Deformações e Relações Tensão-Deformação

MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO

Deformações


• Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele.

• Essas mudanças são denominadas deformações.

Conceito de Deformação

Note as posições antes e depois de três

segmentos de reta, onde o material está

submetido à tensão.



Deformação normal

• O alongamento ou contração de um segmento de reta porunidade de comprimento é chamando denominadodeformação normal.

• A deformação normal média é definida como

• Se a deformação normal forconhecida, então o comprimentofinal é

s

ss

'méd

ss 1'+ε reta se alonga

-ε reta se contrai


Deformação

dx

du

x

u

x

0lim

A A’ B B’

u

u+u

x

x,u

Deformação normal (linear)

x,u

y

dxx

uu

dx

x

ux


Deformação por cisalhamento

• A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta

que eram perpendiculares um ao outro é denominada

deformação por cisalhamento.

tACnAB

nt

de longo ao de longo ao

'lim2

θ < 90° Deformação por cisalhamento positiva

θ > 90° Deformação por cisalhamento negativa


Deformação de cisalhamentoz

y

ij Deformação de cisalhamento (distorção) no plano i-j.

ijRedução no ângulo entre as faces no plano i-j positiva

aumento no ângulo entre as faces no plano i-j negativa


Unidades

• A deformação normal é uma quantidade adimensional,

visto que é uma razão entre dois comprimentos.

• A deformação de cisalhamento é uma quantidade

adimensional, pois expressa uma variação de ângulos

em radianos.


A variação de temperaturacria uma

deformação normal na haste de

onde z é dado em metros. Determine

a) o deslocamento da extremidade B

devido ao aumento de temperatura e

b) a deformação normal média na haste.

2/131040 zz

Exemplo 1


Solução:

Parte (a)

Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao

longo da haste, terá um comprimento deformado de:

A soma total desses segmentos ao longo do eixo dá como

resultado o comprimento deformado da haste, isto é:

Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:

dzzdz 2/1310401'

m 20239,010401'2,0

0

2/13 dzzz

(Resposta) mm39,2m00239,02,020239,0 B


Parte (b)

Considerando que a haste tem um comprimento orginal de 200 mm e há

uma mudança no comprimento de 2,39 mm,

(Resposta) mm/mm 0119,0200

39,2'méd

s

ss


Uma chapa é deformada até a forma

representada pelas linhas tracejadas

mostradas na figura ao lado. Se, nessa

forma deformada, as retas horizontais

na chapa permanecerem horizontais e

seus comprimentos não mudarem,

determine

a) a deformação normal ao longo do

lado AB e

b) a deformação por cisalhamento

média da chapa em relação aos

eixos x e y.

Exemplo 2


Solução:

Parte (a)

A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação.

Logo, o comprimento da reta é:

Portanto, a deformação normal média para AB é:

O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.

mm 018,24832250' 22AB

(Resposta) mm/mm 1093,7250

250018,248' 3

méd

AB

ABABAB


Parte (b)

Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos

x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.

Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,'2

xy xy

(Resposta) rad 0121,02250

3tg 1

xy


Tensões e Deformações em Carregamento Axial


Deformação Normal

normal deformação

tensão

L

A

P


Deformação Normal

normal deformação

tensão

L

A

P

L

A

P

A

P

2

2


Deformação Normal

normal deformação

tensão

L

A

P

L

A

P

A

P

2

2

LL

A

P

2

2


Teste de Tensão-Deformação


Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis


Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis


Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis


Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

Abaixo da tensão de proporcionalidade E

E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young

G = Módulo de Elasticidade Transversal

GDe forma similar, para cisalhamento temos:

Unidade de E e G Pa (GPa)


Comportamento Elástico versus Plástico

Se a deformação desaparece

quando a tensão é removida,

dizemos que o material se

comporta elasticamente.

Quando a deformação não

retorna a zero após a tensão ser

removida, dizemos que o

material se comporta

plasticamente.

O maior valor de tensão para o

qual isso ocorre é chamado de

limite elástico do material.


Deformações sob Carregamento Axial

AE

P

EE

Para a Lei de Hooke:

A definição de deformação

L

Transformando e substituindo a equação anterior

na equação acima, temos

AE

PL

Para barras com carregamentos em outros

pontos, diversas seções transversais e

diferentes materiais,

i ii

ii

EA

LP


O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal

de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar

rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra,

determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70

GPa )

Exemplo 3


m 001143,0001143,0107010400

4,0108096

3

AE

PLB

O deslocamento da extremidade B em relação à

extremidade fixa A é

Visto que ambos os deslocamentos são para direita,

o deslocamento resultante de C em relação à

extremidade fixa A é, portanto,

Resposta)(mm 20,4m 0042,0/ BCCC

Solução:

Encontre o deslocamento da extremidade C em

relação à extremidade B.

m 003056,010200005,0

6,010809

3

/

AE

PLBC


Determine as deformações da barra de aço mostrada

submetida às forças dadas.

