e da sociedade. Esta e utilizada na descricao docrescimento populacional, e tambem no fenomeno de decaimento radioativo.

Potenciacao

Se a e um numero real e n e inteiro e positivo, a expressao an representa o produtode n fatores iguais a a, ou seja:

an = a× a× a . . .× a︸︷︷︸n

, (1.1)

nessa expressao a e denominado base e n o expoente.

1.8. FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 37

Sendo n um numero inteiro e positivo define-se:

a−n =(

1a

)n= 1an

. (1.2)

Sendo a um numero real positivo, e m e n numero inteiros e positivos, define-se:

an/m = m√an (1.3)

Propriedades - Regras basicas da potenciacao

1. ax+y = axay

2. ax−y = ax

ay

3. (ax)y = axy

4. (ab)x = axbx

Funcao Exponencial

A funcao f : R → R e dada por f(x) = ax com a 6= 1 e a > 0 e denominadafuncao exponencial de base a e definida para todo x ∈ R. Sao exemplos de funcoesexponenciais

f(x) = 2x, f(x) =(

13

)x, f(x) = 3x .

O numero e

Dentre todas as bases possıveis para a funcao exponencial, existe uma que emais conveniente para aplicacao em calculo. Na escolha de uma base a pesa muitoa forma como a funcao y = ax cruza o eixo y. Portanto devemos analisar a inclinacaoda reta tangente neste ponto. A reta tangente a uma curva e aquela intercepta acurva em um unico ponto. Quando escolhemos a base e, a inclinacao desta reta eexatamente 1. O valor correto de e ate a quinta casa decimal.

e = 2, 71828 (1.4)

Grafico

O comportamento da funcao exponencial e caraterizado pela sua base. A funcaoe decrescente quando a base esta entre (0, 1) e crescente quando esta e maior do que aunidade. Na Figura (1.11) apresentamos o grafico de algumas funcoes exponenciais.

Note que todas as curvas se interceptam no par ordenado (0, 1), nao importandoqual seja a base.


Figura 1.11: Funcao exponencial.


Resolva os seguintes exercıcios.

34. Esboce o grafico da funcao y = 3− 2x e determine seu domınio e imagem.

35. Esboce o grafico da funcao y = 12e−x−1 e estabeleca o seu domınio e imagem.

36. Sob condicoes ideais sabe-se que uma certa populacao de bacterias dobra acada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bacterias. Encontre (a)a populacao apos 15 horas, (b) a populacao apos t horas. (c) A populacaoapos 20 horas.

37. Um isotopo de sodio 24Na, tem uma vida media de 15 horas. Uma mostradesse isotopo tem massa 2g. Encontre (a) a quantidade remanescente apos 60horas. (b) A quantidade remanescente apos t horas. (c) Estime a quantidaderemanescente apos 4 dias.

1.8.3 Funcao Logarıtmica

A funcao inversa da funcao exponencial e a funcao logarıtmica. A funcao edefinida como

f(x) = loga x, a > 0, a 6= 1 (1.5)

A funcao logaritmo e definida pra x ∈ (0,∞) e tem imagem Im(f) = R. Quandoa base do logaritmo e e, chamamos logaritmo natural.

loge x = ln x (1.6)

Propriedades - As funcoes logarıtmicas tem as seguintes propriedades

1. loga(b· c) = loga b + logac

1.8. FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 39

2. loga(b

c

)= loga b − logac

3. loga(bn) = n loga b

Na Figura (1.12) apresentamos o grafico da funcao logarıtmica na base e (graficode ln x).

Figura 1.12: Funcao logarıtmica de base e.

Exemplo 14 - Vamos encontrar o valor do logarıtmo de base 10 de 100 (log10 100,que por convensao tambem e escrito da forma log 100).

Podemos escrever log 100 = y. Das operacoes com logarıtmo temos

100 = 10y

102 = 10y, donde encontramos quey = 2, ou seja,

log 100 = 2.


Resolva os seguintes exercıcios.

38. Resolva a equacao e5−3x = 10.

39. Calcule log8 5.

40. Esboce o grafico da funcao y = ln(x− 2)− 1.

41. Se a populacao de bacterias em um experimento comeca com 100 e dobra acada tres horas. (a) Encontre o numero de bacterias apos t horas. (b) Encontrea funcao inversa e explique o seu significado. (c) Quando a populacao atingira50 000 bacterias?


Figura 1.13: Representacao de um arco de circunferencia.

1.9 Funcoes trigonometricas

O estudo dos angulos e as relacoes angulares em figuras planas ou tridimensionaise conhecida como trigonometria. As funcoes trigonometricas sao mais faceis deserem definidas utilizando um cırculo unitario, como mostra a Figura (1.14). Porem,antes de comecarmos o estudo das relacoes trigonometricas, precisamos entender osignificado de graus e sua relacao com radianos.

Relacao entre graus e radianos

Podemos entender por grau ou radiano como sendo a unidade de medida polarde um arco de circunferencia, ou seja, e a unidade do angulo existente entre doiseixos que definem um arco de circunferencia. A Figura 1.13 mostra a representacaode um arco de circunferencia, onde R e o raio da circunferencia, L e o arco e θ e oangulo entre os dois eixos.

Escrevemos a medida do angulo θ em graus (°) ou radianos (rad). Quando damosuma volta completa na circunferencia, andamos 360°. Assim, 1

4 da circunferenciaequivale a 90° ou um angulo reto.

Equivalente a medida em graus, podemos escrever medidas de angulos em radi-anos. A relacao entre graus e radianos pode ser dada por

π rad = 180°

que equivale ao angulo de metade de uma circunferencia. Dessa relacao, temostambem que uma volta completa 360° = 2π rad.

Relacoes trigonometricas

Com a relacao acima em mente, podemos definir agora as relacoes trigonometricas.

1.9. FUNCOES TRIGONOMETRICAS 41

Figura 1.14: Cırculo de raio unitario.

Definicao - Seja θ o angulo medido no sentido anti-horario a partir do eixo x, aolongo do cırculo. Entao o cos θ e coordenada horizontal do fim do arco decırculo e sua componente vertical o senθ. A razao entre senθ e cos θ e definidocomo tan θ. As definicoes no cırculo implicam que as funcoes trigonometricassao periodicas com perıodo 2π.

