Danuzia Nascimento Figueir^edo Federal da Bahia-UFBA Instituto de Matem atica e Estat stica-IME Programa de Pos-Graduac˘ ~ao em Matem atica Dissertac˘ao de Mestrado~ ... Teoria de

Universidade Federal da Bahia - UFBAInstituto de Matematica e Estatıstica - IME

Programa de Pos-Graduacao em Matematica

Dissertacao de Mestrado

Teoria de Morse

Danuzia Nascimento Figueiredo

Salvador-Bahia

Julho de 2018

Teoria de Morse


Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da

Universidade Federal da Bahia, como requisito

parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em

Matematica, aprovada em 30 de julho de 2018.

Orientador: Prof. Dr. Mathieu Molitor.

Salvador-Bahia

Julho de 2018

Teoria de Morse


Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em

Matematica, aprovada em 30 de julho de 2018.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Mathieu Molitor

UFBA

Prof. Dr. Luiz Alberto de Oliveira Silva

UFRB

Prof. Dr. Oscar Eduardo Ocampo Uribe

UFBA

3

Aos meus familiares, ma-

rido, amigos e professores.

Agradecimentos

A minha famılia, pelo incentivo, apoio e amor. Em especial, a minha mae (Eva-

nusia), ao meu pai (Divaldo) e minhas irmas (Cristiane e Angelica) que sempre estiveram

ao meu lado de maneira a deixar momentos mais leve e dias mais felizes. Obrigada por

acreditarem e torcerem muito para que este trabalho fosse concluıdo. Nao tenho palavras

para descrever o quao voces foram e sao importantes pra mim.

Ao meu marido, Edvan, meu companheiro de todas horas, por todo amor, incen-

tivo e compressao recebido durante esses dois anos de mestrado. Obrigada por estar ao

meu lado e tornar meus dias mais alegres mesmo diante de momentos difıceis e estressantes

que vivenciei no mestrado.

Minha gratidao especial ao meu orientador, Prof. Dr. Mathieu Molitor. Obrigada

por sua dedicacao, que o fez, muitas vezes, deixar de lado cuidar do seu filho ou descansar

para me orientar. Foram aproximadamente 100 reunioes que tivemos para fazer este

trabalho. Seu profissionalismo e bom humor sempre estiveram presente em todas as

reunioes, e isso contribuiu de maneira significativa para que eu pudesse expor minhas ideias

e duvidas. Obrigada pelo relacionamento saudavel durante os dois anos de mestrado.

Obrigada pela confianca, amizade e ensinamentos. Sou imensamente grata por tudo isso.

Um obrigada especial as minhas amigas e amigos, por sempre estarem ao meu

lado me apoiando e torcendo por mim, independente da distancia. Agradeco pelos bons

momentos de descontracao e comilanca. Tudo fica mais alegre e bonito com voces por

perto.

Por fim, agradeco a CAPES pelo apoio financeiro e ao PGMAT-UFBA pela opor-

tunidade de realizacao deste trabalho.

4

5

“Voce ganha forca, coragem e con-

fianca atraves de cada experiencia

em que voce realmente para e en-

cara o medo de frente.”

(Eleanor Roosevelt)

Resumo

Nesta dissertacao apresentamos uma parte da Teoria de Morse, a qual estuda

como os pontos crıticos de uma funcao definida em uma variedade afetam a forma to-

pologica desse espaco. Nosso objetivo e mostrar que toda variedade compacta sem pontos

crıticos degenerados tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo.

Palavras-chave: Teoria de Morse; CW-complexo.

6

Abstract

In this master thesis we present part of the Morse Theory. This theory studies

how the critical points of a function defined on a manifold affect the topological form

of this space. Our goal is to show that all functions without degenerate critical points

defined on a compact manifold have the same homotopy type of a CW-complex.

Keywords: Morse Theory; CW-complex.

7

Sumario

1 Introducao 10

2 Lema de Morse 12

3 Primeiro Teorema de Morse 30

4 Segundo Teorema de Morse 37

4.1 Espaco de adjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Segundo Teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Terceiro Teorema de Morse 66

5.1 CW-complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Terceiro Teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A Topologia 71

B Homotopia 75

C Variedades 89

D Matriz Hessiana 100

E Campos de Vetores e Derivacoes 105

F Curvas Integrais e Fluxos 116

Referencias 124

8

Lista de Figuras

2.1 Sela do Macaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Pontos crıticos de T2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Pontos crıticos de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Valores crıticos de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Conjuntos e0 e Mc1+ε1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Conjunto Mc2−ε2 ∪∂e1 e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Conjunto Mc2+ε2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Conjunto Mc3−ε3 ∪∂e1 e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.7 Conjunto Mc3+ε3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8 Conjunto Mc4−ε4 ∪∂e2 e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9 Conjunto Mc+ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.10 Conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.11 Conjuntos Mc+ε e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.12 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.13 Conjuntos Mc−ε e f−1([c− ε, c+ ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.14 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.15 Conjunto Mc+ε = F−1(]−∞, c+ ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.16 Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.17 Conjuntos Mc−ε, H e eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.18 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.19 Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.20 Conjunto Mc−ε ∪ eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.21 Regioes de V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.22 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.23 Grafico de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Capıtulo 1

Introducao

A Teoria de Morse foi desenvolvida pelo matematico estadunidense Harold Calvin

Marston Morse, logo apos a primeira guerra mundial. A Teoria de Morse estuda a forma

como os pontos crıticos de uma funcao definida em uma variedade (de dimensao finita

ou nao) afetam a forma topologica desse espaco. Uma consequencia classica da Teoria

de Morse, provado neste trabalho, e que toda variedade compacta tem o mesmo tipo de

homotopia que um CW-complexo. Outras aplicacoes e generalizacoes da Teoria de Morse

encontram-se, por exemplo, em [1] e [12].

O objetivo deste trabalho e apresentar os tres primeiros teoremas de Morse. Sejam

M uma variedade suave e f : M −→ R uma funcao suave. Dado a ∈ R. escrevemos

Ma = f−1(]−∞, a]). O primeiro teorema de Morse, afirma que se nao tem valores crıticos

de f em [a, b], entao Ma tem o mesmo tipo de homotopia de Mb. Se f possui um valor

crıtico nao degenerado num certo sentido (veja Definicao 2.4) em [a, b], entao o segundo

teorema de Morse nos diz que Mb tem o mesmo tipo de homotopia de Ma com uma celula

colada. Uma consequencia dos dois primeiros teoremas de Morse e o terceiro teorema de

Morse, o qual afirma que M tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo.

No capıtulo 2, introduzimos os conceitos preliminares para se estudar a Teoria

de Morse. Alguns exemplos relacionados a esses conceitos sao apresentados. Alem disso,

abordamos o primeiro resultado classico da Teoria de Morse, o Lema de Morse.

Nos capıtulos 3, 4 e 5 apresentamos e demonstramos o primeiro, segundo e terceiro

teorema de Morse, respectivamente. Nossa apresentacao segue o livro classico de Milnor

[10].

Os apendices contem resultados classicos de Geometria Diferencial e Topologia

Geral usados no texto.

Neste trabalho toda variedade e suave de dimensao finita e paracompacta (veja

detalhes nos Apendices A e C). Alem disso, assumiremos o seguinte resultado, o qual nao

demonstraremos. Toda variedade suave admite uma metrica Riemanniana ([7], p. 329).10

Capıtulo 1. Introducao 11

Para simplificar a escrita do texto, escreveremos apenas “variedade” para nos referirmos

a uma “variedade suave de dimensao finita e paracompacta” e a denotaremos por M.

As figuras foram todas feitas pela autora, usando o aplicativo GeoGebra e o

Pacote TikZ para Latex.

Capıtulo 2

Lema de Morse

O primeiro resultado classico da Teoria de Morse e o Lema de Morse, o qual mos-

tramos neste capıtulo. Dada uma funcao suave f : M −→ R, definida em uma variedade

M, o Lema de Morse nos diz que proximo de um ponto crıtico nao degenerado podemos

encontrar coordenadas locais adequadas tais que a funcao f seja uma forma quadratica.

Esse resultado sera nossa ferramenta principal para a demonstracao do Segundo Teorema

de Morse que sera abordado no capıtulo 4.

Comecamos dando algumas definicoes basicas para o nosso trabalho.

Definicao 2.1. Seja f : M → R uma funcao suave definida em uma variedade M.

(a) Dizemos que um ponto p ∈ M e um ponto crıtico de f, se a diferencial dfp :

TpM → R e nula.

(b) Dado um numero real c, diz-se que o ponto x ∈ M esta no nıvel c, relativamente

a f, quando f(x) = c. Fixado c, o conjunto dos pontos de M que estao no nıvel c e

a imagem inversa f−1(c), a qual e chamada conjunto nıvel de f.

(c) Dizemos que um numero c ∈ R e um valor crıtico de f, se todo ponto do conjunto

de nıvel f−1(c) e um ponto crıtico de f.

O conjunto dos pontos crıticos de f e denotado por Crit(f), i.e.,

Crit(f) := p ∈M | dfp = 0

Para cada ponto crıtico p ∈M de f , definimos uma forma bilinear simetrica Hessp(f) em

TpM como segue. Tome uma carta (U,ϕ) em p e para u, v ∈ TpM , defina

Hessp(f)(u, v) = d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1

p (v),

12

Capıtulo 2. Lema de Morse 13

onde d2(f ϕ)(ϕ−1(p)) denota a segunda derivada da funcao f ϕ no ponto ϕ−1(p). A

forma bilinear Hessp(f) esta bem definida (veja Lema D.2), e e chamada de Hessiana de

f em p (veja mais detalhes no Apendice D).

No que se segue E denota um espaco vetorial real de dimensao finita e E∗ denota

o dual de E. O lema a seguir sera de suma importancia para as proximas definicoes.

Lema 2.2. Sejam B = e1, . . . , em ⊂ E uma base de E e b : E × E → R uma forma

bilinear simetrica. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) o unico vetor x ∈ E tal que b(x, y) = 0 para todo y ∈ E e o vetor x = 0;

(b) a aplicacao b[ : E −→ E∗, definida por 〈b[(x), y〉 = b(x, y), para todo x, y ∈ E e um

isomorfismo linear;

(c) det[bij] 6= 0, onde [bij] e a matriz definida pelos numeros bij := b(ui, uj), com i, j ∈1, . . . ,m.

Demonstracao: (a)⇒ (b). Claramente, a aplicacao b[ : E −→ E∗ esta bem definida e e

linear. Para ver que e bijetiva, basta mostrar que e injetiva, ja que as dimensoes de E e E∗

sao iguais. Seja entao x ∈ E um vetor tal que b[(x) = 0. Isso significa que 〈b[(x), y〉 = 0

para todo y ∈ E o que implica que b(x, y) = 0 para todo y ∈ E. Pela afirmacao (a), segue

que x = 0. Assim, o nucleo de b[ e trivial, e portanto, b[ e injetiva.

(b)⇒ (a). Seja x ∈ E um vetor satisfazendo b(x, y) = 0 para todo y ∈ E. Isso implica

que 〈b[(x), y〉 = 0 para todo y ∈ E, donde b[(x) = 0. Assim x pertence ao nucleo de b[

que e trivial, ja que e um isomorfismo, e portanto x = 0.

(b)⇔ (c). Seja [aij] a matriz de b[ relativamente as bases u1, . . . , um e u∗1, . . . , u∗m(base dual). Primeiro mostremos que a matriz [aij] e igual a matriz [bij]. Por definicao,

para todo j = 1, . . . ,m,

b[(uj) =m∑k=1

akju∗k.

Dado i = 1, . . . ,m, temos entao que:

〈b[(uj), ui〉 = 〈∑m

k=1 akju∗k, ui〉

=∑m

k=1 akj〈u∗k, ui〉=

∑mk=1 akjδki

= aij.

(2.1)

Por outro lado,

〈b[(uj), ui〉 = b(uj, ui) = b(ui, uj) = bij. (2.2)


Comparando (2.1) e (2.2) deduzimos que aij = bij, para todo i, j = 1, . . . ,m, o que mostra

a afirmacao. A equivalencia entre (b) e (c) decorre imediatamente.

Definicao 2.3. Seja b : E × E → R uma forma bilinear simetrica.

(a) Dizemos que b e nao degenerada se satisfaz uma, e portanto, as tres condicoes

do Lema 2.2.

(b) Diz-se que b e definida negativa quando b(u, u) < 0 para todo vetor u 6= 0 em E.

(c) O indıce de b e a maior dimensao de um subespaco vetorial de E, restrita ao qual

b e definida negativa.

Definicao 2.4. Sejam f : M −→ R uma funcao suave e p ∈M um ponto crıtico de f.

(a) Diz-se que p e um ponto crıtico nao degenerado, se Hessp(f) e uma forma bilinear

nao degenerada. Caso contrario, diz-se que p e um ponto crıtico degenerado.

(b) Diz-se que f e uma funcao de Morse, se todo ponto crıtico de f for nao degene-

rado.

O ındice da Hessp(f) em TpM (as vezes chamado “o ındice de Morse”) sera

referido simplesmente como o ındice de f em p.

A seguir daremos um exemplo de uma funcao de Morse e outro exemplo de uma

funcao que nao e funcao de Morse.

Exemplo 2.5. Seja f : R2 −→ R a funcao definida por, f(x, y) := x3 − 3xy2. O

grafico de f (tambem conhecido como Sela do Macaco) esta na Figura 2.1. Clara-

mente f e uma funcao suave. As derivadas parciais de f no ponto (x, y) ∈ R2 sao:

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y2 e

∂f

∂y(x, y) = −6xy.

Logo, (x, y) ∈ R2 e ponto crıtico de f se, e

somente se,3x2 − 3y2 = 0

−6xy = 0,

isto e, x2 = y2

xy = 0,

Figura 2.1: Sela do Macaco.

donde, segue-se que f possui um unico ponto crıtico, o qual e (0, 0). Agora, vejamos que


(0, 0) e um ponto crıtico degenerado. As derivadas parciais de segunda ordem de f no

ponto (x, y) ∈ R2 sao:

∂f

∂x∂x(x, y) = 6x

∂f

∂y∂x(x, y) = −6y

∂f

∂x∂y(x, y) = −6y

∂f

∂y∂y(x, y) = −6x.

Como a matriz hessiana de f em (0, 0) e a matriz nula, tem-se que (0, 0) e um ponto

crıtico degenerado.

Exemplo 2.6. Seja S1 : x2 + (y −R)2 = r2 o cırculo no plano xy centrado no ponto

(0, R, 0) e de raio r, onde r e R sao numeros reais

positivos tais que 0 < r < R. Seja T2 o toro obtido

pela rotacao de S1 em torno do eixo ox (veja Figura

2.2). Vamos mostrar que a funcao f : T2 −→ Rdefinida por f(x, y, z) = z, e uma funcao de Morse.

Sabemos que T2 e uma superfıcie suave (veja [3], p.

75), e portanto, T2 e uma variedade suave. Definimos

a aplicacao ϕ : R2 −→ T2 por

ϕ(u, v) = (r sinu, (R+r cosu) cos v, (R+r cosu) sin v). Figura 2.2: Toro

Observamos que ϕ nao e uma carta de T2 e a condicao que falha e a injetividade. Alem

disso, a aplicacao ϕ e suave e para todo (a, b) ∈ R2, tem-se que dϕ(a,b) e um isomorfismo.

Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de f , basta encontrarmos os pontos crıticos

def ϕ : R2 −→ R

(u, v) 7−→ (R + r cosu) sin v.

As derivadas parciais de (f ϕ) no ponto (u, v) sao:∂(f ϕ)

∂u(u, v) = −r sin(u) sin(v)

∂(f ϕ)

∂v(u, v) = (R + r cos(u)) cos(v).

Logo, (u, v) e ponto crıtico de (f ϕ) se, e somente se,−r sin(u) sin(v) = 0 (1)

(R + r cos(u)) cos(v) = 0. (2)

Como −1 ≤ cos(u) ≤ 1 e 0 < r < R, tem-se que r cos(u) ≤ r < R, donde


(R + r cos(u)) > 0. Assim, segue-se da igualdade (2) que

v = π/2 + kπ, ∀ k ∈ Z.

Como sin(π/2 + kπ) = ±1, deve-se ter na igualdade (1) sin(u) = 0, isto e,

u = lπ, ∀ l ∈ Z.

Agora, seno e cosseno sendo funcoes periodicas de perıodo 2π, para encontrarmos os

pontos crıticos de f basta considerarmos

u = 0, π e v =π

2,3π

2.

Assim, os pontos crıticos de f sao:

p1 = ϕ(0, 3π/2)

= (r sin(0), (R+ r cos(0)) cos(3π/2), (R+ r cos(0)) sin(3π/2))

= (0, 0,−(R+ r)).

p2 = ϕ(π, 3π/2)

= (r sin(π), (R+ r cos(π)) cos(3π/2), (R+ r cos(π)) sin(3π/2))

= (0, 0,−R+ r).

p3 = ϕ(π, π/2)

= (r sin(π), (R+ r cos(π)) cos(π/2), (R+ r cos(π)) sin(π/2))

= (0, 0, R− r).p4 = ϕ(0, π/2)

= (r sin(0), (R+ r cos(0)) cos(π/2), (R+ r cos(0)) sin(π/2))

= (0, 0, R+ r). Figura 2.3: Pontos crıticos de T2.

Para verificar que os p′is, com i = 1, . . . , 4, sao pontos crıticos nao degenerados, basta

mostrar que detHesspi(f ϕ) 6= 0, para todo i = 1, . . . , 4. Um calculo direto mostra que

Hesspi(f ϕ)(u, v) =

[−r cos(u) sin(v) −r sin(u) cos(v)

−r sin(u) cos(v) −(R + r cos(u)) sin(v)

]

Entao temos:

• p1 = ϕ1(0, 3π/2) = (0, 0,−(R + r)).

Hessp1(f ϕ)(0, 3π/2) =

[r 0

0 R + r

]

Logo, detHessp1(f ϕ)(0, 3π/2) = r(R + r) 6= 0. Agora, dado w = (x, y) ∈ Tp1T2

nao nulo, tem-se que


Hessp1(f ϕ)(w,w) = rx2 + 0xy + 0yx+ (R + r)y2

= rx2 + (R + r)y2 > 0,

e portanto, o ındice de p1 e 0.

• p2 = ϕ1(π, 3π/2) = (0, 0,−R + r).

Hessp2(f ϕ)(π, 3π/2) =

[−r 0

0 R− r

]

Logo, detHessp2(f ϕ)(π, 3π/2) = −r(R− r) 6= 0. Agora, dado w = (x, y) ∈ Tp2T2

nao nulo, tem-se que

Hessp2(f ϕ)(w,w) = −rx2 + 0xy + 0yx+ (R− r)y2

= −rx2 + (R− r)y2.

Como R− r > 0, tem-se que o ındice de p2 e 1.

• p3 = ϕ2(π, π/2) = (0, 0, R− r).

Hessp3(f ϕ)(π, π/2) =

[r 0

0 r −R

]

Logo, detHessp3(f ϕ)(π, π/2) = r(r −R) 6= 0. E facil ver que o ındice de p3 e 1.

• p4 = ϕ2(0, π/2) = (0, 0, R + r).

Hessp4(f ϕ)(0, π/2) =

[−r 0

0 −(R + r)

]

Logo, detHessp4(f ϕ)(0, π/2) = r(r + R) 6= 0. E facil ver que o ındice de p4 e

2. Portanto, todos os pontos crıticos de f sao nao degenerados, e assim, f e uma

funcao de Morse.

Os proximos dois lemas serao essenciais na demonstracao do resultado principal

desse capıtulo, que e o Lema de Morse. O primeiro deles e um resultado bem interessante,

enquanto que o segundo lema e bem tecnico.

Lema 2.7. Seja V uma vizinhanca convexa de 0 em Rm e seja f : V −→ R uma funcao

suave tal que f(0) = 0. Entao

f(x1, . . . , xm) =m∑i=1

xigi(x1, . . . , xm), ∀x ∈ V,


onde gi, com i = 1, . . . ,m, e uma funcao suave definida em V e tal que gi(0) = ∂f∂xi

(0).

Demonstracao: Para cada (x1, . . . , xm) ∈ V fixo definamos

α : [0, 1] −→ V, t 7−→ (tx1, . . . , txm).

Observa-se que o caminho α e suave e esta bem definido, pois V e convexo. Pelo Teorema

Fundamental do Calculo obtemos que

1∫0

(f α)′(t)dt = f(α(1))− f(α(0)) = f(x1, . . . , xm)− f(0) = f(x1, . . . , xm).

Agora,

(f α)′(t) = dfα(t)α

′(t) =

m∑i=1

∂f

∂xi(tx1, . . . , txm)xi

Daı,

f(x1, . . . , xm) =

1∫0

m∑i=1

∂f

∂xi(tx1, . . . , txm)xidt =

m∑i=1

xi

1∫0

∂f

∂xi(tx1, . . . , txm)dt

Definamos gi(x1, . . . , xm) =1∫0

∂f∂xi

(tx1, . . . , txm). Observamos que com essa definicao a

funcao g satisfaz as condicoes desejadas, pois como a aplicacao f e suave segue que cada

derivada parcial ∂f∂xi

tambem e. E vale

gi(0) =

1∫0

∂f

∂xi(0)dt =

∂f

∂xi(0).

Lema 2.8. Sejam U ⊆ Rm um subconjunto aberto contendo o ponto 0 e f : U −→ R uma

aplicacao suave da forma:

f(z1, . . . , zm) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

zizjHij(z1, . . . , zm),

onde 1 ≤ k ≤ m, as funcoes g,Hij : U −→ R sao suaves e Hij = Hji para todo par de

ındices i, j ∈ k, . . . ,m, (se k = 1 assuma que g e a funcao constante). Se a matriz

(Hij(0)) e diferente da matriz nula, entao existem

• conjuntos abertos V, V ⊆ Rm contendo o ponto 0, com V ⊆ U ;

• um difeomorfismo ϕ : V −→ V ; e


• aplicacoes suaves Hij : V −→ R, com Hij = Hji para todo par de ındices i, j ∈k, . . . ,m,

tais que para todo (y1, . . . , ym) = y ∈ V,

(f ϕ)(y1, . . . , ym) = g(y1, . . . , yk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

yiyjHij(y1, . . . , ym) e Hkk(0) 6= 0.

Demonstracao: Como a matriz (Hij)(0) nao e a matriz nula existem ındices r e s tais

que Hrs(0) 6= 0. Assim, temos tres casos a considerar.

Caso 1: Hkk(0) 6= 0.

Como Hkk e uma funcao contınua existe um conjunto aberto V ⊆ Rm contendo o ponto

0 tal que para todo ponto x em V tem-se que Hkk(x) 6= 0. Daı tome ϕ como a aplicacao

identidade e Hij = Hij.

Caso 2: Hkk(0) = 0 e Hss(0) 6= 0 para algum ındice s ∈ k + 1, . . . ,m.Note que neste caso o tamanho da matriz (Hij(0)) e pelo menos 2× 2, pois senao seria a

matriz nula, mas isto e um absurdo. Considere ψ : Rm −→ Rm a aplicacao definida por

ψ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk−1, xs, xk+1, . . . , xs−1, xk, xs+1, . . . , xm).

Pela continuidade da funcao Hss em 0, existe um conjunto aberto V ⊆ U contendo o ponto

0 tal que para todo x ∈ V tem-se que Hss(x) 6= 0. Seja ϕ =: ψ|V : V −→ V := ψ(V ) a

restricao de ψ ao conjunto V . Restringindo o conjunto V se necessario, podemos supor

que V = ψ(V ) ⊆ U . A composta f ϕ esta bem definida no conjunto V . Logo se x ∈ Ve z ∈ V sao tais que ϕ(x) = z = (z1, . . . , zm), entao:

z1 = x1,...

zk−1 = xk−1

zk = xs,

zk+1 = xk+1,...

zs−1 = xs−1,

zs = xk,

zs+1 = xs+1,...

zm = xm.

(2.3)


Considere a permutacao σ : k, . . . ,m −→ k, . . . ,m dada por

σ(i) :=

s, se i = k;

k, se i = s;

i, se i 6= s, k.

Definimos Hij(x) := Hσ(i)σ(j)(z). Com isso, e levando em consideracao (2.3), temos:

f(ϕ(x)) = f(z) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

zizjHij(z)

= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k

(zizkHik(z) + zizsHis(z)

)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s

zizjHij(z)

= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) + zkzkHkk(z) + zszkHsk(z) + zkzsHks(z) + zszsHss(z)

+∑

i≥k+1i 6=s

(zizkHik(z) + zizsHis(z)

)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s

zizjHij(z)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xsxsHkk(z) + xkxsHsk(z) + xsxkHks(z) + xkxkHss(z)

+∑

i≥k+1i 6=s

(xixsHik(z) + xixkHis(z)

)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s

xixjHij(z)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xsxsHss(x) + xkxsHks(x) + xsxkHsk(x) + xkxkHkk(x)

+∑

i≥k+1i 6=s

(xixsHis(x) + xixkHik(x)

)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s

xixjHij(x)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

xixjHij(x),

onde Hkk(0) = Hss(0) 6= 0. Alem disso, a matriz (Hij(0)) e simetrica, pois

• Hlj = Hσ(l)j = Hlσ(l) = Hjl, com l = s, k e j ∈ k + 1, . . . , s− 1, s+ 1, . . . ,m;

• Hil = Hiσ(l) = Hσ(l)i = Hli, com l = s, k e i ∈ k + 1, . . . , s− 1, s+ 1, . . . ,m; e

• Hsk = Hks = Hsk = Hks.

Isso conclui o Caso 2.

Caso 3: Hss(0) = 0, para todo s ∈ k, . . . ,m.Sejam r, s ∈ k, . . . ,m tais que s < r e Hrs(0) 6= 0. Considere a funcao ψ : Rm −→ Rm

definida por (x1 . . . xm) 7−→ (x1, . . . , xs−1, xr − xs, xs+1, . . . , xr−1, xr + xs, xr+1, . . . , xm).

Pela continuidade da funcao Hrs em 0, existe um conjunto aberto V ⊆ U contendo o

ponto 0 tal que para todo x ∈ V tem-se que Hrs(x) 6= 0. Seja ϕ =: ψ|V : V −→ V := ψ(V )


a restricao de ψ ao conjunto V . Restringindo o conjunto V se necessario, podemos supor

que V = ψ(V ) ⊆ U . A composta f ϕ esta bem definida no conjunto V. Logo se x ∈ Ve z ∈ V sao tais que ϕ(x) = z = (z1, . . . , zm), entao:

z1 = x1,...

zs−1 = xs−1,

zs = xr − xs,zs+1 = xs+1,

...

zr−1 = xr−1,

zr = xr + xs,

zr+1 = xr+1,...

zm = xm.

(2.4)

Definimos as seguintes funcoes de modo que Hij(x) = Hji(x) para todo x ∈ V e para

todos i, j ∈ k, . . . ,m:

• Hrr(x) := Hss(z) +Hrr(z) + 2Hrs(z),

• Hss(x) := Hss(z) +Hrr(z)− 2Hrs(z),

• Hrs(x) := Hrr(z)−Hss(z),

• Hir(x) := His(z) +Hir(z), com i 6= s, r,

• His(x) := Hir(z)−His(z), com i 6= s, r,

• Hij(x) := Hij(z), com j 6= s, r e i 6= s, r.

Levando em conta as funcoes definidas anteriormente e (2.4), temos:

af(ϕ(x)) = f(z) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

zizjHij(z)

= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k

(zizsHis(z) + zizrHir(z)

)+∑i,j≥kj 6=s,r

zizjHij(z)

= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k


)+

∑j≥kj 6=s,r

(zszjHsj(z) + zrzjHrj(z)

)+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r

zizjHij(z)


f(ϕ(x)) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) + zszsHss(z) + zszrHsr(z) + zrzsHrs(z) + zrzrHrr(z)

+∑i≥ki 6=s,r


)+∑j≥kj 6=s,r



zizjHij(z)

+∑i≥ki 6=s,r


)+∑j≥kj 6=s,r



zizjHij(z)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + (xr − xs)(xr − xs)Hss(z) + (xr − xs)(xr + xs)Hsr(z)

+ (xr + xs)(xr − xs)Hrs(z) + (xr + xs)(xr + xs)Hrr(z) +∑i≥ki 6=s,r

(xi(xr − xs)His(z)

+ xi(xr + xs)Hir(z))

+∑j≥kj 6=s,r

((xr − xs)xjHsj(z) + (xr + xs)xjHrj(z)


xixjHij(z)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xrxr(Hss(z) +Hsr(z) +Hrs(z) +Hrr(z)

)+ xrxs

(Hrr(z)

− Hss(z))

+ xsxr(Hrr(z)−Hss(z)

)+ xsxs

(Hss(z) +Hrr(z)−Hsr(z)−Hrs(z)

)+

∑i≥ki 6=s,r

(xixr(His(z) +Hir(z)) + xixs(Hir(z)−His(z))

)+∑j≥kj 6=s,r

(xrxj(Hsj(z) +Hrj(z))

+ xsxj(Hrj(z)−Hsj(z)))

+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r

xixjHij(z)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xrxrHrr(x) + xrxsHrs(x) + xsxrHsr(x) + xsxsHss(x)

+∑i≥ki 6=s,r

(xixrHir(x) + xixsHis(x)

)+∑j≥kj 6=s,r

(xrxjHrj(x) + xsxjHsj(x)

)+∑i,j≥ki6=s,rj 6=s,r

xixjHij(x)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k

(xixrHir(x) + xixsHis(x)

)+∑j≥kj 6=s,r

(xrxjHrj(x)

+ xsxjHsj(x))

+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r

xixjHij(x)

= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k

xixjHij(x),

onde Hrr(0) = 2Hrs(0) 6= 0 e Hss(0) = −2Hrs(0) 6= 0. Alem disso, e claro que a matriz

(Hij(0)) e simetrica e existem dois elementos da diagonal principal, Hrr(0) e Hss(0), nao

nulos, e portanto, aplicando o Caso 2 concluımos a prova do Caso 3.

Lema 2.9 (Lema de Morse). Sejam M uma variedade de dimensao m e p ∈M um ponto

crıtico nao degenerado de uma funcao suave f : M → R. Entao existe uma carta (V, ϕ),

com ϕ(0) = p, tal que

(f ϕ)(x1, · · · , xm) = f(p)− x21 − · · · − x2

k + x2k+1 + x2

k+2 + · · ·+ x2m,

onde k e o ındice de f em p. Tal carta e chamada carta de Morse.

