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Curso para iniciantes.
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CURSO:
MATEMÁTICA FINANCEIRA E USO DA HP 12C
Data: 02/04/2009
Horário: 16:00 h
Carga horária: 20 horas
Local: Faculdade Pitágoras
Investimento:
Público-alvo: administradores, gerentes e responsáveis pela área financeira.
Instrutor: Amintas Paiva AfonsoObjetivo: prover os participantes de conhecimentos práticos de matemática financeira, aplicada ao comércio varejista e gestão financeira em geral. Além disso, transmitir noções básicas de uso da calculadora HP 12C. Os participantes deverão portar a calculadora HP 12C.
Conteúdo:
* Fundamentos da matemática financeira
* Operação da HP 12C
* Juros simples e composto
* Fluxo de caixa
* Amortização
* Como calcular parcelas de amortização de financiamento
* Como calcular coeficientes d financiamento
* Análise de planos de pagamento
* Análise de investimentos
* Desconto de cheques e duplicatas
* CDC, Leasing e Crédito Pessoal
Ligando e desligando a calculadoraO tecladoSeparando dígitosIntroduzindo númerosTabulando casas decimaisCálculos aritméticos simplesCálculos em cadeiaLimpando registrosTroca de sinaisInversão entre valores armazenadosFunções de porcentagemFunções de calendárioUsando a memória - ArmazenamentoResolvendo uma operação de potenciaçãoInverso de um número
Ligando e Desligando a Calculadora
Para começar a usar a sua HP-12C, pressione a tecla . Se você pressionar novamente, a calculadora será
desligada. Se a calculadora não for desligada manualmente, ela se desligará automaticamente de 8 a 17 minutos após a
última utilização.
Indicação de Bateria Fraca
A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*) que fica piscando no canto
inferior esquerdo do visor. Quando isso acontecer, desligue a calculadora e substitua as baterias.
O Teclado
A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos
caracteres impressos em dourado acima da tecla e pelos caracteres impressos erm azul na face oblíqua da tecla. Tais
funções alternativas são especificadas pressionando-se a tecla de prefixo adequada, antes da tecla correspondente à função
desejada:
Se você pressionar por engano, uma das teclas de prefixo ou , elas poderão ser canceladas pressionando-se
CLEAR . Esta última sequência de teclas também pode ser usada para se cancelar as teclas
, e (tais teclas podem ser consideradas como de “prefixo”, uma vez que as teclas numéricas devem ser
pressionadas em seguida a elas, para se executar a função correspondente). Como a tecla também é
empregada para se apresentar a mantissa (todos os 10 dígitos) de um número que esteja no visor, a mantissa do número
que estiver no visor será apresentada por um momento após a tecla ser solta.
Ao se pressionar uma das teclas ou de prefixo, o indicador de estado (anúncio) correspondente, f ou g ficará
aceso no visor. O anúncio se apaga após se pressionar uma tecla de função (executando a função alternativa da tecla), uma
outra tecla de prefixo, ou CLEAR .
Separação de Dígitos
A separação de dígitos da HP-12C é originalmente para cálculo em US$.
Para adaptá-la para R$, desligue a calculadora, pressione a tecla e mantendo-a pressionada ligue a calculadora
teclando .
Para retornar à situação anterior, repita a operação.
PRINCIPAIS FUNÇÕES DA hp-12C1
n
12X
AMORT ° Para especificar a função alternativa impressa em dourado acima da tecla, pressione a
tecla dourada, de prefixo , e em seguida pressione a tecla da função.
° Para especificar a função primária impressa na face superior de uma tecla, basta
apenas pressioná-la sozinha.
° Para especificar a função alternativa impressa em azul na face oblíqua da tecla,
pressione a tecla azul, de prefixo , e então pressione a tecla da função.g
f
f
f PREFIX
STO RCL GTO
PREFIX
PREFIX
f
f PREFIX
ON ON
g
g
ON
Introduzindo Números
Pressione as teclas dos dígitos em seqüência. A tecla do ponto deverá ser pressionada se o número possuir dígitos
na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto será irrelevante.
Tabulando Casas Decimais
Para fixar um número distinto de casas decimais, de 0 a 9, pressione a tecla e a tecla de número correspondente à
quantidade de casas desejada.
Você deve estar se perguntando:
Para que servem essas memórias, se eu consigo fazer o mesmo cálculo digitando
1 2 3 4 ?
Essas memórias são importantes quando precisamos resolver operações mais complexas.
1. Exemplo:
18
24
15
3
E aí, foi fácil?
Agora, faça um exemplo na sua HP-12C.
Você observou que todos os cálculos são processados entre as memórias x e y. E que, com a tecla , o valor é
transferido da memória x (visor) para a y. O que estava em y é, então, transferindo para z, e assim sucessivamente. Quando
faz o cálculo ocorre o processo inverso, de modo que o primeiro número digitado será o último a ser somado.
Vamos voltar ao cálculo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Cálculos em Cadeia
Toda vez vez que uma resposta estiver acabado de ser calculada e ainda estiver no visor, você poderá realizar uma outra
operação com esse número, simplesmente introduzindo o segundo número e pressionando a seguir a tecla da operação:
você não precisa pressionar para separar o segundo do primeiro número . Isto ocorre porque quando um número
é introduzido após a pressão de uma tecla de função (tal como , , e , etc), o resultado do cálculo
anterior fica armazenado na calculadora, como se tivesse sido pressionada. A única ocasião em que você deve
pressionar a tecla para separar dois dígitos é quando você os está introduzindo consecutivamente, um número
imediatamente após o outro.
