DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2007 - Operação de ... · 1.1 – Introdução ... René Descartes ... asfalto da rodovia aparenta estar molhado.-Ouvir o som de um piano.-A poluição

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

F Í S I C A

Ensino Médio

Subsídios para um estudo numa perspectiva histórica e experimental

Carlos Noel Mazia

Polônia Altoé Fusinato

APRESENTAÇÃO

Apresentamos o presente material visando uma contribuição para que, ao nos

apropriarmos do conhecimento físico, possamos compreender a ciência como construção

humana, isto é, uma construção que tem a dimensão histórica e social.

A história nos diz que um grande número de homens e mulheres não se contentaram em

apenas contemplar a beleza do universo, mas se embrenharam na busca incessante de respostas

às suas perguntas. E é graças aos seus trabalhos que hoje podemos nos apropriar de

conhecimentos com uma facilidade que eles não tinham durante o processo de elaboração da

ciência. Não é fruto do trabalho de uma única pessoa, mas de gerações. Newton afirmou isto

dizendo que estava assentado nos ombros de gigantes. Ao estudarmos a história da ciência,

veremos que aqueles que a elaboraram não eram gênios que viviam em redomas, mas seres

humanos imersos nas encruzilhadas das relações políticas, econômicas e sociais num

determinado período da história.

Apresentamos uma coletânea de subsídios para o estudo da mecânica através de

experimentos simples bem como para um aprofundamento no estudo da história, visando a

compreensão da evolução dos conceitos de força e movimento ao longo das gerações.

Para compreendermos a natureza, fazemos uso de sua representação que são as equações

matemáticas. A linguagem matemática aqui requerida é do nível do Ensino Fundamental,

portanto, do completo domínio do estudante.

As atividades propostas objetivam que você, juntamente com seu professor,

complementem este material, tornando-nos parceiros na busca do conhecimento.

SUMÁRIO

Apresentação............................................................................................................................02

Capitulo I: FÍSICA, UMA CONSTRUÇÃO HUMANA.......................................................06

1.1 – Introdução......................................................................................................................07

Capitulo II: GRANDEZAS E SUAS MEDIDAS..................................................................11

2.1 - Grandezas e suas medidas ............................................................................................ 12

2.2 – Sistema Métrico Decimal ............................................................................................ 19

2.3 – A notação científica.........................................................................................................21

Capitulo III: ESTUDO DOS MOVIMENTOS......................................................................27

3.1 - Estudo dos movimentos-atividades práticas....................................................................28

3.2 - Uma visão histórica do movimento ................................................................................34

3.3 - Galileu e as leis domovimento.........................................................................................35

3.4 - Fundamentação teórica....................................................................................................43

3.5 – Resumo das equações do movimento............................................................................ 52

Capitulo IV: NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL...........................................................53

4.1 - Grandezas escalares e vetoriais.......................................................................................54

4.1.1 - Operações com vetores – cálculo vetorial....................................................................56

Capitulo V: FORÇA E MOVIMENTO..................................................................................62

5.1 - Interações........................................................................................................................ 63

5.2 - Quantidade de movimento...............................................................................................64

5.3 - Variação da quantidade de movimento........................................................................... 68

5.4 - Impulso de uma força......................................................................................................71

5.5 - Evolução histórica dos conceitos de força e movimento............................................... 73

5.6 - A teoria do ímpetus.........................................................................................................76

5.7 - Alguns tópicos dos trabalhos de Isaak Newton..............................................................79

5.7.1 - Segunda lei de Newton................................................................................................79

5.8 - Galileu Galilei e o movimento uniforme.......................................................................82 5.9

- Conservação da quantidade de movimento.e as leis do movimento..............................83

5.9.1 – Terceira lei de Newton............................................................................................. 91

5.9.2 – Primeira lei de Newton............................................................................................ 93

5.10 - Forças de resistências.................................................................................................. . 97

5.11 – As forças de resistências na visão aristotélica...............................................................98

5.12 - Forças de reação das superfícies de apoio....................................................................100

5.13 - Lei de Hooke – força elástica.......................................................................................103

5.14 – Retomando o estudo das forças de atrito.....................................................................107

5.14.1 – Plano horizontal com atrito.......................................................................................109

5.14.2 – Plano inclinado sem atrito....................................................................................... .112

5.14.3 – A decomposição da força-peso................................................................................ 114

5.14.4 - Plano inclinado com atrito.........................................................................................118

Capitulo VI: TRABALHO E ENERGIA..............................................................................125

6.1 – Trabalho e energia..........................................................................................................126

6.2 – Energia cinética .............................................................................................................128

6.3 – Energia potencial ...........................................................................................................129

6.4 – Sinal do trabalho............................................................................................................131

6.5 – Teorema da energia cinética..........................................................................................132

6.6 – Energia potencial gravitacional......................................................................................132

6.7 – Energia potencial elástica...............................................................................................133

6.8 – Energia mecânica...........................................................................................................133

6.9 – Principio da Conservação da energia.............................................................................134

6.10 – Potência........................................................................................................................134

6.11 – Um pouco de história...................................................................................................140

6.12 – René Descartes ............................................................................................................141

6.13 – Gottfried Wilhelm Leibniz...........................................................................................143

6.14 – A polêmica...................................................................................................................143

Capitulo VII: GRAVITAÇÃO UNIVERSAL......................................................................146

7.1 – Gravitação universal......................................................................................................147

7.2 – Contribuições históricas.................................................................................................148

7.3 – Astrônomos da Grécia Antiga.......................................................................................150

7.4 - A teoria dos epiciclos................................................................................................... 156

7.5 - Sistema geocêntrico de Ptolomeu................................................................................. 157

7.6 - As claridades de um novo paradigma........................................................................... 158

7.7 – Definição V dos Princípios Matemáticos de Filosofia Natural de Isaak Newton ....... 173

Capitulo VIII: SE OS CORPOS NÃO SE TOCAM COMO OCORRE A INTERAÇÃO?..180

8.1 - Ação à distância ou campo mediador?...........................................................................181

8.2 – Conceito de campo.........................................................................................................183

8.3 - Comportamentos de corpos lançados no campo gravitacional.......................................183

8.4 - Lançamentos vertical, obliquo e horizontal....................................................................186

Capitulo IX: TEORIA DA RELATIVIDADE.......................................................................191

9.1 - Novas mudanças de paradigmas.................................................................................... 192

9.2 - Teoria da relatividade restrita ou especial ................................................................... 193

9.3 - Teoria da relatividade geral......................................................................................... 193

Bibliografia......................................................................................................................... ...194

CAPÍTULO I

FÍSICA, UMA CONSTRUÇÃO

HUMANA

07

1.1 - INTRODUÇÃO

Caro estudante:

Dando-se continuidade ao estudo das Ciências Naturais nesta nova etapa de construção

do conhecimento, estudar-se-á os campos da Física, da Química e da Biologia, oportunizando

ampliar a compreensão da natureza e dos fenômenos que nela ocorrem. Costuma-se classificar

tais fenômenos em físicos, químicos e biológicos. Em nossas aulas de física enfocaremos os

fenômenos físicos, não perdendo de vista que o homem é a unidade do todo, isto é, seus

conhecimentos não são compartimentos estanques nas suas relações com o mundo e com a

sociedade.

Imagine um indivíduo que more numa casa em cujo interior pode-se encontrar:

computador, rádio, televisão, telefone, geladeira, forno de microondas, chuveiro elétrico, ferro

elétrico, máquina de lavar roupa, aparelho condicionador de ar, carro na garagem e outros.

Participando de um campeonato de balonismo, ele pode visualizar, entre outros, a modificação

do meio ambiente devido à intervenção do homem tais como usinas hidrelétricas, barragens,

pontes, cidades e outros.

Reflita um pouco sobre os tópicos acima e a enorme quantidade de conhecimentos

embutidos nos produtos do trabalho humano. São apenas alguns exemplos da presença da física

perto de nós. Tudo que nos rodeia, que nos envolve constitui um mundo a ser desvendado pela

curiosidade que é inerente ao ser humano, pelos seus questionamentos, pela busca de respostas

aos seus problemas.

Desde seu nascimento até o presente momento, você interage com o mundo e com a

sociedade, construindo conhecimentos, elaborando teorias e propondo soluções. Mas estes

conhecimentos, estes pensamentos precisam ser reelaborados, reestruturados e sistematizados

para que possam se constituir em conhecimento científico. E isto passa pelo conhecimento

escolar.

Para facilitar nossa compreensão do mundo que aí está, apresentaremos na atividade (1)

algumas ações que o homem realiza e/ou produto do trabalho humano que utiliza. Debatendo,

discutindo e refletindo com o professor e com seus colegas sobre os tópicos listados, procure

relacioná-los com os respectivos ramos da física. Orientado pelo professor, descreva, nas

respectivas colunas, o ramo da física ao qual pertence e seu objeto de estudo.

08

ATIVIDADES – 1

ATIVIDADE RAMOS DA FÍSICA OBJETO DE ESTUDO-Jogar bola, andar de bicicleta, apertar um parafuso.

-Perfurar o solo com bate-estaca.-Usar um elevador para subir/descer em um edifício.-Usar um carro para se deslocar.-O vento empurra um veleiro.-Cozinhar alimentos ou assar um bolo no fogão a gás.-Usar agasalhos no inverno.-Conservar alimentos usando geladeira.-Manter a caldeira alimentada pelo fogo.-Fotografar pessoas e paisagens.-Observar uma cultura de bactérias no microscópio.-Assistir a um filme no cinema.-Observar as cores do arco-íris num dia de chuva e sol.-Num dia seco e quente, o asfalto da rodovia aparenta estar molhado.-Ouvir o som de um piano.-A poluição sonora é um incômodo.-Falar ao telefone/celular.-Ouvimos o estrondo de um trovão bem depois do clarão.-Assistir ou participar de um campeonato de surf.-Como o som da rádio chega até nossos ouvidos.-O efeito do impacto de uma pedrinha na superfície tranqüila de um lago.

09

ATIVIDADES RAMOS DA FÍSICA OBJETO DE ESTUDO-Levar um choque elétrico ao manusear um circuito.-Um simples relê foi o causador da queda do avião da TAM, em 1999.-Uma bússola não funciona perto de cabos de alta tensão.-Por que tem ímãs entre os

componentes de um motor elétrico?

Você consegue imaginar a enorme quantidade de conhecimentos que a humanidade

acumulou desde o início da civilização até os dias de hoje, principalmente no campo da Física?

Quase tudo o que vemos e usufruímos é fruto do trabalho humano. É através do trabalho

que o homem intervém na natureza, buscando respostas para suas perguntas e soluções para

seus problemas.

Mas, como era a relação do homem com a natureza nos primórdios da vida? Como ele

explicava os fenômenos naturais, como as descargas elétricas (raios), o fogo, as tempestades, as

enchentes dos rios etc? Dos seus estudos de História, você pode concluir que nossos ancestrais

buscavam a explicação na mitologia: interpretavam os fenômenos como manifestações dos

humores dos deuses. Adotavam uma atitude de reverência para com a natureza.

À medida que os conhecimentos foram se acumulando, o homem passou a dominar a

natureza sem atentar para os seus limites. Até que ponto a natureza permite que a subjuguemos?

Será que a natureza não está cobrando a fatura pela não respeito aos seus limites? Como

podemos “elaborar” uma ciência no sentido de despertar a consciência para a necessidade de

uma “parceria” ou “aliança” com a natureza, tendo em vista que o homem é parte dela?

Organizando-nos em grupos, desenvolveremos a atividade (2), procurando refletir sobre

o comportamento do homem, a partir de conhecimentos que você construiu ao longo da vida.

01) Expliquem como era o habitat, o meio de subsistência e de defesa de alguns animais, como

os elencados abaixo:

10

ATIVIDADES - 02

ANIMAIS NOS PRIMÓRDIOS DAVIDA HUMANA

NOS DIAS ATUAIS

Felinos (onça, leopardo, leão, jaguatirica e outros) Répteis (cobras, lagartos e outros)Mamíferos ruminantes (bois, cabras, ovelhas e outros)Aves [de ninhos mais elaborados (joão-de-barro, beija-flor e outros0] Roedores (como o castor...)

Insetos (como abelhas, cupins, formigas e outros)Homem

02) O que se pode constatar da sua resposta ao item (01)?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

03) Animais como a abelha, o cupim, a formiga e o castor fazem uso de ferramentas e/ou

instrumentos não-naturais para realizar suas atividades? _________ E o homem?__________

04) Então, o que diferencia as atividades do homem das atividades dos outros animais?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

CAPÍTULO II

GRANDEZAS E SUAS MEDIDAS

12

2.1 - GRANDEZAS E SUAS MEDIDAS

Para garantir alimentação e defesa contra os animais e outros inimigos e contra as

intempéries, o homem primitivo passa a agir intencionalmente sobre a realidade. Esta ação é

fruto da sua capacidade de observar, comparar e relacionar. A necessidade de fiscalizar seus

bens (animais do rebanho, por exemplo) obrigou-o a relacioná-los com um conjunto de

pedrinhas ou sementes, ensejando assim, a criação dos números. Observando e admirando os

céus, descobre a regularidade e a periodicidade dos corpos celestes e aprende a relacionar tais

períodos com o desenvolvimento das plantas (agricultura) e dos animais (pecuária). Surgiu

assim a tentativa de medição do tempo. A comparação dos tamanhos e massas (“pesos”) de um

peixe com outro, ou de animal com outro, abatidos na caça se constituiu num processo de

medição. Nestas épocas remotas, nos primórdios da civilização, a técnica desenvolvida pelo

homem era bastante rudimentar e primitiva, por isso os processos de medição usados eram

bastante simples. O ato de medir, de realizar trabalho e, portanto de intervir na natureza,

caracteriza o homem como um ser que faz cultura. Neste sentido, o ato de medir, de comparar,

de estimar está ligado ao começo da cultura humana.

Sendo o homem um ser social, houve um marco na sua evolução a partir do qual ele

passou a viver em grupos, com as necessárias regras para o convívio social. À medida que o

número de indivíduos cresceu, maior tornou-se a necessidade de medição. Inicialmente os

processos de medidas eram bastante simples, por basearem-se nas partes do próprio corpo:

comprimento do braço, comprimento da coxa, largura da mão, grossura do dedo e comprimento

do passo. Por isto, as unidades associadas a estes processos são chamadas de antropométricas.

Usavam-se também utensílios de uso cotidiano, como cuias e vasilhas.

Neste texto, as palavras tamanho (dimensões), tempo e massa ( “peso”) constituem uma

categoria chamada grandeza. Então: grandeza é tudo que pode ser medido.

Para melhor entendimento, respondamos algumas questões.

ATIVIDADES - 1

01) O que significa mensurar?

___________________________________________________________________________

13

02) O amor e o ódio entre as pessoas, o ciúme, a inveja, o cansaço, a coragem e o medo são

grandezas mensuráveis?________ Explique por quê?_________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

03) Você pode usar uma balança para medir o comprimento de uma rua?_______________ Por

que?____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

04) Você pode usar o cronômetro para medir a massa de um corpo?______________Por que?

___________________________________________________________________________

05) O que significa então o ato de medir uma grandeza? Reflita, pesquise e escreva sua resposta

no retângulo abaixo:

2.1.1 - Medidas de comprimento

Os processos de medida baseados nas partes do corpo humano mostraram-se

inadequados com o surgimento das primeiras civilizações devido às diferenças anatômicas entre

os indivíduos e às diferenças entre os povos. É possível termos uma idéia de quão confusas e

difíceis eram as relações comerciais entre os indivíduos de uma mesma civilização.

Devido às suas diferenças anatômicas, as medidas de comprimento usadas nas transações eram

conflituosas. Para facilitar o comércio no interior de uma mesma comunidade, padrões de

medidas de comprimento foram criados, geralmente baseados nas medidas do corpo do rei.

Algumas dessas medidas padrão continuam sendo empregadas até hoje, principalmente na

Inglaterra e nos Estados Unidos. Veja alguns exemplos:

• Polegada: corresponde à largura do polegar

1 polegada = 2,54 cm

• Pé: corresponde ao comprimento do pé.

1 pé = 30,48 cm

1 pé = 12 polegadas

• Jarda: corresponde à distância entre o nariz e a ponta do polegar (cabeça

erguida, braço esticado e mão fechada).

14

1 jarda = 91,44 cm

1 jarda = 3 pés

• Braça: distância do dedo médio da mão esquerda ao dedo médio da mão

direita, braços e mãos esticados (Telecurso 2000 – aula 1).

1 braça ≈ 1,80 m

- terrestre = 1.609 m

• Milha

- marítima = 1.852 m

De acordo com Moscati (2005), a milha era uma medida de distância na Roma Antiga, e

correspondia à distância percorrida por um centurião romano ao completar mil passos duplos

em sua marcha.

Existem unidades padrão cujas fontes históricas são discordantes. É o caso do côvado

egípcio. Uma fonte nos diz que se trata de uma medida de comprimento cujo padrão é a

distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço dobrados em

ângulo reto e a mão esticada. 1 O padrão real correspondia a 7 palmos ou 28 dedos,

equivalendo atualmente a 52,3 cm. Outra fonte dá o nome de cúbito a esta medida. Das suas

aulas de ciências, você sabe que cúbito é um dos ossos do antebraço. Para esta mesma fonte,

côvado era uma medida padrão equivalente a três palmos, aproximadamente, 66 cm. 1 Era a

medida usada por Noé ao contruir a arca conforme relato do dilúvio bíblico. Uma terceira fonte

se refere a esta medida como braça. Segundo esta fonte, a braça foi a mais antiga medida linear

usada pelos egípcios, babilônios, hebreus e gregos. Os egípcios tinham dois tipos de braça: a

braça curta (17,7 polegadas = 0,45m) e a braça real (20,6 polegadas=0,524m). 2

1. Adaptado de material do Telecurso 2000 – aula 1.

2. Dados extraídos do site

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Artigos/Curiosidadesmat/medidas.htm

15

Os gregos introduziram o pé (pous) e os romanos o adaptaram.

Como veremos mais adiante, atualmente a unidade padrão de medida de comprimento é

o metro, o qual está materializado numa barra de platina iridiada, guardada na Agência

Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, perto de Paris.

ATIVIDADE – 2

Conversando com seus professores de história, geografia e/ou português ou pesquisando

na internet, redija um pequeno texto sobre a expressão telha de coxa, enfatizando seu caráter

histórico e geográfico.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2.1.2 - Medidas de tempo

O tempo é uma grandeza cujas medidas passaram a ter um “caráter de ciências” com os

trabalhos de Galileu Galilei, em seus estudos quantitativos do movimento, no século XVII. Mas

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Artigos/Curiosidadesmat/medidas.htm

foi objeto de preocupação na Antiguidade e na Idade Média. Na Antiguidade, as pessoas

serviam-se do movimento periódico dos corpos celestes para estimar o tempo. Já no século II

a.C., os astrônomos, raciocinando sobre o movimento da Lua e dos demais astros e das

estações do ano, determinaram a duração do ano em dias. No século I d. C., o imperador

romano Julio César elaborou o calendário juliano, mais preciso do que o anterior. O calendário

juliano foi substituído pelo atual, o calendário gregoriano no século XVI. As medidas de tempo

não sofreram tantas mudanças ao longo da história como as medidas de comprimento e de

massa.

Em relação ao período medieval, algumas relíquias preservadas em museus atestam a

preocupação e a necessidade do homem em medir o tempo: relógios de água (clepsidras),

conhecidos pelos egípcios, relógios de areia (ampulhetas), relógios solares (gnomões) e os

relógios de combustão (velas e candeias).

Atualmente, a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, cujas definições vamos

estudar mais adiante.

16

ATIVIDADE – 3

Galileu usou uma clepsidra para estudar experimentalmente o movimento. Em que

consistia tal dispositivo? Como era usado? Qual a técnica que Galileu usou para realizar esta

atividade experimental? Pesquise e apresente seus resultados para a classe.

2.1.3 - Medidas de massa (“peso”)

O instrumento usado para medir massa é a balança. Foi inventado no Egito entre 4000 a

5000 anos a. C. Para comparações de massa, eram usados pequenos objetos “padronizados”

com formato de animais. Usavam também pequenos cilindros de base côncava, com

aproximadamente 13 gramas. Muitos desses objetos foram encontrados nas pirâmides e nas

tumbas dos nobres egipcios. Usavam também grãos de cereais e sementes.

Na Roma Antiga a medida de massa (“peso”) era a onça (Oz) e era a menor unidade.

Atualmente, uma onça corresponde a 28,35 gramas. Os romanos usavam também a libra. Libra

é um vocábulo latino que significa balança. Tinham dois sistemas de libras: uma que

equivalia a 12 onças e outra que equivalia a 16 onças. Em inglês, libra = pound (lb) e onça =

ounce (Oz).

Não devemos confundir massa com peso. Conforme Calçado e Sampaio (2005), o

conceito de massa surgiu na história inicialmente como a grandeza que mede a quantidade de

matéria que há num corpo. Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai em direção ao

seu centro. A massa de um corpo é obtida por comparação desse corpo com corpos padrão por

meio de uma balança de braços iguais. Atualmente, a unidade padrão de medida de massa é o

quilograma, o qual está materializado num cilindro de platina iridiada e guardado na Agência

Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, perto da capital francesa.

Os sistemas de medidas dos povos da Antiguidade no Oriente Médio foram fortemente

marcados pela influência egípcia. A conquista da região pelos romanos ensejou a disseminação

do sistema egípcio pela Europa, vindo a evoluir para novas formas ao interagir com os sistemas

europeus.

Com o colapso do Império Romano e a invasão da Europa por tribos bárbaras houve um

grande retrocesso no aperfeiçoamento das medidas. Nesse período de trevas que caracterizou a

Idade Média, vários sistemas de medidas por pouco não teriam desaparecidos

17

se não fosse os esforços de alguns monarcas que reinavam nessa época. Mais tarde, os sistemas

de medidas e padrões unificados foram introduzidos pelos reis saxônicos.

Houve diversas tentativas objetivando racionalizar medidas, porém nenhuma delas

conseguiu uma utilização internacional e homogênea. A discordância entre as cópias e os

padrões, as falhas de interpretação e a má fé de alguns mercadores gestaram uma situação que

era uma verdadeira babel. A solução para este problema adveio de um acontecimento num país

do ocidente, que teve repercussão mundial. De acordo com o professor Alberto Gaspar,

...a França do século XVIII vivia uma situação caótica. E nesta situação praticamente sem lei, os poderosos aproveitaram da ocasião para oprimir os menos favorecidos. A inexistência de um padrão único de medida possibilitava o uso de “dois pesos e duas medidas”: um padrão para vender e outro para comprar; um padrão para pagar e outro para receber (Gaspar, 2000, p.23 ).

ATIVIDADE – 4

Escreva um pequeno comentário sobre o que simboliza a estátua de uma mulher com os

olhos vendados, segurando em uma das mãos uma espada e na outra, uma balança de dois

pratos, comumente vista nas repartições do poder judiciário.

O que caracteriza o homem enquanto ser que interfere na realidade, modificando-a, é o

trabalho humano. E na execução do trabalho, o homem faz uso das mais diversas ferramentas e

instrumentos de medida. No seu relacionamento com pessoas que trabalham, verifique que tipos

de instrumentos de medidas elas usam no exercício da profissão. Observe também instrumentos

de medida usados em casa. Para a próxima aula, traga alguns instrumentos que puder

encontrar.

18

INSTRUMENTOS DE MEDIDAS

ATIVIDADE 7

01) Vamos apresentar os instrumentos de medida, escrevendo o nome e explicando sua

utilidade.

TABELA - I

Nome do instrumento Utilidade

19

2.2 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

2.2.1 - Unidades de comprimento

Com o advento da Revolução Industrial e com o desenvolvimento do sistema capitalista,

o comércio internacional se intensifica, surgindo assim a necessidade de um sistema de medidas

com um maior grau de precisão e cujos padrões fossem aceitos por todos os países.

Todos os padrões de medidas sofreram desgastes com o tempo. Surgiu então no século

XVII, um movimento para o estabelecimento de uma unidade que pudesse ser facilmente

copiada, baseada numa constante natural, isto é, não arbitrária, constituindo um padrão de

medida. Essa tarefa foi solicitada pelo governo francês à Academia Francesa de Ciências.

Faziam parte dessa instituição, nomes como Lavoisier, Laplace, Borda, Lagrange e outros. Essa

unidade deveria ter submúltiplos de acordo com o sistema decimal, sistema este inventado na

Índia quatrocentos anos antes de Cristo. A academia Francesa de Ciências propôs uma unidade

de comprimento que substituísse todas aquelas em uso no mundo todo. Esta unidade padrão é o

metro. Metro vem do grego (metron) e significa medir. Desses estudos nasceu um projeto de

sistema métrico decimal que foi apresentado por Talleyrand na França e transformado em lei

em 8 de maio de 1790 (Telecurso 2000, aula 1).

O Sistema Métrico Decimal foi o primeiro sistema planejado de pesos e medidas. Fazia

parte das reformas promovidas pela Revolução Francesa. Segundo Giorgio Moscati do

INMETRO, este sistema rompeu com os padrões antropomórficos, buscando padrões,

considerados estáveis na época.

Os astrônomos franceses Delambre e Mechain, utilizando a toesa como unidade,

mediram a distância entre Dunkerque (França) e Montjuich (Espanha). Através de cálculos,

obtiveram uma distância que foi materializada numa barra de platina de secção retangular de

4,05 X 25 mm. O comprimento dessa barra foi considerado a unidade padrão, chamado metro

e de acordo com os estudiosos da época corresponderia à décima milionésima parte de um

quarto do meridiano terrestre.

O uso do Sistema Métrico Decimal se tornou obrigatório em território francês a partir de

1840. Em 1870 começa a padronização em nível internacional, com os trabalhos realizados na

Convenção Internacional do metro. Nessa convenção foi instituído o Bureau International de

Pois et Mesures – BIPM (Agência Internacional de Pesos e Medidas), que

20

passou a guardar os padrões, feitos em platina iridiada e a fornecer cópias dos mesmos aos

paises membros.

Por volta do século XIX alguns pesquisadores perceberam as inconveniências de se ter

padrões ligados às dimensões da Terra e materializados na forma de objetos, como o metro

padrão e o quilograma padrão. Para a criação de um padrão permanente, recorreu-se à medida

da Terra (um quarto do meridiano terrestre). Mas será que as dimensões da Terra e o tempo que

ela gasta para dar uma volta são imutáveis? Posteriormente o cientista J. C. Maxwell, definiu

que a criação de padrões absolutamente permanentes não deve ser baseada nas dimensões,

movimentos ou massa do nosso planeta, mas no comprimento de onda, no período de vibração e

na massa absoluta das moléculas, pois elas são imortais, inalteráveis e idênticas uma à outra

(num mesmo elemento químico), de acordo com Giorgio.

Com o desenvolvimento da ciência e da técnica, as definições para o metro e para o

segundo sofreram diversas alterações. O sistema de unidades tem caráter dinâmico, “não

engessado”. Sofre modificações com o desenvolvimento científico. Na busca de melhor

definição, se necessário troca o padrão. Assim, novos instrumentos de precisão e novas

unidades de medida foram criados devido às descobertas científicas nos ramos da termologia,

da óptica e da eletricidade.

Em 1960, a 11ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas substituiu o sistema

métrico pelo atual Sistema Internacional de Unidades (SI). Neste sistema, o metro e o segundo

foram redefinidos.

A mais recente das várias definições apresentadas para o metro é a seguinte, tendo em

vista que todas as definições propostas somente estabeleceram com maior exatidão o valor

da mesma unidade. Metro é a distância percorrida pela luz no vácuo, no intervalor de

tempo de 458.792.299

1 do segundo.

2.2.2 – Unidade de massa

Ainda de acordo com as proposições da Academia Francesa de Ciências, as diferentes

unidades de massa [“peso”] (libra, onça, pecul, rotolo, etc) deveriam ser substituídas pelo

grama. Este foi definido como a massa de um centímetro cúbico de água a 4ºC de temperatura,

pois nessa temperatura, a densidade da água é máxima.

21

Atualmente, a unidade de massa é o quilograma. É definido como a massa de um cilindro

padrão de platina-iridio, conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, na

França (Telecurso 2000, aula 2).

2.2.3 – UNIDADE DE TEMPO

A unidade de tempo, o segundo, que era definida como sendo 86.400 avos do dia solar

médio passa a ser “o tempo necessário para que a radiação do elemento químico césio vibre

9.192.631.770 vezes”.

ATIVIDADE 8

01) Com os dados da página 10 e com as considerações históricas, complete a tabela abaixo

com as unidades do Sistema Internacional de Unidades (somente aquelas com as quais vamos

trabalhar nas primeiras partes da mecânica):

TABELA - 2

Grandeza Nome da unidade padrão de

medida

Símbolo da unidade padrão

ComprimentoMassaTempo

2.3 - A NOTAÇÃO CIENTÍFICA

No estudo da física utiliza-se largamente a notação científica como recurso valioso e

eficiente, por agilizar os cálculos necessários à compreensão de conceitos físicos presentes nos

fenômenos naturais.

A maioria das calculadoras possui capacidade limitada de memória, dificultando a

operacionalização de números que são expressos por grandes quantidades de dígitos. Para

ocupar o menor espaço possível na memória da máquina, trabalhamos com a notação científica.

A notação científica é baseada na conservação do valor do número pela aplicação

simultânea das operações multiplicação/divisão.

Notação científica: é a escrita de um númerona forma de um produto de dois fatores, sendo:

22

1° fator: um número real n maior ou igual a 1 e menor que 10.

1 ≤ n < 10

2° fator: uma potência de base 10, cujo expoente representa a

quantidade de dígitos a serem “saltados” pela virgula.

ATIVIDADES 9

01) Escreva os seguintes números em notação científica:

a) 1231 = b) 822 =

c) 0,01 = d) 0,0021 =

e) 1300 = f) 0,0005 =

g) 0,0000019 = h) 2170000000 =

i) 12,5.10 8 = j) 0,0000004.10 7− =

k) 52,3.10 3− = l) 0,102 =

02) Com a ajuda do professor(a) ou fazendo uma pesquisa bibliográfica, complete a tabela

seguinte:

TABELA - 3

Prefixo Símbolo Valor Potência de 10 correspondente

ExaPentaTeraGigaMegaQuiloHectoDecaDeciCentiMiliMicroNanoPicoFemtoAtto

23

03) Escreva na TABELA – 4 abaixo, três múltiplos e três submúltiplos do metro:

Prefixo + metro Símbolo Valor Potência de 10

1 metro

04) Complete as lacunas, usando notação científica:

a) 1 minuto corresponde a ___________segundos

b) 1 hora corresponde a ___________minutos ou a _______________segundos

c) 1 dia corresponde a _______horas ou a __________minutos ou a __________segundos

d) 1 mês corresponde a:

• _________________dias

• _________________horas

• _________________ minutos

• _________________segundos

e) 1 ano corresponde a:

• ________________meses

• ________________ dias

• ________________ horas

• ________________ minutos

• ________________ segundos

05) Complete a tabela abaixo, escrevendo pelo menos duas unidades usadas com freqüência em

sua vida diária, para medir as seguintes grandezas:

24

TABELA – 5

Grandeza Unidade 1 Unidade 2

Comprimento

Área

Volume

Tempo

06)

a) Considere as seguintes unidades de tempo: hora (h), minuto (min) e segundos (s). Elas

constituem um sistema decimal?_______Explique. __________________________________

___________________________________________________________________________

b) Para você perceber que um sistema não decimal dificulta consideravelmente a realização de

operações matemáticas, resolva a questão seguinte: qual a duração de uma partida de voleibol

na qual o tempo de cada set foi:

1° set → 50 min 32 s

2° set → 49 min 45 s

3° set → 30 min 35 s

Apresente sua resposta em horas, minutos e segundos.

07) No quadro abaixo estão registradas três grandezas. Complete o quadro, escrevendo suas

respectivas unidades (de base) no S. I. na 2ª coluna e a qual sistema de numeração (decimal ou

sexagesimal) pertence a respectiva unidade de medida na 3ª coluna:

TABELA - 6

Grandeza Unidade padrão do S. I. Sistema de numeraçãoComprimentoTempoMassa 25

08)

a) Suponha que a duração de um evento tenha sido 3,5 h (observe que estamos usando a

notação decimal). Esse intervalo de tempo é:

( ) maior que 3h 30 min

( ) menor que 3h 30 min

( ) igual a 3h 30 min

b) Considere um intervalo de tempo de 8,7 h. Expresse esse tempo na notação não decimal

(horas e minutos).

c) Expresse na notação decimal, usando a hora como unidade, um intervalo de tempo de

5h18min.

09) Que sistema de numeração expressa a tabela do exercício (13)?

( ) decimal

( ) sexagesimal

( ) binário

10)

a) O estabelecimento do Sistema Métrico Decimal na França decorreu de propostas surgidas

durante um acontecimento histórico de repercussão mundial. Qual foi ele?

___________________________________________________________________________

b) Qual era o imperador da França quando o ensino do Sistema Métrico Decimal tornou-se

obrigatório nas escolas daquele pais?

___________________________________________________________________________

11) a) Qual foi o país ocidental importante que deixou de participar da Convenção do Metro,

realizada em 1875, na França?

___________________________________________________________________________

b) Qual a conseqüência desse fato?

___________________________________________________________________________

26

12)

a) Como se denomina o sistema de unidades, estabelecido em 1960, usado mundialmente, tendo

como base o antigo Sistema Métrico Decimal?

___________________________________________________________________________

b) O que vem ocorrendo com relação a esse sistema nos países de língua inglesa?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

CAPITULO III

ESTUDO DOS MOVIMENTOS

28

3.1 - ESTUDO DOS MOVIMENTOS

ATIVIDADES PRÁTICAS – I

Objetivo: observar o movimento de carrinhos movidos a pilha e reelaborar os conceitos de

movimento, repouso e referencial.

Materiais utilizados

- Um carrinho movido à pilha, com ou sem controle remoto. Pode ser um trenzinho.

- Uma pista ou “trajetória”, confeccionada com três metros de papel craft ou oleado.

• Escolher um ponto situado aproximadamente na metade do comprimento do papel e associar a

este ponto o valor zero (origem das posições).

• À direita deste ponto zero, fazer marcas eqüidistantes sobre o papel (com canetão azul),

associando-lhes valores positivos, em ordem crescente. E à esquerda do ponto zero, fazer

também marcas eqüidistantes no papel (com canetão vermelho), associando-lhes valores

negativos, em ordem decrescente.

Procedimento

• Estender o papel craft no chão e fixá-lo com fita crepe. Colocar o carrinho sobre o papel e

acionar seu dispositivo eletromecânico. Observe o fenômeno.

