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Geometria Euclidiana Plana

Parte I

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2

Danielly Guabiraba - Engenharia Civil

Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil

O que veremos na aula de hoje?

Ângulos opostos pelo vértice

Propriedades dos polígonos

Congruência de triângulos

Semelhança de triângulos





Apresentação

Na geometria plana vamos nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas. Sendo elas os polígonos, ou seja, figura com muitos ângulos.

Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostos pelo vértice (opv):


𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).

𝒂 𝒃

Vamos comprovar se são ângulos opv.


Demonstração: Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 é a medida de b. Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°. Assim: a + x = b + x a + x – x = b + x – x a = b Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

𝒂 𝒃

𝒙

Informações adicionais

𝒂

𝒙

𝒚

𝒃

Ângulos Suplementares Ângulos Complementares

São aqueles que quando

somados resultam em um ângulo

reto, ou seja, sua soma é igual a

90º.

São definidos como os ângulos cuja

Soma resulta em um ângulo raso,

cujo valor é igual a 180°.

As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e não têm ponto comum (r // s). A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4 ângulos com s.

Retas paralelas cortadas por uma reta transversal

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉


Analisando a imagem abaixo, vemos que:

o 𝒂 e 𝒆

𝒃 e 𝒇

𝒄 e 𝒈

𝒅 e 𝒉

Ângulos correspondentes a = e; b = f; c = g; d = h

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉


Analisando a imagem, vemos que: o 𝒄 e 𝒆

𝒅 e 𝒇

o 𝒂 e 𝒈

𝒃 e 𝒉

o 𝒂 e 𝒉

𝒃 e 𝒈

o 𝒄 e 𝒇

𝒅 e 𝒆

Ângulos alternos internos c = e; d = f

Ângulos alternos externos a = g; b = h

Ângulos colaterais externos a + h = 180°; b + g = 180°

Ângulos colaterais internos c + f = 180°; d + e = 180°

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉

Exercício 1

Considere m e n retas paralelas (m // n), calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado.

2x + 10°

x + 30°

m n

Analisaremos assim:

Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦 , então 𝑦 = x + 30° e o ângulo correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x + 10° x + 30° = 2x + 10° x – 2x = 10° - 30° -x = -20° x = 20°

2x + 10°

x + 30°

𝑦

50°

50°

m n

m n

Exercício 1 (Resolução)

Na figura a seguir, a e b são retas paralelas cortadas pela transversal r. Calcule as medidas de x e y sabendo que a diferença entre elas é 64°.

𝑦 𝑥

a b

r

Exercício 2

Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, 𝑥 + 𝑦 = 180°, e pelo enunciado 𝑥 – 𝑦 = 64°, teremos um sistema: 𝑥 – 𝑦 = 64° 𝑥 = 64° + 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 180° 𝑥 + 𝑦 = 180° 64° + 𝑦 + 𝑦 = 180° 2𝑦 = 180° - 64° 2𝑦 = 116° 𝑦 = 58° Agora é só utilizar o valor de 𝑦 em qualquer das equações, para obter x. 𝑥 + 58° = 180° 𝑥 = 180° - 58° 𝑥 = 122°


Propriedade dos polígonos

Polígono é uma figura fechada formada por segmentos de retas, que constituem os lados da figura. O encontro dos segmentos formam os vértices, os ângulos internos e os ângulos externos.

O polígono possui lados, vértices, diagonais,

ângulos internos e ângulos externos.

A nomenclatura de um polígono depende do

número de lados da figura.

Nomenclatura do polígonos

A tabela abaixo contém a nomenclatura de alguns polígonos.

Lados Nome Lados Nome Lados Nome

1 11 undecágono ... ...

2 12 dodecágono

3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono

4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono

5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono

6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono

7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono

8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono

9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono

10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Polígonos regulares

Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares.

60° 60°

60°

90°

90°

90°

90°

108°

108° 108°

108°

108°

120° 120°

120° 120°

120° 120°

Polígono Convexo

Um polígono é convexo se os ângulos do polígono forem menores que 180°, assim ele será convexo. Caso tenha um ângulo com medida maior que 180° ele será classificado como não convexo ou côncavo.

Ângulos menores que 180°

Ângulo maior que 180°

Ângulos internos de um polígono

Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos(Si) é igual a

(n - 2) . 180°. Assim, teremos a fórmula:

Si = (n - 2) . 180°

Exercício 4

Qual o valor de x nesta figura?

