Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis

Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis

André Lacerda BiurrumJaqueline Maschmann Goes

MAT02264 - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2

FATORIAL FRACIONÁRIODefinição: Experimento que consiste apenas parte das combinações

de tratamentos de uma repetição completa.

Principal uso: experimentos pilotos (screening experiments) são experimentos, nos quais, usamos muitos fatores, com o propósito de identificar aqueles com efeito significativo. Geralmente são realizados numa etapa anterior ao experimento definitivo. Os fatores identificados com efeito significativo, são estudados num experimento mais completo.

Características: Os experimentos fatoriais fracionários caracterizam-se como experimentos preliminares (screening experiments) trabalhando com as seguintes idéias: (1) Princípio do Efeito Escasso (sparsity effect), onde os efeitos principais e as interações de baixa ordem são de interresse inicial, (2) Propriedade de Projeção e (3) Experimentação Seqüencial.

FATORIAL FRACIONÁRIO

FATORIAL FRACIONÁRIO

IDÉIAS BÁSICAS:

1) Quando existem muitas variáveis, o processo ou o sistema é conduzido por alguns poucos efeitos principais e interações de menor ordem;

2) A partir dos experimentos fatoriais fracionários podemos projetar experimentos mais completos (maiores) dentro de um subconjunto de fatores significativos;

3) Pode-se combinar dois ou mais experimentos fracionários, seqüencialmente e, assim, estimar os efeitos e interações de interesse.

CARACTERIZAÇÃO

Combinações de tratamento I A B C AB AC BC ABCa + + - - - - + +b + - + - - + - +c + - - + + - - +abc + + + + + + + +

[1] + - - - + + + -ab + + + - + - - -ac + + - + - + - -bc + - + + - - + -

Fração 1/2 de um delineamento 2k

Vamos considerar didaticamente um experimento fatorial: 23=8 tratamentos. Porém, só podemos realizar 4 tratamentos, assim, temos:

4222222

1 213133

A tabela com sinais de + e - para o fatorial 23 é dada na tabela a seguir:

2k-p

onde k=3 e p=1

k

p2

21

CONTRASTE DE DEFINIÇÃO

Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para o nosso experimento.

Observe que o nosso fatorial fracionário 23-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a coluna ABC. Então, ABC é chamado de GERADOR da fração.

Observe que, para a fração escolhida, temos:

I=ABC

denominada de CONTRASTE DE DEFINIÇÃO.

Em geral, o contraste de definição, sempre será o conjunto de todas as colunas que são iguais a coluna identidade I. No exemplo, temos uma só coluna.

ESTIMATIVAS DOS EFEITOS

Observando-se a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos principais de A, B e C, são:

)(

)(

)(

21

21

21

abccbal

abccbal

abccbal

C

B

A

Observamos, também, que as combinações lineares para estimar os efeitos das interações com dois fatores são:

)(

)(

)(

21

21

21

abccbal

abccbal

abccbal

AB

AC

BC

Observamos, que:ABCACBBCA ll ll ll

A redução do tamanho do experimento, de grande vantagem em muitas situações, não poderá ser levada a efeito impunemente. Os resultados de um experimento em repetição fracionada exigem, para sua interpretação, cuidados de outra ordem que os encontrados nos delineamentos com repetições completas.

ESTRUTURA DOS ALIASES

A estrutura dos aliases pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC. Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os aliases para aquele efeito. No exemplo, o aliás do efeito A é:

A.I=A.ABC=A2BC=A0BC=BC

A=BC

De forma similar, encontramos:

B.I=B.ABC=AB2C=AB0C=AC

B=AC

e

C.I=C.ABC=ABC2=ABC0=AB

C=AB

CONSEQÜÊNCIAS

A conseqüência do uso de uma meia repetição apenas é a perda de um efeito fatorial, ABC, e o confundimento de todos os efeitos principais como uma das interações simples. Se um experimento acusar um aparente efeito de A, não há maneira de saber se o observado é realmente do fator A, ou se é devido à interação BC, ou se é mistura de ambos. Na interpretação dos resultados cabe ao experimentador decidir a qual aliás atribuir o efeito observado.

OBSERVAÇÕES Aliases são efeitos fatoriais estimados pela mesma comparação;

É possível obter novas frações caso seja de interesse do pesquisador. Em uma segunda divisão deve-se obter outro contraste de definição;

O contraste de definição é a interação de ordem mais elevada.

DELINEAMENTOS DE RESOLUÇÃO

III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples

I= ABC

IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás outra interação simples.

I= ABCD

V: os efeitos principais ou interação simples não tem como aliás qualquer efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás as interações tríplices.

I= ABCDE

VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas e as interações tríplices têm como aliases somente as interações tríplices.