Um triangulo retangulo tem tres lados, os quais sao identificados como hipotenusa,cateto adjacente a um dado angulo θ e cateto oposto ao angulo. Quando a hipotenusae igual a um, como mostrado na Figura (1.14), senθ e cos θ sao iguais aos ladosoposto e adjacente respectivamente. Portanto, do teorema de Pitagoras podemostirar a identidade trigonometrica fundamental

1 = sen2θ + cos2 θ . (1.7)

1.9.1 Funcoes Trigonometricas

A definicao das funcoes trigonometricas atraves do cırculo de raio unitario forneceuma interpretacao geometrica para cada uma das funcoes trigonometricas. Entre-tanto podemos tambem fazer a definicao algebrica destas funcoes. Alem disso, ver-emos que para cada funcao trigonometrica existe uma correspondente que e igual a1 sobre a funcao.

Funcao seno e cossecante

A funcao seno e definida como

f(x) = senx , D(f) = R , I(f) = [−1, 1] . (1.8)


Figura 1.15: Representacao grafica da cossecante (cosseca ou csc a) como escrito nopadrao ingles) e da secante (sec a), onde θ = a).

Na Figura 1.14 podemos ver como a funcao sen e definida atraves do cırculotrigonometrico. Por sua vez, definimos a funcao cossecante como

f(x) = cossecx = 1senx , D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ},

comn ∈ Z , I(f) = {R | 1 < |x|}. (1.9)

A definicao geometrica da cossecante e dada pela distancia entre y = 0 ate oponto de interseccao entre uma reta (ponto U na Figura 1.15), que passa pelo pontoonde uma reta que sai do centro e intersecciona a circunferencia trigonometricafazendo um angulo θ com a horizontal (ponto M na Figura 1.15), e o eixo y. Oangulo entre tal reta e o eixo y e o mesmo que a reta que passa pelo centro faz como eixo x (ver Figura 1.15 onde θ = a).

Na Figura (1.16) mostramos o grafico da funcao seno e cossecante.

Funcao cosseno e secante

Definimos a funcao cosseno para dado f(x) tal que

f(x) = cosx , D(f) = R , I(f) = [−1, 1] . (1.10)

A funcao secante e definida como

f(x) = secx = 1cosx, D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ2 },

comn ∈ Z , I(f) = {R | 1 < |x|} .(1.11)


Figura 1.16: funcao senx linha cheia e funcao cossecx linha pontilhada.

A definicao geometrica da secante e dada pela distancia entre x = 0 ate o pontode interseccao entre uma reta (ponto V na Figura 1.15), que passa pelo ponto ondeoutra reta que sai do centro O intersecciona a circunferencia trigonometrica fazendoum angulo θ com a horizontal (ponto M na Figura 1.15), e o eixo x (ver Figura 1.15onde θ = a).

Na Figura (1.17) apresentamos o grafico das funcoes cosseno e secante.

Figura 1.17: Funcao cosx e secx.

Funcao tangente e cotangente

Seguindo com as definicoes vamos examinar a tangente e a cotangente. Definimosuma funcao f(x) tal que


Figura 1.18: Representacao trigonometrica da tangente (esquerda) e da cotangente(direita).

f(x) = tgx , D(f) = {x ∈ R | x 6= π2 + nπ} ,

comn ∈ Z , I(f) = R .(1.12)

A definicao geometrica da tangente e dada pela reta que toca o cırculo trigonometricoe e perpendicular ao eixo x. A medida da tangente e tomada por sua projecao sobreo eixo y para cada angulo θ. Na Figura 1.18 temos a representacao de alguns valoresda tangente para valores de θ dados.

Por sua vez, a funcao cotangente e definida a partir de

f(x) = cotgx = 1tgx , D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ} ,

comn ∈ Z , I(f) = R .(1.13)

A definicao geometrica da cotangente e dada pela reta que toca o cırculo trigonometricoe e perpendicular ao eixo y, como mostrado na Figura 1.18.

A Figura 1.19 mostra o grafico das funcoes tangente e cotangente para os valoresde x.

1.9.2 Funcoes Trigonometricas Inversas

Quando tentamos encontrar as funcoes inversas trigonometricas, temos umadificuldade. Como as funcoes trigonometricas nao sao injetivas, elas nao tem funcoesinversas. A dificuldade e superada restringindo-se o domınio dessas funcoes de formaa torna-las injetoras. As funcoes inversas sao chamadas arcsen, arccos e arctan. A


Figura 1.19: Funcao tgx linha cheia e funcao cotgx.

inversa da funcao seno e a funcao arcsen

f(x) = arcsenx , D(f) = [−1.1], I(f) =[−π2 ,

π

2

](1.14)

A inversa da funcao cosseno e definida de modo similar

f(x) = arccosx , D(f) = [−1.1], I(f) = [0, π] (1.15)

A funcao tangente pode ser tomada no intervalo(−π2 ,

π2). Assim a funcao inversa

da tangente e definida como f(x) = arctgx. Diferentemente das funcoes arcsen earccos em que o domınio e definido no intervalo [−1, 1], a funcao arctg tem domınioem todo o conjunto dos reais.

f(x) = arctgx , D(f) = R, I(f) =[−π2 ,

π

2

](1.16)

A Figura (1.20) mostra as tres funcoes trigonometricas inversas.


Resolva os seguintes exercıcios

42. Se cos θ = 25 e 0 < θ < π

2 , determine as outras funcoes para este angulo.

43. Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2π] tal que senx = sen2x.

44. Esboce o grafico das seguintes funcoes em um perıodo: y = 4sen(x), y =1 + senx, y = sen(x − π

2 ), y = cos(x − π2 ), y = 2sen(x4 ). Determine seu

domınio e imagem.

45. Determine o perıodo das funcoes: y = sen6x, y = sen(x3 ), y = 5sen4x, y =4sen(2x+ π

6 ).

46. Calcule: arcsen( 12 ), arccos

(√3

2

)e tg

(arcsen( 1

3 )).


Figura 1.20: Funcoes trigonometricas inversas arccosx linha cheia, arcsenx linhatracejada vermelha e arctgx linha tracejada azul.

