DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua

TRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIER

Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos

Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos

Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos

Função resposta em frequência e resposta impulsional

Funçao resposta em frequência e equação diferencial



thTF

Motivação

tjetx th ?ty

SLIT

tjj

tj

edeh

deh

dtxh

txthty

jH

tjtj ejHtyetx

dtetxjX tj

dejXtx tj

2

1

Particularização da transformada de Laplace ao eixo imaginário do plano s

Espectro de frequência



Definição

dtetxjXtx tj

Exponencial direitaExponencial direita

0;1 tuetx t

1

tx

t0

1lim

1

0

01

tj

t

tj

tjtjt

ejj

e

dtedtetuejX

0 para

0

jtue t

10;1

AlternativaAlternativa

s

stue t Re;

1TL 1

RCj 0

jsXjX

js

1



Espectro de frequência da exponencial realEspectro de frequência da exponencial real

jtue t

10;1

22

11

jjX

arctanargarg jjX



Definição

dejXtxjX tj

2

1

1

jX

11

jXarg

1

2

1

2

jXjejXjX arg

deejXtx tjjXj

arg

2

1

deedee tjjtjj 1

0

20

1

2

2

1

jj

dede

j tjtj 1

0

0

12

1

0

0

12 jt

e

jt

ej tjtj

11

2

1 jtjt ee

t tcos2

1cos1

tt

tx



Condições de Dirichlet

Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier:

1. é absolutamente integrável, i.e., tx

dttx

2. possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito.

tx

Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que

dttxdttx

T

TT

222

2limE

mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que

dttx

TP

T

TT

22

2

1lim



sinal de potência média finitasinal de potência média finita

2

12cos2sin

2

1lim

2

cossin

2

1limsin

1lim

0

00

2

20

002

2

2

0

TTT

T

ttt

Tdtt

TP

T

T

TT

T

TT

sinal de potência sinal de potência média finitamédia finita

sinal de energia infinitasinal de energia infinita

2

1

2

1lim

1lim

2

2

2

1

T

Tdttu

TP

T

T

TT

sinal de energia finitasinal de energia finita

Exemplos

1.1. tuetx t1

2

1

20

2

0

22

1

ttt edtedttueE

2.2. tutx 1

2lim1limlim

2

0

2

2

2

1

TdtdttuE

T

T

T

T

TT

3.3. ttx 0sin



jX

0 0

jX2

Sinais periódicos

Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ? tx 02 jX

tjtjtj ededejXtx 002

2

1

2

1

Ex. 1Ex. 1 2TF1 0 tjejXttx

00

000 222

1

2TFcosTF

00

tjtj eetEx. 2Ex. 2



Sinais periódicos

k

tjkkeatx 0

Combinação linear de exponenciais complexas de período 02 kTk

é periódico com período

0

0

2mmc

kTT

tx

e, portanto, com frequência fundamental 0

k

k kajX 02

TF

Série de Fourier do sinal periódico tx

Coeficientes da série de Fourier:

dtetxT

atjk

Tk

0

00

1



2a3a 3a2a

tjtjtjtj eej

ej

e 3223

2

1

2

1

2

1

2

1

Série de Fourier

k

tjkkeatx 0 dtetx

Ta

tjk

Tk

0

00

1

Ex. 1Ex. 1 tttx 3cos2sin

210 3

20

),mdc(21 000

22

3322 tjtjtjtj ee

j

ee

3,2;0

3;2

1

2;2

1

2;2

1

k

k

kj

kj

ak2 k

ka21

4 0 2 4

2 k

kaarg2

4 02

4

2



Série de Fourier

k

tjkkeatx 0 dtetx

Ta

tjk

Tk

0

00

1

Ex. 2Ex. 2 Onda quadradaOnda quadrada

dteT

aT

T

tjkk

1

1

0

0

1 1

1

0

00

1T

T

tjk

jk

e

T

0

02

1 1010

Tjk

ee

T

TjkTjk

2

sin2 10

jk

Tkj

k

tjkk e

k

Tktx

k

Tka 01010 sinsin



40

1

TT

Série de Fourier vs.Transformada de Fourier

k

k kajX 02 Ex. 2Ex. 2 Onda quadrada (cont.)Onda quadrada (cont.)

