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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
PROFESSORA PDE:
MÁRCIA ESTER CONSTANTINO
ORIENTADOR PROFESSOR DR:
EDNEI APARECIDO SANTULO JÚNIOR
TÍTULO: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM SALA
DE AULA: UMA PROPOSTA NO PRINCÍPIO DA
CONTAGEM
Maringá - Paraná
2009/2010
2
PROFESSORA PDE:
MÁRCIA ESTER CONSTANTINO
UNIDADE DIDÁTICA
Tema: Resolução de Problemas e o Princípio da
Contagem, uma abordagem metodológica no processo
ensino-aprendizagem
Título: Resolução de problemas em sala de aula: uma
proposta no princípio da contagem
Produção Didática Pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE / 2009, sob a orientação do Professor Drº Ednei Aparecido Santulo Júnior, da Universidade Estadual de Maringá.
Maringá – Paraná
2009/2010
3
IDENTIFICAÇÃO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
NOME DO PROFESSOR PDE: MÁRCIA ESTER CONSTANTINO
ORIENTADOR: PROFESSOR DRº EDNEI APARECIDO SANTULO JÚNIOR
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: COLÉGIO ESTADUAL “JOÃO DE FARIA PIOLI”
ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
NRE/MUNICÍPIO: MARINGÁ / MARINGÁ
PÚBLICO DO OBJETO DE INTERVENÇÃO: DISCENTES DA “5ª SÉRIE A” DO
ENSINO FUNDAMENTAL
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO....................................................................................................................6
OBJETIVOS..............................................................................................................................9
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO....................................................................................................10
ORIGEM DA CONTAGEM....................................................................................................11
ETAPAS...................................................................................................................................13
Primeira etapa.................................................................................................................13
Segunda etapa.................................................................................................................13
Terceira etapa..................................................................................................................14
Quarta etapa....................................................................................................................14
Quinta etapa....................................................................................................................15
Sexta etapa......................................................................................................................15
Sétima etapa....................................................................................................................15
ATIVIDADES..........................................................................................................................16
PESQUISA SOBRE AS COPAS DO MUNDO......................................................................17
OBJETIVOS...................................................................................................................17
CONTEÚDOS E OBJETIVOS......................................................................................17
I) CONTAGEM UTILIZANDO AS QUATRO OPERAÇÕES..............................................17
OBJETIVOS...................................................................................................................17
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO............................................................................19
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO.......................................................................................21
II) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM...........................................................22
OBJETIVOS...................................................................................................................22
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO.........................................................................................24
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO............................................................................25
A ÁRVORE DE POSSIBILIDADES.............................................................................26
III) PERMUTAÇÕES (ARRANJOS)......................................................................................27
OBJETIVOS...................................................................................................................27
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO............................................................................29
IV) COMBINAÇÕES..............................................................................................................30
OBJETIVOS...................................................................................................................30
5
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO............................................................................31
CURIOSIDADES....................................................................................................................32
HISTÓRIA DA COPA DO MUNDO......................................................................................34
TRABALHO EM EQUIPE......................................................................................................36
ATITUDES..............................................................................................................................36
AVALIAÇÃO..........................................................................................................................37
REFERÊNCIAS.......................................................................................................................38
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APRESENTAÇÃO
A Secretaria de Estado da Educação iniciou a partir de 2006 uma série de ações,
dentre elas o Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). O objetivo é ofertar ao
Professor PDE, através do retorno às atividades acadêmicas de sua área de formação inicial,
condições de atualização e aprofundamento de seus conhecimentos teórico-práticos,
permitindo a reflexão teórica sobre a prática para possibilitar mudanças na prática escolar;
isso implica uma nova abordagem dos conteúdos e da prática docente.
No Paraná a Secretaria de Estado de Educação atendendo o objetivo principal da
escola que é atuar na formação do cidadão. A ela (escola) cabe ensinar, garantir a
aprendizagem de habilidades e conteúdos indispensáveis para a vida em sociedade,
contribuindo para a inserção social das novas gerações. Sendo a escola pública muito
importante para a maioria da população, que tem nela o principal e às vezes o único meio de
acesso ao conhecimento, para que a escola possa cumprir efetivamente sua função social, o
Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) é uma iniciativa para melhorar a qualidade
do ensino e da aprendizagem direcionados aos alunos da rede pública do estado do Paraná.
Instalando certas condições favoráveis ao bom desenvolvimento do trabalho pedagógico,
como cursos, seminários, encontros de área, encontros de orientação, formação tecnológica.
Por sua vez, isso implica uma nova abordagem dos conteúdos e da prática docente, e assim
como a organização de um ambiente escolar desafiador, que estimule a curiosidade de
conhecer o mundo, abrindo janelas para a leitura do cotidiano das diferentes disciplinas, tendo
como base as Diretrizes Curriculares.
Integrados ao bloco do Tratamento da Informação estão estudos relativos a noções de
Estatística, de Probabilidade e de Combinatória. Esse bloco de conteúdos foi incorporado
recentemente nos currículos brasileiros e deve ser trabalhado desde os anos iniciais do ensino
fundamental até o ensino médio, sempre aprofundando as noções de matemática envolvidas.
A importância do Tratamento da Informação é reconhecida hoje nos mais diversos
campos, das pesquisas científicas e sociais ao mundo dos negócios, constituindo, assim,
ferramenta para outras disciplinas.
Esse tema permite aos professores trazerem para a sala de aula o cotidiano presente
nos diferentes meios de comunicação, tais como jornais e revistas, e na vida de seus alunos e
de sua escola.
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A Resolução de Problemas como metodologia no ensino de Matemática, e mais
especificamente no ensino de Análise Combinatória, exercita e estimula o desenvolvimento
de diversas competências nos alunos.
São elas:
• Familiarização com problemas de contagens;
• Sistematização das contagens;
• Princípio Aditivo e Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da
Contagem);
• Técnicas de resolução de problemas de contagem, sem fórmulas;
• Coleta, organização de dados e utilização de recursos visuais adequados
(fluxogramas, tabelas e gráficos) para sintetizá-los, comunicá-los e permitir a
elaboração de conclusões;
• Representação e contagem dos casos possíveis em situações combinatórias.
As atividades a serem desenvolvidas têm por objetivo explorar conceitos básicos da
Análise Combinatória, por meio de situações-problema, cuja resolução permite a
experimentação e a criação de modelos que levem a compreensão de definições de termos ou
de fórmulas que serão introduzidas em níveis de escolaridades mais avançados.
É comum que em sala de aula, no ensino de Matemática, o aluno assuma um papel
passivo no processo ensino aprendizagem, apenas aceitando regras, procedimentos, fórmula,
teoremas ensinados, mas sem de fato atribuir um significado matemático a tais elementos.