Demonstracao: Primeiro mostremos que se existe tal expressao para f , entao k deve ser


o ındice de f em p. Seja entao(V, ϕ

)uma carta em p com coordenadas locais z1, . . . , zm

tal que

(f ϕ)(z1, . . . , zm) = f(p)− z21 − · · · − z2

k + z2k+1 + · · ·+ z2

m.

Um calculo direto mostra que:

∂2(f ϕ

)∂zi∂zj

(0) =

−2 se i = j ≤ k,

2 se i = j > k,

0 caso contrario,

(2.5)

donde a representacao matricial de Hessp(f) em relacao a base ∂∂z1

∣∣p, . . . , ∂

∂zm

∣∣p

e:

−2. . .

−2

2. . .

2

k linhas

m− k linhas

Sejam F e G os subespacos de TpM gerados pelos vetores ∂∂z1

∣∣p, . . . , ∂

∂zk

∣∣p

e ∂∂zk+1

∣∣p,

. . . , ∂∂zm

∣∣p, respectivamente.

Afirmacao 1: A restricao de Hessp(f) ao conjunto F e uma forma bilinear F ×F −→ Rdefinida negativa.

Com efeito, ja sabemos que

Hessp(f)

(∂

∂zi

∣∣∣∣p

,∂

∂zi

∣∣∣∣p

)= −2, ∀i ≤ k.

Seja v ∈ F um vetor nao nulo. Como os vetores ∂∂z1

∣∣p, . . . , ∂

∂zk

∣∣p

formam uma base do

subespaco F podemos escrever

v = a1∂

∂z1

∣∣∣∣p

+ · · ·+ ak∂

∂zk

∣∣∣∣p

,

com ai ∈ R. Daı,

Hessp(v, v) =k∑

i,j=1

aiaj∂2(f ϕ)

∂zi∂zj(0, . . . , 0) = −2(a2

1 + · · ·+ a2k) < 0.

Como v ∈ F e arbitrario a afirmacao esta provada.


Afirmacao 2: A restricao de Hessp(f) ao conjunto G e uma forma bilinear G×G −→ Rdefinida positiva.

A prova dessa afirmacao e analoga a demonstracao da Afirmacao 1.

Afirmacao 3: O subespaco F e o maior subespaco de TpM no qual a forma bilinear

Hessp(f) e negativa.

Suponha por absurdo que exista um subespaco F de TpM de dimensao estritamente maior

que k no qual Hessp(f) e negativa. Das relacoes

dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F ∩G) e F +G = TpM,

deduzirıamos que:

dim(F ∩G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F +G)

= dim(F ) + dim(G)− dim(TpM)

> k + (m− k)−m= 0.

Assim, dim(F ∩ G) 6= 0 o que implicaria a existencia de um elemento u nao nulo na

intersecao F ∩ G. Por definicao de F terıamos que Hessp(f)(u, u) < 0. Mas por outro

lado, a Afirmacao 2 e o fato de que u ∈ G implicariam que Hessp(f)(u, u) > 0, o que e

um absurdo. Isso conclui a prova da Afirmacao 3. Portanto, k e o ındice de Hessp(f).

Mostremos agora que existe uma carta (V, ϕ) com coordenadas locais y1, . . . , ymque satisfaz as condicoes do enunciado. Sem perda de generalidade podemos assumir

f(p) = 0 (pois caso f(p) 6= 0 definirıamos f = f − f(p) e assim, f(p) = 0 e

(f ϕ)(x1, . . . , xm) = −x21 − · · · − x2

k + x2k+1 . . . x

2m). Seja (V1, ϕ1) uma carta de p em

M . Sem perda de generalidade podemos assumir que V1 e uma bola aberta centrada no

vetor nulo e ϕ1(0) = p. Considere a funcao f1 = f ϕ1. Pelo Lema 2.7, podemos escrever

f1(z1, . . . , zm) =m∑i=1

zigi(z1, . . . , zm), (2.6)

para todo (z1, . . . , zm) ∈ V1, onde cada gi : V1 −→ R e uma funcao suave que satisfaz

gi(0) = ∂f1∂zi

(0) para todo i = 1, . . . ,m. Como 0 e um ponto crıtico de f1 sabemos que

0 = ∂f1∂zi

(0) = gi(0) para todo i = 1, . . . ,m e portanto, aplicando o Lema 2.7 novamente

para cada funcao gi obtemos a seguinte expressao para f1:


f1(z1, . . . , zm) =m∑i=1

zi

m∑j=1

zjhij(z1, . . . , zm) (2.7)

=∑i,j≥1

zizjhij(z1, . . . , zm), (2.8)

para todo (z1, . . . , zm) ∈ V1, onde cada hij : V1 −→ R e uma funcao suave que satisfaz

hij(0) = ∂gi∂zj

(0) para todos i, j = 1, . . . ,m.

Podemos observar que

f1 = 12f1 + 1

2f1

=1

2

∑i,j≥1

zizjhij +1

2

∑i,j≥1

zizjhij

=1

2

∑i,j≥1

zizjhij +1

2

∑i,j≥1

zjzihji

=∑i,j≥1

zizj

(hij + hji

2

)=

∑i,j≥1

zizjhij,

onde hij : V1 −→ R e a funcao definida por hij := 12(hij + hji). Assim,

f1(z1, . . . , zm) =∑i,j≥1

zizjhij(z1, . . . , zm). (2.9)

Observamos que hij = hji e que hij(0) = 12∂2f1∂zi∂zj

(0) para todos i, j = 1, . . . ,m (para ver

isso, derive duas vezes (2.6) e avalie em 0 levando em conta as relacoes hij(0) = ∂gi∂zj

(0)).

Observamos tambem, a partir de (2.9), que a matriz Hessiana em 0 da aplicacao f1 e a

matriz(hij(0)

)=(

12∂2f1∂zi∂zj

(0))

, que e invertıvel, pois e uma representacao matricial de

Hessp(f), a qual e nao degenerada. Daı, pelo Lema 2.8 podemos assumir que h11(0) 6= 0,

e portanto pela continuidade de h11 existe uma vizinhanca V1 de 0 em Rm tal que para

todo z ∈ V1 tem-se que h11(z) 6= 0. Logo, fazendo algumas manipulacoes algebricas,

podemos reescrever (2.9) como:

f1(z) = h11(z)

[z2

1 + 2z1

m∑j=2

zjh1j(z)

h11(z)

]+

m∑i,j≥2

zizjhij(z), (2.10)


onde z = (z1, . . . , zm) ∈ V1. Ainda podemos reescrever (2.10) como:

f1(z) = h11(z)

(z1 +

m∑j=2

zjh1j(z)

h11(z)

)2

+m∑

i,j≥2

zizjhij(z)− h11(z)

(m∑j=2

zjh1j(z)

h11(z)

)2

. (2.11)

Para simplificar os calculos introduzimos a funcao ψ1 : V1 −→ Rm definida por

(z1, . . . , zm) 7−→(z1 +

∑mj=2

h1j(z1,...,zm)

h11(z1,...,zm)zj, z2, . . . , zm

). A matriz jacobiana de ψ1 no ponto

0 ∈ V1 e da forma: 1 · · · ∗

. . ....

1

.Como o determinante da matriz jacobiana de ψ1 no ponto 0 ∈ V1 e igual a 1 temos que

dψ1(0) e um isomorfismo. Logo, pelo Teorema da funcao inversa existem vizinhancas

V2 e V2 de 0 e ψ1(0) ∈ Rm, respectivamente, tais que ϕ2 = ψ1|V2 : V2 −→ V2 e um

difeomorfismo. Note que se z ∈ V2 e y ∈ V2 sao tais que ϕ2(z) = y, entao:y1 = z1 +

∑mj=2 zj

h1j(z)

h11(z),

y2 = z2,...

ym = zm.

(2.12)

Considere agora a funcao f2 := f1 ϕ−12 definida em V2. Dado y = ϕ2(z) ∈ V2, temos que,

levando em conta (2.12):

f2(y) =(f1 ϕ−1

2

)(y)

= f1(z)

= h11(z)

(z1 +

m∑j=2

zjh1j(z)

h11(z)

)2

+m∑

i,j≥2

zizjhij(z)− h11(z)

(m∑j=2

zjh1j(z)

h11(z)

)2

= h11

(ϕ−1

2 (y))y2

1 −

(m∑j=2

yj(h1j

(ϕ−1

2 (y))

h11

(ϕ−1

2 (y)))2

+∑i,j≥2

yiyjhij(ϕ−1

2 (y)).

Ve-se que a aplicacao f2 e da forma f2(y) = h11

(ϕ−1

2 (y))y2

1 + ξ(y), onde

ξ(y) =: −h11

(ϕ−1

2 (y))( m∑

j=2

yjh1j

(ϕ−1

2 (y))

h11

(ϕ−1

2 (y)))2

+∑i,j≥2

yiyjhij(ϕ−1

2 (y)).

Seja ψ2 : V2 −→ Rm a aplicacao definida por y 7−→(y1

√|h11 ϕ−1

2 (y)|, y2, . . . , ym), onde


y = (y1, . . . , ym). A matriz jacobiana de ψ2 no ponto 0 e da forma:√|h11 ϕ−1

2 (0)| · · · ∗

1...

. . .

1

O determinante da matriz jacobiana de ψ2 no ponto 0 e igual a

√|h11 ϕ−1

2 (0)| que e

diferente de zero. Logo, pelo Teorema da funcao inversa, existem vizinhancas V3 e V3 de

0 e ψ2(0), respectivamente, tais que ϕ3 = ψ2|V3 : V3 −→ V3 e um difeomorfismo. Note que

se y ∈ V3 e x ∈ V3 sao tais que ϕ3(y) = x entao:x1 = y1

√|h11 ϕ−1

2 (y)|,x2 = y2,...

xm = ym.

(2.13)

Restringindo V3 se for necessario, podemos supor V3 ⊆ V2. Assim, faz sentindo definir

f3 := f2 ϕ−13 : V3 −→ R. Dado x = ϕ3(y) ∈ V3, temos que, levando em conta (2.13):

f3(x) =(f2 ϕ−1

3

)(x)

= f2(y)

= h11

(ϕ−1

2 (y))y2

1 + ξ(y)

= h11

(ϕ−1

2

(ϕ−1

3 (x))) x1√∣∣h11

(ϕ−1

2

(ϕ−1

3 (x)))∣∣2

+ ξ(ϕ−1

3 (x))

= ±x21 + ξ

(ϕ−1

3 (x)),

onde o sinal depende do sinal de h11(0).

Lembramos que

ξ(y) =: −h11

(ϕ−1

2 (y))( m∑

j=2

yjh1j

(ϕ−1

2 (y))

h11

(ϕ−1

2 (y)))2

+∑i,j≥2

yiyjhij(ϕ−1

2 (y)).

Considere as funcoes Hij =: hij ϕ−12 ϕ−1

3 e ξ1 =: ξ ϕ−13 definidas em V3. Com isso

podemos escrever:


ξ1(x) = −H11(x)

m∑j=2

xjH1j(x)

H11(x)

2

+∑i,j≥2

xixjHij(x)

= −∑i,j≥2

xixjH1i(x)H1j(x)

H11(x)+∑i,j≥2

xixjHij(x)

= −∑i,j≥2

xixjH ij(x) +∑i,j≥2

xixjHij(x)

=∑i,j≥2

xixj(Hij(x)−H ij(x)

)=

∑i,j≥2

xixjHij(x),

onde H ij(x) =:H1i(x)H1j(x)

H11(x)e Hij(x) =: Hij(x) −H ij(x). Observamos que Hij = Hji,

pois Hij = Hij − H ij = Hji − Hji = Hji. Assim, podemos escrever f3(x) = ±x21 +∑

i,j≥2

xixjHij(x).

Nota-se que se (Hij) = [0], terıamos f3(x) = ±x21 o que implicaria Hessp(f) e

igual a [±2 0

0 0

],

mostrando que Hessp(f) e degenerada (caso m > 1), mas isso e um absurdo.

Pelo Lema 2.8, podemos supor que H22(0) 6= 0. Aplicado novamente os argu-

mentos anteriores, podemos ver que f(x) = ±x21 ± x2

2 +∑i,j≥3

xixjGij(x), onde Gij(x) e

uma funcao suave e e tal que Gij = Gji para todos i, j ∈ 3, . . . ,m. Aplicando o mesmo

metodo a aplicacao f(x) = ±x21 ± x2

2 +∑i,j≥3

xixjGij(x) e prosseguindo analogamente,

chegamos ao desejado.

Observacao 2.10. Existe outra prova do Lema de Morse, a qual foi dada por Palais (veja

[2], p. 368).

Corolario 2.11. Os pontos crıticos nao degenerados sao isolados em Crit(f).

Demonstracao: Seja p um ponto crıtico nao degenerado de ındice k. Pelo Lema de

Morse (Lema 2.9), existe (V, ϕ) uma carta de M tal que ϕ(0) = p e

(f ϕ)(x) = f(p)− (x21 + · · ·+ x2

k) + x2k+1 + · · ·+ x2

m.

Da igualdade f = f ϕ ϕ−1, segue-se

dfq = d(f ϕ)ϕ−1(q) dϕ−1q .


Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de f basta encontrarmos os pontos crıticos de

f ϕ, pois ϕ−1 e um difeomorfismo. Dado x = (x1, . . . , xm) ∈ V, temos que as derivadas

parciais de f ϕ no ponto x sao:

∂(f ϕ)

∂xi(x) = −2xi, se 1 ≤ i ≤ k;

∂(f ϕ)

∂xi(x) = 2xi, se k + 1 ≤ i ≤ m.

Logo x ∈ V e um ponto crıtico de f ϕ se, e somente se,

−2xi = 0, se 1 ≤ i ≤ k;

2xi = 0, se k + 1 ≤ i ≤ m.

Assim, o unico ponto crıtico de f ϕ em V e x = 0. Como ϕ(0) = p, tem-se que p e unico

ponto crıtico de f em ϕ(V ). Logo, Crit(f) ∩ ϕ(V ) = p. Isso mostra que p e um ponto

isolado de Crit(f).

Corolario 2.12. Se M e compacta e f : M −→ R e uma funcao de Morse, entao

Crit(f) = p ∈M ; p e um ponto crıtico nao degenerado

e finito.

Demonstracao: Tem-se que o conjunto Crit(f) e fechado (veja a Proposicao 4.1 ([7],

p.78)). Pelo Corolario 2.11, para cada p ∈ Crit(f), existe uma vizinhanca Vp de p que

contem apenas p como ponto crıtico nao degenerado. Consideremos a seguinte cobertura

de M :

C = (Crit(f))c ∪ Vp; p ∈ Crit(f),

onde (Crit(f))c denota o complementar de Crit(f) em M. Pela compacidade de M, segue-

se que existe uma subcobertura finita C ′ de C que cobre M, e portanto, existem p1, . . . , pk,

tais que M = (Crit(f))c ∪⋃ki=1 Vpi . Assim,

M ∩ Crit(f) =(

(Crit(f))c ∪⋃ki=1 Vpi

)∩ Crit(f)

= ((Crit(f))c ∩ Crit(f)) ∪(⋃k

i=1 (Vpi ∩ Crit(f)))

= ∅ ∪(⋃k

i=1pi)

= p1, . . . , pk.

Logo, existem apenas k pontos crıticos nao degenerados, o que mostra o desejado.

Capıtulo 3

Primeiro Teorema de Morse

O Primeiro Teorema de Morse que provamos neste capıtulo nos diz que dada

f : M −→ R uma funcao suave, definida numa variedade M, os conjuntos f−1(]−∞, a])

e f−1(] −∞, b]) tem o mesmo tipo de homotopia, se nao existir valores crıticos de f em

[a, b], onde a, b ∈ R sao tais que a < b.

O lema a seguir sera um dos principais argumentos para a demonstracao do

Primeiro Teorema de Morse.

Lema 3.1. Sejam a, b ∈ R tais que a < b e seja g : R −→ R uma funcao derivavel com

a seguinte propriedade: para todo t ∈ R tal que g(t) ∈ [a, b], tem-se g′(t) = 1. Valem as

seguintes afirmacoes.

(a) Suponha que exista t0 ∈ R tal que g(t0) ∈ [a, b]. Entao para todo t ∈ [t0, t0+b−g(t0)],

g(t) = t+ g(t0)− t0.

(b) Suponha que exista t0 ∈ R tal que g(t0) ≥ b. Entao g(t) ≥ b para todo t ≥ t0.

Em particular, segue de (a) e (b) que se g(t0) = a para algum t0 ∈ R, entao esse t0 e

unico.

Demonstracao: Prova (a). Seja

A = s ∈ [t0, t0 + b− g(t0)]; g|[t0,s](t) = t+ g(t0)− t0, para todo t ∈ [t0, s].

Vamos mostrar que A = [t0, t0 + b− g(t0)]. Note que A 6= ∅, pois t0 ∈ A. Observamos que

se s ∈ A, entao [t0, s] ⊆ A. Seja (sn)n∈N uma sequencia de pontos em A tal que sn −→ l,

com l ∈ R. Dado n ∈ N tem-se que g|[t0,sn](t) = t + g(t0) − t0 para todo t ∈ [t0, sn]. Em

particular, se existir algum n ∈ N tal que l ≤ sn entao l ∈ A. Agora, se sn < l para todo

n ∈ N, segue da continuidade de g em l que

g(l) = limt→l−

g(t) = limn→+∞

g(sn) = limn→+∞

sn + g(t0)− t0 = l + g(t0)− t0.30

Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 31

Isso mostra que l ∈ A, e portanto, A e fechado. Agora, vejamos que A e aberto. Para isso

mostremos que se s ∈ A, entao s e ponto interior de A. Primeiro, considere s ∈ A, s 6= t0

e s 6= t0 + b− g(t0). Como s ∈ A tem-se que g(t) = t+ g(t0)− t0 para todo t ∈ [t0, s]. Em

particular,

• g(s) = s+ g(t0)− t0 > t0 + g(t0)− t0 ≥ t0 + a− t0 = a,

• g(s) = s+ g(t0)− t0 < (t0 + b− g(t0)) + g(t0)− t0 = b.

Entao g(s) ∈]a, b[. Pela continuidade de g existe ε > 0, tal que g(]s − ε, s + ε[) ⊆]a, b[,

e portanto, vale g(t) ∈]a, b[ para todo t ∈]s − ε, s + ε[. Logo, por hipotese temos que

g′(t) = 1, para todo t ∈]s− ε, s + ε[, e portanto, g(t) = t + k para todo t ∈]s− ε, s + ε[,

onde k e uma certa constante. Para descobrir a constante k, note que por um lado s ∈ A,e portanto, g(s) = s+ g(t0)− t0. Por outro lado, temos pela continuidade de g em s que

g(s) = limt→s

g(t) = limt→s

t+ k = s+ k.

Entao s+ g(t0)− t0 = s+ k, o que implica que k = g(t0)− t0. Assim, ]s− ε, s+ ε[⊆ A.

Se s = t0 entao por hipotese g(t0) ∈ [a, b]. Como g′(t0) = 1, existe δ > 0 tal que g|]t0−δ,t0+δ[

e estritamente crescente. Pela continuidade de g, podemos diminuir δ de tal maneira que

se t ∈ [t0, t0 + δ[, entao g(t) ∈ [a, b]. Por hipotese sabemos que g′(t) = 1, para todo

t ∈]t0, t0 + δ[, logo g(t) = t + k′ em ]t0, t0 + δ[, onde k′ e uma certa constante. Para

descobrir a constante k′, temos que

g(t0) = limt→t+0

g(t) = limt→t+0

t+ k′ = t0 + k′,

donde k′ = g(t0)− t0. Assim, g(t) = t+g(t0)− t0 em [t0, t0 + δ[, e portanto, [t0, t0 + δ[⊆ A.

Resta considerar o caso s = t0 +b−g(t0). Mas esse caso e trivial, pois como ja observamos,

se s = t0 + b − g(t0), entao [t0, t0 + b − g(t0)] ⊆ A. Agora, sabemos que o intervalo

[t0, t0 + b − g(t0)] e conexo e mostramos que o conjunto A e nao vazio, aberto e fechado

em [t0, t0 + b − g(t0)]. Logo A = [t0, t0 + b − g(t0)]. Isso conclui a demonstracao do item

(a).

Prova (b). Seja t0 ∈ R tal que g(t0) ≥ b. Seja

Ω := x ∈ [t0,+∞[; g(t) ≥ b, ∀ t ∈ [t0, x].

O conjunto Ω e nao vazio, pois t0 ∈ Ω. Para mostrar o desejado procedemos por absurdo.

Suponha que exista s > t0 tal que g(s) < b. Assim, Ω ⊆ [t0, s], donde segue que Ω e um


conjunto limitado superiormente, e portanto, possui um supremo, o qual denotamos por

α := sup Ω.

Afirmamos que:

(i) [t0, α] ⊆ Ω;

(ii) g(α) = b;

(iii) α > t0.

Prova (i). Considere (αn)n∈N uma sequencia em Ω tal que αn −→ α. Seja t ∈ [t0, α[

arbitrario. Como αn −→ α > t, existe n ∈ N tal que αn > t. Pela definicao de Ω, segue-se

que t ∈ Ω. Assim, [t0, α[⊆ Ω. Para ver que α tambem pertence a Ω, basta mostrar que

g(α) ≥ b (ja que [t0, α[⊆ Ω). Mas isso e obvio, pois g(αn) ≥ b para todo n ∈ N, e portanto,

g(α) = limn→+∞ g(αn) ≥ b.

Prova (ii). Para provar isso, basta mostrar que g(α) > b e absurdo. Suponha entao

que g(α) > b. Pela continuidade de g em α, existe ε > 0 tal que g(t) > b para todo

t ∈]α − ε, α + ε[. Disso, e da inclusao [t0, α] ⊆ Ω, deduzimos que [α, α + ε/2] ⊆ Ω, o que

contradiz a definicao de α. Logo g(α) = b.

Prova (iii). Se g(t0) = b, sabemos por hipotese que g′(t0) = 1, e portanto, existe δ > 0 tal

que g(t) > b para todo t ∈]t0, t0 + δ[. Isso implica que [t0, t0 + δ[⊆ Ω. Agora, se g(t0) > b,

segue pela continuidade de g no ponto t0 que existe ε > 0 tal que g(t) > b para todo

t ∈]t0 − ε, t0 + ε[. Em particular, [t0, t0 + ε[⊆ Ω. Portanto, em qualquer caso teremos

α > t0. Isso conclui a demonstracao da afirmacao.

Para concluir a demonstracao do item (b) note que por hipotese g′(α) = 1.

Logo existe δ > 0 tal que g(t) < b para todo t ∈]α − δ, α[. Em particular, temos que

g(α− δ/2) < b. Diminuindo δ se necessario, podemos supor que α− δ/2 > t0, e portanto,

g(α− δ/2) ≥ b, ja que α− δ/2 ∈ Ω. Assim, g(α− δ/2) < b e g(α− δ/2) ≥ b, um absurdo.

Segue o desejado.

Observacao 3.2. De maneira analoga prova-se o Lema 3.1 quando a derivada tem sinal

negativo. Nesse caso o enunciado e da seguinte forma. Sejam a, b ∈ R tais que a < b e

seja h : R −→ R uma funcao derivavel com a seguinte propriedade: para todo t ∈ R tal

que h(t) ∈ [a, b], tem-se h′(t) = −1. Valem as seguintes afirmacoes.

(a) Suponha que exista t0 ∈ R tal que h(t0) ∈ [a, b]. Entao para todo t ∈ [t0, t0+h(t0)−a],

h(t) = −t+ h(t0) + t0.

(b) Suponha que exista t0 ∈ R tal que h(t0) ≤ a. Entao h(t) ≤ a para todo t ≥ t0.


Sejam M uma variedade, f : M −→ R uma funcao e a, b ∈ R tais que a < b.

Denotamos por

Ma := f−1(−∞, a] = q ∈M ; f(q) ≤ a;M[a,b] := f−1([a, b]) = q ∈M ; a ≤ f(q) ≤ b;M]a,b[ := f−1(]a, b[) = q ∈M ; a < f(q) < b.

Teorema 3.3. (Primeiro Teorema de Morse) Seja f : M −→ R uma funcao suave

e sejam a, b ∈ R tais que a < b. Suponha que o conjunto M[a,b] seja compacto e nao

contenha pontos crıticos de f. Valem as seguintes afirmacoes.

(a) Existe um difeomorfismo G : M −→M tal que G(Ma) = Mb.

(b) Ma e um retrato por deformacao de Mb, de modo que a aplicacao inclusao Ma →Mb

seja uma equivalencia de homotopia.

Demonstracao: Prova (a). Seja 〈, 〉 uma metrica Riemanniana emM. Considere o campo

de vetores suave grad f definido em M. Seja F : M −→ R a funcao definida por

F (p) = 〈(grad f)p, (grad f)p〉.

Pela continuidade de F, o conjunto U := F−1(R − 0) e aberto em M e contem M[a,b],

pois se p ∈ M[a,b], tem-se dfp 6= 0, o que implica (grad f)p 6= 0, e portanto, F (p) 6= 0.

Agora, o campo de vetores em U definido por

p 7−→ (grad f)p〈(grad f)p, (grad f)p〉

,

e claramente suave. Como M[a,b] ⊆ U, tem-se que U e uma vizinhanca de q para todo

q ∈M[a,b]. Logo, o campo de vetores em M[a,b],

X : M[a,b] −→ TM, q 7−→ (grad f)q〈(grad f)q, (grad f)q〉

,

e suave no sentido da Definicao F.17.

Pelo Lema A.12, existe uma vizinhanca compacta W de M[a,b]. Considerando o conjunto

aberto int(W ). Segue-se do Lema F.19 que existe um campo de vetores X : M −→ TM

suave tal que supp X ⊆ int(W ). Assim, X satisfaz as condicoes do Lema F.15, uma vez

que W e um subconjunto compacto de M e Xq = 0 para todo q /∈ W . Logo, o fluxo

global de X, o qual denotamos por Ψ : D(X) −→M, (t, p) 7−→ γp(t), tem como domınio

D(X) = R×M.

Para cada t ∈ R definamos a aplicacao Ψt : M −→ M, p 7−→ Ψ(t, p). Essa aplicacao


e um difeomorfismo, uma vez que o fluxo global e suave. Para mais detalhes sobre as

propriedades do fluxo global de um campo de vetores, veja ([7], p. 209).

Afirmacao 1: Ψb−a(Ma) ⊆Mb.

Sejam q ∈ Ma e γq a curva integral maximal de X com condicao inicial q. Denotamos

por g := f γq. Devido a igualdade Ψt(q) = γq(t), usaremos livremente g em vez de

(fΨt)(q). Assim, para mostrarmos a inclusao desejada basta mostrarmos que g(b−a) ≤ b.

Afirmamos que g satisfaz as condicoes do Lema 3.1. De fato, claramente g e uma funcao

suave e se γq(t) ∈M[a,b] para algum t ∈ R, entao temos

g′(t) =d(f γq)

dt(t) =

⟨dγqdt

(t), (grad f)γq(t)

⟩=

⟨Xγq(t), (grad f)γq(t)

⟩=

1

〈(grad f)γq(t), (grad f)γq(t)〉〈(grad f)γq(t), (grad f)γq(t)〉

= 1.

Para mostrarmos o desejado consideremos dois casos.

Caso 1: g(t) 6= a para todo t ≥ 0.

Afirmamos que g(t) ≤ a para todo t ≥ 0. Com efeito, como q ∈ Ma e por hipotese

g(0) 6= a deve-se ter g(0) = f(q) < a. Suponha que exista r > 0 tal que g(r) > a. Logo,

pelo Teorema do Valor Intermediario, existe s ∈]0, r[ tal que g(s) = a. Mas isso contradiz

a hipotese de que g(s) 6= a. Isso conclui a prova da nossa afirmacao.

Agora, o fato de que g(t) < a para todo t ≥ 0, implica, em particular, que

g(b− a) < a. Mas como a < b, tem-se g(b− a) < b.

Caso 2: existe t0 ≥ 0 tal que g(t0) = a.

Aplicando o item a) do Lema 3.1 tem-se g(t) = t + a − t0, para todo t ∈ [t0, t0 + b − a].

Para mostrarmos que g(b − a) ≤ b podemos supor que b − a ∈ [t0, t0 + b − a], pois caso

contrario terıamos b − a < t0, e portanto, seguiria da unicidade de t0 que g(b − a) < a,

logo g(b− a) < b. No caso em que b− a ∈ [t0, t0 + b− a], temos

g(b− a) = b− a+ a− t0 = b− t0 ≤ b.

Isso conclui a prova da Afirmacao 1.

Considere o campo de vetores −X definido em M. De maneira analoga ao campo

X mostra-se que o domınio do fluxo global de −X e R ×M. Denotamos por Φ o fluxo

global de −X.Convem lembrar a seguinte relacao entre as curvas integrais dos campos X e


−X. Dada γ a curva integral de X com condicao inicial γ(0), tem-se que η definida por

η(t) = γ(−t) e a curva integral de −X com condicao inicial η(0) = γ(0). De fato,

η′(t) = −γ′(−t) = −Xγ(−t) = −Xη(t).

Note que dado t ∈ R, Ψt = (Φt)−1.

Afirmacao 2: Φb−a(Mb) ⊆Ma.

Sejam q ∈ Mb e ηq a curva integral maximal de −X com condicao inicial q. Denotamos

por h := f ηq. Devido a igualdade Φt(q) = ηq(t), usaremos livremente h em vez de

(fΦt)(q). Assim, para mostrarmos a inclusao desejada basta mostrarmos que h(b−a) ≤ a.

Afirmamos que h satisfaz as condicoes da Observacao 3.2. De fato, claramente h e uma

funcao suave e se ηq(t) ∈ M[a,b] para algum t ∈ R, entao por um calculo analogo ao

anterior mostra-se que h′(t) = −1.

Para mostrarmos a inclusao desejada consideremos dois casos.

Caso 1: q ∈Ma e h(t) 6= a para todo t ≥ 0.

De maneira analoga ao Caso 1 da Afirmacao 1, mostra-se que h(t) < a para todo t ≥ 0.

Em particular, h(b− a) < a.

Caso 2: q ∈M[a,b].

Nesse caso h(0) ∈ [a, b]. Portanto, segue-se da Observacao 3.2 que

• para todo t ∈ [0, f(q)− a] tem-se que h(t) = −t+ f(q)

• para todo t ≥ f(q)− a tem-se que h(t) ≤ a.

Do primeiro item concluımos que

h(f(q)− a) = −f(q) + a+ f(q) = a.

Em particular, se f(q) = b, tem-se h(b − a) = a. Agora, se f(q) 6= b temos que

0 ≤ f(q)− a < b− a, e portanto, segue do segundo item que h(b− a) ≤ a. Isso conclui a

prova da Afirmacao 2.

Afirmacao 3: Φb−a(Mb) = Ma.

Como vale(Ψb−a

)−1= Φb−a, segue-se que (Φb−a|Mb

) (Ψb−a|Ma) = IdMa . Assim, dado

y ∈Ma, tem-se:

y = IdMa(y) = [(Φb−a|Mb) (Ψb−a|Ma)](y) = Φb−a(Ψb−a(y)) ∈ Φb−a(Mb).

Note que a pertinencia acima segue da Afirmacao 1. Logo, para todo y ∈Ma, tem-se que

y ∈ Φb−a(Mb), isto e, Ma ⊆ Φb−a(Mb). Por outro lado, mostramos na Afirmacao 2 que


Φb−a(Mb) ⊆Ma. Portanto, Φb−a(Mb) = Ma e Φb−a|Mb: Mb −→Ma e bijecao. Isso conclui

nossa afirmacao. Agora, tomando G = Ψb−a, concluımos a prova do item (a).

Prova (b). Considere a aplicacao H : Mb × [0, 1] −→Mb, definida por

H(q, t) =

q, se q ∈Ma

Ψt(f(q)−a)(q), se q ∈M[a,b].

Afirmamos que:

(i) H(q, 0) = IdMb.

(ii) H(q, 1) ∈Ma para todo q ∈Mb.

(iii) H(q, t) ∈Ma para todo q ∈Ma.

(iv) H : Mb × [0, 1] −→Mb e uma aplicacao contınua.

A unica propriedade enunciada que nao e trivial e a continuidade de H. Para ver isso,

note que ]−∞, a] e [a, b] sao conjuntos fechados em R, e portanto, segue da continuidade

da f que Ma e M[a,b] sao conjuntos fechados em M. Assim, Ma e M[a,b] sao fechados em

Mb, e portanto, Ma × [0, 1] e M[a,b] × [0, 1] sao fechados em Mb × [0, 1]. Agora,

Mb × [0, 1] = (Ma ∪M[a,b])× [0, 1] = (Ma × [0, 1]) ∪ (M[a,b])× [0, 1]).

Claramente as restricoes H|Ma×[0,1] e H|M[a,b]×[0,1] sao contınuas. Alem disso, se q ∈Ma ∩M[a,b], temos que

• H|Ma×[0,1](q, t) = q e

• H|M[a,b]×[0,1](q, t) = Φt(f(q)−a)(q) = Φ0(q) = q.

Logo, pelo Lema A.6, H e contınua.

Segue-se das quatro afirmacoes anteriores que Ma e um retrato por deformacao

de Mb.

Capıtulo 4

Segundo Teorema de Morse

Neste capıtulo apresentamos os conceitos e resultados sobre colagem de espacos

topologicos que serao necessarios para enunciar e provar o Segundo Teorema de Morse

(veja 4.10).

4.1 Espaco de adjuncao

Sejam X um espaco topologico, Y um conjunto e π : X −→ Y uma aplicacao

sobrejetiva.

Definicao 4.1. A topologia quociente em Y determinada por π e definida de-

clarando um subconjunto U ⊆ Y sendo aberto se, e somente se, π−1(U) e aberto em

X.

Se, na definicao acima, Y for um espaco topologico, entao π e chamada aplicacao

quociente.

Seja ∼ uma relacao de equivalencia em X. Denotamos por X/ ∼ o conjunto das

classes de equivalencia de X. Seja π : X −→ X/ ∼ a projecao natural que leva cada ponto

em sua classe de equivalencia. Dotado com a topologia quociente determinado por π, o

espaco X/ ∼ e chamado de espaco quociente (ou espaco de identificacao) de X

determinado por ∼ .

Definicao 4.2. Sejam X e Y dois espacos topologicos. A uniao disjunta de X e Y e

o conjunto

X t Y = (X × 0) ∪ (Y × 1).

Observamos que existem aplicacoes injetivas canonicas i0 : X −→ X t Y e i1 :

Y −→ X tY, definidas como i0(x) = (x, 0) e i1(y) = (y, 1), respectivamente. Geralmente,

identificamos implicitamente X com sua imagem na uniao disjunta, vendo assim X como

um subconjunto de X t Y. A mesma observacao vale para Y.37

Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 38

Definimos a topologia da uniao disjunta em XtY, declarando um subconjunto

A ⊆ X t Y como sendo aberto se, e somente se, A ∩X e aberto em X e A ∩ Y e aberto

em Y.

Proposicao 4.3. (Propriedades da topologia da uniao disjunta) Sejam X, Y espacos

topologicos e X t Y munido com a topologia da uniao disjunta.

(a) Um subconjunto F ⊆ X t Y e fechado se, e somente se, F ∩X e fechado em X e

F ∩ Y e fechado em Y.

(b) Cada aplicacao inclusao i0 : X −→ X t Y e i1 : Y −→ X t Y e um mergu-

lho topologico, isto e, e um homeomorfismo sobre a imagem munida da topologia

induzida.

Demonstracao: Veja ([7], p.604).

Teorema 4.4. Sejam X, Y espacos topologicos e π : X −→ Y uma aplicacao quociente.

Se B e um espaco topologico, uma aplicacao F : Y −→ B e contınua se, e somente se,

F π : X −→ B e contınua.

Demonstracao: Veja ([7]. p.605).

Sejam X e Y espacos topologicos, A ⊆ X um subespaco e ϕ : A −→ Y uma

aplicacao contınua. Definimos a relacao de equivalencia “ ∼ ” em X t Y, pondo(x1, 0) ∼ (x2, 0) se x1 = x2 ou ϕ(x1) = ϕ(x2);

(x, 0) ∼ (y, 1) se ϕ(x) = y;

(y1, 1) ∼ (y2, 1) se y1 = y2.

As classes de equivalencia sao dadas por:

• [(x, 0)] = (x, 0) se x ∈ X − A;

• [(x, 1)] = (x, 1) se x ∈ Y − ϕ(A);

• [(x, 0)] = (x, 0), (x′, 0), (ϕ(x), 1); ϕ(x′) = ϕ(x), x′ ∈ A se x ∈ A;

• [(y, 1)] = (y, 1), (x, 0); ϕ(x) = y, x ∈ A se y ∈ ϕ(A).

Definicao 4.5. O espaco quociente de X t Y/ ∼, munido da topologia quociente, e cha-

mado espaco de adjuncao. Denotamos este espaco quociente por Y ∪ϕX (ou Y ∪AX)

e dizemos ser formado colando X a Y ao longo de A via a aplicacao de colagem ϕ

(ou ainda ao longo de A).

Observacao 4.6. Convencionamos que se Y = ∅, entao Y ∪A X = X.


Um caso particular de espaco de adjuncao e o seguinte. Sejam M um espaco

topologico e X e Y dois subespacos fechados de M tais que X ∩ Y 6= ∅. Considere a

aplicacao de colagem ϕ = i : X ∩ Y −→ Y, como sendo a aplicacao inclusao. A relacao

de equivalencia correspondente no espaco X t Y e tal que:

• [(x, ε)] = (x, 1), (x, 0) se x ∈ X ∩ Y ;

• [(x, ε)] = (x, ε) se x /∈ X ∩ Y,

onde ε ∈ 0, 1.Note que, dados x, y ∈ X ∪ Y e ε, ε′ ∈ 0, 1, temos que

(x, ε) ∼ (y, ε′)⇒ x = y. (4.1)

Lema 4.7. Considere X ∪ Y munido da topologia induzida. Entao os espacos X ∪ Y e

Y ∪X∩Y X sao homeomorfos.

Demonstracao: Seja g : X ∪ Y −→ Y ∪X∩Y X a aplicacao definida por

g(x) = [(x, ε(x))] ,

onde

ε(x) =

0, se x ∈ X;

1, se x ∈ Y −X.

Vamos provar que:

i) g e bijetiva;

ii) g e h sao contınuas, onde h = g−1.

Prova i). Vamos exibir a inversa de g. Seja h : Y ∪X∩Y X −→ X ∪ Y a aplicacao definida

por

h([(x, ε)]) = x.

• h esta bem definida;

Com efeito, isso segue imediatamente de (4.1).

• g h = IdY ∪X∩YX

Seja (x, ε) ∈ Y ∪X∩Y X, com ε ∈ 0, 1. Como

(g h)([(x, ε)]) = g(x) = [(x, ε(x))] ,

devemos mostrar que

[(x, ε)] = [(x, ε(x))] .


Seja ε ∈ 0, 1, Por um lado, temos

[(x, ε)] =

(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;

(x, ε), se x /∈ X ∩ Y,

isto e,

[(x, ε)] =

(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;

(x, 0), se x ∈ X − Y = X −X ∩ Y ;

(x, 1), se x ∈ Y −X = Y −X ∩ Y.(4.2)

Por outro lado, temos

[(x, ε(x))] =

[(x, 0)] , se x ∈ X;

[(x, 1)] , se x ∈ Y −X,

isto e,

[(x, ε(x))] =

(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;

(x, 0), se x ∈ X −X ∩ Y ;

(x, 1), se x ∈ Y −X.(4.3)

Comparando (4.2) e (4.3), ve-se que [(x, ε)] = [(x, ε(x))] , para todo [(x, ε)] ∈Y ∪X∩Y X. Portanto, (g h) = IdY ∪X∩YX .

• h g = IdX∪Y .

De fato,

(h g)(x) = h([(x, ε(x))]) = x.

Logo, h e a inversa de g.

Prova ii). Primeiro vamos mostrar que h e contınua. Pelo Teorema 4.4, basta mostrarmos

que

h π : X t Y −→ X ∪ Y(x, ε) 7−→ x,

e contınua, onde ε ∈ 0, 1. Seja F ⊆ (X ∪ Y ) fechado. Temos

(h π)−1(F ) = (h π)−1 [(F ∩ (X −X ∩ Y )) ∪ (F ∩ (Y −X ∩ Y )) ∪ (F ∩X ∩ Y ))]

= (h π)−1(F ∩ (X −X ∩ Y )) ∪ (h π)−1(F ∩ (Y −X ∩ Y ))∪(h π)−1(F ∩X ∩ Y )

= (F ∩ (X −X ∩ Y )× 0) ∪ (F ∩ (Y −X ∩ Y )× 1)∪((F ∩X ∩ Y )× 0) ∪ ((F ∩X ∩ Y )× 1)


(h π)−1(F ) = [F ∩ (X −X ∩ Y ) ∪ (F ∩X ∩ Y )]× 0∪[F ∩ (Y −X ∩ Y ) ∪ (F ∩X ∩ Y )]× 1

= (F ∩X)× 0 ∪ (F ∩ Y )× 1.

Agora,

(h π)−1(F ) ∩ (X × 0) = [((F ∩X)× 0) ∪ ((F ∩ Y )× 1)] ∩ (X × 0)= [(F ∩X)× 0] ∩ (X × 0) ∪ [(F ∩ Y )× 1] ∩ (X × 0)= (F ∩X ∩X)× 0 ∪ ∅= (F ∩X)× 0

e

(h π)−1(F ) ∩ (Y × 1) = [((F ∩X)× 0) ∪ ((F ∩ Y )× 1)] ∩ (Y × 1)= [(F ∩X)× 0] ∩ (Y × 1) ∪ [(F ∩ Y )× 1] ∩ (Y × 1)= ∅ ∪ (F ∩ Y ∩ Y )× 1= (F ∩ Y )× 1.

Por hipotese sabemos que X, Y sao fechados em M e F e fechado em X ∪ Y. Esses fatos

implicam que F e fechado em M. Logo F∩X e F∩Y sao fechados em M, e portanto, F∩Xe fechado em X e F ∩ Y e fechado em Y. Pela Proposicao 4.3 segue-se que (h π)−1(F ) e

fechado em X t Y, e portanto, h e contınua.

Agora, vejamos que g e contınua. Seja A ⊆ Y ∪X∩Y X um subconjunto fechado.

Considerando π : X t Y −→ Y ∪X∩Y X a projecao definida anteriormente, e facil ver que

π−1(A) = (F × 0) ∪ (G × 1), onde F = π−1(A) ∩ X e G = π−1(A) ∩ Y, e usando o

item (a) da Proposicao 4.3 tem-se que F e G sao fechados em X e Y, respectivamente.

Vamos mostrar que g−1(A) = H ∩ (X ∪ Y ), com H fechado em M.

Afirmacao: g−1(A) = F ∪G.Primeiro, vamos mostrar que g−1(A) ⊆ F ∪G. Se x ∈ g−1(A), entao,

g(x) = [(x, ε(x))] = π(x, ε(x)) ∈ A,

isto e, (x, ε(x)) ∈ π−1(A) = (F × 0) ∪ (G × 1). Isso implica que x ∈ F ∪ G. Agora,

vejamos a outra inclusao. Considere x ∈ F ∪G. Analisaremos dois casos.

Caso 1: x ∈ F.Temos que


g(x) = π(x, ε(x))

= π(x, 0) (pois x ∈ F ⊆ X)

∈ π(F × 0)⊆ π((F × 0) ∪ (G× 1))= π(π−1(A))

= A.

Caso 2: x ∈ G.Se x ∈ G ∩ (Y −X), a prova e analoga ao caso anterior. Agora, vejamos o caso em que

x ∈ G ∩X. Note que

F ∩ Y = (π−1(A) ∩X) ∩ Y. (4.4)

Temos que:

g(x) = π((x, ε(x)))

= π((x, 0)) (pois x ∈ G ∩X)

∈ π((G ∩X)× 0)= π((π−1(A) ∩ Y ) ∩X)× 0)= π((F ∩ Y )× 0) (veja (4.4))

⊆ π(F × 0)⊆ π((F × 0) ∪ (G× 1))= π(π−1(A))

= A.

Logo, em qualquer um dos casos, temos que x ∈ π−1(A). Isso conclui a prova da nossa

Afirmacao.

Agora, o fato que F e G sao fechados em X e Y, respectivamente, implica que existem

fechados M1 e M2 em M tais que:

F = M1 ∩X e G = M2 ∩ Y. (4.5)

Assim, temos

g−1(A) = F ∪G (veja a Afirmacao)

= (M1 ∩X) ∪ (M2 ∩ Y ) (veja (4.5))

= [(M1 ∩X) ∪ (M2 ∩ Y )] ∩ (X ∪ Y ).

Como M1, M2, X e Y sao fechados em M, segue que H = (M1 ∩X)∪ (M2 ∩Y ) e fechado

em M, e assim, g−1(A) e fechado em X ∪ Y.


4.2 Segundo Teorema de Morse

Sejam Mm uma variedade, f : M −→ R uma funcao suave e a, b numeros reais

tais que a < b. Nesta secao estudamos o tipo de homotopia de Mb quando f possui um

unico ponto crıtico nao degenerado em M[a,b].

No que se segue usaremos a seguinte terminologia e notacao para todo inteiro

k ≥ 0 :

• Bk= x ∈ Rk : ‖x‖ ≤ 1 - Bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rk.

• Bk = x ∈ Rk : ‖x‖ < 1 - Bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rk.

• Sk−1 = x ∈ Rk : ‖x‖ = 1 - Esfera de centro 0 e raio 1 em Rk.

Usamos a notacao ‖.‖ para indicar a norma euclidiana. No caso em que k = 0 definamos

R0 = 0 e S−1 = ∅.

Definicao 4.8.

(a) Uma celula fechada de dimensao k (ou k-celula fechada) e um par (ek, ω),

onde ek e um subconjunto de X e ω : Bk −→ ek e um homeomorfismo.

(b) Uma celula aberta de dimensao k (ou k-celula) e um par (ek, ω), onde ek e

um subconjunto de X e ω : Bk −→ ek e um homeomorfismo.

Notacao 4.9. Usaremos a notacao ek para indicar uma k-celula e a notacao ek para

indicar uma k-celula fechada, mencionando o homeomorfismo ω somente quando for ne-

cessario.

Define-se o bordo de (ek, ω) como sendo o conjunto dado por:

∂ek =: q ∈ ek; ‖ω−1(q)‖ = 1,

onde a notacao ‖.‖ indica a norma euclidiana.

Teorema 4.10. (Segundo Teorema de Morse) Sejam f : M −→ R uma funcao suave e

p um ponto crıtico nao degenerado com ındice λ, tal que f(p) = c. Suponha que exista

ε0 > 0 tal que f−1([c− ε0, c+ ε0]) seja compacto e nao contenha nenhum ponto crıtico de

f alem de p. Entao, para todo 0 < ε ≤ ε0 suficientemente pequeno, o conjunto Mc+ε tem

o mesmo tipo de homotopia que o conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ.

Antes de provarmos o Teorema 4.10 daremos um exemplo. Sejam M = T2 o toro

(de dimensao 2 em R3) considerado no Exemplo 2.6 e f : T2 −→ R uma funcao definida

por f(x, y, z) = z. Provamos no Exemplo 2.6 que f possui quatro pontos crıticos nao


degenerados: p1, p2, p3 e p4. Sejam f(p1) = c1, f(p2) = c2, f(p3) = c3 e f(p4) = c4 os

valores crıticos de f.

Figura 4.1: Pontos crıticos de f. Figura 4.2: Valores crıticos de f.

Da definicao de f segue que c1 < c2 < c3 < c4, e portanto, existem ε1, ε2, ε3 e ε4, ambos

numeros reais positivos, tais que:

• c1 + ε1 < c2;

• c2 + ε2 < c3;

• c3 + ε3 < c4.

• c1 < c2 − ε2;

• c2 < c3 − ε3; e

Entao o Teorema 4.10 nos diz que os seguintes pares de conjuntos tem o mesmo tipo de

homotopia (abaixo, o sımbolo “≈” significa que os conjuntos considerados tem o mesmo

tipo de homotopia - veja mais detalhes no Apendice B).

Figura 4.3: Conjuntos e0 e Mc1+ε1


Figura 4.4: Conjunto Mc2−ε2 ∪∂e1 e1 Figura 4.5: Conjunto Mc2+ε2

Figura 4.6: Conjunto Mc3−ε3 ∪∂e1 e1 Figura 4.7: Conjunto Mc3+ε3

Figura 4.8: Conjunto Mc4−ε4 ∪∂e2 e2

A demonstracao do Teorema 4.10 sera consequencia dos lemas a seguir. Fixamos


os seguintes elementos e notacoes.

• Uma carta de Morse (U,ϕ) em p, com coordenadas locais u1, . . . , um. Assim, vale:

• ϕ(0) = p; e

• f(ϕ(x1, . . . , xm)) = c − x21 − · · · − x2

λ + x2λ+1 + · · · + x2

m, para todo

x = (x1, . . . , xm) ∈ U.

• Um numero real ε > 0 satisfazendo ε ≤ ε0, com ε0 sendo o ε0 do enunciado do

Teorema 4.10, tal que B[0,√

2ε] ⊆ U, onde B[0,√

2ε] = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 2εdenota a bola fechada centrada no ponto 0 e de raio

√2ε.

• As funcoes suave ξ, η : ϕ(U) −→ [0,+∞[, definidas por

ξ(q) = (u1(q))2 + · · ·+ (uλ(q))2

η(q) = (uλ+1(q))2 + · · ·+ (um(q))2,

onde λ e o ındice de p em f (como no enunciado do Teorema 4.10). Definimos essas

duas funcoes apenas para simplificar a notacao.

• Uma funcao suave µ : R −→ R que satisfaz:

• µ(0) > ε;

• µ(r) = 0 para todo r ≥ 2ε;

• −1 < µ′(r) ≤ 0 para todo r ∈ R, onde µ′(r) = dudr

; e

• µ(r) 6= 0, para todo r ∈ [0, 2ε[.

• A funcao F : M −→ R definida por:

F (q) =

f(q), se q /∈ ϕ(U)

f(q)− µ(ξ(q) + 2η(q)), se q ∈ ϕ(U).

• O elipsoide E := z ∈ ϕ(U); ξ(z) + 2η(z) ≤ 2ε.

Abaixo, representamos os conjuntos Mc+ε, Mc−ε∪eλ e E na carta de Morse (U,ϕ).

As linhas coordenadas representam os planos uλ+1 = · · · = um = 0 e u1 = · · · = uλ = 0,

respectivamente; o cırculo representa o bordo da bola de raio√

2ε; e as hiperboles repre-

sentam as hipersuperfıcies f−1(c− ε) e f−1(c+ ε).


Figura 4.9: Conjunto Mc+ε. Figura 4.10: Conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ.

Figura 4.11: Conjuntos Mc+ε e E . Figura 4.12: Legenda.

Lema 4.11. (Propriedades de F ) Sejam f, p e ε > 0 como no enunciado do Teorema

4.10. A funcao F e suave e goza das seguintes propriedades:

(a) F (q) ≤ f(q) para todo q ∈M.

(b) F (q) = f(q) para todo q ∈ Ec, onde Ec denota o complementar de E em M.

(c) F−1(]−∞, c+ ε]) = f−1(]−∞, c+ ε]) = Mc+ε.

(d) Crit(f) = Crit(F ).

(e) Crit(F ) ∩ F−1([c− ε, c+ ε]) = ∅.

(f) Mc−ε ⊂ F−1(]−∞, c− ε]) ⊆Mc+ε.

Demonstracao: Prova (a). Segue imediatamente do fato que µ satisfaz µ(r) ≥ 0, para

todo r ≥ 0, e da definicao de F.

Prova (b). Primeiro, vejamos que E ⊆ ϕ(B[0,√

2ε])

(veja Figura 4.11). Seja a ∈ E . Como


η(z) ≥ 0, para todo z ∈ ϕ(U), temos

ξ(a) + 2η(a) = ξ(a) + η(a) + η(a) ≥ ξ(a) + η(a).

Por hipotese tem-se que ξ(a) + 2η(a) ≤ 2ε, logo

ξ(a) + η(a) ≤ ξ(a) + 2η(a) ≤ 2ε,

ou seja, a ∈ ϕ(B[0,√

2ε]). Isso mostra a inclusao desejada. Agora, pela definicao de

F sabemos que F (q) = f(q) para todo q /∈ ϕ(U). Dessa forma, resta analisarmos o

caso em que q ∈ (ϕ(U)− E), uma vez que E ⊆ ϕ(U). Mas, se q ∈ (ϕ(U)− E) temos que

ξ(q)+2η(q) > 2ε. Logo, µ(ξ(q)+2η(q)) = 0 (por definicao de µ), e portanto, F (q) = f(q).

Isso mostra o item (b).

F e suave. Para mostrar que F e suave, basta provar que F |ϕ(U) e F |(M−ϕ(B[0,√

2ε])) sao

suaves, uma vez que ϕ(U) e(M − ϕ

(B[0,√

2ε]))

sao conjuntos abertos que cobrem

M. Claramente ϕ(U) e um conjunto aberto. Agora, pra ver que(M − ϕ

(B[0,√

2ε]))

e aberto em M, note que ϕ(B[0,√

2ε])

e fechado em M, pois pela compacidade de

B[0,√

2ε] e continuidade de ϕ segue-se que ϕ(B[0,√

2ε])

e compacto em ϕ(U), e portanto,

e compacto em M. Como M e um espaco Hausdorff, tem-se que ϕ(B[0,√

2ε])

e fechado

em M . A suavidade de F |ϕ(U) e obvia. Para mostrar que F |(M−ϕ(B[0,√

2ε])) e suave, basta

provar que

F |(M−ϕ(B[0,√

2ε])) = f |(M−ϕ(B[0,√

2ε])),

mas isso decorre do fato que(M − ϕ

(B[0,√

2ε]))⊆ Ec (veja item (b) deste lema). Pelo

Lema C.12, F e suave.

Prova (c). A inclusao

f−1(]−∞, c+ ε]) ⊂ F−1(]−∞, c+ ε]),

segue imediatamento do item (a) deste lema. Agora, mostremos a outra inclusao, isto e,

F−1(]−∞, c+ ε]) ⊂ f−1(]−∞, c+ ε]). Pelo item (b) deste lema sabemos que as funcoes

F e f coincidem no conjunto Ec , logo F−1(]−∞, c+ ε])∩ Ec ⊆ f−1(]−∞, c+ ε]). Resta

mostrar que F−1(] −∞, c + ε]) ∩ E ⊆ f−1(] −∞, c + ε]). Se F−1(] −∞, c + ε]) ∩ E = ∅,nao tem nada para fazer. Se F−1(]−∞, c+ ε]) ∩ E 6= ∅, basta mostrar que

E ⊂ f−1(]−∞, c+ ε])


(veja Figura 4.11). Para ver isso, considere q ∈ E . Temos que

f(q) = c− ξ(q) + η(q) ((U,ϕ) e uma carta de Morse)

≤ c+ 12ξ(q) + η(q) (Segue do fato que ξ(q) ≥ 0, ∀q ∈ ϕ(U))

≤ c+ ε. (Segue do fato que q ∈ E)

Logo, q ∈ f−1(]−∞, c+ ε]).

Prova (d). Seja q ∈M. Se q pertence ao conjunto aberto Ec, entao F e f coincidem (veja

item (b) deste lema), e portanto, dFq = dfq. Nesse caso, os pontos crıticos de F e f sao

os mesmos. Agora, vejamos o caso em que q ∈ E . Da igualdade F = F ϕ ϕ−1, segue-se

dFq = d(F ϕ)ϕ−1(q) dϕ−1q .

Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de F basta encontrarmos os pontos crıticos

de F ϕ, pois ϕ−1 e um difeomorfismo. Dado x = (x1, . . . , xm) ∈ U, temos que

(F ϕ)(x) = c− (x21 + · · ·+ x2

λ) + x2λ+1 + · · ·+ x2

m−µ(x2

1 + · · ·+ x2λ + 2(x2

λ+1 + · · ·+ x2m)).

Denotando por s = x21 + · · ·+ x2

λ + 2(x2λ+1 + · · ·+ x2

m), as derivadas parciais de F ϕ no

ponto x sao∂(F ϕ)

∂xi(x) = −2xi − µ′(s)2xi, se 1 ≤ i ≤ λ;

∂(F ϕ)

∂xi(x) = 2xi − µ′(s)4xi, se λ+ 1 ≤ i ≤ m.

Logo x ∈ U e um ponto crıtico de F ϕ se, e somente se,2xi(−1− µ′(s)) = 0, se 1 ≤ i ≤ λ;

2xi(1− 2µ′(s)) = 0, se λ+ 1 ≤ i ≤ m.

Como −1 < µ′(r) ≤ 0, para todo r ∈ R, segue-se que

−1− µ′(s) < 0 e 1− 2µ′(s) ≥ 1.

Logo, o unico ponto crıtico de F ϕ em U e x = 0. Como ϕ(0) = p, tem-se que p e unico

ponto crıtico de F em ϕ(U). Isso conclui a prova da afirmacao.

Prova (e). Pelos itens (a) e (c) deste lema, tem-se que F−1([c−ε, c+ε]) ⊂ f−1([c−ε, c+ε])(veja as Figuras 4.13 e 4.14 abaixo). Pelo item (d) deste lema e a hipotese de que p e o

unico ponto crıtico de f em f−1([c − ε, c + ε]), segue-se que o unico candidato a ponto


crıtico de F em F−1([c− ε, c+ ε]) e p. Mas p /∈ F−1([c− ε, c+ ε]), pois

F (p) = f(p)− µ(0) = c− µ(0) < c− ε.

A desigualdade estrita segue do fato que ε < µ(0).

Prova (f). Primeiro vejamos a inclusao Mc−ε ⊂ F−1(] −∞, c − ε]) (veja a Figura 4.16).

Pelo item (a) deste lema segue-se que Mc−ε ⊆ F−1(] −∞, c − ε]). Agora, provamos no

item (e) deste lema que F (p) < c− ε, e portanto, p ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Por outro lado,

p nao pertence ao conjunto Mc−ε, pois c − ε < f(p) = c. Isso garante a inclusao estrita.

A inclusao F−1(]−∞, c− ε]) ⊂Mc+ε e obvia (veja item (c) deste lema).

Figura 4.13: Conjuntos Mc−ε e f−1([c− ε, c+ ε]). Figura 4.14: Legenda.

Corolario 4.12. F−1(] − ∞, c − ε]) e um retrato por deformacao de Mc+ε = f−1(] −∞, c+ ε]).

Figura 4.15: Conjunto

Mc+ε = F−1(]−∞, c+ ε]).

Figura 4.16: Conjunto F−1(]−∞, c− ε]).

Demonstracao: Pelo item (c) do Lema 4.11, sabemos que F−1(] −∞, c + ε]) = Mc+ε.

Logo, para provar o desejado, basta mostrar que F−1(] − ∞, c − ε]) e um retrato por


deformacao de F−1(]−∞, c+ε]). Para ver isso, basta observar que F satisfaz as hipoteses

do Teorema 3.3:

• F−1([c+ ε, c− ε]) e um conjunto compacto.

De fato, pelos itens (a) e (c) do Lema 4.11, temos que F−1([c − ε, c + ε]) e um

subconjunto fechado do compacto f−1([c−ε, c+ε]), logo F−1([c−ε, c+ε]) e compacto.

• Nao existem pontos crıticos de F em F−1([c− ε, c+ ε]).

Com efeito, segue do item (e) do Lema 4.11.

O resultado segue.

Observacao 4.13. A grande diferenca entre f e F e a condicao (e) do Lema 4.11, que

nos diz que F nao possui pontos crıticos em F−1([c− ε, c + ε]), ao contrario de f, o que

nos permite aplicar o Teorema 3.3 no Corolario acima.

Dado Z ⊆M, denotaremos por Z o fecho do conjunto Z com respeito a topologia

de M.

Definamos

H := F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε e

eλ := q ∈ ϕ(U); ξ(q) ≤ ε e η(q) = 0.

