DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - … · ... à sua direita, 30 árvores. Na volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas árvores o estudante

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

MATERIAL DIDÁTICO

Maria Izabel Nogueira Abril – 2010

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDE

MATERIAL DIDÁTICO:

Unidade Didática com Utilização da Metodologia de Resolução de Problemas

SUMÁRIO

1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA ........................................ 6

2. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 7

3. FIGURAS SUGESTIVAS ......................................................................................................... 10

3.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................... 10 3.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 10 3.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 10 3.4 MATERIAIS .......................................................................................................................... 10 3.5 DESENVOLVIMENTO DA AULA ................................................................................................... 10 3.5.1 PROCEDIMENTOS NO DECORRER DA AULA ................................................................................. 11 3.5.2 DEMAIS ATIVIDADES SUGERIDAS ............................................................................................. 12 3.6 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE ......................................................................................... 12 3.7 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 13 3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 13

4. PROBLEMAS NÃO-CONVENCIONAIS .................................................................................... 14

4.1 OBJETIVO ............................................................................................................................ 14 4.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 14 4.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 14 4.4 MATERIAIS .......................................................................................................................... 14 4.5 PROBLEMAS ......................................................................................................................... 14 GRUPO 1 .................................................................................................................................. 14 GRUPO 2 .................................................................................................................................. 15 GRUPO 3 .................................................................................................................................. 15 GRUPO 4 .................................................................................................................................. 15 GRUPO 5 .................................................................................................................................. 15 GRUPO 6 .................................................................................................................................. 16 GRUPO 7 .................................................................................................................................. 16 GRUPO 8 .................................................................................................................................. 16 4.6 PROCEDIMENTOS .................................................................................................................. 17 4.7 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE ......................................................................................... 17 4.8 SUGESTÃO DE OUTROS PROBLEMAS ........................................................................................... 18 4.9 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 19 4.10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................ 19

5. ATIVIDADES COM O JORNAL ............................................................................................... 20

5.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................... 20 5.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 20 5.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 20

5.4 MATERIAIS .......................................................................................................................... 20 5.5 DESENVOLVIMENTO DA AULA ................................................................................................... 20 5.5.1 PROCEDIMENTOS NO DECORRER DA AULA ................................................................................. 21 5.5.2 FORMULAÇÃO DE ATIVIDADES REFERENTES ÀS INFORMAÇÕES: ....................................................... 21 5.6 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE ......................................................................................... 21 5.7 UTILIZAÇÃO DO JORNAL: ......................................................................................................... 21 5.8 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 22

6. PROBLEMAS DIVERSOS ....................................................................................................... 23

6.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................... 23 6.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 23 6.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 23 6.4 DESENVOLVIMENTO DA AULA ................................................................................................... 23 6.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE ......................................................................................... 24 6.6 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 24 6.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 25

7. MULTIPLICAÇÕES ................................................................................................................ 26

7.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................... 26 7.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 26 7.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 26 7.4 MATERIAIS .......................................................................................................................... 26 7.5 DESENVOLVIMENTO DA AULA ................................................................................................... 26 7.5.1 CONSTRUINDO A TABUADA ................................................................................................... 27 7.5.2 SISTEMATIZANDO A TABUADA................................................................................................ 27 7.5.3 CURIOSIDADES DA TABUADA DO 9 .......................................................................................... 29 7.5.4 JOGO MULTIPLICATIVO ........................................................................................................ 32 7.5.5 ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................ 32 7.5.6 OUTRAS FORMAS DE MULTIPLICAR .......................................................................................... 34 7.5.7 JOGO COM MULTIPLICAÇÃO................................................................................................... 36 7.5.8 OUTROS PROBLEMAS ........................................................................................................... 38 7.6 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 39 7.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 39

8. PROBLEMAS COM O SISTEMA MONETÁRIO ......................................................................... 41

8.1 OBJETIVOS ........................................................................................................................... 41 8.2 CONTEÚDOS ABORDADOS ........................................................................................................ 41 8.3 METODOLOGIA ..................................................................................................................... 41 8.4 MATERIAIS .......................................................................................................................... 41 8.5 DESENVOLVIMENTO DA AULA ................................................................................................... 41 8.5.1 QUESTÕES PROPOSTAS ........................................................................................................ 42 8.5.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE ....................................................................................... 44 8.5.3 SUGESTÃO DE OUTRAS ATIVIDADES ......................................................................................... 44

8.6 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 45 8.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 45

