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Deforma¸ aoharmˆonicada triangula¸ ao de Delaunay Rafael de Mattos Grisi Tese apresentada ao Instituto de Matem ´ atica e Estat ´ ıstica da Universidade de S ˜ ao Paulo para obtenc ¸ ˜ ao do t ´ ıtulo de Doutor em Ci ˆ encias ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Estat´ ıstica Orientador: Prof. Dr. Pablo Augusto Ferrari Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ ılio financeiro da CAPES/FAPESP ao Paulo, 28 de agosto de 2009

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Deformacao harmonica datriangulacao de Delaunay

Rafael de Mattos Grisi

Tese apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Doutor em Ciencias

Area de Concentracao: Estatıstica

Orientador: Prof. Dr. Pablo Augusto Ferrari

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro da CAPES/FAPESP

Sao Paulo, 28 de agosto de 2009

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Deformacao harmonica datriangulacao de Delaunay

Este exemplar corresponde a redacaofinal da tese devidamente corrigida

e defendida por Rafael de Mattos Grisie aprovada pela Comissao Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Pablo Augusto Ferrari (orientador) - IME-USP.

• Prof. Dr. Luiz Renato Goncalves Fontes - IME-USP.

• Prof. Dr. Domingos Humberto Urbano Marchetti - IF-USP.

• Prof. Dr. Pablo Jose Groisman - UBA.

• Prof. Dr. Roberto Imbuzeiro Moraes Felinto de Oliveira - IMPA.

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Agradecimentos

Gostaria de comecar prestando homenagem a duas pessoas sem as quais este trabalho certamentenao haveria tomado forma. Primeiro, sem a ajuda, paciencia e orientacao de Pablo Ferrari, nada dissoteria sido possıvel. Parafraseando Sebastian Grynberg, “entre el agradecimiento que merece y esteque le ofrezco media un desproporcion que no desconozco”. Em seguida, meu sincero agradecimentoao “quase co-orientador” Pablo Groisman, cujas ideias e incentivo foram essenciais durante todo oprocesso. Isto sem mencionar sua hospitalidade nas inumeras visitas que fiz a Buenos Aires durantea realizacao deste trabalho.

Ainda no ambito academico, gostaria de agradecer a todos os professores do grupo de probabil-idade do IME, especialmente aos professores Antonio Galves, Fabio Machado, Luiz Renato Fontes,Eduardo Jordao e Serguei Popov, pelos ensinamentos e oportunidades que me proporcionaram aolongo destes quatro anos de trabalho.

Nao posso deixar de fora todos os meus colegas do IME que, alem das muitas e frutıferas dis-cussoes academicas, tambem me proporcionaram diversos momentos de relaxamento e descontracao.Em especial, segue o meu muito obrigado a Alexsandro Gallo, Cristian Coletti, Christophe Galle-sco, Daniel Takahashi, Pablo Rodriguez, Florencia Leonardi, Alexandre Leichsenring, Paulo Lima,Leonardo Rolla, Marcus Marrocos, Jhames Sampaio, Natalia Viana, Sandra Zapata, Paula Cadavid,Gisela Tunes e Artur Lemonte.

Boa parte deste trabalho foi realizado em solo Argentino, segue entao o meu agradecimento atodos aqueles com quem tive a felicidade de conviver no perıodo de minha estada. Em especial, epelos mais diversos motivos, gostaria de agradecer a Ines Armendariz, Mariela Sued, Maria Eugenia(Maru), Julian Martinez, Sebastian Grynberg, Analia Ferrari e Anaclara Martin.

Passando agora a um foro mais ıntimo, como nao poderia deixar de ser, agradeco aos meus pais,Leo e Cecılia, e meus irmaos, Leo e Mara, pela compreensao, apoio, auxılio e tudo o mais que meproporcionaram, nao so no decorrer deste trabalho, mas ao longo de toda vida.

Merecem um agradeciemto especial o meu tio Celso e tias Sandra e Marılia, nao apenas pelapronta acolhida quando da minha chegada em Sao Paulo, mas tambem por todo o suporte e auxılio

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que me prestaram ao longo destes anos. Estarei eternamente em dıvida com todos.

Para finalizar gostaria de agradecer especialmente a Ingrid Ramos da Silva, com quem tenhocompartilhado minha vida ha mais de 5 anos. E ela, sem duvida, minha maior incentivadora. Foiela quem me apoiou nos momentos mais turbulentos destes anos, e foi este apoio que me permitiuchegar ao final deste trabalho.

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Resumo

Dada um processo de Poisson em Rd, construımos funcoes harmonicas na triangulacao de Delau-nay associada, com comportamento assintotico linear, como limite de um processo de harness semruıdo. Tais funcoes permitem que construamos uma nova imersao da triangulacao de Delaunay emRd, que denominaremos de deformacao harmonica.

Palavras-chave: processo pontual ergodico, processo de Poisson, processo de Harness, ladrilhamentode Voronoi, triangulacao de Delaunay, medidas de Palm, teorema ergodico.

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Abstract

Given a Poisson point process in Rd, we construct harmonic functions on the associated Delaunaytriangulation, with linear assymptotic behaviour, as the limit of a noiseless harness process. Thesemappings allow us to find a new embedding for the Delaunay triangulation in Rd. We call it harmonicdeformation of the graph.

Keywords: ergodic point process, Poisson process, harness process, Voronoi tessellation, Delaunaytriangulation, Palm measures, ergodic theorem.

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Sumario

Lista de Sımbolos ix

1 Introducao 1

1.1 Consideracoes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Funcoes Harmonicas em Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Ladrilhamento de Voronoi e o Grafo de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 A Deformacao Harmonica de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 O Processo de Harness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Organizacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Processos Pontuais 11

2.1 O Processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 A triangulacao de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 O Espaco das Medidas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Processos Pontuais Estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Processos Pontuais Ergodicos e Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Medidas de Palm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Shifts Bijetivos e a Estacionariedade Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 O Passeio Aleatorio e o Meio visto da Partıcula 33

3.1 Uma breve revisao sobre Processos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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viii SUMARIO

3.2 O Passeio Aleatorio em G e o Meio Visto da Partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 O Processo de Harness 41

4.1 O Processo de Harness sem Ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 A Construcao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Funcoes harmonicas em G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 O espaco H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 O processo de Harness como uma sequencia em H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1 Inclinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 O Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Consideracoes Finais 71

5.1 Aplicacao - O Princıpio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Problemas Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A Resultados Auxiliares 77

A.1 Funcoes Harmonicas em Grafos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 A Medida de Campbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Referencias Bibliograficas 83

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Lista de Sımbolos

(a · b) Produto escalar entre a, b ∈ Rd.‖ · ‖ Norma euclidiana em Rd.B(X ) σ-algebra de Borel de um espaco topologico X .C[0, T ] Espaco das funcoes contınuas de [0, T ] em R.C(v, ξ) Celula de Voronoi de v ∈ ξ.Cen(x, ξ) Ponto v ∈ ξ para o qual x ∈ C(v, ξ).`(·) Medida de lebesgue em Rd.N (X ) Espaco das medidas de contagem localmente finitas em X .Nm(X ×M) Espaco das medidas de contagem localmente finitas em X , com marcas em M .N s(X ) Espaco das medidas de contagem localmente finitas e simples em X .µ Lei do processo estacionario S.µo Medida de Palm associada a µ (lei de So).µo Lei do processo marcado So.T (v) Marcas temporais associadas a v em So.T Conjunto de marcas temporais em So.πc(·) Funcao linear dada pelo produto escalar com c ∈ Rd.

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x LISTA DE SIMBOLOS

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Capıtulo 1

Introducao

Consideremos o seguinte problema: dado um grafo G = (V, E) conexo, imerso em Rd (V ⊂ Rd), epossıvel encontrar uma nova imersao de G na qual cada vertice esteja localizado no centro de massade seu vizinho? Em outras palavras, dado o grafo G, queremos encontrar uma funcao h : V → Rd,nao constante, e tal que

h(v) =1

|V (v)|∑

w∈V (v)

h(w), (1.1)

para todo v ∈ V, onde V (v) e o conjunto dos vertices vizinhos de v em G. De modo similar, podemospensar no problema coordenada por coordenada, e neste caso o objetivo passa a ser determinarfuncoes hi : V → R, i = 1, . . . , d, preferencialmente distintas, satisfazendo (1.1).

No caso de grafos finitos, a resposta para tal problema e afirmativa (ver Apendice e [8]), bastandopara isso que fixemos a posicao de alguns dos vertices (a fronteira). Neste caso, a funcao determinadasatisfaz (1.1) apenas para vertices fora da fronteira.

Para grafos infinitos a questao fica sensivelmente mais complicada, e precisaremos consideraralgumas condicoes e hipoteses adicionais. Suponha primeiro que G seja tal que, em cada B ⊂ Rd

limitado, existam apenas um quantidade finita de vertices de V. Queremos tambem que a deformacaocausada por h nao seja “muito grande”, o que neste trabalho significara que

lim‖v‖→∞

‖h(v)− v‖‖v‖

= 0. (1.2)

Em [4] e [20], os autores estudam este problema para o cluster de percolacao independente de elos(caso super-crıtico). Em ambos os artigos, a ideia central e definir um corretor que, somado a posicaode cada ponto, satisfaca (1.1). No entanto, a verificacao da sub-linearidade para o cluster deformadose mostrou um problema ainda mais complicado. Em [4], os autores conseguem determinar a sub-linearidade apenas no caso d = 2. Para outras dimensoes os autores verificam apenas versoes mais

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2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

fracas de (1.2).

Neste trabalho consideraremos o problema em um grafo aleatorio conhecido como Triangulacao deDelaunay, construıda a partir de pontos de um Processo de Poisson homogeneo em Rd. Os argumentoscolocados em [4] e [20] poderiam ser facilmente replicados, mas nossa intencao e encontrar umamaneira mais construtiva de resolver o problema. Por esta razao consideraremos aqui uma dinamicaconhecida como processo de Harness, que apresentaremos com mais detalhes um pouco mais a frente.Mas antes, introduziremos nas proximas secoes algumas notacoes e conceitos, deixando mais claro oproblema proposto, para depois mostrarmos como pretendemos resolve-lo.

1.1 Consideracoes Preliminares

1.1.1 Funcoes Harmonicas em Grafos

Dado um conjunto enumeravel V (vertices), associe a cada par (v, w) ∈ V×V um peso a(u, v) ≥ 0com a(u, v) = a(v, u), e tal que 0 < av :=

∑w∈V a(v, w) < ∞. Defina p(v, w) = a(v,w)

av. Este

conjunto de pesos define um grafo G = (V, E) com vertices em V e conjunto de elos dado porE = (v, w) ∈ V × V : a(v, w) > 0. Deste ponto em diante consideraremos que o grafo G assimdefinido e conexo.

Neste contexto, dado um subconjunto de vertices V ′ ⊆ V diremos que uma funcao h : V → R eharmonica para P := (p(v, w))v,w∈V em V ′ se

h(v) =∑w∈V

p(v, w)h(w), para todo v ∈ V ′. (1.3)

Observe que (1.3) e equivalente a∑w∈V

a(v, w)(h(v)− h(w)) = 0, para todo v ∈ V ′. (1.4)

No caso em que V ′ = V diremos simplesmente que h e harmonica em G. Na teoria de redes eletricas,o peso a(v, w) recebe o nome de condutividade e seu inverso 1/a(u, v) de resistencia.

Como nao poderia deixar de ser, o estudo de funcoes harmonicas discretas enfrenta dificuldadessensivelmente diferentes no caso de grafos finitos ou infinitos. Ainda assim, em ambos a relacaoentre redes eletricas e passeios aleatorios e de substancial importancia. E esta ligacao que permite,dentre outras coisas, relacionar a resistividade total de uma rede eletrica infinita com a recorrenciaou transiencia do passeio aleatorio associado (ver [8]).

Apesar de considerarmos aqui um grafo infinito, nao faremos uso dos resultados existentes para

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1.1. CONSIDERACOES PRELIMINARES 3

este caso. Isso porque a maior parte desta teoria foi desenvolvida para o estudo de funcoes comenergia finita (ver apendice A), e como ficara claro mais a frente, este nao e o nosso caso. Poresta razao nao nos estenderemos no assunto. O leitor interessado pode descobrir mais em [25]. Noapendice A faremos um breve resumo de alguns resultados importantes para funcoes harmonicas emgrafos finitos. Trataremos, em especial, do princıpio do maximo e do mınimo, que sera ferramentaessencial na demonstracao de um de nossos resultados.

1.1.2 Ladrilhamento de Voronoi e o Grafo de Delaunay

Seja ξ ⊂ Rd um conjunto enumeravel de pontos, tal que ξ(B) := |ξ ∩ B| < ∞ (| · | denotacardinalidade) para todo B ⊂ Rd limitado. Dado v ∈ ξ, seja C(v) := C(v, ξ) a regiao aberta de Rd

formada por todos os pontos em Rd mais proximos de v que de qualquer outro w ∈ ξ, ou seja,

C(v) = x ∈ Rd : ‖x− v‖ < ‖x− w‖, para todo w ∈ ξ, w 6= v. (1.5)

O conjunto C(v, ξ) e conhecido por celula de Voronoi de v associada a ξ.

Deste modo, a menos de um subconjunto de medida de Lebesgue 0, conseguimos dividir Rd

em abertos disjuntos C(v, ξ); v ∈ ξ, formando assim um ladrilhamento de Rd conhecido comoladrilhamento de Voronoi (do ingles ‘Voronoi Tessellation’). Note que o fecho de cada celula desteladrilhamento e um polıgono convexo, e que qualquer par destes “ladrilhos” compartilham no maximouma face. Considere agora o grafo G(ξ) = (ξ, E(ξ)) formado ao colocarmos um elo entre quaisquer parde sıtios v, w ∈ ξ tais que as respectivas celulas de Voronoi compartilhem uma face d−1 dimensional.O grafo G(ξ) assim definido e conhecido por grafo de Delaunay ou triangulacao de Delaunay associadaa ξ.

Observacao 1.1.1. Nos preocuparemos apenas com configuracoes de pontos ξ ⊂ Rd tais que nenhumsubconjunto de d+ 2 pontos em ξ esta na fronteira de uma mesma bola d dimensional. Nestes casos,outra forma de construir G(ξ) em Rd e colocar elos entre quaisquer d+ 1 pontos de ξ tais que a boladefinida por tais pontos nao possua nenhum outro ponto de ξ em seu interior. Esta construcao tema vantagem de possibilitar o calculo de algumas estimativas, como por exemplo, para o tamanho deum elo. De fato, para um certo elo ser muito grande, deve haver uma regiao tambem grande semnenhum ponto em seu interior.

Neste trabalho consideraremos o grafo de Delaunay associado a um processo de Poisson ho-mogeneo em Rd. Este modelo, assim como o ladrilhamento de Voronoi associado, vem sendo am-plamente estudado nas ultimas decadas. Resultados sobre distribuicoes e momentos de quantidadesrelacionadas a tais modelos, como grau de vertices, tamanho de arestas, volume de celulas, dentre

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4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Figura 1.1: Ladrilhamento de Voronoi e a Triangulacao de Delaunay associada.

outros podem ser encontrados em [5], [3], [21], [23], [24], e referencias ali citadas. As aplicacoes detais modelos em outras areas do conhecimento e tambem bastante ampla. Para uma aplicacao doLadrilhamento de Voronoi em redes de telecomunicacao, ver [1].

Para fixar notacao, ao longo deste trabalho usaremos V (v) := V (v, ξ) para notar o conjunto devizinhos de v em G(ξ), e dado x ∈ Rd, Cen(x, ξ) := Cen(x) representara o ponto v ∈ ξ tal quex ∈ C(v).

1.1.3 A Deformacao Harmonica de G

Seja S um processo de Poisson homogeneo em Rd, e G(S) = (S, E(S)) o grafo de Delaunayassociado a S. A cada par de pontos v, w ∈ S associe um peso a(v, w) = a(v, w, S) dado por

a(v, w, S) = 1(v, w) ∈ E(S). (1.6)

Defina entao a(v, S) := |V (v)| =∑

w∈S a(v, w).

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1.1. CONSIDERACOES PRELIMINARES 5

Considere a matriz P (S) := (p(v, w, S))v,w dada por

p(v, w, S) :=a(v, w, S)a(v, S)

. (1.7)

Lembrando, nosso objetivo e, dada um configuracao de S, encontrar funcoes hi : S → R, i =1, . . . d, harmonicas para P em S, e tais que v ∈ V 7→ h(v) := (h1(v), . . . , hd(v)) satisfaca (1.2).

Simplificando, estamos interessados na caracterizacao de funcoes harmonicas para P em S, ouseja, funcoes harmonicas em G. Em particular, olhando para G como um grafo naturalmente imersoem Rd, queremos encontrar funcoes harmonicas com comportamento assintotico linear.

Para deixar mais claro nossos objetivos, dado c = (c1, . . . , cd) ∈ Rd, denote por πc a funcao linear(ou hiper-plano) x 7→ πc(x) := (c · x) = c1x1 + · · · + cdxd. Nossa intencao e verificar se existe umafuncao hc, harmonica em G e com mesmo comportamento assintotico linear de πc, ou seja,

lim‖v‖→∞

|hc(v)− πc(v)|‖v‖

= 0. (1.8)

Infelizmente, so seremos capazes de resolver este problema em d = 2. Neste caso mostraremos,utilizando as mesmas tecnicas descritas em [4], que

limn→∞

maxv∈S∩[−n,n]2

|hc(v)− πc(v)|n

= 0, q.c. (1.9)

Para o caso geral, verificaremos a sub-linearidade de hc − πc apenas em direcoes fixas. Para quepossamos esclarecer nossas intencoes, e necessario que definamos o que entenderemos por inclinacaode uma dada funcao em uma direcao fixa.

Para acomodar uma possıvel dependencia em S das funcoes consideradas defina

Ξ1 = (v, ξ) ∈ Rd ×N : v ∈ ξ,

onde N denota o espaco onde vivem os processos pontuais em Rd, a ser definido no capıtulo 2.Posteriormente, sera necessario ampliar a definicao do espaco Ξ1 para acomodar tambem processospontuais marcados, mas por hora esta definicao nos basta.

Na definicao abaixo, µ denotara a lei do processo pontual considerado.

Definicao 1.1. Dada uma direcao u ∈ Rd, ‖u‖ = 1, diremos que f : Ξ1 → R tem inclinacao Iu(f)na direcao u dada por

Iu(f) := limt→∞

|f(Cen(v + tu, ξ), ξ)− f(v, ξ)|t

, (1.10)

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6 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Figura 1.2: Triangulacao de Delaunay associada a um processo de Poisson, e a respectiva deformacaoharmonica.

sempre que o limite acima existe µ-quase certamente e nao depende de v ∈ ξ.

Note que Iu(·) e linear e, portanto, dizer que Iu(h) = Iu(π) e equivalente a dizer que Iu(π−h) = 0,ou seja, π − h e sub-linear na direcao u.

Voltando agora para o problema inicial, considere os planos coordenados πi(x) = xi, i = 1, . . . , d,e suponha que para cada i seja possıvel encontrar funcoes harmonicas hi satisfazendo (1.8). Tomeagora h : S → Rd dada por v ∈ V 7→ h(v) := (h1(v), · · · , hd(v)), e defina uma nova imersao de Gem Rd reposicionando cada ponto v ∈ S para uma nova posicao dada por h(v), e mantendo os elosoriginais. Mais precisamente, defina G′(S) = (S′, E ′(S)) dado por

S′ = h(v); v ∈ S,

eE ′(S) = (h(v), h(w)); (v, w) ∈ E(S).

O grafo G′ tem portanto a propriedade de cada ponto v′ ∈ S′ estar posicionado no centro demassa de seus vizinhos, ou seja, ∑

w′∈S′:(v′,w′)∈E ′

(v′ − w′) = 0,

para todo v′ ∈ S′. Chamaremos G′ de deformacao harmonica de G(S). Em [4] e [20] os autoresestudam tal deformacao para o cluster de percolacao supercrıtico. Em ambos, o estudo se faz atravesda definicao de um corretor, mas de maneiras ligeiramente distintas (em [20] sao utilizados argumentos

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1.1. CONSIDERACOES PRELIMINARES 7

projetivos, e em [4] os autores usam analise espectral). Em ambos os artigos os autores falham emmostrar que o corretor definido satisfaz (1.8). Unica excecao feita a [4] em que, para o caso d = 2,os autores mostram que vale (1.9).