Note que eλ e naturalmente uma λ-celula fechada. Alguns autores chamam o conjunto H

de “alca”. Assim, a regiao Mc−ε ∪H e descrita como Mc−ε com uma “alca” colada.

Figura 4.17: Conjuntos Mc−ε, H e eλ. Figura 4.18: Legenda.

Lema 4.14. Sejam H e eλ como definidos anteriormente. Entao valem as seguintes

afirmacoes.

(a) H 6= ∅ e H ⊆ E .


(b) F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪H.

(c) Mc−ε ∩H 6= ∅ e Mc−ε ∩H = f−1(c− ε) ∩H.

(d) eλ ⊆ H.

(e) Mc−ε ∩ eλ = ∂eλ.

Demonstracao: Prova (a). Segue da demonstracao do item (f) do Lema 4.11 que p ∈F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ H. Logo, H 6= ∅.Agora, vejamos que H ⊆ E . Primeiro vamos mostrar que E e fechado em M. Claramente Ee fechado em ϕ(U), e sabemos pela prova do item (b) do Lema 4.11 que E e um subconjunto

do compacto ϕ(B[0,√

2ε]). Logo, E e compacto em ϕ(U), e portanto e compacto em M.

Como M e Hausdorff tem-se que E e fechado em M.

Agora, vejamos que

F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ E

(veja Figura 4.17). Para ver isso, suponha por absurdo que exista q ∈ (F−1(] −∞, c −ε]) −Mc−ε) tal que q /∈ E . Pelo item (b) do Lema 4.11, segue-se que f(q) = F (q). Mas

isso e um absurdo, pois por hipotese temos F (q) ≤ c − ε e f(q) > c − ε. Isso mostra a

inclusao desejada. Portanto, pelo dois fatos que acabamos de provar segue que

H = F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ E = E .

Prova (b). Pelo item (f) do Lema 4.11 tem-se que Mc−ε ⊂ F−1(] − ∞, c − ε]). Assim,

podemos escrever

F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε

).

Logo,

F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε

)= Mc−ε ∪

(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε

)= Mc−ε ∪H.

Como F−1(]−∞, c− ε]) e Mc−ε sao conjuntos fechados em M, segue-se que

F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪H. (4.6)

Prova (c). Primeiro vejamos que Mc−ε ∩ H 6= ∅. Afirmamos que ∂eλ ⊆ Mc−ε ∩ H. Seja


q ∈ ∂eλ. Pela definicao de ∂eλ, sabemos que ξ(q) = ε e η(q) = 0.Vejamos que q ∈Mc−ε∩H.

• q ∈Mc−ε.

De fato, como por hipotese vale ξ(q) = ε e η(q) = 0, temos que

f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− ε.

Portanto, temos o desejado.

• q ∈ H.Seja (qn)n∈N a sequencia em M, cujo termo geral e qn = (1 − 1/n)q (visto que e

um resultado local, podemos supor que M e um subconjunto de Rm, e portanto,

escreveremos qn = (1 − 1/n)q, em vez de qn = ϕ((1 − 1/n)ϕ−1(q))). Claramente

qn −→ q, logo se mostrarmos que qn ∈(F−1(]−∞, c−ε])−Mc−ε

), para todo n ≥ 1,

teremos que q ∈ H. E facil ver que qn ∈ eλ, para todo n ∈ N. Primeiro, vejamos que

qn ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Temos que:

F (qn) = f(qn)− µ(ξ(qn) + 2η(qn))

= c− ξ(qn) + η(qn)− µ(ξ(qn) + 2η(qn))

= c− (1− 1/n)2ξ(q)− µ((1− 1/n)2ξ(q)) (η(qn) = 0)

= c− (1− 1/n)2ε− µ((1− 1/n)2ε) (q ∈ ∂eλ)

Entao,

F (qn) ≤ c− ε ⇔ c− (1− 1/n)2ε− µ((1− 1/n)2ε) ≤ c− ε⇔ (1− 1/n)2ε+ µ((1− 1/n)2ε) ≥ ε

⇔ µ((1− 1/n)2ε) ≥ ε− (1− 1/n)2ε.

(4.7)

Pelo Teorema da Desigualdade do Valor Medio, tem-se que

|µ(0)− µ((1− 1/n)2ε)| ≤ sup|µ′(r)|(1− 1/n)2ε].

Como µ e decrescente e −1 < µ′(r) ≤ 0 para todo r ∈ R, vem que

µ(0)− µ((1− 1/n)2ε) ≤ (1− 1/n)2ε.

Logo,

µ((1− 1/n)2ε) ≥ µ(0)− (1− 1/n)2ε

> ε− (1− 1/n)2ε (µ(0) > ε).(4.8)

Comparando (4.7) e (4.8), concluımos que qn ∈ F−1(]−∞, c− ε]) para todo n ∈ N.


Agora, resta mostrar que qn /∈Mc−ε, ou seja, que f(qn) > c− ε. Temos que:

f(qn) = c− ξ(qn) + η(qn)

= c− (1− 1/n)2ξ(q) (η(qn) = 0)

= c− (1− 1/n)2ε (q ∈ ∂eλ).

Entao,

f(qn) > c− ε ⇔ c− (1− 1/n)2ε > c− ε⇔ −(1− 1/n)2ε > −ε⇔ (1− 1/n)2ε < ε

⇔ (1− 1/n)2 < 1.

Como (1− 1/n) < 1, para todo n ≥ 1, segue-se que f(qn) > c− ε.Isso mostra que ∂eλ ⊆ (Mc−ε∩H), e em particular, (Mc−ε∩H) 6= ∅, como querıamos

mostrar.

Agora vejamos que Mc−ε ∩ H = f−1(c − ε) ∩ H. A inclusao “⊇” e trivial. Para provar

a outra inclusao basta mostrar que Mc−ε ∩H ⊆ f−1(c− ε). Para mostrar isso, considere

q ∈Mc−ε∩H. Suponha que q /∈ f−1(c−ε), logo deve-se ter ou f(q) < c−ε ou f(q) > c−ε.Como por hipotese q ∈ Mc−ε, tem-se que f(q) > c − ε nao ocorre. Agora, f(q) < c − εtambem nao ocorre, pois

q ∈ H = F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) > c− ε

⊆ F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) > c− ε

⊆ F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) ≥ c− ε.

Portanto, deve-se ter q ∈ f−1(c− ε).

Prova (d). Seja q ∈ eλ. Consideremos tres casos.

Caso 1: q ∈ ∂eλ.Provamos no item (c) deste lema que ∂eλ ⊆ H.

Caso 2: q = p.

Provamos no item (a) deste lema que p ∈ H.

Caso 3: q ∈ (eλ − ∂eλ) e q 6= p.

Nesse caso, temos que 0 < ξ(q) < ε. Aplicando o Teorema do Valor Medio e usando o fato

que µ′(r) > −1 para todo r ∈ R, tem-se que −1 < µ(ξ(q))−µ(0)ξ(q)

, isto e, −ξ(q) − µ(ξ(q)) <

−µ(0). Logo,

F (q) = c− ξ(q)− µ(ξ(q)) < c− µ(0) < c− ε,

onde usamos a hipotese µ(0) > ε. Assim, q ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Por outro lado, f(q) =


c− ξ(q) > c− ε, e portanto, q /∈Mc−ε. Assim, q ∈ (F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε) ⊆ H.

Prova (e). De fato, seja q ∈ Mc−ε ∩ eλ. Como q ∈ eλ, tem-se que ξ(q) ≤ ε e η(q) = 0.

Logo, segue-se f(q) = c−ξ(q) ≥ c−ε. Por outro lado, tem-se f(q) ≤ c−ε, pois q ∈Mc−ε.

Assim,

c− ε ≤ f(q) ≤ c− ε.

Portanto, deve-se ter f(q) = c − ε, isto e, ξ(q) = ε. Logo, Mc−ε ∩ eλ ⊆ ∂eλ. Para

provar a outra inclusao, considere q ∈ ∂eλ. Assim, ξ(q) = ε e η(q) = 0, donde f(q) =

c − ξ(q) + η(q) = c − ε. Isso implica que q ∈ Mc−ε. Como por hipotese q ∈ ∂eλ, tem-se

que q ∈ eλ. Logo, ∂eλ ⊆Mc−ε ∩ eλ. Isso prova o desejado.

Lema 4.15. Mc−ε ∪ eλ e um retrato por deformacao de Mc−ε ∪H = F−1(]−∞, c− ε]).

Figura 4.19: Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). Figura 4.20: Conjunto Mc−ε ∪ eλ.

Antes de provarmos o Lema 4.15 introduziremos alguns subconjuntos de ϕ(U), os

quais facilitarao a prova do Lema 4.15. Aproveitaremos a importancia desses subconjuntos

para organizar e demonstrar suas propriedades no proximo lema.

Denotamos por V o conjunto

ϕ(U) ∩(Mc−ε ∪H

)= ϕ(U) ∩ F−1(]−∞, c− ε]).

Como H ⊂ ϕ(U), tem-se que

V =(ϕ(U) ∩Mc−ε

)∪H. (4.9)

Decompomos V em tres regioes:

R1 = q ∈ V ; ξ(q) ≤ ε,R2 = q ∈ V ; ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε e

R3 = q ∈ V ; η(q) + ε ≤ ξ(q).


Figura 4.21: Regioes de V. Figura 4.22: Legenda.

Lema 4.16. Sejam R1, R2 e R3 como definimos acima. Valem as seguintes afirmacoes.

(a) R1 ⊆ H.

(b) R2 = (H−int(R1))∪(f−1(c−ε)∩ϕ(U)), onde int(R1) denota o interior do conjunto

R1 em V.

(c) R3 = ϕ(U) ∩Mc−ε.

(d) H = R1 ∪ (R2 ∩H).

(e) R1 ∩R3 = R1 ∩Mc−ε = z ∈ V ; ξ(q) = ε e η(q) = 0 = ∂eλ.

(f) R2 ∩R3 = R2 ∩Mc−ε = f−1(c− ε) ∩ ϕ(U).

(g) R1 ∩R2 = a ∈ V ; ξ(a) = ε.

Demonstracao: Prova (a). Claramente eλ ⊆ R1. Pelo item (d) do Lema 4.14, eλ ⊆ H.

Agora, consideremos q ∈ R1 tal que ξ(q) ≤ ε e η(q) > 0. Temos entao:

f(q) = c− ξ(q) + η(q)

≥ c− ε+ η(q) (Segue da hipotese ξ(q) ≤ ε)

> c− ε. (Segue do fato que η(q) > 0)

Isso implica que q /∈ ϕ(U) ∩Mc−ε. Mas como q ∈ V = (ϕ(U) ∩Mc−ε) ∪ H, (veja (4.9))

deve-se ter q ∈ H.

Prova (b). Primeiro vamos mostrar que R2 ⊆(H − int(R1)

)∪ (f−1(c− ε) ∩ ϕ(U)). Para

provar isso vamos considerar dois casos. Seja q ∈ R2.

Caso 1: ξ(q) < η(q) + ε.

Note que segue imediatamente da definicao de R2 que q /∈ int(R1). Logo, para provar


a inclusao desejada, basta mostrar que q ∈ H, o que pode ser feito mostrando que q /∈ϕ(U) ∩Mc−ε (veja (4.9)). Mas, isso e obvio:

f(q) = c− ξ(q) + η(q) > c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε.

Caso 2: ξ(q) = η(q) + ε.

Temos que

f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε,

isto e, q ∈ f−1(c− ε). Como q ∈ R2 ⊆ V ⊆ ϕ(U), vem que q ∈ f−1(c− ε) ∩ ϕ(U).

Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈ (H− int(R1)). Do fato que q ∈ H, segue-se que

c−ε ≤ f(q) (veja demonstracao do item (c) do Lema 4.14). Assim, c−ε ≤ c−ξ(q)+η(q),

donde ξ(q) ≤ η(q) + ε. Como por hipotese q /∈ int(R1), tem-se que ε ≤ ξ(q). Logo,

ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε, e portanto, q ∈ R2. Agora, se q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U) temos que

c− ε = f(q) = c− ξ(q) + η(q), donde, ξ(q) = η(q) + ε. Logo, q ∈ R2.

Prova (c). Primeiro, vamos mostrar que ϕ(U)∩Mc−ε ⊆ R3. Seja q ∈ ϕ(U)∩Mc−ε. Temos

f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε,

donde, η(q) + ε ≤ ξ(q), e assim, q ∈ R3. Para mostrar a outra inclusao, considere q ∈ R3.

Temosf(q) = c− ξ(q) + η(q)

≤ c− η(q)− ε+ η(q)

= c− ε.

Portanto, q ∈Mc−ε. Como R3 ⊆ V ⊆ ϕ(U), tem-se que q ∈ ϕ(U) ∩Mc−ε.

Prova (d). Primeiro vejamos a inclusao R1 ∪ (R2 ∩ H) ⊆ H. Sabemos do item (a) deste

lema que R1 ⊆ H. Como (R2 ∩H) ⊆ H, temos o desejado. Agora, provemos a inclusao

H ⊆ R1 ∪ (R2 ∩ H). Seja q ∈ H. Pelo item (a) deste lema sabemos que R1 ⊆ H,

logo se q ∈ R1 nao temos nada para fazer. Suponhamos que q ∈ (H − R1). Como

q ∈ H = F−1(]∞, c− ε])−Mc−ε, temos que c − ε ≤ f(q) = c − ξ(q) + η(q), donde

ξ(q) ≤ η(q) + ε. Por outro lado, temos que q ∈ (H − R1, ) e H ⊆ V, o que implica que

ξ(q) > ε, e portanto, vale ε ≤ ξ(q). Logo, ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε, isto e, q ∈ R2. Assim,

q ∈ R2 ∩H. Segue o desejado.

Prova (e). Primeiro mostraremos a igualdade R1 ∩ R3 = ∂eλ. A inclusao “⊇” decorre

imediatamente das definicoes de R1 e R3. Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈R1 ∩R3. Logo vale

η(q) + ε ≤ ξ(q) ≤ ε,


o que e possıvel somente se η(q) = 0 e ξ(q) = ε, isto e, se q ∈ ∂eλ. Isso prova a igualdade

desejada.

Agora, provemos a igualdade R1 ∩ R3 = R1 ∩Mc−ε. A inclusao R1 ∩ R3 ⊆ R1 ∩Mc−ε

decorre do fato que R3 ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclusao

consideremos q ∈ R1 ∩Mc−ε. Do fato que q ∈Mc−ε, temos

f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε ⇔ −ξ(q) + η(q) ≤ −ε⇔ η(q) + ε ≤ ξ(q).

Como q ∈ R1 implica que q ∈ V. Portanto, q ∈ R3.

Prova (f). Primeiro mostraremos a igualdade R2 ∩ R3 = f−1(c − ε) ∩ ϕ(U). Dado q ∈R2 ∩R3, segue-se das definicoes de R2 e R3 que

η(q) + ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε.

Logo, deve-se ter ξ(q) = η(q) + ε. Isso implica que

f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε,

donde, q ∈ f−1(c − ε). Como por hipotese q ∈ R2 ∩ R3 ⊂ V ⊂ ϕ(U), segue-se que

q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U). Agora, vejamos a outra inclusao. Dado q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U),

temosf(q) = c− ε ⇔ c− ξ(q) + η(q) = c− ε

⇔ −ξ(q) + η(q) = −ε⇔ η(q) + ε = ξ(q)

Logo, q ∈ R2 ∩R3.

Agora, provemos a igualdade R2 ∩ R3 = R2 ∩Mc−ε. A inclusao R2 ∩ R3 ⊆ R2 ∩Mc−ε

decorre do fato que R3 ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclusao

consideremos q ∈ R2 ∩Mc−ε. Do fato que q ∈Mc−ε, temos

f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε ⇔ −ξ(q) + η(q) ≤ −ε⇔ η(q) + ε ≤ ξ(q).

Como q ∈ R2 implica que q ∈ V. Portanto, q ∈ R3.

Prova (g). A inclusao “⊇” decorre imediatamente das definicoes de R1 e R2. Agora, veja-

mos a outra inclusao. Seja q ∈ R1 ∩R2. Logo vale,

ε ≤ ξ(q) ≤ ε,


donde implica que ξ(q) = ε. Isso prova a igualdade desejada.

Demonstracao do Lema 4.15: Seja r : Mc−ε ∪ H × [0, 1] −→ Mc−ε ∪ H a aplicacao

definida como segue

r(q, t) =

r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), tuλ+1(q), . . . , tum(q)), se q ∈ R1;

r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), stuλ+1(q), . . . , stum(q)), se q ∈ R2;

r3(q, t) = q, se q ∈Mc−ε,

onde st e o numero real definido por

st =

t+ (1− t)√

ξ(q)−εη(q)

, se η(q) > 0; e

0, se η(q) = 0,

para todo q ∈ R2.

Afirmacao 1: st ∈ [0, 1].

De fato, dado q ∈ R2 temos duas possibilidades: η(q) = 0 ou η(q) > 0. Se η(q) = 0 ja

temos o desejado. Agora, se η(q) > 0 tem-se 0 ≤ ξ(q)− ε ≤ η(q), e portanto,√ξ(q)− εη(q)

≤

√η(q)

η(q)= 1.

Logo,

t+ (1− t)

√ξ(q)− εη(q)

≤ t+ (1− t) = 1,

donde st ≤ 1. Agora, como t ∈ [0, 1] segue-se que (1− t) ≥ 0, e portanto, st ≥ 0.

Afirmacao 2: Mc−ε ∪R1 ∪R2 = Mc−ε ∪H.De fato, primeiro vamos provar que Mc−ε∪R1∪R2 ⊆Mc−ε∪H. Seja q ∈Mc−ε∪R1∪R2.

Se q ∈Mc−ε, claramente q ∈Mc−ε∪H. Se q ∈ R1, sabemos do item (a) do Lema 4.16 que

R1 ⊆ H, logo q ∈Mc−ε ∪H. Por fim, se q ∈ R2, sabemos do item (b) do Lema 4.16 que

R2 = (H − int(R1)) ∪ (f−1(c− ε) ∩ ϕ(U)).

Como (H−a ∈ V ; ξ(a) < ε) ⊆ H e (f−1(c−ε)∩ϕ(U)) ⊆Mc−ε, segue que, em qualquer

caso, q ∈Mc−ε ∪H.Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈ Mc−ε ∪ H. Se q ∈ Mc−ε e claro que q ∈Mc−ε ∪ R1 ∪ R2. Assim, resta considerarmos o caso em que q ∈ H. Mas esse caso segue

do fatos que H = R1 ∪ (H − R1) e (H − R1) ⊆ (H − int(R1)) ⊆ R2 (veja itens (a) e (b)

do Lema 4.16). Isso conclui a prova da Afirmacao 2.


Vamos mostrar que:

(a) r esta bem definida, isto e,

(i) r((Mc−ε ∪H)× [0, 1]) ⊆Mc−ε ∪H;

(ii) r1 ≡ r2 em R1 ∩R2 × [0, 1];

(iii) r1 ≡ r3 em R1 ∩Mc−ε × [0, 1];

(iv) r2 ≡ r3 em R2 ∩Mc−ε × [0, 1].

(b) r(q, 1) = q, para todo q ∈Mc−ε ∪H;

(c) r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ, para todo q ∈Mc−ε ∪H;

(d) r(q, t) = q, para todo q ∈Mc−ε ∪ eλ;

(e) r e uma aplicacao contınua.

Prova (a)− (i) Seja q ∈ H = R1 ∪ (R2 ∩H)) (veja item (d) do Lema 4.16). Definamos a

funcao g : [0, 1] −→ R por

g(α) = c− ξ(q) + α2η(q)− µ(ξ(q) + 2α2η(q)).

A derivada de g e dada por g′(α) = 2αη(q) − µ′(ξ(q) + 2α2η(q))4αη(q) e g′(α) ≥ 0,

pois η(a) ≥ 0, para todo a ∈ ϕ(U), e −1 < µ′(t) ≤ 0, para todo t ∈ R. Claramente,

g e uma funcao contınua, e portanto, dados α1, α2 ∈ [0, 1] tais que α1 < α2, temos que

g(α1) ≤ g(α2). Agora, note que g(α) = F (ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q))). Em

particular, temos g(1) = F (q), e como q ∈ H, segue-se que g(1) = F (q) ≤ c− ε, e assim,

vale g(α) = F (ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q))) ≤ c − ε, para todo α ∈ [0, 1],

donde

ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q)) ∈ F−1(]−∞, c− ε]),

para todo α ∈ [0, 1]. Mas, sabemos pelo item (b) do Lema 4.14 que F−1(]−∞, c− ε]) =

Mc−ε ∪H. Isso conclui a prova de que r((Mc−ε ∪H)× [0, 1]) ⊆Mc−ε ∪H.

Prova (a)− (ii) Seja q ∈ R1 ∩R2. Temos dois casos a considerar.

Caso 1: η(q) = 0.

Neste caso st = 0, e portanto, r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0). Por outro lado,

η(q) = 0 implica uλ+1(q) = · · · = um(q) = 0, e assim, r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0).

Logo, r1(q, t) = r2(q, t).


Caso 2: η(q) > 0.

Pelo item (g) do Lema 4.16 tem-se que R1 ∩R2 = a ∈ V ; ξ(a) = ε. Assim, temos

st = t+ (1− t)

√ξ(q)− εη(q)

= t+ (1− t)

√0

η(q)= t.

Isso implica que r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), tuλ+1(q), . . . , tum(q)) = r1(q, t).

Prova (a)− (iii) Pelo item (e) do Lema 4.16 tem-se que R1 ∩Mc−ε = ∂eλ, e portanto,

uj(q) = 0 para todo q ∈ R1 ∩Mc−ε e j ∈ λ+ 1, . . . ,m. Assim, temos

r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), t0, . . . , t0)

= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0)

= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q))

= ϕ ϕ−1(q)

= q.

Como r3(q, t) = q, por definicao, segue que r1(q, t) = r3(q, t), para todo (q, t) ∈ R1 ∩Mc−ε × [0, 1].

Prova (a)− (iv) Seja q ∈ R2 ∩Mc−ε = f−1(c − ε) ∩ ϕ(U) (veja item (f) do Lema 4.16).

Temos dois casos a considerar.

Caso 1: η(q) = 0.

De maneira analoga a prova que fizemos em Prova (a)− (iii), ve-se que r2(q, t) = r3(q, t).

Caso 2: η(q) > 0.

Pelo item (f) do Lema 4.16, f(q) = c− ε, ou seja, ξ(q) = η(q)− ε, donde

st = t+ (1− t)

√ξ(q)− εη(q)

= t+ (1− t)

√η(q) + ε− ε

η(q)= 1.

Logo,

r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q = r3(q, t).

Isso conclui a prova do item (a).

Agora, vamos provar que valem os itens (b), (c) e (d). Note que se q ∈ Mc−ε e

imediato da definicao de r que q satisfaz os tres itens. Assim, resta provar que os tres

itens sao satisfeitos quando q ∈ H = R1 ∪ (R2 ∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), e para

isso consideramos dois casos.


Caso 1: q ∈ R1.

• r(q, 1) = q;

De fato, isso segue imediatamente das igualdades

r(q, 1) = r1(q, 1) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q.

• r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ;Temos que:

r(q, 0) = r1(q, 0) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0uλ+1(q), . . . , 0um(q))

= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0).

Como q ∈ R1, tem-se que ξ(q) ≤ ε. Disso, mais o fato das ultimas m−λ coordenadas

de r(q, 0) serem nulas, segue-se que r(q, 0) ∈ eλ. Logo, r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ.

• r(q, t) = q; para todo q ∈ R1 ∩ (Mc−ε ∪ eλ).Nesse caso, deve-se ter q ∈ eλ, pois

R1 ∩ (Mc−ε ∪ eλ) = (R1 ∩Mc−ε) ∪ (R1 ∩ eλ)= (R1 ∩Mc−ε) ∪ eλ (Segue do fato de eλ ⊆ R1)

= ∂eλ ∪ eλ (Veja item (e) do Lema 4.16)

= eλ.

Assim, vale uλ+1(q) = · · · = um(q) = 0. Entao temos

r(q, t) = r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), t0, . . . , t0)

= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0)

= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q))

= ϕ ϕ−1(q)

= q,

para todo t ∈ [0, 1].

Caso 2: q ∈ R2.

Primeiro vamos analisar o caso em que η(q) = 0. De maneira analoga a prova que fizemos

em Prova (a)− (iii), ve-se que r(q, t) = r2(q, t) = q. Agora, suponhamos η(q) > 0.

• r(q, 1) = q;

De fato, temos que

s1 = 1 + 0

√ξ(q)− εη(q)

= 1.


Logo,

r(q, 1) = r2(q, 1) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q.

• r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ;Nesse caso s0 =

√ξ(q)−εη(q)

. Logo,

f(r(q, 0)) = f(r2(q, 0)) = f(u1(q), . . . , uλ(q), s0uλ+1(q), . . . , s0um(q))

= c− ξ(q) + s20η(q)

= c− ξ(q) +[( ξ(q)−ε

η(q)

) 12

]2

η(q)

= c− ξ(q) + ξ(q)− ε= c− ε.

Isso mostra que r(q, 0) ∈Mc−ε, e portanto, r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ.

• r(q, t) = q, para todo q ∈ R2 ∩ (Mc−ε ∪ eλ) e η(q) > 0.

Como estamos no caso em que η(q) > 0, segue que R2 ∩ eλ = ∅. Assim, resta

analisarmos o caso em que q ∈ R2 ∩Mc−ε. O desejado segue do item (a)− (iv).

Isso prova os itens (b), (c) e (d).

Prova (e). Vejamos que as hipoteses do Lema A.6 sao satisfeitas.

• Levando em conta a relacao H = R1 ∪ (R2 ∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), ve-se

que (Mc−ε ∪H)× [0, 1] e a uniao de tres conjuntos fechados:

(Mc−ε ∪H)× [0, 1] =(Mc−ε × [0, 1]

)∪(R1 × [0, 1]

)∪((R2 ∩H)× [0, 1]

).

• As restricoes r1 = r|R1×[0,1], r|(R2∩H)×[0,1] e r3 = r|Mc−ε×[0,1] sao contınuas.

Claramente, r1 e r3 sao contınuas. Para ver que r|(R2∩H)×[0,1] e contınua, basta

mostrar que r2 possui uma extensao contınua no bordo de eλ, e que essa extensao

coincide com a aplicacao identidade nesse conjunto (veja a definicao de r). Assim,

devemos mostrar que r2(q, t) −→ q, quando η(q) −→ 0 e ξ(q) −→ ε. Agora, η(q) −→0 implica que uj(q) −→ 0, para todo j ∈ λ + 1, . . . ,m. Como st ∈ [0, 1] tem-se

stuj(q) −→ 0, quando η(q) −→ 0. Portanto,

r2(q, t) −→ ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0),

isto e,

r2(q, t) −→ ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)),


com uj(q) −→ 0, para todo j ∈ λ+ 1, . . . ,m. Logo,

r2(q, t) −→ ϕ ϕ−1(q) = q.

Ainda deverıamos verificar que as tres restricoes coincidem nas intersecoes comuns. Mas,

isso ja foi feito quando mostramos que a aplicacao r esta bem definida. Isso conclui a

prova do Lema 4.15.

Demonstracao do Teorema 4.10: Segue do Corolario 4.12 e do Lema 4.15 que

Mc−ε ∪H ≈Mc+ε e

Mc−ε ∪ eλ ≈Mc−ε ∪H.

Pela Observacao B.3 item 3), tem-se queMc−ε∪eλ ≈Mc+ε. ComoMc−ε e eλ sao subespacos

fechados deM segue do Lema 4.7 queMc−ε∪eλ eMc−ε∪∂eλeλ sao homeomorfos, e portanto,

Mc−ε ∪∂eλ eλ ≈Mc+ε. Isso conclui a prova do Teorema 4.10.

Observacao 4.17. Mais geralmente, suponha que existam k pontos crıticos nao degene-

rados, p1, . . . , pk com ındices λ1, . . . , λk em f−1(c). Entao uma prova similar mostra que

Mc+ε tem o mesmo tipo de homotopia de Mc−ε ∪∂eλ1 eλ1 ∪ · · · ∪∂eλk eλk .

Observacao 4.18. Para aplicar o Teorema 4.10, deve-se ter o cuidado de garantir que

exista ε > 0 tal que o conjunto f−1([c− ε, c+ ε]) seja compacto. A seguir exibiremos um

exemplo no qual nao podemos aplicar o Teorema 4.10, pois nao existe ε > 0, tal que a

hipotese da compacidade seja cumprida. Considere

f : R −→ R, t 7−→ sin(t).

Claramente, f funcao e suave. Afirmamos que p = π/2 e um ponto crıtico nao degenerado

de f de ındice 1. De fato, como sin′(t) = cos(t) implica que

sin′(π/2) = cos(π/2) = 0.

Logo p e um ponto crıtico de f. Agora, vejamos que p e nao degenerado. Temos que

sin′′(t) = − sin(t). Daı, tem-se

sin′′(π/2) = − sin(π/2) = −1 6= 0.

Portanto, p e um ponto crıtico nao degenerado. E por fim, mostremos que o ındice de p


e igual a 1. Mas isso segue do fato de que Hessπ/2(f) e uma forma definida negativa, pois

Hessπ/2(f)(t, t) = −t2 < 0, para todo t ∈ R− 0.

Isso conclui a prova da nossa afirmacao. Agora, vejamos que nao existe ε > 0 tal que

f−1([1 − ε, 1 + ε]) seja compacto. Como −1 ≤ sin(t) ≤ 1, tem-se f−1([1 − ε, 1 + ε]) =

f−1([1− ε, 1]. Escolhemos ε > 0 tal que valha

f(t0) = 1− ε, para algum 0 < t0 < π/2.

Sabemos que sin(t) = sin(π− t), para todo t ≥ 0. Em particular, f(π− t0) = f(s0) = 1−ε.Sabemos ainda que vale

f(t0) = f(t0 + k2π) = 1− ε e f(s0) = f(s0 + k2π) = 1− ε

para todo k ∈ N. Assim, escrevendo tk = t0 + k2π e sk = s0 + k2π, temos que

f−1([1− ε, 1]) =⊔k∈N

[tk, sk].

Como f−1([1 − ε, 1]) e ilimitado, implica que nao e compacto. Na Figura 4.23 a repre-

sentacao do grafico de f esta de vermelho e o conjunto f−1([1 − ε, 1]) corresponde aos

segmentos de reta de cor azul.

Figura 4.23: Grafico de f.

Capıtulo 5

Terceiro Teorema de Morse

Neste capıtulo introduzimos o conceito de CW-complexo e provamos o Terceiro

Teorema de Morse.

No que se segue usaremos a seguinte terminologia e notacao para todo inteiro

λ ≥ 0 :

• Bλ= x ∈ Rλ : ‖x‖ ≤ 1 - Bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rk.

• Bλ = x ∈ Rλ : ‖x‖ < 1 - Bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rk.

• Sλ−1 = x ∈ Rλ : ‖x‖ = 1 - Esfera de centro 0 e raio 1 em Rk.

Usamos a notacao ‖.‖ para indicar a norma euclidiana. No caso em que λ = 0 definamos

R0 = 0 e S−1 = ∅.Lembramos que, dado um espaco topologico X, denotamos por:

• (eλ, α) - Celula fechada de dimensao λ (ou λ-celula fechada) contida em X.

• (eλ, α) - Celula aberta de dimensao λ (ou λ-celula) contida em X.

• ∂eλ = q ∈ eλ; ‖α−1(q)‖ = 1 - Bordo de (eλ, α).

Observacao 5.1.

• Usaremos a notacao eλ para indicar uma λ-celula e a notacao eλ para indicar uma

λ-celula fechada, mencionando o homeomorfismo α somente quando for necessario.

Quando nao explicitarmos a dimensao de

• Quando nao explicitarmos a dimensao de uma λ-celula ou λ-celula fechada usaremos

as notacoes e e e, respectivamente.

Definicao 5.2. Seja X um espaco topologico. Uma decomposicao celular E de X e

uma particao de X em subespacos que sao celulas.66

Capıtulo 5. Terceiro Teorema de Morse 67

5.1 CW-complexo

A nocao de CW-complexo e uma extensao da nocao de uma variedade suave

para um cenario puramente topologico. Enquanto uma variedade pode ser vista como o

resultado da colagem de bolas abertas da mesma dimensao, e a colagem sendo feita atraves

de difeomorfismos nas partes comuns, o CW-complexo pode ser visto como o resultado

da colagem de bolas fechados de varias dimensoes, e a colagem sendo feita ao longo dos

bordos atraves de aplicacoes contınuas.

Definicao 5.3. Seja X um espaco topologico. Uma decomposicao celular E de X e

uma particao de X em subespacos que sao celulas.

Definicao 5.4. Um par (X, E), consistindo de um espaco topologico Hausdorff X e uma

decomposicao celular E de X, e chamado CW -complexo se os seguintes axiomas sao sa-

tisfeitos:

Axioma 1 (Aplicacoes caracterısticas). Para cada λ-celula eλ ∈ E existe uma aplicacao

contınua Φeλ : Bλ −→ X levando Bλ homeomorficamente na celula eλ e o conjunto

Φeλ(Sλ−1) esta contido numa uniao de celulas de dimensoes menores ou iguais a λ− 1 de

X.

Axioma 2 (Finitude do fecho). O fecho e de cada celula e ∈ E intersecta apenas um

numero finito de outras celulas.

Axioma 3 (Topologia Fraca). Um subconjunto A ⊆ X e fechado se, e somente se A ∩ ee fechado para toda celula e ∈ E .

O nome CW-Complexo refere-se aos Axiomas 2 e 3, que nos dao condicoes sobre

a quantidade de celulas que sao permitidas no complexo (para decomposicoes celulares fi-

nitas esses dois axiomas sao sempre trivialmente satisfeitos). A letra “C” significa Closure

finite e a letra “W” para Weak topology.

Definicao 5.5. Seja X um espaco decomposto em celulas. Dado λ ∈ N o conjunto de

todas as celulas de dimensao menor ou igual a λ e chamado λ-esqueleto de X.

De maneira grosseira o Axioma 1 nos diz que as λ- celulas devem ser coladas no

(λ− 1)-esqueleto. A seguir formalizaremos isso.

Exemplo 5.6. A esfera de dimensao n, Sn, admite a seguinte decomposicao (a qual nao

e unica):

Sn = e01 ∪ en2

de modo que a aplicacao caracterıstica f2 : Bn −→ en2 leva o conjunto Sn−1 em um ponto,

isto e, a celula de dimensao zero.


Exemplo 5.7. Se X e um CW-complexo e ϕ : Sλ−1 −→ Xλ−1 e uma aplicacao contınua,

entao X ∪ϕ Bλ

e um CW-complexo.

Mais geralmente, podemos colar uma famılia inteira de λ-celulas simultanea-

mente. Sejam X um CW-complexo e ϕαα∈Λ uma famılia de aplicacoes contınuas

ϕα : Sλ−1 −→ Xλ−1. Definimos

ϕ : Sλ−1 × Λ −→ Xλ−1

(v, α) 7−→ ϕα(v),

onde Λ tem a topologia discreta e ϕ e contınua. Entao

X ∪ϕ (Bλ × Λ)

e um CW-complexo.

A seguir daremos um metodo para construcao de um CW-complexo.

i) Comecamos com o 0-esqueleto, X0. Este e um espaco discreto.

ii) O n-esqueleto, Xn, e obtido por inducao.

Seja En o conjunto de n-celulas. Escolhemos para cada celula en uma aplicacao ca-

racterıstica e seja Φen|Sn−1 = ϕen . Considerando ϕenen∈En uma famılia de aplicacoes

colagem, obtemos um CW-complexo

Xn−1 ∪ϕ (Bn × En).

Definicao 5.8. Sejam X e Y CW-complexos e f : X −→ Y uma aplicacao contınua.

Dizemos que f e uma aplicacao celular se

f(Xn) ⊆ Y n ∀ n = 0, 1, 2, . . . ,

onde Xn e Y n denotam os n-esqueletos de X e Y, respectivamente.

Teorema 5.9. (Teorema da Aproximacao Celular) Sejam X e Y CW-complexos. Toda

aplicacao contınua f : X −→ Y e homotopica a uma aplicacao celular.

Demonstracao: Veja ([5], p. 349).

5.2 Terceiro Teorema de Morse

Nesta secao provamos o Terceiro Teorema de Morse para uma variedade com-

pacta. Esse teorema tambem e valido para uma variedade que nao seja compacta (veja


([10], p. 20)). Ressaltamos que no trabalho original de Morse, o Terceiro Teorema de

Morse foi descrito atraves de uma colecao de desigualdades, as quais sao chamadas Desi-

gualdades de Morse. Neste trabalho, abordamos esse teorema com uma linguagem mais

moderna atraves do conceito de CW-complexo.

Teorema 5.10. (Terceiro Teorema de Morse) Seja M uma variedade compacta e

f : M −→ R uma funcao de Morse. Entao a variedade M tem o mesmo tipo de ho-

motopia de um CW-complexo com uma celula de dimensao λ para cada ponto crıtico de

ındice λ.

Para provarmos esse teorema precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 5.11. Sejam f1, f2 : ∂eλ −→ Y duas aplicacoes homotopicas. Entao a aplicacao

identidade de Y se estende a uma equivalencia de homotopia

k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f2 eλ.

Demonstracao: Veja Apendice B, Lema B.6.

Lema 5.12. Seja ϕ : ∂eλ −→ Y uma aplicacao de colagem. Toda equivalencia de homo-

topia f : Y −→ Z se estende para uma equivalencia de homotopia

F : Y ∪ϕ eλ −→ Z ∪fϕ eλ.

Demonstracao: Veja Apendice B, Lema B.8.

Agora, vejamos a demonstracao do Teorema 5.10.

Demonstracao: Como por hipotese M e compacta sabemos pelo Lema 2.12 que Crit(f) e

finito. Assim, sejam c1 < c2 < · · · < cn, os valores crıticos de f. Note que necessariamente,

n ≥ 2. Seja a ∈ R tal que c1 < a < c2. Logo se a < c1, tem-se Ma = ∅. Consideremos

ε > 0 tal que c1 e o unico valor crıtico de f em [c1 − ε, c1 + ε]. Pela Observacao 4.17

segue-se que

Mc1+ε 'Mc1−ε ∪∂eλ1 eλ1 ∪∂eλ2 eλ2 ∪ · · · ∪∂e(λj(c1)−1) eλj(c1) . (5.1)

Como Mc1−ε = ∅, temos

Mc1+ε ' eλ1 ∪∂eλ2 eλ2 ∪ · · · ∪∂e(λj(c1)−1) eλj(c1) = K.

Definimos por h′ : Mc1+ε −→ K a equivalencia de homotopia correspondente. Pela

Observacao 4.17 segue-se que

Mc2+ε 'Mc2−ε ∪ϕ1 eλ1 ∪ϕ2 e

λ2 ∪ · · · ∪ϕj(c2) eλj(c2) , (5.2)


onde ϕl : ∂eλ −→ Mc2−ε e uma aplicacao de colagem, para cada l ∈ 1, . . . jc2. Segue

do Teorema 3.3 que h : Mc2−ε −→ Mc1+ε e uma equivalencia de homotopia, e portanto,

h′ h : Mc2−ε −→ K e uma equivalencia de homotopia. Logo, aplicando o Lema 5.12

j(c2)− 1-vezes segue-se que

Mc2−ε∪ϕ1 eλ1 ∪ϕ2 e

λ2 ∪· · ·∪ϕj(c2) eλj(c2) ' K∪h′hϕ1 e

λ1 ∪h′hϕ2 eλ2 ∪· · ·∪h′hϕj(c2) e

λj(c2) , (5.3)

onde denotamos a composta h′ h ϕl por h′hϕl, para todo l ∈ 1, . . . jc.Agora, pelo Teorema de Aproximacao Celular (Teorema 5.9) segue-se que cada

h′ h ϕl e homotopica a aplicacao

ψl : ∂eλl −→ Kλl−1,

para todo l ∈ 1, . . . jc. Logo, pelo Lema 5.11 segue-se que

K ∪h′hϕ1 eλ1 ∪h′hϕ2 e

λ2 ∪ · · · ∪h′hϕj(c2) eλj(c2) ' K ∪ψ1 e

λ1 ∪ψ2 eλ2 ∪ · · · ∪ψj(c2) e

λj(c2) . (5.4)

De (5.2) e(5.3) segue-se que

Mc2+ε ' K ∪h′hϕ1 eλ1 ∪h′hϕ2 e

λ2 ∪ · · · ∪h′hϕj(c2) eλj(c2) . (5.5)

De (5.4) e(5.5) segue-se que

Mc2+ε ' K ∪ψ1 eλ1 ∪ψ2 e

λ2 ∪ · · · ∪ψj(c2) eλj(c2) . (5.6)

Repetindo o argumento indutivamente e levando em conta que Mcn+ε = M, obtemos o

desejado.

Apendice A

Topologia

Neste Apendice apresentamos algumas definicoes e resultados de Topologia que

usamos neste trabalho. Alguns resultados aqui apresentados nao terao demonstracoes,

pois sao resultados bem conhecidos e facilmente encontrados em qualquer livro de Topo-

logia.

Definicao A.1. Uma topologia num conjunto X e uma colecao T de subconjuntos de

X, denominados abertos (segundo a topologia T ) satisfazendo as seguintes condicoes:

• X e ∅ pertencem a T .

• Se A1, . . . , An ∈ T , com n ≥ 1, entao ∩ni=1Ai ∈ T .

• Para toda famılia (Aα)α∈I de abertos, ∪Aα ∈ T .

Um espaco topologico e uma par (X, T ), onde X e um conjunto e T e uma topologia

em X.

Frequentemente se diz apenas o espaco topologico X, mencionando T somente

quando for necessario para evitar ambiguidade.

Exemplo A.2. Seja E um espaco vetorial real de dimensao finita m. Definamos uma

topologia em E tomando uma norma qualquer ‖ · ‖ de E e declarando um subconjunto

U de E aberto se para todo p ∈ U existe ε > 0 tal que B(p, ε) ⊆ U , onde B(p, ε) :=

q ∈ E; ‖ p− q ‖< ε. Convenciona-se que o conjunto vazio e aberto.

E facil verificar que isso define uma topologia em E. Observa-se que essa topologia e

independente da norma usada, ja que todas as normas em E sao equivalentes (veja [8]).

Chamamos a topologia assim definida de topologia natural do espaco vetorial E.

Definicao A.3. Seja (X, T ) um espaco topologico. Dado um subconjunto Y em X,

TY := U ∩Y, U ∈ T e uma topologia em Y , a qual chamamos de topologia induzida.71

Apendice A. Topologia 72

Definicao A.4. Sejam X um espaco topologico, p ∈ X e S ⊆ X.

(a) Uma vizinhanca de p e um subconjunto aberto contendo p.

(b) O subconjunto S e fechado se X − S e aberto.

(c) Um ponto p ∈ S e dito ser um ponto isolado de S se existe U ⊆ X vizinhanca

de p, tal que U ∩X = p.

(c) Diremos que X e um espaco de Hausdorff se dados a, b ∈ X, com a 6= b, existem

abertos A1 3 a, A2 3 b tais que A1 ∩ A2 = ∅.

Definicao A.5. Uma aplicacao f : X → Y de um espaco topologico X num espaco

topologico Y , diz-se contınua quando a imagem inversa f−1(B) de qualquer aberto

B ⊂ Y for um aberto em X.

Lema A.6. (Lema de colagem para aplicacoes contınuas) Sejam X e Y espacos to-

pologicos, e suponha que uma das seguintes condicoes e valida:

(a) Sejam B1, . . . , Bn subconjuntos fechados de X tais que X = ∪ni=1Bi.

(b) Seja Bii∈A uma famılia de conjuntos abertos de X tais que X = ∪i∈ABi.

Suponha ainda que para todo i a aplicacao Fi : Bi −→ Y seja contınua e Fi|Bi∩Bj =

Fj|Bi∩Bj . Entao existe uma unica aplicacao contınua F : X −→ Y, cuja restricao em cada

Bi e igual a Fi.

Demonstracao: Veja ([7] p. 602).

Definicao A.7. Um homeomorfismo h : X → Y de um espaco topologico X sobre

o espaco topologico Y e uma aplicacao contınua e biunıvoca de X sobre Y , cuja inversa

h−1 : Y → X tambem e contınua.

Exemplo A.8. Sejam E e F dois espacos vetoriais de mesma dimensao finita. Entao

qualquer aplicacao linear bijetiva f : E −→ F e um homeomorfismo.

Para ver isso, seja B ⊆ F um conjunto aberto. Devemos mostrar que f−1(B) e aberto

em E. Seja ‖ · ‖F uma norma em F . Por definicao da topologia natural de F , existem

pontos ai em B, i ∈ I, e numeros reais εi > 0, tais que B = ∪i∈IBF (ai, εi), onde

BF (ai, εi) := u ∈ F | ‖u− ai‖F < εi.Por outro lado, verifica-se imediatamente que a aplicacao

‖ · ‖E : E −→ R, v 7−→ ‖v‖E := ‖f(v)‖F ,


e uma norma em E, e claramente vale a seguinte identidade:

f−1(BF (a, ε)) = BE(f−1(a), ε),

onde BE(f−1(a), ε) := v ∈ E | ‖f−1(a)− v‖E < ε. Daı,

f−1(B) =⋃i∈I

f−1(BF (ai, εi)

)=⋃i∈I

BE

(f−1(ai), εi

).

Concluımos que f−1(B) e uma uniao de bolas abertas (relativamente a ‖ ·‖E), e portanto,

e aberto. Segue-se que f e contınua. Analogamente, mostra-se que f−1 e contınua. Logo

f e um homeomorfismo.

Teorema A.9. Todo subespaco compacto de um espaco Hausdorff e fechado.

Teorema A.10. Todo subespaco fechado de um espaco compacto e compacto.

Definicao A.11. Um espaco topologico X e localmente compacto se para todo ponto

x ∈ X existem U uma vizinhanca de x e W ⊆ X subconjunto compacto de X tais que

U ⊆ W .

Lema A.12. Sejam X um espaco topologico Hausdorff e localmente compacto,

K ⊂ X compacto e D ⊂ X um subconjunto aberto tal que K ⊂ D. Entao existe E ⊂ X

subconjunto aberto em X tal que E e compacto e K ⊂ E ⊂ E ⊂ D.

Demonstracao: Seja x ∈ X. Primeiro considere o caso K = x. Por hipotese existe

W ⊂ X compacto e tal que x ∈ W. Pelo Teorema A.9 sabemos que W e fechado em

X, e portanto, segue do Lema A.15 que W e um subespaco normal. Consideremos os

subconjuntos x e B = W −D fechados de W . Como W e normal e K ∩B = ∅ existem

abertos U, V de N tais que x ⊂ U , B ⊂ V e U ∩ V = ∅. Agora, pela definicao de

topologia induzida existem U0 e V0 abertos de X tais que U = U0 ∩W e V = V0 ∩W.Seja E = Int(U). Note que E e aberto em X e alem disso, vale E ⊂ U ⊂ U ⊂ W = W.

Agora, pelo Teorema A.10 sabemos que E e compacto em W, mas como compacidade e

uma propriedade intrınseca segue-se que E e compacto em X.

Falta mostrar que E ⊂ D. Para ver isso, primeiro note que

E ∩ V0 ⊂ U ∩ V0 = (U0 ∩W ) ∩ V0 = (U0 ∩W ) ∩ (W ∩ V0) = U ∩ V = ∅.

Assim, E ⊂ X − V0. Usando o fato de que X − V0 e fechado obtemos que E ⊂ X − V0.

Agora,

E ⊂ [W ∩ (X − V0)] ⊂ [W ∩ (X − (W −D))] = W ∩D ⊂ D.


Procedemos agora com o caso geral. Pelo que provamos acima para cada x ∈ Kexiste um aberto Ex com Ex compacto e Ex ⊂ D. Claramente temos que K ⊂

⋃x∈K Ex.

Pela compacidade de K existem x1, . . . , xn ∈ K tais queK ⊂⋃ni=1Exi . Seja E =

⋃ni=1Exi .

Sabemos que uniao arbitraria de conjuntos abertos e aberto e assim E e um conjunto

aberto. Alem disso, vale

K ⊂ E ⊂ E =n⋃i=1

Exi ⊂ D.

Definicao A.13. Seja X um espaco topologico.

(a) Uma colecao X de subconjuntos de X e dita localmente finita se para todo ponto

x ∈ X existe uma vizinhanca de x que intersecta no maximo um numero finito de

conjuntos de X .

(b) Sejam U e V coberturas de X. Diz-se que V e um refinamento de U se para cada

V ∈ V existe U ∈ U tal que V ⊆ U.

(c) Dizemos que X e paracompacto se toda cobertura aberta de X admite um refina-

mento aberto localmente finito.

Teorema A.14. Se X e um espaco Hausdorff e paracompacto, entao X e normal.

Lema A.15. Seja X um espaco topologico.

(a) Se X e normal e A ⊆ X e um subconjunto fechado em X, entao A e normal.

(b) Se X e Hausdorff e A ⊆ X e um subconjunto de X, entao A e Hausdorff.

(c) Se X e Hausdorff e localmente compacto, e A ⊆ X e um subconjunto fechado ou

aberto de X, entao A e localmente compacto.

Apendice B

Homotopia

Neste apendice apresentamos conceitos e algumas observacoes sobre homotopia.

Ambos serao usados nos enunciados dos principais teoremas deste trabalho. Alem disso,

provamos os lemas cruciais para demonstrar o Terceiro Teorema de Morse. Observamos

que os lemas aqui enunciados envolvem espaco de adjuncao (veja mais detalhes no Capıtulo

4).

Definicao B.1. Sejam X e Y espacos topologicos e f, g : X −→ Y aplicacoes contınuas.

Diz-se que f e homotopica a g se existe uma aplicacao contınua H : X × [0, 1] −→ Y

tal que

H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x),

para todo x ∈ X. A aplicacao H e chamada homotopia entre f e g. Se f e homotopica a

g, escrevemos f ≈ g.

Definicao B.2. Sejam X e Y espacos topologicos e seja f : X −→ Y uma aplicacao

contınua. Diz-se que f e uma equivalencia de homotopia se existe uma aplicacao

g : Y −→ X contınua que satisfaz as seguintes propriedades:

(g f) ≈ IdX e (f g) ≈ IdY .

Observacao B.3.

(a) Se f : X −→ Y e uma equivalencia de homotopia, dizemos que os espacos X e Y

tem o mesmo tipo de homotopia e escrevemos X ≈ Y

(b) Dizemos que uma aplicacao g : Y −→ X como na definicao acima e uma inversa

de homotopia de f.

(c) Se g : Y −→ X satisfaz apenas (g f) ≈ IdX (resp. (f g) ≈ IdY ), g e chamada

uma inversa de homotopia a esquerda (resp. direita) de f.75

Apendice B. Homotopia 76

(d) A relacao “equivalencia de homotopia” e uma relacao de equivalencia.

Definicao B.4. Sejam X um espaco topologico e A um subespaco de X. Diz-se que A e

um retrato por deformacao de X se existe uma aplicacao contınua H : X × I −→ X

tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) ∈ A para todo x ∈ X, e H(a, t) = a para todo a ∈ A.

A homotopia H e chamada uma retracao por deformacao de X em A. A aplicacao

r : X −→ A definida por r(x) = H(x, 1) e uma retracao de X em A, e H e uma

homotopia entre a aplicacao identidade de X e a aplicacao j r, onde j : A −→ X e

inclusao.

Observacao B.5. Se A e um retrato por deformacao de X, entao A e X tem o mesmo

tipo de homotopia.

Sejam Y um espaco topologico e (eλ, α) uma λ-celula fechada de um certo espaco

topologico X. Dado x ∈ Bλnao nulo, podemos escrever x = tu, onde

u =x

‖x‖e t = ‖x‖.

Note que t = ‖x‖ ∈ [0, 1], pois x ∈ Bλ. Assim, dado z ∈ eλ, tem-se que z = α(tu), para

algum u ∈ Sλ−1 e para algum t ∈ [0, 1].

Lema B.6. Sejam f1, f2 : ∂eλ −→ Y duas aplicacoes homotopicas. Entao a aplicacao

identidade de Y se estende a uma equivalencia de homotopia

k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f2 eλ.

Demonstracao: Se z ∈ eλ, tem-se que z = α(tu), com t ∈ [0, 1] e u ∈ Sλ−1. Dado

ε ∈ 0, 1, definamos k pondo:

k([z, ε]) =

k1([z, ε]) = k1([z, 1]) = [z, 1], se z ∈ Y ;

k2([z, ε]) = k2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;

k3([z, ε]) = k3([α(tu), 0]) = [h(α(u), 2− 2t), 1] , se 12≤ t ≤ 1,

onde h e a homotopia entre f1 e f2, isto e, h : ∂eλ× [0, 1] −→ Y e uma aplicacao contınua

que satisfaz:

h(α(u), 0) = f1(α(u)) e h(α(u), 1) = f2(α(u)). (B.1)

• A aplicacao k esta bem definida, isto e,

i) Se (z, ε) ∼ (z′, ε′), entao k([z, ε]) = k([z′, ε′]), com ε, ε′ ∈ 0, 1.

ii) k2 ≡ k3 se t = 1/2 e z = α(u/2).


Prova i). Para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente

Y ∪f1 eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.

CASO 1: z ∈ (eλ − ∂eλ) ou z ∈ (Y − f1(∂eλ)).

Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [z, ε] = (z, ε).CASO 2: z ∈ ∂eλ.Sabemos que

[z, 0] = (z, 0), (x, 0), (f1(z), 1); f1(z) = f1(x), x ∈ ∂eλ. (B.2)

Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 0) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 0].

Agora, como z ∈ ∂eλ tem-se que z = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Disso, mais

(B.1), segue-se que

k([z, 0]) = k([α(u), 0]) = k3([α(u), 0]) = [h(α(u), 0), 1] = [f1(α(u)), 1]. (B.3)

Obtemos de (B.1) e (B.2) que

k([x, 0]) = k([α(v), 0]) = k3([α(v), 0]) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [f1(α(u)), 1], (B.4)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de k em Y tem-se que

k([f1(z), 1]) = k1([f1(z), 1]) = [f1(z), 1]. (B.5)

Comparando (B.3), (B.4) e (B.5) temos o desejado.

CASO 3: z ∈ f1(∂eλ) ⊆ Y.

Sabemos que

[z, 1] = (z, 1), (x, 0); f1(x) = z, x ∈ ∂eλ. (B.6)

Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 1) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 1].

Da definicao de k em Y segue-se que

k([z, 1] = k1([z, 1]) = [z, 1] (B.7)

Agora, de (B.1) e (B.6) temos que

k([x, 0]) = k([α(v), 0]) = k3([α(v), 0]) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [z, 1], (B.8)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Comparando (B.7) e (B.8) temos o

desejado.


Prova ii). Por um lado, temos

k2

([α(u

2

), 0])

=[α(

2u

2

), 0]

= [α(u), 0].

Por outro lado, tem-se que

k3

([α(u

2

), 0])

=

[h

(α(u), 2− 2

1

2

), 1

]= [h(α(u), 1)] = [f2(α(u)), 1],

onde a ultima igualdade decorre de (B.1). Descrevendo a classe de f2(α(u)) ∈f2(∂eλ) de maneira analoga ao que fizemos em (B.6) tem-se que [α(u), 0] = [f2(α(u)), 1].

Isso conclui a prova de que k esta bem definida.

• k e uma aplicacao contınua.

E facil ver.

Dado ε ∈ 0, 1, seja l : Y ∪f2 eλ −→ Y ∪f1 eλ a aplicacao definida por:

l([w, ε]) =

l1([w, ε]) = l1([w, 1]) = [w, 1], se w ∈ Y ;

l2([w, ε]) = l2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;

l3([w, ε]) = l3([α(tu), 0]) = [h(u, 2t− 1), 1], se 12≤ t ≤ 1.

A prova de que l esta bem definida, e analoga ao que fizemos para provar que k esta bem

definida. Alem disso, a continuidade de l tambem prova-se de maneira analoga a prova

da continuidade de k.

Afirmacao 1. l k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f1 eλ e homotopica a aplicacao identidade de Y ∪f1 eλ.Para provarmos a Afirmacao 1, devemos definir uma aplicacao H : Y ∪f1 eλ × [0, 1] −→Y ∪f1 eλ que satisfaz:

a) H e contınua;

b) H ([z, ε], 0) = (l k)([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.

c) H ([z, ε], 1) = (IdY ∪f1eλ)([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.

Antes de exibirmos a aplicacao H, explicitaremos l k, e para isso, analisaremos os se-

guintes casos. Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.

• z ∈ Y.(l k)([z, ε]) = l(k1([z, 1])) = l1([z, 1]) = [z, 1].

• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 0 ≤ t ≤ 14.


(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])

= l(k2([α(tu), 0]))(0 ≤ t ≤ 1

4

)= l([α(2tu), 0])

= l2([α(2tu), 0])(0 ≤ 2t ≤ 1

2

)= [α(4tu), 0].

• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 14≤ t ≤ 1

2.

(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])

= l(k2([α(tu), 0]))(

14≤ t ≤ 1

2

)= l([α(2tu), 0])

= l3([α(2tu), 0])(

12≤ 2t ≤ 1

)= [h(α(u), 4t− 1), 1].

• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 12≤ t ≤ 1.

(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])

= l(k3([α(tu), 0]))(

12≤ t ≤ 1

)= l([h(α(u), 2− 2t), 1])

= l1([h(α(u), 2− 2t), 1]) (h(α(u), 2− 2t) ∈ Y )

= [h(α(u), 2− 2t), 1] (Veja a definicao de l em Y ).

Assim, temos que

(l k)([z, ε]) =

(l k)1([z, ε]) = [z, 1], se z ∈ Y ;

(l k)2([z, ε]) = [α(4tu), 0], se z = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 14;

(l k)3([z, ε]) = [h(α(u), 4t− 1), 1], se z = α(tu) e 14≤ t ≤ 1

2;

(l k)4([z, ε]) = [h(α(u), 2− 2t), 1], se z = α(tu) e 12≤ t ≤ 1.

Agora, definamos H : Y ∪f1 eλ × [0, 1] −→ Y ∪f1 eλ por:

H([z, ε], s) =

H1([z, ε], s) = H1([z, 1], s)

= [z, 1], se z ∈ Y ;

H2([z, ε], s) = H2([α(tu), 0], s)

= [α((4− 3s)tu), 0], se z = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 14−3s ;

H3([z, ε], s) = H3([α(tu), 0], s)

= [h(α(u), t(4− 3s)− 1), 1], se z = α(tu) e 14−3s ≤ t ≤

2−s4−3s ;

H4([z, ε], s) = H4([α(tu), 0], s)

= [h(α(u), 12 (4− 3s)(1− t)), 1], se z = α(tu) e 2−s4−3s ≤ t ≤ 1.

A aplicacao H esta bem definida. De fato, para provarmos isso devemos mostrar que


i) H2 ≡ H3 quando t = 14−3s

.

ii) H3 ≡ H4 quando t = 2−s4−3s

.

iii) Se (z, ε) ∼ (z′, ε′), entao H([z, ε], s) = H([z′, ε′], s), com ε, ε′ ∈ 0, 1.

Prova i). Por um lado, temos

H2

([α

(u

(4− 3s)

), 0

], s

)=

[α

((4− 3s)

u

(4− 3s)

), 0

]= [α(u), 0].


H3

([α

(u

4− 3s

), 0

], s

)=

[h

(α(u),

1

(4− 3s)(4− 3s)− 1), 1

])= [h(α(u), 0), 1]

= [f1(α(u)), 1] (Veja (B.1)).

Como (f1(α(u)), 1) ∼ (α(u), 0) temos o desejado.

Prova ii). Por um lado, temos

H3

([α

((2− s)u4− 3s

), 0

], s

)=

[h

(α(u),

(2− s)(4− 3s)

(4− 3s)− 1), 1

])= [h(α(u), 1− s), 1]

(B.9)


H4

([α

((2− s)u4− 3s

), 0

], s

)=

[h

(α(u),

1

2(4− 3s)

(1−

((2− s)4− 3s

))), 1

]=

[h

(α(u),

1

2(4− 3s)− 1

2(2− s)

), 1

]=

[h

(α(u), 2− 3s

2− 1 +

s

2

), 1

]= [h(α(u), 1− s), 1]

(B.10)

Comparando (B.12) e (B.13) temos o desejado.

Prova iii). Para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente

Y ∪f1 eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.

CASO 1: z ∈ (eλ − ∂eλ) ou z ∈ (Y − f1(∂eλ)).

Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [z, ε] = (z, ε).CASO 2: z ∈ ∂eλ.


Sabemos que

[z, 0] = (z, 0), (x, 0), (f1(z), 1); f1(z) = f1(x), x ∈ ∂eλ. (B.11)

Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 0) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 0]. Agora,

como z ∈ ∂eλ tem-se que z = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Disso, mais (B.1), segue-se

que

H([z, 0], s) = H4([α(u), 0], s) =[h(α(u), 1

2(4− 3s)(1− 1)

), 1]

= [h(α(u), 0), 1]

= [f1(α(u)), 1].

(B.12)

Obtemos de (B.1) e (B.11) que

H([x, 0], s) = H4([α(v), 0], s) =[h(α(v), 1

2(4− 3s)(1− 1)

), 1]

= [h(α(v), 0), 1]

= [f1(α(v)), 1]

= [f1(α(u)), 1],

(B.13)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de H em Y tem-se que

H([f1(z), 1], s) = H1([f1(z), 1], s) = [f1(z), 1]. (B.14)


CASO 3: z ∈ f1(∂eλ) ⊆ Y.

Sabemos que

[z, 1] = (z, 1), (x, 0); f1(x) = z, x ∈ ∂eλ. (B.15)

Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 1) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 1]. Da

definicao de H em Y segue-se que

H([z, 1], s) = H1([z, 1], s) = [z, 1] (B.16)

Agora, de (B.1) e (B.15) temos que

H([x, 0], s) = H4([α(v), 0], s) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [z, 1], (B.17)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Comparando (B.16) e (B.17) temos o desejado.

Prova a). H e contınua.

E facil ver.

Prova b). Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Se z ∈ Y segue imediatamente das definicoes de H e l k


que

H([z, ε], 0) = H1([z, 1], 0) = [z, 1] = (l k)([z, 1]). (B.18)

Agora, suponha z = α(tu) ∈ eλ, para um certo u ∈ Sλ−1 e t ∈ [0, 1]. Temos

H([α(tu), 0], 0) =

H2([α(tu), 0]) = [α(4tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1

4 ;

H3([α(tu), 0]) = [h(α(u), 4t− 1), 1] , se 14 ≤ t ≤

12 ;

H4([α(tu), 0]) = [h(α(u), 2− 2t), 1] , se 12 ≤ t ≤ 1.

(B.19)

Comparando (B.18) e (B.19) com a definicao de lk, ve-se que H([z, ε], 0) = (lk)([z, ε]),

para todo [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.

Prova c). Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Se z ∈ Y segue imediatamente das definicoes de H e

IdY ∪f1eλque

H([z, ε], 1) = H1([z, 1], 1) = [z, 1] = IdY ∪f1eλ([z, 1]). (B.20)

Agora, suponha z = α(tu) ∈ eλ, para um certo u ∈ Sλ−1 e t ∈ [0, 1]. Temos

H([α(tu), 0], 1) =

H2([α(tu), 1]) = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1;

H3([α(tu), 1]) = [h(α(u), t− 1), 1] = [h(α(u), 0), 1] , se 1 ≤ t ≤ 1;

H4([α(tu), 1]) =[h(α(u), 12 −

12 t), 1]

= [h(α(u), 0), 1] , se 1 ≤ t ≤ 1.

Como H esta bem definida tem-se que

H([α(tu), 0], 1) = H2([α(tu), 1]) = [α(tu), 0], com 0 ≤ t ≤ 1. (B.21)

Comparando (B.20) e (B.21) com a definicao de IdY ∪f1eλ, ve-se que

H([z, ε], 1) = (IdY ∪f1eλ)([z, ε]),

para todo [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Isso conclui a prova da Afirmacao 1.

Afirmacao 2. k l : Y ∪f2 eλ −→ Y ∪f2 eλ e homotopica a aplicacao identidade de Y ∪f2 eλ.Para provarmos a Afirmacao 2, devemos definir uma aplicacao G : Y ∪f2 eλ × [0, 1] −→Y ∪f2 eλ que satisfaz:

a) G e contınua;

b) G ([w, ε], 0) = (k l)([w, ε], ∀ [w, ε] ∈ Y ∪f2 eλ.

c) G ([w, ε], 1) = IdY ∪f2eλ([w, ε]) ∀ [w, ε] ∈ Y ∪f2 eλ.

Definimos G (de maneira similar a definicao de H), pondo:


G([w, ε], s) =

G1([w, ε], s) = G1([w, 1], s) = [w, 1], se w ∈ Y ;

G2([w, ε], s) = G2([α(tu), 0], s) = [α((4− 3s)tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 14−3s ;

G3([w, ε], s) = G3([α(tu), 0], s) = [h(α(u), 1− β1), 1], se 14−3s ≤ t ≤

2−s4−3s ;

G4([w, ε], s) = G4([α(tu), 0], s) = [h(α(u), 1− β2), 1], se 2−s4−3s ≤ t ≤ 1,

onde β1 = t(4− 3s)− 1 e β2 = 12(4− 3s)(1− t). Procedendo de maneira analoga ao que

fizemos na Afirmacao 1, temos o desejado. Isso conclui a prova da Afirmacao 2.

Lema B.7. Se uma aplicacao F tem uma inversa homotopica a esquerda L e uma inversa

homotopica a direita R, entao F e uma equivalencia de homotopia. Alem disso, tanto R

quanto L e uma inversa homotopica de F.

Demonstracao: Por hipotese temos as seguintes relacoes

L F ≈ IdL e F R ≈ IdR,

onde IdL e IdR sao as aplicacoes identidades correspondentes. Essas relacoes implicam

que

i) L (F R) F ≈ L IdR F = L F ≈ IdL; e

ii) L ≈ L (F R) = (L F ) R ≈ R.

Do item ii) obtemos

L F ≈ L (F R) F = (L F ) R F ≈ R F.

Pelo item i) segue-se que R F ≈ IdL, e portanto, R e uma inversa homotopica de F. De

maneira analoga, mostra-se que L e outra inversa homotopica de F.

Lema B.8. Seja ϕ : ∂eλ −→ Y uma aplicacao de colagem. Toda equivalencia de homo-

topia f : Y −→ Z se estende para uma equivalencia de homotopia

F : Y ∪ϕ eλ −→ Z ∪fϕ eλ.

Demonstracao: Nesta demonstracao denotaremos o espaco eλtZ por (eλ×0)∪ (Z×2). Usaremos essa notacao para evitar confusao com o espaco eλ tY, o qual denotamos

por (eλ×0)∪ (Y ×1). Alem disso, denotaremos um elemento y ∈ eλ por α(tu), para

um certo u ∈ Sλ−1 e para algum t ∈ [0, 1]. Dado ε ∈ 0, 1, definamos F pondo:

F ([y, ε]) =

F1([y, ε]) = F1([y, 1]) = [f(y), 2], se y ∈ Y ;

F2([y, ε]) = F2([α(tu), 0]) = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1.


• F esta bem definida, isto e, se (y, ε) ∼ (y′, ε′), entao F ([y, ε]) = F ([y′, ε′]), com

ε, ε′ ∈ 0, 1.De fato, para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente

Y ∪ϕ eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.

CASO 1: y ∈ (eλ − ∂eλ) ou y ∈ (Y − ϕ(∂eλ)).

Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [y, ε] = (y, ε).CASO 2: y ∈ ∂eλ.Sabemos que

[y, 0] = (y, 0), (x, 0), (ϕ(y), 1); ϕ(y) = ϕ(x), x ∈ ∂eλ. (B.22)

Logo, qualquer [y′, ε′] ∈ Y ∪ϕ eλ tal que (y, 0) ∼ (y′, ε′) deve-se ter (y′, ε′) ∈ [y, 0].

Agora, como y ∈ ∂eλ tem-se que y = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Isso implica

que

F ([y, 0]) = F2([α(u), 0]) = [α(u), 0]. (B.23)

Por outro lado, temos

F ([x, 0]) = F2([α(v), 0]) = [α(v), 0] (B.24)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de F em Y tem-se que

F ([ϕ(y), 1]) = F1([ϕ(y), 1]) = [f(ϕ(y)), 2]. (B.25)


CASO 3: y ∈ ϕ(∂eλ) ⊆ Y.

Sabemos que

[y, 1] = (y, 1), (x, 0); ϕ(x) = y, x ∈ ∂eλ. (B.26)

Logo, qualquer [y′, ε′] ∈ Y ∪ϕ eλ tal que (y, 1) ∼ (y′, ε′) deve-se ter (y′, ε′) ∈ [y, 1].

Da definicao de F em eλ segue-se que

F ([x, 0]) = F2([α(v), 0]) = [α(v), 0)], (B.27)

onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Agora, levando em conta a definicao de F

em Y e (B.26) segue-se que

F ([y, 1]) = F1([y, 1]) = [f(y), 2] = [f(ϕ(α(v))), 2]. (B.28)

Comparando (B.28) e (B.27) temos o desejado.


• F e contınua.

De fato, a prova e analoga a prova de que k e contınua (veja Lema B.6).

Sejam g : Z −→ Y uma homotopia inversa de f e

G : Z ∪fϕ eλ −→ Y ∪gfϕ eλ

a aplicacao definida por:

G([z, ε]) =

G1([z, ε]) = G1([z, 2] = [g(z), 1], se z ∈ Z;

G2([z, ε]) = G2[α(tu), 0] = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1,

onde ε ∈ 0, 2.

• G esta bem definida;

De fato, a prova e analoga a prova de que F esta bem definida.

• G e contınua.

De fato, a prova e analoga a prova de que k e contınua.

Afirmacao 1. (g f ϕ) e homotopica a ϕ.

De fato, como f e equivalencia de homotopia e g e sua inversa homotopica, tem-se que

g f : Y −→ Y e homotopica a aplicacao IdY : Y −→ Y, isto e, existe h : Y × [0, 1] −→ Y

contınua que satisfaz

h(y, 0) = (g f)(y) e h(y, 1) = IdY (y) = y. (B.29)

Definamos h : ∂eλ × [0, 1] −→ Y pondo

h(x, r) := h(ϕ(x), r).

Uma vez que h e contınua, temos que h tambem e contınua. Alem disso, h satisfaz:

h(x, 0) = h(ϕ(x), 0) = g f(ϕ(x)) e h(x, 1) = h(ϕ(x), 1) = ϕ(x). (B.30)

Isso conclui a prova da Afirmacao 1.

Agora, considerando f1 = (g f ϕ) e f2 = ϕ no Lema B.6, segue-se que a

aplicacao

K : Y ∪gfϕ eλ −→ Y ∪ϕ eλ,


definida por

K([z, ε]) =

K1([z, ε]) = K1([z, 1]) = [z, 1], se z ∈ Y ;

K2([z, ε]) = K2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;

K3([z, ε]) = K3([α(tu), 0]) =[h(α(u), 2− 2t), 1

]= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1] , se 1

2≤ t ≤ 1,

onde ε ∈ 0, 1 e h e a homotopia entre (g f ϕ) e ϕ, e uma equivalencia de homotopia.

Afirmacao 2. K GF : Y ∪ϕeλ −→ Y ∪ϕeλ e homotopica a aplicacao identidade IdY ∪ϕeλ .

Para provarmos a Afirmacao 2, devemos definir uma aplicacao q : Y ∪ϕ eλ × [0, 1] −→Y ∪ϕ eλ que satisfaz:

1) q e contınua;

2) q ([y, ε], 0) = (K G F )([z, ε]), ∀ [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ;

3) q ([y, ε], 1) = IdY ∪ϕeλ([z, ε]), ∀ [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ;

Antes de exibirmos a aplicacao q, explicitaremos K G F, e para isso, analisaremos os

seguintes casos. Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ, com ε ∈ 0, 1.

• y ∈ Y.(K G F )([y, ε]) = (K G)(F1([y, 1]))

= (K G)([f(y), 2])

= K(G1([f(y), 2]) (f(y) ∈ Z)

= K1([g(f(y)), 1]) (g(f(y)) ∈ Y )

= [g(f(y)), 1].

• y = α(tu), para algum u ∈ Sλ−1 e 0 ≤ t ≤ 12.

(K G F )([y, ε]) = (K G)(F2([α(tu), 0]))

= (K G)([α(tu), 0])

= K(G2([α(tu), 0])

= K([α(tu), 0])

= K2([α(tu), 0])

= [α(2tu), 0].


• y = α(tu), para algum u ∈ Sλ−1 e 12≤ t ≤ 1.

(K G F )([y, ε]) = (K G)(F2([α(tu), 0]))

= (K G)([α(tu), 0])

= K(G2([α(tu), 0])

= K([α(tu), 0])

= K3([α(tu), 0])

= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1].

Assim, dado ε ∈ 0, 1, temos

(KGF )([y, ε]) =

(K G F )1([y, ε]) = (K G F )1([y, 1])

= [g(f(y)), 1], se y ∈ Y ;

(K G F )2([y, ε]) = (K G F )2([α(tu), 0])

= [α(2tu), 0], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 12 ;

(K G F )3([y, ε]) = (K G F )3([α(tu), 0])

= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1] , se y = α(tu) e 12 ≤ t ≤ 1,

Dado ε0, 1 vejamos que q : Y ∪ϕ eλ × [0, 1] −→ Y ∪ϕ eλ definida por

q([y, ε], s) =

q1([y, ε], s) = q1([y, 1], s) = [h(y, s), 1], se y ∈ Y ;

q2([y, ε], s) = q2([α(tu), 0], s) =

[α

(2tu

1 + s

), 0

], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1 + s

2;

q3([y, ε], s) = q3([α(tu), 0], s)

= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t+ s), 1], se y = α(tu) e1 + s

2≤ t ≤ 1,

e a homotopia procurada. Analogamente ao que ja fizemos, ve-se que q esta bem definida

e e contınua.

Prova 2). Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ. Temos

q([y, ε], 0) =

q1([y, ε], 0) = q1([y, 1], 0)

= [h(y, 0), 1] = [(g f)(y), 1], se y ∈ Y ;

q2([y, ε], 0) = q2([α(tu), 0], 0) = [α (2tu) , 0] , se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1

2;

q3([y, ε], 0) = q3([α(tu), 0], 0)

= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1], se y = α(tu) e1

2≤ t ≤ 1,

(B.31)

onde a igualdade [h(y, 0), 1] = [(g f)(y), 1] segue de (B.29). Comparando (B.31) com a

expressao explıcita de K G F dada acima, tem-se que

q ([z, ε], 0) = (K G F )([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ.


Prova 3). Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ. Temos

q([y, ε], 1) =

q1([y, ε], 1) = q1([y, 1], 1)

= [h(y, 1), 1] = [y, 1], se y ∈ Y ;

q2([y, ε], 1) = q2([α(tu), 0], 1)

=[α(

2tu1+1

), 0]

= [α(tu), 0], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1;

(B.32)

onde a igualdade [h(y, 1), 1] = [y, 1] segue de (B.29). Comparando (B.32) com a definicao

de IdY ∪ϕeλ , tem-se que

q ([z, ε], 1) = IdY ∪ϕeλ([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ.

Isso conclui a prova da Afirmacao 2. Note que provamos na Afirmacao 2 que (K G) e

uma inversa homotopica a esquerda de F, isto e, (K G) F ≈ IdL1 , onde L1 = Y ∪ϕ eλ.Como

(K G) F = K (G F ),

segue-se que K (G F ) ≈ IdL1 , e portanto, (G F ) e uma inversa homotopica a direita

de K, mas sabemos que K e uma equivalencia de homotopia, logo K possui uma inversa

homotopica a esquerda. Pelo Lema B.7, segue-se que (G F ) e uma inversa homotopica

de K, donde (G F ) K ≈ Id. Como

(G F ) K = G (F K),

tem-se que G (F K) ≈ Id. Isso mostra que (F K) e uma inversa homotopica a direita

de G. Agora, uma demonstracao similar a que fizemos pra F, mostra que G possui uma

inversa a esquerda. Logo, pelo Lema B.7, segue-se que (F K) e uma inversa homotopica

de G, donde (F K) G ≈ Id. Como

(F K) G = F (K G),

tem-se que F (K G) ≈ Id, e portanto, (K G) e uma inversa homotopica a direita de

F. Como mostramos na Afirmacao 2, que (K G) e uma inversa homotopica a esquerda

de F, segue-se que F e uma equivalencia de homotopia.

Apendice C

Variedades

No que se segue o sımbolo m designara qualquer numero natural tal que m > 1,

exceto onde se deixar explıcito um sentido diferente. Assim como, M designara um espaco

topologico.

Definicao C.1. Uma carta de M de dimensao m e um par (U,ϕ) onde:

• U ⊆ Rm e um subconjunto aberto em Rm;

• ϕ : U →M e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto ϕ(U) ⊆M , munido

da topologia induzida.

Se p ∈ ϕ(U), onde (U,ϕ) e uma carta de M , diz-se entao que (U,ϕ) e uma carta em p.

Definicao C.2. Um atlas de dimensao m e classe C∞ de M e uma colecao A =

(Uα, ϕα);α ∈ A de cartas de M de dimensao m e classe C∞ tal que:

•⋃α∈A

ϕα(Uα) = M ;

• para todos α, β ∈ A tais que ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ) 6= ∅, temos que

ϕ−1β ϕα : ϕ−1

α (ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ)) → ϕ−1β (ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ)) e um difeomorfismo de

classe C∞.

Sejam α, β ∈ A tais que ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ) 6= ∅. As aplicacoes da forma ϕ−1β ϕα sao

chamadas mudancas de coordenadas.

Definicao C.3. Dois atlas A e B de M de dimensao m e classe C∞ sao compatıveis

se A ∪ B e um atlas de M de dimensao m e classe C∞. Escrevemos entao A ∼ B.

Lema C.4. A relacao “∼” e uma relacao de equivalencia no conjunto dos atlas de di-

mensao m e classe C∞ de M .

89

Apendice C. Variedades 90

Demonstracao: A reflexividade e a simetria de ∼ sao obvias. Vamos mostrar que ∼ e

transitiva. Sejam A := (Uα, ϕα);α ∈ A, B := (Vβ, ψβ); β ∈ B e C := (Wλ, ξλ);λ ∈C tres atlas de M de dimensao m e classe C∞. Supondo que A ∼ B e B ∼ C devemos

mostrar que A ∼ C, i.e., que todas as mudancas de coordenadas da forma ξ−1λ ϕα e

ϕ−1α ξλ, com α ∈ A, λ ∈ C, sao de classe C∞. Por “simetria”, basta mostrar que todas

as aplicacoes ξ−1λ ϕα sao de classe C∞.

Seja p ∈M . Como A, B e C sao atlas de M existem ındices α ∈ A, β ∈ B e λ ∈ C e pontos

x, y, z ∈ Rn tais que p = ϕα(x) = ψβ(y) = ξλ(z). Definamos os seguintes conjuntos:

R1 := ϕ−1α

(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ) ∩ ξλ(Wλ)

)e R2 := ψ−1

β

(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ) ∩ ξλ(Wλ)

).

Os atlas A e B sendo compatıveis, temos que ψ−1β ϕα : ϕ−1

α

(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ)

)→

ψ−1β

(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ)

)e de classe C∞, e portanto, a sua restricao ao conjunto R1 e

de classe C∞ tambem. Analogamente, ξ−1λ ψβ |R2 e de classe C∞. Assim, ξ−1

λ ϕα∣∣R1

=(ξ−1λ ψβ

)∣∣R2(ψ−1β ϕα

)∣∣R1

e a composta de duas aplicacoes de classe C∞, e portanto,

e de classe C∞. O ponto p sendo arbitrario, concluımos que ξ−1λ ϕα e de classe C∞ no

conjunto ϕ−1α

(ϕα(Uα) ∩ ξλ(Wλ)

).

Dado um atlas A de M , denotamos por [A] := B;A e B sao atlas compatıveisa sua classe de equivalencia.

Exemplo C.5. (Espaco Euclidiano Rm). O par (Rm, IdRm) e obviamente uma uma

carta de Rm (munido da sua topologia natural) de dimensao m. Portanto, o conjunto

A := (Rm, IdRm) e um atlas de classe C∞ de Rm.

Considerando m = 1, o par (R, IdR) e uma carta de R, assim como (R, ϕ), onde ϕ : R→R, e dada por ϕ(t) := t3. Os conjuntos A = (R, IdR) e B = (R, ϕ) sao atlas de R,

mas nao sao atlas compatıveis, pois ϕ−1 nao e diferenciavel no ponto 0.

Definicao C.6. Uma variedade de dimensao m e classe C∞ e um par (M, [A]), onde

M e um espaco topologico de Hausdorff e [A] e a classe de equivalencia de um atlas de

dimensao m e classe C∞, a qual e chamada de estrutura diferenciavel de (M, [A]).

A definicao C.6 se generaliza para variedades de classe Ck, k ≥ 1, mas neste

trabalho nos restringimos em estudar apenas os resultados de variedade de classe C∞.

Entao a partir de agora evitaremos mencionar a classe de uma variedade. Alem disso,

escreveremos M em vez de (M, [A]) e Mm para indicarmos a dimensao de M .

Definicao C.7. Seja (M, [A]) uma variedade de dimensao m. Uma carta (U,ϕ) de di-

mensao m e classe C∞ do espaco topologico M e dita ser uma carta da variedade Mm

se A ∪ (U,ϕ) e um atlas de M de dimensao m e classe C∞.


Observacao C.8. Seja (U,ϕ) uma carta da variedade (M, [A]). Dado um subconjunto

aberto V de U , verifica-se que (V, ϕ|V ) e uma carta da variedade M .

Exemplo C.9. Vejamos alguns exemplos de variedades.

• O espaco euclidiano Rm. E uma variedade de dimensao m em relacao ao atlas

A = (Rm, IdRm).

• Espaco vetorial real de dimensao finita. Seja E um espaco vetorial real de

dimensao finita m. Dada uma base B = e1, . . . , em de E, definamos

ϕB : Rm −→ E, (x1, . . . , xm) 7−→ x1e1 + · · ·+ xmem.

Claramente, ϕB e uma aplicacao linear bijetiva, e de acordo com o exemplo A.8, e

um homeomorfismo (relativamente as topologias naturais do Rm e E). Sendo assim,

A = (Rm, ϕB) e um atlas de E.

• Subconjuntos abertos. Todo subconjunto aberto U ⊆ M numa variedade Mm

e naturalmente uma variedade de dimensao m. Se A := (Uα, ϕα);α ∈ A e um

atlas que define a estrutura diferenciavel de M , entao verifica-se que o conjunto

A|U :=

(Uα, ϕα);α ∈ A

, onde

i) A := α ∈ A;ϕα(Uα) ∩ U 6= ∅ ;

ii) Uα := ϕ−1α

(ϕα(Uα) ∩ U

), α ∈ A;

iii) ϕα := ϕα|Uα : Uα −→ U, α ∈ A,

e um atlas de dimensao m no conjunto U .

Definicao C.10. Sejam Mm e Nn duas variedades e f : M → N uma aplicacao contınua.

Diz-se que f e de classe C∞ ou suave, se para toda carta (U,ϕ) de M e para toda

carta (V, ψ) de N tais que ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )) 6= ∅, a aplicacao

ψ−1 f ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))→ Rn

e de classe C∞.

A composta ψ−1 f ϕ e chamada de expressao local de f nas cartas (U,ϕ) e (V, ψ).

Para provar que uma aplicacao entre variedades seja suave pela definicao acima

pode ser bastante trabalhoso. Existem outras maneiras de caracterizar a suavidade de

aplicacoes entre variedades. A seguir estao duas delas.


Proposicao C.11. (Caracterizacao das aplicacoes C∞) Sejam Mm e Nn duas variedades

e f : M → N uma aplicacao (nao necessariamente contınua). As seguintes afirmacoes

sao equivalentes:

1. f e de classe C∞, isto e, e contınua e satisfaz as condicoes da definicao C.10.

2. Para todo ponto p ∈ M , existem uma carta (U,ϕ) de M em p e uma carta (V, ψ)

de N em f(p) tais que f(ϕ(U)

)⊂ ψ(V ) e ψ−1 f ϕ : U → Rn e de classe C∞.

Demonstracao: (1) ⇒ (2) Seja p ∈ M arbitrario. Escolhemos uma carta (U,ϕ) de

M em p e uma carta (V, ψ) de N em f(p). Como ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )

)6= ∅, ja que

p pertence a esse conjunto, temos pelo fato de f ser de classe C∞ que a composta

ψ−1 f ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))

)→ Rn e de classe C∞.

Pela Observacao C.8, sabemos que o par (U , ϕ) e uma carta de M em p, onde

U = ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))

)ϕ = ϕ|U .

E imediato verificar que f(ϕ(U)

)⊆ ψ(V ), e pela afirmacao (1), temos que ψ−1 f ϕ :

U → Rn e de classe C∞. Assim, (U , ϕ) e (V, ψ) satisfazem as condicoes da afirmacao (2).

(2) ⇒ (1) Primeiro, mostramos que f e contınua. Seja p ∈ M arbitrario e seja

O ⊆ N um conjunto aberto contendo o ponto f(p). Pela afirmacao (2), existem duas

cartas (U,ϕ) e (V, ψ) de M e N , respectivamente, tais que:

• p ∈ ϕ(U) e f(p) ∈ ψ(V );

• f(ϕ(U)

)⊂ ψ(V );

• ψ−1 f ϕ : U −→ Rn e de classe C∞.

Agora, ψ−1(O ∩ ψ(V )

)e um conjunto aberto em V contendo ψ−1

(f(p)

). Pela continui-

dade de ψ−1 f ϕ no ponto ϕ−1(p), existe um conjunto aberto W ⊆ U contendo ϕ−1(p)

e e tal que(ψ−1 f ϕ

)(W ) ⊆ ψ−1

(O∩ψ(V )

), donde f

(ϕ(W )

)⊆ O∩ψ(V ) ⊆ O. Como

ϕ(W ) e uma vizinhanca aberta de p, concluımos que f e contınua no ponto p. O ponto p

sendo arbitrario, concluımos que f : M −→ N e contınua.

Agora, verificaremos que todas as expressoes locais de f sao de classe C∞. Sejam entao

(U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas de M e N , respectivamente, tais que ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )

)6= ∅.

Seja x ∈ ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1

(ψ(V )

))arbitrario. Vamos mostrar que existe uma vizinhanca

aberta de x em U na qual a aplicacao ψ−1 f ϕ e de classe C∞.

Pela afirmacao (2), existem duas cartas (U , ϕ), (V , ψ) de M e N , respectivamente, satis-

fazendo as condicoes da afirmacao (2) no ponto p = ϕ(x) (isto e, p ∈ ϕ(U), f(p) ∈ ψ(V ),


f(ϕ(U)

)⊆ ψ(V ) e ψ−1 f ϕ : U −→ Rn e C∞).

Seja W ⊆ U o conjunto definido por:

W := ϕ−1(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1

(ψ(V ) ∩ ψ(V )

)).

O fato de f ser contınua implica que W e aberto em U , e claramente, x ∈ W . Restringindo

ψ−1 f ϕ ao conjunto W , podemos escrever

ψ−1 f ϕ |W=(ψ−1 ψ

)(ψ−1 f ϕ

)(ϕ−1 ϕ

)∣∣W

(C.1)

Essa composta esta bem definida, pois:

i)(ϕ−1 ϕ

)(W ) = ϕ−1

(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1

(ψ(V ) ∩ ψ(V )

))⊆ U , e

(ψ−1 f ϕ

)esta

bem definida em U .

ii)(ψ−1fϕ

) [(ϕ−1 ϕ

)(W )

]=(ψ−1fϕ

) [ϕ−1

(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1

(ψ(V ) ∩ ψ(V )

))]=(ψ−1 f

)(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1

(ψ(V ) ∩ ψ(V )

))⊆ ψ−1

(ψ(V ) ∩ ψ(V )

)e o conjunto

ψ−1(ψ(V ) ∩ ψ(V ) e o domınio da aplicacao ψ−1 ψ.

Assim, a composta (C.1) esta bem definida e e de classe C∞ (duas mudancas de coorde-

nadas e(ψ−1 f ϕ

)que e suave por hipotese). A proposicao segue.

Lema C.12. (Lema de colagem para aplicacoes suave) Sejam X e Y espacos topologicos

e seja Bii∈A uma cobertura de conjuntos abertos de X, isto e, X = ∪i∈ABi. Suponha que

para todo i a aplicacao Fi : Bi −→ Y seja suave e Fi|Bi∩Bj = Fj|Bi∩Bj para todo i, j ∈ A.Entao existe uma unica aplicacao suave F : X −→ Y, cuja restricao em cada Bi e igual

a Fi.

Demonstracao: Veja [7].

Nosso objetivo agora e definir a derivada de uma aplicacao entre variedades. Mas

antes disto precisamos dar algumas definicoes.

SejaMm uma variedade. Dado p ∈M definimosAp :=

(U,ϕ, u); (U,ϕ) uma carta

de M em p e u ∈ Rm.

Lema C.13. A relacao (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v) se, e somente se, d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = v e

uma relacao de equivalencia em Ap.

Demonstracao: Reflexividade: Dada uma carta (U,ϕ) de M em p, temos que ϕ−1 ϕ =

IdU , donde, d(ϕ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(u) = d(IdU

)ϕ−1(p)

= IdRm(u) = u.

Simetria: Suponha que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v). Agora, ψ−1 ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V )

)→

ψ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V )

)e um difeomorfismo cuja inversa e ϕ−1 ψ, donde (ϕ−1 ψ) (ψ−1

ϕ) = Idϕ−1(ϕ(U)∩ψ(V )), o que implica, pela regra da cadeia, que d(ϕ−1 ψ)ψ−1(p)d(ψ−1


ϕ)ϕ−1(p)(u) = u. Como por hipotese d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(u) = v temos que d(ϕ−1 ψ)ψ−1(p)(v) =

u, o que mostra que (V, ψ, v) ∼p (U,ϕ, u).

Transitividade: Suponha que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v) e que (V, ψ, v) ∼p (W, ξ, w). Entao

temos que

d(ξ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ξ−1 ψ ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)

= d(ξ−1 ψ)ψ−1(p) · d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)

= d(ξ−1 ψ)ψ−1(p)(v) = w.

A penultima e a ultima igualdade resultam da hipotese d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = v e d(ξ−1 ψ)ψ−1(p)(v) = w, respectivamente. Assim, d(ξ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = w e portanto, (U,ϕ, u) ∼p(W, ξ, w).

Definicao C.14. O espaco tangente de M no ponto p ∈ M e o quociente TpM :=

Ap/ ∼p.

Os elementos de TpM sao chamados vetores tangentes.

Denotamos por [U,ϕ, u]p a classe de equivalencia de (U,ϕ, u) em Ap.

Proposicao C.15. Sejam Mm uma variedade e p ∈ M . Entao, o espaco tangente TpM

possui uma estrutura canonica de espaco vetorial real.

Demonstracao: Sejam [U,ϕ, u]p, [U,ϕ, v]p dois vetores tangentes de TpM e λ um numero

real. Definimos em TpM as seguintes operacoes:

i) a adicao, [U,ϕ, u]p + [U,ϕ, v]p := [U,ϕ, u+ v]p ∈ TpM ;

ii) a multiplicacao por um escalar real, λ[U,ϕ, u]p = [U,ϕ, λu]p ∈ TpM.

Primeiro, vejamos que estas definicoes estao bem definidas. Seja (U , ϕ) uma outra

carta de M em p tal que (U,ϕ, u) ∼p (U , ϕ, u) e (U,ϕ, v) ∼p (U , ϕ, v). Devemos mostrar

que

i) (U,ϕ, u+ v) ∼p (U , ϕ, u+ v), isto e, d(ϕ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(u+ v) = u+ v; e

ii) (U,ϕ, λu) ∼p (U , ϕ, λu), isto e, d(ϕ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(λu) = λu.

Mas aplicando a propriedade de linearidade da derivada no primeiro membro das duas

igualdade acima segue o resultado.

Verifica-se sem nenhuma dificuldade que as operacoes assim definidas satisfazem os axio-

mas de um espaco vetorial.

Seja (U,ϕ) uma carta de Mm. Como ϕ−1 e uma aplicacao de ϕ(U) para U ⊂Rm, existem m-funcoes x1, . . . , xm : ϕ(U) → R tais que para todo q ∈ ϕ(U), ϕ(q) =


(x1(q), . . . , xm(q)). As funcoes x1, . . . , xm sao chamadas as coordenadas locais da

carta (U,ϕ).

Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm e seja (U,ϕ) uma carta de M em p com

coordenadas locais x1, . . . , xm. Dado i = 1, . . . ,m, usaremos a seguinte notacao:

∂

∂xi

∣∣∣∣p

:= [U,ϕ, ei]p.

O lema a seguir nos dara uma base do espaco tangente de uma variedade Mm em

um ponto p ∈M . Em particular, veremos que a dimensao de TpM e m.

Lema C.16. Seja (U,ϕ) uma carta de Mm com coordenadas locais x1, . . . , xm. Entao,

para todo p ∈ ϕ(U), os vetores∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

formam uma base de TpM .

Demonstracao: Primeiro, vejamos que os vetores ∂∂x1

∣∣p, . . . , ∂

∂xm

∣∣p

sao linearmente in-

dependente. Sejam α1, . . . αm numeros reais e seja e1, . . . em a base canonica de Rm.

Entao, supondo que∑m

i=1 αi∂∂xi

∣∣p

= 0, temos

m∑i=1

αi∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

[U,ϕ,

m∑i

αiei

]p

= [U,ϕ, 0]p.

Ou seja,∑m

i=1 αiei = 0, pois 0 = d(ϕ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(∑m

i=1 αiei) = d(Id)ϕ−1(p) (∑m

i=1 αiei) =∑mi=1 αiei. Logo, deve-se ter αi = 0 para todo i = 1, . . . ,m, e portanto, segue o resultado.

Agora, mostremos que o conjunto B =

∂∂x1

∣∣p, . . . , ∂

∂xm

∣∣p

gera TpM , isto e, todo

vetor tangente e combinacao linear dos elementos do conjunto B.

Seja [U,ϕ, u]p ∈ TpM . Como u ∈ Rm, existem λ1, . . . , λm tais que u =∑m

i=1 λiei. Daı,

[U,ϕ, u]p =m∑i=1

λi[U,ϕ, ei]p =m∑i=1

λi∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

No proximo exemplo vamos descrever o espaco tangente em um ponto arbitrario

de um espaco vetorial de dimensao finita, visto como variedade.

Exemplo C.17. Seja E um espaco vetorial de dimensao finita m e seja V ⊆ E um

subconjunto aberto. Seja B = e1, . . . , em uma base de E. Sabemos que A = (Rm, ϕB)e um atlas de E (visto como variedade), onde

ϕB : Rm −→ E, (x1, . . . , xm) 7−→ x1e1 + · · ·+ xmem.


Sabemos tambem que V sendo um aberto em E, ele e naturalmente uma variedade (veja

exemplo C.9). Uma carta global de V e dada por (UB, ψB), onde:

• UB = ϕ−1B (V );

• ψB : UB 7−→ V, ψB := ϕB|UB .

Dado p ∈ V , definamos a aplicacao linear bijetiva gB : TpV −→ Rm por

gB([UB, ψB, v]p

):= v;

onde v ∈ Rm. Logo, TpV e Rm sao espacos isomorfos.

Exemplo C.18. Um caso particular do exemplo acima e quando E = R e V = I ⊆ Re um intervalo aberto. Neste caso, o vetor de TtI correspondente ao vetor 1 ∈ R pela

identificacao TtI ∼= R e denotado por ∂t.

Lema C.19. Dadas duas bases B e B de E, temos que ϕB gB = ϕB gB.

Demonstracao: Primeiro, mostremos que gB (gB)−1 = ϕ−1B ϕB. Dado u ∈ Rm, temos

que

gB (gB)−1(u) = gB([UB, ψB, u]p

)= gB

([UB, ψB, d

(ψ−1B ψB

)(u)]p

)= d

(ψ−1B ψB

)ψB(p)

(u),

e como ψ−1B ψB e a restricao a um conjunto aberto da aplicacao linear ϕ−1

B ϕB, concluımos

que

gB (gB)−1(u) = ϕ−1B ϕB(u),

como haverıamos afirmado. Assim,

ϕB gB =(ϕB gB

)(g−1

B gB)

= ϕB (gB g−1

B

) gB

= ϕB (ϕ−1B ϕB

) gB

=(ϕB ϕ−1

B)(ϕB gB

)= ϕB gB.

Observacao C.20. O lema anterior diz que a aplicacao

ϕB gB : TpV −→ E


e independente da escolha da base B. Assim, a identificacao TpV ∼= E (por meio de

ϕB gB) e natural. No que se segue identificaremos estes dois espacos sem fazer mais

comentarios.

Definicao C.21. Sejam M e N duas variedades e seja f : M → N uma aplicacao suave.

A derivada de f no ponto p ∈M e a aplicacao linear

dfp : TpM → Tf(p)N

definida por

dfp([U,ϕ, u]p

):=[V, ψ, d

(ψ−1 f ϕ

)ϕ−1(p)

(u)]f(p)

,

onde (U,ϕ) e carta de M em p e (V, ϕ) e carta de N em f(p).

Lema C.22. A aplicacao linear dfp : TpM → Tf(p)N esta bem definida.

Demonstracao: Sejam (U , ϕ, u) ∈ [U,ϕ, u]p e (V , ψ) uma carta de N em f(p). Devemos

mostrar que

(V, ψ, d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u)

)∼p(V , ψ, d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u)

),

isto e,

d(ψ−1 ψ)ψ−1(f(p))d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u). (C.2)

Desenvolvendo o segundo membro da igualdade (C.2) temos

d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)

(d(ϕ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)

)= d

((ψ−1 f ϕ

)(ϕ−1 ϕ

))ϕ−1(p)

(u)

= d(ψ−1 f ϕ

)ϕ−1(p)

(u)

= d(ψ−1 ψ)ψ−1(f(p))d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u).

A primeira igualdade segue do fato da hipotese de (U , ϕ, u) ∼ (U,ϕ, u). Ja a segunda e a

ultima igualdade usamos a regra da cadeia. O resultado segue.

Exemplo C.23. Seja Mm uma variedade e seja U ⊆ M um subconjunto aberto de M .

Relembramos que U e naturalmente uma variedade de dimensao m e que se (V, ψ) e uma

carta de M tal que ψ(V ) ⊆ U , entao o par (V , ψ), ondeV = V,

ψ : V −→ U, p 7−→ ψ(p),


e uma carta de U .

Afirmamos que a aplicacao inclusao i : U −→ M e suave, e que para todo p ∈ U ,

dip : TpU −→ TpM e uma bijecao. Para ver que i e suave, tome um ponto p ∈ U

arbitrario, e uma carta (V, ψ) de M tal que ψ(V ) ⊆ U. Temos entao que (V , ψ) e uma

carta de U em p tal que i(ψ(V )) ⊆ ψ(V ), e claramente, (ψ)−1 i ψ : V −→ V e suave,

pois e igual a aplicacao identidade de V . Isso mostra que i e suave.

Agora, a derivada de i num ponto p ∈ U e a aplicacao

dip : TpU −→ TpM, [V , ψ, v]p 7−→ [V, ψ, (dIdV )p(v)]p = [V, ψ, v]p.

Claramente e injetiva, e por causa das dimensoes (dim TpU = dimTpM), e tambem

bijetiva. Assim podemos identificar TpU e TpM por meio de dip : TpU −→ TpM.

Exemplo C.24. Seja Mm uma variedade e p ∈M . Considere (U,ϕ) uma carta de M em

p com coordenadas locais x1, . . . , xm. Denotamos por B = e1, . . . , em a base canonica

de Rm e por f = ϕBgB : Tϕ−1(p)U −→ Rm a bijecao descrita na Observacao C.20. Entao,

para todo i = 1, . . . ,m,

(dip dϕϕ−1(p) f−1

)(ei) =

∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Com efeito, usando a notacao do lema C.19, temos que:

(dip dϕϕ−1(p) f−1

)(ei) =

(dip dϕϕ−1(p)

)([UB, ψB, ei]ϕ−1(p)

)= d(i ϕ)ϕ−1(p)

([UB, ψB, ei]ϕ−1(p)

)=

[U,ϕ, d

(ϕ−1 i ϕ

)ϕ−1(p)

ei]p

=[U,ϕ, d(IdU)ϕ−1(p)ei

]p

= [U,ϕ, Id(ei)]p

= [U,ϕ, ei]p

= ∂∂xi

∣∣p.

Ao identificar os espacos Tϕ−1(p)U e Rm por meio de f e Tpϕ(U) e TpM por meio de dip,

podemos entao escrever:

dϕϕ−1(p)(ei) =∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Observacao C.25. Nesse texto, usamos livremente as identificacoes descritas nos exem-

plos C.23 e C.24.

Exemplo C.26. Seja Mm uma variedade. Definimos uma curva em M como sendo

a aplicacao contınua γ : I −→ M, onde I ⊆ R e um intervalo aberto. Dada uma curva


suave γ : I −→ M e t0 ∈ I, definimos o vetor velocidade de γ em t0, denotado por

γ′(t0), como sendo o vetor

γ′(t0) = dγt0(1),

onde 1 ∈ R ∼= Tt0I (veja Exemplo C.18).

Exemplo C.27. Sejam U ⊆ Rm e V ⊆ Rn dois conjuntos abertos e f : U −→ V uma

aplicacao. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

a) f e de classe C∞ no sentido da Definicao C.10 (vista como aplicacao entre varie-

dades)

b) f e de classe C∞ no sentido classico (vista como aplicacao entre abertos de dois

espacos vetoriais).

Neste caso, a derivada de f, como definida na Definicao C.21, se identifica com a deri-

vada de f no sentido usual por meio da identificacao da Observacao C.20.

Com efeito, a equivalencia segue imediatamente da Proposicao C.11 considerando as car-

tas (U, IdU) e (V, IdV ) de U e V, respectivamente.

Para provar a segunda parte sejam B1 e B2 bases de Rm e Rn, respectivamente, e seja

p ∈ U. Sabemos que (U, IdU) e (V, IdV ) sao cartas de U e V em p e f(p), respectivamente.

Alem disso, pelo Exemplo C.17 sabemos que as aplicacoes

gB1 : TpU −→ Rm, [U, IdU , u]p 7−→ u e

gB2 : Tf(p)V −→ Rn, [V, IdV , v]f(p) 7−→ v,

sao isomorfismos. Agora seja dfp : TpU −→ Tf(p)V derivada de f no ponto p como

definida na Definicao C.21 e denotamos por Dfp a derivada classica de f no ponto p.

Dado u ∈ Rm, temos que

(gB2 dfp g−1

B1

)(u) = (gB2 dfp)([U, IdU , u]p)

= gB2( [V, IdV , D(Id−1

V f IdU)p(u)]f(p)

)= gB2

([V, IdV , Dfp(u)]f(p)

)= Dfp(u).

Em sıntese temos o seguinte diagrama

TpUdfp //

gB1

Tf(p)V

gB2

RmDfp

// Rn

Apendice D

Matriz Hessiana

Seja f : M → R uma funcao suave em uma variedade suave M de dimensao

m. Lembramos que um ponto crıtico de f e um ponto p ∈ M tal que a diferencial

dfp : TpM → R e nula.

Para cada ponto crıtico p ∈ M de f , definimos uma forma bilinear simetrica

Hessp(f) em TpM como segue. Tome uma carta (U,ϕ) em p e para u, v ∈ TpM , defina

Hessp(f)(u, v) = d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1

p (v),

onde d2(f ϕ)(ϕ−1(p)) denota a segunda derivada da funcao f ϕ no ponto ϕ−1(p).

Lema D.1. Sejam (U,ϕ), (V, ψ) duas cartas de M em p, com coordenadas locais x1, . . . , xme y1, . . . , ym, respectivamente. Entao vale

ui =m∑j=1

uj∂(ϕ−1 ψ)i

∂yj

(ψ−1(p)

),

onde u =m∑i=1

ui∂

∂xi

∣∣∣∣p

=m∑j=1

uj∂

∂yj

∣∣∣∣p

∈ TpM , com ui, uj ∈ R para todos i, j = 1, . . . ,m.

Demonstracao: Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Por definicao temos que

(V, ψ, ej) ∼(U,ϕ, d

(ϕ−1 ψ

)ψ−1(p)

ej)

e ainda que∂

∂yj

∣∣∣∣p

= [V, ψ, ej]p. Agora,

d(ϕ−1 ψ

)ψ−1(p)

ej =m∑i=1

∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

)ei.

De acordo com as operacoes que munimos TpM introduzidas na demonstracao da pro-

posicao C.15 vem que

100

Apendice D. Matriz Hessiana 101

∂

∂yj

∣∣∣∣p

=[U,ϕ, d

(ϕ−1 ψ

)ψ−1(p)

ej

]p

=m∑i=1

∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

)[U,ϕ, ei]p

=m∑i=1

∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

) ∂∂xi

∣∣∣∣p

Entao temos

m∑i=1

ui∂

∂xi

∣∣∣∣p

=m∑j=1

uj∂

∂yj

∣∣∣∣p

=m∑j=1

uj

m∑i=1

∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

) ∂∂xi

∣∣∣∣p

=m∑i=1

(m∑j=1

uj∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

)) ∂

∂xi

∣∣∣∣p

Pela unicidade dos coeficientes numa mesma base segue-se que

ui =m∑j=1

uj∂(ϕ−1 ψ

)i

∂yj

(ψ−1(p)

)

Lema D.2. Sejam M uma variedade suave de dimensao m, f : M → R uma funcao

suave e p ∈ M um ponto crıtico de f . A forma bilinear Hessp(f) esta bem definida (i.e.

a definicao de Hessp(f) nao depende da escolha da carta em p).

Demonstracao: Sejam (U,ϕ), (V, ψ) duas cartas de M em p, com coordenadas locais

x1, . . . , xm e y1, . . . , ym, respectivamente. Dados u, v ∈ TpM devemos mostrar que

d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1

p (v) = d2(f ψ)(ψ−1(p))dψ−1p (u), dψ−1

p (v).

Como u, v ∈ TpM , existem numeros reais ui, vj, vk, ul, com i, j, k, l = 1, . . . ,m, tais que

u =

m∑i=1

ui∂

∂xi

∣∣∣∣p

=m∑l=1

ul∂

∂yl

∣∣∣∣p

,

v =

m∑j=1

vj∂

∂xj

∣∣∣∣p

=

m∑k=1

vk∂

∂yk

∣∣∣∣p

.

Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Levando em conta as relacoes ∂∂xi|p= dϕϕ−1(p)(ei)

(veja Exemplo C.24), temos que


d2(f ϕ)ϕ−1(p)

(dϕ−1

p (u), dϕ−1p (v)

)= d2(f ϕ)ϕ−1(p)

( m∑i=1

uiei,m∑j=1

vjej

)=

m∑i,j=1

uivjd2(f ϕ)ϕ−1(p)(ei, ej)

=m∑

i,j=1

uivj∂2(f ϕ)

∂xi∂xj(ϕ−1(p)).

Note que a penultima igualdade decorre do fato da aplicacao d2(f ϕ)ϕ−1(p) ser bilinear e

a ultima segue da definicao da segunda derivada. Alem disso, ∂∂xi

(∂(fϕ)∂xj

) = ∂2(fϕ)∂xi∂xj

denota

a entrada ij da matriz Hessiana usual. Procedendo de maneira analoga obtemos que

d2(f ψ)ψ−1(p)(dψ−1p (u), dψ−1

p (v)) =m∑

k,l=1

ulvk∂2(f ψ)

∂yl∂yk(ψ−1(p)).

Entao de acordo com o que fizemos anteriormente devemos provar que

m∑i,j=1

uivj∂2(f ϕ)

∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =

m∑k,l=1

ulvk∂2(f ψ)

∂yl∂yk(ψ−1(p)).

Primeiro, vamos provar a seguinte igualdade:

∂2(f ϕ)

∂xj∂xi(ϕ−1(p)) =

m∑k,l=1

∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l

∂xj(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi(ϕ−1(p)).

Por hipotese tem-se que f e ϕ sao funcoes suaves, e portanto, de acordo com a Definicao

C.10 segue que f ϕ e suave. Daı juntamente com a regra da cadeia, temos entao

∂(f ϕ)

∂xi(ϕ−1(p)) =

∂(f ψ ψ−1 ϕ)

∂xi(ϕ−1(p))

= d(f ψ ψ−1 ϕ)(ϕ−1(p))(ei)

=m∑k=1

∂(f ψ)

∂yk(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(p))

∂(ψ−1 ϕ)k∂xi

(ϕ−1(p)).

E portanto, vale

∂(f ϕ)

∂xi=

m∑k=1

∂(f ψ)

∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi.

Com isso temos que:


∂2(f ϕ)

∂xj∂xi=

m∑k=1

∂

∂xj

(∂(f ψ)

∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi

)=

m∑k=1

[∂

∂xj

(∂(f ψ)

∂yk (ψ−1 ϕ)

)· ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi

+∂(f ψ)

∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂

∂xj

(∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi

)]=

m∑k=1

[(m∑l=1

∂2(f ψ)

∂yk∂yl (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)l

∂xj

)· ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi

+∂(f ψ)

∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂

2(ψ−1 ϕ)k∂xj∂xi

].

Como p e ponto crıtico∂(f ψ)

∂yk(ψ−1(p)) = 0. Portanto,

∂2(f ϕ)

∂xj∂xi(ϕ−1(p)) =

m∑k,l=1

∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l

∂xj(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k

∂xi(ϕ−1(p)).

De acordo com a igualdade do Lema D.1 temos

ui =

m∑a=1

ua ·∂(ϕ−1 ψ)i

∂yae vj =

m∑b=1

vb ·∂(ϕ−1 ψ)j

∂yb.

Daı, segue que

m∑i,j=1

uivj∂2(f ϕ)

∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =

m∑i,j=1

m∑a=1

ua∂(ϕ−1 ψ)i

∂ya(ψ−1(p))

m∑b=1

vb∂(ϕ−1 ψ)j

∂yb(ψ−1(p))

m∑k,l=1

∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p))

∂(ψ−1 ϕ)l∂xj

(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k∂xi

(ϕ−1(p))

=

m∑i,j,a,b,k,l=1

(uavb

∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ϕ−1 ψ)i

∂ya(ψ−1(p))·


(ϕ−1(p)) · ∂(ϕ−1 ψ)j∂yb

(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l∂xj

(ϕ−1(p))

)=

m∑a,b,k,l=1

(uavb

∂2(f ψ)


m∑i=1

∂(ϕ−1 ψ)i∂ya

(ψ−1(p))·


(ϕ−1(p))

m∑j=1

∂(ϕ−1 ψ)j∂yb

(ψ−1(p))∂(ψ−1 ϕ)l

∂xj(ϕ−1(p))

=

m∑a,b,k,l=1

(uavb

∂2(f ψ)


∂

∂ya

((ψ−1 ϕ

)k ϕ−1 ψ

)·

∂

∂yb

((ψ−1 ϕ

)l ϕ−1 ψ

))


m∑i,j=1

uivj∂2(f ϕ)

∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =

m∑a,b,k,l=1

(uavb

∂2(f ψ)


∂

∂ya(πk)

∂

∂yb(πl)

)

=

m∑a,b,k,l=1

(uavb

∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p)) · δak · δbl

)

=

m∑k,l=1

ukvl∂2(f ψ)

∂yk∂yl(ψ−1(p)),

onde πk : Rm −→ R, definida por (v1, . . . , vk, . . . , vm) 7−→ vk.

Apendice E

Campos de Vetores e Derivacoes

Seja M uma variedade suave de dimensao m. Denotaremos por TM a uniao

disjunta

TM =⋃p∈M

(p × TpM

)e denotaremos por π a aplicacao:

π : TM −→ M

(p, v) 7−→ p,

chamada aplicacao canonica de TM . O conjunto TM e chamado o fibrado tangente

de M .

Observacao E.1.

a) Habitualmente, identificamos p × TpM com TpM .

b) TM e naturalmente uma variedade de dimensao 2m. Se (U,ϕ) e uma carta de M

com coordenadas locais x1, . . . , xm, entao o par (U , ϕ), onde

• U = U × Rm;

• ϕ : U −→ TM, (q, u = (u1, . . . , um)) 7−→ u1∂∂x1

∣∣ϕ(q)

+ · · ·+ um∂

∂xm

∣∣ϕ(q)

,

e uma carta de TM.

Definicao E.2. Um campo de vetores em M e uma aplicacao suave X : M −→ TM

satisfazendo X(p) ∈ TpM para todo p ∈M .

Observacao E.3.

a) Dado um campo de vetores X : M −→ TM , escreve-se habitualmente Xp em vez de

X(p).105

Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 106

b) O espaco dos campos de vetores em M , denotado por X(M), e naturalmente um

espaco vetorial.

Denotaremos por C∞(M) o conjunto das funcoes f : M −→ R de classe C∞.

Note que C∞(M) e naturalmente um espaco vetorial real.

Definicao E.4. Seja p ∈ M . Uma derivacao no ponto p e uma aplicacao R-linear

Dp : C∞(M) −→ R que cumpre a seguinte condicao

Dp(fg) = f(p)Dp(g) +Dp(f)g(p)

para todas f, g ∈ C∞(M).

O conjunto das derivacoes em p e denotado por Der(M, p). E naturalmente um

espaco vetorial real.

Exemplo E.5. Seja p ∈M . Todo elemento v ∈ TpM define uma derivacao em p, a qual

denotamos tambem por v, atraves da formula:

v(f) := d(f ϕ)ϕ−1(p)(u), (E.1)

onde (U,ϕ) e qualquer carta de M em p e u ∈ Rm sao tais que [U,ϕ, u]p = v. Esta

definicao e independente do representante de v usado. Com efeito, sejam (U,ϕ) e (V, ψ)

duas cartas de M em p e sejam u1, u2 ∈ Rm tais que (U,ϕ, u1) vp (V, ψ, u2), isto e,

d(ψ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(u1) = u2. Pela regra da cadeia, temos entao que:

d(f ψ)ψ−1(p)(u2) = d(f ψ)ψ−1(p)d(ψ−1 ϕ

)ϕ−1(p)

(u1) = d(f ϕ)ϕ−1(p)(u1).

Exemplo E.6. Um caso particular do exemplo acima e quando v e da forma v =

[U,ϕ, ei] = ∂∂xi

∣∣p∈ TpM (o i-esimo vetor tangente associado as coordenadas locais x1, . . . ,

xm de uma carta (U,ϕ) de M em p). Neste caso, a formula (E.1) reescreve-se como:

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) :=∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

).

Exemplo E.7. Dado um campo de vetores X ∈ X(M) e uma funcao f ∈ C∞(M),

definamos uma nova funcao X(f) : M −→ R pondo:

X(f)(p) := Xp(f),

onde Xp ∈ TpM esta interpretado como um elemento de Der(M, p) (veja E.6). Mostra-se

que X(f) e uma funcao suave (veja E.17).


Exemplo E.8. Para toda funcao de valores reais suave, f : M −→ R em uma variedade

Riemanniana (M, g) com ou sem bordo, definimos o campo de vetor chamado o gradiente

de f como sendo o unico campo de vetores que satisfaz

〈grad f,X〉g = Xf

para todo campo de vetor X ∈ X(M).

Lema E.9. (Bump functions) Para todo ε > 0, existe uma funcao β : Rm −→ R de classe

C∞ tal que 0 ≤ β(x) ≤ 1, para todo x ∈ Rm e

β(x) =

1, se ‖ x ‖< 1;

0, se ‖ x ‖≥ 1 + ε,

onde ‖ . ‖ e a norma euclidiana.

Demonstracao: Seja φ : R −→ R a aplicacao definida por:

φ(t) :=

exp

−1(t−a)(b−t)

, se a < t < b;

0, caso contrario.

Mostra-se que φ e uma aplicacao de classe C∞. Integrando φ e normalizando o resultado,

obtemos uma outra funcao:

θ : R −→ R, t 7−→

∫ t

−∞φ(s)ds∫ ∞

−∞φ(s)ds

,

de classe C∞ que satisfaz:

• θ(t) = 0, se t 6 a,

• θ(t) = 1, se t > b.

Suponha a = 1 e b = (1+ε)2. A funcao η(t) = 1−θ(t) e de classe C∞ e e identicamente nula

para t > (1 + ε)2 e igual a 1 quando t 6 1. Finalmente, a funcao Rm −→ R, x 7−→ ‖x‖2

sendo suave, e claro que β(x) = η(‖x‖2

)tambem e suave e tem as propriedades desejadas.

O resultado segue.

Lema E.10. Seja Dp ∈ Der(M, p).

a) Sejam f, g ∈ C∞(M). Suponha que exista um conjunto aberto U ⊆M contendo p e

tal que f ≡ g em U. Entao, Dp(f) = Dp(g);


b) Se f ∈ C∞(M) e constante, entao Dp(f) = 0.

Demonstracao: Suponha que exista U aberto contendo p tal que f ≡ g em U. Seja (V, ψ)

uma carta de M em p. Usando uma translacao e dilatacao (ou homotetia), se necessario,

podemos supor que:

• ψ(V ) ⊆ U ;

• ψ−1(p) = 0;

• B(0, 2) ⊂ V, onde B(0, 2) = x ∈ Rm; ‖x‖ < 2.

Seja tambem β : Rm −→ R uma bump function, com

• 0 ≤ β(x) ≤ 1 para todo x ∈ Rm;

• β(x) =

1, se ‖x‖ < 1

0, se ‖x‖ ≥ 32.

Definimos B : M −→ R como

B(q) :=

(β ψ−1)(q), se q ∈ ψ(V );

0, caso contrario.

Afirmamos que B e de classe C∞. Com efeito, dado q ∈ M, temos duas possibilidades:

q ∈ ψ(B[0, 3/2]) ou q ∈ W := M − ψ(B[0, 3/2]), onde B[0, 3/2] = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 3/2denota a bola fechada centrada no ponto 0 do espaco Rm e de raio 3/2.

CASO 1: q ∈ ψ(B[0, 3/2]).

Neste caso, q ∈ ψ(V ), e B ψ = β ψ−1 ψ = β : V −→ R e de classe C∞. Logo B e

suave em qualquer ponto q ∈ ψ(B[0, 3/2]).

CASO 2: q ∈ W := M − ψ(B[0, 3/2]).

Pela continuidade de ψ−1 tem-se que ψ(B[0, 3/2]) e fechado em ψ(V ), o que implica que

o seu complementar W = M −ψ(B[0, 3/2]) e aberto. Logo existe uma carta (V , ψ) de M

em q tal que ψ(V ) ⊆ W . Devemos mostrar que B ψ e suave, mas isso decorre do fato

que B ψ ≡ 0 em V (pois B ≡ 0 fora de ψ(B [0, 3/2]) e ψ(V ) ∩ ψ(B [0, 3/2]) = ∅). Isso

prova nossa afirmacao.

Agora, por causa da hipotese f ≡ g em U , temos que (f − g)B ≡ 0 em M , e portanto,

0 = Dp((f − g)B) = Dp(f − g)B(p) + (f − g)(p)Dp(B) = Dp(f − g) = Dp(f)−Dp(g),

isto e, Dp(f) = Dp(g).


Para mostrar o item b) basta provar que Dp(1) = 0. Temos que

Dp(1) = Dp(1.1) = 1Dp(1) +Dp(1)1 = 2Dp(1),

donde Dp(1) = 0. A proposicao segue.

Proposicao E.11. Sejam M uma variedade e p ∈ M . Dado um subconjunto aberto

U ⊆M contendo p, a aplicacao

i : Der(U, p) −→ Der(M, p)

definida por:

i(dp)(f) := dp(f |U),

e um isomorfismo linear.

Demonstracao: Claramente, i esta bem definida (pois U e naturalmente uma variedade)

e e uma aplicacao linear. Seja (V, ψ) uma carta de M em p tal que ψ(V ) ⊆ U , ψ−1(p) = 0

e B(0, 2) ⊆ V . Considere uma bump function β : Rm −→ R tal que:

• 0 ≤ β(x) ≤ 1 para todo x ∈ Rm;

• β(x) = 1, se ‖x‖ < 1 e β(x) = 0, se ‖x‖ ≥ 32.

Dada g ∈ C∞(U), denotaremos por g : M −→ R a funcao definida por:

g(q) =

g(q)(β ψ−1)(q), se q ∈ ψ(V )

0, senao.

Note que g : M −→ R e suave. Alem disso, para toda f ∈ C∞(M), f |U ≡ f em

ψ(B(0, 1)), e tambem que para toda g ∈ C∞(U), g|U ≡ g em ψ(B(0, 1)).

Finalmente, considere a aplicacao

K : Der(M, p) −→ Der(U, p),

definida por

(K(Dp))(g) := Dp(g).

A aplicacao K e linear, e temos que:

• (i K)(Dp)(f) = i(K(Dp))(f) = (K(Dp))(f |U) = Dp

(f |U)

= Dp(f), pois f |U ≡ f

em ψ(B(0, 1)) (veja Lema E.10).


• (K i)(dp)(g) = K(i(dp))(g) = i(dp)(g) = dp(g|U)

= dp(g), pois g|U ≡ g em

ψ(B(0, 1)) (veja Lema E.10).

Isso mostra que i e bijetiva e que i−1 = K. A proposicao segue.

A seguir relembramos um resultado de Analise no Rm, o qual sera usado para

demonstrar a proposicao que nos dara uma base do espaco Der(M, p).

Teorema E.12. (Formula de Taylor de Primeira Ordem) Seja U ⊆ Rm um

conjunto aberto convexo e seja f : U −→ R uma funcao suave. Fixado a ∈ U , existem

funcoes suaves g1, . . . , gm definidas em U tais que gi(a) = 0 para todo i = 1, . . . ,m e tal

que

f(z) = f(a) +m∑i=1

∂f

∂xi(a)(zi − ai) +

m∑i=1

gi(z)(zi − ai)

para todo z ∈ U.

Demonstracao: Considere h : [0, 1] −→ R definida por h(t) = f((1 − t)a + tz). Pelo

Teorema Fundamental do Calculo,

h(1)− h(0) =

∫ 1

0

h′(t)dt,

donde,

f(z)− f(a) =m∑i=1

(zi − ai)∫ 1

0

∂f

∂xi((1− t)a+ tz)dt, (E.2)

onde usamos a regra da cadeia. Fazendo uma mudanca de variaveis (s = 1− t) na integral

em E.2 temos que∫ 1

0

∂f

∂xi((1− t)a+ tz)dt = −

∫ 0

1

∂f

∂xi(sa+ (1− s)z)ds

=

∫ 1

0

∂f

∂xi(sa+ (1− s)z)ds,

donde integrando por partes, com

u =∂f

∂xi(sa+ (1− s)z),

du =m∑j=1

(aj − zj)∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)ds,

v = s,

dv = ds,


obtemos∫ 1

0

∂f

∂xi(sa+ (1− s)z)ds =

∂f

∂xi(sa+ (1− s)z)s

∣∣∣∣10

−∫ 1

0

s

m∑j=1

∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)(aj − zj)ds

=∂f

∂xi(a)−

m∑j=1

(aj − zj)∫ 1

0

∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds.

Voltando a equacao (E.2), temos que

f(z)− f(a) =

m∑i=1

(zi − ai)

∂f∂xi

(a)−m∑j=1

(aj − zj)∫ 1

0

∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds

=

m∑i=1

(zi − ai)∂f

∂xi(a) +

m∑i=1

(zi − ai)

− m∑j=1

(aj − zj)∫ 1

0

∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds

=

m∑i=1

(zi − ai)∂f

∂xi(a) +

m∑i=1

(zi − ai)gi(z),

onde

gi(z) = −m∑j=1

(aj − zj)∫ 1

0

∂2f

∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds.

Observe que gi(a) = 0. Isso completa a prova.

Proposicao E.13. Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm.Entao, para todo p ∈ ϕ(U), as derivacoes

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

formam uma base de Der(M, p).

Demonstracao: Seja dp ∈ Der(ϕ(U), p) ' Der(M, p), e seja f ∈ C∞(ϕ(U)). A aplicacao

f sendo de classe C∞, temos que f ϕ : U −→ R e de classe C∞, e portanto, podemos

aplicar a formula de Taylor no ponto ϕ−1(p). Existem funcoes g1, . . . , gm : Rm −→ R de

classe C∞ tais que:

g1

(ϕ−1(p)

)= · · · = gm

(ϕ−1(p)

)= 0 (E.3)

e tal que para todo y = (y1, . . . , ym) ∈ U ,

(f ϕ)(y) = f(p) +m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)(yi − xi(p)) +

m∑i=1

gi(y)(yi − xi(p)).

Fazendo ϕ−1(q) = y, obtemos a formula:


f(q) = f(p) +m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)(xi(q)− xi(p)) +

m∑i=1

(gi ϕ−1

)(q)(xi(q)− xi(p)),

para todo q ∈ ϕ(U). Os termos f(p),∑m

i=1∂(fϕ)∂xi

(ϕ−1(p)

)e xi(p) sendo constantes, temos

que:

dp(f) = dp(f(p)) +

m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)dp(xi − xi(p)) + dp

(m∑i=1

(gi ϕ−1

)(xi − xi(p))

)

=

m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)dp(xi) + dp

(m∑i=1

(gi ϕ−1

)(xi − xi(p))

)

=

m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)dp(xi) +

m∑i=1

(gi ϕ−1

)(p)dp(xi) + dp

(m∑i=1

(gi ϕ−1

))(xi(p)− xi(p))

=

m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)dp(xi) +

m∑i=1

(gi ϕ−1

)(p)dp(xi)

=

m∑i=1

∂(f ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)dp(xi) (veja (E.3))

=

m∑i=1

dp(xi)∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) (veja ExemploE.6)

=

(m∑i=1

dp(xi)∂

∂xi

∣∣∣∣p

)(f).

A funcao f sendo arbitraria, concluımos que

dp =m∑i=1

αi∂

∂xi

∣∣∣∣p

, onde αi = dp(xi) ∈ R.

Logo, as derivacoes ∂∂xi

∣∣p

geram Der(M, p). Resta mostrar que a famılia

∂∂xi

∣∣p

i=1,...,m

e

linearmente independente.

Sejam entao λ1, . . . , λm ∈ R tais que

λ1∂

∂x1

∣∣∣∣p

+ · · ·+ λm∂

∂xm

∣∣∣∣p

= 0.

Isso significa que para toda funcao f ∈ C∞(ϕ(U)),(m∑i=1

λi∂

∂xi

∣∣∣∣p

)(f) = 0.

Em particular, para f = xj, temos que

m∑i=1

λi∂

∂xi

∣∣∣∣p

(xj) = 0,


donde obtemosm∑i=1

λi∂(xj ϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)= 0.

Note que xj ϕ : U −→ R, (y1, . . . , yj, . . . , ym) 7−→ yj, donde∂(xjϕ)

∂xi

(ϕ−1(p)

)= δij, e

portanto,m∑i=1

λiδij = 0.

Resulta daı que λj = 0. Assim, λ1 = · · · = λm = 0 o que implica que

∂∂xi

∣∣p

i=1,...,m

e

linearmente independente.

Proposicao E.14. Seja p ∈ M e seja (U,ϕ) uma carta de M em p com coordenadas

locais x1, . . . , xm. Seja G : TpM −→ Der(M, p) a aplicacao definida por:

G([U,ϕ, u]p) := u1∂

∂x1

∣∣∣∣p

+ · · ·+ um∂

∂xm

∣∣∣∣p

.

Entao esta aplicacao independe da carta usada e e um isomorfismo linear.

Demonstracao: Primeiro mostremos que G esta bem definida. Sejam u, v ∈ Rm e

sejam (U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas de M em p tais que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v), isto e, d(ψ−1

ϕ)ϕ−1(p)

(u) = v. Sejam ainda x1, . . . , xm e y1, . . . , ym as coordenadas locais associadas

as cartas (U,ϕ) e (V, ψ), respectivamente. Dada f ∈ C∞(M), temos que(m∑i=1

ui∂

∂xi

∣∣∣∣p

)(f) =

m∑i=1

ui∂(f ϕ)

∂xi(ϕ−1(p)) (veja Exemplo E.6)

=m∑i=1

ui∂(f ψ ψ−1 ϕ)

∂xi(ϕ−1(p))

=m∑i=1

ui

m∑j=1

∂(f ψ)

∂yj(ψ−1(p))

∂(ψ−1 ϕ)j∂xi

(ϕ−1(p))

=m∑i=1

ui

m∑j=1

∂

∂yj

∣∣∣∣p

(f)∂(ψ−1 ϕ)j

∂xi(ϕ−1(p))

=m∑j=1

[m∑i=1

ui∂(ψ−1 ϕ)j

∂xi(ϕ−1(p))

]∂

∂yj

∣∣∣∣p

(f)

=

(m∑j=1

vj∂

∂yj

∣∣∣∣p

)(f) (veja Lema D.1)

Logo G independe da carta usada.

Claramente G e uma aplicacao linear. Para provar que G e injetiva mostremos que

Ker(G) = 0. Seja [U,ϕ, u]p ∈ TpM tal que G([U,ϕ, u]p) = 0, isto e, u1∂∂x1

∣∣p

+ · · · +


um∂

∂xm

∣∣p

= 0. Como as derivacoes ∂∂x1

∣∣p, . . . , ∂

∂xm

∣∣p

formam uma base de Der(M, p) deve-se

ter u1 = · · · = um = 0, ou seja, [U,ϕ, u]p e o vetor nulo. Note que a sobrejetividade segue

diretamente do Teorema do Nucleo e da Imagem. A proposicao segue.

Observacao E.15. Segue da ultima proposicao que TpM e Der(M, p) sao canonicamente

isomorfos.

Definicao E.16. Uma derivacao de M e uma aplicacao linear D : C∞(M) −→C∞(M) satisfazendo para todas f, g ∈ C∞(M),

D(fg) = fD(g) + gD(f).

Lema E.17. Seja X ∈ X(M). Entao, para toda funcao f ∈ C∞(M), a funcao X(f)

X(f) : M −→ R definida por X(f)(p) := Xp(f) e de classe C∞. Alem disso, para

quaisquer f, g ∈ C∞(M), tem-se

X(fg) = fX(g) + gX(f).

Em particular, C∞(M) −→ C∞(M), f 7−→ X(f) e uma derivacao.

Demonstracao: Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm. Exis-

tem m-funcoes suaves X1, . . . , Xm : U −→ R tais que para todo x ∈ U ,

Xϕ(x) = X1(x)∂

∂x1

∣∣∣∣ϕ(x)

+ · · ·+Xm(x)∂

∂xm

∣∣∣∣ϕ(x)

.

Daı a expressao local de X(f) nas cartas (R, IdR) e (U,ϕ) e dada, para x ∈ U , por

((IdR)−1 X(f) ϕ) (x) = X(f)(ϕ(x)) = Xϕ(x)(f)

=(X1(x) ∂

∂x1

∣∣ϕ(x)

+ · · ·+Xm(x) ∂∂xm

∣∣ϕ(x)

)(f)

= X1(x)∂(fϕ)∂x1

(x) + · · ·+Xm(x)∂(fϕ)∂xm

(x),

que e suave, pois as funcoes Xi e f ϕ o sao.

Isso mostra que X(f) e suave (veja C.11). Falta mostrar a formula X(fg) = fX(g) +

gX(f), mas isto segue imediatamente do fato de que Xp ∈ Der(M, p), onde p ∈M .

Esse lema da uma aplicacao

X(M) −→ Der(M),

onde Der(M) denota o espaco vetorial das derivacoes de M .

Reciprocamente, uma derivacao D ∈ Der(M) define um campo de vetores XD da seguinte


maneira. Dado p ∈M, definimos

evp :=

C∞(M) −→ R,

f 7−→ f(p).

Afirmamos que evp D ∈ Der(M, p). Com efeito,

(evp D)(fg) = evp(D(fg))

= evp(fD(g) + gD(f))

=(fD(g) + gD(f)

)(p)

= f(p)D(g)(p) + g(p)D(f)(p)

= f(p)(evp D)(g) + g(p)(evp D)(f).

A R-linearidade da aplicacao evp D e imediata.

Agora, como Der(M, p) e isomorfo a TpM obtemos assim uma aplicacao

XD :=

M −→ TM

p 7−→ evp D,

que satisfaz π XD = IdM , onde π : TM −→M e a projecao canonica.

Lema E.18. XD : M −→ TM e suave. Em particular, XD e um campos de vetores.

Demonstracao: Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm. Para

todo x ∈ U podemos escrever

XDϕ(x) = X1(x)

∂

∂x1

∣∣∣∣ϕ(x)

+ · · ·+Xm(x)∂

∂xm

∣∣∣∣ϕ(x)

Como ∂∂xi

∣∣ϕ(x)

(xj) = δij, temos que Xj(x) = XDϕ (xj). Usando uma bump function,

podemos supor que xj esta globalmente definida. Daı temos:

Xi(x) = XDϕ(x)(xi) = (evϕ(x) D)(xi) = evϕ(x)

(D(xi)

)= D(xi)(ϕ)(x)

que e a expressao local da funcao suave D(xi) nas cartas (U,ϕ) e (IdR,R), e portanto, e

suave. Segue-se que Xi : U −→ R e suave, implicando a suavidade de XD : M −→ TM .

Segue o desejado.

Observacao E.19. Segue dos dois lemas anteriores que X(M) e Der(M) sao canonica-

mente isomorfos.

Apendice F

Curvas Integrais e Fluxos

Nesta secao enunciaremos algumas definicoes e resultados sem demonstracoes

com respeito a teoria de equacoes diferencias ordinarias em um espaco vetorial real de

dimensao finita. Em seguida enunciaremos algumas definicoes e resultados com respeito a

teoria de equacoes diferencias ordinarias em variedades suaves, e neste contexto daremos

todos os detalhes e demonstracoes, com excecao do Teorema F.14, cuja demonstracao se

encontra em [7].

Definicao F.1. Seja E um espaco vetorial real de dimensao finita e seja U ⊆ E um

conjunto aberto.

i) Um campo de vetores em U e uma aplicacao X : U −→ E de classe C∞.

ii) Seja X : U −→ E um campo de vetores. Uma curva integral de X e uma curva

γ : I −→ U de classe C∞ definida num intervalo aberto I contendo 0 tal que

γ′(t) = X(γ(t)) para todo t ∈ I. O ponto γ(0) e chamado condicao inicial.

iii) Seja X : U −→ E um campo de vetores. Um fluxo local de X no ponto x0 ∈ U e

uma aplicacao suave

ψ : I × U ′ −→ U,

onde I ⊆ R e um intervalo aberto contendo 0 e U ′ ⊆ U e um conjunto aberto

contendo x0, tal que para todo x ∈ U ′, a restricao de ψ ao conjunto I × x e uma

curva integral de X com condicao inicial x.

Observacao F.2.

i) Dado um campo de vetores X : U −→ E, escreve-se habitualmente Xx em vez de

X(x).

ii) Dado um fluxo local ψ, escreve-se ψt(x) em vez de ψ(t, x).116

Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 117

Teorema F.3. Seja X : U −→ E um campo de vetores. Entao, para todo x ∈ U , existem

um intervalo aberto I ⊆ R contendo 0, um conjunto aberto U ′ ⊆ U contendo x e uma

aplicacao suave ψ : I × U ′ −→ U tais que

i) ψ e um fluxo local de X em x;

ii) Se ψ′ : I × U ′ −→ U e um outro fluxo local de X em x, entao ψ = ψ′. (Unicidade

do fluxo local).

Proposicao F.4. Seja X : U −→ E um campo de vetores e sejam γ1 : I1 −→ U e

γ2 : I2 −→ U duas curvas integrais de X com mesma condicao inicial p = γ1(0) = γ2(0).

Entao, para todo t ∈ I1 ∩ I2, γ1(t) = γ2(t).

Definicao F.5. Seja γk : Ik −→ Uk∈A o conjunto de todas as curvas integrais de X

com condicao inicial x0 ∈ U. Definimos I(x0) =⋃k∈A Ik, e um intervalo aberto contendo

0, e

γx0 :=

I(x0) −→ U,

t 7−→ γk(t), se t ∈ Ik.

A curva γx0 esta bem definida e e uma curva integral de X chamada curva integral

maximal de X com condicao inicial x0.

Agora passamos ao caso das variedades. No que se segue M denotara uma vari-

edade suave de dimensao m e X(M) e o espaco dos campos de vetores suaves de M .

Seja X ∈ X(M) um campo de vetores e seja (U,ϕ) uma carta de M com coorde-

nadas locais x1, . . . , xm. Para todo x ∈ U ,∂

∂x1

∣∣∣∣ϕ(x)

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣ϕ(x)

e uma base de Tϕ(x)M , e portanto, existem numeros reais X1(x), . . . , Xm(x) tais que

Xϕ(x) = X1(x)∂

∂x1

∣∣∣∣ϕ(x)

+ · · ·+Xm(x)∂

∂xm

∣∣∣∣ϕ(x)

.

Por outro lado temos que X(ϕ(U)) ⊆ ϕ(U), onde (U , ϕ) e a carta em TM como definida

na Observacao E.1. Logo podemos considerar a expressao local de X nas cartas (U,ϕ) e

(U , ϕ) :

(ϕ−1 X ϕ

)= (x,X1(x), . . . , Xm(x)), com x ∈ U. (F.1)


Assim, X e localmente caracterizado pela aplicacao

X(U,ϕ) : U −→ Rm,

x 7−→ (X1(x), . . . , Xm(x)),

o qual e necessariamente suave.

Lema F.6. Seja M uma variedade e seja (U,ϕ) uma carta de M em p, com coordenadas

locais x1, . . . , xm. Seja η : I −→ M uma curva de M . Suponha que existam t0 ∈ I e

ε > 0 tais que η((t0 − ε, t0 + ε)) ⊆ ϕ(U). Denotamos por

η1, . . . , ηm : (t0 − ε, t0 + ε) −→ R as aplicacoes ηi := xi η,

isto e,

(ϕ−1 η)(t) := (η1(t), . . . , ηm(t)), onde t ∈ (t0 − ε, t0 + ε).

Entao, para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) tem-se que

η′(t) =dη1

dt(t)

∂

∂x1

∣∣∣∣η(t)

+ · · ·+ dηmdt

(t)∂

∂xm

∣∣∣∣η(t)

,

onde dηidt

(t) designa a derivada ηi no sentido usual.

Demonstracao: Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε)

tem-se:

η′(t) = dϕϕ−1(η(t))d(ϕ−1 η)t∂t

= dϕϕ−1(η(t))

(dη1dt

(t), . . . , dηmdt

(t))

(veja Exemplo C.27)

= dϕϕ−1(η(t))

(e1

dη1dt

(t) + · · ·+ emdηmdt

(t))

=dη1

dt(t)dϕϕ−1(η(t))(e1) + · · ·+ dηm

dt(t)dϕϕ−1(η(t))(em)

=dη1

dt(t)

∂

∂x1

∣∣∣∣η(t)

+ · · ·+ dηmdt

(t)∂

∂xm

∣∣∣∣η(t)

(veja Exemplo (C.24))

Lema F.7. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores e seja η : I −→ M uma curva suave

definida num intervalo aberto I. Seja tambem uma carta (U,ϕ) de M tal que J := t ∈I; γ(t) ∈ ϕ(U) 6= ∅. Dado t ∈ J temos a seguinte equivalencia:

γ′(t) = Xγ(t) ⇔ γ′(t) = X(U,ϕ)(γ(t)),

onde γ := ϕ−1 γ IdJ : J −→ U e a expressao local de γ nas cartas (U,ϕ) e (J, IdJ), e


onde X(U,ϕ) : U −→ Rm e a expressao local de X, como definida em (F.1).

Demonstracao: E so comparar as expressoes de γ′(t) e Xγ(t) na carta (U,ϕ). Seja entao

x1, . . . , xm as coordenadas locais de (U,ϕ). Escrevendo

γ(t) = (γ1(t), . . . , γm(t))

temos pelo Lema F.6 que

γ′(t) =dγ1

dt(t)

∂

∂x1

∣∣∣∣γ(t)

+ · · ·+ dγmdt

(t)∂

∂xm

∣∣∣∣γ(t)

, (F.2)

para todo t ∈ J. Por outro lado, sabemos que

X(U,ϕ)(x) = (X1(x), . . . , Xm(x)),

onde x ∈ U e Xi : U −→ R e entao,

Xγ(t) = X1(γ(t))∂

∂x1

∣∣∣∣γ(t)

+ · · ·+Xm(γ(t))∂

∂xm

∣∣∣∣γ(t)

. (F.3)

O lema segue da comparacao entre (F.2) e (F.3).

Definicao F.8. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores. Uma curva integral de X e

uma curva γ : I −→M de classe C∞ definida num intervalo aberto I contendo 0 tal que

γ′(t) = Xγ(t) para todo t ∈ I. O ponto γ(0) e chamado condicao inicial.

Para a proxima definicao, a qual descrevera a maxima extensao de uma curva

integral, precisamos garantir que tal definicao esteja bem definida. A proxima proposicao

nos assegurara isso.

Proposicao F.9. Seja X ∈ X(M) e sejam γ1 : I1 −→ M e γ2 : I2 −→ M duas curvas

integrais de X com mesma condicao inicial p = γ1(0) = γ2(0). Entao, para todo t ∈ I1∩I2,

γ1(t) = γ2(t).

Demonstracao: Vamos mostrar que o conjunto

Q = t ∈ I1 ∩ I2; γ1(t) = γ2(t)

e aberto e fechado no conjunto conexo I1 ∩ I2. Note que Q 6= ∅, pois 0 ∈ Q.Q e fechado em I1 ∩ I2: Consideremos a aplicacao

γ1 × γ2 : I1 ∩ I2 −→ M ×M,

t 7−→ (γ1(t), γ2(t)),


que esta bem definida e que e contınua. Note que

Q = (γ1 × γ2)−1(4), onde 4 = (p, p) ∈M ×M ; p ∈M.

A variedade M sendo Hausdorff, segue-se que 4 ⊂M ×M e fechado, e pela continuidade

de γ1 × γ2, concluımos que Q = (γ1 × γ2)−1(4) e fechado em I1 ∩ I2.

Q e aberto em I1 ∩ I2 : Seja t0 ∈ Q e seja q = γ1(t0) = γ2(t0). Consideremos uma carta

(U,ϕ) de M em q. Pela continuidade de γ1 e γ2 em t0, existe ε > 0 tal que

γ1((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ ϕ(U) e γ2((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ ϕ(U).

Dado, i = 1, 2, definimos Bi : (−ε, ε) −→ U , dada pela formula

Bi(t) := γi(t+ t0) =(ϕ−1 γi

)(t+ t0).

Note que γi e uma aplicacao suave (pois ϕ−1 e γi o sao) e satisfaz γ′i(t) = X(U,ϕ)(γi(t))

para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε). Alem disso, temos que:

• Bi e suave, pois γi : (t0 − ε, t0 + ε) −→ U e (−ε, ε) −→ (t0 − ε, t0 + ε), t 7−→ t0 + t o

sao;

• Bi(0) = ϕ−1(γi(0)) = ϕ−1(p);

• B′i(t) = γ′i(t+ t0) = X(U,ϕ)(γi(t+ t0)) = X(U,ϕ)(Bi(t)).

Assim, B1 e B2 sao duas curvas integrais do campo X(U,ϕ), com condicao inicial o ponto

ϕ−1(p).

Pela proposicao F.4, temos que B1(t) = B2(t) para todo t ∈ (−ε, ε). Daı,

(ϕ−1 γ1

)(t+ t0) =

(ϕ−1 γ2

)(t+ t0) para todo t ∈ (−ε, ε),

e portanto, pela injetividade de ϕ−1 temos que:

γ1(t+ t0) = γ2(t+ t0), para todo t ∈ (−ε, ε),

ou seja,

γ1(t) = γ2(t), para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε),

Segue-se que (t0 − ε, t0 + ε) ⊆ Q. Como t0 foi arbitrario, segue que Q e aberto.

Pela conexidade de I1 ∩ I2, concluımos que Q = ∅ ou Q = I1 ∩ I2. Mas, como 0 ∈ Q,

necessariamente, Q = I1 ∩ I2.

Uma generalizacao imediata da proposicao anterior e a seguinte.


Observacao F.10. Seja X ∈ X(M) e sejam γ1 : I1 −→ M e γ2 : I2 −→ M duas curvas

suaves definidas nos intervalos abertos I1 e I2, tais que

• γ′1(t) = Xγ1(t) para todo t ∈ I1;

• γ′2(t) = Xγ2(t) para todo t ∈ I2.

Se γ1(t∗) = γ2(t∗) para um certo t∗ ∈ I1 ∩ I2, entao γ1(t) = γ2(t) para todo t ∈ I1 ∩ I2.

Definicao F.11. Seja γk : Ik −→ Mk∈A o conjunto de todas as curvas integrais de X

com condicao inicial x0 ∈M. Definimos I(x0) =⋃k∈A Ik, e um intervalo aberto contendo

0, e

γx0 :=

I(x0) −→ M,

t 7−→ γk(t), se t ∈ Ik.

A curva γx0 esta bem definida e e uma curva integral de X chamada curva integral

maximal de X com condicao inicial x0.

Definicao F.12. Um fluxo local de M no ponto p ∈ M e uma aplicacao suave ψ :

I × U −→M , onde I ⊆ R e um intervalo aberto contendo 0 e U ⊆M e uma vizinhanca

aberta de p, tal que para todo q ∈ U , a aplicacao I −→ M, t 7−→ ψt(q) e uma curva

integral de X com condicao inicial p.

Definicao F.13. O fluxo global de X e a aplicacao Ψ : D(X) −→ M, (t, p) 7−→ γp(t),

onde D(X) = (t, p) ∈ R×M ; t ∈ I(p).

Teorema F.14. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores. Entao,

i) D(X) e aberto em R×M ;

ii) O fluxo global Ψ : D(X) −→M e de classe C∞.

Demonstracao: Veja [7].

Lema F.15. Sejam X ∈ X(M) e K ⊆ M um conjunto compacto. Se Xp = 0 para todo

p /∈ K, entao D(X) = R×M .

Demonstracao: Seja p ∈ M qualquer. Devemos mostrar que I(p) = R. Consideremos

dois casos.

CASO 1: p /∈ K.

Seja γ : R −→ M a curva definida por γ(t) = p para todo t ∈ R. Claramente γ e uma

curva de classe C∞ satisfazendo

γ′(t) = 0 = Xγ(t)


para todo t ∈ R. Logo γ e uma curva integral definida no intervalo maximal I(p) = R.

CASO 2: p ∈ K.Seja γ : I(p) −→ M a curva integral maximal de X com condicao inicial γ(0) = p.

Afirmamos que Im(γ) ⊆ K. Com efeito, se Xp = 0, entao γ(t) = p para todo t ∈ I(p)

e como p ∈ K segue o desejado. Se Xp 6= 0 note que para provar nossa afirmacao basta

verificar que Xγ(t) 6= 0, para todo t ∈ I(p). Suponha por absurdo que exista s ∈ I(p)

tal que Xγ(s) = 0. Definimos α : R −→ M a curva constante definida por α(t) = γ(s).

Claramente α e uma curva integral de X com condicao inicial γ(s). Como γ(s) = α(s)

para s ∈ I(p) ∩ R = I(p) segue da Observacao F.10 que γ(t) = α(t) para todo t ∈I(p) ∩ R = I(p), isto e, γ(t) = γ(s) para todo t ∈ I(p), e portanto, 0 = γ′(t) = Xγ(t)

para todo t ∈ I(p), mas isso e um absurdo, pois por hipotese Xp 6= 0. Isso prova nossa

afirmacao.

Falta mostrar que I(p) = R. Pela existencia de fluxos locais, para todo q ∈ K, existem

um intervalo aberto Jq contendo 0, um conjunto aberto Uq ⊆ M contendo q e um fluxo

local definido em Jq × Uq. Pela compacidade de K, existem q1, . . . , qr ∈ K tais que

K ⊆r⋃i=1

Uqi .

Seja ε > 0 tal que

(−ε, ε) ⊆r⋂i=1

Jqi.

Claramente, temos que (−ε, ε)×K ⊆ D(X). Logo, para todo q ∈ K, tem-se (−ε, ε) ⊆ I(q),

e em particular (−ε, ε) ⊆ I(p). Sendo assim, podemos considerar o ponto γp(ε/2) e a curva

γγp(ε/2) : I(γp(ε/2)) −→ K.

Defina c : (−ε, 3ε/2) −→ K por

c(t) :=

γp(t) se t ∈ (−ε, ε),γγp(ε/2)(t− ε/2) se t ∈ (0, 3ε/2) .

Usando a Observacao F.10 com t∗ = ε/2, ve-se que c(t) esta bem definida e e uma curva

integral de X com condicao inicial p. Isso implica que (−ε, 3ε/2) ⊆ I(p). Repetindo o

argumento obtemos que (−ε, ε+ nε/2) ⊆ I(p), para todo n ∈ N, e portanto, (−ε,+∞) ⊆I(p). Da mesma maneira, mostra-se que (−∞, ε) ⊆ I(p).

Corolario F.16. Se M e uma variedade compacta, entao para todo X ∈ X(M), tem-se

que D(X) = R×M.


Demonstracao: Basta tomar M = K no ultimo lema.

Sejam M uma variedade suave e A ⊆M um subconjunto arbitrario. Denotamos

por π : TM −→M a projecao canonica.

Definicao F.17.

a) Um campo de vetores ao longo de A e uma aplicacao contınua X : A −→ TM

satisfazendo π X = IdA (ou em outras palavras Xp ∈ TpM para todo p ∈ A).

b) Seja X : A −→ TM um campo de vetores ao longo de A. Diz-se que X e suave se

para cada p ∈ A existem V uma vizinhanca de p em M e X um campo de vetores

suave em V que coincide com X em V ∩ A.

Definicao F.18. Seja X um campo de vetores em M. O suporte de X e o conjunto

supp X := p ∈M ; Xp 6= 0.

Lema F.19. (Lema de Extensao para Campos de Vetores) Sejam M uma varie-

dade suave e A ⊆M um subconjunto fechado. Suponha que X seja um campo de vetores

suave ao longo de A. Dado qualquer conjunto aberto U tal que A ⊆ U, existe um campo

de vetores suave global X em M tal que X |A= X e supp X ⊆ U.

Referencias

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don, 2014.

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[10] MILNOR, J. Morse Theory. Princeton: Princeton University Press, 1963.

[11] MUNKRES, J. R. Elementary differential topology. Princeton: Princeton Uni-

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2011.

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