1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

PROFESSOR PDE 1. Nome da Professora PDE: Maria Izabel Nogueira 2. Disciplina/Área: Matemática 3. IES: UEM/FECILCAM – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão 4. Orientador: Valdir Alves 5. Caracterização do objeto de estudo: Construir estratégias para resolver problemas de matemática de tal modo que possa contribuir nas 5ª séries do ensino fundamental, no ensino aprendizagem da disciplina. 6. Título da Produção Didático-Pedagógica: Resolução de problemas. Uma estratégia didática para trabalhar a matemática no ensino fundamental. 7. Justificativa da Produção: Pensando-se na proposta de intervenção, e de acordo com os estudos feitos no decorrer do 1º e 2º períodos desse programa de ensino, foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer do ano de 2010. Em todas elas, procurou-se partir sempre da Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie os estudantes a pensarem matematicamente, resgatando o prazer da descoberta. 8. Objetivo da Produção: O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes, por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela Matemática, correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. Como são sugeridas, em diversos momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procura-se com que, dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem seus conhecimentos, de forma significativa. 9. Tipo de produção didático-pedagógica: Coletânea de atividades, a serem desenvolvidas com a utilização da Metodologia de Resolução de Problemas. 10. Público-alvo: Estudantes da 5ª série do Ensino Fundamental. 11. Localização: Colégio Estadual de Campo Mourão, Avenida Guilherme de Paula Xavier nº 795. 12. Palavras-chave: Resolução de Problemas, Ensino Aprendizagem e Tendências em Educação Matemática.

2. INTRODUÇÃO

O presente material é uma coletânea de atividades direcionadas para a 5ª

série do Ensino Fundamental.

Para a elaboração dessas atividades, procurou-se sempre partir da

Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite, a

todo instante, que o professor desafie os estudantes a pensarem

matematicamente, resgatando o prazer da descoberta.

O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes,

por meio da Resolução de Problemas, tomem gosto pela Matemática,

correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. São sugeridas, em

diversos momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procurando com que,

dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias, reflexões a

cerca dos conteúdos tratados e possam em conseqüência, construírem seus

conhecimentos, de forma significativa.

Em relação à 5ª série do Ensino Fundamental, foram abordados os

seguintes conteúdos:

• As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

• Operações inversas.

• Cálculo mental.

• Medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita, composição e

decomposição de numerais, valor posicional de um algarismo.

• Possibilidades.

• Seqüências numéricas.

• Sistema monetário.

• Frações: representação, leitura e escrita, adição, subtração e frações

equivalentes.

ATIVIDADES PARA A

5ª SÉRIE DO

ENSINO

FUNDAMENTAL

3. FIGURAS SUGESTIVAS

3.1 Objetivos

• Elaborar problemas.

• Resolver as quatro operações fundamentais.

• Desenvolver a confiança nos estudantes.

3.2 Conteúdos abordados

As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

3.3 Metodologia

Resolução de Problemas.

3.4 Materiais

Figuras que sugerem situações de consumo, e, em conseqüência, cálculos

matemáticos.

3.5 Desenvolvimento da Aula

Propor aos alunos que inventem um problema a partir da observação da

figura a seguir:

Observe a figura e formule um problema. Seja criativo (a):

Foto:http://www.saanpark.com.br/figuras/100-051_IMG%20Restaurante.jpg (26/04/2010)

3.5.1 Procedimentos no decorrer da aula

É importante que cada aluno tenha a liberdade para criar seus problemas,

não havendo necessidade de direcionar a atividade para uma das operações

específicas.

A seguir, algumas sugestões de atividades que podem ser feitas a partir

dos problemas formulados pelos alunos:

• sortear alguns dos problemas e propor para a classe resolvê-los;

• trocar os problemas entre os alunos para que um resolva o do outro;

• montar uma coletânea com todos os problemas dos alunos e propor sua

resolução;

• escolher um problema que esteja incompleto ou mal formulado, para

trabalhar com o texto, reelaborando em conjunto com toda a classe, tomando

cuidado para não constranger o autor;

É interessante que cada problema, ao ser disponibilizado para os demais

estudantes, contenha o nome do autor.

3.5.2 Demais atividades sugeridas

1. Elabore problemas a partir dos cálculos dados:

a) R$ 14,30 + R$ 35,99

b) 3 x R$ 1,80 + 2 x R$ 0,95

2. Observe a figura abaixo e formule um problema relacionado com ela:

Foto: http://www.planetaeducacao.com.br/portal/imagens/artigos/diario/aula_aberta_biologia_01.jpg

3.6 Considerações sobre a atividade

Segundo PARANÁ (1998),

essa tarefa de formular problemas permite ao aluno perceber o que é

importante na elaboração e resolução de uma dada situação; que relação

há entre os dados apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta;

como articular o texto, os dados e a operação a ser usada, etc. Mais que

isso, ao formular problemas, os alunos sentem que possuem controle sobre

o fazer matemático, que podem participar desse fazer e desenvolvem

interesse e confiança frente a situações-problema.

