Curso de lgebra Linear - labMA/ mcabral/livros/livro-alglin/alglin-material/...Curso de lgebra Linear Fundamentos e Aplicaes Segunda Edio Setembro de 2012 Marco A. P. Cabral PhD Indiana

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    Marco Cabral Paulo Goldfeld

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  • Curso de lgebra LinearFundamentos e Aplicaes

    Segunda Edio

    Setembro de 2012

    Marco A. P. Cabral

    PhD Indiana University, EUAProf. IM UFRJ

    mapcabral@ufrj.br

    Paulo Goldfeld

    PhD Courant Institute, EUAProf. IM UFRJ

    goldfeld@labma.ufrj.br

    Departamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica

    Universidade Federal do Rio de JaneiroRio de Janeiro Brasil

    Cpias so autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o stiowww.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com os autores.

    www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros

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    Este trabalho est licenciado sob uma Licena Creative Commons Atribui-o (BY) Uso No-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licena (SA) 3.0Unported. Para ver uma cpia desta licena, visite

    http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/

    ou envie uma carta para Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco,California 94105, USA.

    Esta licena permite que outros possam copiar ou redistribuir esta obra sem ns comerciais,adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem ns comerciais, contanto que atribuamcrdito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licena, ou sob uma licenasimilar presente.

    Ficha CatalogrcaCabral, Marco A. P. e Goldfeld, PauloCurso de lgebra Linear / Marco Cabral e Paulo Goldfeld - Rio de Janeiro: Institutode Matemtica, 2008.

    1. lgebra Linear I. TtuloCDD: 512.5

    516.3

    ISBN XX-XXXX-XXX-X

    http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/

  • Sobre os AutoresMarco Aurlio Palumbo Cabral carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor douminense). Fez o Bacharelado em Informtica na UFRJ, o Mestrado emMatemtica Aplicadana UFRJ e o doutorado em Matemtica na Indiana University (Bloogminton, EUA). professorno Instituto de Matemtica na UFRJ. Suas reas de interesse so equaes diferenciais parciais(EDP), Anlise Numrica e Finanas.

    Paulo Goldfeld fez Bacharelado em Enhenharia Mecnica na UFRJ, o Mestrado em Mate-mtica Aplicada na UFRJ e o doutorado em Matemtica no Courant Institute (Nova Iorque,EUA). professor no Instituto de Matemtica na UFRJ. Sua rea de interesse mtodosnumricos em equaes diferenciais parciais (EDP).

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  • iv SOBRE OS AUTORES

  • Agradecimentos

    Primeiro aos programas (e programadores) que permitiram a produo deste material. Esteproduto herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de cdigofonte. Agradecemos em primeiro lugar a Douglas Knuth pelo TEX (e Leslie Lamport peloLATEX), software que permite que este material seja to bonito; Linus Torvalds (e milhares deoutras pessoas) pelo sistema operacional Linux, Bram Moolenaar pelo vim (editor de texto),Till Tantau pelo Beamer (slides do curso) e pelo TikZ e PGF (guras do texto), RichardStallman (responsvel pelo projeto GNU) e milhares de pessoas por dezenas de softwaresutilizados: tar (compactao de arquivos), make (gerenciador de programa), grep, find,ghostview, xpdf, . . . Agradecemos tambm a Jim Heeron, cujo livro Linear Algebra, emlicena Creative Commons, ajudou a inspirar este trabalho.

    Agradecemos Profa. Beatriz Malajovich (UniRio) pela ajuda com gabarito dos exerccios,ao Prof. Felipe Acker (UFRJ) por sugesto de morsmos, Profa. Monique Carmona (UFRJ)por diversas sugestes de organizao geral, ao Prof. Martin Weilandt (UFSC) pela revisoextensa da segunda edio.

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  • vi AGRADECIMENTOS

  • Prefacio

    Para o estudante

    Este livro tem como foco o aluno e suas diculdades. A ordem de apresentao do contedoe a metodologia foi discutida com vrios colegas do departamento com larga experincia noensino de lgebra Linear na graduao e ps-graduao. Um exemplo disso a concepo doprimeiro captulo, que explora a Geometria Analtica, em parte j vista pelos alunos no ensinomdio, e introduz conceitos chaves da lgebra Linear.

    O livro possui cerca de 230 exemplos resolvidos. Procuramos destacar no texto os errosmais comuns dos alunos e estimular o uso de tecnologia (software algbrico) em todos oscaptulos.

    parte fundamental do curso resolver exerccios, tantos quanto for possvel. Ao nal decada captulo existem exerccios divididos em 4 grupos:

    exerccios de xao: Devem ser feitos imediatamente aps a leitura do texto. Sode resposta imediata (mental). No saber resposta correta sugere um retorno ao texto.Deve-se fazer todos antes de seguir adiante.

    problemas: So os principais exerccios do captulo. Todos devem ser feitos.

    problemas extras: Caso o aluno j tenha feito todos os problemas.

    desaos: Para se aprofundar na disciplina. So opcionais.