1.1.4 O Processo de Harness

No sentido de tentar buscar uma resposta para os problemas colocados acima, vamos utilizaruma dinamica conhecida por Processo de Harness. O conceito de Harnesses foi introduzido porHammersley em [14]. Harnesses sao medidas em RZd com a propriedade de que o valor medio daaltura em cada sıtio z ∈ Zd e a media (pesada por uma matriz de transicao de Markov (P (i, j))i,j∈Zd ,com P (i, i) = 0) do valor medio das alturas em todos os sıtios diferentes de z. E interessante observarque, o uso de Zd nesta definicao e apenas para fixar ideias, nao impedindo em nada sua extensaopara qualquer conjunto discreto de pontos.

Tal conceito foi introduzido com o proposito de modelar o comportamento de um cristal e tambemintroduzir uma versao multi-dimensional de martigal. O processo conhecido por serial Harness, eum processo Markoviano a tempo discreto, com valores em RZd onde, a cada instante t > 0, aaltura em cada ponto e atualizada para a altura media pesada por P da altura dos outros pontosem Zd no tempo t − 1, mais uma variavel centrada independente, denominada de ruıdo. O modeloa tempo contınuo, conhecido por processo de Harness, foi introduzido por Hsiao em [17] e consisteem atualizar cada ponto em tempos de Poisson independentes, seguindo a mesma regra do modelo atempo discreto.

Em [11], Ferrari et. al. mostram que se o ruıdo e dado por variaveis Gaussianas centradas, entaoa medida de Gibbs associada com o Hamiltoniado quadratico

H(η) =∑i,j

P (i, j)(η(i)− η(j))2,

onde η ∈ RZd , e temperatura 1/β dada pela variancia do ruıdo, e reversıvel para o processo deHarness.

Em [12], Ferrari et. al. estudam uma versao do processo de harness com influencia de campoexterno fixo d ∈ RZd . Neste modelo, cada sıtio i ∈ Zd tem um vizinho externo i∗ com altura fixad(i), e a atualizacao e feita considerando peso α para o vizinho no sıtio externo e peso (1−α)P (i, j)para j ∈ Zd. Entre outros resultados, os autores mostram que o processo sem ruıdo converge parauma unica funcao harmonica m (com atuacao do campo externo). Mais precisamente, o processo

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8 CAPITULO 1. INTRODUCAO

sem ruıdo converge para uma configuracao m ∈ RZd tal que

m(i) = (1− α)∑j∈Zd

P (i, j)m(j) + αd(i),

para todo i ∈ Zd

Neste trabalho consideraremos uma versao “multi-dimensional” de um processo de Harness semruıdo na triangulacao G(S). Em palavras, fixada uma realizacao de S, a posicao de cada ponto seraatualizada em tempos de Poisson de taxa 1 para o centro de massa dos seus vizinhos.

De maneira equivalente, seguindo mais de perto a ideia do processo de Harness, podemos consid-erar que os pontos de S estao fixos, e cada um deles associamos um vetor de alturas, evoluindo notempo de acordo com as regras de um processo Harness. Em outras palavras, teriamos um processo(ηit, i = 1, . . . , d)t≥0, onde para cada i = 1, . . . , d, ηit e um processo de Harness sem ruıdo definidonos pontos de um processo pontual S, utilizando pesos P (S) = (p(v, w))v,w∈S definidos em (1.7).

De modo um pouco mais geral, fixada uma realizacao de S, construiremos o processo de Harnessηγt em G(S), com ηγ0 ≡ γ, como funcao de um processo S em Rd e de marcas temporais associadas acada v ∈ S. Mostraremos que, comecando com uma configuracao linear π ∈ RS o processo de Harnesssem ruıdo em G(S) converge (de maneira que ficara clara mais a frente) para uma funcao harmonicah em G(S), com o mesmo comportamento assintotico de π em qualquer direcao coordenada. Maisprecisamente, dada uma direcao u ∈ Rd, mostraremos que Iu(h) = Iu(π). Adaptando as tecnicasdescritas em [4] mostraremos que no caso d = 2 vale (1.9).

1.2 Resultados

Para i = 1 . . . , d, denote por πi o i−esimo hiper-plano coordenado, ou seja, πi(x) = xi, e considereηit o processo de Harness sem ruıdo em G(S), com condicao inicial dada por ηi0 ≡ πi. Para φ : Ξ1 → R,faca ∇φ(w, v, S) = φ(v, S)− φ(w, S).

Teorema 1.2. Seja S e um Processo de Poisson homogeneo em Rd, e So = S ∪ 0. Entao, paraquase toda realizacao de So, e para cada i = 1, . . . , d, existe hi : Ξ1 → R, harmonica em G(So), comIe(πi − hi) = 0 para toda direcao coordenada e ∈ Rd, e tal que

limt→∞

E[a(0, v)|∇ηit(0, v)−∇hi(0, v)|2

]= 0,

para todo v ∈ So.

Para d = 2 vale o seguinte resultado.

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1.3. ORGANIZACAO DO TRABALHO 9

Teorema 1.3. Se h : Ξ1 → R e uma funcao harmonica em G(So) com Ie1(h− π) = Ie2(h− π) = 0para alguma funcao linear π : R2 → R, entao

limn→∞

maxv∈So∩[−n,n]2

|h(v, So)− π(v)|

n

= 0, q.c..

Observacao 1.2.1. Apesar do resultado estar enunciado para um processo de Poisson, as tecnicasutilizadas em sua demonstracao permitem estabelecer o mesmo resultado para outros processos pon-tuais estacionarios, desde que algumas condicoes sobre a distribuicao do processo sejam verificadas.No inıcio do Capıtulo 3 listaremos as hipoteses a serem cumpridas pelo processo pontual considerado,e comentaremos brevemente cada uma delas.

Como consequencia dos dois teoremas acima, no final do trabalho, vamos determinar o princıpiode invariancia para o passeio aleatorio em G. Esta aplicacao e, na verdade, a razao principal quelevaram os autores em [4] e [20], a estudarem a deformacao harmonica do cluster de percolacao. Aideia, introduzida por Kipnis e Varadhan em [18], e primeiro estudar o passeio no grafo deformado,onde este e um martingal, e encontrar o princıpio de invariancia para este novo processo. Depois,usando a sub-linearidade da deformacao, mostrar que a diferenca entre os dois passeios desapareceapos reescalada.

1.3 Organizacao do Trabalho

No Capıtulo 2, traremos um pequeno resumo dos principais conceitos e resultados relacionados aprocessos pontuais necessarios para o nosso resultado. Comecaremos apresentando uma construcaodo Processo de Poisson homogeneo, e faremos algumas consideracoes sobre o grafo de Delaunay rela-cionado. Passaremos entao para o estudo de processos pontuais em geral. Trataremos em particularde processos estacionarios, onde abordaremos resultados relacionados as medidas de Palm, incluindoo Teorema Ergodico Espacial.

No Capıtulo 3 faremos um breve estudo do passeio aleatorio no grafo G, trazendo resultadosessenciais para a sequencia de nosso trabalho.

O Capıtulo 4 trata dos problemas propostos neste trabalho. Nele faremos a construcao graficado processo de Harness usando passeios aleatorios. Introduziremos o espaco de Hilbert onde vivenosso processo, tentando caracterizar alguns dos elementos deste espaco. Para concluir faremos ademonstracao dos resultados propostos.

Para finalizar, no capıtulo 5, vamos demonstrar o princıpio de invariancia para o passeio aleatorioem G no caso d = 2. Encerramos entao fazendo um breve resumo dos problemas ainda nao solu-cionados neste trabalho.

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10 CAPITULO 1. INTRODUCAO

O apendice trara um resumo de alguns resultados sobre funcoes harmonicas discretas. Traratambem uma breve justificativa de alguns passos tecnicos utilizados ao longo do texto.

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Capıtulo 2

Processos Pontuais

Neste capıtulo vamos estudar uma classe de processos estocasticos espaciais conhecidos comoProcessos Pontuais. Nas proximas secoes vamos definir o que entenderemos por Processo Pontual,resumindo os principais resultados relacionados a tais modelos. Daremos especial atencao a famıliade processos estacionarios, explorando suas principais caracterısticas e propriedades. Atraves dasmedidas de Palm, estudaremos o comportamento de tais modelos na vizinhanca de um “ponto tıpico”.Finalmente, no final do capıtulo, estudaremos brevemente os shifts-bijetivos e as relacoes com adualidade “estacionariedade/estacionariedade pontual”.

Como ja salientado na introducao deste trabalho, apesar de boa parte (senao a totalidade) dosresultados apresentados neste trabalho serem validos para processos pontuais satisfazendo determi-nadas condicoes, nosso principal interesse esta nos processos de Poisson que, apenas pela posicao dedestaque que ocupam na teoria de processos pontuais, ja mereceriam um capıtulo a parte. Por estarazao, antes de introduzir formalmente a nocao de Processo Pontual, vamos apresentar uma breveconstrucao de tais processos.

Antes de comecar vamos fixar algumas das notacoes que utilizaremos ao longo dos proximoscapıtulos. Deste ponto em diante, fixado um espaco metrico X , denotaremos por B(X ) a σ-algebrados borelianos de X . Utilizaremos `(·) para denotar a medida de lebesgue em (Rd,B(Rd)) e, correndode risco de causar alguma ambiguidade, utilizaremos | · | para denotar tanto a cardinalidade de umconjunto, como o valor absoluto de um numero real. Usaremos 0 para denotar a origem em Rd e,finalmente, denotaremos por ‖ · ‖ a norma euclidiana e por (a · b) o produto escalar convencional emRd, ou seja, ‖x‖2 = (x · x).

11

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12 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

2.1 O Processo de Poisson

Seja ρ : Rd → R positiva e localmente integravel, ou seja,

µ(B) :=∫Bρ(x)dx <∞,

para todo B ∈ B(Rd) limitado. Considere agora uma particao P := An ∈ B(Rd);n ≥ 0 de Rd

formada apenas por borelianos limitados. Apenas para fixar ideias, podemos pensar, por exemplo,em uma particao formada por retangulos. Seja Nn;n ≥ 0 uma colecao de variaveis aleatoriasindependentes com distribuicao Poisson de parametro µ(An). Em seguida, para cada n ≥ 0, sorteieNn pontos e distribua-os independentemente em An de acordo com uma distribuicao de densidade(ρ · 1An)(·)/µ(An), denominando este conjunto aleatorio de pontos de Xn. Defina agora

S :=⋃n≥0

Xn.

E facil verificar (ver [22]) que a construcao apresentada acima nao depende da escolha da particaoP e, alem disso, o processo S possui as seguintes propriedades:

(i) Para cada B ∈ B(Rd) limitado, S(B) := |S ∩B| tem lei Poisson de parametro µ(B);

(ii) S(B) e S(A) sao independentes sempre que A ∩B = ∅;

O Processo S assim definido e conhecido como processo de Poisson em Rd, e ρ e chamado defuncao intensidade de S. No caso em que ρ(·) ≡ λ < ∞ e constante, diremos que o processo dePoisson e homogeneo.

A seguir enunciaremos, sem provar, um importante resultado para processos de Poisson: aFormula de Slivnyak-Mecke. O leitor interessado em uma prova pode ver, por exemplo, [22].

Proposicao 2.1 (Formula de Slivnyak-Mecke). Se S e um processo de Poisson em Rd com funcaodensidade ρ, e f : (Rd)n ×N → R e positiva e mensuravel, entao

E

∑x1,...,xn∈S

f(x1, . . . , xn, S)

=∫

Rd· · ·∫

RdE[f(x1, . . . , xn, S ∪ x1, . . . , xn)]

n∏k=1

ρ(xk)dxk.

Na proposicao acima, N representa o espaco onde vivem os processos pontuais, e sera definido eestudado na proxima secao.

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2.1. O PROCESSO DE POISSON 13

2.1.1 A triangulacao de Delaunay

Vamos agora nos concentrar em conseguir algumas estimativas, necessarias em resultados futuros,para algumas caracterısticas do grafo de Delaunay formado a partir de um processo de Poisson ho-mogeneo de intensidade ρ. Em particular, estamos interessados em estudar a estrutura da vizinhancade um “ponto tıpico” do processo. Como sera justificado mais a frente, uma maneira de fazer issopara um processo de Poisson homogeneo S, e considerar o processo So := S ∪ 0, e estudar o queacontece em torno do ponto na origem.

Comecemos com o volume da celula de Voronoi da origem em So. Observe entao que para x ∈ Rd

esteja na celula de Voronoi de 0, precisamos que bola aberta de centro em x e raio ‖x‖ nao possuanenhum ponto de So, ou seja,

P(x ∈ C(0, So)) = P(S ∩B(x, ‖x‖) = ∅) = e−ρ`(B(x,‖x‖)) = e−ρωd‖x‖d,

onde ωd e o volume da bola unitaria em Rd. Do mesmo modo, para x, y ∈ Rd

P(x, y ∈ C(0, So)) = P(S ∩ B(x, ‖x‖) ∪B(y, ‖y‖) = ∅) = e−ρ`(B(x,‖x‖)∪B(y,‖y‖)) ≤ e−ρωd

2(‖x‖d+‖y‖d).

Deste modoE[`(C(0, So)] = E[

∫1C(0)(x)dx] =

∫e−ρωd‖x‖

ddx =

1ρ.

Em realidade, pode-se mostrar que o resultado acima e valido para qualquer processo pontual esta-cionario de intensidade finita (ver [27]). Vale tambem que

E[|`(C(0, So)|2] = E[(∫

1C(0)(x)dx)(∫

1C(0)(y)dy)] ≤∫ ∫

e−ρωd

2(‖x‖d+‖y‖d)dxdy <∞.

E procedendo da mesma maneira, mostra-se que

E[|`(C(0, So)|k] <∞,

para todo k ≥ 0.

Dado agora um ponto v ∈ So, vamos tentar estimar (mesmo que grosseiramente) a probabilidadedeste ponto ser vizinho da origem. Para isso lembre que, pela Observacao 1.1.1, v e vizinho daorigem se, e somente se, existirem v1, . . . , vd−1 ∈ So tais que a bola aberta B0,v,v1,...,vd−1 determinadapor 0, v, v1, . . . , vd−1 nao possui nenhum ponto de So em seu interior. Neste sentido, fixado x ∈ Rd,

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14 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

considere entao o evento

Ax = ∃v1, . . . , vd−1 ∈ So; Bx,v1,...,vd−1 ∩ So = ∅,

e observe que o evento Ax depende apenas da configuracao de pontos no interior de bolas que possuamo ponto x e a origem na fronteira, de modo que So ∈ Ax = S\x ∈ Ax.

Note agora que para x ∈ Rd, e pela Proposicao 2.1 segue que

P(S ∈ Ax) ≤ E

∑v1,...,vd−1∈S

1B0,x,v1,...,vd−1∩S=∅

=∫

Rd· · ·∫

RdP(B0,x,x1,...,xd−1 ∩ S = ∅)dx1 · · · dxd−1

=∫

Rd· · ·∫

Rde−`(B

0,x,x1,...,xd−1 )dx1 · · · dxd−1.

Mas o raio r de Bx,x1,...,xd−1 e tal que

2r ≥ ‖x‖, e r ≥ ‖xi‖, i = 1, . . . , d− 1.

Portantor ≥ 1

2d(‖x‖+ ‖x1‖ · · ·+ ‖xd−1‖),

eP(S ∈ Ax) ≤

∫Rd· · ·∫

Rde−Kd(‖x‖d+‖x1‖d···+‖xd−1‖d)dx1 · · · dxd−1 = Cde

−Kd‖x‖d ,

onde Cd = (∫e−Kd‖x‖

ddx)d−1, Kd = wd(2d)−d.

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2.1. O PROCESSO DE POISSON 15

Vamos agora estimar P(S ∈ Ax ∩Ay). Para isso, note que

P(S ∈ Ax ∩Ay) ≤ E

∑v1,...,vd−1∈S

∑w1,...,wd−1∈S

1B0,x,v1,...,vd−1∩S=∅1B0,y,w1,...,wd−1∩S=∅

≤∫

Rd· · ·∫

RdP((B0,x,x1,...,xd−1 ∪B0,y,y1,...,yd−1) ∩ S = ∅)

d−1∏k=1

dxkdyk

=∫

Rd· · ·∫

Rde−`(B

0,x,x1,...,xd−1∪B0,y,y1,...,yd−1 )d−1∏k=1

dxkdyk

=∫

Rd· · ·∫

Rde−

12`(B0,x,x1,...,xd−1 )e−

12`(B0,y,y1,...,yd−1 )

d−1∏k=1

dxkdyk

≤ C(2)d e−

Kd2

(‖x‖d+‖y‖d),

onde C(2)d = [

∫e−

Kd2‖x‖ddx]2(d−1).

Utilizando os mesmos argumentos, podemos mostrar entao que

P(S ∈ ∩nk=1Axk) ≤ C(n)d

n∏k=1

e−Kdn‖xk‖d , (2.1)

com C(n)d = [

∫e−

Kdn‖x‖ddx]n(d−1).

Deste modo, utilizando mais uma vez a Proposicao 2.1, podemos concluir que, para todo n ≥ 0e c ∈ Rd

E[∑v∈So

a(0, v, So)|(c · v)|n] = E[∑v∈S|(c · v)|n1Av(S)] =

∫Rd|(c · x)|nCde−Kd‖x‖

ddx <∞. (2.2)

E[|V (0)|n] = E[∑

v1,··· ,vn1∩nk=1Avk

(S)] =∫

Rd· · ·∫

RdP(S ∈ ∩nk=1Axk)dx1 · · · dxn <∞ (2.3)

Outro conjunto que precisaremos estudar e

V2 =⋃

v∈V (0)

V (v),

ou seja, todos os pontos com distancia para a origem menor ou igual a 2 (na metrica natural de G).

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16 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

Para estimarmos os momentos de |V2|, considere os eventos

Ax,y = ∃v1, . . . , vd−1 ∈ So; Bx,y,v1,...,vd−1 ∩ So = ∅,

eA2y = ∃v ∈ So : So ∈ Av ∩Av,y.

Usando os mesmos argumentos utilizados acima, podemos mostrar que

P(S ∈ Ax,y) ≤ Cde−Kd‖x−y‖d,

P(S ∈ A2y) ≤ C

(2n)d

∫Rde−

Kd2

(‖x‖d+‖y−x‖d)dx,

e

P(S ∈ ∩nk=1A2yk

) ≤ C(2n)d

n∏k=1

(∫

Rde−

Kd2n

(‖x‖d+‖yk−x‖d)dx).

e concluir entao que para todo n ≥ 0E[|V2|n] <∞. (2.4)

Na proxima secao comecaremos a construir uma estrutura mais formal para o trabalho com pro-cessos pontuais. Como primeiro passo vamos definir o espaco mensuravel onde vivem tais processos.Nosso principal objetivo neste capıtulo e resumir os principais resultados relativos a teoria de pro-cessos pontuais, de modo a possibilitar a leitura do capıtulo principal deste trabalho. Por esta razaonao traremos as demonstracoes da maior parte dos resultados aqui descritos. O leitor interessado emmaiores detalhes pode procurar em [6] e [7].

2.2 O Espaco das Medidas de Contagem

Seja X um espaco metrico completo separavel (e.m.c.s.) com σ-algebra de Borel B(X ). Diremosque uma medida ξ em (X ,B(X )) e localmente finita se ξ(A) < ∞ para todo A ∈ B(X ) limitado.Denote agora por N (X ) o espaco das medidas de contagem localmente finitas em (X ,B(X )). Diremosque ξ ∈ N (X ) e simples se

ξ(x) ≤ 1, para todo x ∈ X ,

e denotaremos porN s(X ) o espaco das medidas de contagem simples localmente finitas em (X ,B(X )).Para acomodar melhor a definicao de processos pontuais marcados, dado um e.m.c.s M defina oespaco Nm(X ×M) como o espaco das medidas localmente finitas em (X ×M,B(X ×M)) com a

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2.2. O ESPACO DAS MEDIDAS DE CONTAGEM 17

propriedade adicional de que para cada ξ ∈ Nm(X ×M) a medida base definida por

ξ(A) = ξ(A×M), A ∈ B(X )

e um elemento de N (X ).

