Curso Variaveis Complexas

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Curso de Variaveis complexas

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  • Centro de Cincias e Tecnologia - CCTUnidade Acadmica de Matemtica e Estatstica -

    UAME

    Variveis Complexas

    Prof.: Diogo de Santana Germano

  • Sumrio

    1 Nmeros Complexos 6

    1.1 Somas e produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Propriedades algbricas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3.1 Exerccios Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4 Mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.5 Conjugado Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.6.1 Exerccios Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.7 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.8 Produtos e quocientes na forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.9.1 Exerccios Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.10 Razes de nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.11 Regies no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.12.1 Exerccios Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2 Funes Analticas 32

    2.1 Funes de uma varivel complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.4 Limites envolvendo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.7 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.8 Frmulas de diferenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.9 Equaes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2

  • 2.10 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.12 Funes analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.13 Funes harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.14 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 Funes Elementares 61

    3.1 A funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.2 A funo logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3.3 Ramos e derivadas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.4 Algumas identidades envolvendo logartmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.5 Expoentes complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.6 Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.7 Funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.8 Funes trigonomtrica e hiperblica inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4 Integrais 77

    4.1 Derivadas de funes w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.2 Integrais definidas de funes w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.3 Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.4 Integrais Curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.5 Limitao superior para o mdulo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.6.1 Exerccios Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.7 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.8 O Teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.9 Frmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    4.10 Derivadas de funes analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4.11 Aplicaes da Frmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    4.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5 Sries 109

    5.1 Convergncia de seqncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.2 Convergncia de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.3 Convergncia absoluta e condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.4 Sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    3

  • 5.5 Sries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    5.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    5.7 Sries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5.8 Continuidade de uma srie de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    5.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    5.10 Integrao e diferenciao de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    5.11 Unicidade da representao de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    5.12 Multiplicao e diviso de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    5.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6 Resduos e Polos 136

    6.1 Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    6.2 Teorema dos Resduos de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    6.3 Tipos de pontos singulares isolados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.4 Resduos em polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    6.5 Zeros de funes analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.6 Zeros e Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    6.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    6.8 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.8.1 Integrais reais imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.8.2 Integrais imprprias envolvendo funes trigonomtricas . . . . . . 157

    6.8.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    6.8.4 Integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    6.8.5 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    7 Decomposio de Funes 165

    7.1 Decomposio em Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    7.2 Produtos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    7.2.1 Propriedades dos Produtos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    7.2.2 Propriedades dos Produtos Infinitos de Funes . . . . . . . . . . . 171

    7.3 O Teorema da Fatorao de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    7.4 A Funo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    7.4.1 Propriedades da Funo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    7.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    4

  • 8 Transformaes Elementares 181

    8.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    8.2 Transformaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    8.3 A transformao w = 1/z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    8.4 Transformao linear fracionria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    8.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    9 Transformaes Conformes 198

    9.1 Transformao Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    9.2 Inversa Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    9.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    9.4 Transformaes de Funes Harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    9.5 Transformaes de Condies de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    9.6 Potencial Eletrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

    9.7 O Potencial em um espao cilndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    A Tabela de Transformaes Elementares 217

    Referncias Bibliogrficas 228

  • Captulo 1

    Nmeros Complexos

    1.1 Somas e produtos

    Definio 1.1 (Nmero complexo como par ordenado) Um nmero complexo um par ordenado (x, y), com x, y R, que identificado com um ponto ou vetor noplano que aqui ser chamado de plano complexo ou z-plano.

    Quando os nmeros reais x so representados pelo pelo par (x, 0) no eixo real, torna-se evidente que o conjunto dos nmeros complexos, denotado por C, incluem os nmerosreais como subconjunto. Nmeros complexos da forma (0, y) correspondem a pontos noeixo y e so chamados nmeros imaginrios puros. O eixo y chamado eixo imaginrio.

    Utilizaremos a seguinte notao para nmeros complexos:

    z = (x, y), x, y R. (1.1)

    Os nmeros x e y so conhecidos como parte real e imaginria de z, respectivamente;escrevemos

    Re z = x, Im z = y. (1.2)

    Definio 1.2 (Igualdade) Dois nmeros complexos z1 = (x1, x2) e z2 = (x2, y2) soiguais quando x1 = x2 e y1 = y2, ou seja, as partes reais e imaginrias coincidem.

    Assim, z1 e z2 representam o mesmo ponto no plano complexo.

    Definio 1.3 (Soma e Produto) A soma z1 + z2 e o produto z1z2 so definidos daseguinte forma:

    z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); (1.3)

    z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 y1y2, y1x2 + x1y2). (1.4)

    As operaes (1.3) e (1.4) so as operaes usuais de adio e multiplicao quando nosrestringimos aos nmeros reias:

    (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

    (x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).

    6

  • Figura 1.

    Qualquer z = (x, y) pode ser escrito como z = (x, 0) +(0, y) e, fcil ver, que (0, 1)(y, 0) = (0, y). Ento

    z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)

    e, se escrevemos (x, 0) como x e denotamos (0, 1) por i (vejaFigura 1), temos a seguinte definio:

    Definio 1.4 (Nmero complexo com a unidade imaginria)Um nmero complexo qualquer nmero da forma

    z = x+ iy. (1.5)

    onde x, y R e i a unidade imaginria.

    Com a convenso z2 = zz, z3 = zz2, etc., encontramos

    i2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0)

    oui2 = 1. (1.6)

    Por (1.5), definimos (1.3) e (1.4) por

    (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.7)

    (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i(y1x2 + x1y2). (1.8)Observe que o lado direito da equao (1.8) pode ser obtido multiplicando os termos dolado esquerdo como se fossem nmeros reais e substituindo i2 por 1.

    1.2 Propriedades algbricas bsicas

    As familiares leis comutativas, associativas e distributivas so vlidas para nmeroscomplexos e so de fcil verificao.

    1. Leis comutativas: z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1;

    2. Leis associativas: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3);

    3. Lei distributiva: z(z1 + z2) = zz1 + zz2.

    Definio 1.5 (Elementos neutros) Os nmeros complexos 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) soos elementos neutros da adio e multiplicao, isto ,

    z + 0 = z e z 1 = z

    para todo nmero complexo z.

    7

  • Definio 1.6 (Inverso aditivo) O inverso aditivo do complexo z = (x, y) o nmeroz = (x,y), ou seja, satisfaz a equao

    z + (z) = 0.

    Existe um nico inverso aditivo para cada z complexo, pois

    (x, y) + (u, v) = (0, 0) u = x e v = y.

    O inverso aditivo pode ser escrito como z = x iy, pois (iy) = (i)y = i(y)(Verifique!) e utilizado para definir a subtrao

    z1 z2 = z1 + (z2).

    Assim, se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) ento

    z1 z2 = (x1 x2, y1 y2) = (x1 x2) + i(y1 y2).

    Para qualquer nmero complexo no nulo z = (x, y), existe um nmero z1 tal quezz1 = 1 chamado de inverso multiplicativo. Para encontr-lo, consideramos dois nmerosreais u e v tais que

    (x, y)(u, v) = (1, 0).

    De acordo com a definio de multiplicao de nmeros complexos, u e v devem satisfazeras esquaes lineares {

    xu yv = 1yu+ xv = 0

    .

    Resolvendo o sistema anterior para u e v encontramos

    u =x

    x2 + y2, v =

    yx2 + y2

    .

    Definio 1.7 (Inverso multiplicativo) O inverso multiplicativo do nmero complexono nulo z = (x, y) o nmero

    z1 =(

    x

    x2 + y2,y

    x2 + y2

    )z 6= 0. (1.9)

    O inverso z1 no definido quando z = 0. De fato, z = 0 implica x2 + y2 = 0, o que nopode acontecer na expresso anterior.

    A existncia do inverso multiplicativo nos permite mostrar que o produto z1z2 zerose, e somente se pelo menos um dos fatores z1 ou z2 for zero. De fato, suponha quez1z2 = 0 e z1 6= 0. O inverso z11 existe; ento,

    z2 = 1 z2 = (z11 z1)z2 = z11 (z1z2) = z11 0 = 0.

    isto , se z1z2 = 0 obtemos z1 = 0 ou z2 = 0; utilizando a definio de produto fcilconstatar a recproca.

    8

  • Definio 1.8 (Diviso) A diviso de nmeros complexos definida da seguinte forma:

    z1z2

    = z1z12 , z2 6= 0. (1.10)

    Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), a equao (1.10) e a expresso (1.9) nos dizem que

    z1z2

    = (x1, y1)

    (x2

    x22 + y22

    ,y2

    x22 + y22

    )=

    (x1x2 + y1y2x22 + y

    22

    ,y1x2 x1y2x22 + y

    22

    )ou seja,

    z1z2

    =x1x2 + y1y2x22 + y

    22

    + iy1x2 x1y2x22 + y

    22

    , z2 6= 0.

    Como a expresso anterior no fcil de memorizar, podemos obt-la escrevendo

    z1z2

    =(x1 + iy1)(x2 iy2)(x2 + iy2)(x2 iy2) . (1.11)

    Mais adiante apresentaremos a motiviao para a equao (1.11).

    Existem algumas identidades esperadas envolvendo quocientes, como a relao

    1

    z2= z12 , z2 6= 0,

    que a equao (1.10) com z1 = 1. Esta ltima identidade pode, por exemplo, serutilizada para escrever a equao (1.10) na forma

    z1z2

    = z1

    (1

    z2

    ), z2 6= 0.

    Podemos tambm observar que

    (z1z2)(z11 z

    12 ) = (z1z

    11 )(z2z

    12 ) = 1, z1, z2 6= 0

    e ento que (z1z2)1 = z11 z12 , donde segue que

    1

    z1z2= (z1z2)

    1 = z11 z12 =

    (1

    z1

    )(1

    z2

    ), z1, z2 6= 0.

    ez1z2z3z4

    =

    (z1z3

    )(z2z4

    ), z3, z4 6= 0.

    Exemplo 1.1 Podemos agora justificar os seguintes clculos:(1

    2 3i)(

    1

    1 + i

    )=

    1

    (2 3i)(1 + i) =1

    5 i 5 + i

    5 + i=

    5 + i

    (5 i)(5 + i)=

    5 + i

    26=

    5

    26+

    i

    26=

    5

    26+

    1

    26i.

    9

  • Finalmente, observamos que a frmula binomial envolvendo nmeros reais continuavalendo para nmeros complexos. Isto , se z1 e z2 so dois nmeros complexos,

    (z1 + z2)n =

    nk=0

    (nk

    )znk1 z

    k2 , n = 1, 2, . . .

    onde (nk

    )=

    n!

    k!(n k)! , k = 0, 1, 2, . . . , n

    com a convenso de que 0! = 1. A prova por induo matemtica e fica a cargo doleitor.

    1.3 Exerccios

    1. Verifique que

    (a) (

    2 i) i(12i) = 2i; (b) (2,3)(2, 1) = (1, 8);

    (c) (3, 1)(3,1)(

    1

    5,

    1

    10

    )= (2, 1).

    2. Mostre que

    (a) Re(iz) = Im z; (b) Im(iz) = Re z; (c) Im [(1 + i)z] = Re(z) +Im(z)

    3. Determine as seguintes potncias de i.

    (a) i8 Resp.: 1

    (b) i11 Resp.: i(c) i42 Resp.: 1(d) i105 Resp.: i

    4. Verifique que cada um dos nmeros z = 1 i satisfazem a equao z2 2z + 2 = 0.5. Resolva a equao z2 + z + 1 = 0 para z = (x, y) escrevendo

    (x, y)(x, y) + (x, y) + (1, 0) = (0, 0)

    e, em seguida, resolvendo um par de equaes simultneas em x e y.

    Resposta: z =

    (1

    2,

    3

    2

    ).

    6. Simplifique as expresses at obter um nmero complexo.

    (a)1 + 2i

    3 4i +2 i

    5i; (b)

    5i

    (1 i)(2 i)(3 i) ; (c) (1 i)4.

    Resposta: (a) 2/5; (b) 1/2; (c) 4.

    10

  • 7. Resolva o seguinte sistema para as incgnitas z1, z2 C:{iz1 iz2 = 2 + 10iz1 + (1 i)z2 = 3 5i

    Resposta: z1 = 17 + 11i, z2 = 7 + 13i.