I= ABCDEF

Meia repetição do fatorial 24 : contraste de definição I=ABCD

Causas de Variação GL

Efeitos Principais 4Erro experimental (de interações simples) 3

Total 7

Efeitos Principais Aliás

Interações Simples Aliás

A BCD AB CDB ACD AC BDC ABD AC BCD ABC

Meia repetição do fatorial 25 : contraste de definição I=ABCDE

EfeitosPrincipais

AliásInterações

SimplesAliás

A BCDE AB CDEB ACDE AC BDEC ABDE AD BCED ABCE AE BCDE ABCD BC ADE

BD ACEBE ACDCD ABECE ABDDE ABC

Causas de Variação GLEfeitos Principais 5Erro (Interações Simples) 10Total 15

Meia repetição do fatorial 26 : contraste de definição I=ABCDEF

EfeitosPrincipais

AliásInterações

SimplesAliás

Interações Tríplices

Aliás

A BCDEF AB CDEF ABC DEFB ACDEF AC BDEF ABD CEFC ABDEF AD BCEF ABE CDFD ABCEF AE BCDF ABF CDEE ABCDF AF BCDE ACD BEFF ABCDE BC ADEF ACE BDF

BD ACEF ACF BDEBE ACDF ADE BCFBF ACDE ADF BCECD ABEF BCD AEFCE ABDFCF ABDEDE ABCFDF ABCEEF ABCD

Causas de Variação GLEfeitos Principais 6Interações Simples 15Erro (Interações Tríplices) 10Total 31

EXEMPLOExemplo: (Montgomery). Sobre a produção de um produto químico em um recipiente sob pressão. É um experimento fatorial 24, com uma repetição, onde os fatores são: A= Temperatura; B= Pressão; C= Concentração de formaldeído; D= Taxa de agitação.

Vamos usar o delineamento 24-1, com contraste de definição I=ABCD, com esta escolha do gerador vamos conseguir um delineamento com a maior resolução possível (IV).

O delineamento é mostrado na tabela a seguir.

Delineamento 24-1 com contraste definição I=ABCDFatorial 23 completo

Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa(1) - - - - (1) 45a + - - + ad 100b - + - + bd 45ab + + - - ab 65c - - + + cd 75ac + - + - ac 60bc - + + - bc 80abc + + + + abcd 96

RESULTADOSEstimated Effects and Coefficients for Resposta (coded units)

Term Effect CoefConstant 70,750A 19,000 9,500B 1,500 0,750C 14,000 7,000D 16,500 8,250A*B -1,000 -0,500A*C -18,500 -9,250A*D 19,000 9,500

Analysis of Variance for Resposta (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 4 1663 1663 415,7 * *2-Way Interactions 3 1408 1408 469,5 * *Residual Error 0 0 0 0,0Total 7 3071

Analysis of Variance for Resposta, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 722,0 722,0 722,0 1,54 0,303B 1 4,5 4,5 4,5 0,01 0,928C 1 392,0 392,0 392,0 0,83 0,428D 1 544,5 544,5 544,5 1,16 0,360Error 3 1408,5 1408,5 469,5Total 7 3071,5

Estimativas AliásLA=19,00 LA

A+BCDLB=1,50 LB

B+ACDLC=14,00 LC

C+ABDLD=16,50 LD

D+ABCLAB=-1,00 LAB

AB+CDLAC=-18,50 LAC

AC+BDLAD=19,00 LAD

AD+BC

Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o fator B, não é significativo, vamos desconsiderá-lo da análise. Pode-se verificar o efeito das interações na figura abaixo.

Temperatura (A)- +

Agi

taçã

o

-

+

Con

cent

raçã

o

-

+

45 65

10045

6080

75 96

(C)

(D)

Para o exemplo acima o experimentador utilizou-se da Propriedade de Projeção (2) que está apoiada na idéia de que se o experimentador tem K fatores e acredita que apenas K-1 destes têm efeito importante, então, um delineamento fatorial fracionário de resolução K projetar-se-á em um fatorial completo com K-1 fatores significativos. Assim, para uma projeção do delineamento , o experimentador considerou os efeitos A, C e D, bem como as interações AC e AD como significativos.

142 IV

RESULTADOS

ANOVAAnalysis of Variance for Resposta, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 722,00 722,00 722,00 222,15 0,004C 1 392,00 392,00 392,00 120,62 0,008D 1 544,50 544,50 544,50 167,54 0,006A*C 1 684,50 684,50 684,50 210,62 0,005A*D 1 722,00 722,00 722,00 222,15 0,004Error 2 6,50 6,50 3,25Total 7 3071,50

GRÁFICO DOS EFEITOS PRINCIPAIS

DCBA

81

76

71

66

61

Resp

ost

a

Main Effects Plot (data means) for Resposta

100

75

50

100

75

50

100

75

50

A

B

C

D

1

0

1

0

1

0

Interaction Plot (data means) for Resposta

GRÁFICO DAS INTERAÇÕES SIMPLES


Estes experimentos contém 2k-2=2k2-2=2k/22=2k/4 tratamentos. São chamados de fatoriais fracionários 2k-2.

Construção: vamos através de um exemplo ilustrar a construção desses fatoriais fracionários.

Vamos considerar um fatorial fracionário 26-2.

