Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF

Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque

Aula 03

Análise Freqüêncial e Transformada Z

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Análise Freqüêncial de Sinais e Sistemas

• A Transformada de Fourier (TF) é uma das diversas ferramentas utilizadas na análise e projetos de sistemas LTI

• Esta transformação é basicamente a representação do sinal através de sua decomposição em termos senoidais

• Para sinais períodicos esta decomposição é chamada de série de Fourier

• Para classes de sinais a energia finita, esta decomposição é chamada de Transformada de Fourier

• Desta forma, dizemos que o sinal está representado no domínio da freqüência

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Análise Freqüêncial de Sinais no Tempo Contínuo

Em 1762 Newton denomina espectro as bandas contínuas de cores

Da física, sabemos que a cada cor corresponde uma freqüência

A análise da luz por cores é uma forma de análise freqüêncial

• Se decompormos uma forma de onda em componentes senoidais, podemos fazer uma analogia ao prisma que separa a luz branca em diferentes cores

• A soma destas componentes resulta na forma de onda original

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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Contínuo


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Densidade Espectral de Potência de Sinais Periodicos


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Densidade Espectral

de Potência de Sinais

Periódicos


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Análise Frequencial de Sinais no Tempo Discreto

• Como observado anteriormente, a série de Fourier de um sinal contínuo no tempo pode ter um número infinito de componentes de freqüência com largura de faixa de de - a .

• Em tempo discreto a faixa de freqüência é única de - a (-½ a ½). Um sinal em tempo discreto, com período fundamental N contém componentes de freqüência separadas por f=1/N.

• Esta é a diferença básica entre a série de Fourier para sinais períodicos no tempo contínuo e no tempo discreto.

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Série de Fourier para Sinais Periódicos no Tempo Discreto


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Exemplos de Série

de Fourier

no Tempo

Discreto


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Densidade Espectral de Potência de Sinais Periódicos


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Densidade Espectral de Energia de Sinais não-Periódicos


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Exemplo de Densidade Espectral de Energia de Sinais

não-Periódicos


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Transformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI

A TZ tem o mesmo papel na análise de sinais e sistemas LTI discretos no tempo como a transformada de Laplace tem na análise de sinais e sistemas LTI no tempo contínuo

Exemplo: A convolução de dois sinais no domínio do tempo é equivalente a multiplicação de suas TZ

A TZ nos fornece meios para caracterizarmos um sistema LTI e sua resposta para vários sinais utilizando Pólos e Zeros

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A Transformada Z DiretaTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI

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Exemplos da TZ DiretaTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI

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Exemplos da TZ Direta


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Famílias Característica de Sinais com

suas ROC correspondentes


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A TZ inversa


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A relação entre a TZ e a TF


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Propriedades da Transformada Z


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Propriedades da Transformada Z


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Propriedades da TZTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI

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Algumas TZ ComunsTransformada Z e suas aplicações na análise de sistemas LTI

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Transformada Z racional

• Uma família importante de TZ são aquelas para o qual X(z) é uma função racional, i.e. a razão de dois polinômios em z-1 (ou z)

• Nesta seção discutiremos algumas características das TZ racionais

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Pólos e Zeros


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Exemplo de Pólos e ZerosTransformada Z racional

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Localização dos Pólos e Comportamento no Domínio do Tempo de Sinais Causais


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Círculo unitário

|z|=1

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Círculo unitário

|z|=1

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The distance r of the poles from the origin determines the envelope of the sinusoidal signal and their angle with the real positive axis, its relative frequency

Note that the amplitude of the signal is growing if r>1, constant if r=1 (sinusoidal signals), and decaying if r<1.

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A Função de Transferência de um Sistema

LTI


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A Função de Transferência de um Sistema LTI


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A Função de Transferência de um Sistema

LTI


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Exemplo de TZ inversa

por Expansão em

Frações Parciais


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Análise de Sistemas LTI no Domínio Z

• Nesta seção descrevemos o uso da Função de Transferência de um Sistema LTI na determinação da resposta deste sistema a algum sinal de excitação

• Nossa atenção está voltada a classe de Sistemas com PZ representados pela equação diferença em condição inicial arbitrária

• Consideraremos também a estabilidade de sistemas LTI apresentando um teste baseado no denominador da função de transferência

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Resposta de um

Sistema

Análise de Sistemas LTI no Domínio de Z

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Exemplo da Resposta de um SistemaAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z

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Estabilidade e CausalidadeAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z

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Cancelamento de Pólos e ZerosAnálise de Sistemas LTI no Domínio de Z

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Resumo• A TZ tem um papel fundamental na análise de sinais e sistemas no tempo discreto

• Vimos a propriedade da convolução – que transforma a convolução de duas seqüências no produto de suas TZ

• Nos sitemas LTI podemos calcular y(n) através do cálculo de Y(Z)-1=[X(z)H(z)]-1

• Muitos sinais tem TZ racional

• Sistemas LTI caracterizados pela equação diferença tem função de transferência racional

• A TZ inversa usando expansão em frações parciais é relativamente simples de ser usada

• Introduzimos a noção de Pólos e Zeros

• Caracterizamos a localização dos PZ em relação a estabilidade e causalidade dos sistemas LTI

• Em um sistema causal e estável os polos de H(z) estão dentro do círculo unitário

• Para um sistema ser estável ele requer que a ROC de H(z) esteja dentro do círculo unitário

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