13

2 - CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES

2.1 - INTRODUÇÃO

O traçado em planta de uma estrada deve ser composto de trechos retos concordados com

curvas circulares e de transição.

• Curvas horizontais: usadas para desviar a estrada de obstáculos que não possam ser

vencidos economicamente

• Quantidade de curvas: depende da topografia da região, das características geológicas e

geotécnicas dos terrenos atravessados e problemas de desapropriação.

Para escolha do raio da curva existem dois fatores que limitam os mínimos valores dos raios

a serem adotados:

• estabilidade dos veículos que percorrem a curva com grande velocidade

• mínimas condições de visibilidade

tangente tangente

AC

Rc

circular

D

T

PI

PT PC

AC

o

20 m

G

PONTOS NOTÁVEIS DAS CURVAS

HORIZONTAIS

Estaca do PC = estaca do PI – T

Estaca do PT = estaca do PC + D

onde:

PI = ponto de interseção das tangentes = ponto de inflexão

AC = ângulo central das tangentes = ângulo central da curva

T = tangente da curva

D = desenvolvimento da curva = comprimento do arco entre PC e PT

2.2 - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS CURVAS HORIZONTAIS

• Grau da Curva (G): ângulo com vértice no ponto o que corresponde a um D de 20 m

(uma estaca).

14

G = , para G em graus e Rc em metros =

20x360

2πRc 1146 Rc

• Tangente da Curva

AC

2 T = Rc .tg , para T em metros e AC em graus

• Desenvolvimento (D) da curva circular: comprimento do arco de círculo compreendido

entre os pontos PC e PT.

20.AC

G D = , para AC e G em graus e D em metros

ou

π.Rc.AC

180o D = , para AC em graus e D em metros

ou

D = AC.Rc para Rc e D em metros e AC em radianos

2.3 - ESTABILIDADE DE VEÍCULOS EM CURVAS HORIZONTAIS SUPERELEVADAS

α P X

Fa

R o

N

Y

α

superelevação = e = tg α

Fc

[Fc = (m . V2) / Rc]

[Fa = N . ft]

[P = m . g]

Equilíbrio em X:

[Rc = V2 / 127 (e + ft)]

[Fa = Fc . cos α] = P . sen α + ft (P. cos α + Fc. sen α)]

[Rc = V2 / g (e + ft)]

SUPERELEVAÇÃO (e) de uma curva circular é o valor da inclinação transversal da pista em

relação ao plano horizontal, ou seja, e = tang α, onde α = ângulo de inclinação transversal

do pavimento.

• Fc = (m . V2) / Rc

• Fa = N . ft (onde ft = coeficiente de atrito transversal)

• N = P cos α + Fc sen α

• P = m . g

Equilíbrio em X:

Fa = Fc cos α = P sen α+ ft .N

Fc cos α= P sen α + ft (P cos α + Fc sen α)

15

= m.g. tg α + ft .tg α + m.g

Rc

mV2

Rc

mV2

mV2 = Rc.m.g.tg α + f t.m.V2.tg α + f t.m.g.Rc

mV2 - f t .m.V2.tg α = Rc.m.g (tg α + f t)

mV2 (1 - f t .tg α) = Rc.m.g (tg α + f t)

g (tg α + f t) V2. (1 - f t .tg α)

Rc =

No caso normal da estrada, os valores e=tg α e ft são pequenos e considera-se ft.tg α=0.

Rc =

V2 (1-0)

g (e + ft)

Rc =

V2

g (e + ft)

Adotando-se g = 9,8 m/s2

Rc =

V2

9,8 x 3,62 (e + ft)

Rc =

V2

127 (e + ft)

onde:

Rc = raio da curva em metros

V = velocidade de percurso em km/h

e = superelevação

ft = coeficiente de atrito transversal pneu-pavimento

2.3.1 - VALORES MÁXIMOS DA SUPERELEVAÇÃO (e)

Superelevação excessivamente alta: deslizamento do veículo para o interior da curva ou

mesmo tombamento de veículos que percorram a curva com velocidades muito baixas ou

parem sobre a curva por qualquer motivo. Os valores máximos adotados para a

superelevação no projeto de curvas horizontais (AASHTO, 1994) são determinados em

função dos seguintes fatores:

• condições climáticas (chuvas, gelo ou neve)

• condições topográficas do local

• tipo de área: rural ou urbana

• freqüência de tráfego lento no trecho considerado

Estradas rurais: valor máximo de 12%

Vias urbanas: valor máximo de 8%

O DNER (1975) recomenda o uso de emáx = 10%.

16

2.3.2 - VALORES MÁXIMOS DO COEFICIENTE DE ATRITO TRANSVERSAL (ft)

O máximo valor do coeficiente de atrito transversal é o valor do atrito desenvolvido entre o

pneu do veículo e a superfície do pavimento na iminência do escorregamento sempre que o

veículo percorre uma curva horizontal circular. Para este veículo, a relação entre a

superelevação, coeficiente de atrito e raio é feita com base na análise da estabilidade do

veículo na iminência do escorregamento. É usual adotar para o coeficiente de atrito

transversal máximo valores bem menores do que os obtidos na iminência do

escorregamento, isto é, valores já corrigidos com um coeficiente de segurança. Determinar

o ft correspondente à velocidade de segurança das curvas, isto é, a menor velocidade com a

qual a força centrífuga criada com o movimento do veículo na curva cause ao motorista ou

passageiro a sensação de escorregamento.

[ft máx (AASHTO) = 0,19 - V/1600]

Valores máximos de coeficiente de atrito transversal, ft máx

Velocidade (km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

ft máx 0,20 0,18 0,16 0,15 0,15 0,14 0,13 0,13 0,12 0,11

Fonte: DNER, 1975

2.4 - RAIO MÍNIMO DAS CURVAS CIRCULARES (Rcmín)

As curvas circulares devem atender as seguintes condições mínimas:

• garantir a estabilidade dos veículos que percorram a curva na velocidade diretriz;

• garantir condições mínimas de visibilidade em toda a curva.

RAIO MÍNIMO EM FUNÇÃO DA ESTABILIDADE

• relação entre o raio da curva e a superelevação de um veículo que trafega por uma curva

circular de raio Rc:

Rc =

V2

127 (e + ft)

Na iminência do escorregamento, o menor raio adotando-se para a superelevação e o

coeficiente de atrito lateral seus valores máximos admitidos:

127 (emáx + ftmáx)

V2 Rcmín =

onde:

Rcmín = raio mínimo

V = velocidade diretriz

emáx = máximo valor da superelevação

ftmáx = máximo valor do coeficiente de atrito lateral

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2.5 - CONDIÇÕES MÍNIMAS DE VISIBILIDADE NAS CURVAS HORIZONTAIS

Todas as curvas horizontais de um traçado devem necessariamente assegurar a visibilidade

a uma distância (Figura 2.1) não inferior à distância de frenagem (Df). Distância de

frenagem (Df) é a mínima distância necessária para que um veículo que percorra a estrada

na velocidade de projeto possa parar, com segurança, antes de atingir um obstáculo na sua

trajetória.

f ± i

V2 Df = 0,69V + 0,0039

onde:

Df = Distância de frenagem em metros

V = velocidade de projeto em km/h

ft = coeficiente de atrito longitudinal pneu x pavimento

i = inclinação longitudinal do trecho (rampa)

A

A

M

Pista Talude Rc

B C

0,75 m

M

Seção Transversal AA

M > Rc [1 - cos(Df / 2 Rc)]

Arco BC > Df

Figura 2.1: Condições mínimas de visiblidade em curvas

2.6 – LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES POR DEFLEXÃO

Figura 2.2: Deflexões e cordas

18

2.6.1 – DEFLEXÃO SUCESSIVA

É o ângulo que a visada a cada estaca forma com a tangente ou com a visada da estaca

anterior. A primeira deflexão sucessiva (d1 ou ds1) é obtida pelo produto da deflexão por

metro (dm) pela distância entre o PC e a primeira estaca inteira dentro da curva (20 – a),

de acordo com a seguinte expressão:

ds1 = (20 – a) .

G 2c

A última deflexão sucessiva (dsPT = dPT) é calculada multiplicando-se a deflexão por metro

pela distância entre o PT e a última estaca inteira dentro da curva:

dsPT = b . G

2c

As demais deflexões são calculadas pela seguinte expressão:

ds = d =

G

2

Figura 2.3: Locação de curva circular simples

2.6.2 – DEFLEXÕES ACUMULADAS

da1 = ds1 = (20 – a) .

