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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
1
O ENSINO DA ÁLGEBRA PARA ALUNOS SURDOS E OUVINTES: as
possibilidades pedagógicas da História da Matemática
Geralda de Fatima Neri Santana*
Clélia Maria Ignatius Nogueira**
Resumo
Este artigo apresenta reflexões e a socialização de resultados obtidos mediante a Implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), aplicado no Colégio Estadual Lúcia Alves de Oliveira Schoffen – Ensino Fundamental e Médio em Altônia-PR. Consta de embasamento teórico que deu sustentação à pratica pedagógica, o relato das ações de implementação que foram planejadas e desenvolvidas durante todo o processo deste estudo e aplicabilidade, e a sequência de atividades e suas respectivas considerações conforme ocorreu na implementação da proposta.Para dar conta de um ensino que contribua para quebrar as barreiras da transição entre Álgebra e Aritmética, também a barreira da comunicação com o aluno surdo (mesmo com intérprete de libras), a proposta constou da elaboração de uma sequência de atividades, buscando por meio das tendências em Educação Matemática utilizar a História da Matemática. A discussão se inicia com os porquês da origem do uso das letras, focalizando a equação do 2º grau. Na implementação pedagógica foram utilizados diversos recursos visuais e os resultados obtidos indicaram que as estratégias utilizadas em sala de aula visando a aprendizagem de alunos surdos materializa-se como meio eficaz de alcançar a aprendizagem de todos, contrariando portanto, a freqüente justificativa de que o elevado número de alunos em sala de aula os impedem de ofertar um atendimento diferenciado a estudantes inclusos.
Palavras - chave: Linguagem Algébrica; Dificuldades de Aprendizagem; Alunos
Surdos; Contextualização Histórica.
______________________
* Graduação em Ciências/Matemática e Pedagogia, pós-graduação em Ensino Especial: Visão Integradora - Ens.
Especial/Ens. Regular; Professora do Colégio Lúcia A. de O. Schoffen – E.F.M – Altônia/PR.
** Professora do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da UEM – Mestre em Matemática
pela USP e Doutora em Educação pela UNESP.
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1 Introdução
A escolha do tema surgiu de situações do cotidiano escolar, pois, ao abordar
os conteúdos da Álgebra, muitas vezes, este é tratado como um ramo da
matemática desprovido de significado e sem contextualização. Constata-se um
descontentamento tanto por parte dos alunos, que não vêem um sentido para essa
linguagem, quanto para professores que refletem sobre sua prática. Os estudantes
em geral, e especialmente alunos surdos inclusos, numa visão ingênua, utilizam a
Álgebra simplesmente como uma troca de números por letras. Esta situação também
não agrada aos professores, cujo ensino descontextualizado e sem conhecimento
das concepções trazidas pelos alunos, não apresenta a aprendizagem como retorno
do processo de ensino. Outro aspecto relevante a este estudo foi a prática de um
ensino “conteudista”, descontextualizado e sem uma abordagem reflexiva,
fortemente acentuado pelo desafio de ensinar álgebra para surdos.
A intervenção realizada abordou os conteúdos por meio de uma das
tendências metodológicas da Educação Matemática, utilizando-se da História da
Matemática como estratégia didática, pois, a abordagem histórica favorece a
integração dos novos conhecimentos com os anteriores. Para tanto, foi elaborado
uma sequência de atividades priorizando o ensino de equações do 2º grau de forma
a apresentar o conteúdo de maneira gradativa, conforme sua construção e
desenvolvimento dentro do contexto historicamente construído no decorrer do
tempo.
Devido ao conteúdo equação do 2º grau ser específico da 8ª série do Ensino
Fundamental, a implementação foi direcionada a 8ª série A, do período matutino,
com 36 alunos, na qual estudam duas alunas surdas – que, dentre outras questões,
foi o que fundamentou a pesquisa. Neste texto, no que se refere ao embasamento
teórico, apresentamos os estudos realizados para investigar as relações entre a
surdez e a elaboração dos conceitos matemáticos, no caso, conteúdos de Álgebra,
aspectos da educação dos surdos, aspectos da abordagem histórica no ensino de
Matemática. Descrevemos, também, a parte referente à implantação da proposta.
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2 Surdos e sua educação
O Surdo não é mudo, não é deficiente, não é alienado mental e também não é uma cópia mal feita do ouvinte. Ele é Surdo , humano, autor e ator de inúmeros personagens, capaz de fala (às vezes também de oralidade) e diferente numa diferença importante que se não for compreendida e atendida nas suas necessidades pode levá-lo, aí sim, a todos os predicativos depreciativos já citados (MOURA, 2000, p.144).
Buscar compreender o sujeito surdo é colocar-se a disposição para
conhecer a trajetória histórica deste grupo minoritário, bem como se deu o início a
educação dos surdos. Muitas questões necessitam de uma resposta, quando os
educadores, se deparam com um aluno surdo. Nesse sentido, MOURA (2000, p.
139) argumenta:
Afinal qual é o papel da escola? E especificamente da educação do Surdo? É oferecer uma situação onde ele possa se construir e se constituir como indivíduo capaz de comunicação, onde ele possa buscar o conhecimento, a compreensão de um mundo, que, em geral, está pouco acessível para ele. Este é também o papel da família, que está cada vez mais passando para a escola esta função na nossa sociedade, mas que no caso do Surdo se vê muitas vezes impedida de poder concretizá-la. Afinal onde está a intermediação entre ela e o Surdo? Sem acesso a uma língua que possibilite esta ponte, a realidade só pode ser apresentada de forma fragmentada. É na instituição (escolas, hospitais, Postos de Saúde) que a família pode conseguir informações sobre a forma de sobrepujar a barreira de língua ente ela e o filho Surdo. Se a escola se nega a nomear, explicar e tornar o conhecimento objeto da reflexão do Surdo, se ela não fornece para a família esta possibilidade de comunicação, ela não cumpre o que lhe é atribuído como papel.
A história da educação de surdos é de antecedentes carregados de
discussões em vários campos: literário, científico, religioso, social e político.