    1.3.1 Exerccios Tericos

    1. Mostre, usando a definio de produto para par ordenado, a igualdade (1 + z)2 =1 + 2z + z2.

    2. Mostre quez(z1 + z2 + z3) = zz1 + zz2 + zz3.

    3. (a) Escreva (x, y) + (u, v) = (x, y) e mostre que o nmero complexo 0 = (0, 0) nico como o elemento identidade da adio;

    (b) Da mesma forma, escreva (x, y)(u, v) = (x, y) e mostre que o nmero 1 = (1, 0) nico como o elemento identidade da multiplicao.

    4. Mostre que1

    1/z= z (z 6= 0).

    5. Prove que se z1z2z3 = 0, ento pelo menos um dos trs fatores nulo.

    6. Use 1 = (1, 0) e z = (x, y) para mostrar que (1)z = z.7. Use i = (0, 1) e y = (y, 0) para verificar que (iy) = (i)y. Ento, mostre

    que o inverso aditivo de um nmero complexo z = x + iy pode ser escrito comoz = x iy sem ambiguidade.

    8. Use as identidadesz1z2

    = z1

    (1

    z2

    )(z2 6= 0)

    e (1

    z1

    )(1

    z2

    )= z11 z

    12 = (z1z2)

    1 =1

    z1z2(z1 6= 0, z2 6= 0)

    para provar a igualdade(z1z3

    )(z2z4

    )=z1z2z3z4

    (z3 6= 0, z4 6= 0).

    9. Use a identidade provada no exerccio anterior para mostrar a lei do cancelamento

    z1z

    z2z=z1z2

    (z2 6= 0, z 6= 0).

    11

  • 1.4 Mdulo

    natural associar qualquer nmero complexo no nulo, z = x + iy, com um vetorpartindo da origem at o ponto (x, y) que o representa no plano complexo. Na verdade,nos referimos a z como o ponto z ou vetor z. Na figura 2 os nmeros z = x+ iy e 2 + iesto representados geometricamente como pontos e vetores.

    Figura 2.

    Segundo a definio da soma de dois nmeros complexos, o complexo z1 + z2 podeser obtido vetorialmente como mostrado na figura 3. A diferena z1 z2 = z1 + (z2)corresponde soma dos vetores para z1 e z2 (Figura 4).

    Figura 3 Figura 4

    evidente que o produto de nmeros complexos z1z2 um ponto do plano (ou vetor)que no nem o produto escalar, nem o produto vetorial utilizado na anlise de um vetorcomum.

    A interpretao do vetor de nmeros complexos especialmente til para estender oconceito de mdulos dos nmeros reais para o plano complexo.

    Definio 1.9 (Mdulo) O mdulo, ou valor absoluto, de um nmero complexo z =x+ iy definido como o nmero real no negativo

    x2 + y2 e denotado por |z|; isto ,

    |z| =x2 + y2. (1.12)

    Geometricamente, o nmero |z| a distncia entre o ponto (x, y) e a origem, ou ocomprimento do vetor que representa z. Este se reduz para o valor absoluto usual nosistema dos nmeros reais quando y = 0. Note que, enquanto a desigualdade zl < z2 notem sentido a menos que zl e z2 sejam reais, a expresso |z1| < |z2| significa que o pontozl est mais prximo da origem do que o ponto z2.

    12

  • Exemplo 1.2 Desde que | 3 + 2i| = 13 e |1 + 4i| = 17, o ponto 3 + 2i est maisperto da origem do que o ponto 1 + 4i.

    Definio 1.10 (Distncia entre dois pontos) A distncia entre dois pontos z1 =x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 |z1 z2|.

    A definio anterior est justificada na figura 4, pois zl z2 o comprimento do vetorque representa zl z2. A diferena zl z2 pode ser interpretada como o segmento ligandoo ponto (x2, y2) a o ponto (xl, yl). Como

    z1 z2 = (x1 x2) + i(y1 y2)

    a definio de mdulo nos fornece

    |z1 z2| =

    (x1 x2)2 + (y1 y2)2.

    Assim, os nmeros complexos z correspondentes aos pontos sobre o crculo com centroz0 e raio R satisfazem a equao |z z0| = R, e vice-versa. Logo, nos referiremos a esteconjunto de pontos simplesmento como o crculo |z z0| = R.

    Exemplo 1.3 A equao |z 1 + 3i| = 2 representa o crculo centrado no pontoz0 = (1,3) e com raio R = 2.

    Decorre tambm da definio (1.12) que os nmeros reais |z|, Re z = x e Im z = yesto relacionados pela equao

    |z|2 = (Re z)2 + (Im z)2. (1.13)

    EntoRe z |Re z| |z| e Im z | Im z| |z|. (1.14)

    Voltamo-nos agora para a desigualdade triangular, que fornece um limite superior parao mdulo da soma de dois nmeros complexos zl e z2:

    |z1 + z2| |z1|+ |z2|. (1.15)

    Essa importante desigualdade geometricamente percebida na figura 3, pois ela declaraque o comprimento de um lado de um tringulo menor ou igual soma dos comprimentosdos outros dois lados. Tambm podemos ver na Figura 3 que a desigualdade (1.15) naverdade uma igualdade quando 0, zl e z2 so colineares.

    Uma conseqncia imediata da desigualdade triangular o fato de que

    |z1 + z2| ||z1| |z2|| . (1.16)

    Para justificar a inequao anterior escrevemos

    |z1| = |(z1 + z2) + (z2)| |z1 + z2|+ | z2|,

    13

  • isto ,|z1 + z2| |z1| |z2|.

    Esta a inequao (1.16) quando |z1| |z2|. Se |z1| < |z2|, basta trocar z1 e z2 nadesigualdade anterior para obter

    |z1 + z2| (|z1| |z2|),

    e assim, chegamos ao resultado desejado. A desigualdade (1.16) nos diz, claro, queo comprimento de um lado de um tringulo maior ou igual do que a diferena doscomprimentos dos outros dois lados.

    Como | z2| = |z2|, podemos substituir z2 por z2 nas desigualdades (1.15) e (1.16)para escrever as formas particularmente teis:

    |z1 z2| |z1|+ |z2|,

    |z1 z2| ||z1| |z2|| .

    Exemplo 1.4 Se um ponto z est sobre o crculo unitrio |z| = 1 centrado na origem,ento

    |z 2| |z|+ 2 = 3

    e|z 2| ||z| 2| = 1.

    A desigualdade triangular pode ser generalizada por induo matemtica para somasenvolvendo um nmero finito de termos:

    |z1 + z2 + + zn| |z1|+ |z2|+ + |zn|, n = 2, 3, . . . .

    De fato, quando n = 2, a desigualdade anterior apenas a desigualdade (1.15). Almdisso, se a desigualdade anterior vlida quando n = m, ela tambm verdadeira quandon = m+ 1, pois

    |(z1 + z2 + + zm) + zm+1| |z1 + z2 + + zm|+ |zm+1| (|z1|+ |z2|+ + |zm|) + |zm+1|.

    1.5 Conjugado Complexo

    Definio 1.11 (Conjugado complexo) O conjugado complexo, ou simplesmenteconjugado, do nmero complexo z = x+ iy definido da seguinte forma:

    z = x iy. (1.17)

    14

  • Figura 5.

    O conjugado complexo representado pelo ponto (x,y),que a reflexo em torno do eixo real do ponto (x, y)representado na figura 5. Note que

    z = z e |z| = |z|

    para todo z.

    Temos as seguintes propriedades para o conjugadocomplexo:

    1. O conjugado da soma a soma dos conjugados:

    z1 + z2 = z1 + z2.

    De fato, se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, ento

    z1 + z2 = (x1 + x2) i(y1 + y2) = (x1 iy1) + (x2 iy2) = z1 + z2.

    2. Da mesma maneira, fcil mostrar que

    z1 z2 = z1 z2,

    3. z1z2 = z1 z2

    4.(z1z2

    )=z1z2, z2 6= 0.

    5. Re z =z + z

    2, Im z =

    z z2i

    .

    Com efeito, a soma z + z de um nmero complexo z = x + iy e seu conjugadoz = x iy o nmero real 2x, e a diferena z z o nmero imaginrio puro 2iy.Da segue o resultado.

    6. Uma identidade importante relacionada ao conjugado de um nmero complexoz = x+ iy para seu mdulo

    zz = |z|2, (1.18)onde cada lado igual a x2 + y2.

    Obs. 1.1 (Mtodo para determinar quocientes) A equao (1.18) sugere o mtodopara determinar um quociente de nmeros complexos z1/z2; basta multiplicar o numeradore o denominador de z1/z2 por z2, de modo que o denominador torna-se o nmero real |z2|2.

    Exemplo 1.5 Como ilustrao

    1 + 3i2 i =

    (1 + 3i)(2 + i)(2 i)(2 + i) =

    5 + 5i|2 i|2 =

    5 + 5i5

    = 1 + i.

    15

  • A identidade (1.18) especialmente til na obteno de propriedades de mdulo. Porexemplo,

    |z1z2| = |z1||z2| (1.19)e z1z2

    = |z1||z2| , z2 6= 0. (1.20)A propriedade (1.19) segue diretamente de (1.18), como segue

    |z1z2|2 = (z1z2)(z1z2) = (z1z2)(z1 z2) = (z1z1)(z2z2) = |z1|2|z2|2 = (|z1||z2|)2.

    A propriedade (1.20) pode ser verificada utilizando (1.19).

    Exemplo 1.6 A propriedade (1.19) nos diz que |z2| = |z|2 e |z3| = |z|3. Ento se z um ponto dentro do crculo centrado na origem com raio 2, |z| < 2, segue da formageneralizada da desigualdade triangular

    |z3 + 3z2 2z + 1| |z|3 + 3|z|2 + 2|z|+ 1 < 25.

    1.6 Exerccios

    1. Escreva os nmeros na forma x+ iy.

    (a) 3i+1

    2 i Resp.:2

    5+ i

    16

    5

    (b)(3 i)(2 + 3i)

    1 + iResp.: 8 i

    (c)(5 4i) (3 + 7i)(4 + 2i) + (2 3i) Resp.:

    23

    37 i64

    37

    (d) (2 + 3i)(

    2 i1 + 2i

    )2Resp.: 2 3i

    2. Represente geometricamente como vetores os nmeros z1 + z2 e z1 z2 quando(a) z1 = 2i, z2 =

    2

    3 i (b) z1 = (

    3, 1), z2 = (

    3, 0)

    (c) z1 = (3, 1), z2 = (1, 4) (d) z1 = x1 + iy1, z2 = x1 iy13. Mostre que, quando |z3| 6= |z4|,

    Re(z1 + z2)

    |z3 + z4| |z1|+ |z2|||z3| |z4|| .

    4. Verifique que

    2|z| |Re z| + | Im z|. Sugesto: Reduza esta inequao para(|x| |y|)2 0.

    5. Use a definio 1.2 para resolver cada equao para z = x+ iy.

    (a) 2z = i(2 + 9i); (b) z + 2z =2 i1 + 3i

    .

    Resposta: (a) z = 9/2 + i; (b) z = 1/30 + 7/10i.

    16

  • 6. Calcule:

    (a) Re(

    1

    2 + i

    )(b) Im

    (2 + i

    3 + 4i

    )(c)

    1 + 4i4 + i (d) Im( 1z2

    )7. Em cada caso, esboce o conjunto dos pontos determinado pelas condies dadas.

    (a) |z 1 + i| = 1 (b) |z + i| 3 (c) |z 4i| 4(d) Re(z i) = 2 (e) |2z + i| = 4

    8. Usando o fato de que |z1z2| a distncia entre os pontos z1 e z2 d um argumentogeomtrico para

    (a) |z 4i|+ |z + 4i| = 10 representar uma elipse cujos focos so (0,4);(b) |z 1| = |z + i| representar uma reta que passa pela origem cuja inclinao 1.

    9. Use as propriedades do conjugado e do mdulo para mostrar que(a) z + 3i = z 3i (b) iz = iz(c) (2 + i)2 = 3 4i (d) |(2z + 5)(2 i)| = 3|2z + 5|

    10. Mostre que|Re(2 + z + z3)| 4, quando |z| 1.

    11. Fatorando z44z2 +3 em fatores quadrados e usando uma desigualdade apropriadamostre que, se z pertence ao crculo |z| = 2, ento 1z4 4z2 + 3

    13 .12. Mostre que

    (a) z real se, e somente se z = z;

    (b) z apenas real ou imaginrio puro se, e somente se z2 = z2.