Inversão entre os Valores Armazenados em “X” e “Y”
Para passar da memória “x” para a memória “y”, ou vice-versa, pressione a tecla .
Considerando que a HP-12C possui apenas 4 memórias e que acionar a tecla apenas algumas vezes em
seqüência, nem sempre é possível armazenar os números para, depois, fazer as operações.
2. Observe o exemplo:
Resolva primeiro o conteúdo dos colchetes e observe se o resultado é igual a 0,84; o próximo passo é teclar 36.
Cuidado, não divida ainda, lembre-se que o número 36, ao ser digitado, foi armazenado na memória x e 0,84 foi para a
memória y, ou seja, estão na ordem inversa.
Como queremos dividir 36 por 0,84, devemos pressionar a tecla antes de teclar .
f
ENTER + + +
+ -
ENTER
ENTER
ENTER
Observe que as memórias servem para armazenar os números na seqüência e
depois, efetuar os cálculos. Caso contrário, o cálculo teria que ser feito passo a
passo, utilizando as regras básicas da matemática.
ENTER
+
x y
ENTER
Neste caso não podemos armazenar todos os dados.
Então, como poderemos resolver essa operação?
Vamos verificar na HP-12C
x y :
ENTER
+ - x :ENTER
ENTER
Veja outro exemplo!
Pressione:
1
0,6
8
30
532
Funções de Porcentagem
3. Calcule 14% de 300 na sua HP-12C.
A base é 300. Então, digite 300 14 .
Resp.: 42.
Isso significa que 42 corresponde a 14% de 300.
4. Supondo que você aplicou R$ 12.000,00 em ações e o preço das ações subiu em 20%. Em quanto o investimento
aumentou?
12.000
20
Resp.:R$ 2.400,00
Isso quer dizer que o seu investimento passou de R$ 12.000,00 para R$ 14.400,00.
Agora responda rápido...
5. No exercício anterior, seu investimento aumentou R$ 2.400,00, então a sua aplicação de R$ 12.000,00 agora vale R$
14.400,00. Qual foi o seu percentual de aumento?
Vamos ajudá-lo, apresentando a tecla , que é chamada de variação percentual.
12.000
14.400
Resp: 20%
Se você olhar para sua HP-12C, irá perceber que existe mais uma tecla com função de porcentagem.
seu nome é porcentagem do total.
Vamos retornar ao nosso exemplo.
6. O seu investimento era de R$ 12.000,00 e teve um aumento de R$ 2.400,00. Quanto isso representa em porcentagem
sobre o investimento que você fez?
12.000
2.400
Resp.: 20%
Para entender melhor, acompanhe o exemplo:
7. No mês passado as despesas de sua unidade (Departamento, Agência etc) foram de R$ 50.000,00, assim distribuídas:R$ 35.000,00 – salários e encargosR$ 5.000,00 – conservação e manutençãoR$ 7.000,00 – utilidades (luz, água, telefone etc)R$ 3.000,00 – gerais e diversas.
Qual é o percentual que os salários e encargos representam do total das despesas da unidade?
50.000
35.000
Resp.: 70%
: x +
ENTER
ENTER
ENTER
x y :
ENTER %
%
ENTER
%
%
ENTER
%T
%T
ENTER
%T
ENTER
8. O Sr. José está querendo comprar um videogame para passar o tempo ocioso. Ao fazer uma pesquisa de preços,
descobriu que o mais barato custava R$ 180,00. Então, começou a economizar parte da aposentadoria. Passados três
meses, o Sr. José foi até a loja para efetuar a compra, porém o videogame estava 5% mais caro. Quanto faltou?
180
5
Resp.: faltaram R$ 9,00
9. Supondo que há um ano a cotação do dólar era de R$ 1,25 e hoje é R$ 1,98, qual foi o percentual de variação?
1,25
1,98
Resp.: 58,40%
10. A mensalidade escolar de Lorenzo era de R$ 250,00, porém a escola enviou um comunicado para seus pais, informando
um acréscimo de R$ 50,00. Qual foi o percentual do aumento?
250
50
Resp.: 20%
Funções de Calendário
Para encontrar datas futuras, ou passadas, e o dia da semana correspondente, pressione inicialmente as teclas .
Você estará fixando essa informação na sua calculadora, portanto não será necessário repeti-la a cada operação. No visor
da HP-12C aparecerá a seguinte mensagem: D.MY (Dia, Mês e Ano do calendário brasileiro). Se você quiser excluir essa
informação, pressione mensagem M.DY (Mês, Dia e Ano no calendário americano) será ativada, embora não
apareça no visor.
O calendário da HP-12C possibilita o cálculo de:
a) Data Futura
b) Data Passada
c) Dia da Semana
d) Variação de Dias entre Datas
Para utilizar o calendário, introduza a data conhecida, separe o dia e o mês pela tecla , e pressione a tecla .
Digite o número de dias correspondentes ao intervalo de tempo e pressione as teclas . Você estará calculando
uma nova data.
a) Data Futura
Você emprestou dinheiro à sua sogra no dia 15.01.2000 para receber em 45 dias. Qual será a data do vencimento?
Digite: 15 012000 45 . Na sua calculadora vai aparecer o seguinte resultado: 29.02.2000 2.
Isso significa que o vencimento do empréstimo ocorre em 29.02.2000 e o 2 representa o dia da semana, uma terça-feira.
Veja o quadro abaixo.
Dias da Semana
1- Segunda-feira
2- Terça-feira
3- Quarta-feira
4- Quinta-feira
5- Sexta-feira
6- Sábado
7- Domingo
%
ENTER
%
ENTER
%T
ENTER
ENTER
ENTER
g 5
g 4
g CHS
g CHS
b) Data Passada
No exemplo anterior vimos que o vencimento foi dia 29.02.2000.
Se o empréstimo foi feito para pagamento em 45 dias, em que data ele ocorreu?
Veja bem! Você quer uma data passada, isto é, a data de vencimento menos 45 dias.
Na sua HP-12C pressione:
29.022000
45
Resp.: 15.01.2000 6
A data do empréstimo foi dia 15.01.2000, um sábado.
c) Dia da Semana
Se você quiser saber o dia da semana, de qualquer data, basta digitar a data ,
(pois não existe variação de dia quando temos apenas uma data), .
Veja como calcular o dia da semana da data 04.08.2000.
04.082000
0
Resp.: 04.082000 5 (sexta-feira)
d) Variação de dias entre datas
Para calcular o número de dias entre duas datas, introduza a data mais antiga e pressione , em seguida,
introduza a data mais recente e pressione as teclas .
Exemplo: Qual o número de dias decorridos entre as datas 01.03.2000 e 31.10.2000?
01.032000
31.102000
Resp.: 244
O n° de dias entre as duas datas é 244.
Agora é a sua vez!
1. Calcule a data e o dia da semana em que vence uma aplicação efetuada em 25.10.1999, pelo prazo de 148 dias.
25.101999
148
Resp.: 21.032000 2 (terça-feira)
2. O canário de Joãozinho morreu no dia 07.09.1999, após 48 dias sem cantar. Calcule a data do seu último canto.
07.091999
48
Resp.: 21.07.1999 3 (quarta-feira)
ENTER
ENTER 0
ENTER
g CHS
ENTER
g
EEX
g EEX
ENTER
g
CHS
ENTER
CHS
g
CHS
ENTER
g
CHS
CHS
g
CHS
3. Dona Maria fuma há 20 anos e está querendo deixar esse vício. Na primeira tentativa, ficou sem fumar de 25.01.2000 até
18.02.2000. Calcule a quantidade de dias que ela conseguiu ficar sem fumar.
25.012000
18.022000
Resp.: 24 dias
Usando a Memória – Armazenando e Recuperando Valores
Além das memórias (x, y, z e t), acionadas com a tecla a HP-12C possui outras memórias cuja finalidade é
armazenar números para uso posterior, conforme veremos abaixo:
A HP-12C possui 20 memórias , que são de 0 à 9 e de 0 à 9, para armazenamento de valores.
Para armazenar o valor, deve-se digitá-lo, pressionar a tecla e o n° da memória desejada.
Para recuperar a memória, é necessário pressionar a tecla e n° da memória.
Situação em que o uso da memória facilita o cálculo:
1. Quando uma determinada operação exigir cálculos parciais ou subtotais.
Neste caso, é necessário, primeiro, resolver os parênteses e armazenar os resultados, para depois somar.
Veja: (100 + 50) + (50 – 40) + (80 . 70) = 5.760,00
Na calculadora:
100
50
50
40
80
70
2. Quando determinado número for utilizado várias vezes, será muito mais simples armazená-lo em uma memória do que
digitá-lo a cada operação.
Acompanhe o exemplo em que vamos atualizar os valores:
R$ 2.500,00, R$ 800,00 e R$ 985,00, utilizando o coeficiente 1,035.
1° passo – Armazenar o coeficiente na memória
1,035 . Pronto, está armazenado!
2° passo – Atualizar os valores
2500 → 2.587,50
800 → 828,00
985 → 1.019,48
Veja que moleza!
Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, digite o expoente e pressione a
tecla .
Exemplo 1:
45 = 1.024
4
5
ENTER
STO
RCL
STO
+
ENTER
STO 0
ENTER
ENTER
- STO 1
x RCL 0
+ RCL 1
+
0RCL x
0RCL x
0RCL x
0STO 0
yx
yx
ENTER
ENTER
g
EEX
Exemplo 2:
Quando o expoente for uma fração, será necessário, inicialmente, resolve-la para depois calcular a potência.
25
30
360
Para calcular o inverso de um número, basta digita-lo e pressionar a tecla .
Exemplo: O inverso de 2 é . É o mesmo que dividir 1 por 2. Se quisermos calcular o inverso de 2, devemos digitar 2 e
. O resultado será 0,5.
Essa função é muito utilizada para cálculo de taxas de juros compostos, que veremos nos próximos capítulos.
Agora é a sua vez!
1. Qual é o resultado de ?
1
1,81
2
Resp.: 1,68
2. Efetuando a operação 0,383 x 1,4796 x 2838,4972 teremos:
0,383
1,4796
2838,4972 Resp.: 1.608,54
4. Quanto é 1,0974315 ?
1,09743
15 Resp.: 4,03
5. Qual é o resultado de ?
1
1,37
2
Resp.: 1,54
6. Resolva:
1
0,83
12
1
100 Resp.: 5,16
ENTER
+
yx
ENTER
ENTER
1/x
1/x
1/x
yx
x
x
ENTER
+
1/x
yx
ENTER
+
1/x
yx
ENTER
-
x
yx
Importante!
Para que sua HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for
inteiro, é necessário que ela esteja ajustada para convenção exponencial (juros
compostos). Isso quer dizer que precisa estar configurado no visor a letra C.
Caso ela não esteja ajustada, pressione .
Se não estiver configurada a letra C no visor, a HP-12C trabalhará na
convenção linear (juros simples) toda vez que o (n) não for número inteiro.
STO EEX
ENTER
IntoduçãoJurosTaxa de JurosCapitalização Simples ou LinearCálculo dos JurosCálculo do CapitalCálculo da TaxaCálculo do Prazo
Introdução
Com o surgimento da instituição do crédito, houve um crescente desenvolvimento das transações comerciais, exigindo um
cálculo específico e o desenvolvimento de um aspecto particular da matemática: a Matemática Financeira.
Juros
É a remuneração do Capital, podendo ser definido como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Quando se empresta dinheiro a uma pessoa para que esta consuma, pode-se admitir que quem emprestou está deixando de
consumir no momento, embora tenha dinheiro para isso, para permitir que outra pessoa o faça.
Por essa abstinência, a pessoa que emprestou recebe um “prêmio”, o que, em finanças, recebe o nome de juros.
Como você sabe, usamos em matemática financeira o linguajar matemático, para nos expressar de forma inconfundível e
compreensível.
Observe os símbolos que utilizaremos de agora em diante, para representar os diversos conceitos básicos.
Taxa de Juros
É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado.
A taxa de juros está sempre relacionada com uma unidade de tempo: dia, mês, ano etc...
Exemplo:
Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$ 120,00 a ser resgatado por R$ 134,40, ao final de um ano?
Capital Inicial = R$120,00
Capital Final = R$ 134,40
Juros = Capital Final - Capital Inicial = R$ 134,40 - R$ 120,00
Taxa de Juros =
Como você sabe, 0,12 é igual a . Essa é a forma decimal de apresentar 12% que é a forma percentual.
Em resumo as taxas de juros podem ser apresentadas de dois modos:
Forma Percentual Transformação Forma Decimal
12% a. a. 12 : 100 0,12
0,5 a. a. 0,5 : 100 0,005
18,7% a. a. 18,7 : 100 0,187
Exemplo: Calcular 5% de R$ 3.500,00.
Forma percentual: 3.500 5 → 175,00
Forma decimal: 3.500 0,05 → 175,00
JUROS SIMPLES2
ENTER %
ENTER x
Capitalização Simples ou Linear
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.
Neste regime de capitalização, a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa mensal
em anual, basta multiplicar por 12; se quisermos a taxa diária, tendo a mensalidade, basta dividir por 30, e assim por diante.
Exemplos:
Dada a taxa de 2% ao mês, calcular a taxa anual. Dada a taxa de 6% ao mês, calcular a taxa diária.
2 x 12 = 24% a. a. 6 ÷ 30 = 0,20% a. d.
Cálculo dos Juros
O valor dos juros é obtido da expressão:
J = C . i . n
Exemplo:
Qual o valor dos juros correspondentes a uma aplicação de R$ 420,00, à taxa de 1,5% ao mês, por um prazo de 3 meses?
Pressione:
420
0.015
3
Agora é a sua vez!
Você aplicou R$ 500,00 por um prazo de 3 meses. Quanto receberá de juros, sabendo-se que a taxa é de 5% a. m.?
Pressione:
500
0.05
3 Resp.: R$ 75,00
Cálculo do Capital
Com a mesma fórmula utilizada para o cálculo dos juros, você pode calcular o capital. Veja como!
Para obter juros de R$ 18,90 em 3 meses, à taxa de juros de 1,5% a. m., qual o capital que devo aplicar?
18,90
0,015
3
Resp.: 420,00
Agora é a sua vez!
Calcule o valor a ser aplicado à taxa de 1% a. m. para que possam ser retirados mensalmente R$ 200,00 de juros.
Pressione:
200
0.01 R$ 20.000,00
ENTER
x
x
J = C . i . n
J = 420 . 0,015 . 3
J = R$ 18,90
ENTER
x
x
f CLX
ENTER
x
ENTER
ENTER
f CLX
Exemplo:
Você aplicou R$ 420,00 por um prazo de 3 meses e obteve um rendimento de R$ 18,90.
Qual a taxa de juros mensal dessa aplicação?
18,90
420
3 Resp.: 1,5%
Agora é a sua vez!
Você comprou uma máquina de lavar roupas, cujo preço à vista era de R$ 800,00 para pagar num prazo de 284 dias. O
valor dos juros foi R$ 467,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada?
Pressione:
467
800
284
30
100 Resp.: 6,17% a. m.
Cálculo do Prazo
Para fechar esse assunto, escreva a fórmula para o cálculo do prazo (n).
Agora é a sua vez!
Por quantos meses você precisará aplicar um capital de R$ 1.200,00, à taxa de 31% ao trimestre, para receber de juros
R$ 998,00?
