DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos

LEEC

TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contnuos no peridicos

Transformada e srie de Fourier de sinais contnuos peridicos

Propriedades da transformada e da srie de Fourier de sinais contnuos

Funo resposta em frequncia e resposta impulsional

Funao resposta em frequncia e equao diferencialDEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Motivao

SLIT

Particularizao da transformada de Laplace ao eixo imaginrio do plano

Espectro de frequncia DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaDefinio

Exponencial direita

para

Alternativa

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaEspectro de frequncia da exponencial real

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaDefinio

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaCondies de DirichletCondies suficientes para a existncia de transformada de Fourier:1. absolutamente integrvel, i.e.,

possui um n finito de mximos e mnimos e um n finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito.

Estas condies incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que

mas no os de potncia mdia finita, i.e, sinais tais que

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnuasinal de potncia mdia finita

sinal de potncia mdia finitasinal de energia infinita

sinal de energia finitaExemplos1.

2.

3.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Sinais peridicosQual o sinal cuja transformada de Fourier ?

Ex. 1

Ex. 2DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaSinais peridicos

Combinao linear de exponenciais complexas de perodo

peridico com perodo

e, portanto, com frequncia fundamental

TFSrie de Fourier do sinal peridico

Coeficientes da srie de Fourier:

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Srie de Fourier

Ex. 1

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaSrie de Fourier vs.Transformada de Fourier

Ex. 1(cont.)

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaSrie de Fourier

Ex. 2Onda quadrada

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Srie de Fourier vs.Transformada de Fourier

Ex. 2Onda quadrada (cont.)

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Srie de Fourier

Ex. 3

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnuasrie geomtricaSrie de Fourier

Ex. 4

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP1. Linearidade

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP2. Translao no Tempo

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP3. Translao na Frequncia

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP4. Mudana de Escala

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP5. Convoluo

Convoluo circular: Ex.

peridico com perodo

Propriedade da convoluoPropriedades da linearidade e da translao no tempoDEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP6. Diferenciao no Tempo

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP7. Diferenciao na Frequncia

P8. Integrao no Tempo

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP9. SimetriaSe

uma funo real, ento

TF:

SF:

Espectro de frequncia de DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Propriedades da Transformada e da Srie de FourierP9. Modulao

Ex.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaPropriedades da Transformada e da Srie de FourierP10. Dualidade

Seento

Propriedades: Translao no Tempo vs. Translao na Frequncia Convoluo vs. Modulao Diferenciao no Tempo vs. Diferenciao na FrequnciaPares sinal no tempo/transformada:

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Propriedades da Transformada e da Srie de FourierP10. DualidadeDEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaExemplosEx. 1: Transformada de Fourier

Tabela:

Linearidade + Translao no TempoDEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaExemplosEx. 2: Transformada de Fourier

Linearidade + Translao na Frequncia

Tabela:

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaExemplosEx. 3: Srie de Fourier

sin(p t)f(t)

peridico:

Linearidade + Translao na Frequncia

Translao no Tempo

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

ExemplosEx. 3: Srie de Fourier (cont.)

sin(p t)f(t)

peridico:

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaResposta Impulsional Resposta em Frequncia

Espectro do sinal de entradaEx 1.

Filtro passa-baixo ideal

Espectro do sinal de sadaA resposta em frequncia de um SLIT estvel corresponde particularizao da funo de transferncia sobre o eixo imaginrio do plano complexo.DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaResposta no Tempo

Exemplo

Tabela

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaSLITs em srie propriedade da convoluoResposta Impulsional Resposta em Frequncia

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaResposta Impulsional Resposta em FrequnciaSLITs em paralelo propriedade da linearidade

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaResposta em FrequnciaRealimentaoAnalisar o SLIT no domnio do tempo no simples;Obter a resposta em frequncia do do sistema imediato.

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaResposta em FrequnciaExemplo

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaEquao Diferencial Resposta em Frequncia

SLIT

LinearidadeDiferenciao no tempo

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaEquao DiferencialExemplo

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaModulao de Amplitude

Sistema linear mas variante no tempo

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier ContnuaMultiplexagem na Frequncia

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua

Multiplexagem na Frequncia

DEEC/ ISTIsabel LourtieSistemas e SinaisTransformada de Fourier Contnua