Desde seu início, de maneira mais sistemática, por volta do século XV, em
todo mundo, as principais discussões sobre o ensino de surdos sempre foram se
este deveria ou não se sustentar na oralidade. No Brasil a educação dos surdos teve
início em 1857, com a criação, por D.Pedro II, do Instituto Nacional de Educação de
Surdos (INES), na cidade do Rio de Janeiro. Em 1990, o estado do Paraná iniciou a
discussão sobre o uso do bilingüismo na educação do surdo e é esta a proposta
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adotada nos dias atuais. Em relação à educação do surdo, a Lei Estadual nº 12095
de 11/03/1998, em seu artigo 2º estabelece que:
A rede pública de ensino, através da SEED (Secretaria de Estado de Educação), deverá garantir acesso à educação bilíngue (Libras – Língua Brasileira de Sinais - e Língua Portuguesa) no processo ensino-aprendizagem, desde a educação infantil até os níveis mais elevados do sistema educacional, a todos os alunos portadores de deficiência auditiva (PARANÁ -LEI Nº 12.095/1998).
Em qualquer discussão sobre educação no momento atual, a questão da
inclusão está presente e embora seu principal pressuposto seja educação de
qualidade para todos, a inclusão de educandos com necessidades especiais se
destacam. Dentre esses educandos, os surdos são o segmento para o qual, a
inclusão ainda não é um tema pacífico. Afinal, se toda ação pedagógica ainda se
sustenta na transmissão oral, certamente os processos de ensino e de
aprendizagem para alunos surdos, precisa de maior atenção.
É fato que toda aprendizagem é mediada pela linguagem, entretanto, isso
não significa que essa linguagem seja exclusivamente a oral. Assim, é fundamental
que o professor, mesmo sem dominar a língua de sinais, dê atenção especial a
outras formas de linguagem que não a oral, priorizando a comunicação visual
(gestos naturais, dramatização, mímica, desenho, escrita, fotografias, recursos
tecnológicos como: vídeo, TV, pendrive, computador, slides, entre outros) de modo a
beneficiar não só os alunos surdos como também os ouvintes, facilitando a
comunicação entre professor e estudantes, de modo a favorecer os processos de
ensino e de aprendizagem. No caso específico da Matemática, sua própria
linguagem simbólica estabelece uma comunicação que atende, indistintamente a
surdos e ouvintes.
Segundo Nogueira (2009, notas de aula), é “evidente que os surdos
possuem dificuldades em absorver informações, pois as informações acústicas que
acompanham as imagens, não lhes são acessíveis”. Assim, é fundamental “interagir,
cotejar, experimentar junto aos ouvintes para entender as informações e expandi-
las”. Para isso, afirma a autora, as aulas devem sempre partir de algo que é comum
a todos os alunos e professores.
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Como fazer isso? Ainda segundo a autora, ao começar uma aula, o
professor deve conversar com seus alunos, para diagnosticar o conhecimento prévio
dos mesmos e contextualizar o conteúdo a ser ensinado; durante a aula, apresentar
muitos exemplos; questionar; instigar para conseguir a motivação necessária.
Ao final da aula, Nogueira (2009) recomenda a construção conjunta
(professor e aluno surdo ou com a turma toda) de um texto sobre a matéria
trabalhada, pois dificilmente o surdo compreenderá o conteúdo na forma como vem
apresentada no livro didático. Este texto deve ser necessariamente produzido após o
entendimento do assunto, independentemente da forma de comunicação adotada:
língua portuguesa falada, libras, dramatizações, mímicas, pantomimas, etc.
Além disso, recursos visuais como objetos, gravuras, desenhos, fotos,
vídeos, etc., desde que adequadamente utilizados são poderosos auxiliares para o
entendimento de um determinado tema.
Quando falamos na educação de surdos é necessário pensar sobre as
atitudes do professor perante estes alunos. Se ele conhecer a língua de sinais
certamente a aula tomará forma compartilhada e haverá maior interação entre
surdos e ouvintes. Mas na realidade, a maioria dos docentes desconhece a libras e,
mesmo com a presença de intérprete de língua de sinais, a utilização de recursos e
estratégias visuais que acompanham a oralidade é recomendada para favorecer a
aprendizagem do aluno surdo.
É assegurado, segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Especial
Para a Construção de Currículos Inclusivos (2006, p.54), o direito ao “profissional
intérprete de libras/língua portuguesa para surdos” como apoios especializados. A
atuação do profissional intérprete caracteriza suporte pedagógico e não o exercício
de docência; portanto, a responsabilidade pela aprendizagem do aluno é do
professor regente.
De acordo com o exposto cabe ao educador o comprometimento com a
educação do aluno surdo, não como ouvinte deficiente, mas sim como ser íntegro
respeitado em sua diferença e especificidades.
Ao percorrer a trajetória histórica do educando surdo, o que se constata é
que, mesmo com os avanços legais em favor deste grupo minoritário, a exclusão
escolar persiste como um dos problemas pedagógicos e sociais.
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O atendimento educacional a estudantes surdos em uma escola que, a
princípio foi pensada para ouvintes, não depende somente da boa vontade deste ou
daquele professor em ações isoladas, é necessário um redimensionamento do
projeto da escola, na totalidade.
3 Transição entre Aritmética e Álgebra
Como proceder diante desses entraves?
O trabalho com a Álgebra é comumente realizado de forma dissecada, sem
que se apresente o contexto das situações-problema. Um ano escolar não dá
sequência às ideias já desenvolvidas em anos anteriores, desconsiderando que a
principal dificuldade do ensino da Álgebra é a compreensão dos diferentes
significados atribuídos às letras nas expressões algébricas e que esta compreensão
necessita de tempo para se efetivar. Sendo assim, prevalecem os conceitos da
Aritmética que expressam valores numéricos específicos, enquanto a Álgebra
procura expressar o que é genérico e, portanto, relativo a vários valores numéricos
sejam eles quais forem.
Os estudos teóricos realizados indicam alguns pontos que precisam ser
abordados com bastante cuidado nas aulas de Álgebra:
• O trabalho deve ser iniciado com a “tradução” da linguagem
algébrica para a linguagem natural, ou, melhor dizendo, na “interpretação do
texto algébrico”, na leitura adequada, como no exemplo a seguir: a expressão
5b+3= 18 significa “qual é o número que multiplicado por 5 e somado com 3
resulta 18?” Dito de outra forma e é aí que a História nos é útil, apesar da
expressão se apresentar na forma simbólica, a leitura, pelo menos no início
da aprendizagem, deve ser na forma retórica.
• As expressões algébricas carecem de significado aos alunos
principiantes em Álgebra, assim, devem ser apresentadas como traduções
matemáticas de problemas escritos em linguagem natural, que é o processo
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inverso da leitura retórica da expressão anteriormente descrito, e evidenciar
que resolver a expressão algébrica significa solucionar o problema;
• A correção de tarefas, problemas e exercícios deve ser realizada
na presença dos alunos, questionando sobre o “seu raciocínio” para tal
resposta, independentemente de acertos ou erros; pois “falar sobre” o que se
está fazendo é uma das melhores formas de consolidar os conceitos
nascentes;
• Apresentar diferentes tipos de situações-problema para achar a
expressão algébrica e apresentar expressões algébricas para que os alunos
formulem problemas que possam ser representados por elas.
Lins e Gimenez (1997) destacam que a Álgebra e a Aritmética são parte da
mesma atividade, e exploram a inter-relação do ensino e aprendizagem entre elas,
pontuando a necessidade em efetuar transformações nas abordagens pedagógicas
relativas a educação matemática escolar. Os autores propõem o “desenvolvimento
de um senso numérico”, substituindo a “aprendizagem de Aritmética”, assim como, a
“produção de significados para a Álgebra em vez de “aprendizagem da Álgebra”.
4 A Matemática hoje
Onde estão sendo desenvolvidos e conservados os conhecimentos de
Matemática hoje?
A matemática hoje envolve um enorme número de pessoas fazendo muitas coisas diferentes. Em universidades e institutos de pesquisa, pesquisas altamente poderosas continuam a ampliar os limites de nosso conhecimento. Fora dos meios acadêmicos, muitas pessoas usam e desenvolvem técnicas matemáticas todo dia. Os desenvolvimentos mais excitantes, porém são talvez os ligados a outros campos. Avanços recentes da física matemática trouxeram novas e profundas questões matemáticas. A biologia matemática começa a oferecer visões interessantes e significativas. Os computadores criaram muitas questões relacionadas com codificação, criptografia e algoritmos. De um lado a matemática é vista como isotérica, amedrontadora. De outro, é tida como parte essencial da prosperidade, segurança e confortos modernos, de modo que os hábeis em matemática são tomados como recursos humanos valiosos (BERLIGHOFF, 2008, pp. 59, 60).
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Na atualidade a solução da equação do 2º grau é apresentada com a
utilização de sua fórmula resolutiva:
xb b 4ac
2a
2
=− ± −
Para Imenes e Lellis (2006), em relação a “fórmula de Bhaskara” é essencial
apresentar a dedução da mesma, pois, para eles, “ [...] sem dúvida, a manipulação
algébrica necessária é complexa para os alunos de 8ª série e a compreensão
limitada [...]”. E ainda mais, para os referidos autores, “Fórmulas que caem do céu
sem justificativa, contrariam o espírito da Matemática e não contribuem para
desenvolver o pensamento matemático dos alunos” (IMENES, L. M. P; LELLIS,
M.C., 2006, p.45).
5 Implementação da proposta: ações desenvolvidas
A apresentação da proposta para a equipe pedagógica da escola foi
realizada com o auxílio de slides durante a semana pedagógica. Foi comunicado,
também, que a implementação seria acompanhada por um aluno doutorando da
UEM (Universidade Estadual de Maringá), cujo tema de pesquisa é o ensino e
aprendizagem de Matemática para alunos surdos, mediados pelo intérprete de
língua de sinais. A proposta teve boa aceitação.
A aplicação do projeto previa aulas conjugadas, devido à utilização de
diversos recursos visuais, pois possibilitam um tempo maior, permitindo iniciar uma
atividade e, possivelmente, concluí-la.
Foi apresentado aos professores da turma o projeto de intervenção e como
se daria a implementação. Após a exposição dos objetivos do projeto, foi solicitado
permissão da presença do aluno doutorando da UEM para acompanhar em
algumas aulas o desempenho e participação das alunas surdas, sendo que a
comunicação sempre se dava por intermédio de intérprete de Libras. A
apresentação do projeto, bem como a aula inaugural, esta última com a presença de
todos os alunos envolvidos no projeto, aconteceram no Salão Nobre do colégio. O
objetivo da aula inaugural foi levar o aluno a perceber que tudo que nos cerca tem
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uma história, a começar pelo seu próprio nome. Foram apresentados slides sobre
alguns episódios da História da Matemática, com o objetivo de mostrar que também
a Matemática tem sua história, e está continuamente em construção.
A turma em que foi desenvolvido o projeto, a 8ª série A, possui 36 alunos,
dos quais duas alunas são surdas. A escola possui intérprete de língua de sinais
como apoio aos professores.
A implementação constou de 14 atividades, sendo que todas foram
desenvolvidas, alcançando os objetivos propostos. Houve tarefas individuais e
coletivas. Foram utilizados variados recursos: fita métrica, material dourado,
barrinhas cusinaire, régua, caderno quadriculado, balança de dois pratos, sites
educacionais, leitura de textos históricos, desenhos, cartazes, livros paradidáticos,
dicionário de matemática e diversos outros objetos que generalizamos como sucata.
Além da sala de aula, as atividades, dependendo de suas especificidades, foram
desenvolvidas no pátio da escola, no Salão Nobre e Laboratório de Informática.
Durante o desenvolvimento das atividades do projeto foi construído coletivamente
um “diário de classe”. A cada aula o relato ficava sob a responsabilidade de um
aluno, podendo buscar colaboração entre os colegas.
Para comemorar o dia nacional do surdo, data celebrada em 26/09, foi
organizado um encontro que contou com diversos momentos, entre eles o
depoimento das alunas surdas da 8ª série A, e de uma surda oralizada convidada.
Nos depoimentos foram ressaltadas as conquistas dos surdos e ainda as
dificuldades impostas pela barreira da comunicação. O evento contou com a
presença de professores do colégio, representantes do Núcleo Regional de
Educação, Escola de Surdos de Umuarama, surdos adultos e adolescentes
acompanhados de seus familiares, alunos da 8ª série A e seus pais. Neste evento, a
intérprete de Libras teve participação fundamental, “interpretando” os depoimentos
dos surdos, apresentados em sua língua natural, a Libras – Língua Brasileira de
Sinais.
No decorrer do desenvolvimento das atividades de implementação, o aluno
doutorando da UEM acompanhou as aulas, observando as mediações feitas pela
intérprete de Libras, que buscava transmitir às alunas surdas os conceitos
matemáticos, no caso, a equação do 2º grau.
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As atividades avaliativas ocorreram durante a implementação, de forma a
fornecer subsídios para a ação seguinte. Foram de caráter investigatório e também
para averiguação de aprendizagem do conteúdo. Para a comunidade escolar e
também aos pais dos alunos foi organizada uma apresentação utilizando slides
versando sobre o desenvolvimento histórico da equação do 2º grau, desde sua
forma retórica, até a dedução da fórmula resolutiva. Além de slides, houve
encenações, com personagens à caráter, retratando épocas, atividades de interação
com o público e resolução de situações-problema.
