Curso Probabilidade e Estatistica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus IUNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADisciplina: Introdução à Probabilidade Período 2012.1Professora: Amanda dos Santos GomesAluno(a): .

1a NOTA DE AULA

1 Introdução à Probabilidade

Nesta disciplina, serão abordados tópicos referentes à Teoria das Probabilidades, aqual tem como principal objetivo construir modelos matemáticos que procuram explicarfenômenos não-determinísticos ou probabilísticos; isto é; fenômenos que estão sujeitos àfatores casuais. A Teoria das Probabilidades também é de fundamental importância para asolução de problemas relacionados à Inferência Estatística.

1.1 Introdução

Ao lançar uma moeda e observar a face superior, de modo geral, não podemos afirmarse ocorrerá cara ou coroa. Da mesma forma, quando lançamos um dado não sabemos qualdas faces 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 ocorrerá. No campo dos negócios e do governo há numerososexemplos de tais situações. Por exemplo, a incerteza existe quando desejamos realizar umaprevisão sobre a procura de um novo produto, a opinião pública em relação a determinadoassunto, o sucesso de um novo plano econômico, etc - tudo isso contém algum elementode acaso.

Na Estatística, a incerteza existe quando se quer fazer alguma afirmação a respeito dealguma característica populacional baseada em informações extraídas de dados amostrais.Neste caso, a aplicação da Teoria das Probabilidades é de fundamental importânciapara a solução de problemas de Inferência Estatística.

Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidadesindica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de umpossível resultado. Assim é que em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmarcom antecipação o que ocorrerá. No entanto, é possível dizer o que pode ocorrer.

O ponto central em todas essas situações é a possibilidade de quantificar quão provávelé determinado evento.

Em suma, podemos dizer que, as probabilidades são utilizadas para exprimir a chancede ocorrência de determinado evento.

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1.1.1 Definições Básicas

Definição 1.1 (Experimentos Aleatórios ou Fenômenos Aleatórios). São aqueles ondeo processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e conduz aresultados incertos.

Notação: E.

Exemplos:

E1 : Lançar uma moeda e observar a face superior.

E2 : Lançar um dado e observar o número da face superior.

E3: Ao fabricar uma lâmpada, observar o tempo de vida útil da mesma.

Observações:

a) Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmascondições;

b) Não podemos afirmar que resultado particular ocorrerá, porém podemos descrevero conjunto de todos os possíveis resultados do experimento;

c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regular-idade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que tornapossível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.

Definição 1.2 (Espaço Amostral). É um conjunto que contém todos os possíveis re-sultados de um experimento aleatório.

Notação: S

Exemplos:

Alguns espaços amostrais associados aos experimentos aleatórios E1, E2 e E3 são:

S1 =

S2 =

S3 =

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Definição 1.3 (Evento). Dado um espaço amostral S associado a um experimento E,definimos como evento, qualquer subconjunto desse espaço amostral, ou seja, é qualquercoleção de resultados do experimento E.

Notação: A, B, C, D, etc.

Exemplos:

1 - Considerando o espaço amostral S2, exemplos de eventos seriam:

A: Ocorre face par;

B: Ocorre um número menor que 4;

C: Ocorre um número maior que 0;

D: Ocorre o número 10;

2 - Considerando o espaço amostral S3, um exemplo de evento seria:

A: A vida útil de uma lâmpada é menor que 10 horas.

Observação:

Como os eventos de um espaço amostral são conjuntos, todas as operações da teoriados conjuntos são válidas para obter novos eventos. Considere, por exemplo, dois eventosA e B, então o evento:

a) A ∪B ocorrerá se, e somente se, A ocorrer, ou B ocorrer, ou ambos ocorrerem;

b) A ∩B ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente;

c) A ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer;

d) Se A1, A2, ..., An for qualquer coleção finita de eventos, então, ∪ni=1Ai será o evento

que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos Ai ocorrer;

e) Se A1, A2, ..., An for qualquer coleção finita de eventos, então, ∩ni=1Ai será o evento

que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos Ai ocorrerem;

f) Suponha que S represente o espaço amostral associado a algum experimento E, eque nós executemos E duas vezes. Então S × S pode ser utilizado para representar todosos resultados dessas duas repetições;

Podemos considerar o par (s1, s2) ∈ S × S como sendo um elemento do experimentofinal.

g) O exemplo anterior pode ser, obviamente, generalizado;

Um recurso gráfico, conhecido como Diagrama de Venn, poderá ser vantajosamenteempregado quando estivermos combinando conjuntos. Para ilustrar, vejamos como ficaeste diagrama representando os eventos descritos nos itens a, b e c:

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(Desenhar os Diagramas de Venn, para cada evento)

Definição 1.4 (Eventos Mutuamente Excludentes). Dois eventos, A e B, são denomi-nados, mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja,A ∩B = φ.

Exercício: Esboce um Diagrama de Venn, representando dois eventos mutuamente exclu-dentes.

Exemplos:

1 - Lança-se um dado e observa-se o número da face superior. Considerando este expe-rimento aleatório e os eventos:

A: Ocorre face par;

B: Ocorre um número menor que 4;

C: ocorre face menor que 7;

D: ocorre face cujo valor é maior que 6.

Determine em notação de conjuntos os seguintes eventos:

a) C d) B g) A j) A ∩B m) B − A

b) D e) A ∪B h) B k) A ∪B n) A−B

c) A f) A ∩B i) A ∪B l) A ∩B

Observação: Leis de D’Morgan

(i) A ∪B = A ∩B

(ii) A ∩B = A ∪B

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1.2 Abordagens para Definir Probabilidade

1.2.1 Aproximação da Probabilidade pela Freqüência Relativa - (Lei dosGrandes Números)

Definição 1.5 (Freqüência Relativa). Suponha que um experimento é repetido n vezes.Seja A um evento associado ao experimento e nA o número de vezes que o evento Aocorre nas n repetições. A freqüência relativa do evento A, representada por fA, édefinida como

fA =nA

n.

Propriedades:

(i) 0 ≤ fA ≤ 1;

(ii) fA = 1, se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições;

(iii) fA = 0, se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições;

(iv) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se fA∪B for a freqüênciarelativa associada ao evento A ∪B, então,

fA∪B = fA + fB.

Teorema 1.1 (Lei dos Grandes Números). Ao repetir um experimento um grandenúmero de vezes, a probabilidade de um evento A é aproximada pela freqüência relativa,isto é,

P (A) ∼= fA =nA

n, quando n →∞.

Observação: Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número derepetições do experimento.

Exemplos:

1 - Ao lançar uma moeda honesta 5 vezes, ocorreram 4 caras. Baseado neste resultado,qual a probabilidade (aproximada) do evento A : ocorrer cara?

2 - Considere as seguintes situações:

(i) Numa pesquisa de mercado, 5 pessoas foram entrevistadas das quais 4 disseramque comprariam um novo produto a ser lançado.

(ii) Numa outra pesquisa de mercado, 300 pessoas foram entrevistadas das quais140 disseram que comprariam um novo produto a ser lançado.

a) Para cada pesquisa, determine a probabilidade de que uma pessoa qualquercompre o novo produto.

b) Em qual das duas medidas de probabilidade calculadas no item ’a’ você confiamais?

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1.2.2 Definição Clássica de Probabilidade

Definição 1.6 (Evento Simples e Evento Composto). Cada um dos possíveis resulta-dos que compõe o espaço amostral e1, e2, ... é um evento simples, enquanto um eventocomposto, A, é uma coleção de eventos simples.

Exemplo: Ao lançar um dado, os eventos simples serão: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6}e um evento composto seria A : número par = {2, 4, 6}.

Definição 1.7 (Definição Clássica de Probabilidade). Suponha que um experimentotenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais pode ocorrer com a mesmachance. Se r eventos simples são favoráveis (implicam) à ocorrência do evento A,então

P (A) =Número de maneiras como A pode ocorrer

Número total de resultados possíveis=

#A

#S=

r

n.

Observações:

(1) Nesta definição é fundamental que os eventos simples sejam igualmente prováveis,e, neste caso, é evidente que:

(i) P (e1) = P (e2) = . . . = P (en) = 1n, e

(ii) P (e1) + P (e2) + · · ·+ P (en) = 1n

+ 1n

+ · · ·+ 1n

= n. 1n

= 1.

(2) Espaços amostrais com as características acima descritas são conhecidos comoEspaços Amostrais Finitos e Equiprováveis.

Exemplos:

1 - Considere o experimento E: lançar um dado equilibrado. Considere também, osseguintes eventos:

. A: Ocorre face par;

. B: Ocorre um número menor que 4;

. C: ocorre face menor que 7;

. D: ocorre face cujo valor é maior que 6

. A ∪B

. A ∩B

. B

Determine a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos acima definidos.

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1.2.3 Definição Axiomática de Probabilidade

Definição 1.8 (Definição Axiomática de Probabilidade). Seja E um experimentoaleatório e S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos umnúmero real representado por P (A) e denominado probabilidade de A, que satisfaçaaos seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;

(ii) P (S) = 1;

(iii) Se A e B forem mutuamente excludentes (A ∩B = φ), então

P (A ∪B) = P (A) + P (B) .

(iv) Se A1, A2, ..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então,

P

( ∞⋃i=1

Ai

)= P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An) + · · · =

∞∑i=1

P (Ai) .

Observações:

1) A probabilidade de um evento A, denotada por P (A) , indica a chance de ocorrênciado evento A. Quanto mais próxima de 1 é P (A), maior é a chance de ocorrência do eventoA, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A.

2) Do axioma iii, decorre imediatamente que, para qualquer n finito,

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai) .

Principais Propriedades:

P1. Se φ denota o conjunto vazio (evento impossível), então

P (φ) = 0.

P2. Se A é o evento complementar de A, então

P (A) = 1− P (A) .

P3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) .

P4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então

P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C).

P5. Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B).

Demonstrações:

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1.3 Métodos de Enumeração ou Técnicas de Contagem

Nem sempre a tarefa de calcular a probabilidade de um evento aleatório, da formaP (A) = r/n, é simples. Em algumas situações é necessário alguns procedimentos sis-temáticos de contagem ou enumeração para se obter o número de maneiras, r, pelas quaisA pode ocorrer, bem como o número total de maneiras, n, pelas quais o espaço amostralS pode ocorrer.

É no contexto descrito acima, que as técnicas de contagem são de fundamental im-portância. Neste curso, veremos algumas das principais técnicas.

1.3.1 Princípio Fundamental de Contagem (PFC) - Regra da Multiplicação

Suponha que um experimento possa ser realizado em k etapas, de modo que, para aprimeira etapa existem n1 resultados possíveis, para a segunda etapa n2 resultados possíveis,e assim sucessivamente, até que para a k − ésima etapa existem nk resultados possíveis.Então, existe um total de

n1 × n2 × ....× nk

resultados possíveis para este experimento.

Exemplos:

1 - Ao lançar um dado e uma moeda, quantos resultados possíveis podem ser obtidos?

2 - Uma companhia produz fechaduras que usam segredos numéricos para serem abertas.Se cada segredo consiste de três números distintos, escolhidos dentre os inteiros de0 a 9, quanto segredos diferentes poderão ser fabricados?

1.3.2 Regra da Adição

Suponha que um procedimento, designado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras.Adimita-se que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2

maneiras. Além disso, suponha-se que não seja possível a realização de ambos os proced-imentos simultaneamente. Então, o número de maneiras possíveis de realizar ou 1 ou 2será

n1 + n2.

Exemplo: Suponha-se que estejamos planejando uma viagem e devamos escolherentre o transporte por ônibus ou por trem. Se existirem três rodovias e duas ferrovias, dequantas maneiras poderá ser feita a viagem?

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1.3.3 Permutação e Arranjo

Suponha que tenhamos n objetos diferentes. Permutar os n objetos equivale a colocá-los dentro de uma caixa com n compartimentos, em alguma ordem. Assim, o número depermutações de n objetos distintos é dado por

nPn = n!

Considerem-se novamente n objetos distintos. Agora desejamos escolher r dessesobjetos, 0 ≤ r ≤ n e permutar os r escolhidos. Denotaremos o número de maneira de sefazer isso (arranjos) por nAr. Assim

nAr =n!

(n− r)!.

Exemplos:

1 - Se não são permitidas repetições,

a) quantos números de 3 dígitos podem ser formados dos seis dígitos 2, 3, 5, 6, 7e 9?

b) Quantos destes são menores que 400?

c) Quantos são pares?

d) Quantos são ímpares?

e) Quantos são múltiplos de 5?

2 - De quantas maneiras diferentes podemos escolher, sucessivamente, 3 cartas de umbaralho de 52:

a) com reposição;

b) sem reposição.

Obs.: Os problemas abordados nos itens a e b do exemplo 2, correspondem ao quese conhece por Amostras Ordenadas com e sem Reposição, respectivamente.

1.3.4 Combinação

Considere, novamente, n objetos diferentes. Agora, trataremos da contagem donúmero de maneiras de escolher r dentre esses n objetos sem considerarmos a ordem.Denotaremos por nCr o número de combinações possíveis. Para isto, basta aplicar oprincípio fundamental de contagem de acordo com o seguinte raciocínio:

1o) Existem nCr maneiras de se escolher r objetos quaisquer, sem considerar a ordem;

2o) Existem r! maneiras de se permutar os r objetos escolhidos no primeiro procedi-mento; ou seja; existem r! sequências possíveis ao escolher r objetos.

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Agora, note que o número de maneiras possíveis para realizar simultaneamente osprocedimentos 1 e 2 é igual ao número de arranjos, de modo que, pelo PFC, tem-se

nCr × r! = nAr =n!

(n− r)!.

Dessa forma, o número de combinações possíveis é dado por

nCr =n!

r!(n− r)!.

Exemplo: Em um congresso científico existem 15 Matemáticos e 12 Estatísticos.Qual é a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figurem 3Matemáticos e 2 Estatísticos?

1.4 Eventos Independentes

A probabilidade da ocorrência de dois eventos simultaneamente, P (A ∩ B), dependeda natureza dos eventos, ou seja, se eles são independentes ou não.

Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de umnão influencia a ocorrência do(s) outro(s).

