DEFINIÇÕES E PARÂMETROS DE CIRCUITOSjorgef/disciplinas/circuitos_1/diversos/... · A Engenharia Elétrica emprega o Sistema de Unidades MKS racionalizado, no qual o metro é a

Prof. SILVI

DEFINIÇÕES E PARÂMETROS DE CIRCUITOS

O LO

CAPITULO 01

BO RODRIGUES

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

1.1 INTRODUÇÃO Destina-se o primeiro capítulo a fornecer os primeiros conceitos de “Circuitos” abordando inicialmente as unidades do sistema utilizado e as relações fundamentais de carga, corrente, voltagem, potência e energia nos circuitos resistivos. Ainda, neste capítulo serão apresentados os diversos tipos de fontes empregadas e alguns exemplos de aplicação, procurando salientar os aspectos teóricos mais importantes. 1.2 UNIDADES MECÂNICAS

Ao começar o estudo de circuitos devemos primeiramente definir as grandezas importantes e adotar um conjunto padrão de unidades, símbolos e abreviações. Grande parte deste material é uma revisão da Física básica, mas merece cuidadosa atenção porque constitui a “linguagem” na qual as idéias são apresentadas, os conceitos formados e as conclusões estabelecidas. A Engenharia Elétrica emprega o Sistema de Unidades MKS racionalizado, no qual o metro é a unidade de comprimento, o quilograma é a unidade de massa, o segundo é unidade de tempo, o Kelvin é a unidade de temperatura, o ampère é unidade de corrente e a candela é unidade de intensidade luminosa. Estas são as unidades básicas das quais podem ser derivadas todas as unidades utilizadas em circuitos. As tabelas 1.1 e 1.2 fornecem as grandezas básicas e derivadas.

GRANDEZA SÍMBOLO UNIDADE ABREVIAÇÃO

Comprimento

Massa

Tempo

Temperatura

Corrente

Intensidade Luminosa

l

m

t

τ

i

Ф

metro

quilograma

segundo

Kelvin

ampère

candela

m

kg

s

K

A

Cd

TABELA 1.1 Grandezas Básicas




TABELA 1.2 Grandezas Derivadas Importantes

1.3 LEI DE COULOMB “A força F entre duas cargas puntiformes q e q’ varia diretamente com a grandeza de cada carga e inversamente com a distância que as separam”.

GRANDEZA SÍMBOLO DEFINIÇÃO UNIDADE ABREVIATURA ALTERNATIVA Força Energia Potência Carga Corrente Tensão ou diferença de potencial Intensidade de campo elétrico Densidade de fluxo magnético Fluxo magnético

f

w ou W

p ou P

q ou Q i v ε

B Ф

tração ou compressão capacidade de produzir trabalho energia por unidade de tempo integral da corrente velocidade de fluxo de carga energia por unidade de carga força por unidade de carga força por unidade de quantidade de movimento da carga integral da densidade de fluxo magnético

newton

joule

watt

coulomb

ampère

volts

volts/metro

tesla

weber

N J

W

C

A

V

V/m

T

Wb

kg.m/s2

N.m

J/s

A.s

C/s

W/A

N/C

Wb/m2

T.m2




r

F + +

q q'

F --

q q'

F F

r

Cargas desiguais se atraem: Cargas iguais se repelem:

Figura 1.1 – Atração e repulsão entre cargas.

(1.1) k – constante de proporcionalidade para o vácuo ε0 – permissividade do vácuo A equação (1.1) para o vácuo passa a ser:

(1.2)

r

F

- +

q q'

041k

πεπεπεπε====

mF ou

NmC1085,8

6310

2

212

-9

0−−−−××××========

ππππεεεε

20 r

qq.4

1F′′′′

⋅⋅⋅⋅====πεπεπεπε

2rqq.kF

′′′′⋅⋅⋅⋅====

F + +

q q'

F --

q q'

F F

r r




Para um meio diferente do vácuo:

(1.3) onde εr=k permissividade relativa.

(1.4) Para o ar Para a água destilada Para o álcool A unidade de carga é o Coulomb cujo símbolo é a letra C. Os submúltiplos mais utilizados são: milicoulomb - mC = 10-3C microcoulomb - µC = 10-6C nanocoulumb - nC = 10-9C picocoulomb - pC = 10-12C A tabela 1.3 fornece os múltiplos e submúltiplos desde 10-18 à 1018 .

PREFIXO FATOR SÍMBOLO ato

fento pico nano micro mili centi deci deca hecto kilo

mega giga tera peta exa

10-18

10-15

10-12

10-9

10-6

10-3

10-2

10-1

10

102

103

106

109

1012

1015

1018

a f p n µ m c d da h k M G T P E

TABELA 1.3 Múltiplos e submúltiplos

00r k ou εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ========

2rqq.

41F

′′′′⋅⋅⋅⋅====

πεπεπεπε

0r εεεεεεεε ≈≈≈≈ 1,0006r ====εεεε

08r ====εεεε

25r ====εεεε




A carga de um elétron é igual à carga de um próton e seu valor é 1,602.10-19C sendo a carga do próton positiva e a do elétron negativa. 1.4 CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA Carga é propriedade das partículas atômicas que constituem a matéria, medida em Coulombs. Um deslocamento de cargas elétricas através de uma superfície constitui uma corrente elétrica. A intensidade de corrente através de uma superfície é dada por:

(1.5) dq soma das cargas que atravessam a superfície considerada. dt intervalo de tempo. A linha da figura 1.2a representa um condutor, enquanto que a seta de referência indica uma direção admitida como positiva para a corrente i1(t). A corrente é definida como positiva se as cargas positivas estiverem se movendo da direção da seta, ou se cargas negativas estiverem se movendo em direção contrária. A corrente é negativa se cargas positivas estiverem se movendo em direção oposta à da seta ou se cargas negativas se moverem na sua direção. Veja a corrente i2(t) da figura 1.2a . (a) (b)

Figura 1.2 – Correntes positivas e negativas.

(((( )))) AmpèressC

dtdqti ========

(((( ))))ti1

(((( ))))ti 2

1

-1

1 2 3 t

i1(t)

1

-1

1 2 3

i2(t)

t

+

+

+

+ +

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+ +




Uma corrente é uma função do tempo e, em geral, é positiva durante alguns períodos de tempo e negativa durante outros (figura 1.2b). Outra maneira de representarmos as correntes positivas e negativas é através das fontes de tensão ou corrente.

Figura 1.3 – Sentido convencional das correntes A corrente através de um condutor é medida por um Amperímetro. Para se medir a corrente em um ramo de um circuito coloca-se o Amperímetro em série com o circuito. Ver figura 1.4.

(Mede-se i3)

Figura 1.4 – Medição de corrente com o Amperímetro.

+

-

i

+

-

i

Correntes negativas

Correntes positivas

R1

R2 R3VA

i1

i2

i3

A

VA




A unidade de corrente é o ampère (A), que corresponde ao movimento de carga à razão de 1 C/s. Usa-se seguidamente alguns submúltiplos do ampère: mili ampère - mA = 10-3A micro ampère - µA = 10-6A nano ampere - nA = 10-9A pico ampere - pA = 10-12A

(1.6) Temos vários tipos de correntes, entre a contínua, alternada, exponencial, senoidal amortecida, etc.. Ver figura baixo. (a) (b)

(c) (d)

Figura 1.5 – Vários tipos de correntes: (a) corrente contínua ou c.c. ; (b) corrente senoidal ou c.a. ; (c) corrente exponencial; (d) corrente senoidal amortecida.

0

t

tq= i.dt∫∫∫∫

i

10

t

i

Im

t

i

Io

t

i

t

A10)t(i ====) t cos( . Im ) t ( i φφφφ ++++ ωωωω ====

) t cos( . e . Io ) t ( i t φφφφ ++++ ωωωω ==== αααα −−−−

t e . Io ) t ( i αααα −−−− ====




Definimos a seguir elemento de Circuito. Dispositivos elétricos tais como fusíveis, lâmpadas, resistores, baterias, capacitores e bobinas podem ser representados por uma combinação de elementos de circuitos muito simples. Começamos por mostrar um elemento de circuito bastante geral e vamos representá-los como um objeto sem forma definida, possuindo dois terminais através dos quais conexões com outros elementos podem ser feitos. (Ver figura 1.6).

Figura 1.6 – Elementos do circuito. Esta figura pode servir como definição de elemento de circuito. Há dois caminhos através dos quais a corrente pode entrar e sair do elemento. 1.5 DIFERENÇA DE POTENCIAL v OU VOLTAGEM A diferença de potencial v entre dois pontos é medido pelo trabalho necessário à transferência da carga unitária de um ponto a outro. O VOLT é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário 1 JOULE de energia para transferir uma carga unitária (1C) de um ponto a outro.

Podemos então definir a diferença de potencial como:

(1.8) Para medir a tensão usa-se o VOLTÍMETRO colocando em paralelo com os pontos entre os quais deseja-se obter a tensão.

A

B

1 JOULE 1 NEWTON.metro1 VOLT1 COULOMB 1 COULOMB

= == == == =

volts dqdw)t(v ====




Figura 1.7 – Medida de voltagem sobre R2 e R3. 1.6 POTÊNCIA A potência instantânea p(t) (medida em Watts) fornecida ou consumida por um bipolo (elemento com dois terminais) relaciona-se com a energia em jogo por:

(1.9)

Podemos então obter uma expressão para potência instantânea:

(1.10)

Dimensionalmente o lado direito desta equação é o produto de Joules por Coulomb e Coulomb por segundo, o que produz a dimensão Joules por segundo, ou Watts. Precisamos agora estabelecer a diferença entre potência fornecida e potência absorvida. A convenção determina que, se a seta indicativa do sentido da corrente e o sinal de polaridade de voltagem são colocados nos terminais do elemento, de tal modo que a corrente entra no terminal marcado com sinal positivo, o elemento está absorvendo potência, ou seja, a fonte está fornecendo potência ao elemento. Se a corrente sai pelo terminal positivo o elemento está fornecendo potência e a fonte absorvendo.

dtdw)t(p ====

dt).t(i).t(vdq).t(vdwdt).t(p ============

)t(i).t(v)t(p ====

R2

R1

R3

VA

V




Potência fornecidade pela fonte = Potência absorvida pelo elemento = 10W

Potência fornecida pela fonte = Potência absorvida pelo elemento = - 10W

Figura 1.8 – Potência fornecida e potência absorvida.

Quando a corrente e a voltagem são funções periódicas no tempo é conveniente definir uma potência média. ou ainda,

(1.11)

T = período em segundos.

2A

5V

+

-

5V2A

T

0

1P v(t).i(t)dt WattsT

==== ∫∫∫∫

T 2

-T 2

1P= v(t).i(t)dt WattsT ∫∫∫∫




R

-

+

v(t)

i(t)

A energia consumida ou fornecida a um certo bipolo durante um tempo t, é dada por:

(1.12) A energia é medida normalmente em kWh (kilowatt-hora) As medidas de potência são geralmente executadas por um WATTIMETRO. 1.7 ELEMENTOS DE CIRCUITOS Os elementos mais empregados no circuitos elétricos, para os quais daremos atenção especial, são os resistores, os indutores e os capacitores. Ao se fornecer energia elétrica a estes elementos, teremos uma das seguintes respostas: - A energia é consumida – Resistor; - A energia é armazenada num campo magnético – Indutor; - A energia é armazenada num campo elétrico – Capacitores; 1.8 LEI DE OHM

Figura 1.9 – Resistor linear. A lei de OHM estabelece a relação entre voltagem e corrente sobre um resistor linear.

(1.13) A resistência R é pois a constante de proporcionalidade entre a voltagem e a corrente sobre o resistor.

t t

0 0W = p(t).dt = v(t).i(t) Joules∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

J10x6,3kWh1 6====

(((( )))) (((( ))))ti.Rtv ====




R1G ====

Ao se traçar um gráfico de v x i temos uma reta que passa pela origem e R representa a inclinação ou coeficiente angular da reta. A unidade de resistência é o OHM e o símbolo utilizado é a letra ômega Ω. O inverso de resistência é denominado condutância e é dado por: ou S (siemens) A relação entre corrente e voltagem para condutância é dada por: (1.14) A potência consumida em um resistor pode ser determinada por: logo,

(1.15) 1.9 FONTES Além dos resistores, indutores e capacitores, os circuitos elétricos apresentam as fontes que geralmente são responsáveis pelo fornecimento da energia que ativa os mesmos. Existem vários tipos de fontes e recebem várias denominações que definiremos a seguir. 1.9.1 Fontes independentes São aquelas em que a voltagem é completamente independente da corrente ou a corrente independente da voltagem. Os símbolos utilizados podem ser observados na fig. 1.10.

Figura 1.10 – Fontes de tensão e corrente independentes.

)t(v.G)t(i ====

)t(i).t(i.R)t(i.v)t(p ========

22

2 )t(v.GR

)t(v)t(i.R)t(p ============

IV

VA




1.9.2 Fontes dependentes ou controladas. São as fontes onde a voltagem ou a corrente são funções da voltagem ou da corrente em algum outro ponto do circuito. A simbologia utilizada para estas fontes pode ser observada na figura 1.11.