6 Sequência de Atividades
Atividade 1: Eu e muitas histórias...
Cada acontecimento, fato, situa-se dentro de um contexto histórico, a
começar pela própria existência. Reflita e procure saber:
a) O que você conhece a respeito de seu próprio nome? Quem o escolheu,
qual significado?
b) Sua família tem uma tradição? Comemoram alguma data, algum
acontecimento, costumes, como por exemplo, usar roupa branca no primeiro dia do
ano? Existem tradições na sua família que você pretende dar continuidade?
História do lápis
Na internet, no site <www.faber-castell.com.br>, ou em outro correlacionado
ao assunto, podemos encontrar vários links que relatam a origem do lápis, objeto
popular, que mesmo em tempos de tecnologia moderna, garante seu espaço,
atendendo diversas necessidades de escrita.
a) Acesse o site, faça a leitura sobre a história do lápis;
b) Após a leitura, escreva sobre o que mais lhe chamou atenção;
c) Discuta com seus amigos sobre a importância de se ter uma história.
Esta foi a atividade inicial, considerada a aula inaugural do projeto. Houve
participação bastante significativa de todos, tanto dos alunos como dos convidados.
Após calorosa discussão sobre a origem e história do próprio nome e aspectos
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históricos da família, foi apresentado um conjunto de slides intitulado “Grandes
episódios da História da Matemática”, adaptado do epílogo do livro A Rainha das
Ciências, de Gilberto Garbi. Em seguida, a aula teve continuidade no Laboratório de
Informática. Foi solicitada uma consulta na internet, a fim de que os alunos
conhecessem aspectos relevantes da origem e utilidade do lápis. Neste mesmo
ambiente, reunidos em pequenos grupos, foi discutida a questão de se ter uma
história. Na socialização com o grande grupo, chegou-se a conclusão de que tudo
tem um início e sucessão de fatos; e que, na disciplina de Matemática não é
diferente. Nesta aula, a professora PDE declamou a poesia “Nome da gente, de
Pedro Bandeira”, ressaltando a importância de se ter um nome, e o zelo por este
nome.
Atividade 2: Aprender Aritmética, Geometria e Álgebra de lá pra cá
Contexto histórico: O desenvolvimento da Matemática ao longo da história
sempre esteve ligado às necessidades da vida em sociedade. Não se sabe ao certo
quando o homem começou a fazer Matemática, os escritos mais antigos que se tem
notícia vêm do Egito. Evidências históricas demonstram que toda civilização que
desenvolveu a escrita, apresenta também algum conhecimento matemático. Estudos
de antropólogos identificaram que objetos pré-históricos interpretados como
matemáticos datam de 35 mil anos e que a Matemática, por volta do ano 5000 a.C,
já se apresentava como uma atividade específica. De lá pra cá as contribuições no
campo da Matemática se tornaram cada vez mais expressivas, e hoje, progressos
tecnológicos avançam, utilizando e aplicando cada vez mais as ideias matemáticas.
O texto apresentado aos alunos fazia uma abordagem da utilização da
Matemática na vida cotidiana, e de sua aplicação nas diversas áreas do
conhecimento humano. Uma das tarefas solicitadas foi a construção “do dicionário
de Matemática”. Cada aluno organizou este dicionário a seu critério: (no próprio
caderno, em forma de apostila, outros preferiram utilizar material já existente), de
modo que todos tinham a seu alcance, conforme a necessidade, para consulta da
definição de cada novo vocábulo específico. Este trabalho foi pensado para as
alunas surdas, que por terem a interação com o meio prejudicada, apresentam
dificuldades na construção de seu vocabulário, entretanto, ganhou a adesão
entusiasmada dos alunos ouvintes.
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Atividade 3: Álgebra: Seus significados e funções
(Seguindo sugestões de Souza&Diniz, 2003 e Andrini,2002)
1ª) Descubra a regra da sequência abaixo e continue desenhando.
a) Escreva a regra da sequência.
b) Qual o 8º elemento da sequência?
c) Qual o 14º elemento da sequência?
d) Sem desenhar, qual o elemento que ocupa o 20º lugar da sequência?
e) Qual a figura que ocupará a 71ª posição?
2ª) Observe a sequência das figuras abaixo:
a) Qual a próxima figura da sequência? Desenhe.
b) E a seguinte? Desenhe.
c) Escreva a regra de formação dessa sequência.
d) Observando a sequência, quantos quadradinhos tem cada figura?
e) Quantos quadradinhos tem a 6ª figura da sequência?
f) E a 7ª? E a 8ª? E a 15ª?
g) Quantos quadradinhos tem uma figura numa posição qualquer?
O que se buscou desenvolver com esta atividade e a seguinte foi a ideia
básica da Álgebra, que é a generalização de padrões pela identificação de
regularidades em sequências, no caso, de figuras geométricas. No início os alunos
registravam o que percebiam, com suas próprias palavras, a intervenção se dava
para que fizessem este registro utilizando linguagem matemática, ou seja, a
linguagem algébrica.
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Atividade 4: Álgebra, generalizando
1ª) O número estacionado de carros é y. Quantos serão depois de se
colocar outro carro?
Nesta atividade o aluno vai perceber que “a letra” pode ser substituída por
um valor numérico, e que o que fazemos é uma representação simbólica. No
exemplo trabalhado, a letra representa uma variável. É necessário e importante
frisar que a letra substitui um número, partimos de uma generalização, que serve
para uma quantidade qualquer a ser calculada.
Atividade 5: Integrando Álgebra, Geometria e Aritmética.
Contexto histórico: Em 1808, no Brasil, o ensino da Matemática foi
subdividido nas disciplinas Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria. Anos
depois com a Reforma Educacional Francisco Campos em 1931, sob influência de
Euclides Roxo, (1890 – 1950), o ensino de Aritmética, Álgebra, Geometria e
Trigonometria foi unificado, na disciplina Matemática e, era desta forma que
apareciam nos livros didáticos da época. Mas, a partir de 1960 com o advento do
movimento Matemática Moderna, a Geometria ficou esquecida, de modo que fica a
impressão, para os alunos, de que os conteúdos matemáticos não se relacionam, o
que é reforçado pela apresentação fragmentada de conteúdos, perdendo a ideia do
todo. Esta situação perdura até os dias atuais, independente de recomendações
existentes nos documentos oficiais. A integração de conteúdos deve ser feita,
respeitando-se, porém as características de cada uma das partes, ou seja, o
vocabulário, a simbologia, as regras específicas, os conceitos, definições e as
normas e modos como se apresentam.
1ª) Escreva a expressão algébrica que permite calcular o perímetro.
(Seguindo sugestões de Andrini,2002 e Lorenzato,2006 com adaptações)
Utilizando essa expressão, calcule o perímetro, sendo a figura um hexágono
regular:
a = 1,5 cm a
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2ª) Observe a figura
Nela vemos três retângulos, e as medidas do comprimento de cada um
deles, ou seja:
• O primeiro retângulo mede x cm de comprimento
• O segundo retângulo mede 32 cm de comprimento
• O terceiro retângulo mede 47 cm de comprimento
a) Que interpretação você faz da figura?
b) O que representa esta letra x?
c) Como você pode calcular o valor numérico de x ?
Atividade 6
1ª) Como representar em um quadriculado: 3 x (2 + 5)? . (Esta, e as
atividades que seguem, foram retiradas de Souza e Diniz, 2003)
Então, utilizando o papel quadriculado, fica fácil verificar que:
3 x (2 + 5) = 3 x 2 + 3 x 5.
2ª) Faça um desenho representando a expressão:
a) n. (2 + 5) =
3ª) Roberto estava pesquisando um assunto de História numa enciclopédia.
Distraído em sua tarefa observou que a soma dos números da página que ele
estava lendo mais as duas páginas seguintes era 612. Qual o número da página que
Roberto estava lendo?
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a) Como você descobriu?
b) Escreva uma expressão que indique o número pensado.
4ª) Escreva a equação correspondente ao equilíbrio da balança e depois
resolva a equação, sabendo que o saco de milho pesa 12 quilos e o de arroz pesa
18 quilos.
Os exercícios explorados fazem uma integração da Álgebra, da Geometria e
da Aritmética. O contexto histórico traz uma referência de aspecto social, em que os
meios encontrados em 1808 para diferenciar os salários entre os mestres era a
abordagem dos conteúdos a ser ensinada. A utilização de material manipulável foi
importante nas duas primeiras atividades, pois os alunos fizeram medidas utilizando
a régua e a fita métrica, uma aluna surda desenvolveu estas tarefas no quadro,
demonstrando compreensão do resultado obtido. Foi possível por meio deste
exercício, justificar a operação inversa quando resolvemos uma equação do primeiro
grau. Desta forma não há necessidade de decorar regras, pois permite ao aluno
elaborar as conclusões esperadas. Além do material citado, também foram utilizados
as barrinhas cuisenaire, o caderno quadriculado, a balança de dois pratos. A
realização de tarefas com utilização de situações concretas oferecem espaço para
questionamentos por parte dos alunos, e a possibilidade de chegarem aos conceitos
matemáticos fundamentais, transferindo para linguagem matemática (linguagem
algébrica) o que aprenderam. A visualização com auxílio do papel quadriculado,
permite ao aluno “enxergar” o porquê da propriedade distributiva da multiplicação em
relação a adição, pois a não compreensão desta propriedade é uma das dificuldades
aritméticas que impedem a manipulação de expressões algébricas.
Atividade 7: Interpretando gráficos
(Seguindo sugestões de Bordeaux et tal, 1999 com adaptações)
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1ª) No gráfico abaixo estão registrados os pesos de uma gestante durante
os 5 primeiros meses de gravidez:
Observando o gráfico,
responda:
a) Nessa situação que grandezas
estão variando?
b) Com as informações que o gráfico
oferece, você pode prever o peso
que a gestante terá no 6º mês? E no
9º mês? Justifique.
c) Existe uma correspondência entre
cada mês que passa e o peso da
pessoa? Dê um exemplo.
d) É possível escrever uma
expressão que relacione o número de meses transcorridos e o peso da gestante?
Justifique sua resposta.
e) Quantos quilos a pessoa tinha quando engravidou?
O trabalho com gráficos, abre espaço para discussões que oportunizam
ações muito interessantes. Entre elas, coleta de dados de assuntos do interesse do
próprio aluno. Neste caso, as atividades eram de caráter interpretativo, ou seja,
leitura de gráficos.
Atividade 8: Da Fatoração à Equação do 2º Grau
Contexto histórico: A Aritmética é pontual e numérica, enquanto o termo
Álgebra é generalista e literal, e por sua vez a Geometria ocupa-se do estudo de
curvas, figuras planas e espaciais, isto é, das formas geométricas. Nesta atividade
iremos abordar de modo especial o estudo da equação do 2º grau, um conteúdo do
ensino de Álgebra, mas que apresenta no decorrer da História da Matemática,
maneiras diversas de resolução envolvendo a Aritmética, a Álgebra e a Geometria.
Você pode saber mais, consultando os sites: <www.matematica.br> e
<www.somatematica.com.br>
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1ª) Utilizando papel quadriculado encontre as medidas dos lados do
polígono representado por somas algébricas. (Atividades adaptadas da Coleção
Cadernos do Ensino Fundamental, nº 12, 1994)
Instruções:
a) Recorte três quadrados de medida x;
b) Recorte dois retângulos com lados medindo 1 e x;
c) Cole as peças recortadas formando um retângulo.
x
x x x 1 1
Observando a figura responda:
a) Qual o resultado da soma da área de três quadrados de lado x e dois
retângulos de lados 1 e x?
b) Qual o comprimento da figura?
c) Qual a largura da figura?
d) Então, conforme a definição de área de retângulo que expressão
algébrica podemos escrever?
2ª) Forme dupla com um colega para realizar a atividade a seguir:Instruções:
Recorte quatro retângulos, sendo:
Um retângulo de lados a (com 6 unidades de medida) e o lado x (3 unidades
de medida); Veja o desenho:
a
Um retângulo de lados b (com 2 unidades de medida) e o lado x ( com 3
unidades de medida); Veja o desenho:
X2 X
2 1x 1x X
2
x
18
b a b
Figura 1: lado congruente: x
Um retângulo de lados a (com 6 unidades de medida) e o lado y (com 1
unidade de medida); Veja o desenho:
a
Um retângulo de lados b (com 2 unidades de medida) e o lado y ( com 1
unidade de medida); Veja o desenho:
b
lado congruente: y
Figura 3 Figura 4
b
lado congruente: a lado congruente: b
Monte um retângulo maior e represente a soma dessas quatro figuras não
congruentes, mas que possuem duas a duas, um lado congruente: Veja o desenho:
y
Figura 2
a b
19
a b
Observe e responda, pela definição de área e escreva que expressão
temos:
a) na figura 1?
b) na figura2 ?
c) na figura 3 ?
d) na figura 4 ?
e) se fizermos: figura 1 + figura 2 ?
f) se fizermos figura 3 + figura 4 ?
g) se fizermos comprimento x largura ?