Além dessas contribuições, a experiência com esse tipo de atividade tem

me mostrado que os estudantes se sentem muito valorizados quando utilizo o

termo “autor”; eles se sentem importantes e capazes de também produzir

matematicamente, verificam que a Matemática não é apenas algo pronto

disponibilizado exclusivamente em livros didáticos, ao contrário, ela faz parte do

nosso cotidiano.

3.7 Avaliação

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando não apenas a

resolução dos algoritmos, mas também a habilidade de redigir problemas e

interpretá-los.

Não se espera que os alunos elaborem problemas muito complexos, mas,

na medida em que eles se defrontarem com esse tipo de atividade em diversos

momentos, com certeza a capacidade e a criatividade serão acentuadas, e, em

conseqüência, os problemas serão mais bem elaborados.

3.8 Referências Bibliográficas

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.

Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:

SEED/DEPG, 1998.

4. PROBLEMAS NÃO-CONVENCIONAIS

4.1 Objetivo

Despertar o interesse dos estudantes por meio de problemas que fogem

dos padrões tradicionais, estimulando o gosto pela Matemática.


Cálculo mental, medidas de tempo, operações inversas.

4.3 Metodologia


4.4 Materiais

Problemas propostos, os quais serão entregues 3 para cada grupo.

4.5 Problemas

Os alunos ficarão em grupos de 4 ou 5 e serão propostos os seguintes

problemas:

Grupo 1

1.Cláudia e Lucienne têm juntas, 15 filmes. Quantos filmes têm cada uma?

2. Andando por uma estrada, um estudante contou, à sua direita, 30 árvores. Na

volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas

árvores o estudante viu na estrada?

3. O menino está olhando os patos nadando no lago. Um deles nada na frente de

dois outros, um nada entre dois e um nada atrás de dois. Quantos eram os patos?

Grupo 2

1. Sabemos o preço de um objeto e a quantia que levamos para comprar. Como

acharemos o número de objetos que podemos comprar?

2. Você pilota um avião. Ele passa sobre sete montanhas e sobre sete lagos, se

escondendo atrás das nuvens às 3 horas da tarde. Qual a idade do piloto?

3. Se 10 raposas comem 10 galinhas em 10 minutos, duas raposas comem 2

galinhas em quantos minutos?

Grupo 3

1. Quantos quilogramas de carne come, por semana, uma onça que pesa 100

quilos?

2. Uma lesma está no fundo de um poço de 6m de altura. Ela sobe 2m por dia,

pára um pouquinho, e cai 1 metro. Quantos dias ela levará para chegar ao topo do

poço?

3. O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em 1 hora ela está

cheia. Quando estará pela metade?

Grupo 4

1. Que dados necessito para saber se tive lucro ao vender uma bicicleta?

2. Um trem leva 80 minutos para ir de uma cidade a outra, mas para voltar leva 1

hora e 20 minutos. Por quê?

3. Um senhor de 80 kg e suas duas filhas com 40 kg cada uma precisam

atravessar uma ilha com um barco. Só que há um problema, o barco só suporta 80

kg. Como farão para atravessar?

Grupo 5

1. Um jovem subiu na cadeira e ficou da altura de seu pai. Qual a diferença entra a

altura do pai e a do jovem?

2. São sete irmãs, cada uma delas tem um irmão. Quantos filhos são ao todo?

3. Um tijolo pesa tanto quanto um quilograma e mais meio tijolo. Quanto pesa um

tijolo e meio?

Grupo 6

1. Um pedaço de madeira foi cortado em três partes; uma das partes medindo 80

cm de comprimento e as outras duas têm o mesmo comprimento. Qual é a medida

de cada parte?

2. Quanta terra tem um buraco de 1 metro de profundidade por 2 metros de

largura e

metro de comprimento?

3. Uma garrafa e uma rolha custam R$11,00 quando vendidas juntas. Se vendidas

separadamente, a garrafa custa R$10,00 a mais do que a rolha. Quanto custa a

rolha?

Grupo 7

1. Sabendo-se o ano atual e a idade de uma pessoa, como devemos proceder

para saber seu ano de nascimento?

2. Se juntarmos as alturas de José e Luís acharemos a altura de Carlos. Qual dos

três é mais alto?

3. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos.

Quantos gatos têm na casa?