    13. Usando as expresses

    Re z =z + z

    2, Im z =

    z z2i

    .

    mostre que a hiprbole x2 y2 = 1 pode ser escrita comoz2 + z2 = 2.

    1.6.1 Exerccios Tericos

    1. Mostre que

    (a) z1z2z3 = z1z2z3; (b) z4 = z4.

    2. Mostre que, quando z2 e z3 so no nulos, ento

    (a)(z1z2z3

    )=

    z1z2 z3

    ; (b) z1z2z3

    = |z1||z2||z3| .17

  • 3. Sejam a0, a1, . . ., an (n 1) denotando nmeros reais, e seja z um nmero complexoqualquer. Mostre que

    a0 + a1z + a2z2 + + anzn = a0 + a1z + a2z2 + + anzn.

    4. Mostre que a equao |z z0| = R de um crculo, centrado em z0 com raio R, podeser escrita como

    |z|2 2 Re(zz0) + |z0|2 = R2.

    1.7 Forma exponencial

    Definio 1.12 (Forma polar) Sejam r e as coordenadas polares do ponto (x, y) aoqual corresponde o nmero complexo no nulo z = x + iy. Desde que x = r cos ey = r sen , o nmero z pode ser escrito na forma polar como

    z = r(cos + i sen ). (1.21)

    Se z = 0, a coordenada no est definida.

    Figura 6.

    Em anlise complexa, o nmero real r no pode sernegativo e representa o comprimento do vetor (raio) de z,isto , r = |z|. O nmero real representa o ngulo, medidoem radianos, que z faz com o eixo real positivo quando z interpretado como um vetor (Figura 6). Como no clculo, tem um nmero infinito de valores, incluindo os negativos,que diferem por mltiplos inteiros de 2pi. Esses valorespodem ser determinados a partir da equao tan = y/x,onde o quadrante que contm o ponto correspondendo a zdeve ser especificado.

    Definio 1.13 (Argumento) Cada valor de na definio 1.12 chamado de umargumento de z, e o conjunto de todos esses valores denotado por arg z. O valorprincipal de arg z, denotado por Arg z, o nico valor tal que pi < < pi. Noteque

    arg z = Arg z + 2npi, n = 0,1,2, . . . . (1.22)

    Obs. 1.2 (Argumento principal de um real negativo) Quando z um nmero realnegativo, Arg z tem valor pi e no pi.

    Exemplo 1.7 O nmero complexo 1 i, que se encontra no terceiro quadrante, temargumento principal 3pi/4. Isto ,

    Arg(1 i) = 3pi4.

    Deve ser enfatizado que, devido restrio pi < < pi do argumento principal, no verdade que Arg(1 i) = 5pi/4. De acordo com a equao (1.22),

    arg(1 i) = 3pi4

    + 2npi, n = 0,1,2, . . . .

    18

  • Note que o termo Arg z no lado direito da equao (1.22) pode ser substitudo por qualquervalor determinado de arg z e, assim, tambm podemos escrever,

    arg(1 i) = 5pi4

    + 2npi, n = 0,1,2, . . . .

    Definio 1.14 (Frmula de Euler) O smbolo ei, ou exp(i), definida por meio dafrmula de Euler como

    ei = cos + i sen , (1.23)

    onde deve ser medido em radianos.

    Definio 1.15 (Forma exponencial) A frmula de Euler nos permite escrever aforma polar (1.21) de maneira mais compacta na forma exponencial:

    z = rei. (1.24)

    Exemplo 1.8 O nmero 1 i do exemplo anterior tem a seguinte forma exponencial:

    1 i =

    2 exp

    [i

    (3pi

    4

    )].

    Como ei = ei(), podemos escrever tambm 1 i = 2ei3pi/4. As expressesanteriores so apenas uma dentre um nmero infinito de possibilidades para a formaexponencial de 1 i:

    1 i =

    2 exp

    [i

    (3pi

    4+ 2npi

    )]n = 0,1,2, . . . .

    Figura 7.

    Note que a expresso (1.24) com r = 1 nos diz que osnmeros ei esto sobre o crculo centrado na origem deraio unitrio, conforme mostra a figura 7. Por exemplo,geometricamente observamos que

    eipi = 1, eipi/2 = i e ei4pi = 1.

    Note, tambm, que a equao

    z = Rei, 0 2pi

    a representao paramtrica do crculo |z| = R, centrado na origem com raio R. Comoo parmetro aumenta de = 0 a = 2pi, o ponto z comea a partir do eixo realpositivo e atravessa o crculo uma vez no sentido anti-horrio. Mas, geralmente, o crculo|z z0| = R, cujo centro z0 e cujo raio R, tem a representao paramtrica

    z = z0 +Rei, 0 2pi.

    19

  • Figura 8.

    Isto pode ser visto geometricamente (Figura 8), observandoque um ponto z percorrendo o crculo |zz0| = R uma vez,no sentido anti-horrio, corresponde soma do vetor fixo z0com um vetor de comprimento R cujo ngulo de inclinaovaria de = 0 a 0 = 2pi.

    1.8 Produtos e quocientes na forma exponencial

    Da trigonometria decorre uma das propriedades da funo exponencial do clculo:

    ei1ei2 = (cos 1 + i sen 1)(cos 2 + i sen 2)

    = (cos 1 cos 2 sen 1 sen 2) + i(sen 1 cos 2 + cos 1 sen 2)= cos(1 + 2) + i sen(1 + 2) = e

    i(1+2).

    Proposio 1.1 (Produto) Sejam z1 = r1ei1 e z2 = r2ei2. O produto z1z2 tem formaexponencial

    z1z2 = r1r2ei1ei2 = r1r2e

    i(1+2). (1.25)

    Alm disso,z1z2

    =r1r2 e

    i1ei2

    ei2ei2=r1r2 e

    i(12)

    ei0=r1r2ei(12).

    e temos a seguinte proposio:

    Proposio 1.2 (Quociente) Sejam z1 = r1ei1 e z2 = r2ei2. O quocientez1z2

    tem

    forma exponencialz1z2

    =r1r2ei(12). (1.26)

    Obs. 1.3 (Inverso multiplicativo) Como 1 = 1ei0, segue da expresso anterior que oinverso de um nmero complexo qualquer no nulo z = rei

    z1 =1

    z=

    1

    rei.

    A expresso (1.25) nos fornece uma identidade importante envolvendo argumentos:

    arg(z1z2) = arg z1 + arg z2. (1.27)

    20

  • Figura 9.

    Para verificar a identidade anterior, considere 1 = arg z1e 2 = arg z2. A expresso (1.25) nos diz que 1 + 2 um valor de arg(z1z2) (Veja a Figura 9). Se, por outrolado, os valores de arg(z1z2) e argz1 so especificados, essesvalores correspondem a escolhas particulares de n e n1 nasexpresses

    arg(z1z2) = (1 + 2) + 2npi, n = 0,1,2, . . . ,

    earg z1 = 1 + 2n1pi n1 = 0,1,2, . . . .

    Desde que(1 + 2) + 2npi = (1 + 2n1pi) + [2 + 2(n n1)pi],

    a equao (1.27) evidentemente satisfeita quando

    arg z2 = 2 + 2(n n1)pi

    escolhido. A verificao quando os valores de arg(z1z2) e arg z2 so especificados seguede forma anloga.

    A expresso (1.27) s vezes vlida quando substituimos arg por Arg. Mas, tal fatonem sempre vlido, como veremos no exemplo que segue.

    Exemplo 1.9 Quando z1 = 1 e z2 = i,

    Arg(z1z2) = Arg(i) = pi2

    mas Arg z1 + Arg z2 = pi +pi

    2=

    3pi

    2.

    Se, no entanto, tomarmos os valores de arg z1 e arg z2 usados e selecionarmos o valor

    Arg(z1z2) + 2pi = pi2

    + 2pi =3pi

    2

    de arg(z1z2), a equao (1.27) satisfeita.

    A expresso (1.27) tambm nos diz que

    arg

    (z1z2

    )= arg(z1z

    12 ) = arg z1 + arg(z

    12 ),

    donde segue quearg(z12 ) = arg z2,

    pois z1 = 1/z = 1/rei = (1/r)ei. Ento

    arg

    (z1z2

    )= arg z1 arg z2. (1.28)

    21

  • Exemplo 1.10 A fim de encontrar o argumento principal Arg z quando

    z =2

    1 +

    3i,

    observamos quearg z = arg(2) arg(1 +

    3i).

    Desde queArg(2) = pi e Arg(1 +

    3i) =

    pi

    3,

    um valor de arg z 2pi/3; e, como 2pi/3 est entre pi e pi, encontramos Arg z = 2pi/3.

    Outro resultado importante que pode ser obtido formalmente atravs de z = rei

    zn = rnein, n = 0,1,2, . . . . (1.29)

    fcil verificar (1.29) por induo matemtica para valores positivos de n. Maisespecificamente, note primeiro que z = rei quando n = 1. Em seguida, suponha que(1.29) vlida quando n = m, onde m um inteiro positivo qualquer. Pelo produto entrenmeros complexos no nulos na forma exponencial, a afirmao torna-se verdadeira paran = m+ 1:

    zm+1 = zzm = reirmeim = rm+1ei(m+1).

    Assim, a expresso (1.29) verificada para todo inteiro positivo n; tambm vlidaquando n = 0, com a convenso z0 = 1. Se n = 1,2, . . ., definimos zn em termos doinverso multiplicativo de z, escrevendo

    zn = (z1)m quando m = n = 1, 2, . . . .

    Ento, j que a expresso (1.29) vlida para potncias inteiras positivas, decorre daforma exponencial para z1, que

    zn =

    [1

    rei()

    ]m=

    (1

    r

    )meim() =

    (1

    r

    )nei(n)() = rnein, n = 1,2, . . . .

    Portanto (1.29) fica estabelecida para todas as potncias inteiras.

    Observe que se r = 1, a expresso (1.29) torna-se

    (ei)n = ein, n = 0,1,2, . . . .

    Ento obtemos a forma

    (cos + i sen )n = cosn + i senn, n = 0,1,2, . . . ,

    que a conhecida frmula de Moivre.

    A expresso (1.29) pode ser til na busca de potncias de nmeros complexos.

    Exemplo 1.11 Vamos escrever (

    3 + i)7 em sua forma normal. Temos

    (

    3 + i)7 = (2eipi/6)7 = 27ei7pi/6 = (26eipi)(2eipi/6) = 64(

    3 + i).

    22

  • 1.9 Exerccios

    1.

    2. Represente no plano os nmeros complexos z, z + w, z w e w, sendo z = 2i ew = 3eipi3.

    3. Encontre o argumento principal Arg z quando

    (a) z =i

    2 2i ; (b) z = (

    3 i)6.Respostas: (a) 3pi/4; (b) pi.

    4. Mostre que (a) |ei| = 1; (b) ei = ei.5. Usando o fato de que o mdulo |ei 1| a distncia entre os pontos ei e 1, d um

    argumento geomtrico para encontrar um valor de no intervalo 0 2pi quesatisfaa a equao |ei 1| = 2.Resposta: pi.

    6. Escrevendo os fatores individualmente na sua forma exponencial, realizandoas operaes necessrias e, finalmente, mudando de volta para coordenadasretangulares, mostre que(a) i(13i)(3 + i) = 2(1 +3i); (b) 5i/(2 + i) = 1 + 2i;(c) (1 + i)7 = 8(1 + i); (d) (1 +3i)10 = 211(1 +3i).

    1.9.1 Exerccios Tericos

    1. Mostre que se Re z1 > 0 e Re z2 > 0, ento

    Arg(z1z2) = Arg z1 + Arg z2.

    2. Seja z um nmero complexo no nulo e n um inteiro negativo. Escreva z = rei em = n = 1, 2, . . .. Usando a expresso

    zm = rmeim e z1 =(

    1

    r

    )ei(),

    verifique que (zm)1 = (z1)m e ento a definio zn = (z1)m poder ser escrita deforma alternativa como zn = (zm)1.

    3. Mostre que

    1 + z + z2 + + zn = 1 zn+1

    1 z (z 6= 1).

    Em seguida, use este fato para provar a identidade trigonomtrica de Lagrange:

    1 + cos + cos 2 + + cosn = 12

    +sin[(2n+ 1)/2]

    2 sin(/2)(0 < < 2pi).