1) Inicialmente, vamos escrever um fatorial completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-2=4 (ver tabela na próxima página).

2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada de interações com os primeiros k-2 fatores. Assim os fracionários 2k-2 , tem dois geradores. Suponha que escolhemos I=ACDF e I=BCDE como geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE é ABEF; portanto, o contraste de definição completo é dado por:

I=ACDF=BCDE=ABEF , sendo

um delineamento de resolução IV.



Os aliases, para qualquer efeito, é obtido multiplicando-se este fator por cada letra do contraste de definição. Por exemplo, para o efeito A, temos: A=CDF=ABCDE=BEF (cada fator tem 3 aliases).Os efeitos principais estão associados com interações de três e cinco fatores, ao passo que interações com dois fatores estão associados com interações de dois fatores ou mais. Portanto, quando estimamos A, na verdade estamos estimando, A+CDF+ABCDE+BEF. Se as interações triplas ou de maior ordem são desprezíveis, então este delineamento dá estimativas dos efeitos principais.


Exemplo usando fatorial 26-2, onde A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E= água; F=leite em pó. Vamos supor que o pesquisador usou as 16 combinações da tabela abaixo:


Construção de um fatorial fracionário 26-2, de resolução IV, com relação definição: I=ACDF I=BCDEFatorial 24 completo

Experimentos A B C D E=BCD F=ACD Combinações Proteínas1 - - - - - - (1) 62 + - - - - + af 103 - + - - + - be 324 + + - - + + abef 605 - - + - + + cef 46 + - + - + - ace 157 - + + - - + bcf 268 + + + - - - abc 609 - - - + + + def 8

10 + - - + + - ade 1211 - + - + - + bdf 3412 + + - + - - abd 6013 - - + + - - cd 1614 + - + + - + acdf 515 - + + + + - bcde 3716 + + + + + + abcdef 52


I = A*B*E*F = A*C*D*F = B*C*D*E A = B*E*F = C*D*F = A*B*C*D*E B = A*E*F = C*D*E = A*B*C*D*F C = A*D*F = B*D*E = A*B*C*E*F D = A*C*F = B*C*E = A*B*D*E*F E = A*B*F = B*C*D = A*C*D*E*F F = A*B*E = A*C*D = B*C*D*E*F A*B = E*F = A*C*D*E = B*C*D*F A*C = D*F = A*B*D*E = B*C*E*F A*D = C*F = A*B*C*E = B*D*E*F A*E = B*F = A*B*C*D = C*D*E*F A*F = B*E = C*D = A*B*C*D*E*F B*C = D*E = A*B*D*F = A*C*E*F B*D = C*E = A*B*C*F = A*D*E*F A*B*C = D*E*F = B*D*F = A*E*F A*B*D = A*C*E = B*C*F = D*E*F

Term EffectConstantA 1,375B -0,875C 35,625D 13,875E 0,375F 0,125A*B -0,125A*C -0,125A*D -5,375A*E 0,625A*F -11,875B*C -1,875B*D -1,625A*B*C 0,375A*B*D 0,125

ANOVA

Analysis of Variance for RESPOSTA, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 770,06 770,06 770,06 2464,20 0,000 **B 1 5076,56 5076,56 5076,56 1,6E+04 0,000 **C 1 3,06 3,06 3,06 9,80 0,089D 1 7,56 7,56 7,56 24,20 0,039 *E 1 0,56 0,56 0,56 1,80 0,312F 1 95,06 95,06 95,06 304,20 0,003 **A*B 1 564,06 564,06 564,06 1805,00 0,001 **A*C 1 10,56 10,56 10,56 33,80 0,028 *A*D 1 115,56 115,56 115,56 369,80 0,003 **A*E 1 1,56 1,56 1,56 5,00 0,155A*F 1 0,06 0,06 0,06 0,20 0,698B*C 1 14,06 14,06 14,06 45,00 0,022 *B*D 1 0,06 0,06 0,06 0,20 0,698Error 2 0,62 0,62 0,31Total 15 6659,44

* significativo a 0,05

** significativo a 0,01

CONCLUSÃO

Os maiores efeitos são: C (níveis de bromato de potássio); D (níveis de fermento) e a interação AF (Farelo de aveia*Leite em pó). Como a interação AF foi significativa, para manter o princípio da hierarquia, recomenda-se incluir no modelo os efeitos de A e de F.

Fatoriais fracionários 2k-p

Quando usamos a fração 1/(2p), temos um experimento com 2k-p tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2k-p.

- Necessita-se de p geradores independentes

- A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2p-p-1 interações.

A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pelo contraste de definição.

Fatoriais fracionários 2k-p

Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse.

Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior resolução possível.

Montgomery, 1997, página 398-400, apresenta uma série de experimentos fatoriais fracionários 2k-p para k15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta sugestões de geradores os quais resultam num delineamento de maior resolução possível.

PROCEDIMENTO NO MINITAB

PROCEDIMENTO NO MINITAB

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Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis