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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS NO ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL: cálculo do volume de sólidos geométricos
Rosa Ângela Maria Niero Flores 1
Ednei Aparecido Santulo Junior2
RESUMO Este artigo relata as experiências e os resultados obtidos no ensino de geometria espacial no Ensino Médio, tendo como ferramenta facilitadora do processo de ensino e aprendizagem a utilização de materiais manipuláveis com uma turma de 3ª. série do Colégio Estadual de Iporã – EFMP. Tendo em vista as muitas dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem de geometria espacial, principalmente a grande distância que há, para eles, entre o conteúdo ensinado em sala de aula e o cotidiano, buscou-se um aprendizado mais significativo com o auxílio de materiais manipuláveis no ensino de volumes de sólidos geométricos – prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. O método empregado procurou fazer, primeiramente, uma abordagem qualitativa, a fim de desenvolver a intuição dos alunos e, posteriormente, uma abordagem quantitativa, a fim de que os alunos fossem capazes de verdadeiramente compreender as fórmulas de volume, em vez de simplesmente memorizá-las, visando a uma aprendizagem realmente significativa desses tópicos. Tal método pode ser facilmente adaptado para o ensino de volume de sólidos também na Educação Básica. Ao longo das aulas, verificou-se que os alunos conseguiram fazer uma conexão relevante entre a teoria ensinada e suas aplicações práticas diretas a objetos concretos de seu cotidiano e que o aprendizado de conceitos matemáticos através de exemplos concretos pode torná-lo mais prazeroso.
Palavras-chave: Geometria Espacial; Sólidos Geométricos; Volume.
ABSTRACT
This article reports the experience and the results obtained by teaching solid geometry in the secondary school, using, as main tool of the teaching-learning
1 Professora de Matemática da rede estadual de ensino. Integrante do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná. [email protected]
2 Professor Orientador do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá
2
process, manipulable material for 3rd. grade class of Colégio Estadual de Iporã – EFMP. Taking into account the various difficulties found by students in learning solid geometry, specially the great distance that exists, for them, between the content taught in the classroom and their everyday, one has sought a more significative learning with the aid of manipulable material on the teaching of volumes of geometric solids – prisms, pyramids, cylinders, cones and spheres. The employed method has used, firstly, a qualitative approach, aiming to develop the intuition of the students and, secondly, a quantitative approach, aiming that students could truly understand the volume formulae, instead simply memorizing them. Such a method may also be easily adapted to teach solids volume in Basic Education. During the classes, one has verified that the students actually made a relevant connection between the theory and its practical and direct applications to concrete objects of their everyday and that learning mathematical concepts through concrete examples can turn it more pleasurable. . Keywords: Space Geometry, Solid Geometry, Volume.
1 INTRODUÇÃO
A geometria é uma ferramenta usada para descrever e se relacionar com
o espaço no qual vivemos e possui diversas aplicações concretas no cotidiano,
tais como: medidas, comparações, áreas, volumes. Acreditamos ser
imprescindível refletir sobre práticas didáticas alternativas àquelas apresentadas
no ensino tradicional, no que se refere à primazia das fórmulas sobre as formas,
dando ênfase ao princípio de que fórmulas podem ser estabelecidas de maneira
prazerosa. Neste caso, com o uso de materiais manipuláveis, pois a manipulação
de objetos é uma etapa que antecede o pensamento abstrato, importante para o
desenvolvimento da percepção espacial.
Neste sentido é importante realizar experiências que contribuam para o
melhor aproveitamento dos conteúdos pelos alunos nas aulas de Matemática,
permitindo-lhes que desenvolvam o raciocínio lógico-matemático e elaborem
conceitos por meio do uso de materiais manipuláveis.
3
A geometria é um dos conteúdos mais interessantes da disciplina de
Matemática, e também uma das maiores preocupações atuais dos educadores
dessa área. Embora ressaltada nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná
(DCEs) como sendo um conteúdo de vital importância, muitas vezes fica em
segundo plano, sendo tratada de maneira superficial e fragmentada, pois são
muitas as dificuldades encontradas por alunos e professores no processo ensino
aprendizagem desse conteúdo.
Se o ensino da geometria como um todo não é privilegiado em nossas
escolas, existem conteúdos geométricos que são ainda mais discriminados, em
função de sua aparente complexidade. É o caso da geometria espacial, pois é
mais comum o trabalho pedagógico com as figuras planas. Como citam as DCEs
(2008, p.56) “no Ensino Médio, deve-se garantir ao aluno o aprofundamento dos
conceitos da geometria plana e espacial em um nível de abstração mais
complexo.”
Com o objetivo de enfocar a Matemática dos livros didáticos com um olhar
diferenciado de modo que os educandos possam compreendê-la, apropriando-se
de seu significado, é que os materiais manipuláveis são utilizados, enquanto
mediadores do processo de ensino e de aprendizagem. Lorenzato (2009, p.22)
acredita que “para se chegar ao abstrato, é preciso partir do concreto.”
Logo há necessidade de se trabalhar com a geometria espacial, por meio
de atividades exploratórias e com utilização de materiais manipuláveis, com o
intuito de facilitar o processo ensino-aprendizagem.
Este artigo apresenta uma metodologia desenvolvida com o uso de
materiais manipuláveis no ensino de geometria espacial. Mais especificamente,
ao cálculo do volume de sólidos geométricos, com algumas atividades que podem
ser exploradas tanto em um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM), como
na própria sala de aula.