E uma propriedade das medidas de contagem localmente finitas que ξ ∈ N (X ), se e somente se,existe um conjunto enumeravel (xi, ki) ⊂ X × Z+, com xi localmente finito e tal que

ξ =∑i

kiδxi ,

onde δ e a medida de Dirac. Observe que se ξ e simples entao ki = 1 para todo i e portanto

ξ =∑i

δxi . (2.5)

O conjunto xi e chamado de suporte da medida ξ (supp(ξ)). Ao longo deste trabalho nos con-centraremos em medidas ξ ∈ Nm(X ×M) cuja medida de base ξ e simples. Neste caso podemosescrever

ξ =∑j

δ(xj ,mj),

onde mj ∈M e a marca associada ao ponto xj .

Seja d a metrica em X , e Br(x) a bola aberta em X de centro em x ∈ X e raio r > 0. Agora,dado F ⊂ X e ε > 0 defina

F ε :=⋃x∈F

Bε(x).

Seguindo a mesma construcao dada no Apendice em [6], dadas duas medidas µ e ν finitas em X ,defina

dp(µ, ν) := infε ≥ 0 : para todo F ⊆ X fechado, µ(F ) ≤ ν(F ε) + ε e ν(F ) ≤ µ(F ε) + ε.

Fixado x0 ∈ X , faca Br = Br(x0) e para uma µ, ν ∈ N (X ) denote por µr e νr as restricoes (finitas)de µ e ν a Br. Agora faca

dlf (µ, ν) :=∫ ∞

0e−r

dp(µr, νr)1 + dp(µr, νr)

dr.

Pode-se mostrar que dlf define uma metrica em N (X ) para a qual N (X ) e completo e separavel. Maisdo que isso, a σ-algebra de Borel B(N (X )) coincide com a menor σ-algebra que torna mensuravelas funcoes do tipo ξ 7→ ξ(B), com B ∈ B(X ) limitado. Ou seja, B(N (X )) e a σ-algebra gerada por

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18 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

eventos do tipoξ ∈ N (X ) : ξ(Bi) = ki; i = 1, . . . , n,

onde Bi, i = 1, . . . , n sao borelianos limitados de Rd e ki sao inteiros positivos.

Trabalharemos entao no espaco mensuravel (N (X ),B(N (X ))). Deste ponto em diante, a nao serque se faca necessario, ocultaremos a dependencia do espaco X e notaremos apenas (N ,B(N )).

Estamos prontos agora para definir o que entenderemos por Processo Pontual.

Definicao 2.2. (i) Um Processo Pontual em um e.m.c.s. X e uma funcao mensuravel de umespaco de probabilidade (Ω,F ,P) em (N (X ),B(N (X ))).

(ii) Um Processo Pontual Marcado em X com marcas em M e uma funcao mensuravel de umespaco de probabilidade (Ω,F ,P) em (Nm(X ×M),B(Nm(X ×M)))

Diremos que um Processo Pontual S e simples se P(S ∈ N s(X )) = 1. No caso de um processopontual marcado S, o processo pontual dado por

S(A) = S(A×M), A ∈ B(X ),

sera chamado de processo base de S.

Observacao 2.2.1. Todo processo pontual S em X pode ser escrito como um processo pontualmarcado S em X × Z+, considerando a multiplicidade ki de cada ponto xi como uma marca, efazendo o processo de base S coincidir com o suporte de S.

Observacao 2.2.2. Por (2.5), toda medida simples ξ ∈ N (Rd) pode ser identificada com o seu su-porte supp(ξ). Por esta razao, varios autores trabalham apenas no espaco das configuracoes de pontoslocalmente finitas, e tratam processos nao simples como processos pontuais marcados (Observacao2.2.1). Deste modo, sempre que S for um processo pontual simples, usaremos esta identificacao etrataremos indiscriminadamente S como uma medida de contagem ou como uma configuracao depontos. Assim, dentre outras notacoes, v ∈ S sera o mesmo que v ∈ supp(S).

Deste ponto em diante, consideraremos apenas processos pontuais simples (marcados ou nao).

Exemplo 2.1. Um exemplo simples de processo pontual e obtido da seguinte maneira. Dada umav.a. U uniformemente distribuıda em [−1

2 ,12 ]d, podemos construir um processo pontual So como

So = z + U : z ∈ Zd.

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2.3. PROCESSOS PONTUAIS ESTACIONARIOS 19

Exemplo 2.2 (Processos de Cox). Seja Z := Zx;x ∈ Rd um campo aleatorio positivo com

E[∫BZxdx] <∞,

para todo B ∈ B(Rd) limitado. O Processo de Cox determinado por Z e um o processo pontual So

tal que, para cada realizacao de Z, So e um processo de Poisson com funcao intensidade dada porZ. Ou seja, So e um processo de Poisson com funcao intensidade aleatoria dada por Zx;x ∈ Rd

Outros exemplos de processos pontuais podem ser encontrados em [22], [6] e [7]. Em [13], porexemplo, os autores constroem, via um algoritmo de simulacao perfeita, processos pontuais com leiabsolutamente contınua em relacao a lei de um processo de Poisson homogeneo.

2.3 Processos Pontuais Estacionarios

Vamos nos concentrar agora em processos pontuais (marcados ou nao) com pontos em Rd. Assim,para x ∈ Rd denote por τx : Rd → Rd a translacao usual em Rd dada por τx(y) = y + x. Abusandoda notacao, notaremos tambem por τx a extensao para N (Rd) dada por

(τxξ)(B) := ξ(τxB), (2.6)

onde B e um boreliano em Rd, e τxB = x + y : y ∈ B. Em outras palavras, τxξ e a medida decontagem com suporte em v − x : v ∈ supp(ξ)

Se ξ ∈ N (Rd ×M) e dado porξ =

∑j

δ(xj ,mxj ),

definiremos τxξ porτxξ =

∑j

δ(xj−x,mxj ).

Neste contexto, diremos que um processo pontual S (marcado ou nao) e estacionario se a lei µde S for invariante por acoes do grupo τx, x ∈ Rd, ou seja, se para todo x ∈ Rd e U ∈ B(N ) valeque

µ(U) := P(S ∈ U) = P(τxS ∈ U).

Um exemplo de processo estacionario e o processo de Poisson homogeneo, definido na secaoanterior. Outros exemplos sao o processo construıdo no Exemplo 2.1, e o processo de Cox (Exemplo2.2) definido por um campo Z estacionario.

Definicao 2.3. Dado um Processo Pontual S, a medida de intensidade de S e a funcao de conjuntos

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20 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

λ : B(Rd)→ R+ dada porλ(A) := E[S(A)]. (2.7)

Proposicao 2.4. λ e uma medida (Rd,B(Rd)). Se S e estacionario e tal que λ(A) < ∞ para todoA ∈ B(Rd) limitado, entao λ(·) = ρ`(·) para algum ρ > 0.

Demonstracao. A σ-aditividade de λ segue da σ-aditividade de S. Tomando uma sequencia crescentede conjuntos An A, segue do teorema da convergencia monotona que λ(An) λ(A). E assim λ econtınua inferiormente e portanto uma medida.

No caso estacionario, λ e claramente invariante por translacoes no Rd. Se alem disso for localmentefinita, so pode ser multiplo da medida de Lebesgue.

A medida λ e tambem chamada de medida de primeiro momento do processo S. No caso emque λ e localmente finita, dizemos que que S tem primeiro momento finito. Tal conceito pode serfacilmente estendido para outros momentos.

Definicao 2.5. Definimos medida de momento de ordem k de um Processo Pontual N como amedida λ(k) em (Rd)k dada por

λ(k)(A1 × · · · ×Ak) := E[|N ∩A1| · · · |N ∩Ak|]. (2.8)

Argumentos usuais agora nos mostram como integrar com relacao a λ(k), e como consequenciatemos uma maneira de calcular momentos de somas aleatorias. Este e o conteudo do lema a seguir.

Lema 2.6. Se f : (Rd)k → R e limitada e tem suporte limitado entao

E[∑

xi∈S,i=1,...,k

f(x1, . . . , xk)] =∫

(Rd)kfdλ(k), (2.9)

em particular

E[(∑v∈S

h(v))k] =∫

(Rd)kh(x1) · · ·h(xk)λ(k)(dx1 × · · · × dxk), (2.10)

para toda h : R→ R limitada com suporte limitado.

Demonstracao. No caso k = 1 basta seguir os argumentos tradicionais de indicadoras, para funcoessimples, para limites monotonos de funcoes simples.

Para os outros casos definimos o processo pontual Sk em (Rd)k por Sk(A1 × · · · × Ak) =S(A1) · · ·S(Ak), e daı e so observar que λ(k) e apenas a medida intensidade do processo Sk e oresultado segue do caso k = 1.

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2.3. PROCESSOS PONTUAIS ESTACIONARIOS 21

Para obter (2.10) basta fazer f(x1, · · · , xk) =∏ki=1 h(xi) em (2.9).

Teorema Ergodico Espacial Antes de continuarmos com o estudo de processos pontuais esta-cionarios, faremos um breve parentese para enunciar um importante resultado na teoria de processosespaciais: o Teorema Ergodico Espacial. Provado em 1972 (ver [26]), este teorema e a versao espacial(d > 1) do importante Teorema Ergodico de Birkhoff (ver [9]).

Considere entao um espaco mensuravel (Ω,F), onde esteja definido um grupo de transformacoesmensuraveis ω 7→ Txω indexado por x ∈ Rd. No contexto tratado ate agora, podemos considerar ogrupo τx;x ∈ Rd agindo sobre (N ,B(N )).

Neste contexto, diremos que uma medida de probabilidade P definida em (Ω,F) e invariante poracoes do grupo se TxP = P para todo x ∈ Rd. Diremos que um evento U ∈ F e invariante pelaacao do grupo se P(TxU4U) = 0 para todo x ∈ Rd. E um exercıcio simples verificar que a famıliade eventos I = U ∈ F : U e invariante por acoes do grupo forma uma σ-algebra. Continuandoa analogia com processos pontuais, consideraremos a distribuicao µ em (N ,B(N )) de um processopontual estacionario, e neste caso diremos que tanto a medida, quanto os eventos de I, sao invariantespor translacoes.

Antes de enunciarmos o teorema ergodico, precisamos de uma ultima definicao.

Definicao 2.7. Diremos que An;n ≥ 0 ⊂ B(Rd) e uma sequencia convexa mediadora em Rd se

(i) An e convexo para todo n ≥ 0;

(ii) An ⊆ An+1 para todo n ≥ 0;

(iii) r(An) := supr : An contem uma bola de raio r → ∞ quando n→∞.

Teorema 2.8 (Teorema Ergodico Espacial). Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade, G = Tx;x ∈Rd um grupo de transformacoes em Ω tal que P e invariante por acoes de G, e (Λn;n ≥ 0) ⊂ B(Rd)uma sequencia convexa mediadora. Nestas condicoes vale que para toda f ∈ L1(P),

limn→∞

1`(Λn)

∫Λn

f(Txω)dx = E[f |I], q.c..

2.3.1 Processos Pontuais Ergodicos e Mixing

Nesta secao definiremos processos pontuais ergodicos e mixing, e enunciaremos os resultados maisimportantes relacionados a tais processos. O leitor interessado em maiores detalhes e demonstracoesdos resultados descritos abaixo pode procurar, por exemplo, o livro [7], que traz em detalhes tudo oque sera descrito aqui.

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22 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

Para facilitar a notacao, deste ponto ate o final do trabalho, dado um processo estacionario S,denotaremos por µ a lei de S em (N ,B(N )). Por ora nao faremos distincao entre processos marcadosou nao.

Seja S um processo pontual estacionario (marcado ou nao) em Rd e An;n ≥ 0 uma sequenciaconvexa mediadora em Rd. Diremos que µ e

(i) ergodica para o grupo τx;x ∈ Rd, ou simplesmente que S e ergodico, se

limn→∞

1`(An)

∫An

[µ(U1 ∩ τxU2)− µ(U1)µ(U2)]dx = 0, (2.11)

para todo U1, U2 ∈ B(N );

(ii) mixing para o grupo τx;x ∈ Rd, ou simplesmente que S e mixing, se

lim‖x‖→∞

|µ(U1 ∩ τxU2)− µ(U1)µ(U2)| = 0, (2.12)

para todo U1, U2 ∈ B(N );

E facil ver que se S e mixing entao S e ergodico, mas o inverso pode nao ser verdade. Exemplosnaturais podem ser encontrados entre os chamados processo periodicos, que definimos a seguir. Paraisso, considere o evento

M = ξ ∈ N : ∃x ∈ Rd tal que τxξ = ξ, x 6= 0.

Diremos que um processo pontual e S e periodico se P(S ∈ M) = 1. O processo construıdo noExemplo 2.1 e um exemplo de processo periodico. Este e tambem um exemplo de processo ergodico,mas nao mixing.

Observe agora que, se S e um processo pontual ergodico com lei µ e U ∈ I, a σ-algebra doseventos invariantes por translacao, entao, pela equacao (2.11), temos que

µ(U)− µ(U)2 =1

`(An)

∫An

[µ(U ∩ U)− µ(U)2]dx =1

`(An)

∫An

[µ(U ∩ τxU)− µ(U)2]dx→ 0,

de onde segue que µ(U) = µ(U)2 e assim µ(U) ∈ 0, 1. Por outro lado, se I e trivial, fazendof := 1U1 temos que f τx = 1τ−xU1 e do Teorema 2.8

1`(An)

∫An

1τxU1∩U2dx =1

`(An)1U2

∫An

f τ−xdx→ 1U2µ(U1),

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2.4. MEDIDAS DE PALM 23

µ-quase-certamente. Integrando com relacao a µ, pelo teorema da convergencia dominada, obtemosentao que

1`(An)

∫An

[µ(U1 ∩ τxU2)− µ(U1)µ(U2)]dx→ 0,

de onde concluımos que µ e ergodica. Mostramos assim que ergodicidade e equivalente a σ-algebrainvariante I ser trivial.

Do mesmo modo, dizer que um processo pontual S e mixing e equivalente a σ-algebra J deeventos caudais para S e trivial. Para definir esta σ-algebra, dado n ≥ 0 denote por Jn a menorσ-algebra para a qual S(A), A ∈ B(Rd\[−n, n]d) e mensuravel, ou seja, a σ-algebra determinada pelocomportamento de S fora de [−n, n]d. A σ-algebra caudal e definida entao como a interseccao detodas as Jn, isto e,

J =⋂n≥0

Jn.

Em geral, J e maior que I. Como nao teremos necessidade de tais conceitos, nao nos estenderemosmais no assunto. O leitor interessado em maiores detalhes sobre a relacao entre mixing e a trivialidadede J deve ver [7].

2.4 Medidas de Palm

Nesta secao introduziremos a chamada medida de Palm associada a um processo pontual. Estamedida representa a distribuicao do processo visto de um ponto tıpico, ou ainda, de um ponto escolhidoao acaso. Tais interpretacoes ficarao mais claras apos a definicao que daremos a seguir. Apesar depoderem ser definidas em um contexto geral, as principais aplicacoes de tais medidas estao no estudode processos pontuais estacionarios. Por esta razao nos concentraremos em dar sua definicao apenasnesta classe de processos.

Dado um processo pontual estacionario S, seja ν : B(Rd ×N )→ [0,+∞] a medida dada por

ν(A× U) = E

[ ∑v∈S∩A

1U (τvS)

].

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24 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

Note que para cada x ∈ Rd e U ∈ B(N ) fixos

ν(τxA× U) = E

[ ∑v∈S∩τxA

1U (τvS)

]

= E

[ ∑v∈τxS∩A

1U (τvτxS)

]

= E

[ ∑v∈S∩A

1U (τvS)

]= ν(A× U),

Deste modo, para cada U ∈ B(N ) existe uma constante ν(U) tal que

ν(A× U) = ν(U)`(A).

Nao e difıcil mostrar que ν e uma medida em (N ,B(N )). Alem disso, se S tem intensidade λ < ∞entao ν(A×N ) = λ`(A) e portanto

ν(N ) = λ,

e assim podemos definir uma medida de probabilidade µo em (N ,B(N )) por

µo(·) :=1λν(·).

A medida µo que acabamos de definir e conhecida como Medida de Palm associada ao processoestacionario S. O processo pontual com lei µo sera denotado por So e denominado de versao Palmde S.

Em outras palavras, µo e a medida em B(N ) dada por

µo(U) :=1λ

E[∑

v∈S∩C1

1U (τvS)], (2.13)

onde C1 = [−12 ,

12 ]d, e U ∈ B(N ).

Observe que a definicao acima e valida para processos estacionarios marcados ou nao. Nestecaso, se S e um processo marcado estacionario denotaremos por µ sua lei, por µo a medida de Palmassociada e S, e por So sua versao de Palm. Uma inspecao mais cuidadosa da definicao acima mostraque, se So possui marcas independentes (do processo e entre si), entao as marcas em So tem a mesmapropriedade.

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2.4. MEDIDAS DE PALM 25

E importante observar que a medida µo so enxerga configuracoes com um ponto na origem. Defato, definindo

N o := ξ ∈ N : 0 ∈ ξ,

temos que se ξ ∈ N entao para todo x ∈ Rd temos que τxξ ∈ N , em particular, se x ∈ ξ vale tambemque τxξ ∈ N o. E assim, por (2.13)

µo(N o) =1λ

E[∑

v∈S∩C1

1N o(τvS)]

=1λ

E[|S ∩ C1|]

= 1.

Da mesma forma, vale que

Proposicao 2.9. Se S e um processo pontual estacionario e Γ ∈ B(N ) um evento invariante portranslacoes com µ(Γ) = 1, entao

µo(Γo) = 1,

onde Γo = Γ ∩N o.

Demonstracao. Como argumentado acima, pela invariancia por translacoes de Γ, se ξ ∈ Γ entao paratodo x ∈ Rd temos que τxξ ∈ Γ, em particular, se x ∈ ξ vale tambem que τxξ ∈ N o e portantoτxξ ∈ Γo. Assim, pela definicao de µo vale que

µo(Γo) =1λ

E[∑

v∈S∩C1

1Γo(τxS)]

=1λ

∫Γ

∑v∈S∩C1

1Γo(τxξ)µ(dξ)

=1λ

∫Γ|ξ ∩ C1|µ(dξ)

= 1.

Vamos agora enumerar algumas das diferentes caracterizacoes para medida de Palm encontradasna literatura. Todas as caracterizacoes listadas a seguir podem ser encontradas em [7] ou [27].

A proposicao abaixo, cuja demonstracao pode ser encontrada em [7], justifica a interpretacaode que a medida de Palm e dada pela distribuicao do processo, condicionada a haver um ponto na

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26 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

origem.

Proposicao 2.10. Se S e um processo pontual estacionario e v∗ ∈ S e o ponto do processo maisproximo da origem, entao para toda f : N → R mensuravel, positiva e limitada

E[f(So)] = limr→0E[f(τv∗S)|S(Br) > 0],

onde Br ∈ Rd e a bola de raio r e centro na origem.

No caso em que S e um processo de Poisson, uma simples aplicacao da formula de Slivniack-Mecke (Proposicao 2.1), mostra que So pode ser construıdo a partir de S simplesmente adicionandoum ponto na origem. Ou seja, o processo S + δ0 e distribuıdo de acordo com a medida de Palmassociada a S. Mais do que isso, pode-se mostrar que se S+ δ0 tem lei de Palm associada com algumprocesso S, entao S e necessariamente um processo de Poisson, de modo que apenas o processo dePoisson tem esta caracterıstica.

A proxima Proposicao, que pode ser encontrada em [7] e [27], relaciona as medidas µ e µo atravesdas celulas de Voronoi.

Proposicao 2.11. Se S e estacionario com intensidade finita λ, entao para toda f : N → Rmensuravel

E[f(S)] = λE[`(C(0, ξ))f(τUSo)],

onde, condicionado a So, U e distribuido uniformemente em C(0, So).

Como aplicacao direta da Proposicao anterior concluımos que

E[`(C(0, So))] =1λ.

O proximo resultado caracteriza o processo S como o limite assintotico de τxSo. Em palavras,a medida que nos afastamos da origem o processo So, mais o processo se aproxima do equilibrio, separecendo mais com o processo estacionario S. Isso e claro para processos de Poisson, uma vez queque podemos acoplar So e S fazendo So = S + δ0.

Proposicao 2.12. Se S e mixing entao para toda f : N → R mensuravel e limitada

lim‖x‖→∞

E[f(τxSo)] = E[f(S)].

Corolario 2.13. Se S e mixing, entao τxSo converge fraco para S quando ‖x‖ → ∞.

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2.4. MEDIDAS DE PALM 27

A seguir enunciaremos dois importantes resultados relacionados a teoria de Palm para processospontuais estacionarios. O primeiro, conhecido como Formula de Campbell, pode ser demonstradoutilizando tecnicas padrao da teoria de medidas. O segundo determina as propriedades ergodicasde µo, e e consequencia (nao tao direta) do Teorema 2.8, alem de reforcar a intrepetacao de quea medida de Palm representa a lei do processo visto a partir de um ponto escolhido ao acaso. Ademonstracao de ambos pode ser encontrada em [7].

Proposicao 2.14 (Formula de Campbell). Se So e a versao de Palm de um processo pontual esta-cionario S de intensidade λ <∞, entao

E[∑v∈S

f(v, S)] = λ

∫E[f(x, τ−xSo)]dx.

Equivalentemente

E[∑v∈S

f(v, τvS)] = λ

∫E[f(x, So)]dx.

Proposicao 2.15 (Teorema Ergodico Pontual). Se S e um processo pontual ergodico com intensidadeλ <∞ e f ∈ L1(N , µo), entao para toda sequencia convexa mediadora An;n ≥ 1

limn→∞

1`(An)

∑v∈So∩An

f(τvS) = λE[f(So)] q.c..

O Princıpio de Transporte de Massa Outro resultado importante relacionado com a teoriade Palm em processos pontuais e o Princıpio de Transporte de Massa (PTM) que, de maneirasimplificada, diz que para processos pontuais estacionarios S, “massa total media que deixa a origemem So e igual a massa media que entra na origem”. A “massa” a qual nos referimos sera dada poruma funcao g : Rd×Rd×N (Rd)→ R, onde para x, y ∈ ξ, g(x, y, ξ) representa a massa transportadaentre x e y. Diremos que g e covariante se para todo x, y, z ∈ ξ vale que

g(x, y, ξ) = g(x− z, y − z, τzξ).

Mais precisamente, vale que

Lema 2.16 (Princıpio de Transporte de Massa). Seja S um processo pontual estacionario em Rd

com intensidade λ <∞ . Seja g : Rd × Rd ×N (Rd)→ R covariante. Se g e positiva, ou tal que

E

[∑v∈So

|g(0, v, So)|

]<∞,

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28 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

entao

E

[∑v∈So

g(0, v, So)

]= E

[∑v∈So

g(v, 0, So)

].

Demonstracao. Para cada zk ∈ Zd, seja Czk = [−12 ,

12 ]d + zk.

Sem perda de generalidade, considere λ = 1.

Vamos primeiro olhar para o caso em que g e positiva. Da covariancia de g segue que

E

[∑v∈So

g(0, v, So)

]= E

∑v∈S∩C0

∑w∈τvS

g(0, w, τvS)

= E

∑v∈S∩C0

∑w∈S

g(0, w − v, τvS)

= E

∑v∈S∩C0

∑w∈S

g(v, w, S)

= E

∑v∈S∩C0

∞∑k=0

∑w∈S∩Czk

g(v, w, S)

Agora, da estacionariedade de S e do Teorema da Convergencia Monotona, segue que

E

[∑v∈So

g(0, v, So)

]=∞∑k=0

E

∑v∈S∩C0

∑w∈S∩Czk

g(v, w, S)

=∞∑k=0

E

∑v∈τzkS∩C−zk

∑w∈τzkS∩C0

g(v + zk, w + zk, S)

=∞∑k=0

E

∑v∈τzkS∩C−zk

∑w∈τzkS∩C0

g(v, w, τzkS)

=∞∑k=0

E

∑w∈S∩C0

∑v∈S∩C−zk

g(v, w, S)

.

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2.4. MEDIDAS DE PALM 29

Concluimos entao que

E

[∑v∈So

g(0, v, So)

]= E

∑w∈S∩C0

∞∑k=0

∑v∈S∩C−zk

g(v, w, S)

= E

∑w∈S∩C0

∑v∈S

g(v, w, S)

= E

∑w∈S∩C0

∑v∈S

g(v − w, 0, τwS)

= E

∑w∈S∩C0

∑v∈τwS

g(v, 0, τwS)

= E

[∑v∈So

g(v, 0, So)

].

Para o caso integravel, observamos primeiro que da primeira parte do lema segue que

E

[∑v∈So

|g(v, 0, So)|

]= E

[∑v∈So

|g(0, v, So)|

]<∞.

Deste ponto em diante, a demostracao segue os mesmos passos do caso positivo, mas agorautilizando o Teorema da Convergencia Dominada para trocar a esperanca com a soma.

2.4.1 Shifts Bijetivos e a Estacionariedade Pontual

Para que possamos expor melhor o conceito que queremos explorar, comecemos com um exemplosimples em d = 1. Seja N um processo de Poisson estacionario de intensidade 1 em R. EscrevaN = . . . , S−2, S−1, S0, S1, S2, . . ., com · · · < S−1 < 0 ≤ S0 < S1 < · · · . Considere agora a versaoPalm No = N ∪ 0 e enumere os pontos de No de modo que · · · < S−1 < 0 = S0 < S1 < · · · . Aofazer isso as variaveis Sk − Sk−1 passam a ser independentes com distribuicao Exponencial de media1, para todo k ∈ Z, de modo que os intervalos entre pontos formam agora um processo estacionario.

Observacao 2.4.1. O mesmo acontece para qualquer processo pontual estacionario em R. Ou seja,para todo processo estacionario N em R, sua versao Palm e tal que os intervalos entre pontos formamum processo estacionario. Para maiores detalhes ver [6].

Em [27] Thorisson chama esta propriedade de ciclo-estacionariedade (ou estacionariedade porintervalos), e pergunta como fazer para estender esta teoria para d > 1. Neste caso, a funcao

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30 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

dos intervalos poderiam ser facilmente exercida pelas celulas de Voronoi, mas a nocao de ciclo-estacionariedade e mais complicada de se formular em d > 1.

Para fazer o papel da ciclo-estacionariedade em dimensoes superiores a 1, Thorisson introduzentao a nocao de ponto-estacionariedade. Em palavras, seria o mesmo que dizer que um dadoprocesso pontual com um ponto na origem tem a mesma lei visto a partir de qualquer outro pontodo processo. Para d = 1 isso se resume a dizer que τSnNo (o processo No visto a partir de Sn) tema mesma distribuicao de No. Isso e claro para processos de renovacao, mas pode ser estendido paraprocessos pontuais estacionarios gerais. Em d > 1 tambem nao e completamente claro o que istosignifica, uma vez a posicao dos pontos e aleatoria, e a frase “visto de um ponto do processo” naotem significado preciso.

O problema se resuma agora a encontrar maneiras de se escolher um ponto dentro de um processopontual. Mas tal escolha nao pode ser feita de qualquer maneira. Para que a lei seja mantida, umavez que translademos da origem para o ponto selecionado, precisamos ser capazes de voltar para oponto original, isto e, o modo de escolha deve ser “bijetivo”.

A seguir vamos fazer um pequeno resumo da teoria de ponto-estacionariedade. Tal teoria, queteve inıcio em [27] teve muitos avancos ao longo dos ultimos anos, e um apanhado dos principaisresultados pode ser encontrado em [7].

Diremos que uma funcao ϕ : N (Rd)→ Rd e um mapeamento pontual (ou point-map) se ϕ(ξ) ∈ ξsempre que ξ ∈ N o (ou seja, se 0 ∈ ξ). Dado um mapeamento pontual segue naturalmente um shiftpontual dado por ξ 7→ σ(ξ) := τϕ(ξ)ξ. Diremos que tanto o mapeamento pontual ϕ quanto o shiftpontual associado σ sao bijetivos se a funcao x 7→ ψξ(x) := ϕ(τxξ) + x e uma bijecao em ξ. Nestecaso observe que a funcao inversa de ψξ e da forma

ψ−1ξ (x) := ψ−1

τxξ(0) + x.

O lema abaixo mostra que medidas de Palm associadas a processos pontuais estacionarios sao invari-antes por shifts feitos a partir de mapeamentos pontuais bijetivos. Mais exatamente, vale que

Lema 2.17. Se S e processo pontual estacionario de intensidade λ < ∞ e ϕ : N (Rd) → Rd ummapeamento pontual bijetivo e σ o shift pontual associado, entao

E[g(σ(So))] = E[g(So)],

para toda g : N → R.

Demonstracao. Sem perda de generalidade considere λ = 1 e observe que se A = [−1/2, 1/2]d, entao

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2.4. MEDIDAS DE PALM 31

pela Formula de Campbell (Proposicao 2.14)

E[g(σ(So))] = E[g(τϕ(So)So)]

= E[∑v∈S

1A(v)g(τϕ(τvS)+vS)]

= E[∑v∈S

1A(v)g(τψS(v)S)]

= E[∑w∈S

1A(ψ−1S (w))g(τwS)]

= E[∑w∈S

1A(ψ−1τwS

(0) + w)g(τwS)]

= E[∫

1A(ψ−1So (0) + x)g(So)dx]

= E[g(So)]

Neste sentido segue a seguinte definicao.

Definicao 2.18. Diremos que um processo pontual So e ponto estacionario se P(0 ∈ So) = 1 e a leide So e invariante para todo shift bijetivo σ.

O exemplo a seguir foi dado por Haggstrom e citado em [27]

Exemplo 2.3. Diremos que v, w em ξ ∈ N (Rd) sao vizinhos mais proximos mutuos em ξ se o pontode ξ mais proximo de v e w e o ponto de ξ mais proximo de w e v. Defina entao o shift pontualϕ : N o → Rd dado por

ϕ(ξ) =

v, se v e 0 sao vizinhos mais proximos mutuos em ξ,

0, caso contrario.

Em [15] Heveling e Last mostram a famılia de shifts bijetivos e rica o suficiente para determinaras medidas de Palm. Ou seja, que ponto-estacionaridade e uma caracteristica apenas de medidas dePalm, no sentido de que todo processo N ponto-estacionario e distribuıdo de acordo com a medidade Palm associada a algum processo pontual estacionario.

No mesmo artigo, os autores mostram tambem que existem mapeamentos pontuais bijetivosque nao possuem pontos fixos, o que motiva uma outra pergunta: dado um processo So, e possıvelencontrar um mapeamento bijetivo ϕ tal que So = ϕn(So);n ∈ Z, onde ϕn(So) = ϕn−1(τϕ(So)S

o) =ϕn−1(σ(So))?

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32 CAPITULO 2. PROCESSOS PONTUAIS

Em [10] Ferrari et.al. resolveram este problema para processos de Poisson em dimensoes 2 e3, construindo uma arvore invariante por isometrias de Rd utilizando todos os pontos do processo.Em [16] Holroyd e Peres estendem o resultado para processos de Poisson em todas as dimensoes.Em 2004, Timar [28] mostrou que existe uma arvore com estas caracterısticas para todo processopontual ergodico com todos os grupos de isometrias triviais (em relacao a µ). Em [15] Heveling eLast conjeturaram que esta propriedade deve valer para todo processo estacionario nao-periodico S,no sentido de que quase-certamente nao existe x ∈ Rd tal que τxS = S

Deste ponto em diante, trataremos apenas de processos pontuais para os quais possamos escreverSo = ϕn(So);n ∈ Z para algum mapeamento pontual bijetivo ϕ.

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Capıtulo 3

O Passeio Aleatorio e o Meio visto da Partıcula

Este capıtulo sera dedicado ao estudo do passeio aleatorio simples no grafo de Delaunay. Osresultados obtidos aqui serao necessarios para entendermos o processo de Harness, principal objetode interesse neste trabalho, que construiremos no proximo capıtulo. Para estudar o passeio aleatorioutilizaremos sua relacao com outro modelo: o meio visto da partıcula. Este e o processo utilizadoem [19] para o estudo do passeio aleatorio no cluster infinito de percolacao supercrıtica.

Como comentado na introducao deste trabalho, apesar de enunciarmos os resultados principais emtermos de um processo de Poisson em Rd, os mesmos resultados valem para processos estacionariossatisfazendo certas condicoes. Tais hipoteses sao necessarias para que alguns resultados preliminarespossam ser estendidos para outros processos pontuais estacionarios. E interessante comentar que,mesmo que cada uma das condicoes listadas a seguir apareca na demostracao de algum lema ouproposicao, elas nunca aparecem todas ao mesmo tempo. De modo que e interessante que listemostodas estas hipoteses antes de seguirmos com nosso trabalho.

Hipoteses H1. Nas hipoteses que seguem S e um processo pontual estacionario em Rd com inten-sidade finita, e versao de Palm So.

(i) S e mixing;

(ii) S e isotropico, no sentido de sua lei ser invariante por isometrias de Rd;

(iii) S e aperiodico, i.e.,P(∃x ∈ Rd : τxS = S, x 6= 0) = 0;

(iv) Nenhum conjunto de d+ 2 pontos em S estao na fronteira de uma mesma bola;

(v) E[|V2(0, So)|3] <∞, ondeV2(0, So) :=

⋃v∈V (0)

|V (v)|;

33

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34 CAPITULO 3. O PASSEIO ALEATORIO E O MEIO VISTO DA PARTICULA

(vi) E[∑

v∈So a(0, v)|v1|r] <∞ para algum r > 4;

(vii) E[|`(C(0, So))|2] <∞;

(viii) Podemos escrever So = ϕn(So);n ∈ Z, para algum mapeamento pontual bijetivo ϕ.

A condicao (iii), apesar de essencial na relacao entre o passeio aleatorio e o meio visto da partıcula,pode ser facilmente contornada. Basta que associemos a cada ponto v ∈ S uma marca Uv uniformeem [0, 1], independentes entre si e independentes de S.

A hipotese (iv) torna possıvel a construcao alternativa do grafo de Delaunay feita na observacao1.1.1 e, em ultima instancia, tornam possıveis as estimativas feitas em (2.2), (2.3) e (2.4). A verficacaode tal hipotese para o processo de Poisson homogeneo e parte dos resultados principais em [29].

As outras hipoteses foram verificadas para o processo de Poisson no capıtulo anterior. Infeliz-mente, ainda nao e claro que condicoes devem ser satisfeitas por um processo pontual para que taishipoteses sejam verificadas.

Na proxima secao, vamos relembrar alguns resultados sobre processos Markovianos.

3.1 Uma breve revisao sobre Processos de Markov

Dado em e.m.c.s. X , denote por BF (X ) o espaco das funcoes limitadas em X . Considere agoraum processo de Markov Sn;n ≥ 0 com valores em Ξ e trajetorias x = (xn)n≥0 ∈ ΞZ+

. Para m ≥ 0denote por θm e Rm, respectivamente, os operadores de translacao temporal e reflexao temporal emΞZ+

, dados por

(θmx)n := xn+m, (3.1)

(Rmx)n := x2m−n, n ≤ 2m. (3.2)

Denotaremos por Px a lei de Sn;n ≥ 0 dado S0 = x. Do mesmo modo, denotaremos por Pµ a leido processo quando a distribuicao inicial e µ, ou seja, Pµ =

∫µ(dx)Px. Diremos que St e estacionario

sob µ se, para toda F ∈ BF (ΞZ+

) cilındrica (dependendo apenas de (xn)n∈I , para algum I ⊂ Z+

finito),Eµ(F ) = Eµ(F θm), ∀m ≥ 0,

o que, pela propriedade de Markov, e equivalente a

Eµ(f(S1)) = Eµ(f(S0)), ∀f ∈ BF (Ξ). (3.3)

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3.2. O PASSEIO ALEATORIO EM G E O MEIO VISTO DA PARTICULA 35

Da mesma forma, Sn e reversıvel sob µ (ou µ reversıvel para Sn) se para toda F ∈ BF (ΞZ+

) nasmesmas condicoes descritas acima,

Eµ(F ) = Eµ(F Rm), ∀m ≥ 0,

ou equivalentemente

Eµ(f(S0)g(S1)) = Eµ(f(S1)g(S0)), ∀f, g ∈ BF (Ξ). (3.4)

E importante observar que invariancia e consequencia direta de reversibilidade (basta fazer f ≡ 1em (3.4)). Finalmente, diremos que um processo estacionario St e ergodico (temporal) sob µ, sePµ(A) ∈ 0, 1 sempre que A ∈ B(ΞZ+

) e invariante para θ1, no sentido de θ1A = A.

Lembramos tambem que, pelo teorema de extensao de Kolmogorov, a lei de todo processo esta-cionario com trajetoria em ΞZ+

pode ser estendida para ΞZ. Neste caso consideraremos a extensaodos operadores (3.1) e (3.2) para sequencias em ΞZ.

3.2 O Passeio Aleatorio em G e o Meio Visto da Partıcula

Fixe uma configuracao de pontos ξ ∈ N o, e considere Xn um passeio aleatorio simples em G(ξ).Para v ∈ ξ denote por P vξ e Evξ a lei e esperanca de Xn em (ξ)Z+

com estado inicial v, ou seja,P vξ (X0 = v) = 1 e

P vξ (Xn = v′|Xn−1 = w) =a(w, v′, ξ)a(w, ξ)

.

Para construir o passeio em tempo contınuo, seja N = Tv; v ∈ N um processo de Poissonhomogeneo de taxa 1 em R+, independente de (Xn)n≥0. Defina agora

Xt := XN(t), (3.5)

onde N(t) = N(0, t] e o numero de pontos de N no intervalo (0, t]. Faca P vξ = P vξ ⊗Q, onde Q e alei de N em (N (R+),B(N (R+))).

Para tentar compreender melhor algumas propriedades dos passeios Xt e Xn com estado inicial0 ∈ ξ, defina o processo

Sn = τXnξ.

Tal processo, pode ser interpretado como o meio vista da partıcula que realiza o passeio aleatorio Xn

com lei P 0ξ . Sn e claramente um processo de Markov com valores em N o e, assim como anteriormente,

denotaremos por Pξ a lei de Sn em (N o)Z+com estado inicial ξ .

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36 CAPITULO 3. O PASSEIO ALEATORIO E O MEIO VISTO DA PARTICULA

Tendo em maos a trajetoria de Sn, vamos agora tentar recuperar a trajetoria do passeio Xn.Para isto, no entanto, e necessario que o meio onde acontece o passeio seja aperiodico. Relembrando,diremos que um processo pontual S e aperiodico se P(S ∈M′) = 1, onde M′ ⊆ N e dado por

M′ = ξ ∈ N : τxξ 6= ξ para todo x ∈ Rd, x 6= 0. (3.6)

Para o que segue, considere portanto um processo S aperiodico.

Seja Λ: M′ ×N o → Rd dada por

Λ(ξ, ξ′) =

v; se ξ′ = τvξ;

0; caso contrario.(3.7)

Note que, se S0 = ξ ∈M′, entao Sn ∈M e

Xn −Xn−1 = Λ(Sn−1, Sn) (3.8)

para todo n ≥ 0. Mais do que isso, vale tambem que

Xn −X0 = Λ(S0, Sn) =n∑k=1

Λ(Sk−1, Sk).

Dado um processo pontual ergodico So em Rd, denote por νo a medida de probabilidade em(N o,B(N o)) dada por ∫

φ(ξ)νo(dξ) =1

E[|V (0)|]E[|V (0)|φ(So)].

Lema 3.1. O processo (Sn)n≥0 e reversıvel e ergodico sob νo.

Demonstracao. Verificar reversibilidade e equivalente a mostrar que∫Eξ[f(ξ)g(S1)]νo(dξ) =

∫Eξ[f(S1)g(ξ)]νo(dξ),

para f, g limitadas.

