D - Torçao Pura - uff.br - Torcao Pura.pdf · D - Torção Pura 10 4.2 – EIXOS DE SEÇÃO CIRCULAR E MATERIAL ELÁSTICO. O caso mais simples a ser analisado, e de grande importância, por sua vasta

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    04-Feb-2018

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    4.0 TORO PURA 4.1 MOMENTO DE TORO TORQUE Quando uma barra reta submetida, exclusivamente, a um momento em torno

    do eixo da barra, diz-se que estar submetida a um momento toror (ou torque). o caso comum dos eixos que transmitem potncia de motores para mquinas

    utilizadoras. A Fig. 4.1.1 representa um eixo de transmisso acionando um utilizador (bomba) atravs de um torque motor. Ao ser acionado, o movimento de rotao acelerado at que o torque resistente (crescente com o aumento da velocidade de ro-tao) iguala o torque motor, permanecendo, ento, o eixo em rotao constante e torcido por um torque uniforme entre suas extremidades.

    A potncia P transmitida est relacionada com o torque T e a rotao atravs da relao:

    P = W/t = 2F. r / t = T . ; portanto, T = P/............(4.1.1)

    Motor

    Utilizador

    Torque Motor

    Torque Resistente

    Fig. 4.1.1 Eixo submetido a Torque constante ao longo de sua extenso, entre os flanges do motor e do utilizador, aps ser alcanada a velocidade em regime permanente de rotao.

    F

    F

    r Exemplo 4.1.1 Um motor de 60 CV (1 CV = 736 w) acio-na um utilizador atravs de um eixo com 4.000 rpm. Calcu-le o torque aplicado ao eixo. Soluo: P = 60 x 736 = 44,16 kW;

    = 4000 x 2 / 60 =418,9 rad/s. T =105,4 m.N (Resp.)

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    4.2 EIXOS DE SEO CIRCULAR E MATERIAL ELSTICO. O caso mais simples a ser analisado, e de grande importncia, por sua vasta aplicao nos equipamentos mecnicos, se refere aos eixos de transmisso de potn-cia de mquinas, fabricados em material elstico, torneados de forma a que sua seo transversal seja de forma circular (no caso dos eixos macios) ou em forma de coroa de crculo (eixos vazados). Pela simetria circunferencial envolvida, tanto sob o aspecto geomtrico como quanto ao carregamento, podemos afirmar que as tenses tangenciais despertadas nos diversos pontos da seo transversal sero funo apenas da distncia r do ponto em relao ao centro do eixo, onde a tenso dever ser nula. Admitindo que a deforma-o por toro do eixo provoque a rotao de uma seo em relao contgua (e que um certo dimetro, aps girar, permanea reto, mantendo-se como um dimetro), po-demos afirmar que as deformaes por distoro () variaro linearmente em funo da distncia ao centro (r), e, admitindo ainda, tratar-se de um material elstico, para o qual as tenses so proporcionais s distores , podemos presumir que as tenses tangenciais iro variar linearmente com r, e escrever:

    = = = = k r...........................................(4.2.1)

    Como o torque T a resultante dos momentos das foras tangenciais atuantes na seo, em relao a seu centro, podemos escrever: D/2

    T = 0 2 r dr x r. Considerando a relao linear (4.2.1) teremos: D/2

    T = 0 k 2 r3 dr = k [2 r4/4]0D/2 = k D4/32, de onde tiramos: k = T / ( D4/32).

    r

    r

    L

    T

    Fig. 4.2.1 Toro pura de eixos de seo circular; (a) tenses tangenciais ao longo da seo transversal; (b) deformaes por distoro das fibras longitudinais e por rotao da seo transversal.

    (a) (b)

    dr

    Max

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    Convm observar que o termo D4/32 vem a ser o momento de inrcia po-lar (Jp) da rea da seo em relao a seu centro. Levando em (4.2.1) teremos: = (T/Jp) r = [T / ( D4/32)] r. ............................................(4.2.2)

    A mxima tenso ocorrer ao longo da borda externa do eixo, onde r = D/2, e.

    Max = 16 T / D3..........................................................(4.2.3) que pode ser reescrita como: Max = T / Wt sendo Wt o denominado mdulo de resis-tncia toro do eixo, valendo Wt = D3/16 0,2D3

    Exemplo 4.2.1 Para o eixo focalizado no exemplo 4.1.1, determine o valor admissvel para seu dimetro, adotando um valor mximo para a tenso tangencial que no ultrapasse 60 MPa. Soluo: utilizando a equao 4.2.3, teremos:

    (Dmin)3

    =(16 x 105,4) / x 60 x 106 = 8,947 x 10-6 m3 e D = 20,8 mm (Resp.)