2 DESENVOLVIMENTO
4
2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ewbank (1977, apud LORENZATO, 2009, p.90), afirma que o livro
didático muitas vezes não nos ensina os conceitos matemáticos. Para o autor, os
conceitos matemáticos são aprendidos somente por meio da experiência
concreta: “o perfume de uma rosa ou a dissonância de sons não podem ser
aprendidos lendo descrições verbais sobre eles em um livro. Você tem que
experimentá-los. É o mesmo com ideias matemáticas.”
Os educadores matemáticos do início do século XX apontaram para a
necessidade de compreender como acontecia o ensino da Matemática, de forma
que se demarcasse, nos currículos escolares, a possibilidade dos estudantes
realizarem análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e
formulação de ideias. “Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a
abstração ocorre pela separação mental das propriedades inerentes a objetos”
(DAVID, 1982, p.332, apud LORENZATO, 2009, p.22)
Com isso surgiram as ideias que vislumbravam um ensino da
Matemática baseado nas explorações indutivas e intuitivas (SCHUBRING, 2003).
A partir daí os professores encontraram fundamentação teórica e
metodológica para direcionar sua prática docente. Configurou-se, portanto, a
Educação Matemática como campo de estudo. De acordo com Fiorentini (2001),
no Brasil, os estudos na área de Educação Matemática “teve início a partir do
Movimento da Matemática Moderna, mais precisamente no final dos anos 70 e
durante a década de 1980.”
Na atualidade as DCEs assumem a Educação Matemática como campo
de estudos que possibilita ao professor balizar sua ação docente, fundamentado
numa ação crítica, que conceba a Matemática como atividade humana em
construção.
Cabe ao professor a sistematização dos conteúdos matemáticos que
emergem das aplicações, superando uma perspectiva utilitarista, sem perder o
5
caráter científico da disciplina e de seu conteúdo. Ir além do senso comum
pressupõe conhecer a teoria científica, cujo papel é oferecer condições para
apropriação dos aspectos que vão além daqueles observados pela aparência da
realidade (RAMOS, 2004).
Nesta perspectiva, dentre os conteúdos da Matemática considerados
como essenciais para a formação do aluno está a geometria, rica em elementos
que favorecem a percepção espacial e a visualização.
A geometria surgiu há aproximadamente 4.000 anos no Egito e na
Babilônia, de uma maneira intuitiva, não sistemática, com uma série de regras
práticas sugeridas pela experiência, objetivando principalmente aplicações às
medições (GERÔNIMO, J.R. FRANCO, V.S. 2005, p.11).
Já na antiga Grécia, a geometria teve um caráter dedutivo, apoiado em
proposições gerais, baseados em Tales de Mileto e Pitágoras.
Mas foi Euclides, na sua famosa obra “Os Elementos”, em cerca de 300
a.C. o primeiro a apresentar um sistema axiomático para a geometria. Seus
registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram
cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é
organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria
Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial. A obra de
Euclides tem uma importância excepcional na história da Matemática e exerce
influência até os dias atuais, inclusive no âmbito escolar.
Conforme citado, as DCEs reconhecem a importância da Geometria no
Currículo do Ensino Médio, afirmando que:
É necessário conhecer as demonstrações das fórmulas, teoremas, conhecer e aplicar as regras e convenções Matemáticas, tanto no estudo da geometria de posição como no cálculo de área de figuras geométricas planas e espaciais e de volume de sólidos geométricos, em especial de prismas, pirâmides (tetraedro), cilindro, cone e esfera. (DCEs, 2008, p.56)
6
Os conceitos destes conteúdos são fundamentais para que o aluno do
Ensino Médio amplie seu conhecimento e pensamento geométrico.
Na Educação Básica, a Educação Matemática valoriza os conhecimentos
geométricos, que não devem ser rigidamente separados da aritmética e da
álgebra. Interligam-se com a aritmética e com a álgebra “porque os objetos e
relações dela correspondem aos das outras; assim sendo, conceitos,
propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela
geometria, que realiza a tradução para o aprendiz” (LORENZATO, 1995, p.07).
A geometria é considerada como uma ferramenta para descrever e
interagir com o espaço no qual vivemos, e pode ser vista como uma parte da
Matemática mais intuitiva, concreta e ligada à realidade. Autores organizados por
Fonseca (2001) destacam que a geometria é uma das raízes da Matemática
como campo científico e, ao mesmo tempo, um conhecimento básico do
patrimônio cultural de todos os grupos humanos.
Nesse sentido, o ensino de geometria deve se ater a questões que
expressem o pensamento geométrico, ou seja, o ensino precisa permitir ao
estudante que ele realize uma leitura que envolva a construção e apropriação de
conceitos abstratos e aqueles que se referem ao objeto geométrico em si.
Vários educadores famosos, por muito tempo, destacaram a importância
da visualização e manipulação de materiais como facilitador para a
aprendizagem. Comenius, por volta de 1.650 escreveu que o ensino deveria dar-
se do concreto para o abstrato, cem anos depois Rousseau recomendou a
experiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Por volta de 1.800,
Pestalozzi e Froebel, também constataram que o ensino deveria começar pelo
concreto e outros educadores como Dewwey, Poincaré, Montessori, Piaget,
Vygotsky, Bruner, Claparède (defensor da inclusão de brinquedos e jogos na
escola), os brasileiros Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan) e Manuel Jairo
Bezerra, e outros, também reconheceram, cada um a seu modo, que a ação do
indivíduo sobre o objeto é básica para a aprendizagem.
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Pois entende-se que a manipulação de objetos é uma etapa que
antecede o pensamento abstrato, importante para o desenvolvimento da
percepção espacial.
A seguir, descreveremos os processos utilizados para desenvolver as
atividades práticas usando como recurso didático os materiais manipuláveis.
2.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.