Definição 1.9 (Eventos Independentes). Seja S um espaço amostral. Os eventosaleatórios A e B são (estocasticamente) independentes se, e somente se

P (A ∩B) = P (A)P (B).

Proposição 1: A é independente de si mesmo se, e somente se, P (A) = 0 ou 1.

Proposição 2: Se A e B são independentes, então A e B também são independentes(e também A e B, e ainda A e B).

Exercício: Prove as proposições 1 e 2.

Definição 1.10 (Eventos Independentes Dois a Dois). Os eventos aleatórios Ai, i =1, 2, ..., n são independentes 2 a 2 se

P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj),∀i, j; i 6= j.

Definição 1.11 (Eventos Mutuamente Independentes). Os eventos aleatórios Ai, i =1, 2, ..., n são mutuamente independentes se forem independentes 2 a 2 e além disso,

P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P (A1)P (A2)...P (An).

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1a LISTA DE EXERCÍCIOS

1 - Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido.Essas lâmpadas são verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja en-contrada. Descreva um espaço amostral para este experimento. Suponha agora, queas lâmpadas são verificadas até que todas as defeituosas sejam encontrdas. Descrevaum espaço amostral para este experimento.

2 - O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homenscom menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos, e 3 mulheres menores.Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos:

A: A pessoa é maior de 21 anos

B: A pessoa é menor de 21 anos

C: A pessoa é homem

D: A pessoa é mulher

Calcule:

a) P (B ∪D)

b) P (A ∩ C)

3 - Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1, 2, ..., 50. Qual a probabilidadede que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8?

4 - A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolasbrancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta naurna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual a probabilidade deque esta bola seja branca?

5 - Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Sea probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade daocorrência de A for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B.

6 - Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual cada questão tem4 respostas possíveis das quais exatamente uma é correta. O estudante seleciona aresposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele seleciona ao acaso umaresposta entre as 4 possíveis. Suponha que o estudante saiba a resposta de 60% dasquestões. Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual aprobabilidade de que ele sabia a resposta?

7 - Mostre que, se os eventos A e B são independentes, então também o serão A e B.

8 - Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é propor-cional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é 3 vezes mais provável de sair do que oponto 2). Calcular a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu umnúmero maior que 3.

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9 - Mostre que se A, B e C são eventos tais que P (A∩B ∩C) 6= 0 e P (C | A∩B) =P (C | B), então P (A | B ∩ C) = P (A | B).

10 - Uma caixa tem três moedas: uma não viciada, outra com duas caras e uma terceiraviciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de 1

5. Uma

moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que amoeda viciada tenha sido a selecionada?

11 - Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra urna contém 3 bolasbrancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para asegunda urna, e em seguida, retiram-se três bolas desta última, sem reposição. Quala probabilidade de que ocorram três bolas da mesma cor?

12 - A probabilidade de que A resolva um problema é de 23e a probabilidade de que

B resolva é de 34. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do

problema ser resolvido?

13 - Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados usaram ohospital. Os resultados são apresentados na tabela:

homens mulheresusaram o hospital 100 150

não usaram o hospital 900 850

Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada não use o hospital?

14 - Os colégios A, B e C têm as seguintes percentagens de rapazes, respectivsmente:40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e 8 alunos são escolhi-dos, com reposição. Se obtemos RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça) quala probabilidade de ter sido selecionado o colégio B?

15 - Sabe-se que a ocorrência simultânea dos eventos A1 e A2 necessariamente força aocorrência do evento A. Prove que

P (A) ≥ P (A1) + P (A2)− 1.

16 - Quantos números naturais de 4 algarismos podem ser formados usando-se apenas osalgorismos 2, 3, 4 e 5, de forma que sejam menores do que 5000 e divisíveis por 5?

17 - Considere que as pessoas possam nascer de forma equiprovável em qualquer um dosdias de um certo ano com 365 dias. Se numa sala existem r pessoas que nasceramneste ano, qual é a probabilidade de que existam, pelo menos dois aniversários nummesmo dia? Interprete esta probabilidade para r = 23.

18 - Calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances deuma moeda honesta.

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19 - João e Maria marcam um encontro no Iguatemi entre 17 horas e 18 horas com aseguinte condição: Um espera pelo outro no máximo 15 minutos. Qual a probabili-dade de que o encontro aconteça?

20 - Uma caixa contém 40 fusíveis bons e 10 defeituosos. Supondo que se selecionaao acaso 10 fusíveis, qual é a probabilidade de que não mais que 8 fusíveis sejamdefeituosos?

21 - Ao escolher entre diversos fornecedores de computadores, um comprador deseja sabera probabilidade de um computador falhar durantes os dois primeiros anos. Sabendo-seque só existem duas possibilidades; ou o computador falha durante os dois primeirosanos ou não falha, qual é essa probabilidade? Agora se você conhecesse o resultadode uma pesquisa do PC World feita com 4000 usuários de computadores, na qualrevela que 992 computadores falham durantes os dois primeiros anos, qual será aprobabilidade estimada?

22 - Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?

23 - Suponhamos agora que queiramos estender este resultado ao caso de três moedas.Qual a probabilidade de três caras?

24 - Pedro tem dois automóveis velhos. Se nas manhãs frias, há 20% de probabilidade deum deles não funcionar e 30% de outro não funcionar,

a) qual a probabilidade de nenhum funcionar?

b) qual a probabilidade dos dois funcionarem?

c) qual a probabilidade de pelo menos um funcionar?

d) qual a probabilidade de exatamente um funcionar?

25 - Considere o lançamento de dois dados equilibrados com o interesse de observar onúmero das faces superiores.

a) Calcule a probabilidade dos eventos:

i) A: sair face par nos dois dadosii) B: sair face par no primeiro dadoiii) C: sair face par no segundo dado

d) Os eventos B e C são independentes?

26 - De 120 estudantes, 60 estudam Francês, 50 Espanhol e 20 estudam Francês e Es-panhol. Se um estudante é escolhido ao acaso, encontre a probabilidade de queele:

a) estude Francês e Espanhol?

b) estude pelo menos uma das línguas?

c) não estude nem Francês nem Espanhol?

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27 - Ao escolher entre diversos fornecedores de computadores, um comprador deseja sabera probabilidade de um computador falhar durantes os dois primeiros anos. Sabendo-seque só existem duas possibilidades; ou o computador falha durante os dois primeirosanos ou não falha, qual é essa probabilidade? Agora se você conhecesse o resultadode uma pesquisa do PC World feita com 4000 usuários de computadores, na qualrevela que 992 computadores falham durantes os dois primeiros anos, qual será aprobabilidade estimada?

28 - Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituido de mulheres, e 40% doseleitores votaram na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventossejam independentes, determine a probabilidade de escolher um eleitor da lista geral,que seja mulher e que tenha votado na última eleição presidencial.

29 - Uma urna contém duas bolas brancas e cinco pretas. Qual a probabilidade de sairduas bolas pretas supondo que os sorteios são feitos com reposição?

30 - Se cada carta de um baralho de 52 cartas tem a mesma chance de ser escolhida,então qual é a probabilidade de:

a) se extrair cada uma delas?

b) de se extrair uma dama?

31 - Qual a probabilidade de se obter três ou menos pontos no lançamento de um dado?

32 - Uma urna contém duas bolas brancas, três pretas e cinco azuis.

a) Qual a probabilidade de se extrair uma bola branca?

b) Qual a probabilidade de se extrair uma bola preta ou uma azul?

33 - No lançamento de dois dados qual a probabilidade de sair o par (5,2)?

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2a NOTA DE AULA

2 Probabilidade Condicional, Teorema da Multipli-cação de Probabilidades, Teorema da ProbabilidadeTotal e de Bayes

2.1 Probabilidade Condicional

Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode serafetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência ou não de um outro evento.Considere, por exemplo, o seguinte experimento:

E : Dois dados são lançados, registrando-se o resultado como (x1, x2), onde xi é oresultado do i-ésimo dado, i = 1, 2.

O espaço amostral, S, associado a este experimento, pode ser representado pelaseguinte lista de 36 possíveis resultados igualmente prováveis:

S =

Considere, agora, os dois eventos seguintes:

A = {(x1, x2); x1 + x2 = 10}B = {(x1, x2); x1 > x2}Assim,

A =

B =

E, portanto,

P (A) =

P (B) =

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Suponha, agora, que soubéssemos da ocorrência de B e que quiséssemos calcular aprobabilidade de A. Iremos denotar essa probabilidade como P (A | B). Assim,

P (A | B) =

De maneira análoga, suponha que soubéssemos da ocorrência de A e que quiséssemoscalcular a probabilidade de B. Então, esta probabilidade denotada por P (B | A), será dadapor

P (B | A) =

Note que, no cálculo das probabilidades condicionais, o espaço amostral foi reduzidoao evento B e A, respectivamente.

Formalmente definimos probabilidade condicional da maneira a seguir.

Definição 2.1 (Probabilidade Condicional).

P (A | B) =P (A ∩B)

P (B),

desde que P (B) > 0.

Da definição acima, podemos dizer que

P (A ∩B) = P (B)P (A | B), ou equivalentemente,

P (A ∩B) = P (A)P (B | A).

Este último resultado é muitas vezes mencionado como o Teorema da Multiplicaçãode Probabilidades.

O Teorema da Multiplicação de Probabilidades pode ser generalizado para maisde dois eventos da seguinte maneira:

P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A1) P (A2 | A1) P (A3 | A1 ∩ A2) · · ·P (An | A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1)

Observação:

Note que, se A e B são independentes, então

P (A | B) =P (A ∩B)

P (B)=

P (A)P (B)

P (B)= P (A).

Exercício: Mostre que A e B são independentes se, e somente se,

P (A | B) = P (A) ou P (B | A) = P (B).

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2.2 Teorema da Probabilidade Total

Definição 2.2 (Partição do Espaço Amostral). Dizemos que os eventos B1, B2, ..., Bk

representam uma partição do espaço amostral S, quando

a) Bi ∩Bj = φ, para todo i 6= j,

b) ∪ki=1Bi = S,

c) P (Bi) > 0, para todo i.

Teorema 2.1 (Teorema da Probabilidade Total). Considere um evento A referente aS, e B1, B2, ..., Bk uma partição de S. Assim, podemos escrever

A = (A ∩B1) ∪ (A ∩B2) ∪ (A ∩B3) ∪ ... ∪ (A ∩Bk).

Logo,

P (A) = P (A ∩B1) + P (A ∩B2) + P (A ∩B3) + ... + P (A ∩Bk).

Então, como P (A∩Bj) = P (Bj)P (A | Bj), obteremos o que se denomina Teoremada Probabilidade Total:

P (A) = P (B1)P (A | B1) + P (B2)P (A | B2) + ... + P (Bk)P (A | Bk).

2.3 Teorema de Bayes

Teorema 2.2 (Teorema de Bayes). Sob as mesmas hipóteses do teorema da probabi-lidade total, podemos calcular a probabilidade de Bi dada a ocorrência de A da seguinteforma

P (Bi | A) =P (Bi ∩ A)

P (A)=

P (Bi)P (A | Bi)∑j P (Bj)P (A | Bj)

.

Este resultado é o que chamamos de Teorema de Bayes. Esse teorema é útil quandoconhecemos as probabilidades dos Bi’s e a probabilidade condicional de A dado Bi, masnão conhecemos diretamente a probabilidade de A.

17


1 - Suponha que a probabilidade de que ambas crianças gêmeas sejam meninos é 0,30 eque a probabilidade de que sejam meninas é 0,26. Dado que a probabilidade de umacriança seja menino é 0.52, qual é a probabilidade de que:

a) A segunda criança seja um menino, sabendo-se que o primeiro é um menino?

b) A segunda criança seja uma menina, sabendo-se que a primeira é uma menina?

2 - A proporção de peças produzidas pelas máquinas I, II e III é 30%, 30% e 40%, re-spectivamente. Dentre estas peças, 4%, 3% e 2%, respectivamente, são defeituosas.Uma peça escolhida aleatoriamente, foi testada e verificou-se ser defeituosa. Qual éa probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina I? E pela máquinaII? E pela III?

3 - As probabilidades de que três homens atinjam um alvo são, respectivamente, 16, 1

4e 1

3.

Cada um atira uma vez em direção ao alvo.

a) Determine a probabilidade p de que exatamente um deles atinja o alvo.

b) Se apenas um atinge o alvo, qual a probabilidade de ele ser o primeiro homem?

4 - Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta é p.Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta, ele responde corretamente com proba-bilidade 1; se não sabe ele responde com probabilidade 1

m.

a) Qual a probabilidade de que ele sabia a resposta dado que a pergunta foi re-spondida corretamente?

b) Calcule o limite da probabilidade do item anterior quando m →∞ com p fixo.Interprete este resultado.

5 - Uma urna contém duas bolas brancas, três verdes e cinco azuis. Se três bolas sãoretiradas ao acaso, sem reposição, determine a probabilidade de:

a) três bolas verdes ocorrerem.

b) exatamente uma bola verde ocorrer.

6 - A probabilidade de que um time de futebol vença seu próximo oponente é estimadaem 0,7 se não chover, mas só em 0,5 se chover. Se os registros meteorológicosmostrarem que choveu 40 por cento das vezes, na data do jogo, nos anos passados,qual a probabilidade de que o time vença seu próximo oponente? Resp.: 0,62.

7 - Suponhamos que seja de 0,005 a probabilidade de que o motor de um monomotor decombate falhe na decolagem e que a taxa de falha técnica do motor de um bimotorde combate seja de 0,003. Se o bimotor não puder decolar a não ser que ambos osmotores estejam operando adequadamente, que avião é mais seguro na decolagem?Resp.: P (bimotor falhar na decolagem) = 0, 006.

18

8 - Empregados de certa firma são submetidos a um teste de aptidão quando empregadospela primeira vez. A experiência mostrou que dos 60 por cento que passaram no teste,80 por cento deles eram bons trabalhadores, enquanto dos 40 por cento dos que nãoconseguiram passar só 30 por cento foram avaliados como bons trabalhadores. Quala probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso seja um bom trabalhador?Use aqui a técnica da árvore. Resp.: 0,60.

9 - Suponhamos que seja p a probabilidade de que o tempo (com sol ou nublado) seja omesmo do dia anterior. Se hoje for dia de sol, qual a probabilidade de que depois deamanhã tenhamos também um dia de sol? Resp.: 2p2 − 2p + 1

19


3a NOTA DE AULA

3 Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas

3.1 Introdução

Ao descrever um espaço amostral S associado a um experimento E, podemos obser-var que os resultados possíveis não são, necessariamente, núméricos. Consideremos, porexemplo, o seguinte experimento:

E1: Lançar duas moedas e observar a face superior de cada uma.

Neste experimento, temos S = {CC,CK,KC, KK} e, na prática, o que realmentepodemos estar interessados em observar é, por exemplo, o número de vezes que ocorrecara (K), ou seja, temos interesse num número real que está associado a cada resultado doespaço amostral S.

Definição 3.1 (Variável Aleatória). Seja E um experimento aleatório e S um es-paço amostral associado ao experimento. Dizemos que a função X é uma variávelaleatória quando associa a cada elemento do espaço amostral, s ∈ S, um número real,x = X(s).

Esquematicamente, temos:

(Esboçar a função (ou variável aleatória) que associa a cada elementodo espaço amostral, s ∈ S, um número real, x = X(s) )

20

Exemplo: Mostre (esquematicamente) que: Se X é o número de vezes que ocorrecara(K) ao lançar duas moedas, então, X é uma variável aleatória.

Definição 3.2 (Eventos Equivalentes). Sejam um experimento E e seu espaço amostralS. Seja X uma variável aleatória definida em S e seja RX seu contradomínio. Seja Bum evento definido em relação a RX , isto é, B ⊂ RX . Defina o evento A como

A = {s ∈ S; X(s) ∈ B}.

Neste caso dizemos que A e B são eventos equivalentes.

Definição 3.3 (Probabilidade de Eventos Equivalentes). Seja B um evento no con-tradomínio RX . Nesse caso, definimos P (B) da seguinte maneira:

P (B) = P (A), onde A = {s ∈ S; X(s) ∈ B}.

Exemplo: A partir do exemplo anterior, temos RX = {0, 1, 2}, onde cada um dessesvalores ocorre com as seguintes probabilidades:

21

3.2 Variáveis Aleatórias Discretas

Definição 3.4 (Variável Aleatória Discreta). Dizemos que uma variável aleatória édiscreta se o conjunto formado pelos possíveis valores que essa variável assume forfinito ou infinito enumerável, de maneira que podemos listar todos os resultados comox1, x2, x3, ....

Definição 3.5 (Função de Probabilidade). Seja X uma variável aleatória assumindoos valores x1, x2, x3, .... A função p(xi) = P (X = xi), ∀i = 1, 2, ... é uma função deprobabilidade se:

1. p(xi) ≥ 0, ∀i;2. Σ∞

i=1p(xi) = 1

O conjunto de todos os pares [xi, p(xi)], i = 1, 2, ..., n, ... é definido como a Dis-tribuição de Probabilidades da variável aleatória X.

Exemplos:

1 ) Se definimos a v.a. X: o número de ocorrência de cara ao lançar duas moedas,encontre a distribuição de probabilidades de X e represente-a através de um gráfico.

2 ) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha que duasbolas sejam retiradas ao acaso, sem reposição. Se a v.a. X é o número de bolasvermelhas nas duas retiradas, qual é a distribuição de X? Represente graficamentea distribuição de X.

3 ) Considerando a variável aleatória (v.a.) X cuja função de probabilidade é dada por:

P (X = x) =1

2x, x = 1, 2, 3, ...

a ) Mostre que X tem realmente uma distribuição de probabilidades.

b ) Faça um gráfico representando o comportamento desta distribuição.

c ) Obtenha:

i . P (X ser par)ii . P (X ≥ 3)iii . P (X ser múltiplo de 3)

22

3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas

Definição 3.6 (Variável Aleatória Contínua). A variável aleatória X é contínua seexistir uma função f , denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de Xque satisfaça às seguintes condições:

a) f(x) ≥ 0 para todo x;

b)∫ +∞−∞ f(x)dx = 1.

Observações: Se X é uma variável aleatória contínua, então:

(i) P (X = k) = 0, onde k é qualquer valor real.

(ii) Para quaisquer a, b, com −∞ < a < b < +∞, teremos

P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b)

= P (a ≤ X < b)

= P (a < X < b)

=

∫ b

a

f(x)dx.

Probabilidade essa, que pode ser representada pela área sob o gráfico da função f nointervalo [a, b], tal como ilustrado abaixo:

(Esboçar o gráfico representando a área definida por P (a < X < b) =∫ b

af(x)dx)

Exemplos:

1 - Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de 10 cm, e sejaX a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p. de X é

f(x) =

{kx, 0 ≤ x ≤ 100, c.c

a) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela é um círculo de raio 1 cm?

b) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é propor-cional a sua área.

2 - Uma variável aleatória contínua X é dita ter distribuição uniforme se a sua f.d.p. éda forma

f(x) =

{k, se a < x < b0, caso contrário

23

a) Encontre o valor de k para que a função f seja realmente uma f.d.p.

b) Esboce o gráfico da distribuição de X.

3 - Mostre que a seguinte função é uma f.d.p.:

f(x) =1

π(1 + x2), x ∈ <.

3.4 Função de Distribuição Acumulada

Definição 3.7 (Função de Distribuição Acumulada - f.d.a.). A função de distribuiçãoacumulada F , ou simplesmente função de distribuição (f.d.) de uma variávelaleatória X qualquer é definida como

F (x) = P (X ≤ x), ∀ x ∈ <.

Observação:

a) Se a variável aleatória X for discreta, então a função de distribuição será dada por

F (x) = P (X ≤ x) =∑

i ; xi≤x

p(xi),

b) Se a variável aleatória X for contínua, então a função de distribuição será dada por

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(t)dt.

Exemplos:

1 - Suponhamos que a variável aleatória X tome os três valores 0,1 e 2, com proba-bilidades 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Encontre a função de distribuição F erepresente-a graficamente.

2 - Encontre a função de distribuição de X cuja f.d.p. é dada por

f(x) =

{2x, 0 < x < 1,0, c.c.

Esboçe os gráficos da f.d.p., f(x), e da função de distribuição F .

3 - Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme obtenha a função de distribuiçãode X e represente-a graficamente.

24

3.4.1 Propriedades da Função de Distribuição

A seguir veremos algumas propriedades importantes da função de distribuição acumu-lada F de uma variável aleatória X qualquer:

(i) A função F é não decrescente.

(ii) F é contínua à direita.

(iii)F (−∞) ≡ lim

x→−∞F (x) = 0

e

F (+∞) ≡ limx→+∞

F (x) = 1.

Alguns Teoremas importantes relacionados à função de distribuição acumulada, tam-bém são apresentados a seguir:

Teorema 3.1. Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ...,e suponha-se que esses valores tenham sido indexados de modo que x1 < x2 < .... SejaF a função de distribuição de X. Então,

p(xi) = P (X = xi) = F (xi)− F (x−i ),

onde F (x−i ) ≡ limh→0− F (xi + h).

Teorema 3.2. Seja F a função de distribuição de uma variável aleatória contínua,com f.d.p. f . Então,

f(x) =dF (x)

dx,

para todo x no qual F seja derivável.

Observações:

1) Se X for uma variável aleatória discreta, o gráfico da função de distribuição seráconstituído por segmentos de reta horizontais. Além disso, a função F é contínua, excetonos valores possíveis de X: x1, ..., xn, ...; pois, para cada valor xi o gráfico apresenta umsalto de magnitude p(xi) = P (X = xi).

2) Se X for uma variável aleatória contínua, então

(i) P (a < X < b) = F (b)− F (a).

(ii) P (X > a) = 1− F (a).

25

Exemplos:

1 - Sabendo-se que a v.a. X assume os valores 1,2 e 3 e que sua função de distribuiçãoF (x) é tal que

F (1)− F (1−) = 1/4,

F (2)− F (2−) = 1/2,

F (3)− F (3−) = 1/4.

Obter a distribuição de X, a função de distribuição acumulada e seu respectivográfico.

2 - Dada a seguinte função de distribuição

F (x) =

{0, x < 0,1− e−x, x > 0.

a ) Encontre a probabilidade da variável X assumir os seguintes valores:

i . P (X = 1);ii . P (0.5 < X < 1);iii . P (X > 1);

d ) Esboçe um gráfico ilustrando cada uma das situações descritas acima.

e ) Determine o valor de α tal que F (α) = 1/4.

f ) Encontre a f.d.p. da variável X.

26


1 - Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas,sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha adistribuição de X.

2 - Repita o problema anterior, mas considerando extrações com reposição.

3 - Generalize o problema 1, considerando uma urna contendo N bolas, dentre as quaisk são pretas e as demais são vermelhas, e, além disso, considerando a retirada, semreposição, de n bolas. Descreva o conjunto de valores que a variável aleatória Xpode assumir.

Obs.: A variável aleatória X, neste caso, é dita ter Distribuição Hipergeométricacom parâmetros N , r e n.

4 - Uma moeda perfeita é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas.Calcule a distribuição de Y .

5 - Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda é viciada, sendo aprobabilidade de cara dada por p, 0 < p < 1, p 6= 1/2.

6 - Generalize o problema 5, para n lançamentos da moeda.

Obs.: A variável aleatória Y , neste caso, é dita ter Distribuição Binomial comparâmetros n e p.

7 - Suponhamos que uma válvula eletrônica seja posta em um soquete e ensaiada. Ad-mitamos que a probabilidade de que o teste seja positivo seja 3

4; daí, a probabilidade

de que seja negativo é igual a 14. Adimitamos também que estejamos ensaiando uma

partida grande dessas válvulas. Os ensaios continuam até que a primeira válvulapositiva apareça. Considere a variável aleatória X: no de testes necessários paraconcluir o experimento. Assim

S =

P (X = n) =

8 - Dada a função

f(x) =

{2e−2x, x ≥ 00, x < 0,

a) Mostre que esta função é uma f.d.p. e represente-a através de um gráfico.b) Obtenha a função de distribuição de X e calcule a probabilidade de X > 10.

9 - Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa e suponha que afunção de distribuição de X seja dada por

F (x) =

{0, x < 0,1− e−λx, x > 0.

Suponha que λ seja tal que P (X ≥ 0, 01) = 1/2. Obtenha um número t tal queP (X ≥ t) = 0, 9.

27


4a NOTA DE AULA

4 Caracterização Adicional das Variáveis Aleatórias

4.1 Introdução

No estudo de variáveis aleatórias algumas características numéricas podem nosfornecer uma idéia sobre o comportamento da distribuição de probabilidades. Estascaracterísticas são conhecidas como parâmetros da distribuição.

4.2 O Valor Esperado ou Esperança Matemática de UmaVariável Aleatória

Definição 4.1 (Valor Esperado de uma Variável Aleatória).

Caso 1: Variável Aleatória Discreta

Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, ... e con-sidere p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, ..., n, ... Então, o valor esperado de X (ou esperançamatemática de X), denotado por E(X) é definido como

E(X) = Σ∞i=1xip(xi),

se a série definida acima convergir absolutamente, isto é, se

Σ∞i=1 |xi| p(xi) < ∞.

Este número é também denominado o valor médio de X, ou expectância de X.

Caso 2: Variável Aleatória Contínua

Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f . Então, o valor esperado de Xé definido como

E(X) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx.

Pode acontecer que esta integral (imprópria) não convirja. Conseqüentemente, diremosque E(X) existirá se, e somente se,

∫ +∞

−∞|x| f(x)dx < ∞.

28

Exemplos:

1 - Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90% delas sãonão-defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde R$ 1,00,enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de R$ 5,00. Se X for o lucrolíquido por peça, qual o valor esperado de X?

2 - Uma variável aleatória contínua X definida num intervalo [a, b] é dita ter distribuiçãouniforme se possui a seguinte f.d.p.

f(x) =

{1

b−a, a ≤ x ≤ b,

0, c.c.

Encontre a esperança dessa variável aleatória.

3 - Suponha que a variável aleatória X represente o tempo (em minutos) durante o qualum equipamento elétrico é utilizado em carga máxima. Suponha ainda, que X sejauma variável aleatória contínua com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

x15002 , 0 ≤ x ≤ 1500,−(x−3000)

15002 , 1500 < x ≤ 3000,0, c.c.

Encontre o tempo médio (em minutos) que o equipamento elétrico é utilizado emcarga máxima.

4.3 Esperança de uma Função de uma Variável Aleatória

É intuitivamente evidente a idéia de que qualquer função de uma variável aleatória X,Y = H(X), também é uma variável aleatória; pois qualquer resultado aleatório, X(s) = x,resultará num resultado também aleatório Y = H(X(s)) = H(x) = y. Desta forma, terásentido calcular E(Y ).

Existem duas maneiras equivalentes para se obter o valor esperado de Y = H(X). Aprimeira requer que se obtenha primeiramente a distribuição de Y , - problema este que seráabordado posteriormente. Uma segunda maneira requer, simplesmente, o conhecimento dadistribuição de probabilidade de X. É neste sentido que veremos a seguinte definição eteorema.

Definição 4.2 (Esperança de uma Função de Variável Aleatória). Seja X uma variávelaleatória e seja Y = H(X) uma função contínua. Então,

(a) Se Y for uma variável aleatória discreta com valores possíveis y1, y2, ... e sep(yi) = P (Y = yi), o valor esperado de Y é definido por

E(Y ) = Σ∞i=1yip(yi).

29

(b) Se Y for uma variável aleatória contínua com f.d.p. fY , o valor esperado deY é definido por

E(Y ) =

∫ +∞

−∞yfY (y)dy.

Teorema 4.1. Seja X uma variável aleatória e seja Y = H(X). Então,

(a) Se X for uma variável aleatória discreta e p(xi) = P (X = xi), tem-se que ovalor esperado de Y será dado por

E(Y ) = E[H(X)] = Σ∞j=1H(xj)p(xj).

(b) Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p. fX , tem-se que o valoresperado de Y será dado por

E(Y ) = E[H(X)] =

∫ +∞

−∞H(x)fX(x)dx.