01) Quais são as grandezas envolvidas no estudo do fenômeno que você observa?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

02) Das grandezas acima, quais delas são grandezas de base e qual delas é uma grandeza

derivada? Escreva suas respectivas unidades de medida (não precisa ser no S. I.).

Fig.01 - carrinho movido a pilha numa pista

confeccionada em papel craft. Acervo próprio.

29

03) Observando o conjunto como um todo, em que você se baseia para afirmar que o carrinho

está em repouso ou em movimento?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

04)Se você está sentado (a) em sua carteira, você está em repouso ou em movimento em relação

a um observador postado na Lua?__________________________________________

05) Você está dirigindo um carro e seu (sua) amigo (a) está dirigindo outro carro. Ambos, um ao

lado outro, numa mesma rodovia, com a mesma velocidade e com o mesmo sentido. Em relação

a um observador parado à margem da estrada, você está em:

( ) repouso

( ) movimento

E em relação a seu(sua) amigo(a), você está em:

( ) repouso

( ) movimento

06) De suas respostas você pode concluir que:

( ) o estado de repouso ou de movimento é relativo, pois depende do

referencial do observador.

( ) o estado de repouso ou de movimento não depende do referencial do

observador.

07) O que você entende por trajetória?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

08) O filme Memphis Belle é uma história (da 2ª guerra mundial) sobre uma esquadrilha de

aviões bombardeiros B-29 .

Uma das cenas mostra os aviões despejando bombas (“burras”) sobre Wilhelmshafen,

uma das cidades mais industrializadas da Alemanha. A tripulação, de dentro do avião vê as

30

bombas explodindos ao tocar o solo e os telhados dos edifícios. Por que a tripulação consegue

visualizar as exploções? Ilustre sua resposta com um desenho esquemático.

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

09) Você está no solo observando um avião voando horizontalmente com velocidade constante.

Num dado instante, você percebe que um objeto se desprende do avião. Você verá o objeto

durante a queda descrever uma trajetória:

( ) retilínea e vertical

( ) retilínea e horizontal

( ) parabólica

( ) retilínea e inclinada

10) A tripulação do avião, por sua vez, verá o objeto em queda, descrevendo uma trajetória:

( ) retilínea e vertical

( ) retilínea e horizontal

( ) parabólica

( ) retilínea e inclinada

Explique por que._____________________________________________________________

11) De suas respostas, você pode concluir que a forma da trajetória de um móvel:

( ) depende do referencial do observador

( ) não depende do referencial do observador.

12) A forma da trajetória de um ponto da extremidade da hélice de um helicóptero em

movimento ascendente, para:

• o piloto é: • um observador no solo é:

( ) parabólica ( ) parabólica

( ) circular ( ) circular

( ) helicoidal ( ) helicoidal

( ) elíptica ( ) elíptica

31

13) Considere uma pedra lançada verticalmente para cima por uma pessoa em pé sobre a

carroceria de um caminhão que se desloca em linha reta horizontal com velocidade não

variável. Despreze a resistência do ar.

a) Você poderá concluir que:

( ) a pedra cairá na frente do lançador.

( ) a pedra cairá na mão do lançador.

( ) a pedra cairá atrás do lançador.

b) Para o lançador, a pedra descreverá:

( ) uma linha reta vertical de subida e descida

( ) uma arco de parábola

( ) uma linha reta horizontal

c) Para um observador parado à beira da estrada, a pedra descreverá:

( ) uma linha reta vertical de subida e descida

( ) um arco de parábola

( ) uma linha reta horizontal

ATIVIDADES PRÁTICAS – II

i) Opção I

Objetivo: observar e comparar o movimento do carrinho a pilha sem controle remoto com o

movimento do carrinho a pilha com controle remoto e reelaborar os conceitos de movimento

retilíneo e uniforme e movimento variado.


• Um carrinho a pilha, sem e com controle remoto e que se desloque em linha reta.

• Uma pista (ou trajetória) confeccionada em papel craft ou oleado.

Se o comércio de sua região dispõe apenas daqueles que mudam de direção

constantemente, o problema pode ser resolvido, imobilizando-se o dispositivo responsável pelas

mudanças de direção com DUREPOX. Cuidado para não imobilizar as engrenagens das

rodinhas.

Um opção a este carrinho seria um trenzinho a pilha.

32

Procedimento:

- Estenda a pista no chão, fixando-a com fita crepe.

- Coloque o carrinho a pilha sobre a pista e acione seu dispositivo eletromecânico. Observe seu

movimento.

- Faça o mesmo com o carrinho a pilha que possui controle remoto

Fig.02 – carrinho movido a pilha, sem Fig.03 – carrinho movido a bateria, com controle remoto. Acervo próprio controle remoto. Acervo próprio

01) Existe diferença entre os movimentos dos dois carrinhos?_________________ Comente .

___________________________________________________________________________

ii) Opção II

Na impossibilidade de encontrar o carrinho sem controle remoto ou o trenzinho, você

poderá providenciar uma mangueira transparente, com pelo menos um metro de comprimento;

enchê-la com água ou óleo, vedando suas extremidades, de modo que o dispositivo contenha

uma bolha de ar em seu interior. É aconselhável vedar com rolha de borracha.

A mangueira poderá ser fixada ao longo de um sarrafo de madeira ou de uma barra de

alumínio. Na foto, para fixar a mangueira na madeira, foram usadas “cintas” ou “braçadeiras”

feitas de garrafa PET e percevejos.

Fig.04 – mangueira transparente, contendo óleo e

bolha de ar em seu interior. Acervo próprio

33

• Com canetas coloridas, fazer marcas eqüidistantes sobre a mangueira, tal como foi feito com o

papel craft.

• Coloque o dispositivo mangueira/bolha de ar numa posição levemente inclinada e observe o

movimento da bolha de ar.

02) Existe diferença entre o movimento da bolha de ar e o movimento do carrinho com

controle remoto? ____________ Comente._________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

ATIVIDADES PRÁTICAS – III

Objetivo: observar o movimento de corpos em movimento e reelaborar os conceitos de

movimento variado (em módulo e direção) e movimento retilíneo uniformemente variado.


- Um carrinho movido à bateria e com controle remoto.

- Uma pista feita com papel craft ou oleado.

- Duas lâmpadas fluorescentes com pelo menos um metro de comprimento cada, queimadas.

- Uma bolinha de aço (rolamento).

Procedimento:

• Improvise uma canaleta, unindo as duas lâmpadas lado a lado, pelas extremidades, com fita

crepe, conforme se verifica na fig. 7.

• Estenda a pista no chão, fixando-a com fita crepe.

• Disponha o carrinho sobre a pista e coloque-o em movimento, conforme fig. 6.

Fig.05 – carrinho com controle remoto em Fig.06 – duas lâmpadas queimadas, pista “numerada”. Acervo próprio formando um “trilho”.Acervo próprio.

34

• Disponha a canaleta numa posição levemente inclinada, abandone a bolinha de aço na

canaleta, a partir da extremidade elevada .

• Observe o movimento do carrinho na pista e da esfera na canaleta.

01) Existe diferença entre o movimento do carrinho com controle remoto e o movimento da

esfera de aço dentro da canaleta?_______________Comente.__________________________

___________________________________________________________________________

3.2 - UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO

Até agora estudamos o movimento em seu aspecto qualitativo. Pensadores da

Antiguidade, como Aristóteles (séc. IV a.C.), Hiparco (séc. II a. C.) etc), pesquisadores e

filósofos da Idade Média como Philoponus de Alexandria (séc. IV d.C.), Jean Buridan e Nicolau

Oresme (séc. XIV d.C.) etc) e do Renascimento como Galileu Galilei, Descartes ocuparam-se

em entender a natureza dos movimentos. Até então, seus estudos se restringiram à visão

qualitativa dos fenômenos. Durante este longo período, a física do movimento não

conseguia dar respostas aos problemas relativos aos movimentos, na base dos paradigmas

vigente, modelos de explicação da realidade.

De acordo com Frota e Sobrinho (1998), o século XIV trouxe consigo luzes que

deslocaram a visão qualitativa para uma visão quantitativa dos fenômenos naturais, utilizando

as lentes da matemática. Introduzindo a representação gráfica do movimento, Oresmes, da

Universidade de Paris concebeu uma nova técnica para o estudo do movimento. Alguns

historiadores defendem que as idéias de Oresmes propiciaram a origem da teoria cartesiana,

proposta por René Descartes.

Baseado nos trabalhos de Oresme, um grupo de pesquisadores do Merton College, da

Universidade de Oxford elaborou um método de cálculo do espaço percorrido por um móvel

com velocidade uniformemente variada:

O espaço percorrido por um corpo animado de

velocidade uniformemente variada desde o instante t = 0 até um instante

t, é igual ao espaço percorrido no mesmo tempo por um móvel com

velocidade instantânea igual à velocidade média do primeiro”(Batista e

Ferracioli, 1999, p.194).

De acordo com esta regra, chamada regra de Merton, para calcular o espaço percorrido

neste tipo de movimento, basta calcular a área de um paralelogramo de base igual a t (tempo)

35

e altura igual v (velocidade média).

De acordo com Frota e Moraes (2001), no desenrolar da história, estava

preparado o terreno para a revolução científica (séc. XVI) a qual Galileu estava profundamente

ligado, juntamente com Bacon, Bruno, Copérnico, Campanella, Paracelso, Harvey, Kepler,

Descartes, entre muitos outros.

3.3 - GALILEU GALILEI E AS LEIS DO MOVIMENTO

O ambiente intelectual no qual se formou Galileu, no início do Renascimento, era ainda

fortemente marcado pela visão aristotélica de mundo, saber este incorporado à teologia católica

e ensinado nas universidades. Apesar de ser dono de uma vivíssima inteligência e possuidor de

um espírito irrequieto e questionador, Galileu ainda ficou preso às limitações do contexto

histórico-social. “É um homem de seu tempo”, como afirma o professor Marcos César Danhoni

Neves no livro “A Experimentação na Aprendizagem de Conceitos Físicos sob a Perspectiva

Histórico-Social”. O pensamento aristotélico ainda o influenciará antes de colocar em xeque o

arcabouço intelectual vigente. Em sua obra De Motu (1590), ao se lançar

verticalmente uma pedra para cima, ele afirma que existem duas forças agindo sobre a mesma:

a força impressa (ímpetus) transmitida à pedra pelo agente motor e o peso da pedra, sendo o

ímpetus maior do que o peso no instante do lançamento, (mais tarde faremos um estudo mais

detalhado sobre a teoria do ímpetus). À medida que a pedra sobe, o ímpetus diminui (força

auto-exaustiva). No ponto de altura máxima, o ímpetus se iguala ao peso, daí porque a

velocidade seria nula neste ponto. Na queda, o peso seria maior que o ímpetus, pois este

continuaria a se extinguir. Se o ponto de altura máxima fosse muito alto, o ímpetus se anularia

numa determinada altura durante a queda e, a partir daí a velocidade seria uniforme até chegar

ao solo. Com os recursos modernos poderíamos expressar esta equivocada idéia de Galileu da

seguinte forma:

v α (F–P)

onde F é a força impressa ou ímpetus (variável auto-exaustiva), P, o peso do corpo (constante)

eα é um símbolo usado para representar proporcionalidade.

Devemos ter em mente que Galileu não nos deixou os resultados de seus trabalhos em

forma de expressões matemáticas.

36

De acordo com Neves, até 1604, Galileu acreditava que a velocidade de um corpo era

proporcional ao espaço percorrido.

I. B. Cohen afirma: Em sua obra “Duas Novas Ciências”... Galileu

admite explicitamente que acreditava na relação

v α d

e apenas mais tarde se converteu ao princípio correto

v α t

(Neves, 2000, pp. 94).

Galileu precisava dos valores do tempo de queda livre para estudar a relação matemática

entre o espaço percorrido pelo corpo e o tempo gasto no percurso. De acordo com a história,

descobrir essa relação constituiu-se na maior dificuldade de Galileu, pois o movimento de

queda livre é muito rápido e, se é muito difícil medir os tempos de queda atualmente com o

moderno cronômetro, podemos imaginar as dificuldades impostas pelas limitações tecnológicas

da época. É impossível medir os tempos de queda livre com um relógio d’água (clepsidra). No

site seguinte pode-se encontrar uma ilustração que representa o aparato usado por Galileu.

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=9&idSubSecao=&idTec...

Possuidor de uma grande capacidade de abstração, Galileu percebeu que a solução para

esse problema seria a utilização do plano inclinado, pois neste, o movimento reproduz a mesma

estrutura da queda livre, pela diluição da força gravitacional, tornando mais fácil a medida do

tempo. E concluiu que os resultados obtidos seriam válidos em qualquer inclinação, inclusive

na queda livre.

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=9&idSubSecao=&idTec

Devido às limitações tecnológicas de medição da época, Galileu associou métodos

hipotéticos-dedutivos ao processo de medição experimental. Levantou a hipótese de que a

velocidade deveria ser proporcional ao tempo de queda e deduziu que o deslocamento deveria

ser proporcional ao quadrado do tempo. Em conseqüência, os deslocamentos efetuados em

intervalos de tempos iguais deveriam ser proporcionais à série de números ímpares – 1: 3: 5: 7:

9: 11:..., tornando possíveis medições com relógio de água. Isto significa, por exemplo, que no

1° segundo o corpo cai de uma altura h, no 2° segundo, cai de uma altura 3h, no 3° segundo, cai

de uma altura 5h, no 4° segundo, cai de uma altura 7h e assim por diante. Modernamente,

poderíamos representar a relação entre o deslocamento e o tempo de queda da seguinte forma:

37

S α t 2

Em seu livro Diálogos Concernentes a Duas Novas Ciências Galileu escreveu que “as

distâncias percorridas aumentariam com os quadrados dos tempos de percurso SE a

velocidade do movimento fosse proporcional à primeira potência do tempo”.

Para sustentar esta proposição, Galileu deve ter se baseado nas técnicas da Geometria

Plana (Regra de Merton). Se a velocidade varia com a primeira potência do tempo, seu gráfico

será uma reta passando pela origem dos eixos v e t:

(www.feiradeciências.com.br/sala19/texto32.asp).

velocidade

v

0 t tempo

Fig.07 – mostra a proporcionalidade entre velocidade e tempo sustentada por Galileu.

Dividindo o intervalo de tempo de 0 até t em um grande número de pequenos intervalos de

tempo, Galileu traçou linhas verticais, obtendo um grande número de retângulos finos e

compridos, de modo que a reta inclinada passasse pelo ponto médio da base superior de cada

retângulo.

Fazendo os intervalos de tempo cada vez menores, o conjunto dos pontos médios das

bases superiores dos retângulos tenderá a formar uma reta que coincidirá com a reta do gráfico.

Assim, soma das áreas dos retângulos se aproximaria da área do triângulo formado pelo

gráfico, a qual é, numericamente igual ao espaço percorrido pelo corpo no intervalo de tempo

de t = 0 até t qualquer:

espaço percorrido = 2

1x base x altura

S = 2

1.t.v

Mas por hipótese, a velocidade é proporcional ao tempo:

v α t

38

Introduzindo uma constante de proporcionalidade (aceleração), a relação acima se transforma

numa igualdade:

v =a.t

que combinada com a equação dos espaços nos dá:

S = 2

1.a.t 2

que é a lei dos quadrados dos tempos. Logo v = a.t também é verdadeiro.

Foi a primeira vez que este método foi utilizado nos fenômenos físicos, embora fosse

objeto dos estudiosos de geometria desde a Antiguidade. Para compreender a natureza, os

cientistas a “geometrizaram”.

Analisando os eventos que ocorreram na experiência do plano inclinado, Galileu pode

formular as leis do movimento:

• Sob a ação de uma força constante (a gravidade), o espaço percorrido por um corpo é

proporcional ao quadrado do tempo empregado.

• Sob a ação de uma força constante (a gravidade), o corpo se desloca de modo que sua

velocidade, em todo instante, é proporcionalao tempo empregado.

A matematização da natureza que substituiu as descrições qualitativas da física

aristotélica medieval e a substituição da idéia de cosmos pela de universo aberto, indefinido e

mesmo infinito são os fatores fundamentais da revolução científica do século XVIII. A

concepção do movimento como um estado permanente dos corpos foi o caminho pavimentado

para que Newton elaborasse o princípio da inércia. Giordano Bruno, Galileu, Gassendi,

Descartes, Leibniz e outros foram os gigantes em cujos ombros Newton enxergou mais longe.

Para entendermos o parágrafo acima, devemos ter em mente que o universo aristotélico

era composto de esferas concêntricas, com a Terra no centro. Aristóteles pensava este universo

como dois mundos: o mundo sublunar e o mundo supralunar.

O mundo sublunar era o mundo no interior da esfera que continha a Lua. Era o mundo

da imperfeição, composto pelos elementos terra, fogo, água e ar. O movimento natural era

aquele pelo qual os corpos retornavam ao seu lugar natural. O movimento que retirava os

corpos do seu lugar era chamado de movimento violento ou forçado, próprio das coisas

imperfeitas.

39

O mundo supra lunar era o mundo da perfeição. O único movimento admitido era o

circular uniforme. O círculo e a esfera eram considerados o símbolo da perfeição na

Antiguidade Grega. Cada corpo celeste se movimentava numa superfície esférica, descrevendo

um circulo ao redor da Terra, a qual estava imóvel no centro do universo. A

última esfera era a das estrelas fixas, chamada esfera do firmamento. Acima dessa esfera estava

a morada dos deuses. A última esfera era movida pelo motor divino. Este movimento era

transmitido às demais esferas por atrito com o éter, substância incorruptível que preencia os

espaços celestes. O universo pensado por Aristóteles era um universo hierárquico, onde cada

coisa tinha o seu lugar próprio.

Para Aristóteles, um corpo só se movimentava enquanto houvesse uma força

impulsionando-o. Cessada a força, cessava o movimento. Não havia lugar para a inércia.

O pensamento grego foi combinado com a teologia hebraica na Idade Média, originando

a escolástica, saber elaborado principalmente por São Tomás de Aquino.

3.3.1 - COMO OS ESPAÇOS VARIAM COM O TEMPO NA QUEDA LIVRE

ATIVIDADES PRÁTICAS

Objetivo: Observar a relação entre o espaço percorrido por uma esfera e o tempo gasto para

percorrê-lo.


- Uma canaleta formada por duas lâmpadas fluorescentes.

- Uma pequena esfera de aço (rolamento).

- Um cronômetro

01) Disponha a canaleta numa posição levemente inclinada, para diminuir um pouco a

velocidade da esfera e ficar mais fácil a medida dos intervalos de tempo. Faça marcas

eqüidistantes entre si de 25 cm sobre uma das lâmpadas, começando pela extremidade elevada.

02) Meça o tempo gasto pela esfera ao percorrer, a partir da extremidade elevada, as distâncias

25cm, 50cm, 75cm e 100cm. Cuidado com os erros de paralaxe e de discrepância

para não comprometer os resultados da pesquisa. Para uma medida repita a operação 10 vezes e

preencha as tabelas seguinte:

40

TABELA – 7

Tempo cmS 251 =∆ cmS 502 =∆ cmS 753 =∆ cmS 1004 =∆

1t

2t

3t

4t

5t

6t

7t

8t

9t

10t

Média aritmética

=∆ 1t =∆ 2t =∆ 3t =∆ 4t

03) Vamos fazer a normalização, dividindo a medida de cada distância pela medida da primeira

(25 cm) e dividindo a medida de cada intervalo de tempo pela medida do primeiro intervalo,

preenchendo a tabela seguinte:

TABELA - 8

Distâncias Intervalos de tempo

1s∆ = 1t∆ =

2s∆ = 2t∆ =

3s∆ = 3t∆ =

4s∆ = 4t∆ =

41

Fig.08 – Visualização da canaleta de um plano superior. Acervo próprio.

04) Você consegue “visualizar” alguma relação entre a distância percorrida e o respectivo tempo

gasto para percorrê-la?____________Qual?__________________________________

___________________________________________________________________________

05) Seus resultados estão de acordo com as previsões históricas que estudamos?

___________________________________________________________________________

06) Que fatores podem ter influenciados seus resultados?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

ATIVIDADES PRÁTICAS – V

Objetivos: Observar a relação entre o espaço percorrido por três carrinhos diferentes e o tempo

gasto por cada um para percorrer os respectivos espaços.


- Um carrinho de brinquedo à pilha, sem controle remoto.

- Um carrinho de brinquedo à bateria, com controle remoto.

- Um carrinho de brinquedo, simples, sem motor.

- Equipamento para aplicação de soro (equipo-soro).

- Fita adesiva.

- Arame ou madeira (espetinho p/ churrasquinho) para sustentação do equipo-soro.

- Corante para ser adicionado à água a ser usada no equipo-soro.

- Régua.

- Cronômetro

Procedimentos - Para os carrinhos motorizados (com e sem controle remoto).

42

a) Estenda e fixe uma faixa de papel de cor clara para servir de trajetória para os carrinhos.

b) Deslize o controlador de gotas do equipo-soro pela mangueira, de modo que fique em contato

com a base do reservatório de soro. Depois corte a mangueira, deixando um pedaço suficiente

para servir como pingador.

c) Com a fita adesiva, prenda o equipo-soro no arame (ou na madeira) e este no carrinho, de

modo que o equipo-soro fique na posição vertical.

d) Adapte à parte superior do reservatório de soro, um outro reservatório, feito, por exemplo,

com frasco plástico de Novalgina ou similar, vazio. Basta cortar o fundo do frasco e encaixar

seu bico na parte superior do equipo-soro.

e) Encha o reservatório do equipo-soro com a solução de água e corante.

f) Antes de colocar o carrinho em movimento, determine com o auxílio de um cronômetro, o

tempo gasto entre duas gotas sucessivas. Basta verificar o tempo gasto para o gotejamento de

uma determinada quantidade ( x ) de gotas. Depois divida este tempo por ( x – 1 ).

g) Coloque os carrinhos, um por vez, em movimento sobre a faixa de papel para percorrer uma

distância qualquer.

h) Conte o número de marcas deixadas pelas gotas e meça as distâncias entre elas.

Fig.09 – Carrinho à pilha Fig.10-Carrinho à bateriaAcervo próprio Acervo próprio

Para o carrinho não motorizado

a) Montagem e instalação do equipo-soro e contagem do tempo usando os mesmos

procedimentos anteriores.

b) Improvise uma rampa inclinada e forre-a com uma faixa de papel claro, com um

43

comprimento adequado para um bom número de marcas sobre o papel.

c) Coloque o carrinho equipado com o equipo-soro sobre a rampa e libere-o.

d) Meças as distâncias entre marcas sucessivas

01) Teoricamente, como seriam as distâncias entre as sucessivas marcas deixadas pelas gotas no

papel, nos seguintes casos:

a) carrinho à pilha sem controle remoto?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

b) carrinho à bateria com controle remoto?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

c) carrinho não motorizado, que se desloca sobre a rampa inclinada?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Fig.11– Carrinho não motorizado . Acervo próprio. As sugestões apresentadas na ATIVIDADES PRÁTICAS – V foram desenvolvidas por Welber Gianini Quirino e F. C. Lavarda – UNESP/Bauru, Estado de São Paulo.

3.4 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Sabemos que a velocidade média de um móvel é dada pela razão (divisão) do

deslocamento efetuado pelo intervalo de tempo gasto em efetuá-lo. Sua expressão matemática

é: v m = t

x

∆∆

x∆ → deslocamento escalar

44

x 0 → posição inicial

0xxx −=∆

x→ posição final

onde

t∆ → intervalo de tempo

0ttt −=∆ t 0 → instante inicial

t →instante final

A unidade de medida de velocidade deriva da unidade de comprimento e da unidade de tempo.

• No Sistema Internacional (SI) é m/s

• Outras unidades: cm/s; dm/s; km/min; km/h, etc.

Nas ATIVIDADES PRÁTICAS – I convencionamos que o sentido de orientação da

trajetória é da esquerda para a direita. Então:

( x )

• se o móvel se desloca no mesmo sentido de orientação da trajetória, os espaços, em relação ao

ponto O ( referencial), aumentam no decorrer do tempo. O sinal da expressão 0xxx −=∆

é positivo. Logo, a velocidade também é positiva. Neste caso dizemos que o movimento é

progressivo.

• Se o móvel se desloca em sentido contrário ao da trajetória, os espaços, em relação ao ponto O

(referencial), diminuem no decorrer do tempo. O sinal da expressão 0xxx −=∆ é negativo.

Logo, a velocidade também é negativa. Neste caso, dizemos que o movimento é retrógrado.

Em Física, não existe tempo negativo.

Quanto ao comportamento escalar (numérico) da velocidade, temos:

Movimento uniforme: ocorre quando o móvel efetua deslocamentos iguais, em intervalos de

tempo iguais. Ou seja, a velocidade não varia no decorrer do tempo. No cotidiano de nossa vida

este tipo de movimento é pouco comum e a velocidade instantânea coincide com a velocidade

média.

45

Movimento variado: ocorre quando a velocidade do móvel sofre variações no decorrer do

tempo.

Movimento uniformemente variado: ocorre quando a velocidade do móvel varia

uniformemente em intervalos de tempo iguais. Isto é, a velocidade cresce ou diminui de

maneira uniforme.

• Se a velocidade aumenta, a aceleração é positiva.

• Se a velocidade diminui, a aceleração é negativa.

Qual dispositivo do automóvel o motorista deve acionar para que ocorra aceleração

positiva?__________________ E para ocorrer aceleração negativa?____________________

Aceleração escalar média de um móvel é a razão (divisão) entre a variação da

velocidade do móvel pelo intervalo de tempo no qual ocorreu a variação. Sua expressão

matemática é dada por t

vam ∆

∆=

v∆ → variação da velocidade

0vvv −=∆ v 0 → velocidade inicial

v→ velocidade final

onde

t∆ → intervalo de tempo

0ttt −=∆ t → instante final

t 0 → instante inicial

Para que o movimento seja acelerado, são necessários que os sentidos (sinais) da

velocidade e da aceleração sejam iguais:

aceleração positiva e velocidade positiva

• movimento acelerado ou

aceleração negativa e velocidade negativa

Para que o movimento seja retardado, são necessários que os sentidos (sinais) da

velocidade e da aceleração sejam contrários.

46

aceleração positiva e velocidade negativa

• movimento retardado ou

aceleração negativa e velocidade positiva

A unidade de medida da aceleração é derivada da unidade de velocidade e da unidade de

tempo.

• No Sistema Internacional (SI) é ss

m = 2s

m

• Outras unidades: 2scm , 2s

dm , min

hkm

, 2hkm , etc.

ATIVIDADE 10

04) Pesquise na biblioteca de sua escola ou na internet, o significado de velocidade

instantânea.

RETOMANDO AS ATIVIDADES PRÁTICAS - IV

Carrinho sem controle remoto

05) Calcule a velocidade com que o carrinho percorreu cada uma das distâncias entre duas

marcas sucessivas. Elabore uma tabela na qual você possa registrar todas as distâncias entre

marcas sucessivas, os intervalos de tempo e os respectivos valores da velocidade.

06) O comportamento dos valores da velocidade estão de acordo com as previsões

teóricas?__________Comente.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

07) Calcule a velocidade média (não é a média das velocidades) com que o carrinho percorreu

desde a primeira marca até a última marca. Compare com os resultados do item (05) e comente

os resultados obtidos.

08) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos

cartesianos, marcando no eixo horizontal, os valores do tempo, começando do instante inicial

47

t 0 = 0; no eixo vertical os valores da velocidade calculada no item (05) e depois construa o

gráfico v x t (velocidade como função do tempo). Se os pontos obtidos forem muitos

dispersos, trace uma reta entre eles de modo que quantidades iguais de pontos fiquem

localizados em ambos os lados da reta.

09) Por que este gráfico é uma reta horizontal?

___________________________________________________________________________

10) De acordo com a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO),

determine a distância percorrida entre a primeira e a última marca. Depois compare este valor

com o valor medido diretamente.

11) A expressão que você usou no item (10), tvx .=∆ (área do retângulo), refere-se ao caso

no qual se supunha que o móvel partiu da posição x 0 = 0 no instante inicial t 0 = 0.

E se o móvel tivesse partido de uma posição inicial que, no instante inicial t 0 = 0, não

fosse x 0 = 0 e sim x 0 ≠ 0, como seria a expressão da posição como função do tempo?

Sugestão: na expressão tvx .=∆ , substituir s∆ por x – x 0 e isolar a variável x.

12) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa outro sistema de eixos

cartesianos, marcando no eixo horizontal, os valores do tempo, fazendo o instante inicial, t 0 =

0. No eixo vertical, marque os valores das distâncias, fazendo a posição inicial, x O = 0.

Construa o gráfico da posição como função do tempo. Se os pontos obtidos forem muito

dispersos, a reta inclinada passando pela origem dos eixos deverá ser traçada de modo que

fiquem quantidades iguais de pontos em ambos os lados da reta.

13) Por que este outro gráfico é uma reta e não uma curva?

___________________________________________________________________________

E por que é uma reta inclinada e não uma reta horizontal?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

48

Carrinho com controle remoto




15) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões

teóricas?__________.Comente.


cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando do instante inicial

t = 0; no eixo vertical, marque os valores da velocidade, calculados no item (11). Construa o

gráfico da velocidade como função do tempo. Os pontos obtidos se aproximam de uma reta ou

de uma curva? (Dê uma olhada na história do movimento na página 41).

___________________________________________________________________________

Você já sabe como proceder nos casos em que os pontos obtidos são dispersos.

17) Teoricamente, como deveria ser este gráfico: uma reta inclinada ou uma

curva?____________________. Por que? _________________________________________

18) Baseando-se na técnica descrita pela história do movimento, calcule a distância percorrida

desde a primeira e a última marcas.

v = a.t

19) As expressões mencionadas na história do movimento

2

1=∆S .v.t (área do triângulo)

referem-se ao caso no qual se supunha que o móvel tenha

partido no instante t 0 = 0, da posição x 0 = 0 com a velocidade inicial v 0 = 0. Supondo que o

móvel não tenha partido do marco zero (x 0 = 0) e sim de um marco diferente de zero e com

uma velocidade que não seja nula (“o móvel partiu cantando pneus”), como seria a forma da

expressão que define a posição como função do tempo? Sugestão: Substitua s∆ por x – x 0 ,

v por a.t e isole a variável x. Se precisar, peça ajuda ao seu professor de matemática.

49

20) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos

cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando por t 0 = 0; no eixo

vertical, marque os valores das posições, começando por 00 =x . Construa o gráfico de x como

função de t.

21) O gráfico obtido é uma curva ou uma reta?_________Por quê?_____________________

___________________________________________________________________________

Carrinho não motorizado que se desloca numa rampa inclinada.




13) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões

teóricas?___________. Comente. ________________________________________________

__________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________


cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando pelo instante inicial t

0 = 0; no eixo vertical, marcar os valores da velocidade calculados no item (22), começando

pela velocidade inicial v 0 = 0. Construa o gráfico da velocidade como função do tempo. Você

já sabe quais os cuidados a serem tomados no caso de pontos dispersos.

25) Teoricamente, como deveria ser este gráfico: uma reta inclinada ou uma curva?_________

Por que? _____________________________________________________

26) Baseando-se na técnica descrita pela história do movimento, calcule a distância percorrida

desde a primeira até a última marca.

27) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos

cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando por t 0 = 0; no eixo

50

vertical, marque os valores das posições, começando por S 0 = 0. Construa o gráfico da posição

como função do tempo. De acordo com as previsões teóricas, este gráfico deve se aproximar de

uma reta inclinada ou de uma parábola?

___________________________________________________________________________

ATIVIDADES PRÁTICAS – VI

Objetivo: observar a relação entre a distância percorrida por uma bolha de ar e o tempo gasto

em percorrê-la, bem como determinar o tipo de movimento: se uniforme ou variado.


- Dispositivo feito com mangueira contendo óleo ou água e uma bolha de ar em seu interior (ver

ATIVIDADES PRÁTICAS – II, opção II, página 39).

- Cronômetro.

- Régua.

Fig.12 – Mangueira transparente contendo óleo e bolha de ar. Acervo próprio

Procedimento

- Faça marcas eqüidistantes sobre a mangueira.

- Coloque o dispositivo numa posição inclinada, de modo que a bolha de ar tenha uma

velocidade compatível para a medida do tempo. Uma vez escolhido o ângulo de inclinação, este

não deve ser alterado.

- Com o cronômetro, meça o intervalo de tempo que a bolha de ar gasta para percorrer cada

distância entre duas marcas sucessivas, sempre começando do marco zero (x 0 = 0). Para cada

medida, repita o procedimento por um número adequado de vezes para obter um valor mais

próximo da realidade. Cuidado com os erros de paralaxe.

51

01) Elabore uma tabela na qual você possa registrar os valores das distâncias, os intervalos de

tempo e os valores da velocidade da bolha.

02) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões teóricas do

movimento uniforme?_______________ Comente. __________________________________

03) Calcule a velocidade média ( não a média das velocidades) com que a bolha percorreu do

início até a última marca.


cartesianos, marcando no eixo horizontal os valores do tempo e no eixo vertical, os valores da

velocidade, obtidos em (01). Em casos de pontos dispersos, você já sabe como proceder.

Construa o gráfico da velocidade como função do tempo. O seu gráfico se aproxima mais de

uma reta horizontal ou de uma eta inclinada?_______________________________________

05) Usando a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO), determine a

distância percorrida pela bolha de ar.

06) Qual dos dois casos se aproximou mais do movimento retilíneo uniforme?

( ) carrinho a pilha, sem controle remoto

( ) bolha de ar num liquido encerrado dentro de uma mangueira

CONTINUAÇÃO DAS ATIVIDADES PRÁTICAS – IV ( esfera de aço que rola numa

canaleta).

07) Com os valores da tabela referente a esta experiência, calcule a velocidade com que a

esfera percorreu as distâncias

25cm:

50cm:

75cm:

100cm:

52


cartesianos. No eixo horizontal marque os valores do tempo e no eixo vertical, os valores da

velocidade.

09) Usando a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO), calcule a

distância percorrida pela esfera.

10) Em qual dos três casos, o movimento se aproximou mais de um movimento retilíneo

uniformemente variado?

( ) carrinho a bateria com controle remoto

( ) carrinho não motorizado que se desloca numa rampa inclinada

( ) esfera de aço que rola numa canaleta feita de lâmpadas fluorescentes

3.5 - RESUMO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

• Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU)

v m = t

xx

∆− 0 → velocidade média

x = x 0 +v.t → função posição

• Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

t

vvam ∆

−= 0 → aceleração média

v = v 0 + at → função velocidade

x =x 0 + v 0 .t + 2

. 2ta → função posição

20

2 vv = + da..2 → equação de Torricelli

CAPITULO IV

NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL

54

4.1 - GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS

ATIVIDADES 11

01) Reflita e responda, considerando as seguintes situações:

a) Seu amigo lhe pergunta:

Que horas são?