GPaE 200

Exemplo 4


SOLUÇÃO:

Divida a barra em três

componentes:

2

21

21

mm 580

mm. 300

AA

LL2

3

3

mm 200

mm. 400

A

L

Aplicar a análise de corpo livre em cada

componente para determinar as forças

internas,

N10150kN150

N1050kN50

N10300kN300

3

3

3

2

3

1

P

P

P

Alongamento total

mm. 2,15 200

31,429

200

400150

580

30050

580

300300

200

1

1

3

33

2

22

1

11

A

LP

A

LP

A

LP

EEA

LP

i ii

ii


A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontosa) B, b) D e c) E.

Exemplo 5


SOLUÇÃO:

Realizar uma análise do corpo livre

para a barra BDE para encontrar as

forças exercidas pelas barras AB e

DC.

Avaliar a deformação das barras AB e

DC para encontrar os

deslocamentos de B e D.

Realize uma análise geométrica para

encontrar o deslocamento do ponto

E dado os deslocamentos em B e D.

Exemplo 5


Corpo Livre: Barra BDE

compressãoF

F

traçãoF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

SOLUÇÃO: Deslocamento do ponto B:

m10514

Pa1070m10500

m3.0N1060

6

926-

3

AE

PLB

mm 514.0B

Deslocamento do ponto D:

m10300

Pa10200m10600

m4.0N1090

6

926-

3

AE

PLD

mm 300.0D


Deslocamento do ponto E:

mm 7.73

mm 200

mm 0.300

mm 514.0

x

x

x

HD

BH

DD

BB

mm 928.1E

mm 928.1

mm 7.73

mm7.73400

mm 300.0

E

E

HD

HE

DD

EE


Exemplo 6

Um bloco retangular de material com módulo de rigidez G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine a) a deformação de cisalhamento média no material e b) a força P que atua na placa superior.


Determinar a deformação de cisalhamento ou a

tensão de ruptura do bloco.

rad020,0mm50

mm1tan xyxyxy

Aplicar a lei de Hooke para tensão e

deformação de cisalhamento para encontrar

a tensão de cisalhamento correspondente.

MPa4,12rad020,0MPa620 xyxy G

Use a definição de tensão de cisalhamento

para encontrar a força P.

N108,148mm60mm200MPa4,12 3 AP xy

kN8,148P

Exemplo 6 - Solução


Indeterminação Estática

Estruturas onde as forças internas e as reações não

podem ser determinadas apenas por meio da

estática, são chamadas de estruturas estaticamente

indeterminadas.

0 RL

Deformações devido as forças reais e pela reações

redundantes são determinadas separadamente e,

em seguida, adicionadas ou superpostas.

Reações redundantes são substituídas por forças

desconhecidas que, juntamente com as demais

forças, deve produzir deformações compatíveis

com as restrições originais.

A estrutura será estaticamente indeterminada sempre

que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles

necessários para manter seu equilíbrio.


Exemplo 7

Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra.


Exemplo 7


Exemplo 7SOLUÇÃO:

Resolvendo o deslocamento em B devido às forças

aplicadas,

EEA

LP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

Resolvendo o deslocamento em B devido à reação

redundante,

i

B

ii

iiR

B

E

R

EA

LPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400


Os deslocamentos devido às forças e devido à reação

redundante devem ser compatíveis,

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

B

B

RL

R

E

R

E

Exemplo 7

Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B

kN323

kN577kN600kN 3000

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

B

A

R

R


Tensão Térmica

A mudança de temperatura numa barra resulta uma

mudança no comprimento , isto é, ocorre de

deformação térmica. Não há tensão associada com a

deformação térmica, a menos que o alongamento seja

contido pelo apoio.

térmicadilatação de ecoeficient

AE

PLLT PT

Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o

princípio da superposição.

0 PT

A deformação térmica e a deformação do apoio

redundante devem ser compatíveis.

TEA

P

TAEP

AE

PLLT

0


A barra rígida horizontal é fixada ao topo de três colunas, feitas de aço A-36 e alumínio 2014-T6. As colunas têm comprimento de 250 mm quando descarregadas e sob temperatura T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada coluna quando a estrutura é submetida à carga distribuída de 150 kN/m e a temperatura é aumentada para T2 = 80°C.

Exemplo 8

Aço AçoAlumínio

st = 12x10-6 (°C) -1

al = 23x10-6 (°C) -1

Est = 200 GPa

Eal = 73,1 GPa


• DCL

• Compatibilidade geométrica dos deslocamentos,

• Posição final do topo é combinação dos efeitos da temperatura e da força.

(2) alst

(1) 010902 ;0 3 alsty FFF

FalTalal

FstTstst





• Eq. 2 fornece

• Considerando as propriedades dos materiais

• Resolvendo Eqs. 1 e 3 simultaneamente (subst Eq 3 na Eq 1, p.ex)

FalTalFstTst

(3) 109.165216.1

101.7303.0

25.025.020801023

1020002.0

25.025.020801012

3

92

6

92

6

alst

alst

FF

FF

(Resp) kN 123 ; kN 4.16 alst FF



Coeficiente de Poisson

Para um barra delgada submetida a uma carga

axial:

0 zyx

xE

O alongamento na direção x é acompanhado por

uma contração em outras direções. Assumindo

que o material é homogêneo e isotrópico (sem

dependência direcional),

0 zy

Coeficiente de Poisson é definido como

x

z

x

y

axial deformação

sal transverdeformação


Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial

P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a

mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da

carga. O material comporta-se elasticamente.