Grupo 8

1. Há certo número de passageiros para serem transportados. Querendo calcular

o número de viagens que deverão ser feitas, que precisamos saber?

2. Em dezembro, um bancário recebe o dobro de seu ordenado mensal. Que fazer

para saber quanto recebe por mês?

3. Existem quatro pessoas para receber quatro maçãs que estão numa cesta.

Reparta as maçãs de forma que cada pessoa receba uma fruta inteira e ainda

fique uma na cesta!

4.6 Procedimentos

Deverá ser disponibilizado algum tempo para que os integrantes do grupo

possam pensar sobre as situações propostas.

Em seguida, cada grupo vai compartilhar com o restante da turma os seus

problemas e ficará responsável, de na aula seguinte ou na próxima semana,

apresentar para os demais as soluções; e, como estas, não necessariamente,

estarão corretas, todos terão a tarefa de pensar sobre as situações propostas

pelos colegas.

No decorrer da apresentação das respostas para o grupo, é necessário que

os alunos tenham a liberdade para se expressar e oportunidades de errar sem ser

ridicularizados por seus erros.

Quando as questões colocadas estiverem com respostas erradas, o

professor deve fazer questionamentos com o grupo e com a turma toda, por meio

dos quais os levarão a pensar sobre as situações e propor a solução correta.

É importante que os alunos apresentem não apenas a respostas, mas, os

caminhos que os levaram àquela solução. Nesse momento convém o professor

aproveitar para mostrar que um problema pode ser resolvido de diversas

maneiras, valorizando sempre as idéias apresentadas.


No modelo tradicional de aulas, os alunos cultivam a opinião fixa de que

problemas matemáticos somente são resolvidos com a aplicação e memorização

de regras e técnicas de cálculo. Em muitas situações, os alunos sequer lêem o

problema, apenas procuram fazer cálculos envolvendo os números que aparecem.

Como para pensar matematicamente é necessário muito mais do que isso,

é preciso, de acordo com Paraná (1998), cultivar nos estudantes a aptidão para

resolver problemas de qualquer natureza, por meio da compreensão da situação,

da análise e seleção dos dados, da formulação de estratégias de maneira

organizada e da validação dos resultados. Portanto, os problemas não

convencionais são ótimas oportunidades para desenvolver essas habilidades.

Os problemas conhecidos como “pegadinhas” ou desafios matemáticos,

estimulam o gosto pela Matemática, são estímulos para resolução de futuros

problemas mais articulados e de maior dificuldade. O fato interessante é que

envolve os demais familiares dos estudantes, pois freqüentemente, os mesmos,

por acharem interessantes, compartilham com outras pessoas.

4.8 Sugestão de outros problemas

1. Um macaco caiu no fundo de um poço com 30 metros de profundidade. Todos

os dias ele sobe 3 metros e escorrega 2. Neste ritmo quando atingirá a beirada do

buraco?

2. Qual a operação que pode substituir uma adição cujas parcelas são iguais?

3. Numa árvore pousam pássaros. Se poupassem dois pássaros em cada galho,

ficará um galho sem pássaro. Se pousar um pássaro em cada galho, ficará um

pássaro sem galho. Calcule o número de pássaros.

4. Um pastor diz para o outro: “Dê um de seus carneiros que ficamos com igual

número de carneiros”. O outro responde: “Nada disso, dê-me um de seus que

ficarei com o dobro dos seus”. Quantos carneiros tem cada um?

5. Um alfaiate tem 1 peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele

tira um pedaço de dois metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em

que dia ele fará o último corte?

6. Num jarro estão 7 amebas, elas se multiplicam tão rapidamente que dobram o

seu volume a cada minuto. Se para encher o jarro, elas levam 40 minutos, quanto

tempo levará para encher metade do jarro?

7. Se três gatos comem três ratos em três minutos, cem gatos comem cem ratos

em quantos minutos?

8. Se 2 velas queimam em duas horas, quanto tempo levará para queimar 8

velas?

4.9 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo instante, verificando se os alunos estão

interpretando e analisando os problemas com mais cuidado e se os mesmos estão

superando comportamentos como considerar que os problemas são sempre

numéricos, sempre têm solução e que todos os dados estão disponíveis.




SEED/DEPG, 1998.

5. ATIVIDADES COM O JORNAL

5.1 Objetivos

• Elaborar problemas.


• Desenvolver o hábito da leitura e da pesquisa.


As quatro operações fundamentais (adição, subtração, divisão e

multiplicação), medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

5.3 Metodologia

Atividade de Investigação e Resolução de Problemas.

5.4 Materiais

Reportagens de jornal.


A Matemática está presente em tudo em nossa vida, devendo ser

vivenciada num ambiente desafiador, despertando sempre a curiosidade dos

estudantes, estimulando sua participação, valorizando seus conhecimentos já

trazidos e ampliando-os.

Os jornais trazem constantemente notícias que envolvem números,

quantias e percentuais que podem ser utilizados no decorrer do processo de

ensino e aprendizagem. Inúmeros problemas podem ser criados a partir de

reportagens, indicativos econômicos, previsões do tempo, classificados, entre

outros.

5.5.1 Procedimentos no decorrer da aula

É possível propor que os estudantes, em grupo, façam pesquisas sobre

determinados assuntos abordados no jornal.

5.5.2 Formulação de atividades referentes às informações:

Ainda divididos em grupos, os estudantes têm a tarefa de formular

questões, e estas, após serem corrigidas, podem ser impressas e solucionadas

por todos.


Vários problemas podem ser construídos a partir do texto pesquisado pelos

estudantes. Para se utilizar a atividade sem o recorte do jornal, podem-se fazer

diversas perguntas sobre esse animal e estimular os estudantes a pesquisar sobre

ele.

5.7 Utilização do jornal:

O jornal é uma fonte inesgotável de problemas, basta verificar a situação, e

a partir dela ou de investigações relacionadas com a reportagem, inúmeras

situações matemáticas podem ser apresentadas.

A seguir algumas atividades que podem ser propostas aos estudantes após

a leitura de jornais:

• cálculo de preços de compras à vista e a prazo, com identificação da

porcentagem de aumento nas compras a prazo;

• comparação de preços de determinados produtos em vários anúncios;

• cálculo com medidas de tempo a partir de notícias de esportes;

• análise de custos com transportes e alimentação para realizar um

trabalho;

• organização de orçamentos para uma festa, procurando preços em

jornais;

• discussões sobre as contribuições oferecidas pela leitura dos

classificados, bem com a formulação de diversos problemas relacionados com os

anúncios;

• leitura e interpretação de gráficos;

• simulações de vendas de produtos anunciados, calculando descontos e

prestações;

Além dessas atividades, outras podem realizadas, como:

• cálculo de temperaturas médias;

• construção de plantas de casas a partir de anúncios dos classificados;

• análise crítica referente às oscilações sofridas pelo dólar;

• problemas relacionados com os indicativos econômicos;

5.8 Avaliação

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando se estudantes

estão demonstrando interesse nas investigações referentes ao tema, se elaboram

problemas coerentes com o estudo em questão, se interpretam corretamente as

informações para poder solucionar os problemas propostos e finalmente, se estão

utilizando corretamente os algoritmos.

6. PROBLEMAS DIVERSOS

6.1 Objetivos


• Solucionar problemas.


Interpretação de problemas, operações fundamentais (adição, subtração,

multiplicação e divisão), seqüências numéricas, raciocínio lógico e sistema

monetário.

6.3 Metodologia



Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos

problemas a seguir:

1. (OBMEP 2005) A prefeitura de certa cidade fez uma campanha que

permite trocar 4 garrafas de um litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de

leite. Quantos litros de leite podem obter uma pessoa que possua 43 dessas

garrafas vazias fazendo várias trocas?

2. Um coelho comeu 40 cenouras em um período de 5 dias. Em cada dia o

coelho comeu 2 cenouras a mais que no dia anterior. Quantas cenouras ele

comeu em cada dia?

3. Em julho de 1994, Romário estava com 28 anos, Branco com 30 anos e

Márcio Santos com 24 anos. Depois de quantos anos a soma das três idades será

igual a 100 anos?

4. Maria pretende comprar um presente no valor de 60 reais. Decidiu

economizar 1 real na 1ª semana, 2 reais na 2ª semana, 4 reais na 3ª semana e,

assim sucessivamente, sempre dobrando o valor economizado na semana

anterior. Após 6 semanas de economia, Maria poderá comprar o presente e qual

quantia ainda lhe sobrará?

Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo

possam pensar sobre a situação recebida;

Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e

discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo

problema;

Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução,

podendo-se utilizar de dramatização, desenhos ou a forma como

preferirem;


No decorrer da aula de resolução de problemas, é muito importante que os

estudantes tenham tempo suficiente para poder pensar; o trabalho em grupo é

muito produtivo, considerando que dessa forma, eles têm oportunidade de discutir,

argumentar, expor seus pontos de vista, e, principalmente ouvir.