4.4 Propriedades do valor esperado

Se X é uma v.a. e k é uma constante qualquer, então:

1. E[k] = k.

2. E[X + k] = E(X) + k.

3. E[kX] = kE(X).

4. E[X − µ] = 0, onde µ = E(X).

Demonstrações:

30

Exemplos:

1 - Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90% delas sãonão-defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde R$ 1,00,enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de R$ 5,00. Se X for o lucrolíquido por peça, determine:

a) O valor esperado de X?

b) Se houver um aumento de 10% nos valores de X, qual será o lucro líquidoesperado?

c) E Se houver um acréscimo de R$ 0,10 nos valores de X, em média, quanto seráo lucro líquido?

2 - Suponhamos que X seja uma variável aleatória com a seguinte f.d.p.

f(x) =

{ex

2, se x ≤ 0,

e−x

2, se x > 0.

Se Y = |X|, qual será o valor de E(Y )?

4.5 A Variância de uma Variável Aleatória

Definição 4.3 (Variância de uma Variável Aleatória).

Caso 1: Variável Aleatória Discreta

Dada a variável aleatória discreta X e a respectiva função de probabilidade p(xi), avariância de X é dada por

V ar(X) = E[(X − µ)2] = Σ∞i=1(xi − µ)2p(xi),

onde µ = E(X).

Caso 2: Variável Aleatória Contínua

Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f . Então, a variância de X é dadapor

V ar(X) = E[(X − µ)2] =∫ +∞−∞ (x− µ)2f(x)dx

A raiz quadrada da variância de X é denominada Desvio Padrão de X, ou seja,

DP (X) =√

V ar(X).

31

Exercício:

1 - Mostre que

V ar(X) = E(X2)− E2(X).

Onde:

E(X2) =

Σ∞i=1x

2i p(xi), no caso discreto;

∫ +∞−∞ x2f(x)dx, no caso contínuo.

Exemplos:

1 - Se X é uma variável aleatória uniforme num intervalo [a, b], ou seja, X ∼ U(a, b),qual é o valor de V ar(X)?

2 - Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha que V seja uniforme-mente distribuída sobre o intervalo [0, 10]. A pressão, digamos W (em libras/péquadrado), na superfície da asa de um avião é dada pela relação W = 0, 003V 2.Encontre o valor esperado de W .

3 - Se X é uma variável aleatória contínua com f.d.p.

f(x) =

{1 + x, −1 ≤ x ≤ 0,1− x. 0 ≤ x ≤ 1.

Obtenha a variância de X.

4.6 Propriedades da variância

Se X é uma v.a. e k é uma constante qualquer, então:

1. V ar(k) = 0.

2. V ar(X + k) = V ar(X).

3. V ar(kX) = k2V ar(X).

Demonstrações:

32


1 - O serviço de meteorologia classifica o tipo de céu que é visível, em termos de“graus de nebulosidade”. Uma escala de 11 categorias é empregada: 0,1,2,...,10,onde 0 representa um céu perfeitamente claro, 10 representa um céu completamenteencoberto, enquanto os outros valores representam as diferentes condições inter-mediárias. Suponha que tal classificação seja feita em uma determinada estaçãometeorológica, em um determinado dia e hora. Seja X a variável aleatória que podetomar um dos 11 valores acima. Admita que a distribuição de probabilidade de Xseja

X = x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P (X = x) 0,05 0,15 0,15 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,15 0,15 0,05

Encontre E(X), E(X2) e V ar(X).

2 - Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas com reposição.Seja X : o número de bolas brancas. Calcular E(X) e V ar(X). Resp.: E(X) = 1, 2e V ar(X) =?.

3 - A função de probabilidade da variável aleatória X é: P (X = x) = 15, para x =

1, 2, 3, 4, 5. Calcular E(X) e E(X2). A partir desses resultados calcular:

a) E(X + 3)2;

b) V ar(3X − 2).

Resp.: a) 38 b) 18.

4 - Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Para isto, o banco estáoferecendo um prêmio de R$ 150,00 para cada cliente atendido, além de 42 clientespor dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada cliente atendidoalém de 41. As probabilidades de atendimento são:

no de clientes Até 41 42 43 44 45 46Probabilidade 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0,004

Qual o ganho esperado do banco, se este novo sistema for implantado? O sistema évantajoso para o banco? Resp.: E(X) = 7, 30.

5 - Suponhamos que dez cartas estejam numeradas de 1 até 10. Das dez cartas, retira-seuma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até retirar-se o primeiro número par. SeX é uma variável aleatória que expressa o número de retiradas necessárias.

a) Qual é a função de probabilidade de X?

b) Em quantas retiradas espera-se obter o primeiro número par? Resp.: .

33

6 - Um vendedor de equipamentos pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes,com probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultara venda de um equipamento por R$ 50.000,00(com probalidade 1/10) ou nenhumavenda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diáriasdesse vendedor:

a) Escreva a função de probabilidade de Y ;

b) Qual é o valor total esperado de vendas diárias?

Resp.: a) Y = 0, 50.000, 100.000 com probabilidades 126/150, 23/150, 1/150. b)E(Y ) = 8.333.33.

7 - Calcule a variância da variável Y , do problema anterior.

8 - O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é umav.a. com a seguinte distribuição de probabilidade.

T = t 2 3 4 5 6 7P (T = t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

a) Calcule o tempo médio de processamento.

b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas, se eleprocessa a peça em menos de seis minutos, ganha R$ 0,50 em cada minutopoupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe aquantia adicional de R$ 1,00.Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia ganha porpeça.

Resp.: a) E(T ) = 4, 6. b) E(G) = 2, 75 e V ar(G) = 0, 4125.

9 - A percentagem de álcool (100X) em certo composto pode ser considerada uma va-riável aleatória, onde X, tem a seguinte função densidade:

f(x) = 2x3(1− x), 0 < x < 1.

a) Obtenha a função de distribuição acumulada de X;

b) Calcule P (X ≤ 2/3);

c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de ál-cool. Especificadamente, se 1/3 < X < 2/3, o composto é vendido porC1 u.m/galão; caso contrário, é vendido por C2 u.m/galão, determine o lu-cro líquido médio por galão.

10 - Num teste de digitação, o tempo em minutos (T ) que os candidatos levam paradigitar um texto é modelado, de forma aproximada, pela seguinte distribuição deprobabilidade:

34

T 3 4 5 6 7 8 9pi 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1

O candidato recebe 4 pontos se terminar a digitação em 9 minutos, 5 se terminar em8 minutos e assim por diante. Determine a média e a variância do número de pontosobtidos no teste.

11 - Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, siga o seguintemodelo:

P (X = k) =a2k

k!, k = 1, 2, 3, 4.

a) Encontre o valor de a.

b) Calcule a F.d.a de X.

c) Calcule a demanda esperada.

d) Qual é a variabilidade da demanda?

12 - A função de probabilidade da variável aleatória X é P (X = k) = 1/5, k = 1, 2, ..., 5.Calcule E(X), E(X2), V ar(X), E[(X + 3)2] e V ar(3X − 2).

13 - Suponha que a variável aleatóriaX tenha valores possíveis 1,2,..., e P (X = j) = 1/2j,j = 1, 2, ...

a) Calcule P (X ser par).

b) Calcule P (X ≥ 5).

c)Calcule P (X ser divisível por 3).

14 - Considere uma variável aleatória X com resultados possíveis: 0,1,2,... Suponha queP (X = j) = (1− a)aj, j = 0, 1, 2, ...

a) Para que valores de a o modelo acima tem sentido?

b) Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade.

c) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t,

P (X > s + t | X > s) = P (X ≥ t).

15 - Verifique se as expressões abaixo são funções densidade de probabilidade (assumaque elas se anulam fora dos intervalos especificados).

a) f(x) = 3x, se 0 ≤ x ≤ 1.

b) f(x) = x2

2, se x ≥ 0.

c) f(x) = (x−3)2

, se 3 ≤ x ≤ 5.

d) f(x) = 2, se 0 ≤ x ≤ 2.

e)f(x) =

{1 + x, se − 1 ≤ x ≤ 01− x, se 0 < x ≤ 1.

f)f(x) = −π, se −π < x < 0.

35

16 - A variável aleatória contínua tem f.d.p. f(x) = 3x2, −1 ≤ x ≤ 0. Se b for umnúmero que satisfaça a −1 < b < 0, calcule P (X > b | X < b/2).

17 - Suponham que f e g sejam f.d.p. no mesmo intervalo a ≤ x ≤ b.

a) Verifique que f + g não é uma f.d.p. nesse intervalo.

b) Verifique que, para todo número β, 0 < β < 1, βf(x)+(1−β)g(x) é uma f.d.p.nesse intervalo.

18 - O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória contínua comf.d.p. f(x) = 6x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1.

a) Verifique que essa expressão é uma f.d.p. e esboce seu gráfico.

b) Obtenha uma expressão par a F.d.a. da variável X.

c) Determine um número b tal que P (X < b) = 2P (X > b).

d) Calcule P (X ≤ 1/2 | 1/3 < X < 2/3).

19 - Uma variável aleatória X pode tomar quatro valores, com probabilidades (1+3x)/4, (1−x)/4, (1 + 2x)/4 e (1 − 4x)/4. Para que valores de x é essa uma distribuição deprobabilidade?

20 - Uma variável aleatória X tem F.d.a dada por

F (x) =

0, se x ≤ 0x5, se 0 < x < 1

1, se x ≥ 1.

Calcule E(X) e V ar(X).

21 - Numa certa região, fósseis de pequenos animais são freqüentemente encontrados eum arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade (f.d.p) para o com-primento, em centímetros, desses fósseis.

f(x) =

x40

, se 4 ≤ x ≤ 8−x20

+ 35, se 8 < x ≤ 10

110

, se 10 < x ≤ 11.

a)Calcule a F.d.a.

b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimentoser inferior a 6 cm? E de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 cm.

c)Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.

36


5a NOTA DE AULA

5 Alguns Modelos de Variáveis Aleatórias

5.1 Variáveis Aleatórias Discretas

5.1.1 Modelo Uniforme Discreto

Definição: Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados porx1, x2, ..., xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma pro-babilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é, sua função de probabilidade é dada por

P (X = xj) =1

k, ∀j = 1, 2, ..., k.

Exemplo: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consec-utivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os números 1, 11,29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado?

Propriedades

É fácil verificar que:

E(X) =

∑ki=1 xi

k,

V ar(X) =1

k

[k∑

i=1

x2i −

(∑k

i=1 xi)2

k

].

5.1.2 Modelo de Bernoulli

Definição: Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório de forma quetenhamos sucesso ou fracasso nessa tentativa.

Seja p a probabilidade de sucesso, logo 1− p será a probabilidade de fracasso.

Defina a variável aleatória X da seguinte forma: X = 0, se não ocorre sucesso, ou 1,se ocorre sucesso. Onde

P (X = 0) = 1− p

P (X = 1) = p.

37

Nessas Condições a variável aleatória X segue o modelo de Bernoulli, e sua função deprobabilidade é dada por:

P (X = x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Note que, E(X) = p e V ar(X) = p(1− p).

Exemplo: Lança-se um dado e observa-se ocorrência da face 6.

5.1.3 Modelo Binomial

Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada ten-tativa adimitindo apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade 1 − p. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cadatentativa.

Seja X: número de sucessos em n tentativas.

A variável aleatória X associada a esse experimento é dita ser uma Variável aleatóriaBinomial com parâmetros n e p, que denotaremos por X : b(n, p). Sua função de proba-bilidade é dada pelo teorema seguinte:

Teorema 5.1. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Então

P (X = k) =

(nk

)pk(1− p)n−k

Teorema 5.2. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. EntãoE(X) = np e V ar(X) = np(1− p).

Exemplos: Sabe-se que a eficiência de uma vacina é de 80%. Um grupo de trêsindivíduos é sorteado dentre a população vacinada, e submetidos a testes para averiguar sea imunização foi efetiva. Construa a distribuição de probabilidade da variável X = númerode indivíduos imunes na amostra.

5.1.4 Distribuição Geométrica

Considere um experimento cujos resultados podem ser classificados como sucesso ou fra-casso. Seja p a probabilidade de sucesso, logo 1−p é a probabilidade de fracasso. Considerea variável aleatória X: número de ensaios até ocorrer o primeiro sucesso. Suponha que osensaios são independentes. Dessa forma,

P (X = x) = (1− p)x−1p, x = 1, 2, ...

A variável definida acima é chamada de Distribuição geométrica com parâmetro p.

Notação: X : Geométrica(p).

Teorema 5.3. Se X : Geométrica(p), então

38

(i) E(X) = 1p

(ii) V ar(X) = 1−pp2

Exemplo: Se a probablidade de que um certo ensaio dê reação positiva for igual a 0,4,qual será a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeirapositiva?

Teorema 5.4. Se X :Geométrica(p) então, para dois quaisquer inteiros positivos s et,

P (X ≥ s + t | X > s) = P (X > t)

5.1.5 Distribuição Hipergeométrica

Consideremos uma população com N elementos, dos quais r têm uma determinada carac-terística (sucesso). Retiramos dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanhon.

Seja X: número de sucessos na amostra.

Dessa forma a distribuição de probabilidade da variável aleatória X é dada por

P (X = k) =

(rk

)(N − rn− k

)

(Nn

) , 0 ≤ k ≤ n, k ≤ r.

A variável X assim definida tem distribuição Hipergeométrica.

Teorema 5.5. Se X tem distribuição Hipergeométrica com parâmetros N, n e p, ondep = r/N . Então

E(X) = np

eV ar(X) = np(1− p)

(N − n)

(N − 1).

Exemplo: Pequenos motores são guardados em caixas com 50 unidades. Um inspetorde qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Senenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade deque seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?

5.1.6 Distribuição de Poisson

Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0, se sua funçãode probabilidade é dada por

P (X = k) =e−λλk

k!, k = 0, 1, 2, ...,

39

com o parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. A notaçãoutilizada será X : Po(λ).

Teorema 5.6. Se X : Po(λ) então:

E(X) = λ

eV ar(X) = λ.

Exemplo 1: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidadede que uma página contenha pelo menos 3 erros?

Exemplo 2: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a prob-abilidade de que:

a) num minuto não haja nenhum chamado;

b) em 2 minutos haja 2 chamados;

c) em t minutos não haja chamados.

