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DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO Prof. Dra. Janete Pereira Amador

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DELINEAMENTO COMPLETAMENTE

CASUALIZADO

Prof. Dra. Janete Pereira Amador

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Análise de VariânciaConsiderando esquematicamente um experimento,

tem-se:

onde yij são as observações numéricas referente a uma variável resposta sobre as rt unidades experimentais. As observações yij podem ser acomodadas numa estrutura conforme a que apresentada na tabela 1.

Unidade Experimental

Tratamentos Efeitoyij

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Análise de Variância: Tabela 1Estrutura dos dados para o delineamento

completamente casualizado com qualquer número de tratamentos e repetições iguais.

Tratamentos Repetiçõesr21

Totais deTratamentos

Médias deTratamentos

t

2

1

trtt

ij

r

r

yyy

y

yyy

yyy

21

22221

11211

.

.2

.1

ty

y

y

.

.2

.1

ty

y

y

..y ..y

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Análise de Variância: Tabela 1• Na tabela 1 yij denota a observação da j-ésima

repetição do tratamento i, onde i = 1, 2, ..., t é o índice de tratamento; j = 1, 2, ..., r é o índice de repetição.

• Os totais dos tratamentos são designados yi. , em que o índice i. (i ponto) significa que as repetições j do tratamento foram somadas. Da mesma forma, representa a média do tratamento i. O total geral é:

e a média geral é

.iy ry .i

ij.. yy

.rtyrtyy ..ij..

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Análise de Variância: Tabela 1

• No delineamento completamente casualizado a variação total é decomposta em duas partes: a variação entre os tratamentos e a variação entre as unidades experimentais com o mesmo tratamento.

• Comprova-se algebricamente que:

i j i i j

2.iij

2...i

2..ij )yy()yy(r)yy(

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Análise de Variância: Tabela 1

Soma dos Quadrados Total (SQ Total)

Representa a variação de todas as observações em torno da média geral.

Soma dos Quadrados dos Tratamentos

(SQ Tratamentos ou SQT)

Representa a variação das médias dos tratamentos em torno da média geral, ou a variação entre os tratamentos ou devida a tratamentos.

2...i )yy(r 2

..ij )yy(

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Análise de Variância: Tabela 1

Soma dos Quadrados do Erro Experimental (SQ Erro Ou SQE)

Representa a variação dentro dos tratamentos, isto é, a variação entre as unidades experimentais com o mesmo tratamento, ou seja a variação devida ao erro experimental, que não é de responsabilidade dos tratamentos.

2.iij )yy(

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Análise de Variância: Tabela 1

• Os três termos têm , respectivamente, (rt - 1), (t - 1) e t(r – 1) graus de liberdade, de forma que

(rt - 1) = (t – 1) + t(r - 1).

• Ainda que essas somas dos quadrados possam ser obtidas pelas equações dadas, é preferível usar equações transformadas, mais adaptadas aos procedimentos computacionais:

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Análise de Variância: Tabela 1

SQ Total =

SQ Tratamentos = SQT =

SQ Erro Experimental = SQE = SQ Total – SQT

rt

yy

2..2

ij

rt

y

r

y 2..

2.i

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Análise de Variância: Tabela 1

• A soma dos quadrados para erro experimental, mesmo que possa ser calculada diretamente, é determinada mais facilmente por subtração.

• Isto, como decorrência da equação geral de subdivisão da soma dos quadrados total.

• Por esta razão o erro experimental é também denominado resíduo ou discrepância.

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Análise de Variância: Tabela 1• O termo , comum nas expressões, é o fator

de correção, FC. • A análise de variância é estruturada numa tabela

especial denominada tabela da análise de variância.

• A tabela 2 é o modelo geral para a análise da variância de um experimento conduzido no delineamento completamente casualizado.

rty2..

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Análise de Variância: Tabela 2 Análise de variância do delineamento

completamente casualizado com qualquer número de tratamentos e repetições iguais.