Você lhe responde:

São 11h 20min.

A informação que você lhe deu está completa?________Por que?_________________

___________________________________________________________________________

b) Num determinado dia do ano, o noticiário da TV nos informa que a temperatura ambiente

está em torno de 34°C na cidade de Curitiba.

É uma informação completa?_______Justifique sua resposta.__________________________

___________________________________________________________________________

c) O advogado pergunta ao engenheiro:

Qual é a área do 1° piso do novo fórum?

O engenheiro responde:

A área do 1° piso é de 350 m 2 .

A resposta do engenheiro constitui uma informação completa?________. Por quê?

___________________________________________________________________________

d) Uma mulher desabafa com sua amiga:

Nossa! Estou com 80 kg de massa.

É uma informação completa?________ . Por quê?_____________________________

___________________________________________________________________________

Nos exemplos citados, as informações dadas são completas, não deixam margens à

dúvidas. São chamadas de grandezas escalares.

Então: Grandezas escalares são aquelas que ficam plenamente definidas quando são

especificados seu valor (módulo) e a unidade de medida.

Para indicar uma grandeza escalar, escreve-se o seu símbolo seguido de uma unidade de

medida. Veja os exemplos:

55

• densidade: δ = 3 3cmg • tempo: t = 30 s • massa: m = 50 kg

• volume: v = 3 m 3 • temperatura: θ= 34°C • área: A=125 m 2

e) Seu amigo lhe diz:

Fiz um deslocamento de 80 km com minha nova moto.

• Informa em que direção foi?

• Informa se está ou se está voltando?

Então é uma informação completa?________ . Por quê?_____________________________

f) Um motorista diz ao seu colega de profissão:

Na viagem de ontem, o máximo que pude atingir foi 80 km/h.

• Informa para onde viajou?

• Informa se está indo ou se está voltando da viagem?

Então, é uma informação completa?_________. Por quê?_____________________________

g) Um passageiro afirma que o avião sofreu uma aceleração de 25 m/s em cada segundo.

A frase deixa claro se a aeronave está indo ou se está voltando da viagem?

Então é uma informação completa?_________ Por quê? ______________________________

Nestes três últimos exemplos, as informações são incompletas. Para que ficassem

plenamente definidas, é necessário que lhes fornecêssemos, além do módulo e da unidade de

medida, uma direção e um sentido. Tais grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Então,

grandezas vetoriais são aquelas grandezas que, para ficarem plenamente definidas

necessitam, que além do módulo e da unidade de medida, sejam especificados uma direção

e um sentido.

Para indicarmos uma grandeza vetorial, escrevemos seu símbolo em negrito ou

encimado por uma pequena seta. Veja os exemplos:

• força: F ou F

• aceleração: a ou a

• velocidade: v ou v

• quantidade de movimento: Q ou Q

• campo elétrico: E ou E

• campo magnético: B ou B

Para se referir apenas ao módulo da grandeza vetorial, não se usa negrito nem seta,

apenas o valor numérico, a unidade de medida, desde que se especifiquem a direção e o

Sentido.

56

Para se representar uma grandeza vetorial, faz-se uso do vetor, que é um ente

matemático que reúne em si, módulo, direção e sentido.

O vetor é representado por uma seta, um segmento de reta orientado. Tem os seguintes

elementos:

extremidade

v

Fig. 13 – Representação de um vetor.

origem

O vetor possui três características, definidas como se segue:

a) Módulo ou intensidade: é o número que indica quantas vezes a grandeza vetorial

considerada contém determinada unidade.

b) Direção: é o ângulo que sua reta suporte forma com um eixo de referência.

Reta suporte ou linha de ação é a reta que contém o vetor. Todo e qualquer vetor está

situado sobre uma reta, chamada reta suporte.

r (reta suporte do vetor v

, formando um ângulo α

v

com a reta horizontal)

)α

Fig.14 – Direção de um vetor.

c) Sentido: é a orientação do vetor sobre sua reta suporte. r

a

b

Fig.15 – Sentido do vetor

Sobre uma reta, o vetor pode ter um dos dois sentidos.

4.1.1 – OPERAÇÕES COM VETORES

Um conjunto de vetores que agem sobre um ou mais pontos constituem um sistema. Tais

vetores podem ser substituídos por um único, chamado resultante e que produz os mesmos

efeitos que os demais produzem.

57

Vetores paralelos: são vetores que não se interceptam. Podem ser de mesmo sentido ou de

sentidos opostos.

a) Vetores paralelos e de mesmo sentido. B) Vetores paralelos e de sentidos opostos. O ângulo entre eles é de 0°. r s O ângulo entre eles é de 180°. r

s

a

b

b

a

Fig.16 – vetores paralelos Fig. 17 – vetores

paralelos

O módulo do vetor resultante é dado O módulo do vetor resultante é dado por por

R = a + b R = a – b

ATIVIDADE 12

01) Exemplo: dois vetores força F 1 = 2 newtons e F 3 = 3 newtons, ambos com a mesma

direção horizontal e de sentidos da esquerda para a direita, agem sobre um corpo. Determine as

características do vetor soma do sistema:

a) módulo b) direção c) sentido

02) Exemplo: Dois vetores, a = 10 unidades, horizontal, para a direita e, b = 4 unidades,

horizontal, para a esquerda, constituem um sistema. Determine as características do vetor soma

.

a) módulo b) direção c) sentido

58

Vetores concorrentes: são vetores que se interceptam num único ponto. Temos três casos:

a) Os vetores formam um ângulo qualquer entre si.

Processo gráfico: método do paralelogramo. A soma vetorial é dada

Usando um esquadro e uma régua, redesenhamos por

os vetores dados, de modo que suas origens sejam R = a + b

coincidentes. Analiticamente, a soma é

Pelas suas extremidades, traçamos retas paralelas dada por

aos vetores, de modo a completar um paralelogramo.

a R

R= αcos222 abba ++

b

Fig.18 – Dois vetores formando um ângulo qualquer.

cosα representa o cosseno do ângulo entre dois vetores dados.

03) Dois vetores, a = 3m e b = 2 2 cm formam um ângulo de 45°. Sendo cos 45° = 2

2 ,

determine o módulo do vetor soma do sistema.

04) Dois vetores, a = 5m e b = 8m, formam entre si um ângulo de 120°. Sendo cos 120°= –2

1,

determine o módulo do vetor resultante.

59

d) Os vetores são perpendiculares.

Processo gráfico: método do paralelogramo.

O processo é o mesmo do caso anterior. Basta A soma vetorial é indicada por:

completarmos um paralelogramo (neste caso, um baR

+=

retângulo) com os vetores fornecidos.

Analiticamente, a soma é dada por:

a

R

b

Fig.19 – dois vetores perpendiculares entre si.

R = 22 ba +

A expressão acima é deduzida do Teorema de Pitágoras. Também, todos os quatro casos

podem ser resolvidos com a expressão R = αcos222 abba ++ , bastando substituir cosα

pelos seus respectivos valores.

05) Exemplo: duas forças F 1 = 6 newtons e F 2 = 8 newtons, formando entre si um ângulo de

90°, são aplicadas em um corpo. Determine o módulo do vetor força resultante.

Um recurso que nos será bastante útil em nossos estudos é a DECOMPOSIÇÃO DE

VETORES EM SEUS COMPONENTES ORTOGONAIS. É uma operação inversa da

adição de vetores.

Suponhamos que você queira determinar os módulos dos dois vetores ortogonais que

compõem um dado vetor V, o qual forma um ângulo α com a direção horizontal. A

60

decomposição consiste nos seguintes passos:

• desenhar o vetor dado sobre um sistema de eixos cartesianos, de modo que a origem do vetor

coincida com a origem dos eixos cartesianos e conservando a inclinação do vetor.

y

α (

V Y V

) α 0 V X x

Fig.20 – Decomposição de um vetor em suas componentes ortogonais. (Ver lançamento de martelo na primeira unidade do livro didático público)

• da extremidade do vetor V traçe uma linha tracejada, perpendicular ao eixo x. Fazendo isto,

você terá um triângulo retângulo, do qual o vetor V é a hipotenusa. O ponto de intersecção da

linha tracejada com o eixo x é a extremidade do vetor componente, V x . Esta componente, que

está sobre o eixo x e que tem origem coincidente com a dos eixos cartesianos, é um vetor

adjacente ao ângulo α. E a relação entre o vetor cateto adjacente e a hipotenusa é o cosseno do

ângulo α:

V

Vx = cos α

IsolandoV x , temos:

V x = V.cos α

• novamente, pela extremidade do vetor V, trace uma perpendicular tracejada ao eixo y. Com

isto você tem outro retângulo retângulo, igual ao anterior, do qual o vetor V é a hipotenusa. O

ponto de intercecção de perpendicular tracejada com o eixo y é a extremidade do outro vetor

61

componente, V Y , do vetor V. Este vetor V Y é o vetor cateto oposto ao ângulo α. E a relação

entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno do ângulo α.

V

VY = sen α

Isolando a variável V Y , temos:

V y =V.sen α

06) Exemplo: No esquema representado na figura abaixo, a força F tem módulo F = 200

newtons. Determine o módulo de seus componentes horizontal, F X , e vertical, F Y . São

dados: cos 37°= 0,80 e sen 37° = 0,60.

y

F

) 37°

0x

CAPITULO V

FORÇA E MOVIMENTO

63

5.1 - INTERAÇÕES

• Se um amigo(a) de quem você gosta muito estiver passando por uma fase muito

difícil, de que forma você INTERAGE com ele/ela?

Com certeza sua resposta seria: “Dando a ele/ela a maior força”.

• Se um líder político, religioso ou comunitário tem o carisma de aglutinar as pessoas

em prol de um projeto social, como é a INTERAÇÃO dessa pessoa com os cidadãos?

Dizemos que “ o carisma dele exerce FORÇA sobre as pessoas”.

• Em relação a um estudante que se dedica de corpo e alma aos estudos, dizemos que

existe uma INTERAÇÃO entre o estudante e o objetivo que ele deseja alcançar.

Dizemos que “essa pessoa tem FORÇA de vontade”.

• Uma pessoa é obrigada a tomar uma atitude devido a uma série de acontecimentos.

Qual seria uma outra forma de expressar esta frase?

Por FORÇA das circunstâncias, a pessoa é obrigada a tomar uma atitude.

Nos casos acima existe uma FORÇA, uma INTERAÇÃO entre uma ou mais pessoas,

ou entre uma pessoa e um objeto, mas não no sentido que os físicos lhe dão.

Agora vejamos as seguintes situações:

ATIVIDADE 13

01) Para acomodar o carro numa vaga do estacionamento, você utiliza alguns dispositivos do

carro. Escreva o por que do uso do:

Pedal do acelerador:___________________________________________________________

Pedal do freio:________________________________________________________________

Volante:____________________________________________________________________

02) Para decolar ou aterrisar um avião, o piloto utiliza o manete. Qual sua finalidade?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

03) Qual a finalidade da vela de um barco de competições? ___________________________

___________________________________________________________________________

04) Para que serve o leme de um barco ou de um avião? ______________________________

64

___________________________________________________________________________

Os dispositivos acima servem para controlar os movimentos, pois a mudança dos

mesmos não ocorre de maneira espontânea. Quando estes dispositivos são acionados, surgem

interações entre os corpos, que podem resultar em mudanças de direção dos movimentos, em

variações de velocidade ou deformações dos corpos. Na física, interações são forças que um

corpo aplica em outro.

5.2 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Em seus estudos filosóficos, vários pensadores do século XVII conceberam a idéia de

uma grandeza chamada quantidade de movimento. Para eles, a quantidade de movimento do

Universo deveria manter-se invariável, apesar da interação entre os corpos. René Descartes,

em seu livro PRINCIPIOS FILOSÓFICOS, publicado em 1644, faz as seguintes afirmações:

“Cada coisa persevera no estado em que está, enquanto nada muda”; “nenhuma coisa muda senão pelo encontro de outras”; Deus criou a quantidade de movimento inicial do Universo e, a partir de então, ela permanece sempre conservada, gerando dessa maneira, as leis da natureza”. (TORRES, 2001, p.102-103).

ATIVIDADES PRÁTICA – VII

Objetivo: estudo qualitativo da quantidade de movimento.

Materiais utilizados:

• quatro pedaços de tubo de PVC, 4

"3 de polegada de diâmetro e que

tenham aproximadamente de 1,00m de comprimento.

• dois pedaços de mangueira de 1 polegada de diâmetro e que tenham 2,20 m de comprimento.

• oito esferas de aço grandes e uma esfera de aço pequena

Procedimento

- introduza os quatro tubos nas extremidades das mangueiras.

- junte, lateralmente, as duas mangueiras, de modo a formar uma canaleta. Use cola de secagem

rápida.

65

- sobre uma das mangueiras faça marcas eqüidistantes entre si ou estique uma fita métrica ao

lado da mangueira sobre uma superfície horizontal.

Fig. 21 – Canaleta ou trilho condutor. Acervo próprio

- Posicione a outra parte de modo que fique inclinada.

- na parte horizontal, coloque as esferas grandes em repouso, encostadas umas à outras.

- da extremidade elevada da canaleta, abandone uma esfera pequena e observe o

comportamento das esferas grandes durante e após o choque. Verifique se elas se deslocam e de

quanto foi o deslocamento da esfera que mais se afastou.

Lembrete: ao entrar na parte horizontal da canaleta, a esfera mantém a velocidade adquirida

na descida da parte inclinada.

- Abandone uma esfera grande da extremidade elevada da canaleta, fazendo as mesmas

observações.

- repita os procedimentos, abandonando as esferas de diferentes posições.

01) quais grandezas físicas afetaram os resultados da experiência? Como você relacionaria estas

grandezas entre si para explicar os fenômenos observados? Que hipóteses você e seus colegas

apresentariam?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

66

ATIVIDADES 14

Reflita sobre as seguintes situações:

Primeira:

• dois postes de concreto, idênticos, estão separados por uma certa distância.

• um deles é atingido frontalmente por um fusquinha de 600 kg de massa, que se deslocava a 72

km/h.

• o outro poste também é atingido frontalmente, mas por um caminhão de 4800 kg de massa,

que se deslocava também a 72 km/h.

01) Qual dos dois postes sofrerá maior destruição?___________________ Por que? ________

___________________________________________________________________________

Segunda:

• dois postes de concretos, idênticos, estão separados por uma certa distância.

• um deles é atingido frontalmente por um fusquinha de 600 kg de massa, que se deslocava a

54 km/h.

• o outro poste também é atingido por outro fusquinha de 600 kg de massa, mas que se

deslocava a 72 km/h.

02) Qual dos dois postes sofrerá dano maior?_______________________________________

Por que?____________________________________________________________________

Terceira:

• você atira uma pedra perpendicularmente contra uma parede, de maneira que ao chegar ela

tem velocidade de 8 m/s.

• você atira outra pedra igual à primeira contra a parede, mas numa direção não perpendicular. A

pedra atinge a parede com uma velocidade 8 m/s.

03) Você percebe que no primeiro caso, o estrago na parede foi maior. Por que? (Dê uma olhada

na decomposição de vetores).______________________________________________

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Para podermos estudar estes fenômenos, é necessária uma grandeza que relacione a

massa do corpo com sua velocidade vetorial. A grandeza que nos permite esta análise é a

quantidade de movimento ou momentum linear. Costuma-se representá-la pela letra Q ou

P

. Sua expressão é:

67

vmQ

.= ou vmP

.=

A unidade de medida resulta do produto da unidade de massa pela unidade de velocidade. No S.

I. é kg.m/s

É uma grandeza vetorial, pois o produto de um número (massa) por um vetor

(velocidade vetorial) é também um vetor. Este vetor tem as seguintes características:

• direção: a mesma direção da velocidade v.

• sentido: o mesmo da velocidade v.

• módulo ou intensidade: Q = m.v

Para que dois ou mais corpos tenham quantidades de movimentos iguais, estas

quantidades deverão ser iguais em todas as três características: módulo, direção e sentido.

Nas situações mencionadas nos exemplos anteriores, usamos a quantidade de

movimento para medir o “poder de destruição” de um corpo em movimento. Mas seria correta

esta forma de tratar o problema?

Nas duas primeiras situações, a destruição maior foi causada pelo veículo com maior

quantidade de movimento. Mas, imaginemos outras duas situações:

- Primeira situação: o poste é atingido por um caminhão de massa 4800 kg, a 9 km/h.

- Segunda situação: um outro poste idêntico é atingido por um fusca de massa 600 kg, a 72

km/h.

Ambos têm a mesma quantidade de movimento. Neste caso, para descobrir qual deles

têm maior potencial destruidor, é necessário trabalharmos com o conceito de energia cinética,

pois o dano aos postes está relacionado com a energia cinética de um corpo e não com sua

quantidade de movimento.

Sistema constituído por mais de um corpo

Neste caso, a quantidade de movimento do sistema em cada instante é a soma vetorial da

quantidade de movimento de todos os corpos ou partículas:

nQQQQQ

++++= ...321

05) Atividades: Duas pequenas esferas de massas respectivamente iguais a m 1 = 2kg e m 2 = 3

kg estão em movimento sobre a superfície horizontal de uma mesa com velocidades

respectivamente iguais a v 1 = 4 m/s e v 2 = 2m/s.

a) Determine a quantidade de movimento de cada esfera.

68

Nos casos seguintes, desenhe, na figura 2a, 2b e 2c o vetor velocidade e o vetor quantidade de

movimento de cada esfera bem como o vetor quantidade de movimento do sistema formado

pelas duas esferas, determinando seu módulo, direção e sentido, quando:

a) elas se movem na mesma direção e b) elas se movem na mesma direção e

mesmo sentido sentidos contrários

Fig. 22a Fig.2 42b

c) elas se movem em direções perpendiculares

.

Fig. 22c

Figuras 43a, 43b e 43c: duas esferas em movimento

5.3 - VARIAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

ATIVIDADES PRÁTICAS – VIII

Objetivos: determinação da aceleração de um corpo, sua velocidade final e sua variação da

quantidade de movimento.


• canaleta feita com as lâmpadas fluorescentes ou com pedaços de tubo de PVC.

• esfera de aço.

69

• cronômetro.

Procedimentos:

- disponha a canaleta numa posição levemente inclinada.

- meça a distância a ser percorrida pela esfera dentro da canaleta.

- meça a massa da esfera.

- abandone a esfera na extremidade elevada da canaleta e determine o intervalo de tempo gasto

pela esfera para percorrer a distância medida de 25cm, 50cm, 75cm e 100cm (ou aproveite os

resultados das atividades práticas – III). Repita este procedimento e depois determine o valor

médio do tempo.

01) - usando simultaneamente a equação de Torricelli [ v 2 = v 20 +2.a.d] e a equação da

velocidade [v = v 0 + a.t], calcule a aceleração da esfera.

- de posse do valor do tempo e da aceleração, calcule a velocidade final da esfera.

02) - qual o módulo da quantidade de movimento da esfera no momento em que ela foi

abandonada?

___________________________________________________________________________

03) - calcule o módulo da quantidade de movimento da esfera ao término do percurso.

70

04) Qual foi a causa da variação da quantidade de movimento da esfera?

___________________________________________________________________________

Conforme vimos, um dos efeitos da ação de uma força sobre um corpo é a variação da

velocidade do corpo no qual a força atua.

05) Assinale a(s) característica(s) do vetor quantidade de movimento que sofreu/sofreram

variação/variações nesta prática:

( ) módulo ou intensidade

( ) direção

( ) sentido

ATIVIDADE PRÁTICA – IX

01) Obtenha uma bola de pingue-pongue ou outra parecida e atire-a perpendicularmente contra

uma parede. Assinale a(s) característica(s) do vetor quantidade de movimento da bola que

sofreu/sofreram variação/variações:


( ) direção

( ) sentido

02) Agora, atire a bola contra a parede, mas numa direção não-perpendicular. Qual/quais

característica(s) do vetor quantidade de movimento sofreu/sofreram variação/variações?


( ) direção

( ) sentido

03) Do seu dia-a-dia, o que você entende por impulso?

___________________________________________________________________________

04) Reflita sobre os fenômenos listados abaixo. Em todos eles vemos que ocorre uma variação

na quantidade de movimento, devido à ação de uma força resultante ( F ), num intervalo de

tempo ( ∆t ). Geralmente nas colisões e nas explosões, as forças trocadas entre os corpos são

muitas intensas e de curta duração. Em cada caso, descreva a força exercida:

a) a bolinha de pingue-pongue que atinge uma parede. ___________________________

____________________________________________________________________

71

b) a bola que é desviada por um goleiro. ______________________________________

____________________________________________________________________

c) a flecha que é disparada por um arco. ______________________________________

____________________________________________________________________

d) um carro que é freado bruscamente num semáforo. ________________________________

___________________________________________________________________

5.4 - IMPULSO DE UMA FORÇA

Em cada fenômeno acima estão envolvidas as grandezas quantidade de movimento,

variação da quantidade de movimento, intervalo de tempo e força.

O produto da força resultante que age sobre um corpo pelo intervalo de tempo em que

dura a ação da força é o impulso:

tFI ∆= .

Força é um vetor e tempo é um número escalar. Se o impulso é o produto da força pelo

intervalo de tempo, então o impulso é:

( ) uma grandeza escalar

( ) uma grandeza vetorial

direção: a mesma da força F.

sentido: o mesmo da força F.

módulo ou intensidade: I = F. ∆t.

A unidade de medida do impulso é newton x segundo. ( N.s.)

O impulso de uma força provoca variação da quantidade de movimento de um corpo.

O Teorema do impulso diz:

O impulso I

de uma força resultante F

que age sobre um corpo de massa m é igual à

variação da quantidade de movimento do corpo, para um dado intervalo de tempo.

72

I

m v i m v f

F F

Fig. 23 – O impulso de uma força provoca variação da quantidade de movimento

if QQI

−=

ATIVIDADES – 15

01) Um taco de bilhar acerta uma bola de 0,1 kg, inicialmente em repouso, exercendo uma força

média de 100N, durante 10 milisegundos. Usando o teorema do impulso, determine a

velocidade que a bola adquire após o impacto.

2) Um corpo de 20 kg de massa, deslocando se sobre uma superfície horizontal perfeitamente

lisa, sofre o impulso de uma força I = 60 N.s, no sentido do seu movimento, no instante em que

a velocidade do corpo era v i = 5 m/s. Sabendo ainda que a aceleração média sofrida pelo corpo

durante a atuação da força foi de 300 2sm , determine:

a) a velocidade final do corpo b) o tempo de atuação da força c) calcule o valor médio da

(use v f = v i + a.t )

73

03) Deixamos para você o encargo de substituir, na expressão do impulso, I por F. ∆t, Q i por

m.v i , Q f por m.v f , t

vv if

∆−

por a (aceleração) e, isolando a variável F, obter uma das

famosas leis de Newton. Faça uma pesquisa e escreva as unidades de medida desta grandeza.

A expressão que você deduziu relaciona força com a variação temporal da velocidade do corpo

(aceleração). Mas como os pensadores chegaram a esta expressão?

5.5 - EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS CONCEITOS DE FORÇA E MOVIMENTO

Vamos fazer resumidamente, uma reconstrução histórica da evolução do pensamento

sobre os conceitos de força e de movimento. Para isto, devemos começar nossa viagem pela

história da física partindo do antigo universo grego, tomando contato com o pensamento

aristotélico.

Aristóteles se preocupou em descrever e interpretar o mundo. O problema do

movimento foi objeto de rigoroso estudo e sistematização. O universo concebido por Aristóteles

era fechado e hierarquizado sendo constituído de esferas concêntricas centradas na Terra. Neste,

havia duas naturezas: uma celeste, acima da esfera que continha a Lua. Era o mundo supra-

lunar. Este mundo era movido pelo motor divino, o qual girava a esfera que continha as estrelas

e arrastava todos os corpos celestes: a Lua, o Sol, as estrelas e os planetas ao redor da Terra.

O espaço acima da esfera supra-lunar era constituído por uma matéria incorruptível, o éter.

O movimento das esferas dos astros era considerado o movimento perfeito, circular e uniforme.

Sem começo nem fim, era considerado o movimento natural de tudo que é perfeito.

A outra natureza, era o mundo sublunar, abaixo da esfera da Lua. Era constituído pelos

quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Neste mundo, cada ser tinha uma natureza que lhe era

própria, possuindo seu lugar natural no universo, onde tudo era hierarquizado. O movimento era

uma ruptura do equilíbrio, pois retirava as coisas de seu lugar natural, de repouso. O

74

movimento cessava assim que as coisas voltassem ao seu lugar natural. Para Aristóteles havia

dois tipos de movimento:

• movimento natural: movimento que levava os corpos aos seus lugares naturais.

• movimento violento ou forçado: movimento dos corpos, causado pela ação contínua de um

agente externo.

Ao tirar os corpos de seus lugares naturais, emerge a idéia de força. O corpo era

animado de movimento somente enquanto durasse a força. Quando acabava a força, o corpo

procurava seu lugar natural.

Os movimentos eram sempre retilíneos. Uma pedra lançada com uma funda numa

direção inclinada, se moveria em linha reta inclinada enquanto durasse a força do ar que a

empurrava. Esgotada essa força, a pedra passaria a percorrer uma trajetória retilínea vertical

para baixo. Cessada a causa, cessava-se o efeito.

Como explicar então o fato de uma pedra continuar seu movimento, mesmo após ter

deixado o contato com a mão do lançador? Inicialmente, Aristóteles vale se da explicação

proposta por Platão, que afirmava que esse tipo de movimento se processava como

conseqüência da compressão do ar na frente do projétil e do empuxo aplicado à retaguarda do

mesmo devido ao refluxo do ar em torno do projétil, movendo-o assim mais rapidamente que

seu movimento natural. É o processo da antiperístasis.

Esta explicação não satisfaz Aristóteles. Conforme SOUZA CRUZ (1985), Aristóteles

elaborou uma outra teoria, explicando que um projétil, ao se mover, desloca uma quantidade de

ar. Esta quantidade de ar se movimenta para ocupar o espaço vazio deixado pelo projétil na

parte traseira, impulsionando-o.

De acordo com a concepção aristotélica, em todo movimento existem duas forças: a

força motriz ( F ) e a força de resistência ( R ). Para que ocorra movimento, a força motriz deve

ser maior que a força de resistência. Modernamente, poderíamos escrever:

F > R

Pelo trecho abaixo, podemos deduzir que a velocidade é inversamente proporcional à

resistência do meio:

“Seja o corpo A transportado através do meio B, durante o tempo C e através do meio D, menos denso que B, durante o tempo E. Se B é igual a D em comprimento, o tempo será proporcional à resistência do

meio... e assim tanto o meio é menos denso, fracamente resistente, mais rápido é o transporte”(BAPTISTA e FERRACIOLI, 1999, p. 191). 75

Com os recursos modernos, o raciocínio de Aristóteles poderia ser expresso do seguinte

modo:

v α R

1

Em seus escritos, Aristóteles reforça a idéia do contato constante do motor com o móvel:

“Tudo que se move, deve ser movido por alguma coisa” (BAPTISTA e FERRACIOLI, 1999, p. 191).

Aristóteles deixa de maneira clara o enunciado da lei da dinâmica:

“A velocidade de um móvel que se desloca num meio, é diretamente proporcional à força aplicada ao corpo e inversamente proporcional à resistência do meio” (BAPTISTA e FERRACIOLI, 1999, P. 192).

Com os recursos modernos, podemos escrever este enunciado aristotélico como segue:

v α R

F

Aristóteles defende a tese da inexistência do vácuo:

“O deslocamento natural... tem suas diferenças...de modo que os objetos que naturalmente se movem são diferentes. Assim, não existe, por natureza, nenhum deslocamento em nenhum lugar e por nenhuma coisa, e, se isto existe, não existe de fato o vácuo”. (ARISTÓTELES, 1993, p. 12).

O ar, ao mesmo tempo em que impulsionava o corpo, resistia ao movimento.

Como já foi dito, para que ocorresse o movimento, a força motriz deveria vencer a resistência.

Quanto maior a força, mais rápido o movimento. Para que ocorresse o movimento

uniforme, era necessário o equilíbrio entre a força motriz e a força de resistência.

Refletindo sobre essas idéias, chega-se à impossibilidade da existência do vácuo, pois

nele, não havendo resistência ao movimento, a velocidade seria infinita. Então, para explicar a

uniformidade do movimento dos corpos celestes, propunha que o espaço supra-lunar deveria

estar cheio de um meio: o éter. De acordo com o professor Marcos César D. Neves, esta

conseqüência pode ser deduzida da relação

v α R

F

76

e concluir que a lei da dinâmica de Aristóteles não é válida em qualquer situação, por isto ...

“ela não é uma afirmação universal das condições do movimento”.(NEVES, 2000, p. 61).

Para Aristóteles, a velocidade dos corpos em queda livre depende do peso e da

densidade do meio. Apesar de não ter noção de gravidade e de variação da velocidade no

decorrer do tempo, Aristóteles articulava as observações de que dispunha de maneira bastante

lógica.

Esta conclusão de Aristóteles de que corpos mais pesados cairiam mais depressa que

corpos mais leves de mesmo tamanho, foi confrontada e negada por Galileu na sua famosa

experiência (factual ou não) na Torre de Pisa. O pensamento aristotélico tinha um grande poder

de convencimento pela beleza e clareza dos argumentos deste grande expoente da filosofia

grega.

5.6 - A TEORIA DO ÍMPETUS

No caminhar da história surgiram contestações às idéias de Aristóteles, das quais a mais

controversa foi a antiperístasis.

Hiparco (séc. II a.C.) não aceitava esta teoria. Ele acreditava em uma força impressa que passava ao corpo pelo agente motor, força que diminuía à medida que o corpo se deslocava em um meio dissipativo (NEVES, 1999, p. 36).

No século IV d. C., Philoponus, filósofo de Alexandria, rejeita a teoria aristotélica,

reconcebe a idéia de força impressa, de maneira independente de Hiparco. De acordo com este

filósofo, a única contribuição do meio era a resistência ao movimento, e a velocidade seria

proporcional à diferença entre a força motriz ( F ) e a resistência ( R ) do meio:

v α (F – R)

A teoria proposta por Philoponus foi o primeiro passo na concepção da existência de

movimento sem a influência motora do meio, pois, ao contrário da teoria aristotélica, a

existência do vácuo era uma possibilidade.

Com o colapso do Império Romano, o Ocidente perde o elo de contato com a cultura

grega. O sistema aristotélico-ptolomáico foi seu último grande legado. Tal império se reergue

sob a ação de Carlos Magno e com a atuação da Igreja. A religião passa a se transformar em

77

soberana absoluta das idéias e da vida das pessoas. Assim, dos séculos V a XII, a filosofia e a

ciência quase desapareceram.

Do século XII em diante a Europa passa por grandes transformações com a expansão

árabe, com o renascimento do comércio, com o surgimento de novas classes sociais como o

mercador, o moedeiro, os primeiros bancos e as grandes cidades.

Nesse cenário, a cultura árabe desempenhou um papel crucial para que o Ocidente,

retomando o contato com a cultura grega, se renovasse intelectualmente. Ao traduzirem as obras

dos filósofos, inúmeros pensadores árabes, principalmente Avicena, Avempace e Averroes,

contribuíram com idéias e comentários. O estudo de seus textos originou a tradição escolástica e

a criação das primeiras universidades da Europa, dentre elas, Bolonha, Paris e Oxford.

Para os fins a que se propõe o presente trabalho, não é possível abordar toda gama de

contribuições geradas no período entre Aristóteles e Newton. Assim, vamos nos ater às

ponderações daqueles que, na opinião dos especialistas, foram os que apresentaram as mais

significativas contribuições sobre o estudo do movimento: Jean Buridan, Nicolau Oresmes,

Galileu Galilei e Isaak Newton.

• Jean Buridan ( 1300-1382), da Universidade de Paris, aperfeiçoou a noção de ímpetus,

independentemente dos trabalhos de seus antecessores. Para ele, o ímpetus seria uma força

transmitida ao corpo pelo agente motor, tornando-se uma força motriz incorpórea.Seria

permanente desde que não houvesse resistência externa. Nas idéias de Buridan, há resquícios do

pensamento aristotélicos: vencida a força impressa, o corpo procurava seu lugar natural (cessant

causa cessat efecttus).

Para Buridan, a contínua aceleração dos corpos em queda livre era devida à gravidade

que imprime ao corpo mais e mais ímpetus. À medida que o ímpetus aumenta, a velocidade

também aumenta.

Quando lançado verticalmente para cima, a velocidade inicial representa um ímpetus

impresso no corpo. À medida que o corpo sobe, este ímpetus diminui devido à gravidade até

anular-se no ponto de altura máxima. A partir daí a gravidade comunica-lhe velocidade e

ímpetus que crescem até atingir a velocidade de partida.

• Nicolau Oresmes (1325-1382) retoma a teoria do ímpetus de Buridan, rejeita a idéia do

ímpetus divino para o movimento eterno e constante dos céus e a idéia do ímpetus permanente

78

em um corpo, considerando-a auto-consumível. Daí que, nenhum movimento seria infinito,

admitindo assim, a existência do vácuo.

O desenvolvimento da física do ímpetus na história foi uma longa caminhada na qual

houve avanços e retrocessos. Teve períodos nos quais a física do ímpetus se viu impossibilitada

de dar respostas a um número sempre crescente de problemas ancorada no paradigma vigente.

Esta crise paradigmática obrigou a comunidade científica à busca de novas teorias que lhe

permitissem responder as grandes questões da época.

As luzes deste paradigma surgiram no século XIV, como você viu no texto “UMA

VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO”. Como comentou o historiador russo Koyré, as

contribuições dos inúmeros pensadores ao longo da história prepararam o caminho para que

Newton desenvolvesse a teoria sobre o movimento e suas causas.

ATIVIDADE 16

Resolva as seguintes cruzadinhas:

2 31

76

84

5

1 –único movimento admissível no mundo da perfeição aristotélica

2 – o que era impossível existir no universo concebido por Aristóteles

3 – “Cessada a causa, cessava-se o efeito” caracteriza a física de Aristóteles como não...

79

4 – fenômeno em que um corpo se movimenta impulsionado pelo próprio ar que o circunda de

acordo com a concepção de Aristóteles.

5 – filósofo cuja teoria admitia a existência do vácuo.