Essa falta de significado é que faz com que o aluno não seja capaz da aplicar o conteúdo
aprendido em sala de aula em situações em que a necessidade do uso de tais elementos não
esteja explícita. Tendo essa necessidade em vista, pretendemos por meio desta Produção
Didático-Pedagógica fazer da Resolução de Problemas uma metodologia de ensino, um ponto
de partida e um meio de ensinar Matemática (mais especificamente combinatória elementar),
fazendo com que o problema desencadeie o processo de construção do conhecimento,
estimulando o pensamento produtivo do aluno. A partir desse aprendizado o aluno deve
tornar-se capaz de enfrentar novas situações em outras áreas do conhecimento, uma vez que
os processos envolvidos na Resolução de Problemas de Matemática (compreensão e
interpretação, formulação de estratégias, escolha de uma estratégia, teste da estratégia
escolhida) são os mesmos envolvidos na solução de problemas em outras áreas do
8
conhecimento, mesmo até de seu cotidiano. A combinatória elementar (contagem) constitui
um tópico excelente para tal prática, pois os problemas de contagem que exigem a mesma
estratégia de solução aparecem sob os mais variados contextos. Além disso, durante o
processo de resolução de tais problemas os alunos são estimulados a reconhecer padrões de
repetição, esquematizar o raciocínio através de grafos, diagramas.
O desafio que temos pela frente é bastante grande. Nosso empenho maior ao
desenvolver essa Produção Didático-Pedagógica é o de levar cada um dos nossos alunos a
sentirem que são capazes de aprender Matemática.
Em nossa proposta de ensino com a utilização da metodologia de Resolução de
Problemas com ênfase no Princípio Fundamental da Contagem, pretendemos entre outras
coisas, contribuir para que os alunos exerçam a cidadania, capacitando-os a perceberem a
contagem presente em sua vida diária.
Na sociedade atual, capacidades como as de coletar, organizar, descrever,
representar, interpretarem dados e tomarem decisões, ou fazer previsões com base nas
informações recolhidas, adquirem inegável importância.
Acreditamos que melhorar a capacidade de ler, interpretar e resolver problemas faz
parte da construção do conhecimento matemático. Além disso, explorar assuntos do interesse
dos alunos despertará sua curiosidade, envolvendo-os numa busca por novos conhecimentos e
enriquecendo aqueles já adquiridos.
Trabalharemos o raciocínio combinatório presente no Tratamento da Informação
e em várias atividades do mundo atual. Desenvolveremos atividades que recorrem ao
pensamento combinatório e que aparecem especificamente na abordagem do princípio
multiplicativo, nos problemas de contagem e de combinação.
James Bernoulli escreveu que é fácil perceber a presença da combinatória na
variedade de obras da natureza e nas ações humanas, que constituem a maior beleza do
universo, devido à multiplicidade de diferentes modos de composição presentes nas suas
diversas partes, que podem se mesclar ou se justapor.
Esperamos que esta Produção Didático-Pedagógica nos permita aprofundar todas as
ideias, uma ou outra, ou dar prioridade a uma em relação à outra. Cabe a nós dirigirmos a
nossa prática de sala de aula, tendo este material dentre outros, para que possamos contribuir
no processo de construção do conhecimento dos alunos.
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OBJETIVOS
• Identificar os conceitos matemáticos como meios para compreender e transformar o
mundo à sua volta e perceber o caráter do jogo intelectual, característico da
Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de
investigação e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas.
• Explorar conceitos básicos de Problemas de Contagem, por meio de situações-
problemas, cuja resolução permita a experimentação e a criação de modelos que
levem a compreensão de definições de termos ou de fórmulas que serão introduzidas
em níveis de escolaridade mais avançados.
• Resolver situações problemas, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo
formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogias,
estimativas, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como
instrumentos tecnológicos disponíveis.
• Levar o aluno a lidar com situações-problemas que envolvam o princípio
multiplicativo da contagem e utilizar várias representações possíveis como: árvore de
possibilidades, tabelas e diagramas.
• Desenvolver nos alunos a familiarização com a contagem de agrupamentos de maneira
informal e direta, por exemplo, uma lista de todos os agrupamentos possíveis para
depois contá-los.
• Ampliar e dar novos significados aos números naturais por meio da resolução de
situações-problema que envolva contagens e expressem a ordenação de determinados
elementos.
• Elaboração de experimentos e simulações para estimar probabilidades e verificar
probabilidades previstas.
• Utilizar árvore das possibilidades para resolver situações-problema.
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ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A implementação do projeto será realizada no Colégio Estadual “João de Faria Pioli”
– Ensino Fundamental e Médio, envolvendo os alunos da 5ª série A (matutino) do Ensino
Fundamental.
Ao iniciar o trabalho introduzindo a contagem com os alunos, pretendemos levá-los a
perceber o que é o Princípio Fundamental da Contagem. Tal princípio procura estabelecer
qual o número de maneira que um determinado evento pode ocorrer, quando a ordem de seus
elementos é importante e quando este evento é segmentado em diversas etapas.
O raciocínio combinatório será explorado a partir de atividades relacionadas à Copa
de 2010.
O objetivo é resolver situações-problema que envolva combinações e, especialmente,
o princípio fundamental da contagem. No Ensino Fundamental pode-se trabalhar esse tópico
da Matemática, descrevendo as possibilidades.
As atividades propostas visam instalar uma dinâmica na sala de aula que favoreça as
interações, estimule a participação, mobilize interesse: parta sempre da realidade dos alunos,
investigando o que já sabem a respeito do que vai ser estudado, problematizando esse
conhecimento, apresentando diferentes desafios para ampliá-lo ou transformá-lo,
sistematizando sempre as ideias e conceitos considerados mais importantes. Devem ser
desenvolvidas de forma ativa, promovendo o debate e a busca de informações em fontes
variadas, valorizando os conceitos e as produções dos alunos, estimulando-os para que tomem
consciência de seu próprio processo de aprendizagem.
O espírito de investigação e exploração deve estar presente em todo o ensino do
Princípio Fundamental da Contagem, permite o desenvolvimento dessas capacidades, além de
alargar a visão que o jovem tem da Matemática e sua utilidade.
Ao propormos os problemas relacionados à Copa do Mundo estaremos atentos à
classe toda. Observando o envolvimento e conversando com os alunos para ver se
compreenderam o que foi proposto. Não devemos dizer o que fazer para resolver o problema;
os alunos devem buscar explorar, decidir por si mesmo o que farão.
As atividades desenvolvidas sobre o Princípio Fundamental da Contagem são
simples, mas significativas, para que os alunos em situações do cotidiano desenvolvam
habilidades verbais e de representação gráfica e simbólica, bem como, estratégias de
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resolução de problemas. A estratégia de trabalho que faremos visa recorrer ao contexto da
Copa do Mundo para dar significado ao princípio fundamental da contagem, pois a Copa do
Mundo é um contexto natural para introduzir a necessidade da contagem e encoraja os alunos
a envolver-se de forma ativa na discussão e resolução de problemas.
Quanto à ideia de combinação, os alunos devem ficar à vontade para construir seus
esquemas, o que permite desenvolver um raciocínio próprio. Nesse caso, os alunos podem e
devem trocar ideias a fim de conhecer diferentes modos de chegar ao mesmo resultado.
Após cada atividade são formuladas questões que os alunos devem responder; elas
contribuirão para a explicitação e compreensão das ideias envolvidas no texto. Trabalhar com
essas questões propicia maior aproximação dos alunos com o tema abordado e contribui para
a aprendizagem, valorizando a verbalização e dando significado às ideias envolvidas.
“É preciso contar: ovelhas, pedras, luas” – o ser humano inventou o número e um
processo de contagem – é o começo da Matemática.
Em algum momento da História, o ser humano aprendeu a contar, e foi a contagem
que produziu extraordinários efeitos na evolução dos conhecimentos científico e não-
científico acumulados em sua história. Os números constituem ferramentas fundamentais
nessa evolução.