1.10 Respostas dos exercıcios propostos

1. D = {x ∈ R / x 6= −4}; Im{y ∈ R / y 6= 0}

2. D = {x ∈ R / x > −3}; Im{y ∈ R / y > 0}

3. D ={x ∈ R / x > − 5

2 e x 6= 2}

4. a) ımpar b) par c) ımpar d) ımpar e) par f) par g) sem paridade h)par i) ımpar j) par k) par l) par m) par

5. e)

6. a)

7. x = 2140

8. c)

9. a)

10. c)

11. c)

12. a)

13. e)

14. b)

15. −1 e 5

16. ±4

1.10. RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS 47

17. 8

18. a) g(x) = f(x) + 3 b) g(x) = f(x)− 5 c) g(x) = f(−x)

d) g(x) = f(x+ 4) e) g(x) = 2f(x) f) g(x) = −f(x)

g) g(x) = 16f(x)

19. a) expansao vertical do grafico de f(x) por um fator 6;

b) reflexao em torno do eixo x do grafico de f(x);

c) expansao vertical do grafico de f(x) por um fator 6 seguida de uma reflexaoem torno do eixo x;

d) deslocamento vertical em 2 unidades para baixo do grafico de f(x) seguidode uma expansao vertical por um fator 6.

20. a) b)

21.

22. (f + g)(x) = x3 + 5x2 − 1, D = (−∞,+∞)

(f − g)(x) = x3 − x2 + 1, D = (−∞,+∞)

(f.g)(x) = 3x5 + 6x4 − x3 − 2x2, D = (−∞,+∞)(f

g

)(x) = x3 + 2x2

3x2 − 1 , D ={x | x 6= ± 1√

3

}


23. (f.g)(x) =√x− 1x

, D = [1,+∞)

(f/g)(x) = x√x− 1, D = [1,+∞)

24.a) (f ◦ g)(x) = (2− x)1/4, D(f ◦ g) = (−∞, 2]b) (g ◦ f)(x) =

√2−√x, D(g ◦ f) = [0, 4]

c) (f ◦ f)(x) = x1/4, D(f ◦ f) = [0,+∞)d) (g ◦ g)(x) =

√2−√

2− x, D(g ◦ g) = [−2, 2]

25. (f ◦ g ◦ h)(x) = (x+ 3)10

(x+ 3)10 + 1

26. a) x2 b) 3x

27.√x

28. a) Uma funcao f e chamada de funcao bijetora quando ela e injetora (nuncaassume o mesmo valor duas vezes) e sobrejetora (seu conjunto imagem e igualao seu contradomınio).b) O grafico deve satisfazer ao teste da reta horizontal, ou seja, qualquer retahorizontal deve interceptar o grafico da funcao no maximo em um ponto desta.

29. 2

30. a) nao b) sim c) sim d) nao

31. f−1(x) = −13x

2 + 103

32. f−1(x) = 3x+ 14− 2x

33. a) f−1(x) = x− 32

b) f−1(x) = x2

4

c) 2x2 − 2

34. D = R; I = (−∞, 3)

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1.10. RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS 49

35. D = R; I = (0,+∞)

4 2 0 2 4

0

2

4

6

8

10

36. a) N = 3200 bacterias b) N(t) = 2 t3 · 100 c) N = 10159 bacterias

37. a) M = 0, 125 g b) M(t) = 21−t/15(g) c) M = 0.0236830714 g

38. x = 0.899138302

39. 0.773976032

40.

2 3 4 5 6 7 8 9 106

5

4

3

2

1

0

1

41. a) N(t) = 2 t3 · 100

b) t = 3· log2

(N

100

). Agora temos o tempo em funcao do numero de bacterias.

c) Apos t ' 26, 9 horas.

42. senθ =√

215 ; tgθ =

√212

43.[0, π3 , π, 2π

]44.

0 π

2π 3π

22π 5π

23π 7π

24π 9π

25π 11π

26π 13π

27π 15π

28π

4

3

2

1

0

1

2

3

44sen(x)

1 +sen(x)

sen(x− π

2)

cos(x− π

2)

2sen(x

4)


45. π

3 , 6π, π2 , π

46. π

6 ,π

6 , 0, 35...

Capıtulo 2

Limites de funcoes e funcoescontınuas

2.1 Limites de funcoes1

Desejamos saber o que acontece com os valores de uma funcao f(x) quando xse aproxima de um dado ponto a.

Por exemplo, sef(x) = 2x− 3o que acontece com os valores de f(x) quando x assume valores proximos de 4?Se h(t) representa a altura de uma arvore no instante t, o que acontece com os

valores h(t) quando t assume valores arbitrariamente grandes?Observe a tabela abaixo para a funcao f(x) = 2x− 3.

x 3.8 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.2f(x) 4.6 4.8 4.98 5 5.02 5.2 5.4

Vemos nesta tabela que quanto mais proximo de 4 tomamos o ponto x, mais ovalor f(x) se aproxima de 5. Diremos que o limite de f(x) quando x tende a 4 e 5.

Na verdade podemos fazer com que f(x) se aproxime de valores proximos de 5quanto desejarmos, somente aproximando os valores de x o suficiente do valor 4.

Por exemplo, se desejamos aproximar x de tal modo que a diferenca em f(x)seja menor que 0.03, isto e

|f(x)− 5|< 0.03,

Para verificar isso, vamos ver como a desigualdade acima se comporta. Substi-tuindo acima f(x) = 2x− 3, temos

1As Secoes 2.1, 2.2 e 2.3 foram baseadas no livro Kuelkamp, Nilo - Calculo I, 2ª ed. 2001,Editora da UFSC. Portanto, qualquer semelhanca nao e mera coincidencia.

51

52 CAPITULO 2. LIMITES DE FUNCOES E FUNCOES CONTINUAS

|2x− 3− 5|< 0.03

ou seja,

|2x− 8|< 0.03

2|x− 4|< 0.03

Isso equivale a

|x− 4|< 0.015

Disso, podemos dizer que, para aproximar f(x) mais proximos que 0.03 de 5,devemos deixar x mais proximo que 0.015 do valor x = 4. Ou seja,

f(x)− 0.03 < 5 < f(x) + 0.03 desde que x− 0.015 < 4 < x+ 0.015. (2.1)

Se agora trocarmos os numeros 0.03 e 0.15 por dois numeros positivos ε e δ,respectivamente, na expressao 2.1, temos

f(x)− ε < 5 < f(x) + ε desde que x− δ < 4 < x+ δ. (2.2)

Assim, podemos escrever|f(x)− 5| < ε, (2.3)

e|x− 4| < δ. (2.4)

Novamente, substituindo f(x) = 2x− 3 na expressao 2.3, encontramos

|x− 4|< ε

2 .