Inicialmente as atividades deveriam ser realizadas em um Laboratório de
Ensino de Matemática, mas como a escola não dispunha desse local, os alunos
desenvolveram as atividades em um Laboratório de Informática (PROINFO), por
ser um espaço que facilitava a integração dos alunos e a interação com os
materiais manipuláveis. Algumas atividades foram desenvolvidas na sala de aula.
A primeira proposta foi a atividade exploratória qualitativa de volumes em
recipientes de diversos formatos, sem graduação de volume. Os alunos trouxeram
os materiais para o desenvolvimento desta atividade, como previamente
solicitado. Para o desenvolvimento utilizaram-se recipientes de diferentes alturas
e larguras, os alunos mediam a altura da água em cada um dos recipientes e
assinalavam com o pincel.
Durante a atividade o professor levantou questões como: “Que relação
pode ser percebida entre a altura da água e as áreas das seções transversais dos
recipientes utilizados?” “Que altura vocês esperam que o líquido atinja ao se
acrescentar em cada recipiente o mesmo volume de água que ele já contém?” Os
alunos faziam uma marca no recipiente com o pincel, segundo a intuição do
grupo, repetiam a experiência acrescentando a mesma quantidade de água nos
recipientes e verificavam a diferença entre a altura prevista e a altura real do
líquido.
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O grupo 1 relatou: “Quando a seção transversal aumenta, a altura
diminui, e quando a seção transversal diminui, a altura aumenta.”
Grupo 2: “Quando a seção transversal é maior a altura é menor e quando
a seção transversal diminui a altura aumenta.”
Grupo 3: “Quando a seção transversal é menor a altura é maior e quando
a seção transversal é maior a altura é menor.”
A segunda atividade foi desenvolvida visando à comparação qualitativa de
volumes de sólidos de diferentes formatos por imersão em água. Utilizando-se
diversos sólidos (pedra, fruta, bola de gude etc.), trazidos pelos alunos, de modo
que, dentre alguns deles não fosse facilmente perceptível o de maior e o de
menor volume e recipientes com água, o professor pedia a cada grupo de alunos
que listassem os sólidos em ordem crescente de volume, segundo a intuição do
grupo.
O professor orientava para que mergulhasse cada um dos sólidos, um de
cada vez, no recipiente com volume de água suficiente para cobrir completamente
os sólidos a serem analisados, medisse a variação de altura que a imersão de
cada um causava no nível de água e descobrissem a ordem crescente de volume
dos sólidos. Solicitava aos alunos que verificassem se a ordem crescente dos
volumes dos sólidos encontrada após a imersão na água conferia com a ordem
crescente feita por intuição.
Figura 1: Comparação de volume entre a laranja e a pedra.
Fonte: Alunos do CEI.
9
O grupo 1 relatou: “Tudo que a gente pensou, comprovou, pois o tamanho
da laranja já dizia que seria maior o aumento do nível da água em relação a
pedra. A água tinha 200 ml e com a imersão da pedra ficou em 250 ml, depois
colocamos a laranja e ficou em 400 ml.”
Aproveitando o resultado da atividade anterior e utilizando a balança de
dois pratos o professor propôs que fizessem comparações entre o volume e a
massa dos sólidos.
Grupo 2: “Nós achávamos que a pedra utilizada, sendo mais pesada, ia
dar mais volume que a laranja que sendo mais leve daria menos
volume,comprovamos que o volume da laranja foi maior e relação ao da pedra, só
que a massa da laranja foi menor em relação a pedra.”
Grupo 3: “ A bola de gude na água tem o volume maior que a esfera de
aço, e na balança de dois pratos ela têm a massa menor que a esfera de aço, a
esfera de aço é menor em tamanho e fez mais peso na balança.”
Figura 2: Comparações entre o volume e a massa dos sólidos.
Fonte: Alunos do CEI.
A terceira atividade teve como tema o Princípio de Arquimedes. Logo
após as experiências realizadas assistimos a um vídeo3 com a História de
Arquimedes “a coroa do rei”, e foi levantada a seguinte questão: “Sabendo que o
3 http://www.youtube.com/watch?v=X8c3AdgMi9w&NR=1
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ouro é mais denso que a prata e que Arquimedes descobriu que o volume da
coroa era maior do que realmente deveria ser. Isso pode ser justificado pela
substituição parcial do ouro fornecido, pela prata?”. Os alunos compreenderam o
que ficou conhecido como o Princípio de Arquimedes.
O grupo 1 relatou:”Apesar de ter o mesmo peso, a densidade da coroa
era menor, porque ele substituiu parte do ouro pela prata.”
Grupo 2: “Sim, houve a substituição, a coroa tem outro metal que é mais
leve e é por isso que o volume é maior.”
Grupo 3: “Sim ele substituiu o ouro pela prata, como a prata é mais leve
teve que por mais prata e assim ocupou mais volume.”
Nota-se que os alunos confundem os conceitos de massa e densidade
usando o adjetivo “mais leve”, “mais pesado” para significar “mais denso”, “menos
denso”. Tais confusões foram discutidas em sala.
Para a realização da quarta atividade os alunos trouxeram caixinhas
vazias de casa (creme dental, sabonete, cremes, gelatina etc.), nesta atividade os
alunos perceberam a necessidade de padronizar as unidades de medida. Para o
desenvolvimento os alunos selecionaram dentre os sólidos geométricos de
diversos formatos (prismas, cilindros, pirâmides, cones e esferas disponível na
escola) que estavam sobre a mesa, quais eles consideravam semelhantes ao que
eles trouxeram de casa e separaram dos demais.