G 2c

da2 = ds1 + ds2 = (20 – a) . +

G 2c

G 2

da3 = ds1 + ds2 + ds3 = (20 – a) . + + G 2c

G 2

G 2

M

dan-1 = ds1 + ds2 +...+ dsn-1 = (20 – a). + +...+ = (20 – a) . + (n – 2) .

G 2c

G 2

G 2

G 2

G 2c

dan = daPT = (20 – a) . + (n – 2) . + b .

G 2c

G 2

G 2c

19

Tabela de Locação de curvas circulares simples

ESTACAS DEFLEXÕES SUCESSIVAS DEFLEXÕES ACUMULADAS

PC = x + a 0o 0o

1 ds1 da1

2 ds2 da2

3 ds3 da3

M M M

PT = y + b dsPT daPT = AC/2

2.7 - EXEMPLO

Numa curva horizontal circular simples temos: estaca do PI = 180 + 4,12 m, AC = 45,5o e

Rc = 171,98 m. Determinar os elementos T, D, G20, d, dm e as estacas do PC e do PT.

Construir a tabela de locação da curva.

20

EXERCÍCIOS SOBRE CURVAS HORIZONTAIS

1) Calcular o menor raio que pode ser usado com segurança em uma curva horizontal de

rodovia, com velocidade de projeto igual a 60 km/h, em imediações de cidade.

2) Calcular a superelevação, pelo método da AASHTO, no trecho circular das seguintes

curvas, sendo Vp = 100 km/h e emáx = 10%.

R1 = 521,00 m

R2 = 345,00 m

R3 = 1.348,24 m

3) Para a curva 1 do exercício anterior, calcular:

a) o coeficiente de atrito que efetivamente está sendo "utilizado";

b) a superelevação e o coeficiente de atrito quando da operação na condição de maior

conforto.

4) Em uma curva circular são conhecidos os seguintes elementos: PI = 148 + 5,60 m,

AC = 22° e R = 600,00 m. Calcular a tangente, o desenvolvimento, o grau e as

estacas do PC e PT, sendo uma estaca igual a 20 metros.

PC PT

PI AC

5) Calcular a tabela de locação para a curva do exercício anterior.

6) Em um trecho de rodovia tem-se duas curvas circulares simples. A primeira

começando na estaca (10 + 0,00 m) e terminando na estaca (20 + 9,43 m),

com 300,00m de raio, e a segunda começando na estaca (35 + 14,61 m) e

terminando na estaca (75 + 0,00 m), com 1.500 m de raio. Desejando-se

aumentar o raio da primeira curva para 600,00 m, sem alterar a extensão total

do trecho, qual deve ser o raio da segunda curva?

7) No traçado abaixo, sendo as curvas circulares, calcular a extensão do trecho, as estacas

dos PI’s e a estaca final do traçado.

21

R1 = 1.200,00 m

R2 = 1.600,00 m

46o

est. Zero

1.080,00 m

30o

2.141,25 m

1.809,10 m

8) Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme esquema abaixo,

considerando R1 = R2:

a) qual o maior raio possível?

b) qual o maior raio que se consegue usar, deixando um trecho reto de 80 metros entre

as curvas?

AC1 = 40o

AC2 = 28o

720,00 m

9) Deseja-se projetar um ramo de cruzamento com duas curvas circulares reversas,

conforme figura abaixo. A estaca zero do ramo coincide com a estaca 820 e o PT2

coincide com a estaca (837 + 1,42 m) da estrada tronco. Calcular os valores de R1,

R2, PI2 e PT2.

R1

PT2

PC1 = 0+0,00 m PT1 = PC2

AC1 = 45o

Estaca 820 Estaca 837 + 1,42 m

R2

AC2 = 135o

Estrada Tronco

10) A figura abaixo mostra a planta de um traçado com duas curvas circulares. Calcular as

estacas dos pontos notáveis das curvas (PC, PI e PT) e a estaca inicial do traçado,

sabendo que a estaca do ponto F é 540 + 15,00 metros.

22

F

A

R2 = 1500,00 m

AC2 = 35o R1 = 1100,00 m

1000,00 m

2200,00 m

1800,00 m

AC1 = 40o PI1

PI2