ORIGEM DA CONTAGEM
O ato de contar e o conceito de número possivelmente surgiram bem antes dos
primeiros registros históricos, sendo bastantes vagas as hipóteses de como ocorreu esse
processo. Acredita-se que o ser humano já era capaz de contar há aproximadamente uns
50000 anos.
Há conjecturas de que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha
algum senso numérico, o que lhe conferia a noção de mais e menos quando se acrescentavam
ou se retiravam alguns objetos de uma pequena coleção. Estudos têm comprovado esse
mesmo senso também em outros animais.
12
Com a evolução gradual da sociedade, tornaram-se inevitáveis as contagens simples
devido, inclusive, às necessidades de saber quantos eram os inimigos ou de controlar a
quantidade de animais num rebanho. Essas referências permitiram inferir que a maneira mais
antiga de contar estava relacionada a registros simples, que empregavam o princípio da
correspondência biunívoca. Esses registros podiam relacionar dedos da mão, ranhuras no
barro ou numa pedra, entalhes num pedaço de madeira ou nós em uma corda ao objeto de
contagem.
Acredita-se que mais tarde sons vocais permitiram verbalizar o número de objetos de
um pequeno grupo. Ainda baseado em relatórios de antropólogos, supõe-se que com o
aprimoramento da escrita surgiram os símbolos para representar os números.
As necessidades da vida cotidiana exigiram que, a todo o momento, se fizessem
contagens. O ser humano, ainda que isolado, tinha que contar, por exemplo, a sucessão dos
dias ou determinar a quantidade de alimento necessário para seu sustento e de seus familiares.
Certamente ele se deparou com problemas, mesmo de ordem rudimentar, que necessitavam de
contagens para sua resolução. À medida que as relações sociais aumentavam, surgiam
problemas mais profundos e urgentes que demandavam respostas pelo uso de elementos
próprios do domínio humano, como a linguagem, cujo desenvolvimento foi essencial para que
surgisse o pensamento matemático abstrato.
Palavras que exprimiam idéias numéricas apareceram lentamente. Os sinais para
números provavelmente precederam as palavras para números, pois é mais fácil fazer
incisões num bastão do que estabelecer uma frase bem modulada para identificar um número.
Se o problema de linguagem não fosse tão difícil, talvez sistemas diferentes do decimal
tivessem feito maiores progressos. A base cinco , por exemplo, foi uma das que deixaram a
mais antiga evidência da escrita palpável, mas quando a linguagem se formalizou já
predominava a base 10.
É importante ressaltar que o sistema decimal e a contagem são noções matemáticas
que ajudam a resolver problemas.
Adaptado de: BOYER, Carl D. História da Matemática.
São Paulo: Edgard Blucher/ EDUSP, 1974.
13
ETAPAS
Pretendemos desenvolver o projeto em sete etapas, conforme descreveremos abaixo.
Os conceitos matemáticos são abordados por meio de situações-problema que envolva temas
do cotidiano.
• Primeira etapa:
Para introduzir o trabalho com essa temática, analisaremos problemas de contagem,
tendo em vista o contexto da Copa do Mundo; a ideia é contribuir com situações que: sejam
motivadoras e provoquem a ação, a reflexão e a troca de ideias entre alunos.
Em um primeiro momento, os alunos são convidados a opinar sobre as situações
propostas. Poderemos pedir a eles que leiam os problemas com antecedência ou que façam
uma leitura silenciosa na sala de aula e depois promover uma discussão.
• Segunda etapa:
Iniciaremos dividindo a sala em duplas, e cada grupo irá fazer uma pesquisa sobre
uma Copa do Mundo que será indicada pelo professor, relacionando alguns tópicos que
devem ser abordados nessa pesquisa, como por exemplo:
a) Onde foi realizada;
b) Total de espectadores;
c) Cidade sede e Estádios;
d) Classificação: 1º, 2º, 3º e 4º colocados;
e) Quais foram as seleções participantes;
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f) Qual foi a seleção campeã;
g) Curiosidades.
O trabalho em grupo propicia a necessária troca de informações entre os alunos,
criando situações de interação que favorecem aprendizagens significativas, cooperação e
solidariedade. A diversidade entre os alunos confere riqueza ao grupo. Aproveitaremos as
diferenças de modo a propiciar oportunidades de ajuda mútua e aprendizagem mais efetiva
para todos.
• Terceira etapa:
É importante lembrar que, na resolução de problemas que envolvam combinações, é
preciso estar atento à interpretação dos alunos, uma vez que o uso mecânico da multiplicação
pode levar a um resultado correto, porém destituído de significado. Caso seja necessário,
pode-se fazer uma tabela conforme sugerida abaixo, algumas simulações podem ser
necessárias para que todos façam as generalizações que se tem por objetivo.
Acompanharemos os grupos, observando aqueles que já procedem à discussão e
resolução das dúvidas e aqueles que ainda precisam de maior atenção. Enquanto
acompanhamos os grupos, podemos dar pistas para resolverem suas dúvidas.
• Quarta etapa:
Indicaremos o uso de diferentes recursos didáticos, pois viabilizará o trabalho com
um grupo heterogêneo de alunos e possibilitará o intercâmbio com diferentes disciplinas
(Educação Física), por exemplo. O uso de diferentes recursos e materiais visa propiciar a
aprendizagem através de várias portas de entrada, cada uma com características mais
acentuadas em determinada forma de raciocínio matemático (dedutivo, indutivo, numérico,
algébrico, geométrico, proporcional). Qualquer recurso didático deve servir para que os
alunos aprofundem e ampliem os significados das noções matemáticas.
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• Quinta etapa:
Pretendemos com estas atividades possibilitar aos alunos a compreensão de coletar,
organizar e descrever dados. As atividades relacionadas aos jogos da Copa do Mundo serão
um recurso para trabalhar com dados da realidade, além de propiciar um contexto natural para
desenvolver relações com outras áreas do currículo. Resolvendo problemas que envolvem
técnicas, conteúdos e procedimentos matemáticos em outras áreas, os alunos poderão
reconhecer a relevância e a amplitude da aplicação da Matemática.
• Sexta etapa:
É imprescindível partilhar com os alunos a análise de suas produções, num clima de
confiança e respeito, para que possam reconhecer seus avanços e dificuldades, desenvolvendo
a consciência dos progressos feitos em relação a situações anteriores. Isso ajuda a desenvolver
autonomia, perceberem-se sujeitos do processo de aprendizagem e melhorar o desempenho.
Logo, é preciso estimular a participação de todos os alunos e estar atentos às
respostas que possam indicar dúvidas ou conceitos ainda em construção.
• Sétima etapa:
Concluídas as atividades e obtidas as respostas, organizaremos uma exposição e uma
discussão sobre os resultados obtidos; incentivando a troca de informações entre os grupos,
esclarecimentos das dúvidas e finalização com um texto feito pelos grupos, avaliando o
trabalho realizado. Essa é uma etapa de sistematização de algumas ideias matemáticas
discutidas no decorrer do trabalho, especialmente combinações.
Finalmente, objetivamos com essas atividades e procedimentos que os alunos
entendam e apreciem a Matemática como um corpo coerente de conhecimentos, e que
aprendam a reconhecer e a utilizar a Matemática como uma ferramenta extremamente útil no
seu cotidiano.
