DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Contínua

TRANSFORMADA DE FOURIER

Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos

Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos

Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos

Função resposta em frequência e resposta impulsional

Funçao resposta em frequência e equação diferencial



thTF

Motivação

tjetx th ?ty

SLIT

tjj

tj

edeh

deh

dtxhtxthty

jH

tjtj ejHtyetx

dtetxjX tj

dejXtx tj

21

Particularização da transformada de Laplace ao eixo imaginário do plano s

Espectro de frequência



Definição

dtetxjXtx tj

Exponencial direita

0;1 tuetx t

1

tx

t0

1lim1

0

01

tj

t

tj

tjtjt

ejj

e

dtedtetuejX

0 para0

jtue t

10;1

Alternativa

s

stue t Re;1TL 1

RCj 0

jsXjX

js

1



Espectro de frequência da exponencial real

jtue t

10;1

22

11

jjX

arctanargarg jjX



Definição

dejXtxjX tj

21

1

jX

11

jXarg

1

2

1

2

jXjejXjX arg

deejXtx tjjXj

arg

21

deedee tjjtjj 1

02

0

12

21

jj

dedej tjtj 1

0

0

12

1

0

0

12 jte

jtej tjtj

11

21

jtjt eet

tcos2

1cos1 t

ttx



Condições de Dirichlet

Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier:

1. é absolutamente integrável, i.e., tx

dttx

2. possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito.

tx

Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que

dttxdttx

T

TT

222

2limE

mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que

dttx

TP

T

TT

22

2

1lim



sinal de potência média finita

212cos2sin

21lim

2cossin

21limsin1lim

0

00

2

20

002

2

20

TTTT

tttT

dttT

P

T

T

TT

T

TT

sinal de potência média finita

sinal de energia infinita

21

21lim1lim

2

2

21

T

Tdttu

TP

T

T

TT

sinal de energia finita

Exemplos

1. tuetx t1

21

2 0

2

0

22

1

ttt edtedttueE

2. tutx 1

2lim1limlim

2

0

2

2

21

TdtdttuET

T

T

T

TT

3. ttx 0sin



jX

0 0

jX2

Sinais periódicos

Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ? tx 02 jX

tjtjtj ededejXtx 002

21

21

Ex. 1 2TF1 0 tjejXttx

00

000 2221

2TFcosTF

00

tjtj eetEx. 2



Sinais periódicos

k

tjkkeatx 0

Combinação linear de exponenciais complexas de período 02 kTk

é periódico com período

0

02mmc

kTT

tx

e, portanto, com frequência fundamental 0

k

k kajX 02

TF

Série de Fourier do sinal periódico tx

Coeficientes da série de Fourier:

dtetxT

atjk

Tk0

00

1



2a3a 3a2a

tjtjtjtj eej

ej

e 3223

21

21

21

21

Série de Fourier

k

tjkkeatx 0 dtetx

Ta

tjk

Tk0

00

1

Ex. 1 tttx 3cos2sin

210 3

20

),mdc(21 000

22

3322 tjtjtjtj eejee

3,2;0

3;21

2;21

2;21

k

k

kj

kj

ak2 k

ka21

4 0 2 4

2 k

kaarg2

4 02

4

2



Série de Fourier vs.Transformada de Fourier

k

k kajX 02 Ex. 1 (cont.)

3,2;0

3;21

2;21

2;21

k

k

kj

kj

ak

0

3322

3213

212

212

212

jj

jjjX

jX

j

23 32

j



Série de Fourier

k

tjkkeatx 0 dtetx

Ta

tjk

Tk0

00

1

Ex. 2 Onda quadrada

dteT

aT

T

tjkk

1

1

0

0

1 1

1

0

00

1T

T

tjk

jke

T

0

02

1 1010

Tjk

eeT

TjkTjk

2

sin2 10

jkTkj

k

tjkk e

kTktx

kTka 01010 sinsin



40

1TT

Série de Fourier vs.Transformada de Fourier

k

k kajX 02 Ex. 2 Onda quadrada (cont.)

k

tjkek

Tktx 010sin

k

kk

TkjX 010sin2



1k 1k 3k 3k

Série de Fourier

3311 kkkjkjak

Ex. 3

30

k

tjkkeatx 0

kkkjkj

outros;03;11;

1;

tjtjtjtj eejejetx 9933 11

tt

ttjj

eeeej tjtjtjtj

9cos23sin2

9cos23sin2

9933



série geométrica

Série de Fourier

1;21

0

k

kaEx. 4

k

tjkkeatx 0

k

tjkk

etx21 tjk

k

ktjk

k

k

ee

1

1

211

21 tjk

k

ktj ee

11 211

21

11 211

21

k

ktjtj ee

jt

jt

jt

jt

ee

ee

211

1211

211

121

tt

ee

eejtjt

jtjt

cos45

cos21211

211

211

1211



Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P1. Linearidade jbXjaXtbxtax 21

TF

21

kbXkaXtbxtax 21

SF,

21

0

Ex. tttx 3cos2sin

2

2sin22

1 jeettx

tjtj

2;02;21

2;21

1

kkjkj

kX

2

3cos33

2

tjtj eettx

3;03;21

2 kk

kX

2 k

ka21

4 0 2 4

2 k

kaarg2

4 02

4

2

0




P2. Translação no Tempo jXettx tj 0TF

0

kXettx tjk 000SF,

0

Ex.

21sin tty

ttx sin 0

1;01;21

1;21

kkjkj

kX

tj

j

tj

jtjtj

ejee

je

jee

222

2221

21

1;01;2

1;22

2

kkjekje

kY j

j

0

kXekYtxty jk 20

21




P3. Translação na Frequência 0

TF0 jXtxe tj

0

SF, 000 kkXtxe tjk

Ex.

tety tj sin5

ttx sin 0

1;01;21

1;21

kkjkj

kX

tjtjtjtj

tj ej

ejj

eee

465

21

21

2

6,4;0

4;216;21

kkjkj

kY

0

50

5

kXkYtxety tj




P4. Mudança de Escala

ajX

aatx 1TF

0,0SF,

akXatxa

Ex.

ttx sin x0

1;01;21

1;21

kkjkj

kX

tty 2sin 20 y

1;01;21

1;21

kkjkj

kY

kXkYtxtyxy

00 2

2




P5. Convolução jXjXtxtx 21

TF

21

0

0210

SF,

212,

0

TkXkXTtxtx

0

2121 Tdtxxtxtx Convolução circular: Ex.

tx1 periódico com período 310 T

tx2

t023 3

29 6

23

3

1

629

23

20 T

32,3),mmc( 0000 21

TTT

2323 11

2

1 1 txtxdttx txtx 21

2

13

2

2 2331 dtettkX

tjk

jke 131

jkekXkXkXT 11210

Propriedade da convolução

Propriedades da linearidade e da translação no tempo




P6. Diferenciação no Tempo jXjdttdx TF

kXjkdttdx

0

SF, 0

Ex.

ttx sin 10

1;01;21

1;21

kkjkj

kX

tty cos 10

1;01;21

kk

kY

kjkXkYdttdxty

10




P7. Diferenciação na Frequência

djdXjttx

TF

P8. Integração no Tempo

01TF

jXjXj

dxt

jjU 1

1

TFEx.

t

dtu 1

1

t

1TFt

21

t21

21

t




P9. Simetria Se tx é uma função real, então

jXjX *TF: kXkX *SF:

jXjX * jX jXjX argarg * jXarg

tuetx t1

Espectro de frequência de



522

kkPkP

kPSkR


P9. Modulação

jPjSjRtptstr

21TF

kPkSkRtptstr 0SF,

Ex. tjets 2

tjetp 3 tjtj eetptstr 32

210 3

20

3,2mdc0 22;02;1

kkk

kS

33;03;1

kkk

kP

tjetr 5




P10. Dualidade jXtx

TFSe

então xjtX 2TF

Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência

Pares sinal no tempo/transformada:

21

1TF

TF

t




P10. Dualidade



Exemplos

Ex. 1: Transformada de Fourier

tT T

tx1

TtuTtu 11

jeejUejUejX TjTjTjTj 1

11

jjUtu 1

1

TF

1

Tabela:

Tj sin2

TjT

jTj sin2sin21sin2

0

TjX sin2

Linearidade + Translação no Tempo



Exemplos

Ex. 2: Transformada de Fourier

tuttx 10cos tuetue tjtj11

00

21

21

Linearidade + Translação na Frequência

jjUtu 1

1

TF

1

Tabela:

0101 21

21 jUjUjX

0

00

0

1211

21

jj

0000 2

1121

jj

002

02 2

jj



Exemplos

Ex. 3: Série de Fourier ty

t32

1

01234 1

sin( t) f(t)

tfej

tfej

tftty tjtj 2

12

1sin

00 2Tperiódico: ty

Linearidade +

Translação na Frequência

12

1)1(2

1 kF

jkF

jkY

t23

21

1 tx

21

25

27

29

23

25

k

kkX

2sin

,0

21txtf Translação no Tempo

k

kekXekF

jkjk

2

sin22



2

22

jk

jjk

je

ee

2

22

jk

jjk

je

ee

Exemplos

Ex. 3: Série de Fourier (cont.) ty

t32

1

01234 1

sin( t) f(t) 12

1)1(2

1 kF

jkF

jkY

k

kekXekF

jkjk

2

sin22

00 2Tperiódico: ty

12

1sin

12

1sin

211

21)1(

21 2

12

1

k

ke

k

ke

jkF

jkF

jkY

kjkj

12

1sin

12

1sin

21, 2

0 k

k

k

kekY

kj



Resposta Impulsional Resposta em Frequência

txthty tx th jXjHjY jX jH

jHthTF

jX

c2c2

2

Espectro do sinal de entrada

Ex 1.

jH

cc

1

Filtro passa-baixo ideal

jY

cc

2

Espectro do sinal de saída

A resposta em frequência de um SLIT estável corresponde à particularização da função de transferência sobre o eixo imaginário do plano complexo.



Resposta no Tempo

?ty tutx 1 jH

jjH

42

Exemplo

jtue

jtu

t

10Re,

1

1

1

Tabela

jjjY 1

42

jjj

421

42

24

2

jj

21;

21

024

44

442

BABAA

jjBAjA

jB

jA

jj

24

1211

21

jj

jj

41

211

21

tuetuty t1

41 2

121



SLITs em série – propriedade da convolução


ty tx th2 th1 thth 21 tx ty

jX jH1 jH 2 jY jHjH 21

jX jY




SLITs em paralelo– propriedade da linearidade

thth 21 tx ty ty tx

th2

th1

jH1

jH 2

jX jY jHjH 21 jX jY



Resposta em Frequência Realimentação

Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples;

Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato. jZ

jE jX jY jH1

jH 2

jYjHjZ 2

jYjHjXjZjXjE 2

jYjHjXjHjEjHjY 211

jXjHjYjHjH 1211

jHjHjH

jXjYjH

21

1

1



Resposta em Frequência Exemplo

jX jY jH1

jH 2

57

1;2

121

jjjH

jjH

57

12

11

21

jj

j

jjH

jHjHjH

jXjYjH

21

1

1

5161457

157257

2

jjj

jjjj

16514

572 j

jjH



Equação Diferencial Resposta em Frequência

tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

TFTF

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdtdbty

dtda

00

TFTFLinearidade

Diferenciação no tempo jXjbjYja kM

kk

N

k

kk

00

jXjbjYja kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

ja

jb

jXjYjH

0

0



Equação Diferencial Exemplo

51614

572

jjj

jXjYjH

16514

572 j

jjH

jXjjYjj 5751614 2

jXjXjjYjYjjYj 7514165 2

txdttdxty

dttdy

dttyd 7514165 2

2

txdttdxty

dttdy

dttyd

57

514

516

2

2



Modulação de Amplitude

ttxty 0cos

t0cos

tx

Sistema linear mas variante no tempo

jX1

txetxety tjtj 00

21

21 002

1 jXjXjY

jY

21

00



Multiplexagem na Frequência ty1

t5cos

tx1

t15cos

ty2

ty

tx2

jY1

21

55

jY21

5515 15

jY2

21

5515 15

jX11

jX 2

1

2 222



tw

t5cos

ty jH tz

Multiplexagem na Frequência

jY21

5515 15

jH2

2 2

2

2 2

jX1

1

22

tx1

jW

21

1020 10 20

521

jY 521

jY

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