Considerando a propriedade comutativa, temos:
Portanto, ax + ay + bx + by = ( a + b ) . (x + y )
Foi necessário abordar as atividades de diversos modos e utilizando
materiais diferentes, sempre fazendo uma retomada do assunto, antes de
apresentar um novo conteúdo, até mesmo um novo vocábulo matemático. Para
tratar das somas algébricas, foi preciso atividades sobre área e perímetro, sempre
partindo do conhecimento aritmético, para depois o algébrico. O uso do
quadriculado, tanto para área quanto para perímetro foi importante nesta fase. Era
feito o cálculo, e a verificação “contando o número de quadradinhos”. As atividades
elaboradas em forma de situações-problema com solução geométrica inicialmente e
depois algébrica facilitaram a compreensão. Os alunos recebiam material para
montagem das figuras planas, primeiro traçavam, em seguida, recortavam e
colavam conforme as instruções . O interessante neste momento é que sabiam que
não havia uma medida determinada em centímetro, cada qual poderia utilizar do
material que dispunha, desde que as figuras apresentassem características comuns,
como por exemplo, lados congruentes.
20
Atividade 9: Produtos Notáveis
1ª) O quadrado da soma de dois números
Utilizando o material dourado, vamos determinar o valor da expressão (10 + 3 )2
Considere as seguintes figuras:
Vamos representar o número 169 com essas figuras, lembrando que 169 =
100 + 60 + 9 -= 1 centena + 6 dezenas + 9 unidades.
Assim, temos:
Aproximando essas figuras, obtemos um quadrado:
21
Observando que cada lado desse quadrado mede (10 + 3) unidades,
escrevemos:
(10 + 3)2 = 102 + 10 . 3 + 10 . 3 + 32 onde:
(10 + 3)2 é a área do quadrado
10 é o primeiro termo 3 é o segundo termo
2.(10 . 3) duas vezes o produto dos termos
A expressão (10 + 3)2 significa “ o quadrado da soma de dois termos,
no qual o primeiro é 10 e o segundo é 3”.
Observe, também, que (10 + 3)2 ≠ 102 + 32, onde: (10 + 3)2 = 132 = 169 e
102 + 32 = 109
2ª) O quadrado da soma de dois termos (Atividades adaptadas da Coleção
Cadernos do Ensino Fundamental, nº 12, 1994)
O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )2.
Pela definição de potência, temos:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Como (a + b) . (a + b) representa a área de um quadrado de lado a + b,
podemos representá-los geometricamente.
a b
a
b
22
Desmembrando temos:
A área do quadrado de lado (a + b) pode ser representada pela soma das
áreas das partes que o compõe, ou seja:
(a + b)2 = a2 + b.a + a.b + b2 ou a2 + a.b + a.b + b2 propriedade comutativa
ou a2 + 2ab + b2
Instruções: Com estas quatro figuras, monte um quadrado maior, usando os
dois quadrados e os dois retângulos sendo:
• O quadrado maior de lado a; o quadrado menor de lado b; os dois
retângulos de lados a e b
Analisando a figura formada, responda:
a) Como podemos obter a área do quadrado maior?
b) Represente esta área usando uma soma algébrica.
c) Indique a área usando uma notação de potência.
As tarefas foram primeiramente trabalhadas com enfoque aritmético e com
apoio do material dourado. O aluno, após manipular o material dourado, registrava
suas ações no papel quadriculado (demonstração geométrica) e em seguida fazia a
verificação através do cálculo e da contagem. Foi abordado o quadrado da soma de
dois termos e o quadrado da diferença de dois termos. As atividades algébricas
também representadas geometricamente por meio de diagramas possibilitam ao
aluno a construção de conceitos básicos como números e medidas. Também neste
momento, realizavam a medida dos segmentos, que podiam assumir um valor
qualquer desde que expressos na mesma unidade de medida. O uso de material
a
b
b a
a
b
a
a
b
b
b
23
com cores variadas deixava claro, a visualização do que se pretendia. Ao finalizar as
tarefas desta atividade, os alunos escreveram suas observações, pois certificaram
que havia uma regularidade, não sendo preciso “decorar” regras. Foram
apresentadas todas as formas de se obter os produtos notáveis, ou seja: utilizando
a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição; utilizando o
algoritmo; utilizando a regra prática (elaborada a partir das próprias palavras dos
alunos).
Atividade 10: O que a História conta...
Contexto histórico: A Álgebra não foi criada por uma única pessoa ou
sociedade. Ao longo da História da Humanidade, as ideias matemáticas foram e
continuam sendo experimentadas e aperfeiçoadas. O grego Diofante (325 – 409)
que viveu em Alexandria foi um dos primeiros a utilizar letras para representar
números desconhecidos, começando, portanto, a criar a notação algébrica. O jurista
francês François Viète (1540 – 1603) contribuiu significativamente para o
desenvolvimento da linguagem algébrica. E a notação que usamos hoje, quem
estabeleceu foi o matemático e também filósofo René Descartes (1596 – 1650).
Dentre os conteúdos abordados em Álgebra, a busca pela fórmula resolutiva
da equação do 2º grau, percorreu uma das mais interessantes descobertas e
contribuições na História da Matemática.
Hoje podemos traduzir por meio de uma equação (álgebra simbólica), o que
um antigo escriba da Mesopotâmia (“terra entre dois rios” ficava na Ásia, entre os
rios Tigre e Eufrates, onde hoje se localiza o Iraque), expressava somente em
palavras (álgebra retórica).
1ª) Complete o quadro, transitando entre a linguagem retórica e a linguagem
simbólica. Vamos acompanhar esta trajetória:
Linguagem retórica ou
verbal: (utilizando palavras)
Linguagem simbólica
(utilizando símbolos)
Um número cujo quadrado
é o dobro do próprio número.
x + 3x = 48
A diferença entre um
número e sua quinta parte.
24
Esta atividade de caráter informativo tem o seu valor histórico, pois
demonstra que a Equação do 2º grau, foi objeto de estudo de muitos e por longo
período, e se hoje utilizamos uma fórmula resolutiva, a História nos leva por
caminhos que muitas vezes não “queremos” trilhar, pois, sempre buscamos o
imediato.
