45
Curso de Matemática Aplicada . Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Aula 1 – p.1/25

Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Curso de Matemática Aplicada .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

Aula 1 – p.1/25

Page 2: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Sistema de números reais e complexos

Aula 1 – p.2/25

Page 3: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjuntos

Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo umacaracterística específica é fundamental em matemática

Exemploum conjunto de estações climatológicas,todas as letras do alfabeto

��

��

��� � �

membros ou elementos — objetos individuais

subconjunto — qualquer parte de um conjunto

conjunto vazio — conjunto sem elementos

Aula 1 – p.3/25

Page 4: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteiros

Aula 1 – p.4/25

Page 5: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteirosNúmeros Naturais ou inteiros positivos Usadospara contar membros de um conjuntoInteiros Negativos e zero Permitem soluções deequações tais como � � � � � em que � e

sãoquaisquer números naturais.

Aula 1 – p.4/25

Page 6: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de Números Reais

Conjunto dos números inteiros

Números racionais ou fraçõesPermitem soluções como

� � � � � � �� � ��

� �� �

a operação de divisão

� �

��

� numeradordenominador

Os números inteiros são um caso particular dosnúmeros racionais, quando

� � �

Aula 1 – p.4/25

Page 7: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de Números Reais

Números racionais

Números irracionais Tais como�

e � são númerosque não são racionais, i.e., números que não podem

ser expressos como

��

Aula 1 – p.4/25

Page 8: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de Números Reais

Números racionais

Números irracionais

O conjunto de números racionais e irracionais é chamadode conjunto de números reais.

Aula 1 – p.4/25

Page 9: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação decimal

Qualquer número real pode ser expresso na suarepresentação decimal, e.g.,

� �� � � ���

�� � � � ��

� �

��

� ��

� � � � � �� � �

Aula 1 – p.5/25

Page 10: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação decimal

No caso dos números racionais a expansão decimal podeterminar ou se ela não terminar um número ou um grupode números passa a se repetir

��

� ��

� � � � � �� � �

��

� ��

� � �� � � � � �� � � � � �� � �� � �

No caso dos números irracionais tais repetições nãopodem ocorrer, e.g.,

� � ���

� � � ��� � � � � ��

� � � � � � �� � �

Aula 1 – p.5/25

Page 11: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação decimal

Para indicar os decimais que serão repetidos algumasvezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendorepetidos, e.g.,

��

� ��

� � � � � � �� � � � �

� ��

� ��

� � �

Aula 1 – p.5/25

Page 12: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação decimal

É sempre possível considerar uma expansão de diversasformas, e.g.,

1.3751.375000000. . .1.374999999. . .

Aula 1 – p.5/25

Page 13: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação decimal

O sistema decimal utiliza dez dígitos��

��

�� � � � �

O sistema binário utiliza dois dígitos�

e

O sistema octal utiliza oito dígitos

��

��

�� � � � �

O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras��

��

�� � � � �

��

��

��

��

��

��

Obs: O número� �

na base decimal é expresso por

� � � � � � � �

� � � � �na base binária.

Aula 1 – p.5/25

Page 14: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação Geométrica

A representação de números reais como pontos emuma reta é chamado de eixo real.

Para cada número real existe uma correspondência

��

com cada ponto dessa reta.

Aula 1 – p.6/25

Page 15: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Representação Geométrica

Conj. Denso — Entre quaisquer dois númerosracionais (e irracionais) na reta existe infinitosnúmeros racionais (e irracionais).

Obs.: No sistema de representação numérico dasmáquinas computacionais (ponto flutuante) não épossivel representar um conjunto denso de pontos.

Aula 1 – p.6/25

Page 16: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Axiomas

*Se � �� � �

, então:

Lei de fechamento � � �

e � � � �Lei comutativa da adição � � � � � � �

Lei associativa da adição � � � � ��� ��

� � � � � ���

Lei comutativa da multiplicação � � � � �

Lei associativa da multiplicação � � �� ��

� � � ��

Lei distributiva � � � ��� �� � � � ��

é chamado identidade com respeito a adição

é chamado identidade com respeito a multiplicação

Aula 1 – p.7/25

Page 17: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Axiomas

Para qualquer � existe � � � � � � � �. Esse número

� é chamado de inverso com respeito a adição e édenotado por � �.