    Todos os exerccios de xao e todos os problemas tem respostas no nal do livro.Vrios problemas extras e desaos tambm possuem respostas. Sao cerca de 90 exerccios dexao, 110 problemas, 150 problemas extras e 80 desaos.

    Porque um novo livro?

    Este livro pode ser aperfeioado por qualquer pessoa por ser disponibilizado atravs da

    licena , que permite o re-uso do material. Imaginamos que daqui a 100anos o departamento de Matemtica Aplicada da UFRJ ainda estar utilizando umaverso deste livro: todo o trabalho dos autores iniciais e subsequentes no ser perdido.Para detalhes consulte: http://creativecommons.org.

    Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fcil (internet) a material gratuito e dequalidade por ser certicado pelo Departamento de Matemtica Aplicada da UFRJ epor colegas de todo o Brasil.

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  • viii PREFCIO

    Necessidade do nosso departamento, responsvel pelo ensino de lgebra Linear na UFRJ,de aplicar prova unicada e, consequentemente, criar um material padro para o curso.

    Produzir um material com contedo que ser efetivamente utilizado em sala de aulapelo aluno. Na nossa experincia, os alunos preferem livros nos, que so fceis detransportar e estimulam a leitura.

    Produzir transparncias para sala de aula diretamente acopladas a um livro.

    Criamos um pacote completo para um curso de lgebra Linear: alm deste texto, foramproduzidas transparncias. Tudo isto est disponvel em www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros

    Como foi escolhido o material?

    Determinamos os tpicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Almdisso o componente esttico foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Mate-mtica. Algumas escolhas importantes foram feitas:

    Captulo inicial apresenta contedo principal do curso sem grande formalismo: ve-tores e operaes no Rn, equaes paramtricas e cartesianas, espaos gerados (retase planos), combinaes lineares, dependncia e independncia linear. Estes temas soretomados no captulo de Espaos Vetoriais, mas acreditamos que importante umaexposio, logo no incio, destes conceitos.

    A soluo de sistemas lineares feita atravs da eliminao de Gauss. A regra deCramer uma seo opcional do captulo de Determinantes. Interpretamos a soluo desistemas atravs de interpretaes do produto matriz-vetor. Assim o conjunto soluo visto com a linguagem de espao gerado, apresentado no primeiro captulo, e tambmdo ponto de vista geomtrico, interseo de retas, planos, hiperplanos, etc.

    Espaos vetoriais de polinmios e funes no so meros exemplos, so centraispara a formao de engenheiros, matemticos e fsicos. Algumas aplicaes importantesso: equaes diferenciais, aproximao de funes por polinmios e mtodos numricoscomo elementos nitos.

    Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver sistemaslineares. Aps apresentar transformaes lineares (TLs), matrizes so vistas comorepresentaes de TLs. Apresentamos TLs (e matrizes) geomtricas: projeo, reexo,rotao. Relacionamos operaes de soma e composio de TLs com operaes entrematrizes. Denimos o produto entre matrizes como consequncia da composio deTLs. Fica claro que o produto de matrizes no comutativo pois a composio defuno (ainda que seja linear) no comutativa. A matriz inversa calculada porescalonamento.

    No captulo de produto interno, focamos em projees e no mtodo de mnimosquadrados. Apresentamos projeo ortogonal de funes como forma de aproxim-las,preparando o aluno para mtodos numricos.

    www.labma.ufrj.br/~mcabral/livroswww.labma.ufrj.br/~mcabral/livros

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    Determinante apresentado desde o incio relacionado com rea (volume) com sinal,para depois ser apresentado algebricamente. Optamos por focar no algoritmo de cl-culo utilizando operaes elementares por ser mais eciente e ligada diretamente aosconceitos. Apresentamos a conexo com mudana de variveis na integrao mltiplae a denio de produto vetorial e misto em R3. Como seo opcional, colocamos umadiscusso de como interpretar o sinal do determinante.

    Autovalores e Autovetores so apresentados em conexo com interpretao geo-mtrica. A teoria de diagonalizao de matrizes aplicada em clculo de potncia dematrizes e classicao de formas quadrticas, relacionados com o teste da derivadasegunda do clculo diferencial de vrias variveis para determinar se um ponto crtico mximo, mnimo ou ponto de sela local.

    Enfatizamos ao longo do texto (captulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante,Autovalores e Autovetores) a viso moderna de uma matriz por blocos, fundamentalpara a computao cientca.

    O escalonamento o algoritmo principal do curso, pois atravs dele: resolvemossistema, determinamos se vetores so linearmente dependentes, determinamos coor-denadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante,encontramos autovetores, calculamos soluo de mnimos quadrados, calculamos proje-o ortogonal.

    Sobre a Segunda Edio

    Alm

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