Para isso, faca φ(v, w, So) = a(v, w, So)f(τvSo)g(τwSo) e note que φ e covariante e integravel, e

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3.2. O PASSEIO ALEATORIO EM G E O MEIO VISTO DA PARTICULA 37

portanto, pelo principio de transporte de massa, vale que∫Eξ[f(ξ)g(S1)]νo(dξ) = (1/E[|V (0)|])E[

∑v∈So

a(0, v, So)f(So)g(τvSo)]

= (1/E[|V (0)|])E[∑v∈So

φ(0, v, So)]

= (1/E[|V (0)|])E[∑v∈So

φ(v, 0, So)]

= (1/E[|V (0)|])E[∑v∈So

a(0, v, So)f(τvSo)g(So)]

=∫Eξ[f(S1)g(ξ)]νo(dξ).

Para mostrar a ergodicidade, considere um evento A ∈ B(N o) tal que θ1A = A, e note que seξ ∈ A entao τvξ ∈ A para todo v ∈ ξ. De fato, pela conectividade de G(ξ), dado v ∈ ξ existe n > 0tal que τvξ ∈ θnA = A. Segue portanto de Proposicao 2.9 que µo(A) := P(So ∈ A) ∈ 0, 1 e, comoνo µo e µo νo, segue que νo(A) ∈ 0, 1.

O Lema 3.1 nos permite agora compreender melhor algumas propriedades do passeio aleatorioXt.

Proposicao 3.2. Dados r ≥ 1 e c ∈ Rd, se So e tal que E[∑

v∈V (0) |(c · v)|r] <∞ entao existe umaconstante C > 0 tal que

E(E0So [|(c ·Xt)|r]) ≤ CMr(t),

onde Mr(t) e o r-esimo momento de uma variavel aleatorio de Poisson com parametro t.

Demonstracao. Note que

E(E0So [|(c ·Xt)|r]) =

∞∑n=0

E(E0So [|(c · Xn)|r1N(t)=n]) =

∞∑n=0

E(E0So [|(c · Xn)|r])e−t t

n

n!.

Observe que (c · Xn) =∑n

k=1(c · [Xk − Xk−1]),

e portanto, da desigualdade de Holder, segue que

|(c · Xn)|r ≤ nr−1n∑k=1

|(c · [Xk − Xk−1])|r,

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38 CAPITULO 3. O PASSEIO ALEATORIO E O MEIO VISTO DA PARTICULA

Da reversibilidade de νo concluımos entao que

E[E0So [|(c · Xn)|r] ≤ nr−1

n∑k=1

E(E0So [|(c · [Xk − Xk−1])|r])

≤ nr−1E[|V (0)|]n∑k=1

Eνo [|(c · Λ(Sk−1, Sk))|r]

= nrE[|V (0)|]Eνo [|(c · Λ(S0, S1))|r]

= nrE[|V (0)|E0So [|(c · X1)|r]]

= nrE[∑v∈So

a(0, v, So)|(c · v)|r],

e portanto, fazendo C := E[∑

v∈So a(0, v, So)|(c · v)|r], obtemos

E(E0So [|(c ·Xt)|r]) ≤ C

∞∑n=0

nre−ttn

n!< CMr(t).

O Lema abaixo e parte integrante da demonstracao do Teorema 2.1 de [19]. Incluiremos umaversao resumida da demonstracao original apenas para completude do trabalho.

Lema 3.3. Se So e tal queE[

∑v∈V (0,So)

|c · v|2] <∞,

entao

limn→∞

E(|V (0)|E0So [|(c · Xn)|2])n

<∞, (3.9)

e

limt→∞

E(|V (0)|E0So [|(c ·Xt)|2])n

<∞. (3.10)

Demonstracao. Seguindo a equacao (3.8) defina

Yn = (c · Λ(Sn−1, Sn)),

e note que (c · Xn) =∑n

k=1 Yk, e portanto

1E[|V (0)|]

E(|V (0)|E0So [|(c · Xn)|2]) = Eνo

( n∑k=1

Yk

)2 .

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3.2. O PASSEIO ALEATORIO EM G E O MEIO VISTO DA PARTICULA 39

Seja Fn a σ-algebra gerada por Sk; k = 0, . . . , n, e defina

φn−1 = Eνo [Yn|Fn−1].

Note agora que a sequenciaMn = Yn − φn−1

e estacionaria (sob νo), quadrado-integravel (segue do Proposicao 3.2) e tal que

n∑k=1

Mk

e um martingal com relacao a Fk; k ≥ 0.

Observe tambem que

Eνo

[(n∑k=1

Yk

)(n∑k=0

φk

)]= 0. (3.11)

De fato, escrevendo φ(S0, . . . , Sn) =∑n

k=0 φk, segue da reversibilidade de νo que

Eνo

[(n∑k=1

Yk

)(n∑k=0

φk

)]= Eνo

[(n∑k=1

Λ(Sk−1, Sk)

)φ(S0, . . . , Sn)

]

= Eνo

[(n∑k=1

Λ(Sk, Sk−1)

)φ(Sn, . . . , S0)

]

= −Eνo

[(n∑k=1

Λ(Sk−1, Sk)

)φ(S0, . . . , Sn)

],

e (3.11) segue.

Concluımos entao que

nEνo [M21 ] = Eνo

( n∑k=1

Yk

)2+ Eνo

(n−1∑k=0

φk

)2− 2Eνo

[(n∑k=1

Yk

)(n−1∑k=0

φk

)]

= Eνo

( n∑k=1

Yk

)2+ Eνo

(n−1∑k=0

φk

)2+ 2Eνo

[φn

(n∑k=1

Yk

)].

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz no terceiro termo da ultima soma, concluımos que os doisprimeiros termos sao de ordem n e o terceiro e da ordem de n

12 , e (3.9) segue. Usando agora que

Xt = XN(t) e N(t) e um Poisson homogeneo, concluimos (3.10).

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40 CAPITULO 3. O PASSEIO ALEATORIO E O MEIO VISTO DA PARTICULA

Observacao 3.2.1. Na demonstracao do Teorema 2.1 em [19], os autores sao mais exatos no resul-tado, conseguindo calcular inclusive o valor de

limn→∞

1nEνo

(n−1∑k=0

φk

)2 ,

mas nao precisamos destes detalhes para nosso proposito.

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Capıtulo 4

O Processo de Harness

A partir deste ponto, e pelo resto do trabalho, S denotara um processo de Poisson homogeneoem Rd, e So = S + δ0 sua versao de Palm. Para facilitar a leitura, e sem perda de generalidade,consideraremos que So tem intensidade λ = 1.

4.1 O Processo de Harness sem Ruıdo

Dada uma configuracao de pontos ξ ∈ N , o Processo de Harness ηγt ∈ Rξ consiste em, iniciandode uma configuracao γ ∈ Rξ, atualizar o valor de ηγt em cada ponto v ∈ ξ, a taxa 1, para a mediaaritmetica da altura de seus vizinhos em G(ξ), isto e, um processo ηγt com valores em Rξ, ηγ0 = γ ∈ Rξ

e geradorLξg(η) =

∑v∈ξ

[g(M ξvη)− g(η)], (4.1)

agindo em funcoes g : Rξ → R limitadas, dependendo apenas de uma quantidade finita de pontos emξ, e onde

M ξvη(w) =

1|V (v,ξ)|

∑u∈ξ a(v, u, ξ)η(u) se w = v;

η(w) se w 6= v.(4.2)

Para nossos objetivos, sera suficiente considerarmos como configuracao inicial apenas funcoeslineares, ou seja, γ(v) = πc(v) = (c · v) para algum c ∈ Rd. Deste ponto em diante, fixado c ∈ Rd

notaremos ηct := ηπct .

4.1.1 A Construcao Grafica

Para construcao grafica do processo, fixado ξ ∈ N , vamos associar a cada ponto v ∈ ξ um processode Poisson T (v) = T1(v);T2(v); . . . de taxa 1 em R+, e um conjunto U(v) = U1(v);U2(v); . . .de variaveis aleatorias independentes e uniformemente distribuıdas no intervalo [0, 1]. Em outras

41

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42 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

palavras, consideraremos configuracoes de pontos ξ ∈ Nm(Rd × N (R+) × [0, 1]), com configuracaode base ξ ∈ N (Rd).

Fixe t > 0 e considere uma famılia Bv[t,s]; s ≤ t, v ∈ ξ de passeios aleatorios simples nos pontos

de ξ, para tras no tempo, comecando em v ∈ ξ no instante t, andando de acordo com as marcastemporais de T = T (v); v ∈ ξ e d as variaveis de U = U(v); v ∈ ξ. Ou seja, Bv

[t,t] = v e seno instante s+ o passeio esta em w ∈ ξ e Tn(w) = s entao o passeio utiliza a variavel Un(w) paraescolher uniformemente um dos vizinhos de w (cada vizinho e escolhido com probabilidade 1

|V (w,ξ)|).Denote por Pξ a lei conjunta de (Bv

[t,s]; v ∈ ξ).

E interessante observar que a lei de Bv[t,0] sob Pξ e a mesma de Xt sob P vξ , para todo v ∈ ξ, ou

seja,Eξ[f(Bv

[t,0])]] = Evξ [f(Xt)]. (4.3)

Defina ηγt (v) como a media de γ(Bv[t,0]) condicionada aos tempos de salto T . Ou seja, abusando

da notacao e chamando de T a σ-algebra gerada por T e definindo

pt(v, w, ξ) = Eξ

[1Bv

[t,0]=w|T

],

entaoηγt (v) =

∑w∈ξ

pt(v, w, ξ)γ(w). (4.4)

Observe que, do modo como foi definido, o processo nao depende das marcas de U . Por estarazao, deste ponto em diante podemos esquecer de tais marcas e considerar ξ como um elemento deNm(Rd ×N (R+)).

Olhando este processo para frente no tempo, verificamos que ηγ0 (v) = γ(v) e, se um relogio Tn(v)toca em um sıtio v ∈ ξ em um instante t, entao,

pt(v, w, ξ) =∑u∈ξ

a(v, u, ξ)V (v)

pt−(u,w, ξ),

e portanto a altura em v e atualizada para

ηγt (v) =∑w∈ξ

∑u∈ξ

a(v, u, ξ)V (v)

pt−(u,w, ξ)γ(w) = M ξvη

γt−(v), (4.5)

enquanto as alturas nos outros pontos de ξ permanecem inalteradas.

Desde ponto em diante, sempre que necessario, tornaremos a dependencia de ηγt em ξ explicita,

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4.1. O PROCESSO DE HARNESS SEM RUIDO 43

escrevendoηγt (v) = ηγt (v, ξ).

E interessante notar quept(v, w, ξ) = pt(0, w − v, τv ξ),

e portanto, dado c ∈ Rd vale que

ηct (v, ξ) =∑w∈ξ

pt(v, w, ξ)(c · w)

=∑w∈ξ

pt(0, w − v, τuξ)(c · [w − v]) + (c · v)

=∑w∈τv ξ

pt(0, w, τv ξ)(c · w) + (c · v)

= ηct (0, τv ξ) + (c · v) (4.6)

Proposicao 4.1. Dado c ∈ Rd, o processo ηγt , com γ(v) = (c · v), esta bem definido e tem gerador(4.1).

Demonstracao. Para verificar que o processo esta bem definido, basta mostrar que a soma do ladodireito de (4.4) e finita.

Para isso, denote por µo a lei do processo pontual marcado So com processo base So e marcasdadas por T (v); v ∈ So, e observe que, por (4.6), so precisamos verificar que, para todo v ∈ So

∑w∈τvSo

pt(0, w, τvSo)(c · w) <∞, µo-quase certamente. (4.7)

Como So e ponto-estacionario, precisamos verificar (4.7) apenas para v = 0. Mas, de (4.3) e pelaProposicao 3.2∫

|∑w∈ξ

pt(0, w, ξ)(c · w)|µo(dξ) ≤ E[ESo

[|(c ·B0

[t,0])|]]

= E[E0So |(c ·Xt)|] <∞,

e a afirmativa segue.

A demostracao de que ηγt tem gerador dado por (4.1), segue de (4.5) e de ξ ser localmente finito,utilizando passos usuais (ver, por exemplo, [13]).

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44 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

4.2 Funcoes harmonicas em G

Nesta secao vamos fixar notacoes e conceitos sobre funcoes definidas nos vertices e elos do grafoaleatorio G(So). Como ja foi comentado na secao anterior, as funcoes consideradas neste trabalhocarregam naturalmente uma dependencia do processo marcado So, por esta razao consideraremosfuncoes tomando valores nos espacos

Ξ1 = (x, ξ) ∈ Rd ×Nm : x ∈ ξ, (4.8)

eΞ2 = (x, y, ξ) ∈ Rd × Rd ×Nm : x, y ∈ ξ. (4.9)

Do modo como foi definido o grafo G(So) e nao-orientado, mas por razoes de coerencia, precisare-mos distinguir elos de acordo com sua orientacao. Por esta razao consideraremos G(So) orientado,mas tal que se (x, y) ∈ E(So), entao (y, x) ∈ E(So).

Agora, dada uma funcao f : Ξ1 → R, defina o gradiente de f como a funcao ∇f : Ξ2 → R dadapor

∇f(v, w, So) = f(w, So)− f(v, So). (4.10)

Deste ponto em diante, denotaremos por campos todas funcoes definidas em Ξ2. Diremos que umcampo ζ e um fluxo em G se

ζ(v, w, So) = −ζ(w, v, So), (4.11)

para qualquer (v, w) ∈ E(So).

Diremos que um campo ζ e covariante se para todo v, w ∈ ξ

ζ(v, w, ξ) = ζ(0, w − v, τv ξ).

Note que, por (4.6),

∇ηγt (v, w, So) = ηγt (w − v, τvSo) + (c · v)− ηγt (0, τvSo)− (c · v) = ∇ηγt (0, w − v, τvSo),

para todo instante de tempo t ≥ 0, e portanto ∇ηγt e um campo covariante.

Mais do que isso, se definirmos φt(v, So) = ηγt (0, τvSo), entao

ηγt (v, So) = γ(v) + φt(v, So), (4.12)

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4.3. O ESPACO H 45

e φt e tal que φt(v, So) = φt(0, τvSo).

Dado um fluxo ζ em G definimos o divergente de ζ como a funcao divζ : Ξ1 → R dada por

(divζ)(v, So) =∑

w∈V (v,So)

ζ(v, w, So). (4.13)

Continuando, para qualquer funcao f : Ξ1 → R definimos o laplaciano discreto de f como a funcao∆f : Ξ1 → R dada por

∆f(v) = (div∇f)(v) =∑

w∈V (v,So)

∇f(v, w, So) =∑

w∈V (v,So)

(f(w)− f(v)). (4.14)

Diremos que uma funcao h : Ξ1 → R e harmonica em G se, para quase toda realizacao de So,

∆h(v, So) = 0, para todo v ∈ So. (4.15)

Segue diretamente desta definicao que h e harmonica se e somente se o valor da funcao h em umvertice e a media aritmetica do valor da funcao nos vizinhos deste vertice, ou seja,

h(v, So) =1

|V (v, So)|∑

w∈V (v,So)

h(w, So), para todo v ∈ So. (4.16)

4.3 O espaco H

Como primeiro passo da solucao do nosso problema, vamos caracterizar o gradiente ∇ηct comoelemento de um espaco de Hilbert.

Com este fim, considere o processo pontual marcado So, defina X = Rd ×Rd ×Nm e denote porC a medida em (X ,B(X )) tal que∫

XζdC :=

12

E[∑

v∈V (0,So)

ζ(0, v, So)]. (4.17)

A existencia de tal medida e consequencia das consideracoes feitas no capıtulo 13 de [7]. Fazemosum resumo de tais resultados no apendice deste trabalho. Deste ponto em diante denotaremos

C(ζ) :=∫XζdC.

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46 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Denote porH o espaco L2 (X , C), e note que se ζ1 e ζ2 sao dois campos emH tais que ζ1(0, v, So) =ζ2(0, v, So) para todo v ∈ V (0, So) entao ζ1 = ζ2 em H, ou seja, para determinar um campo em Hbasta olharmos para seus valores nos elos saindo da origem.

Nossa motivacao vem da teoria relacionada a um caso distinto do nosso: funcoes harmonicas emredes infinitas, mas com energia finita. Vamos esclarecer. Considere um grafo generico e conexoG = (V, E). Considere (como temos feito desde o inıcio) que E e orientado, e que e ∈ E se e so se−e ∈ E . Tome entao um fluxo ζ em E e defina a energia de ζ como o funcional

E[ζ] =12

∑e∈E|ζ(e)|2.

Tal funcional e de central importancia na teoria de funcoes harmonicas. Pode-se mostrar, por ex-emplo, que gradientes de funcoes harmonicas sao minimizantes locais E[·] (ver Apendice). Outraobservacao importante e que a famılia dos fluxos em E , com energia finita, formam um espaco deHilbert, e e neste ponto que queremos focar nossa atencao.

Apesar de importante, este resultado claramente nao se aplica em nosso contexto. Observe poremque, ao considerarmos campos covariantes, uma nova possıbilidade se abre. Para entender o que temosem mente, fixada uma configuracao de pontos ξ e uma caixa limitada A, denote por EA(ξ) todos oselos (v, w) ∈ E(ξ) tais que v ∈ ξ ∩A. Segue entao que, para um campo covariante ζ,∑

e∈EA(ξ)

ζ(e) =∑v∈ξ∩A

∑w∈V (v,ξ)

ζ(v, w, ξ) =∑v∈ξ∩A

∑w∈V (0,τvξ)

ζ(0, w, τvξ).

Deste modo, fazendo com a a caixa A cresca para Rd, segue do Teorema Ergodico Pontual (verTeorema 2.15) que

limA→Rd

12`(A)

∑v∈S∩A

∑w∈V (v)

ζ(v, w, So) = C(ζ), q.c.. (4.18)

Esta relacao permite que interpretemos C(|ζ|2) como uma especie de “energia media” associadaao fluxo ζ. Outras analogias podem ser feitas para reforcar esta interpretacao, mas, por ora, nossatisfaremos com esta. Ao longo do resto do trabalho tentaremos manter esta relacao em mente, oque sera util para que facamos novas interpretacoes de resultados, a primeira vista, apenas tecnicos.

Continuando com a caracterizacao de H, vamos agora enunciar uma formula de integracao porpartes, associando campos em H com funcoes definidas em Ξ1.

Proposicao 4.2 (Formula de Integracao por Partes). Seja f : Ξ1 → R tal que

f(v, So) = f(0, τvSo), (4.19)

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4.3. O ESPACO H 47

e ζ : Ξ2 → R um fluxo covariante. Nestas condicoes, se ∇f, ζ ∈ H entao

C(∇f · ζ) = −E[f · divζ] := −E[f(0, So)divζ(0, So)

]. (4.20)

Demonstracao. Note que

C(∇f · ζ) =12

E

[∑v∈So

a(0, v, So)∇f(0, v, So)ζ(0, v, So)

]

=12

E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(v, So)ζ(0, v, So)

]− 1

2E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(0, So)ζ(0, v, So)

]

=12

E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(v, So)ζ(0, v, So)

]− 1

2E[f(0, So)divζ(0, So)

].

Basta mostrar entao que

E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(v, So)ζ(0, v, So)

]= −E

[f(0, So)divζ(0, So)

].

Para isso, observe primeiro que se T (v, w, So) = a(v, w, So)f(w, So)∇ζ(v, w, So), segue da co-variancia de a e ζ, e da condicao (4.19) que T e covariante. Assim, pelo princıpio de transporte demassa (Lema 2.16) segue que

E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(v, So)ζ(0, v, So)

]= E

[∑v∈So

T (0, v, So)

]

= E

[∑v∈So

T (v, 0, So)

]

= E

[∑v∈So

a(v, 0, So)f(0, So)ζ(v, 0, So)

]

= −E

[∑v∈So

a(0, v, So)f(0, So)ζ(0, v, So)

]= −E

[f(0, So)divζ(0, So)

],

onde a penultima igualdade segue do fato de ζ ser um fluxo e de a(0, v, So) = a(v, 0, So).

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48 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

4.4 O processo de Harness como uma sequencia em H

Nosso proximo passo e localizar o campo gradiente do processo Harness como uma sequencia decampos em H. Mas antes facamos uma analise menos formal do comportamento de C(|∇ηct |2).

Para isso, fixe momentaneamente uma caixa limitada A ⊂ Rd e, dado um intervalo de tempo[t, t + s], ordene todas as marcas temporais que ocorrem nos pontos de S ∩ A em [t, t + s], ouseja, faca T (v) ∩ [t, t + s]; v ∈ S ∩ A = t1, . . . , tk, onde k = |T (v) ∩ [t, t + s]; v ∈ S ∩ A| et < t1 < · · · < tk < t+ s.

