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BIBLIOTEO
4
DEt00SERVA E
ç (fI/ì.c
UN IVERS IDADE
I NST I TUTO
DE SAO PAULO
DE FTS ICA
'TESTUD0 DA RAZÃ0 DE p0LAR I ZAçÃ0 DE RAD I ACÃ0
. ELAST I CANENTE ESPALHADA EM CHUMBO E
SBI.IFUSP
y DE 662 keV
P LAT I NAII
I lllllt ililt ilil ]ilillli[illiltiliilil til ililt il]t ]ilt ll] ilt305M81 0T1 1 64
Marina Lïa Toscano
Tese submetida como requîsitopa rc i a I pa ra a ob tenção do
grau de Mestre em Ciêncîas.
0rientador: Dr. José Roberto Morei ra
São Paulo
l-larço 1980 # A"
Ao ¿ ft1ØLL^ paí.s
Ao Ni.I-íam
AGRADEC I HENTOS
Ao P rof. José R. Mo re i ra pel a m î nha formação como
pesquisadora e pela dedîcação com que orientou esta tese.
Ao Prof. José R. Le i te peì as va I i osas d i scussões
e pel a col aboração na parte te6ri ca.
A P rof a. Soì ange M. C. de Ba rros e aos co'l egas
0dair Gonça'Ì ves e M.B. Gaspar pela participação através de dis-
cussões , i nformações , confecção de p rog ramas , etc. .
Ao Paulo Pascholati cujo contÍnuo apoio e ajuda tem
s i do i nes t imãvei's .
Ao Philippe Gouffon e Max Cohenca pela assessoria
na pa rte compu tac i ona I .
A todo o pessoal da of icina mecânica, da
e aos motoristas do Acelerador Linear, sem os quais
sido possível a'montagem do equipamento.
marcena-
te-naor. I a
rta
Ao Prof . Hamïlton do lirstituto de Biologïa da USP
que fac i I i tou o uso da fonte de Cés Ì o.
Ä lza!>el pela datilografia.
¡, El î ana e êo Cass i ano pel cs desenhos.
à Vera e ã Lourdes pelas diversas ajudas presta-
das.
Ao col ega
gos que me auxiliaram.
A FAPESP p'elo a'poîo financei ro.
Um ag radec i men to es pec i a I aos
quais talvez não fosse possÍveì a realização
J. Rîcardo Marinellï e a todos os ami-
meus paìs sem os
deste trabalho.
IND ICE
Res umo
Abstract
Pag r na
lt
15
lg
26
29
2t
r NTR0DUçÃ0. i
CAPTTULO I : FUNDAMENTOS TEÕRI COS
Jntrodução: tratamentc do problema de espalhamento... I¡
2 Espal hamentc¡ Raylei gh 8
2"1 - Método Brown, Pei erl s e ldoodr^rard 10
2.2 - Ampl itudes Rayleígh-Thomson calcuìadas por W.R.
Johnson. .
2.3 - 0 mátodo Hartree-Fock - potenciais de troca....
2.4 - 0utras têcnicas parâ o cãlculo das amplitudes..
Espal hamento Thcmson e Del brlJck
Ressonância nuclear....
Polarízação linear e circular - Dependência da seçãode choque com ê polar!zação
3
4
5
CAPfTULO II: RESULTADOS TEORICOS
33
o el ásti co segu i do de espaì hamento Compton 3B
razáo teórica de polarização para chumbo e
energia de 662 keV
de K
das
Espalhament
Cálculo da
platina na
2.1 - Valor4
2
2.2 - Ajuste cu rvas pa ra as ampl i tudes Johnson. . .
\l43
\3
Pag tna
2.3
2.\
Vaìores
Val ores
de R teórícos.. . 44
do desvio de R (oR) \7
48
50
50
5\
55
62
72
77
CAPÍTULO I I I: PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1 Arranjo exper i menta I
1,2 - 0 polarímetro..
1.3 - Alvos usados
1.4 - Descrição dos circuitos eletrônicos....2 Testes conduzidos para verificação e ajuste de equipa
1.1 - A fonte...
men to
3
4
5
S i s temãt i ca de med i das. .
Cálculo da razão de polarização experimental
Considerações sobre as dimensões f initas dos comp,e¡s¡tes do sistema de medição - cálculo da eficiência dopolarímetro.. 79
5.1 - Espalhamento Compton-Compton. Cálculo da razãode polarização considerando espalhadores e detetores pontuais 84
5 .Z - Med i das do du pl o es pa I hamen to Compton com a fonte de Cobalro (toco) B7
5.3 - Simulação computêcional do duplo Compron.. 90
CAPfTULO IV: RESULTADOS E CONCLUSõES
APÊND I CES
Resu I tados e conc I usões 98
A1
A2
A3
A4
Teoria de perturU"ção - Formal i.smo de Feynman.
Espalhamento Delbrück e produção de pares....
Efeîto Compton - Fórmula de Kìein-Nislrina
0 método Mon te-Ca r I o. .
105
109
113
117
.l
RESUHO
0s efeitos de polarização devido ao espqlhamen-
to elãstico de uma radîação não polarizada de 662 keV são estu-
dados com um polarÍmetro de raios y usando o esPalhamento Comp-
ton como processo de anãl ise.
Foram realizadas medidas com aìvos de chumbo e
platína em ângulos de espalhamento variando de 50o a 120o.
Nesta energia, os únícos processos que contribuem
ao espal hamento el ásti co são o espaì hamento Thomson Nucl ear e o
espalhamento Rayleigh. Desde que a intensidade e polarização
da componente Thomson são bem conheci das, as med i das permitem tes
tar cálculos teóricos de espalhamento Rayleigh.
0s resultados experimentais concordam
i ntroduzïdo por Brown et al . (gr55a) e com
com o mêto
os ref i na-do
dos
exa to
cál culos numéricos real i zados por Johnson (¡o76) .
.11.
A BST RAC T
Polarization effects due to 0.662 MeV unpolarized
y-rays elastical ly scattered, has been studied with a y - ray
polarimeter using Compton scattering as the analyzíng process.
Lead and pl at inum r.,/ere used as scatterers
\^rere performed for scattering angìes varying
At th î s
and
from
--elastic scattering are
scattering.
Since the intensity and polarization of
son component are readily calculable, the measurements
a check of theories of Rayleigh scattering.
measu rements
5oo to lzoo
introduced
lations of
energy the on I y processes contributing to
nucl ea r Thomson scatter i ng and Rayl e i gh
the Thom
provide
The experimental resul ts
by Brown et al. and with the
Johnson (¡oZ6).
ag ree wi th the method
ref í ned numer i ca I ca I cu
INTRoDUçÃ0
Em todas as experi ências real i zadas para evî den-
cîar o efeito Delbr'r-lck, o conhecimento da contribuição do espa-
lharnento Rayleigh é de importância fundamental
De fato, é possível, em princípio, deduzi r a se-
ção de choque do efe,ito Delbrück subtraíndo as contrîbuîções das
seções de choque de espalhamento elástico dos efeîtos Thomson
e Rayleigh. Enquento que a contribuição Thomson é faci lmente
calculada, existe incerteza aínda com reìação ao efeito Rayleigh.
A teoria deste últímo efeito devida a Franz(fr3S)
era d úni ca aceî tãvel atõ 1951+, mas sendo muî to s impì ista não
expl ica convenientemente o fenômeno. Em 1954 cáìcuìos exatos fo
ram realizados por Brenner, Brown e \^/oodward (Br55a, Br55b) pa-
ra diversas energias, mas somente para o espalhamento da camada
K dos e ì ãt rons do Hg
D i versas exper i ênc í as foram rea I i zadas antes
advento dos detetores Ge-Li, mas era muito difÍcil aval iar as
precisões devido ã baixa þficiência dos detetores uti I îzados.
do
lm
Em 1968 foiboa reso I ução, po r D i xon e
efetuada a primei ra experiência com
Storey (0¡gA) na energia de 1.33 HeV,
com a I vos
r i men ta í s
de chumbo.
e teõricas
.2.
Mas as d i screpânc í as eDt re as curvas expe
p reva I ece ram .
Tentou-se el imi nar as di screpâncias trocando o . s i , , ,, -
nal da ampl itude Rayleigh paralela ao plano de espalhamento (r? )
ou efetuando a soma i ncoerente das ampì i tudes Rayl ei gh
outros efei tos de espalhamento elãstÌco.
com os
Nenhuma destas expl i cações pode ser expl i cada te
oricamente. Mai s tarde el as foram rejei tadas experimentalmente
por Schumacher et al. (Sc73): quando aplîcados a 660 keV, ambos
os proced¡mentos'destroem a concordância entre teoria e experiên
cia que existe a baixas energias.
0utros gupos surgi ram interessados no estudo des
tas d i screpânci as a 1 .33 MeV (Ha70, Ha71 )'.
Na região de energias entre 1\5 e 4lZ keV, ainda
Schumacher et al. (Sc69, Sc73) verificaram que a concordâncîa
--éntre a teoria e experiência só era obtida quando se omitiam as
ampl i tudes de spin-fl ip* das camadas M e N , também a razão
teõ¡ì ca não sendo evi dente.
Ëm vista destas inconsistências e aproveitando os
cãTculos teóricos recentemente real ï zados por Johnson (¡o76),
mais amplos que os de Brenner et al. (Er 55b), achamos úti I veri
ficar experimentalmente os efeitos de polarização produzidos pe
lo espalhamento Rayleigh, já que isto nos forneceria informações
sobre as ampl itudes Rayleigh que parecem ser carentes no momen-
to.
0 presente trabalho estuda a razão de polarização
* Vide cap. [, ltem 5
"3
de radîação Y de 662 keV após sofrer espalhamento elãstico em
placas de chumbo e platina.
No capítulo
cos dos métodos de cál cul o
I apresentamos os fundamentos teóri-
uti ì izados.
No capítulo ll ef etuamos os
razão de polarização em função do
cãlculos
angulo
teóricos das
de espalha-curvas de
mento.
No capÍtulo lll são
técn i cas de med i das, a determi nação
eficiência do polarÍmetro.
descritos
da r azao
o polarímetro,
experimental e
AS
da
No capÍtulo lV apresentamos os resul tados experî
mentais comparando-os com os teóricos, efetr"-ñdo uma discussão
tão detalhada quanto possÍvel dos mesmos.
I
cAPf rulo I
FUNDAMENTOS TEOR I COS
lntrodução: tratamento do problema de espalhamento
A exper i enc i a
åtomos pesados como
demonstra o espalhamento de raios
gama po r
sos:
a soma coerente de quatro proces-
-;í o espalhamento Thomson Nuclear
b) o espalhamento Delbrück
c) a espalhamento Rayleigh
d) a ressonâncìa nucìear.
0 espal hamento Del brück e a ressonânci a nuclear
conttibuem com parcelas menores que 57" para gamas com energias
inferiores a um MeV. Poderiam ser observadas ressonâncias Pro-
venientes da exci tação de níveìs ïndivíduais, mas estas são al-
tamente improváveis jã que exigem valores bem definidos Para as
energias do feixe incidente; por outro lado as !'essonãncias gl-
gantes só ocorrem acima de 8 Mev (se65, Go48, Ax62).
A seção de choque para o espalhamento elástîco po
5
de ser escr î ta como
daz
QEedsr
(er unidades do raio clássico do elétron)onde a amplitude de espaìhamento elástico "EE corresponde ã
ma das ampl i tudes dos 4 processos acima ci tados:
o.Th
+ o t C,LR RN
mas para baïxas energias pode ser aproximada por:
O- a -faR7h
o o-+DeE
(¡.1)
SO
EE
então a seção
-pt i tudes, das
de choque será
quaîs apenas a
expressa em termos destas duas am-
e exatamente conhecida:
Jt t. z Wt
Th
ds 2*
o- + (l.z)dlz
0 espal hamento Thomson nuclear refere-se ã i nte-do fóton com o núcleo. A ampl î tude de espalhamento asso-
a este processo é bem descrita pela relação de Klein - N¡-
(fe6z, Sa67) referida ä carga e massa nucleares:
o-th R
ra çao
ciada
shiira
G z 5to
l"lTh
* Em unidades do raio clãssico do elétron.
c¡Orv ( r : ¡)
onde: ro
repouso do
que def i nem
é o raio de Bohr, Z
elétron, M a massa
as polarizações dos
.6.
o núme ro a tômi co, m
do núc I eo, ,Ë, e !r
a massa de
os verS0res
resfótons incidente e espalhado
pectlvamente.
espa I hamen tos
este último só
1022 keV.
Como será
Thomson e
se torna
expl i cado no i tem 3 des te caþ Ítu I o, os
De I b rück es tão re I ac i qnados , sendo qug
importante para eRergìas superîores a
O espa I hamento Rayl ei gh é o esPal hamento de f6-
tons pela coroa e,letrônica. O fóton inç!dente interage elast.Î-
camente com um elétron atõmico, excitando-se de tal modo que ao
voltàr ao seu estado origînal emlte um fóton de mesma energia que
o lncidente.
0s primei ros trabalhos (fr35) calculam as ampl i-
tudes Rayl ei gh aproxi mando os el étrons nos estados i ntermediá-
r,los por elétrons I ïvres (aproximação de Born). Aproximações es
tas, que levaram ao assim chamado fator de forma (F) que se re-
laciona com a respectìva seção de choque como:
2ê
{ii rrr AF'2- (t.4)
do momen toonde o fator
transf er i do
de forma F pode ser escr i to em função
q na col i são como:
Vt( rt ,a
df (( )I
Fc qr -- ) expCri"È) V (r.s)
7
onde ,1,(i) é a fünção de onda do elétron orbital.
Verifîcou-se que este resul tado não relativísti-
co, quando utilizado com funções de onda relativÍstica fornece
valores que diferem em apenas 15% dos obtidos por cálculos exa-
tos.
Em 1951+, B rown ,
desenvoìvem um formal Ìsmo exato
e l,/oodward (Br55a,Br55b)
espalhamento elástico de
Peierls
pa ra
Es te
o
fótons por el étrons atômi cos.
real i zarem experiências
fato incentivou diversos gru
pos a nesta area"
to dos
vanc r a
Mas as med i das de al ta precT são sucedem o adven-
detetores Ge-Li em 1968 (0¡ 6E). São de especial rele-
as reaì izaci as peìo grupo de Schumache¡'-(Sc69, Sc73) para
de raios gama entre 0rl e 1,0 MeV.espa I hamento el ást i co
Anos mais tarde Johnson (¡o76) aprimora o método
de Brown et al. (gr55a) e faz cálculos para as energîas e ele-
mentos medidos por Schumacher. Ele assume que as di screpâncias
que surgem entre teoriâ e experiência devem-se ao fato de ter
negì igenciado a contribuição das camadas M , N ou de ordem mais
alta, jâ que os cálculos numéricos se tornaríam absurdamente ex
tensos.
Embora muitas experiências de espalhamento eìás-
ti co tenham s i do rea I i zadas para fótons de ba i xa energ i a, ape-
nas duas (so5B, Br59) foram real i zadas estudando os efei tos de
polarizagão, com o agravante de prececjerem as medidas de Schuma
cher e os cãlculos de Johnson. No presente trabalho esti.ldamos
.os efeitos de polarização para o espalhamento elãstïco de fó-
tons de 662 keV procurando reproduzi r resul tados teóri cos obti -
dos por Johnson.
2 Espaìhamento Rayleïgh
Nes te
atômi co exc i tando-o
ton de mesma energia
nìcial.
I hamen to:
(rx'c')
(*.e )
8.
fir.rnção de onda do
(lhÉ) e (lh't') se
i nc i dente e espa I hado,
¡ntermedìãrio-
processo, o fõton i nterage com um elétronI
de forma QUê, ao desexcitar-se emíte um fõ-
que o i ncÌ dente, vol tando ao seu estado i -
0s d iagramas da fi g. Fl .1 representam este espa-
Y nlm Y nlm
I
Ynlrn rkr ) f nlrn
{A) (B)
liig. FI.1
I
€')
elãtron'orbîtaì no seu estado
ref,erem ao mome'nto e po'lar î za
ï rep re
or¡de ú õ a'nlmrlão perturbado;
çã,o dos fõtons
se:n ta o es tado
r'espectì vam€nte;
A ham i I ton i ana q ue des cr'eve bem o compo rtamen to
elétron ì i gado sob a ação de um potencii aì médìo õ:cle {¡m
9
H *. F - (3a,L + V<., (l.o)
potenciaì central efetivo ao qual o elétron es-
e ß são as matr i zes de D i rac.
*o
onde V(r) é o
tã sujei to; &
mo perturbativo
po donde
Na presença de um
eú.4 onde A
campo de rad i ação surge um ter
é o pgtencial vetor deste cam-
e-dl./\
0 elemento
tido utilizando teoria de
(t.t)
de matriz de transição m pode ser ob
perturbação de 2a. ordem:
IJ4
LTI
ryyLJ zdó lY
ú7e Vçi;., Hn ti.) Ç*c Ë.1 Vj, ';, l-ln<*r, Yi ( È,' ) ( t . a)
E¿ -ErL! w'
onde denotamos a energia do elétron no estado intermediãrio pot-
E . os estados inicial e finar do elétron pélos sufixos i en l-"'"J rq
t, e a energia dos raios y por o , H indica a soma sobre
os estados intermediários de energias positivas e negativas** discretas, ou bem uma integração sobre o contínuo. o sinal + refere-se ao caso em que o fõton incidente é primeiramente absorvi-do: o sinal - ao caso em que o emergente é emitido antes (tig.
F1.1, A e B, respectivamente).
*h=c=l
No caso é utilîzado o formalismo parasabe fornece os mesmos resultados que
um elétron gue, conìo se
o de e I ét ron-pos i t ron .
iþ*
.10.
0 primei ro problema com que deparamos ao tentar
calcular m, é a soma sobre os estados intermediários. Franz
(Fr35) obtém os primeiros resultados em 1935 com sua técnica de
fator de forma, e mais tarde em 1952, Bethe (8e33) obtém valo-
res melhores (desvios da V(l52) dos cålculos exatos) uti I izando
funções de onda de Dirac. i
Fi naìmente em .|954 Brown et aì . (gr55a, Br55b,Br56)"
reaì izam um cãìculo exêto onde a energia do elétron nos estados
lntermedìãrios é levada em conta¡ êtn contradição com a aproxima
ç5o de fator de forma.