Os alunos foram questionados sobre: “Como são conhecidas estas
figuras por eles?” “Que nomes costumam usar para esses objetos?” Para o
desenvolvimento usou-se o seguinte questionamento: “Qual a necessidade que
o ser humano sentiu para padronizar a unidade de volume?” Em seguida foi
distribuído o material dourado para as equipes a fim de que eles construíssem um
sólido semelhante às caixinhas que trouxeram.
O professor solicitou que desenhassem no caderno o que construíram e
anotassem quantos cubinhos foram necessários para formar o sólido.
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No grupo 1, a dupla 1 relatou: “42 cubinhos, caixinha do caldo de galinha,
contamos porque era pouquinho.” Dupla 2: “ 216 cubinhos, caixinha de gelatina,
multiplicamos.” Dupla 3: “240 cubinhos, caixinha de achocolatado, multiplicamos.”
No grupo 2, a dupla 1 relatou: “192 cubinhos, caixinha de achocolatado,
multiplicamos.” Dupla 2: “100 cubinhos, caixinha de creme de rosto, contamos.”
Dupla 3: “ 240 cubinhos, caixinha de sabonete, multiplicamos.”
No grupo 3, a dupla 1 relatou: “240 cubinhos,caixinha de leite
achocolatado,contamos.” Dupla 2: “240 cubinhos,substituímos os cubinhos pelas
barras com 10 unidades, caixinha de sabonete, contamos.” Dupla 3: “320
cubinhos, caixinha de creme hidratante, multiplicamos.”
Figura 3: Construindo com o material dourado.
Fonte: Alunos do CEI.
Na quinta atividade os alunos trouxeram de casa embalagens redondas
(latas de batatas fritas, de achocolatados em pó, de conservas, copos etc.), e
fizeram a comparação entre volumes - análise quantitativa. Era solicitado que
selecionassem dentre os sólidos geométricos de diversos formatos (prismas,
cilindros, pirâmides, cones e esferas disponível na escola) que estavam sobre a
mesa quais eles consideram semelhantes ao que eles trouxeram de casa e
separaram dos demais.
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Logo após foram distribuídos os cubinhos do material dourado para as
equipes preencherem os espaços internos dos objetos trazidos por eles, sem
deixar espaços vazios. Durante a atividade levantaram-se os seguintes
questionamentos: “O método de decomposição em cubinhos unitários funciona
com estes objetos de corpos redondos?” “ Poderíamos despejar a água que
comporta o cubo de 1 3cm no seu interior?” “ Como calcular a capacidade de um
objeto de corpo redondo como um cilindro, sem deixar espaços vazios?”
De posse de um cubo de vidro com dimensões internas de 1 dm, e uma
jarra graduada de 1 litro com água, o aluno despejava todo o conteúdo da jarra
no cubo com 1 dm de aresta, após a realização desta experiência os alunos
confirmaram que 1 dm3 equivale a um litro de água.
Aluno 1 relatou: “Eu não sabia muito sobre volume, não sabia a fórmula,
como calcular. Sabia apenas que o volume tinha a ver com líquidos. Descobri o
significado, as fórmulas, como calcular e descobri também que se pode descobrir
o volume pelo m3. Com as experiências aprendi que não precisa colocar litro por
litro para descobrir o volume, basta apenas medir, usar a fórmula e transformar
em litros.”
Aluno 2: “As aulas além de ser mais legais, tem ajudado a aprender mais.
Comparar medidas usando diferentes objetos. Que os objetos mesmo tendo
formas diferentes podem ter o mesmo volume. Que para calcular o volume é só
multiplicar comprimento, altura, largura, que 1 dm3 é igual a 1 litro. Coisas simples
mais muito importante para nós todos.”
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Figura 4: Comprovando que 1dm
3 equivale a 1 litro.
Fonte: Alunos do CEI.
O objetivo da sexta atividade foi ilustrar o Princípio de Cavalieri com uso
de materiais manipuláveis. Aos alunos era solicitado que dispusessem sobre a
carteira, uma pilha formada com as cartas dos jogos de baralho trazida por eles,
deixando a pilha reta. Após terem concluído, calcularam o volume do
paralelepípedo montado com as cartas de baralho, utilizando a régua para tirar as
medidas, e compararam o resultado entre os grupos.
Prosseguiram a atividade encostando uma régua nas faces laterais,
transformando o paralelepípedo retângulo em outro paralelepípedo, agora
oblíquo, novamente calcularam o volume do sólido e compararam com o
resultado do paralelepípedo reto. Continuando, usaram as mãos e moldaram um
sólido bem diferente, e novamente calcularam o volume, comparando os três
resultados encontrados. Confirmamos que desta forma podemos calcular o
volume de um paralelepípedo oblíquo, que não pode ser decomposto em
cubinhos unitários, ilustrando a ideia central de Cavalieri.
O grupo 1 relatou: “Não importa se o sólido é reto ou oblíquo, eles terão o
mesmo volume se tiverem a mesma altura e a área da seção onde ele foi cortado
for a mesma.”
Grupo 2: “Não importa se os sólidos são retos ou oblíquos, eles terão o
mesmo volume se tiverem a mesma altura e a área da base for a mesma.”
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Grupo 3: “Que não importa se o sólido é reto ou oblíquo, eles terão o
mesmo volume se eles tiverem a mesma altura e a área da seção onde ele for
cortado for a mesma.”