Comparando a expressao acima com a expressao com a expressao 2.4, vemosque

δ ≤ ε

2 ,

ou seja, para f(x) = 2x− 3, aproximando x de 4 por um valor δ = ε

2 , aproximamosf(x) de 5 por um valor ε. Podemos escrever isso de outra forma do seguinte modo

|x− 4|< δ ⇒ |f(x)− 5| < ε,

ou equivalente,

x ∈ (4− δ, 4 + δ)⇒ f(x) ∈ ( 5− ε, 5 + ε).

Podemos representar o que foi discutido acima na forma grafica.

2.1. LIMITES DE FUNCOES 53

0 1 2 3 4 5x

0

1

2

3

4

5

6f(x)=

2x−

3

5 +ε

5−ε

4+δ4−δ

5−ε

A partir desse exemplo, obtemos a seguinte definicao.

Definicao - Seja a funcao f definida no intervalo I, com a ∈ I. Dizemos que f(x)tem limite L quando x tenda para a, se dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ I e 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Simbolicamente, podemos escrever a definicao acima da forma

limx→a

f(x) = L.


x a a+δa−δ

L

L+ε

L−ε

f(x)

Exemplo 1 - Seja f(x) = 4x2+5. Usando a definicao vamos mostrar que limx→0

f(x) =5.

Queremos encontrar ε > 0 para que obtenhamos δ > 0, tal que

0 < |x− 0| < δ ⇒ |f(x)− 5| < ε.

Para determinar um tal δ, partimos da desigualdade desejada e a transformamossucessivamente em outras, a ela equivalentes, ate que se torne facil de descobrir umacondicao sobre |x− 0| que assegure a validade daquelas desigualdades.

Desejamos obter

|f(x)− 5| < ε.

Para isso, substituımos f(x) = 4x2 + 5 na expressao acima

|4x2 + 5− 5| < ε

|4x2| < ε

4|x2| < ε

x2 <ε

4

|x| <√ε

2

|x− 0| <√ε

2 .


Dessa forma, podemos ver que

0 < |x− 0| <√ε

2assegura que

|f(x)− 5| < ε.

Portanto, podemos tomar δ =√ε

2 , ou qualquer outro numero positivo menor do

que√ε

2 para que obtenhamos valores tao proximos de L= 5 quanto desejarmos.

Por exemplo, se queremos que o limite se aproxime de 5 mais que 1100 , tomamos

ε = 1100 , ou qualquer numero positivo menor que esse, e calculamos o valor de δ

δ =

√1

1002 =

1102 = 1

20 ;

se queremos que os valores de f(x) se aproximem mais de 5 que ε = 110000 ,

δ =

√1

100002 =

11002 = 1

200 ,

e assim por diante.A seguir, veremos as propriedades dos limites que nos ajudam a calcular limites

sem precisar recorrer a forma usada no Exemplo 1. Cada propriedade e alicercadapor um teorema. As demonstracoes dos teoremas podem ser encontradas no livroKuelkamp, Nilo - Calculo I.

Propriedade 1 - (Unicidade do limite) Se limx→a

f(x) = L e limx→a

f(x) = M, entao L= M.

Propriedade 2 - Se f(x) = c ∀ x ∈ R, entao para qualquer a ∈ R temos limx→a

f(x) =c.

Propriedade 3 - Se limx→a

f(x) = L > M, entao existe δ > 0 tal que

0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > M.


f(x) = 0 e g(x) e limitada no intervalo I−{a}, onde I e ointervalo que contem o ponto a, entao lim

x→af(x).g(x) = 0.

Exemplo 2 - Sejam f(x) = x2 − 1 e g(x) = x3 + 3 3√x2 − 500, mostre que

limx→1

f(x).g(x) = 0.

Vamos calcular limx→1

f(x)

limx→1

(x2 − 1) = 12 − 1 = 0


da propriedade 4 temos portanto que limx→1

f(x).g(x) = 0, o que iremos conferira seguir

limx→1

(x2 − 1)(x3 + 3 3√x2 − 500) =

= limx→1

(x5 + 3x2 3√x2 − 500x2 − x3 − 3 3√

x2 + 500) == 0

Portanto, a solucao satisfaz a nossa demonstracao e a propriedade 4.


f(x) = L e limx→a

g(x) = M, entao:

a) limx→a

[f(x)± g(x)] = L±M.

b) Para qualquer c ∈ R, temos

limx→a

c.f(x) = c.L

c) limx→a

f(x).g(x) = L.M.

d) limx→a

f(x)g(x) = L

M desde que M 6= 0.

Observacao I - Decorre do item (c) quelimx→a

f(x)· f(x) = L·L = L2 = limx→a

[f(x)]2 =[

limx→a

f(x)]2

limx→a

f(x)· f(x)· f(x) = L·L·L = L3 = limx→a

[f(x)]3 =[

limx→a

f(x)]3

donde decorre a forma generalizada

limx→a

[f(x)· f(x)· f(x) . . .f(x)︸︷︷︸n×

] = limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

,

para qualquer n.

Exemplo 3 - Dadas f(x) = 2x+ 7 e g(x) = x2−3, calcule os limites abaixo usandoa propriedade 5.

1. limx→−1

f(x)limx→−1

(2x+ 7) = 5.

2. limx→−1

g(x)

limx→−1

(x2 − 3) = −2.

3. limx→−1

(x2 + 2x+ 4)Usando a propriedade 5.a), temos

limx→−1

(x2 + 2x+ 4) = limx→−1

[(2x+ 7) + (x2 − 3)]

= limx→−1

f(x) + limx→−1

g(x)

= 5− 2= 3

.


4. limx→−1

(6− 2x2)Podemos usar a propriedade 5.b):

limx→−1

(6− 2x2) = limx→−1

−2(x2 − 3)

= −2· limx→−1

g(x)

= 4

.