k

tjkek

Tktx 010sin

k

kk

TkjX 0

10sin2



Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P1. LinearidadeP1. Linearidade jbXjaXtbxtax 21

TF

21

kbXkaXtbxtax 21

SF,

21

0

Ex.Ex. tttx 3cos2sin

2

2sin22

1 j

eettx

tjtj

2;0

2;21

2;21

1

k

kj

kj

kX

2

3cos33

2

tjtj eettx

3;0

3;212 k

kkX

2 k

ka21

4 0 2 4

2 k

kaarg2

4 02

4

2

0




P2. Translação no TempoP2. Translação no Tempo jXettx tj 0

TF

0

kXettx tjk 000SF,

0

Ex.Ex.

2

1sin tty

ttx sin 0

1;0

1;21

1;21

k

kj

kj

kX

tj

j

tj

jtjtj

ej

ee

j

e

j

ee

222

222

1

2

1

1;0

1;2

1;22

2

k

kje

kje

kY j

j

0

kXekYtxty jk 20

2

1




P3. Translação na FrequênciaP3. Translação na Frequência 0

TF0 jXtxe tj

0

SF, 000 kkXtxe tjk

Ex.Ex.

tety tj sin5

ttx sin 0

1;0

1;21

1;21

k

kj

kj

kX

tjtjtjtj

tj ej

ejj

eee

465

2

1

2

1

2

6,4;0

4;21

6;21

k

kj

kj

kY

0

50

5

kXkYtxety tj




P4. Mudança de EscalaP4. Mudança de Escala

a

jX

aatx

1TF

0,0SF,

akXatxa

Ex.Ex.

ttx sin x0

1;0

1;21

1;21

k

kj

kj

kX

tty 2sin 20 y

1;0

1;21

1;21

k

kj

kj

kY

kXkYtxtyxy

00 2

2




P5. ConvoluçãoP5. Convolução jXjXtxtx 21

TF

21

0

0210

SF,

21

2,

0

TkXkXTtxtx

0

2121 Tdtxxtxtx Convolução circular:

Ex.Ex.

tx1 periódico com período 310 T

tx2

t02

3 32

9 62

33

1

62

9

23

20 T

3

2,3),mmc( 0000 21

TTT

23

23

11

2

1 1

txtx

dttx txtx 21

2

1

3

2

2 233

1dtettkXtjk

jke 13

1

jkekXkXkXT 11210




P6. Diferenciação no TempoP6. Diferenciação no Tempo jXjdt

tdx TF

kXjkdt

tdx0

SF, 0

Ex.Ex.

ttx sin 10

1;0

1;21

1;21

k

kj

kj

kX

tty cos 10

1;0

1;21

k

kkY

kjkXkYdt

tdxty

10




P7. Diferenciação na FrequênciaP7. Diferenciação na Frequência

d

jdXjttx

TF

P8. Integração no TempoP8. Integração no Tempo

0

1TF

jXjXj

dxt

jjU

11

TFEx.Ex.

t

dtu 1

1

t

1TF

t

21

t21

21

t




P9. SimetriaP9. Simetria Se tx é uma função real, então

jXjX *TF: kXkX *SF:

jXjX * jX jXjX argarg * jXarg

tuetx t1

Espectro de frequência de




P9. ModulaçãoP9. Modulação

jPjSjRtptstr

2

1TF

kPkSkRtptstr 0SF,

Ex.Ex. tjets 2

tjetp 3 tjtj eetptstr 32

210 3

20

3,2mdc0 22;0

2;1

kk

kkS

33;0

3;1

kk

kkP

532

kkkR

tjetr 5




P10. DualidadeP10. Dualidade jXtx

TFSe

então xjtX 2TF

Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência

Pares sinal/transformada:

21

1TF

TF

t




P10. DualidadeP10. Dualidade



Exemplos

Ex. 1Ex. 1

tT T

tx1

TtuTtu 11

jeejUejUejX TjTjTjTj 1

11

jjUtu

11

TF

1

Tabela:Tabela:

Tj sin2

Tj

T

jTj sin2

sin21sin2

0

T

jXsin2

Linearidade + Translação no Tempo



Exemplos

Ex. 2Ex. 2

tuttx 10cos tuetue tjtj11

00

2

1

2

1

Linearidade + Translação na Frequência

jjUtu

11

TF

1

Tabela:Tabela:

0101 2

1

2

1 jUjUjX

0

00

0

1

2

11

2

1

jj

0000 2

11

2

1

jj

002

02 2

j

j



Exemplos

Ex. 3Ex. 3 ty

t32

1

01234 1

sin(t) f(t)

tfej

tfej

tftty tjtj 2

1

2

1sin

00 2Tperiódico: ty

Linearidade +

Translação na Frequência

12

1)1(

2

1 kF

jkF

jkY

t2

3

2

1

1 tx

2

12

5

2

72

92

3

2

5

k

kkX

2sin

,0

2

1txtf Translação no Tempo

k

kekXekF

jkjk

2

sin22



2

22

jk

jjk

je

ee

2

22

jk

jjk

je

ee

Exemplos

Ex. 3 (cont.)Ex. 3 (cont.) ty

t32

1

01234 1

sin(t) f(t) 12

1)1(

2

1 kF

jkF

jkY

k

kekXekF

jkjk

2

sin22

00 2Tperiódico: ty

12

1sin

12

1sin

2

11

2

1)1(

2

1 21

21

k

ke

k

ke

jkF

jkF

jkY

kjkj

12

1sin

12

1sin

2

1, 2

0 k

k

k

kekY

kj



Resposta Impulsional Resposta em Frequência

txthty tx th jXjHjY jX jH

jHthTF

jX

c2c2

2

Espectro do sinal de entrada

Ex.Ex.

jH

cc

1

Filtro passa-baixo ideal

jY

cc

2

Espectro do sinal de saída



SLITs em série – propriedade da convoluçãoSLITs em série – propriedade da convolução


ty tx th2 th1 thth 21 tx ty

jX jH1 jH 2

jY jHjH 21

jX jY




SLITs em paralelo– propriedade da linearidadeSLITs em paralelo– propriedade da linearidade

thth 21 tx ty ty tx

th2

th1

jH1

jH 2

jX jY jHjH 21 jX jY



Resposta em Frequência RealimentaçãoRealimentação

Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples;

Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato. jZ

jE jX jY jH1

jH 2

jYjHjZ 2

jYjHjXjZjXjE 2

jYjHjXjHjEjHjY 211

jXjHjYjHjH 1211

jHjH

jH

jX

jYjH

21

1

1



Equação Diferencial Resposta em Frequência

tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

TFTF

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

TFTFLinearidade

Diferenciação no tempo jXjbjYja kM

kk

N

k

kk

00

jXjbjYja kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

ja

jb

jX

jYjH

0

0



Modulação de Amplitude

ttxty 0cos

t0cos

tx

Sistema linear mas variante no tempo

jX1

txetxety tjtj 00

2

1

2

1 002

1 jXjXjY

jY

21

00



Multiplexagem na Frequência ty1

t5cos

tx1

t15cos

ty2

ty

tx2

jY1

21

55

jY21

5515 15

jY2

21

5515 15

jX11

jX 2

1

2 222



tw

t5cos

ty jH tz

Multiplexagem na Frequência

jY21

5515 15

jH2

2 2

2

2 2

jX11

22

tx1

jW

21

1020 10 20

52

1jY 5

2

1jY

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