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Universidade Federal do Mato Grosso Campus Universitário de Rondonópolis Instituto de Ciências Agrárias e Tecnológicas Curso de Engenharia mecânica Disciplina de Mecânica dos Sólidos II Prof. Valterson Marques dos Deflexão de Vigas Rondonópolis, 25 de julho de

Deflexao de Vigas

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Nota de aula sobre deflexão de vigas, da disciplina de Mecânica dos Solidos II do curso de Engenharia Mecânica da UFMT campus Rondonópolis

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Page 1: Deflexao de Vigas

Universidade Federal do Mato GrossoCampus Universitário de Rondonópolis

Instituto de Ciências Agrárias e TecnológicasCurso de Engenharia mecânica

Disciplina de Mecânica dos Sólidos II

Prof. Valterson Marques dos Santos

Deflexão de Vigas

Rondonópolis, 25 de julho de 2014.

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Deflexão de vigasDeformação de uma viga sob carregamento

transversal

Relembrando que uma viga prismática submetida a flexão pura é flexionada em um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico,

Quando uma viga é submetida a um carregamento transversal, a equação acima continua válida desde que se aplique o princípio de Saint-Venant. No entanto o Momento fletor e a curvatura da superfície neutra variam de uma seção para outra.

O conhecimento da curvatura em vários pontos de uma viga carregada permitirá tirar algumas conclusões gerais referentes à deformação dessa viga.

A análise e o projeto de uma viga geralmente exigem informações mais precisas sobre a deflexão e a inclinação da viga em vários pontos. Particularmente importante é conhecer a deflexão máxima da viga.

1.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Do calculo elementar recordemos que a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x,y) pode ser expressa como

Em que dy/dx e d²y/dx² são a primeira e a segunda derivadas da função y(x) representada por essa curva.

No caso da linha elástica de uma viga a inclinação dy/dx é muito pequena, e seu quadrado é desprezível comparado com a unidade. Assim escrevemos,

Lembrando que,

E com isto,

Equação Linear que governa a linha elástica.

2. 3.

4.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

O Produto EI é conhecido como rigidez à flexão e, no caso de viga prismática a rigidez à flexão é constante. Integrando a equação anterior temos

Chamando de q(x) o ângulo, medido em radianos, que a tangente com a linha elástica em Q forma com a horizontal e sendo este ângulo muito pequeno, temos

Em uma forma alternativa escrevemosEm que C1 é uma constante de integração.

5.

5’.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Integrando ambos os membros da eq. 5 em x, temos,

6.

As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno,

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 1

A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta uma força P na sua extremidade livre A (fig). Determine a equação da linha elástica, a deflexão e a inclinação em A.

D.C.L - Determinação do Momento Fletor, Substituindo M

e integrando em x, obtemos7.

8.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 1

Observamos agora que na extremidade engastada B temos x = L e q = dy/dx = 0, veja a fig.

Substituindo essas condições na equação 8. e resolvendo para C1, temos.

Reescrevendo a equação 8. temos a equação que representa a inclinação em qualquer ponto.

9.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 1

Integrando a equação 9. obtemos,

Para determinar a constante de integração C2, observamos que em B temos x = L e y = 0. Assim,

10.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 1

Reescrevendo a equação 10. temos a equação que representa a deflexão em qualquer ponto.

Ou,

A inclinação e a deflexão em A são obtidas fazendo x = 0 nas equações 9 e 11.

11.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2

Para a viga prismática e o carregamento mostrados na fig. determine a inclinação e a deflexão no ponto D.

Dividindo a barra em duas partes e calculando a equação da linha elástica em cada uma delas,

De A a D (x < L/4)

12.

13.

y1(x) é a função que define a linha elástica para a parte AD da viga.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2

Integrando a eq. 13 em x, temos

13.

14.

15.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2

De D a B (x > L/4)

16.

Usando a equação 4, e rearranjando os termos,

17.

Em que y2(x) é a função que define a linha elástica para a parte DB da viga. Integrando em x, obtemos

19.

18.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2De D a B (x > L/4)

De A a E (x < L/4)

DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

APOIO EM A

APOIO EM B

NO PONTO EM D

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

APOIO EM A [x = 0 ; y = 0]

APOIO EM B [x = L ; y = 0]NO PONTO EM D [x = ¼ L; q1 = q2]

[x = ¼L ; y1 = y2]

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

NO PONTO EM D [x = ¼ L; q1 = q2] [x = ¼L ; y1 = y2]

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

Resolvendo essas equações simultaneamente, teremos

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO

Resolvendo essas equações simultaneamente, teremos

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2

Substituindo C1 e C2 nas eq. 14 e 15.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 2

Usando x = L/4 em cada uma das equações vemos que a inclinação e a deflexão no ponto D são, respectivamente,

Observamos que, como qD = 0, a deflexão em D não é a deflexão máxima da viga.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 3A viga prismática AB suporta uma força uniformemente distribuída w por unidade de comprimento como mostra a fig. Determine a equação da linha eslática e a deflexão máxima da viga.

Integrando em x.

Inclinação da linha Elástica Equação da linha Elástica

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 3Condições de contorno.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exemplo 3Reescrevendo a equação da linha elástica temos

Substituindo na equação da inclinação o valor obtido para C1 verificamos que a inclinação é zero para L/2 e que a linha elástica tem um mínimo no ponto médio C da viga.

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Deflexão de vigasEquação da linha elástica.

Exercício para entregar em Aula

Sabendo que a viga AB é um perfil laminado W130 X 23,8 e que P = 50 kN, L = 1,25 m e E = 200 GPa, determine (a) a inclinação em A e (b) a deflexão em C.

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Deflexão de vigasExercícios Propostos

Beer 5ª Ed.

9.1-9.4; 9.8; 9.10; 9.19; 9.30, 9.37, 9.38, 9.47, 9.50, 9.53, 9.67, 9.72, 9.75