CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA … · Potenciação CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 . 2/67 ... algumas propriedades foram criadas nas operações

Lucas Arauacutejo - Engenharia de Produccedilatildeo

Potenciaccedilatildeo

CURSO INTRODUTOacuteRIO DE MATEMAacuteTICA PARA ENGENHARIA 20141

267


No seacuteculo 3 aC na Greacutecia antiga Arquimedes resolveu calcular quantos gratildeos de areia eram necessaacuterios para encher o Universo

367

Entatildeo Arquimedes calculou o diacircmetro do universo e o volume meacutedio de um gratildeo de areia No final de seus caacutelculos apareceu contas de multiplicar por dez repetidas vezes

N de vezes que o 10 aparece na multiplicaccedilatildeo Resultado

1 10

2 100

3 1000

4 10000

5 100000


467

Tambeacutem chamada de EXPONENCIACcedilAtildeO eacute uma operaccedilatildeo usada para indicar a multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero por ele mesmo x vezes

Por exemplo

4 4 4 = 64

Utilizando a potenciaccedilatildeo podemos escrever a expressatildeo da seguinte forma 4sup3

Potenciaccedilatildeo Definiccedilatildeo

bull 7sup3 =

bull( 05)sup2 =

Calcule o valor de

bull 3xsup2 + x ndash 1 para x = 05

Vejamos algumas aplicaccedilotildees

A incoacutegnita ldquonrdquo usada abaixo representa o nuacutemero Base

Qualquer nuacutemero racional elevado ao expoente zero eacute igual a um

= 1

Ex = 1 = 1 = 1

Caso a base N seja zero essa regra natildeo eacute verdadeira

Por que

Teremos a resposta mais adiante

Potenciaccedilatildeo Regras

Qualquer nuacutemero racional elevado ao expoente um eacute igual agrave base

nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867

As potecircncias surgiram no intuito de representar multiplicaccedilotildees onde os fatores eram iguais Dessa forma algumas propriedades foram criadas nas operaccedilotildees envolvendo potenciaccedilotildees de bases iguais ou diferentes simplificando os caacutelculos Observe o desenvolvimento de uma potecircncia

3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

Propriedades das potecircncias

Para efetuarmos um produto de potecircncias

de mesma base conservamos a base e

somamos os expoentes dos fatores

Ex

bull 10sup2 10sup1 = 10sup3

Propriedade 1 ldquoMultiplicaccedilatildeo de potencia de mesma baserdquo

baba XXX

2

3


Propriedade 2 ldquoDivisatildeo de Potecircncias de Mesma Baserdquo

Para efetuarmos um quociente de potecircncias


subtraiacutemos os expoentes

ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

2


Respondendo a questatildeo feita no iniacutecio da aula

SABE-SE QUE

Caso a base N seja zero essa regra natildeo eacute

verdadeira

Por que

nn = 1 Qualquer nuacutemero diferente de zero dividido

por ele mesmo daacute 1 nsup1nsup1 = ndeg Usamos a propriedade de divisatildeo de potecircncia

de mesmas base Como o resultado tem que ser uacutenico concluiacutemos que

ndeg=1

1467

Ateacute agora vimos Multiplicaccedilatildeo e

Divisatildeo com termos de mesma

base E quando natildeo tiver mesma

base O que podemos fazer

O QUE VAMOS VER AGORA Eacute JUSTAMENTE O SEGUNDO CASO EXPOENTES IGUAIS


Propriedade 3 ldquoMultiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoenterdquo

Os nuacutemeros X e Y podem ser quaisquer nuacutemeros do conjunto dos reais

aaa XYYX )(

Propriedade 4

ldquoDivisatildeo de Potecircncias de mesmo expoenterdquo

bull O mesmo raciociacutenio mostrado para a multiplicaccedilatildeo pode ser aplicado para a divisatildeo

Os nuacutemeros X e Y podem ser quaisquer nuacutemeros do conjunto dos nuacutemeros reais Conserva-se o expoente e divide-se as bases

a

a

a

Y

X

Y

X

1

2


Propriedade 5 ldquoPotencia de Potenciardquo

Onde a e b podem ser quaisquer nuacutemeros do conjunto dos reais Potecircncia de potecircncia multiplica-se os expoentes

baba XX )(

1

2


2067

Propriedade 6 ldquoO Inverso de um nuacutemerordquo

n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3


Quando tivermos um nuacutemero negativo elevado numa potecircncia devemos tomar a seguinte precauccedilatildeo veja os exemplos