6 – Empédocles foi um filósofo grego que afirmava que o universo era constituído de quatro

elementos: terra, ar, fogo e .................

7 – povo cuja contribuição foi vital para a renovação intelectual do Ocidente.

8 – de acordo com a teoria de Jean Buridan, o ............................ é uma força transmitida ao

corpo pelo agente motor, tornando-se uma força motriz incorpórea, imanente.

5.7 - ALGUNS TÓPICOS DOS TRABALHOS DE NEWTON

Como uma tocha olímpica que um atleta passa ao outro numa maratona, assim é a tocha

da ciência. Os trabalhos dos pensadores são assumidos pelos que lhes sucedem, discutidos,

depurados e reelaborados. Newton retoma os trabalhos de Galileu, Descartes e de muitos outros

para elaborar o seu trabalho PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE FILOSOFIA NATURAL.

No livro didático público que você recebeu do Estado, você encontrará alguns tópicos

deste trabalho (definições, comentários e leis). Se você não recebeu, consulte o site da seed:

www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/ - clicando em alunos – Física – Livro Didático Público.

5.7.1- SEGUNDA LEI DE NEWTON

ATIVIDADE 17

01) Copie em seu caderno as definições I e III nas páginas 52 e 53 do Livro Didático Público

(edição anterior) ou 38 e 39 (nova edição) ou pelo site

www.diaadiaeducacao.pr,gov.br/ - clicando em alunos – Física – Livro Didático Público

02) Nas definições acima, Newton se refere a uma mesma grandeza, de duas maneiras

diferentes. Em linguagem moderna, que grandeza é esta?_________________Que propriedade

esta grandeza apresenta?

03) Para você entender melhor:

80

Dois veículos, um caminhão de grande porte e um fusquinha deslocam-se com

velocidades iguais. Qual deles é mais fácil de ser freado?___________________________ __

Qual é a grandeza que resiste a esta variação do movimento (frenagem)?_________________

Portanto, a massa de um corpo tem a propriedade de se opor à variação da quantidade de

movimento. Por isto se diz que a massa é a medida da inércia do corpo. É o que emerge da

definição III: a massa é interpretada como uma força que se opõe à mudança de movimento.

De acordo com Otávio César Castellani, do Centro de Pesquisas Físicas,

...”o exercício dessa força (a vis ínsita) pode ser considerado sob duplo aspecto: de resistência e de ímpeto. Resistência, enquanto, para conservar o seu estado, o corpo se opõe à força impressa; ímpeto, enquanto o mesmo corpo, dificilmente cedendo à força do obstáculo oposto, esforça-se por mudar o estado deste...”(Extraído do comentário de Isaak Newton sobre a definição III ).

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/

05) Escreva nas linhas abaixo a definição IV (página 54).

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Agora veja o enunciado da segunda lei, chamada lei fundamental do movimento:

“A mudança do movimento é proporcional à força motora e é produzida na direção

da linha reta na qual aquela força é imprimida”.

De acordo com a definição IV, esta força é de curta duração. Age somente para alterar o

estado do corpo. Ela não permanece no corpo quando termina a ação. E é contra esta força que a

massa do corpo atua para conservar o movimento. Em situações como esta, a massa do corpo é

chamada de massa inercial.

Existem duas formas de expressar matematicamente esta segunda lei:

a) em termos da variação da quantidade de b) em termos de massa e aceleração.

movimento.

F = t

Q

∆∆ F = m.a

81

Voltemos agora para a experiência da esfera que rola por uma canaleta. A força que age

sobre o corpo neste caso é a força de atração da Terra (força gravitacional), comumente

representa pela letra P (peso). E esta ação ocorre num intervalo de tempo muito grande. E a

segunda lei não se refere a este tipo de força. Neste caso, a massa do corpo não se caracteriza

como um obstáculo à variação do movimento, mas como uma reação do corpo à ação

gravitacional. Por isto é chamada de massa gravitacional.

O texto que se segue é a Definição VIII e seu comentário que Newton apresentou em

seu trabalho. Leia e sublinhe o trecho em que Newton dá a definição matemática do peso.

Definição VIII

A quantidade motora de uma força centrípeta é a medida da mesma, proporcional ao

movimento que ela gera em um dado tempo.

Comentário:

Assim, o peso é maior em um corpo maior e menor em um corpo menor; e, em um

mesmo corpo, é maior próximo à Terra e menor à distâncias maiores. Esse tipo ( * ), ou, como

posso dizer, seu peso; e é sempre determinada pela quantidade de uma força igual e contrária

de quantidade é uma propensão que o corpo inteiro tem de se dirigir para o centro exatamente

suficiente para impedir a queda do corpo.

A essas quantidades de forças podemos chamar, para sermos breves, pelos nomes de

força motora, acelerativa e absoluta; e para estabelecermos distinção, podemos considerá-las

com relação aos corpos que tendem para o centro, aos lugares desses corpos e ao centro de força

para o qual elas tendem; isto é, atribuo a força motora ao corpo como um esforço e propensão

do todo em direção a um centro, surgindo das propensões das diversas partes tomadas em

conjunto; a força acelerativa ao lugar do corpo, como um certo poder difundido do centro para

todos os lugares ao redor para mover os corpos que aí estiverem; e a força absoluta ao centro,

enquanto dotado de alguma causa sem a qual aquelas forças motoras não se propagariam pelos

espaços circundantes; quer seja aquela causa um corpo central (tal como é o ímã no centro da

força magnética, ou a Terra no centro da força gravitacional), ou qualquer outra coisa que ainda

não apareceu. Pois pretendo apenas proporcionar uma noção matemática daquelas forças, sem

considerar as causas e os fundamentos físicos. Portanto a força acelerativa manterá a mesma

relação com a motora que a celeridade com o movimento

82

Pois a quantidade de movimento é o produto da velocidade pela quantidade de matéria; e a

força motora é o produto da força acelerativa pela mesma quantidade de matéria. Pois a soma

das ações da força acelerativa sobre as várias partículas do corpo é a força motora do todo.

Assim é que, próximo à superfície da Terra, onde a gravidade acelerativa ou a força que produz

a gravidade em todos os corpos é a mesma, a gravidade motora ou o peso é como o corpo. Mas

se subíssemos a regiões mais altas, onde a gravidade acelerativa é menor, o peso seria da mesma

maneira diminuído, e seria sempre o produto do corpo pela gravidade acelerativa. Assim,

naquelas regiões onde a gravidade acelerativa é diminuída pela metade, o peso de um corpo

duas ou três vezes menor será quatro ou seis vezes menor.

Da mesma forma, denomino atrações e impulsos de acelerativos e motores, e uso as

palavras atração, impulso, ou propensão de qualquer tipo na direção de um centro,

indistintamente; considerando essas forças não fisicamente, mas matematicamente. Portanto o

leitor não deve imaginar que, por estas palavras, eu queira definir em qualquer parte do texto o

tipo, ou a maneira de qualquer ação, suas causas ou razões físicas, ou que atribua forças em um

sentido verdadeiro e físico, a certos centros (que são apenas pontos matemáticos), quanto

referir-me a centros como atrativos ou como dotados de poderes atrativos.

( * ) N. T. – No original, “centripetency”, caracterizando tendência para o centro,

“centripetência”.

06) Escreva, dentro do retângulo, a expressão matemática do peso de um corpo conforme o

trecho que você sublinhou.

5.8 - GALILEU GALILEI E O MOVIMENTO UNIFORME

Analisando o movimento de um corpo num plano inclinado, Galileu observou que:

• no caso de planos inclinados descendentes, existe uma força de aceleração.

• no caso de planos inclinados ascendentes, existe uma força de retardamento.

Então ele concluiu que nos casos dos planos horizontais não deve haver retardamento

nem aceleração no movimento do corpo. Ao longo de um plano horizontal, o movimento deve

ser permanente, desde que não hajam resistências ao movimento.

De acordo com NEVES (2000), o corpo está sujeito à ação constante de uma força em

direção ao centro da Terra. Portanto, não é inércia. O que permanece é a conservação do

83

momento angular, de todo desconhecido por Galileu (NEVES, 2000, pp. 95-96).

5.9 - CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO E AS LEIS DO

MOVIMENTO

ATIVIDADES PRÁTICAS – X

Objetivo: Observar e descrever o movimento de esferas em um pêndulo composto e a

conservação da quantidade de movimento


• duas esferas de aço iguais (ver em depósito de ferro velho) ou de outro material qualquer.

• dois ou mais pedaços de linha de pesca, com 30 cm cada.

• fita crepe.

• cola Super Bond.

• “ripinhas” de madeira com 20 cm de comprimento cada. Que não seja muito larga, em torno

de 1,5 cm.

• Massa durepoxi

• doze espetinhos de madeira para churrasco.

Procedimentos

- com os espetinhos, durepoxi e super bonder, construa as arestas de um cubo.

- dobre cada pedaço de linha ao meio. Coloque a parte dobrada sobre a esfera e sobre ela

coloque um pingo de cola Super Bond e espere secar.

- com a fita crepe ou Super Bond fixe as extremidades livres da linha na “ripinha”, de modo que

a esfera fique pendurada pelo vértice de um V formado pela linha. Use uma “ripinha” para cada

esfera. Os “V” devem ser iguais.

- posicione as quatro ripinhas sobre uma das faces do cubo, de modo que fiquem

aproximadamente paralelas.

- regule a distância entre as ripinhas, de forma que as esferas se toquem levemente.

- levante uma bolinha e solte

Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua

turma.

84

Fig. 24 – Pêndulo composto Acervo próprio. ATIVIDADE PRÁTICA – XI

Objetivo: Observar e descrever o movimento de esferas antes e após as colisões.


• duas esferas iguais de aço ( ver em depósito de ferro velho ) ou de outro material qualquer.

• quatro pedaços de tubo de PVC, com aproximadamente 1 m de comprimento cada e pequeno

diâmetro.

• dois pedaços de mangueira de 2,10m cada, aproximadamente, de diâmetro suficiente para nela

embutir os tubos de PVC

• cola para PVC ou Super Bond.

Procedimentos

- introduzir dois tubos em cada pedaço de mangueira, deixando um espaço livre na parte central

de cada pedaço de mangueira, permitindo a sua flexibilidade. Para redução de custo, poderia ser

usado cabo de vassoura, mas a madeira (geralmente o pinus) tem o inconveniente de envergar.

- construa duas canaletas com as mangueiras, colando-as uma ao lado da outra.

- improvise com as canaletas, uma rampa inclinada seguida de outra horizontal sobre uma mesa

ou mesmo no chão.

- coloque uma esfera em repouso sobre a rampa horizontal num ponto um pouco afastado do

fim da rampa inclinada.

- abandone uma esfera a partir da extremidade elevada da rampa inclinada.

01)Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para a sua

turma.

85

Fig.25 – Plano inclinado articulado com um plano horizontal Acervo próprio

ATIVIDADES PRÁTICAS – XII

Objetivo: Observar e descrever o movimento de carrinhos antes e depois das colisões.


• dois carrinhos de aço de mesma massa.

• uma tábua leve e fina ou outro material similar, que tenha de 8cm a 10 cm de largura e de 80

cm a 100 cm de comprimento.

• quatro filetes ou baguetes de madeira (ripinhas) com o mesmo comprimento da tábua.

• cola branca.

• Cartolina

• fita durex.

Procedimentos

- com cola branca, fixe dois baguetes nas laterais da tábua, de modo a formar um corredor para

os carrinhos. Os corredores deverão ter larguras suficientes para os carrinhos: nem “apertados”

e nem “largos”.

- sobre uma mesa ou no chão, disponha a tábua numa posição inclinada, apoiada sobre livros ou

qualquer outro objeto. Fixe-a com fita crepe.

- fixe os outros dois baguetes na continuação da rampa inclinada, para que o corredor se

prolongue sobre o tampo da mesa ou sobre o piso.

- usando fita crepe, forre o corredor com cartolina para que ao passar da parte inclinada para a

parte horizontal, o carrinho não tenha que “saltar”.

- coloque um carrinho em repouso sobre o corredor horizontal, um pouco afastado do final da

rampa inclinada.

- abandone o outro carrinho a partir da extremidade elevada da rampa inclinada.

86

- na vida real, às vezes ocorre que numa colisão entre veículos, um fique grudado no outro. Se

você quizer reproduzir esta situação, cole um pedaço de fita crepe no pára-choque dos

carrinhos, enrolando a fita crepe, de modo a formar uma fita de dupla face.

01)Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua turma.

Fig. 26 – Colisões de veículos. Acervo próprio.

ATIVIDADES PRÁTICAS – XIII

Objetivo: Observação da conservação da quantidade de movimento e do fenômeno da ação e

reação.


• balão (bexiga).

• linha de pesca.

• fita adesiva, de preferência, “Durex”.

• canudo de refrigerante.

Procedimentos

- encha o balão, provisoriamente, para escolher o local onde fixar o canudo, de modo que o

balão fique paralelo ao canudo. Fixe o balão no canudo com fita adesiva.

- passe a linha de pesca através do canudo.

- encha o balão e, com a linha esticada, solte-o.

87

01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para a sua

turma.

Fig. 27 – Ação e e reação e conservação da quantidade de movimento. Acervo próprio ATIVIDADES PRÁTICAS – XIV


reação.


• embalagem de filme fotográfico (potinho plástico).

• tampa de garrafa PET.

• bicabornato de sódio.

• canudo de refrigerante.

• linha de pesca.

• fita crepe.

• água

Fig.28 – Ação e reação e conservação e conservação da quantidade de movimento. Acervo próprio.

88

Procedimentos

- corte um pedaço de canudo do mesmo comprimento do potinho.

- fixe o canudo longitudinalmente ao potinho com fita crepe.

- encha um pouco menos da metade do volume do potinho com água.

- coloque bicarbonato de sódio na tampa de garrafa PET, o suficiente para que a tampa não

afunde ao ser colocada sobre a superfície da água.

- tampe o potinho, agite-o e, com a linha esticada, solte-o.

01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua turma.

ATIVIDADES PRÁTICAS - XV


reação.


• embalagem de filme fotográfico (potinho plástico).

• tampa de garrafa PET.

• bicarbonato de sódio.

• placa de isopor retangular fina ou outro material leve, de 10cm x 15cm.

• um pequeno pedaço de isopor para servir de calço para o potinho.

• fita crepe.

• nove espetinho para churrasco (bambu).


• massa durepoxi.

Procedimentos

- com os espetinhos, usando Super Bond e/ou Durepoxi, construa as arestas de um prisma

triangular reto.

- com a placa retangular e a linha, confecione um “balanço” suspenso pelos quatro cantos e por

uma das arestas laterais.

- coloque dentro do potinho uma quantidade de água menor que a metade do seu volume.

- coloque bicabornato de sódio na tampa da garrafa PET em quantidade suficiente para que não

afunde ao ser colocada na superfície da água.

89

- coloque o potinho sobre a placa retangular sobre um calço pré-colocado, de modo que fique

numa posição inclinada e que sua tampa não encontre obstáculo ao ser disparada.

Fig. 29- Ação e reação e conservação da quantidade de movimento. Acervo próprio .

- tampe o potinho, agite-o e libere o conjunto em repouso.

Observe o que ocorre e explique o fenômeno para a sua turma.

ATIVIDADES PRÁTICAS - XVI

Objetivo: Observar a conservação da quantidade de movimento e o fenômeno da ação e reação.


• um retângulo de madeira de 10cm por 15 cm, fino e leve.

• três pregos pequenos.

• um elástico para dinheiro.

• linha de costura.

• dois pedaços de barbante ou linha de pesca.

• nove espetinhos de churrasco ( bambu).

• cola Super Bond e/ou massa Durepoxi.

Procedimentos

- com os espetinhos, usando Super Bond e/ou massa Durepoxi, construa as arestas de um

prisma triangular reto.

- confecione um balanço com o retângulo e os pedaços de barbante ou linha de pesca, de modo

que o retângulo fique suspenso pelos quatro cantos e por uma das arestas laterais.

- em dois pontos situados próximos às extremidades do lado mais curto do retângulo espete

90

dois preguinhos. No centro da borda oposta, espete o outro prego.

- pelos dois pregos dos cantos da placa passe o elástico de dinheiro. Amarre no centro do

elástico um pedaço de linha. Puxe o elástico pela linha e amarre a no prego que está espetado no

centro da outra base mais curta da placa. O elástico tomará a forma de um V. Deve-se ter o

cuidado de não encostar o V do elástico neste prego; portanto, deixe um pequeno pedaço de

linha esticado segurando o vértice V no prego.

- coloque dentro do vértice do elástico um pequeno projétil, que não tenha atrito.

- com um fórforo queime a linha que está segurando o vértice do elástico.

01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua turma.

Fig.30 – Ação e reação e conservação da quantidade de movimento Acervo próprio

ATIVIDADES PRÁTICAS – XVII

Objetivo: Observar as forças de ação e reção.


• dois skates .

• um pedaço de corda ( 2,5 metros aproximadamente).

Procedimento

- posicionar os skates numa mesma linha reta, distanciados entre de 3,0 m.

- solicitar que dois alunos, cada um segurando firmemente uma extremidade da corda, subam

sobre os skates e disputem um cabo de guerra.

91

- Sobre um skate, você é capaz de puxar seu colega sem sair do lugar? _________ Expique o

que você observa de acordo com as leis de Newton.

Nos trabalhos práticos que vocês apresentaram, podemos constatar a atuação de forças

que aparecem aos pares:

• choque entre as esferas na canaleta: elas exercem forças iguais, uma sobre a outra, em módulo

e direção, mas de sentidos contrários.

• choque entre os carrinhos: na colisão, os carrinhos exercemforças iguais, um sobre o outro, em

módulo e direção, mas de sentidos contrários.

• o gás exerce força contra o potinho e o potinho exerce força contra o gás, ambas de mesmo

módulo, mesma direção e sentidos opostos.

• o elástico exerce força contra o projétil e o projétil exerce força contra o elástico.

• as forças trocadas entre os personagens na figura 62 são iguais em módulo e direção, mas de

sentidos opostos.

Interações entre corpos e/ou partículas como os que vocês registraram a partir de

seus trabalhos, foram estudadas por Newton. Baseado nestes estudos, ele formulou uma de suas

famosas leis em sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, conhecida como lei

da ação e reação ou princípio da ação e reação:

5.9.1 - TERCEIRA LEI DE NEWTON

“A toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações mútuas de dois

corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas às partes opostas”.

Em linguagem moderna, poderia ser enunciada como segue:

“Quando um corpo A exerce uma força F A num corpo B, este exerce em A uma

força F B , de mesmo módulo e direção de F A , mas de sentido oposto”.

A força de ação é aplicada num corpo e a de reação, no outro. Então, a resultante destas

forças não é nula. Se fosse nula, os corpos ficariam em repouso ou em movimento retilíneo

uniforme como foi demonstrado por Galileu.

Mas as quantidades de movimento dos objetos deste sistema podem ser somadas e a

soma é igual a zero, pois os vetores quantidade de movimento são iguais em módulo e direção,

mas de sentidos opostos.

92

Temos o antes e o depois. “No antes”, o sistema estava em repouso, portanto, a quantidade

de movimento é zero. “No depois” o sistema esteve em movimento. Temos então:

antes = depois

0 = m A .v A + (– m B .v B )

O sinal negativo indica que o vetor tem sentido oposto ao do outro vetor. Da igualdade acima,

resulta:

AABB vmvm

.. = ou BA QQ

=

Não houve variação na quantidade de movimento do sistema. Mas isto só ocorre se não

houver nenhuma força resultante externa ao sistema agindo sobre ele. Se a resultante das forças

externas for nula, temos:

F R = 0

Mas

F R = t

QQ AB

∆−

→ t

QQ AB

∆−

= 0

Então

AB QQ

=

ATIVIDADES 18

01) Um jovem estaciona seu barco com a proa (dianteira) perpendicular à margem de uma lagoa

de águas tranqüilas. O jovem caminha da popa (traseira) em direção à proa, com a finalidade de

descer do barco. Entretanto, ele não consegue seu intento. Como você poderia explicar tal fato

usando os princípios da física?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

02) Um remador e seu barco têm, juntos, massa de 150 kg. O barco está parado e o remador

salta dele com uma velocidade de 8 m/s. O barco afasta com uma velocidade contrária de 7 m/s.

Calcule as massas do remador e do barco.

93

O raciocínio é o mesmo para um sistema isolado e constituído por um grande número de

partículas, colidindo ou não, continuamente entre si:

• as partículas trocam forças entre si (ação e reação). Tais forças são iguais em módulo e

direção, mas de sentidos opostos.

• Para cada par de forças (ação e reação) correspondem duas quantidades de movimento,

também de mesmo módulo e direção, mas de sentidos opostos. Por isto, num sistema isolado, a

quantidade total de quantidade de movimento se conserva desde que não haja interferência de

forças externas.

Assim, podemos pensar o universo como um sistema cuja quantidade de movimento se

conserva.

Mas agora pense num sistema constituído por um único corpo, que se desloca com

velocidade constante. É fácil perceber que neste caso ele não tem a sua quantidade de

movimento variada. Então:

m.v d = m.v a

m.v d – m.v a = 0

Colocando m em evidência e dividindo pelo tempo:

t

vvm ad

∆− )(

= 0

0=RF

A expressão acima caracteriza o estado de inércia de um corpo. Se a resultante das

forças que atuam sobre um corpo for nula, o movimento do corpo deve ser permanente. Em sua

obra, Newton formulou esta conclusão galileana , chamada Lei da Inércia.

5.9.2 - PRIMEIRA LEI DE NEWTON

“Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em

uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas

sobre ele”.

ATIVIDADE – 19

Vejamos algumas situações nas quais podemos ver a presença desta lei:

O que ocorre com os passageiros de um ônibus quando:

94

a) o veículo é posto bruscamente em b) o veículo é bruscamente freado ?

movimento? __________________________________

_______________________________

Por que? Por que?

_______________________________ __________________________________

_______________________________ __________________________________

_______________________________ __________________________________

c) o veículo faz uma curva em alta velocidade? _____________________________________

Por que?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Vamos fazer mais alguns trabalhos práticos.

ATIVIDADES PRÁTICAS - XVIII

Objetivo: Observar a inércia dos corpos


• objeto levemente “pesado” (moeda, arruela, etc).

• um cartão de cartolina ou outro papel duro qualquer.

• um copo vazio.

Procedimento.

- coloque o cartão sobre o copo e, sobre o cartão coloque o objeto que você escolheu.

- puxe o cartão de maneira brusca.

01) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para a sua turma.

Fig 31 – Ao puxar bruscamente o cartão, a moeda cai no copo. Acervo próprio.

95

ATIVIDADES PRÁTICAS - XIX

Objetivo: Observar a inércia dos corpos.


• uma pilha de jogo de dama ou discos de outros materiais ( madeira, acrílico, etc.).

• uma régua.

Procedimento.

- disponha os discos empilhados sobre sua mesa e com a régua dê um “golpe” num dos discos

do meio.

01) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para sua turma.

ATIVIDADES PRÁTICAS – XX

Objetivo: Observar a inércia dos corpos.


• dois skates de tamanhos diferentes.

• um carrinho de brinquedo.

Procedimento.

- Coloque o skate menor sobre o maior. Coloque o carrinho sobre o skate menor.

- num primeiro momento, dê um empurrão brusco sobre o skate maior.


- num segundo momento, com cuidado, coloque os três objetos em movimento, um sobre o

outro como foi feito no início. Durante o movimento, freie bruscamente o skate maior.

Fig. 32 – Inércia dos corpos: se o skate maior for bruscamente freado, o skate menor e o carrinho permanecerão em movimento.

Acervo próprio

96


ATIVIDADES PRÁTICAS - XXI

Objetivo: Observar a influência que o atrito exerce sobre o movimento de um corpo.


• um CD velho, que você não usa mais.

• uma tampa de garrafa PET.

• bexiga.

• caneta esferográfica esgotada, daquelas que possuem a tampinha vedante um pouco mais alta

que uma tampa de garrafa PET.

• fita crepe.


• se preferir, massa Durepoxi (para encher a tampa de garrafa PET).

Procedimentos:

- com cola Super Bond fixe pelo fundo, a tampinha vedante da caneta bem no centro da tampa

de garrafa PET, internamente. Se a tampinha for do tipo rosqueável, o espaço ao seu redor

poderá ser preenchido com massa Durepoxi.

- com cola super bond fixe, com a parte interna para cima, a tampa de garrafa PET bem no

centro do CD.

- com um alfinete aquecido até ficar rubro, faça um furo no centro da tampa de garrafa PET, de

modo que a tampinha da caneta também fique furada.

- adapte a bexiga à parte do fundo do tubo da caneta, prendendo-a com fita crepe.

- soprando pelo tubo da caneta encha a bexiga e encaixe o tubo na tampinha fixa no CD-tampa

de garrafa PET. Libere o dispositivo sobre o tampo horizontal de uma mesa, registrando as suas

observações.

97

Fig. 33 – Na interface CE/superfície de Fig.34 – Idemapoio há uma camada de ar suprida pelo balão - acervo próprio No arranjo mostrado na fig.33 , a diminuição do atrito foi menos observável do que no

arranjo mostrado na fig.34. Nesta, o balão foi adaptado diretamente na tampa de garrafa PET,

ficando o conjunto livre do peso da caneta e da massa Durepoxi.

5.10 - FORÇAS DE RESISTÊNCIAS

ATIVIDADES 20

Vamos refletir um pouco sobre alguns fenômenos físicos:

Os fatos que observamos no nosso dia-a-dia parecem contrariar a lei da inércia.

Vejamos:

01) você chuta uma bola. Pela lei da inércia, a bola deveria continuar indefinidamente com seu

movimento. Mas ela pára após alguns segundos. Por que?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

02) a lei da inércia nos diz que para manter um corpo em movimento retilíneo e uniforme, não

é necessária a ação de nenhuma força sobre o corpo. No entanto, para você manter uma mesa

em MRU, você precisa exercer nela uma certa força. É uma contradição? Explique.

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

03) Compare os resultados da última experiência que você fez com as situações acima e avalie

suas respostas.

98

5.11 – AS FORÇAS DE RESISTÊNCIAS NA VISÃO ARISTOTÉLICA

Como você deve ter observado, o princípio da inércia não é observado devido a

interferência de forças de resistências ao movimento.

Estas forças de resistências já eram velhas conhecidas do homem desde épocas remotas.

Ao lançar projéteis contra animais e inimigos, nossos ancestrais observavam que o movimento

dos mesmos era de curta duração. Deslocavam-se por uma curta distância e caiam.

Este comportamento dos corpos lançados tem sido objeto de estudo por aqueles que

observavam a natureza com mais atenção. Na Antiguidade, ao estudar o movimento, Aristóteles

sustentava que a velocidade dependia da força com que o corpo era lançado e da

resistência do meio.Para ele, a velocidade é diretamente proporcional à força ( F ) que movia o

corpo (força motora) e inversamente proporcional à resistência ( R ) do meio”.

v α R

F

Pelos seus escritos e da relação anterior, é evidente que ele não acreditava na existência

do vácuo. Observando a natureza, ele não visualizava nenhum movimento infinito e isto era

devido à resistência R do meio. Se existisse o vácuo, a resistência R seria nula.

Matematicamente não existe divisão por zero, mas sim por números tão pequenos, tão próximos

de zero, que o quociente da divisão se torna um número muito grande. Com este raciocínio

matemático, podemos intuir que a velocidade de um corpo no vácuo seria infinita, de acordo

com a lógica de Aristóteles. Isto era um absurdo para ele, pois a sua visão de mundo era de um

universo limitado, onde não havia lugar para o movimento infinito. Numa de suas obras, o

grande filósofo escreveu: “A natureza abomina o vácuo”. Assim, ele demonstrava, através de

raciocínio, a tese da inexistência do vácuo. E tudo isto era reforçado pela experiência de viver

continuamente sob a atmosfera terrestre.

Mas como explicar o movimento uniforme dos corpos celestes? Para dar consistência à

sua teoria, Aristóteles e outros pensadores imaginavam que o mundo supra-lunar era preenchido

por uma substância chamada éter. A última esfera, a esfera das estrelas era movida

pelo motor divino. Devido ao atrito com o éter, este movimento era transmitido às demais

esferas. Esta substância oferecia uma resistência R ao movimento dos astros, de modo que

“equilibrando a força motora”, produziria o movimento uniforme.

99

Esta teoria sobreviveu soberanamente desde a Antiguidade por toda a Idade Média e

pelo Renascimento, vindo a ser derrubada pela teoria da Gravitação Universal elaborada por

Isaak Newton. Newton encontrou todo um terreno preparado pelos seus antecessores, entre eles

Tycho Brahe e Johannes Kepler, além de seus contemporâneos, entre eles, Robert Hooke.

ATIVIDADES PRÁTICAS - XXII (Física: Ciência e Tecnologia)

Objetivo: Observar a influência do atrito estático e do atrito cinético.


• um pequeno objeto “pesado” (bloco de madeira, latinha de massa de tomate usada, copo etc.).

• um pedado de cartolina americana de 10cm x 20cm.

• um clipe.

• elástico.

• tesoura.

• um pedado de papel de cor clara, de tamanho suficiente para forrar o tampo da carteira.

• fita adesiva.

Procedimento.

- paralelamente ao lado mais curto , no meio da cartolina, faça um corte com a tesoura,

correspondente à largura do clipe.

- insira o clipe no corte.

- prenda o elástico à extremidade angulosa do clipe.

Fig.35 – Comparando o atrito estático com o atrito dinâmico acervo próprio

100

- estenda o papel sobre o tampo da carteira e fixe-o com fita adesiva.

- apóie a cartolina sobre o papel de cor clara e, sobre ela, o objeto.

- estique o elástico mas sem forçá-lo. Marque sobre o papel o comprimento inicial do elástico.

Depois, puxe a extremidade do elástico, lentamente com cuidado até que o conjunto esteja na

iminência de entrar em movimento. Marque o novo comprimento do elástico.

- Depois que o conjunto entrou em movimento, continue puxando o elástico cuidadosamente.

Procure descobrir um jeito de marcar o novo comprimento do elástico.

01) Qual é o ente físico que tende a impedir o movimento entre duas superfícies de contato: da

cartolina e do papel que forra o tampo de sua mesa?

___________________________________________________________________________

02) há diferença de comprimento de elástico quando o conjunto está na iminência do

movimento e quando o conjunto está em movimento? ____________Comente.____________

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

03) Em que caso foi aplicada uma força de maior intensidade: para tirar o corpo do repouso ou

para mantê-lo em movimento retilíneo e uniforme?________________________________

___________________________________________________________________________

04) Como é chamado este ente físico que você definiu acima, quando o corpo está em:

a) repouso? (estático)

_________________________________________________________________________

b) movimento retilíneo e uniforme? (dinâmico)

________________________________________________________________________

5.12 - FORÇAS DE REAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE APOIO

ATIVIDADES PRÁTICAS – XXIII

Objetivo: Observar a força de reação de uma superfície de apoio.


• uma moeda.

• um cartão feito com papel duro

• um copo

Procedimento.

101

- coloque o cartão sobre o copo.

- coloque a moeda sobre o cartão.

- puxe bruscamente o cartão.

01) Antes de você puxar o cartão, a moeda estava em repouso sobre ele. Por que ela não rompeu

o cartão e não caiu dentro do copo?

Comentários:

Enquanto o cartão esta sob a moeda, esta não cai dentro do copo porque o cartão exerce

uma força sobre a moeda, perpendicularmente para cima. Toda força que é perpendicular a uma

superfície é chamada de força normal à superfície. Esta força é reação à força que a moeda

exerce sobre o cartão (terceira lei de Newton).

Mas por que a moeda exerce esta força sobre o cartão? A força ( P ) com que a Terra

atrai a moeda, faz com que esta exerça sobre o cartão uma força perpendicular em direção ao

Centro da Terra. É uma força normal à superfície do cartão. É comumente representada pela

letra N. A reação do cartão a esta força é uma força representada por –N.

A força com que a Terra atrai a moeda é comumente representada por P e é dirigida para

o centro da Terra. Em reação, a moeda atrai a Terra com uma força representada por –P.

Temos então dois pares de forças, chamados pares ação-reação. Desenhe, na figura que

se segue, os seguintes vetores força :

02) força peso do bloco ( P ): força com que a Terra atrai o bloco para o seu centro. Onde é

aplicada? ___________________________________________________________________

03) força com que o bloco atrai a Terra para si ( – P ). Onde é aplicada?

___________________________________________________________________________

04) força normal que o bloco exerce sobre o tampo da mesa ( –N ).

05) força normal que o tampo da mesa exerce sobre o bloco ( N ).

102

bloco

mesa

Terra Fig. 36

Fig.36 – Bloco apoiado sobre uma mesa e esta sobre a superfície terrestre.

06) O par de força P e –P constituem ação e reação?

( ) sim

( ) não

Por isto se anulam mutuamente?

( ) sim

( ) não

07) O par de forças N e –N constituem ação e reação?

( ) sim

( ) não

Por isto se anulam mutuamente?:

( ) sim

( ) não

10) O par de forças P e N constituem ação e reação?

( ) sim

( ) não

Por isto se anulam mutuamente?

( ) sim

( ) não

11) O par de forças –P e –N constituem ação e reação?

103

( ) sim

( ) não

Por isto, se anulam mutuamente?

( ) sim

( ) não

ATIVIDADE – 14

Baseado nos estudos que fizemos dos trabalhos de Newton, escreva as três leis da

Dinâmica.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

ATIVIDADE – 15

As Leis de Newton são válidas apenas em referenciais inerciais. Fazendo uma pesquisa

bibliográfica ou eletrônica (internet), redija um pequeno texto explicando esta assertiva.

5.13 - LEI DE HOOKE – FORÇA ELÁSTICA

Vamos desenvolver mais uma atividade prática para explorar simultaneamente o

conceito de forças de ação e reação e a lei de Hooke.

ATIVIDADES PRÁTICAS – XXIV

Objetivo: Observar a natureza da força exercida por uma mola sobre um corpo.


• um espetinho de churrasco (bambu).

• fita crepe.

• elástico de dinheiro.

• um clipe metálico.

• uma garrafa vazia de água mineral (pequena).

104

• uma seringa de 10 ml ou 20 ml.

• uma régua.

• água.

Procedimento.

- com a fita crepe, fixe o espetinho sobre o tampo da carteira, deixando a metade,

aproximadamente, do lado de fora do tampo. Pendure o elástico nesta parte livre do espetinho.

- corte a garrafa transversalmente ao meio. Faça dois furos em lados opostos e próximos à borda

e passe por estes furos um pedaço de linha resistente, para servir de “alça” do baldinho.

- passe o clipe por esta “alça” e pendure o baldinho na borrachinha.

- desentorte uma das extremidades do clipe para servir de ponteiro indicador de leitura.

- com fita crepe, fixe a régua na perna da carteira, na posição perpendicular, de modo que a

extremidade desentortada do clipe coincida com o zero da régua. Meça o comprimento do

elástico. Vamos chamá-lo de comprimento inicial e representá-lo por l 0 . Registre o valor

encontrado.

- Com a seringa, coloque 10 ml de água no baldinho. Anote o novo comprimento do elástico (

l 1 ).

- Acrescente mais um volume de 10 ml de água no baldinho e anote o comprimento do

elástico ( l 2 ). E assim, sucessivamente, até obter uma quantidade razoável de dados.

A idéia é a mesma do arranjo mostrado na figura abaixo.

Fig. 37 – Aparato para o estudo da força de uma borracha Acervo próprio

LEI DE HOOKE

Alguns cálculos

105

Pela densidade da água, sabemos que o volume de um litro de água corresponde à massa

de um quilograma de água. Isto é:

1 litro = 1000 ml

1 litro = 1000 g

01) Então, qual seria a massa de 1 ml de água?__________E de 10 ml de água?_________

Mas a Terra atrai esta massa de água que está dentro baldinho para o seu centro com

uma força (peso) dada por:

P = m.g

g → aceleração gravitacional. Em nossa região temos g = 9,8 2sm = 980 2s

cm

.

onde

m → massa de água

UNIDADES DE MEDIDA DE FORÇA

No Sistema Internacional, a unidade de medida de força é o newton:

1 N é a força que imprime a um corpo de 1 quilograma de massa a aceleração de

1m/s em cada segundo.

ou

1 newton é a força necessária para fazer com que a massa de 1 quilograma varie

sua velocidade de um metro por segundo em cada segundo.

1 ss

m= 1

s

m.s

1 e 1 N = 1 kg.1

ssm

Mas a medida de comprimento é dada em cm e a massa de água em gramas. Então

poderíamos trabalhar com a unidade de força chamada dina (dyn).

Um dina é a força que imprime a um corpo de 1 grama de massa a aceleração de 1

s

scm

= 1 2scm

02) Quantos dinas de peso correspondem a 10 ml de água?____________________________

03) Qual é o peso (em dinas) da massa total de água que você colocou no baldinho?

___________________________________________________________________________

106

04) Qual é o efeito desta força sobre a borracha?

___________________________________________________________________________

05) Podemos adicionar, indefinidamente, água no recipiente pendurado na borrachinha? Por

que?____________________________________________________________________

Pela sua vivência, você sabe que os elásticos (borrachas) e as molas têm um limite na

sua elasticidade. Se este limite não for respeitado, o material poderá se romper ou sofrer

deformações. Este limite depende, entre outros fatores:

• do material que constitui o corpo.

• da espessura do material.

A esta propriedade do material, nós chamamos de constante de elasticidade. Costuma-se

representar esta propriedade pela letra k

T A B E L A

06) Elabore uma tabela que contenha os seguintes dados:

• o total de massa de água a cada acréscimo.

• o valor total da força-peso a cada acréscimo.

• o comprimento inicial do elástico ( l O ) bem como todos os novos comprimentos provocados

pela força-peso da água a cada acréscimo.

GRÁFICO


cartesianos, marcando no eixo vertical os valores da força-peso e no eixo horizontal, os valores

do comprimento do elástico. Depois construa o gráfico força X deformação.

Você deve ter percebido que para cada valor da força-peso corresponde uma deformação

no elástico. Se o elástico fosse homogêneo (situação idealizada), a divisão de cada valor da

intensidade de força pela correspondente deformação seria constante:

1

1

x

F=

2

2

x

F=

3

3

x

F= ... =

n

n

x

F = k

Generalizando,podemos escrever:

k = x

F

107

k → constante de elasticidade do material (grandeza escalar)

onde x

= l – l O → alongamento da borracha. (grandeza vetorial)

F

→ peso da massa total de água colocada no “baldinho”.

Com o que já trabalhamos, podemos escrever a lei de Hooke como segue:

A força elástica de uma mola (ou de um elástico) é proporcional à deformação que

a mesma sofre.

Sua expressão matemática é

xkF .=

08) Agora, faça um desenho esquemático do aparato que você construiu bem como os seguintes

vetores forças:

• a força-peso com que a Terra atrai a massa de água do baldinho.

• a força com que a massa de água do baldinho atrai a Terra.

• a força com que a massa de água deforma o elástico.

• a força com que o elástico “segura” a massa de água.

09) Dos vetores-forças, quais são os pares que:

a) constituem ação e reação?

_________________________________________________________________________

b) não constituem ação e reação?

_________________________________________________________________________

5.14 – RETOMANDO O ESTUDO DAS FORÇAS DE ATRITO

Vamos retomar nossos estudos sobre a força de atrito, enfocando agora seu aspecto

quantitativo e retomando o conceito de força normal a uma superfície.

Numa das atividades práticas que você fez, você puxou um corpo que estava em repouso

sobre um pedaço de cartolina usando um elástico e aplicando sobre o elástico, uma força F

.

Você observou que este corpo só entrou na iminência do movimento quando o elástico

apresentou um certo alongamento ( x ). A intensidade desta força variou de zero até um valor

suficiente para tirar o corpo de seu estado de repouso.

10) De acordo com a lei de Hooke, que estudamos na última atividade experimental, a força

aplicada ao elástico deve atingir um determinado valor para tirar o corpo de seu estado de

108

repouso. Esta “dificuldade de colocar o corpo em movimento é devida a existência de uma outra

força. Você acha que esta outra força:

( ) atua a favor do movimento

( ) atua contra o movimento

( ) não interfere no movimento

Raciocinando em termos de pares de forças que constituem ação e reação e de pares que

não constituem, é possível inferir que a força aplicada ao elástico é igual à força que o elástico

aplica ao corpo. E que no instante em que o corpo entrou em movimento, a força que o elástico

lhe aplicou foi igual à força que resistia ao movimento, mas de sentido contrário.

Como o corpo estava em repouso, esta força que resistia ao movimento é chamada de força de

atrito estático ( fea ).

11) Você deve ter observado também que, quando o corpo estava sendo mantido em

movimento, o alongamento do elástico foi menor do que aquele necessário para tirar o corpo do

estado de repouso. Isto significa que, para manter um corpo em movimento, a força necessária

para vencer a força de atrito é:

( ) maior que

( ) menor que

( ) igual

a força necessária para tirar o corpo do estado de repouso.

Como neste caso o corpo estava em movimento, a força de resistência ao movimento é

é chamada de força de atrito dinâmico ou força de atrito cinético ( fca ).

12) Reflita um pouco sobre as situações vivenciadas no seu dia-a-dia, nas quais o atrito se faz

presente e que lhe chama a atenção. Nas linhas abaixo, relacione algumas destas situações:

a) quando o atrito é útil, benéfico e b) quando o atrito é prejudicial e

desejável. indesejável.

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

109

Vamos usar a visão matemática para entender a natureza neste caso do atrito. Leonardo

da Vinci, artista e sábio italiano, descobriu em 1508, que o atrito entre dois corpos:

• depende da força que comprime um corpo contra o outro.

• não depende da área das superfícies em contato.

Hoje, com os recursos modernos sabemos que a força de atrito depende:

• da força de reação normal ( N ) da superfície de apoio à força que o corpo exerce sobre esta

superfície ( –N ).

Se a superfície de apoio é horizontal e se a força que puxa o corpo também é horizontal,

então a força de reação normal tem o mesmo módulo do peso do corpo, isto é:

N = P

• do coeficiente de atrito ( μ ) entre as superfícies em contato.

5.14.1 – PLANO HORIZONTAL COM ATRITO

ATIVIDADES 21

13) A figura 64 abaixo representa um bloco apoiado sobre uma superfície. Desenhe, na

figura, os vetores que representam as forças peso ( P

) e a reação normal ( N

) da superfície de

apoio.

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Fig. 38

A expressão da força de atrito é dada por:

a) força de atrito estático b) força de atrito cinético

Nf eae

.µ= Nf cac

.µ=

Alguns exercícios:

14) A figura 74 que se segue representa um bloco de massa m=2,0 kg sobre uma mesa plana

horizontal. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o tampo de mesa são:

• coeficiente de atrito estático: μ e = 0,28

• coeficiente de atrito cinético: μ c = 0,25.

110

Uma força F horizontal, de intensidade variável, é aplicada sobre o corpo. Admita g

= 10 2sm

a) Desenhe, na figura, os vetores que representam a força peso ( P ), a força normal ( N ) de

reação da superficie do tampo da mesa e a força de atrito ( f a ).

F

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

b) Determine as forças de atrito Fig. 39

que atuam sobre o corpo:

•a força de atrito estático • a força de atrito cinético

c) qual o valor mínimo da força necessária para:

•colocar o corpo em movimento •manter o corpo em movimento

15) A figura 66 representa um bloco de 5 kg de massa que está em repouso numa superfície

horizontal. O coeficiente de atrito estático é eµ = 0,4 e o coeficiente de atrito dinâmico é dµ =

0,3. Considere g = 10 2sm .

a) Desenhe, na figura 66, os vetores que representam:

• a força-peso ( P ).

• a reação normal da superfície de apoio ( N ).

• a força de atrito ( f a ).

Fig.40

111

b) Determine a intensidade da força c) Então, com que força horizontal o bloco deve

de atrito estático. ser puxado para que fique na iminência do

movimento?

d) Uma força F igual a 30 N passa a atuar e) A partir do momento que esta força F

sobre o bloco, formando um ângulo de 60° passa a atuar, quais são as forças atuantes:

com a direção horizontal. Faça uma con- • na direção do eixo x

figuração do problema, desenhando os

seguintes vetores que atuam no bloco:

• a força F

• a contribuição da força F na direção • na direção do eixo y

horizontal (direção do eixo x)

• a contribuição da força F na direção

vertical (direção do eixo y)

f) Calcule a intensidade da componente g) Calcule a intensidade da componente

de F na direção do eixo x de F na direção do eixo y

( cos 60° = 2

1) ( sen 60° = 0,87)

h) Supondo o equilíbrio na direção do eixo i) Calcule a intensidade da força de atrito

y (vertical), calcule a intensidade de N. dinâmico.

112

j) Compare a força que puxa o bloco horizontalmente para a direita com a força de atrito

dinâmico. Na sua opinião, o bloco se moverá?__________ Por que? ____________________

___________________________________________________________________________

5.14.2 - PLANO INCLINADO SEM ATRITO

ATIVIDADE - 22

Vejamos agora a seguinte situação:

• Você dispõe de uma canaleta improvisada com duas lâmpadas fluorescentes, inicialmente na

posição horizontal. Se você colocar nesta canaleta uma esfera em repouso, o que poderá

ocorrer? Dê uma olhada no texto Galileu Galilei e o movimento uniforme e na Primeira Lei

de Newton.

01) Se você elevar uma das extremidades da canaleta, que fenômeno você pode “prever” e qual

a causa?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

02) Complete:

De acordo com o enunciado da segunda lei de Newton, uma força F imprimida a um

corpo de massa m, produz neste corpo uma ..............................de movimento na

mesma........................... e no mesmo .................................

03) A direção da força gravitacional ( P = m.g ) é:

( ) horizontal.

( ) vertical.

( ) inclinada

04) O sentido da força gravitacional ( P = m.g ) é:

( ) dirigido para o centro da Terra.

( ) de baixo para cima.

( ) contrário ao movimento da Terra.

( ) o mesmo do movimento da Terra.

05) As características (direção e sentido) da força responsável pelo movimento de descida da

esfera são as mesmas que você assinalou nos dois últimos itens?_______________________?

113

06) Será que se trata de uma mesma força? Ou será que uma é derivada da outra?

Vimos no estudo dos trabalhos de Galileu Galilei que o motivo pelo qual ele usou o

plano inclinado se deve ao fato de que a força gravitacional é “diluída” mas conservada a

estrutura da queda livre. Você consegue “visualizar” alguma relação entre a força responsável

pelo movimento da esfera e a força gravitacional?

Para “modelar” esta diluição da força peso, fazemos uso do plano cartesiano. Neste, a

força peso é diluída em duas forças perpendiculares entre si. Uma delas é a que neutraliza a

força de reação normal da superfície de apoio (plano inclinado). A outra componente você já

observou o efeito que ela produz na esfera.

07) Na figura 77 seguinte estão representados um plano inclinado e uma esfera sobre o mesmo.

Para facilitar sua construção mental, usando a técnica de decomposição de vetores sobre os

eixos cartesianos, desenhe na figura, os vetores que representam:

a) a força peso da esfera ( P ) dirigida para o centro da Terra.

b) a componente da força peso ( P x ) responsável pelo movimento de descida da esfera ao

longo do plano inclinado.

c) a outra componente da força peso ( P y ) que equilibra a força de reação normal ( N ) da

superfície de apoio (plano inclinado).

d) a força de reação normal ( N )da superfície de apoio (perpendicular a esta superfície).

As origens dos vetores devem coincidir com a origem do sistema cartesiano.

Atribua um símbolo ao ângulo de elevação do plano inclinado.

Importante: adquira o hábito de trabalhar com régua e esquadro.

y

x

Fig. 41

114

Com os vetores que você desenhou foi construído um retângulo cuja diagonal é

representado pelo vetor peso ( P ). Esta diagonal corta o retângulo em dois triângulos iguais e

semelhantes ao triângulo formado pelo plano inclinado.

08) Trabalhando com ângulos alternos (interno e externo) identifique os dois ângulos que são

iguais ao ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal.

09) Dos vetores que você desenhou, qual deles constitui um cateto adjacente ao ângulo de

elevação e qual deles constitui a hipotenusa do triângulo retângulo menor? Cateto

adjacente → ________________________________

Hipotenusa → ________________________________

10) Usando a relação trigonométrica entre cateto adjacente e hipotenusa, você pode deduzir

uma expressão matemática para o cálculo de qual força?

___________________________________________________________________________

11) Escreva esta expressão no retângulo abaixo.

12) Dos vetores que você desenhou, qual deles constitui um cateto oposto ao ângulo de

elevação do plano inclinado e qual deles constitui a hipotenusa do triângulo retângulo menor?

Cateto oposto → ________________________

Hipotenusa → ________________________

13) Usando a relação trigonométrica entre cateto oposto e hipotenusa, você pode deduzir a

expressão matemática para o cálculo de qual força?

___________________________________________________________________________

14) Escreva esta expressão no retângulo abaixo.

15) No sistema existem duas forças iguais em módulo e direção, mas de sentidos contrários.

Quais são?

___________________________________________________________________________

5.14.3 - A DECOMPOSIÇÃO (OU DILUIÇÃO) DA FORÇA PESO

A última expressão que você deduziu nos fornece o módulo da parcela da força peso que está

associada à aceleração da esfera ou de outro corpo qualquer em um plano inclinado. Ela é

dada por

115

θsenPPx .

= ou θsengmPx ..

=

onde θ é o ângulo entre o plano e a horizontal.

Baseado nesta expressão e em alguns valores do seno e do sosseno mostrados na tabela

seguinte, responda às perguntas que se seguem:

TABELA - 9

Valor do ângulo θ sen θ cos θ tg θ 0° 0 1 0 30°

21

23

33

45°

22

22 1

60°

23 2

1 3

90° 1 0 ∞

16) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 0°, a posição do plano é

( ) horizontal

( ) inclinada

( ) vertical (queda livre)

17) Qual é o valor da parcela do peso, P x neste caso?_______________________________

18) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 30°, qual é o valor da parcela do peso, P x ?

____________________________________


____________________________________


____________________________________

21) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 90°, a posição do plano é

( ) horizontal

( ) inclinada

( ) vertical (queda livre)

22) Qual é o valor da parcela do peso, P x ?

116

23) A figura 42 representa um corpo de massa 8 kg, que é abandonado sobre um plano inclinado

cujo ângulo de elevação é de 30°. O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é desprezível.

Admita g = 10 2sm e considere sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,86.


• a força-peso do corpo ( P ).

• a componente da força-peso na direção do eixo y ( P y ).

• a força de reação normal da

superfície de apoio ( N ).

• a componente da força-peso na

direção do eixo x ( P x )

y x

) 30º

Fig.42

b) Calcule a intensidade da componente da c) Qual é a intensidade da força de reação

força-peso na direção do eixo y ( P y ). normal da superfície de apoio ( N ).

d) Calcule a intensidade da componente do e) Calcule a aceleração do corpo ao descer o

peso na direção do eixo x ( P x ). o plano.

117

24) No esquema representado na figura 43, o bloco tem massa 0,5 kg e está em repouso sobre o

plano inclinado de 37° com a horizontal, preso pelo fio. Não há atrito entre o bloco e o plano.

Considere: g = 10 2sm , sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8; sen 53° = 0,8 e cos 53° = 0,6.




• a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).

• a componente da força-peso na direção do eixo x ( P x ).

• a força de tração ( T ) com que o fio segura o bloco.

y

x

B

A

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Fig. 43 – Forças agindo em um bloco sobre um plano inclinado

b) Se o bloco está em repouso, significa que c) Calcule a intensidade da componente da

a intensidade da componente da força-peso na direção do eixo x ( P x )

força-peso na direção do eixo x ( P x ) é:

( ) menor que a força de tração do fio.

( ) igual à força de tração do fio.

( ) maior que a força de tração do fio.

118

d) Então, qual é a intensidade da força de e) Se o fio se rompesse, qual seria a aceleração

tração ( T ) exercida pelo fio para do bloco? Calcule-a.

segurar o bloco?

5.15.4 - PLANO INCLINADO COM ATRITO

ATIVIDADE - 23

Coloque sobre sua mesa uma régua na posição horizontal e sobre a régua, uma tampinha

de garrafa PET, em repouso.

01) Eleve um pouco a extremidade da régua. A tampinha entrou em movimento? __________

Por que? ____________________________________________________________________

02) Se você continuar elevando a extremidade da régua, haverá um ângulo para o qual a

tampinha estará na iminência do movimento. Enquanto a tampinha não se movimenta, a força

que tende a deslocá-la para baixo ao longo do plano inclinado é

( ) maior que a força de atrito estático

( ) igual à força de atrito estático

( ) menor que a força de atrito estático

03) Na figura 44 abaixo está representado um corpo de massa m (tampinha de garrafa) em

repouso sobre um plano inclinado. Aproveitando a estrutura do caso anterior, desenhe na figura,

os vetores que representam : y

x

Fig. 44 corpo em planoinclinado com atrito

119

a) a força peso do corpo ( P )

b) a força componente do peso que tende a fazer com que o corpo desça o plano inclinado

( P x ).

c) a força componente do peso “situada” sobre o eixo y ( P y ).

d) a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).

e) a força de atrito entre o corpo e o plano inclinado ( fea ).

Como a estrutura do desenho é a mesma do caso anterior, as expressões para o cálculo

de P x e P y são as mesmas. Só que neste caso temos mais uma força atuando no sistema, que

é a força de atrito.

04) No caso anterior, você identificou duas forças que são iguais em módulo e direção, mas de

sentidos contrários, que são as forças N e P y . Então,na expressão da força de atrito estático

basta substituir N por P y . Fazendo isto, escreva no retângulo abaixo, a expressão da força de

atrito estático para o caso do plano inclinado:

05) O desenvolvimento que você acaba de fazer é para o caso do corpo estar em repouso e na

iminência do movimento sobre o plano inclinado. Se você aumentar o ângulo de inclinação do

plano inclinado, o corpo passa a se deslocar. Neste caso, supondo que o corpo desça o plano

inclinado com movimento uniforme, o módulo da componente da força peso responsável pelo

movimento do corpo é

( ) igual ao módulo da força de atrito cinético

( ) maior que o módulo da força de atrito cinético

( ) menor que o módulo da força de atrito cinético

06) Suponha que o corpo desça o plano inclinado com movimento acelerado. Neste caso, o

módulo da componente da força peso responsável pelo movimento do corpo é

( ) igual ao módulo da força de atrito cinético

( ) maior que o módulo da força de atrito cinético

( ) menor que o módulo da força de atrito cinético

120

07) Se você interpor entre o corpo e o plano inclinado aquele retângulo de cartolina com um

clipe no meio e puxar o conjunto através de um elástico, de modo que o conjunto execute um

movimento de subida, quais seriam os obstáculos a serem superados pela força elástica?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ 08)

Usando as mesmas estruturas do caso anterior, desenhe, na figura 45, os vetores que

representam todas as forças presentes no sistema, inclusive os obstáculos que você citou acima.

y

x

Fig. 45 – corpo em plano inclinado e respectivas forças

09) Neste caso, se o corpo subir o plano inclinado com movimento uniforme, o módulo da força

responsável pelo movimento de ascensão será

( ) maior que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

( ) igual à soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

( ) menor que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

10) E se o corpo subir o plano inclinado com um movimento acelerado, o módulo da força

responsável pelo movimento de ascensão será:

( ) maior que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

( ) igual à soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

( ) menor que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x

121

11) A figura 46 se refere a um corpo que foi abandonado em repouso sobre uma rampa (é

desprezível a força resistiva do ar sobre o corpo e é constante a força de atrito com a rampa).

Ele passa a deslizar com velocidade cada vez maior conforme mostra a figura (repare no

comprimento do vetor).

Fig. 46 – movimento de um corpo abandonado em um plano inclinado.Testes elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Axt – Instituto de Física – UFRGS.Fonte: http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.html Assim sendo, pode-se afirmar que a força exercida rampa abaixo:

A. ( ) é igual a força de atrito

B. ( ) é maior que a força de atrito e está crescendo

C. ( ) é constante mas maior que a força de atrito

http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.html

12) Um corpo de massa 2 kg é abandonado livremente no plano inclinado da figura 47, com

ângulo de 30° e coeficiente de atrito cinético cµ = 0,2. Admita g = 10 2sm , cos 30° = 0,86 e

sen 30° = 0,50.

a) Desenhe, na figura, os vetores que representam:





• a força de atrito cinético ( f c ).

122

y x

Fig. 47- Forças agindo sobre um bloco.

b) Determine a intensidade da componente c) Qual é a intensidade da força de reação

da força-peso na direção do eixo y ( P x ). normal da superfície de apoio ( N ).

d) Determine a intensidade da força de atrito e) Determine a intensidade da componente da

força-peso na direção do eixo x ( P x )

f) Na direção do eixo x, as forças têm: g) Calcule a aceleração do corpo ao descer o

( ) o mesmo sentido plano.

( ) sentidos opostos

Então, qual é o valor da intensidade da

força resultante.

123

13) Um bloco de massa 10 kg sobe um plano inclinado com ângulo θ e com velocidade

constante, sob a ação de uma força F constante em módulo e paralela ao plano inclinado.

Considere: coeficiente de atrito dinâmico: dµ = 0,2; sen θ = 0,6; cos θ = 0,8 e g = 10 2sm .


• a força-peso do bloco.

• a componente da força-peso na direçãodo eixo y ( P y ).



• a força de atrito dinâmico ( f d ).

y

x

F

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Fig. 48-forças agindo sobre um bloco

b) Calcule a intensidade da componente da c) Qual é a intensidade da força de reação

força-peso na direção do eixo y ( P y ). normal da superfície de apoio ( N ).

d) Calcule a intensidade da força de atrito. e) Calcule a intensidade da componente da

força-peso na direção do eixo x ( P x ).

124

f) Na direção do eixo x, quantas forças: g) Então, qual é a intensidade da força F, já que

• puxam para a direita? ____________ a velocidade é constante?

• puxam para a esquerda?___________

CAPITULO VI

TRABALHO E ENERGIA

126

6.1 – TRABALHO E ENERGIA

Vamos iniciar esta etapa com uma pequena atividade prática.

ATIVIDADE PRATICA – XXIV

Objetivo: observar as relações entre as grandezas no estudo da energia cinética e da energia

potencial.


• dois pedaços de 3,50m de mangueira lisa, de diâmetro aproximadamente de uma polegada.

• quatro pedaços de tubo de PVC de diâmetro aproximado 43 de polegada e com um metro de

comprimento. Podem ser substituídos por cabos de vassoura, desde que não empenem.

• 16 parafusos de 2,5” de comprimento por 16

"3 de diâmetro.

• cola de secagem rápida.

• uma esfera grande e uma pequena, de mesmo material.

• uma garrafinha PET vazia (água mineral, refrigerante...).

Confecção do looping

- introduzir os quatro pedaços de tubo de PVC ou madeira nas quatros extremidades das duas

mangueiras.

- fixar lateralmente as duas mangueiras, de modo a formar uma canaleta. Usar os parafusos para

fixar as partes rígidas e cola para a parte flexível.

- enrolar a mangueira de modo a formar um looping.

- as partes rígidas servirão de rampa de chegada e rampa de saída.

- com a garrafinha d’água vazia, confeccionar uma cestinha, a qual deverá ser pendurada no

ponto mais alto do looping.

Procedimento

- Pesquise em que ponto da rampa de descida poderá ser abandonada a esfera menor, de modo

que ela caia dentro da cestinha.

01) Por quê a esfera “consegue” subir uma parte da circunferência, após descer a rampa?

___________________________________________________________________________

02) Verifique o que ocorre com o movimento desta esfera se for abandonada de um ponto mais

alto da rampa de descida.

127

Fig.49 – Looping com a rampa de saída Fig. 50 – Looping com a rampa de saídana posição horizontal –acervo próprio na posição inclinada – acervo próprio

( ) cai dentro da cestinha.

( ) percorre a circunferência do looping.

a) Do primeiro para o segundo item da experiência:

• a velocidade da esfera no final da rampa:

( ) variou

( ) não variou

• a massa da esfera:

( )variou

( ) não variou

• a altura de onde começou o movimento:

( ) variou

( ) não variou

03) Agora abandone a esfera maior a partir domesmo ponto em que foi abandonada a esfera

menor no item (01) da experiência. O que ocorre?

( ) a esfera cai dentro da cestinha.

( ) a esfera percorre a circunferência do looping.

a) Do primeiro para o terceiro item da experiência:

• a velocidade da esfera no final da rampa (lembre-se da observação de Galileu sobre a

velocidade final de dois corpos de pesos diferentes em queda livre, abandonados

simultaneamente de uma mesma altura):

128

( ) variou

( ) não variou

• a massa da esfera:

( ) variou

( ) não variou

• a altura de onde começou o movimento:

( ) variou.

( ) não variou.

A grandeza física que nos ajuda a entender o comportamento das esferas nesta

experiência é a energia. Não existe uma definição para energia. O que existem são estudos de

sua variação.

c) do item (01) para o item (02) da experiência, qual foi o ente responsável pela variação da

energia?

( ) a massa da esfera.

( ) a altura de onde começou o movimento.

( ) a velocidade da esfera.

d) do item (01) para o item (03) da experiência, a esfera maior tem a mesma velocidade da

esfera menor ao chegar ao final da rampa? _________________________________________

• qual é o ente responsável pela variação da energia neste caso?

( ) a massa da esfera.

( ) a altura de onde começou o movimento.

( ) a velocidade da esfera.

Nos fenômenos que ocorrem no presente caso, podemos constatar duas formas de

energia, cuja soma é chamada energia mecânica. E a massa é uma variável que figura em todas

elas. Estas duas parcelas são:

6.2 - ENERGIA CINÉTICA é a energia de movimento. Então, qual seria a outra variável que,

associada à massa neste caso nos permitiria achar seu valor?_______________________

129

6.3 – ENERGIA POTENCIAL é a energia de posição. Então, quais seriam as outras duas

variáveis que, associadas à massa nos permitiria achar seu valor? _______________________

Vamos verificar agora como estas variáveis se relacionam, trabalhando com a equação

de Torricelli:

20

20 ).(.2 vhhgv =−+

v 0 → velocidade partida ou velocidade inicial

v → velocidade de chegada ou velocidade final

onde g → aceleração gravitacional

h → ponto de chegada ou altura final

h 0 →ponto de partida ou altura inicial

As posições ocupadas pela esfera são contadas de cima para baixo. Então o valor de 0h

é zero. Então, cancelando o valor de 0h , escreva a nova expressão no retângulo seguinte:

expressão (1)

Agora, subtraia 20v de ambos os lado da expressão (1) e escreva a nova expressão

no retângulo seguinte:

expressão (2)

A esfera desce a rampa devido ao seu peso. A expressão do peso é P = m.g. Então, na

expressão (2) está faltando a letra m. Multiplique ambos os lados da expressão (2) por m

(massa) e escreva a nova expressão no retângulo a seguir:

expressão (3)

Agora divida por 2 ambos os membros da expressão (3), escrevendo a nova

expressão no retângulo ao lado:

expressão (4)

O membro da esquerda da expressão (4) representa o trabalho mecânico realizado

pela força-peso sobre a esfera, ao deslocá-la da posição 0h até a posição h . Vamos

130

representar o trabalho realizado por uma força que atua sobre um corpo pela letra grega tau:

τ. A expressão matemática para o trabalho da força-peso é então:

τ = m.g.h ou τ = p.h

O membro à direita na expressão (4) representa a variação da energia cinética da

esfera ao ser deslocada da posição inicial até à posição final. Para representar esta variação

usa-se o símbolo CE∆ . Sua expressão matemática é:

CE∆ = 2

1 m.v 2 –

2

1 m.v 2

0

CE∆ → variação da energia cinética

onde 2

1.m.v 2

0 → energia cinética inicial

2

1.m.v 2 →energia cinética num instante qualquer

A unidade de medida do trabalho é igual à unidade de medida de energia. No S. I. a

unidade de medida de trabalho é o joule (J). No sistema CGS é o erg.

Em outros tipos de interações, a expressão do trabalho que a força resultante RF

realiza

sobre um corpo de massa m, ao deslocá-lo de uma posição A até outra posição B é dada por:

ABτ = ABR dF

.

Trata-se do produto escalar de dois vetores. O trabalho e a energia são então grandezas

escalares. De uma forma generalizada, a expressão do trabalho é:

ABτ = θcos.. ABR dF

ABτ → trabalho da força ao deslocar um corpo da posição A até a posição B

RF

→ força resultante que atua no corpo

ABd

→ deslocamento efetuado entre as posições A e B

θcos → cosseno do ângulo entre a força e o deslocamento

O trabalho é um processo de transferência de energia de um sistema para outro. Para que

ocorra esta transferência de energia, é necessário que:

• A distância percorrida pelo corpo não seja nula:

131

0≠ABd

• A força resultante que atua sobre o corpo ou a sua componente na direção do movimento não

seja nula:

0≠RF

Portanto, uma força resultante cuja direção é perpendicular ao deslocamento, não realiza

trabalho. Em física, você não realiza nenhum trabalho ao transportar seus materiais ao ir e

voltar da escola, pois a força-peso tem direção perpendicular ao seu deslocamento.

RF

RF

A B

Fig.51 – A força resultante RF

realiza trabalho sobre o corpo ao deslocá-lo da posição A até a posição B.

6.4 SINAL DO TRABALHO

• Se θ for um ângulo agudo (menor que 90°), o trabalho será positivo e chamado de trabalho

motor.

• Se θ for um ângulo reto (igual a 90° ou 270°), o trabalho será nulo, pois 90cos ° = 0 e

270cos ° = 0.

• Se θ for um ângulo obtuso (maior que 90°), o trabalho será negativo e chamado de trabalho

resistente.

F

F

F

d

d

d

Fig.52-Trabalho positivo Fig.53-Trabalho nulo Fig.54-trabalho negativo

Quando várias forças atuam num corpo, o trabalho total é dado pela soma algébrica dos

trabalhos de cada força:

nT τττττ ++++= ...321

132

GRÁFICO F x d

O trabalho realizado por uma força ao deslocar um corpo da posição A até a posição B

pode ser obtido pelo cálculo da área delimitada pelo gráfico da força F

como função do

deslocamento d

.

Força força

F

0 A B deslocamento 0 A B deslocamento

Fig.55-Trabalho de uma força constante Fig.56-Trabalho de uma força variável

6.5 - TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA

O trabalho realizado por uma força resultante RF

sobre um corpo de massa m ao

deslocá-lo de uma posição para outra é igual à variação da energia cinética:

CAB E∆=τ

6.6 - ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Quando você desloca um corpo contra o sentido “natural” de deslocamento, como é o

caso da elevação de um objeto no campo gravitacional terrestre, a sua força muscular realiza um

trabalho negativo, pois a força-peso do objeto forma um ângulo de 180° com a direção do

deslocamento. Como o campo gravitacional é um sistema conservativo, este trabalho negativo é

armazenado no objeto na forma de energia potencial. Através deste trabalho ocorre transferência

de energia do seu corpo para o objeto.

A energia potencial gravitacional depende da altura. Por isto ela é chamada de energia de

posição. Sua expressão matemática é dada por:

hgmEP ..= ou hpEP .=

O trabalho realizado pela força de atrito é negativo, pois a força de atrito tem sentido

oposto ao do deslocamento. Mas como o sistema não é conservativo, este trabalho é

transformado em energia térmica e não é reversível.

133

Um sistema não conservativo é também chamado de dissipativo.

6.7 - ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

Quando você estica ou comprime uma mola, a sua força muscular realiza um trabalho

negativo, pois o deslocamento da extremidade da mola ocorre em sentido oposto ao de sua força

elástica. Como a mola constitui um sistema conservativo, este trabalho é armazenado na mola

na forma de energia potencial elástica. Através deste trabalho negativo, ocorre a transferência da

sua energia muscular para a mola. Esta força varia desde um valor zero até um valor qualquer,

diferente de zero. Então, a área delimitada pelo gráfico Fxd é a área de um triângulo.

Força elástica

F A expressão matematica

da energia potencial elástica

é dada por:

ABP dkEel

..2

1=

0 A B deslocamento

Fig. 57- Gráfico mostrando a relação entre a força F e a deformação sofrida pela mola.

ElPE → energia potencial elástica

k →constante elástica da mola

ABd → deformação sofrida pela mola

Sugestão de atividade prática.

A lata mágica. Física mais que divertida, p.17 . Professor Eduardo de Campos

Valadares. Ed. UFMG.

6.8 - ENERGIA MECÂNICA

É a soma da energia cinética com a energia potencial.

PCM EEE +=

ME → energia mecânica

2..2

1vmEC = → energia cinética

hgmEP ..= → energia potencial gravitacional ou

ABP dkE ..2

1= → energia potencial elástica

134

6.9 - PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

Num sistema conservativo, a energia mecânica se conserva, isto é, a soma da energia

cinética com a energia potencial antes da ocorrência de um evento é igual à soma das duas

formas de energia depois da ocorrência do evento.

antes depois

DDAA PCPC EEEE +=+

Esta expressão é uma espécie de contabilidade de energia. Em nossa experiência da

esfera no looping, à medida que a esfera desce a rampa, vai diminuindo a altura e aumentando a

velocidade. A energia cinética sofre um acréscimo na mesma proporção que a energia potencial

sofre um decréscimo, de modo que a soma das duas formas de energia se mantém constante.

A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada de uma forma em

outra. Assim, por exemplo, no choque entre dois veículos, a energia cinética que cada um tinha

antes da colisão é c0nvertida em trabalho ao deformar o veiculo, em energia sonora, em energia

térmica e outras.

Pense na altíssima velocidade de um meteoro no instante de seu impacto com a

superfície de um planeta. Se a velocidade “zera” repentinamente, isto não significa que a

energia total zeja zerada. Ela é convertida em outras formas de energia. Para se ter uma idéia,

assiste o filme Impacto Profundo.

Um meteoro caiu na superfície do planeta Júpiter. O local do impacto foi do outro lado

do planeta, de modo que não foi possível captar os efeitos do choque. Contudo, a energia

luminosa liberada iluminou uma das “luas” de Júpiter e o fenômeno foi captado pelos

telescópios da NASA. Na época, os jornais comentaram que a energia térmica liberada teve um

poder de destruição maior que o todo o arsenal nuclear da Terra.

6.10 - POTÊNCIA

É uma outra grandeza muito importante e muito presente no nosso dia-a-dia. Ela mede a

rapidez com que um trabalho é realizado. É obtida pela divisão do trabalho realizado por uma

força pelo intervalo de tempo gasto para realizar este trabalho. Sua expressão matemática é:

135

t

P AB

∆=

τ ou

t

dFP AB

∆=

. ou vFP .=

No Sistema Internacional, a potência é medida em watts (W). Um watt é o trabalho de 1

joule realizado por uma força em um segundo.

ATIVIDADES – 24

01) Trabalho e energia cinética

Um corpo de 10 kg de massa parte do repouso sob a ação de uma força constante,

paralela à trajetória e 5 segundos depois atinge 15 m/s. Determine:

a) sua energia cinética no b) sua energia cinética no c) o trabalho realizado pela

instante t=0 s instante t=5 s força neste intervalo de

tempo

02) Trabalho mecânico

i) Um passageiro, caminhando em linha reta pelo saguão do aeroporto, desloca sua mala de

viagem, aplicando através de um fio, uma força de intensidade T = 1.10 2 N, formando um

ângulo de 60° com a horizontal. Determine o trabalho realizado pela tração T

num

deslocamento de 50 metros. Dados: cos 60° = 0,5 e sen 60° = 0,87.

ii) O gráfico representa a variação da intensidade F(N) Fig.58 Gráfico força

da força resultante F

que atua sobre um corpo de 4 variável

2 kg de massa em função do deslocamento x∆

.

Sabendo que a força F

tem a mesma direção e

sentido do deslocamento, determine:

a) a aceleração máxima adquirida pelo

corpo. 0 1 3 x(m)

136

b) O trabalho realizado pela força F

entre as posições x = 0 e x = 3 m

iii)Um objeto de 8 kg de massa deve ser B

elevado a uma altura de 3m. São apre-

sentadas duas trajetórias: uma vertical

de 3m e outra , ao longo de um plano

inclinado de 5m, sem atrito. C A

Fig.59 – Dois caminhos para o percurso do objeto. Os trabalhos serão iguais?

a) Se optarmos elevar o objeto via trajetória b) Calcule o trabalho realizado pela força

vertical com velocidade constante, qual a neste caso.

intensidade da força ABF

a ser aplicada neste

caso? Considere g = 10 m/s 2 .

c) Se o caminho escolhido for o plano d) Calcule o módulo da força necessária para des-

inclinado, a força aplicada seria: locar o corpo ao longo do plano inclinado, para ir

( ) maior de ABF de C até B. Dado: hipotenusa

adjacentecat.cos =θ

( ) igual a ABF

( ) menor que ABF

e) Calcule o trabalho necessário para f) Complete as lacunas:

ir de C até B pelo plano inclinado. Num sistema conservativo, o ________________

realizado por uma força_____________________

_____________________do caminho.

137

03) Trabalho da força gravitacional

Uma pessoa levanta uma criança de 25 kg a uma altura de 2 metros, com velocidade

constante. Considere g = 10 sm . Determine:

a) o trabalho realizado pela força-peso. b) o trabalho realizado pela pessoa.

F(N)

50

04) Trabalho da força-elástica

Uma mola é esticada desde sua posição 30

inicial, não alongada ( 0x =0), até uma posição 20

em que o alongamento é cmx 10= . O gráfico

mostra a intensidade da força motora. Determine: 0 4 6 10 x(cm)

Fig.60 - grafico

a) a constante elástica da mola. b) o trabalho realizadopela força tensora de

0 a 10 cm.

05) Potência

Um dispositivo eleva um corpo de 2000 kg de massa a uma altura de 200m em 10

segundos, com velocidade constante. Adote g = 10 m/s 2 . Determine:

a) o trabalho realizado pela força do dispositivo. b) a potência empregada.

138

06) Energia potencial gravitacional

Um corpo de massa 6 kg encontra-se a uma altura de 8 metros do solo. Admitindo-se g =

10 m/s 2 e considerando o solo como nível de referência, determine:

a) o trabalho para elevar o corpo. b) sua energia potencial gravitacional.

07) Energia potencial elástica

Determine a energia potencial elástica armazenada numa mola de constante elástica k =

500N/m, quando ela sofre uma deformação de 40 cm.

08) Conservação da energia mecânica

i) Um corpo é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s.

Admitindo-se g=10m/s2 , determine:

a) a energia cinética e a energia b) a energia cinética e a energia c) a altura máxima atin -

potencial no instante do lança - potencial no ponto de altura gida.

mento. máxima.

ii) Um bate estaca abandona um cilindro de ferro de 1500kg de massa de uma altura de 20m em

relação ao solo. Considere g = 10 m/s 2 . Determine:

139

a) a energia cinética e a energia b) a energia cinética e a energia c) a velocidade do cilindro

potencial gravitacional do potencial gravitacional do cilin- ao atingir o solo.

cilindro no inicio da queda. dro quando este atinge o solo.

ATIVIDADE PRÁTICA XXV

Objetivo: Observar o principio da conservação da energia mecânica.

Embora a sinceridade de uma pessoa não seja uma grandeza mensurável, você pode

verificar através deste experimento de física, se a pessoa está ou não dizendo a verdade. Para

isto, prenda uma das extremidade de um pedaço de barbante no teto da sala ou do laboratório e

na outra extremidade do fio prenda um objeto não muito pesado, para não romper o fio. É um

pêndulo simples.

Peça a uma pessoa sentar-se numa banqueta ou cadeira. Afaste o pêndulo de sua posição

de equilíbrio, posicionando o objeto a aproximadamente 5 cm do rosto da pessoa.

Pergunte à pessoa se a mesma confia nas leis da física e depois abandone o objeto (não é

lançamento). O objeto perfará um caminho de ida e volta. Se a pessoa afastar a cabeça estará

negando o que disse. Explique esta brincadeira à luz dos princípios da física.

ATIVIDADE PRÁTICA – XXVI

Objetivo: Observar o principio da conservação da energia


• canaleta construída com mangueiras, nos experimentos anteriores.

• uma esfera ( de aço, preferencialmente)

• improvise o experimento abaixo:

140

Fig. 61 – Verificação do principio da conservação da energia de uma esfera que rola numa canaleta. Acervo próprio.

Procedimento

- Com o auxílio de uma balança, meça a massa da esfera.

- Com o auxilio de um cronômetro, determine o tempo necessário para a esfera rolar desde uma

determinada altura até o inicio da parte horizontal da canaleta.

- Determine a velocidade da esfera ao chegar ao inicio da parte horizontal.

- Determine a energia potencial gravitacional da esfera correspondente à altura da qual foi

abandonada.

- Determine a energia cinética com a qual a esfera atinge o inicio da parte horizontal.

- Compare os valores das duas formas de energia. A que você atribui a diferença de valores?

6. 11 - UM POUCO DE HISTÓRIA

Fizemos uma abordagem da Segunda Lei de Newton, conhecida como Princípio

Fundamental da Dinâmica ou Relação Fundamental do Movimento a partir da igualdade entre

impulso de uma força ( tFI ∆= .

) e a variação da quantidade de movimento ( Q

∆ =

if QQ

− ):

QtF

∆=∆. → t

QF

∆∆=

A expressão acima nos informa como a força evolui no tempo.

Agora, recentemente, conhecemos uma das mais importantes leis que regem as

interações no universo, a lei que relaciona a variação da energia cinética com o trabalho

realizado por uma força F

sobre um corpo de massa m, ao deslocá-lo de uma posição A até

uma posição B:

141

20

2 .2

1.

2

1. vmvmdF AB −=

→ F = ABd.2

1 m.v 2 –m.v 2

0

A expressão acima nos informa como a força evolui no espaço.

Estas duas expressões não chegaram até nós de maneira pacífica, mas através de um caminhar

bastante tumultuado. De acordo com GASPAR (2000), Leibniz e Descartes e seus respectivos

seguidores divergiram seriamente numa inútil disputa sobre qual das relações seria a relação

fundamental do universo: o produto 2.vm de Leibniz ou o produto m.v de René Descartes.

Assim, o século XVIII foi palco de uma acirrada polêmica a respeito da definição da “força de

um corpo”. Hoje, à luz da teoria de Newton e de seu aperfeiçoamento através dos séculos que

se seguiram, sabemos que força é uma grandeza física que atua sobre um corpo causando

variação da velocidade. Mas no período anterior aos trabalhos de Newton, nos séculos XVI e

XVII, o conceito de força (vis) ainda não estava depurado dos elementos aristotélicos da

filosofia medieval.

Vimos que Aristóteles afirmava que o movimento de um corpo era devido à força

interna, recebida do agente lançador. Eram forças inatas, intrínsecas ao corpo. A força somente

começou a ser percebida como algo extrínseco, externo ao corpo, com a elaboração das leis do

movimento por Newton. Antes disto, René Descartes, Leibniz e o próprio Newton tinham o

pensamento impregnado de conceitos que se traduziam por força intrínseca. Esta concepção era

reforçada pela observação do cotidiano de um corpo em movimento colocar outros em

movimento ou vencer resistências.Por isto raciocinavam que o corpo tinha força. Um indicio

desta forma de pensamento podemos ver na primeira dos Princípios Matemáticos de Filosofia

Natural, prefaciado em 8 de maio de 1686, em que Newton escreve:

“A força inata da matéria é um poder de resistir pelo qual cada corpo, enquanto depende dele, preserve em seu estado(...)[Definição III].

Esta força era chamada de força viva por Leibniz e era imanente, isto é, interna ao

corpo. Ele a definia como sendo o produto da massa pelo quadrado de sua velocidade: m.v 2 .

René Descartes, por sua vez, sustentava por volta de 1644, que a força de um corpo era

determinada pelo produto da sua massa pela sua velocidade: m.v

6.12 – RENÉ DESCARTES

142

René Descartes seguia uma linha de pensamento herdado da filosofia grega, a da

imutabilidade como atributo da perfeição divina. Esta imutabilidade se traduz na conservação

do “chute inicial dado por Deus na criação do Universo”. De acordo com GASPAR (2000),o

que importava naquela época, era a busca de uma quantidade qualquer ligada ao movimento

que permanecesse constante.

De acordo com PONCZEK(2000), em Princípios Filosóficos, livro publicado em 1644,

René Descartes nos apresenta um traço de seu pensamento:

“Cada coisa persevera no estado em que está o tempo que puder e não muda este estado senão pela ação das outras e cada parte da matéria jamais continua a mover-se segundo linhas curvas, mas sim, segundo linhas retas.

O excerto acima atesta a visão mecanicista de mundo que Descartes possuía. E Newton

foi fortemente influenciado por esta visão. Compare este trecho com a Primeira Lei de Newton

ou Lei da Inércia de Galileu.

PONCZEK(2000) cita outro excerto da obra de Descartes:

“Se um corpo que se move encontra outro mais forte que ele, não perde

nada de seu movimento e se encontra outro mais fraco, a quem possa

mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro”.

• Verifique, na prática, a primeira parte deste excerto. Coloque uma bola de voley em contato

com outra bem menor em baixo e abandone-as simultaneamente de uma certa altura.

Fig. 62 – O que ocorre com a bola menor após o choque com o solo?

• Para verificar a segunda parte do excerto, inverta as posições das bolas e abandone-as,

simultaneamente de uma certa altura.

143

Fig.63 – Ambas continuarão com a mesma velocidade de antes, após o choque?

Conforme PONCZEK(2000), Descartes postula que Deus deu o empurrão inicial no

universo e que este movimento é conservado, gerando as leis da natureza. Neste postulado

metafísico de concepção do mundo, René Descartes sustenta que em todos os fenômenos que

ocorre na natureza, a força total de todos os corpos envolvidos é constante. Com os recursos

modernos da matemática poderíamos escrever:

teconsvm tan. =Σ

A letra grega Σ(sigma) indica somatória ou totalidade.

6.13 - GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Procurando descobrir uma melhor maneira de determinar a verdadeira medida do

movimento, Leibniz concluiu que o impacto de um corpo pesado no solo seria maior que de

outro de menor peso, desde que ambos caíssem da mesma altura. Assim, ambos atingiriam a

mesma velocidade de acordo com os estudos de Galileu. A medida do impacto do corpo seria

uma maneira de encontrar a medida da força. De acordo com o principio de igualdade entre

causa e efeito, o impacto seria a própria força, uma vez que esta lhe é imanente. De acordo com

a filosofia de Leibniz, no choque do corpo com o solo estaria presente uma seqüência de causas

imanentes: a força que atrai o corpo ao centro da Terra, o impacto e a força que faz com que o

corpo se eleve logo após o impacto.

Estudando a colisão dos corpos, o físico holandês Cristian Huygens (1629-1695), concluiu que o produto da massa do corpo pela sua velocidade ao quadrado era uma quantidade muito especial. Leibniz (1646-1716) demonstrou que esse valor era proporcional ao produto do peso de um corpo pela sua altura de queda, denominando essa quantidade especial de força viva (GASPAR, 2000, p.228).

6.14 - A POLÊMICA

144

A polêmica se acende quando em 1686 aprofundando o estudo da física dos choques,

Leibniz critica as concepções cartesianas em sua obra Discurso da Metafísica, argumentando

que aquela quantidade ligada ao movimento e que se mantinha constante em todos os processos

não era vm.Σ e sim 2.vmΣ , a força viva total.

Em 1743, o enciclopedista D’Alembert apresentou em seu Tratado de Dinâmica a

solução para esta controversa, explicando que a grandeza 2.2

1vm determina até onde um

corpo pode manter-se em movimento sob ação de uma força de resistência RF

e que a

grandeza m.v determina até quando um corpo pode manter-se em movimento sob a ação da

mesma força RF

.

Mais tarde, Thomas Young (1773-1829), físico e medico inglês, deu ao produto m.v 2 o nome de energia em vez de foca viva, chegando à conclusão correta de que o trabalho necessário para produzir um movimento é proporcional à energia adquirida. A expressão energia cinética foi introduzida por outro físico inglês, William Thomson, Lorde

Kelvin (1824-1907), há pouco mais de 100 anos. O fator 2

1que

multiplica o produto m.v 2 apareceu a partir das leis do movimento, cuja demonstração foi feita pela primeira vez pelo físico francês Gaspar de Coriolis (1792-1843)[GASPAR, 2000, p.228].

Vamos deduzi-la.

ATIVIDADES 25

Imagine um corpo de massa m, situado no ponto A de sua trajetória e uma força ABF

que atua sobre este corpo, deslocando-o até outro ponto de sua trajetória, percorrendo assim a

distância ABd . Então, esta força realiza um trabalho sobre o corpo, dado pela expressão:

θτ cos.. ABAB dF

=

01) Suponha que no presente caso, a força tenha a mesma direção e o mesmo sentido do

deslocamento. Então, θ = 0° e cos 0 = 1. Substituindo o valor do cosseno de θ na expressão

acima, reescreva a expressão de forma simplificada no retângulo abaixo:

expressão (1)

145

02) Mas quando a força F

atua sobre o corpo, sua velocidade varia da velocidade inicial (v 0 )

para a velocidade final (v). Então, isole a variável ABd na equação de Torricelli abaixo e

escreva a expressão para ABd no retângulo abaixo.

220 ..2 vdav AB =+

expressão (2)

03) Mas a segunda lei de Newton diz que F = m.a. Então substitua a letra F da expressão (1)

por m.a e escreva a nova forma desta expressão no retângulo que se segue:

expressão (3)

04) Substitua a letra d AB da expressão (3) pelo seu valor da expressão (2), simplificando os

resultados e finalmente escrevendo a expressão do trabalho e da variação da energia cinética no

retângulo seguinte:

CAPITULO VII

GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

147

7.1 - GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

Antes de iniciarmos o estudo da gravitação universal, vamos fazer uma rápida viagem

de volta no tempo, um breve estudo da história da Astronomia, para conhecermos a evolução do

pensamento sobre a concepção de universo.

• Você já parou para contemplar a beleza de um céu pontilhado de estrelas depois que o Sol se

põe?

• Você já percebeu que os corpos celestes têm cores de diversos matizes e brilhos de diferentes

intensidades?

• Você já prestou atenção no caminho percorrido pela sombra de sua casa/prédio projetada pelo

Sol durante as quatro estações do ano?

• Você já se perguntou por que há tempo para cada coisa: tempo de plantar e tempo de colher?

Desde remotas eras da pré-história, o homem se extasia diante da imensidão do universo

que o rodeia. Como é de sua natureza, sua curiosidade o leva a especular a respeito do cosmo.

Por isso, podemos dizer que a Astronomia é a mais antiga das ciências.

Sendo a ciência que estuda os corpos celestes, sua estrutura física, origens, posições e

movimentos, a Astronomia permitiu ao homem, por exemplo, relacionar as mudanças das

estações, as cheias dos rios com as posições ocupadas pelos corpos celestes na abóbada celeste.

Com os registros da regularidade e da periodicidade dos fenômenos celestes foi possível ao

homem estabelecer padrões naturais de tempo, permitindo a elaboração de calendários para

prever a época mais propícia ao plantio e à colheita. Na contemplação do céu

e na busca de respostas para seus problemas, começa a relacionar também os fenômenos

astronômicos com a matemática, ciência que estava começando a ser elaborada a partir das

necessidades humanas.

Além das atividades ligadas à agricultura, a Astronomia foi fundamental à navegação

marítima, pois a aparente posição fixa das estrelas serviam de referência e orientação aos

viajantes marítimos.

Como o homem primitivo não tinha ainda conhecimento das leis da natureza (física),

interpretava os astros como entes divinos ou espíritos, que periodicamente apareciam para

beneficiar ou castigar os homens e usavam os conhecimentos adquiridos com objetivos ligados

à astrologia, como a prevenção do futuro.

148

A história da Astronomia está ligada à própria história do Homo Sapiens, pois este é

capaz de se organizar em grupos social politicamente estruturados bem como construir

conhecimento a partir do que já foi elaborado por seus antecessores. Por isto vamos verificar

quais foram as contribuições das diversas civilizações da antiguidade para a evolução do

conhecimento do universo, bem como os processos de construção desta ciência até os tempos

atuais.

7.2 – CONTRIBUIÇÕES HISTÓRICAS

Mesopotâmia

Era um território situado entre os rios Tigre e Eufrates, onde é hoje a região do Iraque.

Neste território, vários milênios antes de Cristo existiu uma das mais antigas civilizações, os

sumérios. Também foi território dos babilônios e dos assírios.

Sumérios

De acordo com algumas fontes, foram os primeiros a cultivar a astronomia. A princípio,

observavam os corpos celestes por motivos místicos. Praticantes de uma teologia astral,

atribuíam aos deuses planetários um papel importante na mitologia e na religião dos povos da

região, surgindo a astrologia. Acreditavam que seus destinos estavam escrito nos corpos

celestes.

Com o tempo passaram de astrólogos para astrônomos, abandonando motivações

místicas nas observações dos astros e aplicando métodos matemáticos no estudo das variações

dos movimentos dos astros. Seus conhecimentos de astronomia tiveram forte influência na

sofisticação da astronomia dos babilônios.

Babilônia

Era uma cidade situada à margem esquerda do rio Eufrates, 70 km a sul da atual capital

do Iraque, Bagdá.

Os astrônomos desta cidade deixaram seus conhecimentos registrados em lápides de

barro, aproximadamente sete séculos antes de Cristo. Estando, neste período, sob o domínio do

império grego, acabaram passando para seus dominadores seus conhecimentos de aritmética,

envolvendo numeração de base sexagesimal bem como os conhecimentos sobre os planetas

visíveis e as constelações do zodíaco ( Áries, Touro, Gêmeos, Câncer, Leão, Virgem,Escorpião,

Sagitário, Capricórnio, Aquário e Peixes. Atualmente são treze, pois foi acrescido Ofiúco).

149

Observavam atentamente os fenômenos da natureza, municiando-se de conhecimentos

que lhes eram estratégicos na precaução contra as manifestações hostis da natureza. Elaboraram

um calendário baseado nas fases da Lua, o qual constava de doze a treze meseslunares. O mês

era dividido em quatro partes, correspondendo às quatro fases da Lua, originando assim as

semanas tal como as conhecemos hoje. O nome dos dias da semana fazia referência ao nome do

corpo celeste que era objeto de adoração em cada dia na Babilônia: 3

Mesopotâmia Inglês Francês Espanhol

Dia da Lua Momday Lundi Lunes Dia de Marte Tuesday Mardi Martes Dia de Mercúrio Wednesday Mercredi Miercoles Dia de Júpiter Thursday Jeudi Jueves

Dia de Vênus Friday Vendredi Viernes Dia de Saturno Saturday Samedi Sábado Dia do Sol Sunday Dimanche Domingo 4

Egito

O sistema de mundos dos egípcios era profundamente mitológico. Atribuíam um

significado muito grande aos astros em termos de misticismo e crença, em especial ao astro rei,

o Sol, conhecido como deus Rá. O Sol, os planetas e as estrelas mais brilhantes eram

considerados deuses e responsáveis pelas secas no verão e pelas cheias do rio Nilo. 6

As estrelas, além de orientar os egípcios na navegação e na agricultura, serviram de

referencial para a construção das famosas pirâmides. As quatro faces da grande pirâmide de

Gizé são voltadas para os quatro pontos cardeais. Quando foi construída, a estrela Sirius

passava pelo meridiano perpendicular à sua face. Devido à precessão dos equinócios, isto hoje

já não ocorre mais. Esta estrela, da constelação do Grande Dragão, era cultuada como a deusa

Sothis, divindade que anunciava a chegada das inundações do rio Nilo.

China

Tal como na Mesopotâmia, o interesse dos chineses para com os estudos dos corpos

celestes era místico e astrológico. É difícil de se reconstruir do pensamento chinês da

3. adaptado do site www.astropt.com/ccviva/astronomia/h...

4. Ibidem

5. adaptado do site http://areadeproject12b.blogspot.com/2007/astronomia-na-antiguidade.html

6. Adaptado dosite http://www.ccvalg.pt/astronomia/historia/antiguidade.htm

150

Antiguidade, pois todos os registros históricos foram destruídos no ano 213 a. C., por

determinação imperial.

Os chineses conseguiam prever os eclipses, graças ao conhecimento que tinham da

periodicidade desses acontecimentos. Elaboraram um calendário de 365 dias e deixaram

registros de anotações precisas de cometas e meteoros desde 700 a. C.

Grécia O ápice da ciência na Antiguidade ocorreu na Grécia a partir do século VI a. C.

Herdando o conhecimento dos povos mais antigos, os gregos souberam afastar o sobrenatural, a

magia e superstição da interpretação dos fenômenos observados, especialmente no que se refere

http://www.ccvalg.pt/astronomia/historia/antiguidade.htm

http://areadeproject12b.blogspot.com/2007/astronomia-na-antiguidade.html %0D6

http://areadeproject12b.blogspot.com/2007/astronomia-na-antiguidade.html %0D6

http://www.astropt.com/ccviva/astronomia/h

aos acontecimentos celestes. As explicações dos fenômenos observados passam a ser naturais,

mecânicas e geométricas.7

Quando seus conhecimentos não conseguiam explicar as observações, aí recorriam às

explicações mitológicas, dando origem a “novelas” protagonizadas por deuses, surgindo assim a

mitologia grega. 8

7.3 – ASTRÔNOMOS DA GRÉCIA ANTIGA

Ecola jônica de Mileto. Representantes: Tales, Anaximandro e

Anaxímenes.

Tales de Mileto (~ 624 – 547 a. C.)

Acreditava que a Terra fosse um disco circular achatado flutuando num oceano, cujas águas seria o princípio de tudo e limitado pela abóbada celeste. Esta idéia também era defendida por Homero. É surpreendente que Tales tenha sido capaz de prever um eclipse do Sol baseado em sua concepção de mundo. Mas é surpreendente também que com suas observações feitas durante suas viagens, ele não tenham percebido e nem deduzido a curvatura da Terra. Mas algumas fontes afirmam que ele estava convencido da esfericidade do nosso planeta pela observação do eclipse lunar.

Anaximandro de Mileto (~611 – 546 a. C.) A terra seria um cilindro em equilíbrio no centro do Universo. O céu seria esférico, formado por várias camadas a distâncias diferentes. A esfera do Sol era a mais afastada e a das estrelas, a mais próxima. A esfera da Lua ficava numa posição intermediária entre a esfera do Sol e a das estrelas. (Gastão Bierrenbach Lima in: Astronomia de Posição). 151

Para Anaximandro, as estrelas eram orifícios numa esfera sólida, através dos quais

penetrava a luz.

Anaxímenes de Mileto (~585-526a. C.)

Acreditava que a Terra seria um disco achatado flutuando no ar

e que as estrelas estariam fixas na esfera celeste e que esta seria um

sólido cristalino (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Escola eleática. Representantes: Xenofanes de Colophon e Parmênides de Elea. Viveram num período em que Atenas foi o maior centro filosófico do mundo.

Xenofanes de Colophon (~570 – 478 a. C.)

Acreditava que a Terra era plana e sem limites e estaria ancorada no infinito, com o ar acima também infinito. O Sol, as estrelas e os cometas seriam “nuvens” condensadas na atmosfera. A trajetória dos astros deveria ser retilínea. A aparência circular do movimento diário seria uma ilusão devida à distância que nos separa desses astros. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Parmênides de Elea (~504 – 450 a. C.) Acreditava que a Terra era uma esfera. Dividiu-a em cinco zonas: uma tropical (ou tórrida), duas temperadas e duas glaciais. Os relatos de viajantes que descreviam estrelas visíveis no Sul mas invisíveis na Grécia ou estrelas que se tornam circumpolar quando se viaja para o norte devem ter contribuídos para sua crença na esfericidade da Terra. Pensava o Universo como um conjunto de esferas concêntricas, com a Terra no centro. Sabia que as estrelas vespertina e matutina (ou estrela d’alva) eram o mesmo objeto (hoje, sabemos que se trata do planeta Vênus) e que o brilho da Lua se deve à luz do Sol. Acreditava que o Sol e a Lua seriam formados por matéria que havia se desprendido da Via Láctea (o Sol, de matéria quente e a Lua, de matéria fria). Tal como Anaximandro, Parmênides acreditava que as estrelas estariam mais próximas da Terra que o Sol e a Lua. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

7. Adaptado do site www.ccvalg.pt/astronomia/história/antiguidade.htm8. ibidem

152

Escola pitagórica. Representantes: Pitágoras de Samos e Filolau, do sul da Itália.

Nesta escola se descobriu que os planetas se movem do oeste para o leste.

Pitágoras de Samos (580 – 497 a.C.) A idéia principal da filosofia de Pitágoras era de que o Universo era governado pela matemática. A regularidade dos movimentos celestes e os intervalos regulares das harmonias musicais levou os pitagóricos à conclusão de que cada um dos planetas, assim como as estrelas, estariam em esferas cujos movimentos produziriam uma nota musical. Esta música celestial seria impossível de ser escutada pelos seres humanos. O Universo seria formado por quatro elementos (terra, água, ae e fogo) e teria uma forma esférica. A Terra também seria esférica e localizada no centro. Pitágoras talvez tenha sido o primeiro a utilizar a palavra “cosmo” (em grego, κοσµος ) para designar o firmamento. Reconheceu que as “estrelas” matutina e vespertina eram o mesmo corpo

http://www.ccvalg.pt/astronomia/hist?ria/antiguidade.htm

celeste (Vênus), que o brilho da luz era reflexo da luz solar e que a trajetórias dos planetas era inclinada em relação ao equador celeste (os planetas estão no plano da eclíptica. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Filolau ou Philolaus (480 - ? a. C.)

Discípulo de Pitágoras. Sugeriu que a Terra não se encontra no centro do Universo. Neste, existiria o fogo central, Héstia ( στιαΕ ), em torno do qual giraria diariamente, mostrando sempre a mesma face, o lado não habitável; a Europa e o mundo conhecido dos gregos ficariam do lado fogo central. Esta teoria implicava na rotação da Terra em torno de seu eixo, mas Filolau não reconhecia este fato. A partir do fogo central teríamos a Terra, a Lua, o Sol, Vênus, Mercúrio, Marte, Júpiter e Saturno. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Sistema de Eudoxo

Eudoxo de Cnidus, Ásia Menor (480-355 a. C.)

Estudou vários meses com Platão. Possuía um observatório próprio. Propôs um ciclo solar de quatro anos, com três anos de 365 dias e um ano de 366 dias. Três séculos mais tarde, este calendário foi posto em prática pelo imperador romano Julio César. Eudoxo contribuiu para as primeiras descrições sistemática das constelações. Concebeu o sistema de esferas concêntricas, o que explicaria teoricamente os movimentos irregulares dos astros. Acreditava que cada 153

planeta, o Sol e a Lua estavam fixos em esferas, com a Terra no centro. Os movimentos circulares e regulares seriam o único tipo de movimento permissível. Cada planeta estaria ligado à varias esferas homocêntricas, e não apenas uma. Cada esfera giraria de forma uniforme, mas o movimento resultante da composição dos movimentos seria irregular. Para os planetas, Eudoxo imaginou quatro esferas: a primeira que gira em um dia tendo um eixo polar (isto reproduz o movimento diário de leste para oeste); uma segunda esfera cujo eixo seria perpendicular à eclíptica com rotação oposta à primeira (responsável pelo fato dos planetas percorrerem a eclíptica de oeste para leste, e não o equador celeste). Uma terceira esfera é necessária para produzir o movimento retrógrado dos planetas e a quarta esfera, ligada à terceira, seria responsável pela pequena inclinação dos planetas em relação à eclíptica. Para o Sol e a Lua seriam necessários apenas três esféricas homocêntricas. Apesar de sofisticada, a teoria de Eudoxo era capaz apenas de explicar o movimento dos planetas de modo aproximado. No caso de Marte, a teoria das esferas homocêntricas apresentava grandes divergências. Mas, esta teoria podia explicar relativamente bem as

diferenças de duração das estações do ano. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Sistema de Aristóteles

Aristóteles de Estagira, Macedônia (384-322 a. C.)

Foi discípulo de Platão e tutor de Alexandre Magno da Macedônia. Acreditava que o Universo era esférico e finito, composto por quatro elementos básicos: água, terra, fogo e ar. O centro do Universo seria ocupado pela Terra, a qual era imóvel e tinha forma esférica. Os planetas estariam fixos em esferas e adotou o sistema de esferas homocêntricas de Eudoxo. Acreditava que estas esferas eram reis, feitas de cristais transparentes. Desenvolveu o sistema de Eudoxo acrescentando mais esferas a alguns planetas, particularmente a Marte, melhorando assim, o acordo entre observação e teoria. O modelo de Universo de Aristóteles foi tão bem sucedido na história que, atualmente aos nos referirmos a ele, dizemos modelo aristotélico. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).

Aristóteles colocou a Terra no centro do Universo por que todos os corpos que eram

constituídos do elemento terra se dirigiam para este ponto, seu lugar natural. Este ponto seria o

centro do Universo. Movimento era sinônimo de imperfeição e só ocorria no interior da esfera

da Lua, o mundo sub-lunar. Neste mundo, existia dois tipos de movimento: o natural,

154

que conduzia o corpo ao seu lugar natural e o violento, quando um corpo era retirado do seu

lugar natural.

No mundo supralunar, os espaços entre as esferas eram ocupados por um elemento

incorruptível, o éter. O único movimento admissível era o movimento circular, símbolo da

perfeição.

De acordo com Aristóteles, as fases da Lua dependiam de quanto a Lua é iluminada pelo

Sol, para um observador na Terra. Aristóteles também explicava que os eclipses do Sol

ocorriam devido à sua ocultação pela Lua. Analogamente, um eclipse da Lua ocorria quando

esta passasse pela sombra da Terra.

Para sustentar a tese da esfericidade da Terra, Aristóteles argumentava com as

observações das formas esféricas da sombra da Terra projetada na Lua e pelo fato de que

algumas estrelas visíveis no Egito não o eram na Grécia.

Sistema híbrido de Heráclides

Heráclides de Pontus (388 – 315 a. C.)

Para Heráclides, a Terra girava em torno de seu próprio eixo que passava pelos pólos

celestes.

Na época havia muita controvérsia sobre as posições de Mercúrio e Vênus. Uns os

situavam acima do Sol, outros, entre a Lua e o Sol. Sustentando um meio termo, Heráclides

propôs que os dois planetas orbitavam ao redor do Sol, o qual por sua vez, giraria ao redor da

Terra. Com isto conseguia explicar a presença destes dois planetas sempre próximos ao Sol.

Aristarco de Samos (310 – 230 a. C.)

Defendia que o centro do Universo era ocupado pelo Sol e que a Terra e os demais

planetas orbitariam ao redor do Sol. O movimento da Terra em torno de um eixo que passava

pelos pólos celestes era o referencial para explicar o movimento diário dos astros.

Esta idéia foi rejeitada, pois os gregos não viam evidências do movimento da Terra na

época. O movimento de rotação da Terra acarretaria uma velocidade muito grande para qualquer

ponto de sua superfície, fazendo que tudo o que estivesse na superfície da Terra fosse lançado

para o espaço. Além disso, não observavam a paralaxe das estrelas, que deveria ocorrer, caso a

Terra realmente se movesse.

Outra contribuição de Aristarco foi o desenvolvimento de um método para determinar

155

as distâncias da Terra ao Sol e à Lua.

Eratóstenes de Cirene ( atualmente Líbia: 276 – 194 a. C.)

Entre as várias contribuições para o desenvolvimento da ciência, está a elaboração de

um mapa do mundo, uma metodologia para a determinação dos números primos e a estimativa

do tamanho da circunferência da Terra.

Conhecer o tamanho e a forma da Terra era vital para o desenvolvimento da astronomia.

Ao ler um papiro da biblioteca de Alexandria, soube que na cidade de Siena, no Egito

(atual Assuã) perto do trópico de Câncer, os raios solares incidiam perpendicularmente no

fundo de um poço ao meio dia no solstício de verão ( 21 de junho) enquanto que em Alexandria,

no mesmo dia e hora isso não ocorria. Assim, Erastótenes descobriu experimentalmente que, se

a Terra fosse plana, duas hastes posicionadas verticalmente, uma em Siena e a outra, em

Alexandria não haveriam de projetar sombra em nenhuma das duas localidades ao meio dia do

solstício de verão.

Um de seus auxiliares foi incubido de medir a distância entre as duas cidades. Para

calcular o comprimento da circunferência da Terra, Erastótenes dividiu 360° pela defasagem

angular entre as sombras, que era de 7° e multiplicou o quociente pela distância entre as duas

cidades. O resultado encontrado foi de aproximadamente 252000 stadia. Como cada stadium

correspondia a 158 metros, a circunferência media aproximadamente quarenta mil quilômetros.

Além de determinar com precisão o diâmetro da Terra, determinou também com maior

precisão o valor da inclinação do eixo da Terra, a obliqüidade da eclíptica ( ε = 23°51’;

atualmente e ε = 23°43’30” na época ).

Hiparco de Nicea (Bitínia, Ásia Menor: 194 – 120 a. C.)

Iniciando seus estudos com 30 anos de idade, dedicou-se ao estudo das estrelas até a sua

morte. Produziu o primeiro catálogo com 850 estrelas, listando a latitude e a longitude em

coordenadas eclípticas. Adotou dos babilônios a divisão da circunferência por 360° ao invés da

divisão grega por 60°.

Descobriu a precessão dos equinócios, mostrando que as coordenadas das estrelas

variavam sistematicamente quando eram dadas em relação ao ponto vernal. Mostrou a

156

dependência do comprimento do ano da recorrência das estações (ano trópico) e não do retorno

das estrelas à mesma posição (ano sideral).

7.4 - A TEORIA DOS EPICICLOS

Próximo à estrela Polar está a constelação Grande Carro, a qual, junto com as demais

estrelas também próximas, parecem girar em torno da estrela polar. São as chamadas estrelas

circumpolar. Para um observador postado na Grécia, estas estrelas completam um círculo sem

desaparecerem no horizonte. Um verso de Homero diz que a constelação Grande Carro é a

única que não se banha no oceano. O mesmo ocorre com as estrelas próximas ao pólo Sul.

Nestes locais, se você armar uma câmara fotográfica mantendo o diafragma aberto durante 24

horas, o filme, revelado, mostrará a forma circular das “trajetórias” das estrelas.

De acordo com este verso, quem estivesse no Egito, um país situado mais ao Sul do que

a Grécia veria a constelação do Grande Carro mergulhar todas as noites no deserto, por breve

período de tempo. Em regiões mais próximas dos trópicos e do equador, as estrelas “nascem” ao

anoitecer e se “põem” ao amanhecer.

Estes fatos levaram Anaximandro a deduzir que a Terra não poderia ser um disco, caso

contrário, a constelação Grande Carro estaria sempre à mesma altura no horizonte. A Terra seria

esférica, imóvel no centro do Universo, com todos os corpos celestes girando ao seu redor.

Mas o movimento dos planetas não ocorria de maneira simples. Ora era progressivo, ora

era retrógrado, se apresentando estacionário na inversão do sentido do movimento.

Para tentar explicar os movimentos dos corpos celestes, Eudoxo propôs o sistema de

esferas, já mencionado, tendo cada esfera seu próprio movimento. A composição dos

movimentos das esferas gradualmente deu origem à teoria dos epiciclos, cujas idéias já estavam

presentes no sistema híbrido de Heráclides, onde os planetas inferiores giravam em

torno do Sol, o qual por sua vez, girava em torno da Terra. Esta teoria teve um primeiro

tratamento de forma rigorosa por Apolônio de Perga, em 230 a. C.

No sistema de epiciclos, os planetas giravam em torno de um ponto no qual não havia

nada de material. Este círculo descrito pelo planeta em torno deste ponto era chamado

de epiciclos.

Hiparco desenvolveu e aprimorou a teoria proposta por Apolônio, introduzindo o

conceito de excentricidade, o equanto, no qual a Terra não estava no centro do deferente. Esta

157

teoria exigia que o epiciclo fosse sempre menor que o deferente. Para que isto ocorresse,

Hiparco notou que era necessário a introdução de epiciclos suplementares para cada planeta.

7.5 - SISTEMA GEOCÊNTRICO DE PTOLOMEU

Cláudio Ptolomeu ( 90 – 165 d. C.)

Nasceu na cidade de Ptolomaida de Tebaida no ano 90 d. C. Foi o último dos grandes

astrônomos da Antiguidade. Viveu e trabalhou em Alexandria, no Egito. Como seus

antepassados lutaram ao lado de Alexandre Magno no século IV a. C., a dinastia ptolomaica

herdou e governou o Egito até a anexação romana sob o governo de Marco Aurélio. Algumas

fontes históricas porém sustentam que ele não tinha nenhum parentesco com a dinastia dos

faraós egípcios e que seu nome se deve tão somente à cidade onde nasceu.

Aperfeiçoou o catálogo de Hiparco, acrescentando 130 estrelas e aprimorou as medidas

das coordenadas. O acesso às obras de Ptolomeu devemos aos astrônomos árabes, razão pela

qual o catálogo de Ptolomeu é conhecido como Almagesto, do árabe Al-magisti, do grego

µεγιστη ( ‘magiste’ = magistral ).

Sustentava a tese da Terra como o centro do Universo e que o Sol, a Lua, os planetas e

as estrelas estavam contidos em esferas concêntricas com a Terra. A esfera mais afastada era a

esfera das estrelas fixas, porque as distâncias entre as estrelas não variavam. Todos os corpos

celestes giravam ao redor da Terra, em movimento circular uniforme. Para explicar a questão

dos movimentos variáveis dos planetas, imaginava que cada um deles seguia duas órbitas

circulares: uma pequena, chamada epiciclo e outra maior, em torno da Terra, chamada

deferente, seguida pelo centro da órbita menor.

Com o passar do tempo, as observações foram revelando um grau cada vez maior na

complexidade dos movimentos e, para dar consistência à sua teoria, foi necessário acrescentar

alguns epiciclos para um determinado planeta.

Esta teoria é representada por uma série de funções circulares (senos e cossenos) das

posições dos planetas. Não há nenhum problema do ponto de vista matemático e sim do ponto

de vista físico. Num referencial inercial, fisicamente não tem sentido corpos girarem em séries

de epiciclos em torno do nada. Mas isto não era preocupação para os gregos, para os quais, o

que importava era a descrição do Universo sem se preocupar com as causas do movimento. Na

visão dos gregos, o círculo era a única forma geométrica perfeita. Os epiciclos deveriam

158

ser círculos e os movimentos dos planetas deveriam ser circulares e uniformes. E no centro de

tudo, deveria estar a Terra, pois era uma obra divina.

Este paradigma obrigava Ptolomeu e seus seguidores a complicar a teoria dos epiciclos

para que ela pudesse ser sustentada na medida que as observações avançavam. O sistema

geocêntrico foi sustentado pela Igreja Católica, impedindo o avanço da astronomia por um

período de catorze séculos.

ATIVIDADE – 24

Leia o texto da página 32 do Livro Didático Público e responda as duas questões ali

propostas.

7.6 - AS CLARIDADES DE UM NOVO PARADIGMA

As concepções aristotélicas, organizadas e sistematizadas por Cláudio Ptolomeu, foram

assumidas pelos teólogos medievais porque era um sistema no qual a Terra continuaria sendo o

centro do Universo. Isto vinha de encontro à crença de que sendo o homem criado à imagem

divina, só poderia ocupar lugar no centro do Universo. Sustentando esta tese e com o poder que

acumulou ao longo do milênio, a Igreja não tolerava nenhum questionamento a respeito de sua

doutrina. A prisão e as fogueiras eram o destino daqueles que ousavam se aventurar pelo mundo

da ciência. No breve estudo que fizemos da história da teoria do ímpetus, foram mencionados

os nomes dos “físicos” João Filophono ( 490 – 566 ), Jean Buridan (1300 – 1358 ), reitor da

Universidade de Paris, depois Cônego de Arras e Nicolau Oresmes ( 1323 – 1382 ) bispo de

Lisieux. Eram pensadores vinculados e comprometidos com a Igreja Católica e por isso estavam

impedidos de publicar seus trabalhos e suas idéias. Mas alguns historiadores sustentam que nos

meios acadêmicos da época haveria uma “certa” liberdade em debater idéias que não estavam

de acordo com o magistério eclesiástico, desde que os escritos fossem em latim, língua erudita e

não falada pelo povo. Galileu Galilei publicou seus trabalhos na língua do povo.

O advento do século XIV trouxe consigo vários acontecimentos que ensejaram o

fervilhar de novas idéias nos mais diversos campos do conhecimento humano. A invenção da

imprensa móvel por Johann Gutenberg em 1451, a volta às fontes da cultura grega,

proporcionada pelos estudiosos que fugiram de Constantinopla para o Ocidente, devido à

tomada da cidade pelos turcos em 1543, as grandes navegações e a descoberta da América, o

desenvolvimento do comércio e a ascensão de uma nova classe social ( a burguesia )

159

impulsionaram a manifestação do Renascimento nas mais diversas áreas do conhecimento: na

arte literária por Dante Alighieri, William Shakespeare, etc; na pintura por Sandro Boticelli,

Leonardo da Vinci, Michellangelo, El greco, Boch e outros. Na astronomia, o principal

representante foi Nicolau Copérnico.

Com o Renascimento, novos ventos começaram a soprar e a sacudir as cinzas do

obscurantismo medieval. Neste movimento renovador, Nicolau de Cusa ( 1401 – 1464 ), bispo

de Brixen (Tirol), em sua obra De docta ignorantia (1440) atacou as concepções milenares do

paradigma aristotélico-ptolomáico propondo um universo ilimitado, sem pontos

prilegiados, onde o movimento se apresenta com um caráter essencialmente relativo. Suas

idéias, tão avançadas para a época, só pode encontrar guarida em pessoas de estirpe de

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) e Giordano Bruno (1548 – 1600 ).

ATIVIDADE – 25

Leia o texto das páginas 33 e 34 do livro didático público e complemente com a

pesquisa solicitada na página 33.

Nicolau Copérnico ( Mikolaj Kopernik)

Nasceu em 19 de fevereiro de 1473 em Torun, na Pomerânia. Aos dez anos de idade

perdeu o pai, ficando sob a tutela de seu tio Lucas Watzerolde. Em 1491 foi para o Collegium

Maius estudar medicina, matemática e astronomia, durante três anos. Esta instituição fazia

parte da Universidade Jagielonia em que foi transformada a Academia da Cracóvia. Em 1496

foi para a Itália estudar direito canônico. Em 1501 interrompeu os estudos para voltar à Polônia,

na cidade de Frauenburgo para assumir as unções de cônego. Retornou à Itália para estudar

medicina, mas seus interesses eram a astronomia e a matemática.

Retornando à Polônia em 1506, juntou-se ao seu tio em Heilsberg como acompanhante.

Construiu um pequeno observatório e começou a estudar o movimento dos corpos celestes.

Com os dados obtidos esboçou um breve comentário sobre movimento celeste, onde

apresentava o movimento heliocêntrico como uma hipótese. Foi lhe solicitado pelo Papa

Clemente VII Em em 1533 que expusesse sua teoria em Roma. E o Cardeal Schönberg três anos

depois o incentivou a publicá-la. Copérnico achou melhor elaborar uma teoria completa, que

superasse a do sistema ptolomáico.

160

Em 1540, um jovem astrônomo, Georg Joachin (1514-1574), conhecido como Rheticus,

enviou para publicação a obra completa de Copérnico, Das Revoluções dos Corpos Celestes,

cujo primeiro exemplar chegou às mãos de Copérnico quando este estava em seu leito de morte,

em 1543. Um pastor luterano, Andréas Osiander (1498-1552) interessado em astronomia,

substituiu o prefácio original, dedicado ao Papa Paulo III e modificou o titulo da obra para As

Revoluções do Orbe Celeste.

Copérnico demorou a publicá-lo por temer a reação da Igreja Católica. O ambiente era

permeado de hostilidade às idéias novas. Martinho Lutero dizia que “a razão era cortesã do

diabo” e os doutores do Concílio de Trento afirmavam que “a fé não só excluía qualquer

dúvida, mas o próprio desejo de submeter a verdade à demonstração”. A Terra como

centro do Universo proposta por Ptolomeu passou a se constituir um artigo de fé, confirmado

por passagens da Bíblia. Lutero, ao tomar conhecimento da obra de Copérnico, emitiu o

seguinte juízo: “...este tolo quer inverter toda a ciência da astronomia. Mas as Sagradas

Escrituras nos dizem que Josué ordenou ao Sol e não à Terra, que se detivesse em

Gibeão, e a Lua, no vale de Aijalon. E o Sol se deteve, e se deteve é porque anda.”

(Josué1,12-13).

Vimos que na Antiguidade Grega já pontuavam defensores da idéia do Sol como um

centro ao redor do qual girava a Terra. Mas Ptolomeu argumentava que, se a Terra se movesse,

haveria mudança na aparência das constelações (paralaxe). Para ele, a admissão do movimento

diário da Terra colocaria em xeque a idéia de ordem cósmica. De acordo com esta idéia, tudo no

universo tinha o seu lugar natural. A idéia de movimento se traduz em imperfeição. Além disso,

o movimento de rotação da Terra seria demasiado rápido e os corpos que fosse lançados

verticalmente para cima não cairiam no mesmo lugar de onde foram lançados. Copérnico

contra-argumentou que as estrelas estariam a uma distância muito maior que o diâmetro da

órbita da Terra e que por isto, a paralaxe seria imperceptível a olho nu.

De acordo com FRANCIOTTI (1991), Copérnico combateu as argumentações

aristotélicas de Ptolomeu com os recursos com os quais estava municiado na época, que eram as

próprias noções aristotélicas, isto é, ele atacava Aristóteles adotando premissas aristotélicas.

Como Galileu Galilei, ele foi um homem preso às limitações de seu tempo. Ele estava mais

preocupado em compatibilizar a hipótese do heliocentrismo com a concepção de mundo da

época. Apesar do arrojo de suas idéias, comungava das idéias aristotélicas.

161

Como já vimos, conforme o modelo aristotélico, o universo é composto de inúmeras

esferas concêntricas. É um universo finito e hierarquizado. Tanto para Aristóteles como para

Copérnico, a última esfera é a esfera das estrelas fixas, limite do universo. Para Aristóteles que

pensava a Terra como estando imóvel no centro do Universo, a esfera das estrelas movia-se

uniformemente em círculo. Copérnico, por sua vez, ao postular que a Terra move-se ao redor do

Sol, deteve o movimento da esfera das estrelas fixas. Além disso, esta esfera pensada

por Copérnico tinha o raio muito maior que o da esfera pensada por Aristóteles. Faltou então

Copérnico dar um passo maior: passar de um universo finito muito grande para um universo

infinito. Quem deu este passo foi Giordano Bruno (1548 – 1600 ), queimado na fogueira da

Inquisição.

Também tanto para Aristóteles como para Copérnico, no mundo sublunar, limitado pela

esfera da Lua, existiam dois tipos de movimento: o natural e o violento (ou forçado). O

movimento forçado interrompe a organização da natureza, por isto o mundo sublunar onde vive

o homem é imperfeito. No mundo supra lunar, manteve as idéias de Aristóteles e de Ptolomeu

do movimento circular dos corpos celestes. Como na sua teoria, o movimento circular não se

ajustava com as observações, conservou o sistema de epiciclos. Enquanto o sistema de

Ptolomeu requeria cerca de oitenta círculos, o modelo de Copérnico requeria trinta e quatro.

Copérnico usa as concepções da física aristotélica para encaixar a tese da mobilidade terrestre

no arcabouço intelectual da época. A Terra é móvel porque é imperfeita, pois mobilidade é

próprio de sistemas imperfeitos. Talvez para suavizar atritos com a Igreja ele afirmou:”Quem

nesse explêndido templo colocaria a luz em lugar diferente ou melhor do que aquele de

onde ele pudesse iluminar ao mesmo tempo todo o templo”. Devido à sua perfeição e

importância como fonte de luz e vida, é o Sol que deve desempenhar no universo o papel antes

atribuído à Terra. Na teoria copernicana não ocorre nenhuma variação radical das proposições

aristotélicas, e sim uma complementação dos argumentos observacionais.

ATIVIDADE – 26

Leia os textos das páginas 34 e 35 do Livro Didático Público.

• Prepare subsídios para o debate proposto no alto da página 35.

• Procure responder as perguntas da atividade proposta na página 35.

Tycho Brahe

162

Foi o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Nasceu

em knudstemp (Schonen), na Dinamarca no dia 14 de dezembro 1546 e faleceu no dia 24 de

outubro de 1601, em Praga. Era o filho mais velho de uma família que tinha título de nobreza

mas que não era particularmente rica. Desde pequeno foi adotado pelo seu tio paterno Jorgen,

vice-almirante, que era casado, culto e muito rico, mas não tinha filhos. Queria que Tycho

seguisse a carreira jurídica, mas a paixão do jovem foi mesmo a astronomia.

Enviado para estudar direito e filosofia na Universidade de Copenhague com a idade de

13 anos, ele presenciou a ocorrência de um elipse solar, em outubro de 1560. O que

impressionou o menino foi o fato dos astrônomos poderem prever a ocorrência de fenômenos

celestes. Teve de munir-se de uma grande obstinação para tornar-se um astrônomo diante da

oposição de seu tio. Durante o dia dedicava-se ao estudo do latim e das leis sob pressão do tutor

e à noite a estudar as estrelas e os livros de matemática e de astronomia que havia comprado

sem conhecimento de seu tutor.

Em 17 de agosto de 1563, ocorreu uma grande aproximação entre os planetas Júpiter e

Saturno. Houve erros de previsão para este fenômeno. Pelas tabelas alfonsinas, que eram

baseadas no sistema de Ptolomeu, ele observou um erro correspondente a trinta dias e nas

tabelas astronômicas de Copérnico, o erro corresponde era de vários dias. Achou então

necessário, um maior número de observações com mais rigor e precisão na determinação das

posições dos corpos celestes.

No dia 11 de novembro de 1572, foi vista uma pequena estrela na constelação de

Cassiopéia. Com o passar dos dias, seu brilho aumentou tanto, que superou o brilho do planeta

Vênus e a iluminar as noites tal qual a lua cheia. Era o nascimento de uma supernova.

Tycho determinou com extraordinária precisão a posição desta nova estrela a qual,

descobriu que estava a uma posição muito além da posição da Lua. Estava portanto, na esfera

das estrelas. A variação do brilho da estrela levou-o a romper com a tradição aristotélica, a qual

afirmava que a esfera celeste era imutável. Estas observações foram publicadas em seu livro

Sobre a Nova e Previamente Nunca Vista Estrela, em Copenhague em 1573. A publicação do

livro foi financiado pelo rei da Dinamarca, Frederico II que, lhe ofereceu também, uma ilha

chamada Hveen nas proximidades de Copenhague e uma considerável pensão anual além de

financiar a construção de seu observatório.

163

Tycho providenciou para que os instrumentos fossem construídos de modo a fornecerem

leituras mais precisas. Depois de prontos, eram comparados entre si para determinação dos

erros inerentes a cada um. Levando em consideração tais erros nos cálculos,

obtinha com maior precisão as medidas procuradas. E com esses instrumentos, Tycho trabalou

por vinte anos, medindo e anotando seus dados astronômicos, com grande precisão. Mais tarde

ele construiu outro observatório, o Stjerneborg, na mesma ilha doada por Frederico II.

A preocupação de Tycho era a precisão das medidas das posições dos corpos celestes.

Não participou do embate entre os defensores da idéias copernicanas e ptolemáicas. Como suas

medições estavam em desacordo com o modelo de Ptolomeu, ele desenvolveu seu próprio

modelo do Sistema Solar, no qual os planetas orbitavam o Sol e este e a Lua orbitavam a Terra.

Era um sistema híbrido das idéias de Ptolomeu com as de Copérnico.

Frederico II reconhecia em Tycho um grande nome da astronomia e que seu trabalho

traria grande prestígio para a Dinamarca, cumulou-o de trânsito livre na corte. Mas com a morte

do rei, Tycho entrou em atrito com o sucessor, Cristiano IV e deixou o país devido à

redução de sua pensão e cortes de seus privilégios. Foi acolhido pelo rei Rodolfo II da Boemia.

Partiu para Praga, levando seus registros e vários instrumentos.

Ao morrer, deixou um conjunto de registros de suas observações, o qual foi recolhido

pelo seu mais brilhante assistente, Johannes Kepler. Com os dados deixados por Tycho, Kepler

consegue resolver o problema do movimento dos planetas.

ATIVIDADES 27

Leia o texto das páginas 36 e 37 e descreva um processo para desenhar uma elipse,

usando um lápis, um pedaço de barbante e dois pregos.

164

02) Resolva as seguintes cruzadinhas

11 12 131

142

34

5

67

89

10

01) “Teorias” baseadas em motivações místicas nos estudos dos astros.

02) Formato do universo na concepção dos gregos.

03) Rios cujas inundações eram anunciadas pela divindade Sothis.

04) Ramo da filosofia que trata do conhecimento das causas primeiras e dos primeiros

princípios.

05) Círculo que está contido no plano do Sol e sobre o qual ocorrem os eclipses solares.

06) Astrônomo medieval que retomou a defesa do sistema heliocêntrico.

07) Artifícios introduzidos na teoria geocêntrica, principalmente por Ptolomeu para explicar o

movimento irregular dos planetas.

08) Teoria segundo a qual o Sol ocupa o centro do Universo.

09) Modelo de Universo sustentado por Aristóteles e Ptolomeu.

10) Astrônomo que construiu instrumentos de grande precisão para melhorar os dados

observacionais.

165

11) Calendário baseado nas fases da Lua.

12) Forma da trajetória dos astros na concepção de Xenofanes de Colophon.

13) Povo que deu mais racionalidade às observações e aos estudos dos astros.

14) Estrelas que não têm nascentes nem ocaso.

Johannes Kepler

Nasceu em 27 de dezembro de 1571 em Weil der Stadt, Swabia, ao sul da atual

Alemanha. De nascimento prematuro, sempre foi de saúde frágil. Teve a visão prejudicada pela

varíola e outras enfermidades.

Com a idade de treze anos iniciou os estudos no seminário protestante de Adelberg.

Passou pelo seminário de Maulbronn e ingressou na universidade protestante de Tubingen,

passo decisivo em sua formação. Estudou teologia, filosofia, grego, hebreu, matemática, física

e astronomia. Seu professor de matemática, Padre Michel Mästlin, famoso astrônomo na época,

discretamente, ao lado da teoria geocêntrica, também ensinava a teoria heliocêntrica a alunos

particulares e de confiança, principalmente Kepler, pois era proibido ensinar as idéias de

Copérnico. Antes de completar seus estudos, recebeu oferta para trabalhar como professor de

matemática no seminário protestante de Graz, na Áustria. Desistiu da carreira eclesiástica ao

aceitar o cargo em abril de 1594.

Buscando um modelo geométrico para o sistema de Copérnico, chegou a uma teoria sem

base científica. Nesta teoria, ele advoga uma certa ligação entre os cinco sólidos

geométricos euclidianos regulares e os seis planetas conhecidos na época. Os sólidos se

encontrariam entre as esferas ( órbitas ) dos planetas. Internamente, os vértices dos sólidos

tangenciam a esfera e, externamente os pontos médios das faces dos sólidos tangenciam a

esfera.

dentro da esfera (órbita) de Vênus

• octaedro

sobre a esfera ( órbita ) de Mercúrio

dentro da esfera ( órbita ) da Terra

• isocaedro

sobre a esfera ( órbita ) de Vênus

166

dentro da esfera ( órbita ) de Marte

• dodecaedro

sobre a esfera ( órbita ) da Terra

dentro da esfera ( órbita ) de Júpiter

• tetraedro

sobre a esfera ( órbita ) de Marte

dentro da esfera ( órbita ) de Saturno

• hexaedro

sobre a esfera ( órbita ) de Júpiter

Os resultados deste trabalho coincidiram com a maior parte das precárias observações da

época, mas passou vinte anos de sua vida tentando o funcionamento desse modelo e, é claro,

não conseguiu. No entanto, a publicação desse trabalho na obra “Mysterium

Cosmographicum” ( Mistérios do Universo ) o tornou conhecido como cientista. Nessa obra,

ele defende corajosamente a teoria heliocêntrica. Galileu enviou-lhe uma carta elogiando o

trabalho e Tycho Brahe conseguiu do Imperador Rodolfo II o convite para que Kepler fosse

trabalhar como seu assistente em Praga, capital da Boemia.

Nesta época, a Europa era assolada por conflitos religiosos e, Kepler, por ser protestante,

foi expulso da universidade em 1600, sendo obrigado a deixar seu posto de pesquisador em

Graz, na Áustria. Tais acontecimentos fizeram com que ele aceitasse o convite de Tycho Brahe.

Mas na capital da Boemia as dificuldades o perseguiam. Vaidoso, Tycho Brahe não

queria ser suplantado por Kepler. Por isso, colocou à disposição do assistente, dados

incompletos de sua tabela de observações na tarefa de determinar a órbita de Marte. Com a

saúde combalida, com o gênio difícil de Tycho Brahe, com os caprichos do imperador que

embargavam o trabalho, com o humilhante trabalho de fornecer horóscopos e toda sorte de

predições e a postura não confiável dos responsáveis pelas finanças do império, a vida de

Kepler em Praga não foi um mar de rosas.

Com a morte de Tycho em 1601, Kepler herdou o posto de matemático da corte e a

chefia do observatório. De posse de todos os dados e cálculos registrados por Tycho, que

167

incluía um conjunto de medidas das posições dos planetas ao redor do Sol, Kepler

compreendeu que as órbitas dos planetas eram uma função da atração do Sol e que não eram

circulares, mas sim elípticas. Em 1609, ao publicar seus trabalhos na obra Astronomia Nova,

Kepler disponibiliza ao mundo científico as duas primeiras leis que regem o movimento dos

planetas:

Primeira lei:

As órbitas dos planetas são elipses, onde o Sol ocupa um dos focos.

Esta Primeira Lei, extremamente simples, substituiu todos os ciclos e epiciclos dos

modelos ptolomaico, copernicano, tichônico, etc. e derrubou por terra a obrigatoriedade do

movimento círcular como símbolo da perfeição.

Segunda Lei:

Os planetas percorrem áreas iguais de sua órbita em intervalos de tempos iguais.

Com a Segunda Lei, Kepler mostrou que os corpos não têm velocidades ( módulos )

constantes, mas sim velocidades maiores quando próximos do Sol e velocidades menores

quando mais afastados do Sol.

Em 1619, Kepler publicou um outro livro, intitulado “Harmonices Mundi” (Harmonia

do Mundo), no qual apresenta a terceira lei, que relaciona o período orbital com as distâncias:

Terceira lei de Kepler:

O quadrado do período orbital é proporcional ao cubo das distâncias planetárias

medidas a partir do Sol.

Em linguagem mais acessível:

“É constante, para todos os planetas, a razão entre o tempo ( T ) que um planeta leva para

dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado e o raio médio ( r ) de sua órbita

elevado ao cubo.

kr

T =3

2

, em que k é uma constante.

Como veremos mais adiante, Galileu Galilei escreveu e publicou uma obra sobre o

modelo heliocêntrico de Copérnico, atraiu para si a ira do tribunal do Santo Ofício. E quando,

168

na virulência deste ambiente, Kepler publicou sua obra de sete volumes, intitulada compêndio

de Astronomia Copernicana, teve a primeira parte desta obra colocada no Index, lista dos

livros proibidos pela Igreja Católica em 10 de maio de 1619.

Kepler teve uma vida bastante atribulada. Não bastassem as dificuldades financeiras que

sempre o acompanharam, além das atividades de pesquisa, teve que se preocupar com sua mãe

que fora presa acusada de bruxaria. Num ambiente de instabilidade política causada por

disputas religiosas, o desenvolvimento científico dependia do espírito de persistência dos

apaixonados pela ciência .

ATIVIDADE 28

Leia o texto das páginas 37 e 38 do Livro Didático Público e procure responder à

pergunta proposta nesta atividade.

02) O raio médio da órbita da Terra é 1,5.10 11 m; da órbita de Júpiter é 7,8.1011 m. Calcule o

período de revolução de Júpiter em anos terrestres.

03) O período de Mercúrio em torno do Sol é da ordem de 41 do ano terrestre. O raio médio

da órbita de Plutão em torno do Sol é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de mercúrio.

Calcule o valor aproximado do período de Plutão em torno do Sol, medido em anos terrestres.

Galileu Galilei

No estudo do movimento, fizemos uma rápida abordagem da contribuição de Galileu

Galilei a este campo do conhecimento, com a obra Diálogos Concernentes a Duas Novas

Ciências. Este trabalho ele publicou já quase no fim de sua vida, quando estava sofrendo as

penalidades impostas pelo tribunal da Santa Inquisição, devido à outra obra Diálogo Sobre os

Dois Maiores Sistemas do Mundo.

169

Iniciou seus estudos de Medicina na Universidade de Pisa em 1581, mais por pressão

paterna. A falta de interesse nesta área do conhecimento aliada à antiquada metodologia de

ensino (paripatética) fez com que ele abandonasse os estudos. Mudou-se para Florença em

1585, onde os estudos eram voltados para a solução de problemas relacionados à mecânica

usando recursos matemáticos.

Seus estudos lhe garantiram a nomeação, em 1589, como professor de matemática na

Universidade de Pisa, onde continuou os estudos sobre o movimento e a realização de

19experiências sobre a queda dos graves. Mas o ambiente acadêmico de Pisa irritava o espírito

de Galileu. Em 1592 foi nomeado para a cátedra de matemática na Universidade de Pádua,

considerada a melhor da Europa.

No fim da primavera (no hemisfério norte) de 1609, um viajante chegou a Veneza vindo

da Holanda e contou a Galileu que o holandês Hans Lippershein havia construído um

instrumento através do qual um objeto situado a uma grande distância podia ser visto como se

estivesse bem próximo do observador. Como detalhes descritivos desse instrumento eram

vedados pelo fabricante, Galileu viu-se forçado a descobrir um processo de construir um para si.

E conseguiu.

Munido de um desses instrumentos, passou a observar os céus a partir de 1609 e

descobriu tantas coisas impossíveis de serem vistas a olho nu. Publica, então, em 1610 uma

obra intitulada Siderius Nuncius (O Mensageiro Celeste), um livro de apenas 24 páginas, no

qual revela ao mundo, em linguagem simples e direta, os resultados de suas observações:

• Lua

Ao invés de uma esfericidade perfeita e regular de acordo com as concepções

aristotélicas, o que as lentes do telescópio revelaram foi uma superfície irregular, rugosa e cheia

de cavidades e de inchaços. Um mundo semelhante à Terra. Como continuar sustentando a

existência de diferença entre a matéria do mundo terrestre e a do mundo celeste

como ensinava Aristóteles? Que efeito esta revelação teve nos meios acadêmicos,

principalmente naqueles que hostilizavam Galileu?

• Vênus

Apresenta fases como a Lua: nova, crescente, cheia e minguante. Na fase cheia, o

planeta apresenta tamanho mínimo. Isto significa que Vênus está do outro lado do Sol. Isto é

uma evidência de que o planeta não tem luz própria, mas é iluminado pelo Sol e que órbita ao

redor da nossa estrela.

170

De acordo com o sistema de Ptolomeu, o máximo que o planeta se mostraria iluminado

seria um semicírculo voltado para a Terra enquanto que o sistema de Copérnico previa que o

planeta apresentaria fases como a Lua. Mais um pilar do sistema aristotélico-ptolemaico é

derrubado.

• Júpiter

Galileu descobre as quatro “luas” de Júpiter em 7 de janeiro de 1610. A cada dia de

observação, estes satélites apresentavam posições diferentes em relação a Júpiter. Depois de

uma série de observações, ele descobriu que estes corpos orbitavam ao redor de Júpiter. Como

não enxergar evidência neste caso, que a Terra não ocupa lugar central no Universo?

• Estrelas

Mirando as constelações, descobriu que a Via Láctea era um aglomerado de estrelas e

não exalações celestiais como afirmava Aristóteles. Como acreditar no dogma de que as estrelas

foram criadas para o deleite dos homens, se a maioria delas era invisível a olho nu?

• A Supernova de 1604

Esta estrela surgiu em outubro de 1604 e teve um brilho que aumentou rapidamente de

intensidade, até desaparecer no final de 1605.

De acordo com a concepção aristotélica, sustentada pela Igreja, Deus criou um universo

celeste perfeito. Neste sentido, uma estrela não podia nascer, ter luminosidade variável e

desaparecer. Como ela não se movia em relação às outras, significa então que ela estava na

região supra-lunar. Galileu concluiu então que os corpos celestes não eram imutáveis.

• As manchas solares

Estas observações foram publicadas em “História das Manchas e Acidentes do Sol”

em 1613. A autoria da descoberta prioritária deste fenômeno foi alvo de disputa entre Galileu

e a ordem dos padres da Companhia de Jesus.

Estas descobertas, possibilitadas pelo telescópio, foram vitais para que Galileu

entrasse na briga pela defesa do sistema heliocêntrico, pois até à idade de 50 anos acreditava na

teoria geocêntrica.

Pessoas de mentes fechadas para o novo, como Martin Horky, Lodovico delle Colombo

e Francesco Sizzi publicaram artigos duvidando das observações de Galileu. E como Kepler e

os matemáticos do Colégio Romano (jesuítas) eram reconhecidos como as autoridades

científicas da época, obter o apoio de pelo menos um deles seria muito

171

importante. Então Galileu enviou a Johannes Kepler uma cópia do livro Siderius Nuncius,

solicitando-lhe sua opinião. Após ter lido o livro, Kepler enviou-lhe em 19 de abril de 1610,

uma longa carta em suporte às suas descobertas, publicada com o título Dissertation cum

Núncio Sidereo (Conversa Com o Mensageiro Sideral).