Para cada � �� �

existe � � ��� � � � �

. Esse número �

é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é

denotado por � ��

,� � � ou

�� .

Aula 1 – p.7/25

Page 18: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Axiomas

Com esse axiomas é possível operar de acordo comas regras usuais da álgebra.

Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que osmembros satisfazem esses axiomas é chamado decampo.

Observação: Na aritmética de ponto flutuante a LeiAssociativa não é válida em todos os casos,i.e., � � � � � � � �

�� � � � � � � no caso geral.

Aula 1 – p.7/25

Page 19: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Desigualdades

Se � ��

é um número não negativo, então � � �

ou

� � �.

Se não existe a possibilidade � � �

, então � � �

ou

� � �.

� � �

, que significa que � é um número real que podeser

ou qualquer número menor que

.

Se � ��

e� são quaisquer números reais, então:ou � � �

ou � � �

ou � � �

Lei transitiva se � � �

e

� � � , então � � �

se � � �, então � ��� � � ���

Se � � �

, e� � �

, então �� � ��

Se � � �

, e� � �

, então �� � ��

Aula 1 – p.8/25

Page 20: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Valores absolutos

O valor absoluto de um número real �, denotado por

� � �

, édefinido por

� se � � �

;

se � � �

ou � � se � � �

.

Por exemplo,

�� � �

� � � � �� �

� ��

Propriedades

� � � �

�� � � � � �

ou� � �� �� � � � �

�� � � � � � �� � � � �� � �

� � �

� � � � � � � � � � � � �

ou

� � � � ��� � � � � � � � � �

�� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �

Aula 1 – p.9/25

Page 21: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Expoentes e raízes

O produto de ��

��

��

�� � �

� de um número real � por ele

mesmo � vezes é denotado por � �

em que � é chamado

expoente e � é chamado de base.

Aula 1 – p.10/25

Page 22: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Expoentes e raízes

O produto de ��

��

��

�� � �

� de um número real � por elemesmo � vezes é denotado por � �

em que � é chamadoexpoente e � é chamado de base. Propriedades

� ��

� � � � � � �

� �� �

� � � � �

� � � � ��

� �

� � � � � � � �

�� �

� � � � �

� � � �

��

� �� �

Aula 1 – p.10/25

Page 23: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Expoentes e raízes

Se � � � �

, em que � pertence aos inteiros positivos, �

é chamado de p–ésima raiz de�

, e é escrita com

� �

.

Pode haver mais de um número que seja a p–ésimaraiz de

.

Por exemplo, desde que� �

� �

e

��

� � �

� �

existe duasraizes reais de

. É costume se denotar a raiz positivapor

� � �

e a negativa por �

� � �

.

Se � e � são inteiros positivos, define–se

� � � �

� � ��

Aula 1 – p.10/25

Page 24: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Logaritmos

Se � � � �

, � é chamado de logaritmo de�

na base �,escreve–se como

� � � � ���

�Se � e

são positivos e � �� �

, então existe um úniconúmero real para �.Propriedades

� � ��

� � � � ���

� � � ���

� � ��

�� � � � �� �

� � ���

� � ��

� � � � � ��

Na prática duas bases são as mais utilizadas a base

� � � �

e base natural � � � � ��

� � � ��� � � , conhecida

como base do sistema Neperiana.Aula 1 – p.11/25

Page 25: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de pontos e intervalos

Um conjunto de pontos (números reais) na reta real échamado de conjunto de pontos unidimensionais.

O símbolo � representa qualquer número de umconjunto e é chamado variável.

Os números � e

são chamados constantes.

� � � � �

é chamado de intervalo fechado e édenotado por

� � �� �

.

� � � � �

é chamado de intervalo aberto e édenotado por

� � �� �

.

Os conjuntos de pontos � � � � � � � � � �

sãochamados de intervalos semi–abertos ousemi–fechados denotados por

� � �� �

e

� � �� �

.Aula 1 – p.12/25

Page 26: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto de pontos e intervalos

Exemplo

O conjunto de todas os � que representam

� � � � �

,i.e., �

� � � � �

é representado pelo intervalo aberto��

��

� �

.

O conjunto de � � � também pode ser representadopor � � � � �. Tal conjunto é chamado intervaloinfinito ou ilimitado. Similarmente,

� � � � � �

representa todos os valores de � na reta real.

Aula 1 – p.12/25

Page 27: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Enumerabilidade

Conjunto enumerável – seus elementos podem sercolocados em uma correspondência 1–1 com osnúmeros naturais.

Por exemplo, o conjunto de números pares

��

��

�� � � é

um conjunto contável pois eles possuem umacorrespondência 1–1 com os números naturais

números pares

� � � �

� � �

� � � �

� � �

números naturais

� � � �� � �

Aula 1 – p.13/25

Page 28: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Enumerabilidade

Um conjunto é infinito se ele tem umacorrespondência 1–1 com um sub–conjunto delemesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito.

Por exemplo, o conjunto de números racionais écontavelmente infinito enquanto os racionais não.

Aula 1 – p.13/25

Page 29: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Enumerabilidade

O número de elementos em um conjunto é chamadode número cardinal.

Um conjunto contavelmente infinito é denotado tercardinalidade

(letra aleph–null do alfabeto Hebreu)

O conjunto de números reais (ou qualquer outroconjunto que possa ter correspondência 1–1 com esteconjunto) é dado o número de cardinalidade

,chamada cardinalidade do continuum.

Aula 1 – p.13/25

Page 30: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Vizinhança

Um conjunto de todos os pontos de � tais que

� � � � � � �

, em que

� � �

, é chamado de vizinhança deum ponto �.

O conjunto de todos os pontos de � tais que

� � � � � � � � �

, em que � � � é excluído, é chamadode vizinhança de um ponto � sem a fronteira.

Aula 1 – p.14/25

Page 31: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Pontos limites

Os pontos limites, pontos de acumulação ouagrupamento de um conjunto de números é umnúmero

tal que toda a vizinhança sem fronteira

de

contenha membros do conjunto.

Em outras palavras, para todo

� � �

, por menor queseja, é possível achar um membro � do conjunto oqual não é igual a

mas é tal que

� � �� � � �

.Considerando valores menores e menores de

épossível verificar-se que deve existir infinitos valoresde �.

Aula 1 – p.15/25

Page 32: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Pontos limites

Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Umconjunto infinito pode ou não ter pontos limites.

Um conjunto que contém seus pontos limites échamado de conjunto fechado.

Exemplo

O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo

não pertence ao conjunto de números racionais.

O conjunto� � � � �

é fechado.

Aula 1 – p.15/25

Page 33: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Limitadores

limite superior —

� � de um conjunto existe umnúmero tal que � �

, o conjunto é dito limitadosuperiormente

limite inferior — se � � �, o conjunto é limitadoinferiormente.

conjunto limitado — se� �, � � � �

o .

Aula 1 – p.16/25

Page 34: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Limitadores

Mínimo limite superior — Se é um número tal quenenhum dos membros do conjunto é maior que ,mas existe ao menos um membro que ultrapassa

� � para todo � � �

.

Máximo limite inferior — Se nenhum membro doconjunto é menor que

� �, mas pelo menos um membroé menor que

� � � � para todo � � �

.

O Teorema de Weistrass–Bolzano estabelece quetodo o conjunto infinito limitado possui pelo menos umponto limite.

Aula 1 – p.16/25

Page 35: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

N

��� algébricos e transcendentais

número algébrico — Um número � que é solução deuma equação polinomial

� � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � �

em que � �

�� �� � � � � � � � � � � � são inteiros e � é um inteiro

positivo, chamado grau da equação.

Um número que não pode ser expresso dessa forma échamado número transcendental.