    Sugesto: Para a primeira identidade escreva S = 1 + z + z2 + + zn e considerea diferena S zS. Para a segunda, escreva z = ei e use a primeira.

    4. Use a frmula de Moivre para provar as seguintes identidades trigonomtricas:(a) cos 3 = cos3 3 cos sin2 ; (b) sin 3 = 3 cos2 sin sin3 .

    23

  • 1.10 Razes de nmeros complexos

    Figura 10.

    Considere um ponto z = rei, situado num crculocentrado na origem de raio r (Figura 10). Quando cresce,z se move ao longo do crculo no sentido anti-horrio. Emparticular, quando cresce at 2pi, chegamos a origem; eo mesmo ocorre quando decresce at 2pi. , portanto,evidente pela figura 10 a seguinte definio:

    Definio 1.16 (Igualdade na forma exponencial)Dois nmeros complexos no-nulos z1 = r1ei1 e z2 = r2ei2so iguais quando

    r1 = r2 e 1 = 2 + 2kpi

    onde k algum inteiro k = 0,1,2, . . ..

    A ltima definio, juntamente com a expresso zn = rnein so bastante teis paraencontrar as razes n-simas de um nmero complexo no nulo z0 = r0ei0 arbitrrio, onden assume os valores n = 2, 3, . . ..

    Definio 1.17 (Raz n-sima) Uma raz n-sima de um nmero complexo no nuloz0 tambm um nmero complexo no-nulo z tal que zn = z0. Denotaremos o conjuntodos nmeros z que satisfazem a equao zn = z0 por (z0)1/n.

    Proposio 1.3 Seja z0 = r0ei0 um nmero complexo no nulo dado. Ento, as razesn-simas de z0 so dadas por

    (z0)1/n = ck = n

    r0 exp

    [i

    (0n

    +2kpi

    n

    )]= nr0e

    i( 0n +2kpin ), k = 0, 1, 2, . . . , n 1 (1.30)

    Demonstrao: J sabemos que uma raz n-sima de z0 um nmero no-nulo z = reital que zn = z0, ou

    rnein = r0ei0 .

    Logo,rn = r0 e n = 0 + 2kpi,

    onde k um inteiro qualquer (k = 0,1,2, . . .). Assim, r = nr0, onde este radicaldenota a nica raz n-sima positiva do nmero real r0,

    =0 + 2kpi

    n=0n

    +2kpi

    n, k = 0,1,2, . . . .

    Consequentemente, os nmeros complexos

    z = nr0 exp

    [i

    (0n

    +2kpi

    n

    )], k = 0,1,2, . . .

    24

  • Figura 11.

    so as razes n-simas de z0. Notamos que todas estasrazes esto sobre o crculo |z| = nr0 centrado na origem eesto, cada uma, igualmente espaadas por 2pi/n radianos,comeando com o argumento 0/n. Todas as razes distintasso obtidas quando k = 0, 1, 2, . . . , n 1 e nenhuma novaraz surge com outros valores de k. Usaremos a notao ck(k = 0, 1, 2, . . . , n 1) para denotar estas razes distintas eescrevemos (veja figura 11)

    ck = nr0 exp

    [i

    (0n

    +2kpi

    n

    )], k = 0, 1, 2, . . . , n 1

    Obs. 1.4 (Interpretao Geomtrica das razes n-simas) O nmero nr0 o

    comprimento de cada um dos vetores que representam o raio das n razes. A primeira razc0 possui argumento 0/n; e as duas razes quando n = 2 esto nas extremidades opostasde um dimetro do crculo |z| = nr0, com a segunda raz sendo c0. Quando n 3, asrazes esto nos vtices de um polgono regular de n lados inscrito no crculo.

    Definio 1.18 (Raz Principal) Quando o valor de 0 que usado na expresso (1.30) o valor principal do arg z0 (pi < 0 pi), o nmero c0 chamado de raz principal.

    Se, em particular, z0 for um nmero real positivo r0, o smbolo r1/n0 denotar o conjunto

    de todas as razes; e o smbolo nr0 na expresso (1.30) a raz positiva. Ento, quando

    z0 um nmero real positivo r0, sua raz principal nr0.

    Finalmente, uma forma conveniente para lembrar a expresso (1.30) escrever z0 nasua forma exponencial mais geral,

    z0 = r0ei(0+2kpi), k = 0,1,2, . . . (1.31)

    e formalmente aplicar as leis dos expoentes fracionrios envolvendo nmeros reais, tendoem mente que existem precisamente n razes:

    z1/n0 =

    [r0e

    i(0+2kpi)]1/n

    = nr0 exp

    [i(0 + 2kpi)

    n

    ]= nr0 exp

    [i

    (0n

    +2kpi

    n

    )], k = 0, 1, 2, . . . , n 1.

    Exemplo 1.12 A fim de determinar as razes n-simas da unidade, escrevemos

    1 = 1 exp [i(0 + 2kpi)] , k = 0,1,2, . . .

    e encontramos

    11/n =n

    1 exp

    [i

    (0

    n+

    2kpi

    n

    )]= exp

    (i2kpi

    n

    ), k = 0, 1, 2, . . . , n 1. (1.32)

    Quando n = 2, estas razes so, de fato, 1. Quando n 3, o polgono regular (as razesesto nos vrtices) inscrito no crculo unitrio |z| = 1, com um vrtice correspondentepara a raz principal z = 1 (k = 0).

    25

  • Se escrevemosn = exp

    (i2pi

    n

    )ento

    kn = exp

    (i2kpi

    n

    ), k = 0, 1, 2, . . . , n 1.

    Da, as razes n-simas distintas da unidade so simplesmente

    1, n, 2n, . . . ,

    n1n .

    Veja a figura 12, onde os casos n = 3, 4 e 6 so ilustrados.

    Figura 12.

    Note que nn = 1. Finalmente, observamos que se c qualquer raz n-sima particular deum nmero complexo no nulo z0, o conjunto das razes n-simas pode ser posto na forma

    c, cn, c2n, . . . , c

    n1n .

    Isto ocorre porque a multiplicao de qualquer nmero complexo diferente de zero por naumenta o argumento do nmero em 2pi/n, deixando seu mdulo inauterado.

    Exemplo 1.13 Vamos encontrar todos os valores de (8i)1/3, ou as trs razes cbicasde 8i.

    Figura 13.

    Primeiro precisamos escrever

    8i = 8 exp[i(pi

    2+ 2kpi

    )], k = 0,1,2, . . .

    para ver que as razes so

    ck = 2 exp

    [i

    (pi

    6+

    2kpi

    3

    )], k = 0, 1, 2.

    Elas situam-se nos vrtices de um tringulo equiltero,inscrito no crculo |z| = 2, e so igualmente espaadas emtorno desse crculo por 2pi/3 radianos, comeando com a raz principal (Figura 13).

    c0 = 2 exp[i(pi

    6

    )]= 2

    (cos

    pi

    6 i sen pi

    6

    )=

    3 i.

    26

  • evidente que c1 = 2i, e, desde que c2 simtrico a c0, em relao ao eixo imaginrio,concluimos que c2 =

    3 i.

    Estas razes podem ainda serem escritas como

    c0, c03, c023, onde 3 = exp

    (i2pi

    3

    ).

    Exemplo 1.14 Os dois valores ck (k = 0, 1) de (

    3 + i)1/2, que so as razes quadradasde

    3 + i, so encotradas escrevendo

    3 + i = 2 exp[i(pi

    6+ 2kpi

    )], k = 0,1,2, . . .

    Figura 14.

    e (veja figura 14)

    ck =

    2 exp[i( pi

    12+ kpi

    )], k = 0, 1.

    A frmula de Euler nos diz que

    c0 =

    2 exp(ipi

    12

    )=

    2(

    cospi

    12+ i sen

    pi

    12

    ),

    e as identidades trigonomtricas

    cos2(

    2

    )=

    1 + cos

    2, sen2

    (2

    )=

    1 cos2

    nos permitem escrever

    cos2pi

    12=

    1

    2

    (1 + cos

    pi

    6

    )=

    1

    2

    (1 +

    3

    2

    )=

    2 +

    3

    4,

    sen2pi

    12=

    1

    2

    (1 cos pi

    6

    )=

    1

    2

    (1

    3

    2

    )=

    234

    ,

    Consequentemente,

    c0 =

    2

    2 +34

    + i

    23

    4

    = 12

    (2 +

    3 + i

    2

    3

    ).

    Desde que c1 = c0, as duas razes quadradas de

    3 + i, so

    12

    (2 +

    3 + i

    2

    3

    ).

    1.11 Regies no plano complexo

    27

  • Figura 15.

    Nesta seo, estudaremos conjuntos de nmeroscomplexos e propriedade de aproximao entre pontosno plano z.

    Definio 1.19 (Vizinhanas) Uma -vizinhana

    |z z0| < (1.33)

    de um determinado ponto z0 o conjunto formado portodos os pontos z que esto no interior de um crculocentrado em z0 e com raio > 0 (Figura 15). Quando o valor de irrelevantena discusso, o conjunto (1.33) muitas vezes referido apenas como vizinhana.Ocasionalmente, conveniente falar da vizinhana excluda

    0 < |z z0| <

    consistindo de todos os pontos z na -vizinhana de z0 excluindo o ponto z0.

    Definio 1.20 (Disco e anel) O conjunto dos pontos z que satisfazem a desigualdade

    |z z0|

    chamado de disco de raio centrado em z0. Se 0 < 1 < 2, o conjunto de pontossatisfazendo as desigualdades

    1 |z z0| 2anel circular centrado em z0.

    Definio 1.21 (Pontos interior, exterior, de fronteira e de acumulao)Um ponto z0 um ponto interior de um conjunto S, quando existe uma vizinhana dez0 inteiramente contida em S; z0 chamado ponto exterior de S quando existe umavizinhana do mesmo que no contm ponto algum de S. Se z0 no ponto interior nemexterior, ou seja, se toda vizinhana de z0 contiver pontos que esto em S e fora de S aomesmo tempo, este ponto dito um ponto de fronteira de S. Um ponto z0 chamadoponto de acumulao de um conjunto S, se cada vizinhana excluda de z0 contm pelomenos um ponto de S.

    O conjuntos de todos os pontos de fronteira de S chamado fronteira de S. O crculo|z| = 1, por exemplo, a fronteira dos conjuntos

    |z| < 1 e |z| 1.

    Evidentemente, um ponto z0 no um ponto de acumulao de um conjunto S, sempreque existe alguma vizinhana excluda de z0 que no contm pontos de S. Note que aorigem ponto de acumulao apenas do conjunto z = i/n (n = 1, 2, . . .).

    Definio 1.22 (Conjuntos aberto e fechado) Um conjunto S aberto se todos osseus pontos so pontos interiores. Um conjunto fechado se contm todos os pontos desua fronteira, e o fecho de um conjunto S o conjunto fechado constitudo de todos ospontos de S, juntamente com sua fronteira.

    28

  • Note que o conjunto |z| < 1 aberto e |z| 1 o seu fecho.Alguns conjuntos no so nem abertos nem fechados. Para um conjunto no ser aberto,

    deve existir um ponto de fronteira que est contido no conjunto, e para um conjunto noser fechado, basta existir um ponto de fronteira que no pertence ao conjunto. Observeque o disco perfurado 0 < |z| 1 no nem aberto nem fechado. O conjunto de todos osnmeros complexos , por outro lado, aberto e fechado, uma vez que no possui pontosde fronteira.

    Se um conjunto S fechado, ento ele contm cada um dos seus pontos de acumulao.Se um ponto de acumulao z0 no estivesse em em S, seria um ponto de fronteira de S, oque contradiz o fato de que um conjunto fechado contm todos os pontos de sua fronteira. deixado como exerccio mostrar que o inverso verdade. Assim, um conjunto fechadose, e somente se ele contm todos os seus pontos de acumulao.

    Definio 1.23 (Conjunto conexo) Um conjunto aberto S conexo se cada par depontos z1 e z2 podem ser unidos por uma linha poligonal, composta por um nmero finitode segmentos de reta, inteiramente contida S.

    Figura 16.

    O conjunto aberto |z| < 1 conexo. O anel1 < |z| < 2 aberto e conexo (veja figura 16).

    Definio 1.24 (Domnios e regies) Umconjunto aberto e conexo chamado de domnio. Umdomnio juntamente com alguns, nenhum ou todos osseus pontos de fronteira chamado de regio.

