Experimento

Guia do professor

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Análise de dAdos e probAbilidAde

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Governo FederalSecretaria de Educação a Distância

De quantas maneiras posso passar meu cadarço?

Objetivo da unidadeFazer uma abordagem diferenciada sobre um problema de combinatória.

Guia do professor

SinopseNeste experimento, será enunciado um problema de combinatória que trata do número de maneiras de passar o cadarço em um tênis, obedecendo a certas regras. Os alunos deverão, então, em uma primeira etapa, tentar fazer alguns esboços de passadas de cadarço que satis façam todas as regras, para ajudá-los a entender o problema de fato e, só então, deverão pensar em uma maneira de descobrir quantas possibilidades de passadas exis-tem. Na segunda etapa, uma das regras será removida, fazendo aumentar o número de maneiras possíveis, e os alunos deverão tentar calculá-las também. No fechAmento, poderá ser promovida uma discussão sobre as generalizações dos problemas das etapas anteriores e, por fim, o que aconteceria com o número de possibilidades de passadas de cadarço caso qualquer outra regra fosse removida, confi gurando uma maneira diferen-ciada para o trata mento de um problema de combinatória.

ConteúdosCombinatória: Técnicas de Contagem.

ObjetivosFazer uma abordagem diferenciada sobre um problema de combinatória.

DuraçãoUma aula simples.

Material relacionadoExperimento: Como economizar cadarço; Combinação com o Táxi; �

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De quantas maneiras posso passar meu cadarço?

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O experimento

Comentários iniciais

É provável que alguns alunos queiram variar seus próprios cadarços, o que pode tomar muito tempo. Sugira a eles que testem no máximo uma variação antes do experimento propriamente dito e desafie-os a utilizarem uma das variações estudadas depois de concluída a atividade. Consideramos que os furos nos sapatos ou botas vêm aos pares e que há uma quantidade n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! de furos em uma aba e uma quantidade n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! de furos na outra aba. As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! pares de furos são as seguintes:o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical; �

o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �

se ele o faz por cima ou por baixo;o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �

diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada. �

Qual é o número total de possibilidades que se tem para passar o cadarço na bota, obedecendo às regras acima?

Etapa 1 Quantos furos tem o seu tênis?

A proposta nesta etapa é experimentar o caso de cinco pares de furos. Podemos representar este caso como na figura 1. Os furos de baixo já estão conectados e os furos de cima são as saídas por imposição das regras. Assim, temos três furos de cada lado para fazer as variações, que neste caso são permutações, e a imposição de simetria entre as duas abas implica que a escolha da sequência de furos em uma aba vincula a sequência de furos em outra aba. Desta forma, vamos encontrar o fatorial de três possibilidades.

Introdução

Este experimento trata das possibilidades de passar um cadarço. O principal objetivo da amarração de um cadarço é aproximar as duas abas do sapato, bota, vestido, tecido cortado em cirurgia ou acidente etc. A maioria de nós e dos alunos do Ensino Médio usam um ou dois tipos de tracejado do cadarço: um zigue-zague com cruzamentos e um estilo reto. Mas há várias outras formas de passar o cadarço, e este experimento usa este mote para tratar de permutação, contagem e principalmente da abstração e do método de imaginar outras maneiras de passar o cadarço.

Motivação

Os adolescentes e jovens em geral gostam de variações nos seus modos de se apresentar, quer seja no comportamento, quer seja no vestuário, na forma de cabelo, nos adornos etc. Desta forma, ao colocar a pergunta sobre quantas maneiras eles podem passar o cadarço no tênis, sapato ou bota, é bem provável que fiquem estimulados a tentar variações dos modos clássicos de passar o cadarço.

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Observe que fechamos o circuito por simplicidade. Para facilitar a comparação, indicamos as permutações de 1−2−3, considerando os furos disponíveis e contando os pares de furos. Assim, por exemplo, o caso 1−2−3 mostra a passagem do cadarço após os dois furos de baixo para o primeiro furo imediatamente acima, passa para o segundo furo do outro lado, volta para o lado para o terceiro furo e vai para o furo do amarramento. Por simetria, a outra parte do cadarço tem a sequência determinada da mesma forma.