5. limx→−1

(23x

3 + 73x

2 − 2x− 7)

Usaremos as propriedades 5.b) e 5.c) no calculo deste limite

limx→−1

(23x

3 + 73x

2 − 2x− 7)

= limx→−1

13(2x3 + 7x2 − 6x− 21)

= limx→−1

13(2x+ 7)(x2 − 3)

= limx→−1

13f(x)· g(x)

= 13 · 5· (−2)

= −103

.

6. limx→−1

(x3 + x2 − 3x− 3)(2x2 + 9x+ 7)

limx→−1

(x3 + x2 − 3x− 3)(2x2 + 9x+ 7) = lim

x→−1

(x2 − 3)(x+ 1)(2x+ 7)(x+ 1)

= limx→−1

(x2 − 3)(2x+ 7)

= limx→−1

g(x)f(x)

= −25

= −25

onde usamos a propriedade 5.d).

Propriedade 6 - Sejam a, b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Entao temos

a) limx→a

senx = sena

b) limx→a

cosx = cos a

c) limx→a

bx = ba

d) limx→a

logb x = logb a

e) limx→a

n√x = n

√a,

{∀ n se a > 0n ımpar se a < 0.


f(x) = b e limy→b

g(y) = L, entao limx→a

(g◦f)(x) = L, desdeque L = g(b). Em outras palavras

limx→a

g(f(x)) = g( limx→a

f(x)).

Exemplo 4 - Seja f(x) = x2 + 1 e g(x) =√x, entao

limx→1

f(x) = limx→1

(x2 + 1) = 2


e

limx→2

g(x) = limx→2

√x =√

2

portanto, da propriedade 7, temos

limx→1

(g◦f)(x) =√

2.

Propriedade 8 - Sejam b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Se limx→a

f(x) = L, entao

a) limx→a

senf(x) = senL

b) limx→a

cos f(x) = cos L

c) limx→a

bf(x) = bL

d) limx→a

logb f(x) = logb L, desde que L > 0

e) limx→a

n√f(x) = n

√L{∀ n se L > 0n ımpar se L < 0.

Propriedade 9 - Se f(x) 6 h(x) 6 g(x) para todo x num intervalo aberto I− {a},e se lim

x→ag(x) = lim

x→af(x) = L, entao lim

x→ah(x) = L.

Exemplo 5 - Calcular os limites.

1. limx→1

x2 + 5x− 12x− 12

limx→1

x2 + 5x− 12x− 12 = 12 + 5· 1− 1

2· 1− 12 = 5−10 = −1

2

2. limx→π

(x2 + cosx)

limx→π

(x2 + cosx) = limx→π

x2 + limx→π

cosx = π2 + cosπ = π2 − 1

3. limx→−2

(x3 − 2x)4

Da observacao I, temos

limx→−2

(x3 − 2x)4 =[

limx→−2

(x3 − 2x)]4

= [(−2)3 − 2· (−2)]4

= (−8 + 4)4

= (−4)4

= 256.


4. limx→−3

3√x4 + 9x3 + 10x2 − x+ 5

= 3√

(−3)4 + 9(−3)3 + 10(−3)2 − (−3) + 5= 3√−64 = −4.

5. limx→π/2

x· senxx+ 1

=π

2 · senπ2π

2 + 1=

π

2 · 1π + 2

2

= π

π + 2 .

6. limx→5

ln(x3 − 3x2 − 30)

= ln(53 − 3· 52 − 30)= ln 20 = ln(5· 22) = ln 5 + ln 22 = ln 5 + 2 ln 2.

7. limx→−2

2x2+3x+5

= 2(−2)2+3(−2)+5 = 23 = 8.

2.1.1 Exercıcios propostos

1. Seja f(x) = 4x2 − 11x+ 6x− 2 . Para cara ε dado, determine δ tal que |f(x)−5| <

ε sempre que 0 < |x− 2| < δ.

a) ε = 4 b) ε = 2

c) ε = 1 d) ε = 0, 08

Sugestao: Simplifique a fracao que define f por x− 2.

2. Calcule os limites.

a) limx→−1

(3x2 − 7x− 4) b) limx→6

x2 − 12x+ 36x− 5

c) limx→−2

√5x2 + 3x+ 2 d) lim

x→−3log(x4 − 3x+ 10)

e) limx→π

cosx· sen(x+ π) f) limx→−π

esenx


2.2 Limites laterais

Ate agora, analisamos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a tantopor um lado como pelo outro sem fazer distincao, ou seja, sem determinar se x seaproxima de a pela esquerda (para valores de x menores que a ou x : −∞→ a) oupela direita (para valores de x maiores que a ou x : +∞→ a). Agora analisaremosesses dois casos separadamente.

Definicao - Seja f : (a, b)→ R uma funcao.

Diremos que f(x) tem limite L quando x tende para a pela direita

limx→a+

f(x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e a < x < a+ δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Diremos que f(x) tem limite L quando x tende para b pela esquerda

limx→b−

f(x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e b− δ < x < b⇒ |f(x)− L| < ε.

limx→a+

f(x) = L limx→b−

f(x) = L

As propriedades vistas para limites tambem valem para o limites laterais e temdemonstracoes analogas.

Exemplo 5 - Consideremos a funcao

f(x) =

x2, se x < 21, se x = 24− x, se x > 2

.

Entao temos

2.2. LIMITES LATERAIS 61

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 = 4

e

limx→2+

f(x) = limx→2−

(4− x) = 2.

Observe que f(2) = 1, ou seja, f(2) 6= 4 e f(2) 6= 2. Portanto os limiteslaterais sao ambos diferentes do valor no ponto x = 2.

Propriedade 10 - Seja a ∈ I, onde I e um intervalo aberto e, seja f(x) tal quef : I−{a} → R uma funcao. Entao f(x) tem limite L quando x tende a a se,e somente se, f(x) possuir limite L quando x tende a a pela esquerda e peladireita, ou seja,

limx→a

f(x) = L⇐⇒ limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = L

Exemplo 6 - Seja

f(x) =

x3 + 1, se x < 13, se x = 1x+ 1, se x > 1

.

Entao temos

limx→1+

f(x) = limx→1+

(x+ 1) = 2

e

limx→1−

f(x) = limx→1−

(x3 + 1) = 2

Assim, pela propriedade 10 temos que limx→1

f(x) = 2.

[Observe que f(1) = 3 6= 2 = limx→1±

f(x).]

Exemplo 7 - Seja a funcao

f(x) ={

x2 − 2x, se x 6 34− x, se x > 3

.

Entao,

limx→3+

f(x) = limx→3+

(4− x) = 1

e

limx→3−

f(x) = limx→3−

(x2 − 2x) = 3.

Vemos que limx→3+

f(x) 6= limx→3−

f(x). Assim, pela propriedade 10, nao existelimite de f(x) quando x tende a 3, ou seja,

limx→3

f(x) = @.



3. Para cada funcao a seguir, calcule limx→a+

f(x), limx→a−

f(x) e limx→a

f(x) caso esteexista.

a)f(x) =

{3− x2 se x < 02x se x > 0

a = 0

b) f(x) = x2 − 3x− 4x− 4

a = 4

c)f(x) =

{x2 − 4x− 1 se x < 22− x se x > 2

a = 2

d)f(x) =

2x+ 3 se x < −1−x se x > −10 se x = −1

a = −1

2.3 Indeterminacoes

Vamos agora calcular o limite limx→1

2x3 − 21− x

Vemos que neste caso nao podemos aplicar a propriedade 5, ja que o denomi-nador possui limite 0. Resolvemos agora esse limite de uma maneira diferente

limx→1

2x3 − 21− x = lim

x→1

2(x3 − 1)−(x− 1)

= limx→1−2(x2 + x+ 1)(x− 1)

(x− 1)= limx→1−2(x2 + x+ 1)

= −2.3= −6

No calculo de limites de funcoes, podemos encontrar outras expressoes cujos valoresnao sao imediatamente determinados. Ao todo, sao sete os sımbolos de indeter-minacao:

00 ,∞∞, 0.∞, ∞−∞, 00, 1∞ e ∞0

Durante o calculo de limites, sempre que chegarmos a um destes sımbolos, pre-cisamos buscar uma alternativa para obter o valor do limite. Quando fazemos isto,estamos fazendo o levantamento da indeterminacao.

Exemplo 8 - Calcule os limites.

1. limx→3

x− 3x2 − 9 .

Temos aqui uma indeterminacao do tipo 00 e usamos da fatoracao para

2.3. INDETERMINACOES 63

levanta-la. Assim procedendo, temos

limx→3

x− 3x2 − 9 = lim

x→3

x− 3(x+ 3)(x− 3)

= limx→3

1x+ 3

= 16

2. limx→1

x3 − 4x2 + 3xx2 + 3x− 4 .

Este problema e analogo ao anterior. Para obter a fatoracao dividire-mos numerador e denominador por x − a, onde a = 1. Fazendo isso,obtemos

limx→1

x3 − 4x2 + 3xx2 + 3x− 4 = lim

x→1

(x− 1)(x2 − 3x)(x− 1)(x+ 4)

= limx→1

x2 − 3xx+ 4

= −25

.

3. limx→4

√x− 2x− 4 .

Para resolver essa indeterminacao, o produto notavel a2 − b2 = (a +b)(a− b) pode nos ajudar quando o aplicamos ao denominador

limx→4

√x− 2x− 4 = lim

x→4

(√x− 2)

(x− 4) ·(√x+ 2)

(√x+ 2)

= limx→4

x− 4(x− 4)(

√x+ 2)

= limx→4

1√x+ 2

= 14 .

4. limx→−8

3√x+ 2x+ 8 .

Neste problema, faremos a substituicao de variavel y = 3√x, donde ob-

servamos que x = y3. Portanto, quando x→ −8 temos y → −2. Assim

limx→−8

3√x+ 2x+ 8 = lim

y→−2

y + 2y3 + 8

= limy→−2

y + 2(y + 2)(y2 − 2y + 4)

= limy→−2

1y2 − 2y + 4

= 112 .


5. limx→1

4√x− 1

6√x− 1 .

Para extrair as raızes deste problema, faremos uma substituicao de variaveisdo tipo x = yn, onde a potencia n deve ser um numero que e divisıveltanto por 4 como por 6. O primeiro numero dentro dessa condicao e 12,logo x = y12, onde y > 0. Assim, quando x → 1 temos y → 1, de modoque

limx→1

4√x− 1

6√x− 1 = lim

y→1

4√y12 − 1

6√y12 − 1

= limy→1

y3 − 1y2 − 1

= limy→1

(y − 1)(y2 + y + 1)(y − 1)(y + 1)

= limy→1

(y2 + y + 1)(y + 1)

= 32 .

6. limt→−1

2t3 + 3t2 − 13t2 + 5t+ 2 .

limt→−1

2t3 + 3t2 − 13t2 + 5t+ 2 = lim

t→−1

(2t2 + t− 1)(t+ 1)(3t+ 2)(t+ 1)

= limt→−1

(2t2 + t− 1)(3t+ 2)

= 0−1

= 0

.

2.4. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 65

2.3.1 Exercıcios propostos

4. Calcule os limites.a) lim

x→2

x2 + 5x− 14x− 2 b) lim

x→3

x2 − 6x+ 9x− 3

c) limx→−2

2x2 + x− 6x+ 2 d) lim

x→−3

5x3 + 23x2 + 24xx2 − x− 12

e) limx→−1

x3 + 65x2 + 63x− 1x+ 1 f) lim

x→2

x4 − 3x2 − 4x− 2

g) limx→4

2x3 − 13x2 + 17x+ 12x2 − 6x+ 8 h) lim

x→1

x5 − x3 − 5x2 + 5x2 + x− 2

i) limh→0

(a+ h)2 − a2

hj) limh→0

(a+ h)3 − a3

h

k) limt→1

t4 − 1t− 1 l) lim

t→1

t5 − 1t− 1

m) limx→0

√16− x− 4

xn) lim

x→27

3√x− 3

x− 27

o) limx→9

x2 − 9x√x− 3 p) lim

x→1

3√x− 1√x− 1

q) limx→1

4√x3 − 1

6√x− 1 r) lim

x→32

5√x− 2

x− 32

s) limx→5

√2(x− 3)− 2x− 5 t) lim

h→0

h

a−√a2 + h

, (a > 0)

u) limx→0

√a+ h−

√a

h, (a > 0) v) lim

h→0

3√a+ h− 3

√a

h

2.4 Limites no infinito e limites infinitos

2.4.1 Limites no infinito

Nas secoes anteriores deste capıtulo analisamos o comportamento de uma funcaof(x) quando x se aproxima de um ponto a. Nesta secao voltaremos nossa atencaopara duas situacoes.

A primeira consiste na analise do comportamento de uma funcao f(x) quandox assume valores positivos arbitrariamente grandes, ou valores negativos de moduloarbitrariamente grande.

A segunda e um caso em que o limite da funcao nao existe, pois seu valor nao seaproxima de numero algum. E o caso em que a funcao assume valores (positivos ou


negativos) de modulo arbitrariamente grande. Quando esses valores sao positivos,dizemos que a funcao tende a +∞, e quando sao negativos, dizemos que a funcaotende a −∞. Observe que −∞ e +∞ nao sao numeros; sao sımbolos usados paraindicar o que acontece com os valores assumidos pela funcao.

Vamos analisar a funcao f(x) = 1x

.

x −100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000f(x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

Vemos que para x positivo muito grande (x → +∞), esta funcao tende a zero(f(x) → 0), o mesmo sendo verificado para x negativo de modulo muito grande,(x→ −∞). Assim, podemos dizer que

limx→±∞

1x

= 0.

Definicao - Seja a funcao f(x) definida no intervalo (a,+∞). Entao,

limx→+∞

f(x) = L

toda vez que o numero L satisfizer a condicao de que, para qualquer ε > 0,existe A > 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que x > A.

Definicao - Seja a funcao f(x) definida no intervalo (−∞, b). Entao,

limx→−∞

f(x) = L

toda vez que o numero L satisfizer a condicao de que, para qualquer ε > 0,existe B < 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que x < B.

Teorema - Se n e um numero inteiro positivo, entao


limx→+∞

1xn

= 0 e limx→−∞

1xn

= 0.

Exemplo 9 - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x→ +∞.

a) f(x) = x2 − 1x2 + 1

limx→+∞

x2 − 1x2 + 1 = lim

x→+∞

x2

x2 −1x2

x2

x2 + 1x2

= limx→+∞

1− 1x2

1 + 1x2

= 1

b) f(x) = 4x4 − x2

3x4 + x3

limx→+∞

4x4 − x2

3x4 + x3 = limx→+∞

4x4

x4 −x2

x4

3x4

x4 + x3

x4

= limx→+∞

4− 1x2

3 + 1x

= 43

Exemplo 10 - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x→ −∞.

a) f(x) = 1 + ex

limx→−∞

(1 + ex) = limx→−∞

1 + limx→−∞

ex

= 1 + 0= 1

b) f(x) =(

x

x+ 1

)ex

limx→−∞

[(x

x+ 1

)ex]

= limx→−∞

(x

x+ 1

). limx→−∞

ex

= limx→−∞

x

xx

x+ 1x

. limx→−∞

ex

= limx→−∞

1

1 + 1x

. limx→−∞

ex

= 1· 0= 0



5. Calcule o limite de f(x) = x3

2x3 + 7x se x→ +∞.

6. Calcule o limite de f(x) = x

x+ 1 + e−x2 se x→ −∞.

2.4.3 Limites infinitos

Vamos agora analisar a seguinte funcao f(x) = 1x

.

x −100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000f(x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

Quando tomamos x indo a zero pela direita (x→ 0+), esta funcao tende a +∞ (f(x)→+∞). Ja quando x vai a zero pela esquerda (x→ 0−), a funcao tende a −∞ (f(x)→−∞). Assim

limx→0+

(1x

)= +∞ e lim

x→0−

(1x

)= −∞.

Definicao - Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,possivelmente, em x = a, dizemos que

limx→a

f(x) = +∞

se para qualquer A > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A sempre que 0 <

|x− a| < δ.

Definicao - Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,possivelmente, em x = a, dizemos que

limx→a

f(x) = −∞


se para qualquer B < 0, existe δ > 0 tal que f(x) < B sempre que 0 <

|x− a| < δ.

Alem dos limites infinitos definidos acima, podemos considerar ainda os limiteslaterais infinitos e os limites infinitos no infinito.

limx→a±

f(x)→ ±∞ e limx→±∞

f(x)→ ±∞.

Teorema - Se n e um numero inteiro positivo qualquer, entao

limx→0+

1xn

= +∞ e limx→0−

1xn

={

+∞ para n par−∞ para n ımpar

.

Exemplo 11 - Resolva os seguintes limites.

a) limx→π

2−

tan x

limx→π

2−

tan x → limx→π

2−

senxcosx

→ +∞

b) limx→+∞

(x2 + x− 1)

limx→+∞

(x2 + x− 1) = limx→+∞

x2(1 + 1x− 1x2 )

→ +∞

c) limx→−∞

(5x3 + 2x2 − 3x+ 8)

limx→−∞

(5x3 + 2x2 − 3x+ 8) = limx→−∞

x3(5 + 2x− 3x2 + 8

x3 )

→ −∞

d) limx→4−

x+ 2x2 − 2x− 8

limx→4−

x+ 2x2 − 2x− 8 = lim

x→4−

x+ 2(x+ 2)(x− 4)

= limx→4−

1(x− 4) ; com

x− 4 = u

4− − 4 = 0−, temos

= limu→0−

1u

→ −∞


7. Resolva os limites.

a) limx→−∞

(−3x3 + 5x)

b) limx→1−

3 + x

x2 + 2x− 3


2.5 Limites fundamentais

Muitas vezes, para calcular limites, pode ser util reduzir o problema ao calculode limites fundamentais, que estudaremos a seguir.

2.5.1 Primeiro limite fundamental

Vamos analisar a funcao f(x) = senxx

.

x senx senxx

1 0,8414709 0,8414700,1 0,0998334 0,9983340,01 0,0099998 0,9999830,001 0,0009999 0,999999

que graficamente fica

Vemos acima o que provou-se anteriormente, ou seja, que limx→0

senxx

= 1.