2.1 Método Brown, Peierls e t'/oodward (Sr55a, Br55b)
Este mëtodo que resoìve um problema relativístico
'de 2a. ordem ê tal que, a equação de Di rac que descreve a f un-
ção de onda ïncluì não somente um pequeno termo perturbativorco
--mo tambõm um grande potencial estãtico que deve ser levado em con
ta exatamente. Esta é a s i tuação do espal hamento de raÌos Y de
Or32 mcz por elõtrons K do rnercúrìo e o únìco caso que Brown
et al. calculam expì ìcÌ tamente (grSSU).
0 potencìal centraì mãdio a gue o elétron estã su
Jei to é cons i derado como o Couìombiano nuclear ze2 /r , desta
forma os efeìtos de bì ìndagem não são levados em conta e os bons
resultados se restringem aos elétrons K. Devemos ressaltar "inda que o potencial ð consìderado ex¿têmentþ, poìs se fosse exPan
dido em potências de 7a estðs serÌam muìto grandes parâ ãto-
inros pesados (n,0,6).
Por is to o termo perturbatÌ vo c'orresponderã aPe-
nas aos
is to -e,
.11.
efeitos de acopiamento com o cairpo de radiação
a potênc i as de a(l / 137) .
.dJ.h,
de
tee
des
das.
va r I os
0 elemento de matrîz m a ser calculado pode ser
ti pos, que correspondem:
(i) às duas possibilidades de ordenação dos fótons ìnciden
espaihado (fig. Fl .1, A e B, respecrivamente) As ampl i tu
de transi ção para estes doi s processos devem ser adi ciona-
(î ¡)
dem para
(¡ ¡¡)
e espal hado
rada men te .
duas orientações de
ampl itudes.
duas
I s to
"n"
t+
AS
AS
AS
spi n dos el étrons atômi cos. I
polarizações possÍveis dos fótons incidente
leva a quatro casos que sã-;"calculados sepa-
Entao o el emento de matri z pode ser escri to:*
crrL ( Ër,Êù )'= --e-a | [ aø{ aø^
[ *t'à' €o'" * x
er¡<-tth'oÈ.) Y--<i.l 9..,-<Ênl è.0" ú
€-^=,r (,t,iro)ì¡7
p c ifh"i )xex x (t.e)
e es pa ì hado
dos fótons
Vo. à, ]( E. L E.,' t r.¡-r )
onde ¡h e ih' são os rnomentos dos f ótons incÌ dente
os versores de polarização circuìar
incídente e espalhado respectivamente, definidos como:
.>e sao
.>ee ji
¿z=L(1,-i,o)E
j e jt assumem os valores 1 ou 2
.12 .
Num sistema de coordenadas como o da fiq. Fl.2:
z'(tt')
z(tt )
ø
v{ ll
,tIr
(ty )v
)ø' rlv I
f is. FI.2
Neste método a soma sobre os es-t-ãdos intermed iá-rios é substi tuÍda por somas parciais. cada soma parcial repre
senta uma dada dependência angul ar. A menos cle um número f ini -
to estas somas parclaÎ s são i rrelevantes; eì as são obtidas re-
sol vendo equações di ferenci a i s i nhomogêneas e i ntegrando sobre
a coo rdenada rad i a I .
Definindo:
I
\yX
X
år¿
o elemento de matri z ê escri to como:
F {tË.t V^rån: €.¡.o4 e-r,p(ith"Èa) V¿.ä,E¿-Ért!ru
(t.lo)
-*,t¡r,-tËrË¡,)= ez [rö. V9<Èr Ë¿," d, e.*pcih-Ë.) F.u.,
zut- v(r . t l)
.13.
No caso de espaìhamento elástico Vf
É possÍvel mostrar que a função F(Ë)
¡1.
V,"ci¿ 9.,r. ìn, s f¿
em notaçao compac ta :
[- *"F -pcrrr. +V,;¡ - E; *,-] Fc?¡ = àr"d. erp(i.th"è> V¿tË¡
onde foi ut¡lizada a re I ação:
=ú
satisf az:
(r.rz)
expandem A (i) em autofunções
e K= ß(zT-.5* l ) , cujosI
por conveniência, i , m e p
ú
r.lT-'fL
I l-'.lo ; .,r - L¡ ] Q rirF
onde
dev idom
fl.= -¿"p
Q,,år =
rYn,
. a*F
ã ortogonalidade
corresponde um
rÈr -Ê- * !cê:
dL ex¡(ilh"Êl V¿rêrËr"
A segu i r os autores
dos operadores de D i rac Jt , ü=
autovalores são j , m e k , ou
(p=k/ ltl). Assim
a, rL org
)r r(
e compl eteza das autofunções, a cada ter,_mtermo F;' com o mesmo conj un to Ce su-t-p
moa9-p
fixos. Donde:
e
lfn
F tì) = ,l
LP r
tfw
I H..å> ; u' E¿
JY-
l (t.t3¡
matrizes do ti-
F
.14.
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Y
Y
Y
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m +/,
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^+ !¿
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Pø¡ t'.l
.m-
P øp t'l(ri,
ø?(()
ÍD
Tc, c")
I
¿
L
O(Ë!-p
4 ^L
Y
¿
sendo que AiO é i dênt i co, exceto pe l a troca das funções R e
S por P e r respectivamente. 0 importante deste procedimen
to 'e a separabilidade de F e q em Parte radial e angular (re
presentada pelos harmônîcos esférÎcos) .
0s autores então definern uma matriz diagonal HM
* Vide demonstração real lzada por Bethe (ee¡3).
A"P
conven ¡ entemente construÍda,
ao efetuar a multiplicação de
relacÍona F e A (1.13):
.15.
de harmôniços- esféricos. De fato,m
t, pelos membros da equação que9p
0.jI l-1.(r') r... -tr j V!.p
aF9y
weg
e apl icando as
obtem-se quatro
re I ações
eq ua ções
de completeza dos
envol vendo apenas
harmônicos esféricos
a variãvel radial:
(d +E)drr Ip
5 -V*...''t,^,-)RõYl,
r-1
(E; î,=eP
-rn-
(c)r-¡
?(r)
após a
matriz
awL
( ¡ . r l+)
¿"fn
(r)I-9
solúveis,
AS equa-
recon s -
- (d- - h ¡drrR (r)-(E.-V-.-.,"t*) 5 (.') = Tog
--PO r s
F I na I mente es tas exp res sões ( I . I q) são
a menos das inhomogeneidades, elas são similares
radiais de Di rac para um potencial central.ções
E assim
t¡ tui r os elementos de
so I ução do s i s tema pode- se
r{Èj,Ëj,).
2.2 Ampl I tudes Rayleigh-Thomson calculadas Po!' Johnson (¡oZe)
Levando em conta os dados de Schumacher ( Sc69,
sc73a, Sc73b) em 1976 Johnson (¡oZ6) calcula teori camente ampl i
tudes e seções de choque para diversos elementos e energias en-
tre 145 e 889 keV (em particular para 662 keV).
Johnson obtám as amp I i tudes Rayl ei gh segundo o mé
.16.
todo introduzido por Brown, Peíerls e l,/oody¡ard (Br55a, Br55b)
com a lgurnas mod if icações:
(¡) Utiliza funções
em vez de usar funções de
por Brown et aì .) .
de onda Di rac-Hartree-Fock-slater (OHfS)
onda Cou ì omb ianas (que são ut i I i zaclas
mas
(¡¡)
K sempre
cálculos
r i o) .
As amplitudes L e M
que suas contrlbuições
são
fo rem
adicionadas
re l evantes
elétrons
ã da camada
('l emb re que os
K do mercú-Ja exi stentes eram apenas pa ra
Johnson aproxi ma a seção de choque (devï do ã ¡a ¡ -
xa energia incîdente) por:
zdo"dn-
G- +o-th
o, e oA// //
,l
R(t.z¡
( I . r 5)
ond e
o., =Th
JS
- ro Z'* e. L' ( | .3)
e decompõe a ampl itude Ray'leigh em termos dos vetores de poìari
zação paralelo e perpendicular êo plano de espalhamento:
X
tl'//G alL+O. tR
d-E-d r¡-
RI I
iz
+L l
don de:
Cr- zrtl o- EÊ.I.(l.te)
.17 .
as componentes cio espalhamento elãstico (Raya ee// e a EEr sao
leigh + Thomson).
so trabalho
As
estão
amplÌtudes obtidas
tabelados em Tl.'l
da camada K
i mportânc i a rel at i va de L
com o aumento de energia e
poi'Johnson relevantes ao nos
e el emen tos próxi mos, Johnson inclu i
(devi do a I i mi tações computacionais) .
mostram, que para fõtons de alta e-
espalhamento Raylei gh é pronunciado
médios e traseiros a contribuição do
Para o chumbo
apenas as camadas K e L
0s resul tados
nergia na escala atômica, o
na dlreção frontal.
Pa ra ângulos
mínante provém
A
ternas decresce
carga nuclear.
materiais
camada s
e camadas mais
com o dec résc i mo
ex-
de
Este é um ponto
resse res i da em espa I hamentos
crítico, pois embora o nosso
a 662 keV, os a I vos ut¡ I î zados
consequen.temente a contribuição
i nte
das
sc73a ,
de cho-
sao
pesados (Pu, pt )
M , N... pode não
e
Johnson obtám as funções de onda DHFS* ut i I ï zando
um método numérlco (l-¡eg) ¡aseado no mëtodo autoconsistente de
Hartree-Fock, mas resolvendo a equação de Di rac para cada elé-
tron, apenas o potencial de troca é não relatÌvÍstico e baseado
na aproximação de SIater de um gãs de elátrons livres.
ser desp rezî vel .
Ao comparar os dados de Schumacher (Sc69,
valores de Johnson (,Sgl6) para as seçõessc73b) com os
* D i rac-Hartree-Fock-S I ater.
1E.
lma Rr
0 ,1 3590,0928o,o5o50,03030,01840,0115
0,0812o ,05\20,02880, o 1690,0100o,oo6o
0,034't0 ,02220,0115o,oo660,00370,0021
0,01380,0090o,00470,00280,00160,0009
0,0063o,oo4o0,00210,00120,0007o,ooo4
0,00170,00120,00070,00040,00020,0002
ReaRI
-9,4060-1,A216-0,\292-0,2148-a,1 462-0, 1248
-g ,54\3-0,9090-0,3339-0, 1504-0,0976-0,0811
-9,6586-0 ,7 458-0,202\-o t0778-0,0469- o_,1_37 5
-1-0-0-0-0-0
,8945,5493,1046,0355,0206,0166
- 1 ,9222-0,3876-o,0590-0,0184-0,0104- o , 0 0 83
- 1 ,9572-0,1649-0,0171-o,oo45-0,0023-0,0018
lmaRa
0 ,1 3590,0450
-0,0138-0,0161-0,0117-0,0096
0,08120 ,0 246
-0,0085-0,0086-0,0059-oroo4g
0,03410,0093
-0,0036-0,0031-0,0020-0,0016
0,01380,0037
-0,00'l 3
-0,0012-0,0008-0,0007
0
0
-0-0-0-0
,0063,0016,0005,0005,0004,0003
0
0
-0-0-0-0
,0017,0005,0002,00 o2,0002,0001
ReaR//
-9,4060-0,8248-0,1207o,oB160,11900,1195
-g ,5\43-0,7395-0,0961
0 ,057 50,07990,0790
'9,6586-0,6156-0.,06140,0298o,0393o,o38o
-t-0-0
0
0
0
,89 4j,459t,0320,0146,0177,0163
- 1 ,9222-0,3255-0,0182
o, oo780,0091o,oo83
-1,9572-0,1393-0,00520,00210,00220,0019
0
306090
120150
0
3o6090
120l5o
0
3o6090
120150
0
306090
1ZAl5o
0
306090
120l5o
0
306090
120150
z
Bz (p¡)
73 (ra)
6o (rua¡
5o (sn¡
\2 ( ¡'to)
3o (zn)
Ampl i tudesem funçãocalculada
de
do
Por
TABELA Tf.1
espalhamento Rayleigh para a energiaângulo de espalhamento 0 e da cargaJohnson e- Kwok Tsang Cheng (Jo76) .
de 662
n uc I a r
keV ,
z,
.19.
que do chumbo observaram-se discrepâncias-jgue, osci lam entre 12oÁ,-,,,,
para E = 145 "keV e 5Z para E = 889 keV. Para uma mesma energia
(e=662 keV) as seções de choque teóricas e çxperimentais dife-
rem entre 52 para Pb (elementos pesados) a 20% para zinco (ele-
mentos leves). O autor atribui estas diferenças ã negligência
das camadas mai s externas. Mas a dïscrepância- crescente para 9
Iementos leves, nos leva a crer que a aproximação de Slater pa-
ra o potencial de troca seja inconveniente.
2.3 0 método Hartree-Fock Potenciais de troca
um
.A
sistema de N
ica quântîca.
reso I ução da eq uação
e I ét rons apresenta
rep resen ta t i va de
dif iculdades na me
de onda
g randes
can
Devem ser empregados métodos de sol ução aproxi ma-
da tais como métodos perturbativos, variacionais, etc.. Um dos
--mais importantes entre os métodos variacionais é o Proposto por
Hartree (HaZ8) para a resol ução aProximada de um átomo de N e
létr'ons.
Neste método a coroa atômi ca é um conjunto de "l q
trons, cad.a um reiøresentado Por uma f unção de onda a uma Partí-
cula, movendo-se num campo de força central. Este Potencial té
dio efetivo à que cada elétron está sujeito é uma aproxlmação do
potenclal resul tante causado peìo núcleo e os restantes elétrons
atômicos. Assim o modelo de Hartree permite aProximar um siste
ma físico complexo por um sîstema de partícuìas sujeitas a ope-
radores de um só corPo. Transforma um probl ema de mui tos cor-
pos em mui tos problemas de um corpo.
.20.
Para resol ver o s i stema I inear de -equações i ntegro; i ,.,. -
diferenciais, que surgem deste tratamento Hart,ree aplicou'o m'éto' ,,
do de aproximações sucessivas. Estas aproximações consistem em
escolher apropriadamente um potencial inícial, obter funções de
onda dos elétrons e a parti r destas aval iar a distribuição de
carga, e daÍ o potencial final. Quando o potencial final e ini
cial coincidem (dentro de certas aproximações) o processo é con,
siderado terminado. Eîs Porque este potencial é chamado de au-
to-consÎstente.
Um.campo auto-consistente gue leva em conta as cor
relações no movi mento dos elétrons foi obt i do por Fock (fo3O) u
sando como função de onda inicial a rePresentada pelo determî-
nante de Slater, que possuî a simetria co.rreta Para representar
um sistema de N fermions.
A função de onda é então:
¡ ,r(x{ )
arr( x,1')
.u , (xa)
.u-"( x¿).rr,(x¡)
era(x¡)
I V) = g ('r,2,". ") =.,tr (r.lz)
rr- oa
( xr¡) .tr,n(x ru)
(*j) ê a função de onda de partÍcula única, e a coorde
se refere a spin e posÎção da partÍcula.
Uti I izando o prÎncípio varÌacional:
rrra ( xal
onde u
nada x
¡
5e <YrH,Y>
J
6<vr v>
o (t.18)
.21 .
onde o operador Ê ¿
H
Ê -Ë- v,' + V,',¡
I t-lN
+1t7L¿--^
ez (t.r9)
L
i:1 í=4 'ò
e
¿
zfn
bîana, colocados no
coordenadas.
de N el étrons em i nteração Coul om
núcl eo, onde f i xamos a ori gem das
Adotando a representação de Hartree-Fock para lrtrt
dada pela equação (1.17), e usando a expressåa variacional para
a energia e dada pela equação (l.tg) obtemos a equação de
Hartree-Fock para o estado ,i
H éa energra
campo do
t - fi' rV V,^nl + I
z| ^r-
(xz) Iù
NrL¿ ='t
z
z
rlz.r..r-¡-(x¿) ^Àà(x1) rrt(xz-) e
Tze .{x-1
f,tZ( t . zo)
¡¡-¿ (x4) ti *¿ ( x1)
+42Yrr
N I
Ir
zlû
Vr*1r é
t J l^'¿'*o'1"
*; (x4)
ze
t"= .J
à--4
As i ntegrações também i ncl uem os spi ns.
å V. é a energîa cinética do elétron I em (1).
ã at ração do
o potencial a que este elétron está sujeito .devido
núcleo
)2
N
4
zi=r
t4ad*. represen ta a energia Couìombia-
na de ïnteração entre o
á tomo .
.22.
elétron i e toda a-carga eletrônica do
*à(^n ) u¡(x.1) .r-t- ¿ (x¿) z
e d^. é o termo de .:.
.rr¿(xa) lz
N *trò=a
troca ou rrexchange".
çao
te
Se'a
de onda u. (x)¡
só dependente do
Hami I ton i ana H
e seParavel em
spîn:
não depende do spin, a fun
uma parte espacial e uma par
u-i I xl þ;c¡tXi.or
Ass îm o termo de troca de Hartree-Fock é escri to
como:
ze
l¿X HF
Ntò=n
di, (t.2r)
.)J
aparece devîdo ã ortogonalidade das funções
trabalhar com
varras aProxrma
foi supor o co[
de elétrons l¡-
uma onda plana e
resolvida; don-
^ .t-5 c si o'¡ I I Ø¿tË¡ ØotË^r Ø t. àt- J
øt.*,.-
sendo que
de onda de
ô(o.o
spin.
I
Devido ã grande díf¡culdade de se
o rrexchangerr de !__artree-Fock começaram a surgi r
ções para esse termo.
A prìmeira simplificação adotada
portamento dos elétrons atõmi cos pelo de um gãs
vres (gãr de Fermi). Assim a funç5o u¡("j) ¿
a integral que aparece em X Up é imedîatamente
áe:
Para n
momen to
4
1',
, onde
Fermi.
X
12
K F,n r
K é o momento do e'l étron i e Kr
A função P (n) é def i n i da como i
FEL=
K
(r.zr)
eo
(t .zz)
)
den
onde
poten-
Lm s r n-
Kr
de
F tttt =
z('\ -\ )¿t\
(^4
z+
F,4,
4
or5
p ropô s uma
de elétrons livres
(ii) Todos os
cial de troca, isto
o
4 o n
Aprovei tando esta i nterpretaçãor êffi 1951 Sl ater
aproximação baseada em doîs pontos essenciais:
(i) Para sîstemas não homogêneos (át
Slater supõe a densidade eletrônica em um
sidade de um gás de Fermi homogêneo, isto
p(?) é a densidade local do sistema e n
omos, sólidos, etc.
dado ponto igual ã
I
é, p(É) =n ,
é a densidade do gas
que varia pontualmente.
elétrons estao
va I or
submetidos a um mesmo
de "exchan gert méd i o .
tese:
e, â um
.2\.
KF K F
X J. X.t dȿ
)(aî'g,?,
T"o/* KF ['r r¿ ) dnt¡
J"-tI
--3 KF (t.23¡
( I .24)
t roca de
que concor-
mas para Á
ap rox ¡ maçao
aProxrmaçao
lt.zs)
retomar a aproxt -
a méd¡a na esfera
S=It
J*'j
dK dKr
F
o fazendo
o ¿
ou
X 5_3
¡t
ksG FFc'r l =
gãr de e I ét rons I ï vres, nã
e aproxï ma o vetor de onda K
1_3
Esta versão simplificada do termo de
Hartree-Fock fornece valores de enerqias de ì i gação
dam com os experimentais, ño caso de ãtomos pesados,
tomos de número atômico baixo este potencial á uma
muitorrforte'r.
Em 1965 Kohn e Sham (Ko65) propõem a
do gãs de Fermi, mas supondo K. = K, , então:
X Xz3
Kl4
il
zK¡t s
Na verdade es ta i dé ï a Ja tinha sido sugerida por
Gaspar (caS4).
Mas agora esta aproxÎ mação parece ser
to ã, os valores de energias de I igação eletrônicas
res aos expe r i men ta i s .
Itf racatt, is
são inferio
Em 1967 L i be rman (rieg) sugere
mação de
de Fermi semi classì camente por:
.25.
1E VI
donde o termo de troca de Llberman
(t
fK
tl2
lK,t{
il
) l
se!'at
X LF
t
¡t
( E¡ -V<i¡ )zKF
(r.26)
(onde função F é dada pela equação (l .ZZ))a
na do
Uma versão do Potencial de troca que tem se tor-
bastante popular em nossos dias é o chamado método X =oXrr
cr é um parâmetro empÍrico escolhido entre 1e 2/3 (Sleni.
que exista unta justÎ-f icativa razoãvel Para este parâmetro,
crÍtica tem sido feîta ao caráter semi-empírico da aproxi
on de
Ai nda
muita
maçao.
onde para cada orbîtal teremos um valor de rrexchangert. Embora
esta aproximação seja melhor que a de Slater, ela perde . - mui'to
em s'implïcïdade, o que não é justif icáveì Para ãtomos Pesados.
propostas
mol écuì as
Algumas aproximações melhor fundamentadas foram
nos últimos anos, usadas em vários cálculos de Stomos,
e sól idos (He69, Le77) .
Embora o po"t"ncial usado Por Johnson seja o de
Slater-Kohn-Sham, são importantes os comentários fei tos neste ca
pítulo sobre o potencial de troca. lsto porque a gual idade dos
autovalores e das autofunções dependem, em certos casos ' do t¡-
po de aproximação fei ta neste Potencial . Em mui tos exemplos es
ta dependênci a pode ser fundamental . 0bvi amente não esPeramos
para o caso
d.iferente do
em discussão neste
utilïzado venha a
.26.
trabalho, Çue um termo de troca
al terar fundamentalmente os re-
sul tados.
reg i ões de
vel .
As reg i ões de i n teres se do á tomo,
alta densidade onde â aproximação
Entretanto, visual izamos neste trabalho uma boa
diferentes potenciais
das funções de onda.
em
de
nosso caso, são
Slater é razoã-
possib¡lidade para
de troca, visto que
2.4
F,1, = I
estudar os
testamos
I )
efe i tos de
a quaì idade
0utras técnicas para o cálculo de ampl itudes Rayleigh
Embora os cál cuìos real ì zados-ppr Johnson sejam
mais corretos que os de seus predecessores, o seu método é exaus
t i vo e reque r técn i cas acu radas de comPu tação.
Prevendo estes problemas, Brown (gr57) propôs em
1957 um fator de forma corrîgido e definido de maneira a levar
- em conta correções relativistas. Ele é escrito como:
ex¡(ii'-", VtÊl f r.l d3. (t .zt)
para o caso SF (spin f lip)
para o caso NSF (no spïn fl ip)2mc
ñ
* SF = espêlhamento com troca de
NSF = espalhamento sem troca de
rx(
ond e
1
f(r) *
hel icidadehel icidade
i nc i den te.incidente.
do
do
fótonfóton
.27 .
-'q
rp Ui (espalhamento elástico)
momento transferido devi do ã col i säo do fóton com o el étron
mc2 = massa de repouso do el étron
úf
energia total do eìétron
ZaV potencial Coulombiano
d(5F
r\¡S F
As amplitudes SF e NSF* em.função de f(q)
E,Z,O )
r
sao
=; F., (E,z,o) (-l: cos O)z
NSF
onde
duto
os te rmos (-1+cosa) /2 e (-1-cos0) /2 correspondem ao pro
respect i vamente.escalar ' para os casos SF e NSF
Recentemente Schumacher, Smend e col aboradores
(Sc73a, Sc73b, Sm73, Sm74) i ntroduz i ram uma nova s i stemát i ca.
Esta ccnsíste na determinação das amplitudes de espalhamento a
partir dos fatores de forma de Brown, multipl icadas por um fa-
tor de correção l(E,2,0) que compensa a aproxÌmação felta ã
teoria de perturbação de 2a. ordem, assîm:
A ( É,2,o) 1E,Z,O) (-1t '"tO¡ ¡ (L,¿,O) ( t . za)5F
NSF
Si
nSç
-t ->e.Ê
_t-- *lsF
onde F(E,Z,e)
o ângulo
numero
energia
zÈSç
é o fator de forma de Brown (l .27) :
de espa I hamen to
atômico do alvo
da radia-ção incidente.
o
a
e
e
e
e
z
E
* Vide capÍtulo I Ìtem 5
Àsr
30 40 50
300
.28 .
óo 70 80
AroMrco lz)
400 500 óoo
ENERGtn (rev)f ig. FI. 3
(a)
O = l2oo
E = 279 kev
E= 662 kev
90
(b)
e=l2oo
700
numero atômico e da
t
9c
I
ÀspI
¡9
9
I
Z=47z= 48Z= 56
-- 74=78=82
z
Valores
energia.
dos.
do fator de co r reção em
ele se afasta
função do
do valorNote que para atomos pesa-
.29.
" Os cãl culos destes f atores dê correção f oram efe:--
tuados por 0dai r Gonçalves (o¿27) para números atômicos prõxi-
mos de 80. As funções obtidas ISf (fZO) (vide fïg. F¡.3) os: .
NSFcilam entre 0,8 e 1,0 para energias de 662 keV a 279 keV, res-
pect ï vámen te.
seções de
mentais.
As ampì i tudes assim obtidas fornecem valores de
choque que concordam sati sfatoriamente com os experi-
dos faz parte
ma alternat¡va
Es ta técn i ca
da sistemãtica
prãtîca a cál
do uso de fatores de forma corrigi-
nosso grupo e se revela como u-
os maís elaborados.
de
cul
3 Espalhamento Thomson e Delbr'rjck (paZ4)
Es tes de espalhamento, cujos esta
de fóton s i soene rgét i cos ,
Cou I omb i ano nuc I ea r , es tãose dá com o cêmpo
intimamente I igados.
Para s ímpl i fi car vamos suPor que o núcl eo ê um
elétron pesado de carga 7e e massa M)>m (isto obviamente não
ê correto, pois o núcleo não é uma partÍcula pontual, nem um fer
mion, mas para o caso o<<M isto é i rrelevante) . Como exemplo
podemos tomar o núcl eo Pb com M=200 MeV. Se consi derarmos o
espalhamento neste núcleo os gráfìcos representativos da intera
ção até a ordem e6 estão mostrados na fig. Fl.4 abaixo:
doi s processos
consistem apenasdos inicial e f inal
e onde a interação
¡
tk
ø ("')
.30.
s(e')
lk"
o (e')
tk'
Ç.)
tk tk'A) B)
tk tk'
Fis.FI.4
-;,
n)
e)
c)
z'e'z2 e6
ampl i tudes serão de ordem:
z2 e8
I
Ass im (para o<<M , como é o caso) os di agramas
A e B da fig. fl.4 correspondem ao espalhamento Thomson nuclear
enquanto que o terceîro se refere ã ordem maÎs baîxa de espalha
mento Delbrück. Da fig. Fl.4(c) é imediato ver que este esPa-
lhamento só se torna importante para energias maiores que 1022
keV*; este diagrama ainda pode ser desdobrado em três, devîdo a
* Energi a mÍnima para a produção de um Par elétron-pos i tron.
.31 .
diferentes possÍveis interações (tig" rt.5):
xtk
p
p-k'
P-k',-qq
onde k e
do; p é o
te rcamb i ado
a. ampl itude-'choq ue pa ra
lk'
P+ k'
k-k'-q
os momentos
do elétron
tkp
p {.k
P+k-Qq
fis. FI.5
dos
do par criado; q
PP
tkp
p-k
p-k-q
incÌdente e espalha-
é o momento
o f óton,
tk' q
p-k
k-k-q
p-q
tk,
X X
->kr
momento
fó ton ssao
n
pela interação do campo nuclear com
Ut¡ I i zando o teorema óti co é poss íveì
imaginárîa do espalhamento Delbr'tick com a
p rodução de pa rer (ooo) (Pa74) :
I".t.', Ç¡- (9=o) 6-
relacionar
seçao de
(t .29)D
t{tì
que ã comp J emen tada pe I a re I ação de dispersao:
z
"lR" O- (w,o) = 2\¡J I-^ Q'(urrro¡ d,r¡' (t.30)
ll z zUf t (,.¡' L^Jr )
0 espalhamento Thomso.n corresponde aos diagramas
A e B da fig. F13.1, sua ampl Ìtude, deduzida através do forma-
lismo de Schräding". (sa67), é:
.32.
o- ( Zel €-' YoZ rl-fì
tîo ( I .3)Th
4îí n
-'+onde é e er são os vetores de polarîzação dos fõtons ïnci-
dente e espa I hado, respecti vamente. Donde as ampì Ï tudes Thomson
paralela e perpendicular ao plano de espalhamento são:
z- çoZ
(t.rl)
a = - r:Z o
e¿z
oÈz
CJ- =Th¡t
z
TN
H
YNr cc5Th1
4 Ressonância nuclear
A pa rte
é devida ã produção de
e, f inalmente a reações
absort i va da seção de choque de um
pares (orp*) , efei to fotoel átri co
fotonuc I ea res (or*) :
fõ ton
(orr)
Gass= Gra + G". * õ"*
A ampì i tude de ressonância nucìear é relacionada
com a seção de choque de reações fotonucleares como:
1.^ O-(o=o)NR
r¡t oPN
(t.33)rr tt
A seção de choque de produção de pares é calculada întegrandosobre todos os estados elêtrônì cos,, no contÍnuo e no C iscretoexceto os ocupados, dev ì do ao pr i nc Íp i o de Pau I i .
[l .32)
*
.33.
Estas reações fotonucleares. são de muîtos tipo.s:
(yn) , (yp) , (Vf) . . . Se observa rmos um gráf i co opN em fun-.
ção da energla do f ðton i ncidente (rrr) veremos que esta f unção é
domi nada por uma ressonânc i a cujo mãxí mo se encontra a 20 Hev
(Se65), Um modelo simpìes, proposto por Goìhaber e Teller(Co48),
dÌz que o campo do fóton excîta o núcleo de forma tal, que o con
Junto de prótons se move numa d ireção enquanto que (por conser,-
vação de momento total ) o conjunto de neutrons se movimenta na
outra. A absorção e posterior emissão são expl icadas peìo mode
lo de dipolo elétrico.
Para energias înferiores a 10 MeV é possÍvel a
excitação de níveis nucleares individuais, podendo isto ocorrer
âté para algumas centenas de keV. Mas es.tes processos são alta
mente împrováveis, já que a largura dos nÍveis excitados é mui-
to pequena (da ordem de eV) o que exige valores muito partfc:rl-
ìares de energia incidente; além disto a seção de choque de r'es
-'sonância nuclear ì baixas energias é desprezÍvel em face das se
ções de choque para espalhamento RayleiEh ou Thomson.
5 Poìarização I inear e ci rcular
que com a polarîzação
Dependência da seçáo de cho
Como jã foi ..visto a seção de choque pode
ampl i tude de espaìhamento como:
ser es-
cr¡ ta em função da
d6 --(7* ) ro lA(t"34)
->e
qz z
dcr
Has esta ampl i tude é função dos vetores å e
.3\.
que rePresentam as pol a ri zações dos f ótons incidente e espa lhia:-r :;.,
do, respectivêmente, assim Papatzacus (Pa74) rnostra que a dependência'
mais geral da amplitude com a dîreção de polarização é:
a f ( ã.ä,) G cäo th')(è,.n,)-f
(t.35)
0s vetores
dendo ôer
unitãrÌos et
lh e tht são
tîvamente,
e
->
x
El
tk
rig.Fr.o
os momentos dos
lR está ao longo
reais no caso de pol a r i zação I inear
circular.
+e sao Po
comp I exos .no caso de po I a r i zação
A polarização pode ser descrîta com ajuda dos vg
tr, Ë¡ " èi conforme a f igura FI.6 abaixo:
àri
L
2c2t
lk'e
incidente
ZeÌh,
e es pa I hado res pec
no p I ano (Xz) .
z
v
fó ton s
do eixo
t
POLAR¡ZACÃO LINEAR:
A f ìgura Fl.6 mostra os aut:o-estados de
quatro casos a considerar:çao linear. Hã
polariza
¡)
sr¡J e
+c-2
'plano
a
de paralela ao plano de
.35.
a = Fcos0 - Gsen2e=a (amplitu-
espalhamento).
f = a (ampì i tude perpendi cul ar
I
.>e
->e
->->e=e I
.>e
.>e I
2
ao de es pa ì hamen to) .
e1->
; gl = e I
2
I
rrU e.> a=0
rvJ a=0
No caso da seção de choque para
rizados:
qzds = ( Z*) v-o
d Qñ..,.
CL
onde: a- I øt, I lo-rl+
A seçao
zados pa ra I e I amen te ao
rl_,ee
4
z
fó ton s nao pol a-
z
ft .36)
Le
zzz
e
de choque para fõtons espal hados pol ari -
plano de espalhamento:
d(J =tfxt fo l'et (t .tt)
d e fó ton s e s pal hados po
es pa I hamen to:
\z z
dn /t
Analogamente,
lari zados perpendi cularmente
Para o caso
ao plano de
¡{ zro
zdo =tZd.ld0J.
&I (r"38)
.36.
ção
Po LAR t znçÃo c I Rc ULAR:
das
pois
des
Embora no presente trabalho a decomposição da se
de choque seja feita sempre com â soma de parcelas polarizq
I inearmente, ê necessário expl icar a polarização ci rcular,
está diretamente ligada ã heticidade do fõton e ãs amplitu
''SP IN-FL IP'' C ''NÃO SP IN-FLIP'I.
A helicidade de um fõton
é descr i ta pe los veto rer ã. e+
gativa e
pode ser pos i t í va ou ne
-+e_ respect ¡ vamente,
Je
+ JE
( È,,rÊ,) (l.rg)
quatro possib¡lidades a ccnsiderar:hãaqui também
i)
i,¡ )
+=g +
= ét
-'e
-te
->e
.>=ê +
->=e
->e
+e
.>e
.>e
.>e
é-é
¡ ¡ lJ
iv)
Subs t i tu indo
->el a = a
troca de helicidade''NÃO SPIN-FLIP'I
troca de hel icidadeI'SPIN-FLIP'I
o- )
o'1)
a a
o-o
++ sem
ou
com
ou
-+e
-+e
+->è=è
+ +-
-+I
+
e->e ( I .39) na expressão das ampl i tudes (l .¡S)
ll ( a-,, +z
+
o,=++ @ +tF(r+'"sO) Gtsinzg , ¡ I
a-. - o- = ir f-f C4-cosO)+- -+ 'U L
6rsi-.z€, ]=å(.r1
)I+I¿5F
N5F
onde:
o- ùt/ G 1¡.t+o)
De (1.37) e
.37 .
(1.¡A) ê fácil ver que:
dcr ZðrL tl
dcr Zd-c¿ l.
¿t¿{zc( ro
z
zz+
o- o-+N5F 5F
NSFQ.,
11.4r)tt
o( fo &
1
CAPTTULO II
RESULTADOS TEÓRICOS
Espaìhamento elástico seguido de espalhamento Compton
Cons i deremos uma rad i ação i sotróp ï ca de 662 keV,
espalhada elasticamente ao incidir num alvo P (vide fig.fll.l);
a segui r, jã parci al mente pol ar i zada, el a sofrerá espal hamento
Compton no espal hador G , e ocorrerã nova al teração nas suas
componentes de polarização. Deseja-se calcular a razão teórica
R -entre o número de Y espalhados paralelamente (ru1) e o núme
ro de Y espalhados perpendÎcularmente (¡¡Z) ao plano de espa-
I hamento, após î nci d i r em G
F?
B
A2
B2
BI
AI
. F¡
f
G
P
Ao
Bo
A
f ig. Ftr. 1
.39.
I eqenda:
(pcrl): plano de espalhamento (p...)
Ao
Bo
A
B
A'l
B1
A2
BZ
(// ao
(l- ao
(// ao
(l ao
(// ao
(l ao
(// ao
(I ao
p.e.)
a e b,
componen tes de mesma ì n tens i dadeeP
p
)
p )
)
)
e
e
e
e
componen tes de i n tens i dadesvamente
componentes cje intensidades diferentes
componen tes de i n ten s i da des d i fe ren tes .
espal hamento elástico, a
respecti
e
e
P
P
p
P
)
bai xas
de ser
A seção de choque Pa ra
energ i as , effi un i dades do ra i o
aproxi mada por:
lc- +lTh
clãssico do elétron r rPoo
(l.z)
( I .3)
zõcl CL
R
d(2
ond e
o-=Th\ L o e'
7 o número atômîco do alvo
as massas do el étron e do núcl eo
e2-
tr\
X
J
meM sao
->e Ë' são os veto res de pol a r i zação dos incldente efó ton se
espa I hado.