Pressione:
998
1200
0,31
3
Resp.: 8,05 meses
1. Você aplicou R$ 518,00 por um prazo de 3 meses. Quanto receberá de juros, sabendo-se que a taxa é de 4,2% a. m.?
Pressione:
518
0.042
3 Resp.: R$ 65,27
x
ENTER
ENTER
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
x
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
ENTER
x
x
f CLX
Exercícios de Fixação
2. Quanto você precisa aplicar hoje, à taxa de 5,3% ao mês para que daqui a 120 dias possa comprar uma batedeira de
R$ 210,00, utilizando somente o valor dos juros?
210
0,053
4
Resp.: R$ 990,57
3. Você comprou uma geladeira, cujo preço à vista era R$ 636,00 para pagamento no prazo de 284 dias e com juros de
R$ 467, 30. Qual a taxa de juros mensal cobrada?
Pressione:
467,3
636
284
30
100 Resp.: 7,76% a. m.
4. Por quantos meses você precisará aplicar um capital de R$ 1.200,00 à taxa de 31,20% ao trimestre e receber de juros
R$ 624,00?
Pressione:
624
1200
0,312
3
Resp.: 5 meses
5. Calcule o valor a ser aplicado à taxa de 0,5% a. m. para que possam ser retirados, mensalmente, R$ 200,00 de juros.
200
0.005 Resp.: R$ 40.000,00
x
ENTER
ENTER
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
x
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
ENTER
f CLX
Cálculos de Juros Simples
A HP-12C calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, simultaneamente. Você pode apresentar
qualquer um dos resultados, como indicado em seguida. Além disso, se o valor dos juros acumulados estiver no visor, você
poderá calcular a quantia total (o valor principal somado aos juros acumulados), bastando pressionar .
1. Introduza ou calcule o número de dias então pressione .
2. Introduza a taxa de juros anual, e então pressione .
3. Introduza o valor do principal, e então pressione . **
4. Pressione para calcular e apresentar os juros acumulados na base de 360 dias.
5. Se você desejar apresentar o valor dos juros acumulados na base de 365 dias, pressione .
6. Pressione para calcular o total principal somado ao valor dos juros acumulados que está agora no visor.
Os valores de n, i, e PV podem ser fornecidos em qualquer ordem.
** Ao pressionar você estará armazenando o valor do principal no registrador PV, o qual passará a conter o valor
presente da quantia sobre o qual serão calculados os juros acumulados. A tecla é inicialmente pressionada para
trocar o sinal do principal antes de armazena-lo no registrador PV. Isto é necessário devido à convenção de sinais do fluxo
de caixa, que se aplica, primariamente, ao cálculo de juros compostos.
Exemplo1: Você possui um bom amigo que precisa de um empréstimo para iniciar um empreendimento e lhe pediu
emprestado R$ 45.000,00 por 60 dias. Você emprestou o dinheiro a juros simples de 7%, a serem calculados na base de
360 dias. No fim de 60 dias, qual será o valor dos juros acumulados e a quantia total que ele lhe devolverá?
Presione Visor
60 60.00
7 7.00
45000 - 45,000.00
525.00
45,525.00
Exemplo2: No exemplo anterior, o seu amigo concordou em pagar 7% de juros, mas solicitou que você os calculasse na
base de 365 dias (ao invés de calcula-los na base de 360 dias). Qual deverá ser o valor dos juros acumulados que ele
deverá pagar a você em 60 dias, e qual o valor total a ser reposto?
Presione Visor
60 60.00
7 7.00
45000 - 45,000.00
517.81
45,517.81
Montante (FV)
Montante (M), ou Valor Futuro, é igual à soma do Capital Inicial mais os juros referentes ao período da aplicação.
Assim, M = C + J
Exemplo:
O Sr. Anselmo aplicou R$ 500,00 à taxa de juros de 1,80% a. m., com vencimento para daqui a 5 meses.
Qual será o montante a ser recebido pelo Sr. Anselmo?
Fórmula: FV = PV (1 + i . n)
FV = 500 (1 + 0,018 x 5)
FV = R$ 545,00
+
n
i
CHS PV
INTf
x yR↓
f
+
CHS
n
i
CHS PV
f INT
+
n
i
CHS PV
f INT x yR↓
+
Pressione:
500
1
0,018
5
Resp.: R$ 545,00
Exercícios de Fixação
1. Calcule o montante (FV) da aplicação de um capital (PV) de R$ 1.800,00, pelo prazo de 8 meses a uma taxa de 2% a. m.
Pressione:
1800
1
0,02
8
Resp.: R$ 2.088,00
Valor Atual (PV)
Valor atual ou valor presente é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e um determinado prazo, nos dá um
montante ou valor futuro.
Fórmula: FV = PV (1 + i . n)
Exemplo:
Quanto o Sr. José precisará aplicar hoje para resgatar R$ 545,00, daqui a 5 meses, à taxa de 1,80% a. m.?
Vejamos como fica o exemplo da fórmula:
Pressione:
545
1
0,018
5
Resp.: R$ 500,00
ENTER
+
f CLX
ENTER
ENTER
x
x
ENTER
+
f CLX
ENTER
ENTER
x
x
ENTER
+
f CLX
ENTER
ENTER
x
Exercícios de Fixação
2. Qual o valor de resgate de um investimento no valor de R$ 2.127,00, à taxa de 1,50% a. m., prazo de 92 dias.
Pressione:
2127
1
0,015
30
92
Resp.: R$ 2.224,84
3. Determine o valor de um título aplicado hoje, sabendo que a taxa de juros é de 4,235% a. m. e que o seu vencimento
ocorrerá daqui a 90 dias, com valor resgate de R$ 3.520,00.
Pressione:
3520
1
0,0423
30
90
Resp.: R$ 3.123,20
4. Calcule o valor presente de um financiamento que tem como resgate R$ 14.230,00, efetuado há 45 dias, à taxa de 3,50%
ao bimestre.
Pressione:
14230
1
0,035
45
60
Resp.: R$ 13.866,02
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
+
x
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
+
ENTER
x
f CLX
ENTER
ENTER
+
Montante de um capitalCálculo do Valor AtualFunções FinanceirasCálculo do Valor Presente
Montante de um Capital (FV)
Exemplo:
O Sr. Márcio fez uma aplicação de R$ 1.000,00. Quanto ele deverá obter daqui a 3 meses à uma taxa de 5% a. m.?
Vamos acompanhar o raciocínio por meio do exemplo utilizado na definição algébrica.
Capital Inicial = PV = 1.000,00
Taxa de Juros = i = 5% a. m.
Prazo = 3 meses
Montante = FV = ?
1° momento
FV = PV (1+ i) → FV = 1.000 (1 + 0,05) → 1.050
2° momento
FV = PV (1+ i) . ( 1 + i) → FV = 1.000 (1 + 0,05)2 → 1.102,50
3° momento
FV = PV (1+ i) . ( 1 + i) . (1 + I) → FV = 1.000 (1 + 0,05)3 → 1.157,63
Assim sucessivamente, até chegarmos a:
FV = PV (1+ i)n
Onde (1+ i)n é chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Capitalização para pagamento único.
Funções Financeiras
Através das funções financeiras, podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, problemas financeiros que
impliquem um só pagamento ou uma série de pagamentos iguais. Os vários pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na
calculadora devem estar de acordo com a convenção estabelecida para fluxo de caixa, ou seja, sinal para as entradas
e sinal para as saídas.
→ É o Prazo, o n° de capitalizações ou a quantidade de prestações.
→ Taxa de Juros.
→ Valor Presente, Valor Atual, Valor Principal ou Capital.
Vamos alimentar a HP-12C com o exemplo anterior:
Pressione:
1000
5
3
Resp.: FV = 1.157,62
Valor Atual ou Valor Presente (PV)
Agora que você conhece as funções financeiras da sua HP-12C, veja como calcular o Valor Presente (PV) do exemplo
anterior.
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU EXPONENCIAL3
i
f CLX
n
FV
CHS PV
+
-
n
i
PV
Exemplo: Quanto o Sr. Márcio deverá aplicar hoje para obter R$ 1.157,63 daqui a 3 meses à taxa de 5% a. m.?
Pressione:
5
3
1157,63
Resp.: R$1.000,00
Agora é a sua vez!
1. Seguindo o mesmo critério, tente calcular a taxa ( i ) e o prazo ( n ).
Pressione:
1000
3
1157,63
Resp.: 5% ao mês
Pressione:
1000
5
1157,63
Resp.: 3 meses
Exercícios de Fixação
1. Você está precisando de R$ 1.000,00 para comprar varas de pesca e coletes salva-vidas para suas próximas férias. Dispondo de R$ 950,00 e sabendo que as suas férias serão daqui a 3 meses, será possível adquirir todo o equipamento necessário, se o seu capital for aplicado à taxa de 2,23% ao mês?
Pressione:
950
3
2,23
Resp.: R$ 1.014,98
2. Sabendo que você é um profundo conhecedor de matemática financeira, um amigo o procurou pedindo que você calculasse o valor pelo qual uma dívida de R$ 2.050,0,00, contraída a 60 dias, à taxa de 5,50% ao mês, deve ser quitada. Que resposta você deu ao amigo?
Pressione:
2050
5,5
60
30
Resp.: R$ 2.281,70
i
f CLX
n
PV
CHS FV
n
f CLX
FV
i
CHS PV
i
f CLX
FV
n
CHS PV
n
f CLX
i
FV
CHS PV
f CLX
n
FV
CHS FV
i
ENTER
3. Um amigo deseja obter R$ 4.680,00 dentro de seis meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 2,197% ao trimestre?
Pressione:
4.680
2.197
2 -> corresponde a 2 trimestres (6 meses)
Resp.: R$ 4.480,94
4. Daqui a 2 semestres você vai se formar e pretende dar uma grande festa para seus parentes e amigos. Estimando que essa festa lhe custará R$ 10.520,00 e que você conseguirá apanhar dinheiro à taxa de 3,5% a. m., quanto você deve investir hoje?
Pressione:
10520
3,5
2
6
Resp.: R$ 6.961,96
i
f CLX
n
PV
CHS FV
f CLX
x n
PV
CHS FV
i
ENTER
Taxas EquivalentesFórmula GenéricaConclusão
Taxas Equivalentes
Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo da aplicação e o mesmo capital, produzirem o mesmo montante.Se você compreendeu, responda rápido!
Se você tivesse um capital de R$ 100,00 para aplicar por 12 meses, qual das taxas abaixo você escolheria para obter um maior montante?
5,5% a. m. ou 90,12% a. a.