Exemplo 9

= 0,32

E = 200 GPa


Solução:

A tensão normal na barra é

mm/mm 108010200

100,16 6

9

6

aço

E

zz

Pa 100,1605,01,0

1080 63

A

Pz

Da tabela para o aço A-36, Eaço = 200 GPa,



O alongamento axial da barra é, portanto,

As deformações de contração em ambas as

direções x e y são

m/m 6,25108032,0 6

aço

zyx v

(Resposta) m1205,11080 6

z

zz L

Assim, as mudanças nas dimensões da seção

transversal são

(Resposta) m28,105,0106,25

(Resposta) m56,21,0106,25

6

6

yyy

xxx

L

L



Lei de Hooke Generalizada

Para um elemento sujeito a um carregamento

multiaxial, as componentes da deformação normal

são expressas em função das componentes de

tensão e podem ser determinadas a partir do

princípio da superposição. Isto requer:

1) A deformação é linearmente relacionada a

tensão.

2) A deformação resultante de determinada força

é pequena.

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

Com estas restrições:


Lei de Hooke Generalizada

No regime linear, as deformações de cisalhamento ocorrem de forma independente em cada plano, sem serem afetadas diretamente pelas deformações de cisalhamento em outros planos nem pelas deformações normais em qualquer direção

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

Assim, para materiais homogêneos e isotrópicos, no regime linear:

G

G

G

yz

yz

xzxz

xy

xy


Dilatação: Módulo de Compressibilidade Volumétrica

Em relação ao estado livre de tensões, a mudança no

volume é

volume)de unidadepor volumeem (variação dilatação

21

111111

zyx

zyx

zyxzyx

E

e

Para um corpo submetido à pressão hidrostática

uniforme,

ca volumétriilidadecompressib de módulo

213

213

Ek

k

p

Epe

Um material estável submetido a uma pressão uniforme,

possui dilatação negativa e um módulo de

compressibilidade positivo, portanto

210


Relação entre E, e GUma barra delgada axialmente carregada irá

alongar na direção axial e contrair nas

direções transversais.

12G

E

Componentes de deformação específica normal

e de cisalhamento estão relacionadas,

Se o elemento cúbico é orientado como na

figura (b), ele vai se transformando-se em

um losango. A Carga axial produz uma

deformação de cisalhamento.

Um elemento na forma de um cubo orientado

como na figura (a), vai transformando-se

em um paralelepípedo retangular. A carga

axial produz uma deformação específica

normal.


Exemplo 10

Um círculo de diâmetro d = 220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre

de tensões de espessura t = 19 mm. Forças atuando posteriormente no plano da

placa provocam tensões normais x = 82 Mpa e z = 138 MPa.

Para E = 69 GPa e = 1/3, determine a alteração:

a) do comprimento do diâmetro AB,

b) do comprimento do diâmetro CD,

c) da espessura da placa, e

d) do volume da placa.


Lei de Hooke generalizada -> três componentes da deformação normal.

mm/mm10604,1

mm/mm10063,1

mm/mm10522,0

MPa1383

10MPa82

MPa1069

1

3

3

3

3

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx



Variações de comprimento.

mm220mm/mm10522,0 3 dxAB

mm220mm/mm10604,1 3 dzDC

mm19mm/mm10063,1 3 tyt

mm.104,0AB

mm353,0DC

mm20,0tVariação em volume

33

3

mm1938038010063,1

10063,1

eVV

e zyx

3mm916,2V



Estado Plano de Deformação (ex: plano x-y)

0z 0, yzxz

Exemplo no plano x-y


IMPORTANTE

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

G

G

G

yz

yz

xzxz

xy

xy

Estado Plano de Tensões não implica em Estado Plano de Deformações!

0z

0

0

0

0

yzxzz

xy

y

x


Equações gerais de transformação no plano de deformação

• Equações de Transformação:


Deformações principais

Deformação por cisalhamento máxima no plano.

• Deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média são as

seguintes:

0'' yx

Equações gerais de transformação no plano de deformação


Círculo de Mohr — estado plano de deformação

• Também podemos resolver problemas que envolvem a transformação da

deformação usando o círculo de Mohr.

• Com centro sobre o eixo ε no ponto C(εméd, 0) e raio R.


O ponto X é

marcado

abaixo do eixo

horizontal

O ponto X é

marcado

acima do eixo

horizontal

éSe xy

As abscissas dos pontos A

e B, representam as

deformações principais.

B A

X

+

-

OB

OB

xy

O B

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Deformações e Relações Tensão-Deformação