Atividade 11: Estudando no livro Al- Jabr
Contexto histórico: O matemático árabe Mahammed ibn-Musa Al Khowarizmi
(778-850) em seu livro “Hisab Al-jarb w’al - muqabalah,” considerado um clássico da
Matemática faz uma exposição direta e clara quanto à forma de resolver equações
do 2º grau, utilizando somente palavras. Seu método consistia em “completar o
quadrado”, que significa formar o trinômio quadrado perfeito e, segundo Imenes
(1992), é um método bastante engenhoso! Al Khowarizmi estudou a álgebra
geométrica de Euclides (matemático grego) para utilizar na resolução de equações
do 2º grau. O árabe Al Khowarizmi desconhecia os números negativos, então o
método que utilizava, determinava apenas as raízes positivas e o zero.
Para você saber: Dizemos que um número é raiz ou solução de uma
equação com uma incógnita quando, colocando esse número no lugar da incógnita,
a equação torna-se uma sentença verdadeira (Cavalcante et al, 2006).
Veja como funciona o método de “completar o quadrado”na equação +
10x = 39 Primeiro se desenha um quadrado cuja área representa o termo .
O termo 10x é interpretado como a área de um retângulo de lados 10 e x.
25
Al Khowarizmi dividia esse retângulo em quatro retângulos de áreas iguais.
Em seguida, aplicava cada um desses retângulos sobre os lados do
quadrado de área
A área da figura formada é igual a + 4.2,5x =
Como = 39, a área dessa figura é 39. Em seguida, Al Khowarizmi
completava o quadrado:
O lado do quadrado é dado por:
Raiz quadrada de 64 = 8
E finalmente Al Khowarizmi deduzia a raiz da equação:
2,5 + x + 2,5 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5
x = 3 Portanto, colocando 3 no lugar de x e fazendo a soma
2,5 + x + 2,5 = 8
2,5 + 3 + 2,5 = 8 satisfaz a igualdade, porque 8vezes 8 é igual a 64, assim 3
é a solução procurada.
1ª) No Al- jabr, Al Khowarizni interpreta geometricamente equações do 2º
grau, mediante cálculos de figuras planas. Veja:
A área desse quadrado é igual
a : 39 + 4(2,5 . 2,5) =
39 + 4.6,25 =
39 + 25 = 64
A = 64
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A área desta figura é 125.
a) Para Al Khowarizmi esta figura geométrica representa uma equação do 2º
grau. Que equação é esta?
b) Completando o quadrado, descubra a raiz positiva dessa equação.
2ª) Ao realizar as propostas você observou que as equações do 2º grau
encontradas, apresentam três termos. Essas equações são classificadas como
equações do 2º grau completas.
Diante do exposto, responda::
a) Como seria uma equação do 2º grau incompleta?
b) A ausência de qual termo mudaria o grau da equação?
Para o desenvolvimento desta atividade: “Descobrir a raiz positiva da
equação do 2º grau pelo método de completar quadrados” foi utilizada a TV pendrive
para que os alunos desenvolvessem a atividade passo a passo, ou seja, liam,
copiavam e executavam a tarefa, desse modo os alunos “visualizavam” e faziam a
leitura das informações e construíam em cartolina as figuras, os cálculos solicitados
só eram apresentados depois que os alunos resolviam as questões. As mediações e
intervenções da professora PDE foram muito cuidadosas. A montagem no quadro de
giz, acompanhando passo a passo a resolução dos alunos, utilizando figuras
recortadas em tamanho grande foi bastante significativa. Foram realizadas várias
atividades, para uma aprendizagem eficiente.
Atividade 12: Equação do 2º grau... Uma receita matemática?
Contexto histórico: As equações surgiram para atender necessidades da
vida prática. Os egípcios resolviam equação de 1º grau e os povos da Babilônia,
além das equações do 1º grau, também resolviam equações do 2º grau.
O registro mais antigo de uma equação quadrática é de uma placa de argila
da Mesopotâmia, de cerca de 1700 a.C e sua solução era realizada totalmente com
27
palavras (álgebra retórica). Os chineses, os gregos, os hindus, os árabes, enfim
desde o antigo Egito até os dias atuais, encontramos diversas formas de resolver
uma equação do 2º grau.
Nos dias de hoje, podemos resolver equações do 2º grau assim;
• Isolando a incógnita: (contribui para formar a ideia do que é uma
equação); Usando a fatoração: (são dois usos fundamentais: simplificar
as expressões algébricas e ajudar a resolver equações); Obtendo um
trinômio quadrado perfeito (encontrando uma raiz positiva)
E neste caso, o que fazer? 0
O contexto histórico necessário para dar continuidade ao assunto traz uma
reflexão, na qual um fato fundamenta o outro. E agora, diante de uma equação
cujos métodos até então apresentados não dão conta da solução, surge a
necessidade de prosseguir nesta busca em que se generaliza uma forma de
resolução para qualquer que seja a equação. É necessário um método, uma fórmula
que dê conta da solução.
Atividade 13: Aprendendo com o matemático hindu Bhaskara
Contexto histórico: No século XII o matemático hindu Bhaskara
Akaria,(c.1114-1185), baseado nos estudos deixados por Al Khowarizmi, apresentou
um processo em linguagem verbal que, aperfeiçoado por outros matemáticos,
culminou na fórmula que permite encontrar as raízes (solução) das equações do 2º
grau. Os hindus aceitavam a existência de raízes reais e negativas e admitiam que
as equações de 2º grau com raízes reais que apresentassem duas raízes.
Esta fórmula, fácil, rápida, certeira que estudantes do mundo inteiro em
poucos minutos conseguem resolver problemas que envolvem uma equação do 2º
grau, recebe o nome de Fórmula Resolutiva de Equações do 2º grau,
O Brasil é o único país que tem o costume de atribuir ao método resolutivo
de equações do 2º grau, o nome “Fórmula de Bháskara”. Este hábito, tipicamente
brasileiro teve sua manifestação por volta de 1960 no livro Curso de Matemática,
para 4ª série ginasial, dos autores Benedito Castrucci e Geraldo dos Santos Lima
Filho (CARVALHO et al, 2003).
Definição: Toda equação com uma incógnita x que pode ser escrita na
forma + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ de 0, é chamada equação
28
do 2º grau. A igualdade + bx + c = 0 é chamada de forma geral da equação do
2º grau.
Conforme Imenes et al (1992, p. 29 ), “a estratégia usada para resolver as
equações de 2º grau é esta: primeiro, obtemos um quadrado perfeito em um dos
membros; depois encontramos as raízes quadradas. É como se a resolução de uma
equação de 2º grau fosse trocada pela resolução de duas de 1º grau”.