Temos a taxa de 5,5% a. m. e queremos a taxa anual.
5,5% é a taxa que eu tenho (i t).
1 mês ou 30 dias é o prazo que eu tenho (t).
12 meses ou 360 dias é o prazo que eu quero (q).
A taxa que eu quero (iq) será anual (ia) a ser calculada.
Veja outros exemplos:
Calcular o montante (FV) nas seguintes situações:
1. PV = 200,00 n = 12 meses i = 2% a. m. FV = ?
200
12
2
2. PV = 200,00 n = 1 ano i = 26,8242% a. a. FV = ?
200
1
26,8242
Nas duas situações chegamos ao montante de R$ 253,65, mas isso foi possível porque as taxas de juros equivalentes, ou seja, 2% ao mês equivale a 26,8242% ao ano. Assim, você pode aplicar seu dinheiro a 2% a. m. ou 26,8242% a. a. e obterá o mesmo rendimento.
A seguir, mostraremos como calcular taxas equivalentes para qualquer período.
Se você puder trabalhar cm meses.
Neste caso você tem a taxa de 2% a. m. e quer para 12 meses.
Quando você quer trabalhar com dias, o mês corresponde a 30 dias e o ano a 360 dias.
TAXAS EQUIVALENTES4
Fórmula Genérica:
n
f CLX
i
FV
CHS PV
n
f CLX
i
FV
CHS PV
Conclusão:
Utilizando a fórmula genérica, podemos calcular taxas equivalentes para qualquer n° de dias. Neste exemplo verificamos
que 2% ao mês equivale à 26,84242% ao ano.
A seguir, vamos partir da taxa de 26,8242% ao ano e calcular a taxa equivalente mensal.
Exercícios de Fixação
1. Dada a taxa de 2,48% ao mês, calcule a taxa equivalente anual.
1
0,268242
1
12
1
100 Resp.:
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,60
30
360
1
100 Resp.: 3,99% a. m.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,268242
30
360
1
100 Resp.:
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,0248
360
30
1
100 Resp.: 34,17% a. a.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
2. Dada a taxa de 60% ao ano., calcule a taxa
equivalente mensal.
1
0,02
360
30
1
2 Resp.: 26,82% a. a.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
Agora é a sua vez!
3. Temos a taxa de 2% ao mês e queremos a taxa equivalente para 35 dias.
4. Você recebeu uma mala direta do concorrente, informando que a rentabilidade anual de uma aplicação era de 18,5% ao
ano. No Bradesco, uma aplicação similar oferece rentabilidade média de 1,5% ao mês. Qual a melhor opção?
5. Uma concessionária de automóveis está financiando um veículo popular com a taxa de juros de 0,99% ao mês. Qual é a
taxa anual deste financiamento?
1
0,185
30
360
1
Resp.: 1,42% a. m.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,015
360
30
1
Resp.: 19,56% a. a.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,0099
360
30
1
100 Resp.: 12,55% a. a.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
1
0,02
35
30
1
100 Resp.: 2,33% a. p.
ENTER
ENTER
x
+
-
yx
f CLX
Prestações ou RendasPrestações PostecipadasValor Presente de uma RendaValor da Prestação ou RendaPrestações AntecipadasTaxa Interna de Retorno
Prestações ou Rendas
Trata-se de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos com vencimentos periódicos e constantes.
Os pagamentos e recebimentos podem ser:
Postecipados: Se os valores forem exigíveis no final do primeiro período.
Antecipados: Se os valores forem exigidos no início do período.
Periódicos: Se todos os períodos forem iguais.
Constantes: Se os valores forem iguais.
Certamente você já se viu numa situação de ter que programar uma poupança mensal para conseguir realizar algum sonho,
como, por exemplo, viajar para o Caribe nas férias. Para isso, a sua HP-12C é muito útil.
O cálculo que você fará será denominado Montante de uma Renda.
Suponha que suas férias estejam programadas para daqui a 4 meses. Como uma viagem para o exterior não é tão barata assim, você fará um esforço para aplicar R$ 1.000,00 em cada um dos 4 meses, à juros de 1% ao mês. Veja quanto você poderá gastar na viagem.
Note que, você toma a decisão de constituir a passagem hoje, mas o primeiro depósito será no início do 1° mês com o
nome de prestações postecipadas.
PV = R$ 1.000,00
1° mês
FV = 1000 (1 + 0,01) = 1010 → + depósito da 2ª parcela = 1010 + 1000 = 2010
2° mês
FV = 2010 (1 + 0,01) = 2030,10 → + depósito 3ª parcela = 2030,10 + 1000 = 3030,10
3° mês
FV = 3030,10 (1 + 0,01) = 3060,40 → + depósito 3ª parcela = 3060,40 + 1000 = 4060,40
Você deve ter notado que o cálculo foi feito mês-a-mês. Isso foi apenas para facilitar o entendimento de que existe uma
fórmula específica para se chegar ao Montante de uma série de parcelas iguais.
Será que você é capaz de me dizer qual é?
A) x
B)
C)
PRESTAÇÕES OU RENDAS5
1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00
H 1 2 3 4
1.010,00
2.010,00 2.030,10
3.030,10 3.060,40
4.060,40
Resolvendo pela álgebra: Resolvendo pelas funções da HP-12C:
Valor Presente de uma Renda
Você foi contemplado com uma viagem para Nova Iorque onde estagiará, por 4 meses, em uma Universidade. Querendo
que seu filho possa sacar R$ 1.000,00, a cada mês, durante o período de sua ausência, qual o valor que você deve
depositar hoje numa aplicação que renda 1% ao mês?