    Note que qualquer vizinhana um domnio.

    Definio 1.25 (Conjunto limitado)Um conjunto S limitado se todos os pontos de Sesto dentro de um crculo |z| = R; caso contrrio ele dito ilimitado.

    Ambos os conjuntos |z| < 1 e |z| 1 so regies limitadas, e o meio plano Re z 0 ilimitado.

    1.12 Exerccios

    1. Encontre as razes quadradas de (a) 2i; (b) 13i e expresse elas em coordenadasretangulares.

    Respostas: (a) (1 + i); (b)

    3 i2

    .

    2. Em cada caso, encontre todas as razes em coordenadas retangulares, exiba elascomo vrtices de um quadrado e diga quem a raz principal.

    (a) (16)1/4; (b) (8 83i)1/4.Respostas: (a) 2(1 + i), 2(1 i); (b) (3 i), (1 +3i).

    29

  • 3. Em cada caso, encontre todas as razes em coordenadas retangulares, exiba elascomo vrtices de um polgono regular e diga quem a raz principal.(a) (1)1/3; (b) 81/6.

    Respostas: (b) 2, 1 +

    3i2

    , 1

    3i2

    .

    4. As trs razes cbicas de um nmero complexo z0 no nulo podem ser escritas comoc0, c03, c023 onde c0 a raz cbica principal de z0 e

    3 = exp

    (i2pi

    3

    )=1 +3i

    2.

    Mostre que se z0 = 4

    2 + 4

    2i, ento c0 =

    2(1 + i) e as outras duas razescbicas so, na forma retangular, os nmeros

    c03 =(3 + 1) + (3 1)i

    2, c0

    23 =

    (

    3 1) (3 + 1)i2

    .

    5. Encontre os quatro zeros do polinmio z4 + 4, onde um deles

    z0 =

    2eipi/4 = 1 + i.

    Ento, use estes zeros para o fator z2 + 4 nos fatores quadrticos com coeficientesreais.Resposta: (z2 + 2z + 2)(z2 2z + 2).

    6. Esboce os seguinte conjuntos e determine quem so domnios:(a) |z 2 + i| 1; (b) |2z + 3| > 4;(c) Im z > 1; (d) Im z = 1;(e) 0 arg z pi/4 (z 6= 0); (f) |z 4| |z|.Resposta: (b), (c) so domnios.

    7. Quais conjuntos do exerccio 8) so nem aberto nem fechado?Resposta: (e).

    8. Quais conjuntos do exerccio 8) so limitados?Resposta: (a).

    9. Em cada caso, esboce o fecho do conjunto:(a) pi < arg z < pi (z 6= 0); (b) |Re z| < |z|;(c) Re

    (1

    z

    ) 1

    2; (d) Re(z2) > 0.

    10. Seja S o conjunto aberto consistindo de todos os pontos tal que |z| < 1 ou |z2| < 1.Diga por que S no conexo.

    11. Determine os pontos de acumulao de cada um dos seguintes conjuntos:(a) zn = in (n = 1, 2, . . .); (b) zn = in/n (n = 1, 2, . . .);

    (c) 0 arg z < pi/2 (z 6= 0); (d) zn = (1)n(1 + i)n 1n

    (n = 1, 2, . . .).

    Respostas: (a) no existe; (b) 0; (d) (1 + i).

    30

  • 1.12.1 Exerccios Tericos

    1. (a) Seja a um nmero real fixo. Mostre que as duas razes quadradas de a+ i so

    A exp

    (i

    2

    )onde A =

    a2 + 1 e = Arg(a+ i).

    (b) Mostre que as razes obtidas em (a) podem ser escritas como

    12

    (A+ a+ i

    A a

    ).

    2. Mostre que se c qualquer raz n-sima da unidade, diferente da prpria unidade,ento

    1 + c+ c2 + + cn1 = 0.3. Mostre que um conjunto S aberto se, e somente se cada ponto de S um ponto

    interior.

    4. Prove que se um conjunto contm todos os seus pontos de acumulao, ento esteconjunto tem que ser fechado.

    5. Mostre que qualquer ponto z0 de um domnio um ponto de acumulao do mesmodomnio.

    6. Prove que um conjunto finito de pontos z1, z2, . . . , zn no tem nenhum ponto deacumulao.

    31

  • Captulo 2

    Funes Analticas

    2.1 Funes de uma varivel complexa

    Definio 2.1 (Funo) Seja S um conjunto de nmeros complexos. Uma funo fdefinida em S uma regra que atribui a cada z em S um nico nmero complexo w. Onmero w chamado de valor de f em z e denotada por f(z), ou seja, w = f(z). Oconjunto S chamado de domnio de definio de f .

    Deve ser enfatizado que tanto um domnio de definio quanto uma regra sonecessrios para que uma funo seja definida. Quando o domnio de definio no mencionado, convencionamos que tal domnio todo o conjunto dos nmeros complexos.

    Exemplo 2.1 Se f definida sobre o conjunto z 6= 0 por meio da equao w = 1/z, elapode ser referida apenas como a funo w = 1/z, ou simplesmente a funo 1/z.

    Suponha que w = u+ iv o valor de uma funo f em z = x+ iy, isto

    u+ iv = f(x+ iy).

    Cada um dos nmeros reais u e v dependem das variveis reais x e y, donde podemosescrever

    f(z) = u(x, y) + iv(x, y). (2.1)

    Se as coordenadas polares r e so usadas, em vez de x e y, ento

    u+ iv = f(rei),

    onde w = u+ iv e z = rei. Neste caso, podemos escrever

    f(z) = u(r, ) + iv(r, ). (2.2)

    Exemplo 2.2 Se f(z) = z2, ento

    f(x+ iy) = (x+ iy)2 = x2 y2 + i2xy.

    32

  • Da,u(x, y) = x2 y2 e v(x, y) = 2xy.

    Quando as coordenadas polares so usadas,

    f(rei) = (rei)2 = r2ei2 = r2 cos 2 + ir2 sen 2.

    Consequentemente,u(r, ) = r2 cos 2 e v(r, ) = r2 sen 2.

    Se, em qualquer uma das equaes (2.1) e (2.2), a funo v zero, ento o valor de f sempre real. Isto , f uma funo real de uma varivel complexa.

    Exemplo 2.3 Uma funo real que usada para ilustrar alguns conceitos importantesneste captulo

    f(z) = |z|2 = x2 + y2 + i0.

    Se n zero ou um nmero inteiro positivo e se a0, a1, a2, . . ., an so constantescomplexas, onde an 6= 0, a funo

    P (z) = a0 + a1z + a2z2 + + anzn

    um polinmio de grau n. Note que a soma aqui tem um nmero finito de termos e queo domnio de definio todo o plano complexo. Quocientes de polinmios P (z)/Q(z)so chamados funes racionais e so definidos em todo ponto z onde Q(z) 6= 0. Ospolinmios e funes racionais constituem importantes classes de funes de uma varivelcomplexa.

    Definio 2.2 (Funo multivalente) Uma funo multivalente uma regra queatribui mais de um valor a um ponto z no domnio de definio.

    As funes multivalentes so abordadas na teoria das funes de uma varivelcomplexa. Quando funes multivalentes so estudadas, geralmente apenas um dospossveis valores atribudos a cada ponto tomado, de forma sistemtica, e uma (valornico) funo construda a partir da funo de valor mltiplo.

    Exemplo 2.4 Seja z um nmero complexo no nulo. Sabemos que z1/2 possui doisvalores:

    z1/2 = r exp(i

    2

    ),

    onde r = |z| e (pi < pi) o valor principal de arg z. Trata-se de uma funomultivalente. Mas, se escolhermos apenas o valor positivo de r e escrevermos

    f(z) =r exp

    (i

    2

    ), r > 0, pi < pi,

    a funo fica bem definida sobre o conjunto de nmeros complexos tais que z 6= 0. Desdeque zero a nica raiz quadrada de zero, escrevemos f(0) = 0. A funo f fica, assim,bem definido em todo o plano.

    33

  • 2.2 Exerccios

    1) Descreva o domnio de definio de cada funo abaixo.

    (a) f(z) =1

    z2 + 1; (b) f(z) = Arg

    (1

    z

    );

    (c) f(z) =z

    z + z; (d) f(z) =

    1

    1 |z|2 .

    Respostas: (a) z 6= i; (c) Re z 6= 0.2) Escreva a funo f(z) = z3 + z + 1 na forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

    Resposta: f(z) = (x3 3xy2 + x+ 1) + i(3x2y y3 + y).3) Suponha que f(z) = x2 y2 2y+ i(2x 2xy), onde z = x+ iy. Use as expresses

    x =z + z

    2e y =

    z z2i

    para escrever f(z) em termos de z, e simplificar o resultado.

    Resposta: f(z) = z2 + 2iz.

    4) Escreva a funo

    f(z) = z +1

    z

    na forma f(z) = u(r, ) + iv(r, ).

    Resposta: f(z) =(r +

    1

    r

    )cos + i

    (r 1

    r

    )sen .

    2.3 Limites

    Definio 2.3 (Limite de uma funo complexa) Seja uma funo f definida emtodos os pontos z numa vizinhana excluda de z0. Dizemos que o limite de f(z) quandoz se aproxima z0 um nmero w0, ou que

    limzz0

    f(z) = w0 (2.3)

    quando o ponto w = f(z) pode ser feito arbitrariamente prximo de w0 se escolhermosz suficientemente prximo de z0, mas diferente desse ponto. De forma mais precisa aafirmao em (2.3) significa que, para cada > 0, existe um nmero > 0 tal que

    |f(z) w0| < sempre que O < |z z0| < . (2.4)

    34

  • Figura 7.

    Geometricamente, essa definio diz que, paracada vizinhana |w w0| < de wo, existeuma vizinhana excluda 0 < |z z0| < de z0de tal forma que cada ponto z pertencente a elapossui uma imagem w pertencente a vizinhana(Figura 7). Note que, apesar de todos os pontosna vizinhana excluda 0 < |z z0| < seremconsiderados, suas imagens no precisam noestar em sua totalidade contidos na vizinhana|w w0| < . Se f tem o valor constante w0, por exemplo, a imagem de z sempre ocentro dessa vizinhana. Note, tambm, que uma vez que foi encontrado, ele pode sersubstitudo por qualquer nmero menor positivos, como o /2.

    Proposio 2.1 (Unicidade do Limite) Se o limite de uma funo f(z) existe em umponto z0 este limite nico.

    Demonstrao: Para provar isto, supomos que

    limzz0

    f(z) = w0 e limzz0

    f(z) = w1.

    Ento, para qualquer nmero positivo , existem nmeros positivos e 1 tais que

    |f(z) w0| < sempre que 0 < |z z0| < 0

    e|f(z) w1| < sempre que 0 < |z z0| < 1

    Assim, se 0 < |z z0| < , onde denota o menor dos dois nmeros 0 e 1, obtemos

    |w1 w0| = |[f(z) w0] [f(z) w1]| |f(z) w0|+ |f(z) w1| < + = 2.

    Mas |w1 w0| uma constante no negativa, e pode ser escolhido arbitrariamentepequeno. Ento

    w1 w0 = 0, ou w1 = w0.

    A definio (2.4) requer que f seja definida em todos os pontos em alguma vizinhanaexcluda de z0. Tal vizinhana excluda, claro, sempre existe quando z0 um pontointerior de uma regio na qual f est definida. Podemos estender a definio de limitepara o caso em que z0 um ponto de fronteira da regio; basta observar que a primeiradas desigualdades (2.4) precisa ser satisfeita pelos pontos z que se encontram em ambasas regies e na vizinhana excluda.

    Exemplo 2.5 Vamos mostrar que se f(z) = iz/2 num disco aberto |z| < 1, ento

    limz1

    f(z) =i

    2,

    35

  • com o ponto 1 pertencente a fronteira do domnio de definio de f . Observe que, quandoz est na regio |z| < 1, f(z) i2

    = iz2 i2 = |z 1|2 .

    Ento, para qualquer z e qualquer nmero positivo (veja figura 8),f(z) i2 < sempre que 0 < |z 1| < 2.

    Figura 8.

    Portanto, a condio (2.4) satisfeita pelos pontos na regio |z| < 1, quando igual a2 ou qualquer nmero positivo menor.

    Exemplo 2.6 Se f(z) =z

    zo limite lim

    z0f(z) no existe.

    Figura 9.