Suponha que a marca t1 acontece no ponto v. E um exercıcio simples verificar que MSv η

ct (v)

minimiza a funcao f(x) =∑

w∈V (v) |ηct (w)− x|2, de modo que

∑w∈V (v)

|∇ηct1(v, w)|2 ≤∑

w∈V (v)

|∇ηct (v, w)|2,

e portanto ∑v∈S∩A

∑w∈V (v)

|∇ηct1(v, w)|2 ≤∑

v∈S∩A

∑w∈V (v)

|∇ηct (v, w)|2

Repetindo o mesmo argumento para t2, . . . , tk concluımos que∑v∈S∩A

∑w∈V (v)

|∇ηct+s(v, w)|2 ≤∑

v∈S∩A

∑w∈V (v)

|∇ηt(v, w)|2,

e por (4.18) teriamos que

C(|∇ηct+s|2) = limA→Rd

12`(A)

∑v∈A∩S

∑w∈V (v)

|∇ηct+s(v, w)|2

≤ limA→Rd

12`(A)

∑v∈A∩S

∑w∈V (v)

|∇ηct (v, w)|2

= C(|∇ηct |2).

Existe porem uma falha neste argumento. Ordenamos as marcas associadas aos pontos dentro dacaixa, mas nos esquecemos daquelas associadas a pontos na fronteira, i.e., pontos que nao pertencama caixa A, mas que possuem ao menos um vizinho em A.

Apesar deste problema, a argumentacao acima nos da uma boa ideia do que esperar do campo∇ηct . Ela nos mostra que, se ∇ηc0 ∈ H, entao ∇ηct ∈ H, e sequencia das normas deve ser decrescente.Isto e novamente coerente com a interpretacao de C(|ζ|2) como energia. De fato, se ∇ηct convergir emH, o fato de C(|∇ηct |2) decrescer e um indıcio de que seu limite, possivelmente um gradiente de funcao

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 49

harmonica, pode ser um minimizante local de tal quantidade. Nada disso pode ser afirmado ainda,mas o lema a seguir nos deixa um pouco mais proximos, confirmando a suspeita de que C(|∇ηct |2) ede fato decrescente, e dando tambem sua taxa de decaimento.

Como de costume, no lema abaixo consideramos πc(v) = (c · v) para algum c ∈ Rd.

Lema 4.3. Para todo t > 0 e todo c ∈ Rd

d

dtC(|∇ηct |2) = −2E

[|V (0)|

∣∣∆?ηct (0, So)∣∣2] ,

onde ∆?ηct (0, So) = ∆ηct (0,S

o)|V (0)| .

Demonstracao. SejaV2 :=

⋃v∈V (0)

V (v)

o conjunto de pontos a distancia menor ou igual a 2 da origem (na metrica natural de G) e

T2 :=⋃v∈V2

T (v),

o conjunto de marcas temporais nos pontos de V2.

Defina agora os eventos

F1 := F1(t, h) = |T2 ∩ [t, t+ h]| = 1;

F1,v := F1,v(t, t+ h) = F1 ∩ |T (v) ∩ [t, t+ h]| = 1 ∩ v ∈ V2;

F2 := F2(t, h) = |T2 ∩ [t, t+ h]| ≥ 2.

Note que T2 e um processo pontual estacionario em R, dado pela uniao de uma quantidadealeatoria |V2| de processos de Poisson independentes, ou seja, fixado os pontos de So, T2 e umprocesso de Poisson de intensidade |V2|, e portanto, abusando da notacao e denotando por So aσ-algebra gerada por So, vale que

P(F1|So) = E[1F1 |So] = |V2|he−|V2|h, (4.21)

P(F1,v|So) = he−|V2|h1V2(v), (4.22)

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50 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

e

P(F2|So) =∑k≥2

(h|V2|)k

k!e−h|V2|

≤ h2|V2|2∑k≥2

(h|V2|)k−2

(k − 2)!e−h|V2|

= h2|V2|2 (4.23)

Segue entao que

1hC(|∇ηct+h|2 − |∇ηct |2) =

12h

E

[∑v∈So

a(0, v)(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)

]

=1

2hE

[∑v∈So

a(0, v)(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1

]+

+1

2hE

[∑v∈So

a(0, v)(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F2

](4.24)

Passaremos agora a uma analise caso a caso das possıveis atualizacoes. Mas antes observe que,fazendo Mv = MSo

v ,

∆?η(v) =1

|V (v)|∑

w∈V (v)

(η(w)− η(v)) = Mvη(v)− η(v).

Alem disso,

|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2 = [∇ηct+h(0, v)−∇ηct (0, v)]2 + 2∇ηct (0, v)[∇ηct+h(0, v)−∇ηct (0, v)].

Vamos a analise. Quando ocorre o evento F1, se a marca nao acontece na origem, nem em um deseus vizinhos entao para todo v ∈ V (0)

∇ηct+h(0, v) = ∇ηct (0, v),

e diferenca e zero.

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 51

Se a marca acontece na origem entao, para cada v ∈ V (0),

|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2 = [−M0ηct (0) + ηct (0)]2 + 2∇ηct (0, v)[−M0η

ct (0) + ηct (0)]

= −2∇ηct (0, v)∆?ηct (0) + |∆?ηct (0)|2 (4.25)

Quando a marca acontece em v ∈ V (0), o gradiente nos elos nao incidentes em v fica inalterado,isto e,

∇ηct+h(0, w) = ∇ηct (0, w),

para w 6= v. Ja no elo (0, v) temos

|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2 = [Mvηct (v)− ηct (v)]2 + 2∇ηct (0, v)[Mvη

ct (v) + ηct (v)]

= 2∇ηct (0, v)∆?ηct (v) + |∆?ηct (v)|2 (4.26)

Observe agora que, dado So, o processo T2 ∩ [t, t+ h] e independente de ηct , e assim, por (4.25) e(4.26), segue que

1h

E

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1

=

1h

E

∑w∈V2

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1,w

+

1h

E

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1,0

=

1h

E

∑v∈V (0)

(2∇ηct (0, v)∆?ηct (v) + |∆?ηct (v)|2)1F1,v

+

1h

E

∑v∈V (0)

(−2∇ηct (0, v)∆?ηct (0) + |∆?ηct (0)|2)1F1,0

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52 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Consequentemente, por (4.21) e (4.22), vale que

1h

E

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1

=

1h

E

E[∑

s∈V (0)

(2∇ηct (0, v)∆?ηct (v) + |∆?ηct (v)|2)|So]he−|V2|h

+

1h

E

E[∑

v∈V (0)

(−2∇ηct (0, v)∆?ηct (0) + |∆?ηct (0)|2)|So]he−|V2|h

= E

e−|V2|h∑

v∈V (0)

(2∇ηct (0, v)∇∆?ηct (0, v) + |∆?ηct (v)|2 + |∆?ηct (0)|2)

.Pelo teorema da convergencia monotona e pelo princıpio de transporte de massa (lema 2.16),

segue entao que

limh→0

12h

E

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F1

=

2C(∇ηct∇∆?ηct ) +12

E[∑

v∈V (0)

(|∆?ηct (v)|2 + |∆?ηct (0)|2)]

= 2C(∇ηct∇∆?ηct ) + E(|V (0)||∆?ηct |2) (4.27)

Antes de analisarmos o segundo termo, observe que

C(|∇ηct |r) ≤ C(|∇πc|r) + C(|∇φt|r),

eC(|∇φt|r) ≤ E[

∑v∈V (0)

|φt(v)− φt(0)|r] ≤ E[|V (0)||φt(0)|r] ≤ CMr(t).

Passemos agora a analise do segundo termo de (4.24). Para isso, considere o campo ζh dado por

ζh(v, w, So) = 1F2(τvSo),

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 53

e observe que

1h

E

∑v∈V (0)

|∇ηcs(0, v)|21F2

=1hC(|∇ηcs|2ζh)

≤ 1h

[C(|∇ηcs|2p)]1p [C(ζh)]

1q

≤ 1h

[C(|∇ηcs|2p)]1p [E[|V (0)|1F2 ]]

1q

≤ [C + CM2p(s)]1p E[|V2|3]

1q h

2q−1.

De onde segue que

1h

∣∣∣∣∣∣E ∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F2

∣∣∣∣∣∣≤(

[C + CM2p(t+ h)]1p + [C + CM2p(t)]

1p

)E[|V2|3]

1q h

2q−1

e portanto, tomando q < 2 (e consequentemente p > 2)

limh→0

12h

E

∑v∈V (0)

(|∇ηct+h(0, v)|2 − |∇ηct (0, v)|2)1F2

= 0. (4.28)

De (4.24), (4.27), (4.28) e da formula de integracao por partes, segue que

d

dtC(|∇ηct |2) = 2C(∇ηct∇∆?ηct ) + E[|V (0)||∆?ηct |2]

= −E[|V (0)||∆?ηct |2].

Do Lema 4.3 segue diretamente que

Corolario 4.4. C(|∇ηct |2) e decrescente em t, sendo constante a partir do instante t ≥ 0 se, esomente se, ηct for harmonica em G(So).

Outra consequencia (nao tao direta) do Lema 4.3 e dada no seguinte resultado.

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54 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Lema 4.5. Se So satisfaz as hipoteses do Lema 4.3, entao

|V (0)|−1∆ηct (0, So)→ 0, quando t→∞

quase-certamente e em L2.

Demonstracao. Para simplificar a notacao, faca

Zt :=|∆ηct (0, So)|2

|V (0)|= |V (0)||∆?ηct (0, S

o)|2.

Seja T1 o processo pontual estacionario em R+ dado por

T1 = T (0) ∪ ⋃

v∈V (0)

T (v), (4.29)

onde T (v) e o processo de marcas temporais associadas a v ∈ So definido na construcao do processode harness.

Como para cada v ∈ So o processo T (v) e um processo de Poisson de taxa 1, entao, dado So, T1

e um processo de Poisson de intensidade |V (0)|+ 1. Enumere os pontos de T1 por 0 < t1 < t2 < · · · .Para simplificar a notacao, faca t0 = 0, mas lembre que isto nao significa que T1 tem um ponto naorigem. Observe que, para cada n ≥ 0, Ztn depende apenas de tk para k ≤ n e, portanto, dado So,Ztn e independente de (tn+1 − tn).

Segue que ∫ ∞0

E[Zt]dt = E[∫ ∞

0Ztdt]

=∞∑k=0

E[Ztk(tk+1 − tk)]

=∞∑k=0

E[E[Ztk |So]

1|V (0)|+ 1

]

=∞∑k=0

E[Ztk

|V (0)|+ 1],

de onde concluımos que, pelo Lema 4.3

E[∞∑k=0

Ztk|V (0)|+ 1

] <∞. (4.30)

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 55

Em particular,∞∑k=0

∆ηtk(0, So) <∞ q.c.,

elimt→∞

∆ηt(0, So) = 0 q.c..

Para a convergencia em L2 note primeiro que, para todo t ≥ 0, |∆?ηct (0)|2 ≤∑

n≥0 |∆?ηctn(0)|2.Assim, pelo teorema da convergencia dominada, e por (4.30)

limt→∞

E[|∆?ηct (0, S

o)|2]

= 0.

4.4.1 Inclinacao

Vamos comecar agora a discutir a linearidade do nosso possıvel limite. Nesta secao vamos nosconcentrar em encontrar uma forma de caracterizar Iu(·) para funcoes com gradiente em H. Nestesentido, dada uma direcao u ∈ Rd, ‖u‖ = 1, e v, w ∈ So tais que w ∈ V (v), seja b(v, w, So) a face(d − 1)-dimensional comum as celulas de Voronoi de v e w, e denote por bu(v, w, So) a medida delebesgue d − 1-dimensional da projecao pu(v, w, So) de b(v, w;So) sobre o hiperplano perpendiculara u. Defina agora

ζu(v, w, So) :=12

sg([w − v] · u) bu(v, w, So), (4.31)

onde sg(x) = x|x| , x ∈ R.

A Proposicao a seguir da a caracterizacao que buscamos, fornecendo uma maneira facil de calculara inclinacao de funcoes com gradiente covariante.

Proposicao 4.6. Seja η : Ξ1 → R com ∇η ∈ H covariante. Entao, dada uma direcao u ∈ Rd

Iu(η) = C(∇η · ζu) q.c..

Para demonstrar a Proposicao 4.6 sera necessario que mostremos antes um resultado tecnico, masimportante.

Para y ∈ Rd−1, seja ly = (0, y) + αe1;α ∈ R a reta passando por (0, y) ∈ Rd na direcaoe1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rd. Fixado ξ ∈ N , defina L(y, ξ) := v ∈ ξ : C(v) ∩ ly 6= ∅. Agora, parax = (x1, . . . , xd) ∈ Rd, seja x∗ = (x2, . . . , xd) ∈ Rd−1.

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56 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Figura 4.1: Pontos de L(0, ξ) ao longo da direcao coordenada e1.

Defina agora ω : Rd−1 × Ξ2 → R e θ : Rd−1 × Ξ1 → R por

ω(y; v, w, ξ) =

1, se v, w ∈ L(y), b(v, w, ξ) ∩ ly 6= ∅;

0, caso contrario,

eθ(y; v, ξ) =

∑w∈ξ

wa+(v, w, ξ)ω(y; v, w, ξ),

onde a+(v, w, ξ) = a(v, w, ξ)1(w · u) > (v · u). Em palavras, θ(y; v, ξ) e o vizinho de v, que esta “afrente” de v na direcao u, e cuja face da celula de Voronoi compartilhada com C(v) e cruzada pelareta ly.

Observe quew(y; v, w, ξ) = w(y − x∗; v − x,w − x, τxξ), (4.32)

eθ(y; v, ξ)− x = θ(y − x∗; v − x, τxξ), (4.33)

para todo x ∈ Rd.

Lema 4.7. Se ζ ∈ H e um fluxo entao

E

[∑v∈S

ζ(v, θ(0; v, S), S)1L(0,S)(v)1A(v1)

]= `(A)C(ζ · ζe1) (4.34)

para todo A ∈ B(R) com medida de lebesgue `(A) <∞.

Demonstracao. Definag(v, S) := |ζ(v, θ(0; v, S), S)|1L(0,S)(v)1A(v1).

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 57

Segue entao de (4.32), (4.33), da Formula de Campbell Generalizada (Proposicao 2.14), e por Fubinique

E

[∑v∈S

g(v, S)

]=∫

RdEo[g(v, τ−vSo)]dv

=∫

RdEo[|ζ(v, θ(0; v, τ−vSo), τ−vSo)|1L(0,τ−vSo)(v)1A(v1)]dv

=∫

RdEo[|ζ(0, θ(−v∗; 0, So), So)|1L(−v∗,So)(0)1A(v1)]dv

= `(A)∫

Rd−1

Eo[|ζ(0, θ(−v∗; 0, So), So)|1L(−v∗,So)(0)]dv∗

= `(A)∫

Rd−1

Eo[∑w∈So

|ζ(0, w, So)|1θ(−v∗; 0, So) = w1L(−v∗,So)(0)

]dv∗

= `(A)Eo[∑w∈So

|ζ(0, w, So)|∫

Rd−1

1θ(−v∗; 0, So) = w1L(−v∗,So)(0)dv∗]

= `(A)Eo[∑w∈So

|ζ(0, w, So)|∫

Rd−1

1θ(v∗; 0, So) = w1L(−v∗,So)(0)dv∗]

Mas para w ∈ So tal que a+(0, w, So) = 1, vale que

w = θ(−v∗; 0, So), 0 ∈ L(−v∗, So) = l−v∗ ∩ b(0, w, So) 6= ∅,

isto e, −v∗ ∈ pe1(0, w, So). Deste modo∫Rd−1

1θ(−v∗; 0, So) = w1L(−v∗,So)(0)dv∗ =∫

Rd−1

1pe1 (0,w,So)(−v∗)dv∗ = ζe1(0, w, So).

Segue que

E

[∑v∈S

g(v, S)

]= `(A)Eo

[∑w∈So

a+(0, w, So)|ζ(0, w, So)|ζe1(0, w, So)

]<∞.

Agora que sabemos que E[∑

v∈S g(v, S)] < ∞, podemos repetir os mesmos argumentos paramostrar que

E

[∑v∈S

g(v, S)

]= `(A)Eo

[∑w∈So

a+(0, w, So)|ζ(0, w, So)|ζe1(0, w, So)

]. (4.35)

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58 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Aplicando agora o princıpio de transporte de massa (Lema 2.16) para a+ · ζ · ζe1 , e notando que

a+(v, 0, So)ζ(v, 0, So)ζe1(v, 0, So) = a−(0, v, So)ζ(0, v, So)ζe1(0, v, So),

onde a−(v, w, ξ) = a(v, w, ξ)1(w · u) < (v · u), segue que

E

[∑v∈S

g(v, S)

]= `(A)Eo

[∑w∈So

a+(0, w, So)ζ(0, w, So)ζe1(0, w, So)

]

= `(A)Eo[∑w∈So

a+(w, 0, So)ζ(w, 0, So)ζe1(w, 0, So)

]

= `(A)Eo[∑w∈So

a−(0, w, So)ζ(0, w, So)ζe1(0, w, So)

],

e portanto

E

[∑v∈S

g(v, S)

]= `(A)

12

Eo[∑w∈So

a(0, w, So)ζ(0, w, So)ζe1(0, w, So)

]= `(A)C(∇η · ζe1).

Estamos prontos para demonstrar a Proposicao 4.6.

Demostracao da Proposicao 4.6. Considere inicialmente que t varia de maneira discreta, ou seja,t ∈ Z+. Para deixar isto claro, escreveremos K ao inves de t.

Primeiro observe que, pela covariancia de ∇η, temos

η(Cen(v+Ku), So)−η(v, So) = η(Cen(v+Ku)−v, τvSo)−η(0, τvSo) = η(Cen(Ku), τvSo)−η(0, τvSo).

Agora, como So e ponto-estacionario, segue que, se o limite em (1.10) existe, ele nao depende dev ∈ So.

Seguindo a diante considere, sem perda de generalidade, u = e1. Faca AK := [0,K] × Rd−1 edefina

vK = argmax(v · e1) : v ∈ L(0, So) ∩AK

evK = θ(0; vK , So),

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 59

ou seja, vK e o primeiro ponto de L(0, So) “a direita” de AK .

Faca agora ZK = η(Cen(Ku, So), So)− η(vK(So), So) e observe que

η(Cen(Ku), So)− η(0, So) =∑

v∈L(0,So)∩AK

(η(θ(0; v, So), So)− η(v, So)) + ZK (4.36)

Primeiro observe que, usando a equacao (4.36), Iu(η) pode ser reescrito como

Iu(η) = limK→∞

1K

∑v∈L(0,So)∩AK

∇η(v, θ(0; v, So), So) + ZK

= lim

K→∞

1K

[∑v∈So

∇η(v, θ(0; v, So), So)1L(0,So)(v)1[0,K](v1) + ZK

], (4.37)

e portanto precisamos mostrar que

I := limK→∞

1K

∑v∈ξ∇η(v, θ(0; v, ξ), ξ)1L(0,ξ)(v)1[0,K](v1) + ZK

= C(∇η · γu), (4.38)

µo-quase certamente, onde µo e a lei de So.

Defina entao Γ = ξ ∈ N : I = C(∇η · ζu). Da covariancia de ∇η, da definicao de L(·, ξ) ede (4.33), segue que o evento Γ e invariante pela acao de τu = τe1 . Portanto, da Proposicao 2.12concluımos que

µ(Γ) = limk→∞

µo(τkuΓ) = µo(Γ).

Assim, mostrar que µo(Γ) = 1 e o mesmo que mostrar que µ(Γ) = 1 e, por isso, podemos entaodeixar de lado o ponto na origem, e trabalhar apenas com o processo estacionario S de lei µ.

Defina T : N → N por T (ξ) := τe1ξ. Observe que T possui inversa T−1 := τ−e1 . Se S e mixing,segue que para U1, U2 ∈ N

limk→∞

|µ(U1 ∩ T kU2)− µ(U1)µ(U2)| = 0,

e portanto µ e mixing tambem para T .