(-5)2= (-5) (-5) = 25

(-2)4 = (-2) middot (-2) middot (-2) middot (-2) = +16

Note entatildeo que quando temos um nuacutemero negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como

se fosse positivo

E se tivermos um expoente iacutempar

Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125

Sempre que tivermos um nuacutemero negativo elevado em qualquer expoente IacuteMPAR o sinal negativo permanece na

resposta

(-5)2 Eacute TOTALMENTE DIFERENTE DE -52 NO

PRIMEIRO CASO O SINAL DE MENOS TAMBEacuteM

ESTAacute ELEVADO AO QUADRADO ENTAtildeO A

RESPOSTA Eacute +25 JAacute NO SEGUNDO CASO O

MENOS NAtildeO ESTAacute ELEVADO AO QUADRADO

SOMENTE O 5 PORTANTO A RESPOSTA Eacute -25

IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3


Obrigado pela atenccedilatildeo

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No seacuteculo 3 aC na Greacutecia antiga Arquimedes resolveu calcular quantos gratildeos de areia eram necessaacuterios para encher o Universo

367



1 10

2 100

3 1000

4 10000

5 100000


467


Por exemplo

4 4 4 = 64



bull 7sup3 =

bull( 05)sup2 =

Calcule o valor de





= 1

Ex = 1 = 1 = 1


Por que




nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

2



SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

1467









aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


2067


n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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367



1 10

2 100

3 1000

4 10000

5 100000


467


Por exemplo

4 4 4 = 64



bull 7sup3 =

bull( 05)sup2 =

Calcule o valor de





= 1

Ex = 1 = 1 = 1


Por que




nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

2



SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

1467









aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


2067


n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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467


Por exemplo

4 4 4 = 64



bull 7sup3 =

bull( 05)sup2 =

Calcule o valor de





= 1

Ex = 1 = 1 = 1


Por que




nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

2



SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

1467









aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


2067


n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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bull 7sup3 =

bull( 05)sup2 =

Calcule o valor de





= 1

Ex = 1 = 1 = 1


Por que




nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

2



SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

1467









aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


2067


n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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= 1

Ex = 1 = 1 = 1


Por que




nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

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2

1

2



SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


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n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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nsup1 = n Ex

bull 2sup1 = 2

bull 25sup1 = 25

bull 134sup1 = 134


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3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

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2

1

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SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


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n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

2

3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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867


3sup2 = 3 x 3 = 9

10sup3 = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296





Ex



baba XXX

2

3






ba

b

a

XX

X

3

4

7

22

2

1

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SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




ndeg=1

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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


2067


n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

Propriedade 7

1

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3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







IMPORTANTE

Outras propriedades

1

2

3




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Ex



baba XXX

2

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ba

b

a

XX

X

3

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SABE-SE QUE


verdadeira

Por que




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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

a

Y

X

Y

X

1

2




baba XX )(

1

2


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n

n

aa

1

2167

n

na

a

1

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1

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


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ba

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3

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Por que




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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

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Y

X

Y

X

1

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baba XX )(

1

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n

n

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1

2167

n

na

a

1

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1

2

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


resposta







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Outras propriedades

1

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ba

b

a

XX

X

3

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7

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SABE-SE QUE


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Por que




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aaa XYYX )(

Propriedade 4




a

a

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Y

X

Y

X

1

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baba XX )(

1

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n

n

aa

1

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n

na

a

1

Propriedade 7

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2

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


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aaa XYYX )(

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a

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Y

X

Y

X

1

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baba XX )(

1

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n

n

aa

1

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


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Propriedade 4




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a

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Y

X

Y

X

1

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baba XX )(

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n

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1

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n

na

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1

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3



(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

(-5)3=(-5)middot(-5)middot(-5) = -125


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Outras propriedades

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a

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Y

X

Y

X

1

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baba XX )(

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n

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

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a

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Y

X

Y

X

1

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n

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(-5)2= (-5) (-5) = 25



se fosse positivo


Outras propriedades

Observe

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a

a

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Y

X

Y

X

1

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n

n

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1

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se fosse positivo


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Observe

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