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ATIVIDADES
O futebol é um esporte muito apreciado em nosso país. A maioria dos
brasileiros torce por um clube ou pela seleção nacional em uma Copa do Mundo.
Temos aqui muitos estádios. O maior deles é o Maracanã, na cidade do Rio de
Janeiro, com capacidade de aproximadamente 103.000 pessoas.
As atividades foram desenvolvidas de modo que os alunos percebam a importância
desse tema atualmente.
Os problemas de contagem objetivam levar os alunos a lidar com situações que
envolvem diferentes tipos de agrupamentos, possibilitando o desenvolvimento do raciocínio
combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo para sua aplicação no cálculo de
probabilidades, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e
esquemas sem aplicação de fórmulas.
Quanto à ideia de combinação, os alunos devem ficar à vontade para construir seus
esquemas, o que permite desenvolver um raciocínio próprio. Nesse caso, os alunos podem e
devem trocar ideias a fim de conhecer diferentes modos de chegar ao mesmo resultado.
Inicialmente, os alunos devem tentar resolver os problemas utilizando seus
conhecimentos prévios e suas estratégias pessoais e posteriormente podem discutir essas
estratégias em grupo.
Tendo como ponto de partida uma situação-problema que envolve combinações de
jogos da Copa do Mundo, os alunos são desafiados a encontrar possibilidades de um evento.
É importante dar destaque à interpretação da situação e aos modos de registro das
possibilidades, tornando a fórmula final para o cálculo do total de possibilidades uma
conseqüência natural dessa análise e interpretação.
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PESQUISA SOBRE AS COPAS DO MUNDO
OBJETIVOS
• Despertar o interesse do aluno para o tema por meio de uma discussão sobre o assunto
da pesquisa, é um momento de socialização do conhecimento e de participação ativa
do aluno na construção dos conceitos.
• Interagir com os colegas cooperativamente, em duplas ou em equipe, auxiliando e
aprendendo com eles, apresentando suas ideias e respeitando as deles, formando,
assim, um ambiente propício à aprendizagem.
É importante ressaltar que cada grupo deve elaborar adequadamente sua pesquisa e
seu modo de apresentação para que não perca o objetivo do trabalho.
CONTEÚDOS E OBJETIVOS:
I)CONTAGEM UTILIZANDO AS QUATRO OPERAÇÕES
OBJETIVOS:
• Utilização de diversos tipos de contagem fazendo uso das quatro operações.
• Valorização da resolução de problemas de contagem no dia-a-dia da sala de aula. Eles
desenvolvem a habilidade de raciocínio combinatório e a capacidade de elaborar
estratégias para a sua resolução.
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A primeira fase da Copa do Mundo é composta de 8 grupos com 4 equipes em
cada grupo. Em cada grupo, cada equipe enfrenta todas as outras uma única vez. As
duas melhores equipes de cada grupo avançam para as oitavas-de-final. Tendo em vistas
essas informações, resolva os problemas abaixo procurando explicar as contas feitas.
1ª) Quantas equipes participaram da primeira fase da Copa do Mundo?
Resposta: 8 x 4 = 32.
2ª) Quantos jogos cada equipe disputa na primeira fase?
Resposta: 4 – 1 = 3.
3ª) Quantos jogos são disputados em cada grupo?
Resposta: 3 + 2 + 1 = 6 ou (4 x 3)/2.
4ª) Quantos jogos são disputados ao total na primeira fase da Copa do Mundo?
Por exemplo:
Na 1ª fase em cada grupo haverá 6 jogos, como são 8 grupos, na 1ª fase serão:
Resposta: 6 x 8 = 48.
5ª) Quantas equipes avançam para as oitavas-de-final?
Resposta: 2 x 8 = 16 ou (32/2).
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DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO
É interessante observar que essa atividade se dará em um trabalho em grupo, o que
exigirá dos alunos o desenvolvimento de algumas habilidades essenciais nessa dinâmica,
destacando-se a troca de ideias para elaboração de estratégias de resolução e sua validação.
Durante as experiências iniciais com a solução de problemas envolvendo contagens,
é importante que o aluno encare os problemas de perspectivas diferentes, apresente e ouça
argumentos convincentes. Depois dos argumentos iniciais, o professor deverá solicitar que
haja mais discussão, para que o aluno compreenda que a questão real e importante na solução
de problemas é a consideração de uma variedade de possíveis estratégias. Além disso, o aluno
deve entender que ser um bom solucionador de problemas requer decidir se o próprio
pensamento sobre determinada situação é correto.
Mas não basta isso. É preciso refletir sobre a solução, verificar se ela é pertinente ou
não para o problema, se é mais econômica que as outras estratégias.
Após a discussão das diversas soluções apresentadas, encaminhar-se-á uma
“sistematização” de alguns métodos de resolução. O exemplo a seguir serve de ilustração.
Para se calcular o número total de jogos em um determinado grupo na primeira fase,
podemos proceder da seguinte forma:
O grupo D na Copa de 2010 é formado pelas equipes:
ALEMANHA AUSTRÁLIA SÉRVIA GANA
ALEMANHA X AUSTRÁLIA AUSTRÁLIA X SÉRVIA SÉRVIA X GANA
ALEMANHA X SÉRVIA AUSTRÁLIA X GANA
ALEMANHA X GANA
3 + 2 + 1 = 6
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Outro exemplo apresentado é uma possível resolução do problema seguinte
Na Copa do Mundo, para compor o uniforme para uma partida, cada equipe
dispõe de duas opções de camisetas, duas opções de calção e duas opções de pares de
meia. No caso do Brasil: camiseta amarela ou azul: calção azul ou branco e meias
brancas ou azuis.
De quantas maneiras diferentes é possível compor o uniforme de uma equipe?
Esquematize através de um desenho e construa uma tabela utilizando as cores da seleção
brasileira.
CAMISETA CALÇÃO MEIA AMARELA BRANCO AZUL AMARELA BRANCO BRANCA AMARELA AZUL AZUL AMARELA AZUL BRANCA AZUL BRANCO AZUL AZUL BRANCO BRANCA AZUL AZUL AZUL AZUL AZUL BRANCA
2 x 2 x 2 = 8
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO
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6ª) Responder as quatros primeiras questões supondo que em vez de 4, cada grupo possuísse 5
equipes. Fazer o mesmo para o caso em cada grupo possuísse 6 equipes.
Resposta: Utilizando os mesmos raciocínios, para 5 equipes teríamos, respectivamente, 40, 4,
10 e 80. Para 6 equipes, 48, 5, 15 e 120.
7ª) A partir das oitavas-de-final, as equipes são agrupadas duas a duas, para disputa das
partidas daquela fase. A equipe vencedora passa para a próxima fase e a perdedora é
eliminada da Copa do Mundo (exceto nas semifinais, onde os perdedores disputam entre si o
terceiro lugar num único jogo também). De posse dessas informações, quantos jogos forma
disputados ao total numa Copa do Mundo?
Resposta: 48 + 8 + 4 + 2 + 2 = 64.
8ª) Se na Copa do Mundo todas as equipes se enfrentassem uma única vez, quantos seriam os
jogos disputados? Se a cada semana fosse possível realizar 32 jogos, quanto tempo demoraria
a competição?
Resposta: 31 + 30 + 29 + ... + 2 + 1 = 496.496/32 = 15 semanas e meia, aproximadamente 3
meses e 18 dias.