5.2 Variáveis Aleatórias Contínuas

5.2.1 Modelo Uniforme

Definição: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b],se sua f.d.p. for dada por:

f(x) =

{1

b−a, a ≤ x ≤ b,

0, c.c.

Notação: X : U [a, b].

Propriedades: Se X : U [a, b], então

(i) E[X] = a+b2;

(ii) V ar[X] = (b−a)2

12.

Exemplo: Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos dequalidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos produzidostêm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento doprimeiro vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada parafins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Queremoscalcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.Seja X a variável aleatória que indica a distância correspondente ao vazamento. Admitaque a probabilidade de ocerrência de vazamento em todos os pontos são iguais.

40

5.2.2 Distribuição Exponencial

Definição: Uma variável aleatória contínua X, assumindo valores não negativos, terá dis-tribuição exponencial com parâmetro α > 0, se sua f.d.p. é dada por

f (x) =

{αe−αx, x > 0

0, c.c.

Notação: X : Exp(α).

Propriedades:

a) E (X) = 1αe V ar (X) = 1

α2 .

b) (Falta de memória) Para todo s, t > 0, teremos

P (X > s + t | X > s) = P (X > t) .

Exemplos:

1) O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioa-tiva é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro α = 0, 2. Vamoscalcular a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos.

2) Considerando a distribuição do exemplo anterior, calculemos agora, a probabilidadedo intervalo ser superior ou igual a 7, sabendo-se que ele é superior ou igual a 5 minutos.

5.2.3 Distribuição Normal

Definição: Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µe σ2,−∞ < µ < ∞ e 0 < σ2 < ∞, se sua f.d.p. é dada por

f (x) =1

σ√

2πe−

12(

x−µσ )

2

,−∞ < x < ∞.

Notação: X : N (µ, σ2) .

Propriedades

(i) Gráfico: tem a forma de sino;

(ii) f(x) assume valor máximo no ponto x = µ;

(iii) A curva normal é simétrica em relação a µ;

(iv) E (X) = µ e V ar (X) = σ2;

41

(v) Seja X : N(µ, σ2), considere a variável Z = X−µσ

. Mostra-se que Z também temdistribuição normal. Z é chamada de variável normal padrão ou reduzida. É fácil verque E(Z) = 0 e V ar(Z) = 1. Logo, a f.d.p. de Z é dada por

f(z) =1√2π

e12z2

,−∞ < z < ∞.

Portanto, se X : N(µ, σ2) ⇒ Z : N(0, 1). A distribuição de Z se encontra tabelada;(vide tabela em anexo)

(vi) A tabela nos dá a probabilidade P (0 ≤ Z ≤ z), para diversos valores de z. Dessaforma, podemos calcular probabilidades envolvendo qualquer distribuição normal,através da transformação Z = X−µ

σ.

Exemplos:

1. Considere X : N(100, 25), calcular:

a) P (100 ≤ X ≤ 106)

b) P (89 ≤ X ≤ 107)

c) P (112 ≤ X ≤ 116)

d) P (X ≥ 108)

2. Sendo X : N(50, 16), determinar xα, tal que:

a) P (X ≤ xα) = 0, 05

b) P (X ≥ xα) = 0, 99

42


1 - Seja X : b(10, 25). Calcular:

a) P (X = 3);

b) P (X ≤ 2);

c) P (X − 2 < 1);

d) P (|X − 2| ≤ 1);

e) P (|X − 3| > 1);

f) E(X) e V ar(X);

2 - Seja X : b(n, p). Sabendo-se que E(X) = 12 e V AR(X) = 4, determinarn, p, E(Z), V ar(Z), sendo Z = X−6

3.

3 - Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedidopara opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido,observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmentedivididas, qual a probabilidade de ter obtido tal resultado?

4 - O número de partículas Gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa,é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro λ = 3. Seum instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas porsegundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo?

5 - Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emrgência segue uma dis-tribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora. Calcular:

a) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nenhum atendimento num intervalode 5 minutos.

b) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num inter-valo de 10 minutos.

6 - Uma moeda não viciada é lançada sucessivamente, de modo independente, até queocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentosanteriores à ocorrência de cara. Determine:

a) P (X ≤ 2);

b) P (X > 1);

c) E(X) e V ar(X)

d) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrênciade cara com pelo menos 0,8 de probabilidade?

7 - Numa urna há 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual aprobabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações:

a) Sem reposição;

b) Com reposição.

43

8 - Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas.

a) Qual a probabilidade de que a sexta bola retirada com reposição seja a primeirabranca?

b) Qual a probabilidade de que em 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3brancas?

c) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram nomáximo 2 brancas?

9 - Sendo X : U [0, 4] , calcule:

a) P (X > 2) Resp. 1/2

b) P (X ≥ 2) Resp. 1/2

c) P (1 < X < 2) Resp. 1/4

d) P (1 < X < 2 | X < 3) Resp. 1/3

e) P (X < 3 | 1 < X < 2) Resp. 1

10 - Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10km com a mesma probabilidade.

a) Qual a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos3 quilômetros centrais da rede? Resp. 1/20 e 3/10

b) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local dapane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é deR$ 200,00 para distâncias até 3quilômetros, de R$400,00 entre 3 e 8 quilômetros ede R$ 1000,00 para as distâncias acima de 8 quilômetros. Qual é o custo médio doconserto? Resp. 460

11 - Suponha que o valor esperado de uma variável aleatória com distribuição uniforme é1 e a variância é igual a 1/12. Encontre a probabilidade da variável assumir valoresmenores que 3/4. Resp. 1/4

12 - Sendo X : Exp(1), determine:

a) P (0 < X < 2) Resp. 0,865

b) P (X < 2) Resp. 0,865

c) P (1 < X < 4) Resp. 0,350

d) P (X > 3) Resp. 0,05

e) P (X < 2 | X > 1) Resp. 0,633

13 - Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue umadistribuição Exponencial com parâmetro λ = 1/20 s. Calcule a probabilidade condi-cional P (T > 15 | T > 10) . Resp. 0,779

14 - Seja X : N (4, 1) , determine:

a) P (X ≤ 4) Resp. 0,5

44

b) P (4 < X < 5) Resp. 0,3413

c) P (2 ≤ X < 5) Resp. 0,8187

d) P (5 ≤ X < 7) Resp. 0,1574

e) P (X ≤ 1) Resp. 0,0013

f) P (0 < X < 2) Resp. 0,0228

15 - Seja X : N (90, 100) , determine:

a) P (X ≤ 115) Resp. 0,9938

b) P (X ≥ 80) Resp. 0,8413

c) P (X ≤ 75) Resp. 0,0668

d) P (85 ≤ X ≤ 110) Resp. 0,6687

e) P (|X − 90| ≤ 10) Resp. 0,6826

f) O valor de a tal que P (90− a ≤ X ≤ 90 + a) = 0, 95. Resp. a = 19, 6

16 - Para X : N (−5, 10) , calcule:

a) P (−5 < X ≤ −2) Resp. 0,3289

b) P (X ≤ 0) Resp. 0,9429

c) P (X > −6) Resp. 0,6255

d) P (−7 ≤ X ≤ −6) Resp. 0,1102

e) P (|X + 5| > 2) . Resp. 0,4286

17 - Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo umadistribuição normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinaro tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de“magros”, enquanto os 25% de maior peso de “obesos”. Determine os valores quedelimitam cada uma dessas classificações. Resp. Magros: 116,6 kg Obesos: 143,4kg

18 - Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requerque uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que otempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma normalde média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos.

a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?

b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápidodeve ser o candidato para que obtenha essa posição?

45


6a NOTA DE AULA

6 Introdução à Estatística

6.1 A Ciência Estatística

O conceito de Estatística pode ser considerado de duas maneiras. O primeiro conceito,logo relaciona a Estatística com tabelas e gráficos nos quais os dados obtidos são represen-tados, ou melhor, relaciona à números específicos. Ouvimos, assim, falar em estatísticasdo IBGE, estatísticas relacionadas à saúde e educação, índices econômicos, pesquisas deopinião, etc. Um segundo conceito refere-se ao conjunto de processos ou técnicas em-pregadas na investigação e análise de fenômenos. Neste caso, a Estatística é a ciênciaou método científico que estuda os fenômenos aleatórios e, procura inferir as leis que osmesmos obedecem. Assim, um conceito mais abrangente e absoluto deve englobar tanto oprimeiro conceito, o qual é o mais popular, quanto o segundo, o qual normalmente escapaà noção corrente.

Definição 6.1 (Estatística). A Estatística é uma ciência que se preocupa com a coleta,organização, descrição, análise e interpretação dos dados, a fim de extrair informaçõesa respeito de uma população.

Dentro dessa idéia, podemos considerar a Ciência Estatística como dividida basica-mente em duas partes:

1. Estatística Descritiva - que se preocupa com a organização e descrição dos dadosexperimentais;

2. Estatística Inferencial - que, a partir da observação de alguns dados experimentais,realiza a análise e interpretação de dados com o objetivo de generalizar e preverresultados, utilizando-se para isto da Teoria das Probabilidades.

Nesta disciplina, serão abordados tópicos referentes à estatística descritiva, conceitosfundamentais de probabilidade e os modelos probabilísticos mais importantes para o estudoda inferência estatística. Serão abordados também alguns índices importantes na área deeconomia, tais como: Índices de Gini, Relativo de Preço e de Qualidade, dentre outros.

6.2 Conceitos Fundamentais

Um dos principais conceitos utilizados na estatística é o de população.

46

6.2.1 População e Amostra

Definição 6.2 (População). A população é um conjunto de todos os elementos (pes-soas, objetos, etc) que possuem pelo menos uma característica em comum, a(s) qual(is)os relacionam ao problema que está sendo estudado.

Exemplo 6.1. Se o problema a ser pesquisado está relacionado com a qualidade de umcerto produto produzido numa indústria, a população pode ser composta por todas aspeças produzidas numa determinada hora, turno, dia ou mês, dependendo dos objetivos;

Exemplo 6.2. Se o objetivo de um estudo é pesquisar o nível de renda familiar de umacerta cidade, a população seria todas as famílias desta população. Mas, se o objetivofosse pesquisar apenas a renda mensal do chefe da família, a população a ser pesquisadaseria composta por todos os chefes de família desta cidade.

A População pode ser:

1. Finita - quando o número de unidades de observação pode ser contado e é limitado;

2. Infinita - quando a quantidade de unidades de observação é ilimitada;

Podemos citar como exemplo de população finita o conjunto formado pelos alunosque cursam a disciplina de estatística num determinado semestre da UFCG. Um exemplo depopulação infinita seria o conjunto formado por todos os alunos de estatística do Brasil,pois este conjunto é composto por um número incontável de elementos.

Definição 6.3 (Amostra). A amostra é apenas uma parte da população, ou seja, é umsubconjunto da população.

Vários motivos levam a necessidade de se observar apenas uma parte da população,como, por exemplo: a falta de tempo, recursos financeiros e/ou humanos. A amostra deveser obtida através de técnicas de amostragem, as quais tem como objetivo principalgarantir a representatividade da população, ou seja, fazer com que a amostra seja umretrato fiel da população.

Exemplos de amostra podem ser considerados por conjuntos formados por apenas umaparte dos elementos populacionais descritos nos exemplos 1 e 2.

6.2.2 Parâmetro e Estatística

Dois novos conceitos estreitamente relacionados com os de população e amostra sãoos de Parâmetro e Estatística, tendo em vista que:

Definição 6.4 (Parâmetro). é uma medida numérica que descreve uma característicada população.

Definição 6.5 (Estatística). é uma medida numérica que descreve uma característicada amostra.

Exemplos de algumas medidas numéricas são: proporção, média, moda, índices, etc.

47

6.2.3 Variáveis (ou Dados) e Tipos de Variáveis

Definição 6.6 (Variável). Uma Variável nada mais é que uma característica (ou dado)associada a cada elemento da população ou amostra. A variável apresenta diferentesvalores, quando sujeita a mensurações sucessivas, e, em geral, é denotada pelas letrasmaiúsculas: X, Y ou Z.

Antes de realizar qualquer tratamento estatístico de um conjunto de dados, é impor-tante identificar qual é o tipo de dado (ou variável) que será analisado, pois, é mediante aeste conhecimento que o pesquisador poderá ou não adotar determinadas técnicas estatís-ticas para a resolução de problemas. Por exemplo, será que é possível calcular o peso médiode lutadores de boxe, quando os dados são coletados segundo a categoria de peso (Leve,Médio e Pesado)?

Tipos de Variáveis

Basicamente, as variáveis podem ser classificadas como sendoQualitativas ouQuan-titativas.

1. Variáveis Qualitativas - quando os valores que elas podem receber são referentesà qualidade, atributo ou categoria. Exemplos são:

• Raça: podendo assumir os valores Branco ou Negro;

• Resultado de um teste: aprovado ou reprovado;

• Escolaridade: 1◦ grau completo, 2◦ grau completo, superior, pós-graduado;

• Conceito de qualidade: péssima qualidade, regular ou boa qualidade.

As variáveis qualitativas podem, ainda, ser classificadas como: Nominais ou Ordi-nais.

(a) As variáveis qualitativas nominais - são caracterizadas por dados que seapresentam apenas sob o aspecto qualitativo (Ex: raça e resultado de um teste).

(b) As variáveis qualitativas ordinais - são caracterizadas por categorias queaprentam uma ordenação natural. Por exemplo: escolaridade e conceito dequalidade.

2. Variáveis Quantitativas - quando os valores que ela pode assumir são numéricos,os quais podem ser obtidos através de uma contagem ou mensuração.

As variáveis quantitativas podem ser classificadas de acordo com o processo deobtenção; podendo ser: Discreta ou Contínua.

(a) As variáveis quantitativas discretas - são variáveis numéricas obtidas a partirde procedimento de contagem. Por exemplo: Quantidade de pessoas numafamília, quantidade de acidentes numa indústria, etc.

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(b) As variáveis quantitativas contínuas - são variáveis numéricas cujos valoressão obtidos por um procedimento de mensuração, podendo assumir quaisquervalores num intervalo dos números reais, como por exemplo, a temperatura,altura, salário, etc..

