Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório margarete/download/MET200-0/ClasseNum... ·

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  • Curso de Matemtica Aplicada .Margarete Oliveira Domingues

    PGMET/INPE

    Aula 1 p.1/25

  • Sistema de nmeros reais e complexos

    Aula 1 p.2/25

  • Conjuntos

    Conjunto, classe e coleo de objetos possuindo umacaracterstica especfica fundamental em matemtica

    Exemploum conjunto de estaes climatolgicas,todas as letras do alfabeto

    membros ou elementos objetos individuais

    subconjunto qualquer parte de um conjunto

    conjunto vazio conjunto sem elementos

    Aula 1 p.3/25

  • Conjunto de Nmeros Reais

    Conjunto dos nmeros inteiros

    Aula 1 p.4/25

  • Conjunto de Nmeros Reais

    Conjunto dos nmeros inteirosNmeros Naturais ou inteiros positivos Usadospara contar membros de um conjuntoInteiros Negativos e zero Permitem solues deequaes tais como

    em que e

    soquaisquer nmeros naturais.

    Aula 1 p.4/25

  • Conjunto de Nmeros Reais

    Conjunto dos nmeros inteiros

    Nmeros racionais ou fraesPermitem solues como

    a operao de diviso

    numeradordenominador

    Os nmeros inteiros so um caso particular dosnmeros racionais, quando

    Aula 1 p.4/25

  • Conjunto de Nmeros Reais

    Nmeros racionais

    Nmeros irracionais Tais como

    e so nmerosque no so racionais, i.e., nmeros que no podem

    ser expressos como

    Aula 1 p.4/25

  • Conjunto de Nmeros Reais

    Nmeros racionais

    Nmeros irracionais

    O conjunto de nmeros racionais e irracionais chamadode conjunto de nmeros reais.

    Aula 1 p.4/25

  • Representao decimal

    Qualquer nmero real pode ser expresso na suarepresentao decimal, e.g.,

    Aula 1 p.5/25

  • Representao decimal

    No caso dos nmeros racionais a expanso decimal podeterminar ou se ela no terminar um nmero ou um grupode nmeros passa a se repetir

    No caso dos nmeros irracionais tais repeties nopodem ocorrer, e.g.,

    Aula 1 p.5/25

  • Representao decimal

    Para indicar os decimais que sero repetidos algumasvezes coloca-se pontos sobre os dgitos que esto sendorepetidos, e.g.,

    Aula 1 p.5/25

  • Representao decimal

    sempre possvel considerar uma expanso de diversasformas, e.g.,

    1.3751.375000000. . .1.374999999. . .

    Aula 1 p.5/25

  • Representao decimal

    O sistema decimal utiliza dez dgitos

    O sistema binrio utiliza dois dgitos

    e

    O sistema octal utiliza oito dgitos

    O sistema hexadecimal utiliza os dgitos e letras

    Obs: O nmero

    na base decimal expresso por

    na base binria.

    Aula 1 p.5/25

  • Representao Geomtrica

    A representao de nmeros reais como pontos emuma reta chamado de eixo real.

    Para cada nmero real existe uma correspondncia

    com cada ponto dessa reta.

    Aula 1 p.6/25

  • Representao Geomtrica

    Conj. Denso Entre quaisquer dois nmerosracionais (e irracionais) na reta existe infinitosnmeros racionais (e irracionais).

    Obs.: No sistema de representao numrico dasmquinas computacionais (ponto flutuante) no possivel representar um conjunto denso de pontos.

    Aula 1 p.6/25

  • Axiomas

    *Se , ento:

    Lei de fechamento

    e

    Lei comutativa da adio

    Lei associativa da adio

    Lei comutativa da multiplicao

    Lei associativa da multiplicao

    Lei distributiva

    chamado identidade com respeito a adio

    chamado identidade com respeito a multiplicao

    Aula 1 p.7/25

  • Axiomas

    Para qualquer existe . Esse nmero

    chamado de inverso com respeito a adio e denotado por .

    Para cada

    existe . Esse nmero

    chamado de inverso com respeito a multiplicao e

    denotado por

    , ou

    .

    Aula 1 p.7/25

  • Axiomas

    Com esse axiomas possvel operar de acordo comas regras usuais da lgebra.

    Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que osmembros satisfazem esses axiomas chamado decampo.

    Observao: Na aritmtica de ponto flutuante a LeiAssociativa no vlida em todos os casos,i.e.,

    no caso geral.

    Aula 1 p.7/25

  • Desigualdades

    Se

    um nmero no negativo, ento

    ou

    .

    Se no existe a possibilidade

    , ento

    ou

    .

    , que significa que um nmero real que podeser

    ou qualquer nmero menor que

    .

    Se

    e so quaisquer nmeros reais, ento:ou

    ou

    ou

    Lei transitiva se

    e

    , ento

    se

    , ento

    Se

    , e

    , ento

    Se

    , e

    , ento

    Aula 1 p.8/25

  • Valores absolutos

    O valor absoluto de um nmero real , denotado por

    , definido por

    se

    ;

    se

    ou se

    .

    Por exemplo,

    Propriedades

    ou

    ou

    Aula 1 p.9/25

  • Expoentes e razes

    O produto de de um nmero real por ele

    mesmo vezes denotado por

    em que chamado

    expoente e chamado de base.

    Aula 1 p.10/25

  • Expoentes e razes

    O produto de de um nmero real por elemesmo vezes denotado por

    em que chamadoexpoente e chamado de base. Propriedades

    Aula 1 p.10/25

  • Expoentes e razes

    Se , em que pertence aos inteiros positivos,

    chamado de psima raiz de

    , e escrita com

    .

    Pode haver mais de um nmero que seja a psimaraiz de

    .

    Por exemplo, desde que e

    existe duasraizes reais de

    . costume se denotar a raiz positivapor

    e a negativa por .

    Se e so inteiros positivos, definese

    Aula 1 p.10/25

  • Logaritmos

    Se , chamado de logaritmo de

    na base ,

    escrevese como

    Se e

    so positivos e

    , ento existe um niconmero real para .Propriedades

    Na prtica duas bases so as mais utilizadas a base

    e base natural

    , conhecida

    como base do sistema Neperiana.Aula 1 p.11/25

  • Conjunto de pontos e intervalos

    Um conjunto de pontos (nmeros reais) na reta real chamado de conjunto de pontos unidimensionais.

    O smbolo representa qualquer nmero de umconjunto e chamado varivel.

    Os nmeros e

    so chamados constantes.

    chamado de intervalo fechado e denotado por

    .

    chamado de intervalo aberto e denotado por

    .

    Os conjuntos de pontos so

    chamados de intervalos semiabertos ousemifechados denotados por

    e

    .Aula 1 p.12/25

  • Conjunto de pontos e intervalos

    Exemplo

    O conjunto de todas os que representam

    ,i.e.,

    representado pelo intervalo aberto

    .

    O conjunto de tambm pode ser representadopor . Tal conjunto chamado intervaloinfinito ou ilimitado. Similarmente,

    representa todos os valores de na reta real.

    Aula 1 p.12/25

  • Enumerabilidade

    Conjunto enumervel seus elementos podem sercolocados em uma correspondncia 11 com osnmeros naturais.

    Por exemplo, o conjunto de nmeros pares

    um conjunto contvel pois eles possuem umacorrespondncia 11 com os nmeros naturais

    nmeros pares

    nmeros naturais

    Aula 1 p.13/25

  • Enumerabilidade

    Um conjunto infinito se ele tem umacorrespondncia 11 com um subconjunto delemesmo. Um conjunto infinito contavelmente infinito.

    Por exemplo, o conjunto de nmeros racionais contavelmente infinito enquanto os racionais no.

    Aula 1 p.13/25

  • Enumerabilidade

    O nmero de elementos em um conjunto chamadode nmero cardinal.

    Um conjunto contavelmente infinito denotado tercardinalidade

    (letra alephnull do alfabeto Hebreu)

    O conjunto de nmeros reais (ou qualquer outroconjunto que possa ter correspondncia 11 com esteconjunto) dado o nmero de cardinalidade

    ,chamada cardinalidade do continuum.

    Aula 1 p.13/25

  • Vizinhana

    Um conjunto de todos os pontos de tais que

    , em que

    , chamado de vizinhana deum ponto .

    O conjunto de todos os pontos de tais que

    , em que excludo, chamado

    de vizinhana de um ponto sem a fronteira.

    Aula 1 p.14/25

  • Pontos limites

    Os pontos limites, pontos de acumulao ouagrupamento de um conjunto de nmeros umnmero

    tal que toda a vizinhana sem fronteira

    de

    contenha membros do conjunto.

    Em outras palavras, para todo

    , por menor queseja, possvel achar um membro do conjunto oqual no igual a

    mas tal que

    .

    Considerando valores menores e menores de

    possvel verificar-se que deve existir infinitos valoresde .

    Aula 1 p.15/25

  • Pontos limites

    Um conjunto finito no pode ter pontos limites. Umconjunto infinito pode ou no ter pontos limites.

    Um conjunto que contm seus pontos limites chamado de conjunto fechado.

    Exemplo

    O conjunto dos racionais no fechado. por exemplo

    no pertence ao conjunto de nmeros racionais.

    O conjunto fechado.

    Aula 1 p.15/25

  • Limitadores

    limite superior

    de um conjunto existe umnmero tal que

    , o conjunto dito limitadosuperiormente

    limite inferior se , o conjunto limitado

    inferiormente.

    conjunto limitado se ,

    o .

    Aula 1 p.16/25

  • Limitadores

    Mnimo limite superior Se um nmero tal quenenhum dos membros do conjunto maior que ,mas existe ao menos um membro que ultrapassa

    para todo

    .

    Mximo limite inferior Se n