9ª) Se toda a competição, fosse mata-mata (perdeu, está fora) quantos jogos teria a Copa do
Mundo?
10ª) Seria possível realizar uma competição toda mata-mata na época em que o número de
participantes era de 24 equipes? De que maneira?
11ª) Se a Copa do Mundo fosse por pontos corridos, como o Campeonato Brasileiro, mas cada
equipe enfrentando apenas uma vez cada uma das outras equipes, quantos jogos seriam
necessários?
12ª) O sorteio que determina a formação dos grupos para a Copa do Mundo foi realizado no
dia 4 de setembro de 2009. O sorteio ocorre da seguinte forma. Um papel contendo o nome de
cada equipe é colocado numa bola. As 32 bolas são distribuídas em quatros urnas numeradas
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de 1 a 4. A urna 1 contém os 8 cabeças-de-chave: África do Sul, Alemanha, Argentina, Brasil,
Espanha, Holanda, Inglaterra e Itália. A urna 2 contém 8 equipes européias. A urna 3 contém
5 equipes africanas e 3 sul-americanas. A urna 4 contém 3 equipes das Américas Central e do
Norte, 3 equipes asiáticas e 2 da Oceania. Se não houvesse restrições, de quantos modos
diferentes poderia se formar esse grupo?
Sabendo que duas equipes sul-americanas não podem ficar no mesmo grupo, de quantos
modos diferentes poderia ter sido formado o grupo da seleção brasileira?
Resposta: 8 x 8 x 8 x 8 = 4096. 8 x 5 x 8 = 320.
II) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
OBJETIVOS:
• Resolução de situações-problema que envolvam combinações e especialmente, o
princípio fundamental da contagem. No Ensino Fundamental pode-se trabalhar esse
tópico da Matemática, descrevendo as possibilidades (diagrama de árvore ou
diagrama das possibilidades) sem, necessariamente, utilizar fórmulas.
• Propor de uma forma desafiadora e motivadora a resolução de problemas envolvendo
a contagem de diferentes tipos de agrupamento, utilizando simplesmente os alicerces
da análise combinatória, princípio multiplicativo e princípio aditivo.
1ª) Quantas classificações finais diferentes podem ocorrer num mesmo grupo (1º, 2º, 3º, 4º)?
2ª) Num estádio de futebol da cidade de Joanesburgo, existem 6 entradas, A, B, C, D, E, e F e
4 saídas, M, N, O e P.
Pedro foi assistir a um jogo da seleção brasileira nesse estádio.
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α) Que possibilidade de escolha ele terá, se entrar por A e usar uma das saídas?
AM AN AO AP
Resposta: 4 possibilidades.
β) Escolhendo qualquer uma das entradas e qualquer uma das saídas, quantas são as
possibilidades de entrar e sair desse estádio?
χ) Represente as soluções num diagrama-árvore de possibilidades.
3ª) Uma confecção vai receber uma encomenda para fazer bonés da seleção brasileira de três
tamanhos diferentes: P (pequeno), M (médio), G (grande). Cada tamanho deverá ter cinco
cores: branco, preto, verde, amarelo e azul. Quantos bonés diferentes a confecção terá de
fazer?
Faça a árvore de possibilidades.
4ª) De quantas maneiras é possível compor o uniforme do Brasil sem que todas as peças
sejam da mesma cor?
Resposta: 8 – 1 = 7.
5ª) De quantas maneiras é possível compor o uniforme do Brasil sem que quaisquer duas
peças sejam da mesma cor?
Resposta: 2.
6ª) Sabendo que o primeiro jogo das oitavas foi entre o primeiro colocado do grupo A e o
segundo colocado do grupo B, quantas possibilidades havia para a formação desse confronto?
Resposta: 4 x 4 = 16
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7ª) Repita o exercício anterior sabendo que as equipes classificadas de cada grupo (sem saber
as colocações) foram Uruguai e México no grupo A e Argentina e Coréia do Sul no grupo B.
Resposta: 2 x 2 = 4.
8ª) Durante a primeira fase, o Brasil enfrentou a equipe da Costa do Marfim, cujas
possibilidades de uniforme são: camiseta laranja ou listrada verde e branca; calção laranja ou
verde; meias laranjas ou brancas. Se o Brasil e a Costa do Marfim não podem se enfrentar
usando, respectivamente, camisetas amarelas e laranja, nem ambas as equipes de meias
brancas; de quantas maneiras é possível compor os uniformes das duas equipes para o jogo?
Resposta: 2 x 4 x 2 = 16.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
9ª) Refaça os problemas de 4 e 5, supondo 4 opções de cores para cada peça: verde, amarelo,
azul e branco. Procure esquematizar seu raciocínio através de um desenho/diagrama.
Resposta: 60 e 24.
10ª) Ao enfrentar outra equipe na Copa sem que haja restrições na escolha das cores dos
uniformes, quantas possibilidades há para compor o uniforme das duas equipes?
Resposta: 8 x 8 = 64.
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DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO
Nesse estudo de resolução de problemas, especificamente o Princípio Fundamental
da Contagem (P F C) pretende-se que os alunos, após analisarem diferentes tipos, verifiquem
que existem problemas que podem ser resolvidos buscando-se neles regularidades.
O que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de
termos ou de fórmulas, mas a compreensão dessa ideia, ressaltando o caráter aleatório de
muitos dos acontecimentos do cotidiano.
Todos os problemas desta etapa podem ser resolvidos através do princípio
fundamental da contagem. Após a discussão das soluções enfatizaremos esse aspecto, como
no exemplo a seguir.
Quantas classificações finais diferentes podem ocorrer num mesmo grupo (1º, 2º, 3º,
4º)?
No grupo A, por exemplo, temos as equipes:
África do Sul (A) México (M) Uruguai (U) França (F)
O número de possibilidades diferentes para essa classificação pode ser calculando por meio de
um esquema que facilite a compreensão.
1º COLOCADO 2º COLOCADO 3º COLOCADO 4º COLOCADO
ÁFRICA DO SUL MÉXICO URUGUAI FRANÇA
ÁFRICA DO SUL MÉXICO FRANÇA URUGUAI
ÁFRICA DO SUL URUGUAI MÉXICO FRANÇA
ÁFRICA DO SUL URUGUAI FRANÇA MÉXICO
ÁFRICA DO SUL FRANÇA URUGUAI MÉXICO
ÁFRICA DO SUL FRANÇA MÉXICO URUGUAI
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Os alunos poderão listar todas as possibilidades e depois contar, e por dedução após ter
feito uma, usando o mesmo raciocínio, como são 4 equipes, multiplicar por 4 e terão as
possibilidades de classificação do 1º, 2º, 3º e 4º lugar.
Resposta: 4 x 3 x 2 x 1 = 24
A ÁRVORE DE POSSIBILIDADES
Para a resolução deste problema:
Para formar o diagrama, conhecido como árvore de possibilidades, temos que tomar as
seguintes decisões:
a) Escolher uma das quatros equipes África do Sul (A), México (M), Uruguai (U),
França (F) para ocupar o primeiro lugar no grupo.
b) Escolher uma das três equipes restantes para ocupar o segundo lugar na classificação.
c) Escolher uma das equipes restantes para ocupar o terceiro lugar na classificação.
d) Ocupar o lugar na classificação com a única equipe restante.