Observação 1. O fato de uma variável ser expressa por números não significa que elaseja necessariamente quantitativa, por que a classificação da variável depende de comofoi medida, e não do modo como se manifesta. Por exemplo, para a variável peso deum lutador de boxe, se for anotado o peso marcado na balança, a variável é quantitativacontínua; por outro lado, se esse peso for classificado segundo as categorias do boxe, avariável é qualitativa ordinal.

6.3 Fases do Método Estatístico

Assim como qualquer ciência, a estatística utiliza o método científico, que consiste dascinco etapas básicas seguintes:

1. Definir cuidadosamente o problema.

Nesta etapa o pesquisador deve certificar-se de que é clara a finalidade de um estudoou análise. Ao definir o que se quer estudar, ou seja, o problema, é necessário quese faça um levantamento sobre quais estudos já realizados no campo de pesquisaabordado. Deve-se também especificar quem ou o quê será observado no estudo, ouseja, a população a ser pesquisada.

2. Formular um plano para a coleta dos dados adequados.

Nesta fase, o pesquisador deverá listar as variáveis (características ou dados) que se-jam relevantes para se atingir os objetivos propostos pela pesquisa. Além disso, deve-se decidir se a coleta dos dados será realizada através de um censo ou amostragem,ou seja, se todos os elementos da população serão observados ou se apenas umaparte da população é que será observada.

Os dados podem ser classificados quanto à forma de coleta, como:

a. Dados primários - quando o próprio pesquisador é quem elabora e aplica osinstrumentos necessários para a coleta dos dados, ou seja, quando a Coleta é Direta;b. Dados secundários - quando o pesquisador utiliza informações já colhidas poroutrem, retirando-as de livros, revistas, mapas anuários, etc.

3. Coligir ou apurar os dados.

Esta fase consiste em resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento.

4. Analisar e interpretar os dados.

5. Relatar as conclusões de maneira que sejam facilmente entendidas por quem as forusar na tomada de decisões.

49


1 - Defina e/ou explique com suas próprias palavras, o que você entende por CiênciaEstatística e quais os principais ramos (partes) da Estatística.

2 - Através de um exemplo, defina: População e Amostra.

3 - Considere as seguintes situações:

1) Em uma pesquisa, feita pela EMPETUR com 1015 pousadas escolhidas aleato-riamente, 269 (ou 26,5%) possuíam Home-page na Internet para divulgação eprestação de serviços ao turista.

2) Outra pesquisa feita entre as 50 Agências de Viagens de uma certa localidademostra que 42 (ou 84%) prestam serviços pela Internet.

Identifique em qual das situações nós temos um exemplo de Parâmetro e outro deEstatística (no sentido de medida). Justifique sua resposta.

4 - O que você entende por variável? Justifique a sua resposta por intermédio de umexemplo.

5 - Como você diferencia uma variável discreta de uma variável contínua? Utilize umexemplo para melhor ilustrar.

6 - Defina e/ou explique com suas próprias palavras, o que você entende por amostragem.

7 - Qual é o principal objetivo de qualquer plano de amostragem?

8 - As estatísticas geradas por intermédio de uma amostra devem ser representativasdesta amostra ou da população de origem? Justifique a sua resposta.

9 - Para que uma amostra seja representativa, é necessário apenas que a mesma tenhaum tamanho apropriado? Justifique a sua resposta.

10 - A Revista dos Eventos, N 13, tentando sanar, ao menos parcialmente, a carênciade informações precisas sobre a indústria de eventos, promoveu a 1a PESQUISA -O Mercado de Congressos no Brasil. Os resultados desta pesquisa se baseiam em40 questionários respondidos sobre um total de 1000, os quais foram encaminhadospor entrega pessoal a dirigentes de entidades integrantes do cadastro da própriaRevista dos Eventos. Qual é o problema ou a limitação desta pesquisa? Pelo menosteoricamente, qual seria o melhor procedimento para este tipo de pesquisa, já que aempresa possui um cadastro das entidades?

11 - Classifique cada uma das informações (variáveis) abaixo, de acordo com os tipos devariáveis.

a) Nomeb) Nível de satisfaçãoc) Idaded) Número de dias hospedado

50


7a NOTA DE AULA

7 Estatística Descritiva

7.1 Introdução

A estatística pode ser considerada como um instrumento ou um conjunto de métodosmatemáticos que devem ser utilizados quando se pretende transformar dados em informação.Para ilustrar este processo, veja a Figura 1:

12 15 1815 12 1818 15 1817 19 20

Conjunto de dados

⇒

MédiaModa

MedianaProporçãoQuantis

Conjunto de informações

Figura 1:

No primeiro retângulo, tem-se um conjunto de observações da variável idade de umgrupo de 12 pessoas e, no segundo retângulo, as estatísticas (informações) que podemrepresentar esses números.

7.2 Organização de dados: Tabelas e Gráficos

7.2.1 Distribuição de Frequências

O primeiro passo para se resumir um conjunto de dados é ordená-los em ordem cres-cente ou decrescente, e proceder a contagem do número de ocorrência (freqüência) de cadadado. À ordenação dos dados denominamos de Rol. Assim, o rol para o conjunto de dadosda Figura 1 fica:

Rol de dados:

12 12 15 15 1517 18 18 18 1819 20

Desta maneira, fica fácil verificar a freqüência com que cada um dos dados foi obser-vado, por exemplo: o valor 12 ocorreu 2 vezes; o valor 15 ocorreu 3 vezes, e assim pordiante.

51

Uma maneira adequada de apresentar os dados e suas respectivas freqüências é atravésde uma Tabela de Freqüências, a qual é constituída por uma coluna referente aosdados e outra referente às freqüências associadas a cada valor observado (ni). Vejacomo fica para o conjunto de dados da Figua 1:

Tabela 1: Tabela de Freqüências da variávelidade, para um grupo de 12 pessoas.Idade Frequência (ni)12 215 317 118 419 120 1

Total de observações (n) 12

Uma medida bastante útil na interpretação de tabelas de freqüências é a freqüênciarelativa (fri), a qual é dada pela razão entre a freqüência do i-ésimo valor observado, ni eo total de dados observados, n. Pode-se, ainda, representar a freqüência relativa em termosde porcentagem, bastando para isso multiplicar a freqüência relativa fri por 100.

Para alguns tipos de variáveis, tais como a qualitativa ordinal e as quantitativas (disc-reta ou contínua), pode ser útil também, a informação de quantas observações apresentamvalores menores ou iguais a um certo valor fixado. Este tipo de informação é denominadode freqüência acumulada, fac, a qual também pode ser expressa em termos relativos oupor porcentagens.

Vejamos, agora, como fica a tabela de freqüências anterior com estas informaçõesadicionadas:

Tabela 2: Tabela de Freqüências da variávelidade, para um grupo de 12 pessoas.

Idade ni fri fri × 100 (%) fac (%)12 2 0,1667 16,67 16,6715 3 0,2500 25,00 41,6717 1 0,0833 8,33 50,0018 4 0,3333 33,33 83,3319 1 0,0833 8,33 91,6720 1 0,0833 8,33 100,00

Total (n) 12 1,0000 100,00

Observação: Ao conjunto de todos os pares de valores, referentes a cada dado obser-vado e sua respectiva freqüência, denominamos de Distribuição de Freqüências. Destaforma, os pares (12, 2), (15, 3), (17, 1), (18, 4), (19, 1) e (20, 1) representam a distribuiçãode freqüências da variável idade para esse grupo de pessoas.

52

Representação Gráfica

Uma representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável tem a van-tagem de, numa maneira rápida e concisa, informar sobre a variabilidade da mesma.

Gráfico de Colunas - é mais adequado para variáveis discretas mas também pode serutilizado para variáveis qualitativas ordinais, ou ainda, para variáveis qualitativas nominaiscujos nomes das categorias são pequenos.

Neste gráfico, cada valor observado é representado por retângulos de mesma basee alturas proporcionais às freqüências. Para ilustrar, veja como fica este gráfico para adistribuição de freqüências da variável idade, utilizando a freqüência absoluta e relativa emtermos de porcentagem:

Figura 1:

Distribuição de freqüências da variável idade

2

3

1

4

1 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

12 15 17 18 19 20Idade (anos)

Freq

üênc

ia (n

_i)

Figura 2:

Distribuição de freqüências da variável idade

16.7%

25.0%

8.3%

33.3%

8.3% 8.3%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

50.0%

12 15 17 18 19 20Idade (anos)

Freq

üênc

ia (%

)

53

Exercício de Fixação

1 - O seguinte conjunto de dados é referente ao número de acidentes por dia em certotrecho de rodovia no mês de setembro de certo ano:

2 0 1 2 3 1 6 1 0 01 2 2 1 2 0 1 4 2 30 1 0 2 1 2 4 1 1 1

Responda as seguintes questões:

a) Qual o número mínimo de acidentes, num certo dia? E o número máximo?

b) Freqüêntemente, ocorreram quantos acidentes por dia? Isto ocorreu em quantosdias? E o que isso representa em termos de percentuais?

c) Represente graficamente a distribuição de frequência da variável número deacidentes por dia, no mês de setembro.

d) Faça um gráfico de colunas para o percentual acumulado.

54

7.2.2 Distribuição de Frequências para Dados Agrupados em Classes

Em algumas situações, é necessário o agrupamento de dados em categorias ou classespara se proceder a construção de uma tabela de freqüências. Por exemplo, em um conjuntode dados contínuos, um mesmo valor não ocorrerá com grande freqüência, ou até mesmo,não se repetirá por mais de uma vez. Uma vantagem em agrupar os dados em classesconsiste na organização de grandes conjuntos de dados de forma mais clara e objetiva.Por outro lado, uma desvantagem, consiste na perda de informações por não se saberexatamente quais os valores ocorridos dentro de cada classe.

Para ilustrar como proceder a construção de uma tabela de freqüências em classes,considere o seguinte conjunto de dados:

Tabela 2: Dados referentes às notas no 1o estágio de 20 estudantes de estatística.

Código do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nota 7,5 8,0 9,0 7,3 6,0 5,8 10,0 3,5 4,0 6,0Código do aluno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Nota 7,5 7,0 8,5 6,8 9,5 9,8 10,0 4,8 5,5 7,0

Note que, não haverá vantagem alguma se organizarmos estes dados numa tabela defreqüências, uma vez que os dados pouco se repetem. Assim, torna-se útil o agrupamentodos dados, que, de um modo geral, pode ser feito de acordo com os seguintes passos:

1. Organizar os dados num Rol.

2. Estabelecer o Número de Intervalos (categorias ou classes) para se dividir o con-junto de dados.

A escolha do número de classes é arbitrária, a qual pode ser estabelecida de acordocom o bom senso do pesquisador ou obtido por alguma fórmula matemáticaconstruída para este fim. Uma sugestão prática é a escolha entre 5 e 15 classes coma mesma amplitude e duas fórmulas matemáticas que podem orientar na escolha donúmero de classes, são:

(a) k =√

n

(b) k = 1 + 3, 3× log(n)

Onde k é o número de classes e n é o número total de observações.

3. Calcular a Amplitude Total:

ATot = xmax − xmin

Onde xmax e xmin é o valor máximo e mínimo observado no conjunto de dados.

4. Determinar a Amplitude de Classe:

h =ATot

k

55

5. A partir do menor valor observado no conjunto de dados, ou de algum valor imediata-mente inferior e adequadamente escolhido, delimitar as classes, ou seja, determinaros limites inferiores e superiores de cada classe.

Neste momento, os seguintes símbolos são úteis:

(a) li − |Li - para indicar que o valor extremo inferior (li) não pertence à i− simaclasse, enquanto que o valor extremo superior (Li) pertence.

(b) li|−Li - para indicar que o valor extremo inferior (li) pertence à i−sima classe,enquanto que o valor extremo superior (Li) não pertence.

6. Após todos estes passos, só resta proceder a contagem do número de observaçõespertencentes à cada uma das classes e organizar estas informações numa tabela defreqüências para dados agrupados.

De acordo com estes passos, o conjunto de dados anterior pode ser organizado como:

(Construir a tabela de freqüências para dados agrupados)

Representação Gráfica de uma Variável Quantitativa Contínua - Histograma

Para a representação gráfica de variáveis quantitativas contínuas é necessário algumaadaptação do gráfico de colunas, uma vez que, em geral, é necessário agrupar os dados emclasses e conseqüentemente há perda de informações.

Histograma - é um gráfico indicado para representar dados agrupados em classes.Este gráfico é uma adaptação do gráfico de colunas, onde as bases correspondem aosintervalos de classe e as alturas são proporcionais às freqüências de classe. Veja como ficao histograma para a distribuição das notas:

(Construir o histograma para a distribuição de freqüências em classes)

56


8a NOTA DE AULA

7.3 Medidas Resumo para Variáveis Quantitativas

Nesta seção veremos algumas medidas que tem como objetivo resumir um conjuntode dados em um único valor o qual possa fornecer informações sobre o comportamento dosdados, ou seja, sobre a distribuição de freqüências da variável.

7.3.1 Medidas de Tendência Central

As medidas de tendência central são bastante utilizadas e representam o centro ou omeio de um conjunto de dados. As principais são: a mediana, a moda, e a média aritmética.

A seguir estas medidas são definidas e obtidas para os dois seguintes conjuntos dedados que representam o número de gols registrados em cada partida de futebol, durante5 e 6 jogos, respectivamente:

Conjunto de dados 1: Número de gols por partida de futebol, em 5 jogos.

3 2 1 2 5

Conjunto de dados 2: Número de gols por partida de futebol, em 6 jogos.

5 3 2 1 2 5

1. Mediana - é o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas partesiguais, ou seja, 50% das unidades observadas possuem valores menores ou iguais aovalor mediano e as demais 50% possuem valores acima da mediana.

Para se obter o valor da mediana é necessário os seguintes passos:

1◦) Ordenar o conjunto de dados em ordem crescente (ou descrescente);

2◦) Identificar a posição central do conjunto de dados, ou seja, a posição ondese encontra o valor da mediana. Esta(s) posição(ões) pode(m) ser verificada(s)utilizando-se as seguintes fórmulas:

(a) PMd = n+12, se o total de observações, n, é ímpar. Assim, a mediana será

o valor observado na posição PMd;(b) P1Md = n

2e P2Md = n

2+1, se o total de observações, n, é par. Pois, neste

caso, existem duas posições centrais e a mediana será a média aritmética dosvalores observados nestas duas posições.