    Caso contrrio, seria possvel que o ponto z =(x, y) se aproximasse da origem em qualquerdireo. Mas quando z = (x, 0) um pontodiferente de zero sobre o eixo real (Figura 9),

    f(z) =x+ i0

    x i0 = 1;

    e quando z = (0, y) um ponto no nulo no eixoimaginrio,

    f(z) =0 + iy

    0 iy = 1.

    Assim, fazendo z se aproximar da origem ao longo do eixo real, poderamos encontrar olimite 1. Por outro lado, uma aproximao ao longo do eixo imaginrio nos fornece olimite 1. Como o limite nico, conclumos que o mesmo no existe.

    Teorema 2.1 Suponha que

    f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0, e w0 = u0 + iv0.

    36

  • Entolimzz0

    f(z) = w0 (2.5)

    se, e somente se

    lim(x,y)(x0,y0)

    u(x, y) = u0 e lim(x,y)(x0,y0)

    v(x, y) = v0. (2.6)

    Demonstrao: () Os limites em (2.6) nos dizem que, para cada > 0, existem 1 > 0e 2 > 0 tais que

    |u u0| < 2

    sempre que 0 0 tal que|(u+ iv) (u0 + iv0)| < (2.7)

    sempre que0 < |(x+ iy) (x0 + iy0)| < . (2.8)

    Mas|u u0| |(u u0 + i(v v0)| = |(u+ iv) (u0 + iv0)|,|v v0| |(u u0) + i(v v0)| = |(u+ iv) (u0 + iv0)|,

    e|(x+ iy) (x0 + iy0)| = |(x x0) + i(y y0)| =

    (x x0)2 + (y y0)2.

    Ento, segue das inequaes (2.7) e (2.8) que

    |u u0| < e |v v0| <

    sempre que0 0 pequeno, os pontos no plano complexo exterior ao crculo|z| = 1/ correspondem a pontos sobre a esfera fechada em N . Assim, chamamos oconjunto |z| > 1/ de vizinhana, ou vizinhana, de .

    Em geral, quando nos referimos a um ponto z, estamos falando de um ponto no planofinito. Quando o ponto infinito considerado, especificaremos.

    Teorema 2.3 Se z0 e w0 so pontos nos planos z e w, respectivamante, ento

    limzz0

    f(z) = se, e somente se limzz0

    1

    f(z)= 0 (2.9)

    elimz

    f(z) = w0 se, e somente se limz0

    f

    (1

    z

    )= w0. (2.10)

    Alm disso,

    limz

    f(z) = se, e somente se limz0

    1

    f(1/z)= 0. (2.11)

    Demonstrao: Inicialmente observe que (2.9) significa que, para cada > 0, existe um > 0 tal que

    |f(z)| > 1

    sempre que 0 < |z z0| < .

    Ou seja, o ponto w = f(z) pertence a vizinhana |w| > 1/ de sempre que z pertencea vizinhana 0 < |z z0| < de z0. Podemos reescrever a ltima expresso como 1f(z) 0

    < sempre que 0 < |z z0| < ,donde segue o segundo limite em (2.9).

    O primeiro dos limites em (2.10) significa que, para todo > 0, existe > 0 tal que

    |f(z) w0| < sempre que |z| > 1.

    Trocando z por 1/z, escrevemosf (1z) w0

    < sempre que 0 < |z 0| < ,chegamos ao segundo dos limites em (2.10).

    39

  • Finalmente, o primeiro dos limites em (2.11) significa que, para todo > 0, existe um > 0 tal que

    |f(z)| > 1

    sempre que |z| > 1.

    Trocando z por 1/z, obtemos 1f(1/z) 0 < sempre que 0 < |z 0| < ;

    e isto prova o segundo limite em (2.11).

    Exemplo 2.8 Observe que

    limz1

    iz + 3z + 1

    = desde que limz1

    z + 1

    iz + 3= 0

    elimz

    2z + i

    z + 1= 2 desde que lim

    z0(2/z) + i

    (1/z) + 1= lim

    z02 + iz

    1 + z= 2.

    Alm disso,

    limz

    2z3 1z2 + 1

    = desde que limz0

    (1/z2) + 1

    (2/z3) 1 = limz0z + z3

    2 z3 = 0.

    2.5 Continuidade

    Definio 2.4 Uma funo f contnua em um ponto z0 se todas as trs seguintescondies so satisfeitas:

    1. limzz0

    f(z) existe;

    2. f(z0) existe

    3. limzz0

    f(z) = f(z0).

    Observe que a terceira condio diz que para todo > 0, existe um > 0 tal que

    |f(z) f(z0)| < sempre que |z z0| < .

    Uma funo de uma varivel complexa dita contnua em uma regio R quando forcontnua em cada ponto de R.

    Se duas funes so contnuas num ponto, sua soma e produto tambm so contnuasnesse ponto; o quociente contnuo em algum ponto onde o denominador no nulo.Note tambm que, um polinmio contnuo em todo o plano.

    Teorema 2.4 A composio de funes contnuas tambm contnua.

    40

  • Demonstrao: Seja w = f(z) definida na vizinhana |z z0| < de z0 e considere afuno W = g(w), cujo domnio contm a imagem da vizinhana mensionada por f . Acomposio W = g[f(z)] fica definida para todo z na vizinhana |z z0| < . Suponhaque f contnua em z0 e que g contnua no ponto g(z0) no plano w. Como g contnuaem f(z0), para todo > 0, existe > 0 tal que

    |g[f(z)] g[f(z0)]| < sempre que |f(z) f(z0)| < .

    Figura 11.

    (Veja figura 11) Mas a continuidade de f em z0 garante que a vizinhana |z z0| < pode ser feita pequena o suficiente para que a segunda destas desigualdades se mantenha.A continuidade da composio g[f(z)] , portanto, estabelecida.

    Teorema 2.5 Se uma funo f(z) contnua num ponto e no nula num ponto z0, entotemos f(z) 6= 0 ao longo de alguma vizinhana deste ponto.Demonstrao: Assumindo que f(z) , de fato, contnua e diferente de zero em z0,podemos provar o teorema, tomando = |f(z0)|/2. Isso nos diz que existe > 0 tal que

    |f(z) f(z0)| < |f(z0)|2

    sempre que |z z0| < .

    Assim, se existesse um ponto z na vizinhana |z z0| < na qual f(z) = 0, e teramos

    |f(z0)| < |f(z0)|2

    ;

    que uma contradio. Assim, o teorema est provado.

    Obs. 2.1 (Continuidade das funes componentes) A continuidade de uma funo

    f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

    est relacionada com a continuidade de duas componentes u(x, y) e v(x, y). Note que, afuno f(z) contnua no ponto z0 = (x0, y0) se, e somente se suas funes componentesso contnuas neste ponto.

    Obs. 2.2 (Funo contnua numa regio fechada e limitada) Suponha que f(z) contnua numa regio R que fechada e limitada. A funo

    [u(x, y)]2 + [v(x, y)]2

    contnua em R e ento atinge um valor mximo em algum ponto nessa regio. Isto ,f limitada em R e |f(z)| possui um valor mximo em R. Mais precisamente, existeM > 0 tal que

    |f(z)| M, para todo z R.

    41

  • 2.6 Exerccios

    1) Use a definio formal de limite para provar que

    (a) limzz0

    Re z = Re z0; (b) limzz0

    z = z0;

    (c) limz1i

    [x+ i(2x+ y)] = 1 + i (z = x+ iy).

    2) Seja n um inteiro positivo e P (z) e Q(z) polinmios, onde Q(z0) 6= 0. Use aspropriedades de limites para calcular

    (a) limzz0

    1

    zn(z0 6= 0); (b) lim

    zz0iz3 1z + i

    ; (c) limzz0

    P (z)

    Q(z).

    Respostas: (b) 0.

    3) Mostre que o limite da funo

    f(z) =(zz

    )2quando z tende a 0 no existe. Para isto utilize pontos z = (x, 0) e z = (x, x) parase aproximar da origem.

    4) Use a definio formal de limite para provar que se limzz0

    f(z) = w0 ento limzz0|f(z)| =

    |w0|.5) Suponha que se lim

    zz0f(z) = 0 e se existe um nmero positivo M tal que |g(z)| M

    para todo z numa vizinhana de z0 ento

    limzz0

    f(z)g(z) = 0

    .

    6) Calcule os limtes.

    (a) limz

    4z2

    (z 1)2 ; (b) limz11

    (z 1)3 ; (c) limzz2 + 1

    z 1 .

    7) Seja

    T (z) =az + b

    cz + d(ad bc 6= 0).

    Calcule:(a) lim

    zT (z) se c = 0; (b) lim

    zT (z) se c 6= 0;

    (c) limzd/c

    T (z) se c 6= 0.

    2.7 Derivada

    Definio 2.5 Seja f uma funo cujo domnio contm uma vizinhana do ponto z0. Aderivada de f em z0, escrita f (z0), definida pela equao

    f (z0) = limzz0

    f(z) f(z0)z z0 , (2.12)

    42

  • desde que este limite exista. A funo f dita diferencivel em z0 quando a derivadaexiste neste ponto.

    Expressando a varivel z na definio (2.12) em termos da nova varivel complexa

    z = z z0

    podemos escrever a definio como

    f (z0) = limz0

    f(z0 + z) f(z0)z

    . (2.13)

    Figura 12.

    Note que, como f definida em toda uma vizinhanade z0, o nmero f(z0 + z) sempre definido para|z| suficientemente pequeno (Figura 12).

    Na forma (2.13) podemos abandonar a notaocom z0 e introduzir o nmero

    w = f(z + z) f(z),

    que denota a mudana no valor de f correspondente amundana z no ponto em que f est sendo calculada.Ento, escrevemos dw/dz para f (z), e a equao(2.13) se torna

    dw

    dz= lim

    z0w

    z.

    Exemplo 2.9 Suponha que f(z) = z2. Em qualquer ponto z,

    limz0

    w

    z= lim

    z0(z + z)2 z2

    z= lim

    z0(2z + z) = 2z.

    desde que 2z + z um polinmio em z. Ento dw/dz = 2z, ou f (z) = 2z.

    Exemplo 2.10 Considere agora a funo f(z) = |z|2. Aquiw

    z=|z + z|2 |z|2

    z=

    (z + z)(z + z) zzz

    = z + z + zz

    z.

    Figura 13.

    Se o limite de w/z existe, ele pode serencontrado, deixando o ponto z = (x,y) seaproximar da origem no plano z em qualquerdireo. Em particular, quando z se aproxima daorigem horizontalmente atravs dos pontos (x, 0)no eixo real (Figura 13),

    z = x+ i0 = x i0 = x+ i0 = z.

    Neste caso,w

    z= z + z + z.

    43

  • Ento, se o limite existe, seu valor deve ser z+z. Por outro lado, quando z se aproximada origem verticalmente atravs dos pontos (0,y) no eixo imaginrio,

    z = 0 + iy = (0 + iy) = z,

    e encontramosw

    z= z + z z.

    Ento, o limite deve ser zz se existir. Pela unicidade do limite, dw/dz s poder existirse

    z + z = z z,ou seja, z = 0. Para mostrar que, de fato, dw/dz existe em z = 0, precisamos apenasobservar que nossa expresso para w/z se reduz a z quando z = 0. Concluimos,portanto, que dw/dz existe apenas em z = 0, e seu valor nesse ponto 0.

    No exemplo anterior, observe que as partes real e imaginria de f(z) = |z|2 sou(x, y) = x2 + y2 e v(x, y) = 0,

    Isto mostra que as componentes real e imaginria de uma funo de uma varivel complexapodem ter derivadas parciais contnuas de todas as ordens em um ponto com a funono sendo diferencivel l.

    A funo f(z) = |z|2 contnua em cada ponto no plano desde que suas componentessejam contnuas em cada ponto. Assim, a continuidade de uma funo num ponto noimplica na existncia da derivada nesse ponto.

    Obs. 2.3 (Diferenciabilidade implica em continuidade) verdade que aexistncia da derivada de uma funo num ponto implica na continuidade da funonesse ponto. Para ver isto, assuma que f (z0) existe e escrevemos

    limzz0

    [f(z) f(z0)] = limzz0

    f(z) f(z0)z z0 limzz0(z z0) = f

    (z0) 0 = 0,

    donde segue quelimzz0

    f(z) = f(z0).

    ou seja, f contnua em z0.