É possível escolher diferentes caminhos para resolver o problema e chegar à mesma solução.
Denominamos de árvore de possibilidades o esquema desenvolvido para mostrar todas as
possibilidades de um acontecimento.
Chamando de A, M, U e F os quatro primeiros classificados, e considerando que a disputa
está com essas mesmas equipes, podemos trocar as posições:
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Figura 1: Árvore de possibilidades.
III) PERMUTAÇÕES (ARRANJOS)
OBJETIVOS
• Desenvolvimento de capacidades como: identificar, formular, ler e resolver
problemas; identificar padrões, fazer generalizações; elaborar conjecturas, usar
modelos, fatos, contra-exemplos e argumentos lógicos para validar, ou não, uma
conjectura.
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A importância do trabalho com padrões e com a observação de regularidades é
reconhecida pela sua contribuição do conceito de número e das propriedades numéricas.
À medida que os alunos buscam regularidades, eles aprendem a fazer suas próprias
investigações sobre os conceitos matemáticos, ensaiam possíveis organizações e tentam
verificar se elas se conservam em todos os casos.
1ª) Chamamos ANAGRAMA um agrupamento de letras (com ou sem sentido).
Determine o número de maneiras diferentes de dispor as letras das palavras:
a) COPA b) MUNDO
Em seguida, escreva todas as maneiras diferentes de colocar as letras da palavra COPA.
2ª) Segundo as regras, na Copa do Mundo a mesma equipe deve jogar os três primeiros jogos
em estádios diferentes. Sabendo que são dez o número de estádios na Copa de 2010 na África
do Sul. Quais são as possibilidades que cada equipe tem para se apresentar na 1ª fase.
3ª) Considerando que um jogador não jogará a 5ª partida da sua equipe por ter recebido 2
cartões amarelos em partidas diferentes (o 2º cartão na última partida disputada). Quais as
possibilidades para os jogos em que ele recebeu cartão amarelo?
4ª) A equipe brasileira de futebol em um dos jogos da Copa 2010, ensaiou cobranças de falta
com seus 3 atacantes: Robinho, Luiz Fabiano, Nilmar. A jogada ensaiada consiste em 3
etapas: o primeiro jogador toca a bola para um companheiro; este apenas pára a bola e sai para
que o terceiro jogador chute em direção ao gol.
De quantos modos diferentes eles podem realizar essa jogada?
5ª) Os meninos da classe: ____________,___________,___________,____________e
______________vão formar uma equipe de futsal e usar camisas numeradas de 1 a 5. Uma
vez escolhido os jogadores, de quantos modos é possível distribuir as camisas entre eles?
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Resposta: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
6ª) Numa partida de futebol, cada equipe inicia com 11 jogadores em campo. Se o técnico
deseja que cada um desses jogadores use uniformes numerados de 1 a 11, de quantos modos é
possível distribuir os uniformes entre os 11 jogadores? E se o goleiro necessariamente ficar
com a camiseta número 1?
Resposta: 11 x 10 x 9 x 8 x ... x 2 x 1 = 39.916.800; 3.628.800.
7ª) De quantas maneiras é possível distribuí-las se o goleiro ficar com a número 1; os
defensores com as camisetas 2, 3, 4 e 6; os meio-campistas ficarem com os números 5, 7, 8 e
10; e os atacantes com as camisas 9 e 11?
Resposta: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 1152.
8ª) A equipe de arbitragem de uma partida de futebol é formada por quatro pessoas; 1 árbitro
principal, 2 auxiliares e 1 árbitro reserva. De quantas maneiras pode-se distribuir essas
funções entre quatro pessoas?
Resposta: 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO
É importante dar destaque à interpretação da situação e aos modos de registro das
possibilidades, tornando a fórmula final para o registro dessas possibilidades uma
conseqüência natural dessa análise e interpretação.
É fundamental analisar as resoluções apresentadas para notar se os alunos estão
interpretando as situações adequadamente.
Não é necessário que descrevam as possibilidades em todos os casos, mas é
interessante desenvolverem modos de registro das possibilidades.
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IV) COMBINAÇÕES
OBJETIVOS
• Exploração dos conceitos básicos de Problemas de Contagem, por meio de situações-
problema, cuja resolução permita a experimentação e a criação de modelos que levem
a compreensão de definições de termos ou de fórmulas que serão introduzidas em
níveis de escolaridade mais avançados.
A descoberta de regularidades, a análise e uso de padrões tornam disponíveis aos
alunos recursos que permitem formular leis gerais num processo de busca de generalizações.
1ª) Observe e responda a questão:
COPA DO MUNDO 2010
Quartas-de-finalUruguai 1 Semi-finalGana 1 UruguaiHolanda 2 Holanda FINALBrasil 1 CAMPEÃO
ArgentinaAlemanhaParaguaiEspanha
De quantas maneiras diferentes poderia ocorrer a final?
2ª) Na Copa de 2010, em cada grupo de 4 equipes, duas se classificam para as oitavas-de-
final. Tomando o exemplo do grupo A formado por África do Sul, México, Uruguai e França.
De quantas maneiras podemos escolher duas equipes dentre essas quatro?
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3ª) Nas eliminatórias sul-americanas das 10 equipes: Argentina, Bolívia, Brasil, Chile,
Colômbia, Equador, Paraguai, Peru, Uruguai e Venezuela – cinco se classificaram para a
Copa. De quantas maneiras podemos escolher 5 equipes dentre essas 10?
4ª) Na última Copa do Mundo participaram cinco equipes sul-americanas dentre as 10 que
disputaram as eliminatórias (Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Equador, Paraguai,
Peru, Uruguai e Venezuela). De quantos modos é possível escolher 5 dentre essas 10 equipes?
Resposta: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252.
5ª) Para as oitavas-de-final se classificaram duas equipes de cada grupo. De quantos modos
diferentes podem ser compostas as equipes para as oitavas-de-final, independentemente da
colocação obtida no grupo?
6ª) Nas semifinais participaram quatro equipes, sendo duas dentre os grupos A, B, C e D e
duas dentre os grupos E, F, G ou H. Quantas possibilidades há para os quatro semifinalistas?
Resposta: (16 x 15/2)²= 14400.
7ª) Cada equipe na Copa do Mundo possui à sua disposição 23 jogadores. No caso do Brasil
eram 3 goleiros, 8 defensores, 8 meio-campistas e 4 atacantes. Se para iniciar uma partida a
equipe deve contar com 1 goleiro, 4 defensores, 4 meio-campistas e 2 atacantes; quantas
possibilidades há para a escalação da equipe?
Resposta: 3 x (8 x 7 x 6 x 5/(4 x 3 x 2 x 1))² x (4 x 3/2) = 88200.
DISCUSSÃO / SISTEMATIZAÇÃO
Quanto a ideia de combinação, os alunos devem ficar à vontade para construir seus
esquemas, o que permite desenvolver um raciocínio próprio. Os alunos podem e devem trocar
ideias a fim de conhecer diferentes modos de chegar ao mesmo resultado.
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Por meio de uma situação contextualizada, retoma-se a ideia de possibilidades,
ampliando e aprofundando até chegar aos cálculos de probabilidades de um evento.
A aplicação da combinatória provocará uma primeira reflexão sobre o conceito de
probabilidade. Não se tem a intenção de uma compreensão formal do conceito de
probabilidade, dada sua complexidade, mas deve-se propiciar ao aluno fazer experimentos e
analisar situações que lhe desenvolvam a intuição probabilística.