Figura 1.11 – Fontes controladas. Como se observa as fontes controladas podem ser de voltagem ou corrente As fontes de voltagem podem ser controladas por voltagem (fig. 1.11(fig. 1.11b). Da mesma forma as fontes de corrente podem ser controladas por voltapor corrente (fig. 1.11d). 1.9.3 Fonte de voltagem ideal. É uma fonte que mantém a voltagem de saída constante qualquer que ssolicitada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita. Possui resistência interna nula.

Figura 1.12 – Fonte de voltagem ideal.

αvx αix βvx

(a) (b) (c)

Vs rs=0

βix

. a) ou por corrente gem (fig. 1.11c) ou

eja a corrente dela

(d)




rs+

-

1.9.4 Fonte de voltagem real. Possui resistência interna não nula (rs≠0) e fornece um nível de voltagem constante nos seus terminais para determinados limites de corrente. Logo, a quantidade de energia fornecida é limitada.

Figura 1.13 – Fonte de voltagem real. 1.9.5. Fonte de corrente ideal É uma fonte que mantém a corrente de saída em seus terminais independente da voltagem a ela aplicada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita. A sua resistência interna é infinita.

Figura 1.14 – Fonte de corrente ideal

-

+

vs

rs≠0

is

rs=∞

i

rs




rs

1.9.6. Fonte de corrente real É uma fonte com resistência interna não infinita (rs≠∞) que fornece uma corrente de saída constante para determinados níveis de tensão. Logo, fornece uma quantidade de energia limitada.

Figura 1.15 – Fonte de corrente real.

1.10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Uma bateria de 12V é carregada fornecendo-se uma corrente que entra em seu terminal

positivo e que, por 2 horas, é constante e igual a 3A, decrescendo, então, linearmente até zero, em 1hora. Admitindo que a voltagem da bateria seja constante:

a) Qual a carga total fornecida à bateria? b) Após quanto tempo a potência fornecida é de 24W? c) Durante o intervalo de 3 horas, qual a potência média fornecida à bateria? d) Qual a energia total fornecida à bateria?

Solução:

is

3

3600 7200 10800

3 2 1

i(t)

(s)

t(horas)

rs




a) Nas primeiras duas horas:

Após a 2ª hora:

Logo, b) Nas primeiras Para chegar a 24W a queda é de 12W t > após 2h e 20 min

C216003600x2x3t.iq ============′′′′

dt.9t3600

3dt.iq10800

7200

10800

7200 ∫∫∫∫∫∫∫∫

++++−−−−========′′′′′′′′

10800

7200

2

t97200

t3q

++++−−−−====′′′′′′′′

7200972007200

3108009108007200

3q 22 ××××−−−−××××++++××××++++××××−−−−====′′′′′′′′

7200972003108009108005,4q ××××−−−−××××++++××××++++××××−−−−====′′′′′′′′

C5400q ====′′′′′′′′

C27000qqq ====′′′′′′′′++++′′′′====

W36312Ph2 f ====××××====→→→→

36W

24W

7200 t 10800

t12

360036 ====

t 1200s 20min= == == == =

s840072001200t ====++++====




c) Pméd = 30W d) Em 3 horas : W= 324 kJ 2) Determine a potência absorvida em cada um dos elementos abaixo:

0,1A 12V

+

-

-0,4A

-8V +

- 1,2A + -

60V

0,3A -

24V

+ - 0,12A

+ -

-8e-10t A

12V

(a) (b) (c)

(d) (e)

100V

(f)

∫∫∫∫==== dt.v.iT1P

(((( )))) (((( ))))

++++−−−−++++××××==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ dt9t312dt312

31P

32

20

(((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] W30187231t108t1872

31P 3

22 ====++++====++++−−−−++++====

Wh90Pméd ====

WWh90J106,3kWh1 6

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−××××−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+




Solução: 3) Qual a potência média P em uma resistência pura de 10Ω onde circula uma corrente i(t)=14,14cos(ωt) A? Solução: O período de p(t) é T=π

4) A carga total que passou para a direita de um ponto A, de um certo condutor entre t=0 e t é identificada como:

a) Qual a quantidade de carga que flui pelo ponto A entre t=1ms e t=2ms? b) Qual a corrente para a direita de A em t=1ms? c) Agora suponha que a corrente dirigida à direita de A seja (((( ))))5000t 8000ti(t) 2 e e A− −− −− −− −= −= −= −= −

e determine a carga fluindo para a direita entre t=10µs e t=8µs. Solução: a) b)

(((( )))) We96e812P)fW1212,0100P)e

W2,73,024P)dW61,060P)c

W6,92,18P)bW8,44,012P)a

t10t10a

a

a

a

a

a

−−−−−−−− ====−−−−××××−−−−====

====××××========××××====

−−−−====××××−−−−========××××====

−−−−====××××−−−−====

(((( )))) (((( ))))tcos2000tcos20010i.R)t(i).t(v)t(p 222 ωωωω====ωωωω××××============

(((( )))) W1000dttcos20001P0

2 ====ωωωωππππ

==== ∫∫∫∫ππππ

(((( ))))mCt500cose100)t(q t200A

−−−−====

(((( ))))(((( ))))

mC64,35mC85,71mC21,36)ms1(q)ms2(qmC21,36mC1cose100)ms2(q

mC85,71mC5,0cose100)ms1(q

aA

102200A

10200A

3

3

−−−−====−−−−====−−−−========

========−−−−

−−−−

××××××××−−−−

××××−−−−

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] mA34mA7,14326,196100)ms1(imA5,0cose2005,0sen500e100)ms1(i

mAt500cose200t500sen500e100dtdq)t(i

2,02,0

t200t200

−−−−====−−−−−−−−====××××−−−−××××−−−−====

××××−−−−××××−−−−========

−−−−−−−−

−−−−−−−−




c) 5) Sendo e para o elemento de circuito abaixo, determine :

a) Qual a potência absorvida pelo elemento em t=10ms? b) Qual a energia liberada ao elemento no intervalo 0 ≤ t ≤ ∞?

Solução: a) b)

(((( ))))(((( ))))

[[[[ ]]]]

5

50

5

5

5000t 8000tA

t 8 10 5000t 8000t

t 10

8 105000t 8000t

10

i (t) 2 e e A

q(t) i(t)dt 2 e e dt

1 1q 2 e e5000 80000,67 0,527 0,951 0,923q 25000 8000 5000 8000

q 2 56,2 49,5 C 13,4 C

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

×××× − −− −− −− −

××××− −− −− −− −

= −= −= −= −

= = −= = −= = −= = −

= − += − += − += − + = − + + −= − + + −= − + + −= − + + −

= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ= − µ ≅ µ

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Ae4)t(i t50−−−−==== Ve3020)t(v t50−−−−−−−−====

+

- v(t) i(t)

(((( ))))W38,414,4452,48)01,0(p

e4e3020)01,0(p)t(i).t(v)t(p

01,05001,050

====−−−−====××××−−−−====

====××××−−−−××××−−−−

(((( ))))0

50t 100t

0

50t 100t

0

E p(t)dt

E 80e 120e dt

80 120E e e 1,6 1,2 0,4J50 100

∞∞∞∞

∞∞∞∞ − −− −− −− −

∞∞∞∞− −− −− −− −

====

= −= −= −= −

= − + = − == − + = − == − + = − == − + = − =

∫∫∫∫∫∫∫∫



Professor S

-+

6) Determine quais das cinco fontes na figura abaixo estão sendo carregadas (absorvendo potência) e mostre que a soma algébrica das cinco potências absorvidas é zero.

7)in

V 3A

-8A

20

ilvio Lobo Rodrigues

+

+

-

Solução:

A corrente i(t) mostrada abaixodicado a seguir. Onde v(t) sobre o

a) Qual a máxima potência fob) Qual a máxima potência fo

ocorre? c) Quanta energia é fornecidad) Qual a potência média abso

-5V

4A

1601513560Pa

W120815PaW60154Pa

W1553PaW135915Pa

W60320Pa

A8

A4

A3

V15

V20

−−−−−−−−−−−−++++====∑∑∑∑

−−−−====××××−−−−====−−−−====××××−−−−====

−−−−====××××−−−−========××××========××××====

15V

-

entra pelo terminal + do eleme elemento é

rnecida ao elemento para 0 < t ≤ rnecida pelo elemento para 0 ≤ t ≤

ao elemento no intervalo 0 < t < rvida pelo elemento no mesmo in

9A

020 ====

(((( ))))t400sen20)t(v ππππ====

15V

21

nto de circuito conforme .

2s e quando isto ocorre? 2s e quando isto

5ms? tervalo?

V




Solução: a) Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 1,25ms; 6,25ms; 11,25ms; etc.. 0 ≤ t ≤ 2 b) Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 3,75ms; 8,75ms; 13,75ms; etc.. c) d)

10

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i(t) A

t(ms)

+

-

v

i(t)

(((( )))) (((( ))))

ms25,18001t

2t400

ou1t400sent

W2001020p

máx

máx

máxf

========→→→→ππππ====ππππ

====ππππ→→→→====××××====

(((( ))))máxf

máx

p 20 6 120W3 3sen 400 t t 3,75ms2 800

′′′′ = × == × == × == × =πππππ = → = =π = → = =π = → = =π = → = =

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

3 3 3

3

3 3

3

5 10 2 10 5 10

0 0 2 10

2 10 5 10

0 2 10

E p t dt 10 20sen 400 t dt 6 20sen 400 t dt

200 120E cos 400 t cos 400 t400 4001 3E cos 0,8 1 cos 2 cos 0,8

2 101 0,6E 1 cos 0,8 1 cos 0,8

2 2

− − −− − −− − −− − −

−−−−

− −− −− −− −

−−−−

× × ×× × ×× × ×× × ×

××××

× ×× ×× ×× ×

××××

= = × π − × π= = × π − × π= = × π − × π= = × π − × π

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π π ππ ππ ππ π

= − π − + π − π= − π − + π − π= − π − + π − π= − π − + π − π π ππ ππ ππ π

= − π + − π= − π + − π= − π + − π= − π + − π π ππ ππ ππ π

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

(((( ))))

(((( ))))

1 0,6 1 cos 0,82

0,8E 1 cos 0,8 0,46J

++++ = − π= − π= − π= − π ππππ

= − π == − π == − π == − π = ππππ

W925

460105

J46,0tEP 3 ========

××××======== −−−−




8) As formas de onda v(t) e i(t) sobre um determinado elemento são mostradas abaixo.

a) Represente o gráfico da potência fornecida ao elemento para 0 ≤ t ≤ 1s. b) Qual a energia total fornecida ao elemento neste intervalo.

Solução: a) b)

i

i(t)A v(t)V

10

5

0,5 1 t(s)

v

p(t)W

50

0,5 1

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

++++−−−−====++++−−−−××××====××××====××××====

W100t10010t1010Wt200t10t20titvtp

2

1t5,05,0t0

<<<<<<<<<<<<<<<<

(((( )))) (((( ))))0,5 12

0 0,5

0,5 13 2

0,50

E p t dt 200t dt 100t 100 dt

200E t 50t 100t3

E 8,333 50 100 12,5 50 20,833J

= = + − += = + − += = + − += = + − +

= + − += + − += + − += + − + = − + + − == − + + − == − + + − == − + + − =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫




9) O motor de arranque de um moderno automóvel solicita uma corrente inicial de 200A.

a) Calcular a potência inicial fornecida ao motor de arranque. b) Se a corrente cai uniformemente a zero em 2s, calcular a energia fornecida ao

motor de arranque desde a partida até a corrente chegar a zero. Solução: Considerando bateria de 12V. a) b) Considerando a corrente em função do tempo: para 0 < t ≤ 2s

10) O consumo de energia de uma determinada residência por dia é mostrada na figura abaixo. Determine:

a) A energia total consumida em kWh. b) A potência média por hora.

(((( )))) t100200ti −−−−====

t(s)

200 i(t)A

1 2

(((( ))))

J2400W

t2

1200t2400dtt10020012dt.i.vW2

0

220

t0

====

−−−−====−−−−======== ∫∫∫∫∫∫∫∫

(((( )))) (((( )))) (((( )))) W240020012titvtp ====××××====××××====




a) b)

400W

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8

p(t)

10 12 12

400W

1000W

1200W

200W

↑ meio dia

(((( ))))

J104001600240020002000240044002120010200210006400

t.tp

====++++++++++++++++====εεεε××××++++××××++++××××++++××××++++××××====εεεε

====εεεε

(((( ))))h

kW433,0h

Watt33,43324

10400t

tP ============εεεε====

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DEFINIÇÕES E PARÂMETROS DE CIRCUITOSjorgef/disciplinas/circuitos_1/diversos/... · A Engenharia Elétrica emprega o Sistema de Unidades MKS racionalizado, no qual o metro é a