Seja φ(S) =∑

s∈S ∇η(s, θ(0; s, S), S)u(0; s, S)1[0,1](s1). Note que L(0, S) = L(0, T k(So)) e

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60 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

portanto, de (4.33) e da covariancia de ∇η, segue que

φ T k(S) =∑

v∈Tk(S)

∇η(v, θ(0; v, T k(S)), T k(S))1L(0,Tk(S))(v)1[0,1](v1)

=∑

v∈S∩L(0,S)

∇η(v − ke1, θ(0; v − ke1, τke1S), τke1S)1[0,1](v1 − k)

=∑

v∈S∩L(0,S)

∇η(v, θ(0; v − ke1, τke1S) + ke1, S)1[0,1](v1 − k)

=∑

v∈S∩L(0,S)

∇η(v, θ(0; v, S), S)1[k,k+1](v1)

e com isso

∑s∈S∇η(s, θ(0; s, S), S)ω(0; s, S)1[0,K](s1) =

K−1∑k=0

∑s∈S∇η(s, θ(0; s, S), S)ω(0; s, S)1[k,k+1](s1)

=K−1∑k=0

φ T k(S).

Segue do Lema 4.7 e do Teorema Ergodico de Birkoff que

limK→∞

1K

K−1∑k=0

φ T k(S) = Eo[φ(So)] = C(∇η · γu) a.s.. (4.39)

So nos resta mostar que

limK→∞

ZKK

= 0

quase certamente. Para isso observe agora que

Zk(S) = η(Cen(ke1, S)− ke1, τke1S)− η(vk(S)− ke1, τke1S)

= η(Cen(0, τke1S), τke1S)− η(v0(τke1S), τke1S)

= Z0 T k(S).

Sabemos tambem que E(|Z0(S)|) = E[`(C(0))|Z0(So)|]. Mas Cen(0, So) = 0, e portanto v0(So) ∈V (Cen(0, So)), de onde segue que

E[`(C(0))Z0(So)] ≤ E[`(C(0))∑

v∈V (0)

|∇η(0, v, So)|] = C(|∇η| · ζ),

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4.4. O PROCESSO DE HARNESS COMO UMA SEQUENCIA EM H 61

onde ζ(v, w, ξ) = `(C(0, τvξ)). Pela desigualdade de Holder segue entao que

E(|Z0(So)|) <∞.

Do Teorema de Birkhoff concluımos portanto que

1K

K∑k=0

Zk → E[Z0(So)],

quase-certamente, quando K →∞, e assim

limK→0

ZKK

= 0,

quase certamente, e o resultado segue.

Para o caso de t variando continuamente, ou seja, t ∈ R+ basta notar que

η(Cen(tu, So))− η(0) = η(Cen(tu, So))− η(Cen([t]u, So)) + η(Cen([t]u, So)− η(0),

onde [t] e o maior inteiro menor ou igual a [t], e que

|η(Cen(tu, So))− η(Cen([t]u, So))| ≤∑

v∈L(0,So)

|∇η(v, θ(0; v, So), So)|1[[t],[t]+1](v1) + Z[t]+1.

Portanto

limt→∞

1t|η(Cen(tu, So))− η([t]u, So)| = 0

e

limt→∞

1t[η(Cen(tu, So))− η(0)] = lim

t→∞

1t[η(Cen([t]u, So))− η(0)] = C(∇η · ζu),

quase certamente.

Tendo em maos a Proposicao anterior podemos mostrar que

Lema 4.8. Dado c ∈ Rd e u ∈ Rd, Iu(ηct − πc) = 0, quase-certamente, para todo t ≥ 0.

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62 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Demonstracao. Primeiro note que

divζu =∑

v∈V (0)

ζu(0, v, So) =∑

v∈V (0)(v·u)>0

pu(0, v, So)−∑

v∈V (0)(v·u)<0

pu(0, v, So) = 0, q.c.

pois ∑v∈V (0)(v·u)>0

pu(0, v, So) =∑

v∈V (0)(v·u)<0

pu(0, v, So) = Vu,

onde Vu denota a medida de Lebesgue d− 1 dimensional da projecao da celula de Voronoi da origemno hiperplano ortogonal a u.

Segue agora da Proposicao 4.6 que, para todo t ≥ 0

Iu(ηct ) = C(∇ηct · ζu)

= C(∇πc · ζu) + C(∇φt · ζu)

= C(∇πc · ζu)− 2E(φt · divζu)

= C(∇πc · ζu)

= Iu(πc)

4.5 O Resultado Principal

Estamos prontos agora para dar uma demonstracao do Teorema 1.2.

Demostracao do Teorema 1.2:Considere a enumeracao So = vn;n ∈ Z dada em [16] pela qual τvnSo tem a mesma distribuicao

de So.

Queremos mostrar que existe hc : Ξ1 → R, harmonica em G(So), com gradiente covariante, e talque para todo n ∈ Z

limt→∞

E[|a(0, vn, So)∇ηct (0, vn, So)− a(0, vn, So)∇hc(0, vn, So)|2

]= 0.

Se existir hc que satisfaca o limite acima, entao pela covariancia de ∇ηt temos que

ηct (vn, vm, So) = ηct (0, vm − vn, τvnSo) L2−→ ∇hc(0, vm − vn, τvnSo) (4.40)

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4.5. O RESULTADO PRINCIPAL 63

e portanto ∇hc e covariante.

Observe agora que

E[|a(0, vn, So)[∇ηct (0, vn, So)−∇hc(0, vn, So)]|2

]≤ E

∑v∈V (0)

|∇ηct (0, v, So)−∇hc(0, v, So)|2

= 2C(|∇ηct −∇hc|2).

Precisamos entao mostrar que existe hc harmonica e tal que ∇ηct converge para ∇hc na norma deH. As ideias basicas para a prova sao as seguintes: primeiro mostramos a existencia de limites fracospor subsequencias; em seguida mostramos que qualquer limite fraco tem divergente nulo; estudandoas normas dos limites mostramos a unicidade e passamos de limite fraco para forte; verificando apropriedade do co-ciclo, mostramos que o limite e um gradiente; finalizamos mostrando que o limitepossue inclinacao correta nas direcoes coordenadas.

Dada uma funcao f : Ξ1 → R, tambem para simplificar, escreveremos apenas f ao inves def(0, So).

Deste modo, como C(|∇ηt|2) e decrescente (Corolario 4.4), segue que ∇ηt converge por sub-sequencias na topologia fraca de H, ou seja, para toda sequencia tkk≥0, existe uma subsequenciatkjj≥0 e um campo ζ∞ ∈ H tais que

limj→∞

C(∇ηctkj · ζ) = C(ζ∞ · ζ), (4.41)

para todo ζ ∈ H.

Considere agora um limite fraco ζ∞ e a sequencia tkk≥0 que leva a ζ∞. Definindo φ = divζ∞|V | ,

segue de (4.41), e da formula de integracao por partes que

12

E[|divζ∞|2

|V |

]= E[φ · divζ∞]

= −C(ζ∞ · ∇φ)

= limk→∞

−C(∇ηctk∇φ)

= limk→∞

E[∆ηctk · φ].

Mas da desigualdade de Holder, e do Lema 4.5 temos que

limk→∞

|E[∆ηctk · φ

]|2 ≤ lim

k→∞E

[∣∣∣∣ ∆ηctk|V (0)|

∣∣∣∣2]

E[|divζ∞|2] = 0,

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64 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

e portantodivζ∞(0, So) = 0, (4.42)

quase certamente. E pela covariancia de ζ∞ (ver (4.40)), segue que para todo n ∈ Z

divζ∞(vn, So) = 0,

quase certamente.

De (4.12), (4.41), (4.42), e da formula de integracao por partes podemos concluir tambem que

C(|ζ∞|2) = limk→∞

C(∇ηctk · ζ∞)

= C(∇πc · ζ∞) + limk→∞

C(∇φctk · ζ∞)

= C(∇πc · ζ∞)− limk→∞

E[φctkdivζ∞]

= C(∇πc · ζ∞). (4.43)

Tome agora dois limites fracos ζ∞,1 e ζ∞,2. Usando (4.12), (4.41), (4.42), e a formula de integracaopor partes, segue que, se (tk)k>0 e a subsequencia que leva para ζ∞,1, entao

C(ζ∞,1ζ∞,2) = limk→∞

C(∇ηctkζ∞,2) = C(∇πcζ∞,2) + limk→∞

C(∇φtkζ∞,2) = C(|ζ∞,2|2). (4.44)

Usando o mesmo argumento para ζ∞,1

C(|ζ∞,2|2) = C(|ζ∞,1|2) = C(ζ∞,1ζ∞,2),

e portantoC(|ζ∞,1 − ζ∞,2|2) = 0,

e o limite fraco e unico.

Por outro lado

C(|∇ηt|2) = C(∇πc∇ηct ) + C(∇φt∇ηt)

= C(∇πc∇ηt)− E(φt∆ηct ). (4.45)

Da desigualdade de Holder, segue que

|E[φt∆ηct ]|2 ≤ E[|V (0)||φt|2]E[|∆ηct |2

|V (0)|

]≤Eνo [E0

So [|(c ·Xt)|2]]t

tE[|∆ηct |2

|V (0)|

].

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4.5. O RESULTADO PRINCIPAL 65

Mas, pelo Lema 4.3, E[|∆ηt|2|V (0)|

]e integravel e portanto, existe uma sequencia (tk)k≥0 tal que

limk→∞

tkE[|∆ηtk |2

|V (0)|

]= 0.

Assim, do Lema 3.3, concluımos que

limk→∞

Eνo [E0So [|(c ·Xtk)|2]]

tktkE

[|∆ηctk |

2

|V (0)|

]= 0, (4.46)

Deste modo, combinando (4.43), (4.45) e (4.46), segue que

C(|∇ηct |2)→ C(|ζ∞|2), (4.47)

e portanto ∇ηct converge forte (na norma de H) para ζ∞.

Em resumo, mostramos ate agora que existe ζ∞ : Ξ2 → R tal que divζ∞ = 0 quase-certamente, e

limt→∞C(|∇ηct − ζ∞|2) = 0.

Precisamos verificar agora que ζ∞ e um campo gradiente. Isso e equivalente a mostrar que ζ∞ satisfaza propriedade do co-ciclo, ou seja, existe N ? ⊆ Nm, com P(So ∈ N ?) = 1 e tal que para todo ξ ∈ N ?

e todo caminho w0, w1, . . . , wk = w0 ∈ ξ com a(wi, wi−1) = 1, i = 1, . . . , k

k∑i=1

ζ∞(wi, wi−1, ξ) = 0.

Para isso, dados i, j ∈ Z, observe que, por (4.40), a(vi, vj)∇ηt(vi, vj) converge em L2 paraa(vi, vj)ζ∞(vi, vj). Existe portanto uma subsequencia (tk)k≥0 de tempos para a qual a convergenciae quase certa. Denote por Ni,j ⊂ Nm o conjunto de medida um onde tal convergencia ocorre.

Observe agora que, para todo i, j ∈ Z, a(vi, vj)∇ηctk(vi, vj) converge quase certamente paraa(vi, vj)ζ∞(vi, vj) ao longo da mesma subsequencia (tk)k≥0. Defina entao

N ? =⋂i,j∈Z

Ni,j .

Basta agora notar que, como para cada t ≥ 0, ηct satisfaz a propriedade de co-ciclo, entao ζ∞

tambem deve satisfazer, e assim ζ∞ tem que ser um gradiente.

Temos entao que, para cada c ∈ Rd, existe uma funcao harmonica hc tal que ∇ηct converge em H

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66 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

para ∇hc. Para finalizar, basta mostrar agora que, fixada uma direcao coordenada e, a inclinacao dehc e a quase certamente, a mesma de πc.

Mas, do Lema 4.8 segue diretamente que

Ie(hc) = C(∇hc · ζu)

= limt→∞C(∇ηct · ζu)

= Ie(πc),

o que finaliza a demostracao.

Vamos agora nos concentrar no caso bi-dimensional (d = 2). Em [4], Berger e Biskup trazemuma maneira construtiva de mostrar que o maximo da diferenca entre a funcao harmonica e a funcaolinear correspondente em uma caixa de raio n, e sub-linear em n. A ideia consiste em encontraruma densidade positiva de pontos “bons”, formando o que chamaremos de linhas “boas”, ao longodas quais a sub-linearidade acontece com a mesma velocidade. Depois, controlando a distancia entretais linhas e usando o princıpio do maximo para funcoes harmonicas, e possıvel controlar o maximoem caixas suficientemente grandes. A seguir adaptaremos tal tecnica para o nosso caso. Dadas ascaracterısticas no processo que estamos trabalhando, algumas adaptacoes serao necessarias, mas asideias centrais permanecem iguais.

Antes de passarmos a demonstracao, faremos algumas consideracoes.

Inicialmente, dada uma direcao coordenada e ∈ R2, defina

Zk := maxT∈[k,k+1]

‖Cen(Te, S)− Te‖,

e observe que, para r > 1P(Zk > r) = P(Z0 > r) ≤ e−2r,

isto porque (Zk) e uma sequencia estacionaria e

maxT∈[0,1]

‖Cen(Te1, S)− Te1‖ ⊆ S ∩ [0, 1]× [−r + 1, r − 1] = ∅.

De onde concluımos que E[|Zk|n] <∞ para todo n e assim

limk→∞

Zkk

= 0, q.c

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4.5. O RESULTADO PRINCIPAL 67

elimT→∞

‖Cen(Te, S)− Te‖T

= 0 q.c. (4.48)

Dando sequencia, queremos mostrar que, dado um plano πc(v) = (c · v) e uma funcao harmonicah, tal que Ie(h) = Ie(πc) em qualquer direcao coordenada e ∈ R2, entao

limn→∞

maxv∈[−n,n]2∩So

|h(v, So)− πc(v)|

n

= 0, q.c.. (4.49)

Mas o evento Γ = ξ ∈ N : (4.49) acontece e um evento claramente invariante por translacoes, eportanto, pela Proposicao 2.9, se µ(Γ) = 1 entao µo(Γo) = 1, de modo que podemos deixar de ladoo ponto na origem e trabahar apenas com o processo estacionario S.

Para simplificar a notacao, a nao ser que se faca necessario, deixaremos de lado a dependenciaem S nas funcoes utilizadas. Utilizaremos tambem e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) ∈ Z2.

Defina entao ψ(v, S) = h(v, S) − πc(v) e, para cada z ∈ Z2 faca vz = Cen(z, S). Agora, paraK > 0 e ε > 0, diremos que z ∈ Z2 e K, ε− bom se, para todo T ∈ R

|ψ(vz+Te)− ψ(vz)| ≤ K + εT, (4.50)

e|πc(vz+Te − (z + Te))| ≤ K + εT. (4.51)

onde e e um dos vetores coordenados.

Denote por BK,ε(S) o conjunto dos sıtios K, ε− bom em Z2 para a configuracao de pontos S.

Pela definicao de inclinacao dada em (1.10), se Ie1(ψ) = Ie2(ψ) = 0, entao existe K1 > 0 sufi-cientemente grande, tal que (4.50) seja satisfeito para a origem com probabilidade positiva. Usandoagora (4.48), a mesma analise pode ser feita para (4.51). Deste modo, como BK,ε e crescente em K,existe K0 > 0 tal que P(0 ∈ BK,ε) > 0 para todo K > K0.

Defina agora X0 = mink > 0 : ke1 ∈ BK,ε. Para i > 0 faca

Xi := mink > Xi−1 : ke1 ∈ BK,ε,

e para i < 0Xi = maxk < Xi+1 : ke1 ∈ BK,ε.

Analogamente, defina (Yi)i∈Z, usando o vetor e2 no lugar de e1.

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68 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

Lema 4.9. Se K > K0 entao

limn→∞

max(Xi −Xi−1) : Xi, Xi−1 ∈ [−n, n]n

= 0, q.c., (4.52)

elimn→∞

max(Yi − Yi−1) : Yi, Yi−1 ∈ [−n, n]n

= 0, q.c.. (4.53)

Demonstracao. DefinaUz = z ∈ BK,ε,

e note que1Uz(S) = 1U0(τzS).

Pelo Teorema Ergodico de Birkhoff vale entao que

limn→∞

12n+ 1

n∑k=−n

1Uke1 (S) = P(U0), q.c.

Mas se (4.52) nao ocorresse, o limite acima nao poderia existir.

O mesmo argumento vale para justificar (4.53).

Passemos agora para a demonstracao do Teorema 1.3.

Demonstracao do Teorema 1.3. Tome N ] o conjunto das configuracoes ξ ∈ N tais que (4.52) e (4.53)valham simultaneamente.

Fixe ξ ∈ N ], e ε ∈ (0, 1/2). Como BK,ε e crescente em K, e ∪KBK,ε = Z2, entao podemosescolher K = K(ξ), tal que 0 ∈ BK,ε. Tome n1 := n1(ξ) e n2 := n2(ξ) tais que para todo n > n1

max(Xi −Xi−1) : Xi, Xi−1 ∈ [−n, n] ≤ εn,

e para todo n > n2

max(Yi − Yi−1) : Yi, Yi−1 ∈ [−n, n] ≤ εn.

Para cada i ∈ Z, defina retas horizontais

l1i = Yi + t(1, 0) : t ∈ R,

e retas verticaisl2i = Xi + t(0, 1) : t ∈ R.

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4.5. O RESULTADO PRINCIPAL 69

Defina agora o grid G =⋃i∈Zl1i ∪ l2i

Fixe n > maxn1, n2 e tome v ∈ ξ∩[−n, n]2. Suponha agora que v esteja entre as linhas verticaisl2i e l2i+1 de G. Vamos agora tentar localizar estas linhas. Observe primeiro que, como n > n1, entao|Xi| ≤ n ou |Xi+1| ≤ n. Suponha entao que |Xi| ≤ n. Queremos mostrar que |Xi+1| ≤ 2n. Mas seXi+1 > n, entao em particular, Xi+1 > n1 e portanto

Xi+1 −Xi ≤ max(Xj −Xj−1) : |Xj | < Xi+1, |Xj−1| < Xi+1 ≤ εXi+1.

De onde segue queXi+1 ≤

n

1− ε≤ 2n.

Podemos concluir ainda queXi+1 −Xi ≤ 2εn.

Aplicando o mesmo argumento para as linhas horizontais, concluımos que se v ∈ S ∩ [−n, n]2 entaov pertence a um retangulo inteiramente contido dentro de [−2n, 2n]2, cuja fronteira e formada porpedacos de linhas em G, e cuja distancia entre faces paralelas nao ultrapassa 2εn.

Suponha agora que C(v)∩G 6= ∅. Sem perda de generalidade, suponha que C(v) seja cruzada poruma linha horizontal, digamos lxi . Isso significa que existe α ∈ [−2n, 2n] tal que v = Cen(Yi + αe1),e portanto por (4.50)

|ψ(v)| ≤ 2K + (α+ Yi)ε ≤ 2K + 4εn. (4.54)

Se C(v)∩G = ∅, entao procedemos da seguinte maneira. Denote por Rv o retangulo com fronteirano grid G envolvendo v. Denote agora por Gv o subgrafo de G(ξ) formado apenas pelos pontos w ∈ ξtais que C(w) ∩ Rv 6= ∅. Note que se w ∈ ξ e vizinho de v, entao w ∈ Gv, e que a fronteira δGv deGv e composta apenas por pontos cuja celula de Voronoi e cortada pela fronteira de Rv. Observeagora que x 7→ h(x) = ψ(x) + πc(x) e harmonica em Gv com condicoes de fronteira dadas por h|δGv ,e portanto, pelo Princıpio do maximo e do mınimo para funcoes harmonica, existem v′, v′′ ∈ δGv taisque h(v′) ≤ h(v) ≤ h(v′′), e assim podemos encontrar v∗ ∈ δGv tal que

|ψ(v)| ≤ |ψ(v∗)− πc(v)| ≤ |ψ(v∗)|+ |π(v∗ − v)|.

Por (4.54), |ψ(v∗)| ≤ 2K+4εn. Por outro lado, podemos repetir a argumentacao usada na conclusaode (4.54) e supor que v∗ = Cen(Yi+αe1) para algum i e α ∈ [−2n, 2n]. Assim, usando (4.51), v ∈ Gve o fato dos lados de Rv estarem a uma distancia menos que 2εn, concluımos que

|πc(v∗ − v)| ≤ |πc(v∗ − (Yi + αe1))|+ |πc(Yi + αe1 − v)| ≤ K + 4εn,

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70 CAPITULO 4. O PROCESSO DE HARNESS

e portanto‖ψ(v)‖ ≤ 3K + 8εn,

o que conclui a demonstracao.