    Interessante realar que a parte central de um eixo macio (onde as tenses so baixas) pouca contribuio ter com respeito ao momento de inrcia polar, fazendo com que a tenso mxima seja diminuda no caso dos eixos vazados (lar-gamente utilizados na indstria aeronutica, onde a questo de pesos crucial).

    D d

    Para os eixos vazados teremos: Jp = (/32)(D4 d4), que levada em (4.4) d:

    max = 16 T / D3 (1 - 4444) ) ) ) ............(4.2.4) sendo = d/D.

    max

    L

    R r

    T

    Fig. 4.2.2 Tenses nos eixos de material els-tico e seo circular torcidos

    Fig. 4.2.3 Deformaes nos eixos de material elstico e seo circular torcidos

    Quanto s deformaes entre duas sees contguas, separadas de L, pode-mos estabelecer a seguinte relao entre a distoro sofrida por uma fibra longitudinal distante r do centro e a deformao angular entre as sees:

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    r = = = = L ............................................ (4.2.5)

    Levando em conta a hiptese de ser elstico o material ( = G ), teremos:

    r d = (/G) dL ...................................(4.2.6)

    Considerando (4.2.2) (/r = T/Jp) obtemos: d = dL / G Jp ......(4.2.7)

    No caso de um eixo de dimetro e material uniformes ao longo de sua exten-so L0, a integrao de (4.2.7), de L=0 a L=L0 nos fornece: = = = = T L0 / G Jp ........(4.2.8) (observe a semelhana entre as equaes 4.2.8, 1.6.8 e 3.1.1), sendo: Jp = (D4 d4)32 0,1 (D4 d4)

    Exemplo 4.2.2 Para o eixo es-quematizado pede-se determinar: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de toro entre as sees A e D. Obs.: o trecho macio BC se encaixa no trecho vazado AB, sendo fixado por um pino transversal em B. Dados: Gao = 80 GPa; GLatao = 39 GPa.

    T1 = 10kN.m

    400

    600

    T1 = 30kN.m

    T1 = 15kN.m

    T1 = 5kN.m Lato Vazado D=150;d=100

    A

    B

    C

    D Ao

    Macio D=100 mm

    500 mm Ao

    Macio D=80 mm

    T

    20kN.m

    10kN.m 5kN.m

    Soluo: o diagrama de torques ao longo do eixo permite obter os valores assinalados na figura ao lado: trecho DC: T = 5kN.m; trecho CB: T = 10kNm; trecho BA: T = 15 kNm. Portanto, as tenses mxi-mas calculadas por (4.2.3) atingiro os valores:

    CD- max = 16x5x103/(0,080)3 = 49,7MPa BC- max = 16x10x103/(0,100)3 = 50,9 MPa BA- onde = 100/150 = 0,6667, teremos: max = 16x20x103/(1 4)(0,150)3 = 37,6 MPa Portanto: Resp. (a) max = 50,9 MPa (trecho BC).

    Quanto s deformaes teremos:

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    DA = DC + CB + BA (soma algbrica), sendo = T L / G Jp DC = [5x103 x 0,500] / [(80x109)()(0,080)4/32] = 0,007771 rad () CB = [10x103 x 0,600] / [(80x109)()(0,100)4/32] = 0,007639 rad () BA = [20x103 x 0,400] / [(39x109)()(0,1504 0,1004)/32] = 0,005143 rad (). Portanto: DA = 0,007771 0,007639 + 0,005143 = 0,005275 = 0,30 (Resp. b)

    Exemplo 4.2.3 - A caixa redutora (dupla reduo) esquematizada na figura transmite uma potncia de 200 CV, a 3600 rpm, reduzindo a rotao na sada para 100 rpm. Pede-se dimensionar o eixo inter-

    medirio (ao - G = 80GPa e adm = 60 MPa). Considerar ainda co-mo deformao limite o valor /L = 2,5 /m.