A ampl ì tude Rayl eî gh expressa ' conven i entemente '
.40.
em termos das
perpendïcular
Pode-se definír
diação espalhada paralelamente
p.e.* é:
**r Ëtä't+* qzzt ,, t',*R =
componentes dos vetores de polarização paralela" e .l
ao
(¡.ir).
en tão s eções de- c hoq ue
e pe rpend i cu I a rmen te ao
para a ra
p.e.*:
com-
zd
drr
dsd r¡- z
onde " EEll e a
ponentes Thomson e
4
zs o et lt
I c.., I
EEI correspondem ã soma das respect i vas
Rayleigh.
2I
De acordo com as cons i derações fei tas e a fi gura
Fl1.1,
PO .A
d6-
Ro= c_b
clÍ) // Q;e ïds Gegrdar
0s valores de " EEll e " EE,.,e de interesse deste trabal ho se
na referência cîtada.
entre o
que atingem G Assîm:
(l¡.1)
f ornec idos por VJ.R.Johnson (¡oZe)
encontram na tabel a Tl I .1,
definiremos como
e o número de y
n ume roRo
a razao
tipo B
de y do tido
t
* p.e. significa: plano de espalhamento.
ou
.41.
A probabilidade desta radiação ser espalhada por
efei to compton na ci i reção GF1 ou CFZ depende da sel et ï vî da-
de deste processo com relação a sua polarização.
A seção de choque Compton é bem descri ta pelo e-
lemento de matriz de Klein-Nishina* (vide apêndice A3):
.zly.a¡,1 ( .r.:- - .-^>- t )2
a.t arJ-'
onde o e dl' são as frequêncîas da radîação
I hada.
Def i n i ndo:
( i-^:- .-t )? (E-
K + lì(Ê--t))
incidente e espa
( I I .2)
(tr.3)
+ AB2
+ BB2
¿K
temos a i nda:
É' )
u:f t ,:r I ÊËr
AJ I(9,¿-)lf"l
Assim (¿e acordo com a figura Fl I .1) :
o número de Y que ati ngem F2 do ti po A
o número de Y que atingem FZ do tipo B
: AA2
: BA2
E os respect i vos eì ementos de matr i z (t I . ¡) :
* Note que o cálculo deste elemento de rnatriz é exato l
I m (n, ez) l' K+4
f n (n, ez) l'I tl (a, az) l'lM(s,ez)l'
Portanto, o numero de
.42 .
que atîngem F2 será:
c+b
de contagens em F1 e FZ se
K
K
K
fótons
zq ( zt(+ tr) + b ( zKl
i=1 o+ t
R.(zn+4) + zt<
Ro+{
Ana I ogamen te, o nume ro que chega a Fl sera:
N cC t lxcËr,Ë;r Io(ZYr) + b(¿l\+t{)
N cC- t t s t .2lxcei,el)l --z
z4
í=4
Ro(zx) + (¿11.+\)R +t'o
A razão teóri ca R entre o
N¡ R^V. + ( t<+z)
n ume ro
ra:
NzR=
Ro( Kì z) t K(ll.q)
.\3.
2 da
de
Cã I cu I o
energia
razão teór i ca R pa ra Pb (Z=82)
662 kev
e Pt(z=/8) e
2.1 Valor do K :
cons tan te nes ta
de 90o
nota r q ue
Ja que a
É lmportante
experiência,
o vaìor de K (l t.Z) é
radiação sofre um desvio
Usando a rel ação de Compton (apênd i ce A3) :
I4
Ê
(4 cçS OlE'
z.f\oC
para 0=90o , e E=01662 HeV , a energia do fóton espalhado se-
rá: E'=0 ,289 MeV.
0btem-se de (11.2):
K 0,727
2.2 A j us te das cu rvas pa ra as amp'l i tudes Johnson
Johnson (,1o76) fornece valores das componentes Ce
amplitude Rayleigh (urr* " rtR) para a energia de 662 keV ,
entre outras, e diversos elementos (pb, Ta, Nd...). 0 ânqulo
de espalhamento varia entre 0o e 150o, de 3Oo em 30o. Pa
ra poder util izar devidamente estes valones discretcs, ajustêmos
com eles curvas de "R.*0
Johnson caìculou. as amplîtudes para a plati-
e t emento de número atômì co muÌto pró
nao
na ("pt) mas o faz para um
x¡mo, o tantâl¡o (73ta) e para diversos outros. Para obter os
resultados da platina, ajustarnos curvas de a xZ (ampl itude em
função do número atômico) antes de ajustar as curvas de a x 0
os valores das ampl !tudes estão tabelados em Tl 1.1 e Tl l '2
.44 .
+
no
0 programa utilizadopDp t1 - 30/\5 , do
pol i nômi os cujos X2
por grau de I i berdade, sendo que os
parte real da amPl i tude '
2.3 Valores de R teórìco
De acordo com (t I '4):
foi o "AJUSTE", PFocessado
compu tado r
As cu rvas
R=
Ro
lnstituto
oscilam
meno re s
de FÍsica da USP.
entre 1r0 e 012
X correspondem a
sao2
RoK + (r+z)
R6( x+z-) + v"
o.1 z+ Ro + z,- 3f
z,t2l Ro + o,l Z?
Þzl c. + -r* lt =
( r ¡ . ¡)
1n r, .tl'
Re a77 a +
De (tt.t):
t2-o- ¡¡ rv.,I
zl*-., l' I -r". +o-
r-rh (tt .e )
I l.---. * ,, * l=
I Ro *rx * o-.-. lt + lr- *t*IT\ì |
Assìm, de (l 1.5) e (t t 'e) obtivemos os valores
de R tabelados em Tll'1 e Tll'2
.46 .
TAEELA 7II,?
Cõlculo do ß tcórlco parâ Pt (Z - 781 - Encrgla do fclxe íncldentc: E .0,662 tt¿V.
R
r.000 r 0.002
r,2l ! o,o2
t,{A r 0.0J
r,65 r 0,0t
| .90 r 0.06
2.20 r 0,08
2,6 r 0.1
2,96 * 0,08
t,t ! o.l
3,63 r o,07
3,72 r 0,oq
t,6 ! o.r
3,3 ! 0,2
2.9 ! 0,2
?.5 ! 0,2
2,? r 0,2
1,9 t 0,2
1,7 r 0,2
1,5 ! o,l
¡.4 i 0,t
1,2 ! 0,2
t,? I 0,2
l,f ì 0.2
1.0 r 0,1
t,0 - 1 0.t
t,0 r 0,t
^"-+#t.000 r 0¡003
0.66 r 0.02
0.r2 r 0,02
0,4t ! 0,02
0.30 r 0.02
o,2i r 0.02
0,lq t 0,02
0,08 i 0,01
0,04 1 0,0t
0,010 i 0,006
0.003 i 0.003
0,013 ! 0,008
0,0q t 0,02
0,09 1 0,03
0,15 r 0,04
0 ,22 I 0.06
0,30 10,07
0,40 10,09
0,5 r 0,t
0,6 t 0,t
0,7 t 0.2
0,8 !.0.2
0,8 ! 0.2
0,9 ! 0.?
1,0 ,0.2
¡,1 i 0,2
. l"rl .
9o,o
0,98q
s ,715
0,523
0,386
0 ,287
0,216
0, t65
0,t?7
0,t00
0,079
Q,064
0 ,052
0,0q4
o,ol7
0,032
0,028
0,025
0 ,022.
0,0t0
0,0t9
0,018
0,0r7
0,0r6
0,015
0,0r5
"Th,I.
-0,0t739
-0,0t739
-0 ,0 I 719
-0,0t739
-0.0r739
-0 ,0 1 739
-0,0 ¡ 739
-0,0t719
-0 ,0 r 739
-0,0t739
-0,01739
-0,01739
-0,0r739
-0,017J9
-0 ,0 1 739
-o,01739
'-0,017)9
-0.01739
-0,0r739
-0,01739
-0 .0 r 739
-0,01739
-0,0r739
-0,4r739
-0,01739
-0,0t739
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-0,01739
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-0,0100
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0,00r5
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0,0r210
0,0r338
0,0r425
0,0 r 506
l. "rrR
-0,01l.
-0,0rq
-0,013
-0,013
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-0,01t
-0,0r0
-0,0t0
-0,009
-0,008
-0,008
-0,0o6
-0,006
0.0r1
0,036
o,or8
0,007
-0,000
-0,005
-0,009
-0,011
-0.012
-0,013
-0,0r3
R. "tR
-0,9|t7
-0.t9
-0.60
-0.q5
-0,33
-0,24
-0,r6
-0,t0
-0,06
-0,02
0.0r
0,03
0,05
o,06
0,07
0,08
0,09
0 ,09
0,r0
0,10
0,10
0,r0
fl ,tl
0,tl
0,tt
0,rl
0
0
lo
,,¡0
[5
50
55
60
65
70
l5
80
85
,90
95
t00
to5
tr0
t15-
120
t25
t30
tt5
tq0
tq5
r50
I
.47 .
2.4 Valores do desvio de R (oR)
Para o cãlculo destes desvios usou-se o mótodo de
segundo o qual, dada uma f unção f (x,y,2...) o errodado por:
relaGauss,
tivo ê
Aç ( òt Ax.òx
z) +(ò5
ò/
z
J*tç+
ay) (r r.z)
cAPf rulo ttt
PROCED I MENTO EXPER I MENTAL
Arranjo experimental
0 arranjo
guras Fltl.l.a e Flll.l
exper i men ta I es tá
b
esq uema t i zado nas f i
0 espalhamento elástico Compton foi realizado com
--uma fonte de césio (tttcr).
0 ângulo for".nado entre a linha que une o centro
da iona" ao centro do alvo espalhador (direção da radiação inci
dente) e o plano de alvo espalhador (ângulo 0) é escolhîdo de
forma a minimizar a dispersão de ânEulos de espalhamento (ânSu-
lo 0) sobre a placa. Para tanto deve satisfazeraequação (Ha7O):
sen ô (¡ I .1)sen (o -o)
onde distância do cêntro do alvo ao centro do segundo
rR
R éa
e r eaespalhador (eeLi), distâncîa do centro do alvo êo cen
to
.49.
G eLi B¡tndagern
,lFoto I
Gol i a
Arl
e
Placa espa lhadora
o)'¡fl\
Fi9. FItr.la
Bl i ndasem
Fcì37
Cs
B2
Bo
Ao
Fis. FlIl.lb 137Fontê Cs
Esquemas do Arranjo Experimental.
A e B correspondem ãs componentes da radiação // e J- äo p¡a-no de espalhamento.
l,{ goo
B
A
Foto 2 I
G etiI
Placaespalhadora
.50.
tro da fonte.
1.1 A f on te
É de césio (t t7Cr) monocromática (n,662 keV) , sua
intensidade é 37 C¡ e sua mèia vïda, 30 anos. Ela está colo-
cada num pequeno cil indro (raio î,1 cm) que por sua vez encaixa
num cil indro de raio maior (tu 10 cm) de chumbo maciço (vide fig.
Fl I 1.2). Este conjunto se encontra dentro de uma sala de pare-
des de concreto de n, 1 m de espessura. A tampa do envol tório,
fundida ao pequeno cilindro, é ligada a um cabo de aço cuja ou-
tra extremidade é acionada por um mecanismo de engrenagens e u-
ma corrente. Para rrabriril ou I'f echarrr a fonte basta movimentar
uma manivela que se encontra fora da sala.
to
ra
0 equipamento eìetrônico
contÍguo onde a rad î ação de fundo era
pessoas normais ã de 3 a 5 mR).
fo i co I ocado num rec i n-
tQ,!mR (o limite pa-
Pa ra que a rad i ação de fundo não fosse mu í to i n
tensa devido ã sensibîlidade dos deteaor.r, construiu-se um ca:
telo de tijolos de chumbo (l0cm de espessura) de forma a deixar
I ivre apenas um orifÍcio de t 2 cm de diâmetro na frente da fon
te rrabertarr para col imar o feTxe.
1.2 0 polarÍmetro
coaxial
Consiste de um detetor de germânio-l Ítio (Cet-¡)
cilÍndrico, ORTEC 8003, Volume atlvo de 27 cm3 , resolu
2,5 keV para energias incidentes de 'v662 keV (vide f ig.ção de
.>r.
Bl ¡ndagemde Pb d€ Pb
Blindagem
abo de aço2Cm
b) Fonte'aberla'
ronte oer3é" þtc¡)
a, Fonte fechada
7Cm
tt7
^ lonle de '-Cs e sua blindage.m
F,g. Ftr1.2
35 cm
'Cristal de GeLi de35 cm. cúbicos.
Fotomul tipl ica-dora de 3t' x 3"
-/
Camïsa de Cu de 4 mm deesPessura lateral e de2 mm frontal.
lO cm
Camisa .do lat€o (absorvedor)Fis. FII.s
ilcm
-52-
ftll.3); dua's fotomultiplicadoras de iod'eto de sódio, Nat(Tl) ,
de 3,'x3', cuja resolução típica para as mesmas: energias é de 77"..
0s eixos de simetria das'fotos'são Paralelos ao
do germânio-l Ítio (tig. Fl I l.l) e equidistam deste último de l3
cm. Encontrarn-se posicionadas uma " 90o em reìação ã outra to-i
mando o eixo do GeLi como eixo de rotação.
De forma a evitar o "pi le uP" nos detetores toma
mos cuidado especial com a blindagem. Foi construída uma caixa
de madei ra para abrigar o polarÍmetro, e revistida totalmente
com chumbo de l0 cm de espessura (f ¡g. FlI1.4), exceto uma abe¡
.tura afunilada posicionada na frente do cristal de GeLi ( raio
maio r=2,5 cm e raio menor=l r6 cm) . Esta abertura é, Por sua vez,
coberta com dois absorvedores finos (de Pb e Cu, ambos de 5 mm
de espessura) para impedi r a deteção de Y de baixa energia e de
de'raios X oriundos de espalhamentos na bl indagem
, Considerando que a taxa måxima de contagem paraL----as fotomultipl icadoras não deve superar l0'f desintegração /s , se
desejamos trabaìhar com boa resolução em energia, e que a inten
sidade da fonte é de 37 ci (- 137 x l0l0 d/s) vamos verificar o
mínìmo de bì i ndagem necessári a:
20 coef iciente de
e sua dens i dade
absorção do chumbo ê P/P
P = ll,3 glcn3
o,l03 cm /g
e-xç(-11,3)'3=¡{
^.t\O¡l ,l-7 * tto
I = e-xç - \/ 3 ) r 3- -tro 4¿
I ( \, 3 ) ^ $= {8 7l{ + x- = {6 c't".
.53 .
Vista em perspectiva
j 40
a
Vrsta frontal da caixa2O ct7J
30 cm
l5 cm
30 cm
,Suporle de madôira
2n
Pres¡lhas para prender atolomultíplícadoraFig. FÍJ;4
Caixa de madei ra uti I izada par suportar a bl indagem do
polêrÍmetro
,
\-:-macreira
Suportc de
Foto I
I
upor t eemade íra
Folo 2
tiiil
liii
GeLil3 cm
t3 cm
.54 .
Então a êspessura mÍnima do chumbo para incidência direta nas-foto-:
multipl icadoras deveria ser - l6 cffi, mas.como vimos o y deve atra-
vessar quand'o a-'fonte estã t'fechada" mais de 30 cm de Pb e quando
ela estã aberta hã l0 cm de Pb mais a redução do ângulo sól ido que
é da ordem de 104. No caso GeLi devemos considerar apenas a redu-
ção de.vida äo'ânguìo sóì¡do. Como vemos na f ig. Flll.l, o polarÍme
tro foi coloiado a 35 cm de uma placa espalhadora (alvo) ¿e l6 x l62cfi-, que por sua vez dista ìr40 m da fonte- A abertura do .col.ima-
dor dista 20 cm da fonte, portanto existe uma redução de l/80 da in
tens i dade no trajeto fonte-al vo, poi s
2(r) /20 I-8¡-1T
redução é de l/200, pois
4n
No trajeto pl aca-detetor a
2T (t,6¡
ì404n
I20-1'
Donde a intensidade inicial (137 x l0l0 d/s) será reduzida de?
l,/ì6xì0', isto é, o GeLi serã atingìdo por 108 d/s se todos os ga-
mas. fossem espaìhados isotropicamente. Como a secção de choque pa-
ra espalhamento elásti co ou Compton, é bastante dependente do ãngu
lo de espaìhamento, e como €penas uma fração dos gamas que atingem
o espa I hador serão desvì ados, podemos cons i dera r que o GeL i serã ex
posto a um f luxo de raios gama nuca superior a l0' n"mas,/s. Além
dìsso a ef iciêncìa do detetor é de - 4"Á, assim podemos concluir que
a operação do GeLi não será prejudicada pelo excesso de radiação
desde que evitemos ânguìos muito pequenos (menores que 50o).0 GeLi
também fornece resuìtados bastante I ineares em energia, desde que
suë! taxa de contagens seja i nferìor a ì 04 d", i ntegrações /s.
1.3 Alvos usados
-55.
estao re I ac i onados na tabe I a abai0s a I vos us ados
xo.- :
Dimensão
82Chumbo ( Pb) l6 x ¡6 cm
78Platina ( Pti) ì6 x l6 cm
ì3
2
2
2
Espessura
2,85 g/ cn
2,33 g/ cn
1,08 gl
2
2
cm2AìumÍnio ( Al) l6 x l6 cm
ì.4 - Descrição dos circuitos eletrônicos
. As f iguras Flll.5.a e Flll.5.b esquernatizam os
.'circuitos eletrônicos utilizados para obtenção de espectros de
correl ação temporaì e de ampl i tude, F€spect i vamente.
0 objetivo do circuito de amplitudes 'e registrar
ås coincidências que existem entre F0T0l - GeLi ou F0T02 - GeLi
_-óu" com ajirda de pulsos de rot¡na são enviadas a diferentes qua
drantes do muìtÌcanaì. Has para isto a energia de y incidente é
em parte absorvida pelo GeLi e em parte pela F0T0 gerando Z pul
sos ( um no GeLi e outro na F0T0) que devem ser somadcs adequadamente de
forma a reconstìtuìr a energia do raio incídente. Se estes pulsos se encon-
tråm muito deslocados no tempo, o pulso soma terá uma amplitude menor do
que à soma dos 2 puìsos cåso eìes coincidissem.
0s espectros de correlação temporal foram, portanto, uma
ferramenta necessåria na experiência. A idéia inicial seria exigir que um e
vento sõ fosse registrado no multicanal caso houvesse coincidência temporal.
Para isto deveria haver uma monitoração contínua dos I'delay'r dos discrinado
res, màs isto requereria a montagem de um único circuito que permitisse
obter sìmultaneamente espectros cle ampl itude e de correlação tem
.56 .
fí9 Ftll.Sa
Esquema do arranjo el etrõn i co ut i ì i zado para obter espectros
de correlação temporal .
ersortemporal deamplitude
onve rsortemporal deamplitude
M ¡sturador
Coinci-ência
Goinc i-d encia
Disciim
Discrim.
Díscrim.
Ampl.
Ampl-
Ampl.
HT3
t{T2
HTl
Fo'.o2
Ouadrarìtês
MULTICANAL
GeL¡
Fcto 1
.57 .
f¡s.Itr sb
Esquema do arranjo eletrônico util izado para obter esPectros
de ampl i tude.
Scrn ador
Somador
Misturador
Coinci-dência
Coinci-dência
Oiscrim.
Discr¡m.
Discrim.
Àmpl.
Ampl.Pre
Pre
HT3
HT2
HTI
quadrantês
. MULTICANALlnput
Foto 2
G eLi
Foto I
.58.
Dìscrim.
Discrim.
PHC
PHC
scr m
I scr
IIII
J
MULTICANAL 2
QuadranteIIIII
JPara o input do
t-------'t! oetay
T1
H
Foto 1
GeLi
MULTICANAL 1
Foto 2
II
IL¡ne ¡
FisF F Itr 6
Esquema do arranjo eletrônico que permite obter espectros de
ampì¡tude e correlação temporal simultaneamente. (Não foi u-tilizado por motivos de dispon¡b¡l¡dade de equipamento).
poral. Este circuito não foi montado por falta de equîpamento
(vide fig. Fl I 1.6) e teria permi tido registrar apenas eventôs cu
jo atraso fosse menor que 30 ns. Mas como veremos ad iante, os
espectros de correlação temporal mostram que o atraso méd io era
menor que 1'l 0 ns para a F0T01 e 140 ns para a F0T02 , o
que não prejudica sensivelmente o pulso soma. Além disto, o sÌs
ma se manteve extremamente estãvel durante toda a experiência,
mais uma razão para conf iar nestes resultados.
Passemos ã descri ção dos cornPonentes rel evantes
dos dois circuitos em questão:
'a) Fontes de alta tensão (Hrt ,HT2 e HT3) diretamente li-
gadas aos detetores.
.HT1 - 'rH igh Vol tage DC Power Supply - Model 4088 - John Fìuke HFG'r.
Voltagem de saÍda: varÎável de 0 a 16000VDc.
orrente de saIda måxima de 20 mA.
Esrabil idade: t0,005%/hr ou +0,002%/dia ("pós aquecida).
.59 .
Supply
de 50 a
Mode | \56
3000 v
superror as
que 0,0025%
.Hr 2 "High Voltage Power
Voltagem de saída:
Corren te de sa Ída
Estabil idade: esta
ções na saída são
binadas de linha e
de 10 mA
fon te é
meno re s
0RTECil.
ouiras, as varia-
pa ra va r r açoes com
ca rga .
Fonte estabilizada de altadifTensão de saida: o controle
da desde 595V a 2045v (de
no va r ¡ a a tensão de sa Ida
Cor ren te de sa Ída: de 0 a
ten s ao
grosso
85 em
de0
5 mA.
- FEAT 5a
varia a
85 v ) . 0
a 100 V.
tensão de
controle
se r
.HT3
fi-
.60.
melhor que
VcA até 125
uma parte em
VCA, ã carga
1000 quan
de 0 a'
Regulaç,ão'de voì tagem:
do a "redê' Varia de 105
5 mA.
Preampliflcadores de
de transformar pul sos
de uma gfand-eza maior
es tado
de carga das
de uma ordem.
Pre2, Pre3)
do GeL i em
sól ¡do (Pre1 ,
fotos e
b)
caPazes
s i na i s
9as
Além disto apresentam al ta impedância de
da, para não drenar mui ta corrente dos detetores e bài xa
entra-
i mpe-
a londânc ia de salda,
distâncias.
conven i ente para a transmi ssão de s i na i s
.Prel e Pre3 - rrPreamplif ier
Ganho: maior
0s pulsos de
109A - 0RTECil.
que 20x.
saÍda tem as seguintes características:
P re2
largura total: tu110 a 120 Us
tempo de subïda: (lO-gOZ) n,100 a 200ns
I a rgu ra do pu I so cor respondente ã va r î ação de am-
pl i tude entre 90 e 100%
llPreamplif ier - Model 120 - 4e - 0RTECrr.
Ganho: maior que 20x.
Tempo de subida do pulso de saÍda: (tO - 997) c"20 a
35 ns.
Tempo de desc i da: tu 50 Us
. c) Amplificadores (Amp) modular tipo NlM, colocadosa t0m
dos detetores fornecendo pulsos de até 10V de amplitude de sai
da, unipolares e bipolares, estes últÌmos de forma a minÏmizar
o "v'ra I kt' em tempo.
0s tres ampì î fl cadores são do t l po "spectroscopy
.61 .
amplifier - Hodel 45t
do ganho grosso (5* a
meia largura total do
pl ifi cadores suportam
- 0RTECT' , o seU gÊnho- total e o produto
2000x).pelo ganho fino (0,5r a 1,5x). A
pulso de saÍda é de alguns Us . Estes arn-
até 50 KHZ
d)
420A
espectro
Dïscrimïnadores tipo TSCA
ORTEC") que possibil itam
de energ ¡ a.
("T¡mìng slngle channel analyser
a se I eção de uma t' j ane I at' no
Estes discriminadores fornecem um pulso de saÍda
que ocorre num precîso momento com relação ao pulso de entrada,
tem a capacîdade de produzir um atraso no sinal de saÍda de 100
a 2200 ns.
E possível fixar o nível inferior de .årgi" (de
100 mV a 10 V) e a largura darrjanelail isto ê, o nÍvel supe-
rior em relação ao inferior (de 0 a 10 V).
e) Do i s
converter and
conversores t ¡ po
SCA - Model 467
TPHC/SCA (''TiME
- 0RTEC") .
to pulse height
tem várias ta-
entre 15 ns e
sos lógícos
proven i en tes
um pulso de
TPHC/SCA.
0 TPHC/SCA mede o i nte rva I o de tempo entre pu I -
f ornec idos a seu tTSTART'r " "o seu rrST0Prr (no caso,
do GeLi e de uma das fotomultiplicadoras) gerando
saÏda analõgico proporcional ao tempo medido no
Es tes conve rsores tempo-amp I i tude
xas de conversão permi tindo 15 opções que variam
Bo us.
TPHC s
scA.
0 inibidor SCA obriga a que o pulso
ó seja aval iado quando eìe estiver dentro da
de sa ída
"janel arl
do
do
.62.
f) Duas coîncidências rápicias tipo t'FAST C0INCIDENCE - 4144
- 0RTEC'¡ gue permitem determinar coincidências rápidas entre dois
sïnais de entrada (provenientes do GeLi e de uma das fotos). O
tempo de resolução (h) varia entre 10 e 110 ns.
Em caso de co i nc i dênc i a, pu I sos de sa Ída se fa-
zem presentes e são endereçados aos terminais de controle de um
multlcanal rrNuc'l ear Data" (de 512 canaÌs) de forma a selecionar
diferentes quadrantes do mesmo (conjuntos de 128 caáais) nos
quaîs é arquivada a informação proveniente do mîsturador.
corre I açãoNo c i rcu i to de coi nc î dênc i as para
poral or sinaîs dos discriminadores são lançados
tempo-ampl i tude (fpHC/SCA) cujos pul sos de sa Ída
mistuiador-ampliador e daÍ ao multicanal.
No circuito de coincidências reais
tem
no conversor
envi ados a o
F0T0-GeL i os
os somadores são do t i po
capazes de somar I inearmen-
a nod o de fo tomu I t i pl i cadoras
sinal de saída são tipicamen
sao
pulsos de saÍda dos ampì ificadores são enviados aos somadore-s e
da Í ao
ginais.misturador de forma a reconstitui r o sinal e energia orÌ
'g) Tanto o misturador, comos
"4N102/N DC Mixer Module - EG t G-tl
te dois ou tres sinais de saída do
0 tempo de s ub i da e desc i da do seu
te de 'ì, 100ns e de tu1ou 2ps,
2
Para que os
to-GeLi possam ser somados
respect ì vãmen te .
Testes conduzidos para verìficação e ajuste de çqu¡pamento
pul sos obtîdos por coinci dêncías Fo-
Ã0
sERvlco 0E
BIBLIOTECÀ E
Ãode forma a re o pulso origi-
na I
zI r'
.63 .
foi necessãrio ajustar deteto res em ganho (para reprodu-:,
(pa ra que a sorna se ja,,a
OS
raio
Y).f e I ta
energia origlnal do
para um mesmo raio
Y) e tempo
0 ajuste em ganho foi feito com diversas fontesde baixa intensidade de európio, ouro, i iÍdio, sódio, césio e
cobalto. Aqui apresentêremos apenas os resultados obtidos co,¡ì
sód¡o (t'N") , césio (trtcr) e cobalto (.0co1. vide rabela
Tlll.1 e figura Fll1.7 com os espectros obtîdos para cada
detetor i ndependentemente I evantamos curvas de: número do cana I
x energ i a. Após cu i dadosa ca I i braÇão, es tas cu rvas apresenta-
ram aproximadamente a mesma incl i nação na região de i nteresse.
Tabela Tlll.l
Dados obt¡ dos para
cadas na frente de
rlou entre 10 e
a curva de cal i bração. As fontes foram colo
cada detetor, a di stância fonte-detetor va-
100 cm
Hal(rl)
296
705
378
658
734
do cana INúmero
GeL i
289
714
.374
661
7\5
e (tev)
511
't276
662
1 173
1332
Fon te
22Na
137 L̂S
6 o co
.64.
oGeLi
aNat(Tt)
clc(úo
oÐotz
GeLi
ttal (rr)
l3oo e(rev) lsoo
NaI (rt
GeLi
o t I I t I t / //250 regiõo da ¡nt.rGrr. 500 700 900 llo0
?l oíe.|. dr ¡on\o
Fig. FItr 7
Curvas para calibração de ganho dos detetores.
Note que a inclinação das curvas na região de interesse é aproximadamente a mesma"
Lembrando que o fóton de i n teresse sof re espa I ha
mento Compton no crista'l de GeLi , desviando-se de tu 90o para
atingir a foto, e calculando pela relação de compton (npêndice
A3), obtemos as regiões de energia relevantes. Elas são: de
324 keV a 4tO keV para o GeLi , e de Z5Z keV a 338 keV pa
ra as fotomul ti'pl icadoras (conslderando uma v"rl¡ação de t15o em
torno de 90o devido ao ângulo sól ido). Vide figura Fl I l.g
o¿z KeV GeLi662 KeV GeL i GeLi
ooz KeV*+'
zsz KeV zep KeV
.65.
equipamento
ajustamos
338 KeVFoto Fo to Foto
ê: goo+l50 €=9Oo O = 9oo- l50
Fis.ItrB
- Regiões de energia em torno das quais foram ajustados os discríminadores do
GeLi e das duas Nal (Tl) .
Devido ã intensidade
para não sobrecarregar o
cidentais, ou background,
des tas reg î ões .
da fonte de 137cs (¡Zci) e
e I et rôn i co com con tagens a
os d I scr i mi nadores em torno
A seguir, foi necessário colocar os pulsos no mes
nio instante. 0s pulsos de saÍda de cada detetor tem uma forma
tiplca como a da figura Ftll.9.a . Para analizar rapidamente a
influência do deslocamento temporal de dois pulsos que devem ser
somados, vamos supor que eles sejam duas gausslanas como na fi-
.66.
gåu*i¡nr da O¡ 50 ñr
¡
f
l-Jt..F P + tó ---l leñgo (ns) P+t0 -
ien9o
(al (b)
DUlao I
/þútto,
loh9o
(cl
'(d) (e)
lts. F Itre
(a) Pulso típico de saÍda dos deterores
t, = tempo de subida do pulso (10-9cZ) q,100 ns
p = patamar do pulso n, 100 ns
td = teÍ¡po cje descida do pulso ç"-t/t, da ordem de u,
(b) Simpl ificação do pulso - Gaussiana
O=p/2=l0ns
(c) Dois pulsos deslocados no tempo
d = deslocamento temporal
(d) Pulso soma caso os dois pulsos coincidam no tempo (d=0).
2Aø
(e) Pulso soma para d{ 0 Note que a amplitude diminui.
gura Flll.9
pu I sos não
. (ttote
coincidem
.67 .
que o pul so soma se deforma quando os doi s
no tempo) .
2eA
Denomi nando g deslocamento no tempo do pulsoo
a amp I i tude de ambos , podemos equac î onã- I os como:
xz /o2AePt
Pz Ae
=Pn+P.=A["
1
z
I7
xt/ 6'
)'
então a função que representa a soma dos pul sos (p ) serã:s
-11x-d12Z' O' 'Ps
--do x = dl2
Este valor Ps
.t
z+e
)(lt¡.2)
* Os pulsos analógicos que são somados e
da ordem de Us , els porque é vál ido
da função P, (x, d,õ) se ver i f i ca quan-
d < 2o* , assim:
2Ae -d2/Bo2 (il t.3)
ao multicanal
0 máxi mo
desde que
Ps max
é muito importante, poîs é ele que vaî repromax
duzir a energia total do raio y no multicanal. É óbvio, de
(¡ ¡ 1.3), ver que a ampl i tude é mãxima quando o deslocamento tem
poral d é nulo e ela díminuî com o aumento de d
saovao
considerar d <2o
.68.
ParE a ca ì ibração tempora l uti l i zamos uma f on te ,.,_, ,
de sódîo de 100 UC¡ , pois o sódio rem dois gamas de 510 keV ern:
coincidêncïa (produzidos por aniqui lação de um pósitron) . Após
otimizar os ajustes dos I'delay" dos discriminadores e demaîs,ob;
tivemos um espectro como que se vê na fig. Fl ¡ 1.10 . supondo a
distribuição dos eventos gaussiana obtemos um desvio médio o =
= 18 ns
dîmínuição da
ampl itude (%)
0
1 t 6
613
13,6
1
z ( d2EV )
P =2emax
(o = 50
s
ns)
2A
o , g68A
1 , 875A
'l ,729A
d (ns)
0
18
36
5\
TABELA T1 I I.2
Como vemos na tabela Tl I 1.2, a diminuição porcen
tual da ampl itude será no máximo de 13,67. , isto é, 972 dos e-
ventos da curva de correl ação têmpora ì (f i g. F I I I .1 0) possuem
des I ocarnentos tempore is menores que 5\ ns (¡o) Cons i deran-
do que 68% dos eventos (lembre que o o da curva de correlação
temporal é 1B ns) fornecem um'rpulso soma" cuja amplitude dife-
re apenas em 1,6'Á da ampìitude que corresponde ã energia real
do raio Y, e que nê prática o tempo de descida dos pulsos ana
lógicos chega a ser atê de dois Us , podemos concluir que o des
l'ocamento temporal que possa ocorrer só ocas ionará di ferenças na
soma de doi s puì sos menores que 12.
ram repet i dos
.69.
antes de inîciar cada
es tável não havendo
Foto't + Ge L¡
fie. FIIl10
Estes ajustes de ganho e tempo dos detetores fo-
de
monstrou mui to
s i dade de novos reaj us tes .
80
med i da , 0; eq u ipamento se
(na maîoria dos casos) neces
oo
aa.
c¡
6oo6
o.J
largura g I canais ou 36ns
canal9ô
Espectro com fonte de 2'Na de 100 nC¡
-70.
Espectro de correlação temPoral
aa
róo 210 320
oo
a
a
EO tóo 2.O 320
¿60 5óO ó10
Fotol
2O= l4Ons
Folo 2
2û= llOns
a
o
t [ns)
5óO
t (ns)
f ig. F IIL tt
.7t.
Na f iS. Fl ¡ I .11 podemos ver um los espectros ob-_.
tidos utilizando o TPHC (vide item 1.4 deste capítulo) para uma fonte de,
r 37Cs. Estes espectros fornecem distribuição temporal dos eventos'.
Para verificar 5e
gu i da co I ocamos uma fon te de
se p rocedemos
137cs (10 uci)
procuramos obter um espectro soma Foto + GeLi
obtido quando esta fonte estava na frente da
brar que a resolução do GeLi é de
F0T0 ê da ordem de 7"Á, isto ê, ru 46
rar um espectro s,imilar (vide f is.
cor retamente , em
a 10 cm do GeLi e
Calibração com fo¡rie de 137 cs.
n,2,! keV enquanto que
lieV, por isto deve-se
Fl I 1.12) ao da F0T0.a pontos experimentais. a¡uste
i gua I ao espect ro
F0T0. Devemos ì em
a da
esPe-
Foto 1 + GeL¡
atco)O¡G'coC'ooc Â
Â
^^o^Â
5Á^
Â'Â Â
61
Foto2 + GeLi
n9 canal
a
J'c(t)C'¡.úco(,a)'lt
qc
t
óÂ
1Âo^oo
o
ô¿
À
co
.72.
3 SistemátIca de medidas
Efetuamos med i das de fótons de 662
espalhamento elástico em placas de chumbo (t,pb),
e alumÍnio (1'Rl) na região angular de 50o a l20o
graus).
Embora esta exper i ênci a seja favorãvel em mui tos
keV sofrendo
platlna (ttpt)
(de dez em dez
razão, e não um va
estatÍstica de con
do GeLî (n, 1000 a
(n, 15 a 5 conta-
sentidos já gue a grandeza de interesse é uma
lor absoluto, surgem outros problemas, pois a
tagens no pico elãstico diminui abruptamente
200 contagens/minuto) ãs fotomul tipl icadoras
gens /ninuto) .
