CURSO INTRODUT“RIO DE MATEMTICA PARA .CURSO INTRODUT“RIO DE MATEMTICA PARA ENGENHARIA 2017.1

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CURSO INTRODUTRIO DE MATEMTICA PARA ENGENHARIA 2017.1

Produtos Notveis

Joo Victor Tenrio - Engenharia Civil

Propriedades da multiplicao

Algumas propriedades da multiplicao so:

Comutativa: ab = ba;

Associativa: a (bc) = (ab)c;

Nesta aula a que nos interessa a...

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

a (b+c) = ab + ac

(a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd

Propriedade Distributiva

(a + b).(a + b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b

(a - b).(a - b) = a - ab ab + b = a - 2ab + b

(a + b + c).(a + b + c) = a + ab + ac + ab + b + bc + ac + bc + c =

a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac

Afim de economizar tempo e no ter demultiplicar termo a termo, utilizamos osprodutos notveis.

Produtos Notveis

Indicado por: a mais b ao quadrado igual ao quadrado doprimeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, maiso quadrado do segundo:

(a + b) ou (a + b)(a + b)

Forma expandida:

(a + b) = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a + 2ab + b

Ento: (a + b) = a + 2ab + b

Quadrado da soma

O produto notvel (a + b), segundo a Geometria.

Quando a e b so positivos, podemos representar o quadrado da soma dedois termos desconhecidos geometricamente.

Observe que a rea do quadrado de lado (a + b) igual a rea doquadrado maior , a, mais duas vezes a rea do retngulo, ou seja, 2ab,mais a rea do quadrado menor, b.

Quadrado da soma

a ab

ab b

(a + b) = a + 2ab + b

a

b

a b

(a + b)(a + b) = (a + b)

(3x) + 2 (3x)(5) + 5 = 9x + 30x + 25

Quadrado da soma

(3x + 5) =

(y + 6) =

Exemplo:

y + 2 (y)(6) + 6 = y + 12y +36

Praticando:

y9 xy 6 x

411566x686 x

yy 63

2

3

2

Quadrado da soma

2)3( yx

)346( x

)3

6( 2

1

y

Indicado por: a menos b ao quadrado igual aoquadrado do primeiro menos duas vezes o primeirovezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a - b) ou (a - b)(a - b)

Forma expandida:

(a - b) = (a - b)(a - b) = a.a a.b b.a + b.b = a - 2ab + b

Ento: (a - b) = a - 2ab + b

Quadrado da diferena

O produto notvel (a - b), segundo a Geometria.Observe que a rea do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtidasubtraindo a rea dos dois retngulos azuis e a rea do quadrado amarelo .Ou seja:

a

a

b

b

(a b)

(a b) (a b)

b(a b)

b(a b)

b

a - b . (a - b) - b . (a - b) - b = (a b)

Quadrado da diferena

Quadrado da diferena

Exemplo:

(x - 4) =

(3x - y) =

x - 2 (x)(4) + 4 = x - 8x +16

(3x) - 2 (3x)(y) + y = 9x - 6xy +y

Quadrado da diferena

Praticando:

84

3

82

3

8yy

16

3

1

37

18x

7

81 zxz

223 )368(11

13)7

9( z

x

24 )3

8( y

Indicada por: quadrado do primeiro termo (a) menos oquadrado do segundo termo (b):

(a + b)(a b) = a - b

Forma expandida:

(a + b)(a - b) = a - ab + ba b = a - ab +ab - b = a - b

Ento: (a + b)(a b) = a - b

Produto da soma pela diferena

E quando necessrio utilizar outros expoentes?

Utiliza-se a seguinte frmula:

Produto da soma pela diferena

n

k

kknnn bababa1

1).()(

Produto da soma pela diferena

O produto notvel (a + b) . (a - b) segundo a GeometriaConsidere um retngulo de lados com medida (a + b) e (a b).

A rea do retngulo laranja (a + b) . (a b)

a

b

a b

(a - b)

(a + b)

ab

b

a

A rea da figura obtida pode ser expressa por a - b

Produto da soma pela diferena

Exemplo:

(5x + y)(5x y) =

(x + x)(x - x) =

25x - 5xy + 5xy y = 25x - y

x - x + x - x = x - x

Produto da soma pela diferena

Praticando:

)).(( 4444 xaxaxaxa

)3

6).(

3

6( 2

1

2

1

yy

)5

3).(

5

3( cbcb

8448 xaxa

y3

2

25

96 cb

Indicado por: a mais b ao cubo igual ao cubo do primeiro maistrs vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais trsvezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo dosegundo:

(a + b) = (a + b)(a + b)

Forma expandida:

(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)(a + 2ab + b) =

= a + 2ab +ab + ba + 2ab + b =

= a + 3ab + 3ab + b

Ento: (a + b) = a + 3ab + 3ab + b

Cubo da soma

Exemplo:

(x + 3) =

(2a + b) =

x + 3(x)(3) + 3(x)(3) + 3 =

= x + 9x + 27x + 27

(2a) + 3(2a)(b) + 3(2a)(b) + b =

= 8a + 12ab + 6ab + b

Cubo da soma

Praticando:

)2( ya

)( yab

)6( 21

x

966128 yayyaa

6433 yabyybaba

642

3

63186 xxx

Cubo da soma

Indicado por: a menos b ao cubo igual ao cubo do primeiromenos trs vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, maistrs vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos ocubo do segundo:

(a - b) = (a - b)(a - b)

Forma expandida:

(a - b) = (a - b)(a - b) = (a - b)(a - 2ab + b) =

= a - 2ab + ab - ba + 2ab - b =

= a - 3ab + 3ab - b

Ento: (a - b) = a - 3ab + 3ab - b

Cubo da diferena

Exemplo:

(x - 4) =

(3a + b) =

Cubo da diferena

x - 3(x)(4) + 3(x)(4) - 4 =

= x - 12x + 48x - 64

(3a) + 3(3a)(b) + 3(3a)(b) + b =

= 27a + 27ab + 9ab + b

Cubo da diferena

Praticando:

)2( ya

)8

5( ab

)7

5( a

966128 yayyaa

8

15

8

75

512

125babaab

64

7

15

7

75

77

125aaa

Definio: o produto de qualquer nmero de binmios do 1 grau, da forma (x + a), onde a um nmero real ou complexo.

Para dois binmios, teremos:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Para trs binmios, teremos:

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

Produto de Stevin

Produto de Stevin

Exemplo:

(x+10)(x-90) =

(x+2)(x-15)(x+6) =

x2 - 80x 900

x3 - 7x2 - 108x - 180

Produto de Stevin

Praticando:

)5)(2( xx

)4)(3)(2( xxx

107 xx

24269 xxx

27

Obrigada pela ateno!

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