Figura 5: Paralelepípedo oblíquo – Princípio de Cavalieri
Fonte: Alunos do CEI
Na sétima atividade aplicamos o Princípio de Cavalieri no conceito do
volume de prismas e de cilindros. Os alunos desenharam e recortaram em
cartolina, 100 triângulos e 100 retângulos com a mesma área (triângulo com base
6 cm e altura 8 cm; retângulo de lados 4 cm e 6 cm). Desenharam e recortaram
também em cartolina, 100 retângulos e 100 círculos que tinham a mesma área
(retângulo de lados 10 cm e 5 cm; círculos de raio 4 cm e 3,14). Em seguida
calcularam a área do triângulo e do retângulo e compararam os resultados. Após
confirmarem que as áreas eram iguais, construíram duas pilhas de mesma altura
com os 100 triângulos e os 100 retângulos.
Foi solicitado que calculassem a área do retângulo e do círculo e
comparassem os resultados. Após confirmarem que as áreas eram iguais,
construíram duas pilhas de mesma altura com os 100 círculos e os 100
retângulos.
Aluno 3 relatou: “Antes dos experimentos realizados eu conhecia muito
pouco sobre volume, agora sei que se eu multiplicar a área da base pela altura
vou descobrir o volume de um prisma e se eu multiplicar as arestas de um cubo
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terei o seu volume. As vezes pensamos que isso não será útil em nossa vida, mas
depois desses experimentos realizados descobri que usamos estas medidas de
volume em nosso dia-a-dia.”
Na oitava atividade, os alunos manipularam materiais para fazer
comparação entre volumes de prismas e pirâmides de mesma base e mesma
altura e também fizeram a comparação entre volumes de cilindros e cones de
mesma base e mesma altura.
Aluno 4 relatou: “Antes tinha pouco conhecimento sobre volume, agora já
conheço bem mais e sei fazer os cálculos. Aprendi que, às vezes, os objetos têm
forma diferente, mas tem o mesmo volume. E que calculando a área da base
vezes a altura dá para saber o volume. Nós fizemos experiências que foi de bom
proveito e comprovamos algumas coisas que não acreditávamos que tinha o
mesmo volume.”
De posse de um prisma e uma pirâmide de mesma base e com a mesma
altura, os alunos foram solicitados a fazer comparações entre estes dois sólidos,
destacando a base e a altura. Cada grupo expressava segundo sua intuição
quantas vezes era necessário despejar o conteúdo da pirâmide no prisma até que
ele ficasse completamente cheio. O grupo 1e 2 relataram: “alguns alunos 2 vezes
e outros 3 vezes.” Grupo 3: “ ele cabe 3 vezes.” A pedido da professora dois
alunos voluntários demonstraram para a turma essa experiência.
Figura 6. Demonstração do volume da pirâmide por comparação.
Fonte: alunos do CEI.
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Foi solicitado aos alunos que verificassem se a quantidade prevista pela
intuição conferia com a demonstração feita pelos colegas. Então os grupos
relataram: grupo 1 e 2 “ confere com a intuição de alguns alunos e não confere
com outros alunos.” Grupo 3: “confere.”
Os alunos repetiram a experiência, agora com o cilindro e o cone de
mesma base e com a mesma altura, compararam os dois sólidos e a professora
destacou a base e a altura. Cada grupo expressou segundo sua intuição quantas
vezes era necessário despejar o conteúdo do cone no cilindro até que ele ficasse
completamente cheio. Os grupos 1, 2 e 3 relataram: “são necessários 3 vezes.”
Dois alunos voluntários realizaram a experiência com água. Foi solicitado
aos outros alunos para que verificassem se a quantidade prevista pela intuição
conferia com a demonstração feita pelos colegas.
Os grupos 1, 2 e 3 relataram: “foi comprovado que no cilindro cabe 3
vezes o volume do cone.” Após estes experimentos alguns alunos relataram:
aluno 5 : “Antes das nossas experiências, eu desconhecia o volume e suas
variações e formas de encontrá-lo. Mas depois de começar a trabalhar com o
volume, eu aprendi como ele é importante e presente em nossa vida e em nosso
cotidiano. Precisamos dele para encontrar o que comporta caixas d’ água,
tanques e etc., o que facilita muitas vezes o nosso trabalho.” Aluno 6 : “Antes eu
não sabia muita coisa sobre volume, e com os experimentos realizados ficou
muito mais fácil aprender a calcular, por exemplo, o volume de um prisma, cubo,
esfera, etc. Aprendi que um cone tem 1/3 do volume de um cilindro e a pirâmide
tem também 1/3 do volume do prisma. Aprendi a calcular o volume, por exemplo,
de uma piscina. Aprendi que um litro tem 1000 cm3 ou 1 dm3.” Aluno 7: “Bem, eu
sempre ouvi falar sobre cilindro, prisma, cubo, mas tudo ficou mais claro com as
explicações, os vídeos e quando montamos e pegamos as figuras as coisas ficam
muito mais claras.”
Na nona atividade os alunos foram solicitados a fazer o uso de materiais
manipuláveis para a estimativa do volume de uma esfera de raio conhecido pelo
raciocínio de Arquimedes. De posse da semiesfera oca e do cone (o raio da
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semiesfera deve ser igual ao raio da circunferência do cone e a altura do cone
deve ser igual ao raio da semiesfera), os alunos tentavam adivinhar quantas
vezes era necessário encher o cone e despejar na semiesfera para que ela
ficasse completamente cheia.
Os grupos relataram: grupo 1 “um aluno disse 1 vez e os demais
disseram 2 vezes.” Grupo 2 e 3: “ele cabe 2 vezes.” Um aluno voluntário encheu o
cone com o pó de serra e despejou na semiesfera para demonstrar à turma. Os
grupos 1, 2 e 3 concluíram: “o volume da esfera é igual a quatro vezes o volume
do cone.”
Figura 7. Demonstração do volume de uma esfera pelo raciocínio de Arquimedes.
Fonte: Alunos do CEI.
No desenvolvimento da última atividade ilustrou-se o Princípio de
Cavalieri aplicado a uma clepsidra. De posse do cilindro equilátero com os dois
cones (com o raio e a altura iguais ao raio do cilindro) em seu interior, os alunos
relataram o sólido que estavam visualizando: “são dois cones unidos pelo vértice.”
Foi debatida com eles a propriedade do cilindro equilátero e dos dois cones que
estão em seu interior. Retiramos os dois cones que estavam dentro do cilindro e
lançou-se o questionamento: “Como reconhecem este sólido?” Sabendo que o
cilindro é equilátero, ou seja, a altura é igual a 2R, foi proposto aos alunos calcular
o volume da esfera pelo princípio de Cavalieri, considerando uma esfera de raio
R. Dois alunos retiraram os cones do interior do cilindro, restando a anticlepsidra,
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(o sólido obtido pelo cilindro menos os dois cones) e os grupos concluíram:
“anticlepsidra é o lado de fora do cone dentro de um cilindro eqüilátero.”
Demonstraram que as secções da anticlepsidra e da esfera produzidas
por um plano paralelo às bases do cilindro possuíam a mesma área, após
efetuarem os cálculos utilizando a coroa e o círculo. Realizaram a experiência
com o material concreto construído para esta atividade: cilindro equilátero,
clepsidra e esfera (com raio igual ao raio do cilindro).
Figura 8. Confirmação do Princípio de Cavalieri aplicado a uma clepsidra.
Fonte: Alunos do CEI.
Alunos voluntários encheram o cilindro equilátero com o pó de serra
retiraram a quantidade dos dois cones a clepsidra e confirmaram por meio da
atividade que o que sobrou no cilindro a anticlepsidra é o volume da esfera. Os
grupos concluíram: “anticlepsidra é o que sobra da clepsidra e cabe na esfera,
corresponde ao mesmo volume da esfera.”
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Figura 9: Volume da esfera.
Fonte: Alunos do CEI.
Em todas as atividades os alunos foram solicitados a anotarem os
resultados de cada experiência e também relatar o que aprenderam.
3 ANÁLISE E RESULTADOS
Durante a realização da primeira atividade, analisamos a relação entre a
altura e a área da seção transversal, os alunos conseguiram chegar ao
entendimento de que para objetos de mesmo volume, quanto maior a área da
seção transversal, menor é a altura e quanto menor a área da seção transversal,
maior é a altura, compreendendo a relação entre a altura e a área da seção
transversal. Conforme confirma Lorenzato ”para que se dê uma significativa
aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e não somente
a manipulativa” (LORENZATO, 2009, p.33).
Já durante a realização da segunda atividade, analisamos a variação de
altura de sólidos de diferentes formatos e ficou evidente a influência da imersão
que os objetos causam no nível da água, depende do volume de cada objeto, a
laranja aumentou mais o nível da água que a pedra, embora tenha sido
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comprovado utilizando a balança de dois pratos que a massa da pedra era maior
do que a da laranja. A bola de gude maior que a esfera de aço, pois o seu volume
aumentou mais o nível da água. Enquanto que o nível da água da esfera de aço
foi menor. Já na balança de dois pratos a esfera tem a massa maior que a bola de
gude.
Nesta situação verificou-se que o material manipulável foi um eficiente
recurso, propiciando o entendimento do real volume dos sólidos de diferentes
formatos utilizados. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), apud Lorenzato
2009, p.95, as tendências curriculares atuais convergem ao considerarem que a
geometria é fundamental para compreender o espaço em que nos movemos e
para perceber a matemática presente em um contexto.
Portanto, com as investigações realizadas pelos alunos, foi possível
vivenciar experiências de aprendizagem importantes para prosseguir as
explorações e o estudo de vários conceitos e relações geométricas.
Na terceira atividade, após assistirmos ao vídeo com a História de
Arquimedes, confirmaram-se as experiências realizadas de que: "Quando um
corpo é mergulhado na água ele perde, em peso, uma quantidade que
corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do
corpo.” (matemático Arquimedes Séc. III a.C.), fazendo a relação interdisciplinar
com a Física.
O importante da quarta atividade foi observar como os alunos chegaram
ao resultado, alguns contaram os cubinhos, outros multiplicaram e perceberam a
necessidade de se padronizar as unidades de medidas. Conforme relato dos
alunos: Grupo 1: “Precisava identificar todos com uma só medida, e que a figura
se chamava paralelepípedo.” Grupo 2: “Surgiu a necessidade de a medida ser
igual em todos os lugares, e concluímos que a figura é um paralelepípedo,
formado por 6 lados retangulares e, às vezes, também quadrados.” Grupo 3:
”Porque se não padronizar não teria como vender, senão em cada lugar seria de
um jeito, haveria conflito,o nome da figura é paralelepípedo, é um sólido formado
por figuras planas .”
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Assim também afirma Lorenzato:
(...) o material concreto exerce um papel importante na aprendizagem. facilita a observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, crítico e científico, é fundamental para o ensino experimental e é excelente para auxiliar o aluno na construção de seus conhecimentos (Lorenzato, 2009, p.61).
Aproveitamos as respostas e entendemos que o volume de um
paralelepípedo é o produto de suas dimensões: comprimento x largura x altura, ou
seja, área da base x altura.
O aluno 8 relatou: “O trabalho no começo eu achava que era muito difícil,
mas foi passando as aulas fui aprendendo cada vez mais e então fui gostando
mais da matéria, e conhecendo o que é volume e paralelepípedo, eu aprendi as
dimensões do paralelepípedo, a sua diagonal e as medidas do seu volume, que o
volume é o comprimento vezes a largura vezes a altura ou a área da base vezes
a altura.”
Diante das descobertas apresentadas pelos alunos, na quinta atividade
sentimos a necessidade de padronizar o cálculo do volume de corpos de diversos
formatos.
Comprovamos com a sexta atividade que o cálculo do volume do
paralelepípedo oblíquo ilustra a ideia central de Cavalieri. Essa ideia consiste em
imaginar um sólido decomposto em camadas muito finas, como as cartas de um
baralho ou uma resma de papel, os grupos 1, 2 e 3 afirmaram: “ que não importa
se o sólido é reto ou oblíquo, eles terão o mesmo volume se eles tiverem a
mesma altura e a área da seção onde ele foi cortado for a mesma da área da
base.” Axioma (Princípio de Cavalieri): “São dados dois sólidos e um plano. Se
todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de
mesma área, então esses sólidos têm o mesmo volume.” (matemático italiano
Cavalieri séc. XVII) (apud LIMA, E.L; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E.;
MORGADO,A.C. A Matemática do Ensino Médio vol.2, p.256).
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Na realização da sétima atividade percebeu-se que os alunos
conseguiram visualizar que a primeira pilha de triângulos recortados em cartolina,
tem a forma de um prisma triangular, a segunda de retângulos também em
cartolina, tem a forma de um bloco retangular ou paralelepípedo que é também
um prisma de base retangular e que esses dois prismas têm a mesma altura e
suas bases, embora sejam diferentes, têm a mesma área. Portanto seus volumes
são iguais.
Por meio dessa atividade, aplicando o Princípio de Cavalieri no cálculo
do volume do prisma por comparação, com o volume do paralelepípedo conclui-
se que o volume do prisma é também o produto da área da sua base por sua
altura. Ao manipularem triângulos e retângulos de mesma área, os grupos
relataram: “A área do triângulo é igual à área do retângulo, tendo a área da base e
a altura iguais, não importa a forma, os volumes também serão iguais”. Sobre
esse assunto Gerônimo e Franco salientam, “O prisma é o primeiro poliedro em
que se consegue obter facilmente o seu volume utilizando o Princípio de
Cavalieri” (GERÔNIMO, J.R. FRANCO, V.S. 2005, p.285).
Na continuação da sétima atividade percebeu-se que os alunos
conseguiram visualizar que a primeira pilha de retângulos recortados em cartolina,
tem a forma de um bloco retangular ou paralelepípedo que é também um prisma
de base retangular, a segunda de círculos também em cartolina tem a forma de
um cilindro e que esses dois prismas têm a mesma altura e suas bases, embora
sejam diferentes, têm a mesma área.
Portanto seus volumes são iguais. Por meio dessa atividade, aplicando o
Princípio de Cavalieri no cálculo do volume do cilindro por comparação, com o
volume do prisma, os alunos compreenderam que o volume do cilindro é também
o produto da área da sua base por sua altura. Ao manipularem retângulos e
círculos de mesma área, os grupos relataram: “A área do retângulo é igual à área
do círculo, então, tendo a área da base e a altura iguais, não importa a forma, os
volumes também serão iguais, eles compartilham o mesmo volume.”
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Com a realização da oitava atividade foi possível perceber que a
utilização do material concreto possibilita uma melhor compreensão dos conceitos
explorados, como área da base, aresta da base, altura, aresta lateral, facilitando
assim a aprendizagem e reforçando os conceitos matemáticos. Os alunos
compreenderam o volume da pirâmide por meio dos experimentos e
demonstrações e os grupos concluíram que: “o volume de qualquer pirâmide é a
terça parte do volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura.”
“Quando prismas e pirâmides são apresentados ao aluno do segundo grau, a
motivação natural é o cálculo dos volumes” (LIMA, E.L; CARVALHO, P.C.P.;
WAGNER, E.; MORGADO,A.C. A Matemática do Ensino Médio vol.2, p.264).
Ainda na oitava atividade os alunos compreenderam o volume do cone
por meio dos experimentos e demonstrações e os grupos concluíram que: “o
volume de qualquer cone é a terça parte do volume do cilindro que tem a mesma
base e a mesma altura.” Os grupos relataram: ”Com a experiência, enchemos 3
cones de água e despejamos dentro do cilindro, mas houve uma dúvida, então
pegamos o cilindro cheio e derramamos no cone, enchendo exatamente 3 deles,
comprovamos que o volume do cone equivale a um terço do volume do cilindro.”
Neste contexto, Lima, Carvalho, Wagner e Morgado afirmam “O aluno do
segundo grau, no seu primeiro contato com a geometria espacial, se sente mais
seguro quando compreende bem resultados obtidos em situações particulares,
para depois estendê-los em casos mais gerais” (LIMA, E.L; CARVALHO, P.C.P.;
WAGNER, E.; MORGADO,A.C. A Matemática do Ensino Médio vol.2, p.265).
Assim também relatou Aluno 9 : “Antes de ter essas aulas e comprovar
com meus próprios olhos, eu não entendia nada sobre o assunto, aprendi até a
gostar da matéria, antes eu não sabia de figuras geométricas, agora eu tenho
uma boa noção de tudo. Enfim foi muito válido e muito bom para todos nós.”
Mediante a experiência realizada na nona atividade, confirmou-se o
raciocínio do matemático grego Arquimedes, demonstrado em seu livro “Sobre a
esfera e o cilindro” aplicado ao cálculo do volume de uma esfera, através de
dedução, o grande matemático grego demonstrou que o volume da esfera é
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quatro vezes o volume do cone que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da
esfera, “aprender a procurar, e mesmo a encontrar respostas, é mais importante
para a formação do indivíduo do que as respostas às indagações” (LORENZATO,
2009, p.08).
Aluno 10 relatou: ”Antes de realizar este trabalho, eu não sabia como
calculava o volume dos prismas, agora eu já sei muito sobre os sólidos
geométricos, como calcular o volume de pirâmide de diferentes bases, de esferas,
cones e tantos prismas.”
Com a realização da décima atividade foi possível perceber que a
utilização do material concreto possibilitou uma melhor compreensão dos
conceitos explorados, como diâmetro, raio, propriedade do cilindro equilátero,
propriedade dos cones que estão no interior do cilindro equilátero formando a
clepsidra, o sólido obtido pelo cilindro menos os dois cones formando a
anticlepsidra, coroa e circulo, facilitando a atividade mental por parte do aluno,
efetivando a aprendizagem e reforçando os conceitos matemáticos. Segundo
Lorenzato:
(...) convém termos sempre em mente que a realização em si de atividades manipulativas ou visuais não garante a aprendizagem. Para que esta efetivamente aconteça, faz-se necessária também a atividade mental, por parte do aluno. E o material didático pode ser um excelente catalisador para o aluno construir seu saber matemático. (Lorenzato, 2009, p.21)
Os alunos confirmaram o Princípio de Cavalieri aplicado a uma clepsidra.
Aplicando o Princípio de Cavalieri possibilitou a eles a compreensão de que o
volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra. Conforme Lorenzato:
(...) os alunos em sala de aula passam a observar registrar e documentar as atividades discutidas, relacionadas, e ideias importantes que surgem na investigação realizada, considerando as experiências, as conjecturas, os dados colhidos e aspectos relacionados à experimentação. E a
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geometria, nesse momento, é um campo fértil para um ensino baseado na exploração e investigação, contribuindo, assim, para uma compreensão de fatos e relações que vai muito além da simples memorização de fórmulas e técnicas de resolução de problemas. (Lorenzato, 2009, p.96).
Como já dito anteriormente, após a aplicação do material didático
utilizando atividades com o uso de materiais manipuláveis e pautados em autores
que relatam sobre a importância de se trabalhar com material concreto,
acreditamos que atingimos o objetivo proposto.
CONCLUSÃO
Por meio da elaboração e aplicação deste trabalho, teve-se a
oportunidade de construir e utilizar materiais manipuláveis. Neste sentido foi muito
gratificante realizar este trabalho com os alunos da 3ª série do ensino profissional-
Técnico em Administração - Integrado, pois aprendemos juntos um pouco sobre a
utilização de materiais manipuláveis no cálculo do volume de sólidos geométricos.
Durante as leituras e estudos, foi possível perceber certa surpresa dos
alunos ao saberem que vários educadores famosos, por muito tempo, destacaram
a importância da visualização e manipulação de materiais como facilitador para a
aprendizagem, mesmo quando ainda não eram utilizadas unidades de medidas.
No processo de construção de sólidos geométricos com materiais
manipuláveis, os alunos tiveram dificuldades nas primeiras atividades propostas,
“com referência à manipulação propriamente dita do material didático pelos
alunos, convém lembrar que, num primeiro momento, o material didático pode
gerar alguma estranheza ou dificuldade” (LORENZATO, 2009, p.25), porém no
decorrer delas, conseguiram construir e manusear os materiais e perceber como
conseguem construir conceitos a partir das experiências.
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Por meio do desenvolvimento das atividades em grupo e o uso de
materiais manipuláveis foi possível conseguir uma aprendizagem significativa
para o aluno, permitindo assim um melhor relacionamento entre professor e
aluno.
Com o desenvolvimento desse trabalho, principalmente através da sétima
atividade, foi possível concluir que o fato de os alunos terem construído alguns
dos materiais utilizados, além de simplesmente manipularem materiais prontos, foi
de grande contribuição para o processo de aprendizagem.
Trabalhar conteúdos relacionados com construção e manipulação de
materiais manipuláveis, especificamente o volume dos sólidos geométricos,
estimulou a criatividade, o raciocínio lógico, motivou e ajudou o aluno na
compreensão de conteúdos e conceitos matemáticos.
Deixar de usar apenas o quadro, giz e livro didático, e fazer uso de
materiais manipuláveis, faz com que o educando se concentre mais, visualize e
compreenda melhor as situações apresentadas, tornando o trabalho altamente
gratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o
aluno.
As atividades realizadas em grupo promoveram a interação entre os
alunos e entre os grupos, favorecendo a construção do conhecimento.
Particularmente, a realização deste trabalho exigiu a criatividade, a busca por
conhecimentos, e ao mesmo tempo deu a certeza da importância de se trabalhar
com os alunos, conteúdos reais, de forma que os mesmos percebam a beleza e o
valor da matemática em situações do seu cotidiano e o mais importante foi o
aumento da autoconfiança ao realizar as atividades propostas, desmistificando a
ideia de que aprender geometria é muito difícil.
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REFERÊNCIAS
CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial, Coleção do Professor de Matemática, 4 ed. Rio de Janeiro. SBM, 2005. GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. 2. ed. Maringá: Eduem, 2010. GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática Completa, 2ª. ed. renov. São Paulo: FTD, 2005. http://www.youtube.com/watch?v=X8c3AdgMi9w&NR=1 com acesso em 03 jul. 2010. LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio Vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, 5ª. ed. Rio de Janeiro. SBM, 2004. LORENZATO, Sergio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 2ª. ed. Campinas, SP. Autores Associados, 2009. Coleção Formação de Professores. MATEMÁTICA 2º GRAU – o novo telecurso / FRM em convênio com a Fundação Bradesco. Rio de Janeiro, Editora Rio Gráfica, 1985. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Rede Pública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2009.