A publicação do livro Siderius Nuncius provocou efervescência no meio intelectual da

época. A produção científica de Galileu trouxeram-lhe enorme prestígio, mas não refletiu na

carreira de professor de matemática na Universidade de Pádua. Para superar os efeitos das

intrigas de seus colegas de Pádua e de Veneza, presenteou o grão-duque Cosme II de Médicis de

Florença com um telescópio e informando o nobre que as quatro “luas” de Júpiter foram

batizadas com nomes da família Médicis. O resultado veio na forma de nomeação de “Principal

Matemático da Universidade de Pisa e Filósofo do Grão-Duque”, com um salário de mil

escudos florentinos anuais.

Com o seu trabalho, Galileu conseguiu reunir evidências que fortaleciam a teoria

heliocêntrica. Ao escrever em italiano, língua do povo ao invés do latim, língua dos eruditos,

chamou a atenção da Inquisição. Em 19 de fevereiro de 1616, recebe uma advertência do

tribunal do Santo Ofício, através do Cardeal Bellarmino, proibindo-o de divulgar as idéias de

Copérnico. E na esteira deste acontecimento, as obras de Copérnico foram colocadas no Index,

sob a alegação de que contraria o que a Bíblia diz no Salmo 103:5 (Hebr. 104).

Galileu manteve-se afastado de atividades polêmicas por um bom tempo até que seu

amigo, o Cardeal Maffeo Barberini foi escolhido papa em 1623, com o nome de Urbano VIII.

Diante da insistência de Galileu, permitiu que este descrevesse abertamente as teses de

Copérnico, mas que ao mesmo tempo também descrevesse e de forma imparcial a teoria

ptolemaica.

Em 1632, publica a obra “Diálogo Sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo”,

simulando um debate entre três personagens:

• Salviati que defende as teses de Copérnico, é sempre brilhante.

• Sagredo, um observador neutro e de mente aberta, que no final passa a concordar com

Salviati.

• Simplício, representado como um ridículo anti-copernicano.

A conseqüência veio com a mão pesada da Igreja sobre Galileu. O jesuíta Christopher

Scheiner, que disputou com Galileu a descoberta das manchas solares, empurrou Galileu para a

desgraça, acusando-o de retratar o papa na pessoa de Simplício. Como o livro foi escrito em

172

italiano, teve um caráter mais pedagógico-filosófico do que científico, pois era acessível a um

maior número de pessoas. O papa já estava enfrentando grande oposição política na época. Ele

praticava uma política anti-espanhola e por isto era atacado por aqueles que eram a favor da

terrível Inquisição Espanhola. Esta conjuntura forçou o pontífice a enviar o caso para a

Inquisição. Intimado a Roma, Galileu foi julgado e condenado por heresia em 1633. Foi forçado

a renegar suas teses para escapar da fogueira. A sentença de prisão perpétua foi convertida em

prisão domiciliar.

De um colégio composto por dez inquisitores, três votaram contra a condenação de

Galileu, entre eles, o próprio papa Urbano VIII. O maior inimigo de Galileu era o seu próprio

temperamento, explosivo e impaciente, que o impedia de lidar com a devida diplomacia em

situações delicadas.

ATIVIDADES 29

Desenvolver uma das seguintes atividades:

• assistir o filme desenho animado: Galileu Galilei

• dramatizar o processo de condenação de Galileu pelo tribunal do Santo Ofício.

Isaak Newton

ATIVIDADES 30

Consultando as páginas 38 a 43 do Livro Didático Público (edição antiga) ou as páginas

24 a 29 (na edição nova) e redija nas linhas abaixo, um resumo do texto ali apresentado.

Consulte também o site da seed.

_____________________________________________________________________________

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_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________

Johannes Kepler, Galileu Galilei e René Descartes pavimentaram o caminho para que Newton

elaborasse a teoria da Gravitação Universal, uma das leis fundamentais de interação

173

no universo físico. Em seus desentendimentos com outro grande pensador, Robert Hooke,

escreveu-lh uma carta dizendo que se ele conseguiu enxergar mais longe, é porque estava

apoiado em ombros de gigantes. Disto podemos tirar uma lição: a autoria de uma invenção

pode ser de uma só pessoa ou mais, mas as teorias científicas envolvem o trabalho de várias

gerações de pensadores. E que os pensadores são pessoas humanas, e portanto movidos a

paixões e emoções. Não vivem em redoma de vidro e muitas vezes são vítimas das conjunturas

políticas e sociais.

O uso do telescópio possibilitou a Galileu a derrubada das crenças aristotélicas da

“perfeição” do mundo supra-lunar. Os trabalhos de Kepler, usando os dados de Tycho Brahe

foram fundamentais na determinação das órbitas dos planetas, desmoronando todo o artifício

baseado na teoria dos epiciclos. Os resultados destes trabalhos juntamente com o racionalismo

de Descartes possibilitaram a Newton a descoberta de uma lei que fosse a mesma para todo o

universo.

No resumo que você fez, vimos que Newton intuiu a existência de algo em comum entre

a queda de um corpo (maçã ?) próximo à superfície terrestre e a Lua orbitando em torno da

Terra. Este algo em comum é força que “puxava” tanto o corpo (maçã ) como a Lua para o

centro da Terra. Mas, por que a maçã cai e a Lua “não cai”?

Na sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Newton se refere a esta

força, a qual é dirigida para um ponto como centro:

7.7 – DEFINIÇÃO V

Uma força centrípeta é aquela pela qual os corpos são dirigidos ou impelidos, ou

tendem de qualquer maneira, para um ponto como centro.

Comentários que Newton faz desta definição

São forças desse tipo: a gravidade pelo qual os corpos tendem para o centro da Terra; o magnetismo, pelo qual o ferro tende para a magnetita; e aquela força, seja ela qual for, pela qual os planetas são continuamente desviados dos movimentos retilíneos – os quais, em caso contrário, eles perseguiriam – e obrigados a revolucionar em órbitas curvilíneas.Uma pedra, girada numa funda, tende a escapar da mão que a gira, e, por esta tendência, distende a funda, e o faz com força maior à medida que é girada com velocidade maior, e assim que é liberada, voa para longe. À força que se opõe a esta tendência, e pela qual a funda puxa continuamente a pedra de volta para a mão e a mantém em sua

174

órbita, por ser dirigida para a mão como centro da órbita, chamo de força centrípeta. O mesmo deve serdito com relação a todos os corposque girem em quaisquer órbitas. Todos tendem a se afastar dos centros de suas órbitas; e se não fosse pela força contrária que os restringe e os detém em suas órbitas, que, portanto, chamo de centrípeta, voariam para longe em linha reta, com um movimento uniforme. Se não fosse pela força da gravidade, um projétil não se desviaria em direção à Terra, mas afastar-se-ia dela em linha reta, com movimento uniforme, se a resistência do ar fosse removida. É por sua gravidade que ele é desviado continuamente de seu curso retilíneo e forçado a desviar-se em direção à Terra, mais ou menos de acordo com a força de sua gravidade e a Velocidade de seu movimento. Quanto menor for sua gravidade, ou sua quantidade de matéria, ou quanto maior for a velocidade com a qual é arremessado, menos ele se desviará de uma trajetória retilínea, e mais

longe irá. Se uma bola de chumbo arremessado do topo de uma montanha pelo uso de pólvora, com uma dada velocidade e uma direção paralela ao horizonte, é levada a uma distância de duas milhas em uma linha curva, antes de cair ao chão; a mesma bola, se a resistência do ar fosse removida, lançado com o dobro ou o décuplo da velocidade, voaria duas ou dez vezes mais longe. Aumentando a velocidade, podemos aumentar arbitrariamente a distância à qual ela pode ser arremessada, e diminuir a curvatura da linha que ela descreveria, até que finalmente ela cairia a uma distância de 10, 30 ou 90 graus, ou mesmo poderia dar a volta ao redor da Terra antes de cair; ou finalmente, poderia nunca mais cair na Terra, mas iria em frente penetrando nos espaços celestes, e continuaria em seu movimento in infinitum. Da mesma forma que um projétil, pela força da gravidade, pode ser forçado a girar em uma órbita e contornar completamente a Terra, também a Lua, quer pela força da gravidade, se ela for dotada de gravidade, ou por qualquer outra força, que a impulsione para a Terra, pode ser continuamente desviada em direção à Terra, para fora do caminho retilíneo que, pela sua força inata, ela perseguiria; e seria forçada a girar na órbita que agora descreve; sem a existência de uma tal força, a Lua não poderia ser retida na sua órbita. Se essa força fosse muito pequena, ela não seria suficiente para remover a Lua de um curso retilíneo; se fosse muito grande, a Lua seria desviada demais de sua órbita e cairia na Terra. É necessário que a força seja de uma quantidade precisa, e cabe aos matemáticos encontrar a força que pode servir exatamente para deter um corpo em uma determinada órbita, com uma dada velocidade; e, vice-versa, determinar a curva na qual um corpo é desviado a partir de seu curso retilíneo natural por meio de uma força dada, quando arremessado de um lugar conhecido, com uma dada velocidade. A quantidade de qualquer força centrípeta pode ser de três tipos: absoluta, acelerativa e motora.

São equivalentes perguntas do tipo seguinte:

175

• Por que uma jaca cai quando é cortado seu pedúnculo e a Lua não cai?

• Por que os astronautas “flutuam” no interior da nave espacial?

Raciocine à luz da Definição V de Newton:

→ atire uma bola de tênis, horizontalmente, de cima de sua mesa, com uma velocidade v.

Qual será a forma da trajetória que a bola vai seguir e onde ela cairá?

→ agora atire a mesma bola, horizontalmente, do alto do telhado da sua casa, com um lançador

que forneça o dobro da velocidade anterior. Qual será a forma da trajetória da bola e onde ela

cairá?

→ se você, do topo do prédio mais alto do mundo, com um potente lançador, lançasse a mesma

bola, horizontalmente, com uma velocidade muito superior, qual seria a forma da trajetória da

bola e onde ela cairá?

→ se você, dispondo de um lançador muito potente adaptado a um avião supersônico, voando a

uma altura próximo à da Lua, lançasse a mesma bola, horizontalmente, com uma velocidade

desta vez muito mais intensa, o que poderia ocorrer?

Em todos os passos, a trajetória é curva devido à força gravitacional da Terra. Se não

fosse a força gravitacional da Terra, a bola seguiria em Movimento Retilíneo e Uniforme, se não

houvesse a resistência do ar. Isto está de acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da

Inércia.

À medida que aumentamos a altura e a velocidade de lançamento, maior é o alcance da

bola. Chegará a uma situação na qual a bola não mais se chocará com a Terra, mas ela

continuará a cair.

Quando uma nave é colocada em órbita, os computadores lhe imprimem uma velocidade

para superar a força gravitacional. Esta velocidade é chamada velocidade de escape. A direção

desta velocidade é perpendicular à força gravitacional, é uma velocidade tangencial. O vetor

força gravitacional continuamente modifica a direção do vetor velocidade da nave. Como a

nave ou a Lua está continuamente sob a ação da força gravitacional, ela está em processo de

queda livre.

Neste processo, a situação vivenciada pelos astronautas dentro da nave é o mesmo que

você sentiria ao entrar dentro de um elevador no topo do edifício mais alto do mundo e pedir

176

para o seu pior inimigo cortar os cabos de aço do elevador. O que acontecer com você durante a

queda do elevador é o que acontece com os astronautas dentro da nave.

O movimento da Lua e dos satélites artificiais é circular uniforme. Como a

velocidade tangencial não varia, não há nenhuma força atuando tangencialmente à

trajetória da Lua ou do satélite. A única força presente é a força gravitacional com que a

Terra atrai a Lua ou o satélite para o seu centro.

ATIVIDADE 31

Você já prestou atenção nos comentários feitos pelos apresentadores de telejornais ao

noticiar o “flutuar” dos astronautas em órbita? Que tipos de erros conceituais eles costuma

cometer?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Newton percebeu que as órbitas dos planetas eram devidas a existência de uma força

centrípeta, que originando do Sol, atuaria sobre cada planeta. No caso do sistema Terra-Lua,

esta força, originando na Terra, atua sobre a Lua. Pela terceira lei de Newton, a Lua também

atrai a Terra. De acordo com os trabalhos de Kepler, a órbita dos planetas tem a forma de elipse,

cuja excentricidade é pequena. Então podemos aproximá-la de uma circunferência.

02) Quando o corpo celeste completa uma volta, ele terá percorrido uma distância dada por 2.

π .R, onde R é o raio da órbita, distancia entre o corpo central e o corpo orbitante. O tempo

gasto para uma volta completa é chamado de período e é representado pela letra T. Se

dividirmos o comprimento da circunferência (distância percorrida pelo corpo) pelo período,

obteremos a velocidade do corpo. Escreva a expressão correspondente :

v =

Expressão (*)

03) Eleve ao quadrado os dois membros da expressão:

v =

Expressão (**)

Na Definição V , Newton se refere à força centrípeta, cuja expressão matemática é

F = m.R

v 2

177

04) Na expressão (**) está faltando o fator R

m. Então multiplique ambos os membros desta

expressão pelo fator que está faltando e simplifique o segundo membro da expressão:

R

vm

2

. =

Expressão (***)

05) Na expressão (***), substitua o termo m.R

v 2

pela letra F:

F =

Expressão (****)

06) Escreva abaixo, a expressão da terceira Lei de Kepler:

Expressão (*****)

07) Da expressão acima, isole o termo T 2 :

2T =

Expressão ( ****** )

08) Substitua este valor de T 2 na expressão (****) e simplifique o segundo membro:

F=

O termo K

24πé constante e podemos representá-lo por G, que representa uma constante

de proporcionalidade e representa também a constante de gravitação universal. Assim podemos

dizer que a força F é diretamente proporcional à massa m de um dos corpos e inversamente

proporcional ao quadrado da distancia (R) que separa os dois corpos. Assim podemos escrever:

F α 2R

m ( expressão 7)

onde α simboliza proporcionalidade.

178

Mas Newton percebeu que a força F também é diretamente proporcional a massa (M)

do corpo central:

F α M (expressão 8)

Combinando as expressões (7) e (8), temos:

F α 2

.

R

Mm (expressão 9)

09) Complete:

A força de atração entre dois corpos de massas m e M é diretamente_______________

ao produto das __________________ e________________ proporcional ao ______________

da distância entre os corpos.

10) Introduzindo a constante de proporcionalidade (de gravitação universal) na expressão (9),

ela se transforma numa equação. Escreva-a no retângulo abaixo e compare seus resultados com

a expressão que esta na página 39 do livro didático público do Estado:

F =

11) As figuras se referem a um satélite descrevendo movimento circular uniforme em torno da

Terra. As setas simbolizam as forças exercidas sobre o satélite. Qual das figuras melhor

representa a(s) força(s) sobre o satélite?

Fig. 64 – Corpo em órbita ao redor da Terra Fonte: http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/lnew/index.html. Autores: Fernando Lang, Marcos A. Moreira e Rolando Axt Instituto de Física – UFRGS

179

2) As figuras se referem a um menino que faz girar, em um plano vertical, uma pedra presa ao

extremo de um fio (Lembre-se que estamos no campo gravitacional terrestre). Em qual das

figuras a(s) força(s) sobre a pedra está(estão) melhor representada(s) pelas setas?

Fig.65 – Pedra girando ao redor de um ponto central. Teste elaborado por Fernando Lang. Marco A. Moreira e Rolando Atx. Fonte da imagem: http://terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.html Instituto de Física - UFRGS.

http://terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.html

http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/lnew/index.html

13) Duas pessoas de massas respectivamente iguais a 80 kg e 60 kg estão distantes 6 metros

uma da outra. Sendo G = 6,7.10 11− N. 2

2

kgm , determine a força de atração gravitacional

entre ambas.

CAPITULO VIII

SE OS CORPOS NÃO SE TOCAM,

COMO OCORRE A INTERAÇÃO?

181

8.1 - AÇÃO A DISTÂNCIA OU CAMPO MEDIADOR?

Com sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Newton realizou a grande

síntese de toda a mecânica, que se tornou a base do desenvolvimento científico nos séculos

subseqüentes. A lei que diz que massa atrai massa com uma força F na razão inversa do

quadrado da distância entre elas é a mesma para todo o Universo.

Mas, como se dá a interação entre dois corpos que não se tocam?

Para que ocorra esta interação, é necessário que o comportamento de um afete o

comportamento do outro e vice-versa. É necessário que ocorra uma troca de informação entre

eles. A crença era de que esta troca de informação era instantânea, isto é, a informação

“viajava” com velocidade infinita. São estes os ingredientes para a concepção da idéia de ação-

a-distância.

Ao elaborar a teoria da gravitação universal, Newton se deparou com um grande dilema.

Ela torna claro a existência do vácuo. Se os planetas orbitam ao redor do Sol apenas por

inércia, então não pode haver nenhum tipo de atrito, caso contrário os planetas desacelariam e

cairiam em direção ao Sol. Inviabilizava-se assim, a sustentação da existência do éter,

concebido por Aristóteles.

Mas Newton, apesar de ser o autor das leis que “mataram” o éter não aceitava a idéia da

ação-a-distância. Num trecho de uma de suas cartas a Richard Bentley, datada de 25 de

fevereiro de 1693, ele dizia:

“...É inconcebível que a matéria bruta, inanimada, opere sem a mediação de alguma coisa, não material, sobre outra matéria e a afete sem contato mútuo, como deve ocorrer se a gravitação, no sentido de Epicuro, for essencial e inerente a ela. E é por essa razão que desejei que você não atribuísse a gravidade inata a mim. Que a gravidade devesse ser inata, inerente e essencial à matéria, de modo que um corpo pudesse atuar sobre outro a distância, através de um vácuo, sem a mediação de qualquer coisa, por cujo intermédio sua ação e força pudesse ser transmitida de um corpo a outro, é para mim um absurdo tão grande que eu acredito que nenhum homem dotado de uma faculdade de pensamento competente em questões filosóficas jamais possa cair nele. A gravidade deve ser causada por um agente que atua constantemente de acordo com certas leis; mas se esse agente é material ou imaterial é uma consideração que deixo para os meus leitores (GARDELLI, Daniel.Dissertação de Mestrado:in Newton, carta a Bentley; in Thayer, 1953, p.54).

182

Mas a expressão matemática da lei da gravitação universal foi relevante para o

entendimento de diversos fenômenos, para os quais não haveria resposta sem esta lei. Então

Newton achou conveniente “aceitar” esta idéia, como encontramos no Escólio Geral na

segunda edição dos Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, em 1713:

Até aqui explicamos os fenômenos do céu e de nosso mar pelo poder da gravidade, mas ainda não designamos a causa desse poder. É certo que ele deve provir de uma causa que penetra nos centros exatos do Sol e planetas, sem sofrer a menor diminuição de sua força; que opera não de acordo com a quantidade das superfícies das partículas sobre as quais ela age (como as causas mecânicas costumam fazer), mas de acordo com a quantidade de matéria sólida que elas contém, e propaga sua virtude em todos os lados a imensas distâncias, descrevendo sempre com o inverso do quadrado da distância. [...] Mas até aqui não fui capaz de descobrir a causa dessas propriedades da gravidade a partir dos fenômenos, e não invento nenhuma hipótese; pois tudo que não é deduzido dos fenômenos deve ser chamado uma hipótese; e as hipóteses, quer metafísicas ou físicas, quer de qualidades ocultas ou mecânicas, não têm lugar na filosofia experimental. Nessa filosofia, as proposições particulares são inferidas dos fenômenos, e depois tornadas

gerais pela indução. [...] E para nós é suficiente que a gravidade realmente exista e atue de acordo com as leis que aplicamos e que são suficientes para dar conta de todos os movimentos dos corpos celestes e de nosso mar (Daniel Gardelli, dissertação de Mestrado: in Newton, Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Escólio Geral, pp. 371-2).

Mas em 1717, Newton ressuscita o éter com outra fisionomia, ao apresentar seu trabalho

sobre a luz. Neste trabalho ele tenta explicar a gravidade utilizando o éter. Seria a preparação do

palco para a entrada em cena da idéia de campo como mediador das interações entre corpos

sem contato?

A idéia do éter foi um recurso para explicar a propagação das ondas eletromagnéticas

através do vácuo, no espaço sideral. Assim, a idéia de campo foi introduzida na física com os

trabalhos de Faraday e Maxwell em eletromagnetismo.

Em um de seus escritos, Maxwell diz:

Devo pedir-lhes que se dirijam para um território muito antigo e que voltem sua atenção para uma questão que tem sido levantada de tempos em tempos desde que os homens começaram a pensar. A questão é aquela referente à transmissão da força. Sabemos que dois corpos

183

separados por uma certa distância exercem influência mútua sobre os movimentos um do outro. Dependerá esta ação da existência de umaterceira coisa, algum meio de comunicação ocupando o espaço entre os corpos ou será que os corpos agem uns sobre os outros imediatamente, sem a intervenção de nada?(Maxwell, Scientific Papers, v.2, in Ação-a-Distância, p. 311).

Neste embate entre ação-a-distância e ação mediada pelo campo, em um de seus

escritos, Einstein deixou claro que acreditava na existência do éter, apesar dos resultados da

famosa experiência de Albert Michelson e E. Morley, realizada em 1887, comprovarem

definitivamente a inexistência do éter: ...A luz se propaga através do mar de éter, no qual a

Terra está se movendo. Em outras palavras, o éter está se movendo em relação à Terra

(Gardelli, 2004, p.98 in: Einstein, Como eu criei a teoria da relatividade, 1922).

Na elaboração da teoria da relatividade, Einstein nos diz que nenhum objeto pode ter

velocidade maior que a velocidade da luz, a qual é a velocidade máxima que um corpo pode

atingir. Assim, negando a impossibilidade da velocidade infinita, a idéia de campo se fortalece.

8.2 – CONCEITO DE CAMPO

De acordo com a física atual, campo é a pertubação no espaço ao redor de todo corpo

devida à alguma propriedade intrínseca ao corpo. Se o corpo possui massa, gera campo

gravitacional. Se tem carga elétrica, gera campo elétrico. Se tem propriedades magnéticas, gera

campo magnético, etc. A troca de informações entre dois corpos ocorre pela interação entre seus

campos.

Para a física moderna, a interação entre campos ocorre através da troca de partículas

chamadas mediadores. No caso do campo gravitacional, o mediador é chamado de graviton.

Então, a força de atração entre a Terra e um objeto, por exemplo, é o resultado da

interação entre o campo gerado pelo objeto e a massa da Terra (GREF, 2000, p. 155).

8.3 - COMPORTAMENTO DE CORPOS LANÇADOS NO CAMPO GRAVITACIONAL

ATIVIDADES 32

184

01) Vimos que no lançamento de um objeto, seja vertical, obliquo ou horizontal, a força de

lançamento deixa de existir assim que se desfaz o contato entre o objeto e o agente lançador.

Então, enquanto um corpo se desloca no campo gravitacional terrestre, qual(quais) é(são) a(s)

força(s) que atuam sobre o corpo?

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

As questões 2, 3 e 4 referem-se ao enunciado seguinte.

Um menino lança verticalmente para cima uma bola. Os pontos A, B e C identificam

algumas posições da bola após o lançamento ( B é o ponto mais alto da trajetória). É desprezível

a força resistiva do ar sobre a bola.

Fig.66 – Menino lançando uma bola para cima.Fonte: http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.htmlQuestões e desenhos elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Atx.Instituto de Física - UFRGS

2)No ponto A, quando a bola está subindo, qual dos desenhos melhor representa a(s) força(s)

sobre a bola?

Fig.67 – forças atuando na bola

185

3)No ponto B, quando a bola atinge o ponto mais alto da trajetória, qual dos desenhos melhor

representa a(s) força(s) sobre a bola?


Fig. 68 – forças atuando sobre a bola

04) No ponto C, quando a bola está descendo, qual dos desenhos melhor representa a(s) força(s)

sobre a bola?

Fig.69 – Forças atuando sobre a bola.

As questões 5, 6 e 7 referem-se ao enunciado abaixo.

05) Um menino lança uma pequena pedra que descreve uma trajetória como a representada na

figura (a força de resistência do ar sobre a pedra é desprezível). O ponto B é o ponto mais alto

da trajetória.

Fig. 70 –Menino atirando uma pedraFonte: http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.htmlQuestões e desenhos elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Atx.Instituto de Física - UFRGS

186

4)No ponto A, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?


Fig.71 – Forças agindo sobre a pedra

06) No ponto B, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?


07) No ponto C, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?


8.4 - LANÇAMENTOS VERTICAL, OBLIQUO E HORIZONTAL

Quando um corpo é lançado com velocidade inicial v 0 , seu movimento é o resultado da

combinação de dois movimentos, independentes entre si, isto é, um ocorre como se o outro não

existisse:

• um na direção vertical

187

• outro na direção horizontal

O movimento na direção vertical é uniformemente retardado na subida e uniformemente

acelerado na descida. Na medida que ele ascende no campo gravitacional terrestre, sua

velocidade vai diminuindo, de modo que no ponto de altura máxima, sua velocidade se anula

instantaneamente, iniciando a partir daí seu movimento de queda.

O movimento na direção horizontal é uniforme e retilíneo.

Usando a noção de decomposição de vetores em sua componentes ortogonais, podemos

obter a velocidade na direção de cada eixo cartesiano.

ATIVIDADE 33

Componente horizontal da velocidade v x da velocidade v 0 de lançamento

01) O vetor v x é um cateto adjacente ao ângulo θ, o vetor v 0 é a hipotenusa. A relação entre

v x e v 0 é o cosseno do ângulo θ. Então:

xv =

expressão ( 1 )

y

yv

v

0 xv

x

Fig.74 – Decomposição do vetor velocidade

Componente vertical v y da velocidade v 0 de lançamento

02) O vetor v y é um cateto oposto ao ângulo θ. A relação entre v y e v 0 é o seno do ângulo

θ. Então:

v y =

expressão ( 2 )

188

Compare seus resultados com o contido na página 22 do livro didático público do

Estado do Paraná.

Consultando a tabela a seguir, faça uma análise do movimento do martelo proposto pelo

professor Kleber Sebastião Juliani na primeira unidade do livro didático público:

TABELA - 10

valor de θ cos θ sen θ 0° 1 0 30°

2

3 2

1

45°

2

2 2

2

60°

2

1

2

3

90° 0 1

3. No lançamento vertical

3.1 Qual é o ângulo que a direção do movimento forma com a direção horizontal?__________

3.2 Qual o valor da componente horizontal de 1.3 Reescreva a expressão para a componente

0v

para este caso vertical de 0v

para este caso.

4. No lançamento obliquo

4.1 Usando as expressões ( 1 ) e ( 2 ), reescreva as expressões para as componentes v x e v y

para os seguintes casos:

189

θ = 30° θ = 45° θ = 60°

4.2 Qual é a forma da trajetória do martelo para estes lançamentos?_____________________

4.3 Para qual referencial o martelo tem esta forma de trajetória?________________________

4.4 Por que o martelo descreve este tipo de trajetória?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4.5 Suponha que o martelo seja lançado num local onde o Sol está a pino, isto é, seus raios

incidem perpendicularmente sobre os corpos. Que tipo de movimento a sombra do martelo

apresentaria no solo?_________________________ ? Por que?________________________

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

4.5 Se fosse possível projetar perpendicularmente a sombra do martelo numa parede vertical,

que tipo de movimento a sombra apresentaria na parede?_____________________________

___________________________________________________________________________

Por que?____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. No lançamento horizontal

5.1 Qual o ângulo que a direção do movimento forma com a direção horizontal?___________

5.2 Qual o valor da componente vertical da 5.3 Reescreva a expressão para a velocidade

velocidade de lançamento? de lançamento na direção horizontal.

190

5.4 Neste caso, qual seria a forma da trajetória se o martelo fosse lançado horizontalmente do

alto de uma torre? ______________________________ Por que? ______________________

___________________________________________________________________________

CAPITULO IX

TEORIA DA RELATIVIDADE

192

9.1 - NOVAS MUDANÇAS DE PARADIGMAS

Nas últimas décadas do século XIX, uma série de experiências nos campos da óptica, da

termodinâmica e do eletromagnetismo apresentaram resultados que não puderam ser explicados

pela teoria da gravitação universal de Newton e nem pela teoria eletromagnética, cujos

princípios foram propostos por Michael Faraday e resumidos nas equações de Maxwell: o

efeito fotoelétrico (Einstein), o espectro do hidrogênio (Balmer), os raios X (Röntgen), a

radioatividade (Becquerel), o elemento radioativo Rádio (Marie Curie). A teoria quântica

nasceu da tentativa de entender tais fenômenos.

Estas duas teorias propunham um universo com partículas e campos de força como entes

rígidos, mergulhados num espaço e tempo absolutos e de dimensões invariáveis. E o referencial

para as medidas do espaço, do tempo e para a determinação dos movimentos era o éter cósmico,

derrubado pelos resultados da experiência dos americanos Albert Abraham Michelson e

Edward Willians Morley, em 1887.

A mecânica elaborada por Isaak Newton, também chamada de mecânica clássica ou

mecânica newtoniana começa a perder seu caráter de inquestionalidade em 1883, com as

críticas do cientista alemão Ernst Mach. Ele apontou como ponto fraco da dinâmica de Newton

a concepção de espaço e tempo absolutos. De acordo com Mach, para medir o tempo,

necessariamente nos apoiamos no movimento repetitivo de um corpo ou sistema físico (pêndulo

ou movimento da Terra). Então, é claro que as propriedades do tempo de alguma forma está

relacionada com o movimento. Assim também, o conceito de espaço deve estar intimamente

ligado com as propriedades do sistema de medida. Não é algo absoluto.

Estas críticas encontraram fértil terreno no espírito do jovem físico Albert Einstein.

Para Einstein, a maneira de observar e realizar medidas físicas deve influenciar os coneitos

físicos.

A idéia de tempo e espaço absolutos foi duramente golpeada pela descoberta da

constância da velocidade da luz. Einstein tinha concebido a idéia de que as ondas luminosas se

deslocavam com velocidade constante para qualquer observador quer em repouso, quer em

movimento uniforme.

Inspirados por estes resultados, Georg Francis Fitzgerald e Hendrik Antoon Lorentz

elaboraram um conjunto de leis matemáticas, chamado de transformações de Lorentz. Nos

resultados destes trabalhos estavam as noções de contração do espaço e da dilatação do

193

tempo. Uma régua em movimento, tem seu comprimento diminuído e o tempo num relógio em

movimento flui mais lentamente.

9.2 - TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA OU ESPECIAL

Em 1905, Einstein publica a teoria da relatividade restrita, que se assenta sobre dois

postulados ou princípios gerais:

1° - Princípio da relatividade: as leis da física são iguais em todos os referenciais inerciais que

se movem com velocidade constante.

2° - Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz no vácuo é constante

em todo sistema de referência inercial. Nenhum corpo material pode atingir a velocidade da luz.

Ao contrário da mecânica newtoniana, onde o tempo e o espaço são entidades distintas e

absolutas, na teoria da relatividade estão interligados, formando o espaço-tempo, de quatro

dimensões. Cada ponto deste espaço-tempo é um evento.

9.3 - TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

De acordo com a teoria da gravitação universal de Newton, a interação entre dois corpos

celestes era instantânea. Mas o professor Victor Rivelles, do Instituto de Física da USP dá um

exemplo de fenômeno (fictício), cuja explicação à luz da mecânica newtoniana mostra-se

insustentável à luz da teoria da relatividade: “Se pudéssemos mover o Sol de lugar, o que

ocorreria com a órbita da Terra?”

• Mecânica newtoniana: imediatamente a Terra alteraria sua órbita.

• Teoria da relatividade: como nenhum fenômeno pode se propagar com velocidade maior que a

da luz, a influência da mudança do Sol sobre a Terra demoraria de 6 a 7 minutos para repercutir.

Para respeitar este limite, Einstein propôs a teoria da relatividade geral. O problema está

na concepção de espaço e tempo. Na teoria newtoniana, se não existisse a força gravitacional

entre o Sol e a Terra, ambos seguiriam caminhos independentes, os quais seriam

linhas retas de acordo com a lei da inércia, pois para Newton o espaço tinha estrutura

euclidiana.

194

No Ensino Fundamental você estudou a geometria euclidiana plana ou bidimensional.

No Ensino Médio você estuda a geometria euclidiana espacial ou tridimensional. Então você

sabe que o espaço euclidiano é caracterizado por linhas retas e que a menor distância entre dois

pontos é uma linha reta. Tanto o espaço euclidiano como o espaço-tempo da teoria da

relatividade restrita são planos.

Na teoria da gravitação universal de Newton, onde o espaço é euclidiano, é “necessário”

uma força que atua à distância e faz com a trajetória dos corpos seja curva. Porém, na

concepção de Einstein esta força não existe e a estrutura do espaço não é euclidiana. A menor

distância entre dois pontos é uma curva, chamada geodésica. E o que provoca a curvatura do

espaço-tempo é a presença de matéria e energia.

Imagine que a Terra fosse reduzida de tal forma que coubesse na palma da mão. Seu campo gravitacional seria tão incrivelmente intenso que nem mesmo a luz conseguiria escapar dele. Seria um buraco negro (PARANA, 1998, p.367).

ATIVIDADE 34

01) Leia texto das páginas 43 e 44 do Livro Didático Público (edição antiga) ou páginas 29 e 30

(nova edição) que você recebeu do Estado e explique com suas palavras o que é um buraco

negro?

Ou pelo site www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/ clicando em alunos-clicando em Física e por fim

em Livro Didático Público.

02) Sugestões de atividades lúdicas:

• Jogo de Astronomia: Desbravando o Sistema Solar in: Divulgando a ciência: de brinquedos,

jogos e do vôo humano. Elaborado pelos professores Marcos César Danhoni Neves e Ricardo

Francisco Pereira.

• Jogo de Astronomia: Desbravando o Sistema Solar in: Da terra, da lua e além.Versão revisada

e modificada. Elaborado pelo professor Marcos César Danhoni Neves e equipe.

Contato: [email protected]

BIBLIOGRAFIA

BAPTISTA, J. P; FERRACIOLI, L. A Evolução do Pensamento Sobre o Conceito de Movimento. Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo, v21, n.1, pp.187-194, 1999.

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GARDELLI, Daniel. Concepções de interações físicas: subsídios para uma abordagem histórica do assunto no Ensino Médio. 2004. 127 f. Dissertação (Mestrado em Ciências) – Instituto de Física/Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo.

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http://www.astro.iag.usp.br/~gast?o/astroposi??o.html

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DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2007 - Operação de ... · 1.1 – Introdução ... René Descartes ... asfalto da rodovia aparenta estar molhado.-Ouvir o som de um piano.-A poluição