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Capıtulo 5

Consideracoes Finais

5.1 Aplicacao - O Princıpio de Invariancia

Vamos agora utilizar os resultados apresentados para d = 2, e demonstrar o princıpio de in-variancia para o passeio aleatorio simples na triangulacao de Delaunay, introduzido no capıtulo 3.

A principal ideia por tras da demostracao deste resultado e a de utilizar a deformacao harmonicadefinida na secao 1.1.3 para transformar o passeio aleatorio em um martingal. O princıpio de in-variancia para este novo passeio segue do TCL Funcional para Martingais (Teorema 7.4 de [9]), depoisde verificadas algumas condicoes. A partir daı, utiliza-se a sub-linearidade da deformacao (Teorema1.3) para mostrar que, na mesma escala, a diferenca dos dois passeios converge a zero.

Tais ideias sao as mesmas que permeiam os resultados apresentados em [4] e [20], no caso do clusterde percolacao supecrıtico. Infelizmente, para d ≥ 3, a sublinearidade em direcoes coordenadas, dadano Teorema 1.2, nao e o bastante para controlar a diferenca. Nos artigos citados acima, os autoresprecisam lancar mao das estimativas para as probabilidades de transicao em n passos do passeioaleatorio no cluster, calculados por Barlow em [2], e ainda nao determinadas para o nosso caso.

Antes de passarmos para o enunciado e demostracao do resultado, vamos fixar algumas notacoes.Seja Xn o passeio aleatorio em tempo discreto definido na Secao 3.2. Para ε > 0 seja

Xnt =

1√n

[Xbtnc + (tn− btnc)(Xbtnc+1 − Xbtnc)

].

Considere agora as funcoes harmonicas h1, h2 determinadas pelo Teorema 1.2, e defina

h(·, ·) = (h1(·, ·), h2(·, ·)).

71

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72 CAPITULO 5. CONSIDERACOES FINAIS

Abusando da notacao, escreveremos

C(|∇h|2) = C(|∇h1|2) + C(|∇h2|2).

Denote por θ : R2 → R2 o operador de rotacao de π2 em torno da origem, e considere sua extensao

para Nm dada porθξ = (θ(v),mv) : (v,mv) ∈ ξ.

Como temos feito desde o inıcio deste trabalho, denotaremos por So o processo de Poisson emRd, So = S + δ0 sua versao de Palm com lei µo. Observe que pela construcao da dinamica, e pelaisotropia do processo de Poisson

ηe1t (v, So) = ηe2t (θ(v), θSo) e ηe2t (v, So) = −ηe1t (θ(v), θSo), (5.1)

e portantoC(|∇h2|2) = lim

t→∞C(|∇ηe1t |2) = lim

t→∞C(|∇ηe2t |2) = C(|∇h1|2),

e assimC(|∇h|2) = 2C(|∇h1|2). (5.2)

Alem disso, seguindo os mesmos argumentos que em (4.44), obtemos que

C(∇h1∇h2) = limt→∞C(∇πe1∇η

e2t ) = lim

t→∞C(∇πe2∇η

e1t ).

Mas por (5.1) e pela isotropia de So,

C(∇πe1∇ηe2t ) = −C(∇πe2∇η

e1t ),

e portantoC(∇h1∇h2) = 0. (5.3)

Dado T > 0, denote por (C[0, T ],BT ) a conjunto das funcoes contınuas de [0, T ] em R, munidocom a σ-algebra de Borel relativa a norma do supremo.

Com a notacao fixada acima mostraremos agora o seguinte resultado.

Teorema 5.1. Considere d = 2. Dado ξ ∈ N o seja Xn;n ≥ 0 o passeio aleatorio com lei P 0ξ .

Entao, µo-quase certamente, e para todo T > 0, a lei do processo (Xnt ; t ∈ [0, T ]) em (C[0, T ],BT )

converge fraco quando n→∞, para a lei de um movimento Browniano isotropico (Bt; t ∈ [0, T ]) emR2, com constante de difusao D = E(|B1|2) = 1

E[|V (0)|]C(|∇h|2).

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5.1. APLICACAO - O PRINCIPIO DE INVARIANCIA 73

Demonstracao. DefinaMn = h(Xn),

e faca Fn = σ(X1, . . . , Xn). Como, para µo-quase todo ξ ∈ N o, a funcao h : v ∈ ξ → h(v, ξ) eharmonica em G(ξ), entao

E0ξ [Mn+1|Fn] =

1|V (Xn)|

∑v∈V (Xn)

h(v) = h(Xn) = Mn,

e, portanto, (Mn)n≥0 e um martingal com respeito a Fn;n ≥ 0. Alem disso, segue diretamente dofato de ∇h1,∇h2 ∈ H que Mn e quadrado-integravel.

Denotando por Mnt a interpolacao linear de n−

12Mbtnc, vamos mostrar que a lei de (Mn

t ; t ∈ [0, T ])converge fracamente, quando n → ∞, para a lei de (Bt; t ∈ [0, T ]). Para isso mostraremos primeiroque para todo c ∈ R2, a lei do processo (c ·Mn

t ; t ∈ [0, T ]) converge para a lei de um movimentoBrowniano unidimensional com coeficiente de difusao 1

2D‖c‖2.

Pelo TCL Funcional para Martingais (ver [9]) precisamos mostrar que, µo-quase certamente,

V εn :=

1n

n∑k=1

E0ξ

[(c · (Mk+1 −Mk))21|c·(Mk+1−Mk)|≥ε

√n|Fk

]n→∞−→ 0,

para todo ε > 0, e

Vn :=1n

n∑k=1

E0ξ

[(c · (Mk+1 −Mk))2|Fk

] n→∞−→ 12D‖c‖2.

Para isso, observe que

(c · (Mk+1 −Mk)) = (c · (h(Xk+1, ξ)− h(Xk, ξ))) = (c · h(Xk+1 − Xk, τXkξ).

Portanto, se definirmosφN (ξ) = E0

ξ

[(c ·M1)21|(c·M1)|≥N

]temos que

V εn =

1n

m∑k=1

φε√n(τXkξ)

e

Vn =1n

m∑k=1

φ0(τXkξ).

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74 CAPITULO 5. CONSIDERACOES FINAIS

Fixado N > 0, tomando n suficientemente grande, temos

φε√n(ξ) ≤ φN (ξ),

e portanto, para todo ε > 0, segue do Lema 3.1, e do Teorema Ergodico de Birkhoff, que

lim supn→∞

V εn ≤ Eνo [Eξ[|(c · (M1))|21|M1|≥N ]].

Assim, fazendo N →∞, pelo Teorema da Convergencia Dominada

limn→∞

V εn = 0.

Do mesmo modolimn→∞

Vn = Eνo [Eξ[|(c · (M1))|2]].

Mas por (5.2) e (5.3) obtemos que

Eνo [Eξ[|(c · (M1))|2]] =12

[E[|V (0)|]]−1C(|∇h|2)‖c‖2 =12D‖c‖2.

Concluimos entao que (c ·Mnt ; t ∈ [0, T ]) converge para um movimento Browniano com coeficiente

de difusao12D‖c‖2,

com D = [E[|V (0)|]]−1C(|∇h|2) > 0. Agora, pelo dispositivo de Cramer-Wold (ver [9]), segue que alei de (Mn

t ; t ∈ [0, T ]) converge fraco para a lei de (Bt; t ∈ [0, T ]).

Para finalizar a demostracao precisamos mostrar que (Xnt −Mn

t ; t ∈ [0, T ]) converge fraco a zero,quando n→∞. Para isso, considerando T = 1, e suficiente mostrar que, µo-quase certamente,

max0≤k≤n

1√n‖Xk −Mk‖

n→∞−→ 0,

em P 0ξ -probabilidade.

Neste sentido, observe primeiro que pelo Teorema 1.3, dado ε > 0 existe K > 0, dependendo deε e do meio ξ, tal que para todo v ∈ ξ

‖ψ(v)‖ = ‖h(v)− v‖ ≤ K + ε‖v‖

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5.2. PROBLEMAS ABERTOS 75

Tomando ε < 12 temos que

‖ψ(v)‖ ≤ 2K + 2ε‖h(v)‖,

e portanto, pelo Teorema de Portmanteau

lim supn→∞

P 0ξ

max

0≤k≤n‖ψ(Xk)‖ ≥ δ

√n

≤ lim sup

n→∞P 0ξ

max

0≤k≤n‖Mk‖ ≥

δ√n

2ε−Kε−1

≤ P

maxt∈[0,1]

|Bt| ≥δ

,

e o ultimo termo da expressao acima converge a zero quando ε→ 0.

5.2 Problemas Abertos

Para finalizar vamos comentar rapidamente alguns dos problemas que continuam sem solucao, eque pretendemos abordar no futuro.

Antes de mais nada, gostariamos de mostrar a convergencia quase-certa da nossa dinamica. Nossaprova para convergencia nao determina a taxa de decaimento da distancia L2, o que ajudaria adeterminar tal convergencia.

Outro resultado que ainda nao temos e o da unicidade (modulo somas) da funcao harmonicacom gradiente covariante e inclinacao pre-definida. Este mesmo problema, considerado no casodo cluster de percolacao, e tambem deixado como aberto nas consideracoes finais de [4] e, como osautores comentam, ainda nao esta claro que condicoes sao necessarias para haver unicidade da funcaoharmonica com comportamento assintotico linear pre-definido.

Outro problema interessante seria encontrar uma demonstracao para o Teorema 1.3 para o casod > 2, o que permitiria concluir o princıpio de invariancia tambem nestas dimensoes.

Para terminar este trabalho, vamos descrever em poucas palavras um problema similar ao estu-dado aqui, e que achamos igualmente interessante.

Fixe uma caixa An := [−n, n]d e tome Gn = (Vn, En) a triangulacao de Delaunay restrita a An.Mais exatamente, faca

Vn =⋃

v∈So∩An

V (v),

e En todos os elos de E cujo vertice inicial esta em An. Chamaremos de fronteira os vertices de∂Vn := Vn\So ∩An.

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76 CAPITULO 5. CONSIDERACOES FINAIS

Fixando condicoes de fronteira apropriadas, como por exemplo

fn(v) = v1, v ∈ ∂Vn,

ou ainda

fn(v) =

n , se v ∈ ∂Vn e v1 > 0,

−n , se v ∈ ∂Vn e v1 < 0,

denote por φn a unica funcao harmonica em Vn e condicoes de fronteira dadas por fn. Gostarıamosde saber se, de algum modo, a sequencia (φn)n>0 se aproxima de alguma funcao harmonica emtodo grafo. Seria interessante se, alem disto, a funcao encontrada fosse a mesma determinada peloprocesso de Harness, mas ate o momento nao temos claro nem se o limite, caso exista, possui gradientecovariante.

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Apendice A

Resultados Auxiliares

A.1 Funcoes Harmonicas em Grafos Finitos

Seja G = (V, E) um grafo finito conexo. Escreva V = I ∪B de modo que

(a) I ∩B = ∅;

(b) Todo vertice em V possui ao menos um vizinho em I;

(c) O subgrafo G′ = (I, E ′) de G com E ′ = (u, v) ∈ E : u, v ∈ I e conexo.

Denote I de vertices interiores e B de fronteira de do grafo G. Por uma questao de coerencia,consideraremos que G e orientado, mas que (u, v) ∈ E se e so se (v, u) ∈ E .

A seguir repetiremos algumas das definicoes ja colocadas na introducao do trabalho. Considereentao um conjunto de pesos (condutividade) (a(u, v))(u,v∈E) positivos e tais que a(u, v) = a(v, u).Para facilitar a notacao estenda os pesos a(·, ·) para todo V × V fazendo a(u, v) = 0 se (u, v) /∈ E , efaca au =

∑v∈V a(u, v). Defina tambem a matriz P := (p(u, v))(u,v)∈E dada por

p(u, v) =a(u, v)au

.

Note que, pela conectividade de G a matriz P define uma cadeia de Markov irredutıvel em V eque a medida de probabilidade dada por µ(u) = au∑

v av, e reversıvel para P . De fato, se c =

∑v av

entaoµ(u)p(u, v) = caup(u, v) = ca(u, v) = ca(v, u) = cavp(v, u) = µ(v)p(v, u).

77

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78 APENDICE A. RESULTADOS AUXILIARES

Diremos portanto que uma funcao h : V → R e harmonica para P := (p(v, w))v,w∈V em I se

h(v) =∑w∈V

p(v, w)h(w), para todo v ∈ I. (A.1)

Observe que (A.1) e o mesmo que∑w∈V

a(v, w)(h(v)− h(w)) = 0, para todo v ∈ I. (A.2)

No caso em que I = V diremos simplesmente que h e harmonica em G.

Para verificar a existencia de tais funcoes vamos considerar o seguinte exemplo: Seja (Xn)n≥0

uma cadeia de markov com probabilidade de transicao dada por P . Considere o tempo de paradaT = minn ≥ 0 : Xn ∈ B e note que, como V e finito e Xn e irredutıvel, entao T < ∞ quasecertamente. Considere agora uma funcao f : B → R definida na fronteira de G, e defina a funcaoh : V → R por

h(u) = E[f(XT )|X0 = u].

Observe agora que se u ∈ B entao T = 0 e portanto h(u) = f(u). Agora, para u ∈ I vale que

h(u) =∑v∈V

E[f(XT )|X1 = v]P(X1 = v|X0 = u) =∑v∈V

h(v)p(u, v),

e portanto h e harmonica em I com condicao de fronteira dada por f .

Um resultado importante para grafos finitos e o chamado Princıpio do Maximo e Mınimo que dizque

Proposicao A.1 (Princıpio do Maximo e do Mınimo). Se h : V → R e harmonica para P em I comcondicao de fronteira f : B → R entao os valores maximo e o mınimo de h sao atingidos em B, ouseja, existem vertices v1, v2 ∈ B tais que

h(v1) = maxu∈V

h(u), (A.3)

eh(v2) = min

u∈Vh(u). (A.4)

Demonstracao. Como V e finito, para mostrar (A.3) basta mostrar que para todo u ∈ I existe v ∈ Btal que h(u) ≤ h(v). Para isso considere v ∈ I. Se h e constante o resultado segue imediatamente.Suponha entao que h nao seja constante.

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A.1. FUNCOES HARMONICAS EM GRAFOS FINITOS 79

Como h(v) e uma media ponderada do valor de h em seus vizinhos, entao h(v) deve ser estrita-mente menor ao maximo de h nos vizinhos de v (lembre-se que estamos supondo h nao constante).Seja v1 este vizinho. Se v1 ∈ B acabou, se v1 ∈ I repetimos o mesmo argumento para encontrarv2. Definimos assim uma sequencia v1, v2, . . .. Note que se vn permanecer em I entao deverao haveri > j tais que vi = vj . Mas por construcao h(vn+1)− h(vn) > 0 e portanto

0 = h(vi)− h(vj) =i−j∑k=1

h(vj+k)− h(vj+k−1) > 0.

Portanto teremos que, eventualmente vn ∈ B.

A equacao (A.4) sai seguindo os mesmos argumentos.

Como corolario segue que

Corolario A.2. Se h : V → R e harmonica para P em I com condicoes de fronteira f : B → Rconstate (f ≡ c) entao h e tambem constante igual a c.

Corolario A.3. Se h1 : V → R e h2 : V → R sao harmonicas para P em I com condicoes defronteira f : B → R entao h1 = h2.

Demonstracao. Basta notar que h = h1−h2 e harmonica com condicao de fronteira constante e iguala 0.

Outra caracterıstica importante das funcoes harmonicas e a de ser, dentre todas as funcoesdefinidas em V com mesma condicao de fronteira, a que minimiza um dado funcional conhecidocomo energia. Este resultado, conhecido no contexto de redes eletricas como Princıpio de Thomp-son, e normalmente enunciado no contexto de fluxos unitarios, pode ser encontrado em [8]. Abaixoenunciaremos uma versao um pouco mais geral, mas cuja demonstracao e essencialmente a mesma.

Proposicao A.4. Seja h : V → R a (unica) funcao harmonica para P em I com condicoes defronteira dadas por f : B → R. Se g : V → R e tal que g(u) = f(u) = h(u) para todo u ∈ B, entao∑

u,v∈V(h(u)− h(v))2a(u, v) ≤

∑u,v∈V

(g(u)− g(v))2a(u, v).

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80 APENDICE A. RESULTADOS AUXILIARES

Demonstracao. Defina d := g − h, e observe que d(u) = 0 para todo u ∈ B. Temos entao que∑u,v∈V

(g(u)− g(v))2a(u, v) =∑u,v∈V

(h(u)− h(v))2a(u, v) +∑u,v∈V

(d(u)− d(v))2a(u, v)

+ 2∑u,v∈V

(h(u)− h(v))a(u, v)(d(u)− d(v)).

Como h e harmonica em I, entao∑

v(h(u)− h(v))a(u, v) = 0 para todo u ∈ I e assim∑u,v∈V

(h(u)− h(v))a(u, v)(d(u)− d(v)) =∑u∈V

d(u)∑v∈V

(h(u)− h(v))a(u, v)

−∑v∈V

d(v)∑u∈V

(h(u)− h(v))a(u, v)

=∑u∈I

d(u)∑v∈V

(h(u)− h(v))a(u, v)

−∑v∈I

d(v)∑u∈V

(h(u)− h(v))a(v, u)

= 0.

E portanto∑u,v∈V

(g(u)− g(v))2a(u, v) =∑u,v∈V

(h(u)− h(v))2a(u, v) +∑u,v∈V

(d(u)− d(v))2a(u, v)

≥∑u,v∈V

(h(u)− h(v))2a(u, v).

Na teoria de redes eletricas, um campo j : E → R tal que j(u, v) = −j(v, u) e conhecido comofluxo, e o funcional

E[j] :=∑u,v∈V

(j(u, v))2a(u, v),

representa a energia dissipada no circuito pelo fluxo j. Para maiores detalhes sobre o assunto ver [8].

A.2 A Medida de Campbell

A seguir vamos justificar a existencia da medida C definida em (4.17). As demonstracoes dosresultados aqui apresentados podem ser encontradas em [7].

Dado o processo pontual marcado So, e sendo X = Rd ×Rd ×Nm, podemos associar a lei de So

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A.2. A MEDIDA DE CAMPBELL 81

uma medida C definida em (X ,B(X )) como a medida que para cada A,B ∈ B(Rd) e U ∈ B(Nm)vale

C(A×B × U) = E[|So ∩A||So ∩B|1U (So)]. (A.5)

Esta medida e conhecida como medida de Campbell de segunda ordem associada a So. Suacaracterizacao e dada no lema abaixo, cuja demostracao pode ser encontrada em [7]. As medidas deCampbell de primeira ordem estao diretamente relacionadas com as medidas de Palm. Em verdade,usando tais medidas e possıvel definir medidas de Palm em um contexto mais geral de medidasaleatorias localmente finitas (nao necessariamente medidas de contagem), sem a necessidade de pedirestacionariedade.

Lema A.5. A medida de Campbell definida em (A.5) concentra massa em

Ξ2 = (x, y, ξ) ∈ Rd × Rd ×Nm : x, y ∈ ξ,

ou seja, C(Rd×Rd×Nm\Ξ2) = 0. Mais do que isso, a integral de uma funcao φ : Rd×Rd×Nm → Rem relacao a C e dada por

C(φ) :=∫

Ξ2

φ dC = E

[∑v∈So

∑w∈So

φ(v, w, So)

].

Seja G(ξ) o grafo de Delaunay determinado por ξ ∈ N e, para v, w ∈ ξ, seja a : Ξ2 → R ocampo dado por a(v, w, ξ) = 1w ∈ V (v, ξ). Nestas condicoes, a medida C dada em (4.17), esimplesmente a medida absolutamente contınua em relacao a C, com derivada de Radon-Nikodimdada por a(v, w, ξ)δo(v), ou seja,

C(ζ) = E

[∑v∈So

a(0, v, So)ζ(0, v, So)

],

onde ζ : Ξ2 → R.

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82 APENDICE A. RESULTADOS AUXILIARES

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