0s pontos de destaque do procedimento foram:
i) Devido a possíveis fundos raCioat¡vos, para
c.orreÇão, medimos espectros do fundo da sala com a
s,îo (tttCt) dentro da blïndagem fechada, para cada
.- pa I hamen to.
efetuar a
fon te de cé-
ângulo de es
¡ i) Medimos
alvos
também para cada ân(¡ulo, espectros com a fonte
espalhadores para u.rificar a possîbi I idade de
de rad i ação sob re o po I a r Ímet ro.
mas sem os
I nc I clenc ta d i reta
i¡i) Existe ainda a poss¡bíl¡dade de "pile up" no sistema
de detegão, i sto é, qualquer par de fótons sofrendo Compton na
placa, e chegando simultaneamente (dentro do intervalo de tempo
de resol ução do s ¡ stema: al gumas dezenas de ns) seri a contado
como'revento realil prejudicando as medîdas. Para evitar este
problema é que foi ut¡ I ¡zada a placa de alumÍnio, jã que devido
ao seu número atômico baÎxo (Z = l3) só apresenta o espectro com
a parte Compton do espalhamento (lembre que a seção de choque Pa
.73.
ra espalhamento elástico cresce com potências,grandes de Z (UuZ¡) ) -
Assim bastou subtraì r dos espectros de coincidências os seus res
pectivos de Al , antes normalizando-os em tempo e número
tros espalhadores.
de cen
¡ú) Para medir a
I ocou- se na f ren te do
de cés i o. A razão de
tilizada como fator de
N ac
ond e
ass lmetria intrÍnseca do polarÍmetro, co-i
GeLi uma fonte pouco intensa (lO,7l UCi)
contagens entre a F0T01 e F0T02 foi u-
co r reção.
2o x
As medidas foram feî tas para cada ângulo e cada
elemento, diversas vezes, observando os itens destacados acima.
0bteve-se o espectro do GeLi e os doi s espectros de coì ncidên-
cias F0T01 +.GeLi e F0T02 + GeLi 0 espectro do GeLi é util ¡-
zado para avaliar o número de centros espalhadores (vide figu-
ras F¡l¡. t3).
Devido ã baixa estatÍstica de contagens, antes
dá cada medida, estimamos o número de contagens acidentais; pa-
ra isto utilîzamos o valor para o qual dois eventos são conside
rado.s em coi nci dência (obti do dos espectros de correlação tempo
ral (o)).
0 número de contagens acidentais *"" é dado pe
la relação
Ne x Nr
O= meia largura da gaussiana de correlação temporal
número de contagens por segundo no GeL Ì
número de contagens por segundo na foto.
Nc
Nr
.7\.Espectro de amplitude. Espalhador de
âng. de esp.: 80 graus
Foto l+ GeLi
A
 Â
ô
A
^Â
Â
ó8 72
Foto 2 + GeLi
apontos expererimentais
o ajustê
n9 canat
n9 canal
Pt
3
A
A
Â
Àoco)Ot(ú
co()oEolÉ
ÂA
 AAA
ê
A
Áâ
â
A
t,co)o)(úgoootto0c
A ÂA
72
A ¿Â¿Â
7ó
Â
Â
oÂ
^
61
f ig. FItr lg a
80
.75.Espectro de amplítude. Espalhador de pb
âng. de esp.:90 graus
Foto t + GeLi
ô
a pontos experimentais
o ajuste
n9 ca¡ral
Ê8 n9 canal
A
ct)co)o¡(It
coooEolc
AÂL
A
A
61
Foto 2 + Geli
A
A
A
A
ó8
aÁ a6A
Á AÂ
Â
AA
¿rÂ
A
A
A
o
Â
^
v,cG'(',(ú
C.oo
ottotc
Â
AÁ6
o
A
A
61 72
fig. Ftr l3b
Â
AA
A
Â
tncoO!(It
coC)
ooolç
Espectro de amplitude. Espalhador Ce Pb.
âng. de esp-: llO graus.
Foto I + GeLi
AA
A6AA
Â
A
Á
Foto 2 + GeLi
AAA
 aoa
Â.Â
a pontos experimentais
o aluste
8¡n9 canal
.76.
A
80
A
A
A
A
Á
Â
AÁ
at,co)o)(ú
co()oI'o!c
Â
o7óóo
Â
A
61 óE 72
fig. F III lgc
E¡ 88n9 canal
.77.
Vejamos um exepplo tiptco [Platína a 9Oo)
Nt̂t
Nrt
Nrz
2o1
2oz
n9
n9
N
= 6760
= 300
= 8.16
= 140
= 110
de coincidências
de coincidências
cont/s
cont/s
cont/s
ns (vide fig. Flll.11)
ns
F0T01 + GeLi
F0T02 + GeL i
= 14,5
= 14r7
con t/scon t/s
Donde:
o
N
""1140 x 10 x 6760 x 300 -> 0 ,28 con t/s
-90 ,6'l con t/s
"t2110 x 10 x 6760 x 816 + N t"2
com os
ter o
2\ hs.
" As med i das de espa I hamento el ást i co foranl fe i tas
alvos de chumbo, platina e alumÍnio (este último para ob
espectro de fundo). A duração média de cada uma delas foi
espa I hadores
o respectivo
Após a norma I ização eìn
subtra imos ponto a ponto
de Al
tempo e número de centros
dos espectros de Pb e Pt
N
""r
Mas o número de contagens acì dentai s na F0T01 re
presenta apenas 2Z do número de coincidências F0T01 + GeLi , e o
_.-número de contagens acidentais na F0T02 representa \Z das coin-
cidências F0T02 + GeLl . Desta forma foi fåcÌl moni torar conti-
nuamente quão reais eram nossas medidas.
4 Cãlculo da razáo de polarização experimental
.78.
Estes
em um computador PDP
esPectros,
11 30/45
Esse programa nos permi te
extrapol ar esse pol i nômlo
de colncldênclaè) e ajusrar
já subtra i dos foram
at ravés do prog rama
anal isadosIIAJ
U STE II .
mlo ao fundo,
Celástico ou
te do pico.
após
Para
uma
ajustar'Èa reg l ao
gaussiana
um pol lnô
Co pico
ao rest a n
de
lar
mela
Pa ra
Para os ajustes das funções utilizamos o método
menor desvio quadráti co médio. 0 programa nos permi te calcu
os segulntes parâmetros da gaussiana meia altura, largura;
al tura, canal onde a altura é máxima e os erros estimados
cada parâmetro
A área da gauss iana é cal cul ada por:
A ,ffioà (il r.4)
onde: o = largura
alturamela
melaA
e o.seu desvio pela fórmula de propagação de Gauss.
Chamando A1 e A2 as ãreas das curvas de
cidências F0T01 + GeLi e F0T02 + GeLi , Fêspectivarnente,
zão experimental é obtida por:
coln
a ra-
A1 xR xs ( I I I .5)A2 cal
onder Rc"l -è a razão entre as áreas dos espectros de coinci-
dências quando se coloca a pequena fonte de césio de cal lbração
na frente do GeLi (vide item 2 deste capÍtulo); e é a eflclên,
cia do polarímetro, calculada teórlca e experimentalmente no pró
Re
.79.
xi mo item.
0s pontos experimentai s e a curva teórica (obtï-da de Tl 1.1 e Ttt.2) são apresentados no próxîmo capÍtulo (rig-FlV.l e tabela TlV.l). Cada ponto é obtido do valor médio de R
e
das d iversas medìdas fei tas para cada caso.
5 Cons i derações sob re as d i mensões
sistema de medição - cálculo da
flnltas dos
eficÍência do
comPonentes do'
polarímetro
D i versos fatores devem ser cons i derados ao compa
rar os resultados teóricos com os experimentais. Alguns deles
são el iminados devido ã sîstemática uti I lzacla nas medi*das (""p.'3, itens 2 e 3). Mas não devemos esquecer que os cálculos teó-
r i cos cons i deram os espa I hadores, detetores e fontes pontua i s .
Na realidade os ângulos, sólidos e planos, que aparecem no s!s-
tema de medição (f¡s. Flll.1) são disrribuições cujo valor mé-
--dio nem sempre coincide com o valor teórico.
A d i spersão dos va I orès do ângu I o de
to itl pode ser minîmizada (na7o), "råolhendo-se o
clinação do alvo (0) em relação ã ¿ireção do feixe
aco rdo com a re .! ação:
es pa ì hamen-
ângulo de in
i nc i dente, de
sen 0sen (e - O)
(t¡¡.t)
o ângulo de espalhamento; r e R são as dlstâncias
e alvo-detetor, respectivamente.
rR
onde 0 é
fon te-a I vo
Mesmo com a
espalhamento minimizada, o
d i spersão de va I ores
valor médio deve ser
Parê o angu
calcuiado.
o de
.80 .
A determinação direta dos ângulos médíos pode sen
evitada com o uso de uma fonte de radiação auxiliar; ex¡stem vá
rios exemplos na I i teratura (St6l , An6! , .Mu65 , Ha70). Outra
alternativa é o cáìculo numérico dos ângulos sól idos, apenas men
c I onada por Schumacher (Sc73 , Sm73) e desenvol v i da por Marcos
B. Gaspar (CaZg). Neste desenvolvimento são considera'dos: o ta
manho finlto da fonte, a sua col imagão, a distribuição não uni-
forme de radiação sobre o alvo e as dimensões reaîs do detetor
(note que só estamos considerando iniciaìmente o primeí ro espE-
lhamento pois as dimensões f initas do pol ar Írqetro são cons i deradas
adia:r",.
0 cálculo dos fatores geométricos real izado por
M.B, Gaspar é fe¡ to pelo Método Monte Carlo (vide apêndice A4).
Seus resultados demonstram que a dispersão méd¡a
do ângulo de espalhamento ê de tl,50 em torno do valor médio
(.vide f ig. A4 , apêndice A4). 0s valores médios do ângulo de es
palhamento considerando as dimensões reaì s do arranjo experimen
tal.encontram-se tabelados em TA4 (apêndice A4). É ¡nteressan-
te notar que eles diferem em menos que 0,5"4 dos valores médîos
calculados para geometria pontual, isto porque as distâncias fon
te-placa (=l 17 cm) e placa-GeLi (40 cm) são grandes em relação
ãs dimensões da placa e do cristal, o que impl ica em ângulos só
I ldos pequenos.
I
Embora em nosso arranjo experimentaì as
cias sejam ìigeiramente diferentes (fonte-placa=90 cm
-GeLi = 40 cm) achamos desnecessãrio reproduzir os cãlcu
putaei ona i s para as d i mensões corretas, iâ que i sto não
rla stgnificativamente os resultados e exiglrìa muitas
distân-
e placa
I os com-
altera-
horas de
..81.
compu tado r.
so
?"qui se concì u i que as
pol arímetro possuem boa resol ução no
espalhamento (e).de
que se refere ao ângu I o
medidas real izadas no nosî
0 mesmo problema deve ser considerado quanto ãs
dimensões dos cristais componentes do polarÍmetro, pois o desvio
do raio gama que ê espalhado no cristal de GeLi e atinge as F0-
Tos não ê """'aamente 90o.
Vário's grupos tem-se preocupado neste sentido
(¡la 59, Meso, Ta 68). Metzger e Deutsch (¡le 50) mediram a razão
de ass imetria de diversas castatas gama-gama com um polarímetro
que uti I iza o espalhamento Compton como processo de anãlise (tig.
'Filt.t4b).
A razão de ass imetria pode atîngi r valores gran-
des para o caso pontual conforme vemos na fig. Fl I l.l4a (curvas
a e b), principalmente a baixas energias. Entretanto, é impossÍ
_-úel obter àlta taxa de contagens trabalhando com ângulos sól¡dos
muito pequenos. Assim é que eìes usaram nos seus experimentos u
ma dispersão em 0 igual a A0 = 55o'e em Ø igual a LØ = 600 obten
do uma razão de assimetria menor (curva c).
Para avaliar a importância de ângulos de disper-
são grandes, eles definiram um fator de mérito para o polarÍme-
tro dado por (pt - 1)/LP I ,onde P' é a razão entre as intensi-
dades das componentes polarizadas uma perpendicularmente em re-
lação ã outra, isto é,
J //Pr,J
.82.
e ^P'
ê o desvio de Pr. A fig. Fl I l.l4c mostra, por exemplo,
que para dispersões em 0 de 60o ou 8Oo obtemos a mesma curva de
méri to em função Ca d i spersão em ø.
Apesar de nosso arranjo não ser o mesmo usado por
Metzger, já que a incerteza em 0 no nosso -experimento prejudic,á
ria sensivelmente a interpretação dos resultados pois a secção
de choque para espaìharnento elãstico varia'rapidamente, prînci-
palmente para ânguìos inferiores a 90o.
A fig. Fl I ¡.14d mostra que grandes dispersões em
ø aumentam os vaiores de mérito do poìarÍmetro. Assim é. que em
nosso polarÍmetro usamos L,Ø = 30, 380 (lembre que o diâmetro
das'fotos ê 3 polegadas e a distância GeLi-FOT,O é l3 cm).
Vemos ainda que poderÍamos ter usado distâncias
ainda menores pois o máximo da figura de mérito ocorre para
Lø = 600 ou 8oo.
, Mas não bastam estimativas, faz-se necessãrio um
cãlculo de eficiência (e) do polarÍmetro a fim de contornar es-
tes. problemas e poss ibi I itar o uso dos resul tados experimentais.
Para obter o valor da eficiência, part¡mos da re
I ação:
R df ( r r r .6)
ondei R-,, é o valor da razão de polarização calculado consideorrando as dimensões finitas do espalhador e detetores que consti
.tuem nosso poìarÍmetro e corresponde ao vaìor que seria obtido
=eRP
pexper i menta I mente; R é o valor da razão de polarizaçãc obti-
\----.__
.82 "-4.
ba
.goËv,ütG'
()Þo
r(tNE
q
oG'L\tL.oñlr)()ìo(úìt5o{-tg
o q5 !o
óo ¡00 ¡40 r80
¡r5
c
B
A
óo
dG 0)-aLfú
=&(ö
o)(¡)Ð(úpc:to.
-to-
I ¡
o loo t¡oa g (graus) aec tgrausl
tis.FItr 1a
a - Razão de assimetrìa em função da energia em MeV (¡leSo).
(a) O = 80o, geometria pontual
{b) 0 = 0r"*, geometria Pontual
(c) o = 8oo, ao = 55o, a0 = 600
b - Diagrama esquernático do arranjo experimental utì'lìzado por l4etzber (Me50) -
0s cristaìs B e C representam o polarimetro-
c - Figura do desempenho de um polarÍmetro em função do ^0
ton incidente de 1 HeV , P'= 1r2
Energì a do fó
d - Figura do desempenho de um polar|metro em função do A0
dente de 1 MeV , Pr= 1 12
t
kq/m6c2= z
aç roltroe
2oo
óo"r8oo
A O.: 5gor¡ooo + = óoorSoo
ko/moc2-- ¿
^ l2o, 14o"
A{: aO"¡
= zo"rt2oP
Energ,r'a incì-
,83 .
do considerando os cristais pontuais e serã calculado, no sub:
Ítem 5. l, para um duplo esPalhamento Compton'
Escolhemos o duplo esPalhamento Compton Para o
cálculo da eficîência, pois este ê um processo cujo grau de ani
sotropia em relação ã polarização é conhecido. exatamente. -r
Devido ã disponibilidade de uma fonte de cobalto
(60Co) de 35 mCi e considerando que ele emite uma radiação cu-
jas energias pr.edbminantes são: l,ì7 MeV e 1,32 MeV, é fãcil v9
rificar (relação de Compton, apêndice A3) que o ângulo de esPa-
lhamento deve ser - 5lo para gue a energia média do feixe esPa.-
I hado sej a aprox i madamente 660 keV. Ass i m:
Energia do feixei nci dente (MeV)
Angu ì o de es Pa-mento
5to
5lo
Energia do feixeespôlhado (Mev)
I,l7
| ,32
0,63
0 ,67
I
.84 .
5.1 Espa I hamento Compton-Co¡npton.
zaião cons i derando espa I hadores
Cålculo da razão de polarie deteto res pon tua i s (nr)
F2
B2
-5' esp. Compton
132
0'óó Mev
Ao 1B
Co
F1esp. Compton
Definiremos R a razão entrec
pì ano de espal hamento) e o numero
de espalhamento) após o primeiro
B1
o número de y do
de y do tlpo B
es pa I hamen to na
oi 51o
Fis. F IIt ls
A figura Fl I 1.15 esquematîza es te duplo espal ha-
men to .
tipo A
(Iao
placa.
(tt ao
plano
.85 .
Como jã foi visto, a seção de choque é p¡-oporcio
nal ao elemento de matrîz de KleÌn-Nishina da expressão (l I,3).Podemos então escrever R" como:
lm(Ao,A) l' + lM(Bo,A) l'R
cln(eo,B) l'
c omo
o ,63)'
o ,67) 2
(r - ¡'¡ z
EE ¡
0,40
( ¡ ¡ I . z)
(il t.8)
onde:
lN(no,A)l' = K
lm(ao,B)l' = K
lm(no,B)lt = K
ll,t(ao,R)l' = K
(r foi definido
don de:
lN(n , B) I ' +o
+ 4 cos 51o
+\
na expressão (l l.z)
R2K + 4 cos 51o
2K + 4c
Calculando R explicitamente:
E 1,17 keV + K(1,17
c
1
Kz
1,17 x 0,63
tt ,32
1
E2
de (¡l.to)
1 ,32 HeV -+
1,32 x 0,670,48
.86.
R c1
R c2
2 x 0,40 + 4 x 0,632 x'0,40 + 4
o r69
2x0,48 + l+x0,(,32 x 0,48 + 4
0 ,70
Após o segundo Compton def ini remos a razão de polariza'ção
tual Rp entre o.nümero de fótons espalhados na direção
os espalhados na dlreção m (vide figura Fllt.l5). A
ção de Rp será anál oga ã de R e obtemos uma expressão
corresponde ã (11.4):
(r+z)RK+c
Pon -
GFeded u-
que
(ilt.9)RP
R (r+z) + Rc
onde K definído em (l l.z), assume novos valores:
E 0 ,63 HeV E,*1
0,28 MeV.>
K(0,63 o ,28) 2
0,63 X 0,280,69
1
E 0,67 MeV -> E,* 0,29 MeV2 2
K2
(o ,67 o ,2g) 2
0 17\0,67 x 0,29
Note que E' é calculado pela relação de ComPton e o ãngulode espalhamento é necessariamente 90o devido ã disposição dos
detetores em relação ao espaihador (vide fig. Fl I 1.15).'
*
Ot.Ù1.
finalmente obtemos dois yalores para a razão Rp (u r.g)
R 1,24 e R 1,23 (l¡l.to)P1 P2
5.2 Med î das do dup I o espa I hamen to Compton com a fon te de co-
balto (uoco)
As medidas do duplo espalhamento Conrpton foram e
fetuadas utilizando uma fonte de cobalto (6oCo) de 35 mCí. De-
vido ãs energias predominantes do feixe por ela i rradiado (i,17
MeV 'e 1,32 MeV) e por motivos de montagem de equipamento e
'bl indagem, o ângulo do primeiro espalhamento Compton foi fixado
em 51o , jã que desta forma a energia média incidente sobre o po
larÍmetro seria prõxima de 660 kev, e o valor da eficiência (e)
obtido, apropriado ã correção das medidas feitas com a fonte de
-césio (!ttcr)
Como só estávamos ¡ nteressados no espal hamento i
nelãstico ut¡l izamos como alvo a placá de alumÍnio, cujas espe-
cifîcações estão no subrìtem 1.3 deste capÍtulo. O ângulo de in
cl,inação da placa obtido da relação (l¡l.t) foi 0 = 360. Des-
tes espectros subtra i u-se o fundo cujas med i das foram feltas com
a fonte de coba I to ret i rando-se a p I aca.
P rocedemos aq u i da mesma fo rma q ue com a s med ! -
das do espalhamento elástico, i stc ê, foram levantados espectros
temporai s e reajustado o ganho das fotos, obtl vernos os espectros
de cal ibração com a fonte de r37Cs (10 UCi) e calculamos o nú-
mero de contagens acldentais. Dois espectros tÍpicos podem ser
vistos
feitoda foi
na figura
conforme o
.88.
eficiência
e o valor
Flll.l6. Após subtrair o fundo, o ajuste foiitem anterior, mas neste caso a função ajusta-
uma soma de gauss î anas com
metros são novamente: meia al tura,
tura mãxima.
polinominal, cujos
largura e canals de
fundo
me ia
pa ra
al-
En tão
tre o valor pontual
é dada pel a d í screpânc ia en-a
experimental R cc
0s resultados apresentados na tabel a Tl I I .3.
Rp
5ao
ORcc
0, 10
0,20
0,20
Valor médio de R n ccccl,16 + 0,10
RccR/Rcal i br.
1 t 1 3
1 , 1 6
I , 1 I
R--
F1/rz
0 ,94
0 ,83
0,72
0,73
0,62
OA
1x10 3
1xl0 3
3xl02
3x102
5x102
2x103
1xl03
1xl0 3
3x102
3x102
A (ãrea)
16x103
17x10 3
3866x.l 0 3
4685x1 o 3
J2x102
10x10 3
8x103
llxl03
2078x1 0 3
3346x1 0 3
Deteto r
F1
F2
F1
F2
F1
FZ
F1
t2
F1
F2
Tempo
(min)
1 950
1 950
360
360
1151
1151
1136
1136
305
305
Espect ro
6 oco-fundo
60L̂O-rUnoo
Cal i bração Cs
Cal ibração Cs
6 o co-fundo
6 oco-fundo
6 oco-fundo
6 o co-fundo
Cal i bração Cs
Cal ibração Cs
TABELA Tl ¡ r.3
Fl + GoL¡
ô
F2 +GeL¡
.89 .
Ng ó Câns¡
fundoi
fundo
otooo
o ponloß oxperlmenlaie. pontos a¡uslado8
+
tç
{ {
o
o
N9do Canal
+
tt{
ç{l
t¿.c.€
tt{+
+{{+
{CE
ol
ð
I
tolz
e65
??
b
{
+I t t++
{
t{
+ts
Eo
çooEco()olz
i+
?
ieo
cooacopolz
{
Ng do canalc d
f ig.F III 16
Espectros obtidos com a fonte de 60Co
80Nq do Canaf
e
.90.
De Tlll.3 concluÍmos que o'rVälor mádio de R
ñ' 1116 t 0,10cc
j-
Rp 1,?4 I 0,01
Dondè, o valor da eficiência serã:
1,16 t 0,10jÆT
0,94 + 0,08
0,94 I 0,08
cc
eficiên-
várîas ob
que 102l-
a energ i a
Da relação (l I l.lo) o valor teórïco médio da ra-
de polarïzação considerando espalhadores e detetores pon-2ao
tuaîs é
R'cc
RÞ
5:3 Simulação computacionat do duplo Compton
Com relação ao cálculo experimental da
cia, como o que foi descrito no sub-item anterîor, há
jeções a serem feitas, assim como:
- o tempo consumi do ser mu i to grande;
- ra ramente se obtém resu I tados cujo erro é menor
- nem sempre é fácil obter um f'eìxe incidente com
dese jada.
.91 .
Blinda em
Cristal A Cristal B
Espalhadorpontual
Elemento
Cristal B
- FonteElementode volume
CristalA
'f\9. Flll17
Esquema do polarÍmetro simulado pelo programa de computador -Princi pais distâncias.
Note que em nosso arranjo os cristaís A e B coÉrespondem
ao GeLi eà F0T0,respectivamente.
o
.92.
Consequentemente P. Taras. e J- Hatas (fa68) i dea
lizaram um prograrna que calcula teoricamente o valor da razão de
assimetria (Rdf) de um. polarÍmetro típico, cujos parêmetros po-
dem ser ajustadcs de forma a reproduzir a si tuação real (vide f i
gura Fl I t .17) .
Baseados nes te t raba I ho rea I i zamos
rico da eficiêncÍa do nosso polarímetro guê, como
tê, concorda com o obt i do exper i menta I mente.
um cãlculo teó
A essênc i a do programa cons i ste em
de choque para espal hamento Compton (também
de Klein-Nishina):
ve remos ad i an
substi tu¡ r
chamada de fó
a
rseçao
mula
¿ zzE 2 sirr ê co5
l d.Çtd6' = r Èo +Eo
onde:
-r é o raio clássico do elétrono
dO ê o elemento de ângulo sóli¿o no qual o fóton ê esPalhado
I e o ângulo de espalhamento do fóton incidente
vetor campo elétrico da radiação înci-
es pa I hamen to
do-.fóton ïncidente e espalhado
z( Ê
Ëo4
z t)ø
E-
0 é o ângulo
dente e o
entre o
plano de
energiasE eE sao aso
POr uma
doede
função F
absorção,
que leve ern conta os ef ei tos de ãngulo sól i-
tal que:
(4 e-xP(-tDDÈ))
.93.
Êc, +E-
x
ai nda ser i ntegrada
.As distâncîas r ,
f îg. Flll.17.
zZ sùYr e ccls ø X
sobre o volume dos
h , DDA , DB e
dois cris
DDB es-
que aparecem em (lll.tt) sao
2zF=1Ê
)E.
Èo lEo
-z -zh xf ex¡ ( - {""o ) * e*¡(- rt,DDA+oe) ) x (¡ I ¡.lt)
Esta
ta i s
tão
função deve
em questão.
definidas na
0s d i ve rsos fa to res
explicados a seguir:
'1 . Haverã absorção do ra io y
palhador) . Esta ê cons iderada pelo
ê o coefi ciente de atenuação I i near
incidente_ no crist-al A
fato r exp (-UoOn) onde
dos y incidentes.
(.t
uo
2.
cristalApos o
A
a exp (-UDDA) , onde U
y espa I hados.
3. Dependendo da I oca I i zação
uma va r i ação da î n tens i dade do y
duzido o fator 1/h2
espal hamento
0 número de
raios y
de acordo
o fator 1/rz
alguns raios y serão absorvidos no
y que escapa de A é proporcional
coefi ciente de atenuação I i near dosoe
do elemento
i nc i den te,
de vol ume have rã
por.i sto é intro-
4. 0 número de
volume em B varia
dor. lsto lntroduz
que ati ngem um certo elemento de
com a distância ao centro espalha
. Alguns raios
\ atìngindoY se rao absorv i dos em B
de volume em B
Então o núrne
se ra proPorc r ofo de
5
um elemento
.94.
na I a exp (-UDD B) .
6. Alguns raios y passarão peìo cristal
dos, o número de detetados serã proporcional a
sem ser deteta-
{ I - exp (-uDDB) }
0s valores dos coef icientes,de atenuação
culados pelas fõrmulas:
uroto 0,210 (0,097 /t) + (0,02t+1/E2) .*2/9 (")
sao ca ì
!c.t ¡
0,0898 (o,oz1z/E) (o,ool22/E2) c^'/g (b)+
(lll.12.a) é obtida do arrîgo de P
(l lt .12.b) é uma curva experimentãT
da ref . Ch67).
Taras (ra68)
a j us taila de da-
(¡l¡.tz)
de polarização pa
como:
(a exp res s ão
a expressão
dos obt i dos
En tão, €rn ana I og i a com
ra detetores e espa! hadores pontua i s
a ra zão
def i n ida
(r + z)R
P n (r+z) + Kc
!o
( il t .9)
@g1o e !sqo)¿lvÀàvB (l¡t.l¡ )
..r^vo F( ø !o e g 1o) Jv^åvB
RK+c
podemos escrever a razão de pôlarização para dimensões finitas
como:
'ñ. =ofR.f.r^t" F(ø o rlo ) .lv^¿VÈ + f-^r*Rc I F ,ø o9o o :1o¡ åVo¿t" +
JvrVB
Note que a
GeLi , e
i n teg ração é sob re o vo I ume
B , no caso qualquer uma das
dos cristais A , tro caso
sao t-fotos Ja que elas
dênti cas.
no ângul o
só se faz diferença cofrr relação,a-ser F0T0l ou FOTO2
que a solução das
somêtória sobre os
foi subdividÍdo em
.95.
conve rge pa ra
foi desprezar
0
que se faz é uma
B Cada cristaì
B
0s dados de
dimensões do nosso arranjo
foram real izados variando o
integrals seria tediosa, o
volumes dos cristais A e-
paralelepTpedos iguais. 0s
número de divÌsões de A e
Jã
cálculos
entrada do programa correspondem
experimental, e são:
as
SD
D
LG/2
LF /2
Eo
ñ'c
37 cm
13 cm
1,5 cm (largura mé¿ia do GeLi)
3,25 cm (largura média da F0T0)
0,662 MeV
0r7
0P
0s resul tados apresentados na tabela Tl I 1.4.
Vemos que a razão diminui ã
sao
mos o número de divisões, mas
tér io de convergênc i a adotado
que 0 r2%
Não fizemos cá
sões iâ que envoiveria muitas
mera verifìcação.
med î da que aumenta-
o valor 1r15. 0 cri
varîações menores
I cul os com ma I or numero
de computador e
de divi-
ser i a umahoras
Calculando a eficÍência temos:
.96.
TABELA TIII.4
de pedaços em que foi dividida a larNLG co r res ponde ao
gura do GeLi.= ao número de
= ao número de
GeL i
NHF e NCF tem
Rn - Rn + 1/R
numero
NHG
NCG
NLF,Ot_õ-
pedaços
pedaçosd i v i d i da
dîvldidoem
em
que
que
foifoi
a altura do GeLi
o comp r i men to do
o mesmo
z
\,2
2,\
0 ,43
0 ,17
0 ,17
0 ,17
0 '
09
116
0,34
0,42
0,00
Conve r ge pa ra
Pontual = 1r24
o valor 1,150 t 0,040
+ 0,01
Rdf
1 ,239
1 ,189
1,161
'l ,156
1 ,151+
1 ,152
1'150
1,149
1 ,20\1 ,185
1,181
1,176
1 , 15'l
1,151
NCF
I
2
5
7
10
14
20
30
2
5
7
15
40
4S
NH F
1
2
5
7
l0
14
20
30
2
5
7
15
40
I+5
NLF
1
2
5
7
l0
14
20
30
2
5
7
15
40
\5
NCG
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
NHG
1
1
I
1
1
1
1
I
2
2
2
2
2
2
NLG
1
1
1
1
I
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n+1
s ignì fì cado para a fotomultiplicadora
.97 .
RP
note que o seu
Taras (ta68).
1,150 t 0,040-T7ffilõt-Rdf
Este resul tado
as medidas feitas com a fonte
desvlo é menor,
0,93 r 0,03
con corda corî o obt I do uti I izado com
de cobal to (e = 0,94 t 0,08) . Has
como jå tÌnha sido prevlsto por
t ,'"-
CAPf TULO IV
RESULTADOS E CONCLUSõES
0s va I ores exper i menta î s da razão de po.l ar i zação
de uma radiação Y de 662 keV, elasticamente espêlhada em
de chumbo e platina, encontram-se graficados na figura
(n )-e
a I vos
FIV.1
Part¡ r
obtida a
Valor da razão de polarìzaçãogulo de espalhamento e(o)
Na mesma figura apresentamos a curva teórica
das amplitudes calculadas por Johnson (¡oZ6).
TABELA TIV.l
OR (Pt)e
0'2Q
0 ' 30
0,40
0 ,40
o,4o
0,20
0,20
0,10
R (Pt)e
2,27
2,70
3,77
3,2o
2,82
2r18
1,68
1 ,42
oR (pu)e
0,20
0,20
o ' 5o
0,40
o'30
0 r 20
0 ,20
0,20
R (p¡)e
2,25
2,78
3,93
3,69
2 r93
2r11
1,76
1,51
ângulo deespalhamento
.0 (o)
51
60
70
80
90
100
110
119,5
experirnental R. , €ffi função do ân
.99.
Gráfico ReX o para o t'Pb
. póntos calculados a Partirdos dados de Johnson
a. pontos experimentais.espalhador de chumbo
(82pb)
lto100
fig. FE la
âng. de esp.
(l)fr
.100.
Graf ¡co Re X I Para a Pt
\I
/\I
I\
\/ \
\ \
\
0
\
\\
t00
/
/\
\
\
\//
\ \
\\
ó0 70 8 il0 ang. de esp. ê (o)
fis. F lV lb
.101.
Como vemos nas f igs. FlV..1..a e FlV.1.b, os re-
sultados exÞerimentais concordam com os previstos pela teoria de
Brown. Para esta energia a discrepância entre as curvas RxO cal
culadas por teoria de perturbação de 2a. ordem (Jo76) e pela a-
proximação de fator de forma (franz) é nítida, já que enquanto o
mãximo da primeira se dã para N750 , o da segunda se rverif ica a
90o
Has es te
cálculo de
tipo de
Johnsonrioridade do
tor de forma
rença en t re
util¡zadas por Brown
as curvas nao Supera
experiência não esclarece a
com relação ãs aproxïmações
e Mayers (8r57) , j ã que ê
a incerteza nos resul tados.
suPe
de fa
dife
I
0utra maneira de testar a teoria seria realizar o
espalhamento elãstico de fõtons parcialmente polarizados. Exis-
tem apenas algumas medidas real izadas por Brini et al. (9r59) en
volvêndo os ângulos de 65o , 90o e 1 10o para a energia de
1,128 mcz r gue estão de acordo com ê teorÌa de Brown e Maye,rs.
---Mas este tipo de experiência seria ainda menos efìciente pois o
número de contagens f icaria muito reduzido, já que um feixe iso-
trõiico deveria sofrer triplo espalhamento, o que ocasiona um au
mento grande do número de contagens acidentaÌs.
Uma proposta i nteressante, ffiês cuj a execução exi -
gi ria inúmeros cuidados , faz uso do duplo espalhamento eìástico.
Como mostra o arranjo exPerimental esquematizado na fig. FlV.3 ,
o primeiro espaìhador (espalhador 1) é colocado de forma tal que
os raios y sofram um desvio para o qual a Polarização é máxima
(e=75o) alguns destes raios y incìdirão no espalhador 2, loca-
I izado a +5o deste máximo, eñQuanto que outros naquele local i-
zado " -5o (espaìhador 3). Sendo que neste segundo espalhamen
.102.
to eìãsti co o raio deve ser desvi ado de 0
Des I ocando um dos detetores de GeL i de um ponto
para o outro, pFocura-se obter o mesmo número de contagens.
Mexendo-se nos três espalhadores simultaneamente
(para manter as dì ferenças de +5o e -5o no segundo espalha-,
mento) procura-se o ponto máximo de contagen-s. Porém, convém a-
crescentar que a seção de choque é muito pequena e que o ruido de
fundo serå apreciãve'l , pois ao usar um detetor só não podemos ter
técni cas de coincidências.
Ser i a conven i ente também med i r
fó ton s de 1179 keV e 1320 keV (toCo) pois
de choque de espalhamento Delbrtlck
a polarização para
estas energias a
relevante.
para
seçao Ja e
0bservando o comportamento
'¡5P l.N-FL lPr¡ e "NÃ0 SP lN-FL lPrr para cada
achamos que seri a pl aus Ível e provei toso
- zaçáo R para ângulcs pequenos.
dos fatores de forma
camada (vide fig. FlV.2)
nredir a razão de polari
¡
A f ig. FlV.2 mostra um cãlculo de fator de forma
"Sp¡N-FLlP" (expressão (1.2n ) calculado por Odair Gonçalves (0d77)
pafa o espalhamento elástico de fótons de 660 keV em Prata. Co-
mo podemos observar a camada L predomina entre os ângulos O I 10o
a 0 =2\o . 0ra, medidas entre estes ângulos representariam um
teste direto da função de onda da camada L. Analogamente, para
testar a função de onda da camada M deverÍamos efetuar medidas
de10"50
Um ,aspecto teóri co i mportante a ser exami nado á a
sens¡b¡ I ¡dade das funções de onda das camadas L e M com relação
ãs diferentes aproximações para os potenciais de troca.
.103.