Diante de uma resposta incorreta, é necessário fazer questionamentos, com

o objetivo que o estudante por si próprio perceba seu erro e faça as correções. É

preciso valorizar as soluções apresentadas e saber se fazer presente, não tirando

dos estudantes a oportunidade de pensar e ao mesmo tempo incentivando-os a

chegar à solução por meio de uma pergunta, uma dica ou mesmo uma restrição.

6.6 Avaliação

A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento das

duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da atividade;

também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os estudantes

argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.

Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas o

levantamento de hipóteses, as discussões, as tentativas e a busca pela resolução

do problema.


OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.

Brasília, 2005.

7. MULTIPLICAÇÕES

7.1 Objetivos

• Compreender o processo da construção da tabuada.

• Solucionar problemas envolvendo a multiplicação.

• Perceber que a Matemática é uma ciência em construção.


Tabuada, algoritmo da multiplicação e propriedades da multiplicação.

7.3 Metodologia

Resolução de problemas.

7.4 Materiais

Papel quadriculado.


Trabalhando com matérias manipuláveis e explorando jogos e situações

diversas, os estudantes poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos

fundamentais que compõem a multiplicação. O ideal seria que o estudante

chegasse na 5ª série compreendendo a tabuada, mas, como para a maior parte,

isso não ocorre, cabe ao professor desta série, propiciar oportunidades, por meio

de atividades diversas, de os estudantes compreenderem e memorizarem a

tabuada.

7.5.1 Construindo a tabuada

Por meio de desenhos e conjuntos, os estudantes poderão fazer as

seguintes representações:

É importante que o estudante perceba que a multiplicação pode ser

entendida como adição de parcelas iguais e, de acordo com a necessidade, é

possível ir fazendo os conjuntos até que os estudantes compreendam a tabuada.

7.5.2 Sistematizando a tabuada

Após a construção, feita por meio de conjuntos, é possível que os

estudantes construam uma tabuada:

Completando a tabela, diversas seqüências e regularidades podem ser

exploradas, e, espera-se que neste momento, os estudantes percebam que, por

exemplo, 5x3 é a mesma coisa que 3x5; portanto, é possível explorar a

propriedade comutativa da multiplicação. Caso os estudantes não percebam, é

possível propor a seguinte pergunta:

Quais os números da linha 2?

Quais os números da coluna 2?

Por que eles são iguais?

Outras questões podem ser propostas, como:

Quantos “doze” aparecem na tabela?Quais são as multiplicações que

resultam em 12?

E quantos “quinze”? Quantos “dezesseis”? – diversos outros números

podem ser perguntados, e, para responder, os estudantes terão que

explorar a tabuada.

7.5.3 Curiosidades da tabuada do 9

Após os estudantes compreenderem como são feitas as multiplicações para

a tabuada, que alguns “truques” podem ser usados para adquirir os resultados

mais rapidamente, antes de os mesmos serem memorizados.

Escrevendo os resultados

Ao escrever na 1ª coluna os números de 0 a 10 na ordem crescente e na 2ª

coluna, os mesmos números, mas na ordem decrescente, obtemos os produtos

resultantes da tabuada do 9:

Outra maneira de se obter a tabuada do 9, de maneira bem rápida, sem

haver necessidade de uso de registro é por meio dos dedos das mãos.

Para calcular, 9 x 8, por exemplo, usa-se o seguinte procedimento:

• Com as duas mãos abertas, esconde-se o oitavo dedo;

• Os dedos que ficarem à esquerda do dedo escondido são as dezenas,

que no caso, são 7.

• Os dedos que ficarem à direita do dedo escondido são as unidades, que

no caso, são 2.

• Portanto, obtém-se, com fácil visualização, 72.

Multiplicações por 9:

Multiplicação

Mãos

Dezenas

Unidades

Resultado

9 x 1

0

9

9

9 x 2

1

8

18

9 x 3

2 7 27

9 x 4

3

6

36

9 x 5

4

5

45

9 x 6

5

4

54

9 x 7

6

3

63

9 x 8

7

2

72

9 x 9

8

1

81

Foto: Arquivo pessoal da autora.

É importante que, de acordo com Pietro (2006), após compreendidos os

fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelos estudantes. Para

isso é oportuno utilizar jogos variados.

7.5.4 Jogo Multiplicativo

(retirado de PARANÁ, 1998)

MATERIAL: cartas que podem ser de baralho, enumeradas de 2 a 9.

OBJETIVOS: trabalhar com os alunos a memorização da tabuada, a

capacidade de análise e a tomada de decisões na resolução de problemas.

REGRAS:

• O jogo pode ser feito em grupo de 2 ou mais pessoas;

• Uma pessoa do grupo escolhe 4 cartas sem que as demais vejam;

• A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as suas

cartas;

• Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: “Você

tem duas cartas cujo produto é ___ (15, por exemplo)?”;

• O jogador com as cartas na mão responde apenas sim ou não;

• Os produtos são registrados para que os jogadores possam analisar as

tentativas bem como as respostas “sim” ou “não”;

• O vencedor é aquele que conseguir em primeiro lugar quais são todas as

cartas escolhidas;

• Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar;

7.5.5 Algoritmo da multiplicação

É necessário mostrar aos estudantes que não existe apenas uma forma de

multiplicar, que a Matemática não é um conjunto de leis únicas que têm que ser

obedecidas. A seguir, alguns modos de multiplicar:

1º Geometricamente, em papel quadriculado:

2º Fazendo a decomposição

3º Pelo algoritmo usual

7.5.6 Outras formas de multiplicar

Além do algoritmo tradicionalmente utilizado, é possível mostrar outras

formas de multiplicar, para que os estudantes percebam que a Matemática não é

uma ciência pronta e acabada, pelo contrário, é algo dinâmico, passível de erros e

correções.

Esse saber historicamente construído precisa ser trabalhado com os

estudantes para que eles possam valorizar o conhecimento, sentirem-se

motivados para resolverem problemas e fazerem uma reflexão sobre o

conhecimento contemporâneo da Matemática.

Método Egípcio

Há 2000 anos, os egípcios não sabiam a tabuada, mas tinham grande

facilidade com as duplicações.

Ex: 26 x 18

O primeiro passo é construir uma tabela de dobros para 26 (ou o 18):

Decompondo o outro número, o 18, temos 18 = 16 + 2, e, utilizando a tabela

temos: 416 + 52 = 468.

Portanto, 26 x 18 = 468.

Método utilizado na Idade Média

O Método empregado na Europa medieval era semelhante ao método

egípcio, porque também se baseava no sistema de dobros.

Para multiplicar por esse método, coloca-se os dois números lado a lado, e,

em um deles calcula-se a metade e no outro, calcula-se o dobro. Na linha que deu

metade 1, o resultado da operação está na coluna ao lado, a do dobro.

Ex: 16 x 14

Portanto, 16 x 14 = 224.

Porém, números ímpares não têm metade exata, então, é feito da seguinte

forma:

Como 13 e 3 não têm metades exatas, calcula-se a sua metade,

aproximando-se para menos. O resultado seria 288, mas, nesse caso, a ele se

somam os dois números dos dobros obtidos nas divisões que não têm metade.

Portanto, 26 x 18 = 288 + 144 + 36 = 468.

7.5.7 Jogo com multiplicação

• Forme uma dupla com um colega;

• Cada um usa um lápis de cor diferente;

• O objetivo é formar quadrados, unindo um ponto a outro (os traços que

unem os pontos não podem passar sobre os números);

• Faz-se um sorteio para ver quem começa;

• Na sua vez, o jogador deve unir dois pontos;

• Quando um jogador traçar o quarto lado do quadrado, o número que ficou

dentro deve ser anotado, para posteriormente ser multiplicado;

• Quantos acabarem os pontos a serem unidos, é só verificar quantos

quadrados cada um anotou;

• Cada jogador multiplica todos os números encontrados nos quadrados

que formou;

• Vence aquele que obtiver o maior número;

• Os números podem ser adaptados de acordo com o grau de dificuldades

dos alunos;

Jogador 1: ____________________

Nos dos quadrados: _____________

Multiplicação: __________________

Jogador 2: ____________________

Nos dos quadrados: _____________

Multiplicação: __________________

Vencedor: _____________________

OBSERVAÇÕES:

Com esse jogo podem ser trabalhadas as propriedades da multiplicação,

como, por exemplo, o elemento neutro;

Pode-se colocar o zero, para que os estudantes compreendam que a

multiplicação por zero tem sempre como resultado zero;

7.5.8 Outros problemas

1. Uma loja oferece os seguintes carros:

E as seguintes cores:

Quantas escolhas possíveis têm um consumidor?

2. (DANTE, 2004) Calcule, do modo que quiser, e responda às questões a

seguir:

a) O número de unidades em 16 dúzias:

b) O número de quilogramas em 23 arrobas:

c) O número de dias em 14 anos, incluindo 4 anos bissextos:

3. (LELLIS, 1994) Entrei em um jogo com 243 figurinhas. Na primeira hora

do jogo, dobrei o número inicial e na hora seguinte consegui multiplicar por 5 o

que eu já tinha obtido. Com quantas figurinhas saí do jogo? (Observação: neste

problema é proibido escrever qualquer coisa, exceto a resposta: você deve

resolvê-lo mentalmente.)

