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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS ESCOLA POLITÉCNICA DA USP PEA - LABORATÓRIO DE INSTALAÇÕES ELÉTRICAS CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA Código: CA

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP

PEA - LABORATÓRIO DE INSTALAÇÕES ELÉTRICAS

CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA

Código: CA

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO …………………………………………………………..………………….1 2. GRANDEZAS PERIÓDICAS …………….…………………………..………………….1 2.1 Definições ……………………………….………………………………………………….1

2.2 Grandezas Alternadas ……………………………………………….………………….3

2.3 Grandezas Senoidais ………………….………………………………………………….3

2.4 Algumas Operações Com Grandezas Senoidais …………………..………………….7

2.5 Representação Fasorial Das Grandezas Senoidais ………………..…………………9

2.6 Números Complexos …..……………………………………………………………….10

3. GERAÇÃO DE F.E.M. SENOIDAL …………………….……………..………………….22

4. POTÊNCIA EM CIRCUITOS COM EXCITAÇÃO SENOIDAL ………..………………23 5. CIRCUITOS ELEMENTARES COM EXCITAÇÃO SENOIDAL …....………………27 5.1 Resistência Pura ………………………………………………………………………….27

5.2 Indutância Pura ….……………………………………………………………………….29

5.3 Capacidade Pura …………………………………..…………………………………….33

5.4 Circuito com Elementos em Série ………………..……………………………………35

6. RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS C. A. ………………………………………….………40 6.1 Princípios Gerais ………………………………………………………………………….40

6.2 Queda de Tensão em Circuitos Monofásicos ……………………………………….47

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PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos de Corrente Alternada

1. INTRODUÇÃO

O estudo de circuitos de corrente alternada (C.A.) é sobremodo importante dado que a

grande maioria das instalações elétricas utiliza este tipo de circuitos.

Nesta apostila, partimos de definições de grandezas periódicas, alternadas e senoidais,

que são básicas para estudos de corrente alternada (C.A.). Definimos então a

representação fasorial de grandezas senoidais que facilitam sobremodo a manipulação

destas grandezas.

Mostramos que a geração de uma f.e.m. senoidal é relativamente simples, através de

um esquema ilustrativo de um gerador C.A.. Verificamos então que o conceito de

potência elétrica em C.A. exige com que sejam definidas outras grandezas auxiliares e

mostramos a relação existente entre potência em circuitos C.A. e C.C..

Apresentamos então os circuitos elementares com excitação senoidal, isto é, um

gerador C.A. alimentando uma resistência, uma indutância e uma capacitância, bem

como a associação série destes elementos.

Analisamos então os procedimentos para a resolução de circuitos C.A. a partir da

analogia com os métodos de resolução de circuitos C.C., vistos anteriormente. Damos

destaque para o cálculo de queda de tensão e potências de um circuito monofásico,

utilizado em muitas instalações elétricas.

2. GRANDEZAS PERIÓDICAS

2.1 Definições

Dada uma função y = y(t), figura 2.1. dizemos que essa função é uma função periódica

do tempo quando se verifica a relação:

y (t) = y (t + nT) (2.1)

em que n é um número inteiro qualquer. Uma grandeza periódica é aquela que a

intervalos de tempo iguais correspondem valores iguais da função. Ao intervalo de

tempo, T, damos o nome de período. Evidentemente o inverso do período, f = 1/T, que

1

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recebe o nome de freqüência, representa o número de ciclos que a função descreve na

unidade de tempo (segundo). A unidade de freqüência é o Hertz (Hz) que representa o

número de ciclos que a função descreve por segundo.

t+T

T

t

YM

y

y(t)

Figura 2.1 - Função Periódica do Tempo

Ym,τ

y

Ym

Figura 2.2 - Valor Médio da Função Periódica

A cada instante do ciclo, corresponde um valor da função que recebe o nome de valor

instantâneo. Ao maior dos valores instantâneos, YM, dá-se o nome de valor máximo. O

valor médio, Ym, num período, é definido como (figura 2.2.):

YT

ydtmT= ∫

10 (2.2)

Que representa a relação da área sob a curva e o período T.

O valor médio, Ym,τ, numa fração τ do período, pode ser definido por:

Ymτ ττ= ∫

1ydt (2.3)

2

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O valor eficaz, Yef, é definido como sendo a raiz quadrada do valor médio da função

obtida, elevando-se ao quadrado os valores instantâneos existentes num período, isto é:

Y YT

y dtefT= = ∫

1 20 (2.4)

Convencionaremos, em tudo quanto segue, designar o valor instantâneo de uma função

por uma letra minúscula, os valores máximo, médio e eficaz por uma letra maiúscula

acompanhada, respectivamente, por índice: “M”, “m”, “ef”. Salientamos que o valor

médio numa fração do período será designado por uma maiúscula com o índice m

seguido da fração de período. Os valores eficazes serão indicados, também, por uma

letra maiúscula sem índice algum.

2.2 Grandezas Alternadas

Uma grandeza periódica é dita alternada quando seu valor médio num período é nulo.

Isto é, quando se verifica a condição:

YT

ydtmT= =∫

100

Para as grandezas alternadas o “fator de forma” é definido como sendo a relação entre

seus valores eficaz e médio num semi-período. Isto é:

AY

Ym T=

, /2 (2.5.)

2.3 Grandezas Senoidais

Uma função do tipo:

y Y senT

t Y sen ftM M= +

=

22

πα π( +α ) (2.6)

que recebe o nome de função senoidal, é uma função periódica do tempo, pois:

y (t) = y (t + nT)

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além disso, é uma função alternada, pois:

YT

ydtmT= =∫

100

Fazendo-se , que é designada por pulsação, igual a ω 2πT , resulta:

y Y sen t aM= = +( )ω

onde:

ω é medido em radianos por segundo (rd/s)

T é medido em segundos (s)

α é medido em radianos (rd)

Para as grandezas senoidais, o valor médio num semi-período é dado por:

[ ]

YT

Y sen t dt

YT

t

YT

Y

MTT

M

M T

M M

//

/

/( )

cos( )

cos cos

2 02

02

12

2

22

2

= +

+ =

=

∫ ϖ α

ϖϖ α

ϖα

πα

=

(2.7)

em particular quando α = 0 resulta:

YY

mTM

/22

Da (2.6.) podemos observar que o valor máximo de uma função senoidal, YM, ocorre nos

instantes tM que tornem unitário o termo

sen ft( )2π α+

isto é para

22

2π απ

πft K KM + = + ( = 0, 1, 2...)

4

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ou seja:

t KT T

KTT

M = + −

= + −

ππ α

παπ2

22 4 2

Na equação 2.6 temos:

YM = valor máximo da grandeza senoidal, medido numa unidade qualquer

y = valor da grandeza senoidal no instante t, medido na mesma unidade de

que Ym

T = período da grandeza senoidal, medido em segundos (s)

f = 1/T = freqüência da grandeza senoidal medida em Hertz (Hz)

t = instante genérico em que se quer determinar a grandeza senoidal expressa

em segundos (s)

α = fase inicial, ou simplesmente, fase da grandeza senoidal expressa em

radianos (rd)

Na equação 2.6 o termo 2πf, que representa o número de radianos descritos na unidade

de tempo, é designado por pulsação angular (rd/s) e representado pelo símbolo , isto

é:

ω

ω ππ

= =22

fT

ou ainda:

ω πT = 2

Para as grandezas senoidais o valor médio num semi-período depende da fase inicial da

grandeza, isto é:

YT

Y sen t dtm T MT

, //

/( )2 0

212

= +∫ ϖ α =YT

tYM

TM

ϖϖ α

ωα

/cos( ) cos

/

22

0

2

− +

=

5

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Com o objetivo de eliminar tal dependência convencionou-se definir o valor médio de

uma grandeza senoidal no intervalo de tempo de−αϖ

a T2−

αϖ

, resultando:

YT

Y sen t a dtY

m T MaM

T a

, / //( )2

12

22= +−

∫ ϖϖω

ϖ= (2.8)

Para as grandezas senoidais, o valor eficaz e o fator de forma (F.F.) têm os seguintes

valores:

Y YT

y dtT

Y sen tdtY

efT

MT M= = = =∫ ∫

1 12

20

2 20 ω (2.9)

F FY

Y

Y

YmT

M

M

. ./

= = =2

22 2 2π

π (2.10)

Dada uma segunda grandeza senoidal:

y Y sen tM' ' (= +ϖ β)

diz-se que entre as grandezas y e y’ há uma diferença de fase:

ψ α β= −

que é independente do instante inicial considerado. Em outras palavras, se tomarmos a

grandeza y com fase inicial nula, a grandeza y’ terá fase inicial ψ α β= − .

Fixa-se o sentido anti-horário como o positivo na medida dos ângulos de fase. Deste

modo, quando ψ > 0, diz-se que a grandeza y está adiantada de ângulo ψ sobre a y’: e

vice-versa, quando ψ < 0, diz-se que a grandeza y’ está atrasada de ângulo ψ em

relação a y’. Finalmente, quando ψ = 0, diz-se que as duas grandezas estão em fase.

2.4 Algumas operações com grandezas senoidais

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Dadas duas funções senoidais e temos que: y Y sen tM= +( )ϖ α y Y sen tM' ' ( ' '= ϖ α )+

+ ' )

ϖ

A) As duas grandezas senoidais são ditas iguais quando, em qualquer instante, seus

valores instantâneos forem iguais, isto é quando tiverem mesma freqüência, mesmo

valor máximo e mesma fase inicial.

B) A soma de duas grandezas senoidais pode ser calculada, para , como: ϖ ω= '

e Y sen t Y sen tM M= + +( ) ' ( 'ϖ α ϖ α

ou

e Y Y sen t Y sen Y sen tM M M M= + + +( cos ' cos ' ) ( ' ' ) cosα α ϖ α α

Fazendo e , resulta: ( )C sen t C sen t C sen tM M M= + = +ϖ θ θ ϖ θ ϖ( cos ) ( ) cos

CM cosθ = Y YM Mcos ' cos 'α α+

C senM θ = Y sen Y senM Mα α+ ' '

ou seja:

tgY sen Y senY Y

M M

M Mθ

α αα

=++

' 'cos ' cos 'α

(2.11)

e

C Y Y Y YM M M M M= + + −2 2 2' ' cos(α α ' )

' )

(2.12)

C) O produto das duas grandezas pode ser avaliado por:

e yy Y Y sen t sen tM M= = + +' ' ( ) ( 'ϖ α ϖ α

lembrando que

cos( ) cos( )β α β α β α− − + = 2sen sen

e supondo , resulta ϖ ω= '

[ ]C Y Y tM M= − − +12

2' (cos( ' ) cos( ' )α α ϖ α α−

D) A derivada da Função Senoidal y em relação ao tempo é dada por

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dydt

Y t Y sen tM M= + = +

ϖ ϖ α ϖ ϖ

παcos( )

2+

isto é, é uma função senoidal de mesma freqüência que a dada, de valor máximo igual

ao da função dada, multiplicado por sua pulsação e adiantada de 90° em relação a

dada.

Exemplo 2.1. - Dadas as grandezas senoidais

y sen t= +10 3776

( )π

e

y sen t= +20 3773

( )π

determinar as grandezas soma e produto.

Pelas equações 2.11 e 2.12, resulta:

C

tgsen sen

rad

M = + + =

=+

+=

= =

100 400 400 30 29 093

106

203

106

203

11961

0 8745 50 1

cos ,

cos cos,

, ,

θ

π π

π π

θ ο

donde:

C sen t= +29 093 377 0 8745, ( , )

Na figura 2.4 está representada a soma gráfica das funções y e y’.

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soma 2 funções senoidais

-30

-20

-10

0

10

20

30

0.00

0.52

1.05

1.57

2.09

2.62

3.14

3.67

4.19

4.71

5.24

5.76

6.28

wt

y+y'

y

y'

Figura 2.4 - Soma das funções y e y’ (exemplo 2.1)

Pela equação 2.13 o produto é dado por:

C t= −

− + +

100

3 6754

3 6cos cos

π π π π

isto é

C t= − +

86 602 100 754

2, cos

π

2.5 Representação Fasorial das Grandezas Senoidais

Dos ítens precedentes, verificamos que a execução de operações com grandezas

senoidais é muito laboriosa. Lembrando a definição de grandezas senoidais, veremos

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que é possível representá-las por meio de um vetor girante tornando as operações

sobremodo simplificadas. Isto é, uma grandeza senoidal está perfeitamente definida por

um vetor OA de módulo igual ao valor máximo da função, que gira em torno de seu

extremo O com velocidade angular no sentido anti-horário e sua posição no instante

t = 0 é tal a formar, com a reta origem dos tempos, um ângulo igual à fase inicial da

grandeza considerada (figura 2.5). É claro que a projeção do extremo A do vetor sobre

uma reta perpendicular à origem dos tempos, descreverá a função senoidal:

ω

y Y sen tM= +( )ϖ α

Observamos que o vetor OA está representando uma grandeza escalar; portanto, a fim

de se evitar confusão designamo-lo por vetor girante.

Suponhamos que sejam dadas duas grandezas senoidais, y e y’ de mesma freqüência,

f, ângulos iniciais, α e β, e módulos YM e Y’M. Essas duas grandezas podem ser

representadas por dois vetores girantes defasados de ângulo ψ = α - β e de módulos YM

e Y’M. Salientamos que ambos giram com mesma velocidade angular; portanto sua

posição relativa permanece imutada e a soma das duas, que é representada por um

vetor girante, é equivalente à soma de Y e Y’, cuja obtenção gráfica é imediata (figura

2.6). De fato temos:

αωt

ωt=t1

t=0A

0 t1 T/2

α/ω

t0

Figura 2.5 - Representação de uma grandeza senoidal

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ϕ

B

α

ωC

C’

0

βA

Ym

Ym’

Figura 2.6 - Representação de duas grandezas senoidais e sua soma por vetores

girantes

OC OA AC OA AC= + +2 2 2 . cosψ

e

tgCC

OC

ACsen OAsenAC OA

ψβ αβ α

= =++

'

' cos cos

isto é, a projeção do vetor OC sobre uma reta perpendicular representa a grandeza

soma de y com y’.

A representação das grandezas senoidais por vetores girantes simplifica enormemente o

procedimento de cálculo, porém, apresenta o inconveniente de que se realizam todas as

operações graficamente, ou seja com imprecisão gráfica. Assim, com a “representação

simbólica” aplica-se aos vetores girantes um procedimento de cálculo sobremodo

interessante que permite eliminar as construções gráficas.

Para tanto, fixemos num plano duas direções ortogonais, x e y. Seja ρk um versor

unitário na direção do eixo x e de sentido concorde com o sentido positivo desse eixo. É

claro que -ρk representa o mesmo versor rodado de π radianos. Indicaremos ainda por

jρk o mesmo versor girado de π/2 radianos no sentido anti-horário. Isto é, a grandeza j é

um operador que aplicado a um vetor o gira no sentido anti-horário de π/2 radianos,

mantendo-se seu módulo constante. O operador j deve satisfazer a condição:

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( )j jk j k kρ ρ ρ= = −2

isto é j2 1= −

j = −1

ou seja, o operador j representa a unidade imaginária, conforme figura 2.7.

ρk

jkρ

j k k2 ρ ϖ

= −

− jkρ

Figura 2.7 - Aplicação do Operador j

Um vetor qualquer OP (ϖI ), cujas componentes segundo as direções x e y, são a e b

poderá ser representado por:

ϖ ϖI a jb= +( )k

Omitindo-se o versor ρk o vetor OP também estará definido. De fato, seu módulo vale:

I I a b= = +ϖ 2 2

e o ângulo inicial, α, é dado por:

tgba

α =

Portanto, o vetor está perfeitamente definido. Salientamos que esse vetor está fixo em

relação aos eixos e a fim de que represente um vetor girante, deve girar em torno do

ponto 0 com velocidade angular . Para tanto, conforme figura 2.8 ,seja α o

ângulo inicial de um vetor girante de módulo ; num instante

ω π= 2 f

I t qualquer, ele estará

deslocado de sua posição inicial de e será dado por: ωt

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( ) ( )ρI I t jIsen tt( ) cos= + +ω α ω α+

y

b

0

Isen t( )ω α+

I tcos( )ω α+

t=0

PρI t( )

ρI

αωt

a x

ω

Figura 2.8 - Representação de Vetor Girante

isto é

( ) ([ ])ϖI I t sen tsen j t sen sen tt( ) cos cos cos . .cos= − + +ω α ω α ω α ω α

sendo:

I a Isencosα α= = e b

resulta: ρI a jb t ja b sent( ) ( ) cos ( )= + + −ω ωt

mas:

ja b a jb j− = +( )

logo: ρI a jb t jsent( ) ( )(cos )= + +ω ωt

Lembrando que:

cosω ω ωt jsen t e j t+ =

em que é a base dos logarítmos neperianos, resulta: e

ρI a jb et

j t( ) ( )= + ω

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O termo representa o vetor girante no instante t = 0, e o termo exprime a

rotação do vetor de um ângulo .

a j+ b

)

e j tω

ωt

A grandeza vetorial pode então ser determinada a partir do vetor girante pela expressão

y I It m t( ) ( )(=ρ

, onde , é a parte imaginária do vetor girante ImρI .

Exemplo 2.2 - Dada a grandeza senoidal i s , determine o vetor en tt( ) ( ,= +100 0 5236ϖ )

girante e o fasor que a representa.

Inicialmente determinaremos o vetor que representa a grandeza no instante t = 0, isto é,

um vetor cujo módulo vale 100 é cujo ângulo inicial vale 0,5236rad = 30°. Suas

componentes valem:

a = 100 cos 30° = 86,60

b = 100 sen 30° = 50,00

donde:

a jb j I o+ = + =86 60 50 00, , ( )ρ

e o vetor girante é dado por:

ρI jt

t( ) ( , , )= +86 60 50 00 377e

Exemplo 2.3 - Dado o vetor girante ρI = (40 + j50) e 377t, determinar:

1) O valor instantâneo da grandeza senoidal para o instante t = 1,6 ms.

2) A função senoidal que ele representa.

Tem-se: ρI j e t= +( )40 50 377

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Para o instante t = 1,6.10-3 s, resulta:

ρI j x sen x= + +( )(cos , , , ,40 50 0 377 1 6 0 377 1 6)

ou seja: ρI j j j= + + = +( )( , , ) , ,40 50 0 8235 0 5673 4 575 63 867

donde:

[ ]i I Im( , ) ,0 0016 63 867= =ρ

A grandeza senoidal representada pelo vetor girante é

[ ] ( )[ ]i I I I j em mt= = +

ρ40 50 377

Passando o número complexo 40+j50, para forma polar, obtemos:

40 50 64 031 0 896+ =j e j, ,

donde: ρI e e et

j t j t( )

, (, ,= = +64 031 64 0310 896 377 377 0 896, )

ou

[ ]ρI t jsen tt( ) , cos( , ) ( ,= + + +64 031 377 0 896 377 0 896)

donde:

[ ]i I I sen tm t= = +ρ( ) , ( ,64 031 377 0 896)

Em qualquer instante que se considere todos os vetores girantes estão em posição

imútavel entre si, isto é, estão todos com sua posição inicial acrescida de ângulo .

Ora, nessas condições, é óbvio pensar em se eliminar o termo e , adotando-se um

valor inicial arbitrário para t. Em particular, considerando que o valor inicial pode ser

qualquer, adota-se usualmente t = 0. Além disso, como todas as grandezas elétricas são

expressas em termos de valores eficazes, optou-se por substituir o “vetor girante” pelo

ωtj tω

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“fasor” substituindo o valor máximo pelo eficaz. Assim, para se passar do fasor para a

grandeza senoidal deve-se multiplicar seu valor máximo, que é o valor eficaz da

grandeza, por 2 e imprimir-lhe rotação, por meio de e , para finalmente tomar sua

parte imaginária. Assim, para o Exemplo 2.3, o fasor da grandeza senoidal vale:

j tω

896,

a= ='

b j e+' '

e j tω

' )

Ij

e j•=

+=

40 502

42 58 0,

Sejam y e y’ duas grandezas senoidais de mesma freqüência, f, de módulos YM e Y’M e

de ângulos iniciais α e β e das quais desejamos obter a soma. Teremos os seguintes

vetores girantes: ρ

ρ

Y a bj e

Y a b j e

tj t

tj t

( )

( )'

( ).

( ' ' ).

= +

= +

ω

ω

em que:

a Y YM Mcos cos'α β e

A soma das duas funções é representada pelo vetor girante ρC obtida por:

ρ ρ ρC Y Y a bj e aj t j t= + = + +' ( ). ( ).ω ω

ou

[ ]ρC a a j b b= + + +( ' ) ( ' )

e o fasor correspondente vale: C•

C a a j b b•= + + +( ' ) (

A derivada do vetor ρY é dada por:

dYdt

ddt

a bj e j a bj ej t j tρ= + = +( ). ( ).ω ωω

16

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isto é, o fasor derivada tem módulo vezes maior e está adiantado de π/2 radianos e é

igual a jω (a + jb) ou (-ωb + jωa).

ω

Exemplo 2.4 - Dadas as grandezas senoidais y = 100 sen(377t + 0,6981) e

y’ = 200 sen(377t + 0,6109), pede-se determinar a grandeza soma.

Os vetores girantes serão dados por:

ρ

ρ

Y jsen

Y jsen

j t

j t

= +

= +

100 0 6981 0 6981

200 0 6109 0 6109

377

377

(cos , , )

' (cos , , )

e

e

donde os fasores:

Y jsen e j

Y jsen e

j

j

= + = +

= + = +

1002

0 6981 0 6981 54 1690 45 4502

2002

0 6109 0 6109 115 8428 811200

377 0

377 0

(cos , , ) , ,

' (cos , , ) , ,

.

. j

Finalmente tem-se

C Y Y j e j• • •= + = + =' , , , ,170 0118 126 5702 211 9529 0 64

o vetor girante correspondente será:

ρC e e ej t j t= = +211 9529 2 299 74670 64 377 377 0 64, ,, ( , )

donde:

C I C sen tm= = +ρ

299 7467 377 0 64, ( , )

17

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2.6 Números Complexos

A seguir serão lembradas algumas propriedades dos números complexos que serão

úteis nas operações com o método simbólico. Assim, dizemos que um número complexo

está na forma binominal quando é representado pelo binômio a . Pode-se

representá-lo na forma polar por bastando, para tanto, que na

expressão exista a igualdade entre as partes reais e imaginárias, isto é:

jb+

ρ α α(cos )+ = +jsen a jb

ρ αρ α

cos ==

asen b

donde:

ρ α= + =a b arctgba

2 2 e

Dizemos que dois números complexos na forma binominal são iguais quando existir a

igualdade entre suas partes reais e suas partes imaginárias. Evidentemente, quando na

forma polar, teremos a igualdade, entre si, dos módulos e fases.

Soma-se ou subtrai-se números complexos facilmente, desde que estejam na forma

binominal, pois é suficiente somar (subtrair) entre si as partes reais e as imaginárias, isto

é:

a jb a jb a j1 1 2 2+ ± + = +( ) b

em que:

a a ab b b= ±= ±

1 2

1 2

Por outro lado, o produto e o quociente entre números complexos é facilmente realizado

quando estes estiverem na forma polar, pois é suficiente multiplicar (dividir) os módulos

e somar (subtrair) os argumentos, isto é:

18

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[ ]

ρ α α ρ α α

ρ ρ α α α α

ρ ρ α α α α

ρ ρ α α α α

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

(cos ). (cos )

(cos cos )

( cos cos )

cos( ) ( )

+ +

− +

+ + =

+ + +

jsen jsen

sen en

j sen sen

jsen

=

Ou seja, o produto é , onde . ρ α α(cos )+ jsen ρ ρ ρ α α α= +1 2 2 e = 1

Além disso, seja:

( )( )

ρ α α

ρ α αρ α α1 1 1

2 2 2

coscos

(cos )+

+= +

jsenjsen

jsen

será

ρ α α ρρ α α α α1 1 1 2 2 2(cos ) cos( ) ( )+ = + + +jsen jsen

e pela definição de igualdade de números complexos, devemos ter:

ρ ρρ α α1 2 1 2= = e α+

donde:

ρρρ

α α α

=

= −

1

2

1 2

É usual representar-se um número complexo na forma polar dando-se seu módulo e seu

argumento, isto é:

ρ α α ρ(cos ) /+ =jsen α

Exemplo 2.5 - Dados os números complexos:

10 30 20 45/ /o o e −

pede-se sua soma e sua diferença.

19

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Tem-se:

C jseno•=1 10 30 10 30 30 8 660 5 000/ cos = ( + ) = , + ,j

C jseno•= − −2 20 45 20 45 45 14 142 14 142/ cos , = ( + ) = j ,

C C j o• •+ = − = −1 2 22 802 9 142 24 566 2185, , , / ,

C C j o• •− = + =1 2 5 482 19 142 19 912 105 98, , , / ,

Exemplo 2.6 - Dados os números complexos (3 + j 4) e (-7 + j12), pede-se seu produto e

seu quociente.

Tem-se:

C j

C j

C C C

C C C

o

o

o

o

• • •

• • •

= + =

= − + =

= =

= = −

1

2

1 2

1 2

3 4 5 5313

7 12 13 89 120 26

69 45 173 39

0 36 67 13

/ ,

, / ,

. , / ,

' / , / ,

E na forma retangular, temos:

C CC Csen senC CC C sen

r

i

r

i

= = = −= = == = == = − = −

cos , .cos , ,, . , ,

' 'cos ' , .cos , ,' ' , .cos , ,

αααα

69 45 173 39 68 98869 45 173 39 7 994

0 36 67 13 0 1400 36 67 13 0 332

isto é

C jC j= − += −

68 988 7 9940 140 0 332

, ,' , ,

20

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3. GERAÇÃO DE F.E.M. SENOIDAL

Suponhamos ter uma bobina que gira em torno de seu eixo, com velocidade angular ,

imersa num campo magnético, de indução B, conforme figura 3.1. O fluxo concatenado

com a bobina é dado por:

ω

∅ = NBS tcosω

em que:

N = número de espiras da bobina

S = Área da superfície limitada pela bobina

ϖ

A → B

B

Figura 3.1 - Geração de f.e.m. Senoidal

Devido à variação do fluxo concatenado com a bobina, ela será sede de uma f.e.m.

induzida dada, por:

eddt

NBSddt

t= −∅= − cosω

isto é

e NBS sen t E senM= =ω ω ωt

onde

E NBSM = ω

Portanto, entre os terminais A e B da bobina existe f.e.m. induzida que varia no tempo

com lei senoidal.

21

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Ligando-se externamente aos terminais da bobina uma resistência, verificar-se-á a

circulação de uma corrente que irá dissipar determinada energia. Essa é a energia

mecânica fornecida à bobina e transformada em energia elétrica.

4. POTÊNCIA EM CIRCUITOS COM EXCITAÇÃO SENOIDAL

Suponhamos ter um gerador, cuja tensão em seus terminais varia com lei senoidal,

alimentando carga tal que a corrente fornecida varie senoidalmente e esteja atrasada de

ângulo ψ em relação à tensão. Isto é, sejam (figura 4.1):

v V sen t

i I sen t

M

M

= +

= −

( )

( )

ω θ

ω ψ θ

1

1+

a tensão e a corrente nos terminais do gerador.

Potência Instantânea

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

wt

p

v

Pm

i

Figura 4.1 - Variação da Potência em Função do Tempo

22

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É claro que, em cada instante, a potência fornecida pelo gerador é dada pelo produto

dos valores instantâneos da tensão e corrente, isto é:

p vi V I sen t sen tM M= = + − +( ). (ω θ ω ψ θ1)

em que representa o valor instantâneo da potência fornecida pelo gerador.

Lembrando que:

p

cos( ) cos( )α β α β α β− − + = 2sen sen

resulta

[ ]pV I

tM M= − −2

2 2 1cos cos( )ψ ω ψ + θ

ou ainda, sendo V V , resulta: IM M= =2 2 e I

p VI VIsen t= + − − +cos ( )ψ ω ψπ

θ22

2 1 (4.1)

Verifica-se, assim, que a potência instantânea é composta por duas parcelas: uma

constante (VI ) que representa a potência fornecida à carga e outra variável

senoidalmente com freqüência dupla da tensão aplicada, que representa à energia que

ora é fornecida pelo gerador e ora é devolvida. Esta última parcela recebe a designação

de potência flutuante.

cosψ

O valor médio da potência num ciclo é dado por:

PT

pdt VImT= =∫

10 cosψ (4.2)

e recebe o nome de “potência ativa” ou mais simplesmente “potência”. Ao coseno do

ângulo de rotação de fase, , dá-se o nome de “fator de potência”. cosψ

23

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Observamos que para fator de potência unitário (ψ = 0), a potência ativa será expressa

pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente. Para fator de potência nulo (ψ

= π/2) a potência ativa será nula, conforme ilustrado na figura 4.2.

-10

-5

0

5

10

15

20

wt

p

i

vPm

-20-15-10-505

101520

wt

p

i

v

Pm=0

a) Carga - fator de potência unitário (ψ=0) b) Carga - fator de potência nulo (ψ=π/2)

Figura 4.2 - Variação da potência com o tempo

Definem-se ainda as grandezas potência aparente, potência reativa e potência

complexa, que são apresentadas abaixo.

A potência aparente, S, é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente,

isto é:

S = V. I (4.3)

sendo medida em Volt-Ampére (VA).

A potência reativa, Q, é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente

pelo seno do ângulo de rotação de fase entre ambas, isto é:

(4.4) Q V I sen= . . ψ

sendo medida em Volt-Ampére-reativo (VAR).

Das expressões (4.2) e (4.4), resulta:

24

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S P Q= +2 2

A potência complexa, S , é expressa por um número complexo cuja parte real é a

potência ativa e cuja parte imaginária é a potência reativa, isto é:

S P jQ VI jVIsen VI S= + = + = =cos / /ψ ψ ψ ψ (4.5)

Observando-se que a tensão e a corrente consideradas são expressas pelos fasores;

V V

I I

=

= −

/

/

θ

θ ψ

1

1

notamos que a potência complexa é dado pelo produto:

V I• •

*

em que é o complexo conjugado da corrente, isto é: I•*

S V I V I VI= = − + =• •

* / / /θ θ ψ1 1 ψ

Convencionou-se adotar como positiva a potência reativa fornecida a uma carga na qual

a corrente está atrasada em relação à tensão. Decorre que uma carga na qual a

corrente está adiantada em relação à tensão (ψ negativo) a potência reativa será

negativa.

25

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5. CIRCUITOS ELEMENTARES COM EXCITAÇÃO SENOIDAL

5.1 Resistência Pura

Suponhamos aplicar a uma resistência, R, constante, uma tensão alternada senoidal de

valor máximo VM e freqüência f. É óbvio que em cada instante deverá ser satisfeita a lei

de Ohm, isto é:

v Rit t( ) ( )=

ou seja:

ivR

VR

sen ttt M

( )( )

= = ω

verificando-se que a corrente que percorre a resistência está em fase com a tensão de

alimentação e que seu valor máximo está relacionado com o da tensão pelo valor da

resistência.

Na notação simbólica tem-se, empregando valores eficazes, e supondo a tensão com

fase nula:

V V•= / 0

Logo:

IVR

VR

I•

= = =/ /0 0

A figura 5.1 mostra um circuito resistivo e o correspondente diagrama com os fasores de

tensão e corrente.

i R

v

I•

V•

Figura 5.1 - Circuito Resistivo e seu Diagrama Fasorial

26

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A potência instantânea absorvida pela resistência é dada por:

p i R v ivRt t tt

( ) ( ) ( )( )

= = =22

A potência ativa ou real é dada por:

P VI RI V R= = =2 2 /

O fator de potência ( cos ) é unitário, a potência reativa (Q) é nula e a potência

aparente coincide com a ativa.

ψ

Verifica-se, pois, que todas as relações entre valores eficazes coincidem com os valores

que seriam obtidos alimentando-se a resistência R com tensão contínua de valor V. A

expressão da lei de Joule nos permite, portanto, interpretar o valor eficaz de uma

corrente como sendo:

“O valor eficaz de uma corrente alternada é igual ao valor de uma corrente contínua que

atravessando a mesma resistência produz igual quantidade de calor no mesmo intervalo

de tempo”.

Salienta-se que esta conclusão obtida para grandezas senoidais é válida para

grandezas alternativas quaisquer.

Exemplo 5.1 - Aplica-se a uma resistência de 20Ω tensão senoidal de valor eficaz 100V

e freqüência de 60 Hz. Pede-se:

a) O valor eficaz da intensidade de corrente na resistência.

b) A potência dissipada na resistência.

c) O valor instantâneo da corrente e da tensão.

Adotando-se a tensão com fase inicial nula resulta:

V V V j j•= = + = = +/ /0 0 100 0 100 0

27

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IVR

j•

= = = +10050

5 0

donde:

I I= =•

| | 5A

t

A potência dissipada na resistência vale

P RI W= = =2 2205 500. .

O valor instantâneo da corrente é dado por:

i I senM= ϖ

em que:

ϖ π π= = ≅

= = =

= = =

2 2 60 377

2 2 100 141 42

2 2 5 7 071

f rd

V V

I I A

M

M

. /

. ,

. ,

seg

V

tt

logo:

i senv sen==

7 071 377141 42 377,

,

5.2 Indutância Pura

Aplicando-se uma tensão senoidal de freqüência f e de valor eficaz V a uma bobina de

indutância L e resistência ôhmica nula ter-se-á a circulação, pela indutância, de uma

corrente de valor instantâneo i que irá criar uma f.e.m. dada por:

e Ldidtt

t( )

( )= −

28

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v

i L

I jVL

••

= −ϖ

V•

ϕ = 90o

Figura 5.2 - Circuito Indutivo com Excitação Senoidal

Por outro lado, devemos ter:

v et t( ) ( )+ = 0 ,

isto é:

v e Ldidtt t

t( ) ( )

( )= − = .

Sendo:

v V sent M( ) = ωt ,

resulta, imediatamente:

iV

Lsen tt

M( ) ( /= −

ωω π 2) (5.1)

A Eq. (5.1) mostra que a corrente numa indutância está atrasada de π/2 radianos em

relação à tensão aplicada e seu valor máximo é obtido dividindo-se o valor máximo da

tensão por que é designado por “reatância indutiva”, sendo representada por XωL L e

com a dimensão de uma resistência (H . rd/seg = Ohm . seg . rd/seg = Ohms).

No método simbólico, leva-se em conta a rotação de fase da corrente representando-se

a indutância por uma “impedância” que é dada por um número complexo no qual a parte

imaginária é a reatância da bobina. Isto é:

IV

jXj

VXL L

•• •

= = − (5.2)

29

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sendo:

V V•= / 0

resulta:

IVX L

•= −/ /π 2

Assim, numa indutância, a tensão e a corrente estão em quadratura e o fator de

potência correspondente é dado por:

cos cos /ϕ π= =2 0

A potência ativa é nula e a reativa que coincide com a aparente, é positiva e vale:

Q VI X IVX

SLL

= = = =22

Notamos que a indutância, quando ligada a uma fonte de corrente alternada, é

percorrida por uma corrente sem que haja uma dissipação de energia. A presente

situação é a que foi ilustrada na fig. 4.2b na qual se observa que durante o intervalo de

tempo que vai desde T/4 até T/2, a fonte de tensão fornece à indutância energia, cujo

valor médio, nesse intervalo, é dado por 2VI π . No intervalo de tempo T/2 a 3T/2, a

indutância absorve a mesma quantidade de energia porém com o sinal negativo, isto é,

devolve a energia recebida. O princípio de funcionamento pode ser facilmente entendido

lembrando-se que, numa indutância percorrida por corrente i, tem-se armazenamento,

no campo magnético, de uma quantidade de energia dada por:

W L=12

2i

e sendo a corrente variável periodicamente de 0 a + , a energia fornecida à

indutância variará de 0 a

I M

LI M2 2 sendo que durante ¼ de ciclo, essa energia é

armazenada no campo magnético e durante o quarto seguinte, é devolvida.

30

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Verificamos que a diferença básica entre uma indutância e uma resistência está em que

a resistência transforma toda a energia que recebe em calor, ao passo que a indutância

ora a armazena no campo magnético, ora a devolve ao sistema.

Exemplo 5.2 - Uma indutância de 0,08 H é alimentada com tensão senoidal de valor

eficaz 240 V e 60 Hz. Pede-se:

a) A intensidade de corrente na indutância.

b) A potência ativa, aparente e reativa fornecidas à indutância.

c) O valor instantâneo da corrente e tensão.

Resolução:

a) Determinação da corrente

Temos:

V j V X fLL•= + = =( ) ,240 0 2 30 16 e π Ω

logo:

IV

jXj

jj

I I A

L

••

= =+

= − = −

= =

240 030 16

7 96 7 96 2

7 96

,. . / /

| | ,

π A

b) Determinação da potência

Temos:

P VI x x WS VI x VAQ VIsen x x VAr

= = == = == = =

cos ,, ,

, ,

ψ

ψ

240 7 96 0 0240 7 96 1910 4

240 7 96 1 1910 4

c) Valores instantâneos

Temos:

V V

I I

M

M

= = =

= = =

2 2 240 339 41

2 2 7 96 11 26

. ,

. , ,

V

A

logo:

31

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v sen t

i sen t

=

= −

339 4 337

11 26 3372

,

,

(V)

(A)π

5.3 Capacidade Pura

Um capacitor de capacidade C, alimentado por uma tensão senoidal de valor eficaz V e

freqüência f, em regime terá a carga q, dada por:

q Cv CV sent t M( ) ( )= = ωt

v(t)

i(t)

I j CV• •= ϖ

V•

ϕ = 90o

C

Figura 5.3 - Circuito Capacitivo com Excitação Senoidal

Portanto, será percorrido por corrente (por indução eletrostática) dada por:

idq

dtC

dvdt

CV sen ttt t

M( )( ) ( ) ( /= = = +ω ω π 2)

Verificamos que a corrente num capacitor está adiantada de π/2 radianos em relação à

tensão e seu valor eficaz é obtido multiplicando-se o valor correspondente da tensão por

. Analogamente, a quanto feito com uma indutância, o termo: ωC

XCC =1ϖ

32

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é chamado de “reatância” do capacitor ou de reatância capacitiva. A unidade da

reatância capacitiva também é “Ohm”.

Na notação simbólica, a “impedância” de um capacitor será representada por um

número complexo no qual a parte real será nula e a parte imaginária será -jXC. Isto é:

IVjX

jVXC C

•• •

=−

=

sendo:

V V•= / 0

resulta:

IVX C

•= / /π 2

Assim, o fator de potência de um capacitor é dado por:

cos cosψπ

= −

=2

0

A potência ativa absorvida é nula enquanto que a aparente e a reativa coincidem em

módulo e valem:

S VI

Q VIsen VIIC

CV

=

= −

= − = − = −

πϖ

ϖ2

22

As considerações energéticas feitas com relação a uma indutância aplicam-se aos

capacitores, lembrando unicamente que, neste caso, a energia é armazenada no

capacitor sob a forma de energia eletrostática e vale:

W Cv=12

2

33

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Frisamos ainda que, num capacitor, não existe circulação de corrente pelo dielétrico, isto

é, há uma circulação de corrente por indução eletrostática de carga entre as placas.

Exemplo 5.3 - Determinar a intensidade de corrente num circuito formado por um

capacitor de 10µF ligado a uma fonte de 120 V e 60 Hz.

XfCC = = =−

12

12 601010

265 266π π . . ., Ω

IVZ jX

j jC

••

= =−

= =120 120

265 260 452

,, A

5.4 Circuito com Elementos em Série

Dado o circuito da fig. 5.4, constituído pela associação em série de uma indutância, uma

capacidade e uma resistência, alimentado por uma tensão senoidal de valor eficaz V e

freqüência f deseja-se calcular a corrente e as quedas de tensão nos três elementos.

ϕ

v

CLi R

vR vL vC

I•

V VL C−• •

V R IR• •=

V j L IL• •= ω

V•

V jIcC

••

= −ϖ

Figura 5.4 - Associação RLC série

Notamos que, estando os elementos em série, a corrente que circula, evidentemente,

será a mesma para os três, portanto, poderemos adotar:

34

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PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos de Corrente Alternada

I I I j•= = +/ (0 1 0 )

De quanto visto nos itens anteriores, a queda de tensão em cada um dos elementos

será dada por:

V IR IR

V I jX IX

V I jX IX

R

L L L

C C C

• •

• •

• •

= =

= =

= − = −

/

( ) / /

( ) /

0

2

2

π

π /

)

É claro que, em cada instante, a tensão aplicada deverá igualar a soma das quedas de

tensão. Portanto, essa relação deve também valer para os fasores correspondentes:

(5.6) [ ]V V V V I R j X XR L C L C• • • • •= + + = + −(

Definimos “operador impedância” ao número complexo que, multiplicado pelo fasor da

corrente no ramo do circuito, nos dá o fasor da tensão aplicada ao mesmo. A

impedância do circuito, Z , ora analisado, é:

ZV

IR j X XL C= = + −

• ( )

Em particular, para os elementos individuais, isto é, uma resistência, uma indutância e

uma capacidade, a impedância é dada por:

Z R j R

Z jX X

Z jX X

R

L L L

C C C

= + =

= + =

= − = −

0 0

0 2

0 2

/

/ /

/ /

π

π

Passando a impedância Z para a forma trigonométrica (módulo Z e fase θ), teremos:

35

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Z Z jsen ZV

I

VI

VI= + = = =−

=

•(cos ) //

//θ θ θ

ϕϕ

0

Notamos que o ângulo de defasagem entre tensão e corrente, , em tela, coincide com

o argumento da impedância, e o fator de potência pode ser avaliado por:

ϕ

cos cos( )

ψ θ= =+ −

=R

R X X

RZ

L C2 2

(5.7)

Para a construção do diagrama de fasores, figura 5.5, supõe-se conhecida a intensidade

de corrente; portanto, conforme já vimos, a queda de tensão na resistência será

representada por um fasor em fase com a corrente e de módulo igual a . Na

indutância, o será por um fasor em quadratura e adiantado sobre a corrente e de módulo

. Finalmente, no capacitor, a queda de tensão será dada por um fasor em

quadratura e atrasado sobre a corrente e de módulo

IR

IX fLIL = 2π

IX I f CC = (2π

L e

)

C )

. A tensão

aplicada será obtida somando-se vetorialmente os três fasores. Como V estão

em posição de fase, sua soma equivalerá à soma algébrica de seus módulos, isto é:

VC• •

( )V V I X X jL C L C• • •− = −

Para a determinação gráfica de todas as incógnitas, observamos que os fasores

formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é representada

pelo fasor V .

V V V VR L, , e ( - • • • •

Quanto à potência ativa, observamos que:

P VI IZ IRZ

I R= = =cos ( ). .ϕ 2 (5.8)

36

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V•

V RR• •

=

V L•

V V j I X XL C L C• • •− = −( )

I•

V C•

I

Figura 5.5 - Diagrama de Fasores para Circuito R-L-C Série

Exemplo 5.4 - Resolver o circuito da figura 5.6

A

R1 X1

C

X2

D

R2

B E

V, f Figura 5.6 - Circuito para exemplo 5.4

em que:

V V eficazR Rf HzL mH C

== === =

2204 8

6013 26 294 7

1 2

( )

, ,

Ω Ω

µF

a) Cálculo da impedância

Sendo , resulta: Z Z Z Z ZAB BC CD DE= + + +

Z jAB = +( )4 0 Ω Z jCD = +( )8 0 Ω

Z JBC = =2 60 0 013226 5π . , Ω Z j jDE = − = −−1

2 294 71092π . , .Ω

Z j= −12 4 Ω

b) Cálculo da corrente

37

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Adotando-se V j , resulta: •= +220 0

IVZ j

A joo•

= =−

=−

= = +220

12 4220

12 65 18 4317 39 18 43 16 5 5 5

, / ,, / , ( , , ) A

c) Cálculo das tensões

V Z I j j V

V Z I j j j V

V Z I j j V

V Z I j j j

AB ABo

BC BCo

CD CDo

DE DE

• •

• •

• •

• •

= = + = + =

= = + = − =

= = + = + =

= = − + = − + =

4 16 5 5 5 66 22 69 57 18 43

5 16 5 5 5 82 5 27 5 86 96 108 43

8 16 5 5 5 132 44 139 14 18 43

9 16 5 5 5 1485 49 5 156 53

.( , , ) , / ,

.( , , ) , , , / ,

.( , , ) , / ,

.( , , ) . , , / ,−7156oV

Verificação:

V V V V V jAE AB BC CD DE• • • • •

= + + + = +( )220 0 V

O resultado é ilustrado no diagrama de fasores da figura 5.7.

VBC•

VDE•

VDE•

VAC•

VBC•

VCD•

VAD•

I•

V j•= +220 0

ϕ VAB•

Figura 5.7 - Diagrama de Fasores

6. RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA

38

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6.1 Princípios Gerais

De tudo quanto exposto, resulta evidente que a lei de Ohm é válida desde que se

empregue a notação simbólica e se substitua a resistência pela impedância, isto é, a lei

de Ohm deverá ser posta na forma:

V I• •= Z

que evidentemente poderá ser generalizada para um circuito contendo impedâncias, e

f.e.m., Ei, em série, sob a forma:

V E Ii i• • •= −∑ ∑Z

Analogamente, as leis de Kirchhoff são expressas por:

Lei de nós: ∑ •=Ii 0

Lei das malhas: ∑ ∑ • •=E Ii i iZ

Salientamos que, desde que se opere com os fasores de tensões e corrrentes e com as

impedâncias, são válidas todas as proposições aplicáveis para corrente contínua

(método das correntes fictícias de Maxwell, gerador equivalente de Thevenin, princípio

de superposição de efeitos, transformação estrela-triângulo, etc).

Define-se admitância ao operador Y , que representa o inverso da impedância, isto é:

YZ

=1

.

Sendo:

Z R jX= +

resulta:

39

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YR jX

R jXR X

RZ

jX

Z=

+=

−+

= −1

2 2 2 2 (5.9)

Da Eq.(5.9) define-se “condutância” e “susceptância” como sendo, respectivamente, a

parte real e a parte imaginária da admitância, isto é:

GR

ZB

XZ

= =2 2 −

Representando-se a impedância e a admitância na forma trigonométrica:

Z Z Y Y= =/ /ϕ θ

resulta:

Y YZ Z Z

= = = = −//

/θϕ

ϕ1 1 1

donde:

1Z

Y= = θ ϕ−

Exemplo 6.1: Resolva o circuito da figura 6.1.

V3

I4

XC4=-j10Ωj20ΩR2=20Ω

f=60HzV2

V1

I3

I2

XL3

220V V4

I1

R1=8Ω

~

Figura 6.1 - Circuito para o Ex. 6.1

Cada elemento do circuito da figura 6.1 pode ser encarado como um bipolo com

impedâncias:

40

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Z RZ RZ jZ j

1 1

2 2

3

4

820

2010

= == === −

ΩΩ

ΩΩ

Assim sendo, a impedância total vista pelo gerador pode ser dada por:

Z Z Z Z Z Z Z= + = +1 2 3 4 1 2 3, , / / / / 4

onde o símbolo // significa “paralelo”. Por analogia de circuitos C.C., temos que:

1 1 1 1 120

120

110

0 05 0 05 0 1 0 05 0 05 0 07071 45

114 1242 45

8 14 1242 45 18 10 10 20 591 29 05

2 3 42 3 4 2 3 4

2 3 4

2 3 4

2 3 42 3 4

1 2 3 4

Z Z ZY Y Y Y

Z Z Z J J

Y J J J S

Y

Z Z Z j

O

O

O

/ / / /

, , , , , , /

, /

, / , / ,

, ,

, ,

, ,, ,

, , ,

= = + + = + + = = =−

= − + = + =

= = −

= + = + − = − = −

e Z

e

Ω

Ω O

oo

o o

o o

IVZ

A V R I

x

V V j

V V

Ω

logo:

••

• •

• •

• •

= =−

= ⇒ = =

= =

= − = − = − = −

= =

1 1 1 1

2 1

3 4

220 020 591 29 05

10 684 29 05

8 10 68 29 05 85 47 29 05

220 220 85 47 29 05 145 28 4150 151 09 15 94

/, / ,

, / ,

, / , , / ,

, / , , , , / ,

( )

V

e:

IVR

Ao

o••

= =−

= −22

2

151 09 15 9420

7 5545 15 94, / ,

, / ,

IVj

Ao

oo

3220

151 09 15 94

20 907 5545 105 94

••

= =−

= −, / ,

/, / ,

41

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IVj

Ao

oo

4210

151 09 15 94

10 9015109 74 06

••

=−

=−

−=

, / ,

/, / ,

Verificação: aplicando-se a 1ª Lei de Kirchhoff, temos:

I I I j A Io• • • •+ + = + = =2 3 4 9 339 5189 10 684 29 05, , , / , 1

Podemos também determinar as potências complexas (ativa, reativa e aparente) em

cada bipolo:

Bipolo 1: S V I x j VAo o1 1 1 85 47 29 05 10 684 29 05 91316 0= = − = +

• •* , / , , / , ( , )

Bipolo 2: S V I x j Vo o2 2 2 151 09 15 94 7 5545 15 94 1141 41 0= = − = +

• •* , / , , / , ( , ) A

Bipolo 3: S V I x j VAo o3 3 3 151 09 15 94 7 5545 105 94 0 1141 41= = − + = +

• •* , / , , / , ( , )

Bipolo 4: S V I x j Vo o4 4 4 151 09 15 94 15109 74 06 0 2282 82= = − − = −

• •* , / , , / , ( , ) A

A potência complexa fornecida pelo gerador pode também ser avaliada por:

S V I x j VGo o o= = − = − = −

• •

. / , / , , / , ( , ,*1 220 0 10 68 29 05 2350 48 29 05 2054 8 1141 4 A)

Verificação: o princípio da conservação de energia também é válido para corrente

alternada. A potência complexa fornecida pelo gerador deve ser igual àquela absorvida

pelos elementos passivos. Isto equivale a dizer que a potência ativa (ou reativa)

absorvida:

S S S S P P P P j Q Q Q Q

jQ SG G

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4+ + + = + + + + + + +

≅ + =

( ) ( )

!)

= (913,16 +1141,41+ 0 + 0) + j(0 + 0 + 1141,411- 2282,81) = (2054,6 -1141,41)VA = ( PG

42

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Exemplo 6.2

Para o circuito da figura 6.2, que é alimentado por gerador ideal de tensão com

v(t)=220 2 sen377t, pede-se:

a. circuito equivalente de Thevenin visto dos pontos A e B.

b. A corrente que flui entre entre A e B quando;

b.1 - ocorre um curto-circuito entre os terminais A e B.

b.2 - o circuito alimenta carga de 20Ω.

c. Os fasores das correntes I1, I2 e I3 e o fasor da tensão entre os pontos C e D

quando os terminais A e B estão em aberto.

d. As potências ativa e reativa absorvidas pela carga do item b.2 (20Ω entre A e B) e,

nessa condição, as potências ativa e reativa fornecidas pelo gerador.

~

10Ω

10Ω

20mH

10Ω

C=200uF

A

BZ2 Z3

Z1

I2

I3

I1

CD ~

Ztn

110/0o

A

B a) Circuito para o exemplo 2 b) Circuito equivalente de Thévenin

Figura 6.2

a) Circuito equivalente de Thévenin

Sendo Z Z j x x j o1 2

310 10 377 20 10 10 7 54 12 52 37= = + = + =−Ω Ω, ( , ) Ω, / e

Z jx x

j o3 610

1377 200 10

10 13 26 16 61 53= − = − = −− ( , ) , /Ω Ω , temos que:

Z Z Zx

j jj

o oo

2 3 2 312 52 37 16 61 5310 7 54 10 13 26

10 0 10 0, / /, / , /

, ,/= =

−+ + −

= − = Ω

Portanto, a tensão VAB, com os terminais em vazio vale:

43

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V V I ZV

Z ZZth AB

oo o• • • •

= = =+

=+

= =1 2 31 2 3

2 3220 010 10

10 11 0 10 110 0,,

,/

/ . / V

Para a determinação da impedância de Thévenin, basta curto-circuitar o gerador de

tensão e portanto:

Z Z Zth = =+

=2 3 11010

10 105, / /

b.1 - IVZ

ACCth

th

oo•

= = =110 0

522 0

//

b.2 - I AABo•

=+

= =110

5 2011025

4 4 0, /

c) do item a) vimos que I A VoAB

o1 11 0 101 0• •= =/ / e V . Logo:

IVZ

A

IVZ

A

ABo

o

ABo

o

22

33

11012 52 37

8 79 37

11016 61 53

6 62 53

••

••

= = = −

= =−

= +

, /, /

, /, /

e

V I

V I

Ro

Ro

2 2

3 3

10 87 9 37

10 66 2 53

• •

• •

= = −

= =

. , /

. , /

V

V

A d.d.p. entre os pontos C e D, V , pode ser calculada por: CD•

V V VCD R Ro o• • •

= − = − − =3 2 66 2 53 87 9 37 110 164, / , / / Vo

d) Carga de R=20Ω: I A P R I x WAB AB•

= ⇒ = = =4 4 20 4 4 387 22 2, . , , e Q = 0

44

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Temos que, nesta condição, V R . Logo: IAB ABo•

= = =. . , /20 4 4 88 0 V

IV V

RA

S V I x j VAP WQ VAr

G AB o

Go o

G

G

11

1

220 8810

13 2 0

220 0 13 2 0 2904 029040

•• •

• •

=−

=−

=

= = = +==

, /

. / , / ( ) ,* ou seja

e

6.2 Queda de Tensão em Alimentadores

Um alimentador monofásico pode ser construído ligando-se uma fonte de tensão à uma

carga (por exemplo, uma indústria) através de dois fios condutores. Cada condutor

possui uma resistência e indutância própria, conforme esquema e circuito da figura 6.3.

X2 R2

I

VG

X1

~

R1

~

Carga

Condutor2

Condutor1

VG

jX R ~

Vcarga Vcarga

Alimentador

a) Diagrama b) Circuito equivalente c) Impedância total da linha

Figura 6.3

A queda de tensão ( ) é definida como sendo a diferença entre a tensão da fonte

e a tensão da carga :

∆V•

(VG•

)

)

( )argV c a•

∆V V V R jX I R jX I

R R j X X I R jX I

G c a• • • • •

• •

= − = + + +

+ + + = +

arg ( ) ( )

( ) ( )] (

1 1 2 2

1 2 1 2 = [

e sendo os dois condutores iguais: R = 2 R1, e X=2 X1. Conhecendo-se a impedância de

cada condutor por comprimento (r1+jx1), em Ω/km, pode-se avaliar R+jX = 2.l.(r1+jx1)

onde l é o comprimento total de cada condutor.

45

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Exemplo 6.3

Suponha que, numa residência, a distância entre o quadro de distribuição de luz e a

tomada de um chuveiro elétrico é de 10m. Suponha também que o chuveiro absorve

4000W com tensão de 220V. Considere os condutores com fio 2,5mm2 com resistência

r=0,007Ω/m e reatância x=0,0001Ω/m. Determine a queda de tensão do alimentador:

Resolução:

Considerando V V e sendo e

(chuveiro é composto somente por resistência), temos:

c ao•

=arg /220 0 P V Icarga carga carga carga = cosϕ cosϕcarga = 1

I A

I

c a

c ao

= =

=

arg

arg

.,

, /

40002201

18 18

18 18 0

e

logo:

∆V r jx I c a• •= +( ) arg2λ

∆V j o•= + =( , , ). . . , , / ,0 007 0 0001 2 10 18 18 2 54 0 82 V

ou seja, o módulo da queda de tensão é de 2,54V e seu o valor percentual vale:

∆V x•

= =%,

,2 54220

100% 115%

Em geral, pode-se desprezar a parte imaginária da queda de tensão para efeito de

cálculo de queda de tensão. Seja o diagrama de fasores do circuito da figura 6.4, onde

assumimos um fator de potência da carga indutiva (cosϕ) conhecido e a tensão na carga

com fase nula.

I

VG Vcarga XIsenϕ RIcos

Vcarga ϕ ∆ V ϕ

I jX

ϕ

erro RI

VG

jX R

XIcosϕ - RIsenϕ

I

46

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Figura 6.4

Temos que:

V V R jX I

V R jX I jsen

V V RI XIsen j XI RIsen

G c a

c ao

G c a

• •

= + + −

+ + −

= + + + −

arg

arg

arg

( ) /

/ ( ) (cos )

( cos ) ( cos

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

)

0

ϕ

a

ϕ

ϕ

Observa-se que, para a obtenção de V a partir de V temos que a parte

imaginária é realmente desprezível para nossas aplicações em instalações:

G•

c•

arg

X I RIsen V RI XIsenc acos cosargϕ ϕ ϕ− << + +

Portanto, adotamos a queda de tensão como sendo:

∆V V V RI XIsen I R XsenG c a= − = + = +arg cos ( cos )ϕ ϕ ϕ

Notamos que, para o exemplo 6.3, o cálculo de tensão, com a aproximação feita,

incorreria em nenhum erro:

∆∆∆

V RI XIsenV x x x xV V

= + == +=

cos, ,,

ϕ ϕ0 007 2 10 18 18 1 02 54

Exemplo 6.4

Uma indústria é alimentada com tensão de 1000V (eficazes) e frequência de 60Hz. A

indústria conta com três tipos de carga, quais sejam:

47

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i) Motores de indução, potência total de 50HP (1HP=746W), fator de potência 0,85

indutivo.

ii) Iluminação, corrente absorvida de 60A, fator de potência 0,9 indutivo.

iii) Fornos, potência ativa de 150kW e potência reativa de 80kVAr.

Pede-se:

a) as potências ativa, reativa e complexa e o fator de potência de cada carga e do

conjunto.

b) qual seria o valor mensal gasto pela indústria pelo consumo de energia elétrica por

mês, supondo que as cargas ficassem permanentemente ligadas e que o valor do

custo da energia é de 60 US$/MWh ? A indústria receberia multa pelo fator de

potência estar abaixo de 0,92 ?

c) as correntes absorvidas em cada carga e pelo conjunto, e o diagrama de fasores da

tensão e correntes.

d) determinar a queda de tensão e as perdas elétricas em potência ativa de um

alimentador que supre as cargas acima, e que apresenta resistência elétrica de 0,1Ω

e reatância indutiva de 0,05Ω.

CARGA 150 HPcos ϕ = 0,85indutivo

60 Acos ϕ2 = 0,9indutivo

CARGA 2 CARGA 3P3=150kWQ3 = 80kVAr

1000/0o

Figura 6.5 - Circuito para o Ex. 6.4 a) Carga 1:

P x W1 50 746 37300= = W (assumindo-se rendimento da carga = 100%)

SP

VA Q S P VAr11

11 1

21243882 23118= = ⇒ = − =

cosϕ

Carga 2:

P x x2 260 1000 54000= =cosϕ W

S VI VA Q S P VAr2 2 2 22

2260000 26153= = ⇒ = − =

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PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos de Corrente Alternada

Carga 3:

P W Q VAr3 3150000 80000= =

⇒ = − = =S P Q VA kV3 32

32 170000 170 A

Total:

P P P P W kW

Q Q Q Q VAr kVAr

arctgQP

tot

tot

tottot

tot

otot

= + + = =

= + + = =

= = ⇒ =

1 2 3

1 2 3

241300 241 3

129271 129 271

28 18 0 8815

,

,

, cos ,ϕ ϕ

b)

εtot tot mêP xT kWx h kWh m s

Custo MWh mê US MWh US m s

= = =

= ==

s ê

s $ / ê

241 3 720 173 736

173 736 60 10 424 16

, . /

, / . $ / . ,

O é igual a 0,8815, menor que 0,92. Portanto a indústria pagaria multa. cosϕtot

c) carga 1:

S V I IS

V

P jQ

V

S

VAo

o o1 1 1

1 1 1 1 1

0438821000

32 43 88 32= ⇒ = =−

=−

= − = −• • • •

• •*

*

* *

/

// , /

ϕ

IP jQ

V

SAo o•

•=

−=

−= − = −2

2 2 2 2

1000600001000

25 8 60 25 8*

// , / ,

ϕ

49

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IS

Ao o•=

−= − = −3

3 3

10001700001000

28 2 170 28 2/

/ , / ,ϕ

logo:

I I I I jtoto• • • •

= + + = − = −1 2 3 241 0 129 7 273 7 28 3, , , / , A .

Alternativamente, poderíamos calcular a partir da potência complexa total,

calculada no item a):

I tot•

IS

Vx Atot

tot tot o o•=

−=

+− = −

/ , ,/ , , / ,*

ϕ 241 3 129 2711000

10 28 2 273 7 28 22 2

3

d)

0,1+j0,05∆Vtot

Ventrada

Zalim

1000/0o

273,7/-28,2o

carga

∆V I Z jtot tot ao• •

= = − + = −lim , / , ( , , ) , / ,273 75 28 18 0 1 0 05 30 61 1 610 V

logo:

50

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V Vj j

V

entrada toto o

o

• •= + = − +

= − + = −

= −

1000 0 30 61 1 61 1000 030 6 0 86 1000 1030 6 0 86

1030 6 0 05

0/ , / , /, , , ,

, / ,

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