. Para ãtornos de números atômicos al tos a aproxi ma:
ção de Kohn-Sham, usada por Johnson (¡o76), tern mostrado ser ra-
zoãvel. Entretanto, nenhum estudo da variação dos fatores de for_
rna com o uso de diferentes aproximações para o potencial de tro-
ca foi fei to. Seria portanto de relevância obter os fatores de
forma t'SPIN-FLIP¡'e "NÃ0 SPIN-FL¡P" para elementos de números â-
tômicos intermedîãrios, por exemplo a prata, a partir de funçõesI
de onda calculadas supondo valores para o potencial Xcr, com c
entre 1 e 2/3. Desta manei ra poder-se-ia enfatizar a superiorï
dade de um cã I cu I o exato em re I ação aos resu I tados aproxi mados .
espalhador 1
FONTE ESPALHAMENTC
ELÃSTICO--
^Jn/^r\>e
0+50 oe 5
ESPAIHAMENTO
ELÁ,STTCO
espalhador 2
t
e
ESPALHAMENTO
ELÃSTICO
espalhador 3
ff/
/
e
IttI
GeLi
GeLi
f ig .FIV. 3
. r 04.
FATOR DE FORMA
PRATA
Ag 47
F
FmSF\'tIt
t\
FLlSF
\
\
\.\
IIIIIII
\\ FKSF
ItI
ì\r FmSFI
i ,,r. \|I \:tt \ \lr \ Il¡ \ r
¡l rl
ïl \li Iirlrl
IIII'tIIIII
FLSFL--/
FmSF!---
II
¡
i
i
I
II
I,,t,
olo 20 30 40 50 ó0 X
fig. F E2
Fator de Forma ("SPIN-FLlP") em função de x(
de y=(2E sen1/2)/12,3985. Calculado pela expressao
(t .27) .
ono-A
APÊNDICES
Apêndice A1 : Teoria de Perturbação Forma I i smo de Feynman
A
o elemento
de Brown e
0
é governada
segu i r fa remos uma b reve des c r i ção de como
de matriz n, cujo cãlculo ê o objetivo do
col . (gr55a, Br55b, i tem 1 .2.1 ) .
se
traob tém
balho
I ivre
comportamen to da função de onda de um e I ét ron
pela eq. de Dirac:
*< í/ <n) Ìn ) l.Í ('\)
= o
ou, mai s expl i ci tamente:
( tÍq ò + ið.v ) r,¿ tr I =O
(nt.t¡
(ar.z)
(",
òt
* 0s s ímbol os (1) e (2) equivalem a
) , respectîvamente.Y2 ' z2 t2(ip yl zt , tr) e
.106.
ond e
o. saoI
eüê
Y
o
Y4=t1 0
e
-o. 0 0 -1
as matrizes de Pauli e +
a matriz coluna:
c=1
rf
tfr
rþ2
q,3
V,*
introduz i ndo a função de
ro(z,l) como solução da
Green (ou melhor, matrïz de Green)
eq uação:
(er . r)o
1r/c.l - tn ) K ( zr1 ¡
onde ô"(2,1) ê a função quadridimensional:
5tt
o
( ¿r^ ) 5 < iz -î,ql5r î. -inr5 r Ê.-änl åc t.-r^l
é fãci I ver que rolzrt) pode ser escri to como:
Lk
.l r¡¡K t z,n¡
(z1T )
(.-¿r
| ."P(-rFo (Xz-X.r) )zJ
I I ¡l-..''^.
(Ar.4)
ù ðtÐ(
.107.
__-¿ d4 ò
èxið,ò * iðoò
ò¿ òt_¿õzò
òyÍ = tt?r
Finalmente
cri ta em termos da função
a função de ond,a ,!(2) pode ser es: .-:iìi :.
de G reen :
Y(z) = t3ao
I f (2,4)I)¿'<tz
Um p roced i men to
um camPo
õq V(.tr ¿ x
análogo é seguido
eletromagnétîco.
(A1.5)
para elétrons
Neste caso aI igados na presença de
eq . de D i rac apresen ta mais termos:
.Vcnr -^.n'r)r1,l<,rl=o( íl <n\
tido
ção
te.
pelo
deste
A parcela eV(1) r.fere-se ao potencl'al
elétron na posição (1) e /(l) represenra
e I ét ron com o campo e I et ror"gnét i co do fóton
/ "',
(nt.o)
méd¡o sen
a i ntera-
ìnciden-
(ì-
A função de Green serã solução de:
Vc.'l - ñ r-> ) Kcz,i')= it(<.,n)(A1 .7)-e
é demonstrado que K(2,1) pode ser escri to como uma sérle de ter
mos:
K(2,1) Ko (2 ,1) + Kl(2,1) + ¡<2(2, 1)... + t<n(z,t)
. r 08.
on de ro(z,t) satisfaz:
o \5 (¿¡^)( i.ã,.> -Vc.> ) K cz,,r'¡ = i
palhamento elástico de fót
devemos avalîar o elemento
e
Y!
"rìÂ. =
que .expandí
ndo
vantes temos:
I\ti t,t'¡
o
Io .{
K (zr,\l - -ie. K cz,l ¡/<t't K (è,'\: ê x3
Assim, a part¡r de folZ,t) podemos escrever a
função de onda que sat i sf az a equação (n f . g) .
Has o que nos
ons
i nteressa são as ampl i tudes de
por elétrons lìgados. para
matriz de 2a. ordem:
ta I
de
t(nt.a¡
K(2,1) como uma sérîe e tomando os termos rele
o o(¿) K
t{Jx5 å x\ (3) (È)
4¡r.Jdx. cìxn
-rn, -_ v t (2,3) /1 ..) Ko(è,q),fl.*r i<. ( qr 1)
\¡t \o^t At= Ir,Jd i^ d iz
K (è,q) ToAù (c ) ð Or ir .\¡dx \(\)a
* Pe I a convenção usua I rp {,*Yu
sendo
e definindo:
l- ( x ¡)
chegamos ã "quação'
Br55b)
vf = {''¡ = u
: l0g.
oK (3¡q) õoAù(\) \P(\)
resolvida por Brown, Peierls e VJoodward (gr55a,
I di"
(i)
Àpêndice A2 : Espalhamento Delbrück produção de pa res (Pa74)e
A fórmula de
da amp I i tude Del b r'rjck
e uma consequenc r a da
a matriz de transição
Tl.r of o tÇ (ì)\
d i.= -i !
Kessler relacìonando a
ã seção de choque para
unitariedade da matr¡z
T por:
parte îmagi-
p rod ução de
S Defi-
(A2. 1 )
(et.9¡
- ne r I e
Pa res
riindo
+s 1 + iT
então TT+ = -i (T - T*)
ra um estado
onde ss
A probabilidade de transição de um
I f, estã rel acionada com o elemento
estado l¡r Pg
de matriz:
<È-"t\r-1 \Èä><Jt T 1i 5 (.-t - *')(nz . z¡
onde ô ,
incidente,
->k e
->e sao.++
e üJl kr e¡
.110.
energla, momento e polarização do fótondo fóton espa I hado.
De (nz.r¡ e (az,z) temos:
-i( <È'ë.'¡r-1 rÊ.ã>
L 6 C.^. - Ê-r) <Ëå'r ìv\ \ \^> <Êä t r-t r .^¡*
representa os estados i ntermediários e é
Mas como .È'Ë, lNlËt = .ÈËlmlÊ,Ë'>
onde I nt
comp I eto.um conj un to
temos:
(n2.3¡
lJJI-n (Fr¿rl f-1 \ lRe> E c.o - €-.)
a. l.< -N ä \ v\ \ rtu > < Èä r Ìa r -n;>*
-0s ' es tados I nt
,\
zx
Item carga nul a, portanto podem
ou es tados de fóton v i rtua I , mas
ampl i tudes mu i to pequenas (fi g.
ser es tados
este últímo
A.2) .
elé
prot ron- pós i t ron,
cesso implica em
KK
XX
ordem (r'"o )
Fig, A2.a
Estados intermed iários el étron-pós i tron
XXordem
.111.
Fig. A2.b
XXorde m (zoet2¡
K K"
X
K
X
K' K,
XX(.' .t')
Estados Íntermediários com fóton virtual
Assim, tratando os estados intermediãrios como um
par elétron-pós i t ron (.*"-) vi rtua I temos:
¡) on de (P ¡E+, +P* )
e os sÍmbolos P*s* referem-se ao momento e spín do pósitron
elétron, respectivamente.
Então (a2.3) pode ser escrito como:
L""n- < U¿ \ \'1 t he )
(A2 .4 )
ou
que
da
=T itP*(zn)3
Assim para
o I imi te para produção de
energ i as de y
pares O=i2m,
x
í nc í dente menores
a parte imaginárîa
5t--Ê+-E--)<È¿,ìFar f+5*P-s->
P*S*R-s->*F,\(Þe t \
amplitude se anula*
0s
dem se relacionar
.112.
elementos de matriz que aparecem em
com os seus respectivos processos:
z2-
(nZ- .lr ) po
(ez.s)d6ds¿-
(h\e.t\nrþ<e) l*o(¿tt )'
e
G' St.-'- È* - Ë-)îPP
¿ft
zx l<p*p- s+s- \'-1 \ h-e-)
|
PErE espalhamento na di reção frontal temos;
-1tiË't = lÈËt . Desprezando as correções de ordem radioativa,de (e2.3¡, (n2.4) e (ez.s) vem:
f*^ *o(r,srg=o) u:r s' (.^y ) (A?- .6)P
\nP
âmpl i tude
corre com
de a loops
En tão em ordem ma i s ba i xa
Delbrüct< descreve aquela parte
produção de pares enquanto que
de el étrons vi rtua i s .
a parte imaginãria da
do espa I hamen to que o-
a parte real correspon
Note que o efei to Thomson'só possuÌparte imaginãria não possuï espaç.omãticamente se manifesta ern ô(u:
ampl i tude real , já que a
de fase para existir, mate
E+
*
E)
.113.
Apênd i ce A3 : Efe i to Compton Fórmula de Klein-Nishina (feeZ)
e----r> X
(incidente)
elet ro n
Fi g. A 3.1
Esquema do esp.'Compton
Trataremos aqui o espalhamento de fótons por elé
trons utî I izando teoria quântica relativistica. Em prîmeira a-
proxîmação consideraremos os elétrons I ivres obtendo assim a fór
mula de Klein-Nishina para a ampl i tude de espalhamento Compton.
Para o fóton incidente tomemos como potencial:
foton I
1p
foton 2
("spalhado)
exp(-iq ,x) e para o emitido
Ø
A =elU
A =a exp(-iq
1
. x)2y 2y 2
çao de
A luz está polarizada perpendicularmente ã dîre-p ropagação, en tão:
e qQ -0 'éz.qz= 0 e 0
Como estados.inicial e f inal do elétron as fun-
qî 2
2q
I
ções de onda escol hî das serão:
rt = ul exp(-iPr.x)
on de (p m)u 0
.rr4.
e
P cosQ.¡x
Pz
v
s i nQ'¡z
v
'( cos 0 Y sin0)
ü uz exp (- ï R "x)2 2
e u e spinores de Dirac.
Por. conservação de energi a e momento:
f , * Á, y'2 * y'z
uz
12 12
I
(n: . 1)
(n¡. z)
Escolhendo o sistema de coordenadas em que o elé
tron 1 está em repouso:
mv-',t
,F2
,r
2Ezr,
)üJ
v
Tipo (A): vetorco na
Tipo (g): vetorco na
em dois t¡
tal que:
(f¡g. A3.2)
campo elétri-direção z .
campo elétri-d i reção y
Á1
,lz =üJ
r (Yt
z þ(t
x
x
NOTE 4 1
0 fóton i ncidente pode ser decomposto
pos de pol ar i zação I i near des i gnados por (n) e (B) ,
(a): "l = \= e (e):
"t = yy
l=II
Qr
./y
'+ x
Ana I ogamen te pa ra
(R') r "2 = \.
.115.
o fóton emitido:
(s'): e sin 0
de espal hamento
da hamíltoniana
'(x2 t, cos 0
Para o cálculo da amplitude
ton deve-se aval iar o elemento de matriz H
tivÍstica de ïnteraçãor H¡nt = - e ú,,/A
0 es.palhamento pode ocorrer
(s) :
F,
Comg
rela
duas
(n):mane i ras :
o fóton incidente é absorvido pelo elétron guê, posterior-mente emi te o fóton emergente.
o el étron emi te um fóton e consequentemente absorve o fó-ton incidente (vide fig, A3.3).
em primeira ordem de
F, 4,
F 4,
4 2
ér*4,
F, 4,(,
(n ) (s)Fis.43.3
Diagrama de Feynman no esp. Compton
- segundo Feynman (re6z) o elemento de matr¡z parê
d i agrêma (R) pode ser escr i to como:
2 ¿S*= -i\rre- (lz/z It a,r )Pa + Qq- -n1
¿
o
I
õ
e para (s) t
t1 -iqte. CI,-.S *r)
- r, \rf e' 1õ.R ,-'..1)
.r16.
0 elemento
Apl i cando astl eHR
R
e
S
de matriz compl,eto ê dado pela soma de
relações (n¡.2) temos:
l. Fn + ñn + 'ww
(þ,r* Ár)'- -.t!zy'n = /. Á," P"
2'.rr- ,.tSn
(A3.3)
(nr .4)S= ,Én /t-Á¿+t--
q¿^ - ñJ- "-èF. /n Á,. é,
'ZYr\r.r:t¿
En tao usando a propriedade: /fl 2er- el - ffZtemos : zm ( R+s ) -2 (e a e )(v ) Y sinOl ..y r2 t
Depois de considerãvel trabal ho algébrico e uti-I i zando a rel ação de Compron (que se obtém de (n¡. I ) ) .
"ru2x [i*tt-coso)
das polarizações dos
tos de matriz, vide
Agora, bas ta escolher as
e obteremos
A3:
(nr. s)
(A3.6)
d i fe ren tes comb í nações
quatro possÍveis elemen
müJ mü) (1 - cos0)'r'21 2
podemos escrever o quadrado do el emento de matri z como:
¿ zlrf te.re.)l t l + 4 ( er. e¿)( *rn - .^f.¡
wr\dz
que nos leva ã seção
larizados.
de choque de Kl e i n-N i sh î na para fõtons po-
fó ton s
tabe I a
.117.
TABELA A3
Apêndice A4 : 0 método Monte-Carlo (Ca7g)
0 l4onte C'arlo é usado como método de întegração
de superfÍcie gu€, diferentemente dos métodos numéricos usuais
o,nde a região de ¡ntegração é varrída pela adição sucessi'va e or
denada de elementos de ãrear sorteia estes elementos de área com
uma distribuîção prê-estabelecîda a parti r de uma sequêncîa a-
leatõria de números reais ente 0 e I , esta com distribuição u-
ni forme. A comparação entre o número de "pontost dentro da re-gião de Întegração e o correpondente núl-nero nums área conhecida
determina o valor þrocurado. Aplicado ao cálculo dos ângulos só
lidos do sistema de mediÇão, o método resulta numa sÌmulação do
sístemar ou melhor, de suas caracterÍsticas relevantes para a
exper i ênc i a (v i de Ga79) .
Uma medida da dispersão
mento é obtida pelos histogramas H.(0,.
dos ângu I os de
) formådo pelo
espa I ha-
número de
e éoân0 +^err r
I ll (e.' er) 2
[(rr-rr)2/uru2J + I+
[(tr-rr')2/urur)
[{or-rr)2/wru17
[{o,-rr)2/urur) + 4 cos2 o
Polarização
AAI
ABI
BAI
BB I
detecções no intervalo entre 0a e (on de
.118.
gulo de espalhamento para cada raio detetado).. Alguns destes:histogramas são apresentados na fig.A4 , eles foram obtidos colsiderando um arranjo fonte-alvo-detetor igual ao nosso, apenas
existe uma ligeîÊa diferença nas distâncias r e R , (=1l7cm
e 40 cm enquanto que para nós valem 90 cm e 37 cm), mas is-to não deve influenciar os resul tados signîficativamente.
0 valor médio do ângulo de espalhamento foi obtîdo ponderando-se a distribuição de raios espalhados com a proba
bi I ¡dade de espaìhamento, ou seja, a própria seção de choque, is
toé
<9> II de
l-l ce >
ds'ã-s¿
(e ) dedsôs¿
a
0s valores médios dos ãngulos de espalhamento e
seus correspondentes cal cul ados com geometr i a pontua I ,encontram--s" tabelados em TA.4 . verifica-se da fîg. A4 que a díspersão
méa¡a em todos os casos não excede os 3o (três graus), isto é o
valor do ângulo de espalhamento real þara cada evento estará no
intervalo (g t l,50)
<e> (caiculacios por M. B. Gaspar)
51.1oe o,oo69,9o7g,go89 ,8ogg ,80
1 og,6oI 19,50
(g) (geometria pontuaì
5106oo700800e09
10001100I 19,50
TABE LA TA. 4Valores do ângulo de espalhamento considerando placa-fonte e detetortuais' e seus correspondentes valores médios calculados pelo programate Carlo (caZg). Note que o desvio não chega a 0,52
pon -Mon-
787
75.0 0 90.00 85.OO 90.00 95.00 t00.00 oo
788
oocc)
O)
oEotz
ar,
ocoo)
o)Þotz
N)o
ê=9Ooe=89,
Ø = 69,5o
Ø = 69,220
85.00 90.0 0
e = looo
$ = 99,78o
95.0 0 I 00,00
Ø = 78,5o
ø = 78,150
r05,0 0 r to.oo
(d)eo
(c)
ì
go
Fig. A4
727 763
at
ocooo)EOlz
t,o
o)
0)
c)tlOrt
t\)
9¡4.50 99.50
g = llOo
to..5O I09.50 ilt.50 11950
(e)eo 104.50 t09.50
. @ = ll9,Sg
e = ll9,l40
[a.50 il?.50
Ø=980ø = g2,o2o
l2.l.5O 129,50 go
Ø=88oØ = ao,g4oe = l09,ó30
Fi g. Aa
(t)
An6 5
Ax62
8e33
Br55a -
B155b -
Br56 . -'"8r57
Br59
ch6 7
Co66
-Co67 -
Di 47
Di68
Fe62
Fo30
F r35
Ga 54
Ga 79
Go48
Ha28
Ha59
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ilu6 5
0d77 .-
P al4
Sa67
Sc69
Sc73a -
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