4. (VASCONCELOS, 2002) Carla tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias.

De quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e

um par de tênis?

7.6 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo o momento, observando não só as

atividades realizadas no caderno, mas principalmente os momentos das

correções, que podem ser feitas no quadro.

No decorrer das atividades podem ser dados os últimos problemas,

verificando não só se os estudantes conseguem interpretar e retirar os dados, mas

principalmente se compreenderam a tabuada e o algoritmo da multiplicação.


DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Editora Scipione,

1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo:

Editora Scipione, 1994.



SEED/DEPG, 1998.

PRIETO, Andréa Cristina Sória Prieto. A tabuada deve ser entendida ou

memorizada? 2006. Disponível em: http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639.

Acesso: 26 de abril. 2010.

TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois: a

construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo: Editora do Brasil, 2002.

http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639

8. PROBLEMAS COM O SISTEMA MONETÁRIO

8.1 Objetivos

• Solucionar problemas relacionados com nosso sistema monetário.

• Calcular e analisar criticamente compras à vista e a prazo.

• Utilizar corretamente os algoritmos da adição, subtração, multiplicação e

divisão.


Operações fundamentais, possibilidades leitura e escrita de números

naturais.

8.3 Metodologia


8.4 Materiais

Panfletos de ofertas e folhas de cheque.


Observe os preços e resolva as questões:

À VISTA: R$ 3.399,00

À PRAZO: R$ 5.998,50

8.5.1 Questões propostas

1. Qual o preço da televisão a prazo?

2. O preço a prazo é maior ou menor do que o preço à vista? Quanto?

3. Se o preço à vista pudesse ser dividido em 10 prestações, qual seria o

valor de cada parcela?

4. Negociando com o gerente da loja, o cliente conseguiu comprar pelo

preço à vista, com um cheque de R$699,00, e o restante em três cheques de

valores iguais para serem pagos daqui a 30, 60 e 90 dias.

a) Preencha o cheque dado como entrada pela televisão:


b) Qual o valor a ser pago em cada prestação? Preencha um cheque com esse

valor:


5. Observe o número do cheque referente a uma das prestações:

Nele há quantas:

a) unidades de milhar? __________

b) dezenas de milhar? ___________

c) dezenas? ___________________

d) centenas? __________________

e) unidades? __________________

Caso haja necessidade, utilize a tabela abaixo:

6. Caso a entrada fosse paga em dinheiro, como você pagaria essa quantia,

quais notas você usaria?

7. Compare a sua resposta com a de um colega de classe, vocês fizeram

respostas iguais?

8. A que conclusão vocês chegaram?

8.5.2 Considerações sobre a atividade

No decorrer da aula, de acordo com a turma, é necessário que se discuta

com os estudantes qual o significado dos termos: a prazo, à vista, entrada,

prestações. A partir de perguntas, pode-se discutir o que eles entendem por esses

termos, e caso haja necessidade, intervir com explicações mais claras ou propor

que os mesmos pesquisem sobre o assunto.

A partir de operações, é possível explorar os números relacionados,

trabalhando seu valor posicional, a leitura e escrita e as ordens e classes.

8.5.3 Sugestão de outras atividades

1. (LELLIS, 1994) O caixa de um banco tem em sua gaveta 25 notas de

R$50,00, 40 notas de R$10,00 e 40 notas de R$5,00. Uma pessoa está

apresentando um cheque de R$1485,00 e o caixa irá pagá-la.

a) No mínimo, quantas notas a pessoa receberá?

b) E no máximo?

2. (VASCONCELOS, 2002) Tenho R$10,00 a mais do que você. Se eu lhe

der R$2,00, com quanto ficarei a mais que você?

3. (GRASSESCHI, 1999) Escreve 15 números entre 100 e 3000:

a) Coloque-os em ordem crescente.

b) Escreva o antecessor de cada um dos números.

c) Coloque os antecessores em ordem decrescente.

8.6 Avaliação

Além da observação feita no decorrer da aula, em relação ao

preenchimento dos cheques, aos cálculos e às interpretações dos problemas, é

possível pedir aos estudantes que construam outros problemas a partir de

panfletos de ofertas e que os mesmos ou solucionem esses problemas, ou os

troquem com os colegas no decorrer da resolução.


GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA,

Aparecida Borges Dos Santos. PROMAT: Projeto Oficina de Matemática. São

Paulo, FTD, 1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo,

Editora Scipione, 1994.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo, Editora do Brasil, 2002.

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DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - … · ... à sua direita, 30 árvores. Na volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas árvores o estudante