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Gutemberg Filho- Engenharia Civil Trigonometria 1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

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Gutemberg Filho- Engenharia Civil

Trigonometria 1

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

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A palavra trigonometria é de origem grega, onde:

Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração

• Relação entre ângulos e distâncias;

• Origem na resolução de problemas práticosrelacionados principalmente à navegação e àAstronomia.

Definição

Aplicações

Encontramos aplicações diversas da Trigonometriana Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, naAcústica, entre outras;

Exemplos:

• Altura de um prédio através de sua sombra;

• Largura de rios e montanhas;

• Distância a ser percorrida em uma pista circularde atletismo.

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Classificação dos triângulos

Quanto aos tamanhos dos lados

• Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento;

• Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento;

• Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes.

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Classificação dos triângulos

Quanto as medidas dos ângulos:

• Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90°);

• Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90°);

• Retângulo: 1 ângulo reto (90°).

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Trigonometria no Triangulo Retângulo

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Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo:

α + β + 90° = 180°⇒ α + β = 90°

Trigonometria no Triangulo Retângulo

Em um triângulo retângulo os lados que formam o ânguloreto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo retoé chamado hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:

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𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐

Trigonometria no Triangulo Retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo:

Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulodefine-se 6 razões trigonométricas:

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𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Trigonometria no Triangulo Retângulo

Com base nas relações verifica-se facilmente que:𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛽; cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽;𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛽.

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𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

Vamos praticar...

Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aoslados, aos ângulos e encontre os valores dasincógnitas.

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xy

62 m

7 m

a

b

Algumas relações encontradas

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30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

𝑠𝑒𝑛1

2

2

2

3

21 0 -1 0

cos 3

2

2

2

1

20 -1 0 1

𝑡𝑔 3

31 3 ∄ 0 ∄ 0

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EXERCÍCIO 2:

Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100m da

base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta

do teodolito está a 1,70m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre?

(Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)= 0,87 e tg(30º)= 0,58. )

Vamos praticar...

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EXERCÍCIO 3:

Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu

“caimento” é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado

da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem

3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado

dessa casa.(Dados: sen(20º)=0,34 ; cos(20º)= 0,94 e tg(20º)=0,36).

Vamos praticar...

Exemplo

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