Resolveremos a equação do 2º grau genérica, isto é, a equação que
representa qualquer equação completa do 2º grau:
Transformar essa equação num trinômio quadrado
perfeito;
Multiplicam-se os dois membros da equação por 4a ; + 4abx + 4ac = 0
Subtrai-se 4ac dos dois membros da equação; + 4abx = - 4ac
Soma-se aos dois membros da equação; 4 + 4abx + = -
4ac
Fatora-se o 1º membro da equação; = - 4ac
Podemos escrever 2ax + b ±
Subtrai-se b dos dois membros da equação; 2ax = - b ±
Dividem-se os dois membros da equação por 2a . x =
O uso da Tv pendrive para apresentar o passo a passo da dedução da
fórmula resolutiva de equações do 2º grau foi um instrumento valioso. Essa
demonstração, mesmo com reprise ainda não ficou bem clara para alguns alunos,
mas, conforme Imenes e Lelis (2006), a manipulação algébrica para a dedução da
fórmula, sem dúvida é complexa para os alunos de 8ª série, porém é necessária.
Além de conhecer a fórmula, os alunos apreciarão o poder das fórmulas em geral.
Espera-se que sejam capazes de entender uma demonstração como sendo uma
argumentação lógica que justifica certo fato e perceber cadeias dedutivas (“ uma
coisa leva à outra, que leva à outra,...”).
Atividade 14: Jogando com a Matemática
1ª) Um salão retangular tem área de 204 e seu comprimento tem 5 m a
mais do que sua largura. Utilizando seus conhecimentos de Álgebra, Geometria e
Aritmética encontre as dimensões deste salão.
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As atividades escolhidas para aplicação da fórmula, apresentadas através
de situações-problema, fazem uma integração entre Álgebra, Geometria e
Aritmética, finalizando deste modo todo o desenvolvimento das atividades resolvidas
até então, com objetivo de mostrar ao aluno que é possível buscar nestes conteúdos
estruturantes as respostas solicitadas.
7 Considerações Finais
O embasamento teórico que subsidiou este projeto, bem como sua
implementação foi resultado de muitas leitura e posteriores reflexões que se aliaram
ao desejo da professora PDE de aprender e oportunizar aos alunos maneiras
realmente eficazes de elaboração de conceitos matemáticos. Mesmo com alguns
anos de prática docente, esta experiência fez com que a Professora PDE afirmasse:
“nunca mais minhas abordagens pedagógicas sobre o conteúdo equação do 2º grau
serão as mesmas.”
Foi possível constatar que, com aulas bem planejadas e elaboradas dentro do
que se pretende atingir, no caso, identificar as possibilidades de uma sequência
didática elaborada utilizando a História da Matemática como estratégia didática, para
o fazer pedagógico com a linguagem algébrica e suas aplicações, particularmente
da equação do 2º grau, para alunos surdos e ouvintes, sem particularizar o trabalho
com o aluno surdo, muito contribui para o ensinar e, consequentemente, o aprender
Matemática de todos os alunos.
A abordagem do conteúdo deste estudo é inesgotável, pois, a busca da
fórmula resolutiva de equações do 2º grau constitui uma das mais belas conquistas
da História da Matemática.
Uma das fortes razões para centrar o ensino da Matemática em seu contexto
histórico reside no fato da Álgebra ter sido pensada ao longo do tempo até alcançar
sua estrutura moderna, partindo da forma retórica ao abstrato das fórmulas. A
maneira de apresentar as atividades favoreceu a compreensão, devido a elaboração
das mesmas serem apresentadas em sequência (obedecendo a cronologia),
estarem relacionadas entre si, ou melhor, para cada atividade a ser desenvolvida já
30
havia sido retomado os pré-requisitos necessários, em relação aos conteúdos de
Números, Álgebra e Geometria.
Com esta experiência, foi possível constatar que a utilização de vários
recursos e estratégias visuais que acompanham a oralidade (objetos, desenhos,
fotos, vídeos, TV pendrive, pesquisas em sites educativos, recortes em papel
quadriculado entre outros) favorece a compreensão do significado da linguagem
algébrica e a construção de conceitos matemáticos pelos alunos.
Os resultados obtidos evidenciaram a possibilidade de realizar um trabalho
de maneira satisfatória, mesmo envolvendo um conteúdo considerado difícil, no
caso, a Álgebra, pois, utilizando-se das diversas formas de comunicação é possível
que o aluno, ouvinte ou surdo, interprete e compreenda os conceitos matemáticos.
Referências
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BERLIGHOFF, William P.; GOUVÊIA, Fernando Q. A Matemática Através dos Tempos: Um Guia Fácil e Prático Para Professores e Entusiastas. Tradução: Elza Gomide; Helena Castro. – São Paulo: Edgard Blücher, 2008. ELIANE, R. Souza e Maria Ignez de Souza V. Diniz. Álgebra: das variáveis às equações e funções . São Paulo: IME – USP _ CAEM ( Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática), 2003
FRANÇA, Elizabeth ...[et al.]. Matemática na vida e na escola / Elizabeth França... [et al.]. _ São Paulo: Editora do Brasil,1999. Outros autores: Ana Lúcia Bordeaux, Cléa Rubinstein, Elizabeth Ogliari, Gilda Portela. Obra em 4 v. Para alunos de 5ª a 8ª série.
GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática/Gilberto Geraldo Ga rbi. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. 1. Matemática – Estudo e ensino 2. Matemática – História 1.Título.
31
IMENES, Luiz Márcio Pereira, 1945. Matemática Paratodos: 8ª série: 9º ano do Ensino Fundamental / Luis Márcio Imenes & Marcelo Cestari Lellis. - São Paulo: Scpione, 2006. – (Coleção Paratodos).
LINS, Romulo Campos. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI/ Romulo Campos Lins, Joaquim Gimenez. – Campinas, SP: Papirus, 1997. – (Coleção Perspectivas em Educação Matemática). LORENZATO, Sergio. Para aprender matemática / Sergio Lorenzato. – Campinas, SP: Autores Associados,2006. ( Coleção Formação de professores). MOURA, Maria C. de. O surdo: Caminhos para uma nova identidade . Rio de Janeiro: Revinter, 2000.
OSCAR, Guelli. História da Equação do 2º Grau .São Paulo: Editora Ática,1994. – (Coleção Contando a História da matemática, vol 3)
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Matemática: 5ª. A 8ª. Série / Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Curitiba, 1994. – 100 p. – (Coleção Cadernos do Ensino Fundamental; 12).
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