Aula 1 – p.17/25

Page 36: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

N

��� algébricos e transcendentais

Exemplo

Números algébricos

��

� � �� � �

� ��

�� � �

Números transcendentais

��

Casos ainda não definidos

� � �

� � �

Aula 1 – p.17/25

Page 37: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto dos n

��� complexos

Como não existe um número real � que satisfaça aequação polinomial �

� � � � �

ou equações similares,os números complexos foram introduzidos. Umnúmero complexo tem a seguinte forma

� ��

em que � e

são números reais chamados parte real eimaginária e � � �

é chamada unidade imaginaria.

Dois números complexos � ��

e� ��

são iguais see somente se � � � e

� � �

.

Aula 1 – p.18/25

Page 38: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto dos n

��� complexos

É possível se considerar os números reais como umsubconjunto dos números complexos, com

� � �

.

O número

� ��

corresponde ao número real

.

O valor absoluto ou módulo de � ��

é definido como

� � ��

� �

� � � � � �

.

O complexo conjugado de � ��

é definido como

� � �

.

O complexo conjugado de um número � é denotado de

��

.

Aula 1 – p.18/25

Page 39: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto dos n

��� complexos

No desenvolvimento de operações algébricas osnúmeros complexos podem ser operados como sefossem números reais substituindo �

� ��

.

Do ponto de vista da fundação axiomática dosnúmeros complexos, é desejável tratar um númerocomplexo como um par ordenado

� � �� �

de númerosreais sujeitos a certas regras de operação:

� � �� � � �� �

� ��

� � ��� �� � � �

� � �� � �� �

� ��

� �� �� �� � �

��� �

� � � �� �

�� � � � � � �

Aula 1 – p.18/25

Page 40: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Conjunto dos n

��� complexos

Tem–se que

� � �� �

� � � ��

� � � � � ��

� �

associado � ��

em que � é o símbolo para

� ��

� �

.

Desigualdades não são definidas para númeroscomplexos.

O conjunto dos números complexos obedecem osaxiomas apresentados, então esse conjunto denúmeros constitui um campo.

Aula 1 – p.18/25

Page 41: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Forma polar

Se escalas reais são escolhidas em dois eixosmutuamente perpendiculares

� �� �e

� � � �

(os eixos

� e �) é possível localizar qualquer ponto no planodeterminado por essas linhas pelo par ordenado

� � � � �

chamado de coordenadas retangulares do ponto.

� �� � pode ser expresso como um par ordenado

� � � � �

é possível presentear tal número em um plano

� � � � �

conhecido como plano complexo ou diagrama deArgand.

Aula 1 – p.19/25

Page 42: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Forma polar

� � � � �� �

, � � � � � � �

, em que o módulo

� � � � � � �

�� � �

� � ��

é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que alinha

� �

faz com o eixo positivo de � � �

.

Aula 1 – p.19/25

Page 43: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Forma polar

� � � �� � � � � � �� � �� � � � � �

conhecida como a forma polar de um número complexo,em que � e

são as coordenadas polares.PropriedadesPara � � � � �

� � �� �� �

� � � � ��

�e � � � � �

� � �� �� �

� � � � ��

� � � � � � � � �� � �� � �

� � ��

� �� � � � � �

� � ��

� �

� �� �

� �� �

� � �� � �� �

��

� �� � � � � �

� ��

�� �

�� �

� � � � �� � � � �� � � � � � � � � �

� � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � �

, em que �

é um número real.

Aula 1 – p.19/25

Page 44: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Forma polar

O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes denúmeros complexos.

Se � é um inteiro positivo

��

� �

� � � � �� � �� � � � � � �

�� (0)

� ��

� � ��

� � � �

�� � � �

� � � �

� � ��

��

��

(0)

Disto tem–se que haverá � diferentes valores para ��

� .

Aula 1 – p.19/25

Page 45: Curso de Matemática Aplicada - INPE/LAC - Laboratório …margarete/download/MET200-0/ClasseNum... · 2014-03-06 · Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números

Obrigada a [email protected]

Aula 1 – p.20/25