    2.8 Frmulas de diferenciao

    As frmulas de diferenciao bsica que veremos a seguir podem ser obtidas a partirda definio de derivada, seguindo essencialmente os mesmos passos como os usados emclculo. Nestas frmulas, a derivada de uma funo f em um ponto z denotada por

    d

    dzf(z) ou f (z).

    Seja c uma constante complexa e f, F duas funes funo diferenciveis em z. Temosas seguintes frmulas:

    44

  • 1.d

    dzc = 0,

    d

    dzz = 1,

    d

    dz[cf(z)] = cf (z);

    2.d

    dzzn = nzn1, n inteiro positivo. Esta frmula tambm vale quando n um inteiro

    negativo, desde que z 6= 0;

    3.d

    dz[f(z) + F (z)] = f (z) + F (z);

    4.d

    dz[f(z)F (z)] = f(z)F (z) + f (z)F (z);

    5.d

    dz

    [f(z)

    F (z)

    ]=F (z)f (z) f(z)F (z)

    [F (z)]2, F (z) 6= 0.

    Teorema 2.6 (Regra da Cadeia) Suponha que f possui derivada em z0 e que g possuiderivada em f(z0). Ento a funo F (z) = g[f(z)] possui derivada em z0, e

    F (z0) = g[f(z0)]f (z0).

    Se escrevemos w = f(z) e W = g(w), temos W = F (z), e a regra da cadeia se torna

    dW

    dz=dW

    dw

    dw

    dz.

    Demonstrao: Seja z0 um ponto onde f (z0) existe. Escrevemos w0 = f(z0) e tambmassumimos que g(w0) existe. Ento, existe alguma vizinhana |ww0| < de w0 tal que,para todos os pontos w nesta vizinhana podemos definir uma funo tal que

    (w) =

    0, quando w = w0g(w) g(w0)w w0 g

    (w0), quando w 6= w0 .

    Note que, pela definio de derivada

    limww0

    (w) = 0.

    Ento contnua em w0.

    Agora, podemos usar a expresso de para obter a forma

    g(w) g(w0) = [g(w0) + (w)](w w0), |w w0| < ,

    que vlida quando w = w0; e, desde que, f (z0) existe e f , portanto, contnua em z0,podemos escolher > 0 tal que o ponto f(z) pertence a vizinhana |w w0| < de w0se z pertencer a vizinhana |z z0| < de z0. Assim, podemos substituir w na ltimaequao por f(z) quando z um ponto qualquer na vizinhana |z z0| < . Com essasubstituio e com w0 = f(z0), a equao anterior torna-se

    g[f(z)] g[f(z0)]z z0 = {g

    [f(z0)] + [f(z)]}f(z) f(z0)z z0 , 0 < |z z0| < ,

    45

  • onde devemos estipular que z 6= z0. Como j observamos, f contnua em z0 e contnua no ponto w0 = f(z0). Assim, a composio [f(z)] contnua em z0; e, uma vezque (w0) = 0,

    limzz0

    [f(z)] = 0.

    o que finaliza a prova do teorema.

    Exemplo 2.11 Para encontrar a derivada de (2z2 + i)5, escrevemos w = 2z2 + i eW = w5. Ento

    d

    dz(2z2 + i)5 = 5w44z = 20z(2z2 + i)4.

    2.9 Equaes de Cauchy-Riemann

    Teorema 2.7 Suponha que

    f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

    e que f (z) existe no ponto z0 = x0 + iy0. Ento as derivadas parciais de primeira ordemde u e v existem no ponto (x0, y0) e satisfazem as equaes de Cauchy-Riemann

    ux = vy, uy = vx

    no ponto (x0, y0). Alm disso, f (z0) pode ser escrita como

    f (z0) = ux + ivx,

    onde as derivadas parciais so calculadas em (x0, y0).

    Demonstrao: Comeamos escrevendo z0 = x0 + iy0, z = x+ iy e

    w = f(z0 + z) f(z0)= [u(x0 + x, y0 + y) u(x0, y0)] + i[v(x0 + x, y0 + y) v(x0, y0)].

    Sabendo que a derivada

    f (z0) = limz0

    w

    z

    existe, obtemos

    f (z0) = lim(x,y)(0,0)

    Rew

    z+ i lim

    (x,y)(0,0)Im

    w

    z. (2.14)

    Agora importante notar que a expresso anterior vlida quando (x,y)tende a (0, 0) em qualquer direo. Em particular, faamos (x,y) tender a (0, 0)horizontalmente atravs dos pontos (x, 0). Neste caso y = 0 e o quociente w/ztorna-se

    w

    z=u(x0 + x, y0) u(x0, y0)

    x+ i

    v(x0 + x, y0) v(x0, y0)x

    .

    46

  • Entolim

    (x,y)(0,0)Re

    w

    z= lim

    x0u(x0 + x, y0) u(x0, y0)

    x= ux(x0, y0)

    elim

    (x,y)(0,0)Im

    w

    z= lim

    x0v(x0 + x, y0) v(x0, y0)

    x= vx(x0, y0)

    onde ux(x0, y0) e vx(x0, y0) denotam as derivadas parciais de primeira ordem com respeitoa x das funes u e v no ponto (x0, y0). Substituindo esses limites na expresso (2.14),obtemos

    f (z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0). (2.15)

    Por outro lado, fazendo z tender a zero na direo vertical atravs dos pontos (0,y),temos x = 0 e

    w

    z=

    u(x0, y0 + y) u(x0, y0)iy

    + iv(x0, y0 + y) v(x0, y0)

    iy

    =v(x0, y0 + y) v(x0, y0)

    y iu(x0, y0 + y) u(x0, y0)

    y.

    Ento,

    lim(x,y)(0,0)

    Rew

    z= lim

    y0v(x0, y0 + y) v(x0, y0)

    y= vy(x0, y0)

    elim

    (x,y)(0,0)Im

    w

    z= lim

    y0u(x0, y0 + y) u(x0, y0)

    y= uy(x0, y0).

    Ento segue pela expresso (2.14) que

    f (z0) = vy(x0, y0) iuy(x0, y0), (2.16)

    onde as derivadas parciais de u e v so efetuadas com respeito a y. Note que a expressoanterior pode ser reescrita como

    f (z0) = i[uy(x0, y0) + ivy(x0, y0)].

    Pelas equaes (2.15) e (2.16) temos condies necessrias para a existncia de f (z0).Igualando as partes real e imaginria nessas duas equaes, vemos que a existncia def (z0) exige que

    ux(x0, y0) = vy(x0, y0) e uy(x0, y0) = vx(x0, y0),

    que so conhecidas como equaes de Cauchy-Riemann. Assim, fica concluda a prova doteorema.

    Exemplo 2.12 Vimos que a funo

    f(z) = z2 = x2 y2 + i2xy

    47

  • diferencivel em todo o plano complexo e f (z) = 2z. Para verificar que as equaes deCauchy-Riemann so satisfeitas em todo plano, note que

    u(x, y) = x2 y2 e v(x, y) = 2xy.

    Entoux = 2x = vy, uy = 2y = vx.

    Alm disso, podemos calcular f (z) da seguinte forma:

    f (z) = 2x+ i2y = 2(x+ iy) = 2z.

    Uma vez que as equaes de Cauchy-Riemann so condies necessrias para aexistncia da derivada de uma funo f em um ponto z0, muitas vezes podemos utiliz-laspara localizar pontos onde f no possui derivada.

    Exemplo 2.13 Quanto f(z) = |z|2, temosu(x, y) = x2 + y2 e v(x, y) = 0.

    Se as equaes de Cauchy-Riemann so satisfeitas num ponto (x, y), segue-se que 2x = 0e 2y = 0, ou seja, x = y = 0. Conseqentemente, f (z) no existe em qualquer pontodiferente de zero, como j foi visto anteriormente. Note que o teorema anterior noassegura a existncia de f (0). O prximo teorema, no entanto, assegura isso.

    Exemplo 2.14 (Cauchy-Riemann no implica diferenciabilidade) Considere afuno

    f(z) =

    x3 y3x2 + y2

    + ix3 + y3

    x2 + y2, z 6= 0

    0, z = 0.

    calculando ux, uy, vx e vy e aplicando os resultados a z = 0, obtemos

    ux(0, 0) = 1, vx(0, 0) = 1uy(0, 0) = 1, vy(0, 0) = 1

    ou seja, as funes u e v satisfazem s equaes de Cauchy-Riemann no ponto z = 0 =(0, 0). Porm, f(z) no diferencivel em z = 0. De fato, quando Re z = 0, obtemos

    limz0

    f(z) f(0)z 0 = limz0

    y + iyiy

    = 1 + i.

    Por outro lado, quando z = x+ ix, temos

    limz0

    f(z) f(0)z 0 = limz0

    ix

    x+ ix=

    1

    2(1 + i).

    ou seja, f(z) no derivvel em z = 0. O prximo teorema justifica o porqu de asEquaes de Cauchy-Riemann no serem suficientes para garantir a diferenciabilidade deuma funo. Na verdade, necessitamos das Equaes de Cauchy-Riemann juntamentecom a continuidade das derivadas parciais das componentes u e v.

    48

  • Teorema 2.8 Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definida em toda uma vizinhana do pontoz0 = x0 + iy0, e suponha que as derivadas parciais de primeira ordem das funes u ev com respeito a x e y existem em toda a vizinhana de z0. Se essas derivadas parciaisforem contnuas em (x0, y0) e satisfazem as equaes de Cauchy-Riemann

    ux = vy, uy = vxem (x0, y0), ento f (z0) existe.

    Demonstrao: Comeamos a demonstrao escrevendo z = x + iy, onde 0 0, < < + 2pi

    possui derivada em todo seu domnio de definio. Aqui

    u(r, ) = 3r cos

    3e v(r, ) = 3

    r sen

    3.

    Comorur =

    3r

    3cos

    3= v e u =

    3r

    3sen

    3= rvr

    e as outras condies do teorema so satisfeitas, a derivada f (z) existe em cada pontoonde f(z) est definida. Logo,

    f (z) = ei[

    1

    3 ( 3r)

    2 cos

    3+ i

    1

    3 ( 3r)

    2 sen

    3

    ]

    ou

    f (z) =ei

    3 ( 3r)

    2 ei/3 =

    1

    3 ( 3rei/3)

    2 =1

    3 [f(z)]2.

    Note que quando um ponto especfico z tomado no domnio de definio de f , o valorde f(z) um valor de z1/3. Portanto, esta ltima expresso para f (z) pode ser colocadana forma

    d

    dzz1/3 =

    1

    3 (z1/3)2

    quando este valor tomado.

    2.11 Exerccios

    1) Determine f (z).

    (a) f(z) = 3z2 2z + 4; (b) f(z) = (1 4z2)3;(c) f(z) =

    z 12z + 1

    (z 6= 1/2) (d) f(z) = (1 + z2)4

    z2(z 6= 0).

    2) Sabemos que um polinmio

    P (z) = a0 + a1z + a2z2 + . . .+ anz

    n (an 6= 0)

    de grau n (n 1) diferencivel em todo z-plano. Calcule P (z) e mostre que

    a0 = P (0), a1 =P (0)

    1!, a2 =

    P (0)2!

    , . . . an =P (n)(0)

    n!.

    52

  • 3) Suponha que f(z0) = g(z0) = 0 e que f (z0) e g(z0) existem, com g(z0) 6= 0. Use adefinio de derivada para mostrar que

    limzz0

    f(z)

    g(z)=f (z0)g(z0)

    .

    4) Sem utilizar as condies de Cauchy-Riemann, mostre que f (z) no existe emqualquer ponto z quando

    (a) f(z) = Re z; (b) f(z) = Im z.

    5) Seja f a funo definida por

    f(z) =

    {z2/z quando z 6= 00 quando z = 0 .

    Verifique que as equaes de Cauchy-Riemann so satisfeitas apenas na origem. Emseguida, mostre que f (0) no existe.

    6) Use as condies de Cauchy-Riemann para mostrar que f (z) no existe em qualquerponto do z-plano.(a) f(z) = z; (b) f(z) = z z;(c) f(z) = 2x+ ixy2; (d) f(z) = exeiy.

    7) Mostre que f (z) e f (z) existem em todo plano complexo e encontre f (z) quando

    (a) f(z) = iz + 2; (b) f(z) = exeiy;(c) f(z) = z3; (d) f(z) = cos x cosh y i senx senh y.Respostas: (b) f (z) = f(z); (d) f (z) = f(z).