Notação: Md ou Md(X).

57

Exemplo 1: A partir do conjunto de dados 1, pode-se obter o seguinte rol de dados:

1 2 2︸︷︷︸mediana

3 5

Note que, o número de observações, n = 5, é ímpar, logo o valor da mediana (valorcentral) está na posição PMd = n+1

2= 5+1

2= 3, que é igual a Md = 2.

Exemplo 2: Ordenando em ordem crescente o conjunto de dados 2, teremos oseguinte rol de dados:

1 2 2 3︸︷︷︸dois valores centrais

5 5

Agora, neste caso, o número de observações, n = 6, é par, e, portanto, existem doisvalores centrais localizados nas posições P1Md = n

2= 6

2= 3 e P2Md = n

2+ 1 =

3 + 1 = 4. Assim, a mediana será a média aritmética dos valores que se encontramnestas duas posições, dada por:

Md =xP1Md

+ xP2Md

2=

2 + 3

2= 2, 5.

Observação:

Pode-se, também, obter a posição da mediana através dos seguintes passos:

1◦) Obter o valor que representa a metade do total de observações: PMd = n2;

2◦) Utilizar a seguinte regra:

(a) Se PMd for um número não inteiro, então, arredonda-se o valor de PMd parao maior inteiro mais próximo, e, assim, o valor da mediana estará nesta novaposição obtida.

(b) Se PMd for um número inteiro, então o valor da mediana será a média aritméticados valores que estão nas posições PMd e PMd + 1.

Exemplo 3: Utilizando-se os procedimentos descritos na observação acima, temosque, para o conjunto de dados 1, PMd = n

2= 5

2= 2, 5 (não inteiro), logo o valor da

mediana estará na posição PMd = 3 (maior inteiro mais próximo), que é dado porMd = 2.

Exemplo 4: No conjunto de dados 2, temos PMd = n2

= 62

= 3 (inteiro), assim, deacordo com o procedimento descrito na observação acima, temos que a mediana édada pela média aritmética dos valores observados nas posições PMd = 3 e PMd+1 =3 + 1 = 4:

Md =xP1Md

+ xP2Md

2=

2 + 3

2= 2, 5.

58

2. Moda - é o valor (ou os valores) no conjunto de dados que ocorre(m) com maiorfreqüência.

Notação: Mo ou Mo(X).

Exemplo 5: O primeiro conjunto de dados, 1 2 2 3 5, é dito ser unimodal,tendo em vista que um único valor ocorre com maior frequência. Assim, a moda éMo = 2.

Exemplo 6: O segundo conjunto de dados, 1 2 2 3 5 5, é dito ser bimodal,tendo em vista que, neste caso, dois valores ocorrem com maior frequência, assim,os valores modais são: Mo = 2 e Mo = 5.

3. Média Aritmética (Média) - é obtida a partir da razão entre a soma dos valoresobservados e o total de observações:

Média =soma dos valores

total de observações (n)

Notação: Me, Me(X) ou x.

Exemplo 7: A partir do conjunto de dados 1, a média é obtida por:

Me(X) = x =soma dos valores

total de observações (n)=

1 + 2 + 2 + 3 + 5

5= 2, 6.

Observação:

1) A média aritmética pode ser expressa através do uso do símbolo de somatório∑(sigma). Por exemplo, se x1, x2, . . . , xk são k valores distintos da variável X,

podemos escrever:

Me(X) = x =x1 + x2 + . . . + xk

k=

1

k

k∑i=1

xi

Agora, se, de um total de n valores observados (ou observações), x1 ocorreu n1 vezes,x2 ocorreu n2 vezes, etc., xk ocorreu nk vezes, então a média de X pode ser reescritacomo:

Me(X) = x =x1.n1 + x2.n2 + . . . + xk.nk

n=

1

n

k∑i=1

xi.ni (1)

=k∑

i=1

xi.ni

n(2)

=k∑

i=1

xi.fi. (3)

Onde:

59

• ni é freqüência absoluta do valor observado xi,

• n =∑k

i=1 ni é o total de observações, e,

• fi é freqüência relativa do valor observado xi.

Exemplo 8: A partir do segundo conjunto de dados, 1 2 2 3 5 5, temos:

Me(X) = x =1

n

k∑i=1

xi.ni =1

6(1× 1 + 2× 2 + 3× 1 + 5× 2) =

18

6= 3.

Exercício: Dado o seguinte conjunto de dados:

12 12 15 15 15 17 18 18 18 18 19 20

Determine a média, moda e mediana.

Solução:

7.3.2 Medidas de Tendência Central para Dados Agrupados

Sabemos que ao agrupar um conjunto de dados em classes, perde-se informação sobrecada valor individual e, no caso em que seja impossível recuperar cada valor observado,pode-se supor que todos os dados dentro de uma classe tenham seus valores iguais aoponto médio desta classe. Assim, pode-se, por exemplo, utilizar os pontos médios dasclasses e suas respectivas freqüências para calcular a média aritmética de maneira análogaao exposto anteriormente. Da mesma forma, pode-se adotar como valor modal, o pontomédio da classe modal e como mediana, o ponto médio da classe mediana.

Exemplo: Dada a seguinte distribuição de freqüência da variável S=salário (dadosagrupados em classes):

Salário Frequência Absoluta4, 00| − 8, 00 108, 00| − 12, 00 1212, 00| − 16, 00 816, 00| − 20, 00 820, 00| − 24, 00 2

Determine o valor (aproximado) da média, moda e mediana.

60

Solução:

7.3.3 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade

Na sumarização de um conjunto de dados, uma única medida representativa da posiçãocentral, esconde toda a informação sobre a variabilidade dos dados. Veja, por exemplo, osseguintes dados:

Variável X : 3 4 5 6 7

Variável Y : 3 5 5 7

Note que a média Me(X) = Me(Y ) = 5, a qual nada informa sobre a variação dosvalores nos dois grupos. Assim, torna-se importante o conhecimento de uma medida queforneça este tipo de informação.

Na prática, existem várias medidas que expessam a variabilidade de um conjunto dedados, sendo que as mais utilizadas baseam-se na idéia que consiste em verificar a distânciade cada valor observado em relação à média. Estas distâncias são denominadas de desviosem relação à média.

Definição 7.1 (Variância). - é uma medida que representa a variabilidade de umconjunto de dados e, é obtida pelo cálculo da média dos quadrados dos desvios emrelação à média:

V ar(X) = s2

=1

n

k∑i=1

(xi − x)2 × ni

=k∑

i=1

(xi − x)2 × ni

n

61

=k∑

i=1

(xi − x)2 × fi

Observação: Para o cálculo da variância, quando os dados estão agrupados emclasses, basta substituir os verdadeiros valores observados pelo ponto médio da i-ésimaclasse.

Definição 7.2 (Desvio Padrão). - é a raiz quadrada da variância.

D.P.(X) = s =√

s2 =

√√√√k∑

i=1

(xi − x)2 × fi

O uso do desvio padrão como medida de variabilidade é preferível pelo fato de serexpresso na mesma unidade de medida dos valores observados. Pois, a variância podecausar problemas de interpretação por ser expressa em termos quadráticos.

Definição 7.3 (Coeficiente de Variação). - O coeficiente de variação (CV) é uma me-dida relativa de variabilidade. O seu valor é determinado por intermédio do quocienteentre o desvio padrão e a média aritmética dos dados.

CV (X) =s

x× 100 (expresso em porcentagem (%))

A utilidade imediata do coeficiente de variação é a possibilidade de avaliar o graude representatividade da média. Esta medida também é bastante útil na comparaçãoentre conjunto de dados, em relação à variabilidade; ainda que as unidades de medida nosconjuntos de dados sejam distintas. Por exemplo, comparar a variabilidade das distribuiçõesda variável peso expressa em quilogramas (Kg) e altura expressa em metros (m).

Um critério de decisão sobre a representatividade ou não da média, pode ser dada pelaseguinte linha de corte:

Se CV ≥ 50%, a média não é representativa.Se CV < 50%, a média é representativa.

Exemplos:

a) O desvio padrão das variáveis X e Y é DP (X) = DP (Y ) = s =√

2 = 1, 41.

b) Considere os quilômetros rodados por 3 carros: 30 Km, 40 Km e 50 Km. Calculea média, a variância, o desvio padrão e o CV. Interprete essas medidas.

62

7.3.4 Medidas de Posição: Quartis, Decis e Percentis

Assim como a mediana divide os dados em duas partes iguais, os três quartis, denota-dos por Q1, Q2 e Q3, dividem as observações ordenadas (em ordem crescente) em quatropartes iguais. A grosso modo:

- Q1 separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos valores ordenados;

- Q2 separa os 50% inferiores dos 50% superiores, ou seja, é a mediana; e

- Q3 separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados;

Analogamente, há nove decis, denotados por D1, D2, . . . , D9, que dividem os dadosem 10 grupos com cerca de 10% deles em cada grupo. Finalmente, há 99 percentis quedividem os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.

Basicamente, dois passos são necessários para se encontrar as medidas em questão.Primeiro deve-se identificar a sua posição, e, em seguida, determinar o seu valor.

Veja a seguir, como obter os valores referentes aos percentis, quando se está traba-lhando com dados brutos ou em distribuição de freqüências para dados não agrupados:

1◦) Identificar a posição do percentil que se deseja encontrar, através da seguinteexpressão:

L =

(k

100

)× n

Onde:

- L é o valor que indica a posição do percentil de interesse;

- k é o k − esimo percentil; e

- n é o total de dados observados.

2◦) Utilizar a seguinte regra:

1. Se L for um número não inteiro, então, arredonda-se o valor de L para o maiorinteiro mais próximo, e, assim, o valor do k− esimo percentil, Pk, é dado pelo valorque ocupa esta nova posição obtida.

2. Se L for um número inteiro, então o valor do k− esimo percentil, Pk, será a médiaaritmética dos valores que estão nas posições L e L + 1.

Uma vez dominados os cálculos para os percentis, pode-se seguir o mesmo processopara calcular os quartis e decis, tendo-se o cuidado de calcular o valor de L, pelas fórmulasL =

(k4

) × n, k = 1, 2, 3 e L =(

k10

) × n, k = 1, 2, . . . , 9, respectivamente. Pode-se,ainda, obter os quartis e decis pelas seguintes relações existentes entre estas medidas e ospercentis:

63

Quartis DecisQ1 = P25 D1 = P10

Q2 = P50 D2 = P20

Q3 = P75...

D9 = P90

Além das medidas de tendência central e de variação já introduzidas, costuma-se definiroutras estatísticas utilizando quartis, decis ou percentis, tais como:

Intervalo interquartil = Q3 −Q1

Intervalo semi-interquartil = (Q3 −Q1)/2Amplitude de percentis 10-90 = P90 − P10

Eis as fórmulas para os cálculos dos quartis, decis e percentis para o caso de variáveisagrupadas em classes.

Determinação do Q1:

Passo 1: Calcula-se n4.

Passo 2: Identifica-se a classe Q1 pela Ni.

Passo 3: Aplica-se a fórmula:

Q1 = lQ1 +(n

4−∑

f)h

nQ1

em que

lQ1 = limite inferior da classe Q1

n = tamanho da amostra ou número de elementos∑

f = soma das frequências anteriores à classe Q1

h = amplitude da classe Q1

nQ1 = frequência da classe Q1.

Determinação do Q2 (ou mediana):

Passo 1: Calcula-se n2.



Q2 = lQ2 +(n

2−∑

f)h

nQ2

Determinação do Q3 :

Passo 1: Calcula-se 3n4.

64



Q3 = lQ3 +(3n

4−∑

f)h

nQ3

Determinação de um Decil:

Passo 1: Calcula-se in10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Passo 2: Identifica-se a classe Di pela Ni.


Di = lDi+

( in10−∑

f)h

nDi

Determinação de um percentil:

Passo 1: Calcula-se in100

, em que i = 1, 2, 3, . . . , 98 e 99

Passo 2: Identifica-se a classe Pi pela Ni.


Pi = lPi+

( in100−∑

f)h

nPi

Observação:

No caso de dados agupados em classes o histograma pode ser utilizado para seobter o k − esimo quartil, dercil ou percentil .

7.4 Outra Estratégia de Análise de Dados

Em algumas situações a média e o desvio padrão podem não ser adequados pararepresentar um conjunto de dados, pois:

i - São afetadas, de forma exagerada, por valores extremos;

ii - Apenas com estes dois valores não temos a idéia da assimetria dos valores, ou seja,sobre o quanto os dados se distribuem em torno dos valores inferiores, medianos esuperiores.

Para contornar estes problemas, 5 medidas foram sugeridas por Tukey (1977):

1◦) A mediana (Md);

2◦) Os extremos: o menor e o maior valor observado no conjunto de

dados (xmin e xmax, respectivamente);

3◦) O primeiro e o terceiro quartil (ou junta).

65

7.4.1 Desenho Esquemático - Diagrama em Caixa ("Box-Plot")

As informações obtidas pelas 5 medidas podem ser representadas por um gráfico co-nhecido por "Box-Plot"ou diagrama em caixa. Para construir este diagrama, consideremosum retângulo onde estão representados a mediana e os quartis. A partir do retângulo, paracima, segue uma linha até o ponto mais remoto que não exceda LS = Q3 + (1, 5)dp,chamado limite superior. De modo similar, da parte inferior do retângulo, para baixo, segueuma linha até o ponto mais remoto que não seja menor do que LI = Q1−(1, 5)dp, chamadolimite inferior. Os valores compreendidos entre esses dois limites são chamados valoresadjacentes. As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limiteinferior estabelecidos serão chamadas pontos exteriores e representadas por asteriscos.Essas são observações destoantes das demais e podem ou não ser o que chamamos deoutliers ou valores atipicos.

O boxplot dá uma idéia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes.A posição central é dada pela mediana e a dispersão por dq. As posições relativas de q1, q2, q3

dão uma noção da assimetria da distribuição.