CURIOSIDADES
• (Copa de 1930) O Rei Carol II da Romênia pessoalmente selecionou os jogadores de
seu país. O primeiro gol romeno foi marcado aos 50 segundos do jogo contra o Peru.
• (Copa de 1934) Os 16 finalistas se enfrentaram em 8 jogos de eliminação simples
“morte súbita”. Os três representantes das Américas, Brasil, Argentina e Estados
Unidos foram todos eliminados logo na 1ª partida.
• (Copa de 1938) O Brasil jogou 4 jogos em apenas 7 dias (12, 14, 16, 19 de junho).
• (Copa de 1950) A Índia desistiu de participar quando foi informada de que os
jogadores não poderiam atuar descalços.
• (Copa de 1954) Na partida das quartas-de-finais entre a Áustria e a Suíça registrou-se
um novo record: a Áustria venceu por 7x5, o maior número de gols marcado em uma
partida de Copa do Mundo. A competição de 1954 registrou o maior número de gols
da história, 140 em 26 jogos (média: 5,4).
• (Copa de 1958) O 1º gol de Pelé numa Copa do Mundo foi quando o Brasil venceu o
País de Gales por 1x0 em Gotemburgo, no Estádio Nya Ullevi, no dia 19 de junho.
• (Copa de 1962) No jogo da 1ª rodada entre Thescolováquia e o México, em Viña del
Mar, em 07 de junho de 1962, o theco Masek marcou o gol mais rápido de uma Copa
do Mundo, aos 15 segundos, mas a Thecoslováquia perdeu por 3x1.
• (Copa de 1966) A Final entre a Inglaterra e a Alemanha Ocidental em 30 de julho de
1966 foi decidida nos 30 minutos de prorrogação. Foi a 1ª vez em 32 anos (desde
1934) que uma Final de Copa do Mundo teve um tempo extra.
• (Copa de 1970) O Brasil não perdeu ou empatou em nenhuma partida de Copa do
Mundo de 1970, do começo ao fim, com 6 vitórias em 6 jogos.
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• (Copa de 1974) O jogo do grupo 2 entre a Iugoslávia e o Zaire no dia 18 de junho de
1974, terminou com a vitória da Iugoslávia por 9x0. Esta foi a maior goleada da fase
final das Copas do Mundo até então.
• (Copa de 1978) Mais de cem países disputaram as eliminatórias para a Copa, dos quais
16 se classificaram para a fase final.
• (Copa de 1982) A maior goleada numa fase final da Copa do Mundo foi registrada no
jogo Hungria 10x1 sobre El Salvador em Elche, Espanha, no dia 15 de junho de
1982. Neste mesmo confronto, um jogador húngaro, Lazlo Kiss, saiu do banco de
reservas e marcou 3 gols, um caso único na história.
• (Copas de 1986) Três quartas-de-finais foram decididas por pênaltis na Copa do
Mundo de 1986, após o tempo regulamentar e os 30 minutos da prorrogação. Os
resultados foram: França 1 (4) x Brasil 1 (3); Alemanha Ocidental 0 (4) x ) (1)
México; Bélgica 1 (5) x Espanha 1 (4).
• (Copa de 1990) Os “Leões Indomáveis” dos Camarões, fizeram história ao se
tornarem os primeiros da África a se classificarem para as quartas-de-finais quando
venceram a Colômbia por 2x1 após o término da prorrogação de 30 minutos no
Estádio San Paolo em Nápoles.
• (Copa de 1994) O Brasil foi o 1º país a vencer uma Copa do Mundo por pênaltis. -
Cada jogador da Arábia Saudita ganhou de presente do Rei, um automóvel Mercedes
Benz Sedan de valor estimado em U$100.000 dólares. –A Copa do Mundo teve uma
audiência de televisão de 34 bilhões de pessoas em todo o mundo para todos os
jogos. - O Brasil foi o 1º país a vencer a Copa do Mundo quatro vezes. Foi o 1º time
a vencer a Copa em diferentes continentes (Europa, em 1958 e América, em 1962,
1970 e 1994).
• (Copa de 1998) Trinta e cinco mil torcedores japoneses foram à França apoiar as sua
equipe. Esta foi a primeira vez que os nipônicos se classificaram para a fase final da
Copa do Mundo. – O Brasil foi o 1º país a marcar mais de 1 gol numa partida de
abertura da fase final derrotando a Escócia por 2x1. Em 8 partidas de abertura de
Copas do Mundo tinha havido 4 empates em 0x0, 3 empates em 1x1 e um 1x0.
• (Copa de 2002) Os 24 heróis do “Penta” são:
Técnico: Luis Felipe “Felipão” Scolari
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Goleiros (3): Marcos, Dida e Rogério Ceni;
Defensores (8): Cafú, Lúcio, Edmilson, Roque Júnior, Roberto Carlos, Belleti,
Anderson Polga, Júnior;
Meio-de-Campo (8): Gilberto Silva, Juninho Paulista, Kléberson, Ronaldinho
Gaúcho, Kaká, Vampeta, Denílson, Ricardinho;
Atacantes (4): Rivaldo, Ronaldo, Edílson, Luizão.
• (Copa de 2006) Quatro jogadores completaram 100 jogos pelos seus países durante a
Copa: Canavarrro (ITA), Lee WoonYu (KOR), Cocu (FRA) e Milosevic (SERBIA).
– A Argentina mostrou momentos de brilhantismo e marcou o melhor da Copa
quando Cambiasso concluiu para as redes após uma troca de 24 passes, na partida
Argentina 6x0 Sérvia. – A Suíça jogou 4 partidas, venceu duas, não sofreu gols e
terminou a Copa invicta.
HISTÓRIA DA COPA DO MUNDO
De quatro em quatro anos, seleções de diversos países do mundo se reúnem para
disputar a Copa do Mundo de Futebol.
A competição foi criada pelo francês Jules Rimet, em 1928, após ter assumido o
comando da instituição mais importante do futebol mundial: a FIFA (Federation International
Footbal Associaton).
A primeira edição da Copa do Mundo foi realizada no Uruguai em 1930. Contou
com a participação de apenas 16 seleções, que foram convidadas pela FIFA, sem disputa de
eliminatórias, como acontece atualmente. A seleção uruguaia sagrou-se campeã e pôde ficar
por quatro anos, com a taça, Jules Rimet.
Nas duas copas seguintes (1934 e 1938) a Itália ficou com o título. Porém, entre os
anos de 1942 e 1946, a competição foi suspensa em função da eclosão da Segunda Guerra
Mundial.
Em 1950, o Brasil foi escolhido para sediar a Copa do Mundo. Os brasileiros ficaram
entusiasmados e confiantes no título. Com uma ótima equipe, o Brasil chegou à final contra o
Uruguai. A final realizada no recém construído Maracanã (Rio de Janeiro – RJ) teve a
presença de aproximadamente 200 mil expectadores. Um simples empate daria o título ao
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Brasil, porém a celeste olímpica uruguaia conseguiu o que parecia impossível: venceu o
Brasil por 2 a 1 e tornou-se campeã. O Maracanã se calou e o choro tomou conta do país do
futebol.
O Brasil sentiria o gosto de erguer a taça pela primeira vez em 1958, na copa
disputada na Suécia. Neste ano, apareceu para o mundo, jogando pela seleção brasileira,
aquele que seria considerado o melhor jogador de futebol de todos os tempos: Edson Arantes
do Nascimento, o Pelé.
Quatro anos após a conquista na Suécia, o Brasil voltou a provar o gostinho do título.
Em 1962, no Chile, a seleção brasileira conquistou pela segunda vez a taça.
Em 1970, no México, com uma equipe formada por excelentes jogadores (Pelé,
Tostão, Rivelino, Carlos Alberto Torres entre outros), o Brasil tornou-se pela terceira vez
campeão do mundo ao vencer a Itália por 4 a 1. Ao tornar-se tricampeão, o Brasil ganhou o
direito de ficar em definitivo com a posse da taça Jules Rimet.
Após o título de 1970, o Brasil entrou num jejum de 24 anos sem título. A conquista
voltou a ocorrer 1994, na Copa do Mundo dos Estados Unidos. Liderada pelo artilheiro
Romário, nossa seleção venceu a Itália numa emocionante disputa por pênaltis. Quatro anos
depois, o Brasil chegaria novamente a Final, porém perderia o título para o país anfitrião: a
França.
Em 2002, na Copa do Mundo do Japão / Coréia do Sul, liderada pelo goleador
Ronaldo, o Brasil sagrou-se pentacampeão ao derrotar a seleção da Alemanha por 2 a 0.
Em 2006, foi realizada a Copa do Mundo da Alemanha. A competição retornou para
os gramados da Europa. O evento foi muito disputado e repleto de emoções, como sempre foi.
A Itália sagrou-se campeã ao derrotar, na final, a França pelo placar de 5 a 3 nos pênaltis. No
tempo normal, o jogo terminou empatado em 1 a 1.
Em 2010, pela primeira vez na história, a Copa do Mundo será realizada no
continente africano.
A África do Sul será sede do evento.
Em 2014, a Copa do Mundo será realizada no Brasil. O evento retornará ao território
brasileiro após 64 anos, pois foi em 1950 que ocorreu a última copa no Brasil.
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TRABALHO EM EQUIPE
Na primeira etapa da intervenção pedagógica será proposto que os alunos, em
duplas, elaborem uma pesquisa sobre uma Copa do Mundo (cada dupla irá fazer sobre uma
Copa do Mundo), a professora dará as orientações necessárias para sua realização.
O trabalho coletivo exerce um papel fundamental no desenvolvimento de
capacidades cognitivas, de suas relações afetivas e de sua inserção social. Assim, na
elaboração da pesquisa, é importante que as duplas sejam estimuladas a desenvolver um
espírito de cooperação, buscando sempre o consenso.
Os alunos devem, também, discutir todas as dúvidas e procurar compreender o
pensamento do outro, sem deixar de apresentar suas próprias ideias.
O trabalho em equipe proposto neste momento permite aos alunos dar significado às
idéias de contagem que estão estudando, assim como colocar essas ideias em prática.
Podemos solicitar aos alunos que formem pequenos grupos e combinar um tempo
para que resolvam e, em seguida, exponham a resolução para a classe toda. Na atividade em
que o problema é encontrar a quantidade de possibilidades, é interessante que todas sejam
descritas e organizadas.
ATITUDES
• Predisposição para usar conhecimentos matemáticos como recursos para interpretar,
analisar e resolver problemas em contextos diversos.
• Valorização do trabalho coletivo, colaborando na interpretação de situações-problema,
na elaboração de estratégias de resolução e na sua validação.
• Interesse por utilizar as diferentes representações matemáticas que se adaptam com
mais precisão e funcionalidade a cada situação-problema de maneira que facilite sua
compreensão e análise.
• Reconhecimento que pode haver diversas formas de resolução para uma mesma
situação-problema e conhecê-la.
• Interesse em comparar diferentes métodos e processos na resolução de um problema,
analisando semelhanças e diferenças entre eles e justificando-os.
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• Representação e contagem dos casos possíveis em situações combinatórias.
• Busquem regularidades na ação existente quando da apresentação ou construção de
um conhecimento matemático.
• Demonstrem interesse em aprimorar a apresentação de seus trabalhos, de modo que
facilitem a análise e compreensão.
AVALIAÇÃO
Para instalar um processo contínuo de avaliação, inserido na rotina, é preciso assumir
a postura de constante observação e cuidadoso registro. Observando atentamente o
desempenho e o aproveitamento dos alunos no desenvolvimento das atividades, anotando as
observações que fizerem. Além de poderoso auxiliar da memória, o registro ajuda a organizar
o pensamento e estimula a reflexão, na medida em que obriga a verbalização e sistematização
do que foi observado.
É imprescindível partilhar com os alunos a análise de suas produções, num clima de
confiança e respeito, para que possam reconhecer seus avanços e dificuldades, desenvolvendo
a consciência dos progressos feitos em relação a situações anteriores. Isso os ajuda a
desenvolver autonomia, perceberem-se sujeitos do processo de aprendizagem e melhorar o
desempenho. O professor pode ajudá-los a refletir sobre a maneira como estão realizando as
tarefas e como podem melhorar suas competências num determinado tipo de aprendizagem.
Esse procedimento de auto-avaliação coloca o aluno na condição de olhar criticamente não só
os resultados que obteve, mas também de identificar o que aconteceu no caminho percorrido.
Nesta abordagem, pois, a avaliação é concebida e usada a favor da aprendizagem do
aluno, como instrumento auxiliar do trabalho do professor, processando-se continuamente
com a função de diagnóstico e acompanhamento.
O procedimento de registro deve ser simples, rápido e ter como base:
• As respostas dos estudantes, quando eles manifestarem de forma implícita ou explícita
suas certezas, dúvidas e erros;
• As observações das ações e discussões efetuadas durante as tarefas individuais, em
grupos pequenos ou com a classe toda;
• A análise de provas, tarefa feitas em casa, diários e trabalhos escritos.
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No processo de construção do saber matemático, os alunos são solicitados a fazer
inferências sobre o que observam, a formular hipóteses e não necessariamente encontrar a
resposta certa. Deve-se considerar na avaliação o processo e não apenas o seu resultado.
REFERÊNCIAS
História das Copas do Mundo. Disponível em:
http://www.suapesquisa.com/educacaoesportes/historiadacopa.html. Acesso em 20 de maio de
2010, às 15:00h.
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5ª série. 1ª edição, São Paulo: Moderna, 2006.
BURIASCO, Regina Luzia C. de. Algumas considerações sobre Educação Matemática.
Notas de aula. 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:
Ática, 1991.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2003.
DI PIERRO NETTO, Scipione; SOARES, Elizabeth. Matemática em atividades. São Paulo:
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MORGADO, Augusto C. de Oliveira. et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de
Janeiro: IMPA/VITAE, 1991.
39
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce S. Matemática: Ideias e Desafios. São Paulo: Saraiva,
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MUZZI, Geraldo Afonso. Brasil em todas as 19 copas do mundo 1930 – 2010. Campinas –
SP: Pontes Editora, 2009.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática da
Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008.
PARREIRA, Glaucia. Moderno Almanaque das Copas do Mundo. São Caetano do Sul –
SP: Yendis, 2006.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de
Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, 2006.
SMOLE, Kátia S; DINIZ, Maria I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre:
ARTMED, 2001.