Exemplo 12 - Calcule os limites usando o primeiro limite fundamental.

a) limx→0

sen4xx

limx→0

sen4xx

= limx→0

4sen4x4x

= limu→0

4senuu

= 4· 1= 4

onde fizemos a substituicao 4x = u.

b) limx→0

2− 2 cos2 x

x2

2.5. LIMITES FUNDAMENTAIS 71

limx→0

2− 2 cos2 x

x2 = limx→0

2− 2(1− cos2 x)x2

= limx→0

2sen2x

x2

= 2· limx→0

( senxx

)2

= 2· 12

= 2

2.5.2 Segundo limite fundamental

Tomaremos agora a funcao f(x) =(

1 + 1x

)x. Calculando o valor de f(x) para

alguns valores de x, temos a tabela abaixo.

x

(1 + 1

x

)x1 210 2,59374100 2,704811000 2,71692

10 000 2,71814

O grafico de f(x) tem a forma abaixo.

Para valores de x muito grandes (x→ ±∞), esta funcao se aproxima de e, que e umnumero irracional chamado constante de Euler (e = 2, 71828...). Como foi visto,

sabemos que limx→∞

(1 + 1

x

)x= e.

Exemplo 13 - Calcule o limite limx→∞

(1 + 3

x

)x.

Faremos a substituicao 3x

= 1u

, que nos da x = 3u.


limx→∞

(1 + 3

x

)x= limu→∞

(1 + 1

u

)3u

= limu→∞

[(1 + 1

u

)u]3

=[

limu→∞

(1 + 1

u

)u]3

= e3

2.5.3 Terceiro limite fundamental

Veremos agora o limite limx→0

bx − 1x

= ln b, (0 < b 6= 1).Para calcular esse limite, faremos uma mudanca de variavel, tendo em vista que,

quando x tende a zero, bx tende a 1. Entao, para x pequeno bx e aproximadamente1 + 1

u onde u e um numero grande. Logo, bx − 1 e aproximadamente 1u . Agora e

preciso isolar x, para encontrar o limite fundamental

bx = 1 + 1u

= u+ 1u

1bx

= u

u+ 1ln b−x = ln

(u

u+ 1

)−x ln b = ln

(u

u+ 1

)x = − 1

ln b ln(

u

u+ 1

)= 1

ln b ln(

u

u+ 1

)−1= 1

ln b ln(

1 + 1u

)Feito isso, temos que para x→ 0, u→∞. Assim

limx→0

bx − 1x

= limu→∞

1 + 1u− 1

1ln b ln

(1 + 1

u

)= limu→∞

ln b

u ln(

1 + 1u

)= limu→∞

ln b

ln(

1 + 1u

)u= ln b

ln[

limu→∞

(1 + 1

u

)u]= ln b

ln e= ln b

Exemplo 14 - Calcule os seguintes limites usando o terceiro limite fundamental.

a) limx→0+

ln(x+ 1)x

Faremos a substituicao ln(x + 1) = u =⇒ x = eu − 1 o que nos daque para x→ 0 temos u→ 0. Assim

2.5. LIMITES FUNDAMENTAIS 73

limx→0+

ln(x+ 1)x

= limu→0

u

eu − 1= limu→0

(eu − 1u

)−1

=(

limu→0

eu − 1u

)−1

= (ln e)−1

= 1


8. Calcule o limite limx→0

tan xx

usando o primeiro limite fundamental.

9. Calcule o limite limx→∞

(1 + 2

x

)1−xusando o segundo limite fundamental.

10. Calcule o seguinte limite limx→0+

4x − 12x usando o terceiro limite fundamental.


2.6 Funcoes contınuas

Vejamos as seguintes funcoes.

a) f(x) = x3 − x2 − x+ 2 b) f(x) = − ln(x− 1)2 + 1

c) f(x) = tan x d) f(x) ={

x+ 2 se x 6= 21 se x = 2

Olhando para o grafico, tente achar suas peculiaridades.Perceba que o grafico a) evolui de forma “suave” e sem “buracos”, no entanto

o grafico b) apresenta um buraco para x = 1, ou seja, uma descontinuidadepara este valor de x. A funcao apresentada no grafico c) tambem apresenta

descontinuidades, para os valores de x =(n− 1

2

)π, com n ∈ Z, a funcao tan x e

descontınua. A funcao do grafico d) tambem apresenta uma descontinuidade parax = 2. Em suma, se para construir o grafico de uma funcao for necessario tirarmosa caneta do papel, entao esta funcao apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Definicao - se limx→a

f(x) = f(a) a funcao e contınua no ponto a .

Propriedades - Se f, g : X → R forem funcoes contınuas em a ∈ X e se c for umaconstante, entao as seguintes funcoes tambem sao contınuas

1. f + g

2. f − g

3. c.f

4. f · g

5. f

g(desde que g(a) 6= 0)

2.6. FUNCOES CONTINUAS 75


11. Analise a funcao do grafico a seguir e indique quais os pontos de descon-tinuidade e os intervalos em que a funcao e contınua.

12. Encontre os valores de x para os quais as seguintes funcoes sao descontınuas.a) f(x) = 3x

(x− 2)2 b) f(x) = e1/x2

c) f(x) = ln(x2 − 1) d) f(x) = 3x(x− 2)2 e

1x2


2.7 Respostas dos exercıcios propostos

1. a) δ = 1 b) δ = 0, 5 c) δ = 0, 25 d) δ = 0, 02

2. a) 6 b) 0 c) 4 d) 2 e) 0 f) 1

3. a) 0; 3; @ b) 5; 5; 5 c) 0; −5; @ d) 1; 1; 1

4.a) 9 b) 0 c) −7 d) −3 e) −64 f) 20

g) 92 h) −8

3 i) 2a j) 3a2 k) 4 l) 5

m) −18 n) 1

9 o) 54 p) 23 q) 9

2 r) 180

s) 12 t) −2a u) 1

2√a

v) 13a2/3

5. 12

6. 1

7. a) +∞b) −∞

8. 1

9. e−2

10. ln 2

11. Pontos de descontinuidade: x = {−2,−1, 1, 2, 3}Intervalos: (−∞,−2), (−2,−1), (−1, 1), (1, 2), (2, 3), [3,+∞)

12. a) x = 2 b) x = 0 c) x ∈ [−1, 1] d) x = {0, 2}

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CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULO...Programa de P os-Gradua c~ao em F sica Curso de Inverno - 2013: Introdu c~ao ao C alculo CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULO Cronograma