    R = 180mm

    32 dentes 192 dentes

    Eixo intermedirio

    R= 30mm 200 CV 3600 rpm

    1

    2

    4

    3

    Soluo O eixo que aciona o pinho (1) de entrada da caixa estar submetido a um torque T1 = 200 x 736 / (3600x2/60) = 390,5 N.m; a componente tangencial da fora de contato entre os dentes do pinho e da engrenagem (coroa 2) valer F12 = 390,5/0,030 = 13,02kN. Portanto o torque aplicado ao eixo intermedirio pela coroa 2 valer T2 = 13,02 x 0,180 = 2.343 N.m (os torques variam na razo inversa das velocidades e proporcionalmente aos raios, dimetros e n de dentes das engrenagens). Admitindo desprezveis as perdas por atri-to (hiptese conservativa para o clculo dos esforos nas diversas partes do mecanismo) conclumos que o eixo intermedirio estar submetido a um torque T2 = T3 = 2,343 kN.m. Tratando-se de um eixo macio e, levando em conta (4.2.3), podemos escrever, aten-dendo ao critrio de resistncia estabelecido:

    Max = 16 T / D3 ; 60 x 106 = 16 x 2,243 x 103 / (D)3 e D = 57,5 mm Considerando o critrio de rigidez admitido teremos, levando em conta (4.2.8):

    / L0 = T / G Jp; (2,5 / 57,3 *) = 2,243 x 103 / (80 x 109)( D4/32) e D = 50,6 mm. Portanto teremos: D = 58 mm (resposta) (valor que atende aos dois critrios) * o ngulo deve ser expresso em radianos (1 rad = 57,3)

    Exerccio proposto: O motor M, de 3,5 CV, aciona o compressor C atravs do sistema de correias planas mostrado.Desprezando as perdas e considerando to-somente as ten-ses devido toro nos eixos das polias (de raios R = 120mm e r = 30mm), pede-se de-terminar a velocidade de rotao limite para o motor ( especificando se mxima ou mnima) de maneira a que a tenso tangen-cial nos eixos no ultrapasse o valor:

    = 70,0 MPa.

    D = 20mm D = 18mm

    R

    r

    M

    C

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    4.3 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS. O conhecimento das deformaes por distoro angular dos eixos torcidos permite a soluo de problemas hiperestticos, bastando utilizar, em complemen-to s equaes de equilbrio dos torques, as equaes de compatibilidade de de-formaes.

    L1 L2 G1; D1

    G2; D2 T No exemplo da figura ao lado, o eixo escalonado bi-engastado, estando sub-metido ao toque T.

    T1 T T2 A anlise do diagrama de tor-ques permite escrever, pelas condies de equilbrio: T1 + T2 = T .....................(1) A compatibilidade de deforma-es (o ngulo de toro da seo B em relao ao engaste A igual em relao ao engaste C) permite escre-ver: T1 L1 / G1 JP1 = T2 L2 / G2 JP2...(2) (sistema de 2 equaes que nos permite obter o valor das duas incgnitas T1 e T2)

    T1

    T2

    T = 100 N.m

    Exemplo 4.3.1 Os eixos esque-matizados so fabricados em ao (G = 80 GPa). Pede-se calcular: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de giro da extremida-de livre A em relao ao chassis CF.

    Soluo: No trecho AB (isosttico) a ten-so mxima valer; max = 16 x 100 / x (0,025)3=32,6MPa O ngulo de giro entre as sees A e B valer: AB = 32 x 100 x 0,7 / 80 x 109 x x (0,025)4 = 0,02282 rad = 1,31 O torque aplicado ao trecho BC estaticamente indeterminado, valendo: TBC = 100 FEB x 0,040, onde FEB a componente tangencial da fora entre os dentes das engrenagens B e E.

    600

    700 mm

    D = 20

    D = 25

    D = 20

    RB = 40

    RE = 120

    Cordes de Solda

    A

    B

    C

    F

    E

    T = 100 N.m

    FEB

    TC

    Fig. 4.3.1 Eixo bi-engastado e torcido.

    A

    C B

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    4.4 MATERIAL ELASTO-PLSTICO

    Comumente utilizados na construo mecnica, os materiais dteis (como os aos de baixo teor de carbono), quando ensaiados, comportam-se inicialmente de ma-neira elstica (alm de manter relao linear entre tenso e deformao) para em se-guida sofrer a plastificao e escoar, mantendo praticamente constante a tenso en-quanto a deformao prossegue crescente at a runa.

    A compatibilidade de deslocamentos angulares das engrenagens, devido s deforma-es dos respectivos eixos, permite escrever:

    RB = RE , ou seja: RB (TB LB / G JPB ) = RE (TE LE / G JPE), e 0,040 x (100 FBEx 0,040) x 0,600 / G (/32) (0,020)4 =

    = 0,120 x (FBE x 0,120) x 0,600 / G (/32) (0,020)4. Obtem-se FBE = 250 N. Portanto: TC = 100 250 x 0,040 = 90 N.m e TE = 250 x 0,120 = 30 N.m

    O ngulo de giro da engrenagem E (devido torao do eixo FE) valer:

    = 30,0 x 0,600 / 80 x 109 (/32)(0,020)4 = 0,01432 rad = 0,82. O giro da engrenagem B a ela acoplada valer: 0,82 x (120/40) = 2,46, que somado ao ngu-

    lo de toro do eixo BA fornece: AC = 3,77 (Resp.b)

    A tenso mxima no eixo EF valer: = 16 x 30 / (0,020)3= 19,1 MPa. Portanto: a mxima tenso tangencial nos eixos ocorrer em AB, com o valor j calculado

    max =32,6 MPa (Resp. a)

    Exerccio Proposto: O eixo encamisado repre-sentado na figura atacado por um torque T a-travs de uma cavilha diametral que atravessa a parte macia e a camisa. As outras extremidades (do eixo e da camisa) esto solidamente engasta-das. Pede-se determinar o percentual do torque T que ser absorvido pela camisa.

    Dados: CAMISA Bronze - G = 39 GPa Dexterno = 400 mm Dinterno = 340 mm

    EIXO (macio) Ao G = 80 GPa D = 338 mm.

    Um modelo matemtico que se ajusta a tal comportamento seria o dado pelas equaes: = G ............. para escoamento = escoamento ..... para escoamento

    escoamento

    escoamento

    Fig. 4.4.1 Material elasto-plstico.

    T

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    A anlise da distribuio de tenses e deformaes na toro de eixos fabrica-dos com tal tipo de material nos leva a concluir que, submetido a um torque crescente (T1 T2 T3 T4 ), a plastificao ocorrer inicialmente na periferia (T2).

    constante (esc.), at ocorrer a plastificao total (T4), aps o que, um aumento do tor-que provocaria deformaes crescentes at a runa (j que as tenses teriam atingido seu limite mximo). A determinao do raio do ncleo elstico (re) feita utilizando a equao que d o valor do torque na seo como o somatrio dos momentos das foras elementa-res atuantes em seus diversos pontos, a saber:

    Explicitando o raio do ncleo elstico obtemos: re

    3 = (D3 / 2) 6T/ e . (4.4.1)

    Prosseguindo a crescer o torque (T3), a tenso mxima se mante-r estacionria no valor esc. , causando a plastificao das camadas interiores, que ficam divididas numa regio central (ncleo elstico) onde a tenso varia linearmente de zero no centro a esc. , e um anel plasti-ficado, onde a tenso ser

    Fig. 4.4.2 Ncleo elstico Coroa plastificada

    T1 T2 T3 T4

    esc esc esc

    D/2 T = 0 dA . r = re (D/2)

    = 0 (k r) dA . r + re e dA . r ; Fazendo dA = 2 r dr (onde constante a tenso ), obtem-se: T = [k 2 r4/4]ore + [2 r3 / 3]reD/2 . Considerando que, no limite do ncleo els-tico (r = re), onde ainda se pode escrever que = k r, com = e , tem-se: k = e / re, e T = [e re3/2] + (2 / 3)(D3/8 re3) .

    Fig.4.4.3 Raio do ncleo elstico.

    r dr

    re

    T

    D

    O ato de torcer um eixo circular implica em fazer girar de um ngulo uma dada seo em relao a outra contgua, distante de dL, independentemente da distribuio das tenses, o que nos permite continuar escrevendo, como em (4.2.5): r d = dL , para qualquer r, inclusive na interface entre o ncleo elstico e a coroa plastificada, onde e = G e, o que leva a d = e dL / G re, que, integrada de 0 a L nos d: = = = = e L / G re ............................................. (4.4.2) que ocupa o lugar da equao (4.2.8), no caso de eixos plastificados. Fig. 4.4.4 - Deformaes

    r

    dL

    d

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    Soluo: (a) o torque no eixo CD vale 0,400 P, ocorrendo uma fora entre os dentes das engrenagen...