Novamente, a sua HP-12C será extremamente útil! O cálculo que você fará será denominado Valor Presente de uma
Renda.
Calcular o valor presente significa extrair do valor de cada parcela a taxa de juros nela embutida. Quando falamos de
prestações devemos lembrar que cada uma vence em período diferente, e portanto, juros embutidos são diferentes em
cada período. Para efetuarmos os cálculos demonstrados no diário de fluxo de caixa devemos aplicar a fórmula a cada
parcela:
Da mesma forma como o cálculo do montante, o cálculo do valor presente pode ser feito das seguintes maneiras:
Pela fórmula: Pelas funções da HP-12C
Valor da Prestação ou Renda
Comprar ações pode ser um grande negócio. Não dispondo de recursos no momento, e aproveitando a cotação favorável,
decidiu efetuar um empréstimo para adquiri-las.
O valor de aquisição das ações é de R$ 3.901,97, este é o valor do empréstimo que você pagará em 4 parcelas mensais, à
taxa de juros de 1% ao mês.
PV = 3.901,97
i = 1% a. m.
Exercícios de Fixação
1. Um semestre do seu curso de inglês custa R$ 900,00 se for pago à vista. No entanto, a escola oferece a opção de
pagamento em 5 vezes R$ 200,00. Qual é a taxa mensal cobrada pela escola?
Resp.: 3,62% a. m.
1000
1
0.01
4
1
0.01
ENTER
ENTER
+
yx
-
x
1000
4
1
n
f CLX
i
FV
CHS PMT
1000
4
1
n
f CLX
i
PV
CHS PMT
3901,97
4
1
n
f CLX
i
PMT
CHS PV
2. Você quer financiar um apartamento cujo valor à vista é de R$ 56.000,00. O prazo de pagamento pretendido é de 15 anos
e a taxa de juros cobrada pela construtora é de 0,9489% a. m. Qual o valor das prestações?
Resp.: R$ 650,16
3. Qual o capital que será necessário aplicar hoje em uma caderneta de poupança para que se possa sacar mensalmente
R$ 150,00 durante 10 anos, sabendo que a poupança paga uma taxa real de juros de 0,5% a. m.?
Resp.: R$ 13.511,02
Prestações Antecipadas
Já calculamos prestações postecipadas, no entanto, você deve ter se deparado com situações em que tenha sido
necessário o pagamento de uma entrada. Neste caso as prestações são chamadas antecipadas, pois o primeiro
pagamento é efetuado no ato do financiamento.
Exemplo:
Você fez um financiamento de R$ 3.000,00 para comprar aquele sonhado computador, pagando uma parcela como entrada
mais 11 parcelas mensais, à taxa de juros de 1,5% ao mês. Sua situação está representada no fluxo de caixa:
PV = 3.000,00
PMT PMT PMT PMT
1 2 3 12 meses
A formula para os cálculos das prestações não é nada simples. Veja:
900
5
200
n
f CLX
PMT
i
CHS PV
56000
180
0,9489
n
f CLX
i
PMT
CHS PV
150
120
0,5
n
f CLX
i
PV
CHS PMT
Para entender melhor o conceito de prestação antecipada, acompanhe o desenvolvimento do exemplo abaixo:
Uma calculadora HP-12C custa R$ 145,45 à vista podendo ser paga em três prestações de R$ 54,07. Considerando-se que
o primeiro pagamento é no ato da compra, qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
PV = 145,45
0 1 mês 2 meses
PMT = 54,07 54,07 54,07
Vamos alimentar a HP:
Você deve estar pensando: será que eu sempre terei que me lembrar de descontar a entrada? Não, a HP-12C oferece mais um recurso para você. É o Begin.
Begin é uma expressão em inglês que significa início, ou seja, quando a prestação é antecipada ela é paga no início do período.
Utilizando este recurso você não precisa descontar a parcela de entrada, porém, precisará informar a quantidade de parcelas incluindo a entrada.
Vamos refazer o cálculo utilizando o Begin:
Digite
A partir desse instante, a sua HP-12C estará programada para cálculos com prestações antecipadas, e esta informação estará no visor, não sendo necessário repetir o comando a cada cálculo.
Em cálculos de prestações postecipadas deverá ser retirada a informação do visor de sua HP-12C.
Para isso digite
Agora é a sua vez!
Você decidiu comprar uma bicicleta ergométrica para ficar em forma. Após várias pesquisas em diversas lojas, você
encontrou por R$ 530,00 à vista, ou 1 entrada mais 7 prestações de R$ 77,37.
Qual a taxa de juros cobrada pela loja?
Resp.: 4,7%
Se a primeira parcela foi paga no ato, podemos entender que a loja não financiou o valor total, já que houve uma entrada de R$ 54,07. Portanto, o valor financiado foi de R$ 91,38, e somente sobre este incidirá juros.
91,38
2
54.07
n
f CLX
PMT
i
CHS PV
Como as parcelas são mensais, a taxa de 12% é ao mês.
7g
8g
530
8
77,37
CHS
f CLX
PMT
i
g 7
PV
n