Veja, como fica o box-plot da variável Peso

Figura 3: Box-plot para a variável Peso

Gráficos tipo box-plot também são úteis para detectar, descritivamente, diferençasnos comportamentos de grupos de variáveis. Por exemplo, podemos considerar gráficos davariável Peso para cada sexo. O resultado é apresentado na figura abaixo, em que podemosnotar que os homens apresentam peso mediano superior ao das mulheres, além de umamaior variabilidade.

66

Figura 4: Box-plot da variável Peso para cada sexo

67


1 - Considere uma distribuição de freqüências qualquer representada por

(x1, n1), (x2, n2), . . . , (xk, nk).

Mostre que a soma dos desvios em relação à média é igual zero, ou seja, que∑ki=1(xi − x)× ni = 0.

2 - Obtenha a média e a mediana para o seguinte conjunto de dados:

20 30 40

a) Se substituímos o valor 40 por 70, os valores da média e da mediana serão osmesmos? Justifique?

b) Analisando os resultados acima, ressalte uma característica vantajosa da medi-ana em relação à média.

3 - Mostre que:

k∑i=1

(xi − x)2 × ni =k∑

i=1

x2i ni −

(∑ki=1 xini

)2

n=

k∑i=1

x2i ni − nx2

E, por isso, a variância também pode ser obtida pela seguinte fórmula:

V ar(X) = s2 =1

n

k∑i=1

x2i ni − x2

4 - O seguinte conjunto de dados representa a pulsação de 22 fumantes:

52 52 60 60 60 60 63 63 66 6768 69 71 72 73 75 78 80 82 8384 90

Usando os dados brutos, determine:

a) A média, a moda e o desvio padrão;

b) O primeiro, segundo e terceiro quartil;

c) Construa uma tabela de frequências para os dados agrupados em 7 classes;

d) Construa o histograma e o diagrama em caixa;

Agora, utilizando a distribuição de frequências obtida acima, obtenha:

a) A média, a moda e o desvio padrão;

b) O primeiro, segundo e terceiro quartil utilizando o histograma;

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5 - O ROL de 50 notas de alunos de Estatística (dadas em créditos), estão relacionadasabaixo:

33 35 35 39 41 41 42 45 47 4850 52 53 54 55 55 57 59 60 6061 81 71 67 63 64 53 73 81 5067 68 53 75 65 58 80 60 63 53

Baseado nestes dados, determine:

a) A distribuição de frequências (Sugestão: iniciar por 30);

b) As frequências relativas (fi) e suas respectivas porcentagens ((100 ∗ fi)%);

c) O histograma;

6 - Dados os conjuntos de números: A = {1000; 1001; 1002; 1003; 1004; 1005} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5} podemos afirmar que:

a) o desvio-padrão de A é igual a 100 vezes o desvio-padrão de B.

b) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B.

c) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B multiplicado pelo quadrado de1000.

d) o desvio-padrão de A é igual ao desvio-padrão de B dividido por 1000.

e) o desvio-padrão de A é igual ao quadrado do desvio-padrão de B.

7 - Em uma granja foi observada a distribuição do frangos em relação ao peso, que eraa seguinte:

Peso(gramas) ni

0960| − 0980 600980| − 1000 1601000| − 1020 2801020| − 1040 2601040| − 1060 1601060| − 1080 80

a) Construa o histograma;

b) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modoque: os 20% mais mais leves sejam da categoria D; os 30% seguintes sejam dacategoria C; os 30% seguintes sejam da categoria B; os 20% seguintes sejam dacategoria A. Quais os limites de peso entre as categorias A, B, C e D?

8 - Estudando-se o consumo diário de leite, verificou-se que, em certa região, 20% dasfamílias consomem até um litro, 50% consomem entre um litro e dois litros, 20%consomem entre dois e três litros e o restante consome entre três e cinco litros. Paraa variável em estudo:

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a) Escreva as informações acima na forma de uma tabela de frequências.

b) Construa o histograma.

70


9a NOTA DE AULA

8 Análise Bidimensional

8.1 Introdução

Em algumas situações, em análise de dados, surge a necessidade de um estudo sobre ocomportamento conjunto de duas ou mais variáveis. Para isso, a distribuição conjunta defrequência será de grande utilidade. Iremos estudar apenas no caso de duas variáveis oudois conjuntos de dados. Nestes casos poderemos ter três situações:

1. as duas variáveis são qualitativas;

2. as duas variáveis são quantitativas; e

3. uma variável á qualitativa e outra quantitativa.

As técnicas de análise de dados nas três situações são diferentes. Estudaremos apenasos dois primeiros casos

8.2 Associação entre duas Variáveis Qualitativas

Vejamos como se comportam as variáveis: região de procedência (X) e grau de instrução(Y ), cuja distribuição de frequência pode ser representada por uma tabela de dupla entrada.

Tabela 1: Distribuição de frequência conjunta das variáveis X e Y .

Y Basico Medio Superior Total marginal de XX

Capital 4 5 2 11Interior 3 7 2 12Outra 5 6 2 13

Total marginal de Y 11 18 6 36

Observações:

71

1. Cada célula do corpo da tabela apresenta o número de ocorrência simultânea dosvalores (x, y) de X e Y , constituindo a distribuição conjunta;

2. A coluna dos totais (frequências marginais de X) constitui a distribuição marginal deX;

3. A linha dos totais (frequências marginais de Y ) constitui a distribuição marginal deY ;

4. Assim como no caso de uma única variável, as frequências absolutas podem serexpressas em termos de frequências relativas e/ou porcentagens, sendo que, de acordocom o objetivo de cada análise, estas medidas podem ser obtidas em relação

(a) ao total geral; Tabela 2-Distribuição de frequência conjunta das variáveis X eY.


CapitalInteriorOutra

Total marginal de Y 100%

(b) ao total de cada linha; Tabela 3-Frequências percentuais da distribuição con-junta das variáveisX e Y, em relação ao total de linha (frequência marginal de X)


Capital 100%Interior 100%Outra 100%

Total marginal de Y 100%

(c) ao total de cada coluna Tabela 4-Frequências percentuais da distribuição con-junta das variáveisX e Y, em relação ao total de coluna (frequência marginal de Y)


CapitalInteriorOutra

Total marginal de Y 100% 100% 100% 100%

A construção de tabelas de dupla entrada contendo as frequências relativas em termosde porcentagem, tendo como referência o total geral, os totais de cada linha ou colunaresponde as seguintes perguntas:

1. Qual o percentual de pessoas que possuem o Ensino Médio e que são do interior?

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2. Dentre os que possuem o Ensino Médio, qual é o percentual de pessoas provenientesdo interior?

3. Sabendo-se que uma pessoa veio do interior, qual é a probabilidade, em termospercentuais de ter o Ensino Médio?

8.3 Independência entre Variáveis

Ocorre com bastante frequência em análises de distribuição conjunta o questionamentosobre a existência de dependência ou não entre as variáveis, além da necessidade de sesaber o grau de dependência entre elas, caso exista.

Uma regra prática, consiste em:

(i) Verificar a distribuição das proporções marginais da variável X ou Y (linha oucoluna de totais) e compará-la com as distribuições das proporções referentes a cada umadas categorias da variável Y ou X, respectivamente;

(ii) Assim, se observarmos proporções em cada uma das categorias de Y ou X próxi-mas as proporções marginais, temos como evidência a não dependência entre as variáveis;

Tabela 5-Distribuição conjunta das frequências e proporções, segundo sexo Xe curso escolhido Y.

Y Masculino Feminino Total marginal de XX

Economia 85(61%) 35(58%) 120(60%)Administracao 55(39%) 25(42%) 80(40%)

Total marginal de Y 140(100%) 60(100%) 200(100%)

caso contrário; a evidência é de que as variáveis sejam dependentes.

Tabela 6-Distribuição conjunta das frequências e proporções, segundo sexo Xe curso escolhido Y.

Y Masculino Feminino Total marginal de XX

Fisica 100(71%) 20(33%) 120(60%)Ciencias Sociais 40(29%) 40(67%) 80(40%)

Total marginal de Y 140(100%) 60(100%) 200(100%)

Uma vez identificado a relação de dependência entre as variáveis, como podemosquantificar o grau de dependência?

8.4 Medidas de Associação entre duas Variáveis Qualitativas

De um modo geral, o grau de dependência entre as duas variáveis é quantificado peloscoeficientes de associação ou correlação. Usualmente, esses coeficientes variam de zero atéum, sendo que, as vezes, variam de -1 a 1. Desta maneira, valores próximos de zero dãoindícios de independência entre as variáveis e, valores próximos de um (ou -1) indicam umalto grau de dependência positiva (ou negativa).

73

Uma medida de dependência bastante utilizada para variáveis nominais é o coeficientede contingência, o qual é dado por:

C =

√χ2

χ2 + n

onde n é o número de observações e χ2 é uma medida conhecida por qui-quadrado, aqual é obtida a partir da seguinte soma

χ2 =r∑

i=1

s∑j=1

(oij − eij)2

eij

onde o somatário é estendido a todas as caselas de frequências conjuntas em umatabela de dupla entrada, e:

oij - é a frequência observada na i-ésima casela;

eij - é a frequência esperada na i-ésima casela, caso houvesse independência entreas variáveis, ou seja, quando a proporção em cada categoria de uma variável (fixada o totalem linha ou coluna) é igual ou próxima a proporção marginal.

No entanto, o valor máximo de C depende de r e s. Para evitar esse inconveniente,costuma-se definir um outro coeficiente, que varia entre 0 e 1, dado por

T =

√χ2/n

(r − 1)(s− 1)

que atinje o valor máximo igual a 1 se r = s.

Para exemplificar, vejamos qual seria o coeficiente de contingência para as variáveisapresentadas na Tabela 3.

8.5 Medidas de Associação entre duas Variáveis Quantitativas

Neste caso, procedimento análogo ao realizado para a análise de variáveis nominais podeser aplicado. E, por se tratar de variáveis quantitativas, antes de construir uma tabelade dupla entrada, os dados marginais podem ser agrupados em intervalos de classe, assimcomo no caso de uma única variável.

Em análises de associação entre variáveis quantitativas, procedimentos analíticos maisrefinados são possíveis, como veremos a seguir.

8.5.1 Diagrama de Dispersão

O diagrama ou gráfico de dispersão nada mais é que a representação de pares dos valoresobservados (x, y) num sistema cartesiano. Vejamos a ilustração de alguns gráficos quepodem surgir na prática:

74

4 6 8 10 12

1015

2025

3035

40

X

Y

Figura 5: Diagrama de dispersão entre as variáveis X e Y .

4 6 8 10 12

−40

−30

−20

−10

X

Z

Figura 6: Diagrama de dispersão entre as variáveis X e Z.

4 6 8 10 12

05

1015

X

W

Figura 7: Diagrama de dispersão entre as variáveis X e W .

8.5.2 Coeficiente de correlação

Ao ser observada uma associação entre as variáveis quantitativas, seria muito útil sabermossobre a intensidade desta associação e, como percebemos anteriormente (ver Gráficos de

75

4 6 8 10 12

020

040

060

080

0

X

V

Figura 8: Diagrama de dispersão entre as variáveis X e V .

5 a 8), existem vários tipos de associação. Aqui, veremos apenas uma medida referenteao tipo de associação linear, ou seja, ao tipo de relação em que os pontos do gráfico dedispersão aproximam-se de uma reta.

Definição - Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), chama-se de coe-ficiente de correlação entre as variáveis X e Y o valor obtido por

Corr(X, Y ) =1

n

n∑i=1

(xi − x

dp(X))(

yi − y

dp(Y )),

ou seja, a média dos produtos dos valores reduzidos (ou padronizados) das variáveis.

Enquanto o coeficiente de contingência só assume valores entre 0 e 1, o coeficiente decorrelação pode assumir qualquer valor entre -1 e 1.

Uma fórmula alternativa e mais operacional para a correlação é dada por:

Corr(X, Y ) =

∑xiyi − nxy√

(∑

x2i − nx2)(

∑y2

i − ny2).

O numerador da expressão assima dá origem a covariância, medida bastante usada.

Definição - Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), chamaremos decovariância entre as variáveis X e Y a

cov(X, Y ) =

∑ni=1(xi − x)(yi − y)

n,

ou seja, a média dos produtos dos valores centrados das variáveis.

O coeficiente de correlação pode ser escrito como

corr(X, Y ) =cov(X,Y )

dp(X)dp(Y )

76


1 - Numa amostra de cinco operários de uma dada empresa foram observadas duas va-riáveis: X: anos de experiência num dado cargo e Y : tempo, em minutos, gasto naexecução de uma certa tarefa relacionada a esse cargo. As observações são apresen-tadas na tabela abaixo:

X 1 2 3 4 5Y 7 8 3 2 2

Construa o diagrama de dispersão e calcule uma medida de dependência entre asvariáveis.

2 - No estudo de uma certa comunidade verificou-se que:

I) A proporção de indivíduos solteiros é de 0, 4.

II) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos é de 0, 2.

III) A proporção de indivíduos que recebem até 20 salários mínimos é de 0, 7.

IV) A proporção de indivíduos casados entre os que recebem mais de 20 saláriosmíninos é de 0, 7.

V) A proporção de indivíduos que recebem até 10 salários mínimos entre os solteirosé de 0, 3.

a) Construa a distribuição conjunta das variáveis estado civil e faixa salarial e asrespectivas distribuições marginais.

b) Você diria que existe relação entre as duas variáveis consideradas?

3 - A tabela a seguir lista os números de assassinatos e os tamanhos das populações (emcentenas de milhares) em grandes cidades americanas durante um ano recente (combase em dados do New York Times). Calcule uma medida de dependência entreas variáveis. O que você conclui?

Homicidios 258 264 402 253 111 648 288 654 256 60 590Populacao 4 6 9 6 3 29 15 38 20 6 81

4 - O número de horas (X) que 13 estudantes passam estudando para um teste e suasnotas (Y ) são mostrados na tabela abaixo. Calcule uma medida de dependência entreas variáveis. O que você conclui? Explique.

X 0 1 2 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8Y 40 41 51 48 64 69 73 75 68 93 84 90 95

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Curso Probabilidade e Estatistica