Causas de variação GL SQQMFTratamentos (Entre tratamentos)

t - 1 SQTQMT

QME

QMT

Erro Experimental(Dentro dos tratamentos)

t(r – 1) SQEQME

Total rt - 1SQ Total

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Análise de Variância: Tabela 2

• Após o cálculo das somas dos quadrados, calculam-se os quadrados médios QMT , para tratamentos, e QME para o erro experimental, dividindo as somas dos quadrados pelos respectivos graus de liberdade.

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Análise de Variância: Tabela 2

• A hipótese de nulidade (H0) que se formula é de que não há diferença entre as médias dos tratamentos (H0: ).

• Outras maneiras de formular a hipótese de nulidade são as seguintes: não há diferença entre os efeitos dos tratamentos ou os efeitos de tratamentos são nulos (H0: ), ou a variância dos efeitos dos tratamentos é igual a zero (H0: ).

t21

0i

02

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Análise de Variância: Tabela 2

O teste da hipótese de nulidade é dado por:

• O F calculado é comparado com o dado na tabela de distribuição F para (t – 1) e t(r - 1) graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e do erro experimental.

rimentalQMErroExpe

tosQMTratamenF

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Análise de Variância: Tabela 2

• Se for maior que o dado para o nível 5%, a diferença é dita significativa (P<0,05); será muito significativa quando F calculado for maior do que o dado para o nível 1% (P<0,01).

• No caso de F calculado ser menor do que o tabelado, não haverá diferença significativa entre os tratamentos

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Análise de Variância: Tabela 2

• O teste F é essencialmente a comparação da variância das médias dos tratamentos com a variância do erro experimental.

• O erro experimental representa a variação aleatória entre as unidades experimentais com o mesmo tratamento, acrescida das variações de erros de técnica cometidos durante a condução do experimento.

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Análise de Variância: Tabela 2

• Se a variação entre as médias dos tratamentos for semelhante à variação do erro experimental, a relação será aproximadamente igual à unidade.

• Neste caso a diferença entre as médias não será significativa e poderá ser atribuída à variação de amostragem.

ET QMQM

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Análise de Variância: Tabela 2

• Para que a diferença entre as médias tenha significância estatística, o valor F calculado deverá ser bem maior do que a unidade.

• Quando isto sucede, a variação entre as médias dos tratamentos incluirá, além da variação do erro experimental, uma variação ao efeito intrínseco dos tratamentos.

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Exemplo Os dados abaixo referem-se a rendimento de cana em

t/ha de um experimento inteiramente casualizado de competição de variedades de cana-de-açúcar.

Tratamentos (Variedades)A B C D64 78 75 55 t = 472 91 93 66 r = 668 97 78 49 rt = 2477 82 71 6456 85 63 7095 77 76 68

Total (yi. ) 432 510 456 372 1770 y..

Média .iy 72 85 76 62 73.75 ..y

j

2ijy 31994 43652 35144 23402 134192

j,i

2ijy

ny2.i (FC) 31104 43350 34656 23064 132174

i

2.i ny

SQ/T 890 302 488 338 2018 SQE

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Exemplo

16361305591321746

372456510432 2222

FCSQT

3654130558134192

24

1770134192

2

FC

SQTotal

201816363654SQTSQTotalSQE

2018338488302890TSQTSQTSQTSQSQE DCBA

ou

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Análise de Variância

Causas de Variação GL SQ QM FVariedades(entre variedades)

3 1636 545.3 5.40**

Erro Experimental(dentro de variedades)

20 2018 100.9

Total 23 3654

%6,13100x75,739,100100xyQMECV ..

94,420.301.F **SIGNIFICATIVO A 1%

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Análise de Variância

94.4)20.3(01.F40.5F A diferença entre médias de tratamentos é significativa (P < 0.01)

Rejeita-se H0

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Análise de Variância

CONCLUSÃO

As variedades de cana-de-açúcar investigadas se diferenciam em termos de rendimento de cana