160°

95°

𝑥 𝑦

Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados, utilizaremos desse valor na fórmula para obter a soma dos ângulos internos desse polígono. Si = (5 - 2) . 180° Si = 3 . 180° Si = 540° Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de y. 90° + 90° + 160° + 95° + y = 540° 435° + y = 540° y = 540° - 435° y = 105°

160°

95°

𝑥 𝑦


Como y + x = 180°, temos:

105° + x = 180°

x = 180° - 105°

x = 75°

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

105° 𝑥


Ângulos internos de polígonos regulares

Para sabermos qual a medida de cada ângulo interno de um polígono regular basta saber a soma dos ângulos internos (Si) e o número de lados (n). Em seguida, fazer o quociente entre eles.

Si

𝒏

Ângulos externos de um polígono convexo

Um ângulo externo de um polígono convexo é formado pelo prolongamento de um dos lados do polígono. O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo externo do triângulo ABC. A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo(Se) é igual a 360°.

Ângulos externos de um polígono regular

Para sabermos a medida de cada ângulo externo de um polígono regular basta fazer o quociente entre a soma dos ângulos externos (Se) e o número de lados (n).

S𝒆

𝒏 =

360°

𝒏

Diagonais

Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:

d = 𝒏 . (𝒏 − 𝟑)

𝟐

Quadriláteros

Trapézio Retângulo Paralelogramo

Quadrado Losango

Triângulo

Baricentro Ortocentro

Circuncentro

Incentro

𝐴𝐺

𝐺𝐷=

𝐵𝐺

𝐺𝐹=

𝐶𝐺

𝐺𝐸= 2

Exercício 3

(UNESP) Considere as seguintes proposições: - todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas.

Congruência de Triângulos





Imagine duas figuras tal que seja possível transportar uma sobre a outra de modo que coincidam. Dizemos que essas figuras são congruentes.

Ou seja, duas figuras planas são chamadas congruentes quando possuem forma, dimensões, e ângulos iguais.

Nesta aula veremos o caso da congruência de triângulos.

Exemplo 1

Pela definição citada anteriormente, observamos que os triângulos ABC e DEF, abaixo, são congruentes.


Para indicar que dois triângulos são congruentes, como no Exemplo 1, utilizamos a seguinte notação:

ΔDEFΔABC

Lados Ângulos

DEAB

DFAC

FECB

DA

FC

EB

Onde, A, B e C são os vértices correspondentes aos vértices D, E e F, respectivamente.


Esta congruência também pode ser indicada da seguinte forma:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

Notamos que a congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a congruência entre dois triângulos.

A

B F E

D

C

Casos de Congruência

Para identificar se dois triângulos são congruentes, não é necessário verificar a congruência dos seis elementos.

Veremos 5 casos em que a congruência de três elementos garante a congruência destes triângulos.


• 1º caso - LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e o ângulo formado por esses lados também congruente.


• 2º caso - LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.


• 3º caso - ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos iguais e o lado entre os ângulos congruente.

X Y V T


• 4º caso - LAA (lado, ângulo, ângulo): um lado congruente, e as congruências do ângulo adjacente e do ângulo oposto a esse lado.

𝑄 𝑍

S

L


• 5º caso: Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes.

, ,

H

V S

U

Congruência de triângulos

Portanto, através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas.

Chamamos esse método de raciocínio de demonstração.

Semelhança de Triângulos





Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao mesmo tempo às duas condições:

• os lados correspondentes têm medidas proporcionais;

• os ângulos correspondentes são congruentes.


Propriedade fundamental da semelhança de triângulos

Se traçamos um segmento paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado um outro triângulo, este será semelhante ao primeiro.

O próximo exemplo mostra os triângulos ∆ABC e ∆ADE, que atendem a propriedade citada acima.

Note que seus lados são correspondentes.

Exemplo 2

Critérios de semelhança

• 1° Critério - AAA (ângulo/ ângulo/ ângulo): Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.


• 2° Critério - LAL (lado/ângulo/lado): Se as medidas de dois dos lados de dois triângulos são respectivamente proporcionais, e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.


• 3° Critério - AA (ângulo/ângulo): Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.


• 4° Critério - LLL (lado/lado/lado): Se as medidas dos lados de dois triângulos são respectivamente proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Exercício 5

Um edifício iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento 72m. Simultaneamente, uma estaca vertical de 2,5m de altura, colocada ao lado do edifício, projeta uma sombra de comprimento 3m. Qual a Altura do edifício?


SITUAÇÃO


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