    8) Determine onde f (z) existe e encontre seu valor quando

    (a) f(z) = 1/z; (b) f(z) = x2 + iy2;(c) f(z) = z Im z.

    Respostas: f (z) = 1/z2 (z 6= 0); (b) f (x+ ix) = 2x; (c) f (0) = 0.9) Mostre que cada uma das funes diferencivel no domnio indicado e calcule f (z).

    (a) f(z) = 1/z4 (z 6= 0);(b) f(z) =

    rei/2 (r > 0, < < + 2pi);

    (c) f(z) = e cos(ln r) + ie sen(ln r) (r > 0, 0 < < 2pi).

    Respostas: (b) f (z) =1

    2f(z); (c) f (z) = i

    f(z)

    z.

    10) Mostre que quando f(z) = x3 + i(1 y)3 podemos escrever

    f (z) = ux + ivx = 3x2

    apenas quando z = i.

    53

  • 2.12 Funes analticas

    Definio 2.6 Uma funo f de uma varivel complexa z analtica num conjuntoaberto se ela tem uma derivada em cada ponto do conjunto. Quando falamos de umafuno f que analtica em um conjunto S que no aberto, devemos entender que f analtica em um conjunto aberto contendo S. Em particular, f analtica em um pontoz0 se analtica em alguma vizinhana de z0.

    Notamos, por exemplo, que a funo f(z) = 1/z analtica em cada ponto diferentede zero no plano finito. Mas a funo f(z) = |z|2 no analtica em ponto algum, poissua derivada existe apenas em z = 0 e no em alguma vizinhana desse ponto.

    Definio 2.7 Uma funo inteira uma funo que analtica em cada ponto no planofinito.

    Desde que a derivada de um polinmio existe em qualquer ponto, segue-se que cadafuno polinomial uma funo inteira.

    Definio 2.8 Se uma funo f no analtica em um ponto z0, mas analtica emalguma vizinhana do ponto z0, dizemos que z0 ponto singular, ou singularidade, de f .

    O ponto z = 0 , evidentemente, um ponto singular da funo f(z) = 1/z. A funof(z) = |z|2, por outro lado, no tem pontos singulares, uma vez que no nem analtica.

    Uma condio necessria, mas no suficiente, para que uma funo f seja analticaem um domnio D a continuidade de f ao longo D. A satisfao das equaes deCauchy-Riemann tambm necessrio, mas no suficiente. Condies suficientes paraanaliticidade em D j foram fornecidas nas sees anteriores.

    Assim, se duas funes so analticas em um domnio D, a sua soma e seus produtostambm so analticas em D. Da mesma forma, o quociente analtico em D desde que afuno no denominador no se anule em qualquer ponto de D. Em particular, o quocientede P (z)/Q(z) de dois polinmios analtica em qualquer domnio no qual Q(z) 6= 0.

    Da regra da cadeia para a derivada de uma funo composta, temos que a composiode duas funes analticas analtica. Mais precisamente, suponha que uma funo f(z) analtica em um domnio D e que a imagem de D pela transformao w = f(z) estcontida no domnio de definio de uma funo g(w). Ento a composio g[f(z)] analtica em D, com derivativa

    d

    dzg[f(z)] = g[f(z)]f (z).

    O seguinte teorema especialmente til, alm de esperado.

    Teorema 2.10 Se f (z) = 0 num domnio D, ento f(z) constante em D.

    Demonstrao: Comeamos a demonstrao escrevendo f(z) = u(x, y) + iv(x, y).Assumindo que f (z) = 0 em D, notamos que ux + ivx = 0; e, pelas equaes de Cauchy-Riemann, vy iuy = 0. Consequentemente,

    ux = uy = vx = vy = 0

    em cada ponto de D.

    54

  • Figura 14.

    Agora, mostremos que u(x, y) constante aolongo de qualquer segmento de reta L ligando umponto P a um ponto P e inteiramente contido emD. Seja o parmetro s denotando a distncia aolongo de L a partir do ponto P e seja U um vetorunitrio ao longo de L na direo crescente de s(ver figura 14). Sabemos do clculo que a derivadadirecional du/ds pode ser escrita como o produtoescalar

    du

    ds= (gradu) U,

    onde gradu o vetor gradiente

    gradu = uxi + uyj.

    Como ux e uy so iguais a zero em todos os pontos de D, ento gradu = 0 em todos ospontos de L. Da, segue pela equao anterior que a derivad adu/ds zero ao longo L; eisso significa que u constante em L.

    Finalmente, como existe sempre um nmero finito de tais segmentos de reta conectandodois pontos quaisquer P e Q em D, os valores de u em P e Q deve ser o mesmo. Podemosconcluir, ento, que existe uma constante real a tal que u(x, y) = a para todo D. Damesma forma, u(x, y) = b, e vemos que f(z) = a+ bi em cada ponto de D.

    Exemplo 2.19 O quociente

    f(z) =z3 + 4

    (z2 3)(z2 + 1)

    evidentemente analtico em todo plano z exceto nos pontos singulares z = 3 e z = i.

    Exemplo 2.20 Quando

    f(z) = cosh x cos y + i senhx sen y,

    as funes componentes so

    u(x, y) = cosh x cos y e v(x, y) = senh x sen y.

    Comoux = senhx cos y = vy e uy = coshx sen y = vx

    em todo plano, f inteira.

    Exemplo 2.21 Suponha que uma funo

    f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

    e seu conjugadof(z) = u(x, y) iv(x, y)

    55

  • so ambas analticas num domnio D. fcil mostrar que f(z) constante em D.

    Para ver isto, escrevemos f(z) como

    f(z) = U(x, y) + iV (x, y),

    ondeU(x, y) = u(x, y) e V (x, y) = v(x, y). (2.21)

    Pela analiticidade de f(z), as equaes de Cauchy-Riemann

    ux = vy, uy = vx

    so vlidas em D. Alm disso, a analiticidade de f(z) em D nos diz que

    Ux = Vy, Uy = Vx.

    Por (2.21), obtemosux = vy, uy = vx.

    Adicionando a primeira das equaes anteriores com a primeira das de Cauchy-Riemann,obtemos ux = 0 em D. Semelhantemente, subtraindo as segundas, obtemos vx = 0.Portanto,

    f (z) = ux + ivx = 0 + i0 = 0;

    e segue do teorema anterior que f(z) constante em D.

    2.13 Funes harmnicas

    Definio 2.9 Uma funo real H de duas variveis reais x e y harmnica em um dadodomnio no plano xy se, em todo seu domnio ela possui derivadas parciais de primeira esegunda ordem contnuas e satisfazendo a equao diferencial parcial

    Hxx(x, y) +Hyy(x, y) = 0,

    conhecida como equao de Laplace;

    Funes harmnicas desempenham um papel importante em matemtica aplicada. Porexemplo, a temperatura T (x, y) em chapas finas deitada no plano xy so muitas vezesharmnicas. A funo V (x, y) harmnica quando denota um potencial eletrosttico quevaria apenas com x e y no interior de uma regio do espao tridimensional que livre decargas.

    Exemplo 2.22 fcil verificar que a funo T (x, y) = ey senx harmnica numdomnio do plano xy e, em particular, no semi-plano vertical 0 < x < pi, y > 0.

    56

  • Figura 15.

    Esta funo tambm assume os valores nas bordas dafaixa que so indicados na figura 15. Mais precisamente,ela satisfaz todas as condies

    Txx(x, y) + Tyy(x, y) = 0,

    T (0, y) = 0, T (pi, y) = 0,

    T (x, 0) = sen x, limy

    T (x, y) = 0,

    que descrevem temperaturas estveis T (x, y) em umaplaca fina homognea no plano xy que no tem fontes decalor ou sumidouros e isolada, exceto para as condiesestabelecidas ao longo das bordas.

    Teorema 2.11 Se uma funo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analtica num domnio D, assuas funes componentes u e v so harmnicas em D.

    Demonstrao: Para mostrar isso, precisamos de um resultado que ser provado noCaptulo 4, ou seja, se uma funo de uma varivel complexa analtica em um ponto,ento a suas partes real e imaginria tm derivadas parciais contnuas de todas as ordensnesse ponto.

    Assumindo que f analtica em D, comeamos com a observao de que as derivadasparciais de primeira ordem das funes componentes devem satisfazer as equaes deCauchy-Riemann em D:

    ux = vy, uy = vx.

    Diferenciando ambos os lados das equaes anteriores com relao a x, temos

    uxx = vyx, uyx = vxx.

    Agora, diferenciando com respeito a y, obtemos

    uxy = vyy, uyy = vxy.

    Por um teorema do Clculo Avanado, a continuidade das derivadas parciais de u e vgarante que uyx = uxy e vyx = vxy; este fato juntamente com as equaes anteriores nosfornecem

    uxx + uyy = 0 e vxx + vyy = 0.

    Isto , u e v so harmnicas em D.

    Exemplo 2.23 A funo f(z) = ey senx iey cosx inteira (Exerccio). Ento, suaparte real, que a funo temperatura T (x, y) = ey senx, harmnica em todo planoxy.

    57

  • Exemplo 2.24 Desde que a funo f(z) = i/z2 analtica sempre que z 6= 0 ei

    z2=

    i

    z2 z

    2

    z2=

    iz2

    (zz)2=iz2

    |z|4 =2xy + i(x2 y2)

    (x2 + y2)2,

    As funes

    u(x, y) =2xy

    (x2 + y2)2e v(x, y) =

    x2 y2(x2 + y2)2

    so harmnicas em qualquer domnio do plano xy que no contm a origem.

    Definio 2.10 Se duas funes u e v so harmnicas num domnio D e suas derivadasparciais de primeira ordem satisfazem as equaes de Cauchy-Riemann em D, v ditaum conjugado harmnico de u.

    Teorema 2.12 Uma funo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analtica num domnio D se, esomente se v um conjugado harmnico de u.

    Demonstrao: A prova fcil. Se v um conjugado harmnico de u emD, f analticaem D. Por outro lado, se f analtica em D, sabemos do teorema anterior que u e v soharmnicas em D e, portanto, as equaes de Cauchy-Riemann so satisfeitas.

    O exemplo a seguir mostra que, se v um conjugado harmnico de u em algumdomnio, no , em geral, verdade que u um conjugado harmnico de v neste domnio.

    Exemplo 2.25 Suponha que

    u(x, y) = x2 y2 e v(x, y) = 2xy.

    Desde que estas so as componentes real e imaginria, da funo inteira f(z) = z2,sabemos que v um conjugado harmnico de u no plano. Mas, u no pode ser umconjugado harmnico de v, pois a funo 2xy+ i(x2 y2) no analtica em ponto algumdo plano.

    Exemplo 2.26 Vamos agora ilustrar um mtodo para obter um conjugado harmnico deuma determinada funo harmnica. fcil ver que a funo

    u(x, y) = y3 3x2y

    harmnica em todo o plano xy. Desde que um conjugado harmnico v(x, y) estrelacionado com u(x, y) por meio das equaes de Cauchy-Riemann

    ux = vy, uy = vx,

    a primeira destas equaes nos diz que

    vy(x, y) = 6xy.

    58

  • Deixando x fixo e integrando cada lado com respeito a y, obtemos

    v(x, y) = 3xy2 + (x),

    onde uma funo arbitrria de x. Usando a segunda das equaes de Cauchy-Riemann,temos

    3y2 3x2 = 3y2 (x),ou (x) = 3x2. Ento (x) = x3 + C, onde C um nmero real arbitrrio. Ento,

    v(x, y) = 3xy2 + x3 + C

    um conjugado harmnico de u(x, y).

    A funo analtica correspondente

    f(z) = (y3 3x2y) + i(3xy2 + x3 + C).

    A forma f(z) = i(z3 + C) desta funo facilmente verificada e sugerida observandoque, quando y = 0, a expresso anterior torna-se f(x) = i(x3 + C).

    2.14 Exerccios

    1) Verifique que cada uma das funes so inteiras.(a) f(z) = 3x+ y + i(3y x); (b) f(z) = sen x cosh y + i cosx senh y;(c) f(z) = ey senx iey cosx (d) f(z) = (z2 2)exeiy.

    2) Mostre que as funes no so analticas em ponto algum do plano complexo.(a) f(z) = xy + iy; (b) f(z) = 2xy + i(x2 y2);(c) f(z) = eyeix.

    3) Em cada caso, determine os pontos s