As seis possibilidades para o caso de cinco pares de furosA seguir apresentamos as seis possibilidades.

fig. 1 Representação da configuração inicial para 5 pares de furos

1 – 2 – 3

1 – 3 – 2

3 – 2 – 1

2 – 1 – 3

3 – 1 – 2

2 – 3 – 1

fig. 2

fig. 3

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Mesmo não sendo de utilidade prática, o problema é interessante, pois é acessível para os alunos de Ensino Médio e permite algumas abstrações interessantes. Vale observar que as maneiras exibidas a seguir devem ser consideradas iguais, isto é, devemos levar em conta apenas a ordem na qual o cadarço passa pelos furos, não o contorno do cadarço.

O procedimento de contagem é similar ao feito na EtApA 1. Conside rando a confi guração inicial da figUrA 1 e partindo de um dos lados do furo infe-rior, temos:2×3 2×2 24×3! = 96 2n−1× (n−2)! 2× (n−2)×2× (n−3)×2× (n−4)× . . .×2×1×21. opções para o segundo furo;

2×3 2×2 24×3! = 96 2n−1× (n−2)! 2× (n−2)×2× (n−3)×2× (n−4)× . . .×2×1×22. opções para o terceiro furo;duas opções para o quarto furo; e3. mais duas opções para chegar ao furo da amarração, no topo.4. Para manter a simetria, o outro lado deve seguir os furos simétricos. Assim, neste caso, temos: 2×3 2×2 24×3! = 96 2n−1× (n−2)! 2× (n−2)×2× (n−3)×2× (n−4)× . . .×2×1×2. Podemos mostrar, por construção, que a generalização para o caso de n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! pares de furos é 2×3 2×2 24×3! = 96 2n−1× (n−2)! 2× (n−2)×2× (n−3)×2× (n−4)× . . .×2×1×2.

Etapa 2 Resolução de um problema da oBM

O problema da obm (Olimpíada Brasileira de Matemática) tem as seguintes regras:o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical; �

o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �

se ele o faz por cima ou por baixo;o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �

diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos.

Qual é o número total de possibilidades para se amarrar o cadarço de um tênis com 5 furos, obede cendo às regras acima?

A solução deste problema é mais elaborada do que a do problema da EtApA 1, mas devemos enfatizar o procedimento sistemático da contagem das possibilidades, não tanto a solução, pois algumas possibilidades permi-tidas pelas regras deixam um ou mais furos sem o papel de amarração, como nos casos abaixo.

fig. 4

fig. 5

O problema

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Em outras palavras, vamos usar as seguintes regras:

As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! pares de furos serão as seguintes:o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente �

se ele o faz por cima ou por baixo;o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar �

diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada. �

Com essas regras, partindo de um dos lados da parte inferior do cadarço, há n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! furos para escolher. Em seguida, há n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! furos, mas, como devemos mudar de lado, então há na realidade n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)! furos à disposição, e assim sucessivamente. Temos, então:

n 2n−2 2n−3 2n−4 2n−1× (n−1)!

A dica para demonstrar o resultado acima é fazer a contagem a partir do furo inferior e lembrar que o último furo deve ser o furo do topo:

2×3 2×2 24×3! = 96 2n−1× (n−2)! 2× (n−2)×2× (n−3)×2× (n−4)× . . .×2×1×2.

Proposta de fechamento

O fechamento consiste na confirmação das contagens feitas pelos alunos. Para as EtApAs 1 e 2, os alunos devem tomar cuidado para respeitar a simetria.

Variações

A principal variação desta atividade é eliminar a regra da simetria. Por exemplo, as ilustrações abaixo não têm a simetria entre um lado e outro:

fig. 6

fig. 7

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Bibliografia

Olimpíada Brasileira de Matemática de 2001, nível 2 problema 6.

StewArt, Ian; Mania de Matemática – 2. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.

MorgAdo, Augusto et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: sbm, 2008

Fieggen, Ian. Ian's Shoelace Site. Disponível em <http://www.fieggen.com/shoelace/>. Acesso em: 29 de agosto de 2010.

Polster, Burkard. The Shoelace Book: A Mathematical Guide to the Best (And Worst) Ways to Lace Your Shoes, American Mathematical Society (June 3, 2006) .

Ficha técnica

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira da CostaVice-Reitor e Pró-Reitor de Pós-GraduaçãoEdgar Salvadori De Decca

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Governo FederalSecretaria de Educação a Distância

AutorSamuel Rocha de Oliveira

RevisoresMatemáticaLaura Letícia Ramos RifoLíngua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira